TP III – Unidade 10Semelhança – Revestimento e

Preenchimento

Gestar II – Matemática

Formadora – Mirtes Silveira e Silva

Cursista – Rogério Ferreira dos Santos

rogerio.ferreira.santos@gmail.com

silveiraesilva2@gmail.com

Semelhança

• Em geometria, duas figuras dizem-se semelhantes se uma se pode obter a partir da outra através de isometrias e homotetias. Como tanto as isometrias como as homotetias preservam os ângulos, duas figuras semelhantes têm a mesma forma, diferindo apenas pela sua posição e tamanho

SemelhançaIsometria

• Isometria é uma transformação geométrica que, aplicada a uma figura geométrica, mantém as distâncias entre pontos. Ou seja, os segmentos da figura transformada são geometricamente iguais aos da figura original, podendo variar a direção e o sentido. Os ângulos mantêm também a sua amplitude.

• As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões.

SemelhançaIsometria - Rotações

• Em álgebra linear e geometria, uma rotaçãoé o tipo de uma transformação de um sistema de coordenadas.

SemelhançaIsometria - Translações

• Translação é o movimento que um objeto realiza de um ponto a outro. Ele é o deslocamento paralelo em linha reta de um objeto ou figura, em função de um vetor.

• Na simetria de translação a figura "desliza" sobre uma reta, mantendo se inalterada. Podemos citar como exemplo de translação, elevadores, escadas rolantes e até mesmo escorregadores

SemelhançaIsometria - Reflexões

• Em Matemática, reflexãoé uma transformação geométrica que envolve um ponto a ser refletido e uma reta, transformando o ponto num outro simétrico com relação ao eixo fornecido.

SemelhançaHomotetias

• Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que:

OPkOP .

SemelhançaHomotetia

• Uma homotetia preserva:– ângulos

– razões entre segmentos de reta

– segmentos e linhas são transformados em segmentos e linhas paralelos aos originais

Poliedros Regulares

• Polígono Regular – Polígono que tem os lados todos iguais e os ângulos geometricamente iguais.

• Poliedro – Sólido cujas faces são todas planas.

• Poliedro Regular – Poliedro cujas faces são polígonos regulares geometricamente iguais e o número e a disposição desses polígonos em torno de cada vértice são iguais.

Poliedros Regulares• Os cinco Poliedros Regulares e as suas planificações

Exercícios Complementares

• Utilizando homotetia, construa um dos cinco Poliedros Platônicos, aumentando-os e colorindo-os.

Revestimento e Preenchimento

• Aproveitando a aula anterior, onde planificamos uma piscina, vamos utilizar o conteúdo desta aula e, agora em uma piscina retangular, vamos revestir de ladrilhos.

Revestimento e Preenchimento

• Vamos estudar:

– Áreas

– Volumes

– Proporção

– Semelhança

Exercícios Complementares

• Escolha o ladrilho a ser utilizado no fundo e laterais de sua piscina.

• Calcule a área das laterais e de fundo da piscina.

• Calcule a área dos ladrilhos a serem utilizados.

• Quantos ladrilhos serão necessários na:– Largura da piscina,

– Comprimento da piscina,

– No fundo da piscina.

Exercícios Complementares

• Qualquer que seja o ladrilho escolhido, o preço de custo do metro quadrado é R$ 17,40, calcule:– O total gasto para ladrilhar a piscina.

– Se você escolheu vários tipos de ladrilhos, calcule quanto gastou em cada um deles.

• Se você gasta R$ 0,05 por metro linear de rejunte, quanto gastaria para rejuntar toda sua piscina?

Curiosidades

retângulo áureoproporção áurea

tamanho do quadrado para construção do módulo

decagonal

módulo octogonal

módulo hexagonal

módulo pentagonal

módulo triangular e

quadrangular

peça de conexão

Um pouco de História

OS CINCO SÓLIDOS PLATÔNICOS

BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÔNICOS

A Humanidade, na sua história, estudou a Matemática emordem inversa à que foi seguida nas suas escolas, ou quase.De facto a numeração decimal é a primeira coisa que seaprende, mal se vai à escola, e foi, pelo contrário, umatardia conquista de uma humanidade já doutíssima emgeometria. Poder-se-ia dizer que a geometria é em váriosmilhares de anos mais velha do que a Aritmética. Os gregostinham um verdadeiro culto pela geometria, que elevaram aum alto grau de perfeição. Consideravam-na uma ciência quehabitua a raciocinar, que refina a inteligência; diziam pelocontrário que não era preciso estudá-la com fins práticos,mas para "a honra da mente Humana”.

BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÔNICOS

Platão (sec II a.C.9), o grande filósofo aluno de Sócrates,foi o primeiro matemático a demonstrar que existemapenas cinco poliedros regulares: o cubo, tetraedro,octaedro dodecaedro e o icosaedro. Para Platão o universoera formado por um corpo e uma alma ou inteligência. Namatéria havia porções limitadas por triângulos, formando-seelementos que diferem entre si pela natureza da forma dassuas superfícies periféricas. Se forem quadrados temos ocubo- o elemento da terra. Se forem triângulos, formandoum tetraedro, teremos o fogo, cuja natureza penetranteestá simbolizada na agudeza dos seus vértices.

BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÔNICOS

O ar é formado por octaedros e a água de isocaedros.Platão admitia ainda que por intervenção inteligente, uns setransformavam nos outros à exceção da terra, que setransforma em si própria. O dodecaedro cheio de harmoniasimbolizava o próprio universo. No entanto ainda existemdúvidas se o teorema" só há cinco sólidos platônicos" sedeve a Platão ou a Pitágoras. Mas provar-se-ia mais tardeque este teorema era falso e Cauchy provou que há novepoliedros regulares e que não existem mais. o erro doteorema de Platão ou de Pitágoras reside no facto de ospoliedros regulares por eles considerados não seremobrigatoriamente convexos.

BREVE INTRODUÇÃO HISTÓRICA AOS SÓLIDOS PLATÔNICOS

Séculos mais tarde Kepler descobriu o primeiro poliedroregular côncavo que é o dodecaedro estrelado de facesregulares que resulta do prolongamento das faces dododecaedro. Dois séculos mais tarde ,Louis Poinsotdescobriu três novos poliedros regulares não convexos. Naatualidade numerosos matemáticos, artistas plásticos,designers e arquitetos entusiasmam-se com as propriedadese aplicações dos poliedros propondo várias formas de osconstruir e também de os representar em computador.

Site para Enriquecer o Conhecimento

•caleidociclo

•http://video.google.com/videosearch?sourceid=navclient&hl=pt-

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•Construção de polígonos regulares, dado um lado

•http://mat.absolutamente.net/cg_p_l.html

•Poliedros de Kepler-Poinsot

•http://www.atractor.pt/mat/Polied/fr-polied.htm

•Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais

•http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-areas/geom-

areas-poli.htm