Universidade do Sul de Santa CatarinaPalhoaUnisulVirtual2006Tpicos de Matemtica Elementar IDisciplina na modalidade a distnciatopicos_de_matematica_elementar_I.indb 1 7/7/2006 15:52:48topicos_de_matematica_elementar_I.indb 2 7/7/2006 15:54:09ApresentaoParabns! voc est recebendo o livro didtico da disciplina de Matemtica Bsica.Este material foi construdo especialmente para este curso, levando em considerao o seu perfl e as necessidades da sua formao. Como os materiais a cada nova verso recebero melhorias, pedimos que voc encaminhe suas sugestes via professor tutor ou monitor sempre que achar oportuno.Recomendamos, antes de voc comear os seus estudos, que voc leia com ateno o Manual do Aluno e do curso afm de receber informaes importantes para sua boa produtividade no curso.E tenha em mente: voc no esta s nos seus estudos, conte com o sis-tema tutorial da UnisulVirtual sempre que precisar de ajuda ou de alguma orientao.Desejamos que voc tenha xito neste curso.Equipe UnisulVirtualtopicos_de_matematica_elementar_I.indb 3 7/7/2006 15:54:09topicos_de_matematica_elementar_I.indb 4 7/7/2006 15:54:10Diva Marlia FlemmingElisa Flemming LuzChristian WagnerPalhoaUnisulVirtual2006Design instrucionalLuciano GamezKarla Leonora Dahse Nunes2 edio revista e atualizadaTpicos de Matemtica Elementar ILivro didticotopicos_de_matematica_elementar_I.indb 5 7/7/2006 15:54:10 Copyright UnisulVirtual 2006 Nenhuma parte desta publicao pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prvia autorizao desta instituio. 510 F62Flemming, Diva Marlia Tpicos de matemtica elementar I : livro didtico / Diva Marlia Flemming,Elisa Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Luciano Gamez, Karla Leonora Dahse Nunes. 2. ed. rev. e atual. Palhoa : UnisulVirtual, 2006. 246 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 85-60694-85-4 ISBN 978-85-60694-85-3 1. Matemtica. 2. Clculo. I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, Christian.III. Gamez, Luciano. IV. Nunes, Karla Leonora Dahse. III. Ttulo. Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca Universitria da Unisul Crditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educao Superior a Distncia Campus UnisulVirtual Rua Joo Pereira dos Santos, 303 Palhoa - SC - 88130-475 Fone/fax: (48) 3279-1541 e 3279-1542 E-mail: cursovirtual@unisul.br Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul Gerson Luiz Joner da Silveira Vice-Reitor e Pr-Reitor Acadmico Sebastio Salsio Heerdt Chefe de gabinete da Reitoria Fabian Martins de Castro Pr-Reitor Administrativo Marcus Vincius Antoles da Silva Ferreira CampusTubaroeArarangu Diretor:ValterAlvesSchmitzNeto Diretora adjunta: Alexandra Orseni Campus Grande Florianpolis e Norte da Ilha Diretor: Ailton Nazareno Soares Diretora adjunta: Cibele Schuelter Campus UnisulVirtual Diretor: Joo Vianney Diretora adjunta: Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Administrao RenatoAndrLuz Valmir Vencio Incio Bibliotecria Soraya Arruda Waltrick Coordenao dos Cursos Adriano Srgio da Cunha Ana Luisa Mlbert Ana Paula Reusing Pacheco Charles Cesconetto Diva Marlia Flemming Elisa Flemming Luz Itamar Pedro Bevilaqua Janete Elza Felisbino Jucimara Roesler Lauro Jos Ballock Luiz Guilherme BuchmannFigueiredo Luiz Otvio Botelho Lento MarceloCavalcanti MauriLuizHeerdt MauroFaccioniFilho Nlio Herzmann OneiTadeuDutra PatrciaAlberton Patrcia Pozza Rafael Pete da Silva Raulino Jac Brning Design Grco Cristiano Neri Gonalves Ribeiro (coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Evandro Guedes Machado Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Pedro Paulo Alves Teixeira Rafael Pessi Vilson Martins Filho Equipe Didtico-Pedaggica Angelita Maral Flores CarmenMariaCiprianiPandini Carolina Hoeller da Silva Boeing Cristina Klipp de Oliveira DanielaEraniMonteiroWill Dnia Falco de Bittencourt Elisa Flemming Luz Enzo de Oliveira Moreira Flvia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes LeandroKingeskiPacheco LigiaMariaSoufenTumolo Mrcia Loch Patrcia Meneghel Silvana Denise Guimares Tade-Ane de Amorim Vanessa de Andrade Manuel Vanessa Francine Corra Viviane Bastos Viviani Poyer Logstica de Encontros Presenciais Caroline Batista (Coordenadora) Aracelli Araldi Graciele Marins Lindenmayr Jos Carlos Teixeira Letcia Cristina Pinheiro Knia Alexandra Costa Hermann Marcia Luz de Oliveira Priscila Santos Alves Logstica de Materiais Jeferson Cassiano Almeida daCosta (coordenador) Eduardo Kraus Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (coordenador) Adriana Silveira CarolineMendona EdisonRodrigoValim Francielle Arruda Gabriela Malinverni Barbieri Gislane Frasson de Souza Josiane Conceio Leal Maria Eugnia Ferreira Celeghin Simone Andra de Castilho Vincius Maycot Seram Produo Industrial e Suporte Arthur Emmanuel F. Silveira (coordenador) Francisco Asp Projetos Corporativos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Secretaria de Ensino a Distncia Karine Augusta Zanoni (secretria de ensino) Djeime Sammer Bortolotti Carla Cristina Sbardella Grasiela Martins James Marcel Silva Ribeiro Lamuni Souza Liana Pamplona Maira Marina Martins Godinho Marcelo Pereira Marcos Alcides Medeiros Junior Maria Isabel Aragon Olavo Lajs Priscilla Geovana Pagani Silvana Henrique Silva Secretria Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Jnior (coordenador) Ricardo Alexandre Bianchini Rodrigo de Barcelos Martins Edio Livro Didtico Professors Conteudistas Diva Marlia Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner Design Instrucional Luciano Gamez Karla Leonora Dahse Nunes Projeto Grco e Capa Equipe Unisul Virtual Ilustraes Ricardo Manhaes (TED e MED) Diagramao Daniel Blass Fernando Roberto Dias Zimmermann Reviso Ortogrca Dbora OuriquesSumrioApresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Palavras dos professores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Plano de estudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11UNIDADE1Conjuntos Numricos e operaes elementares . . . . . . . .15UNIDADE2Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49UNIDADE3Funes do primeiro grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71UNIDADE4Funes do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91UNIDADE5Funes polinomiais e racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111UNIDADE6Funes exponencial e logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137UNIDADE7Funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Referncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Respostas e comentrios das atividades de auto avaliao. . . . . . . . . . . . 209Para destacarTeorema de Pitgoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245topicos_de_matematica_elementar_I.indb 7 7/7/2006 15:54:10topicos_de_matematica_elementar_I.indb 8 7/7/2006 15:54:10Palavras dos professoresPrezado participante do cursoNeste texto apresentamos contedos de Matemtica relativos disciplina de Tpicos de Matemtica Elementar I. Todos os conceitos apresentados so considerados bsicos para a sua formao inicial e so discutidos a partir do ensino fundamental.Vamos ampliar idias objetivando-se aten-der as especifcidades do projeto pedaggico do curso que preconiza a insero sistemtica de elementos da Histria da Matemtica.Considerando-se que o mundo atual exige a formao de um profssional com competncia e habilidades para atuar num contexto informatizado, no decorrer deste texto vamos incentiv-lo e orient-lo para o uso de dife-rentes recursos tecnolgicos.No ambiente virtual de aprendizagem, voc ter a oportunidade de desenvolver atividades e leituras objetivando-se a abertura de um olhar interdisciplinar.Especifcamente, poder refetir sobre aspectos didticos do processo ensino-aprendizagem das funes elementares no contexto da Educao Bsica.Considerando que estamos trabalhando no contexto da Educao a Dis-tncia, adotamos uma linguagem coloquial na parte textual, mostrando sempre as diferentes linguagens utilizadas pela matemtica.Essa escolha propiciar o uso de diferentes representaes semiticas dos objetos matemticos.Para fnalizar, gostaramos de convid-lo para ingressar num maravilhoso mundo da educao matemtica.Lembre-se sempre que, no decorrer desta caminhada, a relao didtica ser dinmica e virtual, portanto, esta-remos sistematicamente ao seu lado, basta que a porta esteja aberta.Vamos l?Profa. Diva Marlia Flemming, Dra.Profa. Elisa Flemming Luz, Dra.Prof. Christian Wagner, Msc.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 9 7/7/2006 15:54:10topicos_de_matematica_elementar_I.indb 10 7/7/2006 15:54:11Plano de estudoO plano de estudos visa orientar voc no desenvolvimento da Disciplina. Ele possui elementos que o ajudaro a conhecer o contexto da Disciplina e a organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta ins-trumentos que se articulam e se complementam, portanto,a construo de competncias se d sobre a articulao de metodologias e por meio das diversas formas de ao/mediao.So elementos desse processo: Livro didtico. O AVA (Ambiente virtual de Aprendizagem). Atividades de avaliao (complementares, a distncia e presenciais).EmentaConjuntos numricos. Operaes elementares. Funo: conceitos, pro-priedades, caractersticas e representaes grfcas. Funes elementares: polinomiais, exponenciais, logartmicas e trigonomtricas.Carga horria60 horas 4 crditostopicos_de_matematica_elementar_I.indb 11 7/7/2006 15:54:11ObjetivosGeral: Discutir e refetir conceitos bsicos da Matemtica, oportunizando condies para: investigar, observar, analisar, delinear concluses, testando-as na soluo de problemas.Especfcos: Compreender os conceitos, procedimentos e estratgias matemti-cas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formao geral; Analisar objetos de estudo a partir de diferentes representaes semiticas; Aplicar conhecimentos matemticos nas situaes do dia-a-dia, apoiando no processo de tomada de decises; Desenvolver a capacidade de raciocnio lgico, crtico e Analtico; Desenvolver a capacidade de anlise e resoluo de problemas; Utilizar corretamente procedimentos e ferramentas tecnolgicas na resoluo de problemas; Desenvolver o esprito de equipe estimulando a pesquisa.Contedo programtico/objetivosVeja, a seguir, as unidades que compem o Livro Didtico desta Disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que voc dever alcanar ao fnal de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada unidade defnem o conjunto de conhecimentos que voc dever possuir para o desenvolvimento de habilidades e competncias necessrias sua formao.Unidades de estudoUNIDADE CONTEDO CARGA HORRIA (horas-aula)1 Conjuntos numricos e operaes elementares 82 Funes 83Funes do primeiro grau 84 Funes do segundo grau 105 Funes polinomiais e racionais 86 Funes exponencial e logartmica 87 Funes trigonomtricas 10topicos_de_matematica_elementar_I.indb 12 7/7/2006 15:54:11Unidade 1 Conjuntos numricos e operaes elementaresNesta unidade, apresenta-se uma reviso dos conjuntos numricos, ampliando-se as idias iniciais com conceitos e propriedades operatrias.O estudo desta unidade permite, tambm, iniciar o delineamento da pr-tica docente no contexto da educao bsica.Unidade 2: FunesNesta unidade, as funes so apresentadas como objetos matemticos e como elementos fundamentais para a resoluo de problemas do dia-a-dia.A anlise das representaes grfcas permitir o desenvolvimento de hbitos de boa leitura e visualizao de propriedades e caractersticas dos diferentes tipos de funes.Unidade 3: Funes do primeiro grauAs funes do primeiro grau sero amplamente discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura grfca, a modelagem de problemas prticos, a resoluo de equaes e sistemas de equaes.Tambm ter a possibili-dade de visualizar situaes didticas em diferentes ambientes e nveis de ensino.Unidade 4: Funes do segundo grauAs funes do segundo grau sero discutidas possibilitando aspectos interdisciplinares na modelagem de problemas de Fsica e outras reas.A visualizao das propriedades e caractersticas das representaes grfcas oportuniza uma nova viso didtica do ensino das funes na educao bsica.Unidade 5: Funes polinomiais e racionaisNesta unidade, as funes polinomiais e racionais sero apresentadas em diferentes representaes (grfcas e algbricas).Especifcamente nesta unidade, amplia-se a viso dos recursos didticos para a prtica docente com o uso de recursos computacionais.Unidade 6: Funes exponencial e logartmicaNesta unidade, amplia-se o conceito de modelagem com o uso das fun-es exponenciais e logartmicas em diferentes tipos de problemas pr-ticos.O contexto fnanceiro destacado com problemas reais de juros e crescimento exponencial.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 13 7/7/2006 15:54:11Unidade 7: Funes trigonomtricasAs funes trigonomtricas sero discutidas partindo-se da resoluo de tringulos retngulos.A anlise das representaes grfcas dar a opor-tunidade de resgatar os conceitos de domnio, imagem, periodicidade dentre outros.Agenda de atividades/ Cronograma Verifque com ateno o AVA, organize-se para acessar periodica-mente o espao da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorizao do tempo para a leitura, da realizao de anlises e snteses do contedo e da interao com os seus colegas e tutor. No perca os prazos das atividades. Registre no espao a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no AVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina.AtividadesAvaliao a Distncia 1Avaliao a Distncia 2Avaliao a Distncia 3Avaliao a Distncia 4Avaliao Presencial 1Avaliao Presencial 2(2. chamada)Avaliao Final (caso necessrio)Demais atividades (registro pessoal)topicos_de_matematica_elementar_I.indb 14 7/7/2006 15:54:11Conjuntos Numricos eOperaes Elementares1Objetivos de aprendizagem Identifcar conjuntos numricos em diferentes situaes problemas. Desenvolver procedimentos operatrios que envolvem os nmeros reais. Aplicar propriedades dos nmeros reais na resoluo de problemas.Sees de estudo Seo 1 Introduo Seo 2 Conjuntos numricos Seo 3 Adio e subtrao com nmeros reais Seo 4 Multiplicao e diviso com nmeros reais Seo 5 Resoluo de equaesUNIDADE 1topicos_de_matematica_elementar_I.indb 15 7/7/2006 15:54:11Universidade do Sul de Santa Catarina16Para incio de conversaVoc deve lembrar que na sua formao escolar foi preciso aprender a fazer contas.Muitos algoritmos foram apresentados e discutidos.Voc lembra, por exemplo, como calcular a raiz quadrada de 2132?Quase todos esquecem!E, nos dias de hoje, com os recursos tecnolgicos, podemos de forma rpida responder essa pergunta, basta ter uma calcula-dora na mo.Voc vai poder relembrar os conjuntos numricos e vrios procedimentos operatrios no decorrer desta unidade.Afnal, voc ser um futuro profes-sor de matemtica!topicos_de_matematica_elementar_I.indb 16 7/7/2006 15:54:11Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 17SEO 1IntroduoO conceito de nmero uma das idias mais primitivas da humanidade e, por incrvel que parea, j nascemos com ela. Um beb entre seis e doze meses j assimila agrupamentos de seres e objetos. J consegue reunir num nico grupo objetos anlogos e percebe se falta algo a um desses conjuntos familiares. Por exemplo, se voc entrega ao beb nesta idade 4 brinquedos e, sem que ele perceba, retira dois deles, certamente ele sentir falta. No que j saiba contar, mas porque j possui uma noo de nmero em sua formao individual.Para fns de padronizao, criou-se uma notao comum para representar os nmeros. Utiliza-se os algarismos hindu-arbicos:123456789Apesar de ouvirmos sons diferentes, dependendo do idioma, se no hou-vesse uma padronizao, imagine a confuso que seria!Olhando o passado!J h algum tempo, sabe-se que determinadas espcies de animais tambm so dotadas de um tipo de percepo direta sobre os nmeros. Inmeras ex-perincias demonstraram que os rouxinis, as pegas e os corvos eram capazes de distinguir quantidades concretas de um a quatro. Veja o caso do corvo: Um castelo decidiu matar um corvo que fez seu ninho na torre do castelo. J tentara vrias vezes surpreender o pssaro, mas ao se aproximar, o corvo deixava o ninho, instalava-se numa rvore prxima e s voltava quando o homem saa da torre. Um dia, o castelo recorreu a uma artimanha: fez entrar dois companheiros na torre. Instantes depois, um deles desaparecia, enquanto o outro fcava. Mas, em vez de cair nesse golpe, o corvo esperava a partida do segundo para voltar a seu lugar. Da prxi-ma vez ele fez entrar trs homens, dos quais dois se afastaram em seguida: o terceiro pde ento esperar a ocasio para pegar o corvo, mas a esperta ave se mostrou ainda topicos_de_matematica_elementar_I.indb 17 7/7/2006 15:54:11Universidade do Sul de Santa Catarina18mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, recomeou-se a experincia com quatro homens, sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema teve sucesso com cinco pessoas, pois o corvo no conseguia reconhecer mais que quatro homens ou quatro objetos... (Extrado de: IFRAH, Georges. Os nmeros: histria de uma gran-de inveno. 8. ed. So Paulo: Globo, 1996. p. 20.)SEO 2Conjuntos numricosA noo de conjunto conhecida desde o incio dos tempos. Ao invs de usar smbolos para representar os nmeros, utilizava-se a comparao de conjuntos.A noo matemtica de conjunto praticamente a mesma que se usa na linguagem informal: o mesmo que agrupamento, classe ou coleo.Voc pode formar muitos conjuntos. Se voc for colecionador de alguma coisa, a sua coleo far parte de um conjunto. Veja como possvel escrever o conjunto formado pelos estados brasileiros localizados na regio sul:A = {Paran, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}.Ou ainda, o conjunto dos nmeros pares positivos:B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}.Nesta disciplina o que ir lhe interessar so os conjuntos formados por nmeros ou os conjuntos numricos. Em especial, o conjunto dos nme-ros reais, que ir embasar o estudo dos diferentes tipos de funes. Ento, veja como se chegou at estes nmeros reais! Pare! Revise!O conjunto A dito nito, pois possui 3 elementos, j o conjunto B dito innito pois possui um nmero in-nito de elementos.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 18 7/7/2006 15:54:12Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 19a) Conjunto dos nmeros naturaisNeste conjunto numrico encontram-se os primeiros nmeros conhecidos pela humanidade. Sua representao dada por:N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.Perceba que este um conjunto infnito pois possvel sempre acrescen-tar uma unidade a cada nmero para que se obtenha um sucessor.Olhando o passado! O nmero zero tem uma histria interessante. Em 662 d.C. o bispo srio Severus Sebort referiu-se aos nove sinais, num trabalho pblico, mas no fazia referncia ao zero. O zero surgiu posteriormente e no se sabe muito sobre a sua origem. Dizem que a sua origem est no mundo grego.Sua forma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus (ovo de ganso) ou aos gregos (letra grega micron que a primeira da palavra Ouden que signi-fca vazio).b) Conjunto dos nmeros inteirosOlhando o presente!Veja o seguinte problema:P1Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No ms de julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria. Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de R$130,00 D. O que isto signifca?Este problema pode mostrar a importncia dos nmeros inteiros. Veja porqu!Nos extratos bancrios a letra C indica crdito e a letra D indica dbito. Isto signifca que na conta, havia 130 reais negativos, ou seja, R$130,00, estava faltando R$130,00.Veja como importante o estudo dos nmeros no positivos ou negati-vos. Desde a poca em que o comrcio passou a fazer parte da sociedade, inicialmente com o sistema de trocas at que se institusse uma moeda, a noo de nmeros negativos j amplamente utilizada. Pare! Revise!Quando utilizamos a notao N* representamos a excluso do zero:N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 19 7/7/2006 15:54:13Universidade do Sul de Santa Catarina20Para representar estes nmeros, usa-se o conjunto numrico chamado de conjunto dos nmeros inteiros:Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.c) Conjunto dos nmeros racionaisAlm dos nmeros naturais e inteiros, perceba que em seu dia-a-dia voc utiliza tambm nmeros fracionrios. Ao comer uma fatia de um bolo divi-dido em 8 partes iguais, por exemplo, alm da gua na boca, voc pode dizer que estar comendo uma parte do todo. Estar comendo 18 do bolo.No sistema monetrio usa-se funes decimais do real. Por exemplo: R$ 0,50 cinqenta centavos a metade de um real R$ 0,25 vinte e cinco centavos representa 14 de um real.Olhe para uma rgua e perceba a existncia de nmeros entre os nmeros inteiros que voc j estudou. Entre 0 e 1 temos, por exemplo, 12 ou entre 3 e 4 o nmero 3,25.As fraes so representadas na forma mn, n 0, m, n e formam o con-junto dos nmeros racionais , denotado por:Q = { x | x = mn, m, n e n 0}.Veja alguns exemplos:34 107 12 95.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 20 7/7/2006 15:54:13Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 21Veja como se faz a leitura de fraes:12Um meio18Um oitavo13Um tero19Um nono14Um quarto110Um dcimo15Um quinto111Um onze avos*16Um sexto112Um doze avos17Um stimo120Um vigsimo*Avos um substantivo masculino empregado na leitura de fraes que pos-suem denominador maior que dez.Toda a frao pode ser escrita em uma forma decimal. Veja como se faz:12 = 0,5 34 = 0,75 13 = 0,3333... 27 = 0,285714285714...Olhando o presente!Veja o seguinte problema:P2Em um restaurante um garom s sabia dividir uma pizza em 10 fatias iguais. Se Mrio comeu a metade da pizza e sua namorada comeu 15 quantas fatias sobraram?Para saber quantas fatias sobraram, veja como possvel raciocinar: Se Mario comeu a metade da pizza, ento ele comeu a metade de 10 fatias, ou seja, 102 = 5 fatias. Sua namorada comeu 15 da pizza, ento ela comeu 15 de 10 fatias, ou seja, (15 de 10) = 105 = 2 fatias.Assim, Mario e sua namorada comeram juntos 5 + 2 = 7 fatias.Portanto, sobraram 10 7 = 3 fatias. Pare! Observe!Algumas fraes possuem representao decimal exata e outras uma representao decimal peridica.So dzimas peridicas:5199 = 0,5151515151...3190 = 0,3444444444...So decimais exatas:15 = 0,2204 = 5Para encontrar a forma decimal voc pode realizar as divises no papel ou mesmo em uma calculadora. Pare! Observe!Todos os nmeros inteiros so tambm nmeros racio-nais pois podem ser escritos na forma de uma frao. Veja:4 = 417 = 71topicos_de_matematica_elementar_I.indb 21 7/7/2006 15:54:14Universidade do Sul de Santa Catarina22Olhando o passado!Diofanto foi um matemtico que viveu em Alexandria no sculo III. Pouco se sabe sobre a sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada em seu tmulo: Aqui jaz o matemtico que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um stimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos aps nasceu seu flho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu flho, sofreu mais 4 anos antes de morrer. Voc sabe quantos anos viveu Diofanto? Fonte: http://www.exatas.hpg.ig.com.br/curiosidades.htm.d) Conjunto dos nmeros reaisPara defnir o conjunto dos nmeros reais, necessrio considerar os nmeros que no podem ser escritos na forma de mn com n 0 e m, n . Estes nmeros formam o conjunto dos nmeros irracionais, que pode ser escrito pela letraQ .So exemplos de nmeros irracionais: = 3,141592653... e = 2,718281828...2= 1,41... comum dizer que o conjunto dos nmeros reais o resultado da unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais.Os nmeros reais so representados geometricamente por uma reta numerada, denotada por reta real.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 22 7/7/2006 15:54:14Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 23Olhando o passado!Voc no imagina a consternao no seio dos pitagri-cos quando descobriram a existncia de grandezas que no guardam entre si uma relao de inteiro para inteiro. Isto aconteceu quando verifcaram a impossibilidade de mensurar (ou medir) a diagonal de um quadrado de lado igual a 1 unidade de comprimento. Acredita-se que os pitagricos guardaram este segredo por muitos anos, pois esta constatao signifcava a existncia de seres disformes no seu mundo regido pelos nmeros. Hoje j se sabe que este ser disforme a raiz quadrada de dois. O nmero PiA histria do nmero est ligada histria da vida de muitos matem-ticos da Antigidade. Que tal relembrar, para sermos justos, do nome de Arquimedes, famoso matemtico e astrnomo que nasceu em Siracusa, mais ou menos 287 a.C. No tempo de Arquimedes muitos estudiosos j sabiam que o comprimento de uma circunferncia igual a um nmero um pouco maior que 3 vezes o seu dimetro.Existe o registro histrico de vrias tentativas para encontrar o valor exato desse nmero um pouco maior que 3, que hoje conhecido como nmero Pi, simbolizado por.Vrios mtodos geomtricos demonstram que o valor do Pi = 3,141592653...Voc pode encher a tela do seu computador com as casas decimais do nmero Pi.O nmero eA origem do nmero e est associada origem dos logaritmos. As tbuas de logaritmos foram inventadas para facilitar os clculos, pois ao se usar logaritmos consegue-se reduzir multiplicaes e divises em simples topicos_de_matematica_elementar_I.indb 23 7/7/2006 15:54:15Universidade do Sul de Santa Catarina24adies e subtraes. usual falar nmero neperiano em homenagem ao matemtico John Napier, uma vez que este, em 1614, apresentou uma maneira prtica para defnir o logaritmo de e.Alm de servir de base para um sistema de logaritmos, o nmero e um nmero til em toda a Matemtica e cincias afns. Por exemplo, muito usado na Economia, Estatstica, Probabilidades etc.Nos dias de hoje, no se usa as tbuas de logaritmos porque as calcula-doras fazem todos os clculos. No entanto, no se pode dispensar esse nmero de nossas vidas. Vrios fenmenos so modelados por uma frao que envolve o nmero e, como por exemplo, o crescimento populacional e o aumento de capital e juros.Nas prximas unidades voc vai ouvir falar muito sobre o nmero e!e = 2,718281828...e) Conjunto dos nmeros complexosVoc acha seu nome bonito? Todas as pessoas que voc conhece acham o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa pode no ser bonito, mas no causa mal entendido porque ele tem um nico signif-cado.Muita gente no aceita o termo nmero imaginrio ou nmero com-plexo tal como usado em matemtica. E isto causa um mal entendido! Entretanto, importante lembrar:Quando uma palavra defnida precisamente e tem ape-nas um signifcado, no h mais razes para criticar seu uso.Logo, um nmero imaginrio ou complexo uma idia matemtica precisa.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 24 7/7/2006 15:54:15Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 25Olhando o passado! Cardano, um grande matemtico do sculo XVI, foi o primeiro a reconhecer a verdadeira importncia desses nmeros. Na sua obra Ars Magna discute a lgebra e d especial ateno s razes negativas de uma equao e ao clculo com nmeros complexos.O conjunto dos nmeros complexos formado por todos os nmeros reais e pelas razes negativas, podendo ser representado por:C = { z | z = (a,b), a, b R }Em geral os nmeros complexos so discutidos inicialmente na forma algbrica:z =4= 2i = 0 + 2i = (0,2)z = 2 +9= 2 + 3i = (2,3)Ao olhar para o par ordenado (a,b) torna-se simples visualizar a parte real e a parte complexa ou imaginria do nmero complexo: a a parte real; b a parte imaginria.Nas prximas sees voc ir revisar as operaes com os nmeros reais, sendo enfatizado diferentes representaes, algoritmos e mtodos de tra-tamento adequados a cada situao identifcada.SEO 3Adio e subtrao de nmeros reaisPara discutir as operaes de adio e subtrao com nmeros reais, veja inicialmente algumas propriedades:Comutativaa b = b aAssociativa(a b) c = a (b c)Elemento Neutroa + 0 = 0 + a = a0 o elemento neutro da adio. Pare! Revise!Lembre-se que i =1.Assim, tem-se que:i i = 1i2 = 1( )21= 1. Pare! Observe!( ) = = =221 ( 1)1 1est incorreto.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 25 7/7/2006 15:54:15Universidade do Sul de Santa Catarina26Nos prximos exemplos voc poder aplicar estas propriedades em situa-es que envolvam a adio e a subtrao com nmeros reais. Exemplos1) Efetuar as seguintes operaes:(a) ++ = =2 4 10 12 223 5 15 15(b) ++ = =1 10 7 20 272 7 14 14(c) ++ = =1 2 1 6 79 3 9 9Perceba que esta mesma operao pode ser feita usando-se uma calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da con-fgurao e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo, voc pode visualizar:0,77770,7777770,777777770,77777777778.(d)+ 20 45Com uma calculadora, possvel determinar os valores aproxima-dos para20e45 :20 4,47213595545 6,708203932+ 20 45 11,180339887O clculo aproximado e o nmero de casas decimais depende de cada tipo de calculadora. possvel resolver esta adio usando pro-priedades da radiciao. Na unidade 6 voc ver um breve resumo de algumas destas propriedades. Pare! Observe! possvel estabelecer uma regra prtica para calcular a adio ou subtrao com nmeros fracionrios. Consi-dere as expresses ab e cd escritas de forma que b e d so diferentes de zero:a c ad bcb d bd =topicos_de_matematica_elementar_I.indb 26 7/7/2006 15:54:15Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 27(e) 34 0,3 = 0,75 0,3 = 0,45.Perceba que o nmero fracionrio foi escrito em sua forma decimal para que a operao fosse realizada. Uma outra opo escrever o nmero decimal como um nmero fracionrio: = = = = =3 3 3 30 12 18 90, 3 0, 45.4 4 10 40 40 20(f ) = =1 2 3 10 75 3 15 15.(g)0,2 + 0,37 = 0,37 0,2 = 0,17.2) Um mergulhador passou da profundidade de 6 m para 4 m. Neste caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros?Perceba que o nmero 6 menor que o nmero 4. Assim, quando o mergulhador passa de 6m para 4m ele aumenta duas unidades.Isto signifca que ele subiu 2m pois 6m mais fundo que 4m.3) Imagine 3 pizzas de mesmo tamanho, cortadas de formas diferentes: a primeira em duas partes, a segunda em quatro partes e a terceira em seis partes. Se Joana come um pedao de cada uma, ao todo, quanto ter comido?Para saber quanto Joana comeu, possvel representar cada pedao usando nmeros fracionrios: 1 pedao da primeira pizza (cortada em duas partes) = 12; 1 pedao da segunda pizza (cortada em quatro partes) = 14; 1 pedao da terceira pizza (cortada em seis partes) = 16.Podemos escrever,.Assim, Joana comeu, ou quase uma pizza inteira!!topicos_de_matematica_elementar_I.indb 27 7/7/2006 15:54:16Universidade do Sul de Santa Catarina284) Um bondoso homem doou 15 da sua fortuna para menores carentes, e 23 para um asilo de idosos. (a) Que frao de suas posses ele doou?Ele doou ++ = =1 2 3 10 135 3 15 15.(b) Que frao sobrou?Se ele doou 1315, ento sobrou um inteiro menos esta frao: = = =13 1 13 15 13 2115 1 15 15 15.As operaes de adio e subtrao so utilizadas em inmeras aplicaes que envolvem a modelagem matemtica. Na prxima seo voc poder revisar as operaes de multiplicao e diviso dos nmeros reais.SEO 4Multiplicao e diviso de nmeros reaisAssim como nas operaes de adio e subtrao, veja algumas proprie-dades da multiplicao:Comutativaa b = b aAssociativa(a b) c = a (b c)Elemento Neutroa 1 = 1 a = a1 o elemento neutro da multiplicao.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 28 7/7/2006 15:54:16Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 29 Perceba que as propriedades listadas no so vlidas para a divisoImagine que dois amigos foram pescar no Pantanal. Em determinado momento, cansados de esperar, eles conversam: Esses peixes so muito espertos. Foi a terceira vez que ns dois no pegamos nenhum. Nosso saldo est devedor. J gastamos 6 iscas.Como representar esta situao matematicamente?(+3) (2) = 6Outras situaes poderiam ser modeladas por outras multiplicaes. Por exemplo: (+3) (+2) = +6(3) (2) = +6(3) (+2) = 6topicos_de_matematica_elementar_I.indb 29 7/7/2006 15:54:16Universidade do Sul de Santa Catarina30Observando essas operaes possvel escrever:Nmeros de sinais diferentes apresentam resultado negativo e nmeros de sinais iguais apresentam resul-tado positivo.Resumindo simbolicamente as regras de sinais:Diviso Multiplicao(+) (+) = (+) (+) (+) = (+)() (+) = () () (+) = ()(+) () = () (+) () = ()() () = (+) () () = (+)Olhando o presente!Veja o seguinte problema.P3Durante seis dias a temperatura de uma certa regio esteve abaixo de zero, variando entre 18oC. Sabendo-se que a temperatura baixou o mesmo nmero de graus em cada dia, quantos graus teria abaixado por dia?Para modelar esta situao, possvel escrever:(18) (+6) = (3)Isto signifca que a temperatura baixou 3oC por dia, at que chegasse a 18oC.Veja a regra prtica para a multiplicao que envolve fraes, sendo b e d nmeros diferentes de zero:a c acb d bd = Pare! Revise!Quando uma diviso tem resto zero, trata-se de uma diviso exata. Por exemplo, 12 6 = 2. Isto verdade, pois 2 6 = 12. Da mesma forma, 35 5 = 7, pois 7 5 = 35.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 30 7/7/2006 15:54:17Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 31 Exemplos1) Resolver as operaes indicadas:(a) = =1 1 1 1 14 3 4 3 12(d)0,25 1,3 = 0,325(b) = =5 1 5 1 58 4 8 4 32(e)0,721 3,69 = 2,66049(c) = = =1 10 1 10 1012 5 2 5 102) Se 350 corresponde ao valor total, calcule 12 e 35 deste valor.Para resolver este problema multiplique o valor total por suas fraes:12 de 350 12350 = 3502 = 17535 de 350 35350 = 10505 = 210.3) Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas. Uma pessoa comeu metade da sua fatia. Quanto do bolo ela comeu?Uma (1) fatia representa a stima parte do bolo ou 17.A metade de 1 fatia representa 114 do bolo, ou 17 12 = 114.Assim, a pessoa comeu 114 do bolo.4) Se no bolo do problema anterior, dividido entre 7 pessoas, cada pedao custasse R$ 0,80, quanto custariam trs pedaos do bolo?1 pedao do bolo 17 R$ 0,803 pedaos do bolo 37 3 R$ 0,80 = R$ 2,40Logo, trs pedaos do bolo custariam R$2,40. topicos_de_matematica_elementar_I.indb 31 7/7/2006 15:54:17Universidade do Sul de Santa Catarina32Olhando o passado! Matemtico tem cada idia!Veja o problema histrico criado para justifcar a regra de sinais () () = (+).Eu tinha 3 dvidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas, as pessoas para quem eu devia morreram. Perdi 3 vezes a dvida de 4 moedas. Assim, fquei 12 moedas mais rico. perdi 3 vezes a dvida de 4 moedas (3) (4) = (12).Quando voc realiza a diviso de duas fraes est multiplicando a pri-meira frao pelo inverso da segunda. ExemplosResolver as operaes indicadas:(a) = = =2 5 2 4 2 4 83 4 3 5 3 5 15(b) = = =11 5 1 5 5232 3 2 3 65(c) = = =5 5 5 6 5 6 309 6 9 5 9 5545=56 39 = 323Aps tratar das operaes de multiplicao e diviso com nmeros reais, possvel introduzir um importante conceito, utilizado em diversas situa-es de nosso dia-a-dia: a porcentagem. comum voc se deparar com expresses do tipo: a infao no ltimo ms foi de 4% (quatro por cento); promoo: descontos de 30% vista; o ndice da bolsa em So Paulo est em queda de 0,2%. Pare! Revise!Voc no pode fazer uma diviso por zero. Por exem-plo, no possvel dividir dois por zero (2 0), pois se 2 0 = x, ento x 0 = 2. No existe nmero que multiplicado por zero seja igual a 2.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 32 7/7/2006 15:54:17Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 33 Mas o que isso signifca?A porcentagem uma forma de comparar nmeros usando a proporo direta. o valor obtido quando se aplica uma razo centesimal a um valor. Como o nome j diz por 100 ou sobre 100.Em linguagem algbrica a porcentagem de um nmero a, razo x100 :x100 a.Indica-se a expresso: x100 por x %.Para entender melhor, veja a aplicao deste conceito nos exemplos abaixo apresentados. Exemplos1) Calcule 10% de 500.A razo centesimal dada por 10% = 10100. Portanto, 10% de 500 10100500 = 5000100 = 50.2) Calcule 25% de 210.Neste caso, a razo centesimal dada por 25%= 25100. Portanto,25% de 210 25100210 = 5250100 = 52,53) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4?Equacione a taxa indicada comox100 = 344x = 31004x = 300x = 3004 Ento a taxa de 75%.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 33 7/7/2006 15:54:18Universidade do Sul de Santa Catarina344) Uma loja divulga uma promoo de 10% sobre o preo de suas merca-dorias vendidas vista. Se uma camisa custa R$90,00, qual ser o seu valor com o desconto?O desconto de 10% ser sobre o valor de R$ 90,00. Assim teremos:10% de 90 1010090 = 900100 = 9.Isto signifca que a camisa custar R$ 9,00 a menos. Portanto, o preo a ser pago de R$ 90,00 R$ 9,00 = R$ 81,00.Parada recreativaVoc lembra do matemtico Diofanto? Que tal calcular quantos anos ele tinha quando morreu? Veja o que estava em seu tmulo:Aqui jaz o matemtico que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um stimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos aps nasceu seu flho, com quem con-viveu metade da sua vida. Depois da morte de seu flho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.Vamos identifcar por V o tempo de vida de Diofanto, medido em anos. O tempo de vida de Diofanto a soma de cada uma das fraes indicadas. Assim, temos:V V V VV = + + + + + 5 46 12 7 2.Resolvendo a soma de fraes, teremos:V V V VVV V V V VV V V V VVV+ + + = + + + = + + + = = =96 12 7 296 12 7 2 114 7 12 42 84984998484topicos_de_matematica_elementar_I.indb 34 7/7/2006 15:54:18Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 35Determinando o valor de V, possvel saber que Diofanto viveu 84 anos. Veja na tabela abaixo a diviso destes 84 anos:Menino846 = 14 anos At 14 anosRapaz8412 = 7 anos 14 aos 21 anosAntes de casar847 = 12 anos 21 aos 33 anosFilho nasceu 5 anos depois de casar 33+5 = 38 anosConviveu com o flho842 = 42 anos 38 aos 80 anosMorreu 4 anos depois da morte flho 80+4 = 84 anosSEO 5Resoluo de equaesQuando voc est diante de um problema, pode resolv-lo usando mais de um caminho ou estratgia. Se o problema requer o uso de objetos matemticos, a soluo pode ser obtida a partir do envolvimento de algo-ritmos numricos, resoluo de equaes ou sistemas de equaes. Para cada situao, usa-se a ferramenta matemtica adequada que poder ser simples ou de nvel mais complexo, como o caso de derivadas e integrais (objetos matemticos no estudados nesta disciplina).Os problemas considerados da rea econmica, em geral, so modelados atravs de expresses algbricas resultando em frmulas prticas. Ao aplicar os dados, voc fca diante de uma equao ou de um sistema de equaes. importante que neste momento voc faa uma breve reviso sobre a resoluo de equaes do 1o e 2o graus, pois estes conceitos sero amplamente aplicados no estudo das funes nas prximas unidades.Equao do 1o grauA resoluo de uma equao do 1o grau consiste na determinao da incgnita x, isolando-a em um dos lados da igualdade. Para tal, voc pre-cisa relembrar dois princpios: Pare! Revise! usual utilizar letras para representar os valores que uma varivel pode assumir. comum, de forma mais tradicional, usar o termo incgnita para expressar o valor que desconhecido e se procura saber.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 35 7/7/2006 15:54:18Universidade do Sul de Santa Catarina36 Princpio aditivo da igualdade: adicionando (ou subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o mesmo nmero, a igualdade no se altera. Em outras palavras, ao passar um nmero que est somando (ou subtraindo) para o outro lado da igualdade, deve-se inverter seu sinal. Princpio multiplicativo da igualdade: multiplicando (ou divi-dindo) os dois membros de uma igualdade pelo mesmo nmero, a igualdade no se altera. Em outras palavras, um nmero que est multiplicando passa para o outro lado da igualdade dividindo; j um nmero que est dividindo passa para o outro lado da igual-dade multiplicando. Exemplos1) Determinar o valor da incgnita x das seguintes equaes do 1o grau:(a)8x + 4 = 128x = 12 48x = 8x = 88x = 1(b)3x + 4 = 33x = 3 43x = 7x = 73x = 73(c) 27 x 3 = 527 x = 5 + 327 x = 8x = 872x = 562x = 28topicos_de_matematica_elementar_I.indb 36 7/7/2006 15:54:18Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 372) O testamento de um moribundo impe que se sua esposa, que est grvida, tiver um flho, este herdar 34 e a viva 14 dos bens; mas se nascer uma flha, esta herdar 712 e a viva 512 dos bens. Como devem ser divididos os bens no caso de nascer um casal de gmeos?1Este um problema discutido na Idade Mdia e tem origem romana. A soluo considerada vivel faz uma suposio satisfatria pois, rigorosa-mente, no se poderia solucion-lo visto que no se conhece o critrio adotado pelo moribundo, no caso de flhos gmeos (poderia, por exemplo, ser uma escolha aleatria).A sugesto de soluo considera que o moribundo queria deixar: para um flho o valor equi-valente ao triplo do valor da viva pois:34 = 3 14 para uma flha o valor equi-valente a 75 do valor da viva pois:712 = 75 512Assim, possvel escrever a equao:x + 3x + 75 x = 1.Considerando-se que a herana foi repartida para 3 pessoas (viva, flho e flha), e mantendo-se a proporcionalidade inicialmente proposta, na equa-o o valor de x representa a parte da viva.Para resolver a equao, possvel aplicar os princpios enunciados para a resoluo de uma equao do 1o grau. Veja:x x xx x xxxx+ + =+ +====73 155 15 715271527 55.271 Problema extrado de EVES, Howard. Introduo Histria da Matemtica. Campinas: UNICAMP, 1995, p. 314.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 37 7/7/2006 15:54:19Universidade do Sul de Santa Catarina38Assim, a soluo pode ser resumida da seguinte forma: A viva receber 527 dos bens, o que corresponde a 18,51% do total. O flho recebe o triplo de 527 3 527 = 1527 dos bens, o que corres-ponde a 55,56% do total. A flha recebe 75 de 527 75 527 = 727 dos bens, o que corresponde a 25,93% do total.Equao do 2o grauPara resolver uma equao do segundo grau preciso utilizar algumas regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes clculos. A frmula mais conhecida a frmula de Bskara:b b b acxa ab b acxab b acxa = = + = =2212242 24242 Exemplos1) Resolver as equaes do 2o grau.a)2x2 + 5x 3 = 0xxx = += = = = = = 2125 5 4 2 32 25 7 2 14 4 25 7 1234 4topicos_de_matematica_elementar_I.indb 38 7/7/2006 15:54:19Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 39b)16 x2 = 0xxx = = = = = = =2120 0 4 1 16 0 64 82 1 2 28428422) Encontrar o preo de equilbrio e a respectiva quantidade para as fun-es de demanda e oferta, sendo x a quantidade e y o preox2 + 5x y + 1 = 02x2 + y 9 = 0Para determinar o preo de equilbrio e a quantidade vamos resolver o sistema de equaes dado. Isolamos y = 9 2x2 e substitumos na primeira equao:x2 + 5x (9 2x2) + 1 = 0x2 + 5x 9 + 2x2 + 1 = 03x2 + 5x 8 = 0Aplicando os valores referentes equao a ser solucionada, temos:xxx + = = = += = = = =2125 5 4 3 8 5 25 96 5 1212 3 6 65 11 616 65 11 166 6Como x representa a quantidade do produto, no faz sentido ser repre-sentado por um nmero negativo. Assim, apenas nos interessa o valor de x1 = 1.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 39 7/7/2006 15:54:19Universidade do Sul de Santa Catarina40Substituindo x = 1 em uma das equaes, temos:y = 9 2x2y = 9 212y = 9 2y = 7Portanto os valores y = 7 e x = 1 representam o preo de equilbrio e a quantidade para as funes de demanda e oferta apresentadas.Parada recreativaVoc j ouviu falar em Quadrados Mgicos?Um quadrado dividido em 4, 9 ou 16 quadrados iguais dito um qua-drado mgico se a soma dos nmeros numa coluna, numa linha ou em qualquer das diagonais for sempre a mesma. A origem dos quadrados mgicos obscura. Na ndia muitos reis usavam o quadrado mgico como amuleto; um sbio do Iemen afrmava que os quadrados mgicos eram preservativos de certas molstias. Um quadrado mgico de prata, preso ao pescoo, evitava, segundo a crena de certas tribos, o contgio da peste.Se a tradio for verdadeira, vale a pena completar o quadrado mgico proposto. Lembre-se que ao somar os valores das linhas, colunas e diagonais voc deve obter o mesmo valor.16 2104topicos_de_matematica_elementar_I.indb 40 7/7/2006 15:54:20Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 41SnteseAo fnalizar esta unidade voc j pode dizer que conhece os nmeros que so amplamente discutidos na Matemtica e, muitas vezes, erroneamente utilizados em nosso dia-a-dia.Perceba que os conceitos relacionados aos nmeros, as fraes e as operaes so importantes para que voc avance e amplie seus estudos na Matemtica.Voc ainda vai ouvir muito sobre os nmeros nesse curso.Os conceitos vo sendo aprofundados, mas isto s ser possvel se voc sanar todas as suas dvidas desde j.Ento aproveite!V at o AVA, analise as idias apresentadas nos diferentes cones e desenvolva todas as atividades pro-postas.No esquea de sanar suas dvidas com o seu professor tutor.Nas prximas unidades voc ir estudar as funes.Ate l!topicos_de_matematica_elementar_I.indb 41 7/7/2006 15:54:20Universidade do Sul de Santa Catarina42Atividades de auto-avaliao1) Efetue as operaes indicadas:(a) 23 + 56(b) 19 27(c)10 34(d) 9 45(e) 14 0,3(f ) 34 13topicos_de_matematica_elementar_I.indb 42 7/7/2006 15:54:20Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 43(g) | | + |\ .1 732 3(h) 34 53(i) 767(j) 10532) O salrio do funcionrio de uma empresa igual a R$1200,00. No ms de suas frias ele recebe o seu salrio mais 13 referente s frias. Quanto ele receber?topicos_de_matematica_elementar_I.indb 43 7/7/2006 15:54:20Universidade do Sul de Santa Catarina443) Mario trabalhou 7 meses numa empresa, com salrio de R$ 600,00. Por isso, recebeu a quantia igual a de 712 de um salrio, correspondente parte do 13 salrio. De quanto foi a quantia recebida?4) Se 25 correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro?5) O tanque do carro est seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro que roda, em mdia, 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel que fca a 98 quilmetros de distncia?topicos_de_matematica_elementar_I.indb 44 7/7/2006 15:54:20Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 456) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa quantidade vai no recheio. Que frao do litro usada no recheio?7) Uma me deu dinheiro aos trs flhos, dizendo que era um tero para cada um. O primeiro flho gastou s um tero da sua parte. Que frao do total ele gastou? 8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos de idade. Esses jovens correspondem a que frao do quadro de associados?topicos_de_matematica_elementar_I.indb 45 7/7/2006 15:54:20Universidade do Sul de Santa Catarina469) Em uma aplicao fnanceira tem-se rendimento igual a 1,0% ao ms, sendo descontada uma taxa anual fxa, relativa administrao, igual a 5% do depsito inicial. Se um indivduo possui R$6000,00 e aplica este dinheiro durante um ano e meio, qual ser o seu saldo fnal?10) Numa pesquisa de inteno de voto, realizada com 500 pessoas de uma cidade, obteve-se os seguintes resultados apresentados na tabela ao lado:Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada.11) Um incndio destruiu 30% da rea verde de uma foresta. Se 20% desta foresta formada por rios e riachos e o restante somente por rea verde, qual o percentual da foresta atingida pelo fogo?Nmero de pessoasCandidato A 132Candidato B xIndecisos 74topicos_de_matematica_elementar_I.indb 46 7/7/2006 15:54:20Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 1 4712) Resolva as seguintes equaes:(a) xx+= 3 15(b)3x + 3 = 12(c) xx+=2 5 14 2(d)x2 + 2x 3 = 0(e)x x| | + = |\ .1( 3) 02(f )(2x 5)(4 x) = 0topicos_de_matematica_elementar_I.indb 47 7/7/2006 15:54:21Universidade do Sul de Santa Catarina48Saiba maisUma sugesto para descontrair e para que voc perceba que a Matem-tica no est presente apenas nos livros, a leitura do livro Mar Sem Fim de Amyr Klink (veja a seguir a referncia completa).Alm de navegar junto com o autor, voc poder expandir seus conheci-mentos e observar a Matemtica presente em cada pgina, nos maravi-lhosos relatos do autor sobre sua aventura ao redor da Antrtica!KLINK, Amyr. Mar sem fm: 360o ao redor da Antrtica. So Paulo: Com-panhia das Letras, 2000.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 48 7/7/2006 15:54:21Funes2UNIDADE 2Objetivos de aprendizagem Identifcar funes presentes no cotidiano e que modelam situaes problemas. Analisar representaes grafas dos diferentes tipos de fun-es. Analisar caractersticas e propriedades das funes;Sees de estudo Seo 1 Introduo Seo 2 Tipos de funes Seo 3 Propriedades e caractersticas Seo 4 Funo inversatopicos_de_matematica_elementar_I.indb 49 7/7/2006 15:54:21Universidade do Sul de Santa Catarina50Para incio de conversaVoc vai ouvir muito a palavra funo no decorrer do seu curso e ter sem-pre a oportunidade de constatar a importncia desse objeto matemtico para a sua formao como futuro professor de matemtica e tambm para a sua formao como cidado que necessita lidar com diferentes situaes problemas.A Matemtica est presente nos currculos escolares em uma boa parte da formao escolar de um cidado, exatamente pelo fato de que estamos diante de um combustvel que faz a sociedade funcionar.Vamos conhecer um pouco mais de perto a maravilhosa formalidade de objetos matemticos!topicos_de_matematica_elementar_I.indb 50 7/7/2006 15:54:21Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 51SEO 1IntroduoVoc j parou para pensar onde aparecem as funes discutidas na matemtica em sua vida? Mas antes disso, voc sabe realmente o que uma funo?Voc pode pensar, intuitivamente, que uma funo uma relao entre variveis.Assim, por exemplo, podemos dizer que a temperatura depende da umi-dade relativa do ar, da localizao que est sendo considerada, da altitude, da presena de um ar condicionado, entre outras coisas. possvel dizer, de forma simplifcada, que a temperatura uma funo destas variveis elencadas, ou seja,Temperatura = f(umidade relativa do ar, localizao, altitude, ar condi-cionado)Esta pode ser uma funo que envolve vrias variveis.Para entender as funes de vrias variveis, impor-tante que voc conhea, num primeiro momento, algu-mas funes mais simples, chamadas de funes de uma varivel. So tambm relaes que envolvem apenas duas variveis: uma dita dependente e outra dita inde-pendente.Existem inmeras situaes que envolvem estas funes de uma varivel, por exemplo: o espao percorrido por um automvel depende do tempo; a rea de uma sala quadrada depende da medida do seu lado; o custo de fabricao de um produto depende do nmero de unida-des produzidas.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 51 7/7/2006 15:54:21Universidade do Sul de Santa Catarina52Nos exemplos colocados, possvel identifcar as variveis dependentes e independentes: Variveis dependentes: espao percorrido, rea da sala, custo de fabricao do produto; Variveis independentes: tempo, medida do lado da sala, nmero de unidades produzidas.Para modelar essas situaes, so utilizadas funes do tipo y = f (x), sendo x a varivel independente e y a varivel dependente.Para defnir uma funo necessria a existncia de dois conjuntos e uma relao especfca entre eles. A Figura 2.1 mostra diagramas que represen-tam os dois conjuntos e a relao em trs diferentes situaes. Observe que: todos os elementos do conjunto A tm um nico correspondente no conjunto B; no conjunto D voc pode ter elementos que so correspondentes de mais de um elemento no conjunto C; no conjunto F voc pode ter elementos que no so utilizados na relao entre os dois conjuntos.(a) (b)C D(c)E FApresenta uma funo de A em B: a cada elemento do con-junto A corresponde um nico elemento do conjunto B.Apresenta uma funo de C em D. Pode-se dizer que 2 imagem de 1 e 4 imagem de 0 e 2, ou,f (1) = 2f (0) = f (2) = 4Apresenta uma funo de E em F. O conjunto F tem um elemento que no imagem da funo.Figura 2.1Diagramas com funes.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 52 7/7/2006 15:54:21Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 53Defnio de funoFormalmente podemos defnir funo da seguinte forma:Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos nmeros reais. Uma funo f : A B uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um nico elemento de B. Linguagem Simblica::( )f A Bx f x

ou( )fA Bx y f x= Podemos dizer que uma funo defnida no conjunto dos reais uma relao especfca, pois estamos diante de um subconjunto do produto cartesiano R R.Assim, a representao grfca de uma funo y = f (x) o conjunto dos pares ordenados (x, f (x)), e para cada valor de x existe um nico corres-pondente y. usual identifcar:Domnio de uma funo: conjunto em que a funo defnida (conjunto A).Contra-domnio de uma funo: conjunto em que a fun-o toma valores (conjunto B).Conjunto Imagem de uma funo ou simplesmente Ima-gem da funo: conjunto dos valores f(x). Pare! Observe!Na linguagem mais coloquial usual confundir as nota-es f com f (x): f a funo f : A B, enquanto que f (x) o valor que a funo assume em x. Costuma-se falar que f(x) a ima-gem de x.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 53 7/7/2006 15:54:21Universidade do Sul de Santa Catarina54Olhando o passado!Euler foi um escritor prolfco da histria da matemtica. Sua produtividade surpreendente no foi prejudicada quando fcou cego. Publicou 530 trabalhos durante sua vida e muitos manuscritos publicados aps a sua morte. muito grande a sua contribuio para a matemtica. Destaca-se aqui, a sua autoria por notaes matemticas que permanecem imutveis atravs dos sculos. Por exemplo, a notao de funes y = f (x).Acompanhe os exemplos a seguir: Exemplos1) Considere as funes apresentadas na Figura 2.1. Determine o domnio D(f), o contra-domnio CD(f) e o conjunto imagem Im(f).(a)f : A BD( f ) = {1,2}CD( f ) = {2,4}Im( f ) = {2,4}(b)f : C DD( f ) = {0,1,2}CD( f ) = {2,4}Im( f ) = {2,4}(c)f : E FD( f ) = {1,2}CD( f ) = {2,4,7}Im( f ) = {2,4}Em geral os conjuntos A e B so subconjuntos do conjunto dos nmeros reais.Neste caso, as funes so ditas reais com variveis reais e a representao usual a representao algbrica da lei de formao que defne a relao entre os conjuntos.2) Para cada uma das funes, identifcadas a partir de sua representao algbrica, calcule a imagem nos pontos 1, 3 e 12:(a)f (x) = x 1Para calcular a imagem nos pontos indicados, necessrio fazer x = 1, x = 3 e x = 12. Assim, temos:f (1) = 1 1 = 0f (3) = 3 1 = 4f | |= = = |\ .1 1 1 2 112 2 2 2topicos_de_matematica_elementar_I.indb 54 7/7/2006 15:54:22Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 55(b)g(t ) = t 2Neste caso, vamos fazer t = 1, t = 3 e t = 12. Assim, temos:g (1) = 12 = 1g (3) = (3)2 = 9g| | | |= = ||\ . \ .21 1 1.2 2 4SEO 2Tipos de funesPara fns didticos interessante que as funes sejam classifcadas de acordo com algumas caractersticas. Nesta disciplina voc ter a oportu-nidade de aprofundar o estudo das funes polinomiais do primeiro e segundo graus (unidades 3 e 4), das funes racionais e polinomiais com grau maior do que 2 (unidade 5), das funes exponenciais e logartmicas (unidade 6) e, por fm, das funes trigonomtricas (unidade 7).Neste momento, voc ter apenas uma panormica geral destes tipos de funes, para que possa estud-las separadamente nas demais unidades. Verefque nas Figuras 2.2 at 2.8, exemplos grfcos de diferentes tipos de funes.-3 -2 -1 1 2 3-3-2-1123xf(x)Figura 2.2Funo polinomial do primeiro grau y = x + 1-3 -2 -1 1 2 3-2-1123xf(x)Figura 2.3Funo polinomial do segundo grau y = x2 + 1 Pare! Observe!Veja a diferena entre a ima-gem e o conjunto imagem de uma funo: o conjunto imagem so todos os pontos que a funo pode assumir, ou seja, todos os valores que a varivel y assume. A imagem de uma funo calculada para cada ponto identicado. Assim, poss-vel calcular f (1), f (3) ou f () que sero, respectivamente, a imagem da funo no ponto 1, 3 ou . topicos_de_matematica_elementar_I.indb 55 7/7/2006 15:54:22Universidade do Sul de Santa Catarina56-3 -2 -1 1 2 3-2-1123xf(x)Figura 2.4Funo polinomial do terceiro grau y = x 3 + 1-3 -2 -1 1 2 3-3-2-1123xf(x)Figura 2.5Funo racional yx=+11-2 -1 1 2 3-3-2-1123xf(x)Figura 2.6Funo exponencial y = 2x-2 -1 1 2 3-3-2-1123xf(x)Figura 2.7Funo logartmica y = log x2 --11xf(x)Figura 2.8Funo trigonomtrica y = sen xtopicos_de_matematica_elementar_I.indb 56 7/7/2006 15:54:23Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 57Olhando o futuro!Existem vrios sofwares matemticos que auxiliam no tratamento de grfcos de funes. Os grfcos apresentados neste material foram feitos no sofware GRAPH ., que est disponvel para download em http://www.padowan.dk/graph/.Mas voc pode utilizar qualquer outro sofware para fazer grfcos de fun-es. Experimente procurar na Internet. L encontrar vrias verses demo prontas para download. Vale a pena tentar! Experimente!Olhando o presente!Os problemas esto ao nosso redor mostrando exemplos de funes. Confra!P1A equao de demanda de um produto p2 + 2p + 2x 24 = 0, sendo p o preo de uma unidade da mercadoria e x o nmero de unidades da mercadoria. Se o produto fosse de graa, qual seria a demanda?Para resolver este problema, importante entender o que a equao de demanda. Num primeiro momento, perceba que estamos trabalhando com duas variveis: p o preo de uma unidade da mercadoria; x a quantidade de mercadoria demandada.Usando mtodos estatsticos e dados econmicos, voc pode montar uma equao de demanda que pode representar funes do tipo p = f (x) (funo preo) ou x = g (y) (funo de demanda).Em situaes econmicas normais, o domnio dessas funes um sub-conjunto dos nmeros reais no negativos.Ao fazer o grfco dessas funes usual na rea de Economia representar a varivel p no eixo horizontal e a funo fca defnida em intervalos con-venientes.Podemos considerar tambm a equao de oferta envolvendo as variveis: p o preo de uma unidade da mercadoria; x a quantidade de mercadoria a ser ofertada por um produtor.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 57 7/7/2006 15:54:23Universidade do Sul de Santa Catarina58Numa situao econmica normal a curva de oferta crescente. Quando o preo da mercadoria aumenta, o produtor aumenta a oferta para tirar vantagem dos preos altos. A curva da demanda decrescente, pois quando o preo aumenta a procura do produto diminui.O equilbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada a um dado preo igual quantidade de mercadoria ofer-tada quele preo. Em outras palavras, o equilbrio de mercado ocorre quando tudo que oferecido para a venda de um determinado preo comprado. No decorrer deste texto vamos voltar a discutir sobre esse tipo de problema que pode ser modelado por funes polinomiais.A partir destas consideraes, podemos defnir a demanda, para a situao apresentada em P1, caso o produto fosse de graa. A representao grfca da funo defnida a partir da equao de demanda p2 + 2p + 2x 24 = 0 poder auxiliar neste momento.Podemos determinar a funo de demanda dada por x = f (p) e para isto, vamos isolar a varivel x na equao de demanda do produto:p p xx p pp pxx p p+ + == + +== +22222 2 24 02 2 242 2421122topicos_de_matematica_elementar_I.indb 58 7/7/2006 15:54:23Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 59Usando um software matemtico, podemos fazer o grfco da funo x p p= +21122, conforme mostra a Figura 2.9:0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.524681012xpFigura 2.9Curva de demanda do produto.Olhando para o grfco da Figura 2.9 possvel determinar que, se o pro-duto fosse de graa, ou seja, a varivel p = 0, o valor da varivel x seria igual a 12, ou seja, a demanda seria de 12 unidades do produto analisado. possvel encontrar este valor de forma algbrica, fazendo p = 0 na fun-o encontrada:x p pxx= += +=22112210 0 12212.SEO 3Propriedades e caractersticasQuando voc for trabalhar com funes, importante que reconhea as diversas linguagens utilizadas em sua representao. Em especial, nas representaes grfcas onde possvel visualizar propriedades e carac-tersticas das funes sem a necessidade de desenvolvimentos algbricos mais elaborados. Pare! Observe!No contexto econmico costuma-se representar a funo inversa para que se tenha o preo no eixo vertical.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 59 7/7/2006 15:54:24Universidade do Sul de Santa Catarina60Veja a seguir, a formalizao das principais propriedades e caractersticas das funes, que sero estudadas de forma especfca para cada tipo de funo nas prximas unidades. Representao algbrica: a lei de formao da funo. Usual-mente utiliza-se a notao y = f (x) Representao grfca: o grfco da funo no sistema cartesiano de coordenadas. Domnio: So os valores que a varivel independente pode assumir. Na representao grfca, possvel identifc-lo a partir da anlise do eixo x. Conjunto imagem: So os valores que a varivel y assume. Na representao grfca, possvel identifc-lo a partir da anlise do eixo y. Zero ou raiz: Quando igualamos a lei de formao a zero (y = 0), haver um valor correspondente de x. Assim, o(s) valor(es) de x tais que f (x) = 0 ser(o) o(s) zero(s) da funo. Grafcamente o ponto em que o grfco corta o eixo x. Sinal de uma funo: O sinal de uma funo dado pelo sinal da imagem da funo. Quando os valores de y assumem sinal posi-tivo, dizemos que f (x) > 0, ou seja, a funo assume sinal positivo. Quando os valores de y assumem sinal negativo, dizemos que f (x) < 0, ou seja, a funo assume sinal negativo. Grafcamente, a funo positiva acima do eixo x e negativa abaixo deste eixo. Crescimento ou decrescimento: Uma funo crescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2, com x1 < x2, tivermos f (x1) < f (x2). Uma funo decrescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2, com x1 < x2, tivermos f (x1) > f (x2).Olhando o presente!Veja o seguinte problema.P2Numa indstria, verifcou-se que quando o preo de uma pea era igual a R$5,00, os clientes encomendavam 50 unidades por dia. Quando o preo passou a ser R$4,50, as encomendas passaram para 60 unidades por dia. Como podemos representar a funo de demanda desta pea?topicos_de_matematica_elementar_I.indb 60 7/7/2006 15:54:24Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 61Para resolver este problema, vamos inicialmente fazer o grfco da funo p = f (x) sendo p o preo e x a quantidade demandada. Com os dados do problema, podemos dizer que esta funo passar pelos pontos (50,5) e (60;4,5), conforme mostra o grfco da Figura 2.10.20 40 60 80 100 120 140-112345678xpFigura 2.10Representao grfca da funo de demanda da pea.Para esta funo, vamos analisar suas propriedades e caractersticas: Representao algbrica: A lei de formao desta funo dada por y = 0,05x + 7,5. Representao grfca: Veja a Figura 2.10. Domnio: A varivel x assume valores que vo de 0 at 150. Por-tanto temos: D( f ) = [0,150]. Observe que na prtica x um nmero inteiro, mas na rea econmica esse formalismo relaxado. Conjunto imagem: Analisando o eixo y do grfco, podemos perce-ber que a varivel y assume valores que vo de 0 at 7,5. Portanto, temos: Im( f ) = y [0;7,5] Zero ou raiz: O zero da funo o ponto cujo grfco corta o eixo x. Nesta funo, isto acontece quando x = 150. Sinal de uma funo: Esta funo toda positiva pois o seu grfco est todo acima do eixo x. Crescimento ou decrescimento: uma funo decrescente pois a medida em que os valores de x aumentam, os valores de y dimi-nuem. Dos dados do problema podemos mostrar que se x1 = 50 e x2 = 60, com x1 < x2, teremos: f (x1) = 5,f (x2) = 4,5ef (x1) > f (x2).topicos_de_matematica_elementar_I.indb 61 7/7/2006 15:54:24Universidade do Sul de Santa Catarina62Olhando o futuro!Estamos de forma sistemtica incentivando o uso de sofwares. Veja, no exemplo desenvolvido, que a expresso que defne a lei de formao foi forne-cida pelo sofware Graph. Colocamos os pontos dados usando a ferramenta Function e Insert point series. Para fazer o traado do grfco usamos um ajus-te de curva com a ferramenta Function e Insert trendline escolhendo a opo linear.Se voc ainda no dispe de um sofware no perca tempo, pesquise o mais rpido possvel um que seja livre na Internet, pois ele vai ser seu ajudante no decorrer desta disciplina.SEO 4Funo inversaAo defnirmos uma funo y = f (x) na forma f : A B, ressaltamos que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um nico elemento de B.Em algumas funes para cada y B existe exatamente um valor x A tal que y = f (x). Nestes casos, defne-se uma funo g : B A na forma x = g (y) .A funo g dita inversa de f, e denotada por f 1.Nem todas as funes possuem inversa. As funes do segundo grau, por exemplo, no possuem inversa, a no ser que seja feita uma restrio con-veniente no seu domnio e contra-domnio.Acompanhe os exemplos a seguir: Exemplos1) Determinar a funo inversa de f (x) = 2x 1.Para determinar a representao algbrica da funo inversa de f (x), troca-se o x pelo y na funo dada. Assim tem-se:x = 2y 1.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 62 7/7/2006 15:54:24Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 63Isolando a varivel y determina-se a funo inversa:x yxy+ =+=1 212Portanto, xf+=112.2) Verifcar a existncia da funo inversa de y = x2 4x + 3. Faa sua repre-sentao grfca, caso exista.Veja na Figura 2.11 a representao grfca da funo y = x2 4x + 3:-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-112345678xf(x)Figura 2.11Grfco da funo y = x2 4x + 3Na funo do segundo grau necessrio realizar uma restrio no dom-nio pois para cada y B existem mais de um x A correspondente. Veja no grfco que quando y = 3 x = 0 ou x = 4.Portanto, a funo inversa s poder ser identifcada caso haja uma res-trio no domnio da funo. Suponha que a funo passe a ser defnida como f : [2,+) R. Veja na Figura 2.12 o grfco da funo:topicos_de_matematica_elementar_I.indb 63 7/7/2006 15:54:25Universidade do Sul de Santa Catarina64-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-112345678xf(x)Figura 2.12Grfco da funo y = x2 4x + 3 defnida de [2,+) RGrafcamente, observa-se uma simtria em relao reta y = x. Veja a representao grfca das duas funes na Figura 2.13.-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6-3-2-11234567xf(x)Figura 2.13Funo f : [2,+) R, y = x2 4x + 3 e sua inversa.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 64 7/7/2006 15:54:25Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 65Parada recreativaMalba Tahan, foi um escritor famoso por suas atividades recreativas envol-vendo a matemtica. Veja se voc consegue resolver a seguinte situao apresentada para o calculista.Como pagamento de pequeno lote de carneiros, trs criadores de damasco receberam 21 vasos de vinho: 7 cheios; 7 meio-cheios; 7 vazios.Como dividir em partes iguais, de forma que cada um deles recebera o mesmo nmero de vasos e a mesma quantidade de vinho, sem abrir os vasos?SnteseAo fnalizar esta unidade, importante que voc perceba que est com uma ferramenta matemtica poderosa e muito til na modelagem de problemas prticos.O detalhamento dos itens que foram aqui mostra-dos ser apresentado no decorrer das prximas unidades.Mas no siga adiante sem antes sanar todas as suas dvidas.No esquea de analisar os conceitos destacados no AVA e as leituras indi-cadas na midiateca.Procure seu professor tutor para ajud-lo na resoluo das atividades apresentadas no AVA, caso voc encontre difculdades.A prxima unidade tratar das funes do primeiro grau.At mais!topicos_de_matematica_elementar_I.indb 65 7/7/2006 15:54:25Universidade do Sul de Santa Catarina66Atividades de auto-avaliao1) Calcule f (0) e f (12) para as funes representadas algebricamente por:(a)f (x) = x2 x + 1(b)f (x) = xx+112) A funo que expressa o custo total, em reais, de fabricao de um produto dada por C(q) = q3 10q2 + 100q + 100, sendo q o nmero de unidades do produto.(a) Calcule o custo de fabricao de cinco unidades.(b) Qual o custo de fabricao da quinta unidade?topicos_de_matematica_elementar_I.indb 66 7/7/2006 15:54:25Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 673) Sejam as funes representadas grafcamente nas fguras 2.14 e 2.15:-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-9-8-7-6-5-4-3-2-1123456789xf(x)Figura 2.14Grfco de f (x).-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9510xg(x)Figura 2.15Grfco de g (x).topicos_de_matematica_elementar_I.indb 67 7/7/2006 15:54:25Universidade do Sul de Santa Catarina68Complete a tabela com as caractersticas e propriedades das funes f (x) e g (x).f(x) g(x)DomnioConjunto imagemZero ou raizSinal da funoIntervalo de crescimentoIntervalo de decrescimento4) Determine a representao algbrica da funo inversa de:(a)f (x) = x +32(b)y = 4 5xtopicos_de_matematica_elementar_I.indb 68 7/7/2006 15:54:26Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 2 69Saiba maisEm todas as reas do conhecimento as funes so usadas para modelar fenmenos fsicos e naturais. A leitura de grfco requerida em quase todas as reas. Para saber mais sobre a aplicao das funes na rea biolgica, visite o site http://www.virtual.epm.br/material/tis/curr-bio/trab2003/g5/ que apresenta vrios grfcos que so lidos e interpretados por mdicos no contexto da cardiologia.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 69 7/7/2006 15:54:26topicos_de_matematica_elementar_I.indb 70 7/7/2006 15:54:26Funo do primeiro grau3UNIDADE 3Objetivos de aprendizagem Identifcar uma funo do primeiro grau por meio de sua forma algbrica. Conhecer e analisar as propriedades e caractersticas de uma funo do primeiro grau. Utilizar as funes do primeiro grau.Plano de estudo Seo 1 Defnio Seo 2 Grfco da funo do primeiro grau Seo 3 Propriedades e caractersticas Seo 4 Aplicaestopicos_de_matematica_elementar_I.indb 71 7/7/2006 15:54:26Universidade do Sul de Santa Catarina72Para incio de conversaVoc vai perceber no decorrer desta unidade que as funes lineares so muito importantes para a resoluo de diversos problemas. Elas so muito usadas, por exemplo, elas so usadas muito no contexto econmico para modelar funes de demanda e de oferta de um determinado produto.As propriedades e caractersticas desse tipo de funes so facilmente identifcadas tanto na sua representao grfca como na sua representa-o algbrica.Lembre-se, no decorrer do estudo desta unidade, que muitos matemti-cos dedicaram horas de estudo para formalizar conceitos que nos dias de hoje apresentamos como simples e de fcil aplicao.Esse fato tem impli-caes didticas, sobre as quais voc vai refetir no decorrer de todo o seu curso.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 72 7/7/2006 15:54:26Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 73SEO 1IntroduoVoc j deve ter escutado o uso de termos como receita, custo e lucro quando se fala sobre assuntos relacionados rea econmica.Todos estes termos podem ser analisados atravs de formas algbricas que so fun-es do 1 grau.Olhando o presente!Veja os seguintes problemas:P1Uma foricultura tem como principal produto buqus de rosas que so vendidos a R$25,00 cada buqu. A despesa mensal com aluguel, luz e funcionrios de R$2000,00. O custo para compor cada buqu de R$15,00. Escreva a funo receita, custo e lucro e calcule quantos buqus devem ser vendidos para que a receita seja igual ao custo, ou seja, para que o lucro seja zero.P2Suponha que um retngulo tem lados iguais a x e x + 2, qual a funo que nos d o permetro deste retngulo?Para resolver estes problemas devemos ter em mos os conceitos relacio-nados com as funes de 1 grau.Defnio:Chama-se de funo do primeiro grau a fun-o que associa cada nmero real x, o nmero real ax + b.Linguagem Simblica:f : R Rf (x) = ax + b sendo a, b R com a 0 Pare! Revise!Lembre-se que receita tudo que se ganha, custo aquilo que se paga e o lucro obtido diminuindo o custo da receita.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 73 7/7/2006 15:54:26Universidade do Sul de Santa Catarina74Os nmeros reais a e b so chamados de coefciente angular e coef-ciente linear, respectivamente.As funes do 1 grau podem ser classifcadas de acordo com os valores assumidos por a e b, veja a tabela a seguir:Condio dos CoefcientesRepresentao AlgbricaNome da funoa 0 e b 0 f (x) = ax + b Funo Afmb = 0 f (x) = ax Funo Linearb = 0ea = 1 f (x) = x Funo Identidade Exemplos1)Classifcar as seguintes funes quanto ao seu tipo:(a)f (x) = 2xFuno Linear(b)g (x) = 12 x 9Funo Afm(c) y = xFuno Identidade(d) r (t) = 4 7tFuno Afm2)Escolher um nmero qualquer, multiplicar por dois e somar dez. Escre-ver esta regra como uma funo do primeiro grau na forma algbrica.Escolher um nmero: xMultiplicar por dois: 2xSomar dez: 2x + 10Assim, temos: f (x) = 2x + 10.Esta funo associa cada nmero x ao seu dobro mais 10. Pare! Observe!Observe que a funo do primeiro grau chamada de identidade nica, ou seja, existe apenas um caso onde:b = 0ea = 1.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 74 7/7/2006 15:54:26Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 753)Escrever a forma algbrica de uma funo f que associa a cada nmero a sua metade e do resultado subtrai seis. Em seguida calcule f (2), f (0) e f (2).f (x) = 12 x 6 a funo pedida.f (2) = 12(2) 6 = 1 6 = 7f (0) = 12(0) 6 = 0 6 = 6f (2) = 12(2) 6 = 1 6 = 54)Agora j estamos aptos a resolver nosso problema inicial P1, sobre a venda de buqus em uma foricultura.Vamos considerar x a quantidade de buqus vendidos no ms. Como cada buqu vendido a R$ 25,00, temos que a receita total no fm do ms dada por 25x, logoR(x) = 25xEsta uma funo do primeiro grau do tipo linear.O custo total da foricultura a soma do custo varivel e do custo fxo. Como gasta-se R$ 15,00 para a confeco de cada buqu, segue que o custo varivel de CV = 15x. J o custo fxo de CF = 2000 logo, o custo total dado por:C = CV + CFC(x) = 15x + 2000Esta uma funo do primeiro grau do tipo afm.Agora para obter a funo que nos d o lucro total da foricultura, basta subtrair o custo da receita, ou seja,L(x) = R(x) C(x)L(x) = 25x (15x + 2000)L(x) = 10x 2000Esta tambm uma funo do 1 grau do tipo afm.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 75 7/7/2006 15:54:26Universidade do Sul de Santa Catarina76Falta agora calcularmos a quantidade vendida para que a receita seja igual ao custo, ou seja, o lucro seja zero.Se L(x) = 0, ento 10x 2000 = 0, resolvendo esta equao temos que x = 200.Assim, conclumos que, se a venda for inferior a 200 uni-dades, ento a foricultura ainda est tendo prejuzo, e se a venda for maior que 200 unidades, os lucros comeam a aparecer.No incio desta seo tnhamos um outro problema a ser resolvido, que era o clculo do permetro de um retngulo.Agora j podemos encontrar a funo que nos d o permetro de um retngulo que tem dimenses x e x + 2. Assim:P = x + x + (x + 2) + (x + 2)P = 4x + 4Usando a notao de funo temos que P(x) = 4x + 4.SEO 2Grfco da funo do primeiro grauNesta seo voc vai estudar a representao grfca da funo do pri-meiro grau.Olhando o presente!Veja a seguir os novos problemas para voc analisar.P3Suponha que voc tenha dois pontos no plano cartesiano, como obter a lei de formao da funo do primeiro grau?P4Anlise a representao grfca da funo lucro obtida no pro-blema P1. Pare! Observe!O ponto onde a receita coin-cide com o custo, ou seja, o ponto onde o lucro zero, chamado de ponto de nive-lamento. Os economistas usam a palavra:break even point. Pare! Revise!Voc lembra como calcular o permetro de um retngulo? muito simples, basta somar todos os lados. Assim de maneira mais formal, deni-mos que o permetro de um retngulo a soma dos seus lados.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 76 7/7/2006 15:54:27Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 77Para obter a representao grfca de uma funo do primeiro grau, faze-mos o uso de uma tabela de valores, para em seguida colocar os pontos obtidos no plano cartesiano.Olhando o passado!Dizem que uma mosca pode ter motivado a notao do sistema cartesiano. O matemtico Ren Descartes observava uma mosca que caminhava no forro de seu quarto, junto a um dos cantos. Chamou sua ateno o fato de que o caminho da mosca sobre o forro poderia ser descrito se as distncias at as paredes adjacentes fossem conhecidas. Exemplos1)Representar grafcamente a funo y = x + 2.Inicialmente, constri-se uma tabela atribuindo valores para x e determinando os valores de y correspondente.Note que cada par ordenado (x,y), corresponde um ponto no plano cartesiano. Assim obtm-se o grfco mostrado na Figura 3.1.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-3-2-112345xf(x)Figura 3.1Grfco da funo y = x + 2x y = x + 2 (x,y)2 y = 2 + 2 = 0 (2,0)1 y = 1 + 2 = 1 (1,1)0 y = 0 + 2 = 2 (0,2)1 y = 1 + 2 = 3 (1,3)2 y = 2 + 2 = 4 (2,4) Pare! Observe!Note que uma reta pode ser denida por apenas dois pontos. Logo basta determi-nar dois pontos para a cons-truo do grco de uma funo do primeiro grau.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 77 7/7/2006 15:54:27Universidade do Sul de Santa Catarina782)Represente grafcamente a funo y = x.O grfco desta funo mostrado na Figura 3.2.-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-3-2-112345xf(x)Figura 3.2Grfco da funo y = xOlhando o futuro!Os grfcos mostrados nas Figuras 3.1 e 3.2, podem ser gerados por sofwares matemticos. Voc pode utilizar qualquer sofware para fazer grfcos de fun-es. Experimente procurar na Internet que voc encontrar vrias verses demo prontas para o download. Vale a pena tentar! Experimente!Apesar destes programas nos auxiliarem na construo dos grfcos, bom saber fazer esboos grfcos sem ajuda tecnolgica, pois a constru-o manual possibilita a identifcao de caractersticas da funo.Agora que voc j sabe como fazer o grfco de uma funo do primeiro grau, j podemos retornar aos problemas P3 e P4 do incio da seo.O problema P3 requer que defnamos a lei de formao de uma funo do primeiro grau, conhecendo apenas dois pontos. Considere uma reta que passa pelos pontos (1,3) e (2,4). Visualize esta reta na Figura 3.3.x y = x (x,y)0y = 0(0,0)1y = 1(1,1)topicos_de_matematica_elementar_I.indb 78 7/7/2006 15:54:27Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 79-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8-3-2-112345xf(x)Figura 3.3Grfco da reta que passa pelos pontos (-1,3) e (2,4)A lei de formao dada por f (x) = ax + b. Temos que: A imagem de 1 3, logo f (1) = a(1) + b = 3 A imagem de 2 4, logo f (2) = a(2) + b = 4Agrupando estas equaes, temos o seguinte sistema:a ba b + = + =32 4Resolvendo este sistema, tem-se que a = 13 e b = 103. Logo a lei de formao da funo dada por:f (x) = 13x + 103.Voltamos a resoluo do problema P4 para analisar a representao gr-fca da funo lucro obtida no problema P1.Lembre-se que, de acordo com o problema P1, temos que:L(x) = 10x 2000. Note, inicialmente, que para fazer o grfco desta funo devemos ter x 0, pois x representa quantidade, logo, o grfco de L est todo a direita do eixo y. Veja o grfco na Figura 3.4.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 79 7/7/2006 15:54:27Universidade do Sul de Santa Catarina8050 100 150 200 250 300-2500-2000-1500-1000-5005001000150020002500xL(x)Figura 3.4Grfco da funo L(x) = 10x 2000 O coefciente linear igual b = 2000, isto , o grfco de L, toca o eixo y no ponto (0,2000). Neste ponto nada foi vendido. O ponto (200,0) onde a reta corta o eixo x. Assim, x = 200 o ponto tal que a receita igual ao custo. Quando x < 200, temos prejuzo, o grfco est abaixo do eixo x. Quando x > 200, obtemos lucro efetivo, o grfco est acima do eixo x.SEO 3Propriedades e caractersticasA forma algbrica de uma funo do primeiro grau nos leva a uma srie de concluses sobre a funo, mesmo sem termos a sua representao geomtrica. Algumas caractersticas que sero analisadas, considerando apenas sua representao algbrica so: o domnio, a imagem, o zero da funo, o crescimento e o decrescimento e o sinal da funo.Para a anlise completa vejamos a comparao entre duas funes do pri-meiro grau representadas nas Figuras 3.5 e 3.6.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 80 7/7/2006 15:54:28Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 81-3 -2 -1 1 2 3-3-2-112345xf(x)Figura 3.5Grfco de f (x) = 2x + 4-3 -2 -1 1 2 3-3-2-112345xf(x)Figura 3.6Grfco de f (x) = 2x + 4O que vamos observar?f (x) = 2x + 4 f (x) = 2x + 4Representao Grfca uma retaDomnio Conjunto dos nmeros reaisImagem Conjunto dos nmeros reaisZero ou raiz: Ponto onde o grfco corta o eixo dos x, isto , f (x) = 02x + 4 = 0 x = 2 2x + 4 = 0 x = 2Crescimento e decrescimento: A anlise feita atravs do sinal do coefciente angular. Se a > 0, a funo crescente e se a < 0, a funo decrescente.Como a = 2 > 0, segue que a funo crescente.Como a = 2 < 0, segue que a funo decrescente.Sinal da funo: Anlise da imagem da funo. Como f (x) = ax + b, segue que f (x) > 0, quando ax + b > 0, ou x > ba e f (x) < 0 se x < ba.f (x) = 2x + 4 > 0 se x > 2ef (x) = 2x + 4 < 0 se x < 2.f (x) = 2x + 4 > 0 se x < 2ef (x) = 2x + 4 < 0 se x > 2.Note que todas estas caractersticas podem ser visualizadas diretamente com a an-lise grfca. Exemplos1)Considere a funo lucro do problema P1. Analise suas propriedades e caractersticas.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 81 7/7/2006 15:54:28Universidade do Sul de Santa Catarina82Temos que L(x) = 10x 2000 (Veja o grfco na Figura 3.4).Note pelo grfco que: O domnio dado por: D(L) = [0,+), isto , x 0. A imagem dada por Im(L) = [2000, +), isto , y 2000. O zero desta funo quando L(x) = 0, neste caso x = 200. Esta funo crescente pois a = 10 > 0 A funo positiva quando x > 200 e negativa quando x < 200.2)Seja f (x) = 3x + 9. Determine:(a)O grfco de f (x).(b)O ponto em que a reta cruza o eixo x.(c)O ponto em que a reta cruza o eixo y.(d)A funo crescente ou decrescente?(a)A Figura 3.7 apresenta a visualizao grfca de f (x) = 3x + 9.-3 -2 -1 1 2 3-3-2-11234567891011xf(x)Figura 3.7Grfco da funo f (x) = 3x + 9(b)O ponto em que a reta cruza o eixo x, o ponto onde y = 0, logo:3x + 9 = 0 3x = 9 x = 3Assim, a reta corta o eixo x no ponto (3,0).topicos_de_matematica_elementar_I.indb 82 7/7/2006 15:54:28Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 83(c)O ponto em que a reta cruza o eixo y, o ponto onde x = 0, logo:y = 30 + 9 y = 9Assim, a reta corta o eixo y no ponto (0,9). Note que o valor 9 perceptvel na forma algbrica da funo (coefciente linear).(d)A funo decrescente pois a = 3 < 0.SEO 4Outras aplicaesJ notamos que algumas variveis econmicas podem ser modeladas atravs de funes de primeiro grau. Entre elas, a receita, o custo e o lucro.Olhando o presente!Veja a aplicao de demanda e oferta no mercado.P5A quantidade demandada de um bem dada por qd = 8 4p e a quantidade ofertada dada por qo = 2 + 6p. Qual o preo timo em reais a ser cobrado para este bem, para que toda a oferta seja deman-dada, ou seja, a quantidade submetida ao mercado seja consumida?O problema P5 faz a meno de duas novas variveis: Quantidade Deman-dada e Quantidade Ofertada. Veja a defnio de ambas:Funo DemandaA quantidade demandada de um determinado bem (qd ) depende do preo deste bem. a quantidade que o consumidor est disposto a con-sumir. Muitas destas relaes so representadas por funes do primeiro grau.O coefciente angular desta funo negativo, ou seja, a funo decrescente; isto , a medida que o preo aumenta, a quantidade procu-rada diminui e a medida que o preo diminui, a quantidade procurada aumenta.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 83 7/7/2006 15:54:28Universidade do Sul de Santa Catarina84Os grfcos destas funes esto no primeiro quadrante, j que as variveis envolvidas, preo e quantidade so sempre maiores ou iguais a zero.Funo OfertaA quantidade ofertada de um determinado bem (qo ) depende do preo deste bem. a quantidade que o comerciante deveria submeter ao mer-cado. Muitas destas relaes so representadas por funes do primeiro grau.O coefciente angular desta funo positivo, ou seja, a funo cres-cente, isto , a medida que o preo aumenta, a quantidade ofertada tambm aumenta e a medida que o preo diminui a quantidade ofertada tambm diminui.Os grfcos destas funes esto no primeiro quadrante, j que as variveis envolvidas, preo e quantidade so sempre maiores ou iguais a zero.Voltando ao problema P5. Note que as funes demanda qd = 8 4p e oferta qo = 2 + 6p, esto de acordo com as defnies acima. Primeira-mente, veja o grfco das duas funes, traadas no mesmo sistema de coordenadas na Figuras 3.8.1 2-22468pqp qd4 8 =p qo6 2 + =Figura 3.8Grfcos das funes qd = 8 4peqo = 2 + 6ptopicos_de_matematica_elementar_I.indb 84 7/7/2006 15:54:29Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 85Perceba que estas funes se interceptam em um ponto e este ponto chamado de ponto de equilbrio, ou preo de equilbrio. Neste ponto tudo que ofertado vendido, seria o preo timo do produto no mer-cado. Esta anlise pode ser feita algebricamente tambm. Como que-remos que a quantidade demandada seja igual a quantidade ofertada, temos:qd = qo8 4p = 2 + 6p10p = 10p = 1Portanto, o preo de equilbrio de R$ 1,00. Para p = 1, temos qd = qo = 4. Isto quer dizer que se o preo do bem for de 1 real, e se forem disponibili-zados 4 unidades no mercado, todas sero vendidas.Parada recreativaAntes de apresentar sugestes para a sua auto-avaliao, vamos fazer um relaxamento.Dois amigos, Ted e Mad, no tempo de colgio, gostavam de charadas e jogos. Nunca se entendiam. Dona Flor, me de Ted, nos contou que um dia eles fcaram vrias horas discu-tindo sobre o tamanho das mesas que apareciam no calendrio da sua cozinha. Ted, afrmava que ambas as mesas tinham a mesma medida e Mad dizia que no.Afnal! Quem estava com a razo?topicos_de_matematica_elementar_I.indb 85 7/7/2006 15:54:29Universidade do Sul de Santa Catarina86SnteseNesta unidade voc teve contato com as funes do primeiro grau e percebeu que muitas aplicaes prticas do dia-a-dia so modeladas com estas funes, entre elas, as funes de oferta e demanda, alm das funes receita, custo e lucro.Muitas das caractersticas destas funes podem ser visualizadas na representao grfca, e, neste caso, o uso de softwares ajuda no desenvolvimento grfco com uma apresentao de qualidade.No esquea de dar uma passada pelo AVA para analisar os destaques, as celebridades e mais uma aula para a sua coleo didtica.Na prxima unidade voc vai estudar as funes do segundo grau e perce-ber que alguma situao prtica j discutida nesta unidade pode ser reto-mada e novos modelos sero apresentados.At mais!topicos_de_matematica_elementar_I.indb 86 7/7/2006 15:54:29Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 87Atividades de auto-avaliao1)Identifque as seguintes funes quanto ao seu tipo:(a) f (x) = 3x(b) h (t) = 1 4t(c) s (t ) = t(d) g (x) = 2x + 12)Encontre a lei de formao para a funo que associa a cada nmero x qualquer, um valor x adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por 5.3)Na fabricao de um determinado bem, verifcou-se que o custo total foi obtido a partir de uma taxa fxa de R$ 1.000,00, adicionada de um custo de produo de R$ 500,00 por unidade. Determine a funo custo total em relao a quantidade produzida e o custo de fabricao de 10 unidades.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 87 7/7/2006 15:54:29Universidade do Sul de Santa Catarina884)Um locadora de carros cobra R$ 50,00 o aluguel de um carro mais R$ 2,00 por quilometro rodado. Determine.(a)O preo a ser pago para rodar 10 km.(b)O preo a ser pago para rodar 35 km.(c)Qual a funo que modela esta situao?5)Seja s (t) = 4 + 8t, determine:(a)O grfco de s(t ).(b)O domnio e a imagem de s(t ).(c)Se a funo s(t ) crescente ou decrescente.(d)O sinal da funo s(t ).topicos_de_matematica_elementar_I.indb 88 7/7/2006 15:54:29Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 3 896)Uma pequena fbrica de mveis tem como seu principal produto a fabricao de banquetas. Cada banqueta vendida ao preo de R$ 25,00. A fbrica tem um custo fxo mensal de R$ 5.000,00 em aluguel e mquinas, conta de luz, compra de material e pagamento de funcionrios. A mesma gasta R$ 15,00 para fabricar cada banqueta. Determine:(a) A funo Receita Total e Custo Total.(b) A funo Lucro Total.(c) Qual o ponto de nivelamento.(d) Se a venda mensal for de 500 banquetas. A fbrica obter lucro ou prejuzo?(e) Qual a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R$ 1.000,00?(f )Qual o lucro para a venda de 760 banquetas mensais?7)A quantidade demandada de um bem de qd = 5 p e a quantidade ofertada de qo = 1 + 2p. Discuta o preo de equilbrio algebricamente e geometricamente.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 89 7/7/2006 15:54:29Universidade do Sul de Santa Catarina90Saiba maisCaso voc queira ampliar e aprofundar detalhes das funes do primeiro grau, recomendamos a leitura do livro FLEMMING, D. M. ; LUZ, E. F. Repre-sentaes grfcas. So Jos: Saint Germain, 2003. Neste texto voc vai encontrar outras aplicaes contextualizadas atravs da leitura grfca.Bom trabalho!topicos_de_matematica_elementar_I.indb 90 7/7/2006 15:54:29Funo do segundo grau4UNIDADE 4Objetivos de aprendizagem Identifcar uma funo do segundo grau por meio de sua forma algbrica. Conhecer, esboar e analisar o grfco de uma funo do segundo grau. Aplicar as funes do segundo grau em situaes reais.Sees de estudo Seo 1 Introduo Seo 2 Grfco da funo de segundo grau Seo 3 Propriedades e caractersticastopicos_de_matematica_elementar_I.indb 91 7/7/2006 15:54:30Universidade do Sul de Santa Catarina92Para incio de conversaAo estudar as funes do segundo grau voc ter a oportunidade de visu-alizar a importncia dos recursos tecnolgicos no contexto do processo ensino-aprendizagem da Matemtica.Para auxiliar na construo de grfcos e na modelagem de problemas os recursos computacionais so usados para facilitar o trabalho braal. importante que voc sempre tenha em mente de que a tecnologia est presente no nosso dia-a-dia, no para resolver os problemas, mas para auxiliar no desenvolvimento de aes mecnicas, por exemplo, clculos e construes grfcas.Tenha a certeza de que vamos fazer bons trabalhos com recursos tecnol-gicos.topicos_de_matematica_elementar_I.indb 92 7/7/2006 15:54:30Tpicos de Matemtica Elementar IUnidade 4 93SEO 1IntroduoPara falar das funes do segundo grau, tente fazer o exerccio de olhar ao seu redor procura de parbolas. Precisa de uma dica? Procure uma antena parablica e perceba que esse objeto muito comum no nosso dia-a-dia tem a forma de uma parbola. Todas as parbolas so modeladas com funes do segundo grau. Outros fenmenos utilizam as funes ditas quadrticas para formalizar a modelagem. Por exemplo: Modelos econmicos; Objetos em queda livre; Balstica; Os faris de um carro.Olhando o presente!Veja os seguintes problemas:P1Uma revendedora de doces percebeu que a equao de demanda de seu principal produto (barras de chocolate) dada por x = 20 p, e a funo custo dada por C(x) = 2x + 17. Obtenha a funo lucro e a partir da anlise grfca da funo, determine o nmero de barras de chocolate a serem vendidas pela revendedora, afm de que a mesma possa obter lucro mximo.P2Uma pedra atirada para cima com uma velocidade de 40m/s, a sua altura depois de