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Tópicos de macroeconomía

Modelos de crecimiento económicoCarlos Rojas Quiroz


1. Modelo de Solow sin cambio tecnológico

2. Modelo de Solow con cambio tecnológico

3. Modelo de Ramsey sin cambio tecnológico

4. Modelo de Ramsey con cambio tecnológico

5. Crecimiento endógeno: modelo AK

6. Crecimiento endógeno: capital humano

7. Crecimiento endógeno: externalidades 1/158

Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo

• Economía cerrada, con un único bien final y habitada por unnúmero grande de hogares. Ellos (los hogares) ahorran unafracción exógena constante, s ∈ (0, 1), de su ingreso disponible.

• Los hogares son dueños de los factores de producción, por loque ofertan mano de obra (inelástica) a una tasa w y ofrecencapital a las empresas a una tasa de “alquiler” r.

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En la economía también hay firmas con acceso a una función deproducción Cobb-Douglas para el único bien final.

Y(t) = F (K(t), L(t),A(t))

Donde Y(t) es el bien final, K(t) es el stock de capital, L(t) es eltrabajo y A(t) es un índice tecnológico.

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Supuesto 1

La función de producciónF : R3+ → R+ es dos veces diferenciable

en K(t) y en L(t), y satisface:

FK(K(t),L(t),A)≡ ∂F (K(t),L(t),A)∂K(t) >0 FL(K(t),L(t),A)≡ ∂F (K(t),L(t),A)

∂L(t) >0

FKK(K(t),L(t),A)≡ ∂2F (K(t),L(t),A)∂K(t)2

<0 FLL(K(t),L(t),A)≡ ∂2F (K(t),L(t),A)∂L(t)2

<0

Además,F exhibe retornos constantes a escala en K(t) y en L(t).

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Definición 1

Sea k ∈ N. La función G : Rk+2→ R es homogénea de gradom enx ∈ R e y ∈ R si:

G (λx, λy, z) = λmG (x, y, z) ∀ λ ∈ R, z ∈ Rk

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Teorema 1

Suponga que G : Rk+2→ R es diferenciable en x ∈ R y en y ∈ R,con derivadas parciales denotadas por Gx y Gy, y es homogénea degradom en x e y. Entonces:

mG (x, y, z) = Gx(x, y, z)x+ Gy(x, y, z)y ∀ x ∈ R, y ∈ R, z ∈ Rk

Además, Gx(x, y, z) y Gy(x, y, z) son por sí mismas homogéneas degradom− 1 en x e y.

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Supuesto 2

F satisface las condiciones de Inada:

limK→0FK(K(t),L(t),A)=∞ y limK→∞FK(K(t),L(t),A)=0 ∀ L(t)>0 y A

limL→0FL(K(t),L(t),A)=∞ y limL→∞FL(K(t),L(t),A)=0 ∀ K(t)>0 y A

Además,F (0, L(t),A) = 0 ∀ L(t) y A.

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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoOptimización de la firma y equilibrio

• Los mercados son competitivos. Por tanto, el objetivo de lafirma es maximizar beneficios.

• No hay fricciones en el mercado del capital, por lo que la tasade alquiler del capital es igual a su retorno.

mxK(t)≥0,L(t)≥0

(t) = F (K(t), L(t),A) − R(t)K(t) − w(t)L(t)

Donde R(t) = r(t) + δ, es el costo de uso del capital.

Numerario

No hay un precio multiplicando la funciónF , dado que se asumeque P = 1.

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Dadas las ofertas de capital y trabajo en el período t, K(t) y L(t), losprecios de factores deben satisfacer la siguiente condición:

w(t) = FL(K(t), L(t),A) (1)

R(t) = FK(K(t), L(t),A) (2)

Recordando el Teorema 1, podemos intuir que la firma genera cerobeneficios.

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Proposición 1

Si el Supuesto 1 se mantiene, entonces en el equilibrio del modelo deSolow las firmas generan cero beneficios y, en particular:

Y(t) = w(t)L(t) + R(t)K(t) (3)

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Modelo de Solow sin cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow

El ahorro de los hogares es S(t) = sY(t), por lo que su consumo sedefine así

C(t) = (1− s)Y(t) (4)

Además, la población crece en el tiempo a una tasa n:

L(t) = nL(t) (5)

Realizamos cambios en la naturaleza de las variables. Expresamos elmodelo en términos per cápita:

k(t) ≡K(t)

L(t)11/158


Hallamos la tasa de crecimiento del capital per cápita(k(t)k(t)

):

∂k(t)

∂t≡ k(t) =

∂K(t)

∂t

1

L(t)−

K(t)

L(t)

∂L(t)

∂t

1

L(t)

k(t) =K(t)

L(t)−

L(t)

L(t)

K(t)

L(t)=

K(t)

K(t)

K(t)

L(t)−

L(t)

L(t)

K(t)

L(t)

k(t)

k(t)=

K(t)

K(t)−

L(t)

L(t)

k(t)

k(t)=

K(t)

K(t)− n

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Definimos la ecuación de movimiento del capital

K(t) = sF (K(t), L(t),A) − δK(t) (6)

Modificando la ecuación 6, en términos per cápita:

k(t)

k(t)=

sF (K(t), L(t),A)

K− (δ+ n)

k(t)

k(t)=

sF (K(t), L(t),A)/L(t)

K(t)/L(t)− (δ+ n)

k(t)

k(t)=

sf(k(t))

k(t)− (δ+ n) (7)

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Definición 2

En el modelo básico de Solow, con crecimiento poblacional a la tasan, sin progreso tecnológico y con un capital inicial de K(0), la sendade equilibrio está dada por secuencias de capital, trabajo,producción, consumo, salarios y tasas de alquiler[K(t), L(t), Y(t),C(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que:

• L(t) satisface la ecuación 5

• k(t) ≡ K(t)L(t) satisface la ecuación 7

• Y(t) está dado por la ecuación 3

• C(t) está dado por la ecuación 4

• w(t) y R(t) estan determinadas por las ecuaciones 1 y 214/158

Modelo de Solow sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario

Cuando k(t)→ k∗:f(k∗)

k∗=

n+ δ

s(8)

En estado estacionario, la cantidad de inversión es usada parareponer el ratio capital-trabajo.

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k(t)

f(k(t))

k∗

sf(k(t))sf(k∗)

f(k(t))f(k∗)

(δ+ n)k(t)

consumo

inversión

Figura: Diagrama de Solow 16/158


Proposición 2

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces existe un únicoequilibrio de estado estacionario cuando el ratio capital-trabajo seaigual a k∗ ∈ (0,∞) y satisface la ecuación 8. El PBI per cápita es:

y∗ = f(k∗)

Y el consumo per cápita es:

c∗ = (1− s)f(k∗)

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Definición 3

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, y además sabemos que el nivelde estado estacionario del ratio capital-trabajo k∗(A, s, δ, n), y elnivel de estado estacionario del producto per cápita y∗(A, s, δ, n),entonces:

∂k∗

∂A> 0,

∂y∗

∂A> 0,

∂k∗

∂s> 0,

∂y∗

∂s> 0,

∂k∗

∂δ< 0,

∂y∗

∂δ< 0,

∂k∗

∂n< 0;

∂y∗

∂n< 0.

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Proposición 3

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces el modelo de Solowcon crecimiento poblacional y sin progreso técnico es global yasintóticamente estable, por lo que si se empieza desde el puntok(0) > 0, monotónicamente converge a k∗.

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k(t)

k(t)k(t)

k∗

Figura: Convergencia hacia el estado estacionario20/158

Modelo de Solow sin cambio tecnológicoTrampa de pobreza

• Definición:Estado Estacionario estable con niveles bajos de capital yproducto per cápita.

¿Por qué es una trampa?

Si el capital aumenta, la misma dinámica del modelo moviliza elcapital hacia el valor de Estado Estacionario bajo.

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Un país tiene acceso a una función de producción “tradicional” y aotra “moderna”.

YA(t) = AK(t)αL1−α (9)

YB(t) = BK(t)αL1−α (10)

Donde B > A. Para explotar la mejor tecnología, el país paga un costode instalación, en cada momento del tiempo, que es proporcional ala población y está dado por bL, donde b > 0. No hay progresotecnológico.

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En términos per cápita

yA(t) = Ak(t)α (11)

yB(t) = Bk(t)α − b (12)

Donde B > A. Si el gobierno decide gastar en obtener la mejortecnología, entonces todos los productores usan la función deproducción “moderna”. Si no, todos usan la función de producción“tradicional”.

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k(t)

f(k(t))

b

k

A

B

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Valor crítico (k):

k =[ b

(B− A)

] 1α

(13)

El gobierno paga el costo de instalación si k ≥ k y no lo hace si k < k.

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Utilizando la ecuación fundamental de Solow (en términos percápita):

k(t)

k(t)= s

f(k(t))

k(t)− (δ+ n) (14)

Donde f(k(t)) = Ak(t)α si k(t) < k y f(k(t)) = Bk(t)α − b sik(t) ≥ k

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k(t)k(t)

k

n+ δ

s f(k(t))k(t)

k∗low k∗middle k∗high(stable) (unstable) (stable)

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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo

A(t) = gA(t) (15)

Crecimiento balanceado

Se refiere a la situación donde el PBI crece a una tasa constante,mientras que el ratio capital/producto, la tasa de interés, y losporcentajes de los factores de producción se mantienen constantes.

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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo

Importante

Para que exista crecimiento balanceado se necesita que la función deproducción sea neutral en el sentido de Harrod (Usawa’s Theorem).

Y(t) = F (K(t),A(t)L(t))

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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa ecuación fundamental de Solow

K(t) = sF (K(t),A(t)L(t)) − δK(t) (16)

“Normalizamos” las variables en términos “per cápita efectivos”.Definimos k(t):

k(t) ≡K(t)

A(t)L(t)(17)

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Tasa de crecimiento del capital per cápita efectivo(˙k(t)k(t)

):

∂k(t)

∂t≡ ˙k(t) =

K(t)

A(t)L(t)

K(t)

K(t)−

K(t)

A(t)L(t)

L(t)

L(t)−

K(t)

A(t)L(t)

A(t)

A(t)

˙k(t)

k(t)=

K(t)

K(t)−

L(t)

L(t)−

A(t)

A(t)

˙k(t)

k(t)=

K(t)

K(t)− n− g

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˙k(t)

k(t)=

sF (K(t),A(t)L(t))

K(t)− (δ+ g+ n)

˙k(t)

k(t)=

sF (K(t),A(t)L(t)) × 1A(t)L(t)

K(t) × 1A(t)L(t)

− (δ+ g+ n)

˙k(t)

k(t)=

sf(k(t))

k(t)− (δ+ g+ n) (18)

Donde:

• s f(k(t))k(t) : inversión media por unidad de trabajo efectivo.• (δ+ g+ n): tasa de reposición.• Restricción adicional: δ+ g+ n > 0. 33/158

Modelo de Solow con cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario

Proposición 4

Considere el modelo de crecimiento de Solow con tecnología neutralen el sentido de Harrod, progreso técnico a una tasa g y crecimientopoblacional a tasa n. Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entoncesexiste una única senda de crecimiento balanceado, donde el ratiocapital-trabajo efectivo es igual a k∗ ∈ (0,∞), dado por:

f(k∗)

k∗=

δ+ g+ n

s(19)

Además, el PBI per cápita y el consumo crecen a una tasa g.

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Definición 4

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen y sea A(0) el nivel inicial detecnología, el nivel de estado estacionario del ratio capital-trabajoefectivo consistente con la senda balanceada k∗(A(0), s, δ, n) y elnivel de estado estacionario del producto per cápitay∗(A(0), s, δ, n, t), entonces:

∂k∗

∂A(0)= 0,

∂y∗

∂A(0)> 0,

∂k∗

∂s> 0,

∂y∗

∂s> 0,

∂k∗

∂δ< 0,

∂y∗

∂δ< 0,

∂k∗

∂n< 0;

∂y∗

∂n< 0 ∀ t.

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k(t)

f(k(t))

k∗

sf(k(t))sf(k∗)

f(k(t))f(k∗)

(δ+ n+ g)k(t)

consumo

inversión



Proposición 5

Si los supuestos 1 y 2 se mantienen, entonces la senda decrecimiento balanceada del modelo de Solow con progresotecnológico a la Harrod y crecimiento poblacional es asintóticamenteestable, por lo que si se empieza de cualquier k(0) > 0, el ratio decapital trabajo efectivo converge a k∗ (k(t)→ k∗).

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Modelo de Solow con cambio tecnológicoCambio en s (s2 > s1)

k(t)

f(k(t))

k∗1 k∗2

s1f(k(t))

s2f(k(t))

(δ+ n+ g)k(t)



k(t)

˙k(t)k(t)

k∗1 k∗2

s1 f(k(t))k(t)

− (δ+ g+ n)

s2 f(k(t))k(t)

− (δ+ g+ n)

Figura: Convergencia hacia el estado estacionario39/158


Tiempo

s

s1

s2

t0

Tiempo

˙k(t)

0

t040/158


Tiempo

y(t)y(t)

g

t0

Tiempo

log y(t)

t0 41/158


Tiempo

c(t)

?

t0

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En estado estacionario c∗ = (1− s)f(k∗). Además, inversión(ahorro) en Estado Estacionario es sf(k∗) = (δ+ n+ g)k∗, luego:

c∗ = f(k∗) − (n+ g+ δ)k∗

De la definición 4 sabemos que k∗ = k∗(A(0), s, δ, n), entonces:

c∗ = f(k∗(A(0), s, δ, n)) − (n+ g+ δ)k∗(A(0), s, δ, n)

Encontrando la derivada de c∗ respecto de la tasa de ahorro s:

∂c∗

∂s= [f′(k∗(A(0), s, δ, n)) − (n+ g+ δ)]

∂k∗(A(0), s, δ, n)

∂s43/158


El efecto final de un movimiento en la tasa de ahorro sobre elconsumo per cápita eficiente de estado estacionario dependerá dedos factores:

• f′(k∗(A(0), s, δ, n)): producto marginal del capital. Por elsupuesto 1 sabemos que f′(k∗) > 0.

• (n+ g+ δ): tasa de reposición.

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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa regla dorada

Un nivel de ingreso mayor no significa necesariamente un mayornivel de bienestar. ¿Cuál es el nivel de capital que maximiza dichavariable? Este nivel es conocido como capital de la “regla dorada”.

mxk∗≥0

c∗ = f(k∗) − (δ+ g+ n)k∗

La solución de este problema es:

f′(kRD) = δ+ g+ n

Donde kRD es el capital de la regla dorada.

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Modelo de Solow con cambio tecnológicoLa regla dorada

Si Y = Kα(AL)1−α, por tanto f(k) = kα. Entonces:

kRD =[

α

δ+ g+ n

] 11−α

kRD es el nivel de capital que maximiza el consumo. Comparando conk∗:

kRD =[

α

δ+ g+ n

] 11−α

versus k∗ =[ s

δ+ g+ n

] 11−α

Por lo que si α = s, entonces el capital per cápita efectivo de estadoestacionario es aquél que maximiza el consumo per cápita efectivo.

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Modelo de Solow con cambio tecnológicoIneficiencia dinámica

• Si kRD < k∗, el nivel actual de capital per cápita eficiente deestado estacionario no es el que maximiza el bienestar de losconsumidores. A largo plazo la economía podría obtener mayorbienestar reduciendo su stock de capital per cápita eficiente.

• “Sobreinversión” en estado estacionario, donde losconsumidores ahorran más de lo necesario para obtener unnivel máximo de bienestar en el largo plazo.

• El nivel de estado estacionario es ineficiente, porque podríaincrementarse el bienestar a largo plazo reduciendo el ahorro(s→ sRD).

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k(t)

f(k(t))

k∗kRD

sf(k(t))

sRDf(k(t))

f(k(t))

(δ+ n+ g)k(t)

consumo

inversión

Figura: Diagrama de Solow y regla dorada 48/158


• Si kRD > k∗, no hablamos de ineficiencia dinámica. Paraincrementar el nivel de bienestar en el largo plazo, deberíamosincrementar la tasa de ahorro de la economía. “Subinversión”en estado estacionario.

• Consejo de política no es del todo claro y dependerá deapreciación intergeneracional. Si kRD > k∗, hoy se tendrá queaumentar el ahorro, y por tanto la inversión per cápita efectiva,para obtener un mayor nivel de consumo per cápita eficiente enel largo plazo. Sin embargo, ese aumento de la inversión hoy,significa una caída del consumo hoy.

• Por tanto, para alcanzar kRD, la sociedad tendría que valorarmás el bienestar futuro (de largo plazo) que el del períodoactual, que se vería afectado. 49/158

Modelo de Solow con cambio tecnológicoVelocidad de convergencia

Si la función de producción es y = kα, entonces la ecuaciónfundamental de Solow se reescribe así:

˙k(t)

k(t)= sk(t)α−1 − (δ+ g+ n) (20)

Aplicamos una aproximación de Taylor de primer orden alrededor dek∗:

˙k(t)

k(t)≈[sk∗α−1 − (δ+ g+ n)

]+ s(α − 1)k∗α−1

(k(t) − k∗

k∗

)(21)

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La expresión sk∗α−1 − (δ+ g+ n) es cero en estado estacionario.Además k(t)− k∗

k∗ ≈ log(k(t)k∗

). Luego:

˙k(t)

k(t)≈ s(α − 1)k∗α−1 log

(k(t)

k∗

)(22)

En estado estacionario s = δ+g+nk∗α−1 , por lo que incluyendo esta

igualdad se tiene:

˙k(t)

k(t)≈ −(δ+ g+ n)(1− α) log

(k(t)

k∗

)(23)

β∗k = (1− α)(δ+ g+ n) es la velocidad de convergencia de k(t). 51/158


Además, se cumple:˙y(t)

y(t)= α

˙k(t)

k(t)

log

(y(t)

y∗

)= α log

(k(t)

k∗

)Utilizando ambas igualdades se tiene:

˙y(t)

y(t)≈ −α(δ+ g+ n)(1− α) log

(k(t)

k∗

)⏟ ⏞

1αlog

(y(t)y∗

)(24)

Por lo que β∗k = β∗y52/158


Entonces:

˙y(t)

y(t)≈ −(δ+ g+ n)(1− α) log

(y(t)

y∗

)(25)

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Si α = 1/3, δ = 0,05, g = 0,02 y n = 0,01.¿Cuánto de la brecha entre el producto per cápita eficiente y su valorde estado estacionario se cierra en un año?

β∗ = (1− 1/3) × (0,05+ 0,02+ 0,01) ≈ 5,3%

En un año se cierra aproximadamente el 5,3% de la brecha existentedel producto per cápita eficiente respecto a su valor de EE.

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¿Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará la mitad de la brecha?Resolvemos ecuación diferencial en log[ y(t)]:

log[ y(t)] = (1− exp−βt) log[ y∗] + exp−βt log[ y(0)]

El tiempo t para el que log[ y(t)] recorra la mitad del caminorespecto a log[ y∗] satisface la condición:

exp−βt = 1/2

Por tanto, resolviendo para t, se tiene:

t =log(2)

β∗≈ 13 (26)

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¿Cuál es el tiempo promedio en que se cerrará 3/4 de la brecha?El tiempo t para el que log[ y(t)] recorra 3/4 del camino respecto alog[ y∗] satisface la condición:

exp−βt = 1/4

Por tanto, resolviendo para t, se tiene:

t =log(4)

β∗≈ 26 (27)

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Modelo de Solow con capital humanoLa estructura básica del modelo

Se plantea una función de producción del siguiente tipo:

Y(t) = F (K(t),H(t),A(t)L(t)) (28)

Donde H(t) es el stock de capital humano.

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Supuesto 1B

La función de producciónF : R3+ → R+ es dos veces diferenciable

en K(t), en H(t) y en L(t), y satisface:

FK(K(t),H(t),A(t)L(t))>0 FH(K(t),H(t),A(t)L(t))>0 FL(K(t),H(t),A(t)L(t))>0

FKK(K(t),H(t),A(t)L(t)))<0 FHH(K(t),H(t),A(t)L(t)))<0 FLL(K(t),H(t),A(t)L(t)))<0

Además,F exhibe retornos constantes a escala en sus tresargumentos.

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Supuesto 2B

F satisface las condiciones de Inada:

limK→0FK =∞ y limK→∞FK = 0 ∀ H(t) > 0 y A(t)L(t) > 0

limH→0FH =∞ y limH→∞FH = 0 ∀ K(t) > 0 y A(t)L(t) > 0

limL→0FL =∞ y limL→∞FL = 0 ∀ K(t),H(t),A(t) > 0

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Modelo de Solow con capital humanoModelo 1: bienes sustitutos

Utilizaremos una función de producción Cobb-Douglas para hacermás directo el cálculo. Sea la función:

Y(t) = K(t)αH(t)η(A(t)L(t))1−α−η (29)

Donde H(t) es el capital humano y K(t) el capital físico. Además, enesta economía existe progreso tecnológico, a una tasa g, ycrecimiento poblacional, a una tasa n.

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En términos per cápita eficientes:

y(t) = k(t)αh(t)η (30)

Capital humano y físico son sustitutos perfectos. Luego, la ecuaciónfundamental de Solow es:

˙k(t) + ˙h(t) = sk(t)αh(t)η − (δ+ g+ n)(k(t) + h(t)) (31)

¿Cómo asignar eficiente los recursos entre capital humano y físico?

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Igualdad de productividades marginales:

fk = fh

Entonces:αk(t)α−1h(t)η = ηk(t)αh(t)η−1

h(t) =η

αk(t) (32)

Derivando respecto al tiempo:

˙h(t) =η

α

˙k(t) (33)

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Usando lo obtenido en 32 y 33, y reemplazando en la ecuación 31:

˙k(t) = sAk(t)α+η − (δ+ g+ n)k(t) (34)

Donde A ≡= ηηα1−η

α+η , es una constante.

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Estado Estacionario:

k∗ =

(sA

δ+ g+ n

) 11−α−η

(35)

h∗ =η

α

(sA

δ+ g+ n

) 11−α−η

(36)

Velocidad de convergencia:

β∗ = (1− α − η) × (δ+ g+ n) (37)

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Modelo de Solow con capital humanoModelo 2: bienes complementarios

Ahora suponemos que la tasa de ahorro en capital físico y humano esdistinto (sk, sh) y las tasas de depreciación también (δk, δh). En esesentido, la forma de acumulación de ambos capitales se representapor ecuaciones distintas. Manteniendo la misma función deproducción que en la ecuación 29 se tiene:

˙k(t) = skk(t)αh(t)η − (δk + g+ n)k(t) (38)

˙h(t) = shk(t)αh(t)η − (δh + g+ n)h(t) (39)

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En Estado Estacionario se tiene que ˙k(t) = 0 y ˙h(t) = 0.

• En la ecuación 38, cuando ˙k(t) = 0:

skk(t)αh(t)η = (δk + g+ n)k(t) (40)

• En la ecuación 39, cuando ˙h(t) = 0:

shk(t)αh(t)η = (δh + g+ n)h(t) (41)

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Convertimos las ecuaciones 40 y 41 en una función h(t) = f(k(t)),respectivamente:

• Cuando ˙k(t) = 0:

h(t) =(δk + g+ n

sk

) 1η

k(t)1−αη (42)

• Cuando ˙h(t) = 0:

h(t) =( shδh + g+ n

) 11−η

k(t)α

1−η (43)

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En Estado Estacionario, las ecuaciones 42 y 43 son iguales, tal queh = h∗, k = k∗, además de y = y∗ = k∗

αh∗

η:

k∗ =( skδk + g+ n

)( 1−η1−α−η

)( shδh + g+ n

)( η

1−α−η

)(44)

h∗ =( skδk + g+ n

)( α

1−α−η

)( shδh + g+ n

)( 1−α1−α−η

)(45)

y∗ =( skδk + g+ n

)( α

1−α−η

)( shδh + g+ n

)( η

1−α−η

)(46)

68/158


Note que en las ecuaciones 42 y 43 se tiene:

∂h

∂k|˙k=0>

∂h

∂k|˙h=0 (47)

Velocidad de convergencia:

β∗ = (1− α − η) × (δ+ g+ n) (48)

∀ δk = δH = δ.

69/158


k(t)

h(t)˙k(t) = 0

˙h(t) = 0

k∗

h∗

70/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo

• Debilidad del modelo de Solow: tasa de ahorro exógena yconstante.

• Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans lidia con ello:1. Proceso de optimización del individuo. Ahorro es endógeno.2. Bienestar del consumidor.

• Pero modelo de Ramsey sigue considerando tasas decrecimiento exógenas para el trabajo y la tecnología.

72/158


Supuesto 3

La función de utilidad instantánea u(c(t)), está definida sobre R+ oR+\{0}. Es estrictamente creciente, cóncava y dos vecesdiferenciable, con derivadas u′(c(t)) > 0 y u′′(c(t)) < 0 para todoc(t) en el interior de su dominio.

73/158


La función de utilidad intertemporal del hogar es:

V(t) =∫ ∞

0exp−(ρ−n)t u(c(t))dt (49)

Donde ρ es la tasa de descuento subjetiva. También se asume queL(0) = 1. Tome en cuenta que L(t) = L(0)expnt.Ademásc(t) = C(t)/L(t).

Supuesto 4

ρ > n

74/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa estructura básica del modeloRestricción presupuestaria del hogar:

A (t) =d(A (t))

dt= r(t) × A (t) + w(t)L(t) − C(t) (50)

A : activos del consumidor (A (0) > 0). En términos per cápita(a(t) =A (t)/L(t)):

d(A (t)/L(t))

dt=A (t)

L(t)−A (t)

L(t)

L(t)

L(t)(51)

a(t) =r(t) × A (t) + w(t)L(t) − C(t)

L(t)− a(t)n (52)

a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t) (53) 75/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoMaximización del consumidor

mxc(t)≥0,a(t)≥0

V(t) =∫ ∞

0exp−(ρ−n)t u(c(t))dt

Sujeto a:a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t)

Condición de No Ponzi

lımt→∞

{exp

[−∫ t

0(r(ν) − n)dν

]× a(t)

}≥ 0

76/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoMaximización del consumidor

H (t) = u[c(t)] + μ(t) [(r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t)] (54)

Siendo μ(t) = exp[(ρ− n)t] × λ(t). Además, las CPO’s son:

∂H (t)

∂c(t)= 0 ⇒ μ(t) = u′(c(t)) (55)

∂H (t)

∂a(t)= −μ(t)+(ρ−n)μ(t) ⇒ (r(t)−n)μ(t) = −μ(t)+(ρ−n)μ(t)

(56)∂H (t)

∂μ(t)= a(t) ⇒ a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t) (57)

77/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoMaximización del productor

mxK(t)≥0,L(t)≥0

π(t) = F (K(t), L(t)) − R(t)K(t) − w(t)L(t)

Que puede reescribirse así:

mxK(t)≥0,L(t)≥0

π(t) = [f(k(t)) − R(t)k(t) − w(t)] L(t)

Obteniendo las Condiciones de Primer Orden (CPO):

∂π(t)

∂k(t): R(t) = r(t) + δ = f′(k(t)) (58)

∂π(t)

∂L(t): w(t) = f(k(t)) − f′(k(t))k(t) (59)

78/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoCondiciones de equilibrio

Condición de transversalidad:

lımt→∞

{exp

[−∫ t

0(f′(k(ν)) − δ− n)dν

]× k(t)

}= 0 (60)

Ecuación de Euler:

c(t)

c(t)=

1

εu(c(t))(f′(k(t)) − δ− ρ) (61)

Restricción agregada de la economía:

k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (62)

79/158


Definicion 5

Un equilibrio competitivo del modelo neoclásico de crecimientoconsiste de sendas de consumo per cápita, ratio capital-trabajo,salarios y tasas de alquiler de capital, [c(t), k(t),w(t),R(t)]∞t=0, talque los precios de los factores, [w(t),R(t)]∞t=0 son dados por lasecuaciones 27 y 28, y el hogar representativo maximiza la ecuación22 sujeto a la ecuación 26 y la condición de No Ponzi, dada unadotación inicial de capital per cápita (ratio capital-trabajo) k(0) > 0 yprecios de factores [w(t),R(t)]∞t=0.

80/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoSolución de planificador social

mxc(t)≥0,k(t)≥0

V(t) =∫ ∞

0exp[−(ρ− n)t]u(c(t))dt (63)

Sujeto a:k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (64)

81/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoSolución de planificador social

H (t) = u[c(t)] + μ(t) [f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t)] (65)

Siendo μ(t) = exp[(ρ− n)t] × λ(t). Además, las CPO’s son:

∂H (t)

∂c(t)= 0 ⇒ μ(t) = u′(c(t)) (66)

∂H (t)

∂k(t)= −μ(t)+(ρ−n)μ(t)) ⇒ (f′(k(t))−δ−n)μ(t) = −μ(t)+(ρ−n)μ(t)

(67)∂H (t)

∂μ(t)= k(t) ⇒ k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (68)

82/158



lımt→∞

{exp

[−∫ t

0(f′(k(ν)) − δ− n)dν

]× k(t)

}= 0 (69)

Ecuación de Euler:

c(t)

c(t)=

1

εu(c(t))(f′(k(t)) − δ− ρ) (70)

Restricción agregada de la economía:

k(t) = f(k(t)) − c(t) − (δ+ n)k(t) (71)

83/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoBienestar social

El equilibrio competitivo es óptimo de Pareto, garantizando que elbienestar social es el máximo.

Teoremas del Bienestar

Si no existen distorsiones o externalidades:

• Primer Teorema del Bienestar: Todo equilibrio competitivo esun óptimo de Pareto.

• Segundo Teorema del Bienestar: Para cada óptimo de Paretoexiste un sistema de precios que lo hace un EquilibrioCompetitivo.

84/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoEquivalencia de soluciones

Proposición 6

En el modelo neoclásico de crecimiento con mercados competitivos,si se cumplen los supuestos 1, 2, 3 y 4, el equilibrio es óptimo dePareto y coincide con la senda de crecimiento óptima que maximizala utilidad del agente representativo.

85/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario

El equilibrio de estado estacionario es definido como la senda deequilibrio en la que el ratio capital-trabajo, el consumo y laproducción son constantes.

• Si c(t) = 0:f′(k∗) = ρ+ δ (72)

• Si k(t) = 0:c∗ = f(k∗) − (n+ δ)k∗ (73)

• Si el supuesto 4 se mantiene y con un ratio capital-trabajoconstante en EE, entonces la condición de transversalidadtambién se satisface en EE.

86/158


Proposición 7

En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1, 2, 3 y 4,el ratio capital-trabajo en el equilibrio de estado estacionario, k∗,está únicamente determinado por la ecuación 72 y es independientede la función de utilidad instantánea. El consumo per cápita deestado estacionario está dado por la ecuación 73.

87/158


Proposición 8

En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1, 2, 3 y 4,si consideramos que f(k) = Af(k), el nivel de estado estacionario delratio capital-trabajo k∗(A, ρ, δ, n) y el nivel de estado estacionariodel consumo per cápita c∗(A, ρ, δ, n), entonces:

∂k∗

∂A> 0,

∂c∗

∂A> 0,

∂k∗

∂ρ< 0,

∂c∗

∂ρ< 0,

∂k∗

∂δ< 0,

∂c∗

∂δ< 0,

∂k∗

∂n= 0;

∂c∗

∂n< 0.

88/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoComportamiento del consumo

k(t)

c(t)

c(t) = 0

k∗

(c(t) > 0) (c(t) < 0)

89/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoComportamiento del consumo

k(t)

c(t)

k(t) = 0

(k(t) < 0)

(k(t) > 0)

90/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoDiagrama de fases

k(t)

c(t)

k(t) = 0

c(t) = 0

k∗

E

91/158


k(t)

c(t)

k(t) = 0

c(t) = 0

k∗

E

92/158


k(t)

c(t)

k(t) = 0

c(t) = 0

k∗k(0)

c′′(0)

c(0)

c′(0)

Ec∗

93/158


Proposición 9

En el modelo neoclásico de crecimiento, con los supuestos 1, 2, 3 y 4,existe una única senda de equilibrio que inicia en k(0) > 0 yconverge monotónicamente a un único estado-estacionario(k∗, c∗), con k∗ dada por la ecuación 72. Además, si k(0) < k∗,entonces k(t) ↑ k∗ y c(t) ↑ c∗, mientras que, si k(0) > k∗,entonces k(t) ↓ k∗ y c(t) ↓ c∗. Esta senda de equilibrio esidéntica a la senda de crecimiento óptima.

94/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa regla dorada

k(t)

c(t)

k(t) = 0

c(t) = 0

k∗ kRD

E1

E2

95/158

Modelo de Ramsey sin cambio tecnológicoLa regla dorada

mxk∗

c∗ = f(k∗) − (n+ δ)k∗ (74)

La solución es:f′(kRD) = n+ δ

Comparando con Estado Estacionario:

f′(k∗) = ρ+ δ

Por el supuesto 4 se tiene que ρ > n, por lo que kRD > k∗.

96/158

Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoLa estructura básica del modelo

Proposición 10

El crecimiento balanceado en el modelo neoclásico requiere queasintóticamente todo el cambio tecnológico sea sólo aumentador detrabajo y la elasticidad de sustitución intertemporal, 1/εu(c(t)), seaconstante εu.

98/158


c(t)

c(t)=

1

εu(c(t))(r(t) − ρ) (75)

Si r(t)→ r∗, entonces c(t)c(t) → gc sólo será posible si εu(c(t)) = εu.

Para ello se asumen preferencias CRRA:

u(c(t)) =c(t)1−θ − 1

1− θ(76)

Donde εu(c(t)) = θ.

99/158


mxc(t)≥0,a(t)≥0

V(t) =∫ ∞

0exp(−(ρ− n)t)

c(t)1−θ − 1

1− θdt (77)

Sujeto a:a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t)

DondeA (0) > 0. Ecuación de Euler:

c(t)

c(t)=

1

θ(r(t) − ρ) (78)

100/158


c(t) =C(t)

A(t)L(t)≡

c(t)

A(t)(79)

Aplicando logaritmos y derivando respecto al tiempo tenemos:

˙c(t)

c(t)=

c(t)

c(t)− g (80)

Ecuación de Euler con cambio tecnológico:

˙c(t)

c(t)=

1

θ(r(t) − ρ− θg) (81)

101/158


Teniendo en cuenta k(t) = K(t)A(t)L(t) =

k(t)A(t) , aplicando logaritmos y

derivando respecto al tiempo se tiene:

˙k(t) = f(k(t)) − c(t) − (n+ g+ δ)k(t) (82)


lımt→∞

[exp

(−∫ t

0[f′(k(t)) − δ− g− n]ds

)× k(t)

]= 0 (83)

102/158

Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoAnálisis del estado estacionario

En estado estacionario ˙c(t) = 0, por tanto:

r = f′(k∗) − δ ⇒ f′(k∗) = ρ+ δ+ θg (84)

También se cumple que ˙k(t) = 0, entonces:

c∗ = f(k∗) − (n+ g+ δ)k∗ (85)

Cuando ˙c(t) = 0, se cumple:

c(t)

c(t)= g (86)

103/158

Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoGobierno financiado con impuestos de suma alzada

• Gasto público total P(t), en términos per cápita es p(t). Sefinancia con impuestos de suma alzada per cápita, τ(t).

• Presupuesto balanceado, p(t) = τ(t).

• Con ello la restricción de los hogares per cápita es:

a(t) = (r(t) − n)a(t) + w(t) − c(t) − τ(t) (87)

104/158


El equilibrio en esta economía en términos per cápita eficientes es:

˙c(t)

c(t)=

1

θ(f′(k(t)) − δ− ρ− θg) (88)

˙k(t) = f(k(t)) − c(t) − (n+ δ+ g)k(t) − τ(t) (89)

Condición de transversalidad (incorporando ecuación 84):

lımt→∞

[exp

(−∫ t

0[ρ− (1− θ)g− n]ds

)× k(t)

]= 0 (90)

105/158


k(t)

c(t)

˙k1(t) = 0

˙k2(t) = 0

˙c(t) = 0

k∗

E1

E2

106/158

Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoChoque permanente

k(t)

c(t)

˙k1(t) = 0

˙k2(t) = 0

˙c(t) = 0

k∗

E1

E2

107/158

Modelo de Ramsey con cambio tecnológicoChoque temporal

k(t)

c(t)

˙k1(t) = 0

˙k2(t) = 0

˙c(t) = 0

k∗

E1

E2

108/158

Modelo AKLa estructura básica del modelo

Preferencias:

V(t) =∫ ∞

0exp−(ρ−n)t

c(t)(1−θ) − 1

1− θdt (91)

Restricción presupuestaria:

a(t) = (r(t) − n)a(t) − c(t) (92)

Condición de no Ponzi:

lımt→∞

[exp

(−∫ t

0(r(ν) − n)dν

)× a(t)

]≥ 0 (93)

110/158



lımt→∞

[exp

(−∫ t

0(r(ν) − n)dν

)× a(t)

]= 0 (94)

Ecuación de Euler:c(t)

c(t)=

1

θ(r(t) − ρ) (95)

111/158


El sector de bienes finales no cumple con los supuestos 1 y 2 vistosanteriormente:

Y(t) = AK(t) (96)

Con A > 0 y K(0) > 0. Note que no hay L(t) en la función deproducción. Luego, no hay ganancias laborales en la ecuación 92. Entérminos per cápita, la ecuación 96 es:

y(t) ≡Y(t)

L(t)= Ak(t) (97)

112/158


La ecuación 97 tiene una serie de propiedades:

• La producción es sólo una función del capital, por lo que no hayretornos decrecientes (no se cumple que f′′(·) < 0).

• Las condiciones de Inada no se cumplen. En particular:

lımk→0

f′(k) = A <∞

lımk→∞

f′(k) = A > 0

113/158


La maximización de beneficios por el lado de las empresas sigue lamisma lógica de siempre. Por tanto, la ecuación de demanda decapital es:

r(t) = f′(k) − δ (98)

Reemplazando la productividad marginal del capital en la ecuación98, se tiene:

r = A− δ (99)

114/158

Modelo AKEquilibrio

Definición 6

Un equilibrio competitivo es una senda de consumo per cápita, ratiocapital-trabajo, salario real y tasa de alquiler del capital,[c(t), k(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que el hogar representativo maximizala ecuación 91, sujeto a las ecuaciones 92 y 94, dado un ratio decapital-trabajo inicial, k(0), y precio de los factores [w(t), r(t)]∞t=0,tal que w(t) = 0 para todo t y r(t) está dada por la ecuación 99.

115/158

Modelo AKEquilibrio

Asumimos equilibrio en el mercado de capital, a(t) = k(t), y seconsideran las ecuaciones 92, 95, 94 y 99, además de w(t) = 0. Conello se llega a:

k(t) = (A− δ− n)k(t) − c(t) (100)

c(t)

c(t)=

1

θ(A− δ− ρ) (101)

lımt→∞[exp (−(A− δ− n)t) × k(t)] = 0 (102)

116/158

Modelo AKEquilibrio

• Note que el lado derecho de la ecuación 99 es constante, lo queimplica que la tasa de crecimiento del consumo per cápita(ecuación 101) también lo es. Habrá crecimiento positivo siA− δ− ρ > 0.

• El crecimiento del consumo per cápita es, por tanto,independiente del nivel de stock de capital per cápita, k(t).

• Ello implica que no hay dinámica transicional en el modelo: si seempieza en cualquier k(0) > 0, el consumo per cápitainmediatamente empieza a crecer a una tasa constante.

117/158

Modelo AKEquilibrio

Integrando la ecuación 101 se tiene:

c(t) = c(0)exp( 1

θ(A− δ− ρ)t

)(103)

Para crecimiento de largo plazo:

A > ρ+ δ > (1− θ)(A− δ) + θn+ δ (104)

Se puede demostrar que:

k(t) = k(0)exp( 1

θ(A− δ− ρ)t

)(105)

118/158

Modelo AKCaracterización del equilibrio

Hallando la tasa de ahorro del modelo:

s =K(t) + δK(t)

Y(t)=

kk + n+ δ

A= ...

... =A− ρ+ θn+ (θ− 1)δ

θA(106)

Tasa de ahorro

La tasa de ahorro sigue siendo constante, como en Solow, pero noexógena, sino dependiente de las preferencias y tecnología delmodelo.

119/158


Proposición 11

Considere una economía AK con un hogar representativo conpreferencias dadas por la ecuación 91 y la tecnología de produccióndada por la ecuación 95. Suponga que la condición 104 se mantiene,entonces existe una única senda de equilibrio en la que c(t), k(t) ey(t) crecen a una misma tasa g∗ = (A− δ− ρ)/θ > 0, empezandodesde cualquier nivel de stock de capital per cápita k(0) > 0, conuna tasa de ahorro dada por la ecuación 106.

120/158


Proposición 12

Considere una economía AK con un hogar representativo conpreferencias dadas por la ecuación 91 y una tecnología de produccióndada por la ecuación 95. Suponga que la condición 104 se mantiene.Entonces, el único equilibrio competitivo es Pareto-Óptimo.

121/158

Crecimiento endógeno: capital humanoLa estructura básica del modelo

Preferencias del hogar representativo:

V(t) =∫ ∞

0exp−ρt

c(t)(1−θ) − 1

1− θdt (107)

Para simplificar el análisis, no hay crecimiento poblacional, n = 0.

a(t) = r(t)a(t) + w(t)h(t) − c(t) − ih(t) (108)

Siendo ih(t) la inversión en capital humano. El capital humanoevoluciona así:

h(t) = ih(t) − δhh(t) (109)

Con δh siendo la depreciación del capital humano. 123/158


La condición de No Ponzi es:

lımt→∞

[exp

(−∫ t

0(r(ν))dν

)× a(t)

]≥ 0 (110)

Ahora la función de producción es:

Y(t) = F (K(t),H(t)) (111)

Donde H(t) son las unidades de trabajo eficiente o capital humano.La funciónF sí satisface los supuestos 1 y 2.

124/158


• Se considera el equilibrio del mercado de capital a(t) = k(t),donde δk es la tasa de depreciación del capital físico.

• El hogar elige sendas óptimas de consumo, inversión de capitalhumano y activos o ahorros.

• Las demandas de mano de obra y de trabajo son las mismas desiempre:

R(t) = r(t) + δk = f′(k(t)) (112)

w(t) = f(k(t)) − k(t)f′(k(t)) (113)

Siendo el ratio capital-trabajo efectivo calculado de la siguientemanera:

k(t) ≡K(t)

H(t)(114)

125/158


Proposición 13

Un equilibrio competitivo en esta economía consiste en sendas deconsumo per cápita, ratio capital-trabajo efectivo, salario real y tasade alquiler de capital, [c(t), k(t),w(t),R(t)]∞t=0, tal que el hogarrepresentativo maximiza la ecuación 107 sujeto a las ecuaciones 108,109 y 110, dado un ratio inicial de capital-trabajo efectivo, k(0) > 0 yprecios de los factores [w(t),R(t)]∞t=0 que satisfacen las ecuaciones112 y 113.

126/158

Crecimiento endógeno: capital humanoMaximización del consumidor

H (t) =c(t)1−θ − 1

1− θ+ μa(t)[r(t)a(t) + w(t)h(t) − c(t) − ih(t)]

+μh(t)[ ih(t) − δhh(t)] (115)

Tipos de variable

El problema contiene dos variables de control (c(t), ih(t)), dosvariables de estado (a(t), h(t)) y dos variables de coestado(μa(t), μh(t)).

127/158


Condiciones de primer orden para variables de control:

∂H (t)

∂c(t)= 0 ⇒ μa(t) = u′(c(t)) (116)

∂H (t)

∂ih(t)= 0 ⇒ μa(t) = μh(t) (117)

128/158


Condiciones de primer orden para variables de estado:

∂H (t)

∂a(t)= −μa(t)+ (ρ− n)μa(t)) ⇒ r(t)μa(t) = −μa(t)+ (ρ− n)μa(t) (118)

∂H (t)

∂h(t)= −μh(t)+(ρ−n)μh(t)) ⇒ w(t)μa(t)−δhμh(t) = −μh(t)+(ρ−n)μh(t)

(119)

129/158


Condiciones de primer orden para variables de coestado:

∂H (t)

∂μa(t)= a(t) ⇒ a(t) = r(t)a(t)+w(t)h(t)−c(t)− ih(t) (120)

∂H (t)

∂μh(t)= h(t) ⇒ h(t) = ih(t) − δhh(t) (121)

130/158

Crecimiento endógeno: capital humanoEstado estacionario

Combinando las CPO’s (ecuación 117, 118 y 119) con las demandas defactores (ecuaciones 112 y 113) se llega a lo siguiente:

f′(k(t)) − δk = f(k(t)) − k(t)f′(k(t)) − δh (122)

∀ t.

k de largo plazo

Habrá un k(t) = k∗ que satisface la ecuación 122.

131/158

Crecimiento endógeno: capital humanoSenda de crecimiento balanceada

Proposición 14

Considere una economía con capital físico y humano, conpreferencias dadas por las ecuaciones 107 y la tecnología deproducción dada por 111. Sea un k∗ que satisface:

f′(k∗) − δk = f(k∗) − k∗f′(k∗) − δh (123)

Suponga que f′(k∗) > ρ+ δk > (1− θ)(f′(k∗) − δk) + δk. En estaeconomía existe una única senda de equilibrio en la que c(t), k(t),h(t) e y(t) crecen a una misma tasa constanteg∗ = (f′(k∗) − δk − ρ)/θ > 0, empezando desde cualquiercondición inicial. La participación del capital en el ingreso nacional esconstante y menor que 1 en todos los períodos. 132/158

Crecimiento endógeno: capital humanoInterpretación como un modelo AK

Especificamos una forma funcional:

Y(t) = AK(t)αH(t)1−α (124)

Además, cuando k(t) = k∗, se satisface:

f′(k(t)) − δk = f(k(t)) − k(t)f′(k(t)) − δh (125)

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La ecuación 124 en términos per cápita efectivos:

y(t) = f(k) = Akα (126)

Donde k(t) = K(t)H(t) . Incorporando la ecuación 126 en la ecuación 125,

y asumiendo que δk = δh, se tiene:

αAk(t)α−1 = Ak(t)α − αAk(t)

k(t) =K(t)

H(t)=

α

1− α(127)

En la senda de crecimiento balanceada, el ratio capital-trabajoefectivo debe ser constante. 134/158


Si incorporamos la ecuación 127, reemplazando para H(t), en laecuación 124 se llega a:

Y(t) = AK(t) (128)

Donde A = A(1−αα

)(1−α). El modelo es equivalente al modelo AK.

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La ecuación de Euler es:

c(t)

c(t)=

1

θ

[α

(K

H

)−(1−α)− δ− ρ

](129)

Incorporando lo obtenido en 127:

c(t)

c(t)=

1

θ

[Aαα(1− α)1−α − δ− ρ

]= g∗ (130)

Se puede comprobar que g∗ es la tasa de crecimiento de c(t), k(t),h(t) e y(t).

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Crecimiento endógeno: capital humanoRestricción de no negatividad sobre la inversión

Si partimos deK(0)

H(0)=

α

1− α

Y suceden desvíos en algún capital (físico o humano), entonces unstock debe aumentar y el otro disminuir para que suma se mantenga(K + H).

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• Por tanto, se debe asumir que la inversión es reversible: unaunidad de capital físico puede ser convertida en capital humanoy viceversa. Supuesto no realista.

• Definimos inversión en capital humano (Ih) y físico (Ik):

K(t) = Ik(t) − δkK(t)

H(t) = Ih(t) − δhH(t)

• Si la inversión es no reversible, entonces:

Ik(t) ≥ 0

Ih(t) ≥ 0 138/158


• Si:K(0)

H(0)<

α

1− α

H es inicialmente abundante respecto a K: ↓ H(t) y ↑ K(t).

• H(t) no puede desinvertirse, por lo que la restricción es activa:Ih(t) = 0.

• Esto implica que:

H(t) = H(0)exp−δt

• El stock de capital humano va a disminuir en el tiempo debido ala depreciación.

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• El stock de capital físico (y por tanto la producción) crece, peroesa tasa de crecimiento disminuye en el tiempo hasta llegar ag∗.

• Relación entre KH y la tasa de crecimiento del producto:

imbalance effect.

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• Si fuera al revés:K(0)

H(0)>

α

1− α

• En este caso la restricción activa es Ik(t) = 0 y es K el que crecea una tasa −δ.

• El stock de capital humano (y por tanto la producción) crecepara poder ajustar el ratio, aunque esta tasa de crecimientodisminuye hasta llegar a g∗.

• Acá también imbalance effect.

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k(t)/h(t)

y(t)/y(t)

K∗/H∗ = α/(1− α)

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k(t)/h(t)

y(t)/y(t)

K∗/H∗ = α/(1− α)

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Crecimiento endógeno: externalidadesEstructura básica del modelo

• Economía sin crecimiento poblacional.

• El lado de la producción consiste de un conjunto heterogéneode firmas.

• La función de producción de cada firma i-ésima, i ∈ [0, 1], es:

Yi(t) = F (Ki(t),A(t)Li(t)) (131)

• Ki(t) y Li(t) son el capital y el trabajo alquilado por la firmai-ésima. A(t) es común para todas las firmas.

• F satisface los supuestos 1 y 2.

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• ∫ 1

0Ki(t)di = K(t)

∫ 1

0Li(t)di = L

• Las firmas son competitivas en todos los mercados.

• Los precios de los factores productivos están dados por susproductividades marginales:

w(t) =∂F (K(t),A(t)L)

∂L

R(t) =∂F (K(t),A(t)L)

∂K(t)146/158


• Aunque la firma tome A(t) como dado, este stock deconocimientos se mueve endógenamente (spillovers).

A(t) = BK(t) (132)

• Supuesto motivado por learning-by-doing. Grandes inversionesincrementan la experiencia en el proceso de producción,haciendo el proceso productivo, en sí mismo, más productivo.

• Con 131 y 132, la función de producción agregada de estaeconomía cuenta con retornos crecientes a escala.

Y(t) = F (K(t),BK(t)L)147/158


El ratio producto-capital es:

Y(t)

K(t)= F (1,BL) ≡ f(L)

Luego, el producto per cápita se puede escribir de la siguientemanera:

y(t) ≡Y(t)

L=

Y(t)

K(t)

K(t)

L= k(t)f(L)

Donde k(t) ≡ K(t)/L.

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El precio de los factores puede ser expresado en términos de estafunción f(·):

w(t) = K(t)f′(L) (133)

R(t) = R = f(L) − Lf′(L) = r+ δ (134)

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Crecimiento endógeno: externalidadesEquilibrio

Definición 7

Un equilibrio competitivo es definido como sendas de consumo ycapital de la economía, [C(t), K(t)]∞t=0, que maximiza la utilidad delhogar representativo; y salarios y tasa de alquiler, [w(t),R(t)]∞t=0,que equilibran los mercados.

150/158


La ecuación de Euler es:

g∗C =1

θ(f(L) − Lf′(L) − δ− ρ) (135)

Se asume que:f(L) − Lf′(L) − δ− ρ > 0 (136)

Para que el crecimiento sea positivo. Además:

(1− θ)(f(L) − Lf′(L) − δ) < ρ (137)

Para evitar violar la condición de transversalidad.151/158


Proposición 15

Considere un modelo a la Romer, con externalidades sobre el capitalfísico. Suponga que las condiciones 136 y 137 se satisfacen. Entonces,existe una única senda de equilibrio, dado un stock de capital inicialK(0) > 0. Además, el capital, la producción y el consumo crecen auna tasa constante dada por la ecuación 135.

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• La tecnología de esta economía evoluciona endógenamente,como se ve en la ecuación 132.

• La tasa de crecimiento de la economía es endógena, aúncuando ninguna de las firmas invierta intencionalmente en I+Do adquiera nueva tecnología.

• Población debe ser constante debido al efecto escala. Si no lofuera, no se podría hablar de una senda de crecimientobalanceada y de una tasa de crecimiento constante.

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Crecimiento endógeno: externalidadesAsignación Pareto Óptima

Problema de planificador social consiste en maximizar la utilidad delconsumidor sujeto a la ecuación de evolución del capital per cápita:

k(t) = f(L)k(t) − c(t) − δk(t)

El Hamiltoniano es:

H =c(t)1−θ − 1

1− θ+ μ(t)[ f(L)k(t) − c(t) − δk(t)]

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Con ello se obtienen las siguientes condiciones de primer orden:

∂H (t)

∂c(t)= 0 ⇒ μ(t) = u′(c(t)) (138)

∂H (t)

∂k(t)= −μ(t) + ρμ(t)) ⇒ μ(t)

(f(L) − δ

)= −μ(t) + ρμ(t) (139)

∂H (t)

∂μ(t)= k(t) ⇒ k(t) = f(L)k(t) − c(t) − δk(t) (140)


lımt→∞[exp(−ρt) × k(t)] = 0

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De aquí se obtiene la ecuación de Euler:

gsC =1

θ(f(L) − δ− ρ) (141)

Obsérvese que gsC > g∗C .

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Proposición 16

En una economía a la Romer como la descrita, con externalidadessobre el capital físico, el equilibrio descentralizado es Paretosubóptimo y crece a una menor tasa que aquella asignación quemaximiza la utilidad del hogar representativo.

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¡Gracias!Cualquier consulta/duda a:

[email protected]

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