tópicos de cálculo vol. ii v - by priale

n M O L f l f

m i lVOLUMEN 2' i ¡ i i y

TERCERA EDICIÓN www.FreeLibros.com

TOPICOS DE CALCULO VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA

- INTEGRAL DEFINIDA

• INTEGRALES IMPROPIAS

- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

- COORDENADAS POLARES

- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

- SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

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TOPICOS DE CALCULO VOL. II

TERCERA EDICION

MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA

IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU

Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios gráficos, sin permiso de los autores.Número de Inscripción en le Registro Nacional de Derechos de Autor N° 160Impreso en los Talleres Gráficos de:Editorial THALES S.R.L.

TERCERA EDICION Mayo del 2009

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PRÓLOGO

En esta segunda edición de T óp ico s de Cá lcu lo Vo l. II, nos hem os esforzado por

presentar el cálculo integral para funciones reales de una variable real y la

geometría analítica en el espacio, en form a tal que resulte de m áxim o provecho a

los estudiantes cuyo cam po de especialización no sea estrictamente las

matemáticas. L a orientación principal del libro es hacia aplicaciones en d iversas

áreas de la ciencia, lo cual am plía la utilidad del texto.

Aunque en esta edición la estructura básica general no se ha cam biado, se ha

realizado una gran cantidad de revisiones. H em os reestructurado casi la totalidad

del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho una gran cantidad de m od ificaciones a

lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales

desarrollados y redacción de procedimientos. E l conjunto de ejercicios propuestos

se ha m odificado, con la adición de nuevos ejercicios.

E l L ib ro se d ivide en siete capítulos. E n los prim eros cuatro capítulos se hace una

presentación de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus

aplicaciones. H em os visto por conveniencia desarrollar primero la integral

indefinida con la finalidad de fam iliarizar al estudiante con las técnicas y/o

artificios de integración que luego se usan en los capítulos siguientes. E l capítulo

cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los capítulos

siguientes (del sexto al séptimo), se inicia con una introducción breve de vectores

en el espacio trid im ensional y se continua con recta, plano, superficies y se

concluye con las coordenadas cilindricas y esféricas.

Nuestro propósito es que esta edición no lenga errores, pero es casi un axiom a que

todo libro de Matem ática los presente; por tal m otivo consideram os que este texto

no sea la excepción, a pesar del esmero y la dedicación puesta para detectarlos y

corregirlos antes de su impresión. E n tal sentido, los autores com partim os la

responsabilidad de los m ism os, aclarando que d ichos errores han sido com etidos

solamente por uno de los autores.

Querem os expresar nuestro agradecim iento a los profesores y a lum nos de todo el país por la acogida brindada a la edición anterior y esperam os que esta nueva

edición tenga la m ism a preferencia.

L o s Autores

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I N D I C E

C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A

Antiderivada e integración indefin ida.......................................... 1

Propiedades de la integral indefin ida..................................... 4

Integrales inm ediatas........................................................... 5

M étodos de integración........................................................ 10

Integración por sustitución o cam bio de variab le............. 11

Integración por p a rte s .................................... 20

Técnicas de integración........................................................ 29

Integrales de algunas funciones trigonométricas e hiperbólicas 32

integrales de la form a / sen™* c o s - x dx y f s , n ^ x cosk’ x dx 32

Integración por sustitución trigonom étrica ................................ 45

M étodo de integración por descom posición en fracciones parciales 56

Integración de algunas funciones irracionales........... .............. 68

C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A

Sum atoria s............................................................................ 95

Cálcu lo del área de una región plana por sum ato ria s.............. 104

Sum a superior y sum a in fe r io r ............................................ 112

Integrales inferiores y su p e rio re s.......................................... 115

Integral de R iem ann .............................................................. 116

Propiedades de la integral definida ....................................... 120

Teorem as fundamentales del cálculo in te gra l........................ 121

C am b ia de variable en una integral d e f in id a ........................ 130

Integración por partes en una integral d e f in id a ...................... 134

Cálcu lo aproxim ado de las integrales defin idas................... 144

C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S

Integrales im propias con lím ites infin itos.............................. 149

Integrales im propias con lím ites f in ito s ............................... 152

Integrales im propias con integrando no negativo............. . 161

C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

Área de regiones p la n a s ....................... ....... ........................... 167

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Vo lum en de un só lido en función de las áreas de las secciones p lanas...... 181

Vo lum en de un só lido de revo luc ión..................................... 185

M étodo del d isco circular y del anillo circu lar...................... 185

M étodo de la corteza cilindrica .............................. ............... 191

Longitud de a r c o .................................................................. 201

Área de una superficie de re vo lu c ió n ................................... 208

M om entos y centros de masa (ó centros de g ra ve d a d )........... 214

Ap licac iones de la integral en los n e g o c io s ............. ............... 229

C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S

Sistem a de coordenadas p o la re s ..................................... ........ 237

Relación entre las coordenadas polares y las rectangu lares....... 239

D istancia entre dos puntos en coordenadas p o la re s ................... 240

Ecuación polar de una re c ta .............................. ..................... 241

Ecuación polar de una c ircunferencia ....................................... 243

D iscu sión y gráfica de una ecuación p o la r ................................ 244

Intersección de curvas en coordenadas p o la re s........................... 248

Derivadas y rectas tangentes en coordenadas p o la re s.............. 251

Á n g u lo entre dos curvas en coordenadas p o la re s ...................... 254

Á rea de regiones en coordenadas p o la re s ........................ ....... 262

Longitud de arco en coordenadas p o la re s ................................. 266

Vo lum en de un só lido de revolución en coordenadas polares.... 268

C A P I T U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C I O

T R I D I M E N S I O N A L

Vectores en el espacio tr id im en siona l....................................... 273

Representación geométrica de un vector en i 3 ....... .................. 274

Vectores paralelos en R 3 .......................................................... 276

M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ...................................... 277

Á n g u lo entre dos ve c to re s......................................................... 278

Vectores ortogonales o perpendiculares..................................... 279 •

Producto ve c to r ia l............. ....................................................... 283

Ap licac iones del producto ve c to r ia l............................................ 285

A p licac ión del triple producto e sc a la r ........................................ 287

Recta en el e sp a c io .............................. ..................................... 295

Relación entre los cosenos directores de una recta....................... 296 www.FreeLibros.com

Ecuaciones de un plano en el e sp a c io ......................................... 306

Á n g u lo entre dos p la n o s ............................................................. 319

Proyección ortogonal de una recta sobre un p la n o ...................... 320

C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S

E s fe r a .................................................................................... 342

D iscu sió n y gráfica de la ecuación de una su p e rf ic ie ................. 347

C i l in d r o s ................................................................................. 352

Superficie de re v o lu c ió n ......................................................... 356

Superficies cuad rá tica s............................................................. 361

Coordenadas cilindricas y coordenadas e sfé rica s........................ 369

Coordenadas esféricas............................................................... 371

A p lic a c io n e s .............................................................................. 373

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( r ' ........ ....1............................ ^

INTEGRAL INDEFINIDA

^ ...... .....— ^

1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A

En el libro de T óp ico s de Cá lcu lo Vo lum en 1, se trató principalmente el problem a

básico siguiente: “D ada una función encontrar su derivada” . S in embargo, existen

m uchas aplicaciones del cálculo que están relacionadas con el problema inverso,

el cual es: “D ada una función /, definida en un intervalo /, encontrar una función

F cuya derivada sea la función /, es decir,

F '( x ) = / (x ) , V x G /.

D e fin ic ió n 1. Sea / un intervalo y /: / -> M una función. U na función F: / —» M

tal que F ' ( x ) = / (x ) , V x G /, se denom ina prim itiva o antiderivada de / en / y

se escribe

F ( x ) = An t ( / ( x ) ) , V x G /

E je m p lo 1. S e a / ( x ) = 4 x 3 , x G R y g ( x ) = e x , x G B .

Las funciones F(x) = x 4 y G (x ) = e x, x G K, son respectivamente antiderivadas

de / y g en E , es decir,

F'(x) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R

G '( x ) = ( e xy = e * , V x G l

Tam bién son antiderivadas de / ( x ) = 4 x 3 las funciones

1007TF1(x) = x 4 + 2, F2{x) = x 4 + ln7i y F3( x ) = x 4 + -

pues sus derivadas son iguales a / ( x ) = 4 x 3

Análogam ente, otras antiderivadas de g ( x ) = e x son, por ejemplo,

V3G iC x) = e x - 1, G2(x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + — y C 4( x ) = e x + k

donde k es cualquier constante real.

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Observación i. Si F{ x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F(x) + C, donde C es una constante real, es también antiderivada de f en l.

lista propiedad es evidente, pues si F(x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces

F ' ( x ) = f ( x ) , V x e l

Tam bién ( F ( x ) + C ) ' = F'{x) = / ( * ) , V x 6 /. Entonces

F(x) + C = A n t ( f { x ) ) en /

U na pregunta natural es: “S i F(x) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿cualqu ier otra

antiderivada de / en I difiere de F a lo más en una constante?”. D ic h o de otro

modo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariamente Fr (x) = F ( x ) + C, V x e l ?

La respuesta es afirm ativa y se deduce de la siguiente proposición.

P rop o s ic ió n 1. Sea / :/ -» E una función definida en el intervalo abierto / y

F:I -» E una antiderivada o prim itiva de /. S i : / -> E es también una antiderivada de /, entonces

F1(x) = F ( x ) + C para alguna constante C.

Dem ostración

D efin im os la función H por H(x) = F ^ x ) - F (x ) . Entonces

H'(x) = Fi(x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l Luego, H'(x) = 0 , V x e l .

D e aquí se deduce que H( x ) = C , V x e l , donde C es una constante (ver

Coro la rio 1 del T .V .M . T óp ico s de Cá lcu lo Vo l. 1). Luego, se tiene

H(x) = F iC O - F{x) = C <=> F^ x) = F(x) + C , V x e l

Geométricamente, sign ifica que si F( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cualquier

otra antiderivada de / en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x) (Fig. 1.1).

T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II

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INTEGRAL INDEFINIDA

D e fin ic ió n 2. Sea F ( x ) una antiderivada de f { x ) definida en el intervalo I. L a

in tegra l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f ( x )

definidas en d icho intervalo y se representa mediante el sím bolo

J f ( x ) d x = F ( x ) . + C

donde C es una constante real que se denom ina constante de in tegrac ión .

L a func ión / ( x ) se llam a integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, x

variable de la integral- y el s ím bolo j se denom ina sím bolo de la integral. La

expresión / / ( x ) d x se lee “ integral de f ( x ) con respecto a x ” o “ integral

indefinida de / ( x ) diferencial x ” .

Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:

i) ^ ( J / ( x ) d x ) — ( J / ( x ) d x ) = ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r :

“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "

ti) d / ( x ) d x j = / ( x ) d x j d x = f { x ) d x

¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J f ' { x ) d x = f ( x ) + C

iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce:

J d ( / ( x ) ) = f ( x ) + C

D e las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede

interpretarse com o una operación inversa de la diferenciación, pues al aplicar la

integral indefinida a la diferencial de la función f { x ) , ésta reproduce la función

/ ( x ) m ás la constante de integración.

E je m p lo 2. D e l ejemplo 1 se deduce:

i) J e xd x = e x + C

ii) J 4 x 3d x = x 4 + C

E n la figura 1.2 se muestra la gráfica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir,

de F ( x ) = e * + C , donde C es una constante real. S i C > 0, la gráfica de y = e x se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza

paralelamente C unidades hacia abajo.

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

Ejem plo 3. Como d (x ln x - x ) = ln x dx, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d ( x l n x — x ) = J \ n x d x = x l n x - x + C

, , í 1 xEjem plo 4. J - ^ —j = - ar c t a n - + C , pues

n x \' 1( -a r c ta n - + C) = -

1__ 2__

X 1 +=r4

14 + x 2

1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A

P rop o s ic ió n 2. S i / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo /

y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / ± g y k f admiten antiderivadas en / y se tiene:

a) [ í f ( x ) ± g ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± J g ( x ) d x

b ) I [ k f ( x ) ] d x = k j f ( x ) d x

D em o stra c ió n

a) Com o | J [/ (x ) ± 5 (x )]d x j = / (x ) ± ^ ( x ) = / (x )d x j ± J g ( x ) d x ,

entonces J [ f (x ) ± g ( x ) ] d x y J f ( x ) d x ± J g ( x )d x son las antiderivadas

de / ( x ) ± g ( x ) . Po r tanto,

j [ / ( * ) ± 9 ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± j g ( x ) d x

b) L a dem ostración queda com o ejercicio para el lector.

D e la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una sum a algebraica de varias funciones es igual a la sum a algebraica de sus integrales.

E je m p lo 5. Calcule j (e x - 4 x 3 + ln x )d x .

So luc ión . E n virtud de la proposición 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:

J (e x - 4 x 3 + l n x ) d x = J e xdx - J 4 x 3d x + J l n x d x

= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C2) + ( x l n x - x + C3)

= e x - x 4 + x In x - x + C, d on d e C = Cx + C2 + C3

En lo que sigue solamente usarem os una constante ún ica de integración para la sum a de 2 o m ás funciones.


S i conocem os f ' ( x ) , por la observación 2-iii se deduce que

j f ' ( x ) d x = f ( x ) + C ó J d ( f ( x ) ) = f { x ) + C

Esta integral se denom ina integral inmediata. Po r ejemplo, una integral inmediata

es / d x = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas,

que contiene, además de las integrales de funciones elementales, otras que serán

de m ucha utilidad. Po r comodidad, en lugar de la variable x usarem os la letra u.

M á s adelante, verem os que u puede ser una función, es decir, u = u (% ).

F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E I N T E G R A C I Ó N

1. J du = u + C 2. j — = ln|u| + C

f un+1 f3. undu = ---------------- + C ,n — 1 4. e udu = e + C

J n + 1 J

f ciu f5. \ a udu = --------b C 6 . | sen u du = - c o su + C

J ln a J

7. J eos u d u = sen u + C 8 . j tan u d u = ln[sec u| + C

9. J c o tu d u = ¡njsen u¡ + C 1 0 . J secu du — ln|secu + tan u| + C

” ■ / ese u du = ln|csci¿ — coti¿| + C 12. J sec2u du = tan u + C

13. J csc2u du = — cot u + C 14. J se cu tan u du = se cu 4- C

15. J ese u cot u du = — ese u + C 16. J senh u du = cosh u + C

17. j cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = tanh u + C 2 0 . J cschJu du = - c o th u + C

2 1 . J s e c h u tpnh u d u = — se ch u + C

2 2 . J c sc h u coth u d u = — c o sh u + C

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 I N T E G R A L E S IN M E D IA T A S


■h■ h

du+ u- a

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

1 Uarctan — + C , (a > 0)

1 u — a= — ln

2a u + a

1 u + a= — ln

2a u - a

+ C , (a > 0)

+ C , (a > 0)

26f du u

—= = = arcsen - + C , (a > 0)

-a rc se c ------1- C , (a > 0)a

29

30

a r c s e n - + C , (a > 0 ) a j

f du i ,-----------127. I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C

v u 2 ± a 2

r du 128. — ;..= -

J u v u 2 — a 2 a

. J yja2 — u 2du = — juVa 2 - u 2 + a

j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln (u + J u 2 + a 2)j 4- C

31. J yju2 - a 2du = - [u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2j] + C

Cada una de éstas fórm ulas se pueden verificar mediante la derivación (respecto a

la variable u).

Por ejemplo, en el caso de la fórm ula 24 se tiene:

dd / 1 iu — ai\ 1du \ 2 a n lu + aU 2a

(ln|u - a \ - ln|u + a|)¡L UU

1 1 1 1

2a u - a u + a

P o r tantof du 1 iu - a i

■ I — ------ j = t;—ln --------- + CJ u '- — a 2 2a lu + a l

En el caso de la fórm ula 18, se tiene:

d s e n h u— ( In co sh u|) = — —— .?= tanh u du co sh u

De lo a n te r io r se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.


Ejem plo 6 . Calcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )du.

SoluciónU sando las fórm ulas de integración, tenemos

J (6x 4 - x 2 + 3 ) d u = J 6x 4dx - J x 2d x + J 3dx

= 6 J x 4dx - J x zd x + 3 J dx

6 x 3= - x 5 - — + 3x + C

Ejem plo 7. Calcule J (v 2 — \ [x)2dx.

Solución

C om o (V 2 — V * ) 2 = (2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene

j (V2 - yfx)2dx = 2 J dx - 2V 2 J x 1/2dx + J xdx

r3/2 y 2= 2 „ _ 2 V 2 _ + y + C

= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C

f 3 x 5 — 6x 2 + yfxEjem plo 8. Halle I ------------------- ---- dx.

J x 6Solución

D iv id iendo término a térm ino el integrando y aplicando las propiedades de la

integral, se tiene

f 3 x s - 6 x 2 + t J x f f dx fI ---------- --------------dx = 3 I x dx - 6 I ------ ¡- x s/2dx

2- x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C

En los ejemplos anteriores, el método para hallar las integrales consistió en tratar

de descom poner el integrando como la sum a algebraica de varias funciones y

luego aplicar las propiedades enunciadas en la p roposición 2. Este método es

llamado "m étodo de integración por descomposición”. E n ciertas funciones,

descom poner la función en sum as parciales no es tarea fácil, pues depende de la experiencia, habilidad y práctica del que calcula.

INTEGRAL INDEFINIDA


/


dxEjem plo 9. Calcule ,

J se nh 2x co sh -x So lu c ión

1 co sh2x - senh2xComo -----—----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces

s e n r rx co sh -x senh2x cosh^x

/ se n h 2x c o sh 2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~ COth X “ tanh x + C

r x 2 + 2Ejem plo 10 . Encuentre ■ --------dx.

J x 2(x 2 + 4)So lu c ión

Expresando el num erador del integrando en términos de los factores del denominador, resulta

2 1 + 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ]

Ahora, escribim os la integral como la sum a de dos integrales (haciendo las sim plificaciones en cada integrando) y obtenemos

í * ¿ + 2 l f i ! + ( i 2 + 4 ) i r d x 1 r dxJ x 2( x 2 + 4 ) X ~ 2 j x 2( x 2 + 4 ) 2 J x 2"+~4 + 2 J x 2

1 rl 1~ 2 l2 í

i ri x : arctan -

+ 2

1 X 1- a r c ta n - - — + C4 2 2x

í x 2 — 5Ejem plo 11 . Halle / = — —— — dx

J x 2( x 2 - 9)Solución

Procediendo del m ism o m odo que en el ejemplo anterior, resulta

x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 29 9 9

_ f í * 2 + | ( * 2 - 9 ) 4 r dx 5 r dxJ x 2( x z - 9 ) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2

4 1= 9 ' ¿ ln

x + 3x — 3

5 2 ix + 3| 5~ 9 x + ° ~ 2 7ln L — 31 ~ 9 x + C


INTEGRAL INDEFINIDA

3 dxJ x 2( x 2 + 5)

So lu c ión

Usando el m ism o procedim iento de los ejemplos anteriores, se obtiene

3 3 33 = - (x 2 + 5 — x 2) = — (x 2 + 5) - - x 2 . Luego,

3 , 7 . , . , , 3 2 j

Ejemplo 12. Halle

_ r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 d x ^ 3 r d x 3 r

J x 2( x 2 + 5 ) 5 J x 2 5 J x 2 + 5

3 xarctan — + C

5x 5 V 5 V 5

Ejem plo 13. Sea /: R -> K una función continua en E tal que

m =2 y = * e\ e x, x > 1

Determ ine f ( x ) .

Solución

( - 1, oo < x < 0 f - x + Cu x < 0/ '( x ) = | 1 . 0 < x < l => f ( x ) = I x + C2 , 0 < x < 1

l e * , x > l l e * + C3 , x > l

D e la continuidad de / en E, se tiene

0 / (O ) - l*m / ( x ) = ü m / ( x ) <=* 2 = C, = C2 (1 )x-»0_ii) / ( l ) = lim _ / (x ) = lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C3 ( 2 )

Reso lv iendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: = 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.

í - x + 2 , x < 0P o r tanto, / ( x ) = | x + 2 , 0 < x < 1

le* + e - 3 , x > 1

Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es

1 1a2 - u2 2a a — u a -r u


f dxEjem plo 14 . Calcule I — —

Solución

U sando la identidad de la observación 3, se tiene

(■ d x _ 1 f r 1 1

J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~}

111 * 1- — a rc ta n — + — — ln6 LV3 V3 2V3

x 2 + 13

dx

+ V 3

- V 3+ C

f x + 13Ejem plo 15 . Encuentre - -- dx.

J V F T 9Solución

Trabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene

f x 2 + 13 , f ( x 2 + 9 ) + 4 f r—------ f dx. d x = — — dx = \ y jx 2 + 9 dx + 4 1

J V x 2 + 9 J V x 2 + 9 J J V * 2 + 9

= - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + y j x 2 + 9 )] + 4 ln (x + j x 2 + 9 ) + C

= 2 [ W * 2 + 9 + 17 ln (x + J x 2 + 9 )] + C

1.4 M ÉTO D O S D E IN TEG R A C IÓ N

Antes de presentar los métodos de integración “por sustitución o cam bio de

variable” y “por partes”, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las

operaciones de derivación y de integración. Dada una función elemental (función

que se obtiene mediante un número finito de operaciones de suma, resta,

multiplicación, d iv isión y com posic ión de funciones de las funciones: constante,

potencia ( y - x a ), exponencial ( y = a x), logarítm ica ( y = lo g a x),

trigonométricas y trigonom étricas inversas), su derivada mantiene la m ism a estructura, es decir, también se expresa com o una función elemental, m ientras que

en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones m uy especiales.

Por ejemplo, las integrales sim ples com o

l ^ i x . f e * d x .

J V i + x 3 d x , J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) dx

no pueden ser expresadas en térm inos de “com binaciones finitas” de funciones elementales.


INTEGRAL INDEFINIDA

Del punto de vista práctico, la integración se presenta como una operación más

com plicada que la derivación, pues ésta tiene reglas generales de derivación; mientras que para la integración es posible hacer artificios que son vá lidos para

clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una

tentativa, por lo que se recom ienda práctica, más práctica y más práctica.

1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T IT U C IÓ N O C A M B I O D E V A R I A B L E

Para hallar la integral indefinida por este método, d iv id im os nuestro aná lisis en dos partes: reconocim iento del m odelo y cam bio de variable.

En el reconocim iento del m odelo realizamos la sustitución mentalmente, mientras que en cam bio de variable escribim os los pasos de la sustitución.

E l procedim iento de sustitución en la integración es comparable con la regla de la

cadena en la derivación. Recuerde que para funciones derivables y = f { u ) y

u = g ( x ) , la regla de la cadena establece

S i hacem os la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la defin ición de la

integral definida tenemos

A sí, hem os probado la siguiente proposición:

]P ro p o s ic ió n 3. S i y = f ( u ) es una función derivable de u, u = g ( x ) es una i

función derivable de x y F es una antiderivada de /, entonces |

J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx = F ( g (x ) ) + C (Reconocim iento del m odelo)

S i hacemos el cam bio de variable u = g ( x ) , entonces du = g ' ( x ) d x . Luego,

d

J f ' { g ( x ) ) g ' ( x ) d x = f { g ( x ) ) + C = f ( u ) + C

J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = J f ( u ) d u = F ( u ) + C

Ejem plo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx.

Solución

Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 dx . Luego,

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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

í X 4Ejem plo 17 . Halle la integral I - d x .

J Vx5 + 1Solución

S i t = x 5 + 1 , se tiene d t = 5x 4d x . Entonces

f x 4 , 1 f 5x 4dx i r ,,, 1 7 £í„T 'f •- dx = r Tr , = c f “ d t = - - - t 6/7 + C

J Vx5 + 1 5 J Vx5 + 1 5 J 5 6

= ¿ 7 ( * 5 + i ) 6 + c

r SexdxEjem plo 18 . Calcule la integral J - ^ = = = = .

Solución

S i u = e x , se tiene du = e * d x . Luego, se obtiene

f S e xdx f du...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C

J Vi - e 2* J V l ^ ü 2

f s e n h x c o s h xEjem plo 19 . Calcule I = — ----------— - — dx.

J (1 + senh 2x ) 5Solución

S i consideram os u = 1 + se n h 2x , se tiene d u = 2 senh x co sh x d x . Luego,

f ? du 1 í 1 u“4 1/ - J - ¡ ^ - 2 j U d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C

f a rc senV x dx Ejem plo 20 . Halle I — ■ = = — .

■/ V x — X 2Solución

r- . ' 1 d x d xSi se hace u = a r c s e n V x , se tiene du = ------- — = = — ■— ..... . Por tanto,

V T ^ x 2V x 2V x - x 2

r arcsenVx dx f 2J — — = J 2u d u = u + C = [arcsenVx] + C

= arcsen2 Vx + C

Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el integrando para que el cambio de variable sea más fáci l de realizar.


INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 21. Calcule I I 2 + J2 + J 2 + 2cos (5\/x + 4 ) • x 1/ 2dx.

Solución

En el integrando, aplicam os la identidad trigonométrica

9 1 + eos 9eos — = ------ —

2 2

Qó 1 + eos 0 = 2 e o s2 —

- í1 = 2 + 2 + |2 [ l + eos (5V3c + 4 )] • x i /2dx

- i . ! 2 + 12 + 2 cos 5-^ + 4 ■x~1/ 2dx = J 2 + 2 eos5 V * 4- 4 1/2dx

5 V x + 4 5 _ . 16Si u = ----- — -, entonces du = —~x ,¿dx <=> — du = x ' ‘ d x . Luego,

8 16 5

32 f 3 2 32 / 5 V x + 4 \/ = — I eos u du = — sen u + C = — sen I ----- g— | + C

Ejem plo 2 2 . Halle / = J x dxe3* ( l - x ) 4

Solución

Luego de expresar el denom inador en una sola potencia, tenemos

x e x d x C x e x dxf x e d x r xe

= J e 4x( l — x ) 4 = J ( e x — .e 4x( l — x ) 4 J ( e x - x e x) 4

Lucho, hacemos u = e x — x e x . Entonces du = —x e xdx ■*=> —du = x e xdx

l)c esiii manera, se obtiene:

/ f du _ 1

J u4 3u 3+ C =

3 e 3* ( l - x ) 3+ C

E jem plo 23. Calcule / = J(x 2 - 1)dx

(.x 2 + l ) V x 4 + 1 Solución

D iv id iendo el numerador y el denom inador entre x 2 , se tiene

, = f f t 1 ~ x 1) d x

Si u = x + - , entonces du = ( l -----t ) dxx \ x 2)

V u2 = x 2 + — + 2 ^ u 2 — 2 = x 2 + — . Por tanto, se obtiene x 2 x-

r du 1 |u| 1 ( x 2 + 1I = — ...... = — aresee — + C = — aresee ■

J x W u 2 — 2 V 2 V 2 V 2 \ V 2 |x|

f x + 2Ejem plo 24 . Calcule / = I -------- ^ “.x.

J (X — i-J

Solución

S i hacemos u = x — 2 , se tiene du = dx . Luego,

/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u -4)du

u “ 2 4 , 3 x + 2

= - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C

r x íixEjem plo 25. Calcule / = | f = .

Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3

Solución

La integral puede escribirse com o

x d x f x d x/1 + x z + V ( l + x 2) 3 V l + W l + V l + x 2

,--------- x d xSi consideram os i¿ = 1 + V x 2 + 1< entonces d u = . Luego,

V x 2 + 1

/ = J — = J u í/2du = 2 Vü + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C

Ejem plo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx.

So lu c ión

Si se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x

/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2u du = j (2 u4 - 8 u 2)d u

INTEGRAL INDEFINIDA

2u du . Por consiguiente,

(x + 4 ) 3/2

15( 6 x - 1 6 ) + C

E J E R C I C I O S

J 4 x ( x + 1 ) d x

4 d x

Vó — x ^

d x

/?. - x 3/2 + 3 x + C

R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C

/?. 4 arcsen — + CV6

x ( x 2 — 8 )

7 x 2 + 16

x 4 + 4 x 2

18 d x

9 x z - x 4

3 d x

x 2 + 4 x - 5

4 dx

V — 4 x 2 — 2 0 x — 9

J V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 d x

1

* ~ 16ln x 2 - 8+ C

3 x 4/?. - a r c t a n ---------- 1- C

2 2 x

/?. 2 1 inx 3

\\nx - 1

x + 5

x + 3

+ C

+ C

2 x + 5 R. 2 a r c s e n ------------ i- C

R. (2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rcsen2 x + 3

+ C

10.

I I.

2X3X-dx (D'ÍE s)-3 /6 ' *

25

scn h x d x

(1 + co sh x ) 3

dx

c o s 2( l - 4 x )

R. -■ ■+ C2 (1 + c o s h x ) :

R. - - t a n ( l — 4 x ) + C 4


TONICOS Dii C Á LC U LO - V O LU M LN II

13. J cos(7x + 4 ) d x

14. J c l'2x~r,) d x

15. J (lnX + l ) e x l nxdx

16.dx

x ln2x

f dx17. ---------

J x ln x

18. J 4 xe x dx

dx19.

20./sen2x V c o t x - 1

tan2xsen x e

c o s Jx

ev*3e2'. I

‘I dx

23.

(1 4- x 2) ln(x 4- Vi + x 2)

arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1

1 -f X 2

1R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C

R. - e i2x- ^ 4- C

R. x x + C

R. — --------b CIn x

R. ln I In x I 4- C

( 4 e ) xR. ------ ~ + C

1 4- In 43

R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C

R. - e ta,>2* 4- C

2 ( 3 eÆ )R. t ~ T ~ + c In 3

R- 2 J l n ( x 4- -J1 4- x 2) 4- C

dx

R■ e arctanx 4- — ln (x 2 4- 1) 4- arctan x 4- C4

24,

25

26

J i

I■ /

sen x

dx

■dx R. sen x 4- ■ • *+■ C

1 4- co s lO x

dx

R. — tan 5 x 4- C

V 2 x 4- 1 - yjx

R. 2 ( V 2x 4- 1 4- V x ) — 2 [a rc ta n V 2 x 4- 1 4- a rc ta n V x ] 4- C

^ f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j27. -------- ---------------- dx

J 1 - x R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4-C


28. J x 2x( \nx + 1 )dx

' V2 + x 2 — V2 — x 2

x 2xR . — + C

INTEGRAL INDEFINIDA

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

f / V ^ T

h

V 4 — x 4

dx

-dx

+ sen x

x - a rctan 2x+ 4 x 2

ln ( ln x )

■dx

f ln ( ln x j

J x l n x

Idx

2X 4- 3

dx

V e * - 1

x c o s x

/

f sen x

J

/

V2 - se n 4x

dx4 + 5 c o s 2x

dx4 + 5 se n 2x

dx

-.dx

ex + 4

In 3 x

x In 5 xd x

ln (x + V x 2 + 1)

/

i

/

/ v r

43. j V l + c o s x dx

« . J .

1 + x2

+ se n x d x

d x

*• arcsenf t ) - senl’" ' © + c

/?. - [ (x + l ) 3/2 — (x - l ) 3/2] + C

R. tan x - s e c x + C

1 1/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2( 2 x ) + Co Z

1R. - l n 2( l n x ) + C

R. - x - ^ K 2^ 3) + c

R. 2 arctanVfc^ - 1 + C

R. - a r c s e n _2 \ V2

+ C

1 ( 2 tan x \R. - a r c t a n ) — -— ) + C

R.1

(L tan x \

A 3 J( 2 cot x

V 3 )■arctan ( — =— | + C

1R. - - l n ( l + 4e x) + C

R. In — ln| ln5x| + l n x + C

R. - [ ln (x + V x 2 + 1 )] + C

R. — 2 V l — sen x + C

e x + e x

R. 2 V l - c o s x + C

R. a rc ta n (e *) + C


y f W -


d x 4f dx 445' ~ r = = /?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 )1/2 + C

J vvx + 1 á

4 8 . I j;Z se n l ' fsenx + x ros r In r i d r ß , ì x 2 senx + ^2 '

f arctanVx• J v ï + æ + x * d x R • tarctan^ r + C

*n í ( x - 2 ) , _ _ f y f x 2 - X + l \

' j *• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c

3. j x2senx~i(senx + x cosx In x)dx

'■ í ~ i------ —------ R. J l n x + V l n x + ... + Ce lr,(2x)4 in x + V l n x + ... + o o — x

f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10

J eos 5x + 5 eos 3 x + 10 c o s x dX R - 2 s e n x + C

f sen 8 x d x 1 / 'sen2 4x \

5L I 9 + senHx R' J^arctan (— 3— j + C

f c o s 2x ( t a n 2x + 1) 152. —---------- ----------- —— dx R --------------------- 1- r

J (sen x + c o s x ) 2 1 + tan x

4 9 .

f I s e c x - tan xb3‘ J J s e c x + t a n x d* R' >n|secx + tan x | - ln(secx) + C

54. J c s c 3x d x R. - - [ e s c x c o t x 4- ln|csc x - cotx|J + C

55. J s e c 3x d x R. - [ ln lse c x + tan x| + s e c x tan x ] + C

f e 2x 25 6 ' J 4 t+ ~ é* dX fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C

r V ^ T e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T57. I ---------------- *-------------dx

J \l 1 4- y -\!p x 4- y2pX — v2 — 1

R. earctan* + ^ ln 2 ( l + x 2) + arc tanx + C4

q s f x d x n 1J ( x - l ) 5e 4x R■ ~ 4 (x — l ) 4e 4Ar + C


2ex + e x 59- 1 3^ - ^ dx

I n x dx

x 3 ( l n x — l ) 3

4 dx

60

61

/

/

f ---------- =J cos x v l -

INTEGRAL INDEFINIDA

fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C

1R. -

2 x 2( ln x - l ) 2+ C

se n 2x + 2 c o s2x _____________________

R. 4 ln [(tan x — 1) + V t a n 2x - 2 tan x + 3] + C

62. J (4 — 3 l n x ) 4 d ( l n x )

f e * V e * + 2

J ex + 6

x 5 d x

63 •dx

■ /

■ J

x 3 - 8

. 1 + tan x65. | --------— d x

sen 2x

/?. - — ( 4 - 3 1 n x ) s + C

Ve* + 2fi. 2 V e * + 2 - 4 a rc ta n ----- -------- h C

x3 8 fí. Y + - l n | x 3 - 8 | + C

/?. - ln | c s c 2 x - cot 2x\ + tan x + C

6 6 . U n a función /: R -

« o ) = - f y / ' W = l2 + 1

es continua en E y satisface: x + |1 - x|

Halle f ( x ) .

x < 1R. / W = arctan* - 2 '(. l n ( x 2 + 1 ) - arctan x - In 2 , x > 1

67. H alle la ecuac ión de la cu rva para el cual y " = y que es tangente a lax2

recta 2 x + y = 5 en el p un to (1; 3 ) R. y = — + 1

6 8 . Halle la ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0; 2 ) es horizontal y/ 10 \

tiene punto de in fle x ión en ( — 1 ; "g - ) y y " ; = 4.

2 vR. y = - x 3 + 2 x 2 + 2

x 2 + V i + x69. E n cuen tre la an t id e r iv a d a de / ( x ) = — j---— — , de m od o que d icha

an tide r ivada pase p o r P ^0;

VTTx7 0 9 \

2 80/, „ r3 , 6 3 6 _______

R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x L8 5 L 1

+ 1

Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de la diferencial del producto, se tiene

d ( u v ) = u d v + vd u

Podem os reescribir la expresión como

u d v = d ( u v ) - vd u

Integrando am bos lados de la igualdad se obtiene la fórm ula

J u d v = u v — j vdu

Esta fórm ula es conocida com o fórmula de integración por partes.

Observación 5. La idea básica de la integración por partes consiste en calcular la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea más simple de resolver que la integral original dada.

Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv, normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se simplifica con la derivación y d v será el factor restante del elemento de integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habil idad y la experiencia del que calcula son las mejores herramientas.

Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se considera v + C, C constante, entonces

j u d v = u ( v + C) - j ( v + C)du = u v - J v du

Esto significa que la constante C considerada no f igura en el resultado final.

E jem p lo 2 7 . Calcu le j ln x dx.

Solución

De acuerdo con la sugerencia dada en la observación .2, e legim os

1u = l n x = > du = - dx

x

d v = dx = s v = J dx = x (no se considera la constante de integración)

Por la fórm ula de integración por partes, se obtiene

í , f x dxJ ln x d x = x ln x - I - x \ n x - x + C


1.4.2 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R PAR TES


Ejem plo 2 8 . Calcule I = J (x 2 + 3x - 1 ) e Zxdx.

Solución

Escogem os

u = x 2 + 3x — 1 = > du = (2 x + 3 )d x

\ d v _ g 2x^x ^ v — J e 2xdx = — e 2x

Luego, obtenemos

/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x - J ( * + 2 )

En la última integral (m ás sim ple que la original) aplicam os nuevamente la integración por partes con

( 3¡u = x + - = $ d u = dx

d v = e 2xd x = * v = - e 2x2

INTEGRAL INDEFINIDA

Por lo tanto,

/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x

02x

= ( x 2 + 2x - 2 ) — • + C

Ejem plo 2 9 . Calcule / = J e ax cosbx dx.

Solución

Escogem os

 d u = a e ax dx 1

d v = eos bx d x = > v = 7- sen 6x b

Entonces,

1/ = - e a* sen 6 x

b ~í ¡ e axsen bx dx = - — sen bx b ¡í e axsen bx dx

Integrando nuevam ente p o r partes en | e ax sen bx d x , escogem os

C u = e ax = > d u = a e ax dx

/'

|d y = se n bx dx =* v = — — co sb x

= ~b e<XX' S6n ~ ~b [ ~ b G<ÍX C° S + b í eaXQ0S^x d x \ ó

1 a a 21 = - e ax sen bx 4- — e a* c o s b x - ~ I

o b z b 2

Ahora, se despeja / de la última ecuación y al resultado final se sum a la constantede integración

1 . a2 \ , a x í s e n b x a c o s b x \

e ax1 = — — (b sen bx 4- a eos bx) + C

a 2 + b 2 '

Ejem plo 3 0 . Calcule / = j sec5x dx.

Solución

En primer lugar, escrib im os la integral dada como


De esta manera, se obtiene

/ = J se c 5x d x = J sec3x. sec2x d x

jltima integral,

f u = se c3x =

'■dv = se c 2x i

En la última integral, utilizam os integración por partes eligiendo

(u = se c3* = * du = 3 se c3x tan x dx• dx =$ v = t a n x

Entonces,

/ = tan X se c 3x - J 3 sec3x ta n 2x dx

l = tan x se c 3x - J 3 se c3x ( s e c 2x - 1 )d x

I = tan x s e c 3x - 3 j se c 5 x d x 4- 3 J s e c 3 x dx

I = tan x sec x - 3 / 4 - 3 J V I + tan2x se c 2x dx

341 = tan x se c Jx 4- - ( s e c x tan x 4- ln | secx 4- ta n x| )

1 3/ = - tan x se c 3x 4- - (sec x tan x 4- ln| secx 4- ta n x | ) 4- C

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejem pia 31- Calcule J x arctan x dx.

So lu c ió n

E scogem osdx

u = arctan x => du — ■

1 f x 2 dx/ = \ x arctan x dx = — arctan x

2 2 J 1 + x 2

x 2 d x 'f x d xPara ca lcu la r la in tegra l ------- r , se efectúa la d iv is ió n y se tiene:

J 1 + r

, = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * rX 2 1 ( x 2 + 1) 1

= — arctan x - - ( x - a rctan x) + C = ----- ------ arctan x - - x + C¿ L> £* Lt

f c o s x + x sen x — 1 E je m p lo 32. Calcule / = J ----- ^ x— ^ 2—

c o sx + x sen x — í32. Calcule / = j

So lu c ión

Utilizando la identidad se n 2* + c o s2x = 1, escrib im os la integral com o

f c o s x + x sen x - se n 2x - c o s2x

Í = J (se n x - x ) 2f - c o s x ( c o s x - 1) - sen x ( se n x - x)

1 I ---------------^ ^

/

(se n x - x ) 2

■ c o s x ( c o s x — 1) f sen x dxf - c o s x ( c o s x - 1) f

J (sen x - x ) 2 J (sen x - x)I

Para la integral J, aplicam os la integración por partes con

Í u = — eos x => du = sen x dx( c o s x - 1 )dx ^ _ 1

dV ~ ( se n x - x ) 2 ^ v ~ ( Sen x - x )

Luego,

c o s x " f s e n x d x f s e n x d x / = --------- +

f sen x d x fJ ( s e n x - x ) Jsen x - x J (se n x - x ) J ( se n x - x )

Por lo tanto,

cosx/ = -------------- + C

sen x - x

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Ejem plo 3 3 . Calcule / = J dx.

Solución

Separando la integral en la sum a de dos integrales, se tiene

I = J ~ d x + J e x \n x d x

¡

Para la integral / , hacem os j u ~ ^ n x = > d u = —

vdi? = e x d x =$ v — e xA sí,

1 = j ~xdx + \eX]nx ~ I ~ dx\ = e * l n * + cr ^.garctan*

Ejem plo 3 4 . Calcule / = í -----------------dx.J (1 + x 2)3/2 ux

Solucióng arc tan x

Como la integral de — ^ 2 es inmediata, elegimos

g arc tan x

d v = - ..2 d x1 + x 2


Luego, tenemos

x e ar<

V T + x 2 J ( 14*2)3721 ~ ’ ' n- ■ --- ~ j — ---~dx

JE n la integral J consideram os

1 , x d xu = ■■■•. = * d u = - -

V í T ? ( i + * 2) 3/2g a rc ta n x

dv = — ------— dx => v = e arctanjc1 + x 2

Luego, se tiene

~ ”—^an x r

i =V i + x 2 v r + i ^ j ( i + * 2) 3/2

dx

-i «arc ían x ( v _ < \Portante, l = i - -■_ ! ? i i + c

2 V i + x 2

INTEGRAL INDEFINIDA

Otra form a de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cam bio de

variable t = arctan x y la integral se transform a en J e csert t dt.

E je m p lo 35. Calcule / = [ ■ J

senh2x dx(x cosh x — senh x ) 2

S o lu c ió n ,

M u ltip licando y d iv id iendo entre x, se tiene

/ f senh x x senh x dxJ x (x co sh x - senh x ) 2

A ho ra escogem os

s e n h x x co sh x - s e n h xu = ----------=¡> d u = ----------■— ---------------dx

x x lx se nh x 1

d v = -------- -------------- -— — dx = > v( x co sh x - senh x ) 2 x co sh x - s e n h x

Entonces

senh x r dx

x ( se n h x - x c o s h x ) J x 2

se nh x 11 = — ----- :---------------- r - r - - - + C

x ( s e n h x - x c o s h x ) x

f e enx(x co sJx — sen x )E je m p lo 36. Calcule / = I ----------------- --------------- dx.

J CQS¿XSo lu c ión

T enem os l = J x e sen x eos x d x - Jsen x

sen* ---------- d xC O S2X

( u = x = > d u = d x ...h n h a c i e n d o < , ,en _ , _ se obtiene

t d f = e eos x d x = > v = e

" J'i

Kn /2, hac iendo

U = x e senx

(u = e sen * = > d u = e sen * eos x d x

, sen * . 1 re su ltad v = — — a * = * v = -------

co s^ x c o s x

l2 = ----------- [ e senx d x = e senx sec x - [ e senx dxc o s x J J

v3


E JE R C IC IO S

Calcule las siguientes integrales indefinidas.

1. J x 2 l n x dx

2. J (7 + x — 3 x z ) e~ x dx

3. J x se c2x dx

4. J a rc se n (2 x)dx

_ f l n x

* J ^6 . J ln (x + V i + x 2) dx

7. j eos ( l n x ) dx

8 . J s e n ( l n x ) d x

9. J x a rc ta n 2x dx

R. — (3 l n x — 1) + C

ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C

fí. a : ta n x + ln|eosx| + C

V i - 4 x 2 /?. x a resen 2x h------------------ 1- c

1 + 2 l n x-— --------1- C4 x 2

R. x ln (x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C

XR. - [ s e n ( l n x ) + eos ( ln x ) ] + i '

/?. - [ s e n ( l n x ) — eos ( ln x ) ] + C

R- 2 [(*2 + l) a r c ta n 2x - 2x arctan x + l n ( x 2 + 1)] + C

10 / a rc se n 2x d x

ii.

fx,n(hr)L í ,J i r r n c v — c o n v V

f —J (x + i y

R. x aresen2* + 2 VI - x 2 aresen x - 2x + C

R. ln x |ln (lnx) - 1| + C

x 2 + 1 ( X — 1

x 2 dx

( x c o s x - sen x ) 2

( x 2 + l ) e x

R.

R.

R.

- ln (— )Vx + 1/

sen x ( e o s x - sen x )

2x e x

x + C

eot x + C

x + 1e x + C


INTEGRAL INDEFINIDA

15.

16.

17.

18.

19.

2 0 .

2 1 .

22 .

23 .

24.

25 .

27.

2H.

x e*( 1 + x ) 2

dx R. ----------+ e x + C1 + xx e

_ 1 x a rctan y j x 2 — l d x R. - x 2 a rc ta n V * 2 - 1 - 1 + C

(1 - x 2) 3/2

arctan *

d xarcsen x 1 /?. + — ln

-dx R.

V i - x 2 2

arctan x

1 - x+ C

1 + x

+ In|x| — l n i / l + x 2 + C

es c 5x d x R.

X ( X + 1 \

V i — X 2

e 2*c o s ( e * ) d x

e a* s e n ¿ x d x

- c s c 3x c o tx - - ( e s e x c o tx + ln|cscx + co tx| )j + C

R. Vi - x 2 ln f------ + 2 a rc se n x + CVx + 1 /

/?. e*sen(e*) + cos(e*) + C

■ [a sen bx — b co s b x J + C

a rc ta n (V x + 1) d x

ln (V x + V i + x ) dx

se n 2( I n x ) dx

a 2 + b 2

R. (x + 2 )a rc ta n V x + 1 - V x + 1 + C

R. {x + ln (V x + V x + 1) — ~ V x 2 + x + C

R. x se n 2 ( ln x ) - - [x se n (2 ln x ) - 2 x eos (2 In x ) ] + C

^gS en x C 0 S 4 X _ ^

C O SJXd x

R. e sen x - - [see x tan x + ln | secx + tan x |] + C

( x 2 - se n 2x )-dx R. x ( c s c x - c o t x ) + C

x - sen x eos x + x eos x - sen x

(a rcco s x - ln x) d x R. x á rceos x - V 1 - x 2 — x ( In x - 1) + C


29. S i / (x ) = —a / ( x ) y g " ( x ) = b g(x), donde a y b son constantes, hallar la integral:


j f M g " ( x ) dx

’• /30. I 4 x 3 a rc sen — dx

x a rctan x 31. I ~~7Z-----T^rdxí’-P

I35. I

(1 + x 2) 4

x 4 — x a rctan x32. | — — -------— — dx

(1 + x2)2

, a rc se n V x33. | ------ —— dx

V x

, 1 /x

■dx

.. r x 2se c 2x37. I — -------------------^~z^dx

J (tan x - x sei

> /

^ 2cai.2,

(tan x - x se c 2x ) 2 '

1

dxarcsen

39 1 ---------- *x3

41. j arctan^ jVx - 1 dx

43./ senh" ‘J r -d x

(e 2* - x 2) ( x - 1)45. J -------- d x

x 2ex

se n x + 1

(x + c o s x ) 2

a ln (x + a + V x 2 + 2 a x )

(x + a ) 2

a + b l f ( x )g ' ( x ) - f ' ( x ) g ( x ) } + C

-yx 2 - 1 + c

/34. eos x e x dx

36.

38.

:eos x d xJ x e x i

J x a rctan V x 2 - 1 d x

• /

’■ /

c o sh 2x d x

(x senh x - c o s h x ) 2

ln (2 + Vx)42. | — ' ' ' dx

Vx

44. I (x sen x + eos x ) ( x 2 - c o s2x )d x

f x c o s x

J (x -

■ /

f• J - = = [ l n ( l + X ) * - ln ( l - x ) * ]

46. J co sh 3 x eos 2 x dx

í * 5 / l+ * \48. I : In ( --------Jd x

J V I - x 2 Vi - x /

d x


1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinom io cuadrado de la form a: /

d x f dxI

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 T É C N IC A S D E IN T E G R A C IÓ N

I. í — 5— --------- II. í —J p x 2 + qx + r J j rp x 2 + qx + r J j p x 2 + qx + r

n ] [ (ax + b)dx f ( ax 4- b)dxJ p x 2 + qx + r J J p x 2 + qx + r

En los casos ( I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinom io y aplicar

las fórm ulas que correspondan: (23), (24), (25) ó (26).

En los casos ( I I I ) y ( IV ) se usa el siguiente artificio:

a aqax + b = — (2 px + q) — — + b

2 p 2 p

La expresión 2 p x + q es la derivada del trinom io cuadrado. Entonces

(ax + b ) d x a f (2p x 4- q ) d x ( a q \ f dxr (ax 4- b)dx a C (2px + q)dx / aq\ fJ p x 2 + qx + r 2p j p x 2 + qx + r V 2 p) ) ;p x 2 + qx + r

a / a q \= —— ln [p x ¿ + qx + r| + I b - — 1A

2 p V 2 p)

Por otro lado,

(ax + b ) d x a f ( 2px + q ) d x / a q \ f dxI' (ax + b) dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq f

J yjpx2 + qx + r J J p x 2 + qx + r ' 2p / J J p x 2 + qx + :

a /— --------- ( acl\= - V p x 2 4- qx + r 4- \ b - — j B

p \ 2 p)

I ,as integrales (¿4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.

E jem p lo 37. Calcule las siguientes integrales:

3 d x f dxf 3 d x f

J 4 x z 4- 4x - 3 J x 2 - 2x 4- 10

f 2 dx í 5 dx

J \ l x 2 4- 6x 4- 18 i V — x 2 — 8x — 12

So lu c iónCom pletando el cuadrado en cada trinom io y aplicando las fórm ulas de

m ig ra c ión , tenemos


f 3 dx 3 r J 4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J


2 x - l ¡3 dx 3 f 2 dx 3= ln

(2x + l ) 2 - 4 2x + 3+ C

f dx f dx 1 ( x - l \■) J x 2 - 2x + 10 J ( x - l ) 2 + 9 “ 3 arCtan( _ 3~ J + C

( 2 dx r dx , ,--------------------,c) 7 f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6x + 18 + CJ V x 2 + 6x + 18 J J ( x + 3 ) 2 + 9 L J

„ f 5 d x r d x /x + 4 \d) I 7 ' 0 ~ „ „ = 5 — — ■ = = 5 arcsen ( — -— ) + C

i V - x 2 - 8x — 12 J ^ 4 - (x + 4 ) 2 v 2 )

E je m p lo 38. Calcule las siguientes integrales:

f (3 x - 5 )d x r (1 - 4 x )d x

J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1

c) í 2 ~ ‘ i x d ) ( - ( i i i í W íJ V x 2 + lO x + 21 J x ( x + 3)

So lu c ión

Com pletando cuadrado en cada trinom io y usando el artificio indicado, se tiene

3 3a) 3 x — 5 = — (2 x + 6 ) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. Entonces

f (3 x — 5 )dx _ 3 r (2 x + 6 )d x f dxJ x 2 + 6x + 18 2 J x 2 + 6x + 18 1 4 J ( x + 3 ) 2 + 9

3 , / , 14 /x + 3 \= 2 (x + 6x + 18 ) — — arctan — -— J + C

4 4 2 7b) 1 — 4 x = — — (1 8 x + 6 ) + l + — = — - (1 8 x + 6 ) + — . Luego,

f Cl ~ 4 x )d x _ _ 2 [ (1 8 x + 6 )d x ^ 7 1 f 3 dx

J V 9 x 2 + 6 x - 3 9 J V 9 x 2 + 6x - 3 + 3 3 J y/ ( 3x + l ) 2 - 4

4 : 7 ----------------------------------------------------

= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n 3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C y y i i

1 1c) 2 — x = — — (2 x + 10) + 2 + 5 = — - (2 x + 10 ) + 7. Entonces

(2 - x )d x 1 f (2x + 10 )d x f dxf __ ( 2 — x)dx _ i r (2x + 10)dx f

J Vx2 + lO x + 21 ~ 2 j Vx2 + lO x + 21 + 7 i 'V x 2 + lO x + 21 J V ( x + 5 )2 - 4

= - V x 2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 10x + 2 l| + C


d)

INTEGRAL INDEFINIDA

(4 4- 5x ) 5 f 2x 4- 3 7 f dxf (4 4- 5 x ) 5 f 2x 4- 3 7 fJ x (x + 3 ) dX 2 j x 2 + 3 x dX 2 J í 3V 9

\ x + 2) 4

5 7 i x= - ln | x 2 + 3x\ — - l n

2 6 I * 4- 3 '

E je m p lo 39. Ca lcu le las siguientes integrales:

f ( 3 e 2x - 4 e x) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^

J V 4 e * — e x — 3 J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)

So lu c ión

a) I( 3 e 2x - 4 e x) f (3ex - 4 )e *d x

v '4 e * - e * - 3 J V 4 e * - e 2* - 3

S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . Luego,

f ( 3 1 - 4 ) d t 3 f (4 - 2 t ) d t f d tl =

j- ( 3 1 - 4 ) d t _ 3 I" (4 — 2 t ) d t + [ d t

J V 4 t - t 2 - 3 2 j V 4 t - t 2 - 3 J yjl - (t - 2 ) 2

= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 arcsen(t — 2) + C

= —3yj4ex — e 2* — 3 4- 2 a rcsen (e * — 2) 4- C

r (senh x + 3 cosh x ) dx

^ J c o s h x (6 se nh 2x 4 -senh 2x 4 -5)

= /:

(senh x + 3 c o sh x ) dx

cosh x (6 se n h 2x 4- 2 senh x cosh x 4- 5)

D iv id iendo num erador y denom inador entre c o sh 3x , se tiene

J= J

(tanh x 4- 3) sech2x dx6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 sech2x

(tanh x 4- 3) sech2x dxJ 6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 (1 — tanh2x )

A h o ra bien, si t = tanh x , entonces d t = se ch 2x dx. Po r consiguiente.

r (t 4- 3) d t _ 1 f (2t + 2) d t n f d t1 ~ J t 2 + 2 t+ 5 ~ 2J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4

1 , , /tanh x + 1\- ln | ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C


Recordem os las siguientes identidades:

1. sen2u + cos2u = 1 2. sec2u _ tan2u = 1

3. csc2u - cot2u = 1 4 sen2u _ 1 ~ cos 2u2

r , 1 + cos 2 u5. cos2u = -------------------- 6 cosh2u _ senh2u = 1

7. sech2u + tanh2u = 1 8. coth2u _ csch2u = 1

9. senh2u = ~ 1 10 cosh2u = cosh 2 u + l

¿ 2

Estas identidades son m uy importantes en los artificios para resolver ciertos tipos de integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

! '5‘2 rH IP E R B Ó U C A ES ALGUNAS FUNCI° NES T R IG O N O M É TR IC A S

I. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J se nmx cosnx dx y j se n h mx e o sh n* dx.

Se consideran 2 casos:

CASO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im par positivo.

0 S i m es impar positivo, se factoriza sen x dx (o se n h * d j ) y se expresa los

senos o senos hiperbólicos) restantes en función de cosenos (o cosenos h iperbólicos) usando la identidad

se n 2* = 1 — e o s2* (ó se n h 2* = c o sh 2* - 1)

ii) S. n es impar positivo, se procede de manera sim ilar, es decir, se factoriza

eos * dx (o co sh x dx) y se expresa los cosenos (ó cosenos h iperbólicos) restantes en función de senos (o senos h iperbólicos) usando la identidad.

e o s2* = 1 - s e n 2* (o c o sh 2* = 1 + s e n h 2* )

Ejemplo 40 . Calcu le las integrales

a) I se n 3* eos4* dx b) J senh 5* V ^ i h 7 dx

Solución

a) / = J se n 3* eos4* dx = J sen2* eos4* (sen * dx)

= - cos2*)cos4* (sen * dx)

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INTEGRAL INDEFINIDA

E n la últim a integral, hacem os u = eos x =* du = - s e n x d x . A s í, se tiene

/ = J (1 - ii2) u 4 ( - d u ) = - f Cu4 - u6)d u = - y + y + C

•(5 eos2* - 7) + Cco s5x

35

b) f se n h 5x V ^ i h l d x = J (co sh2x - l ) 2(cosh x ? ' 2 (senh x dx)

= J (co sh9/2x - 2 co sh 5/2x + co sh 1/zx )(se n h x dx)

= J L c o s h 11/2x - ~ co sh7/2x + \ co sh3/2x + C11 7 3

CASO 2 : Ambos exponentes m y n son pares y m ayores o iguales a cero.

En este caso, se usan las identidades:

1 - eos 2 x , 1 + eos 2 x

se n 2x = -------^------- y C° = -------2-------

/ eosh 2 x - 1 . , co sh 2 x +í ó se n h 2x ------- ------ y co sh x = ----- - J

A l efectuar las operaciones, se obtienen térm inos que contienen potencias pares e

impares de eos 2 x (ó co sh 2 x ). L o s térm inos que tienen las potencias impares se

integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s térm inos que tienen las potencias pares

se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.

Ejemplo 41. Ca lcu le las integrales:

a) J se n h 4 3 x dx b) f se n 2x c o s4x d x

Solución

a, f senh-3, ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2 dx = i J (c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx

= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 sh 6 , + l ) d ,

= ^ | (cosh 1 2 x - 4 cosh 6x 4- 3 ) dx

= i f — senh 1 2 x - ^ s e n h 6 x + 3 x ) + C 8 \12 3 >

. 2u f 4 , f / I - c o s 2 x \ /I 4-cos2x\b) J sen-x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32 x) dx

1 f / 14- cos4x\ 1 [- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen22 x)(cos 2x dx)

= ¿ J (j + C0S 2X ~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j <'1 ~ sen22x)(2 cos 2x dx)1/x 1 1 \ 1 / 1 \

= 8 (2 + 2 SGn 2* ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~ 3 sen32x) + C

1 ( sen 4x sen 32 x \

= 16{ X — 4- + — ) + C

II. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J tanmx secnx d x , j co tmx c sc nx d x ,

J tan h mx se chnx dx y J co thmx cschnx dx.

Se consideran 2 casos: m entero positivo impar y n entero positivo par.

C A S O 1. S i m es un entero im p a r positivo, se factoriza t a n x s e c x d x

(ó c o t x c s c x d x ó tanh x sech x dx ó coth x csch x dx) y se expresa las

tangentes (ó cotangentes ó tangentes hiperbólicas ó cotangentes hiperbólicas)

restantes en térm inos de s e c x (ó e se x ó s e c h x ó c s c h x ) mediante la

identidad: ta n 2u = se c 2u - 1 (ó co t2u = c sc 2u - 1 ó ta n h 2u = 1 - se ch 2u ó co th2u = 1 4- c sch 2u).

E je m p lo 42. Calcu le las siguientes integrales:

f tan3x r3) J : dx b) J cotSxdx

c) J tanh3x V se c h x dx d) j cothsx csch3x dx

So lu c ión

f tan3x f tan2x r sec2x - 13) J ^ c dx = J i ^ (tan* Sec* dx) = J - ^ i^ ( t a n x s e c x d x )

= j (sec~3x - sec~5x ) (tan x sec x dx)

(si u = s e c x , du = s e c x tan x d x)

1 -9 1 1 ,= - - s e c x 4- - s e c 4x 4-C = - c o s 2x (c o s 2x - 2 ) 4-C2 4 4

f f C0 t4X ,b) cot 5x d x = -------- ( c o t x c s c x d x )

J J CSC X

INTEGRAL INDEFINIDA

f (csc2x — l ) 2= -------------------(cot x csc x dx)

J c scx

= - í (csc3x - 2 c scx 4-------- ) ( - c o t x e scx dx )J cscx

c4x \--------csc2x + ln|cscx| I + k

f , ,--------- f tanh2xc) tanh3x v s e c h x d x = ,........: (tanh x sech x x a x )

J J V se c h x

1 — sech2xf 1 - se c rrx = — ^ = = _ (tanh x sech x dx)

J V se c h x

= - J (sech~1/2x — sech3/,2x ) (— tanh x sech x dx)

= — ^2V se c h x — - s e c h 5/2x j + C

d) j coth5x csch3x d x = J coth4x csch2x(co th x c sc h x ) dx

= J (1 + csch2x ) 2 csch x (coth x csch x d x )

= - J (c sch x + 2 csch3x + csch5x ) ( - c o t h x c sc h x d x )

n i i \= — I - cschzx + - csch4x + - csch6x 1 + C

\2 2 6 /

CASO 2. Si n es un entero p ar positivo, se factoriza se c2x d x (ó c sc 2x d x ó

se ch2x d x ó c sch 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes

hiperbólicas ó cosecantes hiperbólicas) se transforman en térm inos de

tan x (ó c o tx ó tanh x ó coth x) usando la identidad se c 2x = 1 + ta n 2x

(ó c sc 2x = 1 + co t2x ó se ch 2x = 1 - tan h 2x ó c sch 2x = co th 2x - 1 ).

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c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6x d x

Solución

a) j tan3/2x s ec4x d x = J tan3/2x s ec2x(sec2x dx)

= j tan3/2x ( l + tan2x ) ( se c 2x dx)

- J (tan3/<2x + tan7/2x )(se c 2x dx)

(si t = tan x , dt = se c 2x dx)

2 2= - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C

O 7

b) J csc4x dx = J csc2x (c sc 2x dx) = - J (1 -f cot2x ) ( - c s c 2x dx)

(si t = cot x , dt = — csc2x dx)

= - ^cot x + ^ cot3x j + C

c) j tanh2x sech4x d x = / tanh2x ( l - tanh2x )(se c h 2x dx)

= J ( tanh2x - tanh4x )(se c h 2x dx)

1 , 1 = - t a n h 3x - - t a n h 5x + C

d) J csch6x dx - J (coth2x - l ) 2 (csch2x dx)

= - J (coth4x - 2 co th2x + l ) ( - c s c h 2x dx)


Ejem plo 43. Calcule las siguientes integrales:

a) J ta n 3/2x sec4x dx b) j csc4x dx

= - ^ - c o th 5x - - coth3 x + coth x j + C

INTEGRAL INDEFINIDA

I I I . I N T E G R A L E S D E L A F O R M A :

J se n (mx) cos(nx) d x , J sen(mx)sen(nx)dx , J eos(mx) cos(nx) d x ,

J senh(mx) co sh (n x ) d x , J senh(mx)senh(nx)dx y

j co sh (m x ) co sh (n x ) dx.

Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:

1a) sen (mx) eos (nx) = - [sen (m - n)x + sen (m + n)x]

b) se n (m x )se n (n x ) = - [co s(m - n ) x - eos(m + n) x]

c) eos (mx) eos (nx) = - [cos(m - n) x 4- eos (m + n) x]

1d) se n h (m x ) co sh (n x ) = - [senh (m + n)x + senh (m - n)x]

1e) se n h (m x ) se n h (n x ) = - [co sh (m + n ) x — eosh(m — n )x ]

1f) co sh (m x) co sh (n x ) = — [cósh(m + n) x + eosh (m — n)x]

E jem p lo 44. Calcule las siguientes integrales:

a) J sen 2x eos 3 x dx b) j eos 3 x eos 4x dx

c) j senh d) J cosh 4 x senh x d x

So lu c ión

a) J sen 2 x c o s 3 x dx = - J [sen (2 — 3 )x + se n (2 4- 3 )x ]d x

= 2 / S6n ~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5-*" C° S * ) +

b) J c o s 3 x c o s 4 x d x = - J [ c o s ( —x ) 4-eos 7 x ]d x = - ^ s e n x 4-- s e n 7 x )

c) J senh 3 x senh 4 x d x = - J [ c o s h 7x — c o sh x jd x

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d) J co sh 4 x se nh x d x = —j [senh 5 * - senh 3 x ] d x

1 / 1 1 \

= 2 \5 C° S ~ 3 C0S 3 x ) + ^

E n este ejemplo, se han usado las identidades:

s e n h ( - u ) = - s e n h u , s e n ( - u ) = - s e n u

c o sh (— u ) = c o s h u , c o s ( - u ) = c o su

E je m p lo 45. Ca lcu le las integrales:

y í i ~ . í sen4* + eos4*a) I se n 3( 3 * ) t a n 3 * d * b) ------ ------------T-dx

J J sen2* — eos2*

f e o s * rc) ■ ■ dx d) I eos3* sen 3* dx

J V'sen7 (2 *)eos* JSo lu c ión

f f sen43xa) / = se n 3 ( 3 * ) tan 3 * dx = ------— dx

J J eos 3 *

_ J (1 - co s23 * ) 2


eos 3 *- dx

b)

= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33*)d*

1 2 1 f = - ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)

1 2 1 / 1 \= - ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C

j 3 3 V 3 /

1 , 1 1= - ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - - s e n 3* - - s e n 33* + C

■J J 7

f sen4* + eos4* r 4 (2 + 2 cos22*)----- i ----------- J~ d x = ------------- ñ-------- d xJ sen2* - eos2* J - e o s 2*

- l í ( s e c 2* + eos 2x )d x

1 , 1= - - r h i (s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C

4 4


c) /

INTEGRAL INDEFINIDA

cos * I f cos x dx- f C0SX H - 1 f

J Y s e n ^ ( 2x T c o s x V 2 7 J V s e n 7 x c o s 8*

Se observa que esta integral no se adapta a n inguno de los tipos estudiados en

(I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transform ar a los

otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes ó cotangentes y

cosecantes. E n este ejemplo, transform ando a tangentes y secantes (d iv id iendo

entre e o s5* , numerador y denom inador) se obtiene:

1 f se c4* 1 f 1 + tan2*

' = V l 2 8 J ta n 7/3* = Í V f J ta n 7/3* O 0 " * d * )

1, . .tan 7/3x + tan 1/3* ) s e c 2* d *

4 V2J v J

= —rrz ( — - co t4/3* + - t a n 2/3* ) + C 4V2V 4 2 )

f 7 f (1 + eos 4*\d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx

4 / ( c „ s 2 x Sen 3 ^ + Í J eos 4*(cos 2* sen 3x )d x

= - J [sen * + sen 5*] dx + - J [eos 4* sen * + eos 4* sen 5x]dx

1 1 1 i r= — — eos * - - eos 5* + - I [ -sen 3* + sen 5* + sen * + sen 9x]dx

\ ( 1 \ 1/1 1 1 \= - — eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* — - eos 5 * - eos * -----eos * + C

4 V 5 / 8 \3 5 9 /3 1 3 1

= - - eos * + — eos 3* - — eos 5 * - — eos 9* + C8 24 40 72

E je m p lo 46. Calcule las siguientes integrales:

f f f sen^xa) j tanh42 * d x b) I seeh3x d x e) I —— dx

, ^d)

e o s“*

f s e n 43 * f----- T¿—dx e) ta n ¿ x s e c * d *

J e o s33 * J

Solución

Se observa que n inguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo

que será necesario efectuar algunas transformaciones. E n efecto, •



a) I tanh4 2 x dx = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1 - 2 sechz2 x + sech4 2 x) dx

= x — tanh 2x + J (1 — tanh2 2 x) sech2x dx

1 / 1 = x - tanh 2x + - ( t a n h 2x - - t a n h 3 2x) + C

1 1= x - - t a n h 2x - - t a n h 32 x + C

¿ O

b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx)

(Si u = tanh x , du = sech2x dx)

= — [tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C

l r= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C

f sen2x f r^ J cös^xdx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx)

= I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C J 3 5

( sen43x r (1 - cos23x)2 r3 J cos33x “ J ^ 3 * d x = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* )

= J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3xA

1 r= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A

1 1 1 = gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c

e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x )

1 ,= - | s e c x t a n x - ln|secx + tan x|] + C

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INTEGRAL INDEFINIDA

dxf dxl:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la su st itu c ió n x = 2 tan i

So l ut-ion

( .uno x = 2 tan 0 , dx — 2 s c c 29 d9. Entonces

d x l f sec29 dB 1i

f d x I f see 0 dB 1 f

1 f (1 + cos 2 9 ) d 9 1'i

)

- i J1

( a rctan - 4- , ,16 V 2 4 + x 2

2 1 6

x 2 x

sen 2 0+ C = — [0 + sen 0 co s 0 ] + C

16

4 -C

l’.tra regresar a la variab le orig inal x, en vista de que tan # = - , se construye

d triángulo

A partir de este triángulo, se obtiene que

sen 0 =V x 2 + 4

y eos ti = —V x 2 4- 4

E J E R C I C I O S

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

1.

/

+ 2x — 8 dx

R.

9 dx

3.

V 9 x z - 12x + 13

3 dx

4 x 2 — 1 6x 4 -17

4 — Ix

- [ (x 4- l)Vx2 - « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2x - 8|J 4- C

fl. 3 ln [3x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C

fi. -a r c t a n (2 x - 4) 4- C

V x 2 4- 2 x — 8: dx

ß . - 7 a /x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8 | 4- C


3 + 5*

1 2 * + 13

i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II

dx

1.

8.

5. f — !J 9* 2 -

R- — In (9 * 2 - 12 * + 13) + y arctan ( ^ y ~ ) + C

j f (2 — x)dx _______________ ^J V —* 2 — 10* — 21 ^ ~ xZ ~ 10 * — 21 + 7arcsen + C

J sen 2 * + 3 c o s *dx

16 12 tanh * + 5

n * sen 2*

*• 2 ---- i ~ +C

D X 1R- 2 + ^ se n ( ! 0 * } + C

3 * sen 2 * sen 4 *

*• T — 4~ + — +cn 2 1

sen * - - s e n 3* + - s e n 5* + C

V 9 + 4 s e n * - co s2*

*■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | se n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 | + c[ (5 senh * + 4 cosh x)dx

J cosh * ( 9 senh2* + 6 senh 2* + 5)

R- r ln | 4 tanh2* + 12 tanh *| - — In l- t a n h * + 1 l16 12 tanh I

9. J se n 2* dx

1 0 . J co sh 25 * dx

n . / se n 4* dx

12 . / c o s5* dx

, 3 . / co s7* se n 3* d *

„ „ f se n 3*14. I -----r - d *

J co s4*

co s8*

40

13 co s3*

(4 co s2* - 5) + C

- s e c * + C

15. J se n h 3* dx

16. j se n 2( 3 * ) c o s 43 * dx

17. J se n h 8* co sh 5* dx

18. j tan6* dx

1R■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3 ) + C

* sen 12 * se n 36*

' 16 192 + ~ 1 4 4 ~ + C

1 2 i R. - se n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C

1 1g tan * - - t a n 3* - tan * + * + c


INTEGRAL INDEFINIDA

19. J cot5* dx

20. J tanh4* dx

21. J sec4* V cot3* dx

2 2 . J tan5* V e o s 3x dx

23. J tanh6* sech4* dx

V2 dx24.

co s3*V s e n 2*

25. J sen 3 * sen 5 * dx

26. I eos 2* eos 7x d x

í J I

27. J se n 52* co sB2 * dx

28. j se n 3* eos3* dx

29. J (1 4- eos 4 * ) 3/2 dx

30. J cot4(3x)dx

i a x ->x ,31. | sen4 - cos'1- dx

32. J tan3* dx

33. J tan3(3 * ) s e c 3(3 * )c ¿ *

1 A 1 ,R. — - c o t 4* + - c o t z* + ln|sen*| + C

R. x — t a n h * - - t a n h 3* + C

R. — 2Vcot * + - V tan3* + C

2 2 R. -sec5/2* — 4 sec1/2* —-cos3/2x + C

R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C7 9

R. - V t a n * ( 5 + tan2* ) + C

sen 2* sen 8*R■ — ------77— + C

4 16

1 1 R. — sen 5 * + — sen 9 * + C

10 18

1 1 R. - s e n 6( 2 * ) - - s e n 8( 2 * ) + C

R. - eos ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C 16 48

V 2 V 2 , 'R. — sen 2 * — — sen32 * + C

2 3

1 , 1 R. — - c o t 33 * + - c o t 3 * + * -I- C

9 3

* 1 1R■ TZ ~ To sen 2 * — — sen * + C

16 32 24

tan2*R. — ------h ln|cos*| + C

1 1 ,R. — se c53 * - - s e c 33 * + C 15 9

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1


f s c n 3x _____ ,3

' i V ^ dX R' 3V i ¿ n ( - c o s 2x + 3) + C

dxse n 2x co s4x 2 t a n x + ^ t a n 3x — c o tx + C

36. /

3 7 . f dx 1 3 1J sen5x c o s 5x ? tan * ^ n l^an x \ ~ ~ c o t 2x — — cot4* 4* C9 ~ 1 “«i«» ai — — —( ¿ 4

3 8 ’ / v s e n x c o s 3x R-2Vtáñx + C

oq í Sec4*H 1■ J tan4x R- - cotx - 3 c° t3x + C

40. I S o t x c o s ^ x dx R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C

í se n 2(nx) i ^ ^J co s6(jrx) dx R • “ [3 tan3C^x)+ - t a n s (7rx)J + C

42. J sen x sen 2x sen 3x dx R. ¿ c o s 6 x - A Co s 4 x ^ cos 2x + C

.43. f sen 4x eos 5x dx r cos9x cosxJ 18 2

44. í sen 8x sen 3x dx r sen x _ sen , rJ 22 10

45. J cosh 3x cosh x dx r . i senh 4x + senh 2x + Co 4

46. j senh 4x senh x dx R. _ COsh 5x + ^ cosh 3x + C

47. J sen3x eos 3x dx R. l c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C

48. f cos2x sen24x d x R x en i sen 2x sen 6x sen lOxJ ' 4 32 -8 ~ 48 8 Ó ~ + C

49. f senh2x cosh 5x dx r sen ^x j_ senh 3x senh 5xJ 90 n tt:—

5 0 . /dx

28 ' 12 10 +C2

V se n 3x c o s ^ x R‘ ~ 2 ^ x + 3 t a n x V t l F * + C


INTEGRAL INDEFINIDA

1.5.3 IN T E G R A C IÓ N P O R S U S T IT U C IÓ N T R I G O N O M É T R I C A

Las integrales de la form a f R ( x , J p x 2 + qx + r ) d x , donde R es una función

racional de las variables x y J p x 2 + qx + r , se puede sim p lifica r por m edio de

una sustitución trigonom étrica adecuada.

Com pletando el cuadrado en el trinom io p x 2 + qx + r se obtiene una expresión

de la form a u 2 + a 2 ó u 2 — a 2 ó a 2 — u 2, donde a es una constante.

I) S i el trinom io tiene la form a a 2 — u 2, mediante la sustitución

u - a se n 9 , a > 0

se e lim ina el radical, pues V a 2 - u 2 = a eos 9 . Tam bién se tiene que

d.u = a eos 9 dO

Para regresar a la variable original u, se emplea el triángulo form ado con la

usustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).

(a)

Fig. 1.3

II) S i el trinom io tiene la form a a 2 + u 2, mediante la sustitución

u - a tan Q , a > 0

se e lim ina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 9 . Tam bién se tiene que

du = se c 29 d 8

Para regresar a la variable original u, se utiliza el triángulo form ado con la u

su stituc ión tan 9 = - (Fig. 1.3 b). a

III) S i él trinom io tiene la form a u2 t - a 2 , mediante la sustitución

u = a sec 6 , a > 0

se e lim ina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . Tam bién se tiene

du = a se c 9 tan 9 d9

Para expresar la integral orig ina l en térm inos de su variable u, se emplea el

ut r iá n g u lo e la b o ra d o con se c fi = - (Fig. 1.3 c).



Ejem plo 48. Calcule / = J ^9 - x 2 dx.

SoluciónHaciendo ia sustitución * = 3 sen 8 , dx - 3 eos 8 d d y calculando la integral

trigonométrica que resulta, se tiene

/ = j V 3 2 — x 2 dx — J p^-^^señ2d 3 eos 9 dd

= J 9 eos26 dd = - J (1 + eos 29) dd

co s20 .3 eos 6 dd

9 9 ( x xV9 - x2= - ( 0 4- sen 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- -------

- ( Xy¡9 - x 2 + 9 aresen - ) + C

E je m p lo 4 9 . Calcu le / = /dx

x 2-J 16+ 9X 2

Solución

Sea 3 x = 4 ta n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,

í dx _ 4 f J x 2V l 6 4- 9 x 2 ~ 3 J

sec2d dd

x 2V l 6 4- 9 x 2 3 J ^ t a n 20 V 1 6 4- 16tan20

3 f secd 3 f c o s í= — -----T - d d = — -----— d 0

16 J tan2d 16 Jsen2d 16-C S C 0 4- C

3 V 1 6 4 - 9 x 2 V 1 6 4 -9 X 2 „. + c = ----------—-------- + c

16 3x 16x

:dx.E je m p lo 50. Ca lcu le / ,J V x 2 — 9

Solución

Haciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 9 tan 9 d9 , se obtiene

27 sec30 . 3 sec d tan d dd

V 9 sec20 — 9

( x J f := d x =

J V x 2 — 9 J

= 27 J ( 1 4- tan20 )se c 20 d d = 27 (tan d 4- - t a n 3flj 4-

= 9 v 'x 2 — 9 4- - ( x 2 — 9 )2 4- CO


I 'li 'i iiplo 51. Halle I = JINTEGRAL INDEFINIDA

X 3 dx

V x 2 + 2x 4- 5

Solución

i ompletando el cuadrado en el trinom io y

Imi icndo la sustitución

v I 1 = 2 tan 9 , d x = 2 se cz 9 dd

M' obtiene

x 3 dx f x 3 dx

/ V x 2 + 2x + 5 J J ( x + l ) 2 + 4

I (2 tan 0 — l ) 3 2 see20 dd2 se c 0

= J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd

(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd

Hsee30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln |see0 + tan 8 \ - 2 see 8 + C

1 3 t____________________

(xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1)V * 2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C

( 2 x 2 - 5 x - 5 ^

lije m p lo 52. Halle /

Solución

/

4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C

dx

( 1 + X 4)a/\/T + X 4 - X 2"

se c 20Si se hace x ¿ = tan 0 => d x = — ;— . d f t .

líntonces

/dx

- /■

see20 d 0

(1 + x4)VVl + x 4 - x 2 ■> see20 Vsee 0 — tan 0

e o s0 d 0

V sen 0 — se n 20 1 / l T

eos 0 d8z 2

-a rc se n + C

1 1 / 2x 2= -a re se n (2 sen 0 - 1 ) 4- C = - arcsen - ^ =

2 2 V v i + x 41 4-C



12 dx/;

Ejem plo 53 . Calcule / - , __________________(2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 ) 3

SoluciónCom pletando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustit jc ión

2x - 1 = 3 sec 9, d x = - sec 9 tan 9 d.9

Resulta

/= /

- /

■ /

12 dx

(2x - 1 ) V ( 4x2 — 4x — 8) 3

12 dx{2.x — l ) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2

18 sec 8 tan 9 dd 2

3 s e c 0 2 7 t a n 30 9J cot26 d9 = — j (esc29 — 1 ) d 6

2 , 2 / = — [—cot 6 — 0] + C = — (■

Ejem plo 54 . Calcule J

Solución

S i se sustituye

/

9 V V 4 x 2 - 4x - 8

e _:>f dx

2x - 1 \+ a re sen— -— J + C

( 9 e ~ 2x + 1 ) 3/2'

3e * = tan fl, e = - - s e c 29 d9 , se tiene

= J

e x dx[ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2

r ~ 3 sec29 d 9 \ r

J se c39 3 J eos 9 d9

- - s e n 9 + C

Vi + 9e~2*+ C


R|cinp lo 55. Calcule / = I XV * X- d*J V 2 — x

So luc ión

Racionalizando el integrando, obtenemos

f x \ [ i - x f x ( l ~ x ) r x ( l - x ) d x

J V 2 - x X ~ J V l ^ / 2 ^ X ~ \ V x 2 - 3 x + 2

INTEGRAL INDEFINIDA

Aliora bien, completando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustitución

3 1 1- = - sec 8, dx = - sec 8 tan 8 d82 2 2

Sust . 2x - 3 = se c 9

c obtiene 2x-3 /ly / x 1 - 3 x + 2

f x ( l - x ) d x

\ ( y 1/ Q \

12

r ^ sec 8 + ( l - ^ - i sec ^ sec 6 tan 0 dd

^ tan 8

= - - J (se c 3 8 + 4 se c28 4- 3 sec 8) dd

3 1 r ------------------= - tan 8 - - ln | s e c 0 + tan 8\ - - y / l + ta n 20 s e c2d dd

4 4 J

3 1= - t a n 8 - - ln | s e c 0 4- tan 8 | - - ( s e c 8 tan 8 + ln| sec0 4- tan 0\ 4- C

4 o

1 7= - - t a n 0 (8 4- s e c 0 ) - - ln | s e c 0 4- tan 8\ 4- C

O O

2sJx 2 — 3x 4- 2 7 i ____________= -----------------------(8 + 2x - 3 ) - - l n \2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C

O O ' '

y j — 3x “h 2 7 i ____ i= ------------ -----------(5 4- 2 x ) - - \ n \ 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3x 4- 2| 4- C


Observación 7. Si el integrando contiene una expresión de la form a V a 2 — u

ó V a2 + u 2 ó Vu2 - a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.

Para V a 2 - u 2 , la sustitución es u = a tanh t.

Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.

Para Vu2 — a2 , la sustitución es u = acoshí.

En el primer caso, V a2 - u2 = a sech t.

En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a co sh t.

En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a senh t.

E je m p lo 56. Calcule / = J x 2J x 2 + 4 dx.

So lu c ión

Usando la sustitución

x = 2 se nh í , d x = 2 co sh í d t tenemos

/ - J x 2y¡x2 + 4 d x = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t d t

- 16 J senh2t cosh 2t d t = 4 J senh22 í d t = 2 J (cosh 4 t - l)d £

1- - s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tco sh t(sen h 2 t + cosh2t ) - 2 1 + C

x V 4 + x 2 / x 2 4 + x 2 \ xj _ 2 Se n h -1 - + í:

x V 4 + x 2

4 2

x 2 dxE jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f ■

J <V x2 + 4x - 5 SoluciónCompletando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución

x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d tresulta

I r n { __ *2 dx f * 2 d x f (3 cosh t ~ 2 ) 2 3 senh t d t J + 4 * - 5 ~ J / ( * + 2)z - 9 i 3 senh t

INTEGRAL INDEFINIDA

(3 cosh t - 2 ) 2 dt = J (9 co sh 2í - 12 cosh t + 4 )d t

í/cosh 2 t + 1

9 ^-----------------) - 12 co sh t + 4 ) d t

9 17- c o s h 2 t - 12 c o s h t + — 2 2

d t

9 17= - s e n h 2 t - 12 se nh t + — t + C

4 2

9 17= - senh t c o s h t — 12 senh t + — - t + C

2 2

V x 2 + 4 x - 5 17 ( x 4- 2 \--------- - --------- (x — 6 ) + — c o sh - ( - J + ^

O b s e r v a c i ó n 8 . Si la int egral t iene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 ± x 2) dx ó

I R ( x n ; J x 2 — a 2) d x , donde n es entero i mpar posi t ivo, es pr e f e r i b l e

usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó z 2 = x 2 - a 2.

I.jem plo 58. Ca lcu le las siguientes integrales:

J)

<0

x3 dx f ( x s - x)b) —

J V.V x 2 - 9

x 3 dx« J

Vx2 + 3

x 3 d x

(3 — x 2) 4

d x

( x 2 + 9 ) 3/2

So lu c ión

a) U tilizando z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x dx se tiene

x 3 d x x 4( x d x ) f ( z 2 + 9 ) 2z d zr x (x dx) fJ Vx2 - 9 JV x 2 — 9 J Vx2 — 9

= J (z 4 + 1 8 z 2 + 9 )d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9 z + C

= - ( z 4 + 3 0 z 2 + 4 5 ) + C

V x 2 - 9( x 4 + 12x - 144) + C

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f ( x 5 - x ) _ r (x * - l ) ( x dx) f [ ( z 2 - 3 ) 2 - ] z d z

J V ^ T 3 J V F T 3 " J zf z **

= J ( z 4 - 6 z 2 + 8 ) d z = Y - 2 z 3 + 8 z + C


b) Haciendo z 2 = x 2 + 3, z dz = x dx se obtiene

z= - [ z 4 - 1 0 z 2 + 4 0 ] + C

Vx2 + 3 ,= ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 19 ) + C

c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x dx resulta

r x 3 d x _ r x 2(x dx) f ( z 2 - 9 ) ( z d z ) J (X2 + 9)3/2 - J ( x 2 + 9)3/2 - J

dz

9 1 ,= z H ------h C = - (z + 9 ) + C

z z

1( x 2 + 1 8 ) + C

V x 2 + 9

d) Haciendo z — 3 — x 2, x dx = - - d x se obtiene

f x 5 d x í x 4(x d x ) f (3 - z ) 2( - í d z )J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2)4 = J i?

1 f / 9 6 1 \

2 J +1 / 3 3 1 \

“ 2 \ ^ ~ I * + z ) + C

x 4 - 3 x 2 + 3 ~ 2 (3 - x 2) 3 + C

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f x~ dx

J v f ^ F

J * + x 2 dx

j x z \ ¡4 - x z dx

f dx

J x 2v l + x 2

dx

J ( X 2 -r 1 ) V 1 - X 2

' x 3 dx

v 2 x 2 + 7

dx

x 4V x 2 + 3

r (4 x + 5 )d x

J ( x 2 — 2x + 2 ) 3/2

f - 4I ( X 2

( 2x - 3 )d x

J ( x 2 4- 2 x - 3 ) 3/2

f V x 2 — 4 xd x

x 4 d x

I 1

(4 - x 2y /z

( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x

x 6

d x

INTEGRAL INDEFINIDA

E JE R C IC IO S

(x ■+■ l)3Vx2 + 2x

r sen x dx J Vcos2x + 4cosx 4- 1

1 x /-------- -R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 -C

R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C

x V 4 - x 2 R. 2 a rc sen ----------- -— |x - 2 x j + C

V l + x i R . --------------- 4- C

I y[2x ,R. — a rc ta n l - = = ) + C

1

v f \ V 1 - X 2

V 2 x 2 4- 7 ,R. — — ------- ( x 2 + 7) + C

V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2R. ---- r--------- -- ---- + C

R.

9x 2 7 x 3

9x - 13^ _______ : 4~ C

V x 2 - 2 x 4- 2

5 x - 3

4 V x 2 + 2 x - 3

( x 2 - 4 x ) 3/2

: + C

6 x 3

v s

R.2 0 (4 - x 2) 5/2

( x 2 - 2 5 ) s/2

4- C

+ c

1 2 5 x 5

1 V x 2 4- 2xif. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C

/?. - l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £



5 /e x\ ¡e2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 )

15. | — ------------- — "■■■■ ■ ■■ —— — dx2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4

R. —\ n\ex + 2| - V e 2* - 4 + c

_ f 2 x 2 - 4 x 4- 4 16. j - — dx

J 4 3 + 2x — x 2 R. a resen - (x - 1 )V 3 + 2 x - x 2 + C

17

18.

d x

( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2

( x 2 + 3 x )d x

R.x - 1

4 V x 2 - 2x + 5

í ( x 2 + 3x

J (x - l W x 2 -(X - l ) V x 2 - 2x + 10

R . V * 2 - 2a: + 10 + 5 In |V *2 - 2x + 10 + x + l| + - lnV x 2 - 2x + 1 0 - 3

x - 1 + C

m Í 4 ^ LJ V 4 — x 2

(3 + x 2) 2 x 3

2 0 '

V4 - x2 /? .------ -----(8 + x2) + C

21

22

23

/

f V y 2 ~ 4

i y 4

‘ J

■ /

R. - - . 2

( * 2 + l ) 2 , 7 , 4-------------+ ( x 2 + 1) + -f* €

d y

(x2 — l)Vx2 - 2

2x2 4- 1( x 2 + 4 ) 2

dx

dx161

r — ( y 2 - 4 ) 3/2■ Í 2 y 3 + C

_ Vx2 - 2k. arctan--------- + C

x

x 1 4 x

2 x 2 4- 4J

( 2 x 2 4- l ) V x 2 + 1

f 3 x a r c s e n x 25. I — . dx

R- r r l a r c t a n r ----— — - 1 4- C

fi. a rctan * ) + CW 1 4- r 2/

J V ( i - * 2) 5

J V i - x 2 v i - x /

aresen x 1 [ x

(1 — x 2) 3/7

i r x

2 l ~-4 -in

■V i 4- x 2

AT + 1

V T4- C

dx

R ] n f 1 + X ) ( 2 7 3 1 s \ , 89 /2 5 + 6x 2\*■ l n l T ^ I A 3 z ~ 5 - z J + g ó arcsen * “ * 2 ( — e T ' j + c-

donde z = J l - x 2


i tx ¿ - 3

A v/x4 - 4:d x

INTEGRAL INDEFINIDA

1In |x 2 + V * 2 _ 4 | - - a r c s e n —

x dx

¿ 't

(x 2 - 2 ) V x 4 - 4 x 2 + 5

x 2 d x

1/?. - I n

V x 4 — 4 x 2 4- 5 — 1

x 2 - 2

+ C

4- C

\l 4 x 2 — 1 2 x — 5

(2x 4- 3 \ i------------------------11 a rcsen^— -— j 4- -J—4-x2 - 12x — 5 (3 — 2x )

411

I I

1,’

4 I

x z dx( x 2 4- 4 ) 3

2 x :i dx

1

R ‘ 64

x 2 x ( 4 - x 2) 1 arctan - -

'2 (4 + x 2) 2

4- C

4- C

( v ’ - l ) 4 dx

1 - 3 x 2 R ■ ------T“TT 4- C

(() _ x 2)3

( 4 x 2 4- l ) d x

R.3

■ 4- - In

6 ( x 2 — l ) 3 (3 + x f

3 6 ( 9 - x 2) 2 1 6 ( 9 - x 2) 4 9 — x 24- C

It

( v - 3 )V 6 x — x 2 — 8

/Í. 24 a rc se n (x — 3 ) 4- 37 In

e 2x dx

1 - V ó x - x 2 - 8

x — 3

J ( c ¿x - 2 e x 4- 5 ) ) 3

se nh 2x dx

R.

4y¡6x — x 2 — 8 4- C

e * - 5

4 V e 2* - 2 e * 4- 54- C

(2 c o sh 2x — 3 se n h 2x — 2 co sh x ) 3/2

R3 — co sh 2 x

2 V 2 c o sh 2x - 3 se n h 2x - 2 c o s h x:4- C

illI ,

! sen 2x sen x d x

( - 4 sen 2 x - 19 se n 2x ) 5/2

4 tan x — 16 / 5 ( t a n x - 4 ) 2

</

W t.m 2* - 8 tan x + 20 \ t a n 2x - 8 tan x 4 20

dx

+ 12 + 128

3 ( ta n 2x - 8 tan x + 2 0 )3/" t C

(* 1 ) ( x 2 - 2x + 5 ) 2

R- 32

(x - l ) 2

x 2 — 2x + 54-

1

8 ( x 2 - 2x + 5)+ C

I.5.4.1 I N T E G R A C I Ó N D E F R A C C I O N E S S I M P L E S

Se denom inan fracciones sim ples a ias funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:

0 f W =


1.5.4 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R D E S C O M P O S IC IÓ N ENF R A C C IO N E S P A R C IA L E S

x — r

•*) / O ) = 7— , n > 2 , n e N (x — r ) n

ax + bill) f ( x ) — 2 '------ :— , donde p x 2 + qx + r no tiene raíces reales, es decir,

JjX “t” CJX T Yqz — Apr < 0.

^ s CLX + bIV ) f ( x ) = -— — -----------— , donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.

(;p x 2 + qx + r)n ^ p

La s integrales de estas fracciones sim ples son inmediatas, pues

f ai) dx = a ln ¡x - r| + CJ x — r

U) í (x - r ) n dX ~ (1 - n)(x - r ) n_1 + C

f ax + biii) — 7 - -------- ;— dx (desarro llado en 1.5.1 caso I I I)J p x 2 + q x + r J

f ax + b ( 2 p x + q)dxJ (p x 2 + qx + r ) n X 2pJ (px2 + qx + r ) n + \

2p( n - 1 ) ( p x 2 + qx + r ) n~- +

( * - S ) /

f dxi ( p x 2 + qx + r ) n

f dxJ ( px2 + qx + r ) n

;

Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinom io, se obtiene

r í du j j r~ R , 4 r P _ <7J = ~ T i , i n , ' donde u = J p . x + — = y k = ------------J v J ( u 2 + k 2Y y 4 n( u 2 + k 2r ’ y 4 p

En esta últim a integral, se puede usar la sustitución trigonom étrica u = k tan 0 ó la siguiente fórm ula de reducción:

INTEGRAL INDEFINIDA

dx

So lu c ión

l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces

r dx x 2 (2 ) - 3 f dx] (x 2 + 4 ) 2 “ 2.22(2 - l ) ( x 2 + 4 ) 2-1 + 2.22(2 - 1) J (x2 + 4)

x 1 1 x 1 / x 2 x \

“ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + Í ^ T í ) + C

l 'le m p lo 59. Usando la fórm ula de reducción, calcule / = J + .

1.5.4.2 I N T E G R A C I Ó N D E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S P O R

D E S C O M P O S I C I Ó N E N F R A C C I O N E S S I M P L E S

P (x )Sim la función racional f ( x ) = — -r, donde P ( x ) y Q{x ) son po linom ios

Q(x)i <«primos de grados m y n (m ,n e N), respectivamente.

Si m < n, se dice que la función racional es propia y cuando m > n, se dice que

rs una función racional im propia.

Por ejemplo, las funciones racionales

x 5 - 6 x 2 + 7y a t o2 x 4 + 8 J " 2 x & + 3 x 3 + 2

mm propias, pues el grado del polinom io del num erador es menor que el g iado del

polinom io del denom inador; mientras que las funciones racionales

3 x 4 - 2 x 2 + 7 _ 5 x 3 - 3 x 2 + 1

F(X) ~ x 2 + 2x + 3 y " 2 x 2 - 7 x 3 + 4

son impropias.

P(x)Si / (x ) = es Una función racional impropia, po r el a lgoritm o de la división,

uxisicn po linom ios C( x ) y /?(x) únicos tales que

l ’ t o r r ^-------= C(x) +Q(x) Q(x)

ilmule el grado de R( x) es m enor que el grado de Q(x) . C(x) y R ( x ) son,

ii'speclivamente, el cociente y el resto de la d iv isión de P ( x ) entre Q( x) .

I tío sign ifica que toda fracción im propia puede ser expresada com o la sum a de un

polinom io y de una fracción propia. A s í, la integral de una fracción im propia

IMifilc ser escrita com o

í p t o , f , ( R t o dx

Enseguida, verem os el método de integración para una fracción propia, el cual se

basa en que “toda fracción racional propia puede ser descompuesta en la sum a de

fracciones sim p les”. Este hecho se sustenta en el conocim iento de dos teoremas

del Á lgebra que adm itirem os sin demostración.

Teorem a 1. S i Q (x ) es un polinom io de grado n (n > 1 ) , entonces Q ( x ) se

descompone com o un producto de factores de 1er grado y de factores de 2 do

grado irreductibles en M, de la siguiente forma:

Q(x) = a(x — r j ) " 1 (x — r2) n2 ... (x - rk)nk(x2 + p^x + q1)m» ...(x2 + psx + qs)m> ( *),

donde n = TI-L+ n 2+ . . . + n k + 2 m l + ... + 2m s

T eorem a 2. S i el polinom io ( ? ( * ) posee la descom posición '( * ) y P ( x ) es

P (Xjun po linom io de grado m enor que n, entonces la fracción prop ia

se descom pone unívocamente en fracciones sim ples como

P( X) _ ^11 A12 ^21 ^22

Q(x) x — + (x — rx) 2 (x - r j )ni + (x - r2) + (x - r2) 2 + ^

+ - Alnt- + . - 4 - A k l - + Ak2 + . . . + Akn*__ +( x - r 2)"2 (x - rk) (x — rk) 2 (x - r k) nk

Bl l x + ^11 Bl2x + ^12 J ^lm, + ^( x 2 + p 1x + q1) ( x 2 + p xx + Ch) 2 ( x 2 + p jX + Q i)mi

_l_ B S1X + Cs í ^ B s2X + CS2 ®smj "t" Q m s

x 2 + psx + qs ( x 2 + psx + qs) 2 ( x 2 + psx + qs) ms

En resumen, podem os afirmar que la integración de una función racional (propia ó impropia) se reduce a integrar a lo más un polinom io y las fracciones simples.

Recuerde que si ei grado del numerador es m ayor o igual que el grado del

denominador, primero se debe d iv id ir (salvo que se emplee otro artificio de integración).

Cuando se descom pone una función racional en fracciones simples, la ecuación

resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los valores

sign ificativos de la variable x. E l método para determinar las constantes que se

presentan en los numeradores de las fracciones sim ples se basa en un Teorem a del

A lgebra que establece que los po linom ios de un m ism o grado son idénticos

cuando son iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales. Estas

constantes también se pueden determinar resolviendo la igualdad de po linom ios

para un núm ero suficiente de valores de x.

En el siguiente ejemplo, sin determinar las constantes, mostrarem os com o se descom pone una fracción propia.



Sea la fracción propia

P( x ) 7 x 4 — 2 x 3 + x 2 — %/2x + nQ(x) = (x + l ) ( x - 4 ) 3( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1 ) 2

I .1 descom posición de esta fracción en fracciones sim ples se expresa com o

P(x) A B C D Ex + F Gx + H Jx + M■ + -------r + 7------ :t t + -:------ ; t t + — ---- — H---- ---- - + -

INTEGRAL INDEFINIDA

Q(x) x + 1 x - 4 (x - 4 ) 2 (x - 4 ) 3 x 2 + 9 x 2 + 1 ( x 2 + l ) 2

donde A, B, C, D , E, F, G, H, J y M son constantes a determinar.

f x 3 — 3x + 3 lile m p lo 60. Calcule / = — :---------- i rdx.

H J x 2 + x - 2

So luc ión

I n primer lugar, se divide, ya que el integrando es una fracción racional impropia.

x 3 — 3 x + 3 1 1= x — 1 + — ---------- - = x - 1 + ■

x 2 + x - 2 x 2 + x - 2 ( x - l ) ( x + 2)

1 iit'í’o, J = j (x — l)d x + J •dx x 2

— — X(x — l ) ( x + 2 ) 2

A l descom poner el integrando de I en fracciones simples, se tiene

1 A B(x — l ) ( x + 2 ) x — 1 x + 2

donde A y B son constantes a determinar. M u ltip licando esta ecuación por el

m ínim o com ún m últip lo del denominador, se obtiene la ecuación p r in c ip a l

1 = A( x + 2 ) + B( x - l ) , V x £ l

Ahora bien, para determinar las constantes A y B se debe escoger valores

npi opiados de x. E stos valores son aquellos que hacen igual a cero el denom inador

de cada fracción simple. A sí, tenemos:

l'm a x = 1 en la ecuación principal, nos queda: 1 = 3A <=> A = 1/3

l'n ia x = - 2 en la ecuación principal, resulta: 1 = - 3 B «=> B = - 1 / 3

I ui'^o,x .

/( :1/3 1/3 \ 1 , 1 , 1.dx = -ln|x — 1| — -ln|x + 2| + C = -in

1 x + 2) 3 3 3

'ni lauto.

x + 2+ C

X 2 X 1/ = y - í + ^ T - x + 3 1" x + 2

+ C

I ti el ejemplo anterior, para calcular la integral I no es necesario descom poner en

li h it iones simples, pues tam bién se puede calcular completando cuadrados. En los

llám enles ejemplos, usarem os el método m ás adecuado.


X2 — 6x + 8f x ¿ — 6x + 8 Ejem plo 6 1 . Halle I = I — — ------ - d x

J x 2 + 2x + 5

Solución

C om o el integrando es una fracción impropia, primero se d iv ide y luego se aplica

el artificio presentado en 1.5.1. A s í, se obtiene

f x z - 6x + 8 f 3 - 8x i f (8 x - 3 )dx= I 7' , o — r ? d x = I 1 + - ^ — =------ - d x = x -J x 2 + 2x + 5 J L x 2 + 2x + 51 J

f 2x + 2 f= x — 4 I —-— ------ dx + 11 I ,

J x 2 + 2x + 5 J (x + l ) 2 + 4

x 2 + 2x + 5

2x + 2 r dx

, 11 ¡x + 1 \x — 4 ln ( x 2 + 2x + 5) + — arctan ^— - — J + C

dxEjem plo 6 2 . Halle J . ,. J x3 + 1

Solución

La descom posición que corresponde a la 'fracción propia del integrando es

1 1 A Bx + Cx 3 + 1 (x + l ) ( x 2 - x + 1) x + 1 x 2 - x + l

PElim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:

1 = A ( x 2 - x + 1) + (Bx + C) (x + 1) ( * )

Para x — — 1 en la ecuación ( * ) , se tiene: l = 3A ==> A = 1/3.

Igualando coeficientes de x 2 en ( * ) , resulta: 0 = i 4 + í ? = > f i = — 1/3.

Igualando coeficientes de x en ( * ) , obtenemos: O = - A + B + C =$ C = 2/3.

En esta integral, el problema m ayor es la integración de la fracción sim ple /?. U n

método que facilita la integración de este tipo de fracciones sim ples (y que se usa

cuando el denom inador presenta factores cuadráticos irreducibles) consiste en

expresar el integrando como

1 1 A D( 2 x - 1 ) t EX 3 + 1 (x + l ) ( x 2 — x + l ) x + 1 x 2 — x + 1

donde 2 x - 1 es la derivada del denom inador x 2 - x + 1. Obsérvese que para

integrar la segunda fracción es suficiente separar en dos integrales tal com o veremos a continuación.

En la igualdad anterior, m ultip licando por el denom inador se obtiene la nueva ecuación principal:

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INTEGRAL INDEFINIDA

1 = A(x2 - X + 1) + [D (2X - 1 ) + E ](x + 1)

Para x = - 1 en ( * * ) , se obtiene: 1 = 3A = > A = 1/3.

Igualando coeficientes de x 2 en ( * * ) , resulta: Q = A + 2 D = $ D = — 1/6.

Igualando coeficientes de x en ( * * ) , se tiene: 0 = —A + D + E = > E = 1/2.

fuego,

lí je in p lo 63. Calcule J ■

So lu c ión

C om o x 3 - 1 = (x - l ) ( x 2 + * + 1), aplicam os el método del ejemplo anterior.

1 )c este modo, la descom posic ión en fracciones sim p les es

1 A B ( 2 x + 1 ) + ^

x 3 - 1 ~ x - l + x 2 + x + 1

Elim inando denom inadores.se obtiene A = 1/3, B = - 1 / 6 . C = - 1 / 2 . P o r tanto.

1 1 1 í 2x ~~= -ln|x + 1 | - gln(x2 - x + 1) + -^arctan + c

dx

dxE je m p lo 64. Halle / - J <•* _ 2) 2^ - 4 x + 3 ) 'm p lo 64. Halle / —

So lu c ión

( orno (x - 2 ) 2( x 2 - 4 x + 3 ) = (x - 2 ) 2(x - 3 ) ( x - 1), entonces

(x — 2 )2( x 2 — 4 x + 3 ) x — 2 (x - ¿ V x - i x - 1

l lim inando denominadores, obtenemos la ecuación principal:

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l = A ( x - 2 )(x - 3 )(x - 1) + B(x - 3 )(x - 1) + C(x - l ) (x - 2 ) 2 + D(x - 3 )(x - 2) 2

Trabajando con esta ecuación principal, se tiene

Para x = 2 = > 1 = —B = > B - - 1

Para x = 3 => 1 = 2C = > C = 1/2

Para x = 1 => 1 = - 2 D =¡> D = - 1 / 2

Igualando coeficientes de x 3 resulta: 0 = i4 + C + D = > . 4 = 0

Por consiguiente,

dx r dxI

S o r :( x - 2 ) 2 ( * - 3 ) ( x - l )

x - 3

_ f dx 1 r dx 1 f dx( x - 2 ) 2 + 2 J x — 3 ~ 2 J x - 1

1 1: ------^ + r l nx - 2 2 x — 1

+ C

E je m p lo 65. Halle I - j So lu c ión

E scrib im os la integral com o

' VserTx

Vsen xc o sx

-dx.

f v s e n x f v s e n x c o sx/ = ----------dx = — ----------- — dx

J cos x J l - s e n 2x

Haciendo u 2 — s e n x => eos x d x = 2u d u y descom poniendo el resultado en fracciones simples, se tiene

r 2u2 du _ í 2u2 du r r i /2 1/2 1

" J 1 - u4 ~ J (1 - U2)(l + u2) ~ J l l - u + 1 + u " l T ^2u 2 du

du

1 , |u+l i 1 I Vsenx + 1~ ln ------ r - arctan u + C = - l n , ------2 l u - H 2 V ü ñ x - 1

arctanVsen x + C

E je m p lo 6 6 . Cacule I = j So lu c ión

dxx ( x 69 + l ) 3 '

dx 1 f 69 x 68 d xSe tiene que / = I - —^7--------- -- — ¡ ------------------

J x ( x 69 + l ) 3 69 J x 69(x 69 + l ) 3

»S i en la últim a integral se hace u = x 69 + 1 => d u = 6 9 x 68 dx, resulta

/ - 1 f du 1 f \A B c D 169 J u 3 (u - 1) 69 J [u + u 2 + i í 3 + w - l j


INTEGRAL INDEFINIDA

Determ inando las constantes A, B, C y D por el procedim iento usado en los

ejemplos anteriores, se obtiene

1 . Í L Í _ jL _ - L 1 i9 J i u u 2 u 3 + u - 169

1 >.69

69 r " k 69 + 1

1 1du = -ln |u | H------t - r - r + ln|u - 1| + C

u 2 u2

+ C+ 1 2 ( x 69 + l ) 5

K|em plo 67. Calcule 1 = J V tan x dx.

.Solución

SI lineemos t 2 = t a n x =» x = a rc ta n t2 y d x =21 d t 1 + t

entonces

f 2 t 2 d t _ f 1 ~ J i + t4 “ J ( T

2 t z dt

+ V 2 t + t z) ( l - V 2 t + t 2)

I ,ii l'actorización de 1 + t 4 se realizó del siguiente modo:

I f t4 = ( t 2 + l ) 2 - 2 t 2 = ( t 2 + l ) 2 - ( V 2 t) 2 = ( t 2 + 1 - V 2 t ) ( t 2 + 1 + V 2 t)

I ,¡t descom posición del integrando es

A ( 2 t + V 2 ) + B t C( 2t - s / 2 ) + D _ 2 12

t 2 + V 2 t + l t 2 - V 2 t + l “ l + t 4

Elim inando denominadores, se tiene

212 = [¿(2 t + V2) + B][t2 - V2t + 1] + [C(2t - V2) + Z>][t2 + V2t + l]

Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinom ios, se obtiene

2A + 2 C ^ = 0 , (B + D ) + V 2 (C — A) = 2 ,

yj2(B - D) = 0 , V2G4 - C ) + B + D = 0

Kesolviendo las ecuaciones, resulta

i4 = — V 2 / 4 , C = V 2/4 , B = — 1/2 , D = 1/2

I uego,

V 2’ 4

r 2t + V2 _ i r _J t 2 + V 2t + 1 f 2 J t2

dt V 2 f 2t - V 2 1 fJ t2 - V 2t + 1 t + 2 j t2 -t2 + V 2t + 1 4

hiiegrando y sim plificando, se obtiene

t 2 - V 2 t + 1

dtV2t + 1

V 2 ,/ = T ln 4 t 2 + V 2 t + 1

donde t = V tan x.

/ ^2— — arc tan (V 2 t + l ) + — a rc tan (V 2 t — l ) + C


r

Ejemplo 68. Calcule I = í ------—J 3 + 4


sec2x dxtan x + sec2x '

Solución

Escrib im os la integral com o

l = [ x sec2* dx - f _____ x s e ^ x dx _ f x sec2x dxJ 3 + 4 tan x + sec2x J 3 + 4 tan x + (1 + tan2* ) ~ J (tan x + 2 ) 2

Ap licando el método de integración por partes, elegim os

( u = x => du = dx sec2x dx

\ d v = 71--------V = - -(tan x + 2 )2 tan x + 2

Luego,

dxl = -----------_ + r dx J tan xtan x + 2 J tan x + 2

J

H aciendo t = tan x =* d t = sec2x dx en la integral ] , se tiene

dx f sec2x dx r d t, f dx _ r _______ sec2x dx_______ r

J tan x + 2 J (tan x + 2)(1 + tan2x) J '(t + 2) ( 1 + t 2)

Descom pon iendo el integrando en fracciones simples, tenemos

1 _ 5 . ~ l ñ ( 2 t) + 5■ + •( í + 2) ( l + t 2) t + 2 1 + t 2

Luego,

l r d t 1 r 2 t d t 2 r d t

5 j t + 2 1 0 J 1 + t 2 + 5 J 1 + t 2

1 1 2 J = p ln | t + 2| — —— ln| l + t 21 + - a r c t a n t + C

b 10 5

1 1 27 = g In|tan x + 2| - — ln| l + tan2x| + -a rc ta n (ta n x) + C

Finalmente, obtenemos

(tan x + 2 ) 3* 1/ — ------------- “ H----- ln

tan x + 2 10 sec2x2

+ - * + C

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INTEGRAL INDEFINIDA

E J E R C I C I O S

II,illc las s igu ie n te s in tegra les inde fin idas:

4 x 2 + 6

/

í I /

/;

hr -

x 3 + 3xdx

-dx( x 2 4- 4 ) 2

x 4 - 4 x 2 - 14a:

x 2 — 2x — 8

d x

( x 2 + 2x + 5 ) 3

X ‘^ ' 2 x 2 + 4

R. ln [ x 2( x 2 + 3 )] 4- C

84 ln [ x 2 4- 4| + C

- dx

R.

x ■> 68 , , 14 ,R. — 4 -x 4 - 8 x 4 -— ln[x — 4 | — — ln|jí + 2| + C

2(x 4 1) 3 (x - t - l) 3 (x + 1\• 4- , . „— ~ a rc ta n (— -— j 4- C

(x 2 4- 2x 4- 5 ) 2 4 (x 2 4- 2x + 5) 8

X 2 4- X - 1

:3 - x 2 - x + 1d x

x 4- 1

2 x 2 4- 3xdx R.

R. ------------— + - ln | x - 1 | - - l n | x 4 - l| 4- C2 (x - 1) 4 4

ln|x| ln (x2 - 2x 4- 3) 2• + - arctan

3 <c t )+ x

«)

10.

\iX 3 4- X 2

x 2 + x — 2

d x1 I x 2 I

R. — 4 - ln ------ -X x 4- 1

4- C

+ c

- dx4 4- 5 x 2 4- 4

2 x 2 — 3 x — 3

l ) ( x 2 - 2 x + 5)

1 ( x 2 + 1R. - l n —z------

6 \ x 2 4- 4a rctan x 4- a rctan - 4- C

dx

1R. - l n ( x 2 — 2 x 4 -5 ) - ln|x — 1 | -F -a rc ta n ( ^ ) 4-C

r x 2J 1 - x

■dx6

x 2 dxx 6 - 1 0 x 3 4- 9

1R. - l n

6

B. i l n

X 3 4- 14- C

+ C

4x 4- 1

X 2 4 -1- dx

1 2x + 1R. - ln (x 2 4- x + 1) — V 3 arctan

I I2 x

X 2 4- 1-dx

V3 V3

2

4 /2 x+ — arctan

V V 3 i )+ C

/ 2 x 2 4- VR. — a rc tan ----- —— 4- C

V3 V V3

f Zx<■14. --------

J x 4 + x- ■-dx

• /

/ i

+ 1

Ä-. |m

x 2 dx

x 6 - 1 0 x 3 + 9

dx

x 2 - X + 1 1 /2 x + 1 \ 1 / 2 x - 1 \+ — arctan — =r— + — arctan — = — + C

V V3 ) V 3V3i ( ^ )\ V 3 /

fi ' 2 4 ln

V 3

X 3 - 9

x 3 — 1+ C

17.

V 2 /?. — ln

dx

x 8 + x 67 .

1 + V 2x + x 2

1 — V 2 x + x 1+ -^ -a rc tan (V 2x + l ) — a rc tan (V 2x — l ) + C

1 1 1ñ. - + — — ---------- a rctan x + C

b x 3 3 x 4 x

r x + x J

18' J - 2 4 ' + 1 d%

1 9 . /d x

2 0 .

x ( x 7 + l ) 2

f dxI X ( X 999 + l ) 2

dx

/

■ /

x ( x 9 + l ) 3

d x

X 12 ( X 11 + 1)

„ . 4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 — V5|R. :rln|x4 - 1 | - - l n [ x 6 + x 4 - 1 -------— l n ----------------- = + C

2 4 2 V 5 |2x4 + 14 - v 5 i

R. ¡ n | x | - ^ in | x 7 + 1 | + — — + C7 7 ( x ■ t t j

1 1R. ln|x|-------- lnjx999 •<- l l + --------- — ------- + C

999 9 9 9 (x 9" + 1)

1 1 1R. ln|x|— - ln | x + l| + „ 4-------- — ^— ? + C

9 9 (x 9 + 1) I 8 (x9 + l ) 2

R • r r l n l x 11 + 1| - 1 ■ / - ln|x| + L11 l l x 11

f cot x dx23 i c i S í

24.

7x + 1)

f tan x dx

J ( c o s " x + 1)

R. ln | sen x j— ln|sen 'x + 1| + — -----:--------~7 7 ( se n 'x + l j

R. — ln|cos x + l| - lnjcos x ) -9 9 ( c o s " x + l )

+ C

+ C

' x 4V s e n x + V s e n x + c o s x 25. I ---------- , , ----------------- dy.P ( x 4 + 1) c o s x

Ä. | mV se n x + 1 V 2 . x 2 + V 2 x + 1

-------- a rctan fV sen x ) + —— ln ----------------------—----------- +V se n x - 1 8 x 2 - V 2 x + 1

+ — arctan(V 2x + l ) - arc tan(V 2x - l ) + C

I IN 1 cvjKAL LNUfcMINIUA

lU./

dx

X s + 1

V 5R- ™ ln 20

2 x 2 - ( l - V 5)x + 2

2 x 2 - (1 + V 5 )x + 2

V lO — 2 V 5 / 4 x - ( l + V 5 ) \+ ------ — ------ arctan — +

1 0 V V 1 0 - 2V 5 /

V IO + 2 V 5 ( Ax - (1 - V 5 ) \ , „--------— ------ arctan — | + C

10 V V 10 + 2V 5

,'7.

2').

<0.

1!.

;»2.

u .

j V t a ñ h x d x

c o s x V s e n x + 1

1Ä. - I n

2

tanh X + 1— — arctan(tanh x ) + C

sen x + 2

dx

dx R. 2 V se n x + 1 — 2 a rc ta n V se n x + C

sen 5 x ( l + co s 5 x )

2 dx

1R. - I n

4

cos 5x - 1•+ C

V c o s x sen x

5

/?. In1 - V c o s x

1 + V c o s x

c o s 5 x + l 2 ( c o s 5 x + l )

+ 2 a rc ta n (V c o s x ) + C

C X 3

J i 1 3 !

/

/

d x fi. - [ x 3 - l n ( x 3 - 1 )] + C

d xx 3 + x - 1

( x 2 + 2 ) 2

4 x 2 - 8 x

( x - l ) 2( x 2 + l ) 2

Ä.2 — x

I n J x 2 + 2 ------ — arctan — + C4 (x2 + 2) ^ 4V 2 V 2

dx

R.3 x - 1

(x - l ) ( x 2 + 1)

, ( * ~ 1 ) \+ In — ■■ . 1 + a rctan x + C

x 2 + 1 )

(■I/

/

dx( x 2 — x ) ( x 2 - x + l ) 2

x - 1Æ. In

103 V 3

/2x - 1 a rctan — —

V V 3

2 x — 1

3 ( x 2 — x + 1)

3 x + 2

x ( x + l ) 3dx

4 x + 3 xR. — ------ —w + ln -

2 ( x + l ) 2 ( x + l ) 2

+ C

+ C


Hem os visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan com o

com binaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las funciones irracionales sa lvo en a lgunos casos particulares.

E n esta sección y en las siguientes, vam os a estudiar a lgunos tipos de funciones

irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas com o una sum a finita de

funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cam bio de variable de

manera que el integrando de la nueva integral sea una función racional.

1.6 IN T E G R A C IO N D E A LGU N A S FU N C IO N ES IR R A C IO N A L E S

f í / a + b x \ mi/ni / a + b x \ mk/nk1 .6 .1 IN T E G R A L E S D E L T IP O j A ( _ ) ;...; ( — )

En este caso, R es una función racional de variables

/ a . + b x \ mJni / a + b x \ mk/nk .x ■ f c r s ) ■ •••y '* > "* »• > .................... "• 6 :

a + bxPor tanto, lo s exponentes de -------— son núm eros racionales.

c + dx

E n esta situación, se hace el cam bio de variable

a + bx

dx

= t n , d ond e n = m. c. m. {ri!, n 2, - , n k}c + dx

Despejando x, se obtiene

t nc — a (be — a d ) n í n_1

y d x = ■í b - d ñ ‘ - i c

Sustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una función

racional de variable t.

dxE je m p lo 69. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4) •So lu c ión

E n este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1/2 y 1/4. Entonces

m .c. m .{2 ,4 } = 4

Haciendo el cam bio de variable x — ? 4 =* d x = 4 13 d t resulta

f 4 t 3 d t r 4 t f ( 4 \ ~ j t 2 ( 1 + t ) ~ J 1 + t d t ~ j \ ~ t + 1/

= 4 t - 4 ln |t + 1 | + C = 4 x 1/4 - 4 ln |x 1/4 + l | + C

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So lu c ión

I .ds cxponcntes fraccionarios de x - 1 son 1/2 y 1/ 3 .

Si se hace x ~ 1 = t 6 (6 = m. c. m. {2 ,3 } ) => dx = 6 t sdt .I liego,

f 6 t 5 d t r t 3 r , i .

J t 3 + t 2 ~ 6 ] T T i d t = 6 l ( t 2 ~ t + 1 - ^ ) dt

= 2 t 3 - 3 t 2 + 6 t - 61n|t + 1| + C

- 2\¡x - 1 - 3 V x - 1 + ó V x - 1 - 6 1 n | V x — 1 + l l + C

INTEGRAL INDEFINIDA

K jcinplo 70. Halle I = f dxJ V X - 1 + \jx - 1 '

E je m p lo 71. Calcule / = í í— — 1 —J y] 1 + x 2 x

So luc ión

Se escribe

i ~ r 1 ■ —

/ = í I** ~ 1 ^ - 1 f ;x2 “ 1 2* dxJ j l + x 2 x 2 J J i + x 2 ' ~ P ~

I luciendo el cambio de variable z = x 2, se obtiene

/ = - [ ,2 ~ 1 dz2 J 1 + z z

I n ''s ta últim a integral, el criterio estudiado nos sugie re reem plazar — = ^

I »namos al lector segu ir este cam ino. Reso lvem os la integral usando el siguiente

l = ± r _ j £ Z l ) d z _ _ l r ( z - l ) d z i r dz i r dz2 J z v 1 + z V z — 1 2 j zVJ T T J 2 ) 4 ^ 1 2 J ¡ V P ^ T

1 , --------- , i- ln | z + V z 2 - 1¡ -~ a rc se c| z| + C

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E je m p lo 72. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.

So lu c ión

Escrib im os la integral como

tan2* + 2 r sec2x + 1 f sec2x dx [ dx


lr tan2* + 2 [ sec2x + 1 _ f sec x “x + f

J V tan 2* + 2 J V tan 2x + 2 J V tan 2x + 2 JV tan 2x + 2 i V tan 2x + 2

'i '2

Ap licando las fórm ulas de integración correspondiente a cada integral, tenemos

/* = ln jtan x + + C1

[ eos x d x f eos x d x ( s e n x \/, = , = ■— -- a re sen I — — + C2

J V s e n 2x + 2 e o s2* J V 2 — se n 2* ' v 2 /

Por consiguiente,i --------------- 1 /sen x \

I = ln |tan x + V t a n 2* + 2 1 + a resen ^ j + C

1 .6 .2 IN T E G R A L E S D E L A F O R M Adx

(x - a) n4 p x 2 + qx + r, n e

Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente su st itu c ión re c íp ro ca

1 d t x - a = j = > d x = - j j

E je m p lo 73. Calcule / = I — J x

dx

2y/4x2 + X + 4So lu c ión

1 1H ac iendo la su st itu c ió n x = - = > dx = — - r d t , se ob tiene

t t z

dtt 2f — = U L = = - Í

J 1 4 , 1 , , J

t dt

1 ¡ A t 2 \|t2

-~í 8 J

+ 7 + 4

(8 t + l ) d t

V 4 t 2 + 1 + 4 ' 8 ji f8.1

V 4 t 2 + t + 4

dt

- sdt

= - - V 4 í 2 + t + 4 + — í = l n | 2 t + 7 + V 4 t 2 + t + 4 4 V 2 V 6 3 I 4_ '

1 V4 + 4x2 + x 1-----------------------+ — = = ln4 x 2V63

8 + x V 4 x 2 + x + 4 + --------------------

4x

+ C

+ C


Ejemplo 74. Calcule /

So lu c ión

INTEGRAL INDEFINIDA

dx= [ _____ iJ (x — 2)yfx(x - 2)y/x2 + 3 x - 9

1 1 C om o x — 2 = — => d x = — — dt , entonces

- / í T 3

d tt 2

| J ( i + 2^ + 3( l + 2 ) - 9

d t

= = - ln t + - + V t 2 + 7 t + 1 4 5 I 2

+ C

- l n7 x - 12 V x 2 + 3x - 9

2 ( x - 2 ) x - 2

E je m p lo 75. Calcule J = f ..+ 3)dx —J x 2yj3x2 + 2x + 1

So lu c ión

1 1 Si se hace x = - = > d x = - ^ -d t . Luego,

= _ f ( í +3) f f J 1 / 3 + 2 + 1 - J

t 2 y J F + t + 1

3 f 2 t + 2

d tt 2 (1 + 3 t )d t

V t2 + 2 í + 3

d t “h 22 J Vt2 + 2t + 3 J V(t + l ) 2 + 2/:

d t

= — 3-y/t2 + 2 t + 3 + 2 ln |t + 1 + V i 2 + 2 t + 3¡ + C

x + 1 + V 3 x 2 + 2 x + l l3 V 3 x 2 + 2 x + 1+ 2 In + C

1 'i a lgunos casos, la sustitución recíproca puede facilitar el integración, com o verem os en los dos ejemplos siguientes.

proceso de


Vx -;r -yx —■ XE je m p lo 76. Calcule / = J — — — dx.

So lu c ión1 1

S i se hace x = - = > d x = — ^dt. Luego, t t 2

* 11 _ J_

= - J - - ^ = - J V t 2 - 1 t d t , ( u = t 2 - l , d u = 2 t d t )

E je m p lo 77. Calcule / = J ■dx

(x + l ) 4 x 2 ‘

So lu c ión

1 1 t * ~~ t

dt

Si se hace x + 1 = 7 = > d x = - - ^ d t . Luego,

t4 H

= - f y + t 2 + 3 í + 4 ln ( l - 1) + + c

1 1 3 1 x 1 x + l i „--------— H-------------- H-----------f- 4 ln -------r H--------- 1 + C

.3(x + l ) 3 (x + 1 ) 2 x + l ljc + l l x i

1 .6 .3 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A J R [ x - . J a x 2 + bx + c ) d x

E n este caso, R es una función racional en las variables x y V a x 2 + bx + c. U n a

integral de esta form a se calcula usando las ‘‘su stituc iones de E u le r ” . Estas

sustituciones permiten transformar el integrando en una función racional de

variable t. Se presentan 3 casos:

C A S O I. S i c > 0 , el cam bio de variable es V a x 2 + bx + c = t x + Ve.

Elevando al cuadrado, resulta

a x 2 + bx + c = t 2x 2 + 2V e tx + c

<=> (a - t 2) x 2 + (b — 2 V c t ) x = 0

«=* x [ ( a - t 2) x + ¿ - 2 V c t] = 0

En esta última ecuación, elim inando la so lución x = 0, se obtiene x = <p(t), que

es una función racional de t, y dx = (p' ( t )dt . donde <p'{t) es también una función racional de t. Por lo tanto,

J R( x , ] y ] ax2 + bx + c ) d x = J R(<p(t); tcp(t) + Ve) <p'( f ) d t

donde el integrando del segundo m iem bro es una función racional de variable t.

INTEGRAL INDEFINIDA

E je m p lo 78. Calcule ] = \ ■ J .

dx

x V 2x2 + x + 1 'So lu c ión

Haciendo y = V 2 x 2 + x + 1 = t x + 1 y elevando al cuadrado, se obtiene

2 x 2 + x = t 2x 2 + 2 tx

Elim inando la so luc ión x = 0, se obtiene

2 t ■dx

2 ( t 2 — t + 2)dt , y =

t ( 2 t - 1)+ 1 =

t + 2

2 — t 2 ' (2 — t 2) 2 " 2 — t 2 1 ‘ 2 — t 2

Luego, reemplazando estos valores en la integral y sim plificando, nos queda

J' = f 2 d t . . J 21 - 1

= ln|2t — 1| + C = ln2 V 2 x 2 + x + 1 - 2

+ C

C A S O II. S i a > 0 , se hace la sustitución V a x 2 + bx -f c = V a x + t.

Elevando al cuadrado y sim plificando, se obtiene bx + c = 2V a í x + t 2. De esta

dxecuacion.se obtiene que x y ~ son funciones racionales de t y p o r tanto, el

nuevo integrando es también una función racional de variable t.

E je m p lo 79. Calcule / = j So lu c ión

dx

x V x 2 + x + 1

Sea y = v x 2 + x + l = x + t.

Elevando al cuadrado, se obtiene x 2 + x + 1 = x 2 + 2 t x + t 2. Lue«o,

1

1 - 2 1, d x - 2

- t c + t •d x , y =

- r + 1 - i

i - 2 1(1 - 2 t ) 2

Finalmente, reemplaitando estos valores en I y sim plificando, se tiene

V x 2 + x + 1 - x - 1

' J

d t= ln

t — l i

t + 1+ C = ln

V x 2 + x + 1 ~ X + 1


C A S O I I I . E l trinom io a x 2 + bx + c tiene dos raíces reales r y s. E n este

caso, la sustitución es y - V a x 2 + bx + c = t {x - r).

Elevando al cuadrado, se obtiene

a x 2 + bx + c = a( x - r ) ( x — s ) = t 2(x - r ) 2

Cancelando el factor x — r, resulta a ( x — s ) - t 2{x - r).

dxDe esta igualdad, se sigue que x , — e y son funciones racionales de t y, por

dtende, el nuevo integrando es también una función racional de variable t.

dx

= / ;E je m p lo 80. Calcule / , ____________

W x 2 - 3x + 2 So lu c ión

C om o x 2 - 3x + 2 = (x - 2 ) ( x - 1) , reemplazamos

y = y/x2 - 3x + 2 = y/{x - 2) (x - 1) = t (x - 1)

E levando al cuadrado y sim plificando el factor x — 1, queda x - ¿ — t 2(x - 1).

Luego, se obtiene

2 — t 2 2 t d t t

d x = ó ^ w AFinalmente,

, d t V 2Í = - 2 I — = - T ln

t - V 2t + y¡2

V 2+ C = T ln

4 x - 2 4- y¡2(x - 1)

4 7 = 2 - J 2 ( x - 1 )+ C

1 . 6 . 4 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J x m (a + b x n)p dx

A una expresión de la form a x m ( a + b x n) p d x , donde m, n y p son números

racionales, se llam a b inom io diferencial. Pafnuty L vo v ic h C hevy sh ev (1821-

1894), el matemático ruso m ás eminente del sig lo X IX , dem ostró que la integral

de los b inom ios diferenciales con exponentes racionales puede expresarse

mediante funciones elementales solamente en los casos siguientes (siem pre que

a ^ 0 y b 0):

C A SO I: p es un número entero

m + 1C A S O II: ---------es un num ero entero

n

m + 1C A S O I I I : — :-----h p es un núm ero entero

’ n

m + 1 m + 1Si n inguno de los núm eros p , ---------, — ------- h p es entero, la integral no puede

ser expresada mediante funciones elementales.


C A SO I. S i p es un número entero, se hace la sustitución x = z r , donde

r = m. c. m. de los denom inadores de las fracciones m y n .

m + 1C A SO II. Si — - — es un núm ero entero, hacem os la sustitución a + b x 11 — z s,

donde s es el denom inador de la fracción p (com o p es un número r

racional, P = ~> con r y s núm eros enteros coprim os)

m + 1C A SO III. S i ---------- 1- p es un núm ero entero, se utiliza la sustitución

n

a + b x n — z sx n ó ax~n + b = z s donde s es el denom inador de la fracción p.

E je m p lo 81. Calcule / = J x 2 ^1 + x ^ ¿Lx.

So lu c ión

En este caso, m = 1/2, n = 1/3, p - - 2 e l (caso I) y m. c. m. {2,3} = 6.

La sustitución es x = z 6, d x = 6 z 5dz, x 1/2 = z 3 y x 1/3 = z 2.

Así, tenemos

, ~ 1/z f z 3. 6 z 5 dz .I = I „ . == I TT— 7TT - 6 I ( 1 + z 2 ) 2 dz

Efectuando la d iv is ión en el integrando, se obtiene

INTEGRAL INDEFINIDA

f x i/¿ r z s . 6 z b dz r= J ( l + X 1/3)2dX = J (1 -fz2)2 Z Z 6J I

do la d iv is ión en el integrando, se obtiene

f / , 4 z 2 + 3 \ / z5 2 z 3 \ r= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - a ^ r ) d z - 6 ( j - - + 3 z ) - 6 I - l

, , , , 4 z 2 + 3 \ ( z s 2 z 3 \ f 4 z 2 + 3/ = 6 | | z + 2 z 2 + 3 — , _,N, )d z = 6 ( - - — + 3 z ) - 6 f - - + ^ 2 )2 dz

” 7 ” ’Para calcular la integral J, usam os la sustitución trigonométrica z = tan 6.

f 4 z 2 + 3 f (4 tan20 + 3)sec28dB [1 ' J I T T ^ P = J - - - - - - - - = J (4sen " + 3

= / ( 3 + s e n = / (3 + l ^ H ) M = 1 8 - ^ + C,

7 sen 0 eos 0 7 z

= 2 « ---------- 5-------+ C > = 2 arCta" Z “ 2 ( T T P j + C '

Por lo tanto,

6 3z/ = - z 5 - 4 z + 1 8 z - 21 arctan z + --------r + C

5 1 + z 2

= % x s'b - 4 V x + 1 8 V x - 21 arctan \ [ í + + C5 1 + V x



E je m p lo 82 Calcule } = J x1/3(2 + ^ 2/3) 1/4 dx.

So lu c ión

1 2 1 m + 1En este caso, se tiene m = - , n = - , p = - y ---------= 2 E 2 ( c a s o i I ) ,

3 3 4 n

Ahora, la s titución es '

2 + x 2/3 = z 4 , \¡ X~X,Z d x = 4 z 3d z ó d x = 6 x 1/3z 3d z

Luego,

y J x 1/3( z 4 ) 1/,46 x 1/3z 3 d z = 6 J x 2/3z 4 d z = 6 j ( z 4 - 2 ) z 4d z

= 6 ( t -- % r ) + c = I ( 2 + " 2 / 3 ) 9 / 4 - ^ ( 2 + " 2 / 3 ) s / 4 + c

E je m p lo 83. Calcule / = J ^

3 V ' 5

dxt 6( 6 5 - x 6y / 6 '

So lu c ión

Escrib im os la integral com o / = J x -6 (65 — x 6)~1/6 dx.

1 m + 1Puesto que m = —6, n = 6, p = - - y ------ — + p = — 1 a TL (caso III),■

6 nhacemos la sustitución

6 5 - x 6 = z 6x 6 ó z 6 = 6 5 x -6 - 1, d x = - — x 7z 5 d z65

Por tanto, tenemos

I = J x ~ 6( z 6x 6)~6 — x 7z 5 d z j = - — J z 4 d z

1 _ (6 5 - x 6) 5/6= z 5 + C = - - - — 7 — + C

3 2 5 3 2 5 x 5

E je m p lo 84. Calcule 1 = J V x V * 3 + 1 d i

so lu c ió n

La integral tiene la form a 1 = J x 1/2( l + x 3) 1/í2 d x . Luego,

1 1 m + 1m = - , n = 3, p = — y — --------------------1- p = 1 £ TL

Ahora, hacem os 1 + x 3 = z 2x 3 ó x ~ 3 + 1 = z z, d x = - 2 / 3 x 4z dz.


INTEGRAL INDEFINIDA

Entonces

/ = J x 1/2( z 2x 3')1/2 ^ - - x 4z dz'j = - - | x 6z 2 d z —2 r 1

_ 3 J ( z 2 - 1)2z 2 c¿z

Para calcular la última integral, usam os la sustitución z = secB. A s í, se tiene

/ = -2 f sec20 see 0 tan 0 dff

I /

2 f sec30 2 f

3 J tan3fl 3 jtan40csc30 dd

1 4- cot20 ( - c s c 20 )d 0

= - [ c o t 0 c s c 0 4- ln|cote 4- cscfl|] 4- C

• + ln14- z

V P -+ c

x V x 4 4 -x 1 i ,--------- ¡-------------+ - ln x 3/2 + j l + x 3 4- C

J 6 1 l

V i + e 4xE je m p lo 85. Calcule / = J So lu c ión

dtHaciendo t = e x, dx — — resulta

t

-dx.

r V T T e 4* r v i + t 4 r' = J — ^ - d r = } - p - d “ l

V i + 14r 2( l + 14) 1/4 dt

1 m 4-1Com o m = — 2 , n = 4 , p = — , ----------1- p = 0 E TL entonces4 n

1 + t 4 = z 4 t 4 ó t ~4 4- 1 = z 4 y d t

Lueao, se tiene

- t 5z 3 d z

/ = - j t 2( z 4t 4) 1/4t bz 3 dz = - J t 4z 4 dz = - J —-

- ' - 1 /

dz

1- z - - l n

z 4 - 1

z — 1

1 z 2 + 1

4- -a rc ta n z 4- Cz 4-1

Finalmente, retornando a ia variable inicial x, se tiene

V i 4- e 4x 1/ = ------------------------ln

e * 2

V i 4- e 4x - e >

V i 4- e 4x 4- e*

1 / V i 4- e 4ArN4- - arctan I ------—----- | 4-



6 dxEjem plo 8 6 . Calcule J , _______________

s e n x v e o s3* + sen3x

Solución

D iv id iendo numerador y denom inador entre c o s 2x, se obtiene

¡ _ f 6 dx r 6 se c2x dx

J sen x V c o s ^ F T s e ñ ^ x J tan x Vi 4- tan3x

Haciendo t = tan x, tenemos

6 d tf 6 d i r/ = - j = = = = ó r H i + t 3) 'J t Vi 4- t 3 J

^ d t

1 m + 1Puesto que m = - 1 , n = 3 , P = Y — - — = 0 e Z , h acem os

1 + t 3 = z 3, d t = t _2z 2 d z

Luego,

J - f 6 t ~ 1( z 3) ~1/3t ~2z 2 d z = j 6 t ~3z d z = f 62 dZ

Para calcular la última integral, usam os el método de descom posición en fracciones sim ples, esto es,

J ■ /i4 B ( 2 z 4- 1) 4- C

z 1 z 2 4- z 4- 1d z

Mediante operaciones, se obtiene que los valores de A, B y C son: A = 2 , B = - 1 y C = 4.

Por lo tanto,

2 f 2 z + 1 f d z1

f 2 f 2 z + l f d------ Td z ~ ~ 2~.----- — d z 4- 4 ----------

J z - 1 J z 2 z 4- 1 ) , i

(Z4' Í ) + l

= 2 ln|z — 1| — ln|z2 4- z 4- 1| + arctan ( — ——) + CV 3 V V 3 >

= 2 ln | ( l 4 - 13) 1' 3 - l| - ln | ( l + 13) 2/3 4- (1 4 - 13) 1/3 + 1| 4-

8 /2 V i 4- £3 4- 1 \4- —=. arctan I ---------- —-------- ) 4- C , donde t = tan x

V 3 \ V3


Calcu le las siguientes integrales:

f ¿x1. I — — 57= R. 2 V x — 3 x 1/l3 + 6 x 1/6 — 6 l n l l + x 1/6 ! + C

J Vx + Vx 1 1

r -J~x Hy 1 n

2 ‘ J y + x 4/5 2x1/2 ~ Y xV 1° + 10x1/10 - 10arctan(x1/10) + C

f 5 x 2 + 2 0 x - 2 43. -------- ;-------- ------ fl. 2 (x + 5 ) s/2 - 2 0 (x + S ) 3/2 + 2 (x + 5 ) v " + C

J V x + 5

4. [ ............... ....... ... ................. R. - a rctan ( 1 + - V 2x — 3^ + CJ ( 2x + 5 ) V 2 x - 3 + 8 x - 12 2 V 2 /

f 8 x + 2 l V 2 x - 5 (2 — x — 5 ) ( 8 V 2 x — 5 + 1 5 )5. -----------; ....... d x R. ------------------------------------------ - + C

J 4 + V 2 x - 5 6

r dx6. I ------ — 777— ;----------------------------------------------------------------------------------- t t f t t R. 4 t a n h - 1 [ (x + 1 ) 1/4| + C

J (x + I ) 3/4 - ( x + I ) 5/4 7 J

f ( x — 2 ) 2/3 d x _____ / V x - 2 \

Z ] ( X - 2 ) V > + 3 * . + C

f x 1/7 + x 1/28. x 8/7 1S/14 d x /?. 7 X 1/7 - 1 4 X 1/14 + 2 8 In C x1/14 + 1) + C

f V x + i9. I - = ---- 1

J V F + i

INTEGRAL INDEFINIDA

E JE R C IC IO S

■dx

4 4R. — x 5/4 — - x 3/4 + 2 x 1/2 + 4 x 1/4 - 2 l n ( l + V x } - 4 a rctan - + C

11

12 .

x - 9 , 4 /3x - 1 2 \d x R. - ln|x + 9| - ^ a r c t a n I - -------— ) + C

x + 9 ' 3 V2x + 18/

f 9 V T =rx ,----------— ........d r R. a r c s e n x + V 1 - x 2 + C

J V T T x

í- j

f 2 3 ¡2 - x 3 / 2 + x\ z/3J ( 2 - x ) 2 d X ^ 4 ( 2^ ) + C

13. j sjsen2x + sen x d x /?. - Vsen x - sen2x - arcsenVl - sen x + C

14. J V co s2x + c o s x d x Ä. V c o s x - c o s 2x + a rc s e n V l-e o s x + C



I

í

dx

(eos x - sen x)Vcos 2x

¡1 -i- tan xR. --------------+ C

J 1 - tan x

1 - x dx1 + x x 2

R. - l n1 - V i - x 2 Vi - x 2

■+C

f 2 — s e n x17- --------------eos x dx

J J 3 4- sen x

-------------- ,------------- ¡3 4 - sen xR. V 3 4- sen x V 2 - sen x 4- 5 aresen ---------------y-C

18.f dx

J x 2V x z — 2x 4- 4

. R.

19

20

Vx2 - 2 x + 4 — 2

dx

3 x

32(x - 4 + 2 V z2 — 2 x + 4)+ ln

x - 4 + 2Vx2 - 2 x + 4+ C

/ x V x 2 4- 2 x - 3

f dx

J (x - 1 ) V x 2 - 3 x 4- 2

2 / V x 2 + 2 x - 3 - x >R. — arctan --------------—----------- + C

V 3 V v 3

¡x - 2 R. 2. I-------- 4 -C

■vi x 1

f 4 2 - y

21' J —x - x ‘

■dx

•/

/

4 2 —x — ;.2 42R . ---------------------4- — ln

x 4

dx

•42- x - . V2| /2x + 1\— — aresen ( - j 4 -C

(x - 2 ) 4 x 2 — 4 x + 1

1 / V 3 ,

R . ---- — aresen ------- 1 4- CV 3 \ x 2 ¡

i - v n 4" X X23. I ------ — r ir

x V lR. ln

24 /

-t- X 4- X ¿

dx

X 4- 2 - 2 V l 4- X -r X 2 !

X a-| -t- c

(1 4- x)Vl 4- x 4- x2R. ln

X 4- Vi 4- X 4- X 2

x 4 * 2 4 - V l 4 * x 4 - x ¿

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INTEGRAL INDEFINIDA

26./

(1 - V i + x + x 2) 2

x 2V l + x + x 2d x

— 2 ( v x 2 4- x + 1 — 1 )R----------------------------------f- In

' 4- V l 4- x + x 2 - 1

x — V l 4- x + x 2 + 14- C

27.

28.

29.

30.

31.

' x 4- x 4- 1

x V x 2 - x 4- 1dx

2x - 1 r - ------------ 19 I ,------------ — ,R' — ^ ¡ ~ v * - x 4- 1 + — in | 2 x - 1 + 2V x 2 - X ‘ + lj + C

x + 2

( x - l ) v x ‘ + 1

dx

-.dx R. In (x + yjx2 + ir}-----— Inv 2

1 V x 2 + 1 ■ +

X - 1 s [2

R, Intan x — v s e c 2x + tan x

tan x + 2 + V se c 2x + tan x

+ C

+ c

dx

V ? Zx + 4 e ;c — 4

dx

1 /e* - 2 \ft. - a r c s e n ------ — + C

2 V e * V 2 /

(x - l ) 3V 5 x 2 - 8 x + 4

V

32 .

R.

dx

5 x 2 — Sx + 4 (4 - 3 x )

2 ( x - l ) 2+ In

V 5 x 2 — 8 x + 4 + .

x - 1-t- C

f dx

J (x 2 - D v x 2(x 2 - 1)VX2 + X - 61 / I I - 3 x \

R. - - a rcsen — ---------\ 4 x - 4 /4

i

2 v 6

¡ X -r 1'3\a rcsen ( --------- + C

k' dx + b/

33 .

34.

35.

36.

f 3_VX d x J (Vx + l ) 2

f ( V x + I f 2

J V x

3 °R. - x 2/3 - 6 x :/3 + — ... . + 9 + i f + C

2 + 1

R. - ( x 1'3 + I ) 5' 2 - 2 ( x 1/3 + I ) 3' 2 + C

r dx J (1 + x 2) 3/ 2

f dx

J Vx2( l + V x 2)

R. 4- CV X 2 + 1

R. 3 a rctan x + C

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38./

dxX 2 ( l + X2) 3/2

39. J J ( 1 + V x ) 3 dx

An , V 2 - V í40. | ----- — ---- d x

41. | x 5 V ( H - ; t 3) 2 d x

42.V i + X 1/3

-d xx 2/3

43. J Vx ( 2 + V x ^ ) 1/4 dx

4 4 . / ;d x

45./

x 3( l + X3) 1/3

dx

V T T x *

. x 3 + 2 x 2 46. I —------- — d x

*■/

47 j

(1 + x 3) 3/2

dxx 5(2 5 — x 5) 1/5

48. J e 7* ( l - e 3* ) 5/4 d x

4R. - -

3

Vi + x2

V i + x 2+ C

K. — ( 7 V x — 4 ) (1 + V x ) 7/4 + C

n 2 ( 4 + 3 V x ) ( 2 - V x ) 3/2 fí. ----------------- ------' — + c

b

5 x 3 - 3

40(1 + x 3) 5/3 + C

/?. 2 (1 + V x ) 3/2 + C

(2 + x 2/3) 5/4

15- ( l 0 x 2/3 - 1 6 ) + C

(1 + x 3) 2/3 R. + C

2 x *

i?, - l n 4

V i + x 4

V i + X 4 + .+ - arctan |

1 + x4

R. -V I +X3 -----—3 3 V 1 + x 3

+ C

■x 3X 4/E1 Z 25 - íR . --------- --------------- - C100 \ x a )

1 ( 1 — g 3 * ) l / 4 _ A . ( 1 - e 3 * )1 3 /4 + _ L ( i _ e 3X y 7/4+ c

49' ■ /

c o s x s e n 7x dx

( s e n 2x + c o s 2x + se n 4x ) 3/2

« . i f v ' l s e r r x<;pn4 r /V I -r se n 4x

50. 3 r « • ^ í 8* 3 + 27 ) S/9- ^ ( 8x 3 + 27)

1 / I + x

*■ - 5 h r

27

51- h

V 8 x 3 + 2 7

dx( x ~ 3 -t- I )4/3

2/9128

, 3 x 2 / 3

2 \ x : ( l + x 3) 1^

En general, las funciones que contienen com binaciones de funciones trigonométricas no son integrables por m edio de procedim ientos elementales.

Verem os a lgunos casos en los cuales si es posible la integración.

INTEGRAL INDEFINIDA

1.8 IN T E G R A C IÓ N D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E ST R IG O N O M É T R IC A S

1 .8 .1 IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J R ( c o s x ; s e n x ) d x

En este caso, R es una función racional que contiene senos y cosenos. Para

transformarla en una func ión racional de variable z, se utiliza la sustitución universal

xz '= tan 2 < > x ~ 2 a rc ta n z

En consecuencia,

2 dz 1 — z 2 2zdx = -------- , eos x = —----- y sen x — ---------

1 + z 2 1 + z 2 * 1 + z 2

D e esta manera, el integrando, que es una función racional que contiene senos y

cosenos, se transform a en una función racional de variable z.

f dxE je m p lo 87. Calcule I = ----------- --------------

J c o sx + 2 sen x + 3Solución

xSi hacem os z = tan - , entonces

2 dz, _ f T T z 2 _ f dz _ f dz

J 1 - z 2 , 4z , „ J z2 + 2z + 2 J (z + l ) 2 + ll + z 2 + l + z 2 + ó

= a rc ta n (l + z ) + C = arctan ^1 + ta n -^ + C

Observación 9. La “sustitución universal’’ ofrece la posibilidad de integrar cualquier función racional de sen x y eos x . Sin embargo, en la práctica, conduce a menudo a funciones racionales demasiado complicadas. Por esta razón, en algunos casos, es preferible usar la sustitución auxiliar

t — tan x ( * )

Con esta sustitución se tiene

d t t 1dx — ------r, sen x = . eos x =

1 + t 2 ’ VI + t 2' * VI + t2

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN Ii

Esta sustitución ( * ) debe ser usada cuando la función racional trigonométrica t iene ia forma

i) J R(senkx ; eosnx ) d x , donde k y n son números ent eros pares .

ii) J R( t anx) dx

dx

J:E je m p lo 88. Calcule ) ,

J 3 + co s2x So lu c ión

Considerando la observación anterior, usam os la sustitución auxiliar t = tan x. D e esta manera, se obtiene

f T + F f d t 1 t / V 3 t \ , „= ----------- i— = — ;----- = — = arctan — — + C

J 3 ¡ 1 J 3 t2 + 4 2V 3 \ 2ó + l + t 2

1 /V3 t a n x \— arctan ---------- 4- CV3 \ 2 /2V3

xEn este ejemplo, si u tilizam os la sustitución un iversa l z = t a n - , obtenem os

2 dzj J 1 + z2 2(1 4- z 2)dz

- , A - z 2V J 4 ( z H z 2 + l )\1 + z 2/

y es evidente que esta última integral ofrece m ayores dificultades.

f tan xE je m p lo 89. Calcule I = -----------— dx.

J 2 4- tan2*

So lu c ión

Em pleando la sustitución auxilia r t = tan x, se obtiene

t _ f íc í f í t t \ j ,1 ~ J (2 + t 2) ( i + t 2: = J u T F ~ 2 T ^ J

■ = j l n ( t 2 4 - l ) - ^ l n ( 2 + t 2) 4 - C

1 , / t 2 + 1\ 1 / t a n 2x + l\

~ 2 U 2 + 2 j + C ~ 2 ( t a n 2* 4- 2 j + ^


f 2 4E je m p lo 90. Calcule / = I -------

J eos XSo lu c ión

D escom pon iendo la integral, se tiene

2 4 -3 eos x

INTEGRAL INDEFINIDA

2 4- 3 e o s x

4- 4 eos2*dx.

c o s x ( l 4- 4 c o s x )■ /

~ J 2 se c x d x - j y

dx= [ ( —J V co sxc o s x l 4 - 4 e o s x /

I d x

5 dx

= 2 ln j se c x 4- tan x\ - J -

+ 4 e o s *

5 dx4- 4 eos x

Jx

Para calcular la integral J, u sam os la sustitución un iversa l z = t a n - . Luego,

1 4- z

10 1

(V 3 z ) 2 V 3 2V5ln

V 3 z 4 - V 5

V 3 z - V 54- C

= J l

V 3 t a n ^ 4- V 5

V3 t a n ^ — V 5+ C

Por lo tanto,

1 = 2 ln | secx 4- tan x\ - - lnV 3 tan 4- V 5

V 3 tan j - V 5+ C

dx

4 - 2 V 1 - X 2 'E je m p lo 91. Calcule / = I --------

J 3 — x So lu c ión

U sam os la sustitución trigonométrica x = sen 0. Entonces

eos 8 ddI

sen 0 4 -2 eos 8

zlhora, u sam os la su stituc ión un iversa l z = tan — . Luego,¿

1 — z 2 2 dzf 1 4 z z 1 4- z 2 _ f ________ v

J , 2z . 2 ( 1 - z 2) ~ J (z2 -

(2 — 2z2)dz

3 1 -i- z 2 1 4- z 22 z 4- 5 ) ( z 2 4 - 1 )



D escom poniendo la últim a integral en fracciones simples, se obtiene

f [1 /2z + 4 \ 1 í { 2 z - 2) + 12

1 ~ ] [ s U 2 + l J 5 \ z 2 — 2z + 5dz

- 1 í f 2z 4 ___ —5 J i z 2 + 1 + z 2 + 1 z 2 -

2z — 2 12dz

2z + 5 (z — l ) 2 + 4J

= ^ Jln(z2 + 1) + 4 arctan z - ln (z2 - 2z + 5) - 6 arctan ( ^ y ~ ) ] + c

+ Ci r ( z 2 + i

“ 5 r i z 2 - 2 z + 5+ 4 arctan z - 6 arctan^

tan2 ó + 1ln + 2x - 6 arctan ^

/ tan 2 - 1+ C

E J E R C I C I O S

Calcule las siguientes integrales:

dx1.

2.

4.

5.

6.

7.

/

í

/

/

/ I

4 + 3 e o s *

dx2 + sen x + 3 eos*

dx

2 + sen *

dx

5 - 3 eos * sen x dx

+ sen x

f sen2*J 1 + eos2* dx

tan :R. - a rctan — —

7 l V 7

V 6 ,fí. — ln

6

t a n ^ - 1 + V ó

+ C

4* C

2 2 tan j + 1R. — arctan --------— ------1 + C

V 3 \ V 3

■t / x \ „ R. -arctan 2 tan-J + C

R. X1 + tan 2

/tan *7 T

+ * + c

S d x

sen24* + tan24*

/tan *\Æ. v 2 arctan j - * + C

I r 1 /tan 4 x M „». - g [ « ( 4 * ) + ^ arctan + C


f d x ^¡2 _

Ö' J 3 + se n 2x - c o s 2x R ' T arCtan(V2 ta,,JC) + ';

f sen 2x9 ■ J se n 4x + c o s4x ^X R ' a rc ta n ( ™ s 2 * ) 4- C

f 3 s e n x 4 - 2 c o s x 12 51 0 - h c p n v , i ™ C v dj: fl. t ^ x - — l n | 2 s e n x + 3 c o s x | + C

INTEGRAL 1NDEFINIDA

11

2 sen x 4 -3 c o s x ' 1 3 13

1 + tan xT 1 + tan x• J T - t a n x ^ * — ln lc o s x — se n x| -f- C

, d x 112 ' I ¡ e n 2x - 5 s e n x c o s x fl. 7 ln| l - 5 cotx| + CD

r co s x i1 3 - ----- i-------7----------- fl. - l n

J s e n 2x - 6 sen x + 5 4sen x - 5

sen x -i- 1~r C

1 /I f dx 1 /V 3 tan x \q------ 2— T c --------- 3 fl- - ^ r a r c t a n ------- —— j -i- CJ 3 se n 2x + 5 c o s2x ^ 1 5 \ ^5 j

1C f d x 1 | 2 t a n x + 3 - v l 3~ n— ; ~--------------------------- z - fl. - = l n

16.

se n 2x 4 -3 sen x c o s x - c o s2x ' v i 3 2 tan x 4 -3 4 - V T 3

f dx

J ;c o s 2x -f 5 cos x 4- 6

1 / n ? \ 2 / t a n ö \f l - - — arctan — 4- — arctan — =r=- 4- C

V 2 ^ v 2 y V 3 ^ v '3 y

dx~ ~ 1 — r-x----------------------- ----- 5— fl. a rctan (2 tan x 4- 1) 4- Cc o s zx 4- 2 sen x co s x -t- 2 se n 2x

f s e n 2x - 2 c o s 2x 8 /v '3 tan x ',5----------;-------d x fl. 3 x — — a r c t a n ------— — j -4- C

J 3 - c o s 2x • v 6 'v v/2 J

C S P n^ Y 4- r n ^ ^ r

1 9 ‘ j V e n 2x - c o s 2x d * * " ln|sec 2 x + tan 2x| - sen 2 x C

f 1 4- tan x 1 12 0 - ------------------d x ft. - In | c s c 2 x — cot 2x| 4- - tan x 4- CJ 2 sen x c o s x 2 2

f sen x tan x 1

2L J se n 3x — c o s3x R~ 3 " 11 + C



E N T R E T E N IM IE N T O

1 .

2.

4.

6.

9.

í - —J x J x + 1

f dxJ x 6 + 1

dx R. a rc s e n — I----------------- f- Cx x1 V x2 - 1

arctan x V3 fx'¿ 4- V3x + 1\ 1 1----g----- 12 ( + 1 ) + g arctan(2* + v3) 4- -arctan(2x - VI) + C

3. ( a rc sen x + , X — ^J v. vr^2/x + 2 dx

dx R. x a rc se n x 4- C

í V 2 x

2 x + 3 3 x 2 + l l x 4- 10

dx

¡2 x 4- 3R. 2 a rctan j------------ (- C

x 4- 2

V2x - Vx 4- 4

R. 2Vx 4- 4 4- 2V2x 4- 4 V 2 lnVx - 2Vx 4- 4 4- 4V2I

x - 4

J v x

dx

Vx Vx (1 4- Vx)2R. 3 a rctan x

3 V i

4- C

c

I

7. J e*(cotx-i-lnsen x)dx

8' f >1 X ~ ^ 2 dxJ (1 x )R.

1 4- Vx

r. e* ln j s e n x¡ ■+• C

1• 4- — ln| 1 — x | 4- C

f 6 e 4*J í T ^

4 (1 — x 4) 4

R. - 2 e 3x - ? e Zx - 6 e x - 6 \ n \ e x - 1| 4- C

f Va — x10. — ----- — dx

J Va - vx

/11.

R. a a rc s e n — 2 V a v a - x - i a - x v x - r C a \

sen x 4- sen 2 x 4- . . . 4- s e n (n x )

eos x 4- eos 2 x 4 -... 4- eos (n x )dx fl. - ■ -ln

n 4-cos

f r12. v 4 + e x dx R. 2 ^ 4 4- e 2* + 2 ln

-v/4 1- e x - 2¡

V 4 -i-e * 4-2Í-I -1- C


INTEGRAL INDEFINIDA

3x~ ■+■

2V x (4 — 3 x 2) V 3 x 2 4- x — 4

Sugerenc ia : h ace r tan 0 —

dx

'JX

R. inV 3 x 2 + x - 4 4- Vx

a/3x 2 - 4

V 3 x 2 - 4

14.x 2 dx

!

J l 4 - X 3 4- 7 ( 1 + X 3)

|2 4- 3 x

X - 3d x

11fí. V 3 x 2 — 7 x — 6 H------ — In

2a/3

7 7x ------ 1- x 2 ---- x — 2

6 ^ 34- C

16.

17.

18.

(x 4- l ) d x

(2x 4- x 2)a/2x 4- x 2

2 *

\/2x 4- x 2

1 — 4 *d x

R - i- r inIn 4

1 4- 2X1 — 2 *

r x - Vx - 2------------ d r

J x 2 ~ ^ ( x - i y

R. - l n | ^ x — 2 4-1| 4- — ln|(x - 2 )2/3 - (x - 2 )1/3 + £|

1 ( 2 W = 2 - l \------ ■= arctan ---------= -------| 4- C

4 V 7 V V 7

(4 4- x 2) 1/2

( 4 + x 2) 1/2d x

/?. x - 5 InI 25

4- x -----= l n1 V21

/ 7 — V 3 tan arctan

20. j dx R. e ^ ¡4x 3/4 - 1 2 x 1/2 4- 2 4 x 1/4j + C

r 1 121. —=• s e n - d x

j x J x

1 1 1 /?. - c o s — sen - 4- C

x x x

22. f I J V\ x - a

- dx R. yj x(x - a) ■+• a in j v x 4- v * - a| -1- C

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I x V l - x24. I — ■ dx

4 T = x

■ í

i ' :

I

d x

V i + cosx

a rc se n V 2 x26. | rfr

V 1 - 2 x

,'4* + l 27. | — d *

nm + x --------- d x

fl. - V 4 x 2 - 12x + 8 - l ( 2 x - 3 )V 4 x 2 - 12x + 8 -

O7 . _______________

- - l n 2x — 3 4- V 4 x 2 - 1 2 x + 8 + CO I I

/?. V 2 ln j s e c ^ + tan^| + C

R. V 2 x - ( a r c s e n V 2 x ) ( V l - 2 x ) + C

R . x - 2 ln|2 * + l| + C

/?. y j mx + x 2 + m ln (V x + 4 m + x ) + C


29.

30.

/

íi

V i — x 2

x “1

se n 2x d x

a rc se n x d x

+ b c o s 2x

, 2 a + x l a - x 31. 1 ---------- I-------- d x

/

■ /x — x

V x + 1 - V x 2 + 1d x

->3/2(1 — x ) a rcsen x 1 ln xD _ _____ ____________________ , f*

' * 3 x 3 6 x 2 3

( a + b \ 1/2 f yfa t a n x \ x

r ~z -------- r u — xR. V a 2 - x 2 - 2 a I---------- 1- C

y a + x

2 ^/?. - (x + 1 ) 3/2 + - [ x V x 2 4- 1 + ln (x + V x 2 + 1)] + C

r ( x 2 - l ) d x 1

33‘ J (Su& u = x + -)x V l + 3 x 2 + x 4

/?. i c o s h - ^ ^ i l ^ + t a n h - 13 + V 5 ^ ^a rc se c ( 2 x 2 + 3 ) \

“ 1 )+ C

34. J V id x

V a 3 — x 3 .

2

3/?. x a rc se n ( | + C

\ a 3/2

35./

4 — x

2 + xd x i?. 3 arccos ( ~ y —) + 3 V x 2 - 2x + 8 4- C


INTEGRAL INDEFINIDA

36.

37.

/

dx( * + l ) V T + 3l T l F <S“8ere" “ : “ = I T Í y usar binomios)

x + V i + 3x + 3 x 2R. fin

1• — lnD

(1 + 3x + 3x2) 3/2 V i + 3x + 3x2+ 1

1 / 2 V l + 3x + 3X2 — x \

' v f arctan [ ----------- W x ----------- ) + c

J s e c x see 2x dx R. — lnV 2

1 + V 2 sen x

1 - V 2 sen x

1---- ln

2

1 4- sen x

1 — sen x+ C

38. x z + x 4- 2 + 2y j x3 4- x 2 4- x 4- 1 d x

2 1/?. - ( x + 1 )3/2 4- - [x-\/l + x 2 4- ln (x + y¡x2 + l ) j + C

39.

40.

(1 4- e * ) V e * - 1

s e c x V s e c 2 x

d x

aresen (tan x )d x

e * — 1/?. V 2 a rctan — ------- h C

R. ln |a rcsen (tan x)| 4- C

41. í I—J J c o s a

1 — eos x

e o s x-d x , 0 < a < x < n R. - 2 a re sen | ------2 \ + C

co s-a

■ /

■ /

/

■/

V T m-.dx

dx

( c o s 2x 4- 4 se n x - 5 ) eos x

R. — ( 2 e * - 3 ) (1 4 - e * ) 2/3 4 - C

R. ln| (l - sen x ) 1/2( l 4- sen x ) 1/18(2 - sen x )~ 4/9| 4-1

d x

eos x V 2 4- sen x

tan x d x

(se c 999x + l ) 2

í?. ln |V l + sen x\ H----- — ln1 2a/3

6 — 3 sen x

V 3 4- V 2 4- sen x

-\¡3 — V 2 4 sen x

+ C

4- C

R. ln|secx| - — -ln|sec999x 4 - 1| 4- — — — — ■— 999 9 99 (se c999x 4- 1)

4-C

46. r ____ ^ ____J x 4 + a 2x 2 + a 4


x 2 + ax + a 2x 2 - ax + a 2

1 / aV3x ,-i--------- = a rctan — -------- | + C

2 a 3V 3 \ a 2 — x 2

47. Determ ine un po linom io cuadrático P ( x ) tal que P ( 0 ) = 1 y P ' ( 0 ) = 0, de

48

f P ( x ) d x

™ doque 1

i. J x 17 l n ( x 2) dx

49. J ta n ( ln x )G Íx

, f v r - r

52. i s e n h “ 1 - d xK a

53. i ta n h - 1 - dxJ a

50. | V i - eos x d x

e a d a

x e ax dx

(1 + a * ) 2

55. I x 2 a rcco s - dx a

56. I * 2 a r c t a n - dxa

57

58

59

I /

/

/ c o t h - 1 © * *

r a rcco s j d x I I _______' J x 2

a rc ta n :

sea una func ión racional. R. P (x ) = - 3 x 2 + 1

fl. 2 x 18

R. x — 2 a rctan x 4- C

, / l n x 1 \

\ 1 8 ~ 3 2 4 / + C

R. — 2 V i + c o s x + C

1K.

1 + x:e° t -C

. xR. x se nh 1 — J x 2 + a 2 + C

a

R. x tanh | ln ( a 2 - x 2) + C

rtCLX

R.a 2( 1 + a x )

+ C

Ä. — arccos - - - (x 2 + 2a2)s¡ a2 - x 2 + C 3 a 9

X^ X Í7Y2i?. — arctan------- — + — ln (a2 + x 2) + C

i a 6 6

1 x 1 a + xR. — arctan - + — I n ------ r------ h C

x a 2 a x 2

R. x co th -1 - + ^ l n ( x 2 - a 2) + C a 2

_ 1 x 1 a + V a 2 - x 2R. — a r c c o s - + - l n ---------------------- h C

x a a x


INTEGRAL INDEFINIDA

(cosx - sen x)

6 0 . ¡(x+s^rdx 1

2

u ‘~‘ wJ T + ~9

/■

i

5 + sen 2xdx

+ C , u = x + V * 2 + 1

1 / s e n x + c o s x \

B ' ¿ " " “ I------2,----- )+ C

dx

( x 2 eos2a + x sen 2a + 1)2x cos a + sen a

eos3 a Vx2 cos2a + x sen 2a + 1: “i- C

63. f sech5x dx J

1 3R. — sech3x tanh x + - [sech x tanh x + arcsen(tanh x)] + C

64. / (tan x + secx )20 sec2x dx

6 5 . /

■ í ,J cos4xV4 - cot2x

V( 1 + x 2)5

66

dx

V (x - l ) 3(x + 2)5

(eos 2x — 3) dx

4 ix - 1R • ö ------3 ^ x 4- 2

ñ . ---- tan x (2 + tan2x ) V 4 — cot2x + C3

67 J : - dx

,------- v ( i + *2)5 J ( i + x2y v i + x 2R. ln (x + V I + x ) 2 - _ , — - V „ „ -------------------- + C

5 x 5 3 x 3

68j- v'sen3(2x)

dx4 V 2 r-

j s e n bx Sugerencia: hacer u = c o t x

' V i + X 8<>9. I ---------- dx>r ,13

R . ----- — V c o t 5x + C

(1 + x 8) 3/2r . - , „ -i- c

f 3 i sen2x7<)- J7L í “J C O SJ

dx

c o s3x v se n 2x

12x12

R. — Vtan5x(5 tan2x + 11) + C

V 2 1 ,_____R. (tan2x + 5)Vtan x ■+■ C


7 2 . /1 + se n 2x

2 c o s2x V se n xdx

, ' V x - 1 + V x - í 73. | --------------- r ---------dx* J : x - 2

e x( x 2 - 8)

75. j e sen* ( s e c 2x - c sc 2x + c s c x ) d x

J e *enh_1* ( x V l T x 2 + i )76

(1 + x 2) 3/2

x 2In 2x ( l -r l n x )

■dx

ñ77. | — — — y ~ --, / dx •t- x ¿ Inr

:(x + l )+ e 2xx 2

f e x (x + 1)

78, j _ i 4- a 2xv 2 dx

■ e 3 x x 2 ^ x +

79. i .■„ . \ d sf e**

’ J ~ 1

• /

■ /

-t- x ze2 ¿> 2at

(1 + g Z a rc ta n * )^ + * 2 )

sen x + xcos x

dx

R. ---------- + Cc o s x

V sen x

e * ( x + 2 )R ■ — - ..+ C

x - 2

fi. efefl*(tan x + c o t x ) -f C

,senh-1 jr

(1 + x 2) 3/2

i?, x ln x - a rc ta n (x in x ) + C

R. - l n 2

x e x — 1C

(1 - x se n x ) V - l + x 2 - x 2c o s2x: dx

x + 2082. - - ... ......dx

83.

y¡ (5 - 4 x - x 2) 3

I n 2 ( 4 * + 2 (1+A:))

( 2X + 5 )V 5 - 4 2 * - 4 *dx

x e x + 1

R. x e x — a rctan (x e x ) -t- C

ñ. a rctan ( e arctan* ) - r C

1 + x se n x/?. - .... - + r.

V x 2^ en 2x — 1

2 x + 5 R. - + r

V 5 - 4 x - x 2

1 - 2 * ( 2 X + 2 r — .. + a rc sen

84

. rV 5 4 2 ^ 7 4 7 l 3 y ’1"

J e senx( csc2x - s ec2x - c s c x ) d x R. - e sen* ( c o t x + t a n x) + C


INTEGRAL DEFINIDA

2.1 S U M A T O R I A S

Sean m y n dos núm eros enteros tales que m < n y / una función definida para cada i e 1, con m < i < n. E l sím bolo

i m¿=m

representa la sum a de los térm inos f ( m ) , f ( m + 1), ...,/ (n ); esto es,n

/ ( 0 = f { m ) + f ( m + 1) + / (m + 2) + + / (n )

t=m

La letra griega S (sigm a) es llamada sím bolo de la sumatoria, i es el índice o variable, m es el lím ite inferior y n es el límite superior.

Por ejemplo, si / ( i ) = i 2 , entonces5 5

^ T / ( 0 = i 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2

i-2 i=2

De la m ism a manera, si n > 1,n

y sen(¿j¡:) = sen x + sen 2x + ... + sen nxí = i

2.1.1 P R O P I E D A D E S D E L A S U M A T O R I A

n

1. a) ^ k = (.n - m + 1)/í , /c es constante

¿=mn

b) ^ k = nk , k es constante

i= i

n n

2. fc ./ ( i) = fe y /(/) , k es constante

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3. ^ [/ ( i) ± g ( i )] = ^ / ( i ) ± ^ 5 ( 1) (P rop iedad D istributiva )

¿~m i=m i-m

n

4. a) ^ [ / ( i ) - / ( ¿ - 1)] = f ( n ) - f ( m - 1) (P rop iedad Telescópica)

:=m

n

b) 2 ][ /(0 - /(£ - 1)] = - /(O)

n

5- a) ^ [/ (i + 1) - f ( i - 1)] = f ( n + 1) + / (n ) - f ( m ) - f ( m - 1)

i~m(P rop iedad Telescópica)

n

b) £ [ f ( i + 1) - / ( i - 1)] = f i n + 1) + / ( n ) - f { 1) - /(O )

400

E je m p lo 1. Calcule el va lor de ^ ( V ¿ — V i — 1 + 4).

¡=5So lu c ión

Por la propiedad 3, se tiene

400 400 400

^ ( V 7 - V i — 1 + 4 ) = ^ ( v '7 - Vt - l ) -r y 4

; = £ ; = 5 i = S

E n la primera sumatoria, aplicando la propiedad 4-a para / ( i ) = V i , m = 5 y

n = 4 00 , se obtiene

400

^ ( V 7 - V i - 1) = (V4Ó 0 - v 4 ) = 18

1 = 5

En la segunda sumatoria, aplicando la propiedad 1-a para k = 4, m = 5 y

n = 400 , se tiene

^ 4 = (4 0 0 — 5 + 1 )4 = 1584

Por tanto,

400

]T(V7 - Vi - 1 + 4) = ^ ( V i - Vi - l ) + ^ 4 = 18 + 1584 = 1602


INTEGRAL DEFINIDA

Ejemplo 2. Calcule una fórm ula para ^ [ ( ¿ + l ) 2 - (i - l ) 2].

So lu c ión

- ;2S i / ( i ) = i 2 , entonces /(/ + 1) = (t + l ) 2 y f ( i - l ) 2 = (¿ _ i ) 2. p or tant0) por la propiedad telescópica 4-b, se tiene:

n

^ [ ( ¿ + l ) 2 - (¿ - l ) 2] = (n + l ) 2 + n 2 - l 2 - O2 = 2n 2 + 2n ó 1 = 1

n

^[(¿ + l )2- ( i - l ) 2]) = 2n(n + l) (a)í — 1 .

C 'omo (¿ + l ) 2 - ( i - l ) 2 = 4¿, reemplazando esta igualdad en ( a ) se obtienen

^ 4 i = 2n(n + 1)

1=1

De esta parte se deduce una fórm ula m uy conocida:

V 1 . n (n + 1)

L 1 ~ 2í = i

E jem p lo 3. U sando las propiedades de la sumatoria, demuestre que:

, V - n(n + l) , v V , n(n + l)(2n + 1)1=1 1=1

c) ^ ¿3 = n2(n + 1) 2 d) ^ ,4 _ n (n + 1 ) (6 n 3 + 9 n 2 + n - 1)

30i= i 1=1

So lu c ión

a) V e r ejemplo 2.

b) Consideram os / ( i ) = ¿3. U sando la propiedad 5-b, se tienen

^ [ ( t + l ) 3 - ( i - l ) 3] = (n + l ) 3 + n 3 - l 3 - O3

í = i

Sim p lificando en am bos lados y luego aplicando las propiedades 3-b, 2-b y 1-b de la sumatoria, obtenemos

n n n

^ T ( 6 i 2 + 2 ) = 2 n 3 + 3 n 2 + 3 n <=> 6 t2 + 2 = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n

Í=1 1=1 1=1n n

<=> 6 ^ í 2 + 2 n = 2 n 3 + 3 n 2 + 3n 6 i 2 = 2 n 3 + 3 n 2 + n

i= i ¿=i

Finalmente,

n (n + 1 ) (2 n 4 -1 )


I 6í = i

c) y d) Ejercicios. Sug. para c): considere / ( i ) = ¿4 y use la prop. 4.

Z a ( a n — 1)a 1 = -------------- .

a — 1£ = 1

So lu c ión

Ap licando la propiedad 4-b a / ( i ) = a' y luego aplicando la propiedad 2, se tienen n ■ n

^ ( a ‘ - a ' - 1 ) = a " - 1 <=> ^ T ( a ' - — ) = a " - 1 <=> ^ ( - --------)a‘ = an - 1

i = i 1=1 i = i

Finalmente,

V i _ a ( an ~ 1 )Z a ( a - 1 )

n

E je m p lo 5. Determ ine una fórm ula para ^ sen kx.k = l

So lu c ión

Para calcular la sumatoria de senos o cosenos, se considera como / ( i ) la

cofunción de la función que aparece en la sumatoria y se aplica la propiedad

telescópica 5-b. En este caso, f ( k ) = eos kx. Así, se tienen

^ [ c o s ( k + 1) x — eos (k — 1) x] = cos(n + 1) x + eos nx — eos x — 1 k = i

Utilizando las identidades trigonométricas para c o s (a ± b) y sim plificando, se

siguen

^ ( - 2 sen x sen kx) = co s(n + l ) x + c o sn x — c o sx — 1

k = in

- 2 sen x sen kx — eos(n + 1) x + eos n x — eos x — 1k = 1

Finalmente,

zco s(n + l ) x + cosnx — e o s * — 1

sen kx = ---------------------------------------------------2 sen x

INTEGRAL DEFINIDAn

Ejem plo 6 . Halle una fórmula para ^ fc fe!fc=i

So lu c ión

Si f ( k ) = (k + 1)!, p o r la p rop iedad 4-a, se tiene

n

^[(fc+ l)!-/c!] = (n + 1)1-1k = 1

n

J][fc!(fc + l)-fc!] =(n + l ) ! - lk=l

Finalmente,

^fcfcl = (n + l ) ! - l

, „ r, v -> ta n h l9 / c xE je m p lo 7. Determ ine una form ula para > --------------- .

Z_i sech 19 kx k=1

So lu c ión

Z tanh 19 kx v~>— — = > se nh 19 kxsech 19 kx í -u

k= 1 k = l

Se procede de manera s im ila r a lo realizado en el ejemplo 5 para la función

trigonométrica. S i /(/c) = co sh 19 kx , por la propiedad 5-a, se tiene

H

^ [cosh 1 9 ( k + l ) x - co sh 1 9 (fc - l ) x ] = cosh 1 9 (n + l ) x + cosh 19 n x - co sh 19 x - 1

k-1

n

2 senh 1 9 x ^ senh 19 kx = cosh 1 9 (n + l ) x 4- cosh 19 nx — cosh Í 9x - 1

k = l

finalmente,

nV 1 co sh 1 9 (n + í ) x + co sh 19 nx - co sh 19 x - 1> senh 19 kx = ------------------------------------------------------------------------

Z -j 2 senh 19 xk = 1


TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN IIn

E je m p lo 8. Halle una fórm ula para /? = ^ bk se n (x + ky).k= 1

Solución

A p licando la propiedad 4-a a f ( k ) = bk se n (x + ky) , se tiene

n

s e n (x 4- ky) - ¿ k_1 s e n (x + (k - l ) y ) ] = b n s e n ( x + n y ) - s e n *

k= l a

n ^ n

^ b k se n (x + k y ) — b k se n (x + ky — y ) = a

fc=l_________________ k = lP

1 nP — — ¡T &fc[se n (* + /cy) eos y — sen y eos (x + /cy)] = a

fc=i

n/ c o s y \ se n y v-» ,( l -- — J p -\— - — ^ b k co s(x + ky) = a (1 )

k = l___________________ (

5

Para determinar (5), aplicamos el criterio inicial.

n

co s(x + ky) - ¿?/£_1cos (x + (k — 1 )y )] = bn c o s(x + n y ) — e o s *

k= l

^ n

S — — ¿ fc[co s(x + k y ) eos y + se n (x + ky) sen y] = b n co s(x + n y ) - c o sx

k= 1

Luego,

sen y b -S = ------------ ( « ) + - ; ------------- [í>n eos (x + n y ) — co sx ] (2 )

o - e o s y o - e o s y

Finalmente, reemplazando (2) en (1) y efectuando las operaciones correspondientes, obtenemos

b ( b - c o s y )b 2 — 2¿cosy + 1

sen y (b n cos(x + ny) - eos x) sen(x + ny) — sen x ----------

b — eos y


INTEGRAL DEFINIDA

E je m p lo 9. Determ ine una fórm ula para ^ ln(fe + 1).

k=1

So lu c ión

Desarrollando la sumatoria y aplicando las propiedades del logaritmo, se obtiene

n

^ ln(fc + 1) = ln 2 + ln 3 + ... + In n + ln (n + 1)

k = l

= ln [2 .3 .....n. (n + 1)]

= ln [(n + 1)!]

E J E R C I C I O S

Determine una fórm ula para cada una de las siguientes sumatorias.

n

1

: = 1

. ^ ( V 2 i + 1 - -y/2i - 1) R. y/2n + 1 - 1

Í = 1

100

I ln( ¡ d h ) R- - ' " ( 5151>k= i

3- I

n4 4 n

R.(4 fe - 3)(4fe + 1) ' 4n + 1k- 1

4Sugerencia: descom poner en fracciones parciales a:

4■ I(4fc - 3)(4fe + 1)

2k + 3k 3 1 16k ' 2 2 . 3 n 2 "

k = l

2k + fe(fe + 1) 1 1R. 1Z 2 +

2 ^ " (fe2 + fe) ' 2 n + 2 2 n_1/í = 1

e fc + 2 e 3n - e'1

k ~ 1


7.

8.

9.

10

11

12

13

14.

15.

16.

17.

TOPICOS DE C Á LC U LO - V O LU M E N II

n

Y —k = 2

^ V/c + i - Vfc

fl. 32?i + 1

?i(n 4- 1)

fc=i

il

1¡i = 1

n

I

V F T T

v ’n r 1 - 1

y 'n + 1

(/c + l ) ( / c 2 + 5/c 4- 6 )R.

n 2 + 3 n + 3

2 ( n + 2 ) ( n + 3 )

( k 4- x ) ( k + x + 1 ) ( k + x + 2 )

Z i ln kk[\n(k + l ) ^ 1]k = 1

Ife=i

2 k + 1k 2(k + l ) 2

U

^ c o s ( 3 k x )

/¿=i

A V IO '' 100 '=/

fe = l

100

+ 6k -f 4

^ s e n 2/c( 2 x )

k ~ l

100

f í .

n ( 2 x + n + 3 )

2 ( n + a: 4- l ) ( n 4- x 4- 2 ) ( x 4- 2 ) ( x 4- 1)

/?.1

R.

2 ln 2 ( n 4- 1 ) ln ( n 4- 1)

n ( n + 2 )R. ------------ -

(n + l ) z

se n 3 (n + l ) x 4- s e n 3 n x — s e n 3 x

2 s e n 3 x

2 6 9 / 1 0 2n - 1R.

9 9 9 V 1 0 2n

R.4 (n 4- 2)

/?. t a n 2 ( 2 x ) (1 - s e n 2002 x )

/?.1

fc=i

1

16 1 6 ( 5 " ) 598


ì. ^ k x k 18 . > k x K~' fi.n x n+1 - (n + l ) x n + 1

IN T EG R A L D E F IN ID A

i x - 1 y fc=l

II

19. ^ 5 k s e n ( 5 k - x)k=l

5[(5 — cos 5)(5n sen(5n — x) + sen x) + sen 5(5n cos(5n — x) — cosx]R.

4(13 — 5 cos 5)

I ; " "

n r16 csc kx

20

2 1 .

co t5/ex see9kxk = 1

4[sen(2n + l)x + sen(2ruc) — sen 2x]R. 6n + -------------------------— — ------------------------+sen(2x)

[sen 4(n + l)x + sen(4nx) — sen 4x] sen 4x

1 e h - [3 sen a co s a ] k

3kk= lZ :

e [ ( 3 ) ~ l ] sen 2 a [( se n a co s a ) n - 1]

e - 3 s e n (2 a ) - 2

!- Z" 1 0 1 1 5

2 4 + lQk - 2 5 k 2 ^ 5 n + 4 + 5 n - 1 4k = l

23.

k = i

^ k 2k fi. (n - l ) 2 n+1 + 2k = i \

n

24. ^ c o s 2k3;c fi. co t23 x [ l - c o s 2n (3 x ) ]

k=l

k=l2 5 - Z l o g „ r 2 2k ) l o g „ r 2 2k+2ì ( l o g ^ v G 2 ( n + l ì )

V 1.-,-------- nfc V 3 + x [ ( 3 + x ) n/2 - l ]26. > [ V à T x ] fi. - 1 J

k = lV 3 + X - 1


2.2.1 PARTICIÓN DE UN INTERVALO CERRADO

Definición 1. Sea [a;b] un intervalo cerrado. Una partición del intervalo [a; b] es el conjunto P de puntos Xo,x1(x2, - . x n; con a = x 0 < x v < x 2 ... < x n = b. Se denota con P - {x0, x v x 2, ..., x„}.

Observación 1

i) Toda partición P de [a; b] divide en n subintervalos a l intervalo [a; b],

ii) La longitud de cada subintervalo [x¡„1; x t\, para i = 1,2, ...,n , se denotacon Atx = x, — . Se verifica

n

y A¿x - b - a

(.=1

iii) Se llama norma o diámetro de la partición P al número

||P|| = máx{AiX / i = 1,2, ...,n}

iv) Cuando el intervalo [a; b] se divide en n partes iguales, la longitud de cada subintervalo es


2.2 C Á L C U LO D EL Á REA DE UNA R EG IÓ N PLA N A P O R SU M A TO R IA S

Ax =b — a

nEn este caso, los extremos de cada subintervalo son

x Q = a , x x - a + A x , x 2 = a + 2 A x ,..., x¡ = a + ¿ A x ,..., x n = b

2.2.2 A P R O X I M A C I Ó N D E L Á R E A D E U N A R E G I Ó N P O R Á R E A S D E

R E C T Á N G U L O S

Sea /: [a; b] -> R una función continua y no

negativa ( / ( x ) > 0 ) en [a;b]. Sea R la

región plana lim itada por las gráficas de

y = / ( * ) > las rectas x — a , x — b y el ejex (llam ada re g ión bajo la g rá fica de / de a

hasta b) (fig. 2 .1).

Sea P = { x 0, x 1, x 2, ...,xn} una partición [a; b].Por la continuidad de / en [a;b] , podem os

elegir un conjunto de puntos u t , u 2, —, u n, de

tal manera que / ( u ¿) sea el va lor m ín im o de /

en [ x i - i j x j , i = 1 , 2 ,..., n. F'9' 2-1

Asi, constru im os n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas

respectivas alturas son / ( u 1) , / ( u 2), . . . , f ( u n). L a s áreas de estos rectángulos son

/ ( i í J A j X , / ( u 2) A2x , . . . , f ( u n)Anx respectivamente.

I .os n rectángulos considerados forman el llamado polígono rectangular inscrito en R (fig. 2.2). E l área de este polígono lo denotamos con / (P ) , es decir,

71

K p ) = ' Y Jf (M i)A ix¡=i

INTEGRAL DEFINIDA

De manera sim ilar, elegim os v x, v 2, ..., vn en los n subintervalos de P, de modo

que / '( v ¿) es el va lor m áxim o de f en [ x ^ ^ x i ] , i = 1 , 2 , ..., ?i, y constru im os los

n rectángulos cuyas bases son los subintervalos de P y cuyas alturas respectivas

son f ( v 1) , f ( v 2) , . . . , f ( v n).

Kl polígono rectangular form ado por estos n rectángulos está circunscrito a la

región R (fig. 2.3) y su área, denotada por C (P ) , está dada por-n

C(P) = 2 J f ( v ¡)Aix¡=i

Dadas dos particiones /\ y P2. S i / ( P J es el área del polígono inscrito y C (P 2)

es el área del po lígono circunscrito, se verifica

l (P \) < C (P 2) para toda partición P1 y P 2 de [a; b] (I)

Sea L el conjunto de todas !as áreas de los polígonos rectangulares inscritos en R, es decir,

i = {/ (P ) / P e s pa rtic ión de [a; b]}

y U el conjunto de todas la áreas de los polígonos rectangulares circunscritos a R, esto es,

U = ( C ( P ) / P e s pa rtic ión de [a; b ]}

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN U

C om o cada número del conjunto L es menor o igual que cualquier núm ero del

conjunto U (por I), entonces L es acotado superiormente y U es acotado

inferiormente. Por lo tanto, existen

= s u p (L ) y As = in f (U)

Por definición de ínfim o y de supremo, se verifica

/ (P ) < A¡ < As < C(P), de donde A¡ < As

Por lo tanto, el áreai4 de la región R (fig. 2.1), si existe, debe estar entre At y As , es decir, A¿ < A < As

Se demuestra m ás adelante que A¡ = A¡. Luego, se puede definir el área A de la

región R com o

Tam bién se demuestra que si t1( t2, — , tn son puntos e legidos en los n

subintervalos, es decir, t¿ E [xi_1; x¡], i = 1, ...,n; entonces

Observación 2

i) Considerando la parte (iv) de la observación 1, si cada t¿ es el extremo derecho de cada subintervalo (t¡ = a + ihx, i = 1 ,2 , . . .n ) y teniendo en cuenta que ||P|| -> 0 <=> n -* oo, entonces (II) puede ser escrito como:

(Esta fórmula es un caso particular).

ii) Si cada t¿ es el extremo izquierdo de cada subintervalo. entoncest ¿ = a + (i - l ) A x , i = 1,..., n

E je m p lo 10. Por rectángulos inscritos, calcule el área de la región R lim itada por

las gráficas de y = x + 1 , * = 0 , x = 3 y el eje x.

L a gráfica de la región se muestra en la Fig. 2.4. En este caso, f ( x ) = x + 1,

a = 0 y b = 3. C om o / es creciente en [0; 3], / presenta m ín im o en el extremo

izquierdo de cada subintervalo, es decir,

A — A¿ — As

(10

( I I I )

b — adonde Ax = , = a + ¡Ax , i = 1, ...,n

n

So lu c ión

3 - 0 3t¿ = a + (t — l)A x , i = 1 .... n , donde A x = ---------= —

n n

3 3 3 3 3Kntonces t¡ = 0 + (/ - 1) - = - i -----y f ( t i) = t i + l = - i + l -------- .

n n n n n

l’or tanto, utilizando la fórm ula dada en la observación 2 y la sum atoria de i, leñemos

INTEGRAL DEFINIDA

A = limn-»co

= lim -*->oo /n

Fig. 2.5

E jem p lo 11. Por rectángulos circunscritos, calcule el área de la región R lim itada

por las gráficas de y = x 2 , x = 3 y el eje x.So lu c ión

l;.l gráfico de la región R se muestra en la fig. 2.5. A partir del gráfico, se deduce

que a = O , b = 3 y, por tanto, Ax = 3/n.

C om o / es creciente en [0; 3], / tiene valor m áxim o en el extremo derecho de

cada intervalo. A sí,

t¡ = a + iAx ó ti = - i y f ( t i ) = — i 2

Luego,

A = lim I- Y Vn-*co \ n Z - i n ¿ i= i

n-*co \ u J n-*co \ j l '

27 n(n + l)(2n + l)3 £

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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11

E n los ejemplos que siguen, no se tendrá en cuenta los rectángulos inscritos ni los

rectángulos circunscritos. L o s puntos serán considerados com o los extremos derechos de los subintervalos.

Ejem plo 12. Calcule el área de la región R lim itada por las gráficas de

y = 3 + x + x 3, x = — 1, x = 2 y el eje x.

Solución

a = — 1, b = 2 , f ( x ) = 3 + x + x 3

12 27 „ 273 3A x = — , ti = — 1 + — i

n n y / ( t , ) = i + Ir ¿ - - t í 2

Para calcular el área de la región (Fig. 2.6), se tendrá en cuenta la sumatoria de i,

de t2 y de i 3.

A = limn-* oo

3 ^ / 12 27 27 \- ) 1 + — i - — i 2 + — i 3 n ¿ j \ n n 2 r? )

¡ = i

[3 f 12 n ( n + 1) 2 7 n ( n + l ) ( 2 n + 1 ) 2 7 n 2 (n + l ) 2= lim — n H ----------------------------------------------------------1- — -----------------

n n 2 b 4

= limn-*oo

3 1 + 6 5 7 2

Fig. 2.6 Fig. 2.7

Ejemplo 13. Calcu le el área de la región R lim itada por las gráficas de y = e x. x = O , x = 1 y el eje x.

Solución

La región se m uestra en la Fig. 2.7. La longitud de cada sub interva lo es A x = — ,

1 h 71 ti = ~ i Y f( t ¡) = en


IN T E G R A L D E F IN ID A

I n este caso, usaremos el resultado obtenido en el ejemplo 4 para a = Así,

1 e l/ n [(g l/ n y l _ j yA = lim

limn-»cn

— / en n L-a

= limn —»co

1 en(e — 1)

n e 1/11 — 1

,1¡n _ ]_

1

= (e - l ) l im

,1/nn

( * ) Se hace el cam bio de variable x = — => lim- e l/n

= (e - 1) u 2 ( * )

x e= l im — — - = 1.

n n->oo e 1/n — 1 x->o e x — 1 (A l aplicar la Reg la de L ’Hópital al últim o límite)

E je m p lo 14. Ca lcu le el área de la región bajo la gráfica de f { x ) = s e n * en 10; 7T/2J.

So lu c ión

La gráfica de la región se muestra

en la Fig. 2.8. A sí, tenemos

n= s e n ^ ¿.

limn-*-»oo

TT V “ * TI— > s e n — i 2n jLu 2n

í= i

= limn-*oo

712 n

i 1 + c o s £ ) - cos ( n S - cos (n + i

2sen®( * * )

= lim1 + cos (ín ) “ cos (§) ~ cos

sen (s )( s )

[1 + 1 - 0 - 0 ]

■ W ) .1 u 2

( * * ) Se usa el resultado del ejemplo 5 para x = n ¡2n .



E je m p lo 15. Calcule el área de la región bajo la curva y = senh x en [0 ; 1],

So lu c ión

La región R se muestra en la fig. 2.9.

Se tiene

1 1 (\ \Ax = - , t ¿ = - ¿ y / ( t í ) = senh - ¿

n n \n J

í É senhG i)1 = 1

i c o s h ( n + 1 ) —+ c o s h ( n ■ — — c o s h i1 v J n \ nJ n

A = limn-> co 7

y - senhx

/

Fig. 2.9

limn->cc

- limn-*co

2 Se „ h ( i )

cosh ( l + i ) + cosh 1 — cosh — 1 2 c o sh ( l) - 2( c o sh ( l) - l ) u 2

E je m p lo 16. Ca lcu le el área de la región lim itada por las gráficas de y = 2\¡x ,

eje x, y x = 9.

So lu c ión

Para evitar la sumatoria de la raíz cuadrada, tom am os com o variable

independiente a la variable y, es decir, / ( y ) = y 2/4. La región está lim itada por

las curvas / ( y ) = y 2/4, .9 (y ) = 9, las rectas y = 0 c y = 6 (fig. 2.10).

•El área del i-ésím o rectángulo es [g(Zi) - / (z , ) ]A y .

Por tanto, el área de la región está dada por


INTEGRAL DEFINIDA

^ = *im4 AyZ ^ (zí)- /(z4

donde A y = £ , z i = 0 + iA y = ^ i , g ( Zi) = 9 y f (z ¡ ) = Í ( - A = ~ i n n 4 \rc ) n ¿

6 V 9- ) ( 9 ------ i 2)ruL-¡ n-

9(.orno g (z , ) - f (z¡) = 9 - — i2, se tiene 4 = lim

n*- n-* oo= 36 u 2.

E J E R C I C I O S

i:n cada uno de los ejercicios siguientes, encuentre el área de la región lim itadapor las curvas dadas.

1. y = (x - l ) 3 , x = 3 , x = 8 y el e j e * R. 2 3 8 5 / 4 u 2

2 . y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x R. 8 /3 u 2

3. y = 4 - x 2 y el eje x R. 3 2 / 3 u 2

4. y = 4 - |x|, x = - 4 , x = 4 , el eje x R. 8 u 2

5. y = 2 v x , eje x , x = 0 , x = 4 R. 3 2 / 3 u 2

6 . y = x 3 , x = - 1 , x = 1 , eje x R. 1 / 2 u 2

7. y = 12 - x 2 ,e je x , x = - 3 , x = - 2 R. 3 0 5 / 6 u 2

8 . y = 2 - ' ! * ( , e je x , x = - 2 , x = 2 R. 4 u 2

9. y = x 2 , y = 4 - 3.x2 /?. 16/3 u 2

10. y = m x , m > 0 , eje x , x = a , x = b , con 0 < a < b

m ( ¿ 2 - a 2)R- ------- V

• 2

11. y = x 2 - 2 x - 1 , eje x , x = 1, x = 4/ 1 3 V 2 \ ,

"■ l 3 - 4 j "

412. y = 3 x - 3 x ‘ - - x 3 , eje x , x = 0 , x = i /?. 1/6 u 2

13. y = co sh x , x = 0 , x = l , e je x ñ. s e n h ( l )w 2

• n n14. y = e o s x , x = x = - , e je x /?. 2u

1 5. 4 y = (x t _ 4 ) 2 , 4 y = ( x + 4 ) 2 , 4 y = - ( x - 4 ) 2 , 4 y - - ( 4 + x ) 2

16. y = 3 x 2 , y = - 1 - 3 x 2 , x = 0 , x = 3

K. 6 4/ 3 u 2

R. 5 7 u l

E n esta sección y en las siguientes, hasta la sección 2.10, las funciones

consideradas están definidas en un intervalo / = [a; b], con a < b.

Definición 2. S i P x y P2 son dos particiones de /, se dice que P 2 es un

refinamiento de Px cuando c P 2 , Se comprueba fácilmente que si P 2 es un

refinam iento de Pj , entonces ||P2|| < H H .

Definición 3. Sea una función acotada en / = [a; b] y

P = {x0, x 1, ...,xn } una partición de /. C on I¡ denotamos al j-é sim o subintervalo

de /, es decir, l¡ = \xj_x)Xj\, j = 1,

C om o / es acotada en ¡ , existen m¡ y Mj tales que

m¡ = in f {/ (x ) / x e Ij} ; M¡ = s u p {/ ( x ) / x G !¡}

Se cumple: m¡ < / ( x ) < M¡, V x £ I¡, j = 1,2, ...,n.

Defin im os:

a) La su m a in fe r io r de / para P, que se designa con S (/ ; P ), se define com on n

S (f ; P ) = ^ m j(x j - xH1) = £ m ;Ayx

7=1 7=1

b) L a strma su p e r io r de / para P, que se denota con 5 (/ ; P ), se define com on

S ( / ; P ) = ^ M , A , x

j'=l

E je m p lo 17. Sea / ( x ) = k la función constante defin ida en / = [a; b}. L a

gráfica de la función se muestra en la fig. 2.11. Se tienen n

S_(f. P) = ^ kAjX = k ^ áj-x = k(b - a), donde k = inf{/(x) / x e //}■ • 7 = 1

n n

S ( f , P ) - ^ fcA/X = k y A ,x = k ( i - a ) , d on d e /c = s u p { / ( x ) / x E /,}

TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 11

2.3 SUM A S U P E R IO R Y SU M A IN F E R IO R

Fig. 2.11

112Fig. 2.12 www.FreeLibros.com

(E jem p lo 18. S i f ( x ) = x , x e 1 = [a;b] , entonces

n

£ ( / . p ) - * j - i A jx , donde xh x = in f{/ (x ) / i e l¡],j = 1 , 2 , , n

j = i

n

= ^ ]x jA jX , donde = su p {/ (x ) / x E 1¡},¡ = 1,2 j~ 1

I ;i gráfica de la función se muestra en la Fig. 2.12.

I.jcm plo 19. Considerem os " la función de D irich let”

c , s ( 1 , s i x es rac iona l , r ,

lo , si x es irrac iona l 1 x e ~ ]l’ara cualquier partición P se verifica que m¡ = 0 y M¡ = 1 , j = 1,2, ...,n.

Luego,

n n

O.A; x = 0 y 5 (/ ,P ) = l . A ;x = ¿ - a¡= i j= i

2.3.1 S I G N I F I C A D O G E O M É T R I C O D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S

Las sum as superior e inferior poseen una interpretación geométrica simple.

Ln primer lugar, analicem os el sign ificado del producto hjAjX, donde h¡ es nijó Mj y Aj'x es la longitud del subintervalo Ij = [ x j ^ x j ] .

S i hj > 0 . entonces hjAjX es numéricamente igual al área del rectángulo de base

/, y altura h¡. S i h¡ = 0 , entonces hjAjX = 0; y si hj < 0 , entonces hjA¡x es

numéricamente igual al opuesto del área del rectángulo de base ¡¡ y altura - h¡.

Por esta razón, al núm ero hjAjX lo denom inarem os área a lge b ra ica del

rectángulo cuya base es Ij y altura es \hj\ , es decir, el área algebraica es positiva

si el rectángulo esta sobre el eje x y negativa, si está debajo de eje x.

lin la sección 2.2.2 (figuras 2.2 y 2.3), v im os que cuando / es no negativa en /,

S_(f>P) y S ( f . P ) (que denotam os por I {P ) y C ( P ) ) son, respectivamente, las

áreas de los po lígonos rectangulares inscrito y circunscrito a R, donde R es la

región lim itada por las gráficas de /, las rectas x = a , x = b y del eje x.

INTEGRAL DEFINIDA

S( f , P) = Y

E n las figuras 2.13 y 2.14 se muestran, respectivamente, S ( f , P ) y S ( f , P ) $ m a una función que no necesariamente es positiva.


La condición de que / esté acotada en / = [a; b] es esencial para que existan los

valores m¡ y M¡ . Estos números se definieron com o los ín fim os y suprem os, en

vez de m ín im os y m áxim os (com o se hizo en la sección 2 .2 .2 ), ya que en esta oportunidad no se ex ig ió qug / sea continua.

2.3.2 P R O P I E D A D E S D E L A S S U M A S S U P E R I O R E S E I N F E R I O R E S

C om o / es acotada sobre /, existen m y M tales que

m = i n f { / 0 ) / x E I } y M = s u p { / 0 ) / x E /}

P ro p o s ic ió n 1. Sea / una función acotada i'n / = [a;b] y P = [x 0,x-i. ..., x n }una partición de /. Entonces

m ( b - a ) < S ( f , P ) < S ( f , P ) < M( b - a ) ( 1)

D em o stra c ió n

Se tiene m < m , < Mj < M. M u ltip licando todos ios térm inos por A¡x > U y

sum ando las relaciones obtenidas para j = 1,2 ,..., n , obtenemos

n n n n

^ mAjX < nijAjX < ^ MjAjX < MA¡x ó

7= i 7 = i ; = i j= i

« n

m X A¡x - ajxj= i j= i

n

Com o ^ Ayx = b - a, entonces m (b - u ) < 5 (/ , P ) < 5 (/ , P) < M(b - a).

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INTEGRAL DEFINIDA

P rop o s ic ió n 2. S i / es una función acotada en /, y Px y P2 son dos particiones

de I tales que P2 es un refinam iento de Pr , (Pt c P2), entonces

‘0 •!(/. Pi) < S( f , P2) y S ( f , Px) > S( f , P2)

b) S i P2 — / \ tienen r puntos, entonces

í ( f , P 2 ) - S ( f , P í ) < r ( M - m ) \ \ P 1\\

S(f.P1)-S if,P2)<r^M-m)\\Pi\\D em ostrac ión (se deja com o ejercicio para el lector).

P rop o s ic ió n 3. Sea / una función acotada en /, y Px y P2 dos particiones

arbitrarias de /. Entonces

• S ( / . P 1) < 5 ( / . P 2) ( 2 )

D em ostrac ión

Sea P — P1 U P2. C om o Pt c P y P2 c f , por la proposición anterior, se tiene

S t f . P j l Z S i f . P ) y S ( f , P ) < S ( f , P 2)

Por la proposición 1, se tiene S JJ .P ) < S ( f , P ) . Luego.

S ( M ) < S ( f , P 2)

2.4 I N T E G R A L E S I N F E R I O R E S Y S U P E R I O R E S

Denotem os con D al conjunto de todas las particiones posibles de l. S i f es

acotada en /, la desigualdad (1) es verdadera para todo P e D y asegura que el

conjunto { S ( f , P ) /■ P 6 D) es acotado superiormente v- el conjunto

\ S ( f , P ) / P e o ) es acotado inferiormente.

D e fin ic ión 4. S i / es una función acotada en /, el número s u p {£ (/ , P ) / P 6 D} se denom ina integral inferior de / en / y se indica com o

]_= f f ( x ) d x = sup (S( f , P ) / P e D]Ja

El número in f ( S ( f , P ) / P e D) se denom ina integral superior de f en / y se

indica como

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2.4.1 P R O P I E D A D E S D E L A S I N T E G R A L E S S U P E R I O R E S E

I N F E R I O R E S


S i / es función acotada en /. entonces

_ r b r b

]_ < J ó I f { x ) d x < I f { x ) d x Ja Ja

(3 )

2. S i / es función acotada en /, entonces

m { b - a) < ) _ < ] < M( b - a) (4 )

donde m = in f { f ( x ) / x E 1} y M = su p { f ( x ) / x E /}.

3. S i / es acotada en /, existen q y c2 E I tales que

¿ = f ( c - j ( b - a) y / = / ( c 2) ( ¿ - a ) (5 )

de m odo que m < / ( q ) < f ( c 2) < M.

4-. S i / es acotada en / y c E ( a ; b ) , se tiene

'•O pC r Of ( x ) d x = j f ( x ) d x + I f { x ) d x

b r C r b

f ( x ) d x = J f ( x ) d x + J f ( x ) d x

2.5 I N T E G R A L D E R I E M A N N

D e fin ic ión 5. Se dice que una función acotada f : ¡ - > K es in tegrab le R ie m a n n

en / sir b

íJa

J = [ f ( x ) d x = í f ( x ) d x = f f ( x ) d x*'a Ja Ja

Por sim plicidad, se llama in tegra l de / sob re / o in tegra l de fin ida de / sob re /

o in tegra l de / de a hasta b.

En j f ( x ) d x , el sím bo lo j es llam ado sím bolo de in te grac ión .

Este sím bolo, que es una S alargada, fue introducido por Le ibn iz para representar

la suma, que proviene de la palabra latina “sum m a” . Adem ás, f ( x ) es el

integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, el número a es el límite

inferior y b es el lím ite superior. L a variable x no tiene sign ificado especial, ya que

í f f á d x = í f ( z ) d z = í f ( t ) d t = í f ( y ) d y - í f {u )du Ja Ja Ja Ja Ja

etc.

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l'.jcinplo 20. Sea f ( x ) = k la función constante. Por el ejemplo 16, pars

/ = [a; b] se tiene S ( f , P ) = S(J, P = k ( b — a).

Entonces J = ] = k (b — a ). P o r lo tanto, / es integrable en [a; b] y se tiene

r b

k d x — k ( b - a )

INTEGRAL DEFINIDA

JJa

E jem p lo 21 (func ión no integrable). Considerem os la función de D irichlet

/': [0; 1] -» IR, definida por

x es irrac iona l

x es rac iona l

Para cualquier partición P de 1 = [0; 1] (ejemplo 19), se tiene:

S ( / ; P ) = 0 y 5 ( / ; P ) = l

Entonces 7 = 0 y J = 1 y, por tanto, / no es integrable en ¡.

Observación 3. Interpretación geométrica de la integral definida de una función continua f en [a; b].

De la interpretación geométrica de las sumas superiores e inferiores (secc. 2.3.1), deducimos que si R es la región plana limitada p o r las gráficas de f , las rectas X = a , x = b y el eje X, y /4(fl) representa numéricamente al área de la región R; entonces

a) Si f ( x ) > 0, V x 6 [a; b ] , A(R) = f f ( x ) d x*a

b ) Si f ( x ) < 0 , V x e [a; b] ► - A(R) = f f ( x ) d xJQ

c ) Si al número I f ( x ) d x lo l lam am os área a lgebraica , p a ra una funciónJa

arbitraria f continua en [a; b], esta integral definida de f en [a; b] representa la suma de las áreas algebraicas de las regiones determinadas por la gráfica de f y el eje X, desde x = a hasta x = b.

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TOPICOS DE C A L C U L O - V O LU M E N II

E je m p lo 22. L a gráfica de / consta de

segmentos de recta y una semicircunferencia,

com o se indica en la figura adjunta. Halle:

a) í / ( x ) d x b) í f ( x ) d xJ o J -6

c) f / ( x ) d x d ) f |/(x)|dx•'-6 J-6

e) E l área de la región lim itada por la gráfica

de /, el eje x y las rectas x = —6 y x = 8 .

So lu c ión

a) C om o el área del círculo de radio r = .4 es Ax = n r 2 = Ió í t u 2, entonces

A= —4 ti

i

4

k

i \ i \ i \

y */■ i / * i/ ! !

“6 V y 5 ¿ x

-4

í A,J / W ^ = - T = -

b) Dado que el área de un triángulo de base b = 2 y altura h = v es /12 = 4 u 2/4

y el área del sem icírcu lo es A = — = 8n u 2, entonces

í f ( x ) d x = í / ( x )d x + í f ( x ) d x = Az - A = 4 - 8 tt.J - 6 J - 6 J —4

c) Puesto que la integral definida desde —6 hasta 8 está form ada por la sum a de/ A2 \

áreas algebraicas de un triángulo (A2 = 4 ) , de un sem icírcu lo — = — 8n j,

de un triángu lo (Á3 — 2) y de un rectágulo (A 4 = 12), entonces

r 8 r — 4 /• 4 r 5 /* 8

I / ( x ) d x = I / ( x ) d x + I f ( x ) d x + I / ( x ) d x + I / ( x ) d xJ - 6 J - 6 J - 4 J 4 J s

= 4 + ( — 87t) + 2 + 12 — 18 ■ 87T

d) C om o |/(x)| = — / (x ) , V x G [ - 4 ; 4 ] , entonces

í / ( x ) d x = f / ( x ) d x - í f ( x ) d x + í f ( x ) d x + í f ( x ) d xj - ó J - 6 ■ '-4 **4 Js

= 4 - C— 8 tt) + 2 + 12 = 18 + 8 tt

e) E l área de la región pedida es

4 ( R ) = í |/(x)| d x = [ f ( x ) d p T h ( ( - / ( x ) ) d x + [ / ( x ) d x + í f ( x ) d x J - 6 J - 6 • '- 4 -M ->5

' = 4 — ( —87r) + 2 + 1 2 ( 1 8 + 87r) u 2


INTEGRAL DEFINIDA

Teorem a 1 (C riterio de integrabilidad de Riem ann). Si / es una función;icotada en /, una condición necesaria y suficiente para que / sea integrable en / es que dado e > 0 arbitrario, exista una partición P de 1 tal que

S ( f , P ) - S ( f , P ) < £ (6 )

Demostración

;i) ( = * ) Por hipótesis, / es integrable en /. S i ¿ = s u p [ S{ f , P) / P e D }, dado

£ > 0, existe una partición P1 de / tal que

J _ - ¿ < S ( f . P i ) ó ¿ - K f . P J < | (7 )

Por otro lado, siendo ] = in f{ S ( f , P ) / P e D) y tomando el m ism o e > 0 ,

existe una partición P2 tal que

S ( f , P 2) < 7 + | ó S ( f , P2) ~ ] < E- (8 )

Sum ando m iem bro a m iem bro las desigualdades (7) y (8 ) y considerando que

/ = ] , obtenemos

S( j r, P2) - S ( f , P 1) < E

Considerando Pí U P2 = P (es un refinam iento de P, y P2 ), tenemos

S ( f , P ) - S ( f , P ) < S ( f . P2) - S( f , P J < £

b) ( < = ) Supongam os que dado £ > 0, existe una partición P de I tal que (7) es verdadero. C om o

J_ > S ( f , P ) y ] < S ( f , P )

se obtiene 0 < J — J < 5 (/, P ) - S(/, P ) < e. C om o £ es arbitrario, se obtiene

7 - 7 = 0 o 7 = 7

Por tanto, / es integrable en /.

Hasta ahora, I f ( x ) d x se ha definido solo si a < b . Por conveniencia, se dan

¿as siguientes definiciones:

Definición 6. S i a < b , se define

I f ( x ) d x = — ¡ f ( x ) d x , siem pre que I f { x ) d x exista. h Ja Ja

Definición 7. S i / es una función definida en o. se define

I,-af ( x ) d x = 0a

P rop o s ic ió n 4. S i f es una función continua en / = [a; b], entonces / es

integrable en /.

La demostración se deja com o ejercicio al iector.

2.5.1 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

1. S i / es una función integrable en /, entonces es integrable en cualquier subintervalo [c; d] c /.

2. S i f es una función integrable en /, entonces para toda constante real k , k f es integrable en / y se tiene:

f k f { x ) d x = k í f ( x ) d x (9 )Ja Ja

3. S i / y g son funciones integrables en I, entonces / ± g es integrable en / y se tiene:

r b p b r b

l f ( x ) ± g ( x ) ] d x = \ f ( x ) d x ± I g( x ) dx ( 1 0 )Ja Ja Ja

4. Si f es integrable en los intervalos [a; c] y [c; b], entonces / es integrable en I = [a; b] y se tiene:

f f ( x ) d x = í f ( x ) d x + í f ( x ) d x (11)Ja Ja Je

(Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración).

Esta propiedad es válida para tres números arbitrarios a , b , c siempre que las tres integrales existan.

5. S i / es integrable en I = [a; b] y f ( x ) > 0 , V x E I. entonces

f f ( x ) d x > 0 ( 1 2 )Ja

6 . S i / y g son funciones integrables en / y f ( x ) < g( x ) , V x E /, entonces

í f ( x ) d x < í g ( x ) d x (13)Ja Ja

7. S i / es integrable en / = [a; b] y m < f ( x ) < M, V x E /, entonces

m(b - a) < í f ( x ) d x < M{b - a ) (14)-'a

8 . S i / es integrable en I, entonces

f /(x )d x | S í \ f ( x ) \ dx (15)Ja I Ja

1N I hC jKA L D t r lN IU A

2.5 .2 T E O R E M A D E L V A L O R IN T ER M ED IO PA R A IN T E G R A L E S

Teorem a 2. S i / es una función continua en I = [a; 6 ], entonces existe un

número c G / tal que

í f ( x ) d x = f ( c ) ( b - a ) Ja

Dem ostración

E l Teorem a del V a lo r Intermedio de una función continua indica: “S i f es

continua en [a; b] y se cum ple que / ( a ) / '( ¿ ) , entonces para cualquier o)entre / ( a ) y f ( b ) existe un número c entre a y b tal que / ( c ) = 6)".

Por hipótesis, / es integrable en /, pues / es continua en I (Prop. 4). Luego, por

(14), se tiene:

m( b — a) < f f ( x ) d x < M(b - a) Ja

donde m y M son el m ín im o y el m áxim o absolutos de / en I, respectivamente

(estos valores existen porque / es continua).

Luego, m = f ( x m) y M = f ( x M ) , con xm y x M G / , y

f b f ( x ) d x

f (Xm) ~ b - a ~ / ( * m)

Por el teorema del valor intermedio para funciones continuas, existe c entre xm y x M (c G /) tal que

fb f ( x ) d x r bf (c) = — ------------, es decir, I f { x ) d x = / ( c ) ( ¿ — a ) , con c e I

b - a Ja

2.6 T E O R E M A S FU N D A M EN T A LES D E L C Á L C U L O IN T E G R A L

Teorem a 3 (P rim er T eorem a Fundam ental del Cálculo Integral o T eorem a de B arrow )S i f es una fu n c ió n c o n tin u a en / = [a ;b ] y F es la fu n c ió n d e f in id a por

F(x) = I f { t ) d t , x G /, entonces se tiene

F '( x ) = ¿ ( / f ( t ) d t j = f ( x ) , v x e i

Dem ostración

Por definición, para x G [a; b] {x fijo), se tiene

, ,. F( x + h ) - F ( x ) f * +h f ( t ) d t - f i f ( t ) d tF ( x ) = l im ------------ -------------- l im ----------------- r-----------------

h-* o h h-*o h, ! * f w t + c k f w t - s * f w t r v ( í ) d í

= h m ---------------------------- :-----------------------------= u m -------------------h-*o h h-o n

Por el teorema del valor intermedio para integrales, para el par de números x y x + h e [a; b] existe c entre x y x + h tal que

r X + h .

I f ( t ) d t = / ( c ) ( x + h - x ) = h f ( c )Jx

Luego,

F'(x) = lim , c entre x y x + hh->o h }

F '( x ) = lim f ( c ) , c entre x y x + h h-0

F'(x) = / (x ), V x E / , e s decir, F es una antiderivada de / en /.

Observación 4. Este teorema establece un enlace entre los conceptos de integral definida e indefinida. Se prueba que una función f continua en I admite una antiderivada dada por F(x) = / * f ( t ) d t , pues F '( x ) = f ( x ) , V x € /.

es un teorema de existencia, pues si f es una función continua en l, existe F(x) = / * f ( t ) d t tal que F' (x) = f ( x ) , V x G7. Como F( a) = 0 , F es la antiderivada de f en l cuya gráfica pasa por el punto (a; 0 ).


T eorem a 4 (Segundo Teorem a Fundam ental del Cálculo Integral)

S i / es una función continua en / = [a; b] y F es una antiderivada de f en /

( F '( x ) = f ( x ) , V x E /), entonces

[ f ( x ) d x = F ( b ) - F ( a ) = [ F(x) ]b (1 6 )Ja a

Dem ostración

C om o F es una antiderivada de / en / y, por el primer teorema fundamental,

F definida por F ( x ) = / f ( t ) d t es también una antiderivada de / en / , entonces

existe una constante c tal que F(x) = F( x ) + c , V x E l.

A sí, tenemos

F(b) = F(b) + c = f f ( t ) d t + c y F(a) = F(a) + c =*a

C om o /Qa / ( t ) d t = 0, entonces

F( b) - F ( a ) = f f ( t ) d t Ja

C om o la variable t no tiene sign ificado especial, se concluye

í f ( x ) d x = F( b ) - F ( a )■'a

1f ( t ) d t 4- c


INTEGRAL DEFINIDA

Observación 5

n) \F (x ) ]ba es una notación para F(b) — F(a) .

h) La fórmula dada en (16) es llamada “Fórmula de Newton-Leibniz” debido a que estos dos matemáticos establecieron, independientemente uno del otro, la relación íntima entre los conceptos de la derivada y de la integral. -El nombre que se le da a esta fórmula es convencional, y a que ni Newton (1642-1727) ni Leibniz (1646-1716) dieron exactamente con esta fórmula.

c) Obsérvese que la diferencia F(b) - F( a) no depende de la elección de la antiderivada F, puesto que todas las antiderivadas se diferencian en una constante, la que desaparece al efectuar ¡a diferencia. Por eso, al calcular una integral definida no es necesario considerar la constante en la antiderivada.

a) Siendo / ( t ) = 1 / (1 + t 2) una función continua, por el prim er teorema

fundamental, se tiene F' (x) = 1/ (1 + x 2) , V x > 0 (es necesario notar que

F' {x) = 1 / (1 + x 2) es válido para todo x e R ). C om o F' ( x ) > 0 , V x R ,

entonces F es una función estrictamente creciente en R .

b) F"(x) = —2 x / { l + x 2) 2 (F presenta punto de inflexión en x = 0).

c) F ' ( 1) = 1/ 2 .

Finalmente, dado que F '(x ) = 1/ (1 + x 2) , entonces F (x ) = a rctan x + C para

alguna constante C. C om o F ( 0 ) = 0, entonces

0 = a rctan (O ) + C => C = 0, es decir, F (x ) = a rctan x

E jem p lo 24. Calcule el va lor de cada una de las integrales

So lu c ión

a) U n a antiderivada de f ( x ) = 1/(1 + x2) en l = [ - 1 ; 1] es F ( * ) = a rctan x (en esta antiderivada, por la obs. 5-c, no se considera la constante). Luego,

E je m p lo 23. Sea la func ión F { x ) = ------- - d t . CalculeJn 1 + t0

a) F '0 0 b) F"(x) c) F’( 1)

So lu c ión

f dx 1 ■■■ 7T y 7T\ nJ T + x 2 = [arctan x ] _ 1 = a rc ta n ( l) - a r c t a n ( - l ) = - - - J = -

r 1t/2 jj.b) J sen x dx = - [ c o s x ] ^ 2 = - ^ c o s - - cosOj = 1o


= Co


c) f e* dx = = e 1 — e° = e — 1Ja

f 1 1d) I senh x d x = [co shx ] = c o sh ( l) - 1

Jq u

Com pare las respuestas obtenidas en (b), (c) y (d) con las obtenidas en los

ejemplos (13), (14) y (15) de este capítulo.

E je m p lo 25

i) Sea G ( x ) = / “ f ( t ) d t , donde /: / = [a; b] -> R es continua y u = w (x ) es

una función derivable (u: —» /). Pruebe que

dG'(x) = / ( u ) . u ', donde u' = — ( u ( x ) )

ax

ii) Sea H( x) = f ^ f ( t ) d t , d o n d e / y u = tt(x) tienen las condiciones dadas en

(i). Dem uestre qued

H' ( x ) = - / ( u ) . u ', d onde u ' = — (u ( x ) )dx

So lu c ión

i) S i F ( x ) = / * f ( t ) d t y u = u ( x ) , entonces

( F o u ) ( x ) = F ( u ( x ) ) = f ( t ) d t = G(x) . Por la regla de la cadena, se tiene

G'(x) = F '( u ( x ) ) . u '( x ) = F '( u ) . u ' = f ( u ) . u ', pues F '( x ) = / (x ) .

E n resumen, G '( x ) = / ( u ) .u '.

ii) H( x) = f “ f ( t ) d t = - / “ / ( t ) d t

Por (i), t f '( x ) = - ( / ( u ) . u ') = - / ( u ) . u '.

3 12 + 9 sen t + 15 ^E je m p lo 26. S e a G (x ) = í — — -— —dt y W (x) = f

J_3 1 + 9 sen2t

Halle: a) G '( x ) b) t f '( x )

So lu c ión

a) U sando el ejemplo 23-i), para / ( t ) = 1/ (1 + 9 se n 2 1) y u = x 4, se tiene

1 4 x 3C 'W = 3 - r ^ ------^ ‘ 4 x 3l + 9 s e n 2( x 4) l + 9 s e n 2( x 4)

b) U sando el resultado del ejemplo 23-ii), obtenemos

. 1 , 3 x 2H M = -----r — :-----r r — - • 3 x

x 6 + 9 se n (x 3) + 15 x 6 + 9 s e n (x 3) + 15


rX*INTEGRAL DEFINIDA

Ejem plo 2 7 . Si G(x) = [ I j l + y 3 d y ,h a lle G '(x ).Jx2

So lu c ión

C om o / ( y ) = ^/1 + y 3 es continua en M, entonce s

G ( x ) = f y i + y 3 d y = f \ ] l + y 3 d y + í X j l + y 3 d y Jx2 ¿x2 J o

Luego,

G '( x ) = - \ ¡ l + x * • 2 x + V l + x 9 • 3 x 2

= x [3 x V i + x 9 - 2 3V l + x 6]

r 1 jx ld xE jem p lo 2 8 . Calcu le el v a lo r de -------- -

1 + x 2So lu c ión

Si / ( x ) = { ^ 2 ’ e n tonce s / ( * )1 + x 2 '

X

“ l + x 2

si x > 0

, s i x < 0

Para calcular esta integral, se aplicará la propiedad aditiva respecto al intervalo de integración. E n efecto,

f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x = = — i —l dx + í ■ * dxJ- 1 J - i J_x l + x 2 J0 1 + x 2

r l i° r l i 1= - [ - l n ( l + x 2)j - l n ( l + x 2)]^

= ln 2 ) + | ( l n 2 ) = l n 2

Ejem plo 29. Calcule J = í |x2 + x — 6 | dx.J~4

So lu c ión

La variación de s ignos de x 2 + x - 6 = (x + 3 ) ( x - 2 ) es

+ - +

- 3 2

lu e g o |;t2 + x - 6 | = í A:2 + * _ 6 ' s i x 6 ( - 00; - 3 ] u [ 2 ;+ co ) i.uego, |x + x 6 | l _ ( x 2 + x _ 6 l s i x 6 < _ 3;2>

Ap licando la propiedad aditiva de la integral respecto al intervalo de integración, se tiene


f \x2 + x - 6\dx = í (x2 + x - 6 ) d x - f (x2 + x - 6 ) d x + f (x 2 + x - «'—4 ■'—4 J—3 Jo

2

(3

3 v 2

6 )dx

-3+ lT + T - 6,

■ i - i "

125\ 38 1096 ) + T - T ~

E je m p lo 30. Sab iendo que x > 9, resuelva la ecuación:

16 dt

i9 V2(16 - t 2) 327T / 2 + yfx \ 3

= — + ln 1 ------ I - 2 arctan - — ln 5 ... (a)Syfx - 10

So lu c ión

, , f 16 dtEn p rim er lugar, calculam os la integral I - = ------------- u sando la sustitución

J Ví(16 — t2)t = u2 y dt = 2udu. D e esta manera,

f 16 dt _ f 32 u du f 32 f 4 f 4i Vt(16 - t 2) ~ J u( 16 - u4) ~ J 16 - u4 dU “ J 4 - u2 + J 4+ü* d“

, |u + 2| aín lVF+21 ' /Vt\= ln ---- - + 2 arctan (-) + C = ln —---- + 2 arctan —- + C

\ u - 2 \ ' 2 ' V t-2 \ 2

Luego,

i

16 dt9 Vt( 16- t 2)

Vt + 2 Vt 1InV t-2

+ 2 arctan(—)

Vx 3+ 2 arctan — — 2 arctan - - In 5

O'V i

, , + 2 arctan—— 2 a r c t a n - ... (ß)V s V z - 1 0 ) 2 2

Reem plazando (/?) en (a), se tiene

. / Vx + 2 \ V? 3 2irln + 2 arctan T - 2 arctan 2 = T +

<=>

ln ( 4 ± i L ) _\ S y i x - l Q )

V * 2n A / x \ n 4 x ,ns V *2 arctan — = y » arctan I — 1 = - <=> — = tan (-J » — = V3

2 arctan

Finalm ente, x = 12.

I . Kn cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la derivada de las siguientes (unciones.

INTEGRAL DEFINIDA

E JE R C IC IO S

..) /■

I»)

■'(x) - j co sh (2 t 2 + 1) dt

J”Senx ^

------------d ta arcsen t

C) f í [ y -— ^ — r d t ) dy'2 \ J 8 1 + 1 + sen2t j *

d) F(x) =• 'a

R. F'(x) = 2 cosh ([8x2 + 1)

*■ F 'w = Í t t A + sen2td t

r*3 1 j.

rJ0 i + s e n 2 teos2 ( y 2 + 4 )d y

e) FQ t) = sen | J s e n ^J sen3t d t ] d y

2. Sean/•arcsen cosArj

F ( x ) = / (se n t ) d t -A /3

J - s e n x ______ ____________

<Jg(t) d t = V i - . e o s xsñ

J

1 — sen x1 4- sen x

r f W dtHalle H'(x) si H( x ) = í ____

•'g(x) ( 1 - V l - x 2) ^

1 \ 16

T '

/?. a = — 2 ó 1

f3 X + 1 2 / I3. Si f Ct j d t = ----- h a x , calcule los valores de a de m odo que f -

JQ ax \4.

[ x* t s4. Si F(x) — J 1 + {4 d t , halle F'(x).

s X + X 2

5. Si G(x) = I 2 ~t2 d t , calcule G '( x ) y G '( l ) .■>x2+i

r e*6 . Si F ( x ) = I x ( t 2 + l ) d t , calcule F '( x ) .

7. Sea G(x) = I f ( t ) d t , donde f • 1 -* R es una función continua y las •Vi(x)

funciones , <Pz ' . ] - *I , que son funciones derivables. Dem uestre que

G '(x ) = f(<p2(x)) • <p'2 ( x ) - /O P iO O ) • < p 'i(x )

TOPICOS DE C A LC U LO - V O LU M E N II

8. Sea / : [ —!; 2] -> E una función continua. Si F es una antiderivada de / en

[ - 1 ; 2], con F ( - 1) = 3 y F(2) = 7, calcule J f ( x ) dx . R. 4

9. En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función g. S i f es la función

definida por f ( x ) = J ^ g C O d t , x G [ -3 ; 8 ], y tCalcule gráficamente:

a) / ( — 3) b) / (O ) c) / ( 8 )

R. a) 0 b) 6 c) 34 -3 6 8

10. Sea /: [ - 6 ; 6 ] -> E una función continua y g: [ - 6 ; 6 ] ->

im par continua, tal que I / ( x )d x = 10 y I g ( x ) d x = — 2. Halle:J-6 “'-6

rO

una ¿unción

a) í t/ (x ) + £ (x ) ] d x fí. 12 b) [ [/ (x ) + s # ( x ) ] d x R. 20 •'-6 •'-6

11. En los siguientes ejercicios, calcule / (2 ) sabiendo que / es continua y

verifica la ecuación dada para todo x > 0 .

a ) [ f { t ) d t = x 2( l + x )Jo

b)

X2í f ( t ) d t

■'Ox 2( l + x )

R. 16

2 + 3 V 2

r f W

c) I t 2 d t = x 2( l + x ) J o

r X 2 {l + l)

R.L

R. V 3 6

1d ) f f ( t ) d t = x

12. Dem uestre que si / es continua, entonces

J f ( u ) ( x - u ) d u = J ^ J f ( t ) d t ^ j d u

Sug: considere F(x) = I f ( u ) ( x - u ) d u , entonces F '( x ) = I f ( u ) du .Jo J o

Luego, halle su antiderivada y calcule F ( 0 ) para su constante.

13. A partir del ejercicio anterior, demuestre que

du[ Xf ( u ) ( x - u ) 2du = 2 f i f í f Zf ( t ) d t ) d z Jo •'o lyo \Jq J


14. H alle f ( x ) s i = ■ 1 , V x > 0.v i + se n 2*

15. Ca lcu le el va lor de las siguientes integrales:

a) J x 3 dx b ) J (x + l ) 3 dx

f 1/2 1 r 2 xc) I i d ) ;------- 7 dxJ o V i - x 2 Ji 1 + x

INTEGRAL DEFINIDA

e)J - i 1 + 1*1 J 3

i

5 5 x - 20

(2 - x ) ( x 2 + 1)

g ) I | co sx| d x h) I se n 2 ( 3 x )d xJo Jo

d x R. 1,336685 ...

l n x d xr a! r

° L — i “* ° I

16. Sea / : [ - 6 ; 6 ] -» IR una función continua. Si f es im par y I f ( x ) d x = 3,

6

halle J (/ (x ) - 2x) dx. R. - 3 5

17. Para cierta población, suponga que N es una función continua tal que N( x) es el número de personas que alcanzan la edad de x en cualquier año. Esta

función se llama función de la tabla de vida. Bajo condiciones apropiadas, la

integral J*+n N ( t ) d t da el número esperado de gente en la población que

tiene exactamente entre x y x + n años, inclusive. S i N( x) = 3 0 0 V 1 0 0 - x, determine el número de personas que tienen entre 36 y 64 años.

R. 5 9 2 0 0 personas

18. Sea una recta tangente a la curva C : y = g ( x ) en el punto P (2 ;3 ) .

Adem ás, la recta Lx pasa por el punto Q (1 0 ; 7 ) que no está en la curva C.

Si f ( x ) = J J t 2 + 7 d t , h a l le / '( 2 ) . R. 2

12 9 www.FreeLibros.com

Teorem a 5. S i / es una función continua en / = [a; b] y si se reemplaza la

variable x de la integral por g { t ) (es decir, x = g( t ) ) , donde g: [ a ; ß ] -> / tiene

derivada continua en [a; ß] , con g ( a ) = a y g ( ß ) = b ; entonces


2.7 CAM BIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA

í f ( x ) d x = í f { g ( t j ) - g ' ( t ) d t (1 7 )Ja Ja

D e m o stra c ió n

rySea F ( y ) = í f ( x ) d x , y 6 I . Por el P rim er Teorema Fundam enta l del Cálculo, se

J atiene F '{y ) = / ( y ) , V y 6 /.

Por la regla de la cadena ó derivada de una función compuesta, tenemos

í F í g m ' = F ' i m ) ■ s ' ( t ) = / ( s e o ) • 5 ' ( o

Por tanto, F ( g ( t ) ) es una antiderivada de f ( g ( t ) ) - g ' ( t ) . Po r el Segundo

Teorem a Fundam ental del Cálculo, se tiene

C f ( f i ( 0 ) • g ' W d t = [ F ( g m ß = F{ g( ß) ) - F ( g ( a ) ) = F ( b ) - F ( a )• a

= í / ( x )d x• 'a

Observación 5. Si la función g \ [ a \ ß ] -* [a; b] es tal que g ( ß ) = a y g { a ) = b, p or la fórmula (17), se tiene

f f ( x ) d x = í f ( g C O) ■ g ' { t ) d t J a J ß

f 3 x2E je m p lo 31. Calcule I = I 3 3 dx.

J2 (1 + x )So lu c ión

Haciendo t = 1 + x 3, se tiene que x = g ( t ) = V t - 1 , g ' ( t ) =3 V ( t - l ) 2 '

g ( 9 ) = 2 y g ( 2 8 ) = 3. D ado que g y g' son continuas en [9; 28], entonces

I _ J2 ( 1 + a : 3) 3 t _ J9 t3 2\ j (t — l ) z f

1 f 28 , l r l ] 28

- j L -

’28 7 0 3j 9 381024

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INTEGRAL DEFINIDA

Hn la práctica, no es necesario dar la función g ( t ) explicitamente. Considerando

que el lector está habituado a cambiar la variable en una integral indefinida, sólo

nos queda decir que para cambiar los límites de integración basta reemplazar la

variable original x por los lím ites de integración en la correspondiente sustitución y así obtener los nuevos lím ites de integración (que son los valores de la nueva variable). En el ejemplo anterior, procederíamos así:

C om o la sustitución es t = 1 + x 3, entonces d t = 3 x 2dx.

Para x = 2 => t = 9 = a ; para x = 3 = > t = 2 8 = / ? .

Por tanto,

x 2 dx 1 r 3 3 x 2 dx 1 f 2Bd t 703_ x ¿ dx 1 r 3 3x ¿ dx 1 r 2~ J2 ( 1 + x 3) 3 ~ 3 J 2 (1 + x 3) 3 = 3 J9 t 3 3 8 1 0 2 4

f i (x^ — 1 dx E je m p lo 32. Calcule el va lo r de 1 = I -------------- -

•'1/2 ( x2 + l ) V x 4 + 1

So lu c ión

Antes de efectuar el cam bio de variable, d iv id im os numerador y denom inador por

x 2 ( x z > 0, p ues x 6 [1/2; 1 ]) y luego reemplazam os t = x + 1/x. Entonces

_ f 1 ( x2 - l ) d x f 1 ( l - - p ) d x

Ji/2 (x2 + l ) V x 4 + 1 J i/2 1 | 1

_ r 2 d t i /,ilNl2

- ' s / 2 í V t 2 - 2 V 2

, |f|aresee | —V 2 . 5/2

= - ^ ( a r c s e c ( V 2 ) - a re see^ ) = - a re see^ )V 2 V v 1 2) V 2

E je m p lo 33. Demuestre que

a) Si / es continua en [0; a], entonces I f ( x ) d x = I f ( a - x ) d x .Jo Jo

/* d r a.

b) Si fe s función par y continua en [-a ; a], entonces I / ( x ) d x = 2 I f ( x ) d x .j - a Jo

c) Si f es función im par y continua en [- a; a], entonces I f ( x ) d x = 0.•'-a


TÓPICOS DE C Á LC U LO - V O LU M E N II

f" í nI2d) Si fe s función par y continua, entonces | x / ( c o s x ) d x = n f / (c o sx )d x .

^ 0 J o

f n 7r re) S i / e s continua, entonces I x f ( s e n x ) d x = - / ( s e n x ) d x .

-'o 2 J0Solución

a) En la integral J ^ f ( a — x ) d x reemplazamos a — x ~ z y d z = - d x .Entonces para x = 0 = * z = a , y para x = a => z = 0. Po r tanto,

f f ( a - x ) dx ~ - f f ( z ) d z = f f ( z ) d z = f f ( x ) d x J0 j a j o Jo

(La última igualdad es válida porque ia variable z no tiene significado especial)

b) f f { x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x ... (a)J - a J - q _________ J q

J

En la integral / reemplazam os x = - y . Enseguida, utilizam os el hecho de que por ser / par se verifica / ( - y ) = / (y ) .

7 = [ / ( x ) d x = - f / ( - y ) d y = f f ( y ) d y = f f ( x ) d x ... (/?)J - a J a J q J o

Reem plazando (/?) en (a), se obtiene

f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f / (x )d x = 2 [ / ( x )d x *'-a 0 ¿O

c) S igu iendo el m ism o procedim iento empleado en la parte (b) y utilizando el

hecho de que / ( - y ) = - / ( y ) (por ser / impar), se prueba que

J - ¡ f { x ) d x - - f f ( x ) d x J - a J q

Reem plazando este resultado en (a ), se sigue que f f ( x ) d x = 0.J - a

d) y e) Ejercicio. E n am bos casos reemplazar x = n — y.

E je m p lo 34. Calcule I = [ dx.JQ 1 4" X

SoluciónS i utilizam os la sustitución x = tan 8, tenemos

r M n í l + x ) f nl*\n(l + x.an0) , r*/4Jo ~TTx*~ J0 ■ * * '« ‘‘' = 1 to(l + ta „ « )J Í

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r XT/4


f r M1 = 1 In l + t a n í ------- 6) I dd (aplicando el ejemplo 32 - a)

Jo 4

/■n/4 , l - t a n 0 \ f ^ 4 / 2 \

, = j0 ln V1 + lT ta ñ f l ) = i ( í T i a ñ d )r n ¡ 4 /-rt/4

1=1 In2d0- I ln(l + tanfl)c¡0Jo ¿o________ __________ ,

i

/■ir/4 7r 7TPor tanto, 2 1 = ln 2 d6 = - l n 2, de donde se concluye que I = — ln 2.

Jo 4 8

r Itx s e n x dxE je m p lo 35. Calcule 1 = — —----— .

Jq 1 "i eos XSo lu c ión

Teniendo en cuenta que e o s2x = 1 — se n 2x, se tiene

r n x s e r ¡ x d x í 71 s e n x1 = ------------— = x -----------dx

J0 1 + e o s2* J0 2 - se n 2x

sen xPuesto que el integrando es de la form a x / (se n x), donde / (se n x ) = ^ _ ser)2' ~»

usando el ejemplo 32-e, obtenemos

rn s e n x n f n s e n x1 = x - --------- - dx = — I ---------- 5- dx

J0 2 - se n 2x 2 J0 2 - sen2x

7T [ n Sen X 7T

= 2 Í = - 2 [arctan(coS* :'] 0

7T TTr 7T 7Tl 7T2 ’= - - [ a r c t a n ( - l ) - a rc tan (l)] 2 L 4 4J

r^/4

<-tt/4

r '■ 2E je m p lo 36. Calcule J = ( x 9 eos x + V tan x + sen x e t o s I + eos2 x)dx.

J - n / 4

So lu c ión

/•tt/4 r n / 4

J = ] ( x 9 eos x + V tan x + sen x e cos2jc) d x + co s2x dxJ — ir/4 J-7I/4

r^ 4 r 'r/41 + eos 2xdx

/•TT/4 /-TIj 2 - I co s2x d x = I

J —Í t l 4 *'-7

1 r sen 2x i 'r/4 1 /7r \ re + 2

= ü b — L /. = í f e + 1 ) = —

E l integrando de es f ( x ) = x 9 eos x + V se n x + sen x e cos2* y es una función impar, pues


/ ( - x ) = ( ~ x ) 9 c o s ( - x ) + 7 t a n ( - x ) + s e n ( - x ) e cos2( x~>

= —x 9 eos x - V tan x - sen x e cos2x = - f ( x )

rn / i

Luego, p o r el ejemplo 31 - a, se sigue que J i = f ( x ) d x = 0J-n/4

n + 2 n + 2 P o r tanto, / = 0 H---------- = --------- .

2.8 I N T E G R A C I Ó N P O R P A R T E S E N U N A I N T E G R A L D E F I N I D A

Teorem a 6 . S i u = u( x ) y v = v ( x ) son funciones con derivadas continuas en I = [a; b] , entonces

J u d v = [u v ]^ - J v du (1 8 )

D em ostra c ión

De la diferencial de un producto se deduce que u d v = d ( u v ) - v du.

r b r b r b r b

Luego, I u d v = I [ d ( u v ) - v d u ] <=> u d v = d ( u v ) - I v du Ja Ja Ja Ja a

f *> . r b

=> u d v = [u v ] - \ v du•'a ® ■'a

(Todas estas integrales existen, pues u, v, u ', v ' son continuas)

E je m p lo 37. Calcule / = f x 2 l nx'i

So lu c ión

dx.

Haciendo

y =

^u = ln x => du = - d xx o , obtenem os

Adv = x 2 dx =» v = —

3

x 3 l3 ■ j l n x - Í / ^ c Í A : = ( 9 |n3 - Í |n 1) - [ i ^

1 2 6 = 9 ln 3 — - (2 7 — 1) = 9 ln 3 — —

E je m p lo 38. Calcule el va lor de J = j arctanJ^jx - 1 dx.

So lu c ión

S i z = a r c t a n V V * — 1 => V * = se c2z => x = se c4z y dx = 4 se c4z tan z dz.

Para x = 1 => z = 0 y para x = 16 => z = tt/3. Entonces

r i i /3} = I z • sec4z tan z d z

Jo

Para integrar por partes a esta última integral, consideram os

f u = z => du — d z\-dv = 4 se c 3z • s e c z tan z d z => v = sec4z

Entonces

f *''37 = [z sec4z]o 3 — I sec4z dz ( * )

Joj j . r^/3

— (—) (1 6 ) — I (1 + tan2z )se c2zdz

1Ó7T í tan3z \ n^

INTEGRAL DEFINIDA

• — tan z +3 3

1Ó7T r-= — - 2 V 3

0( * ) Para integrar sec4z es suficiente considerar que se c2z = 1 + tan2z.

2.9 I N T E G R A C I O N D E F U N C I O N E S D I S C O N T I N U A S

D e fin ic ión 6 . Sea /: [a; b] -» IR una función acotada y sea P = {x0lx lt . . . ,xn} una partición de / = [a; b]. Sean clt c2,...,cn elementos de /, de tal m anera que

Cj £ Ij Xyj , j 1/2, . .. /TI.

L a sum an

S ( / , P ) = £ / ( c , ) A ; x

;= i

se denom ina S u m a de R ie m a n n de f con respecto a la partición P.

Sean m ; = i n f { f ( x ) / x £ /,} y M¡ - s u p { f ( x ) / x e 1¡}. Entonces

rtij < f ( c j ) < Mj, j = 1,2, ...,n y m ás aún

S ( / , P ) < S ( / , P ) < S ( / , P )

La sum a de R iem ann es un tipo de sum a que no necesariamente es una sum a

inferior o una sum a superior, sino m ás bien está com prendida entre ellas.

D e fin ic ió n 7. Se dice que S ( f , P ) tiene límite J e R cuando ||P|| —» 0 y se

escribe 5 ( / , P ) = / si dado e > 0 (arbitrario), existe 5 > 0 tal que para

toda partición P, con 0 < ||P|| < 8 , y para cualquier c¡ se tiene

\ m , P ) - ) \ \ < £


T eorem a 7 (de D a rb o u x ). S i / es una función acotada en /, una condic ión

necesaria y suficiente para que f sea integrable en / es que exista / G IR tal que

J im 5 ( / , P ) = / ; ( j = j j ( x ) d x ^

D e m o stra c ió n (Ejercicio).

T eorem a 8 . Sean f , g ■■ l = [a ;b ] -» M dos funciones tales que f ( x ) = g ( x ) ,V x E I, excepto para un número finito de puntos. S i g es integrable en /, entonces

/ es integrable en ¡ y se tiene

r b r b

í f ( x ) d x = í g ( x ) d x (1 9 )Ja Ja

D e m o stra c ió n

S i g es integrable en / y g { x ) d x = J, por el teorema de Darboux, dado e > 0,

existe 8X > 0 tal que para todo P, con 0 < ||P|| < 5 1; y V c¡ E l¡ se tiene

\ S { g , P ) - J \ < £-

Por otro lado, si A = {x e / / f ( x ) * g ( x ) } posee r puntos (r finito) y sea

L = s u p { \ f ( x ) - fl(x )| / x E /}, para toda partición P, con ||P|| < , se tiene

\ S ( f . P ) - S ( g , P ) l = < r L P -2rL 2

Luego, si 8 = mín|<51( se tiene

IS( f . P ) - ] \ < m , P ) ~ S(g, P ) | + 15(5 , P ) - J | < | 1 = £

E n resumen, para toda partición P, con ||P|| < 5, y V c¡ E / se verifica

\ S ( f , P ) - J \ < E

Por tanto, por el teorema de Darboux, / es integrable en / y

f f ( x ) d x = í g ( x ) d xJ a J a

I ro i cm a 9. S i / es c o n t in u a en / = [a;b] e x c e p to en ios p u n to s a ó b, en losmi.îles e x is te n l im< / ( x ) = / ( a + ) y l im f ( x ) = f ( b ~ ) (f in i to s) , e n to n c e s f es

j :-*b~iiiii-i'.iahle en / y e x is te u n a fu n c ió n F, c o n F' (x) = / (x ) , V x E ( a ; b), tal q u e

■ b

f ( x ) d x = F { b ) - F ( a )


f■J nDem ostrac ión . Ejercicio para c! lector.

D efin ic ión 8 (F u n c ió n seccionalm ente continua en l ~ [a ; ¿ ] ) . Se dice que la

lim dón /: / -> 1 es seccionalmente continua en / cuando / es continua para todo

\ ' / excepto para un número finito de puntos c ¡ , j = 1 , 2 m , para los

i nales existe

f ( c ~ ) = lim_ f ( x ) y f ( c f ) = l i m / ( * ) x ' * c i x ~ ,c j

‘.i i) - a a c¡ = b, debe existir / ( a + ) o f ( b ~ ) respectivamente.

r O K O L A R I O . S i / es seccionaimente continua en / = [a ;b ], entonces / es

mu-arable en /.

í - 2 , si - 2 < x < - 1I jcm plo 39. Sea la función / ( x ) - ] x 3, si - 1 < x < 1 .

( 2 , si 1 < x < 2S r pide:

.i) I race la gráfica de /.

Ii) ;,/ es integrable en [— 2 ; 2 ] ?

i ) Calcule I f ( x ) dx .J-2

il) Halle F ( x ) = f f ( t ) d t , x £ [ - 2 ; 2] y trace su gráfica.J-2

i ) Determ ine el conjunto donde F es derivable y halle F '( x ) .

Solución

,i t I a gráfica de / se muestra en la Fig. 2.15.

I>) / es integrable en [— 2 ; 2 ] porque / es seccionalmente continua en [— 2 ; 2 ]

(/' es d iscontinua en x = - 1 , en x = 1 y en x = 2 ; pero en estos puntos

existen los lím ites laterales. E n x = 2 existe el límite lateral por izquierda).

i ) í f ( x ) d x = f f ( x ) d x + í f ( x ) d x + f f ( x ) d xJ -2 ■ J-2 J-l •'1

= í ( - 2 )d x + í x 3d x + í 2 d x = - 2 + 0 + 2 = 0J-2 ■'-1

TOPICOS D E C A L C U L O - V O LU M E N II

d) Si x e [ - 2 ; - 1 > => F ( x ) = f ( - 2 ) d t = - 2 x - 4J-2

Si x E [—1,1] =* F ( x ) = J f ( t ) d t = J ( - 2 ) d t + J t

Si x E (1; 2) =* F(x) = J f ( t ) d t — J (— 2) d t + J t 3 d t + J 2 d t = 2x — 4

t 3 d t = ■x 4 9

T _ 4

í - 2 x - 4 , - 2 < x < - 1Por tanto, F ( x ) = | (x 4 - 9 ) / 4 , - 1 < x < 1

\ 2 x - 4 , 1 < x < 2

La gráfica de F se muestra en la Fig. 2.16.

í —2 , - 2 < x < —1f) F' (x) = \ x 3 , — 1 < x < 1

i 2 , 1 < x < 2

Luego, F es derivable en [— 2; 2) excepto en los puntos x = — 1 y x = 1.

Fig. 2.15

F(x) = f 2t e~cZ Jo

d t , x e R.E je m p lo 40. Trace la gráfica de

So lu c ión

i) D(F) = E

ii) Intersecciones con el eje x: P ( 0; 0), pues F ( 0 ) = 0.

iii) F '( x ) = 2 x e ~ * 2. E l único punto crítico es x = 0 y se tiene

Signo de F'(x) < - +

Luego, F es creciente en (0; +oo ) y F es decreciente en (— oo; 0>. E l valor

m ín im o relativo es F ( 0 ) = 0.

iv) F"(x) = 2 e~x\ l - 2 x 2).

L o s puntos críticos de inflexión son x = V 2 / 2 y x = - V 2 / 2 .

Signo d e F”(x) •<------- °-----------1-------------------- 1------------------ ►- V 2 / 2 V 2 / 2

Por tanto, F es cóncava hacia abajo en ( - 00; — \¡2 /2) U (V 2 / 2 ; + 00) y

cóncava hacia arriba en (~ V 2 / 2 ; V 2/2 ). La s abscisas de los puntos de

inflexión de F son x = V 2 / 2 y x = —V 2/2 .

v) Integrando se obtiene que F(x) = 1 - e “* \ por lo que y = 1 es asíntota

horizontal. L a gráfica de F se muestra en la fig. 2.17.

INTEGRAL DEFINIDA

F iq . 2.17

E J E R C I C I O S

I. Calcule el valor de las siguientes integrales:

r° dx 71 f 2 dx 1

1 J_14x2 + 8x + 8 16 J1 x2 - 4x - 5 6*n2

dx ti r 1 33. ■ ■■ R. - 4. x 8e - x

Jo V2 - x2 4 J02 5

dx R. - - —3 3e

r * 1 r /3 75. I senh x sen x d x /?. - s e n h í r '6 . I tan x dx R. 0

-'o 2 J_„/3

f a x s / 2dx 57r a 3 f 2 x 5 dxJ0 ‘~ Í 6 ~ 8 ' i ( 1 + x 3) 3/2 9

> ■ / ;

dx


1023

1 0 . f x 8( l — x 3) 5/4 d x ■>1

11.

x 6(65 - X 6) 1/ 6

X dx

. f x 4( l — x 2)3/2 dx Jo

f V v rJq

f :

c - ,

f ln yjl — x Jo

1 V i - x 13. I —= d x

J Z ^ x

x e x

(1 + x ) 2 d

■ x d x

f 1/2 1 + x16- L J — dx1 / 2 -

¡■n/3

7- J17. I c o tx ( ln se n x )d x

18.í

11/3 V ía n x dx

„/ó V tan x + V c o tx

tt/4/•7T/4

19. I |tan5x|dxJ-7T/4

r 2*2 0 . I |senx — co sx|d x Ja

íJo

x sen x 2 1 . ---------- — d x

22.

1 + co s2x

4 'X + 1

x + 6dx

rn/:23.

‘'ir/ó

11/3 V s e c x dx

V se c x + V c s c x

fi.

i?. -

12300

128

5967

2n R’ "256

71

R' 4

R . y ¡ 2 - ln ( l + V 2 )

e - 2fi.

fi. ln 2 -----2

fi. — 4- ln 2 2

fi. 4 V 2

7T

T

fi. 5 + 5 ln-

fi.


cn eos x f ^ 2 sen x c o sxSi I 7— — --; 7 dx = A, calcule el va lor de la integral --------------- dx en

h (x + 2 ) 2 J0 x + 1

función de A. R - ( - 4 ------ -------2 \2 n + 2 )

f n c o s x d x [2 c o sx f 71 e o sx dxSugerencia: exprese ¿ J,

Luego, calcule cada una de las dos integrales usando integración por partes y finalmente haga el cam bio de variable x = 2 u.

f 1 e xIII. Si k = I dx, exprese los valores de las sigu ientes integrales en función

J q X T i-

de k.

'• l - , 7 ^ T T dx ~*ce~a <Sug: u = a — x — 1)


? f 1 x e x¿J0 x2 + 1

s. f -J o I

dx

e x 1dx /?. k + 1 - - e

(x + 1 )2 2

4. í e * l n ( l + x ) fi. e l n 2 - f cJo

IV . Ejercicios diversos.

1. C a lcu la r/ (O ) sab iendo que / ( n) = 2 y f [/ (x ) + f " ( x ) ] s e n x dx = 5.Jo

R. 3

[ b s e n x cos a eos b f b c o sx2. P ruebe que ------- dx = -----------------— + — -- d x .

Ja x a b Ja x 2

Í 1 2x — 12 , si x < 1 , . f 2*3. Si / ( x ) = _ s i x > 1 : 3 ( 1 ) = ^ m d t , X E R .

Calcule el va lor de f g ( x ) d x . R. 3 6 9 7 / 42

4. S i n es cualquier núm ero natural, calcule el va lor de

r^ se n ( n + j ) x

J xsen 2

-dx /?. 7T

5. Calcule el valor de las siguientes integrales:

-1' 2 f l + X\a) J cos(sen x ) In — - J + 3 x + 4

r n / 2

b) I x sen x dx-'-71/2

çn/2c) I x 81c o s(x 9) d x

J- ji/2/•tt/4

d) I [x 14s e n (x 7)] dxJ-nj

dx

TI ¡A

e) f [ ( x 5 + x 3 + x ) V l + x 4 + 3j dxJ - 7

R. 4

R. 2

R. 0

R. 12

6 . Sea /: 1 una función continua. Si se sabe que í f ( t ) d t = 6 , •/-i n

calcule

f / ( 2x — 2) dx.J — 4

7. Sea / ( x ) =

si 0 < x < 2- 1 , si 2 < x < 3

. x - 3 , s i 3 < x < 4

a) Esboce la gráfica de /.

b) Ca lcu le JQ4 / (x )d x .

c) Ca lcu le F ( x ) = f * f ( t ) d t , x G [0 ;4],

d) Trace la gráfica de F.

e) Determ ine en qué puntos F es derivable.

8 . Sea F ( x )f * e ‘ 2

= ------ ? d í -J0 1 + t2

a) Pruebe que F es función impar.

b) Pruebe que F ( x ) > x , V x 6 i j = [0; +oo).

9. Calcule el va lo r deçtt/3

L * 1

Veos X

n/6 V se n x + V c o s xdx.

10. La ecuación param étrica de una curva es H

h ;

co szdz

sen z, t > 1. Halle

-d z

d y

dx '

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INTEGRAL DEFINIDA

11. La función / y su inversa / _1 son continuas y / (O ) = 0. Pruebe que

-5 r f ( 5)

/ ( x ) d x + f ~ 1( t ) d t = 5 / ( 5 ) -'o •'o

dx12. Calcule el va lo r de

r 3

13. Calcule el va lor de-3

r

i(2x 2 + l)^/x2T í '

x 2 - 4

f A - T14. Calcule el va lor de I 7-^— 7-71 dx.

x 2 - 2 5

3 x 2 _ 4

3 I* 2 - 1 6 1

dx.

15. Sea / una función continua tal que / '( x ) < 0 en [1; 4].

S i / ( 1 ) = —2 , / ( 4 ) = —6 y J14 / ( x ) d x = —10 , calcule el va lor de

f f ~ 1( x ) d x . R. 12J-f,J-6

x < 2

16. Si / ( x ) = j ’ 2 ^ X < ° , calcule J [/ (x ) - x]dx.

-1 + x 3x > 0

r 2 7117. Calcule I (|sen x| + x )dx.

•'O

{ e2- l

18. Calcule f [4 - 2 ln (x + 1)] dx. R. '2 (e 2 - 3)•'O

f 5 |x3 - ■'-1

19. Calcule |x3 - 4 x | d x .

d x 15?r + 44Calcule — =— — 7 . R.

( x 2 + l ) 4 96

/ * sen (t — l ) 2 d t 1.’.l. Calcule l im -------—-------— ------ .

* -1 (1 — x ) 3

c n/2 dx nCalcule ------- ---------p . R. —

J0 1 + f t a n x ] ^ 4

Sugerencia: hacer u = - — x.o 2


Para calcular una integral definida por la fórmula de N ew ton -Le ibn itz se necesita

hallar una antiderivada del integrando; pero en el capítulo I hem os m encionado

que no toda función continua tiene una antiderivada expresada mediante funciones

elementales, por lo que es necesario los métodos aproxim ados para su cálculo. En

esta sección tendremos en cuenta que, por el teorema de Darboux,

I f ( x ) d x = ||Hmo ^ / ( t , ) A ¿ x , donde P = { x 0, x 1(

“ i= i es una partición de [a; b] , A ¡x = x¡ — x ^ y t¡ 6 [xi_1; x i],

2.10.1 A P R O X I M A C I Ó N P O R R E C T Á N G U L O S

Sea /: [a; b] -> E una función continua.

Sea P = [ x0 = a , x 1, x 2, . . . ,x n = b } una partición de [a; b ] de tal manera que el

intervalo [a; b] quede d iv id ido en n partes iguales. L a longitud de cada uno de los subintervalos es

b - aAx = --------

n

S e a y¿ = / ( * , - ) , i = 0 , 1 , 2 , . . . , n .

Cada una de las sum as

y 0 Ax + y xAx + y 2 Ax + ... + y n. xAx

y xAx + y 2 A x + y 3A x + ... + y nA x

expresa aproximadamente la integral

í f ( x ) d x

Luego,

[ f ( x ) d x s A x ( y 0 + y ! + y 2 + + y,,^ !) ( 2 0 )Ja

í f ( x ) d x = Ax ( y x + y 2 + y 3 + - + y n ) ( 2 1 )Ja

Teniendo en cuenta que y kAx es el área algebraica del rectángulo de base A x y

altura y k , en la figura 2.18 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica

es la aproxim ación del valor de /a&/ ( x ) d x usando la fórm ula 19.

E l error que se comete al calcular el va lor de la integral por la fórm ula de los

rectángulos (19) ó (2 0 ) es m enor cuanto m ayor es el número n.

2.10 CÁLCULO APROXIM ADO DE LAS INTEGRALES DEFINIDAS



I n este caso, se usan trapecios rectangulares en lugar de los rectángulos

tunsiderados en el ítem anterior. Sean los puntos P0( x0; y 0), Pi ( x1; y 1), ... ,

/;,(.Y„;y„), donde x 0, xn , y 0, yi,..., y n han sido definidos en el ítemanterior. Consideram os los n trapecios rectangulares 71,7 2l . . . ,7n que están

lim itados por las cuerdas , P1P2, Pn-í^n respectivamente. C o m o las.ucas algebraicas de estos trapecios son, respectivamente, ¡guales a

yo + y i A y i + y z . y n-1 + y n .— -— Ax , — -— Ax , ... , ------ ------- Ax ; entonces

2.10.2 A P R O X IM A C IO N P O R T R A P E C IO S

b y ° + y i a , y i + y 2 A , , y * - i + y n .f { x ) d x - — - — A x H------- — A x H— H-------- ------ A xa ¿ ¿ ¿

f ( x ) d x = ¡ ^ - ^ 1 + y 1 + y z +■■■ + y n- l ^Ax (22)

l,n la figura 2.19 se muestra el polígono rectangular cuya área algebraica es la

aproxim ación del va lor de f ( x ) d x usando la fórm ula 2 2 .

Igual que en el caso anterior, cuanto m ayor es el número n, es mejor la

aproxim ación al va lor de la integral.

Fig. 2 .19


P rop o s ic ió n 5. Sea g ( x ) = A x 2 + Bx + C , donde x 6 [a; b ] , y 0 = g ( a ) ,

( a + b\yi = s ( — 2 ~ J ' y 2 = 9 Entonces

A x , b — a

TÓPICOS D E C Á L C U L O - V O LU M E N II

2.10.3 APROXIM ACIÓN PO R PARÁBOLAS (FÓRM ULA DE SIM PSON)

/* A xI G4x2 + B x + C )d x = — [y0 + 4 y t + y 2] , donde Ax

Ja ^

D em ostra c ión

Por el segundo Teorem a Fundamental del Cálculo,

rb(.Ax2 + B x + C )d x =

(2 3 )

Ax3 B x2~ T + ~ + C *

Luego de efectuar las operaciones indicadas se demuestra que

fb Axj ( Ax2 + B x + C)dx = — [y2 + 4 y 1 + y 0].

Considerando esta proposición, si la parábola y = A x 2 + Bx + C pasa por los

puntos

/ a + b \P0(a-,y0) , Pi 2~ ¡ y i ) ■ p2( b; y2) .

entonces el área algebraica bajo la parábola está dada por (23).

Sea f una función continua en [a; b]. Para hallar una aproxim ación de f ( x ) d x , la idea básica es aproxim ar la gráfica de f por arcos de parábolas. Para esto,

d iv id im os el intervalo [a; b] en n partes iguales, donde n es par. Sean

{x 0, x 1, x 2, ...,xn } los extremos de los subintervalos, y y¡ = / (x ¡), i = 1,2 , ...,n.

E l área algebraica bajo la parábola que pasa por los puntos ( x 0 ; y 0), ( x ^ y - J

Y i x 2; y 2) está dado por ( y 0+ 4 y 1 + y 2)A x/3 . A s í m ism o, el área algebraica bajo

la parábola que pasa por los puntos ( x 2; y 2), ( x 3; y 3) y ( x 4; y 4) , está dado por

( y 2 + 4 y 3 + y 4)A x / 3 y así sucesivamente, hasta llegar al área algebraica bajo la

parábola que pasa por los puntos (x n _ 2; y n_ 2) ' ( X i - n 'y n - i X (x n ;y„ ) está dado

por ( y n- 2 + 4 y n _! + y n)A x/3 .

Por tanto,

f b Ax „ A x , . AxJ f { x ) dx = — (y0 + 4 y x + y 2) + — (y2 + 4 y 3 + y 4) + + — (y„_2 + 4 yn_ 1 + yn)

f AxJ f ( x ) dx s — [(y0 + yn) + 2 (y2 + y 4 + ... + y n_2) + 4 (y t + y 3 + ... + y n- i ) ] (24)

Esta fórm ula es llamada fó rm u la de S im p son .


INTEGRAL DEFINIDA

E jem p lo 41. Para n = 10, calcule por aproxim ación el va lor de

"1 4 dxf 1 4 dx

J0 1 + X 2

So lu c ión

Si n = 16, entonces Ax - (1 - 0 )/ 1 0 = 0,1.

x í f ( x \ _ 4x i / ( *« )' C 1 + x 2

oiloX

O (i

1 4*

1 O

1X (y = 0 ,6 y 6 = 2 ,9 4 1 1 7 6 4 7

x i = 0 ,1 y x = 3 ,9 6 0 3 9 6 0 4 1! o Vj

y 7 = 2 ,6 8 4 5 6 3 7 5

x 2 = 0 ,2 y 2 = 3 ,8 4 6 1 5 3 8 4 * co II O 00 y 8 = 2 ,4 3 9 0 2 4 3 9

x3 = 0 .3 y 3 = 3 ,6 6 9 7 2 4 7 7 x 9 - 0 ,9 y 9 = 2 ,2 0 9 9 4 4 7 5

x4 = 0 ,4 y 4 = 3 ,4 4 8 2 7 5 8 6

T“lIIO*

o II NJ O

x 5 = 0 ,5 ys = 3 ,2

Por la fórm ula (20) (aproxim ación por rectángulos),

í 1 47 T T T dx = 0 , í [ y 0 + Vi + y 2 + ■■■ + y 9] = 3 ,2 3 9 9 2 5 9 8 9

-'o + x

Por la fórm ula (21) (aproxim ación por rectángulos),

- i 4f 4

i Í T ^ dX - 0,1 [}>1 + y2 + ■ ■ ■+ y 9 + y io ] = 3 ,0 3 9 9 2 5 9 8 9

Por la fórm ula (22) (aproxim ación por trapecios),

4--dx = 0,1

í r = 3 ,1 3 9 9 2 5 9 8 9+ x 2

Por la fórm ula (23) (aproxim ación por parábolas o método de Sim pson),

f 1 4 0,1 r

J i + x z dx ~ ~ 3 ~'-y° + y i ° + 4(-y i + y 3 + y s + y ? + y ^ ++ 2 ( y 2 + y 4 + y 6 + y 8)] = 3 ,1 4 1 5 9 2 6 1 4

Este últim o valor com parado con el valor real de la integral

"1 4 dx= n = 3 ,14159265 ..

í 0 1 + * 2

es exacto hasta la séptima cifra decimal.


Calcule los valores aproxim ados de las siguientes integrales:

f dx1. I — , po r la fórm ula de los trapecios y la de S im p son (n = 2).

R. 1,6182 y 1 ,6098 respectivamente

r 2 dx2. — , p o r la fórm ula de los trapecios y la de S im p son (n = 10).

'i xR. 0 ,69377 y 0 ,69315 respectivamente

3 . í V 1 —x } d x , p o r la fórm ula de los trapecios (n = 6 ).■'o

R. 0,8109


EJER C IC IO S

f 3 dx4. , p o r la fórm ula de S im p son (n = 4).

Ji 2 x - lR. 0,8111

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3t i*

<......... 1 - ...................... • " ^

INTEGRALES IMPROPIAS

En la defin ición de la integral definida í f { x ) d x , fueron establecidas ias dosJa

restricciones siguientes:

I o E l intervalo / = [a-,b] es acotado

2 o / es acotada en /D

Ahora trataremos de librarnos de estas restricciones, extendiendo el concepto de

integral definida al caso en donde el intervalo de integración es infinito o el caso

en donde la función del integrando / presenta discontinuidad infinita en [a; b].

Las integrales que tienen estas características se llaman in tegrales im p ro p ia s y son de dos tipos:

T ip o 1: Integrales im propias con límites infinitos.

T ip o 2: Integrales im propias con límites finitos (con discontinuidades infinitas).

3.1 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S I N F I N I T O S

D e fin ic ión 1. Sea / :/ = [a ;+ o o ) -* R una función continua en el intervalo /.

La integral impropia de / de a a +co se denota y se define como

í f ( x ) d x = lím f f ( x ) d x Ja t~’+ ' Ja

r+CO

Se dice que la integral im prop ia I f { x ) d x c o n ve rg e cuando el lím ite existe.•'a

S i el límite no existe o es infinito, se dice que la integral im propia d iverge.

Observación 1. Como vimos en el capítulo anterior, si f (x) > 0 , la integral

def i ni da I f ( x ) d x represen ta el área de la región plana lim itada por

la gráfica de f , el eje x y las rectas verticales x = a y x = t. Luego, cuando Ia integral impropia es convergente podemos interpretar que el valor de la integra! es el área de la región plana infinita que se encuentra a la derecha de la recta x = a y está comprendida entre la gráfica de f y el eje x (Fig. 3.1).

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TÓPICOS DF C A I C U I.O - VO I I 'M F N II

Fig. 3.1 Fig. 3.2

D e fin ic ión 2. Sea /: / = (— °°;b] -» R una función continua en el intervalo /.

La integral im propia de / de — oo a a se escribe y se define com o

" b r b

í f ( x ) = l‘m í f { x ) d x J—00 t-»-00 J

S i este límite existe, se dice que ¡a integral impropia es convergente; en caso

contrario se dice que es divergente.

Por otro lado, si f ( x ) > 0, V x e / y la integral im prop ia I f { x ) d x converge,j — 00

entonces el va lor de la integral representa el área de la región plana infinita

ubicada a izquierda de la recta x = b y está lim itada por la gráfica de. / y el eje x

(Fig. 3.2).

D e fin ic ión 3. Sea /: E - * K una función continua en el intervalo { -o o ;+ c o } .

L a integral im propia de f de — oo a + co se escribe com o

r + 00 f b r + co

I f ( x ) d x = I f ( x ) dx + I f ( x ) dxJ — 00 J — OO J b

donde b es cualquier número real.

, . + 0 0 r b

La integral im prop ia f ( x ) d x es c o n v e rg e n te si tanto I f ( x ) d x como J — 00 —00

í/ (x ) dx son convergentes, y es d iv e rg e n te si a lguna de las integrales

impropias del lado derecho diverge.

E je m p lo 1. Determ ine si la integral | (x - 2 ) e xdx converge o diverge.J-00

So lu c ión

En esta integral se aplica la integración por partes con u = x — 2 y d v = e xdx.



De la defin ición de la integral impropia, se tiene

[ (x - 2 ) e xd x = lim f (x - 2) e xd x = lim [(x - 2 ) e x- e x]2 ■Leo t-f-CO Jt t->-CO t

= lim [ - e 2 - ( t - 2 ) e t + e c] = - e z - lim (t - 2 ) e ct —* — oo

El últim o límite es de la form a 0. Ap licando la R eg la de L ’Hópital, se obtiene

0t - 2 1

lim (t - 2 ) e c = lim — — = lim -----t-*—oo t -+—co Q 1 t - » - c o — Q ~

Por lo tanto, conclu im os que

r 2

(x - 2 ) e xd x = - e 2fJ — (

En conclusión, la integral im propia es convergente y converge a — e 2.

r+°° ^ _j_ 2XE je m p lo 2. Determ ine si la integral —— — — - d x converge o diverge.

x "f- 3x 5So lu c ión

+0° x 2 4- 2x

i x 3 4- 3 x 2 4- 5dx

i r +0 lim -

t->+cc 3 J13x2 + 6x 1 t

d * = x lim [ln x 3 + 3 x 2 + 5|] x 3 + 3x2 + 5 3 t-*+oo J 1

1 1— lim [ln| t 3 4- 3 t 2 4- 5| - ln 9] = ~ ( + o o ) = + o o 3 t-»°° 3

Por tanto, la integral im propia dada diverge.

r + CO

E je m p lo 3. Ca lcu le -------- rd x .L o o 1 + X 2

So lu c ión

E lig iendo b = 0 , se obtiene

r +0° dx _ r° d x r +co J_ 00 1 + X 2 ~ J_!x¡1 + X 2 + Jg 1

' r° dx f b dx= lim -------7 + lim ------- 7

a->-oo J 1 + X 2 b-*+oo J 1 + x 2

dx+ x 2

.y = 1 + x2

Fig. 3.30 b = lim [arctan x] 4- lim [arctan x]a-> -°O a b-* + co o

= lim [arctan(a)] 4- lim [arctan(b)] = - ( — rr/2) 4- n / 2 = na->-co ö-»+oo

[ +°° dxPor lo tanto, la integral im prop ia I ------- - es convergente y converge a n

J-oo i + x l1

En la Fig. 3.3 se m ue stra la gräfica de f ( x ) = + x 2 ■


f axE je m p lo 4. M uestre que la integral I — converge si p > 1 y d iverge si p < 1.

J\ x

f cd x _

J i xp ~ —p + 1

So lu c ión

Para p 1, se tiene que

Luego,

C+codx fa) Si p > 1 , — = lim

XP t^ + QO

y la integral considerada es convergente.

/•+cod x r É d x t 1'?b) Si p < 1, I — = lim — = lim

Jj x p + x p + °

y la integral considerada es divergente.

rt dx — = limXP Í-.+CO

1

(1 - P ) t p -1 1 - p . p - 1

1 - p 1 — p= : 4-00

c)f +” dx r £dx

Si p = 1 , I — - = lim I — = lim [lnJj XP t->+co X t-*+00

y así la integral dada es divergente.

t] = + C

En resumen.■/; xP

es convergente si p > 1 y divergente si p < 1 .

3.2 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N L Í M I T E S F I N I T O S

D e fin ic ión 4. Sea /: I-» R (donde I = [a; ó » una función continua en / y

lim / ( x ) = co. La in tegral im p ro p ia de / de a a b se define com ox-*b

f f ( x ) d x = lim í / ( x ) d x Ja t-*»' Ja

S i el límite existe, se dice que la integral im propia es convergente; en casocontrario se dice que es divergente.

L a defin ic ión dada también es equivalente a

r b r b - E

I f { x ) d x = lim I / ( x ) dx Ja E" 0+ Ja

Si / ( x ) > O, V x £ [ a ; b ], y la integral im prop ia I / ( x ) d x es convergente, el

valor de esta integral representa el área de la región infinita lim itada por la gráfica

de /, el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.4).


a t

Fig. 3.5

D e fin ic ión 5. Sea /: / - * E (donde / = (a; b ]) una función continua en / y

J im / ( x ) = oo . La integral im prop ia de / de a a b se escribe com o

f f ( x ) d x = lim í / ( x )d x Ja a A

S i el límite existe, se dice que la integral im propia es convergente; en caso

contrario se dice que es divergente.

La defin ic ión dada también es equivalente a

r b r b

I f ( x ) d x = lim I f ( x ) d x Ja e~>0 Ja+e

Si / ( x ) > O, V x e [a; ¿ ] y la integral im prop ia I / ( x ) dx es convergente, el va lor

de esta integral representa el área de la región infinita lim itada por la gráfica de /,

el eje x y las rectas x = a A x = b (Fig. 3.5).

Definición 6. Sea f : I -» E (donde / = [a; £>]) una función continua en / , excepto en algún punto d G (a; b) en donde lim / ( x ) = o o ó lim / ( x ) = oo.

x-*d +Entonces se define

f f ( x ) d x = í f ( x ) d x + í / (x )d x• 'a • 'a Jd

r b f d r b

l.a integral im prop ia I f ( x ) d x es convergente si tanto I f ( x ) dx com o I f ( x ) dx ja 'a Jd

son convergentes, y es divergente si a lguna de las integrales im propias del lado derecho diverge.


Observación 2. Si la función f definida en (a; b) (a puede ser — oo y b puede ser + 00) tiene dentro del intervalo (a; b) un número finito de puntos de discontinuidad infinita c1(c2, ....,cn , entonces la integral de la función f en (a; b) se define como

f f ( x ) d x = f f ( x ) d x + f f ( x ) d x + . . . + f f ( x ) d x• 'a *a *Cx cn - i

siempre que cada una de las integrales impropias del segundo miembro sean convergentes. Si p o r lo menos una de las integrales diverge, entonces

f bI f ( x ) d x tam bién d iverge

Ja

f 2 dxE je m p lo 5. Determ ine, s i existe, I —

J1 V x - 1So lu c ión

1La función / ( * ) = — .- es continua en (1; 2] y lim f ( x ) = + 00.

Luego,

/ = [ = lim í = lim Í2V x - 1 ] 2 = lim Í2 - 2V t - 1 1 = 2

Por lo tanto, la integral im propia / es convergente y converge a 2.

f 1 dxE je m p lo 6 . M uestre que la integral I — converge si 0 1 .

So lu c ión

a) Para 0 o+

t i - P

1 - p 1 - p

y la integral considerada es convergente.

1 - p

f * dx f * dxb) Para p = 1 , I — = lirn — = lim ( - ln t) = +00

J0 x t-*o+ x t-o+

y la integral dada es divergente.

[ ' d x f 1d x 1 1c) Para p > 1 , I — = lim I — = lim

J0 x p t-»o*J t xP t-o+( p - l ) t P - 1 p - 1+00

y la integral es divergente.

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/■*/«Ejemplo 7. Calcule, s i existe, la integral I cot 9 d.6.

■ '-fr/4So lu c ión

Se observa que la función / ( f l) = cot 6 = tiene d iscontinu idad infin ita ensen 8

9 = 0. A s i, la integral dada se escribe como

r* r/ 4 r 0 r ít/ 4

I cot 8 d.8 = i c o t 9 d8 + cot 8 d8 J - n/4 J - n / 4 Jo

Puesto que la integral

í cot 8 dd = lim í cot 8 d8 - lim [ln|sen 0 | ] I l M J —n / 4 e - 'O + J - n / 4 ^ 0+ '

- J[im+ [ln| -sen (e )| - ln ( V 2 / 2 )] = -o o

es divergente, entonces la integral dada también es divergente

r o e i/x

Ejemplo 8. Calcule I — j~dx (si existe). J x

So lu c iónC

La función f ( x ) = — tiene d iscontinu idad infinita en x = 0. Entonces, u sando el x

método de integración por partes, se obtiene

r0 gl/X f-£ p i/x r -1

' ■ - 1 ■ - [ei / * _ _ ei/*lX

2

r e f ~ £ e 1/x r— z - d x = lim I — j - d x = lim e

J_! Ï 3. £->0 +J_! X3 £->0+1

— lim + - e _1/£ - 2 e ' £-*0+ L £

e _1/£ 0NOTA: El lim ite Um+ — -— es de la form a - . Ap licando la Régla de L’Hôpita l,

résulta

e -1/£ 7 - l / e 2 îlim ,--------= lim — T7- = l i m -------------r-4 = 0

£-♦0i — u n i — t t = n m -------------2—* ■+ e £-*o+ e1'* £-*0+ei/£^_

+ 00 dxEjemplo 9. Calcule, s i existe, I

J - c o ¿ )

Solución

La función / (x ) = — — — tiene d iscontinu idad infinita en x = 0 y x = 2.x{x - 2) 3

E lig iend o los puntos * = - l , x = l y i = 3 , la in tegral dada se escribe


r + " d x _ r -1 dx r° dx r 1 d x r 2 dx

J_M x ( x - 2 ) J_m x ( x - 2 ) + J_t x ( x - 2 ) + J0 x (x - 2 ) + Jx x ( x - 2)

J, x (x - 2) J3

’3 dx f + ” d x

i2 *(* - 2) J 3 x ( x - 2)

Puesto que la integral

limt->0-

rt d t

J-i 0 ~ 1)2 _

limr l

2 ln

t - 2

t-

= lim1

2 ln

x - 2

-ln 3 = 4-00

dxes divergente, entonces la integral I —-------— es divergente.

J —oo X(.X — ¿ )

E je m p lo 10. Determ ine el va lor de n para el cual la integral im propia

-+ » / « 3X x

[ ( —J, Vx + 1dx

2 x 2 + n )

es convergente. Adem ás, calcule la integral para dicho valor de n.

So lu c ión

A l aplicar la defin ición de la integral impropia, se tiene

f +co / n 3 x \ n 3 x \

l V ÍT Í " 2 x 2 + n ) dX ~ I t n ~ 2 x 2 + n )dx

lim t-* + 00

ln(t + l ) n

ln -2n

C om o

(2 t 2 + n ) 3/4 (2 + n ) 3/4J

( t + l ) n( f + 1) nlim =--------T77 = lim .....— --------------------------------t^+co ( 2 í 2 + n ) 3/4 V 8 Í 6 + 1 2 n t 4 + 6 n 2t 2 + n 3

3 3entonces este lím ite existe cu an d o n = - ó n < -

a) Si n = - , lim2 t-»+oo

b) Si n < - , lim2 t —*+oo

ln

2 5/2

( t + i r i - ' - i — 3( 2 t 2 + ± ) 3/y \ ( 2 -f-|)3/4;

3 7 3= 7 ln 7 _ o ln24 4 2

, ( t + 1 )" , 2 " ln — ------- TT7T - ln -

(2 t 2 + n ) 3/4 (2 + n ) 3/4

3 3 7 3Por tanto, el va lo r de n es - y d va lo r de la integral es - ln — — - ln 2.

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Determ ine si las siguientes integrales son convergentes o divergentes. S i es convergente, calcule su valor.


E JER C IC IO S

r + 0 01. I sen x d xí

ír + 00

3 - I e ~ * dx R. iJ o

f +c°4. I \x\e x dx R' i

J — 03

r+OO .

2 - 1 P « *

5

6 . r *J O Ve*

r +0° d x

J-co 4 x 2 + 1

9./• +00

J o l

dx

n .- 2

17 rJ0 1 + cosx diverge

i?, diverge

f ' dx 5 V 4' 1 ( * - 2 ) 3 / 5 r

fi. 2

r 1 d x7' J 3 fi- diverge

n

* * 2

x d x ifi- —(x2 + 9 ) 2 l a

'» ■ / , * .J0

r — ~J-2 VxTT

7T

V 9 ^ 2

0 dxfi. O


/ • i g i / x13. J —— R. d iverge

J o x


r +“ d x

14- { ^ R - 100

r /2 dxI í— Rú diverge

J q 1 — ~sen a:

r+" x 5 dx (1 + x 3) 7/4

r ..16- I d iverge

r +0° d x17. — — - ---------------------------------------------------------------- - R. n

J-o* * '2 + 2x + 2

r+OO

f +0° a19. I e a* eos fax d x R. t (a > 0)

'o

f +0° a rc ta n x

21' J P

? í +0° d *Jn X 3 + 1

18. í e-a*sen bx dx R. —— — (a > 0)J0 a ¿ + o ¿

a 2 + fc2

+" d x 7T

x V x 2 — 1 2

•+0° d x 2 tt22. — — - R.

2V 3

r 1 d x23- J„ *• ‘« ''“ se

r + c o

24. í e -|x| d x R . 2J — 03

25. J V i + x “2/3 d x /?. 2 ( 2V 2 — 1)


r+ca

26. I xJ — OO

+ 00

2e ~x3 dx


f —X — ¿JL27- I u. ;------ 7T~ d x

J o

r+“ — 1 — 2x3 x 2/3(x - l ) 2 '

dx28

■/:

29. /_

3o - c

| V F + T |

+0° dx _œ e* + e~x

1 ( I - * 3) 1' 3dx

[ +0° x3 1 - -------i d xJ -œ 1 + x 4

32. J

-00

-1 dx ,2 x 3( l + x 3) 4/3

„ lr+"Vxr=T3H — dx

r+œ dx35. '/

•'0 (a2+fc2)(è2 + x2)

r-+00f36. e d x

* — 00

( a a i - e37. — =

Jo V a 2 -

38. f Jo

4 dx

V4x — x 2

fi. d iverge

fi. d iverge

fi. 3

fi. d iverge

fi. 0

fi. diverge

fi. diverge

________ _2ab(a + b)

fi. 1

f i . 7T


f n sen 6 dd r- .39. —............... R. 2V2

J0 VI + eos 9

r 4 x dx40. , R. 4

Jo V l6 — x 2

f 1 d x41. ------------------------- R. n

Jo V x ^ x 2

x 5 442. d x R. - -

■/-iV TT ^ 3 9


r+0° x 5 dx 5 V 244 ----------------- /?. ------

1 ( 1 + x 3) 5/ 2 18

' s d x

l ) ( x ~ 8x + 15)4 5- f o.. . ^ diverge

: 2 x 3 dx 1924 6 ‘ 1 = R' ~3S

2

r ¿ x á dx

Ji Vx - 1

r + C O

7. x 2 Jo

- + c o

47. I x 2e~3* dx27

f 4 dx48. —------ /?. diverge

Ji x 2 - 4

<•+00

49. x ne~x dx R. niJo

r +00co sx /Tf f +0° s e n x50. Sabiendo que I — p - d x = I— , halle el valor de la integral I ,— dx.

Jo Vx n 2 J0 V x3

/?. V 2 tt

dx5 1 . Muestre que I —------ converge si 0 1.

'•+00 dx52. Si G (a ) = ^ - + x a ) X( 1 + x 2 ) . ca lcu leG (0), G ( 1), G(2).

/?. 7t/ 4 ; nr/4; tt/4

f +°°senx t í f +0° se n 2x53. Sab iendo que I ------- d x = — , calcule el va lor de I — r — dx.

J0 x 2 J0 x 2

R. n /2

54. Esboce la gráfica de la función F ( x ) = I f ( t ) d t en los s igu ientes casos:J — 00

si |t| > 1

( 1 , si t < 1

b) m = | i2 , Si | t | > 1

55 Sea f ( x I - í ™ * * ’ SÍ |x| ~ 355. Sea / ( x ) - ^ s i W > 3

f+co 1Determ ine m de m odo que I / (x )d x — 1. R. m = —

J-œ 18

3.3 I N T E G R A L E S I M P R O P I A S C O N I N T E G R A N D O S N O N E G A T I V O S

P rop o s ic ió n 1. Sea / una función no negativa en [a ; b ) (esto es, / ( x ) > 0) e

integrable en [a; t] para todo t 6 [a; b).

Si la función F ( t ) = I / ( x ) d x es acotada en [a; £>), entonces I / ( x ) d x converge.• 'a Ja

D em ostra c ión

Com o / ( x ) > 0, V x £ [a; fe), entonces F ( t ) = I / ( x ) d x es creciente en [a; 6).Ja

Por hipótesis, F ( t ) es acotada. Entonces F ( t ) es creciente y acotada en [a; b).

Por tanto, lim_ F ( t ) existe y es finito, es decir, I / ( x ) d x es convergente, t— /• 'a

Proposición 2 (C riterio de C om paración)

Sean / y g funciones tales que 0 < / ( x ) < g ( x ), para todo x e [a;b ), e

integrables en [a; t], V t e [a; b). Luego,

a) Si I g(x)dx converge, entonces I / (x )d x converge.• 'a “' aJa

b) Si I f ( x ) d x diverge, entonces s ( x ) d x diverge.• 'a *'a

Dem ostración

Se sigue inmediatamente de la proposición 1 y de la desigualdad

í f ( x ) d x < í g ( x ) d x , V t 6 [a ;b )• 'a ■'a

f +0° dxEjemplo 11. Verifique si J 4^ " i converge o diverge.

Solución

1 1 r , f +codxCom o 0 < ----- < — , M x £ [2; + 00), y — - es convergente (ver

h x 6

dx

2 x - V l + :

'2

f +°° dxejemplo 2, p = 6 ), entonces se concluye que J ——j = = = es convergente.

f 1 dxEjemplo 12 . Analice el com portam iento de la integral , = .

Jo V x 2 + 2x

Solución

1 1 , , f 1 * ' , Com o 0 < - < - = , V x £ (0; 1], y - p es convergente (ver ejemplo

V x 2 + 2x V x Jo V x

f 1 dx4, p = 1/2 ) , se concluye que es convergente.

Jo V x 2 + 2x

f -3 dxEjemplo 13. Verifique si . „■= es convergente o divergente.

V x 2 + 3 x + 2

r 3 dx

i-o, V x 2 + 3 x + 2Solución

I

1 1 f 3 d x- <x V x 2 + 3 x + 2

3 d x

í dxCom o 0 < — < — - , V x £ ( - 00; - 3 ] , y ---------------------- diverge, entonces

j -00 *

Vx2 + 3x + 2es divergente.

rbIN T EG R A LES IM PR O P IA S

Definición 7. Se dice que la integral impropia f f ( x ) dx es ab so lu tam en te

b

co n v erg en te cuando I |/ (x ) |d x es convergente.Ja

P rop osición 3. Si la integral I /(x )d x es absolutamente convergente,Ja

entonces es convergente.DemostraciónComo 0 < | / ( x ) | — f ( x ) < 2 |/ ( x ) | , se sigue, por la proposición anterior, que l / M I —/"(■*) es convergente. Luego,

r b r-b r b

I /(x )d x = I |/ ( x ) |d x — I [ |/ (x ) | - / ( z ) ] dx converge Ja Ja Ja

f +coCOS O 2)Ejem plo 14 . Analice sí I -------— dx es convergente o divergente.

Ji xSoluciónLa integral dada es absolutamente convergente, pues

eos (x 2) 1 r * f +c° d x< — , V x e [1 ;+ c o > , y la integral — es convergente.

* J i x

f +° ° c o s ( x 2)Luego, por la proposicion anterior, I ----- -— dx es convergente.

J l X

Proposición 4 (C riterio del Lím ite)Sean / y g funciones no negativas integrables en [a; t], V t 6 [a; b), y supongam os que

mlim — — = r .x-*b- g (x )

i\) S i 0 < r < +oo, entonces las integrales im propias •

F = í f W d x y G = í g ( x ) d x Ja Ja

son ambas convergentes o ambas divergentes.

b) S i r — O y G converge, entonces F converge.

c) S i r = ± oo y G diverge, entonces F diverge.

Dem ostración, (ejercicio para el lector).

C o ro la r io 1. Sea f una función integrable en [a; t ] , V t G [a; + 00), y

supongam os que lim x p/ ( x ) = r < + 00.X->+oo

Luego, se tiene:

a) Si p > 1, entonces Ja+°°/ (x )d x converge.

b) Si r 0 y 0 < p < 1, entonces f ( x ) d x diverge.

C o ro la r io 2. Sea / una función integrable en [a; t ] , V t 6 [a; b), (b e l ) y

supongam os que lim (b - x ) p/ ( x ) = r < + 00.x-*b

Luego, se tiene

a) Si 0 1, entonces I / ( x )d x diverge.Ja


r ” d *E je m p lo 15. Analice si ----- ----- converge o diverge.

h x 3V 4 x 5 + x 3 — 1Solución

Considerando que

lim x 11/2----- , ..... - -.......— ■ = — (en este caso p = — >X - . + 0 0 x 3 V 4 x 5 4 - x 3 — 1 2 \ 2 /

r +0° d xse concluye, p o r el corolario 1, que la integral I -----converge.

J2 x 3V 4 x 5 + x 3 — 1

f 5 dxE je m p lo 16. Verifique si I — 2---------- ,2 converge o diverge.

^2 ^ )Solución

1 1Teniendo en cuenta que lim (x — 2 )3/2 ■ ------- - ------- t t t t t = — 7= (en este

M J (x - 2 )3/2(x + 1 )3/2 3 ^ 3

caso p - 3/2 > 1), la integral es divergente (se usa el corolario análogo al

corolario 2, reemplazando (í> - x )p por (x - a )p).

f°lice si IJ — oo

x dxEjem plo 17. Analice si j p = = = = = = ^ = converge o diverge.

V 2 x 9 4- 8 x — 10 Solución

x 1La in tegral converge, pues lim x • , -------- - (b = 2 > 1).

* - *+ “ V 2 x 9 + 8 x - 10 V 2

1IN i tOKALhb lívlrKUrlAÍS

EJERCICIOS

Analice la convergencia o d ivergencia de las siguientes integrales impropias.

" +0° dx1.

J 2ídx

x 2 + 3x + 4

r+CO (x + l ) d x

x 3 - 1

+0° x + 3

■ l

X3 + X2

+0° dx

c3 Mx2 + 4

2 V x 2 - 1

dx

> 1

o x 2 Mx2 + X + 1

+” e -2* d x

x 2 + 3 x + 5

/?. converge

/?. converge

/?. converge

í x + 34- J X4 + x dx R- converge

' í R. converge

r +0° x 3 + 1

7- J2 j^ n r j dx R ■ diverge

R. diverge

R. converge

r-ruo10. e _Arse n (x 2)d x R. converge

r + 0 0

11. I e~x dx R. converge0

f +" dx12 ' i x 2( i + e x) R; ¿o n ve ree


14 f 3 * 3 + L dx R. converge

’ h 4 ^ 1


i , f S d x R. converge' J4 xV 2 5 ^ F

15. f x s e n ’ Q d x R. converge

l"1 _______ ^ _______ R. converge

r 1 se n (x 3)d x R converge

17 - í r *

18 f ' _ i ---- dx R. convergeJo "i-

r +co rlv9n .______________________ R. converge

J1 x4 + 5x3 +x2 +x + l

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(F' APLICACIONES DE 'tts

LA INTEGRAL DEFINIDA

Hn este capítulo abordaremos algunas aplicaciones de la integral definida a ios problemas geométricos, fís icos y económ icos.

4.1 Á R E A D E R E G I O N E S P L A N A S

C A S O I: Sea /: [a;b] -» IR una función continua y f ( x ) > 0, V x 6 /. De la

interpretación geométrica de la integral definida se sigue que el área de la región

R lim itada por la gráfica de /, el eje x, las rectas x = a y x = b (F ig. 4.1) está

dada por

A(R) = f ( x ) d x ^ u 2

C A S O I I : Sean / y g dos funciones continuas en [a \b ] y g ( x ) < f ( x ) ,V x £ [a; b]. E l área de la región í l lim itada por las rectas x = a A x = b y

las gráficas de / y g (F ig. 4.2) está dada por:

A ( n ) = ( í [ f ( x ) - g ( x ) ] d x ) u 2

Para demostrar esta fórmula, considerem os el número real k tal que k < g ( x ) ,V x £ [a; b].

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Efectuando una traslación de ejes al origen 0 ' ( 0; fc), las nuevas ecuaciones de las

curvas y = f(_x), y = g ( x ) y de las rectas x = a y x = b son,

respectivamente, y x = f ( x ) — k , y x — g ( x ) - k , x = a y x - b (por las

fórm ulas de traslación y x — y — k A x x — x). Por lo tanto, en el nuevo sistema

cartesiano x 10 ' y 1 se verifica

0 < g ( x ) — k < f ( x ) - k , V x e [a; b]

Luego, teniendo en cuenta la fórm ula del caso I, se tiene

Observación 1. Si la región R está limitada por las gráficas de x = / (y ) ,

x = g (y ), las rectas y — a A y — b (Fig. 4.3), donde f y g son funciones continuas en [a; b] y g ( y ) < / ( y ) , V y E [a; b], entonces el área de la región R es

a

y - o

Fig. 4 .3 Fig. 4 .4

E je m p lo 1. Ca lcu le el área de la región lim itada por

71y = sen x , x - 0 , x • y ~ ®

So lu c ión

De la defin ición dada en el caso 1 y de la figura 4.4, se obtiene

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

I ¡implo 2. Calcule el área de la región S limitada por2 |x |

y , el eje x y las rectas x = — 2 y x = 11 + x 2 Solución

l'itr la definición de valor absoluto, se tiene que

r - x , x < 0

U , . x > 0

A m , por la fórm ula dada en el caso I y la figura 4.5, resulta

- 1 2|x| ,

1*1 = { ;

x r o = [ j

f ° 2x f 1 2x= - ------- r dx + ------- Tdx

J-2 1 + x J0 l + x 2

= - [ l n ( x 2 + 1 ) ]° 2 + [ ln ( x 2 + 1) ] q = ln 5 + ln 2 = (ln 1 0 ) u 2

r.jemplo 3. Calcu le el área de la región lim itada por la parábola y = x 2 + 4x, el

eje x y las rectas x = - 2 A x = 2.

So luc ión

( »bservando la gráfica de la región (Fig. 4.6), se tiene que para / ( x ) = x 2 + 4 x se

m inple

/ ( x ) < 0, V x 6 [ - 2 ; 0] y / ( x ) > 0, V x 6 [0; 2]

l’or tanto, el área de la región pedida se descompone en la sum a de las áreas de las

regiones y R2, es decir,

A ( R ) = A ( R 1) + A ( R 2)

f0 f 2 16 32= - l ( x 2 + 4 x ) d x + I ( x 2 + 4 x ) d x = — + — • = 16 u 2

J-2 J0 J 3

E jem p lo 4. Halle el área de la región F lim itada por las gráficas de

y - x 2 , y — x 3 , x - - 1 , x = 2

So lu c ión

lin la gráfica de la región F (Fig. 4.7), se observa que

x 3 < x 2 , V x 6 [ - 1 ; 1] y x 2 < x 3 , V x e [1; 2]

Luego,

r 1 r 2 , 8 17 2 5 _A(F) = J ( x 2 - x )d x + J ( x 3 - x 2)d x = — + — = — u

I»TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II

E jem p lo 5. H a lle el área de la región lim itada por las gráficas de

y = a rc se n x , y = a rccos x , y = 0

So lu c ión

Las gráficas de las funciones y = a rc sen x y y = a rccos x están dadas en la Fig.

4.8. Aho ra bien, por la definición de las inversas de estas funciones, resulta

x = sen y < x = eos y , V y 6 [ü; - ]

Por consiguiente, el área de la región pedida es

,-71/4

,4 (12) = I ( e o s y - sen y ) d y = ( V 2 - l ) u 2 Jo

liste ejemplo se puede resolver usando a x com o variable independiente, esto es,

/•>/2/2 r 1/l(/2) = I arcsen x dx + f a r c c o s x d x

Jo J\/2/2

lis evidente que en este caso el procedim iento es m ás com plicado que el anterior,

por lo que recom endam os al lector escoger adecuadamente la variable

independiente antes de aplicar la fórm ula del área.

Kjcm p lo 6. H a lle el área de la región R lim itada por las gráficas de

y = 4 - x 2 , y = ln(2x - 3 ) , y = 1

So luc ión

I ;i gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.9. Por com odidad consideram os a

c o m o v a r ia b le in d e p e n d ie n t e , e s to e s , x = ^ 4 - y a x e y + 3-. Luego, se

obtiene

y - ^ y + ^ - y ) 3/2A( R) ~ l (L r ^ ~ J * : r y ) dy = Tey 3 2

I ji-m pío 7. Halle el área de la región R lim itada por las gráficas de

y = |x3 - 4 x 2 + x + 6 | , 3 y + x 2 = 0 , x = 0 , x = 4

So lución

I ti gráfica de la región R se muestra en la fig. 4.10 y su área de la región es

A (R ) = J j|x3 - 4 x 2 + x + 6¡ - y j j d x

f 4 í 4 x 2= |x3 - 4 x2 + x + 6| d x + — d x

Jo Jo 3

l'íii.i hallar la integral del valor absoluto, tenemos en cuenta que

|x3 - 4 x 2 + x + 6| = |(x + l ) ( x - 2 ) ( x - 3)|

[x 3 - 4x2 + x + 6, 0 < x < 2|x3 - 4 x 2 + x + 6| = •{ - ( x 3 - 4 x 2 + x + 6 ) , 2 < x < 3

3 - 4 x 2 + x + 6 , 3 < x < 4


Luego,

r 4

/ = í \x3 — 4 x 2 + x + 6\dx 'o

= í (x 3 - 4 x 2 + x + 6 )dx - f (x 3 - 4 x 2 + x + 6 )dx + f (x 3 - 4 x 2 + x + 6 )dx J o J2 h

_ 22 1 4 7 _ 71

_ T + 12 + 12 ~ T

Por tanto, el área de la región R es

2 ( r *u 1 1

71 6 4 341A (R )

4V2 64dx = -

E je m p lo 8. H a lle el área de la región í í que se encuentra en el primer cuadrante y

está lim itada por las curvas x y = 1 , x y = 3 , x - x y = 1 , x — x y = 3.

So lu c ión

Se verifica fácilmente que las gráficas de las curvas se intersecan en los puntos

>1(2; 1/2) , 6(4; 1/4) , C (6; 1/2) y D (4; 3/4)

La gráfica de la región Q se muestra en la fig. 4.11. Finalmente, el área de la

región Q es

A W = A W ¿ + M B O = [ [(i - i) - 1} i x + j ‘ | ■- (i - ;)

= (2 — ln 4 ) + ^6 ln — 2 j =

dx

7 2 9 .

I n 2 5 6 "


E jem p lo 9. H a lla el área de la región F, ubicada en el primer cuadrante y que está

limitada por las gráficas de y = x 2 , x 2 = 4y , x + y = 6.So lu c ión

La región F se muestra en la Fig. 4.12. L o s puntos de intersección de las curvas

en el primer cuadrante se hallan resolviendo simultáneamente los pares de ecuaciones:

y = x 2y


_ 6 _ x <=> x = 6 - x<=>x2 + x - 6 = Q=*x = 2 (para el p rim e r cuadrante)

y = x 2/ 4 y = 6 — x

.uego, el área de la región F es

y = 6 - x <=> — - 6 - x x - 2 4 1 - 2 (para el p rim e r cuadrante)

A(F) - A(Fi) + A(F2) = J ( x 2 - ^ x 2^Jdx + j ^ 6 - x - ^ j d x

1 1 = 2 + - ( 2 8 V 7 - 6 8 ) = - ( 2 8 a/7 - 6 2 ) u 2

K jem p lo 10. L a región F, lim itada por la curva y = 1 0 * - 5 x 2 y el eje x, es

d iv id ida en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen. Halle la ecuación de dicha recta.

So lu c ión

La región F se muestra en la Fig. 4.13.

La pendiente de la recta L que pasa por

el origen y por el punto (a; 1 0 a -.r>a2) es

1 0a — 5 a 2m = --------------- = 10 - 5a.

a

Así, la ecuación de la recta L es

y = (1 0 - 5 a )x .

I’or otro lado, el área de la región F es

20Fig. 4 .13

/K F ) = I ( 1 0 * — 5x 2)d x — -—u 2 J o 3

A(F) 10Ahora, com o F = F1 U F2,conA(F1) = A(F2), y A(Ft ) - —— = — , entonces

r a 5 10M F i ) = I [ ( 1 0 x - 5 x 2) - (1 0 - 5 a ) x ]d x = - a 3 = — = > a = V 4

JQ 6 3

l’or lo tanto, la ecuación de la recta L es y = (1 0 - 5 \Í4)x .

E je m p lo 11. U n a parábola de eje vertical corta a la curva y = x 3 + 2 en los

puntos ( — 1; 1) y (1; 3). S i se sabe que las curvas m encionadas encierran una

región de área 2 u 2, halle la ecuación de la parábola.

So lu c ión

Este problema tiene dos soluciones.

Primer caso: Cuando la parábola está por debajo de la curva y — x 3 + 2.

Segundo caso: C uando la parábola está por encima de la curva y = x 3 + 2.

P r im e r caso: Sea (Fig. 4.14) la región lim itada por la parábola buscada y la

parábola sem icúbica y = x 3 + 2.

Considerando que la ecuación general de una parábola de eje vertical es

y = A x 2. + Bx + Cy que los puntos ( — 1; 1) y (1; 3 ) pertenecen a dicha parábola, se tiene

1 = A - B + C ... ( a )

3 = A + B + C ... (/?)

Com o ^ C f i) = f (x 3 + 2 - A x2 ~ Bx - C)dx = 2 = > A + 3C = 3 ... (y )J-i

Reso lv iendo ( a ) , (/?) y (y ) se obtiene

B = 1 , A = 3/2, C = 1/2

Luego, la ecuación de la parábola es 2 y = 3 x 2 + 2x + 1.


Se cu n d o caso: Sea F-¿ U ig- l l í j región lim itada por ¡a parabola buscada y la

parábola sem icúbica y = x 3 + 2.

Com o A(F2) = j (Ax2 + Bx + C - x 3 - 2 )d x = 2 = > /I + 3C = 9 ... (A)

Reso lv iendo (a ) , (/?) y (A ) se obtiene que la ecuación de la parábola es

2y = 7 + 2x - 3 x 2.


K jcm p lo 12. Calcule, si existe, ei área de la región infinita com prendida entre ia

n irva ( 2 a - x ) y 2 = x 3, (a > 0) y su asíntota vertical.

So luc ión

I ;i asíntota vertical de la curva es x = 2a. En la fig. 4.16 se muestra la gráfica de l;i región infinita Q . Luego,


A(íi) --------- dx — 2 lim2a — X t->2a= 2 Í-'o

= 2 lim I —= = t_>2a Jo J a 2 —

- Í ' t Í,2a Jo V 2 ax — :-.dx

^ a 2 - (x - a ) :

I laciendo u — x — a se obtiene

: dx

A ( ü ) = 2 t lim _ a 2 ^ a r e s e n ( — ^ ~ ) - ^ (.* + 3 a ) v 'x ( 2 a - x )

= 2 «¿‘12- “2 [iarcse" ( - ir ) - ¿ (t + 3“)V«2a-t) +

= 2“2 ( t + t ) = (3,i“2)“2

Fig. 4 .17

K jem p lo 13. D ada la región infinita í í lim itada superiormente por x y = 1,

inferiormente por y x 2 + y - x - 0 y a la izquierda por x = 1; calcule su área si existe. ’

So lu c ión

La región Í2 se muestra en la figura 4.17 y su área requerida es

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I) Som bree la región Í2 lim itada por las curvas dadas y calcule su área.


E JE R C IC IO S

TI 711. y = cosx ,x = - - , x = - , y - 0 .

2. y = x 2 + 2 x - 3 , x = - 2 , x = 0 , y = 0.

3. y = 9 - x 2 , y = x 2 + 1.

4. yx - x

, y = 0, x = - 1 , x = 2.1 + x 2 '

5. y = 3 x - x 2, y = x 2 - x.

6. x = 0 , y = t a n x , y = - c o s x .

7. y = x 3 + x , x = 0 , y = 2 , y = 0.

8. y = ln ( x 2) , y = ln 4 , x = e.

9. x = ey , x = 0, y = 0 , y = ln 4 .

3 x10. y = a r c t a n x , y = a rccos — , y = 0.

11. y = a r e s e n x , y = a rccos x , x = 1.

3 2

22 ,/*. T u

6 4 . fi. y u 2

, n 1 8 \/?. (1 + - - arctan 2 + “

8 ,

R : 3 tt

, ( l1 8 \

- - ln — ) u 2 5/

5 2 R. - u 2 4

R. (4 - e ln 4 ) u 2

R. 3 u 2

/2 4 \ 2 f i - u 2 i )

». g - V l ) u 2

1 2 . y = x 3 - 3 x 2 + 2 x + 2 , y = 2 x 2 - 4 x + 2.

13. y = 4 - ln ( x + 1 ) , y = ln ( x + 1 ) , x = 0. R. 2 ( e 2 - 3 ) u 2

14. í í es la región encerrada por la elipse a 2x 2 + b 2x z = a 2b 2. R- nab

15. Í1 es la región de m ayor área encerrada por las curvas x 2 — 2 y 3 = 0 ,

x 2 - 8 y = 0 , y = 3. R■ ( _5_ + 5 ^ ) u2

16. í í es la región de m enor área lim itada por las curvas x 2 + y 2 = 2 0 ,

í 2 8\R. I 2 0 a re sen — - - J uy 2 = 2 x 3.

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17. í í es la región de m ayor área encerrada por las gráficas de S x 2 - 4 y = 0 y

la elipse cuyos focos son los puntos (0, ± 6 ) y cuya longitud de su eje menor

es R- V5 n — 9V 5 arcsen — —V V3 2 J

1 8 . y 2 ~ x = 0 , y - x 3 = 0 , x + y - 2 = 0 .

( 4 x - x z ( x 2 + 8 x — 40

l 9 - y = 4 ' . y = --------- 1 6 --------• * > - ‘ . R .1 7 u >x < 0 \ - 3 x - 1 6 , x < - 4

20. y ( x 2 + 4 ) = 4 (2 - x) , y = 0 , x = 0. /?, ^ _ l n 4 j u 2

2 1 . y = x 3 + x - 4 , y = x, y = 8 - x .

22. y — e x , y - e~x , x = 1. r e ~ ^


e4

u 223. y — 2 x + 2 , x = y 2 + l , x = 0 , y = 0 , x = 2. R. ( i s + í v ^

24. y = \ x ~ 2 \ , y + x 2 = 0 , x = 1 , x = 3. R — u 2' 6

25. y = y/'x2 - 3 , y = \x - 1|, y = 0. ^ ] n 3 - i ) u 2

26. y = |sen x| con x e [0; 2tt] , y + x = 0 , x - 2 n = 0. R. (4 + 2 n 2) u 2

x 2 - 427- y = ^ T _ 16 > x = - 3 ' X = 3 . y = 0.

28. y = arcsen x , y = arcco s x , x = 0. R. ( 2 - y j l ) u 2

29. y = arcsen x , y = a r c c o s x , y = 0. r_ (y¡2 - i ) u 2

30. y = x 3 + 3 x 2 + 2 , y = x 3 + 6 x 2 - 2 5 . r . 1 0 8 u 2

31. y = x 2 , y = 8 — x 2 , y = 4 x + 12. R. 6 4 u 2

32. y = x 2 , 2 y = x 2 , y = 2 x . K. 4 u 2

<3. y + * = o , y = [ / ( t ) d t , d on d e / ( í ) = í 3 f 2 1 f < 2 .Jo l — 2 t — 1 , t .> 2

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34. y = ta n 2* , y = 0 , x - — , x = 0.

35. x zy — 2 , x + y = 4 , * = 1 , * = 2.

36. y = x 4 , y = 8x.

37. y = x 3 - x , y = se n fa x ).

38. x = 4 y - y 2 , x + 2 y = 5.

39. y = se c 2x , y = ta n 2x , x = 0.

1

3 V 3 -7 T

40. y = , 2 y = x 2.1 + x 2

41. x 2 3 + y 2/3 = a 2!3.

8 a 342 . x = 4 a y ,

43. y = |20x + a: 2 - x 3\ , y - 0.

44. x = y 3 — 2 y 2 — 5 y + 6 , x = 2 y 2 + 5 y - y 3 - 6 .

V 345. y = a rc se n 2 x , x = — ■

J 4

46. y = x e 8_2x\ y = x.

47 y = ^ T 4 ' y = 0 , * = 0 ' x = 4 '

48. y = x 3e 8-2* 2, y - 4x .

4 9 , y = | j c - l | , y = x 2 - 2x , x = 0 , x = 2 .

R.\ ó

R. ( 9 / 4 ) u 2

R. (7 9 / 5 ) u 2

fi- ( í 4 ) " 2R. (3 2 / 3 ) u 2

« . ( í - i y

*■ ( I 4 ) “2

R. ( 3 n a 2/ 8 ) u 2

/?. 2 a 7r — •4a "

/?. ( 2 3 2 1 / 1 2 ) u 2

R. (2 5 3 / 6 ) u 2

'1 V 3R.

/?.

n u

R.e — 73

50. y = V x T T - Vx - 1, x = - 1 , x = 1.

51. (x + y ) 2 = 16x, 5x + y = 8 .

52. y = |x - 2| - |x - 6|, x - y = 4.

53. y = |x - 5| - |x + 3|, x + y - 2 - 0.

5 4 . y = sen x + |cosx|, x = - n , x - n , y = 0 .

R. (7 / 3 ) u 2

R. 3 V 2 u 2

R. 18 u 2

R. 8 u 2

fí. 3 4 u 2

fi. 4



T>5. y =X2

r, x 0, x — 1, y — 0. R,(4 — x 2) 3/ 2 ’ ' X ~ L> y ~ u- t y f '

56. y = 60(xs - x 4 + x 3), y = - 2 x , x 2 = 1. R. 52u 2

.r)7. y = x + sen x, y = x, x = 0, x = - . R —~ ^6 ’ 2

58. 8 x = 2 y 3 + y 2 - 2y, 8 x = y 3 , y 2 + y - 2 = 0. R. — u 2

u 2

59. x + y - y 3 = 0 , x - y + y 2 = 0. R. — u 2

96

37

12

2

,2

,2

60. y - c se n ( - ) ln ( s e n , x = 0 , x = a n . R . 2 a c ( l - ln 2 ) u

61. y 3 ( x - 2 ) 2 = 1 , y = 0 , x = 1 , x = 10. R. 9 u

62. y ( x 2 + 4 ) = 8 , 3 x 2 - 4 y - 8 = 0. R. 2(7r + 2 )u

63. Í2 es un arco de la c ic lo id e cu ya ecuac ión param étrica es

x c i(t s e n t), y = íz(1 — e o s £). R. 3 tccl2

f 2nSugerencia: 4(.fi) = y dx.

64. D. es la re g ión lim itada p o r el astro ide x = a e o s 3 t , y = a s e n 3 t.

3/? . - 7 T U 2

865. D. es la f igu ra com p re n d id a entre la h ipé rbo la x 2 - y 2 = 9 , el eje x y el

d iám etro de la h ip é rb o la que pasa po r (5; 4). R. 9 l n 3

2 \x \

66. f í es la re g ió n lim itad a p o r la gráfica de / ( x ) = -------- - , el eje x y la s d o s1 -f* X

rectas vertica les co rre spond ien te s a las a b sc isa s de lo s pun to s m á x im o s abso lutos. A (]n 4)u 2

67. í í es la re g ión lim itada po r la g rá fica de / ( x ) = 2 x 4 - x 2 , el eje x y las dos

rectas vertica les que pa san p o r lo s puntos m ín im o s re lativos.

R. (7 / 1 2 0 ) u 2

60. es la re g ión ence rrada p o r y 2 = x 2 - x 4. R. ( 4 / 3 ) u 2

69. Cí está lim itada p o r un la zo de la cu rva a 2y 4 = x 4 ( a 2 - x 2).

n 4íj2 ?R. — u 25



70. £2 e s t á encerrada por un lazo de la curva 16a4y 2 = b2x (a —2cu).n h

R. - u 2ab 30

71. Q está encerrada por el lazo de la curva (x2 + y 2)3 = 4 a 2x y

72 Q está encerrada por la lemniscata ( x 2 + y 2) 2 a (x V )■R. a 2 u 2

73. Q está acotada por y (4 + x 2) = 5 y el sem icírcu lo superior de ^

x 2 + y 2 — 2 y = 0. S. ( 2 - 5 a r c t a n - + 5 ) u 2

7 4 Q está encerrada por la elipse (de eje oblicuo) ( y - x + 3 ) - 4 - x .R. 4 n u 2

7 5 . y = 9 - x 2 , y = ln (x - 2 ) , y = 2 .

II E n cada uno de los siguientes ejercicios grafique ía región ilim itada Q. y halle

su área (si existe), si se sabe que Q está comprendida entre las graficas de.

n 21 . y = se c h x y su asíntota. 2 U

2 y = y su asíntota. R. 16tt u 2

x 2 + 16

3 (4 — x 2) y 2 = x 4 y s u s asíntotas verticales. R- 2nu2

4 . y = a rctan x , 2 y = i r , x = 0 .

7T 25 . y = sech_1x y su asíntota vertical. R■ ~ u

R. no existe

n

2 W 4|xl m R . 3 n u 26 ' y ~ 1 + x 4 ' V 1 + x 4 '

I I I Determ ine m de manera que la región que está por encim a de y m x y

debajo de la parábola y = 2x - x 2 tenga área igual a 3 6 u . K. m -

IV I I área de la región com prendida entre la parábola y = 1 2 x - 6 x 2 y el eje

x es d iv id ido en dos partes iguales por una recta que pasa por el origen.

I lullc la ecuación de dicha recta. R. y ~ 6 (2 - V 4 J x

V L a h ip é r b o la equilátera x 2 - y 2 = 8 d ivide en 3 regiones a la

circunferencia x 2 + y 2 = 16 . Halle el área de cada una de las regiones.

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4.2 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O E N F U N C IÓ N D E L A S Á R E A S D E L A S

S E C C I O N E S T R A N S V E R S A L E S

Sea S un só lido lim itado en el espacio. Bajo ciertas condiciones es posib le hallar

el vo lum en de este sólido. P o r ejemplo, sea Sx una sección plana del só lido S

obtenido al cortar el só lido con un plano perpendicular al eje x en el punto de

abscisa x (Fig. 4 .18) y supongam os que existe un intervalo [a; b] tal que


- uxe[a:b]

S i >5(5X) es la función área de la sección plana (llam ada sección transversal de S)

y es continua, V x e [a; b], entonces el vo ium en del só lido 5 está dado por

í A(Sx)d xJ n

Fig. 4 .18 Fig. 4 .19

Ejem p lo 14. L a base de un só lido es la región lim itada por la elipse

b 2x 2 + a 2y 2 - a 2b 2 .

I lalle el vo lum en del só lido S si las secciones transversales perpendiculares al eje

x son:

¡i) T riángu lo s rectángulos isósceles, cada uno con hipotenusa sobre el plano xy.

b) Cuadrados. c) T riángu los de altura 2.

So lu c ión

a) La gráfica de la sección transversal del sólido se muestra en la Fig. 4.19. E l

só lido es la un ión de los Sx, x 6 [— a; a], donde Sx es un triángulo rectángulo

isósceles de área

M S X) ~ \ b h = ^ ( 2 y)h = \ ( 2 y ) y = y 2 = ^ ( a 2 - x 2)

Luego,

f a b 2 /4 \F = J — (a 2 - x 2)dx - i^-ab2J u 3

18! www.FreeLibros.com

h) S i las secciones transversales son cuadrados (Fig. 4.20), el só lido queda

descrito com o la unión de los Sx, x E [ - a ; a], tal que Sx es un cuadrado e

lado 2y = — y¡a2 - x 2 . Luego, el área de la sección Sx es

¿ ( S * ) = ( 2y ) 2 = 4 y 2 = 4 ^ ( a 2 - x 2)


= í 4 j ( a z - x z ) d x = ( ^ - a b ^ u 3 J ~-n &

Por tanto, el vo lum en del só iido es

b 2y

J~ac) S i las secciones transversales son triángulos de altura 2 (F ig. 4.21), ei so lido es

la unión de los S *, x 6 [ - a ; a], tal que S * es el triángulo de altura 2 y base

2 y = — J a 2 - x 2 . Así, el área d é la sección plana es a

1 2b r— —A(.Sx) = - ( 2 y ) 2 = 2 y = — J a 2 - .

Por tanto, el vo lum en del só lido resulta

/-fl U _______ _V = — y /a 2 - x 2 dx = (n a b ) u 3

L a a

l 'ic m n lo 15 U na recta se mueve paralelamente al plano y z cortando a las dos

elipses b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b 2 A c 2x 2 + a 2z 2 - a 2c 2, que se encuentran en los

planos x y y x z respectivamente. Ca lcu le el vo lum en del cuerpo asi engendrado.

SoluciónKn este sólido, la sección Sx es un rom bo (Fig. 4.22) cuyas d iagonales son

2 y A 2z. Luego, el área de la sección plana es

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U --------------- , ........ .....(lomo y = — y a 2 — x 2 A z — — J a 2 — x2,

a a

entonces el vo lum en del só lido es

[ a be = | 2 — ( a 2 - x 2)d x

J —a ^

= ( ? a f , c ) U =

E J E R C I C I O S

1. La base de un só lido es un círculo de radio r. Todas las secciones transversales

del sólido, perpendiculares a un diámetro fijo de la base son cuadrados. Determine el volumen del sólido.

R. ( 1 6 r 3/3) u 3

U n sólido tiene por base un círculo de radio 1 y sus intersecciones con planos perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos

isósceles cuyas hipotenusas son las respectivas cuerdas de los círculos.

Determ ine el vo lum en del sólido.

R. ( 4 / 3 ) u 3

V Halle el vo lum en del só lido S que es la parte com ún a dos c ilindros circulares

rectos de radio r, suponiendo que sus ejes se cortan perpendicularmente.

R. ( 1 6 r 3/ 3 )u 3

4. La base de un só lido es una elipse cuyos ejes m iden 20 y 10 unidades. La

intersección de este só lido con un plano perpendicular al eje m ayor de la

elipse es un cuadrado. Calcu le el volum en del sólido.

R. ( 4 0 0 0 / 3 ) i í3

5. Halle el vo lum en de un só lido S cuya base es un círculo de radio 3 y cuyas

secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo son triángulos equiláteros.

R. 3 6 v Í u 3

(>. L a base de un só lido es la región entre las parábolas x = y 2 y x = 3 — 2 y 2. Halle el vo lum en del só lido si las secciones transversales perpendiculares al

eje x son cuadrados.

R. 6 u3



/ 1 ;i base de un só lido es la región entre las parábolas y = x 2 A y - 3 — 2 x 2. Halle el vo lum en del sólido si las secciones transversales perpendiculares al

eje y son triángulos rectángulos isósceles, cada uno de ellos con la hipotenusa

sobre el plano xy.R . ( 3 / 2 ) u 3

8 . E l punto de intersección de las diagonales de un cuadrado (de lado variable) se

desplaza a lo largo del diámetro (fijo) de una circunferencia de radio 3. E l

plano del cuadrado permanece siempre perpendicular al plano de la

circunferencia, mientras que dos vértices opuestos del cuadrado se desplazan

por la circunferencia. Halle el vo lum en del cuerpo así engendrado.

R. 7 2 u 3

9. U n c ilindro circular recto de radio r es cortado por un plano que pasa por un

diámetro de la base bajo un ángulo a respecto al plano de la base. H a lle el

vo lum en de la parte separada.

R. ( 2 r 3tan a / 3 ) u 3

10. E l triángulo cuyos vértices son 0 (0 ; 0), A(a; b ) y B ( 0; b ) gira alrededor del

eje y . Halle el vo lum en del cono obtenido.

R. (n a 2b / 3 ) u 3

11. L a base de un só lido es un círculo de radio 3. T odo plano perpendicular a un

diámetro dado interseca al só lido en un cuadrado que tiene un lado en la base

del sólido. Ca lcu le el vo lum en del sólido.

R. 1 4 4 u 3

12. L a base de un só lido es la región lim itada por y = 1 — x 2 , y = 1 — x 4 . La s secciones transversales del sólido determinadas por planos

perpendiculares al eje x son cuadrados. Encuentre el vo lum en del sólido.

13. E n un só lido las secciones transversales perpendiculares al eje y son círculos

cuyos diám etros se extienden entre la curva x = ^[y y la recta x = y.

Calcu le su volum en.

R. ( t i/ 1 2 0 ) u 3

14. La base de un só lido es un círculo lim itado por x 2 + y 2 = 25 y las

secciones transversales perpendiculares al eje y son triángulos equiláteros.

Ca lcu le su volum en.

15. U n c ilind ro recto cuya base es una elipse está cortado po r un plano inclinado

que pasa por el eje m enor de la elipse. Calcu le el vo lum en del cuerpo

engendrado, sabiendo que la longitud del eje m enor de la elipse es 8 y la

longitud del semieje m ayor es 10.

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4.3 V O LU M EN DE UN S Ó L ID O DE R E V O L U C IÓ N

plana'urededor^e u n a í e c í f í^ c l)™ id a \n ne r l t 7 d bT 'd0 ^ ^ llama eje de revolución. P 6 la reg lo a La recta fiJa se

4.3.1 M E T O D O D E L D I S C O C I R C U L A R Y D E L A N I L L O C I R C U L A R

: * , " < £ 4 M t 'o t o i i a d T T r a y - X = * ' ( F ig - 4 2 n U secció" t ra sv e rsa l•'! q « p a l l l r e 'r T / “ “5" del SÓW0 5 P '“ o Perpendicular• i r , Por x e es un círculo de radio i v i = I f f r 'U m « *

circu la r). E l area de esta sección es 1/ M I (d isco

A (s x) = n y 2 = n [ f ( x y\2 i x e [ a ; b ]I -ucgo, por el método de las secciones transversales, el vo lum en de 5 es

Observación 2. Sea S el sólido de ' t'volucion obtenido p o r ¡a rotación en h>rno a l eje y de la región plana R limitada

,a c u n a x = 9 (y ) (g continua en el intervalo [c ; d ]), el eje y y ¡as rectas v - c A y - d (Fig. 4.25).

/ monees el volumen del sólido es

n f c [ g ( y ) l 2 d y ' j u 3

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Observación 3. Sean f ,g \[a - ,b ] R funciones continuas cuyas gráficas se encuentran a un mismo lado del eje x, y además \g (x ) \ < ] / ( x )| , V x 6 [a; ó].

Sea S el sólido de revolución que se obtiene por la rotación en torno al eje x de la región ü acotada por las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) y ¡as rectas verticales x — a , x = b (en la fig. 4.26, solamente se muestra el caso 0 < g { x ) < / (x ) ) .

Como la sección transversal Sx obtenida por la intersección de S con un plano perpendicular al eje x que pasa p or x G [a; b] es un anillo circular (Fig. 4.27), entonces el área del anillo circular es

¿ ( S * ) = Tt { [ f (x) ]2 - [ g ( x ) ] 2} , x G [a; b ]

Luego, el volumen del sólido de revolución S resulta

[ g ( x ) ¡2] d x u

revolución es

- a v - r ¿) d x u

donde R es el radio m ayor del an illo circular y r es el radio m enor (fig. 4.26), S i

r = 0 , la fórm ula es la que se obtiene por el método del d isco circular.

Observación 4. Sean f ,g : [a;b] -> E funciones continuas cuyas gráficas se encuentran en un mismo lado de la recta y = c y \ g ( x) — c| < \ f ( x ) — c\,V x G |a; b]. Sea S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar en torno a la recta y = c la región Q 1imitada p o r ¡as gráficas de y = f (x), y — g { x ) , x a y x = b (Fig. 4.28).

/■'.monees el volumen del sólido S es

V -• J ( l / 'M - c ]2 - [g (x ) - c ]2} d x j u 3

Observación 5. Si la región Q limitada por las gráficas de x = / ( y ) , x = g ( y )

r las rectas horizontales y = c , y = d gira alrededor de la recta vertical x - k (Fig. 4.29), donde las gráficas de f , g están a un mismo lado del eje de rotación y \ g ( y ) - k\ < |/ (y ) - k \ , V y 6 [c;d]. Entonces el volumen del sólido de revolución obtenido es

v = (rc /c V ( y ) - k ] 2 - [ g ( y ) - k ^ d y ^ j u 3

E jem p lo 16. Calcu le el vo lum en del sólido generado por la rotación alrededor

del eje x de la región lim itada por las gráficas de y = e x, x = 0 , x = 1, y = 0 .

So lu c ión

l-a región se muestra en la figura 4.30. Ap licando el método del d isco (R - e x), ■ se obtiene

V = n f ( e x) 2 d x = n í e 2x d x = ^ ( e 2 - 1 ) u 3 J o J o 2

E jem p lo 17. La región lim itada por las gráficas de y — a re se n x , y — 0 y

x ~ — 1 gira alrededor del eje y. Calcule el volum en del só lido engendrado.

So lu c ión

C om o el eje de rotación es el eje y, consideramos a y com o variable

independiente. L a región se muestra en la Fig. 4.31.

C om o R = 1 y r = - sen y, entonces el volum en del só lido es

E jem p lo 18. L a región lim itada por las gráficas de y - x 2, y - V * y x - 2 gira alrededor del eje x. Calcule el vo lum en del sólido.

Las curvas y = x 2 y y = V * se cortan en los puntos (0; 0 ) y (1; 1). En la

Fig. 4.32 se muestra la región entre ellas y la recta x = 2. E n la primera región,

(0 < x < 1) una sección transversal es un anillo circular con radio m enor r = x y radio m ayor R — V * . E n la segunda región (1 < x < 2 ), la sección transversal

es un anillo circular con radio menor r = yfx y radio m ayor R = x 2.

Por lo tanto, el vo lum en del só lido S es

r y 1 1° n 2= ir - + - s e n ( 2y ) = — - u 3

2 4 J-E 42

1 1 + - s e n ( 2 y ) j

So lu c ión

V = n - ( x 2) 2] dx + n ¡ \ ( x 2) 2 - ( ^ f ) d x

3

Xx = 3

Fig. 4.32 Fig. 4.33

Ejemplo 19. L a región lim itada por la circunferencia (x + 2 ) 2 + ( y >- 2 ) 2 = ]

j'.iiii aliededor de la recta x — 3. Calcule el vo lum en del só lido generado (toro de revolución).

So lu c ión

I .a región se muestra en la fig. 4.33, donde

/ ( y ) = - 2 - V i - ( y - 2 ) 2 A g ( y ) = - 2 + / i - ( y - 2)T

Así, el radio m ayor /? y el radio menor r son, respectivamente,

= 3 - / ( y ) = 5 + V i - ( y - 2 ) 2 y r = 3 - 5 (y ) = 5 - v ' l - ( y - 2)2

Luego, el vo lum en del só lido de revolución es

V = 7i (R 2 - r 2) d y = n 2 0 ^ Y ^ ( y ^ 2 y d y

= ÍOn [ ( y - 2 ) V i - ( y - 2 ) 2 + a rc se n (y - 2 )] = ( 1 0 n:2) u 3

Ejemplo 20. La región lim itada por la elipse b 2x 2 + a 2y 2 = a 2b z con

0 < b < a gira alrededor de su eje mayor. Calcule el vo lum en del sólidogenerado.

Solución

C om o la elipse es simétrica respecto al

eje mayor, podem os considerar que el

só lido es generado por la rotación de

la región som breada en la fig. 4.34

alrededor de! eje x. A s í, el radio de g iro del d isco circular es

b i------------R = y = - V a 2 - x 2

aPor consiguiente, el vo lum en del sólido de revolución es

í a í a b 2 /4 \V = n j R2d x = n J — ( a 2 - x z ) dx = y - a b 2n j u 3

Ejemplo 21. L a región infinita comprendida entre la curva x + x y 2 - y = 0 y su asíntota vertical gira alrededor de su asíntota vertical. Calcule, si existe, el vo lum en del sólido.

Solución

Al despejar x de la ecuación, obtenem os x = „ V , con lo cual la asíntota1 + y 2

vertical de esta curva es x = 0 (eje y), pues y -> ±00 <=> x -> 0 .


Considerando que la curva (Fig. 4.35) es simétrica con respecto al origen y el radio

de giro en el p rim er cuadrante es R = x = ^ -j . entonces el vo lum en del só lido

es

V = 2tc í R2d y = 2n í J o J o (i + y 2) 2

Haciendo y = tan 9, la integral resulta

y = 2K, ! i S . [ í arctan(>,)- 2 ( i + 7 ) ] 0

= 2” tÜ !S , [ iarctan(t)- 2 c T T F ) ]

+ oo 2 f t y 2

d y = 2n J im _ „ , d y/ní-+oo J0 ( i + y 2Y

E je m p lo 22. Determ ine el vo lum en del só lido de revoluc ión generado al rotar

alrededor del eje x la región infinita com prendida entre la recta y = O y la curva

y = L

S o lu c ión

1.a resiión se muestra en la Fig. 4.36. A l aplicar el método del disco, se obtiene

r + “ / i \2 r + " _ !

i' H 1 t e ) ; t 3 ‘b

= , M im j V « «fe = ’' , l i ? „ l - 3 * ' ‘ /3 l 'l = * tü 5 . ( - í r o + 3 )

= 37T u 3


Sea f \ [a;b] -» K , a > 0 una función continua y no negativa y S el só lido dé

revolución obtenido al hacer rotar en torno al eje y la región í í lim itada por las f raileas y = / ( * ) , y = 0, x = a A x = b (Fig. 4.38)

APLICACIONES DE LA INTEGRAL.DEFINIDA

4.3.2 M É T O D O DE LA C O R T E Z A C IL IN D R IC A

i:i sólido S (Fig. 4.39) puede ser considerado com o la unión de los c ilindros C x G [a; b], es decir, * ’

5 = U Cxx e [a :b ]

C om o el área (lateral) de cada cilindro circular recto Cx está dado por

A(CX) = 2nx f ( x ) ; x 6 [ a , b]

se deduce que el vo lum en del só lido S es

K = í A(Cx ) d x - 2n f x f ( x ) d x Ja

Observación 6. Sean f ,g : [a; b] -> M

funciones continuas en [a;b] tales que ,<l(x) < / ( * ) , V x e [a; b], y S e l sólido de revolución obtenido al hacer rotar alrededor de la recta x - c , con c < a, la región Q limitada p or las curvas y = f ( x ) , y = g ( x ) r las rectas x = a y x = b (Fig. 4.40). l-.ntonces el volumen del sólido S es

V = Í 2 n (x - c) [ f ( x ) - g ( x ) ] d x u

Fig. 4 .40

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN 11

Observación 7. Sean f ,g \ [a; b] •-> E

funciones continuas en [a; b] tales que g ( x ) < f [ x ) , V x e [a,b], y S el sólido de revolución obtenido al hacer girar alrededor de la recta x = c, con c > b, la región Q limitada por las gráficas de x = a , x = b , y = f ( x ) , y = g ( x ) (Fig. 4.41). El volumen del sólido S es

K = ( 27t J (c - x ) [ f ( x ) - g (x ) ]d x " ju 3Fig. 4.41

Observación 8. Sea Q la región limitada por las gráficas x = f ( y ), X = g (y ) , y = a A y = b (Fig. 4.42), donde f y g son continuas en fa; b] tales que g ( y ) < / (y ) ,

V y G [a,b] , y S el sólido de revolución que se obtiene a! hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con c < a . El volumen de S es

V = (^2n j (y - c )[ /(y ) - s (y )]d y j u3

Observación 9. Sea Q la región limitada por las gráficas de x = g (y ), x = f ( y ), y = a A y — b (Fig. 4.43), donde f y g son continuas en [a; fa] tales que g { y ) < / (y ) ,

V y 6 [a; b], y S el sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar la región Q alrededor de la recta y = c, con b < c. El volumen del sólido S es

V = ^2n J ( c - y ) [ f ( y ) - g ( y ) ] d y j u 3Fig. 4.43

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l'.jemplo 23. Encuentre el vo lum en del sólido engendrado al girar sobre el cíe y l:i región lim itada por la curva y = (x - 2 ) \ el eje x y la recta x = 3 .

So lu c ión

1.a región se muestra en la figura 4.44. Ap licando el método de la corteza leñemos

V = ZU i X ^ d x = ¿Tl\2 x ( x ~ 2 ^ dx

= 2 n í (x4 - 6x3 + 12x2 - 8x)dx h

147r=

A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A

l'.jemplo 24. Halle el vo lum en del sólido generado por la rotación de la región

limitada por las gráficas de x + y2 + 3 y - 6 = 0 , x + y - 3 = 0 alrededor de la recta y = 3.

Solución

l a región se muestra en la figura 4.45. C om o el eje de revolución es horizontal, el volum en del só lido es

V = 2n f (3 - y ) l (6 - 3 y - y 2) - (3 - y ) ] d yJ - 3

= 2n f ( y 3 - y 2 - 9 y + 9) d yJ_3

256tt ,= — ^— Uá

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E jem p lo 25. Calcule el volum en del sólido de revolución que se obtiene al g irar

alrededor de la recta x = 1 la región limitada por las gráficas de

y — ¡x2 — 2x — 3 \ , y + l = 0 , x — 1 = 0 , x — 4 = 0 So lu c ión

La región se muestra en la figura 4.46. A l aplicar el método de la corteza cilindrica, el vo lum en del só lido es

V = 2 n J (x - l ) [ | x 2 - 2x - 3| + 1 ] dx

Usando la figura 4.46 y la definición de valor absoluto, se tiene

¡xz - 2x - 3| = | 0 - 3 ) 0 + 1)1 = { _ ( * 2 ~ 2X ~ 3 ) ' 1 ~ x < 3

De aquí resulta

V

2 x - 3 , 3 < x < 4

= 27r|j O _ 1 )[(3 + 2x - x 2) + l ] d x + J (x - 1) [ 0 Z _ 2x - 3 ) + 1] dx

= 2n ( - 4 + 2x + 3 x 2 - x 3) dx + J O 3 - 3 x 2 + 2) dx

( 3 5 ^ 59 ,= 2 ^ ( 6 + T ) = y 7 r u 3

E jem p lo 26. Ca lcu le el vo lum en del só lido que se obtiene al rotar alrededor de

la recta y = 3 la región Í1 = { O ; y ) e M 2 / O < x < c o sh - 10 ) - O < y < 2}.

So lu c ión

La región £2 se muestra en la Fig. 4.47. Esta región está lim itada por x = c o sh y ,

x - O, y O A y = 2. C om o el eje de giro es la recta horizontal y — 3,

entonces el vo lum en del só lido de revolución es

V = 2n í (3 - y ) ( c o s h y ) d y = 2 7r[senh (2 ) -!- c o sh (2 ) - l ] u 3 Jo

Ejem p lo 27. L a región infinita comprendida entre la gráfica de x y 2 = ( 3 a — x )

( 0) y su asíntota vertical x = 0 gira alrededor del eje y. Calcu le el vo lum en

del só lido generado.

So luc ión

Con la ayuda de la región que se muestra en la figura 4.48, el vo lum en del sólido pedido es

A P L IC A C IO N E S DE LA IN T EG R A L D E F IN ID A

9 a 2n 2 — ^— u

Fig. 4.48

E JE R C IC IO S

Ivn los siguientes ejercicios, calcule el volum en del só lido generado por la

rotación de la región Q alrededor de la recta L, donde

1. L ■ eje x ; 12 : y = x 2 , y = 4x. ( * )

( * ) Entiéndase Q lim itado por las gráficas de y = x 2 A y = 4x.

, 3 17T ,2. L : y — 0 ; I] ■■ y = (x — 1) 3 , x = —1 , x — 0 , y — 0. R. — - u 3

160

3. L ■ y = 0 ; SI : x 3 - 5 x 2 + 8x — 4 , y = 0. R. - ™ u '

5. L: eje x ; ü: x 2 + y 2 - 2 b y + b 2 - c2 = 0 (b > c > 0 ) R. ( 2 n 2b c 2) u 3

s e n x 7r 2 /3\6 . L :e je x ; /2:y = -------------- , x = - , x = - n R. l n l - l u

1 - c o s x 2 3 \2/

71 / V 2 \7. L : e j e x ; /2:)' = e * s e n ( e * ) , x = 0 , x = l n — R. I c o s l — 2~ ) u

1 2 8 V 2 tt ,8 . L :y = 4 ; Í2: y 2 = 4 (2 — x ) , x = 0 ----- ------ u

Tí9. L: eje x ; í l-.y = sen x , y = 0 ,x = 0 , x = —

10. L : x = 4 ; / 2 :x2 + y 2 = 1

1 1 . L: x = —2 ; , íh y 2 = x , y = x 2

12. L: y = - 1 ; Í2:y = a r c c o s x , y = a r c s e n x , x = 1

13. L:x = 0 ; /2: y = V x 2 + 10 , x = 3 , x = 4

T O P I C O S Di ; C Á L C U L O - V O L U M E N II

A. L:y = 0; Í2: x 2 + ( y — 3 ) 2 = 1 R . 6 n 2u 3

R.3

R. — u 34

R. 8 tc2 u 3

49rr ,R. ------u 3

30

R. ( 2 6 V 2 6 - 1 9 V l 9 ) u 3

7114. L : x = 0 ; í l : y = c o s x , y = 0 , x = 0 , x = -

15. L : y = 0 ; i2 : y = ( v x - - ^ ) , x = 1, x = 4, y = 0 R. 7r ( l n 4 + - ) u

¡—------ / 2V 2 - 116. ¿ : y = 0 ; fi: y = 0, y = 2, x = 0, x = y j y 2 + 4 /?. 16tt (■

V 371

17. L . y = - 1 ; Í2 :y = a rc se n x , y = 0, x = —

18. L \ y = - 1 ; Í 2: y = V x 2 - 3 , y = x - 1, y = 0

1 Í7T ,19. L : x = 0 ; /2:y = ----- -t-jt , x = 0, x = y = 0 fí. 7r u 3

c o s ( x 2) \ 4

1671 320. L: x = 0 ; íl: y = x 3 + x, x = 1, x = 0 i?. -y^r- u

21. L:x = 1 ; /2:y = |x2 - 2 x - 3|, y + 1 = 0, x = 2, x = 4

4 5 ,22. L .y = 0 ; í l \ y = x + 2, y 2 - 3 y = 2 x R . — n u 3

23. ¿ : e j e y ; Í2 : y = | se n x | , 2 x = 7r , 2 x = 37r , y = 0


25. L-.y = 0 ; 12: x + y - 1 , V x + ^/y = 1 ^ u 3

. '6 . L: x — — 1 ; Í2: x = 0, y = 2, y = yfx

n . ^ = 0 ; ^ = g ; ^ ; . y = o , * = 2

2H. L : x = 0 ; . f i : y = 2 + s e n x, y = x, x = 0 , x = ^

2 3 329. L:x = 0; Í2:y = x 5, x = - 1 , x - - 2 , y = - 1 /?. -------t t u 3

7

30. L:x — O - ñ \ a 2y 2 — b 2x 2 = a 2b 2, |x| = a R. 4 ?m — 12 u

31. L:x = 4‘ ;. Í2 : y = ( x - l ) 2, y = x + 1

32. L \y = 0 ; i2: ( x 2 + y 2) 2 = 4 ( x 2 - y 2) fl. 2 tt|V 2 ln ( l + V 2 ) -

33. L:x = 0r; Ñ : y = 3 x 2, y = 4 - 6x 2 /?. — u 39

2834. L : x = 0 ; íl: x 2 + y 2 = 1, x 2 + y 2 = 4 ( Í2: co ro n a ) R . — n u 3

OCA35. L:x = 0 ; ú : x - y 2, x = 8 - y 2 /?. -------n u 3

3

36. L :y = — 4; /2;2x + 3 y = 0, 4 x 2 + 9 y 2 = 3 6

37. ¿ : y = 0 ; /2: x 4 + y 4 = 4 x 2 . fl. y j r u 3

38. L \x — —2 ; /2: ) x |3 - y + 1 = 0, x + 1 - 0 , x - 2 = 0, y = = 0

39. L : x = 5 ; / 2 :y ( l + x 2) = 2, y = x 2

40. L : y = 4 ; / 2 :y ( l + x 2) = 2, y = x z

x 2 y 2 441. L : e j e x ; Í 2 : — + — = 1 /?. - n c i b 2u 3

a 2 b 2 32 2

42. ¿ : e j e y ; /3: + 1 R. ~ n a 2b u 3a 2 b 2 3

7T 7T13. L \y = - ; y = a rc ta n x , x = 0, x = y = 0

APLICACION ES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

¡A. L :y = 0 ; í ¡ :y = V4 - x 2 , y = l J x = 0 , x = V3 R. 2n\Í3u^

44. L: x + 1 — 0 ; ü\y = a rc tan x, x = 0, 4x = n, y = 0

19?

3

00|

N)

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45. L \ y = 2 ; íl- .y = l n x , y = 0, x = 0, y = 2

46. L:x = e 3 ; i2 : y = ln x , y = 0 , x = 0 , y = 2

1 28

~3

40

~3

47. L:x = - 2 ; í l : y = 0, y = 4 - x 2 R . ^ - t c u 3

r- 4 0 *48. L-.y = 2 ; Í2 : y = 0, x = 4, y = Vx R. — n u 3

1 ( 1 4 5 \ ,4 9 . L : y = - 2 ; ¿2: y = V x - -^=, x = 1, X = 4, y = 0 K. 7r ( h i 4 + — J u ó

nSQ. L: y = — 2 ; /2:x = y sen y, x = 0, y = g

C O S % 7T 7T51. L: e je x ; ¿2 : y = ' ^ sen ' ¿ - y = 0, x = a, x = - con 0 < a < -

7T y - co s a + ln ( V 2 - 1) - ln (c sc a - ept a ) u 3

52. L: y = 0 ; ¿2: y = (x + l ) e * , x = 0 , x = l, y = 0

53. L : x = 0 ; /2:y = e x\ y = 0, x = 0, x = 1 R. 7r(e - l ) u 3

54- L\x = 7 ) ü : y = x e 2*, x = l , x = 3, y = 0

55. L : y = - 1 ; J3:y = ln x , y = 0, x = e R. 7 ieu3

56. L: eje x ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4 R. n z u 3

/a V 357. ¿ : e j e x ; /2: T r iá n g u lo equ ilá tero con vértices (0; 0), ( a ; 0), I - ; — a

n a 3

*• —58. L : x = - 3 ; /2: y = x 5 + 8 , y = ( x 3 - 2 ) 2, x = 0

59. l \eje y ; /2: es la región cerrada por el lazo de la curva ( y 2 - b 2) 2 = a 3x2 5 6 n b 9 _

R. ------.— r- u 33 1 5 a 6

60. L’. e j e x ; Í2 es la región encerrada por el lazo de la curva

= q x ( x - _ 3 a ) a > 0 R ™ (1 5 _ 1 6 ln 2 ) u 3

x - 4 a ¿

61. L: x = 4 ; Í2: x 2y 2 + 1 6 y 2 = 16, x = 0, y = 0, x = 4

R. 3 2 tt[1 - V 2 + ln ( 1 7 V 2 ) ] u 3

62. L : e j e x ; fl es la región, en el primer cuadrante, acotada por:16 ,— o

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__________ 2 3(.3. L : e ] e x ; H : y = e~xJ c o s ( e ~x ) , x = l n - , x = l n -

n n

R■ — [(3 - V 3 ) n - 3 ]u 3

6 25()4. L: x = 1 ; ú : x 2 - 4 = y , y = - 3 x fl. ------- t t u 36(i.r>. eje y ; /2 es la región que se encuentra al lado derecho del eje y lim itada

por x = 0 , (4 + x 2) y 2 = 4 - x 2 /?. 47r (7r - 2 ) i í3

(>6 . A la curva ^/xy - 2 x + 3 y - 6 = 0, en el punto (3; 3 ) se trazan las rectas

tangente y normal. Ca lcu le el vo lum en del só lido generado por la rotación

alrededor de la recta y = - 3 , de la región lim itada por la tangente, la normal10222

norm al trazada y el eje y. R. ----------n u349

(i7. A la parábola y 2 = 12x, en el punto de abscisa 6 , se ha trazado una

tangente. Calcu le el vo lum en del sólido generado al girar alrededor del eje x, la región lim itada por la tangente trazada, el eje x y la parábola.

R. 7 2 n u 3

(.8 . L: eje x ; íl: y = x e x, y = 0, x = 1 ' R. - <e 2 - l ) u 34

69. L: eje x , ü: es la región lim itada por y = 0 y un arco de la cicloide

x — a ( t sen t), y = a ( l - eos i ) R. 5 n 2a 2u 3

70. L : e j e y ; fl es la región del problema 69 R. 6 n 3a 3u 3

KCL371. L:x = a n ; SI es la re g ión del p rob lem a 69 R. ------( 97r 2 - 1 6 ) u 3672. L .y = 2 a ; ü es la región del problema 69 R. 7 n 2a 3u 3

73. L: eje x ; fí es la región lim itada por x = a e o s3t , y = a se n 3t.

74. Sea /; [ 0 ; + 00) -» ffi una función continua tal q u e / ( x ) > 0 , V x > 1. Para

todo a > 1 , el vo lum en del sólido generado por la rotación de la región

lim itada por las gráficas de y = / (x ) , x = 1 , x = a y el eje x, alrededor/ -a

APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRA L DEFINIDA

del eje x es: V = + 2 a 2 - - j u 3. Determ ine f ( x) .

R. f ( x ) = . V x 2 + 4 xVtt

75. Sea /: [0; + 00) -> K una función continua. Para todo a > 0, el vo lum en del

só lido generado por la rotación en torno al eje x de la región que se encuentra

entre la gráfica de y = / ( x ) y el eje x, desde x = 0 hasta x = a con a > 0 es V = ( a 2 + a ) u 3 . Determ ine / (x ).

1. L a curva y 2 (2a — x) = x 3 gira alrededor de su asíntota vertical. Halle el

vo lum en del só lido generado.

R. 2 n 2a 3u 3

1 x2. Sea fl la región infinita com prendida entre las gráficas de y = - A y =

y que se encuentra a la derecha de la recta x = 1. E l eje de rotación es el eje

x. Calcule el vo lum en del sólido generado.

13. n es la región com prendida entre la curva y = - 2 — ^ y su asíntota y el eje

de rotación es el eje x. Calcule el vo lum en del só lido generado.7T2 „

R. Y u>

C _ 4 t4. fí es la región com prendida entre la curva y = J — ------ d i (x e IR) y

su asíntota y el eje de rotación es su asíntota.3

1 6 '

5. £2 es la región com prendida entre la curva x y z - 4 a 2(2 a — x) y su asíntota,

y e! eje de revolución es su asíntota. Halle el vo lum en del só lido generado.

R. Anz a 3 u 3

TOPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

En los siguientes ejercicios, Q. es una región infinita.

6 . fl es la región com prendida entre la curva y 2 = — — - y su asíntota x = 2 a

y el eje de revolución es x = 2a. Calcule el vo lum en del só lido engendrado.

R. 2 n 2a 3 u 3

7. fi es la región com prendida entre la curva

rse n xx > 0

y = \ x( o , x = 0

y su asíntota, y el eje de revolución es el eje x. Calcule el vo lum en del só lido

generado sabiendoi que íJ 0

Tí

dx = 2'TI ,

R. — u 32


i. i L O N G IT U D D E A R C O

Se;; / : [a; b] -» R una función con derivada continua en [a;b] y

P - {x0, x 1 , una partición de [a;6], Esta partición define una poligonalc o n f lu id a por los segmentos rectilíneos desde ^ ( x , ^ ; / ( * , _ , ) ) hasta < M * ¿ ; / ( * ¡ ) ) , p a r a i = 1,2, ... , n (Fig. 4.49).

n n

L{p) = = Z V O i - * ¡ - i ) 2 + (/ ( . r j -¿=1 i=1

i I numero ¿ - ¡|{i|m o L(P), si existe, se llama longitud de a rco de la curva

y = f { x ) desde ei punto (a ;/ (a )) hasta el punto (£>;/(£)). Dem ostrarem osque en este caso el número L siempre existe.

Com o f es derivable y continua en [x t_ i ; x t] , i = 1 , 2 .....n, por el teorema deLagrange o del V a lo r M ed io , 3 t ¡ 6 ( x ^ X t ) tal que

f (x¿) — = f ( t i) (x ¡ — x ¡_ x) , i = 1,2 ,..., n

I laciendo A¿x = x¿ — x , i = 1,2,..., n , tenem os

■ A n= V (A¡ * ) 2 + [ / '( t i) ] 2. (A 1x)2 = V V i + [ / '( t ¿)]2

Í=1 fet

l’or tanto, la longitud de arco de la curva y = / ( * ) desde x = a hasta x = b es

n

1 ~ I & I W M . es decir

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TOPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II

Observación 10. La longitud de la curva x = g ( y ) comprendida entre las rectas y = c A y = d, donde g es una función con derivada continua en [c; d], es

1 = ( j ■/1 + ífj'(y)]-dyju = | J j l + 4Observación 11. Si la ecuación de la curva C viene dada en form a paramétrica mediante un p ar de funciones con derivadas continuas, esto es,

C:£ : $ rEntonces la longitud de la curva C desde t = a hasta t = fi es

¿ = Vl*'(t)]2 + [y'(OP dt'Ju

E je m p lo 28. H a lle la longitud de la curva

,-------------- (1 + Vsec2x + 1 \ n ny = v sec2x + 1 - ln ---------------------- desde x = — hasta x = -' \ se cx J 4 3

So lu c ión

A l aplicar las reglas de derivación y sim plificando se obtiene

^ = tan x V s e c 2x + 1 dx

Por lo tanto, con la fórm ula de la longitud de arco resulta

L = f 1 + ® dx = f * [1 + tan2x (se c 2x + l ) ] 1' 2 dx4 / 4 4 K d x J J ” / 4

rn /3= I sec2x dx = [tan x \nJ^ = (V 3 - l ) u

E je m p lo 2 9 Encuentre la longitud de la curva cuya ecuación es

desde x = —2 hasta x = — 1 .

So lu c ión1 x 4 d y x 3 1

Com o y = — r + — , entonces — = —-Luego, la longitud de arco esJ 2 x 2 16 dx 4 x 3

l = £ 4 T 7 W ? = £ J ( £ + i ) ¡ i - + 1

- Í T ( ^ ¿ )

dx

(x 3 1 \ 21■ + — I dx = — u


A PLICA CIO N ES DE LA IN TEG RA L D EFIN ID A

E jem p lo 30. Ca lcu le 4a longitud total de la curva cuya ecuación es:n n- < x < -2 ~ 2

y - J ^ V c o s t d t , - ^ < x < ^

~2So lu c ión

C r 7T 7TiComo f ( x ) = J V e o s t dt , V x 6 entonces f ' ( x ) = V c o s x es

~2. r ^

continua en el intervalo - j . Por lo tanto,

2 5 ___________ re

L = J * V 1 + c o s x d x = dx = P e o s ( | ) d x = 4 u

~2 “ 2 “ 2

E jem p lo 31. H a lle el perímetro del triángulo curvilíneo lim itado por el eje de las abscisas y por las curvas cuyas ecuaciones son *

y = In ( c o s x ) , * e A y = l n ( s e n x ) , x 6 ( 0 ; n )

So lu c ión

Las gráficas de f ( x ) = ln ( c o s x ) , x 6 y de g ( x ) = ln ( s e n x ) , x 6 (0;n)

se muestran en la figura 4.50. La s longitudes de los lados del triángulo curvilíneoson

n¿1 = 2 “

[ n / * _________________ r n ¡ 4

¿ 2 = 1 V 1 + [ / 'O O P d x = | V i + ta n 2x d x = ln ( V 2 + l ) uh J o

( n,z /------------------- ( n' 2 /---------------¿3 = j V 1 + [5 ' ( x ) ] 2 = V i + co t2x dx = l n ( V 2 + l ) u

•'/r/4 ^rr/4

Por tanto, el perím etro del triángulo curvilíneo es P = + 2 ln (V 2 + 1)] u

E jem p lo 32. Ca lcu le la longitud de la parábola sem icúbica 2 y 3 = x 2,

comprendida dentro de la circunferencia x 2 4- y 2 = 2 0 .

So lu c ión

La gráfica de la parábola sem icúbica se muestra en la Fig. 4.51. L o s puntos de

intersección de las dos curvas son ( - 4 ; 2) y (4; 2). Ahora, derivando

implícitamente la ecuación 2y 3 = x 2 con respecto a y se tiene

dx 3 y 2 ( d x \ 2 9 y 4 / y 3\ 9 y— = — = > 1 + — ) = 1 4 - — 5- = 1 4 - 9 y . I — = 1 + — d y x Vdy/ x 2 \ x J 2

C om o la gráfica de la parábola sem icúbica es simétrica con respecto ai eje y,

entonces la longitud de arco com prendida dentro de la circunferencia es

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN II

->r•'0i + \ y d y = (Viooo - i)u

Ejem plo 33 . L a posición de una partícula en el instante t es

x ( t ) = 1 - eos t , y ( t ) = t - sen t

Halle el recorrido total entre t = 0 y t = l

Solución

El recorrido total de la partícula es

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lin cada uno de los ejercicios siguientes, determinar la longitud del arco de la curva descrita por

c , , a + V a 2 - x 2 i---------- ra ai/ ( x ) - a ln(----------------- ) - V a 2 - x 2 ,x e R. (a ln 3 )u

A PLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A

E JE R C IC IO S

/ ( * ) =a:4 + 3

6 x* 6 [1 ; 3] R.

( y ) “,i. / O ) = X1' 2 - - x 3/2, x £ [0 ; 1]

/ ( x ) = V e2* - 1 - a rc s e c (e * ) - 1 , x -£ [0; 4]

f W =6 2x

O.

7.

I ) .

9.

10,

11.

12.

13.

14.

x e [2; 5]

/ (x ) = ln ( - x ) , x e [-V 8 ; - V I ]

X X —— —f ( x ) = - a r c s e n x - - V l - x 2 , x e

4R. - u

R. (e4 - 1 )U

393

fi' lo -“

* . ( l + í !»§)< *■

*•

/ ( x ) = ¿ W * 2 - 1 - ^ l n ( x + V x 2 - 1 ) , X £ [3; 5] R. 8 u

x = i y5/3 ~ ^ y 1/3-y e [0; i]

y = (9 - x 2/3) 3/2, x £ [1; 2]

2 7 /?. — u

20

9 3 /—R. - ( V í - 1 ) u

y = - W 3 - x 2 + ^ a r c s e n ^ x j , x £ [0 ; 1] /?. +

y - 1 - ln ( c o s x ) , x £ ¡ 0 ;£ ] fí. I n ( V 2 + 1 ) u

y = a rc se n (e * ) , x £ [0 ; 1 ]

xy = a c o s h - , x € [0 \b]

a

y 2 ix = T ~ 2 l n y , y e [1;e]

l(>. / ( x ) = ln ( c o t h - ) , x £ [ a ; b ] , a > 0

R. ln(e + V e 2 - 1) u

/b>R. a senh

( e 2 + 1R.

R.’ e 26 - 1ln^ _ i ) + a ~ b

17. / ( * ) = y + ¿ . * e [ 1; 2]

18. x = (a 2/3 - y 2/3)3 2 , y e [-a ; a]

59R- 7T7U

2 0 . x =■ e c sen t , y = eos t, t e [0 ; 7r] R. v 2 (e ’r - 1 )u

R. 3 a u

R. — [ V 2 + l n ( l + V 2 ) ]u

R. V 2 ( e ’r - l ) u

punto m ás p róx im o donde la tangente es vertical. R. ln — u

2 2 . x = a (eos t + t sen t) , y = a ( se n t - t eos t ) , t e [0 ; a ]

R. ~ a a 2u

II. E n los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de las curvas que se

indican.

1. L a longitud total de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 R. 2n a u

2. L a longitud total del astroide x = a e o s3t , y = a se n 3t R. 6 a u

3. L a longitud del arco de la rama derecha de la tractriz

7. La longitud de la curva 9 y 2 = 3 x 2 + x 3 desde x = - 3 hasta x - 0

desde y = a ha sta y = b con 0 .2/34. La longitud de la curva ( - J + M = 1 en el p rim e r cuadrante.

a 2 + ab + b 2 R. -------------:------ u

5. L a longitud total de la curva cuya ecuación es

4 ( x z + y 2) - a 2 = 3 a 4/3y 2/3 R. 6 au

6 . L a longitud total de la curva 8y 2 = x 2 - x 4 R . W 2 u

R. 4V 3i¿

II l a longitud de arco de la parábola sem icúbica 5 y 3 = x 2 com prendida dentro134

de la circunferencia x 2 + y 2 = 6 R. — -u27

•J. Calcule el perímetro de la región de menor área lim itada por las gráficas

y 2 = 2 x 3 A x 2 + y 2 = 20

X2II). I,a longitud de la curva y = - - In V x , desde x = 2 hasta x = 3 .

I I . La longitud de la

u irva y = V x - x 2 + a rc se n V x . R. 2 u

I L a longitud total de la curva dada por ( y - a rc sen x ) 2 = 1 - x 2 R . 8u

213. La longitud del arco de la curva y 2 = - ( x - l ) 3 com prendida dentro de la

xparábola y — —

14. La longitud del arco de la curva dada por x = ( t 2 - 2 )se n t + 2 t eos t ,71

y = (2 - t2) eos t + 2 t sen t, desde t = 0 hasta t = n

15. La longitud del arco de la curva y = l n ( l - x 2) desde x = 0 hasta x = 1/2

R. [ - ¿ + I n 3 ] u

III. L o s siguientes ejercicios tratan del m ovim iento de una partícula.

1. En el tiempo t, una partícula se encuentra en el punto

P (c o s t + t se n t ; sen t - t eos t)Encuentre la distancia recorrida desde el instante t = 1 hasta t = n

2. En el instante t, la posic ión de una partícula es

x = 1 + a rctan t , y = 1 - ln \ / 1 + t 2

Halle el recorrido desde el instante t = 0 hasta t = 1 R. l n ( l + V 2 ) u

A PLICA CIO N ES D E L A IN TEGRAL D EFIN ID A


TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUM EN II

4.5 Á R EA D E UNA S U P E R F IC IE DE R E V O L U C IÓ N

Sea /: [a, b] -> M una función no negativa, con derivada continua en [a; £>].

Haciendo girar la gráfica de / desde x = a hasta x = b , alrededor del eje x, se

obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.52). E l área de esta superficie de

revolución está dado por

i4 (S ) = (271 f f ( x ) y j 1 + [ f ( x ) ] 2dx

Fig. 4 .52

Observación 12, Si la curva se describe por la ecuación paramétrica

C :x = x ( t ) , y = y (t ) , t e [a;/?]

donde x ( t ) y y ( t ) son funciones con derivadas continuas en [a; /? J, entonces el área de la superficie generada al hacer girar la curva C alrededor del eje x es

A(S) = ( l n J % ( t ) V [ * '( O P + ty'(t)]2dt

Observación 13. Sea f : [a, b] -> E una función con derivada continua en [a; b] tal que su gráfica está a un mismo lado de la recta y = c . Haciendo girar la gráfica de f desde x = a hasta x = b alrededor de la recta y - c se obtiene una superficie de revolución (Fig. 4.53) cuya área es

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.APLICACIONES DE’LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación 14. Si la curva C se describe con la ecuación x = g ( y ) , V y 6 I " : H donde g es una función con derivada continua en [a; b] y S e s la superficie ./<• revolución que se obtiene al hacer rotar la curva C alrededor de la recta \ = c , (Fig. 4.54), entonces el área de la superficie S es

4(5 ) = i^2n J \ g ( y ) - c \^ jí + [ g ' ( y W d y ^ j u 2 (*)

Si la ecuación de la curva C está dada en su form a paramétrica por

x = x ( t \ y = y ( t ) , Vt 6 [a; /?]

donde las funciones x = x ( t ) , y = y ( t ) tienen derivadas continuas en [a;/?] entonces la fórm ula ( * ) se transforma en

A(S) = Í 2 n ( |ar(t) - c|V"[x'(t)P + [y '(t)]2 d i) u2

Y

b

k C >-----------------. c

/ n(y)

i

S

c

a - - J *x - \

.Y C

.....w -----------►x

.Y - C

Fig. 4.54

Ejem p lo 34. H a lle el área de la superficie generada al hacer girar la gráfica de

/ (x) = V24 — 4x , x £ [3; 6], alrededor del eje x.So lu c ión

—2(.orno f ' ( x ) - — , el área de la superficie resultante es

V 2 4 - 4x4

6

f ( x y i + [ f ( x ) ] 2dx

= 2 n \ V 2 4 - 4x 11 + — 4 dx h y] 24 - 4x

= 2n I V 2 8 — 4x dx = ----- u2h 3

l a gráfica de f ( x ) = \/24 - 4x se muestra en la figura 4.55.

4 ( S ) = 2n f J a

E je m p lo 35. Halle ei área de la superf

del eje y del arco de la curva y = a eos

So lu c ión

Considerando que la curva (Fig. 4.5«

superficie generada es

A(S) - 2tt f / (y )V 1 + [/ '(y •'o

/y\ dxdonde x = / ( y ) = a cosh y —

Luego.

A( S) = 2n J a co sh J l - <

= 2n J a c o sh 2 d y

E je m p lo 36. Halle el área de la super

2x = y v V - 1 + ln ¡y - J y 2 - l | ,

So lu c ión

L a ecuación paramétrica de la curva e:

.* ( 0 = ^[t%/t2 - l + l n | t -

y ( t ) = t

de donde x ' ( t ) = V t 2 - 1 A y'(t)

Por tanto, el área de la superficie es

a (s ) = í y c o T I x ' M F n / M F í h

YJc >

ya: = a c o sh (— )

a' " " A .

C7 i

— y <

f > r0a a cosh(l) x

Fig. 4.56

cié engendrada por la revoluc ión airededor

- ' i desde x = a hasta x = a cosh ( 1) a '

>) gira alrededor del eje y , el área de la

)]2d y

= f ' ( y ) = s e n h Q

- se n h 2(^ )d y

n a 2 , „ ,= ------(2 + senh 2 ) u

2

íc ie cuando la curva

y e [2 ; 5 ], gira alrededor del eje x.

^ f2 ~ 1 B , t 6 [2; 5]

= 1

!t = 2jt í t-J ( t 2 - 1) + 1 dt = 78n u 2


I1'templo 37. Halle el área de la superficie generada por la revolución en torno al

r l r y del arco de la curva y = - [x2 - 21n x], x e [ l ; 4 ].

Solución

1.1 ecuación paramétrica de la curva es

(x( t ) = t

y ( 0 = ^ [ t 2 - 2 1 n t ] ’ 1 e [1;4]

1 1tic donde x ' ( t ) - 1 , y '( t ) = - ( t - - )

ucgo,

A(S) = 2 ?t J| x ( t y [ x ' ( t ) ] 2 + [y' (t)]2dt

= 2„ J , J l + i ( , - i ) * d t = 2 , J ‘ l (, + | ) d t = 2 4 ™ ’

I jemplo 38. Calcule el área de la superficie de revolución que se obtiene al hacer líirar la curva y = 2 - e x , desde x = 0 hasta x = 2 , alrededor de la rectaV - 2

So lución

I .i gráfica de la curva se muestra en la

ligura 4.57.

Se tiene que

dy¿ = f ' M = - e x

luego, según la fórmula, el área de la

superficie es

¿ (S ) = 27r f ( 2 - f M ) J l + [ f ' ( x ) ] dx *'0

= 2n í e xyf í '+ (ex) 2 dx“'O

: 7r | e 2V l + e 4 - V2 + + lne 2 + V i + e ‘

1 + V 2


E jem p lo 39. Halle el área del elipsoide de revolución que se obtiene al hacer

x 2 v 2girar la elipse — + — = 1 , a lrededor de:

a) su eje m ayor b) su eje menor

So lu c ión

a) Cuando la elipse gira alrededor de su eje mayor, es suficiente considerar la

curva C descrita p o r / ( x ) = - - ^ 2 5 - x 2, x e [— 5; 5] (F ig.4.58).

4 i----------- 4 x , , , ,A l em plear / ( x ) = - V 25 - x 2 A / '( x ) = - ^ = = = , el area de la

TÓPICO S DE C Á L C U L O -V O L U M E N II

superficie resulta

r 5 ¿J, __________

A(S) = 2n j - V 2 5 - X ' l f1 6 x 2

25 (25 - x 2)dx

/ 100 3\= 27r ( l 6 + — arcsen -Jw

b) Cuando la elipse gira alrededor de su eje menor, es suficiente considerar la

curva x = - V l 6 - y 2, y 6 [ - 4 ; 4] (F ig .4.59).4

Luego, el área del elipsoide generado es

5A(S) = 2n J j V l 6 - y 2

/ 8071, \ ,= Í507T + - ^ - l n 4 J u 2

1 +2 5 y z

1 6 ( 1 6 - y 2)dy


I. E n cada uno de los siguientes ejercicios, halle el área de la superficie de revolución que se obtiene al g irar alrededor del eje x, las curvas dadas por

1 . / ( x ) — — x 3 , x £ [0 ; 2 ] /?. ( 9 8 t t/ 8 1 )u 2

2. / ( x ) = c o s x , x e [ - j ; | ] R. 2 jt[V2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

3. Un lazo de la curva 8 a 2y 2 = a 2x 2 - x 4 R. (n a2/ 4 ) u 2

4. 6 a zx y = x 4 + 3a 4 desde x = a hasta x = 2a R. (47 rra2/16 ) u 2

5- / O ) = - x 3, x e [0 ; 2 ] R. ^ ( 1 7 3/2 - l ) u 2

6 . y 2 + 4x = 2 l n y desde y = 1 hasta y = 2 R. ( IO tt/ 3 )u 2

7. x = a c o s 3t, y = a s e n 3t /?. (127 ra2/ 5 ) u 2

8 . y = e ~x , x > 0 R. ;r[V 2 + ln ( l + V 2 ) ] u 2

9. x = et sen t, y = e c eos t desde t = 0 hasta t = |

R. 2nyÍ2(en - 2 )/ 5 u 2

10. y = e - *, x > 0 R. ^ [V 2 + l n ( l + V 2 ) ] u 2

1 1 . x = a (e o s t + ln ( t a n | ) ) , y = a sen t fi. 47r a 2u 2

12 . y = t a n x desde ( 0 ; 0 ) hasta ( £ ; l ) /?. t t ( V s - V 2 + l n ^ + 2V4 ' V V5 + 1

13. E l lazo de la curva 9 a y 2 = x ( 3 a - x ) 2 R. 3 n a 2u 2

14. x 2 + ( y - /j) 2 = a 2, 0 < a < b (toro de revolución) R. 4 n 2abu

x 3 115- y = y + 2 ¿ ‘ x e t1; R ■ (208rr/9)u2

16. y = 2 x, x e [0 ; 2] r . 8 n V 5 i¿2

17. y 2 = 4 a x desde x = 0 hasta x = 3 a R. (56/ra2/ 3 )u 2


E JE R C IC IO S

2

II. Halle el área de la superficie generada por la rotación en torno al eje y, de cada una de las siguientes curvas

1. x = y 3 , y 6 [0; 3] R. — [ ( 7 3 0 ) 3^2 - l ] u

2. 6 a 2x y = x 4 + 3 a 4 desde x = a hasta x = 3 a R. (2 0 + ln 3 ) n a 2u 2

TÓ PICO S D E CÁLCULO - VOLUM EN II

3 . 2 y = * V F ^ T + l n ( * - V F ^ T ) , x e [ 2 ; S ] K . 7 8 U U 2

4. x 2 + 4 y 2 = 16

5. y - x 2 , x £ [1; 2]

6. y = x4/3, x e [1; 8]

III. H a lle el área de la superficie de revolución form ada cuando la curva indicada

gira alrededor del eje dado.

1. y = x 3/z , x G [1; 8]; alrededor de y = 1

2 V = í l + _ L ( x £ [1; 2]; a lrededor de y = 1 ' ^ 3 4 x

3. y = x 3, x 6 [1; 2]; alrededor de y = - 1

4. y = ln (x - 1 ) , x G [2; e2 + 1]; alrededor de x = 1

5. y = 4 + e x, x G [0; 1]; alrededor de y = 4

6. y = 2 x , x £ [0; 2]; alrededor de y = - 1 R - 1 2 V 5 ttuz

4.6 MOMENTOS Y CENTROS DE MASA (ó CENTROS DE GRAVEDAD)

E l momento de m asa de una partícula respecto a una recta L se define com o el

producto de su m asa y su distancia a la recta L. A s i, si m es la m gsa de la particu

y d su distancia a la recta L Fig. 4.60, entonces el m om ento de la partícula

respecto a la recta L está dado por

Ml = m d

Fig. 4.61

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Mx

•Es conveniente considerar la partícula localizada en un plano de coordenadas y

determinar el mom ento de la partícula respecto a un eje de coordenadas ( o a una

recta paralela a un eje de coordenadas). E n este caso se usan las distancias

dirigidas, así el mom ento será positivo o negativo o cero, según la ub icación de la

partícula; por ejemplo si la partícula de masa m está en el punto ( x ; y ) Fig. 4.61 ,

entonces sus m om entos Mx y My respecto a los ejes x e y, respectivamente son

Mx = m y , My = m x

S i un sistem a de n partículas de m asas m 1, m 2 l . .. , m n están situados en los

puntos ( * ! ; y i ) , ( x 2; y 2), ( x n ; y n) respectivamente, los m om entos Mx y My del sistema de n partículas se definen como

n n

= ™ ¡y ¡ - M y = ]jr rriiXi ( I)

í= l i= 1

El centro de m asa o centro de g rave dad de un sistema de partículas es un punto

P ( x ; y ) tal que, supuesto que la masa total m del sistema esta concentrada en el

punto P, los m om entos de P y del sistema coinciden.

S i el sistema de m partículas de masas m u m 2, ■■■ , m n ubicadas en los puntos

(x \'< yi), f e ) y2). - (x n> Vn) tienen su centro de gravedad en el punto P{x; y ) yque la m asa total del sistema es

n

m = ^ mii= i

entonces los m om entos Mx y My de P están dados por

Mx = m y , My = m x

Luego, de ( I) se obtienen n

APLICA CIO N ES DE LA IN TEG RA L DEFINIDA

= m¿y; y m x = ^m yi= l ¡=1

De donde resulta

_ Z "= 1m ¿x ¡ _x = -------------- y y =--------------

m mEn resumen , si Mx y My son los momentos de un sistema de partículas respecto

;i los ejes x e y respectivamente y P ( x ; y ) es el centro de gravedad o centro de

masa del sistema, entonces

My Mx* = -T y = - f (II)m m

donde m es la m asa del sistema.

Ejemplo 40 Cuatro partículas están en los puntos P t ( — 1; — 2), P2 (1; 3),

P3( 0; 5), P4(2; 1) y sus m asas son m 1 = 2, m 2 = 3, m 3 = 3, m 4 = 4

respectivamente, determine el centro de gravedad del sistema form ado por estascuatro partículas.

Solución

Tenem os Mx = 2 ( — 2 ) + 3 (3 ) + 3 (5 ) + 4 (1 ) = 2 4

My = 2 ( — 1) + 3 (1 ) + 3 (0 ) + 4 (2 ) - 9

m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12

Luego,

- _ M y _ 9 _ 3 - _ M X _ 2 4 _

X - ñ r ~ 1 2 - 4 ’ V ~ ~ m ~ Y 2 ~ 2

Por tanto, el centro de grayedad está ubicado en el punto P (3 / 4 ; 2 )

4.6.1 C EN T R O D E G RAV ED AD D E UNA R EG IÓ N P LA N A ó LÁ M IN A

En primer lugar, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones

a) U na lám ina es llamada homogénea si dos porciones de igual área tienen el m ism o peso.

b) L a d en s id ad p de una lám ina es la masa de una unidad cuadrada de lámina.

S i una lám ina es homogénea, entonces su densidad (de área) p ■ es constante y

si A es el área de dicha lámina, entonces su masa es m = pA

c) E l centro de m asa de una lám ina homogénea, puede pensarse com o el punto de

balance de la lámina; si esta lám ina tiene un centro geométrico, este será

también el centro de masa ó centro de gravedad. Por ejemplo, el centro de

masa de una lám ina circular hom ogénea es el centro del círculo; el centro de

masa de una lám ina rectangular hom ogénea es el centro del rectángulo

(intersección de las diagonales). Se define el momento de una lám ina de masa

m respecto a una recta, com o el momento de una partícula de masa m situado

en el centro de masa de la lámina.

d) S i una lám ina se corta en trozos, el momento de la lám ina es la sum a de los

m om entos de sus partes.

Ejemplo 41 Encuentre el centro de m asa de una lám ina hom ogénea de densidad

p, que tiene la form a propuesta en la F ig. 4.62 (las m edidas están en cm.)

Solución

L a lám ina está form ada por 3 rectángulos y el área total de la lám ina es igual a

9 3 c m 2. S i co locam os los ejes de coordenadas tal com o se indica en la figura, los

centros de m asa de los rectángulos Rlt R2 y R3 son:



U t L A 1ÍN 1 t O K A L U t , r 1 ÍN 1 U A

respectivamente. Luego,

Mx = (2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( 6 ) + (1 2 p ) = ^ p

/13 \ 9 6 9My = ( 2 1 p ) ( y ) + ( 6 0 p ) ( S ) + (1 2 p ) ( 8 ) = — p

Por tanto, el centro de m asa (x ; y ) de la lám ina está dado por

9 6 9_ My - J - Px = ^ = = 5 ,2 0 9 6 7 7 4 1 9

m 9 3 p

1 1 9 7~ 2 ~ Py = — - = — = 6 ,4 3 5 4 8 3 8 7 1

' m 9 3 p

Sea F una lám ina hom ogénea cuya densidad es constante e igual a p.

Supongam os que F es la región lim itada por las gráficas de:

y = /(*), y = a ( x ) , x = a , y x = b

donde f y g son funciones continuas en [a ; b ] y / ( x ) > g ( x ) , V x G [a;fr]

(Fig. 4.63)

Sea P = {x 1, x 2, ■■■,xn} una partición de [a;b] y c¡ es el punto m edio de

[x¿_ x; x¡] , entonces se tiene que:

m = p [/ (c , ) - 5 (c ¡) ] A ¡x , i = 1 ,2 ,......n ( A ix = x¡ - x ^ )

es la masa del i-ésim o rectángulo som breado en la figura 4.63



lil centro de gravedad del i-ésim o rectángulo se encuentra en el punto

( f ( c¡) + g (c¡)>

[ Ci) 2

Sustituyendo cada rectángulo por un punto material y localizando la m asa de cada

rectángulo en su centro de gravedad se obtiene que los m om entos de m asa de los

n rectángulos, determinados por la partición, respecto a los ejes x e y son:

Mr

M,

lí /l

Z ™ ¡y ¡ = p [/(c ¡) - 5 (c¡)]/ (c¡) + g ( a )

AjX

Luego, el centro de gravedad (x ; y ) estará aproximadamente en el centro de

gravedad de los rectángulos determinados por la partición, es decir:

xMy _ P'Z’j=iCi [ f ( c i) - g j c ^ A j X

m p EH iE /(c¡) - S(c¡)]A¡*

Mx I p i u m c d r - i g í c d ] 2} ^

y X m ~ p l U l f i c d - g i c ^ x

Pasando al lím ite cuando ||P|| -» 0, se obtiene que las coordenadas ( x ; y ) del

centro de gravedad de la lám ina F están dadas por

Ja * [ /(* ) - g( x) ] dx ^ _ ^ J q {[/(* )]2 - to (*)]2}

£ [ f t o - g ( x ) ] d x A y t f \ f ( . x ) - g ( x ) ] d x

C om o se observa, las coordenadas del centro de m asa de la lám ina hom ogénea no

dependen de su densidad p, só lo depende de su forma. Usualm ente el centro de

m asa de una lám ina se denom ina centro de gravedad o centroide, reservando el

térm ino centro de m asa para un sólido.

Observación 1S

a) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta x = x 0 , entonces x = X0

b) Si la región plana F es simétrica con respecto a la recta y — y 0 , entonces

y = yo


Observación 16 Si la región plana F esta limitado por las gráficas de:

x = f ( y ) , x = g ( y ) , y = c , y = d

donde f y g son funciones continuas en [c; d] y f ( y ) > g ( y ) , V y g [c ;d ]

l'ig. 4.64, las coordenadas del centro de gravedad (x; y ) de la región F son

APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A

_ _ 2/cd{[/(y)32-[g(y)]2}dy

/,d[/ ( y ) - g ( y ) ] d y~ -= C y t f W - 9 ( y ) ] d y

C ifXy) -g (y )\d y

E jem p lo 42 Encuentre el centroide de la región acotada por las curvas y = x 3 , y = 4x en el primer cuadrante. ,

So lu c ión

El área y los m om entos con respecto a los ejes x e y de la región son

A(R) = í (4x - x 3) d x = 4 Jo

_ 2 2

My = i x [ f ( x ) - g ( x ) ] d x = í x ( 4 x - x 3) d x = ^J o 15

Mx =z2 ¡ 0 “ Í9 ( x ) ] 2} d x = ^ J ( 1 6 x 2 - x ü) d x =256J T

_ My 6 4 / 1 5 Luego, x = — = ---------

m mMx 2 5 6 / 21

„ , /16 6 4 \l’o r tanto, el centroide es P \ — : —

V15 21/


E jem p lo 43 Halle el centro de gravedad de la región lim itada por las ciirvas

x 2 - 8 y = 0 , x 2 + 1 6 y = 2 4

So lu c ión

C om o la región F (F ig. 4.66) es simétrica respecto al eje y, se sabe que x = 0

E l área de la región y el momento con respecto al eje x son

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUMEN II

A■ a

■ r ' d

16dx = 4 V 2

2 4 - x 16~

dx =1 6 V 2

/ 4 \ _ Mx 4 _Por tanto, el centro de gravedad es ^0; - J porque A

E je m p lo 44 Encuentre el centroide de la región lim itada por las curvas

x = 2y - y 2 , x = 0

So lu c ión

C om o el centro de m asa está situado en el eje de sim etría y = 1 (F ig. 4.67),

entonces y = 1.

Ap licando las fórm ulas dadas en la observación 16 se obtiene

i l o ( 2y - y 2) 2d y _ e / is _ 2

f g ( 2 y - y 2) d y 4 /3 5

Luego, el centroide es P ; 1 j


(CJemplo 45 Determ ine el centroide de la región plana lim itada por las curvas

y = / ( * ) . y = - x 2 , x = - 1 , x = 2, donde

f ( x ) = í 1 ~ x ’ x ^ °n ) l x 2 + 1, x > 0

So lu c ión

La región se ilustra en la F ig. 4.68. D iv id iendo la región en dos partes se obtiene

APLICA CIO N ES DE LA IN TEG RA L D EFIN ID A

A = í ( í - x + x 2) d x + f ( x 2 + 1 + . J- 1 J0

11 2 2 55

M,

16 11 _ 71

15 + ~3~ — 15= 2 / K 1 “ * ) 2 “ x *]d x + + ! ) 2 “ x *~idx

f ° r 2 13- x ( l - x + x 2) d x + x ( x 2 + 1 + x 2)dx = ------+ 1 0 =

J- i J0 12

1 07

~12

_ 1 07/12 _ 71/15 ^ , /107 1 4 2 \,uego, x - ■ , y = -=— r , de donde el centroide es P ----- ;------ )

55/6 ' 55/6 V110 275/

Fig. 4.68

E je m p lo 46 H alle el centro de gravedad de la región infinita, en el primer

cuadrante, com prendido entre la curva y = x e~x y el eje x.

So lu c ión

La región se ilustra en la F ig. 4.69. Luego, se tiene

A J" +CO

x e~x d x = lim [ - x e~x - e~x]o = 1

o t-*+0°



+00 r + 00

My

/* i- to /■ + »

= I x f ( x ) d x = I x 2e~xdx Jo Jo

= lim [-x 2e * — 2xe * — 2e *]£ = 2 t-> + °0

i r + ”Mx = - J [x2e~2 x - Q] d .x‘ XJo

1 r 1 1 1 i* 1= - lim — - x 2e 2x —- x e ~ 2x —- e ~ 2x¡ = -

2 t- .+« L 2 2 4 J0 8

My _ MX 1Luego, * = T = 2 . y = T = 8

Por tanto, el centro de gravedad de la región es P ^2;

T eorem a (T eorem a de Pappus p ara volúmenes)

S i un só lido S es obtenido al hacer rotar una región plana F (F ig. 4.70) en torno de

una recta del m ism o plano, que no sea secante a la región F, entonces el vo lum en

de S es igual al.área de la región F m ultiplicado por 2nr , siendo r la distancia del

centro de gravedad de la región F al eje de rotación, esto es,

V = 2nr. A

donde A es el área de F.


APLICAC IO NES DE LA INTEGRAL D EF IN IDA

Ejemplo 4 7 Calcule el volumen del sólido 5 generado por la rotación de la

S a a P ° rla P a rá b 0 ,a y = * 2 y ,a re C ía y = * + - 2 en tom o a esta

Solución

Para determinar el centro de gravedad.de la región F (Fig. 4 .7 1 ) se tiene

A (F) = í (x + 2 - x z) d x = - J-1 2

My = í x ( x + 2 - x 2) d x = - •'-i 4

Mx = \ í [ (x + 2 y - x 4] d x = —¿ J - i 5

Por tanto, el centroide ( x ; y ) de la región tiene las coordenadas

A ~ 2 ‘ y _ T " 5

Calculando la d istancia r del punto C ^ a la recta y = * + 2 se tiene

r = ^ ~ y + 2 l = l l ~ l + 2| _ 9V2V i + 1 V2 20

Luego, por el teorema de Pappus, el volum en del só lido S es

V = 2ur. A = 2n Q = «3

Y' i.

l \ F 1 Vv.7,i \ i \ i \1 v

f¡ \ L

. / 1 % \ / 1 /Y 1 /

y (V s "x

' ►(-! ;0)

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r

Ejemplo 48 L a región lim itada por las gráficas de y = x 2, y = 5 gira alrededor

de una recta ob licua que pasa por el punto ¿4(1; 0 ). H a lle la ecuación de dicha

recta, si el vo lum en del só lido generado es igual a 4 0 V 5 t tu 3

Solución

L a gráfica de la región se muestra en la fig. 4.72. E n primer lugar determ inaremos

el centroide de la región F. C om o el centro de m asa está situado en el eje de

simetría (eje y), entonces x = 0.

Po r otro lado, la ordenada del centroide de la región es

- _ M* _ ~ x ^ d x _ 2 0 v ^

A / ^ r ( 5 - x 2) d x 2 0 V 5 / 3

Luego, el centro de gravedad es ( x ; y ) = (0; 3)

2 0V 5C onsiderando que el área de la región F es A = — -— , se tiene

V = 40V 57 t = 2n r = * r - 3

Finalmente, si m es la pendiente de la recta L (eje de rotación) que pasa por el

punto A(l-, 0 ), entonces su ecuación es

y - 0 = m ( x - 1) ó m x - y - m = 0

Puesto que, r — 3 es la distancia del punto (x; y ) = (0; 3 ) a la recta L, entonces

\ m x - y - m \ | - 3 - m |3 — . >—»* 3 — .

V m 2 + 1 V m 2 + 1

<=> 9 (m 2 + 1 ) = 9 + 6 m + m 2 <=> m (4 m — 3 ) = 0

3<=* m = 0 ó m = -

43

Com o la recta L es oblicua, m = - . P o r tanto, la ecuación de la recta L es4

3 x — 4 y — 3 = 0

TÓPICO S DE CALCULO - VOLUM EN II

E JE R C IC IO S

I. En cada uno de ios ejercicios, encuentre el centroide de la lám ina

hom ogénea de densidad p que tiene la forma mostradas en la figura.

12

■ 1 0 -

A. < ^ 5 )

II. En los siguientes ejercicios, encuentre el centro de gravedad de cada una de las regiones lim itadas por las siguientes curvas.

1. y = x 2 - 4 , y = 2x - x 2

2. y - v a 2 - x 2, y = 0

3. y = 3x, y = x 2, y — 1 , y = 2 (en el primer cuadrante)

*■ ( H )

"■ (o:S

( 67 2 ( 7 2 ^ 2 - 5 3 )

U 8 ( 8 V 2 - 7 ) ' 1 5 ( 8 > / 2 - 7 )

4 . y - X 2, y = x - x 2 R. Q j g )

5. y = ln x , y = 4 , y = 4 - 4 x 2 (en el primer cuadrante) R. (1 4 ,6 1 ; 3 ,1 5 )

6. y - x 2 + 1 , y = x 3 - 1 , x = 0 , x = 1

n7. y = s e n x, y = cosa:, y = 0 desde x = 0 h asta x = —

"■ G 4 (f - i)(2+V5))8. y 2 = 4 - 2x, el eje y , y = 3

( 1 2 3\9. x = 4 y — y 2 , y = x R.

ñ 9 \10. Vx + , / y = 3 , y = 0 , x = 0 R.

11. y = |x|3 + 1 , x = - 1 , x = 2 , y = 0

12. x + x y 2 - 2 = 0 , x - y 2 = 0

13. y 2 = 2 0 x , x 2 = 2 0 y R. (9 ; 9 ) •

t x , s i x < 1 _14. y = —x , y = j 2 , x = 2

' [X , SI X > 1

/8 8 50\15. x - 2 y + 8 = 0 , x + 3y + 5 = 0 , x = - 2 , x = 4 fi.

16. y = 3 + 2 x — x 2 , y los ejes coordenados encierran dos regiones. Determine el centroide de la región de menor área.

17. y ( x 2 + 4 a 2) = 8 a 3 y el eje x (región infinita) R. ( o ; - a )

l 12 \18. La región limitada por el lazo de y 2 = x ( x - 4 ) z R. ; 0 J

19. La región limitada por el lazo de y 2 = x 4 (3 - x ) R. (2 ;0 )

20. y = a resen x , y = 0 , x = 1

/1 6 5\21. y 2 = 4 x 2 - x 3 , y = 0 en el prim er cuadrante R.


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.12. y = x 2 - 2x - 3 , y = 6x - x 2 - 3 R. (2;1)

¿3. y = x 3 - 3x , y = x , sob re el lado derecho del eje y R,

x y¿4. La región encerrada p o r — + — = 1, en el p rim er cuadrante

/ 4a 4£»\D I . 1R' \ 3 n ' 3 n )

25. La región está lim itada por los ejes coordenados y x 2/3 + y 2/3 = V 2 5

/ 2 5 6 2 5 6 \

\637r '637T/

26. L a región es un sector circular de radio r y ángulo central 2 a

28. y = c o s h x , y = 0 , x = —1, x = 1

29. y = a rcco s x , y = n , x = 1

III. Centro de gravedad y volúmenes.

1. E l centro de gravedad de la región acotada por las curvas x 2 = 4 y , y = m x es un punto de abscisa igual a 2. Determ ine el va lor de m R. m = 1

2. /1(0;0), B ( a ; 0 ) y C ( 0 ; a / 2 ) con a > 0 , son los vértices de un triángulo.

C a lcu le el vo lum en del só lido obtenido por la rotación en torno a la recta

5V27ra3y = x - a, de la región lim itada po r el triángulo ABC. R. -----------

24

3. Sea R la región del plano lim itado por la parábola y = x 2 - 1 y la recta

y = x — 1 . Determ ine el vo lum en del sólido obtenido por la rotación de la

7rV2región R a lrededor de la recta y = x ~ 1. R. ------

60

4. L a región lim itada por las gráficas de y 2 = 2 0 x , x 2 - 2 0 y gira alrededor de

la recta 3x + 4 y + 12 = 0. Calcu le el vo lum en del só lido generado.

R. 4000tt

R. En el eje de simetría, a la d istancia - r -------- del vértice del sector3 a

27. y = se n x, (0 < x < n), y = 0


5, La región lim itada por las gráficas de y = x 2 , y = 5 g ira alrededor de una

recta ob licua que pasa por el punto ( - 1 ; 0). Halle la ecuación de la recta si el

vo lum en generado es igual a (4 0 V 5 n ) u 3 R. 3 x + 4 y + 3 = 0

IV . E l centro de gravedad ( x ; y ) del arco de una curva (hom ogénea), cuya

ecuación es y = f ( x ) con x 6 [a; b] , donde / es una func ión con derivada

continua en [a; b ] , está dado por

_ f c x j i + i f ' i x w d x f / w y i + i / ' M P d *

j ^ i + [ f ( x ) Y d x ' y j ab y i + [ f ' ( x ) ) 2 dx

U sando estas fórmulas, determine el centro de gravedad de las curvas cuyas

ecuaciones son

2,------------ / 2 a1. y = V a 2 - x 2 R. —

x ( a ( e 4 + 4 e 2 - 1)2. y = a c o s h - , x £ [ - a ; a ] R■ (0 ;

a ' 1 ' J V ' 4e (e2 -

/ '3. x = a ( t - sen t ) , y = a ( l - eos t) , t e [0;27r] R. (?ra ;-

4 a \

3 /

r Til / 2a 2 a \4. x = a c o s 3t , y = a s e n 3t , t e [ 0 ; - j R.


APLICACION ES DE LA IN TEGRAL DEFINIDA

4.7 A PLICA CIO N ES DE LA INTEGRAL EN LOS N EG O CIO S

4.7.1 E X C E D E N T E D E L C O N S U M I D O R

( onsiderem os la función dem anda p = f ( q ) de un determinado artículo, donde

1/ representa la cantidad de artículos que se demandan al precio unitario p. La l’i áfica de esta función es la curva de demanda.

Si el precio en el mercado del artículo en m ención es p0 y la correspondiente

cantidad dem andada es q0, entonces los consum idores que estuviesen en

condiciones de pagar por el artículo un precio m ayor que p 0 ganan, por el sim ple hecho de que el precio en el mercado es menor.

Majo ciertas hipótesis económ icas, la ganancia total del consum idor se representa

por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = p 0 (Fig. 4.73). A esta

arca se le denom ina excedente del c o n su m id o r (E C ) y está dado por

/ fQo \ / r q n

V -'O / V - 'O /

IJna form a alternativa de calcular el excedente del consum idor es

(u. m. sign ifica unidades monetarias)

p = /(?)<=> ? =

Q

Fig. 4.73

Considerem os la función oferta p = f ( q ) de un determinado artículo, donde q es la cantidad de artículos ofertados al precio unitario p. L a gráfica de esta

función es la curva de oferta.

S i el precio en el mercado del artículo en m ención es p 0 y la correspondiente

cantidad ofertada es q0, entonces los productores que estuviesen en condiciones de vender el artículo a un precio menor, ganan, por el sim ple hecho de que el

precio en el m ercado es mayor.

Ba jo ciertas hipótesis económ icas, la ganancia total del productor se representa

por el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p 0 (F ig. 4.74). A esta área

se denom ina excedente del p ro d u c to r (E P ) y está dado, por

Ep = ( f [ P o - f ( ‘})]dqSju .m .= ^p0q0 - J f(q )dq ju .m .

U n a form a alternativa de excedente del productor es '

EP = ( í 9 ( .P)dp^u.m., donde g = / -1 y P i = / (O )


4.7.2 E X C E D E N T E D E L P R O D U C T O R

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l' Jt'iiiplo 4 9 S i la función demanda es p = 9 - a 2 v o - 5 Hallp m ^ ) ili'l consum idor. q > Po “ Halle el cxccdcnie

A P L IC A C IO N E S D E LA IN T EG R A L D E F IN ID A ’

Sol ución

I .i región se muestra en la figura 4.75. Con la ayuda de ¡a figura se obtiene

EC = f \(9 — q 2) — 5jcJ<7 =-Ai

16i!, m.

excedente del productor.

So lu c ión

a región se muestra en la figura 4.76. A s í, resulta

EP — f [16 - (4 + 3 q 2)] dq = 16 u. Jo

m.

Ejem p lo 51 Las funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia

perfecta son p = 227 - - q 2 y p = 2 + 2q2 respectivamente. Determ ine el

el correspondiente excedente del consum idor y el excedente'de productor.

So lu c ión

L I precio en el mercado y la correspondiente cantidad está determinado por el

punto de equilibrio E (F ig. 4.77). E l punto de equilibrio es la intersección de las curvas de oferta y de demanda, esto es,

2 2 7 4 - 2 + 2 q 2 => q 2 _ 1 0 0 => qe = 1 0 , de donde pe = 202


Fig. 4.78

Luego,

500 dq = — 11. m.

r 10 1EC = I 2 27 - j q 2 ~ 202

J0 4

r 1° 4000EP = J [202 — (2 + 2q2)] dq = - u.m

E je m p lo 52 L a cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de

m onopolio, se determ inan por la función de dem anda p = — (10 — q Y y el costo

3total es C = — + 5a de tal m anera que se m axim ice la utilidad. Determ ine el

4-correspondiente excedente del consum idor.

So lu c ión

L a utilidad es U = I — C , / = in g re so y C = costo total

W = 0 =* /' - C' = 0 =» lMg = CMg

" L a utilidad se m axim iza si el ingreso m arginal (/ ' = IMg) es igual al costc

m arginal (C' = CMg)”.C om o / = pq donde p = p rec io de venta y q = can tid ad vend ida, entonces

1 3 9/ = -(10 - q ) 2q => IM g = 2 5 - 10q + -(?3 3

Luego IMg = CMg => 25 - lO q + - q 2 = - ^ 2 + 5 => q = 2

En q = 2 , la utilidad es m áxim a porque U " ( 2) = - 1 0

Por tanto,

r 2r2ri i 26= j j - ( i 0 - q ) 2 - 16j de/ = Y (F ig .4 .7 8 )


Ejemplo 53 Actualm ente el k ilo de huevo cuesta S/. 4,6. L o s estudios realizados

indican que dentro de x semanas, el precio estará cam biando a razón de0,09 + 0 ,0 0 0 6 x 2 soles por semana. ¿Cuánto costará el k ilo de huevos dentro de 10 sem anas?

Solución

dp r 10(.orno — = 0,09. + 0 ,0 0 0 6 x 2 = * I (0,09 + 0 ,0 0 0 6 x z)d x es el aum ento en el

precio dentro de 10 semanas

Luego, dentro de 10 semanas el k ilo de huevo costará

10

(0 ,09 + 0 ,0 0 0 6 x 2) dx = 4,6 + 1,1 = S/ . 5,7I

Ejemplo 54 Halle la cantidad producida que m axim iza la utilidad y la

correspondiente utilidad total (suponiendo competencia perfecta) si el ingreso

m arginal es ¡Mg = 2 4 - 6q - q 2 y el costo m arginal es CMg = 4 - 2 q - q 2.

Solución

La utilidad se m axim iza (suponiendo competencia perfecta) cuando el ingreso

marginal (/Mg ) es igual al costo m arginal ( CMg ) , luego

2 4 - 6q - q 2 = 4 - 2q - q 2 => q = 5

C om o U' = UMg = IMg — CMg = 2 0 - 4 q y U "( 5) < 0, entonces la utilidad

se m axim iza cuando q = 5 y la utilidad m áxim a es

U =

Ejemplo 55 U n a empresa textil ha comprado una m áquina cuya producción

representa ganancias en un tiempo t dadas por 6 = 2 7 - 2 t z , donde G está en

unidades de S /. 3000 y t está en años. E l costo de reparación y m antenim iento en

el tiem po t está dado p o r ñ ( t ) = - t 2 + 2 1, donde R está en un idades de S/. 3 0 0 0

y t está en años. Supon iendo que la m áquina puede retirarse sin costo a lguno en

cualquier tiempo, ¿cuántos años se debe mantener la m áquina para m axim izar la utilidad neta?

Solución

Las ganancias son iguales al costo de reparación y mantenim iento (Fig. 4.6)

cuando1

2 7 - 2 t 2 = - t 2 + 2 t => t = 3J

APLICA CIO N ES DE LA IN TEGRAL DEFINIDA

4.7.3 O T R A S A P L IC A C IO N E S

í (2 0 - 4 q ) dq = 50 u .m . Jn

p = 4,6 +

TÓPICO S D E CÁLCULO - VOLU M EN II

Por tanto, la m áquina debe retirarse después de 3 años. L a utilidad neta después

de 3 años es

Luego, la utilidad neta después de 3 años es de 153 000 soles.

E je m p lo 56 E l va lor de reventa de cierta máquina industrial d ism inuye durante

un período de 10 años a una tasa que cam bia con el tiempo.

Cuando la m áquina tiene x años, la tasa a la cual está cam biando su va lo r es de

2 2 0 (x - 1 0 ) soles por año. ¿ E n qué cantidad se deprecia la m áquina al cum plir

dos años y cuál es su precio de reventa si su costo fue de S/. 12 0 0 0 ?

SolucióndV

Si V es el va lo r de la m á q u in a , — = 2 2 0 0 — 10); luego,

V(x) = J 2 2 0 ( x - 1 0 ) =* V{x) = H O x 2 - 2 2(Ubc + C

C om o K 0 ) = 12 0 0 0 => C = 12 0 0 0 y V(x) = 1 1 0 x 2 - 2 2 0 0 x + 12 000 .

Por tanto, V (2 ) = 8 0 4 0

E l precio de reventa es de SI. 8040, y la m áquina ha su frido una depreciación de

SI. 3960.

Otro método para resolver este problema. E l valor de depreciación es

Esto sign ifica que la máquina, en dos años se deprecia en Sí. 3 960 , en este

tiempo el va lor de reventa es 12 0 0 0 - 3 9 6 0 = S / . 8 0 4 0

1. S i la función demanda es p = 2 5 - q 2, halle el excedente del consum idor si

la cantidad dem andada en el m ercado es q0 = 3 R. 18 u. m.

2. S i la func ión de oferta es p = 3 ln (q + 2 ) , halle el excedente del productor

si el precio de venta en el m ercado es p 0 = 3

3. Las funciones de dem anda y oferta en situación de libre competencia son

p = _ ( 9 - q ) 2 y p = - ( 1 + 3 q) respectivamente. Calcule el excedente del4 4

consum idor y el excedente del productor.

27 - 2 t -

o

E JE R C IC IO S


■I La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de m onopolio,

se determinan por la función de demanda p = 4 5 - q 2 y el costo total

C = 7 + 6q + q 3/ 12 de manera que se m axim ice laj utilidad. Ca lcu le el

correspondiente excedente del consum idor. R. 1 6 V 3 u . m.

V E l va lor de venta de cierta m áquina industrial d ism inuye a una tasa que

cam bia con el tiempo. Cuando la m áquina tiene t años, la tasa a la cual está

cam biando su valor es - 9 6 0 e ~ t/,s soles por año. S i ei costo áe ¡a m áquina

fue de S/. 5000, ¿cuá l será su valor 10 años más tarde? R. S/. 849,63

(«. U n fabricante calcula que sus ingresos m arginales son de j lOOQQ q soles

por unidad cuando su producción es de q unidades. Se ha encontrado que su

costo m arginal correspondiente es de 0,4 q soles por unidad. Cuando su nivel

de producción es de 16 unidades, su utilidad es de S/. 520. ¿C u á l es su utilidad

cuando su nivel de producción es de 25 unidades? R. S/. 646,20

7. U n fabricante ha encontrado que su costo m arginal es de 6q + 1 soles por

unidad cuando se han producido q unidades. E l costo total de la primera unidad es de S/. 130

a) ¿C u á l es el costo de producción de las 10 primeras unidades?

b) ¿C u á l es el costo de producción de la décim a un idad?

c) ¿C u á l es el costo fijo ?

R. a)S/. 436 b) S/. 58 c) S/. 126

X. La tasa de crecim iento de la población de cierta ciudad cam bia con el tiempo.

Lo s estudios indican que dentro de x meses la tasa de crecim iento de la

población será de 4 4- 5 x 2/3 personas por mes. L a población actual es de 10000 habitantes. ¿C u á l será la población dentro de 8 m eses?

R. 10125 personas

(). E l precio del pollo es actualmente de Si. 4,5 por kilo. Se espera que dentro de

x semanas el precio estará aumentando a una tasa de 0 ,0 3 V x + 1 soles por semana. ¿C uán to costará el k ilo de pollo dentro de 8 sem anas?

R. S/. 5,02 el k iio10. Halle la cantidad que m axim iza la utilidad y la correspondiente utilidad

m áxim a si el ingreso m arginal es IMg = 2 0 - 2 q y el costo m arginal es

CMg = 4 4- (q — 4 ) 2

11. Las funciones de oferta y demanda son, respectivamente p = 1 f ln (q + 1)

y p - 5 - ln (q 4- 1) . Halle el excedente del consum idor y el excedente del

productor. R. EC = EP = ( e 2 - 3 )u .m .

12. L o s prom otores de una feria de una ciudad calculan que t horas después de

que se abran las puertas (9 a.m.) los visitantes estarán entrando a la feria a

una tasa de 5 4 ( t + 2 ) 2 - 4 ( t 4- 2 ) 3 personas por hora. ¿Cuántas personas entrarán a la feria entre las 10 a.m. y el m edio d ía ?

APLICACION ES DE LA IN TEGRAL D EFIN ID A



I í. Una empresa lia comprado una máquina cuya cantidad producida representa

ganancias en un tiempo t dadas por G (t) = 20 — 3 t 2 , donde t está en años

y G está en unidades de S/. 10000. E l costo de reparación y mantenim iento

en el tiempo está dado por R( t ) = 2 t 2, donde R está en unidades de

S/. 10000 y t está en años. Suponiendo que la m áquina se puede retirar sin

costo a lguno en cualquier tiempo t, ¿Cuántos años se debe mantener la

m áquina para m axim izar las ganancias netas totales?

R. Dentro de 2 años y UN ' = S/ . 2 6 6 6 66 ,6 6

14. U na com pañía está considerando la adición de personal para propaganda. E l1

costo de adición de este personal está dado por C (x ) = —x, donde C está en

unidades de S /. 600 y x es el número de personas agregadas. E l ingreso

obtenido con el personal adicional es /(x) = 2 -¡x , donde / está en

unidades de S/. 600 y x es el número de personas agregadas. ¿Q u é número

de personas para propagandas deben agregarse para m axim izar la utilidad,

cuál es el ingreso neto adicional (suponer que las funciones son continuas)?.

15. La utilidad m arginal de cierta compañía es de 1 00 — 2x soles por unidad

cuando se producen x unidades. S i la utilidad de la com pañía es de S/. 700

cuando se producen 10 unidades ¿C uá l es la utilidad m áxim a posible de la

com pañía?R. S/. 2300

16. E l costo m arginal de un fabricante es de 3(qr — 4 ) 2 soles por unidad cuando

su n ivel de producción es de q unidades.

a) Exprese el costo total de producción del fabricante en térm inos de sus

gastos generales (costo fijo) y el número de unidades producidas.

b) ¿C u á l es el costo de la producción de 14 unidades si el costo fijo es de

S/. 4 3 6 ?

17. La s funciones de demanda y de oferta, en situación de competencia pura son

respectivamente, p = 3 0 — q 2 y p = 2q 2 + 3 , halle el excedente del

productor.

18. S i la func ión de demanda es p = j 20 — q y la cantidad dem andada es

q0 = 4 , halle el excedente del consum idor.

19. Halle la cantidad producida que m axim ice la utilidad (suponiendo

competencia pura) y determinar la utilidad total en d icho punto si las

funciones de ingreso m arginal y de costo total están dadas por

Í M g = 2 4 - 5 q - 2q 2 y C M g = 1 1 - 3 q - q 2


COORDENADAS POLARES

- S Í '

5.1 S I S T E M A D E C O O R D E N A D A S P O L A R E S

La posición de un punto P en un plano se puede indicar usando las

c oo rdenada s polares. Para ello, se

considera una semirrecta orientada

OA llamada eje po la r, que usualmente

se considera en form a horizontal y que

se extiende hacia la derecha (Fig. 5.1);

al origen O del eje polar se denom ina o rigen o polo.

A cada punto P de! plano se le asigna

un par (r; 9) donde r es la longitud

del segmento OP y 9 es la medida

en radianes del ángulo cuyo lado

inicial es el eje polar y el lado terminal

es el segmento OP.

A l par (r; 9) se denom ina coo rdenada s polares de P y se denota P ( r ; 9) , r es

llamado ra d io vecto r y 9 es el á n gu lo polar. De la Fig. 5.1- podría deducirse que

r > 0 y O < 0 < 2 7 r , pero éstas no son las condiciones generales. Para asociar

las coordenadas polares a un punto y formar el sistem a de coo rde n ada s po la re s en el plano es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. S i el ángulo AOP se desplaza a partir de OA en sentido antihorario, 9 es positivo y negativo en caso contrario.

2. A la semirrecta OA' que form a con el eje polar un ángulo de m edida 9 se

denom ina eje 0 . E l radio vector r es positivo si P está situado en el eje 9 , y

es negativo si P está en la p rolongación del eje 9 .

3. E l polo 0 está unívocam ente determinado por r = 0 , es decir, al polo se le

puede asignar el par (0; 9) , donde 9 es cualquier número real.

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*

• *(-*;) • ■ s(3;ir) • F<3:" 1)SoluciónPara ubicar estos puntos con m ayor facilidad usaremos la roseta polar (Fig. 5.2).

En esta roseta polar, r es constante en cada circunferencia y en cada semirrecta, 9

es constante. A sí, los puntos A, B , C , D , E y F se muestran en la Fig.5.2.

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUM EN 11

Kjcinplo 1. Ubique en el plano los puntos cuyas coordenadas polares son

Observación 1

a) Para establecer la correspondencia biunivoca entre puntos del plano y las

coordenadas polares se debe considerar los valores principales

r > 0 y 0 < 0 < 2tt (1)

b) Cuando no se considera la restricción (!) a un punto dado, se puede asociai-

infinitos pares de coordenadas polares (r; 9). Si las coordenadas polares de

P son (r; 0), también son coordenadas de P los pares:

( ( - l ) n r ; 9 + n n ) , n 6 2 (2)

Por ejemplo, ctl punto C ( 2; u) se puede asociar las coordenadas pola) es

(-2; 2rr) , (2; 3tt), (2; -7r), (2; 5rr), (-2; 6tt), ..., etc.

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5.2 R E L A C I Ó N E N T R E L A S C O O D E N A D A S P O L A R E S Y L A S

C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S

Considerem os el sistema de coordenadas

rectangulares xOy , con Öx = OA , donde

OA es el eje polar (Fig. 5.3).

S i P es un punto del plano cuyas

coordenadas rectangulares y polares son

O ; y ) y ( r ; 0 ) respectivamente, el cambio

de coordenadas rectangulares a coordenadas

polares se efectúa considerando las relaciones:

x = r co s 9y = r sen 9 ^

Inversamente, el cam bio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares se efectúa a través de las relaciones

r 2 = x 2 + y 2 ó r = ± / x 2 + y 2 y y

tan 8 = — ó 9 = arctan —

E jem p lo 2

n) Halle ¡as coordenadas rectangulares dei punto P

b) Halle las coordenadas polares del punto P ( - v '3; - 1 ) .

So lu c ión

a) r = 4 , 6 = - = * x = 4 e o s ^ , y = 4 s e n ^ = » P (2 v 3 ; 2).

b) x = - V 3 , y = - 1 = > r = ± 2

tan 6 = — (3e r cuadrante) => 8 — — ==> p Í 2 - — 'j6 V ’ 6 /

E jem p lo 3. En (a) y (b) halle la ecuación polar de la curva dada y en (c) y (d) halle la ecuación cartesiana de la curva.

a) x 2 + y 2 = a 2 , a > 0 (circunferencia)

b) (x 2 + y 2) 2 = a 2( x z - y 2) , a > 0 (lemniscata de Bernoulli)

C O O R D E N A D A S PO LA RES


c) r • - 4 sen 0 (circunferencia)

2d) r = ---------- (elipse)

2 - eos 8So luc ión

a) x 2 + y 2 = a 2 =3^r2 = a 2 =» r = ± aLa ecuación polar de una circunferencia de radio a (a > 0 ) y centro en el

origen es r = a ó r = - a .

b) ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2) => r 4 = a 2( r 2 cos2& - r 2 se n 20 )

=> r 2 = a 2 c o s22 0

c) r = 4 sen 0 => r = 4 - =» r 2 = 4y => x 2 + y 2 = 4y' r

x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4 (circunferencia de centro (0; 2 ) y radio 2)

2 2 „ 2

d ) r = 2 ^ é 3 r = j n = , 1 = 2 F ^ Í¿ r

=> 2 r - x = 2 => 4 r 2 = (2 + x ) 2 =* 4 ( x 2 + y 2) = (2 + x ) 2

=> 3 x 2 + 4 y 2 - 4 x - 4 = 0 (elipse)

5.3 D I S T A N C I A E N T R E D O S P U N T O S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S

La distancia entre los puntos

¿ f a ; 0X) y f í ( r 2; 02) está dada por


d = J r j 2 + r 2 - 2 r tr2 eos (0 2 - 0 ^

La dem ostración se realiza usando la

ley de los cosenos en el triángulo AOB (Fig. 5.4).

Por ejemplo, la distancia entre los

puntos A ( —3; 7 n / 1 2 ) y ( 5 ( 5 ; ír / 4 )

es

I 7Td = 19 + 25 + 3 0 e o s - = 7 Fig. 5.4


COORDENADAS POLARES

I. Sea L una recta que no pasa por el origen. S i N(p; w ) es el par principal de

coordenadas polares del pie de la perpendicular trazada del polo a la recta L y P(r; 8 ) es un punto de la recta L (Fig.55), la ecuación polar de la recta es

r c o s(0 — oj) = p (5 )

5.4 E C U A C IÓ N P O L A R D E UNA R E C TA

II. S i la recta L pasa por el origen (Fig. 5.6), su ecuación polar es

8 = a , a constante

Observación 2

i) Si la recta es perpendicular al eje polar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en

r = eos 8 = ± p , p > 0 (6 )

El signo de p es posit ivo si la recta está a la derecha del polo, y es negativo si está a la izquierda.

i i) Si la recta es paralela al eje polar y está a p unidades del polo, la ecuación (5) se transforma en

r sen 8 = ± p , p > 0 (7 )

El signo de p es posit ivo si la recta está po r encima del eje polar, y es negativo si está po r debajo del eje polar.

iii) La ecuación polar r e o s (8 - ùj) = p es equivalente a la ecuación (cartesiana) normal de la recta

x eos cü + y sen o) = p

iv) Una ecuación polar de la recta que pasa por los puntos A f a ; 8 X) y B (r2>s 2) es

rxr s e n (0 ! - 9) + r 2r se n (0 - 0 2) = r i r2 s e n (0 ! - 0 2) (8 )



a) Halle la ecuación de la recta perpendicular al eje polar que pasa por el punto

i4(6; 2 n / 3 ) .b) Halle la ecuación de la recta paralela al eje polar que pasa por el punto

B( 2 V 2 ; ff/4).

c) Halle la ecuación polar de la recta cuya ecuación cartesiana es

3 V 3 x 4- 3 y 4- 2 4 = 0

d) Halle una ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por los puntos

/ i(4 ;2 7 r/ 3 )y B ( 2 V 2 ; tt/4 )

So lu c ión

a) En la Fig. 5.7 se observa

p = 6 co s(2 7 r/ 3 ) = - 3

Luego, la ecuación polar de la

recta L es

r eos 9 = - 3

Kjcinplo 4

b) p = 2 V 2 co s(7 i/4 ) = 2. Luego, la

ecuación polar de la recta es

r sen 0 = 2

c) Considerando la equivalencia de la ecuación polar con ia ecuación normal, es

necesario transform ar la ecuación dada en su form a normal. Por geometría

analítica, se sabe que si la ecuación cartesiana de una recta es de la forma

Ax 4- B y 4- C = 0 , C * 0 ( * ) ____________________

la ecuación norm al se obtiene d iv id iendo ( * ) entre +^¡A2 4- B2, donde el

signo del radical es opuesto al signo de C. E n nuestro caso, se tiene A = 3>/3 ,

B = 3 y C = 4-24. Por tanto, d iv id im os entre - J ( 3 V 3 ) 2 + 3 2 = - 6 y la

ecuación normal de la recta es:

V 3 1-------x — y = 4

2 2

D e esta ecuación se deduce que co so ) = - V 3 / 2 , sen (o = - 1 / 2 y p = 4.

De los valores del seno y del coseno se concluye que o) está en el tercer

cuadrante y a) = 7 n / 6 . Por tanto, la ecuación polar de la recta es

r c o s (0 — 77t/6 ) = 4

d) La ecuación polar de la recta que pasa por los puntos yl(4;27r/3) y

B (2 V 2 ; ír/4 ), usando la fórm ula (8), está dada por

4 r sen ( y - d'j + 2 V 2 r sen ( 0 - = 8 V2 s e n ^ |

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COORDENADAS POLARES

5.5 E C U A C IÓ N P O L A R D E U N A C I R C U N F E R E N C I A

La ecuación polar de una circunferencia

de centro C(p; a ) y radio a, a > 0, es

r 2 + p 2 — 2 rp cos(9 — a ) = a 2 (9 )

En la Fig. 5.8 se observa que si P(r; 8) es un punto de la circunferencia, aplicando la ley de los cosenos en el

triángulo OCP, se obtiene la ecuación (9).

Observación 3

i) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje polar (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a

r = 2 p c o s 0 ( 1 0 )

El centro de esta circunferencia es C(p; 0 ) y su radio es |p|.

ii) Si la circunferencia pasa por el polo y su centro está en el eje n / 2 (o su prolongación), la ecuación (9) se reduce a

r = 2p sen 9 ( 1 1 )

El centro de esta circunferencia es C(p; n / 2 ) y su radio es \p\.

iii) Si el centro es el polo (p = 0 ) , la ecuación (9) se reduce a

r = ± a ( 1 2 )

E je m p lo 5. Halle la ecuación polar de la circunferencia tal que:

a) Su centro es el polo y su radio es 4 b) Su centro es C ( - 5; n /2 ) y su radio es 5

c) Su centro es C (3; 0) y su radio es 3 d) Su centro .es C(3; 7r/6 ) y su radio es 8So lu c ión

Usando convenientemente las fórm ulas dadas en (9), (10), ( 11) ó (12) se tiene

a) L a ecuación de la circunferencia es r = 4 o r = — 4.

b) L a ecuación de la circunferencia es r = 6 c o s 0 .

c) L a ecuación de la circunferencia es r = — 10 sen 9.

d) L a ecuación de la circunferencia es r 2 - 6 r c o s (0 - n / 6 ) = 55.


5.<» D I S C U S IÓ N Y G R Á F I C A D E U N A E C U A C IÓ N P O L A R

l’ara trazar la gráfica de una ecuación en coordenadas polares E ( r \ Q ) = 0, es

conveniente realizar los siguientes pasos:

I) In tersecciones

a) C on el eje polar. Se hace 6 = nn , n E TL, y se resuelve la ecuación resultante.

b) C on el eje n / 2 . Se hace 9 = tc/ 2 + nn ,n E l , y se resuelve ¡a ecuación

resultante.

c) C on el polo. Se hace r = 0 y se resuelve la ecuación que resulta.

I I) S im e tría s

a) Con respecto al eje polar. E n la ecuación se reemplaza ( r ; 8) por

( ( _ l ) n r; - 9 + nn), n E l . S i la ecuación no varía para algún valor de n, la

curva es simétrica con respecto al eje polar; si la ecuación varía para todo

n e 2, la curva no es simétrica con respecto al eje polar,

b) C on respecto al eje n / 2 . En la ecuación se reemplaza (r; 9) por( _ ( _ l ) n r; + n7rj ( n E TL. S i la ecuación no varia para algún valor de n, la

curva es simétrica con respecto al eje n / 2 \ si la ecuación varia para todo

n E l , la curva no es simétrica.

c) C on respecto al polo. Se reemplaza ( r ; 0 ) por ( - ( - l ) n r; 9 + nn), n E TL, en la ecuación de la curva. S i la ecuación no varía para algún valor de n, la

curva es simétrica con respecto al polo; si la ecuación varía para todo n EX, la curva no es simétrica.

(* ) S i P ( r ; 9 ) es cualquier punto de la

curva cuya ecuación polar es

E ( r \ 9 ) = 0, el punto simétrico de P con respecto al eje polar es S ( r \ - 9 )(Fig, 5.9).

Por observación 1, también son

coordenadas del punto S los pares

( ( - l ) ’V ; - 9 + nn), n E l . S i el

punto S pertenece a la curva,

( ( - l ) n r; - 9 + nn) también satisface

la ecuación para algún valor de n, es

decir, la ecuación no varía.

Por otro lado, si ( ( - 1 ) nr ; - 9 + n n) no satisface la ecuación de la curva para j

todo n E TL, sign ifica que S no pertenece a la curva, es decir, la curva no es ;

simétrica respecto al eje polar. D e manera sim ilar se deducen las condiciones

para que una curva sea sim étrica con respecto al eje n / 2 y al polo. i


i’ (r;6 )

Fia. 5.9

COORDENADAS POLARES

I I I) Ex ten sión . Se determina la variación de r y 8

IV ) T abu lac ión . Se tabulan los valores de r y 8.

V ) T ra z a d o de la gráfica . E n un sistema de coordenadas polares (es preferible

usar la roseta polar) se localizan los puntos obtenidos y se traza la cu rva con la inform ación obtenida en la discusión.

E jem p lo 6. Determ ine si son simétricas o no respecto al eje polar, al eje n / 2 y al polo, las curvas cuyas ecuaciones son:

a) r = 4 eos 8 + 2 (caracol) b) r 2 = 9 [sen + l ]

c) r — 3 (1 + c o s 0 ) (cardioide)

So lu c ión

a) i) Respecto al eje polar. Reem plazando en la ecuación (r; 8) por (r; - 0 ) ,

se obtiene que r = 4 c o s ( - 0 ) + 2 = 4 c o s 0 + 2. Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje polar.

ii) Respecto al eje n / 2 . A l reemplazar (r; 8) por ( - ( - l ) n r; - 8 + nn) , se

tiene que - ( - l ) n r = 4 c o s ( - 0 + nn) + 2.

S i n es par => - r = 4 eos 8 + 2 (varía).

S i n es impar => r = 2 - 4 eos 8 (varía).

Luego, la curva no es simétrica porque la ecuación varía para todo n G TL.

iii) Respecto al polo. A l reemplazar (r; 8) por ( - ( - l ) n r; 8 + nn) , se tiene que - ( - l ) n = 4 c o s (0 + nn) + 2.

S i n es par => - r = 4 eos 8 + 2 (varía)

S i n es impar => r = 2 - 4 eos 8 (varía)

L a curva no es simétrica con respecto al polo. L a gráfica del caracol r = 4 eos 8 + 2 se muestra en la figura 5.10.

b) i) Respecto al eje polar. Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 8 ) por(r; 2n - 8) , se tiene

Por tanto, la curva es simétrica con respecto al eje polar.

ii) Respecto al eje n / 2 . Para n = 2, es decir, reemplazando (r; 8 ) por ( — r; 2n — 8) , se tiene

Por tanto, la curva es sim étrica con respecto al eje n /2 .

iii) Respecto al polo. L a ecuación no varía al reemplazar (r; 8) por ( — r; 8) (para n = 0). Luego, la curva es simétrica respecto al polo y su gráfica se muestra en la Fig. 5 .1 1.


c) i:i cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) es simétrico con respecto al eje polar. N o es

simétrico respecto al eje n / 2 ni respecto al polo (verificar).I,a gráfica del cardioide r = 3 ( l + c o s 0 ) se muestra en la Fig. 5.12.

TÓPICO S DE CALCULO - VOLUMEN II

110“ ‘ . \

*"*N A V " i / V ^ s ;i . . r * l

✓ S/

\

K j I ' 1 *■*"...I i ' j J

/ y -s __

2 4 0 °

- \ x \

— *^\

cosO +2

i

\ / \ .

j k X \ ^ *

/ ' > & i . .

V

" 7

s¡§-3 N g Q /

a \ / \\ A

r = 3 (l + co s0 )

E je m p lo 7. D iscu tir y graficar la ecuación r — 4 eos 9 + 2 (caracol).

So lu c ión

Por la periodicidad del coseno, es suficiente considerar 8 6 [0; 2n].

I. In te rsecc iones

a) C on el eje polar. Reem plazam os 9 = nn en la ecuación y se tiene

r = 4 c o s (n 7 r) + 2.

S i n es par => r = 6 => (6; 0 )

S i n es impar => r = — 2 => ( - 2 ; n )

b) C on el eje n / 2 . Reem plazam os 9 = (tt/2 + nn) en la ecuación y obtenemos

r = 4 c o s (7t/ 2 + n n) + 2

S i n es par => r = 2 => (2; n / 2 )

S i n es impar => r — 2 => (2; 3 n / 2 )


c) C on el polo. Haciendo r = 0 en la ecuación, se obtiene 0 = 4 eos 6 + 2 ó

eos 9 = — 1/2. Luego, 8 = 2 n / 3 V 9 = 4 n / 3 . L a curva pasa por el polo.

II. S im etría s. E n el ejemplo 6 hemos visto que este caracol es sim étrico solamente respecto al eje polar.

III. Exten sión , fl £ M A - 2 < r < 6,

IV . T a b u la c ió n

COORDENADAS POLARES

9 0 n / 6 7T/4 n / 3 n / 2 2 n / 3 3 n / 4 S n / 6 7Tr 6 5,5 4,8 4 2 0 - 0 , 8 - 1 , 5 — 2

V. T ra z a d o de la gráfica . L a gráfica se muestra en la figura 5.10.

se" © + 1E je m p lo 8. D iscutir y graficar la ecuación r 2 = 9

So lu c ión

Procedemos de manera sim ilar a lo realizado en el ejemplo anterior.

I. In te rsecc iones

a) C on el eje polar. 9 = nn => r 2 = 9 [sen (n7 r/2 ) + 1],

S i n = 0 => ( 3 ;0 ) y ( — 3; 0). .

S i n = 1 => (4,2; 7r) y (— 4,2; 7r).

S i n = — 1 => (0; — 7r).

7T 71b) Con el eje 6 = - + nn

¿ ¿t( \ + n n \

sen — + 1

S i n = 0 => (3,9; n / 2 ) y ( - 3 , 9 ; tt/2).

S i n = 2 => (1,6 ; S n / 2 ) y ( - 1 , 6 ; Sn/2) .

c) C o n el polo, r = 0 => 9 = 3 n , 9 = 7n.

II. S im e tría s. L a curva es simétrica con respecto al eje polar, al eje n / 2 y al origen (ver ejemplo 6).

III. Extensión . 9 £ K y - 3 V 2 < r < 3V2.

IV . T a b u la c ió n (Ejercic io para el lector. Considerar que el período de la función es 47r)

V. T ra z a d o de la g ráfica . L a gráfica se muestra en la figura 5.11.

E jem p lo 9. Trace la gráfica de r = 1 — [2 sen 2 0 ] , 0 e [0; n].

So lu c ión

D iv id im os convenientemente el intervalo [0; 7r] de m odo que |[2 sen 2 0 ] tome un

solo valor entero en el subintervalo considerado.

Si 0 £ [0; 7T/12) => 0 < 2 sen 20 < 1 => |2 sen 20 ] = 0 => r = 1.

Si 0 e [tt/12; 7t/4) => 1 < 2 sen 20 < 2 => [2 sen 20 ] = 1 => r = 0.

Si 0 = ti/4 = ^2 sen 20 = 2 => [2 sen 2 0 ] = 2 =* r = - 1 .

Si 0 G <7t/4; 5tt/ 12] => 1 < 2 sen 20 < 2 => 12 sen 2 0 ] = 1 => r = 0.

Si 0 6 <5tt/12; jt/2] =* 0 < 2 sen 20 < 1 =* 12 sen 20 ] = 0 => r = 1.

Si 0 e ( j t / 2 ; 7tt/12] =* - 1 < 2 sen 20 < 0 => \2 sen 2 0 ] = - 1 => r = 2.

Si 0 6 <7tt/1 2; H tt/ 1 2 ) => - 2 < 2 sen 20 < - 1 =» [2 sen 2 0 ] = - 2 => r = 3.

Si 0 e [1171/12; 7r> => - 1 < 2 sen 20 < 0 => 12 sen 2 0 ] = - 1 =» r = 2.

S i 0 = 7r => 2 sen 20 = 0 => [2 sen 2 0 ] = 0 => r = 1.

La gráfica se muestra en la Fig. 5.13.

5.7 I N T E R S E C C I Ó N D E C U R V A S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S

P ro p o s ic ió n 1. S i r = / ( 0 ) es la ecuación de una curva en coordenadas polares,

entonces

( - l ) n r = / ( 0 + 7i7r) , n £ Z (1 3 )

es también la ecuación de dicha curva.

Considerando esta proposición, para hallar la intersección de dos curvas cuyas

ecuaciones en coordenadas polares son

r = f ( 6 ) y r = g ( 8 )

se siguen los siguientes pasos:

1. Se obtienen todas las ecuaciones distintas de las dos curvas aplicando (13 ) a

cada una de ellas.

r = f ( 9 ) , r = A ( 0 ) , r = f 2( 9 ) , ...

r = g ( 9 ) , r = g ^ G ) , r = g 2( 8 ) , ...

2. Se resuelven, para r y para 9, las ecuaciones simultáneas

r = m fr = /i(0) [ r = f(6)r = g ( 9 ) ' l r = ^ ( 0 ) ’ [ r = 5 l ( 0 ) ’ eiC '

LO Ü K U tN A D A SP O L A R E S

3. Se verifica si el polo es un punto de intersección haciendo r = 0 en cada

ecuación para determinar si existe solución para 0 (no necesariamente la so lución será la m isma).

I ara tener una idea respecto a la cantidad de puntos de intersección de dos curvas,

se sugiere trazar sus gráficas previamente de m odo que se sim plifique el trabajo.

E jem p lo 10. Halle las diferentes ecuaciones de las curvas

a) r = 2 + eos 2 0 b) r = 2 + sen 0

a) Ap licando (13), las ecuaciones de r = 2 + eos 20 están dadas por

( - 1 ) nr = 2 + eos 2 (0 + n n ) , n E l

S i n es par = * r = 2 + eos 29 . S i n es impar = > - r = 2 + eos 29.

Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:

r = 2 + eos 29 y r = - 2 - eos 20

b) De manera sim ilar, las ecuaciones de r = 2 + sen 0 están dadas por

( - l ) n r = 2 + se n (0 + n n ) , n E TL

Si n es par => r = 2 + sen 0. S i n es impar = > - r = 2 - sen 0.

Luego, las diferentes ecuaciones de la curva son:

r = 2 + s e n 0 y r = - 2 + s e n 0

E je m p lo 11. Halle los puntos de intersección de las curvas cuyas ecuaciones en

coordenadas polares son V 2 r = 3 y r 2 = - 9 eos 20.

Las gráficas de estas curvas se muestran en la Fig. 5.14. Considerando las

simetrías de estas curvas (respecto al eje polar, al eje n / 2 y al polo), es suficiente hallar un punto de intersección.

A l resolver simultáneamente sus i— — — — — -♦ i . , i ' - 7 C O S ( Z t

ecuaciones, se obtiene T

9 1

So lu c ión

So lu c ión

Luego, los puntos de intersección son:

- = — 9 eos 2 0 = > c o s 2 0 = —2 2

J lr = l

Fig. 5.14



K je inp lo 12. Halle los puntos de intersección de las curvas

r = 2 eos 0 y r = 2 sen 6

So lu c ión

Las gráficas de estas curvas

(circunferencias) se muestran en la figura

5.15. E s evidente que el polo es un punto de

la intersección (en r = 2 eos 6 para

G = 7r/2 => r = 0; en r = 2 sen G para Q - o => r = 0).

N o es necesario hallar las diferentes

ecuaciones de las dos curvas, ya que al

resolver simultáneamente sus ecuaciones se

obtiene

2 eos 6 = 2 sen 6 => tan 6 = 1 => Q = —4

Luego, los puntos de intersección son P ( V 2; 7r/4) y el polo.

E je m p lo 13. Halle los puntos de intersección de las curvas

r = 4 (1 + sen 6) y r ( 1 - sen 6) = 3

So lu c ión

Las gráficas de r = 4 (1 + sen 6 ) (cardioide) y r ( 1 - sen 0 ) = 3 (parábola) se

muestran en la Fig. 5.16. Se observa que el polo no pertenece a la intersección.

N o es necesario hallar las otras ecuaciones de estas curvas, pues al resolver

simultáneamente sus ecuaciones se obtienen los cuatro puntos que se observan en

el gráfico. E n efecto,

4 (1 + sen 6) = 3 / (1 - sen 6) ^ 4 e o s26 = 3 => eos 6 = ± V 3 / 2

l l r c

~ 6 ~

Sn 7n

T ’ e - e ’ d

Luego, los puntos de intersección son

4 (6 ; 7r/6) , 6 ( 6 ; 5n /6 ) ,

C(2 ;7 tt/ 6 ) y D (2 ; l l7 r / 6 )

250

Fig. 5.16

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5.8 D E R I V A D A S Y R E C T A S T A N G E N T E S E N C O O R D E N A D A S P O L A R E S

Sea r — f ( 0 ) la ecuación de una curva. D e las fórm ulas

(x = f ( 9 ) eos 9 ( y = / ( 0 ) s e n 0

que son las ecuaciones paramétricas con parámetro 0, de donde

C O O R D E N A D A S PO LA R ES

x = r e o s 9 A y = r sen 6 se obtienen P(y =

d yd y _ ¿e_ d y _ f ' { 9 ) sen 8 + / ( 0 ) eos 9d x dx^' dx / '( 0 ) eos 9 — / ( 0 ) s e n 9

dG

(1 4 )

C om o sabemos, esta derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x ; y ) , es decir,

d y— = tan a dx (1 5 )

donde a es el ángulo de inclinación de la recta tangente a la curva.

Sea P ( r \ 9 ) el punto de tangencia y /? el ángulo que forma el radio vector O P y la recta tangente. Exam inarem os los siguientes casos:

En el caso (a): a = 9 + p => p = a — 9

En el caso (b): p = a + n - 9 => p = n + ( a - 9) , de donde:

tan p = tanfrr + ( a - 0 )] = t a n (a - 9)

L o que sign ifica que en am bas situaciones se verifica tan p = ta n (a - 0 ), esdecir,

tan p =tan a — tan 9

1 + tan a tan 9(1 6 )


C o n s id e r a n d o ( 1 4 ) y ( 1 5 ) se o b t ie n e

tan /? =

/ '( 0 ) s e n 0 + / ( 0 ) cosd _ fí f ' ( 9 ) eos 6 - / ( f l) se n 6

i 4. f i a s e n e + f{B) cose 1 + f ' f ñ 'l rnc fí - f fffYcen fí/ ' ( 0 ) eos 0 - / ( 0 )se n fí

Sim plificando se obtiene

/ (« )tan/? = -777^ -, esto es,

f i e y

d rtan P ~ ° d 0 : : : r c o t i? <-1 ? ')

l e

“L a derivada del radio vector r respecto al ángulo polar 6 es igual al producto de

la longitud del primero por la cotangente del ángulo form ado por el radio vector y

la tangente a la curva en el punto dado”.

E je m p lo 14. Halle los valores de P, a y las ecuaciones cartesiana y polar de la

recta tangente a la curva r = a ( 1 — eos 0 ) en 0 = tt/6 ( a > 0).

So lu c ión

L a gráfica de r = a ( l — eos 0 )

(cardioide) se muestra en la Fig. 5.18.

drd6

= a sen 6, de donde

tan /?a ( 1 - eos 0 )

a sen 0

2 se n 2 2

o 0 02 sen 2 eos 2

Luego, tan /? = tan (0 / 2 ), de donde

* = 2 = > *

7T

12

120” J \ \ y*

I

L 60°

/ S /

^ ^1 1 J

240"

K /ap S N T /

270" 300°

El m ism o resultado se obtiene al reem plazar 0 = tt/ 6 en tan /? -

Fig. 5.18

(1 - eos 0)

a = e + p => « = jr/6 + n / \ 2 => a = rr/4 y la pendiente de la recta

m r = 1

COORDENADAS POLARES

O lía form a de obtener la pendiente es usando la fórm ula (14)

d y / '( 0 ) s e n 8 4- / ( 0 ) c o s 0 d r~ TT7ñ\-------o-----7 7 7 ------ 7 ■ d onde f ' { 9 ) = — = a sen 0d x f ' { 8 ) c o s 8 - f ( 8 ) s e n 8 J d9

Reemplazando 8 = n / 6 en esta expresión se obtiene

d y— • = m r = 1 dx

Las coordenadas rectangulares (x; y ) del punto de tangencia son

V 3 a / V 3 \ a ( V 3x 0 = r c o s 0 = — I 1 - — 1, y 0 = r s e n 0 = - í l - ~

La ecuación cartesiana de la recta tangente es y - y 0 = l ( x - x 0), es decir,

5 - 3 V 3x - y + • -a = 0

y la ecuación polar de esta recta es

r eos7n \ _ 3 V 3 - 5

4 ) 4 V 2

E jem p lo 15. Halle las ecuaciones cartesiana y polar de la recta tangente a la

curva r 2 = 9 eos 2 8 en el punto P ( 3V 2/2 ; n /6 ) .

So lu c ión

C om o r 2 = 9 eos 2 8, derivando implícitamente se obtiene:

9 sen 28

Luego,

d y

dx

r' se n 8 + r eos 8r' eos 8 - r sen 8

Reem plazando

3 V 2 7T , 3 V 3r = - . e = -& y r

obtenemos

d y

dx

3 n À

4 \

— 1 ' 1 1

1 1t

s / s /

.. X p ^ t

V v V Vv / ■

** _

S r 1 —i— j — ► / 7

— X sX \

= 0 = m T

Las coordenadas cartesianas de P son x - 3 ^ / 4 , y

ecuación cartesiana de la recta tangente es y = 3 ^ 2 / 4 .

Fig. 5.19

3\/2/4. Por tanto, la

La ecuación polar de està recta es r sen 8 = 3V 2/4 .

Ln la fig. 5.19 se muestra la gràfica de r 2 = 9 co s 28 (lemniscata de Bernoulli).


TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLU M EN II

5.9 Á N G U LO E N T R E D O S C U R VA S EN C O O R D E N A D A S P O L A R E S

Sean C y C' dos curvas que se

intersecan en el punto P. S i T y T' son, respectivamente, las rectas

tangentes a las curvas en el punto P, el

ángulo entre las dos curvas en el punto

P es el ángu lo form ado por las tangentes

T y T'.

S i las ecuaciones de las curvas C y C' están en coordenadas polares y /? y /?'

son, respectivamente, los ángulos que

forman el eje polar y las rectas tangentes

T y T' (F ig. 5.20), entonces:

4-TPT' = 4-OPT' - 4-OPT, es decir, 0 = /?' - P

Luego,

tan 0tan /?' - tan /?

Fig. 5.20

(1 8 )1 + tan /?'tan /?

(tan/ ? ' y t a n /? se calculan aplicando (17) en el punto de intersección de las

curvas)

Observación 4. Como la discusión del ángulo puede presentar dificultades, se calcula el ángulo agudo entre las tangentes a las curvas considerando ¡tan (p\. En todo caso, la interpretación gráfica del problema simplifica los cálculos.

E je m p lo 16. H a lle el ángulo de intersección entre las curvas 4 r c o s 0 = 3 y

r - 3 eos 6.

So lu c ión

D e la gráfica de las dos curvas (fig. 5.21),

se obtiene eos 0 = -

4 eos 6n Sn

“ " = 6 V 6 = ~ 6L o s puntos de intersección son

P (3 / 2 ; 7r/6) y <2(3/2; S jt/6).

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Solamente hallarem os el ángu lo entre las dos curvas en el punto P (se deja como ejercicio al lector el ángulo en el punto Q).

3 d r 3 sen 60 r - -ñ ^ ~T7T = 1------777 Y tan /?' - cot 0

4 co sfl dd 4 co s20 ^

. „ d rn) r = 3 eos 0 =* — = - 3 sen 0 y tan Z? = - 3 cot 0

dd r

Por la d irección de los ángulos y aplicando (18), se tiene:

tan p - tan /?' -cot 0 - cot 0tan tan 0 = - V 3 . Finalmente, (p = 2 n / 3 .

COORDENADAS POLARES

E JE R C IC IO S

I. Exprese en coordenadas polares los siguientes puntos dados en coordenadas rectangulares.

1) P ( 3 / 2 ; - 3 / 2 ) 2 ) P ( 1 ; - V 3 ) 3) ( - V 3 ; 1)

4) P ( V 8 ; V 2 ) 5) P ( — 8; 8 ) 6) (4; 4 ^ 3 )

II. Exprese en coordenadas rectangulares ios siguientes puntos dados en coordenadas polares.

I ) P (3 ;3 t t/ 4 ) 2 ) P ( - 2 ; n ) 3) P ( 4 ; - 2 7 r / 3 )

4) P ( — 2; — S tt/ 1 2 ) 5) P ( — 1/2; - tt/ 4 ) . 6) P ( 3 ; 2 )

III. H a lle las ecuaciones polares de:

1 • y - 5 = 0 R. r sen 0 = 5

2. x 2 - x 2y 2 - y 4 = 0

3. x 2 + y 2 — 4x + 2 y = 0 R. r — 2 (2 eos 0 — se n 0 )

4. 6 x y = 5 /?. 3 r 2 sen 2 0 = 5

5 . y 2 = x 3/ ( 2 a - x ) R. 2a tan 0 sen 0 = r

6. x 2 + y 2 — 2 y = 0 fl. r = 2 sen 0

7. 3 ( x — 2 ) 2 + 4 y 2 = 16 ß. r ( 2 - eos 0 ) = 6

8. y 2 - 4x - 4 = 0 R. r ( 1 - eos 0 ) = 2


9. 3 x 2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0 R. r 2( 3 + sen20 ) = 3 ( 2 r eos 0 - 3 )

1 0 . 2 x y = a 2 R- r 2 sen 20 - a 2

11. x 2 - y 2 = a 2 R. r 2 eos 26 = a 2

IV . H a lle las ecuaciones rectangulares de

1. r = a sen 9 - b c o s O Æ. x 2 + y 2 + b x - a y = 0

2. r 2 = a 2 eos 2 0 R. ( x 2 + y 2) 2 = a 2( x 2 - y 2)

3. r ( l - eos 0) = 4 R. y 2 = 8 ( x + 2 )

4. r ( 2 - eos 0) = 3 R. 3 x 2 + 4 y 2 - 6 x - 9 = 0

5. r ( l - 2 eos 0 ) = 4 R. 3 x 2 — y 2 + 1 6 x + 1 6 = 0

6. r = a ( l — eos 0 ) R. ( x 2 + y 2 - a x ) = a 2( x 2 + y 2)

7. r 2 eos 2 0 = 3 fí. x 2 - y 2 = 3

8. r = 2 eos 2 0 R. (x 2 + y 2) 2 = 2 ( x 2 - y 2)

9. r sen 2 0 = 4 R. x 2y 2 = 4 ( x 2 + y 2)

10. r = a sec 0 + b R. (x - a ) 2( x 2 + y 2) = ¿>2x 2

11. r sen20 = 4 eos 0 Æ. y 2 = 4 x

12. r = sen 20 ñ. ( x 2 + y 2) 3 = 4 x 2y 2

V . Eje rc ic ios diversos.

1. Dem uestre que el área del triángulo de vértices Cr i l ^ i) . ( r 3 ^ 3 )

está dada por

1 rsen (02 - 0 i ) se n (0 3 - 0 2) s e n (0 x - 0 3)]

r * ™ í— í — + — ñ — + ü 1

2. Halle la longitud de los lados y el área del triángulo de vértices

a) (1; 7t/ 3 ) , (2; ít/ 6 ) y (3; — tt/6 )

fí. J 5 - 2 V 3 , V 7 , V lÓ , ^ ( 3 V 3 - 2 )

b) (2 ; tt/ 8 ) , (4 ; 3 r r /8 ) y ( - 1 ; 7 tt/ 8 ) _________

/?. 2 j s ^ 2 V I , j 5 - 2 V 2 , V Í 7 , ^ ( 5 V 2 - 4 )

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COORDENADAS POLARES

i. Demuestre que el ángu lo entre las rectas:

r co s (0 - o)) = p y r co s (0 - a>') - p ' es a - (o

'1. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos i4 (r1; 0 1) y S ( r 2; 0 2).

Sugerencia: considere un punto P ( r ; 0 ) cualquiera de las rectas y las áreas de los triángulos OAB, OBP y OPA.

se n (0 t - 0 2) s e n (0 2 ~ 0 ) se n (0 — 0 j )----------------- - H---------------------- 1-------------------- = 0

r r x r2

5. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto ( r ^ - j y es perpendicular a la recta r e o s(0 - cu) = p.

R. r s e n (0 - coi) = T ^ s e n ^ - oj)

6. S i C ( a ; a ) es el centro de una circunferencia de radio a expresado en

coordenadas polares, demuestre que r = 2a eos (0 - a ) es la ecuación de la circunferencia que pasa por el polo.

7. P es cualquier punto de la circunferencia r 2 - 2 re eos (0 - a ) + c 2 - a 2 = 0.

S i O es el polo y Q un punto sobre OP de manera que:

OP _____i) = = k ii) OP.OQ = d 2

OQHalle la ecuación del lugar geométrico descrito por Q en cada caso.

R. i) k 2r 2 - 2 c k r c o s ( 8 - a ) + c 2 - a 2 = 0

ii) ( c 2 - a 2) r 2 - 2 c d 2r c o s ( 0 - a ) + d* = 0

8. S i el foco de una cónica (parábola, elipse o hipérbola) está en el po lo y ladirectriz de la cónica es una recta perpendicular al eje polar que está a una

distancia de 2 p (p > 0), la ecuación de la cónica está dada por:

2 epr = — ----------- , e es la excentricidad de la cónica (1 9 )

l ± e c o s 0 v J(la cónica es una elipse si 0 < e < 1 , una parábola si e - 1 y una hipérbola

si e > 1). S i la directriz está a la izquierda del polo, el s igno de (19) es en

cambio, si la directriz está a la derecha del polo, el signo de (19) es + .

S i el foco se mantiene en el polo y la directriz es paralela al eje polar, la ecuación de la cónica está dada por

2 ep

r ~ 1 ± e sen 0 (' 2 0 )

S i la directriz está debajo del eje polar, el s igno de (20) es - y si la directrizestá sobre el eje polar, el s igno es + .

a) Halle la ecuación de la elipse con foco en el polo, excentricidad e = - y

directriz perpendicular al eje polar en el punto ( — 4; 0).4

R. r =


2 — eos 8

b) Halle la ecuación de la parábola con foco en el polo y directriz

perpendicular al eje polar en el punto ( — 3; 0).

R. r1 - eos 0

c) Describa y grafique la curva r =16

5 + 3 sen 6R. elipse

V I.T ra ce la gráfica de cada una de las ecuaciones siguientes.

1. r = 5 sen 0 + 4 c o s 0

3. r eos 0 = 6

5. r 2 = 16 sen 20

7. r ( 1 + se n 0 ) = 8

9. r 2c o s30 = a sen 0

11. r = a se n 2 -

13. r = a 0, espiral de Arquím edes

15. r = a ( l + eos 0 ), cardioide

17. r 2 = a 2se n 20, lemniscata

19. r = 4 eos 30, rosa de 3 pétalos

21. r = a sen 30, rosa de 3 pétalos

23. r = a eos 20, rosa de 4 pétalos



28. r = a ( 2 + eos 0 ), caracol de Pascal.

29. r = a ( l - 2 eos 0 ), caracol de Pascal

30. r = 12 + 3 sen 2 0 ]

2. r sen 0 = 4

4. r z sen 2 0 = 16

6. r ( 2 — co s 0 ) = 4

8. r ( l - 2 co s 0 ) = 4, h ipé 'b o la

10. r = 2 a tan 0 sen 0, cisoide

3 012. r = a se n J -

14. r = e a0, espirai logaritm ica

16. r = a ( l - co s 0 ), cardioide

18. r 2 — a 2 co s 20, lemniscata

20. r 2 — 4 r + 3 + 2 co s 0 = 0

22. r = a se n 20 , rosa de 4 pétalos

24. r = a se n 4 0 , rosa de 8 pétalos

26. r = a se n 50, rosa de 5 pétalos


' 2'

3 tt>R. ( 2 V 2 ; Í ) ; ( 2 V 2 ; ^ )

COORDENADAS POLARES

31. |r| = 3 eos 2 0 , 0 e [0; tt]

32. |r| = - 3 eos 29 , 9 e [0; rr]

V II. Ejercicios sobre simetrías.

1. Determ ine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7r/4.

2. Determ ine la condición para que una curva sea simétrica con respecto al eje 7T/3.

V IH . Halle los puntos de intersección de los siguientes pares de curvas

1. r sen 9 = 2 a , r eos { 9 - = a R. ( 2a;

2. r = 2 esc 9 , r = 4 sen 0

3. r = a , r = 2a eos 2 0

4. r = a ( l - e o s 0 ) , r = a c o s 0 /?. y e| p 0 |0

5. 3 r = 4 eos 0 , r ( l + eos 0 ) = 1 R. (2/3; ± tt/ 3 )

6. r = 4 tan 0 se n 0 , r = 4 eos 0

7. r 2 sen 20 = 8 , r eos 0 = 2

8. r = 1 + c o s 0 , 2 r = 3

19. r = - se c¿ - , r = 22 2

0 110. 3 r = 4 eos 0 , r e o s2 — = —

2 2

11. r = l + c o s 0 , 2 r ( l - c o s 0 ) = l

12. r eos 0 = 4 , r = 10 sen 0

13. r = a ( 1 + se n 0 ) , r = a ( l - sen 0 )

14. r = 3 + e o s 4 0 , r = 2 - c o s 4 0

15. r = 2 + eos 20, r = 2 + sen 0


IX . I lalle los ángulos /?, a y la pendiente de la recta tangente para las siguientes

curvas en los puntos dados. Trace la gráfica de la curva.

n _ 37r

1. r = 4 (1 + sen 0 ) ; P (4 ; 0 ) P ~ 4 ' “ “ 4

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLUMEN II

2 . r 2 = a z ( c o s 2 0 ) ; p ( - ^ ; - ) P

3 . r ( l + sen 0 ) = 4 ; Px (2 ; —) , P2(4; n )

57T

~6~

7T4. r = 4 sen 30 ; P(4;—)

7T 2715. r = a sen 0 ; 0 =

6. r = a sen 20 ; Px ^ 1a; l ) ' ( ° : f )

7. r ( l - sen 0 ); P(a;7r)

8. r = a sec20 ; P (2 a ;-)

X . Halle el ángu lo de intersección entre las curvas siguientes en los puntos que se

indican.

'V 2 n n

1. r = a c o s 0 , r = a s e n 0 ; en P ^ a;4 j R' 2

/ 2 t a ^2 . r = 4 eos 0 , r = 4 c o s20 - 3 ; en P ^ - 2 ; — J 2

n3 . r = a , r = 2 a sen a ; en P (a ; - )

4 r = - a se n 0 , r = eos 0 ; en el po lo

X I. Halle los ángulos de intersección de las curvas siguientes:

1 . 2 r = 3 , r = a + c o s 0 P .jr/6

2. 3 r = 1 0 , r ( 2 - se n 0 ) = 5 R. n / 3

3 . r = 1 — se n 0 , r = 1 4- se n 0

R . 0 o e n e l p o l o , n/2 e n (1 ; 7r ) ; — e n ( l ; 0 )



4 . r = e o s 0 , r = se n 29

/ V 2 TTR. 0 o en (0; n / 2 ) ; 79°6 ' aprox. en j[ — ; —

\ 6

5. r 2 s e n 29 = 4 , r 2 = 1 6 se n 2 0 R. tt/3

6. r ( l - e o s 0 ) = 4 , r ( 2 + c o s 0 ) = 2 0

7. r = 3 ( 1 - e o s 0 ) , r = 3 eo s 0

8. r = a e o s 0 , r = - a s e n 2 0

R. 0o en el po lo , arctan 3 V 3 en los otros puntos

9. r = s e c 0 , r s e n 29 = 2 R. La s curvas no se cortan

X II. En los ejercicios del 1 al 4, demuestre que las siguientes curvas se cortan en ángulo recto.

1. r ( 1 + eos 9) = a , r ( 1 - eos 9) - b

2. r = a ( l + eos 0 ) , r = a ( 1 - eos 0 )

3. r - 2 a eos 0 , r - 2b sen 0

4. r = 4 co s(0 — n / 3 ) , r 2 — 6r eos 0 + 6 = 0

5. Halle la condición para que las circunferencias

r 2 - 2 cr e o s (0 - a ) + c 2 - a 2 = 0 y

r 2 + 2 c ' rcos(9 — a ') + c '2 — a '2 = 0

se corten ortogonalmente.

6. Demuestre que r c o s (0 — oj) = a + c eos ( a — w ) es tangente a la

circunferencia r 2 — 2 c r c o s(0 — a ) + c 2 — a 2 = 0.

7. Halle las coordenadas polares de los centros y los radios de ¡as

circunferencias

r = 4 eos ^0 — — J y r 2 - 2r eos 0 - 2 = 0

Pruebe además que las circunferencias se cortan ortogonalmente (dos circunferencias se cortan ortogonalmente si la sum a' de los cuadrados de

sus radios es igual al cuadrado de la distancia entre sus centros).

R. c 2 + c12 — 2 cc' eos (a — a ' ) = a 2 + a'2


Ivn esta sección deducirem os una fórm ula que permita obtener el área de una

región F (Fig. 5.22) lim itada por una ecuación polar, esto es,

F = { (r ; 0 ) É l 2 / a < 9 < p , 0 < r < / ( 0 ) }

donde /: [a; /?] -» E es una función continua y no negativa.


5.10 Á REA S EN C O O R D E N A D A S PO L A R E S

Fig. 5.22 m g.

En térm inos sim ples, F es la región comprendida entre las gráficas de

r = / ( 0 ) , eje a , eje /? (co n a < /?)

Sea 0o e [ a \ p ] y sea A ( 0 O) el área del sector lim itado por la curva r = f ( 9 ) y por las rectas 9 = a y 8 = 90. Sea 60 + A 0 6 [a; /?], con A 0 > 0, y

. m = m ín f { 9 ) A = m áx / ( 0 )0o<e<eo+Ae tío<0 íeo+A0

El área A ( 6 0 + A9) - A ( 9 0) está comprendida entre las áreas de ios sectores

circulares de radios m y M (Fig. 5.23). Para A0 > 0 se tiene

m 2A9 M2A9

Luego.

< A ( 8 0 + A9) - A ( 9 0) <

m 2 A ( 9 0 + A 9) — A ( 9 0) ^ M2

~ Y ~ A 6 “ ~2

C om o f 2/ 2 es continua en [0O; 0 O + A 0 ] , por el teorema de los valores

intermedios, existe 9 G [90\ 90 + A 0 ] tal que

f 2( 9) A ( 9 n + A 0 ) — A ( 9 0)

2 A 9

Por la continuidad de f 2/2 en 0 O, se sigue que

A { 9 a + A0) - A ( 9 0) f 2( 90)l i m

A 9

Procediendo de m odo análogo, para A0 < 0 . se tiene

lim A (°o + M ) - M Q 0) f 2(Q0)A 0 -0 - AO 2

l’or tanto,

A ' ( 9 ) = ~ y , V 0 € [ a , P \ ( * )

l’or consiguiente, de ( * ) se deduce que la fórm ula para hallar el área de la región /■' expresada en coordenadas polares es

1 [Pa ^ = 2 ¡ f 2W 0

Observación 5. Sean f , g: [a; /?] -> M funciones continuas en [ a , p] tales que () S g ( 8 ) < f ( 9 ) , V 6 e [a;P] , y sea F la región limitada por las gráficas cíe >' = 9 ( 0 ) , r = f ( 9 ) y ¡as rectas 0 = a y 0 = fJ (Fig. 5.24). Entonces el área de la región F está dada por

A{ F) = \ f [ f 2(6) - g \ d ) ] d OJ ir

l.jem plo 17. Calcule el área de la región /•’ limitada por la curva r - 2 + eos U y los ejes 0 = 0 y 0 = n/ 2 .So lu c ión

I .a gráfica de la región F se muestra en la fig. 5.25.

A l aplicar la fórm ula correspondiente para hallar el área, se tiene

+ 1 6 ,= -----

M F ) = + c o s 0 ) 2 d0 = ^ J g2 (4 + 4 c o s 0 + 1-+ .™ S dd

E jem p lo 18. Ca lcu le el área de la región lim itada por la lemniscata

r 2 = a 2 eos 20

So lu c ión

C om o la lemniscata es una curva simétrica respecto al eje polar, es suficiente

m ultiplicar por 4 el área de la región R (Fig. 5,2o). Entonces

TOPICO S DE CALCULO - VOLU M EN II

A(F) = 4

ni r*

J 4«Jo2 eos 29 d9

E je m p lo 19. H a lle el área de la región lífnitada por lás parábolas

r ( l + eos 9) = 4 y r ( 1 - eos 0 ) - 4.

So lu c ión

E n este ca¿&, una parábola es simétrica á la otra parábola con respecto al eje n / 2 (al reemplazar 9 por n - 9 efl láf' primera ecuación, se obtiene la segunda

ecuación). Estas parábola» son simétricas con respecto al eje polar y sus puntos de

intersección son los puntos 4 (4 ;7 r/ 2 ) y B (4 ;37 r/ 2 ). Considerando las

simetrías, el área de la región enjre estas parábolas (Fig. 5.27) es 4 veces el área

de la región R. En la integral se utilizará la identidad (1 + eos 9 = 2 e o s20/2 ).

A(F) = 41 f I 16 d9 _ ÍJ d9 _ [2

2 J0 ( l + c o s 0 ) 2 32 J0 [2 eos2 6 / 2 ] 2 J0

Aesec — d9

64

E je m p lo 20. Ca lcu le el área de la región que es interior a la curva r = 2a eos 3 0

y exterior a la circunferencia r = a, a > 0,

So lu c ión

La región se muestra en la Fig. 5.28 (parte sombreada). Para hallar el área total es

suficiente m ultiplicar por 6 el área de la región R. Entonces

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COORDENADAS POI.. A RES

90 '120"

150° N . \ \ \

60°

/ 30"

R T l M k

r = ; a e os 39

Fig. 5.28 Fig. 5.29

I je inp lo 21. Calcule el área de la región que es interior a las curvas

V 2 r = 3 y r z = - 9 c o s 2 0

So lu c ión

La región es la parte som breada que se muestra en la c ig. 5.29. Por sim etría se (iene

A( F) = 41 [ 3 2 f ' i 9- j ¡ ! ( -9 c o s 2 S )d e + - l - M

4 3

3 , — ,= - ( 6 + 7r - 3 ^ 3 ) ^

E jem plo 22. Halle el área de la región que es interior a la curva r = 3 a eos 26 y exterior a la curva r = a ( l + eos 2 0 ) , a > 0.

So lu c ión

La región es la parte som breada que se ilustra en la fig. 5,30. Por simetría, se tiene

A ( F ) = 4 [ A(RX) + A( R z) l . dondfe

1 f 6i ) = y [9 a2cosz.29 - a 2( 1 + eos 26 ) 2]

‘ ^ Jo

. - « ü f i0

d<9

6(3 + 4 eos 4 0 - 2cos 2 0 ) dfl = ^

^(^2) = 2 J [9a2cos22ff - a2( 1 + eos 2 0 )2]d0

(donde a es tal que eos 2 a == - 1 / 4 )

= - y J [3 + 4 e o s40 - 2 c o s2 0 ]d 0 = + ~ 7 r ~ “ 3 a

3Luego, A(F) = a 2 ( 4 7 1 + ^ ^ 1 5 — 6 a j u2 = (9,95 a 2) u2:

TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLU M EN II

5 .1 1 L O N G IT U D DE A R C O EN C O O R D EN A D A S P O L A R E S

Para calcular la longitud de arco de una curva expresada por la ecuación polar

r = f ( 9 ) , 9 6 [a;P] , parametrizamos en términos del parámetro 0. A s í. las

ecuaciones paramétricas de la curva son

x = f ( B ) e o s 9 A y = / ( 0 ) s e n 8 , 9 6 [a;/?]

donde / es una función con derivada continua V 9 6 [a; /?].

A l aplicar la derivada de un producto, se obtiene

dx d y— = f ' { 9 ) eos 9 - / ( 0 ) s e n 9 y — = / '(0 )se !n 0 + / ( 0 ) eos 0uu do

Entonces

ÍS) +Q ’Luego, aplicando la fórm ula de longitud de arco de una curva dada en ecuaciones

paramétricas, se tiene c}ue la longitud de arco de r = / ( 9) desde 9 = a hasta

9 = ¡i está dada por ’

L = f V I / ( 0 ) P + [ / '( 0 ) ] 2 d.9

E je m p lo 23. H a lle a longitud de arco de la curva r = a s e n 3 ( 0 / 3 ) , a > 0.

So lu c ión

L a gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.31. L a curva queda descrita si

9 6 [0; 37rJ (es simétrica respecto al eje rt/2).

6 6 0 QCom o [/ (0 ) ]2 + l/ '( 0 ) ] 2 = a2 se n 5 ~ + a 2sen4 - eos2 - = a 2sen4 — , en tonce s

>J J ví

r37r { 6 f 3n , 0 a f 3n ( 2d \ 3an! ! Ja2 sen4 - d9 = a sen2 — d.9 = — j (1 — eos — )d 9 = — — u

¡ . 3 i p 3 2 J„ y j / 2Jo

Fig. 5.31

266

Fig. 6.32

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E jem p lo 24. Halle la longitud de arco de la parte de la parábola r = a s e c 2( 6 / 2 ) cortada por la recta perpendicular que pasa por eí polo.

So lu c ión

La gráfica se muestra en la fig. 5.32. Se tiene ~ n f 2 < 0 < n / 2 y

dr¿jj = / '(Ö ) = a sec2(0/2 )tan (0/2 )

Ap licando la fórm ula correspondiente, se tiene

n"2 9

secs — d9

COORDENADAS PO LA RES

1 = / l V [ / ( 0 ) ] 2 + [ / '( 0 ) ] 2 d9 = a f~Z

— í ® i. ® , I ® e V-— a sec — ta n — + ln se c— + ta n — Jl 2 2 1 2 2

2

= 2 a [V 2 + ln (V 2 + l ) ] u

E jem p lo 25. Halle la longitud de la curva r = 2b tan 0 sen 0, b > 0 desde0 = 0 hasta 0 = tt/3.

So lu c ión

La gráfica de la curva se muestra en la fig. 5.33. C on la fórm ula de la derivada obtenemos

drd9 - r' = 2b sen 0 (se c 20 + 1)

Luego,TT

‘ 1 = l J r 2 + ( r ') 2 d9

n

= 2 b j tan 0 V s e c 20 + 3 d9

Ln la última integral hacem os el cam bio de

variable u 2 = se c 20 + 3. Entonces

2 u d u ~ 2 se c20 tan 0 d9 => tan 0 d6 - u du

u 2 - 3

Cam biando los lím ites de integración, se tiene

f V? U2 du; = 2 b

J 2L = 2b

f v u 2 du H 7 3

i ^ 3 = 2 b l i l + ^ Í > du =

2 ¿ ( V 7 - 2 ) + V 3 f c l n f - p + V ^ ( V 7 ~ V I ) l(2-V3)(V7 + V3).

. V 3 lu - V 3u + — ln ------- -

2 u + V3

V7

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5.12 V O L U M E N D E U N S Ó L I D O D E R E V O L U C I Ó N E N C O O R D E N A D A S

P O L A R E S

TÓPICO S DE CÁLCULO - VOLU M EN II

En primer lugar, querem os calcular el volum en de un só lido (Fig. 5.35) obtenido

por la rotación alrededor del eje x de un sector circular del p lano x O y (F ig. 5.34)

com prendido entre los ángulos 0* y 02.

i

/

/ y \

1 i A

X

Fig. 5.34

E l sector circular puede ser descrito del siguiente modo:

0 < x < r c o s 02 y f i (x ) < y < f 2{x) ) sect:or entre Qt y 02 r eos 0 2 < x < r eos 0, . y f t (x) < y < fl(x ))

donde

f x(x) = x tan 0r , /2(x ) = x tan 02, g { x ) = J r 2 - x 2

A l aplicar el método del disco, obtenemos

¡•r cos 0, r r cos0i

V/•r eos 02 f r C O S 0 ! | - r c o s 0 !

= .jr [ f2( x) ] 2d x + n \ [ g ( x ) l 2d x — n I l A ( x ) ] 2d rJ q- * r eos 02

r . r eos 0 2 r r c o s 0 ! f r c o s O j

= tt x 2 tan262 dx + u ( r 2 - x 2) d x - n \ x 2 tan201 dxJ n - ¡r eos 02 0

Haciendo los cálculos respectivos, se tiene

2 n r 31/ = — — (eos 0! - eos 0 2) (21)

Ahora, nuestro propósito es calcular el vo lum en V del só lido obtenido por la

rotación en torno al eje polar de la región plana

F = ( ( r ; 0 ) / 0 < r < f ( f l ) , a < 8 < (3} donde r = / ( 0 ) es la ecuación de una curva en coordenadas polares (/ es

continua en [a; /?]) y F es la región lim itada por las gráficas de la curva r =

/ ( 0 ) y los ejes 0 = a y 0 = /? (Fig. 5.36).

COORDENADAS PO LA RES

Sean 90 y 80 + A 8 dos puntos de [a;/?], con A 8 > 0. y

m = «, A M = m áx f { S )90<8<60T&e 80<8<60-rAe

I- I vo lum en obtenido por rotación del sector F com prendido entre 80 y 8n + A 8 (Fig. 5.37) es. según la fórm ula (21).

¿ 7n n 3 2 tzM 3- J ~ [eos 0O - eos (0O + A0] < V(6„ + A0) - V(80) < — - [eos 0O - eos (0O -i- A0)j

D ivid iendo entre A 0 > 0 se tiene

¿711W? rc o s 0 n - eos (6>0 + A 0 ) 1 V (60 + A 0 ) - V(80) 2ttA/3 r c o s0 c - eos (6 \ + A fl) i

3 ‘ AS j - re ----------- £ — [----------------------------- J

Com o f 3 es continua en [80;8 0 + &8], por el teorema de los valores

intermedios, existe Qx e [0O; 80 + A 0 ] tal que

A 82 n f \ 8 J eos 80 - eo s(8 0 + A 0 ) i

3 A 8

I ornando limite cuando A 8 -> 0 + , debido a la continuidad de f en 8n, se tiene

27r / 3(0 o) n1/ j = ------- --------- sen ^

Del m ism o m odo se hace para A 8 < 0. Por tanto.

f 3(8 0)V '(ßo) = - se n 0,

malmente, el vo lum en del só lido es V = V(ß) - V(a) . esto es

2rr f ß ,i/ = r l f í n ,) s e n 8 dB


E je m p lo 26. Calcu le el vo lum en del sólido obtenido al hacer girar el cardioide

r = a ( 1 + c o s 0 ) , a > 0, alrededor del eje polar.

So lu c ión

En la figura 5.38 se observa que para obtener el referido vo lum en es suficiente

girar en torno al eje polar la parte del cardioide que está en el sem iplano superior.

Entonces se tiene:

o

(1 + c o : É»)4] 71

r = a (l+ eos 0)

Fig. 5.38

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COORDENADAS POLARES

E JE R C IC IO S

En c a d a u n o de los s ig u ie n te s e je rc ic io s , c a lcu le el á r e a d e la re g ió n l im i ta d a p o r las c u rv a s ( d a d a s en c o o r d e n a d a s p o la re s ) q u e se in d ic a n y b o s q u e j e la g rá f i c a d e la re g ió n .

1. r = a eos 6 , 0 < 0 < n /3 R. (0 ,3 7 a z ) u 2

2. r = a ( l — eos 9) r , ^ l a 2^u 2

3. r = 4 eos 20 R. 4-nu2

4. r = a sen 26 r , n a

5. r = eos 3 0 r , — u 2

2

12

6. r = a eos 5 0 fl. i r a ' ,

~ U7. r 2 = a 2 sen 4 0 f i . a 2u 2

8. r = a ( 1 + 2 sen 8 ), 8 = - ~ v 0 = —6 ' 6

/?. (n 3 V 3 \( H J u

9. r = |4 sen 2 0 ¡ f l . Qnu2

10. r = b + a eos 0 (0 < b < a) R. . - ( 2 ¿ 2 + a 2)w :

11. r = a eos 4 0 R.n a 2

~ ~ T U

12. r z = a 2 eos 8 0 R. a 2u 2

13. L a región es interior a las curvas r = 3 + eos 48 y r = 2 - eos 48.

R. 3 7 tt/6 u2

14. L a región es interior a r = 3 + eos 48 y exterior a r = 2 - eos 40.

15. L a región es interior a r = 2 - eos 40 y exterior a r = 3 + eos 40.

16. L a región es interior a r = 2 + eos 20 y exterior a r = 2 + sen 0.

R. 5 1 V 3 / 1 6 u 2

17. La región es interior a las curvas r = 2 + eos 20 y r = 2 + sen 0.

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las curvas r = 3a eos 20 y r = a ( l + eos 20),


in te r io r a V 2 r = 3 y e x te r io r a ' r 2 = - 9 e o s 2 0 ^

2

18. La región es interior a j * gR. ( 3 7 t - 9 + - V 3 j u 2

19. L a región es interior a

a > 0.

20. La región está com prendida entre la parte ex.erna e intetna de

3 e K- “ 2 ----------5 5 --------- “ 2r = a sen '5- \ J

21. L a región está com prendida entre las curvas:

9 n ,a) r — i — eos 2 0 , r — 2 (1 eos 2 0 ) , 0 < 0 ^ R- ~

b ) r = 2 a eos 0 , r = 2 a sen 0, ^ ) , 2

c) r = a se n 0 , r = a ( l i- eos 0 )

d ) r = 2 sen 2 0 , r = 2 eos 20 »• ( F 1)

curva.

1 r = sen 9 , 0 S [0; 2rr]

2 . r = 20 , e e lo ; 2« ) «■ I2W T + 4F + ' " t 2 " +

^ n R- 8 a u3. r = o(l + eos 0 ) , a > 0

4 . e = i ( r + i ) desde r = 1 hasta r = 3 R . Í ( 4 + l n 3 ) U

5. E l a l d e t a espiral logarítm ica r = m > 0, ,u e se encuentra

dentro del círculo r - a.

R. aN

1 + m z -------- - u

m

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RECTAS Y PLANOS L= EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(-.1 V E C T O R E S E N E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L

I I o b je t iv o de e s ta s e c c ió n , e s r e c o rd a r las o p e r a c io n e s c o n v e c to r e s y sus p ro p ie d a d e s co n la f in a l id ad d e h a c e r uso de e l la s en la s ig u ien te s e c c ió n , razó n por la cua l n o se d e m o s t r a r á n las p ro p ied a d es .

(».6.1 E l E S P A C I O E 3

1.1 e s p a c io d e d im e n s ió n t re s e s el c o n ju n to de t o d a s las t e rn a s o r d e n a d a s de n ú m e ro s re a le s y se d e n o ta con

R 3 = { ( x ; y ; z ) / x , y , z 6 IR}

Así, un v e c to r en el e s p a c io IR3 es u n a te rn a o r d e n a d a de n ú m e r o s re a le s y se d e n o ta c o n á = ( a ^ a ^ a - ^ )

Igualdad de Vectores

Dos v e c to re s a = ( a 1 ; a 2 ; a 3) y b = ( b 1 'l b 2 , b 3 ) en el e sp a c io K 3 so n ig u a le s si solo sí sus c o m p o n e n te s c o r re s p o n d ie n te s son iguales , e s d e c i r

d = b <=> a t = b lt a 2 = b 2 y a 3 = b 3

Vector nulo

I s el v e c to r q u e t ien e to d a s su s c o m p o n e n te s ig u a le s a c e ro y se d e n o ta con

0 -- (0 ; 0; 0 ) . E s te v e c to r e s el ú n ico v e c to r q u e no t ien e d i re c c ió n e sp e c i f ic a

Suma de Vectores

Sean á = ( a 1 ; a 2 ; a 3 ) y b = ( b 1 ; b 2 ; b 3 ) d o s v e c to r e s en el e s p a c io IR3 ,

e n lo n c es el v e c to r á + b e s t á d e f in id o c o m o

á + b = ( a 1 + b 1 - ,a2 + b 2 \ a 3 + b 3 )

Multiplicación de un escalar por un vectorSea r un e s c a la r ( r 6 R ) y a = ( a : ; a 2 ; a :l) un v e c to r en el e sp a c io IR3, e n to n c e s1.1 m u lt ip l i c a c ió n de l e s c a la r r p o r el v e c to r ü es tá d e f in id o c o m o

r á = ( r a í , - r a 2 ; r a 3)

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S i d , b , c son vectores en el espacio IR3 y r , s G E se verifican las siguientes

propiedades:

1. a + b es un vector en el espacio E 3.

2. á + b = b + á (Propiedad Conm utativa)

3. a + (b + c) = (a + b j + c (Propiedad Asociativa)

4. Existe un único vector cero 0 = (0; 0; 0 ) tal que á + 0 = a , V a en l 3

5. Para cada vector a = ( a 1; a 2; a 3), existe un único vector (opuesto de a),

- a = ( ~ a 1; - a 2; - a 3) tal que a + ( - a ) = 0

6. r a es un vector en E 3

7. r ( a + b ) = r a + r b

8. (r + s ) a = r d + s a

9. r ( s a ) = ( r s ) a

10. 1 a = a , V a en M3

Cualqu ier sistema matemático en el que estas propiedades son válidas, recibe el

nombre' de espacio vectorial real. D e este m odo E 3 es un espacio vectorial real

de d im ensión tres.

Su stracc ión de vectores

Sean a = (a x; a 2; a 3) y b = (i?x; b2; b3) dos vectores del espacio E 3, entonces

la diferencia de estos vectores se define como

a - b = a + ( — ib), es decir, a - b = (a x - bx\ a 2 - bz \ a 3 — b3)

6.1.2 R E P R E S E N T A C I Ó N G E O M É T R I C A D E U N V E C T O R E N E 3

D ado que un vector es un ente matemático que tiene dirección, sentido y longitud;

es representado por un segmento orientado en el que se distingue un origen y un

extremo.

E l vector que tiene com o origen el origen de coordenadas y extremo cualquier

punto P (x - ,y ; z ) del espacio E 3 (Fig. 6.1) se llama vec to r de po s ic ión y se

denota con

a = OP = ( x ; y ; z )

donde O es el origen de coordenadas.


6.1.1.1 PROPIEDADES

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RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

l'n vector que tiene como origen un punto inicial P0 y extremo el punto A (l i;;. 6.2) se denomina vector libre y se denota con

a = P0P:

l'n la figura 6.3 se representa geométricamente las operaciones entre dos vectorestí y b.

d - P,P2 - OPz - OPx = (x2; y 2; z 2) - (x1; y 1; z 1) = (x2 - Xl; y 2 - y i -.z2 - z j


Se dice que dos vectores a y b en el espacio R 3 son paralelos, si uno de ellos es

múltiplo escalar del otro, es decir,

a II í « a = r í V 5 = r ,s G R

D o s vectores paralelos á y b tienen el m ism o sentido si

á = rb , r > 0

D o s vectores paralelos a y b tienen sentidos opuestos si

a = rb , r < 0


6.1.3 VECTORES PARALELOS EN E 3

E jem p lo I

¡a) S i a = (1; 3; - 4 ) y b = ( 2 ; - 1 ; 2), encuentre los vectores a + b, d + b y

3 a - 2 b

b) Determ ine s; cada par de los vectores dados a — ( — 1; 2; — 3) y

b = (5; - 1 0 ; 1 5 ) , c = ( - 2 ; 4; - 6 ) y d = (0; 1; 3 ) son paralelos.

So lu c ión

a) A l aplicar las definiciones dadas se tiene

a + b = (1; 3; - 4 ) 4- (2; - 1 ; 2 ) = (3; 2; - 2 )

a — b = (1; 3; - 4 ) - (2; - 1 ; 2 ) = ( - 1 ; 4; - 6 )

3 a - 2 b = 3(1; 3 ;- 4 ) - 2 ( 2 ; -1 ; 2 ) = (—1; 11; —16).

b) Tenem os

b = — 5 a = > a II b y tienen sentidos opuestos

c = 2a => a \\ c y tienen el m ism o sentido

L o s vectores a y d no son paralelos

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I.» longitud o norm a o módulo de un vector a — ( a ^ a 2; a 3) en el espacio M 3se denota y se define com o

Hall = V a i 2 + a 22 + CL32l’or ejemplo, si a = (1; 2; - 2 ) => ||a|| = j l 2 + 2 2 + ( - 2 ) 2 = 3

Observación 2

ti) La norma de un vector es la longitud del segmento orientado que lo representa (Fig. 6.5)

■h) Todo vector de longitud igual a 1 se llama vector unitario, es decir u es unitario si ||u|| = 1

¡'i El vector unitario en la dirección del vector no nulo a es el vector

_ 3.

6.1.4 M ÓDULO O LONGITUD DE UN V EC TO R EN M3

6.1.4.1 P R O P I E D A D E S

Si a y b son vectores en el espacio R 3 y r es un escalar, entonces

1. ||a|| > 0 y ||a|| = 0 <=> a = 0

2. ||r a|| = |r|||a||

3. ||a + b || < ||a|| + ||¿|| (Desigualdad triangular)

4. ||a|| = || —a||

6.1.5 P R O D U C T O I N T E R N O O E S C A L A R D E V E C T O R E S E N E 3

Si a = (a t ; a 2; a 3) y b = (b t ; b2;b 3) son vectores en el espacio IR3 , entonces

el producto interno o producto escalar de a y b es el número real definido y denotado por

a • b = a xb1 + a 2b2 + a 3b3 (se lee " a punto ¿ ”)

l’or ejemplo, si a = (5; 4; - 1 ) y b = (2; - 1 ; 3), entonces

d - b = 5 (2 ) + 4 ( — 1) + ( - 1 ) 3 = 3

6.1.5.1 P R O P I E D A D E S

Sean á ,b y c vectores en el espacio R 3 y sea r un escalar. Entonces se tiene

1. á -b = b ■ a (Propiedad Conm utativa)

2. ( r a) ■ (b ) = r (a - b )

3. á - ( b ± c ) = d - b ± á - c (Propiedad D istributiva)

4. a • a = ||al|2 ; a ■ a = 0 <=> á = 0

5. ||a + ¿||2 = Hall2 + ||£||Z + 2a-b

6. ||a — b \\2 = Hall2 + ||fe||2 - 2a • 5

7. ||a + b||2 + ||a - fc||2 = 2[|a[|2 + 2||fo||2 (Le y del paralelogram o)

6.1.6 Á N G U L O S E N T R E D O S V E C T O R E S

Sean a y b vi espacio R 3. E l ár

a y b es el ]

0 (0 < Q < n ) del

partir de un m ism o

Teorem a 1 S i 6vectores no nulos

entonces

áeos 6 = —

Ha

D e m o stra c ió n Ejerc icio para el lector

Observación 2 D el teorema 1 se deduce que una form a alternativa para calcular

el producto escalar de los vectores á y b es

a - b = l|a||||£|| eos 9

setores no nulos en el

igulo entre los vectores

menor ángulo positivo

lerminado por ambos al

origen com ún (Fig. 6.6)

es el ángulo entre dos

á y b del espacio R 3,

~b \y e / a

O(origen)

Fig. 6.6

i i L A I N U O LIN l l W I V U . 1 U 1 K l U l l V I t I N j I U W A L

(>■1.7 V E C T O R E S O R T O G O N A L E S O P E R P E N D I C U L A R E S

Dos vectores no nulos a y b en el espacio R 3 son ortogonales o perpendiculares si el ángulo determinado por ambos es de 9 0 c

T eorem a 2 D o s vectores no nulos á y b en ei espacio R 3 son perpendiculares si

y solamente si á - b = 0

Observación 3 Sean a. y b vectores no nulos en el espacio R 3. De la figura 6.7 se tiene:

u a 1 ¡b <=> ¡|a + ¿||" = j|a||2 + ||¿||“{Teorema de Pitágoras)

ií) á I b «=> ||a — b ' f = ||a||2 + ||fc||‘

E jem p lo 2 Halle el ángu lo que forman los vectores d = ( 1 2 ; 0 ; - 6 ) y

/>' = ( — 6; 0; 3)

So lu c ión

a ■ b - 7 2 + 0 - 18 - 9 0 - 9 0eos 9 = --------— = — ---------------- = ----------------= --------= — i = > q — n

||a||¡¡¿>|¡ v l 8 0 v 4 5 2 V 4 5 V 4 5 90

E jem plo 3 Calcule el producto escalar de los vectores a y b si se sabe que

forman un ángulo de 30°, ||a|| = 4 y ||fe|| = 6 V 3

So luc ión

a - b = l|a||p|| eos 30° = 4 ( ó V 3 ) = 36

Ejem plo 4 Sean a y b dos vectores que forman entre sí un ángulo de 45° y

¡|a|¡ = 3. Calcule |¡¿|¡ si se sabe que el vector a - b e s perpendicular al vector a.

So luc ión

l’uesto que el vector a — ¿ es perpendicular al vector a. se tiene

(a - b) ■ á = 0 <=* á • a = b ■ a <=> ||a||2 = ||¿>||||a|| eos 45°

» 9 = ||¿ ||(3 ) ( -^ j ~ ¡|¿|| = 3V2

Áa + b / r

b b

a

Fig. 6.7


E jem p lo 5 Sean a ,b y c vectores en el espacio IR3 tales que ||a[| = 6.

p|| = 2 V 3 y ||c|| = 2. Sabiendo que los vectores a y b forman un ángu lo de

30°, los vectores b y c un ángulo de 6QC y los vectores a y c un ángu lo de

90°, calcule

a) a - ( b + c) b) ||a - c||

So lu c ión Tenem os

a ) á - ( b + c) = á - b + d - c = H a l lp H eos 30° + ||a||||c]| eos 90°

= 6 ( 2 V 3 ) ^ ~ j + 6 ( 2 ) ( 0 ) = 18

b) ||a - c||2 = ||a||2 - 2 a • c + |lc|l2 = 36 - 2||a||l|c|| eos 90° + 4 = 40

D e donde se obtiene

||a - c|| = V 4 Ó

6.1.8 C O M P O N E N T E Y P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N V E C T O R

E N L A D I R E C C I Ó N D E O T R O V E C T O R

Sean a y b vectores no nulos en el espacio K 3

A l vector OM (F ig. 6.8) se llama vecto r p royecc ión o rto go n a l de a sob re b y

se denota com o

OM = P ro y ^ a

En el siguiente teorema verem os el procedim iento para determinar este vector

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Teorem a 3 Sean a y b vectores no nulos en el espacio K 3, entonces

¡i) E l vector proyecc ión ortogonal de a sobre b es el vector dado por

d - úP ro y r a = b =

p ii; pii

I)) A l e sca la r que m u ltip lica al vecto r u n ita r io ur = - J - se denom ina

IMIcom ponente del vecto r a en la d irecc ión b (se denota Com pga), es decir,

~ . a - bC o m p g a =

E jem p lo 6 Halle el vector proyección ortogonal de a sobre b y la componente

del vector á en la d irección b de los vectores a = (5; 0 : 4 ) y b = (2; - 1 ; 2 )

S o lu c ión

El vector p royección ortogonal de a sobre b es el vector

-— . „ ( á - b \ r /10 + 0 + 8 \

n a = F F v— 9— J (2: ~ 1; 2 ) = 2 (2 ; _ 1 ; 2 ) = ( 4; _ 2 ;

.a componente del vector a en la dirección de b es el escalar

a - b 18

6.1.8.1 P R O P I E D A D E S

C o m p g a = = — = 6

Sean a , b y c vectores no nulos en el espacio K 3 y k un escalar cualquiera distinto de cero. Entonces

I . P r o y ¿ ( a ± b ) = P ro y f a ± Proy,? b

2. P ro y ¿ (k a ) = k P ro y ¿a

3. P ro y (fcf)a = P ro y c-a

4. C o m p ¿ (a ± b ) = C o m p ra ± C om p ró

5. C o m p ^ fc a ) = kCom p¿a

, „ f C o m p ra , si k > 0

' C - W Í - c ün, p , i , s i K ,


E je m p lo 7 Sean a y b vectores en el espacio E 3 que verifican a + 3b = 0 y

c o m p ga = - 6 . Calcule el va lor de A = 5 (3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2b)

So lu c ión

C om o a = - 3 b , entonces los vectores a y b tienen sentidos opuestos. Luego,

el ángulo que forman estos vectores es 9 = rr. Adem ás,

||a|l = 1I-35H = 3||b|| (1 )

Por otra parte, •


á - b Ha || b I eos ti Compga = = ---------¡r ^ --------= -||a|| - - 6 = * ||a|| - 6 (2 )' W MIReem plazando (2) en (1) obtenemos ||5|| = 2

A h o ra bien, usando las propiedades del producto escalar resulta

A = 5 ( 3 a + 2 b ) • ( 3 a - 2 b ) = 5 (9||a|i2 - 4||b||2) = 5 [ 9 (3 6 ) - 4 (4 ) ]

= 1 5 4 0

E je m p lo 8 D ado el triángulo de vértices ¿4(5; 2; 3), B (8 ; 2 ; - 1 ) y C ( 3 ; 3 ; 5 )

a) Halle las componentes del vector Proy-^M N si se sabe que el vector MN es

paralelo al vector AC , donde M está sobre el lado A B , N sobre el lado BC y

\\MN\\ = 18

b ) Ca lcu le A = 5 ( AC ■ ü jg + - C o m p ^ ^ f l j

So lu c ión

Sean los vectores AB = (3; 0; - 4 ) y AC = ( - 2 ; 1; 2)

a) C om o M N || ~AC, entonces P roy ^ M N = MN. Adem ás,

W Ñ = kAC = fc( — 2; 1; 2 ) (fc > 0 )

Por otra parte, |¡MW|| = V 9 k 2 = 3fc = 1 8 = > k = 6

Por consiguiente, P ro yjg M N = 6 ( — 2; 1; 2 ) = ( — 12; 6; 1 2 )

b) A q u í tenemos

AB 1 N 3 ^ 4^

^ " p f ¡ “ 5 C 3 : 0 ; _ 4 ) " ( 5 ; ; 5

__ , ¿ f l - Z C - 6 - 8 14Com PrcAB = = — 3— - - y

\\AC\\

Luego resulta

/__ , 3 ___a ( 1 4 1 4 \A = 5 yAC • Ujg + - C o m p ^ y lñ J = 5 ( - y - y ) = - 2 8


a) Ln el triángulo ABC que se muestra en la

figura adjunta se tiene ,4(3; 1; 1 ) y

^r° y j c ^ = (2; — 1; 5). Determ ine las

coordenadas del punto M , que es el pie de

la perpendicular trazada del vértice B al lado AC.

Ii) Si se sabe que los vectores unitarios

u y v forman un ángulo de 120° y los

Rectores w y v un ángulo de 90°,

calcule el va lor de ||Proyij(4u + vv) j|

So luc ión

,i) U tilizando la defin ición de la proyección de un vector sobre otro, tenemos

AM = P ro y ^ A B = (2; - 1 ; 5)

<=> O m - 3;y M - l ; z M - 1) = (2; —1; 5)

xM = 5 , y M = 0 A z M = 6

Por lo tanto, las coordenadas del pie de la perpendicular trazada del vértice B al lado A C es A í ( 5; 0; 6 )

I)) Tenem os ||u|| = ||i?|| = i, ü - v = ||u||||v|| eos 120° = - ^ y w - v = 0. A s í,

ñ— • f * - —n /(4 u + vv) ■ / uProyp(4u + w) - I ----- ----------- I v = (4u - v + w - v ) v = 4 - J = - 2 v

Por lo tanto, el módulo buscado es

J| Proy^j (4 u + ív)|| = ||-2v|| = 2||í5|¡ = 2

(.1.9 P R O D U C T O V E C T O R I A L

Sean a = ( a 1; a z ; a 3) y b = (b 1;b 2;b 3) dos vectores en el espacio E 3

Se denom ina p roducto vecto ria l de los vectores

d y b al vector que es perpendicular al plano que

contiene a los vectores á y b y se denota con

ti x b. Antes de dar su definición precisa, es

^inveniente tener en cuenta la siguiente observación.


E je m p lo 9

B

Observación 4 Los vectores unitarios que siguen e l sentido positivo de los ejes coordenados son


i = (1; 0; 0), / = (0; 1; 0 ) y k = (0; 0; 1)

A estos vectores también se ¡es llanta vectores de la base canónica en M 3

Los vectores unitarios T , j y k se utilizan para representar cualquier vector del espacio R 3 en su form a algebraica. En efecto, si a = (a-L; a 2; a 3) , entonces se tiene

a = ( a i, a 2; a 3) = ( a x; 0; 0 ) + (0; a 2; 0 ) + (0; 0; a 3)

= a x (1; 0; 0 ) + a 2(0; 1; 0 ) + a 3( 0; 0; 1 ) = a xí + a 2j + a 3k

Luego, todo vector a = (a 1(- a 2; a 3) se puede escribir en su form a algebraica

cí = a-t i + a 2J + a 3k

A ho ra podernos expresar el vector á x b en términos de los vectores í , / y k mediante el siguiente determinante de orden 3 x 3

a x b =T j k

a l a 2 a 3

b , b2

\a 2 a 31 | a l a 3

¿1 b3 \J + b:a l a 2|

= ( a 2b3 - a 3b2) i — (a xb3 - a ^ ) / + ( « 1^2 ~ a 2bx)k

= (a 2b3 - a 3b2; a 3foj - a x¿ 3; a xb2 - a 2bt )

Se verifica fácilmente que a • ( a x b ) — b • { a x b ) = 0, es decir, el vector

a x b es perpendicular a los vectores a y b.

E je m p lo 10 Considerando los vectores a = ( ( 1 ; — 1; 1 ) y b = (2 ;0 ; 1), halle

un vector que sea perpendicular tanto a a com© a b

So lu c ión

E l vector que es perpendicular a am bos vectores, es el vector á x b . A s í tenemos

á x b =l J k1 - 1 1

2 0 1

- 1 11

0 I I|1 l f - |1 12 i r I2 \ k = - 1 + j + 2k


REC TA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRID IM EN SIO N A L

6.1.9.1 P R O P I E D A D E S

Sean á, b y c vectores en el espacio R 3 y k cualquier escalar. Entonces

I á x b = —b x a (Propiedad Anticonm utativa)

á x (b ± c ) = (á x b ) ± (á x c ) ), „ > Leyes d istr ib u t iv a s

<. {a + b ) x c = a x c + b x c J

l k d x b = a ( k b ) = k á x ~b

V a x á = 0

><. a x b = Q < = > á \ \ b

/. á ■ ( a x b) = 0

S.. b ■ ( a x b) — 0

'). ||a x ¿|| = ||a||||¿|| sen 6, donde Q es el ángulo entre a y b

10. ||a x ¿||2 = ||a||2 ||5||2 - (a • b ) 2

11. S i a l i y a l c => a | | ¿ x c

12 . X x J = k , j x k = l , k x~í = J

6.1.10 A P L I C A C I O N E S D E L P R O D U C T O V E C T O R I A L

6.1.10.1 Á R E A D E U N P A R A L E L O G R A M O

Sean á y b vectores no nulos y no paralelos en el espacio K 3 . Ahora,

considerem os que estos vectores son los lados de un paralelogramo, tal com o se

muestra en la figura 6.10. E l área A ^ del paralelogramo es

A = (b ase ) • (a ltu ra ) = (||a||)(||6||sen 9) = ||<T x 1>|| u 2

Fig. 6.10

285

Fig. 6.11

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6.1.10.2 ÁREA DE UN TRIÁNGULO

Sean a y b dos vectores no nulos y no paralelos en el espacio

triángulo determinado por lós vectores a y b (Fig. 6.11) es

, _ 11“ X 11 -.2

E l área del

6.1*11 E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R O P R O D U C T O M I X T O D E

V E C T O R E S

Sean á = ( a 1; a 2; a 3), b = (£>!,- ¿?3) y c = ( c i ; c 2;c 3) vectores en el espacio

R 3. E l triple producto escalar de los vectores a, b y c está defin ido y denotado

por

a. ( b x c) =

a l a 2 a 3

¿1 ¿2 ^3

c \ c 2 c 3

E je m p lo 11 D ado s los vectores a = (1; - 1 ; 1), b = (0; 2; - 1 ) y c = (1; 0; 2),

halle á ' ( i x c )

So lu c ión

Por la definición, se tiene

1 - i 1

a • (b x c ) = 0 2 - 1

1 0 2

= 4 + 1 — 2 = 3

6.1.11.1 P R O P I E D A D E S

Sean a, b y c vectores en el espacio M 3

1. E l triple producto escalar de los vectores a , b y c es independiente del

orden circular de la operación, es decir,

a • ( b x c ) = b • (c x a ) = c • ( a x b )

2. L o s vectores a, b y c son coplanares (están en el m ism o plano) si y

solamente si á ■ (b X c ) = 0

3. S i a ■ (b x c) = 0, entonces uno de los vectores es el vector nu lo o dos de 'los

vectores son paralelos o los tres vectores son coplanares.

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RECTAS y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6.1.12 A P L I C A C I Ó N D E L T R I P L E P R O D U C T O E S C A L A R

6.1.12.1 V O L U M E N D E U N P A R A L E L E P Í P E D O

■ '<-an á — AB, b AD y c = AE vectores determinados por las a rism adyacentes de un páralelepípedo ABCDEFGH (Fig. 6.12).

S d o ° ^ r n Vp del para,elepíped0 determinado por los vectores á, b y c está

VP = \ d - ( b x C)| = \ A B - ( A D x AE )| u 3

D

/ j ^ A

A Q A - ^ Dn av= la.( ?Xc)| v = ^ |2 .(*xc)|

Hg. 6.12 — --------------------- ----------------

6.1.12.2 V O L U M E N D E U N T E T R A E D R O

Fig. 6.13

Sean a AB, b - AC y c = AD vectores determinados por las aristas adyacentes de un tetraedro D- ABC (Fig. 6.13).

IA volumen VT del tetraedro determinado por los vectores a , b y c está dado

1

6

1 . i ___ >VT = - \ a - ( b x c ) \ = - \ A B - ( A C x A D ) \ u 3

por

E jem p lo 12 E l vector de posición a se encuentra en el plano y z y el vector de

* sobre el eje y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120°.

II&II = v 2 7 y ||¿|| = 8, halle el vector a x b So lu c ión

Dado que d = (0; a 2; a 3) y b = (0; b2; 0 ) (b2 < 0), se tiene

') ||6|| = = 8 = > b2 = - 8 = > b = (0 ; - 8 ; 0 )

í¡) l|5 x ¿|| = ||a ||p ||s e n 120° = V27 (8) = 36

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN 1!

iii) á x bl J k0 a 2 a 30 - 8 0

= ( - 8 a 3; 0; 0 )

De ii) y iii) se obtiene ||a x b|| = j 6 4 a 3 - 36 = » a 3 = ± -

Por lo tanto, el vector es a x b — ( + 3 6 ; 0; 0)

E je m p lo 13 E n el paralelepípedo que se muestra en la figura adjunta se tiene

A ( 1; 1; 1), B (3; 1; 1), C (3 ; 4; 1) y E ( 3; 1; 5)

Calcule: ^

a) E l área del paralelogramo CDHE

b) E l vo lum en del tetraedro de vértices A,B, C y H.

So lu c ión

a) De la figura se obtiene

CD = BA — (— 2; 0; 0), CE = (0; — 3; 4). Entonces

CD x C S =? 7 k

- 2 0 00 , - 3 4

(0; 8; 6)

Luego, el áreft paralelogramo CDHE es

A ^ = ||CD X C£|| = V 8 2 + 6 2 = 10 u 2

b)' D e la figura resulta //(l; 1; 5), entonces

B C = (0; 3; 0), BA = ( - 2 ; 0; 0 ) y &H = ( - 2 ; 0; 4). Luego,

BC x BAi J k0 3 0

- 2 0 0

= (0; 0; 6)

Por tanto, el Volum en del tetraedro H-BCA es

VT — \ \BH ■ (BC x WÁ)\ — \ |24| = 4 u 36 6

E je m p lo 14 D ado s los puntos >1(1; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0 ; 0; 2 ) y D(x-, 0; 0 )

a) Determ ine el vector á , si se sabe que es perpendicular al plano que contiene

al triángulo A B C y que ||a|| = 1 4 u

b) S i el vo lum en del tetraedro C-ABD es 3 u 3, determine las coordenadas del

punto D.


Solución

a) L o s vectores AB = ( — 1; 3 ;G ) y AC == ( — 1; 0; 2 ) se encuentran en el m ism o plano del triángulo A B C , entonces


i j k - 1 3 0- 1 0 2

(6; 2; 3)

C om o á \ \ A B x A C * = * a = kAB x AC = ( 6 k\ 2k; 3k).

Puesto que ||a|| = 14, entonces

||a|| = V 3 6 fc 2 + 4/c2 + 9 k 2 = 14 <=> 7|fc| = 14 <=> k = ± 2

Por tanto, a = (12 ; 4; 6 ) V a = ( - 1 2 ; - 4 ; - 6 )

b) L o s vectores aristas adyacentes del tetraedro C - A B D son

AB = ( - 1 ; 3; 0), A D = (x — 1; 0; 0 ) y AC = ( - 1 ; 0; 2 )

E l triple producto escalar de estos vectores es

___ - 1 3 0

AB ■ (AD x AC ) = x - 1 0 0 = - 6 ( x - 1)

- 1 0 2D ado que el vo lum en del tetraedro es 3 u 3 , entonces se tiene

1 ,— _ — . 1 Vt = - \ A B • ( A D x A C ) l = — \—6(x — 1)| = \x - 1| = 3

o 6

Por consiguiente, D ( — 2; 0; 0 ) V D ( 4 ; 0 ; 0 )

-2 V x = 4

E je m p lo 15 C on los puntos ^4(8; 0; 0), C (4; — 1; 1), D (6; 0; 5 ) y B (punto del

primer octante) se form a un paralelepípedo cuyas aristas son los vectores A S ,

AC y AD

a) Ca lcu le el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos ¿4, C y D.

b) Sab iendo que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lum en

del paralelepípedo es de 4 4 u 3, determine las coordenadas del punto B.

Solución

a) D ado que los vectores adyacentes que forman la cara A C H D (paralelogram o)

del paralelepípedo son AC = ( - 4 ; - 1 ; 1) y AD = ( - 2 ; 0; 5), entonces

A C x A D =i

- 4

- 2

J k - 1 1

0 5

= ( - 5 ; 1 8 ; - 2 )

Luego, el área de la cara del paralelepípedo es

A ^ = \\AC x AD\\ = V 25 + 3 2 4 + 4 = V 3 5 3 u 2

b) C om o AB II ñ — (1; 1; 1) = * AB = k n = (fc; k ; fc) (fc > 0). Luego,

k k kAB ■ (AC x AD = - 4 - 1 1

- 2 0 5

= 1 1 *

Puesto que el vo lum en del paralelepípedo es 4 4 u 3 , entonces se tiene

VP = \ A B - ( A C x AD)| = |llfc| = 4 4 <=> k = 4

Po r tanto, de AB = (4; 4; 4 ) resulta B = (12; 4; 4 )

E je m p lo 16

a) S i los vectores á , b y e son unitarios y satisfacen la condición:

a + b + c = 0, calcule el va lor de M = a - b + b ■ c + a ■ c

b) L o s vectores a y b son tridimensionales y forman un ángulo de 30°. S i

||a|| = 4 , ||ft|| = 6, utilizando el álgebra vectorial, calcule el área del

triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b .

So lu c ión

- » 2a) D ado que a + b + c = 0 = > ||a + b + c|| = 0 <=> ||a + b + c|| = 0

<=> ||a||2 + ||¿|| + ||c||2 + 2a ■ b + 2a ■ c + 2b • c = 0 ( * )

C om o los vectores a , b y e son unitarios, entonces ||a|| = ||fo|| = ||c|| = 1

Reem plazando estos valores en ( * ) se obtiene

- - 3l + l + l + 2 a - b + 2 a ' C + 2 b - c = 0 = * M = a - b + a - c + b - c = —

2

b) E l área del triángulo cuyos lados adyacentes son los vectores a y b es

¿a = j\ \a x ¿|| = ^ ||o ||p ||sen (3 0 °) = ^ ( 4 ) ( 6 ) ^ j = 6 u 2

E je m p lo 17 L o s puntos .4(4; 2; 0), 5 (4 ; 8; 0), D (—2; 2; 0 ) y W ( - 2 ; 4 ; 8 ) son

los vértices del paralelepípedo ABCDEFGH

a) Calcule su vo lum en

b) Determ ine la altura del paralelepípedo

So lu c ión

a) L o s vectores de las aristas adyacentes del paralelepípedo son

AB = (0; 6; 0), A D = ( - 6 ; 0; 0 ) y AE = DH = (0; 2; 8 )


Luego , el vo lum en del paralelepípedo es

0 6 0y = |i4B • G4D X j4£)| = - 6 0 0 = |288| = 2 8 8 u 3

0 2 8

b) Tenem os

AB x A D =í f k0 6 0

- 6 0 0= (0; 0; 3 6 )

A s í, el área del paralelogram o ABCD es A¿? = ||AB x AD|| = 3 6 u 2

Puesto que el vo lum en del paralelepípedo ABCDEFGH es

Vp = (á rea de la b a se )(a ltu ra ) = ( 3 6 )(7 i) = 2 8 8 = > h = 8 u

O bservación 5 Sean P^x^, y t ; z x) y P2 (x 2; y 2; z 2) los extremos de un segmento P iP 2. Entonces las coordenadas del punto P (x ; y; z ) que divide a l segmento en

PtPla ra zón d a d a r = —-= ( r í - 1) son

P °2X1 + r x 2

1 + ry =

y 1 + r y 21 + r

z =Zj + r z 2

1 + r

O bservación 6 Si M (x; y ; z ) es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P i f e ; y x; z x) y P 2( x 2; y 2; z 2) , entonces

X, + x .x = y i + y 2

z =Z i + z 2

E je m p lo 18 D a d o s los puntos P i(5 ; 7; 9 ) y P2(3; - 5 ; - 7 ) , halle los puntos de

trisección del segmento PXP2

So lu c ión

Sean A1(x1; y 1; z 1') y ¿42( x 2; y 2; z 2) los puntos de trisección del segmento P iP 2

P A 1Para encontrar las coordenadas del punto Av la razón es r =

Luego, por la observación 5 se tieneAP-,

x 1 =5 + ^ ( 3) 13 7 + 7 Í - 5 )

1+\ 3 ' y \ = 3 , Z i =9 + ¿ C - 7 ) 1 1

1 4- • 1 + ;

Pt A2 2Analogam ente, para el punto A2 la razón es r = — — = - = 2

A2P2 1

Por consiguiente, las coordenadas del punto A2 son

*25 + 2 (3 ) 11

1 + 2 3 ' yz7 + 2 ( — 5)

1 + 2 = - 1 , z 2 =9 + 2 (-7 )

1 + 2


1. Exprese el vector a com o la sum a de un vector paralelo b y un vector

ortogonal a b , si á = (2; 1; - 1 ) y b = (1; 4; - 2 )

2. Halle el ángulo entre los vectores a = (3; 1; 2 ) y b = (1; 1; 2)

3. S i el ángulo que forman los vectores a y b es de 45° y ||a|| = 3, halle el

m ódulo de b para que a + b forme con a un ángulo de 30°.

R. 3 ( V 2 + V 6 ) / 2

4. Sean a y b dos vectores unitarios en R 3. Demuestre que á + b es un

vector unitario <=> el ángulo form ado por ellos es de 120°.

5. D ado el paralelogramo ABCD, E está a 2/3 de la D F C

distancia de B a C y F es el punto medio de CD.Halle r y s de m odo que YF = r ~AB + s ~AC

R. r = - 1 / 2 , 5 = 1/3

6. Sean a ,b y c tres vectores de m ódulos r, s y t respectivamente. Sea a el

ángulo entre b y c, B el ángulo entre a y c y y el ángu lo entre a y bPruebe que el m ódulo S de la sum a de tres vectores está dado por la fórm ula

S 2 = r 2 + s 2 + t 2 + 2s t eos a + 2 r t eos/? + 2 r s c o s y

7. S i a = (1; 3; 2 ) , b = ( 1 ; - 1 ; 3 ) y c = (2; 3; — 4 }

i) Hálle el área del paralelogramo determinado por a y b

ii) H a lle el área del triángulo determinado por a y c

iij) H a lle el vo lum en del paralelepípedo determinado por a ,b y c

S. L o s vértices de un triángulo son los puntos 4 ( 1 ; 2; 3), 6 (0 ; 2; 1) y

C ( — 1; - 2 ; - 4 ) . HaJle el área y el perímetro del triángulo.

9. L o s vértices de un tetraedro son los puntos ,4(2; 1 ;0 ), 5 ( 1 ; - 1 ; 1 ) ,

C (3 ; 4; 2 ) y D ( 0; 0; - 1 ) . Ca lcu le el vo lum en del tetraedro.

10. E n el triángulo de vértices i4(3; 0; 0 ) , 5 (0 ; 4; 0 ) y C {0; 0; 5 ) , halle

i) L a s longitudes de cada mediana

i i) L a s longitudes de cada altura

iii) E l centro de gravedad del triángulo

11. Sean P {3; 1; — 1) y Q (4; — 1; 2 ) . Halle las coordenadas del punto R que se

encuentra en la prolongación de ~PQ y extendiendo 3 veces su longitud.


EJERCICIO S

13. U n auto recorre 20km hacia el norte y después 4 0 V 2 en una d irección 60° al

oeste del norte. Halle el vector desplazamiento resultante del auto y su

longitud.

R . f = ( - 2 0 ; 4 0 ) y ||r+J = 2 0 V 5 km .

14. Sean a y b son vectores en el espacio R3 que verifican: a + 2 b = 0 y

c o m p ra = — 8. Determ ine el valor d e A Í = 2 ( a + 3 f o ) - ( a — 3 b ) .R . M = - 1 6 0 .

15. D ado el triángulo de vértices A ( 2 ; — 2 ; 4 ) , ñ ( 4; 2; 6 ) y C ( 4; 8; 10 ).

a) Halle el vector unitario de MN, si MN es paralelo al lado AB, M sobre el

lado AC y N sobre el lado BC.

b) Determ ine las componentes del vector MN, si se sabe que MN ■ AC = 56.

R. W Ñ = ( 2 ; 4; 2 ) .

16. E n la figura adjunta, M y N son los centros de las caras GDEF y OAFE respectivamente.


S i ||p|| = 10 y ||q|| = 4 V l 3 , determine las componentes del vector 2 p - 3 q.

R. 2 p - 3 q = (34; 16; 4 8 )

17. Sean a , b , c y d vectores unitarios en el espacio R 3. S i se sabe que los vectores

a y b form an un ángulo de 60° y los vectores c y d un ángulo de 120°, halle:

a) C o m p g (4 a ) b ) P r o y 4 ¿ ( 4 a ) c) ( P r o y 2 ¿ ( 2 c + 3 d ) ) ■ d

R. a) 2 b) 2 b c )2 .

18. E l vector posición a se encuentra en el plano y z y el vector posición b sobre el

eje y negativo, de manera que el ángulo entre ellos es 120". S i ||a|| = V 2 7 y

\\b\\ - 8, halle las componentes del vector a x /;.

R. ( ± 3 6 ; 0 ; 0 ) .

19.Sean a , b y c vectores no nulos tales que ||tí|| = 3, ||¿|| = 1, ||c|

a + b + c = 0. Ca lcu le el valor de A = d - b + b- c + d - c.R . —13

4 y


20. Dados los puntos: /1(8; 0; 0), C (4; — 1; 1), D (6 ; 0; 5) y 5 un punto del primer ociante.

a) En el espacio R3, grafique el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores

AB, AC y AD.

b) Calcule el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los puntos A, Cy d .

c) S i se sabe que el vector AB es paralelo al vector n = (1; 1; 1) y el vo lum en

del paralelepípedo es de 4 4 i í3, determine las coordenadas del punto B .R. b ) V 3 5 3 u 2 c ) . B ( 1 2 : 4 ; 4 ) .

, 19. a) D ado el triángulo de vértices 4 (3 ; 1; 1), 6 (2 ; 1; 4 ) y C (5 ; 4; 6). Halle las

componentes del vector P r o y ^ MN, si se sabe que el vector MÑ es

paralela al lado AC del triángulo, M está sobre el lado AB, N sobre el lado

BC y ||M77|¡ = V 3 8/ 3 .

b) D ado s los vectores a = ( 2 ; - l ; l ) , b = ( - 2 ; l ; 2 ) y c = ( 4 ; 3 ; - 3 ) .

Calcule 6 ( a • üj¡ ) + V S íC o m p ,? b.R. a) ( 2 / 3 ; 1; 5 / 3 ) b) - 1 7 .

21. Dados los puntos A ( 2 ; 4; 3), 6 (4 ; 5; 5 ) y C ( - 1; 4; 0).

a) Halle dos vectores unitarios perpendiculares simultáneamente a los

vectores AB y AC.

b) Sea M un punto interior del segmento AC tal que d ( A ; M) = \ d(A-,C).

S i Q ( — 1; 4; 2), determine si el ángulo form ado por los vectores QC y QM es agudo o no.

R. a) i¡ = ( + 1 /\H l ; 0; ± 1 / V 2 ) b) E s agudo

22. Sean a, b y c tres vectores en el espacio E 3 ales que a = 2 r. |[c|| = 2 y

b ■ c = 4. S i se sabe que los vectores b y c forman un ángulo de 60°. halle

la longitud del vector V 3 a x b ^ 5 a x c.

23. Sean a, b y c vectores no nulos en el espacio E 3 tales que ||c|| = 4. P ro y c- b = b y P ro y g +(? a = 0. S i se sabe que los vectores a y b son Ui’itarios, halle el

m ódulo del vector a x b i- a X c . P..2S

25. D ados los puntos ¿4(— 1; 5; 3 ) y 6 (0 ; 3; 1).

a) Halle dos vectores unitarios paralelos al vector AB .

b) Determ ine dos vectores unitarios perpendiculares al vector AB y paralelo

al vector b = (1; 1; - 1 /2 ) .

R. a) w = ( ± 1/3 ; + 2 / 3 ; + 2 /3 ) b) ü = ( ± 2 / 3 ; ± 2 /3 ; + 1 /3 )

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN [[


R EC TA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRID IM EN SIO N A L

(>.2 R E C T A E N E L E S P A C I O

6.2.1 Á N G U L O S , C O S E N O S Y N Ú M E R O S D I R E C T O R E S D E U N A

R E C T A

Definición 1 Sea L una recta en el

espacio M 3. Se llama conjunto de ángulos directores de la recta L al

conjunto ordenado {a , p , y } , donde a,¡i, y son *os ángulos que form a la recta L con los rayos positivos de los ejes de

coordenadas x, y A z respectivamente

(Fig. 6.14)

Lo s ángu los directores toman valores

entre 0 o y 180°, es decir,

0 C < a , p , y , < 180°

Observación 7 El ángulo entre dos rectas que no se intersecan, se define como el ángulo form ado por rectas que se intersecan y que, al mismo tiempo son paralelas a las rectas dadas.

Si una recta no está orientada (con respecto al sentido que debe tomar) tiene dos conjuntos de ángulos directores que son:

{ a , p , y ) y { 1 8 0 ° - a , 1 8 0 ° - / ? , 1 8 0 p - y }

En lo que sigue, las rectas serán consideradas sin orientación.Definición 2 L o s cosenos de los ángulos directores de una recta se llaman

cosenos directores de la recta.

U na recta tiene dos conjuntos de cosenos directores.

(eo s a, eos /? , eos y } y { - e o s a , - e o s / ? , - e o s y }

O b se rv a c ió n 8 D o s rectas son paralelas si y so lo sí tienen los m ism os cosenos

directores.

D e fin ic ió n 3 U n conjunto [a ; b; c] es llamado números directores si existe una

constante fe ^ 0 tal que

a = k eos a, b = kcosp, c = kcosy

6.2.1.1 E X P R E S IÓ N D E LO S CO SEN O S D IR E C T O R E S D E UNA R E C T A Q U E PA SA P O R DOS PUN TO S


Sea L una recta que pasa por los

puntos P1(x 1-,y1-,z1) y P2(.x2: y 2, z 2)

y sean d = ||PXP2 1| y a > P, Y l° s

ángulos directores de L.

L o s cosenos directores de la recta L

que pasa por los puntos y P2 son

\ ------

cos a = -, eos /? =y z - y i

c o s y =z 2 - z x

Fig. 6.15

S i la recta L está orientada en el sentido de P2 a Px, entonces los cosenos

directores de la recta son

*2 - *1 „ yi - y-L 22 - Zlco sa = ------- — , cos/? = ------- — , cosy = ------ —

donde d es la distancia entre Pr y P2

6 4 .1 .2 R E L A C IO N E N T R E L O S C O SEN O S D IR E C T O R E S D E UNA R E C T A

S i e levam os al cuadrado cada una de las expresiones de los cosenos directores de

la recta L que pasa por los puntos Px y P2 y sum am os, se obtiene

2 , 2 n i 2 ( *2 - * ) 2 + (y 2 - y i ) 2 + 0 2 - Z l ) 2 „cos*a + eos ¡s + cos¿y = ---------------d 2 d 2

Por lo tanto, una relación fundamental entre los cosenos directores de una recta es

c o s2a + c o s 2p + c o s 2y = 1

Ejemplo 19

a) Halle los cosenos directores de una recta determinada por los puntos

P ! ( l ; 0 ; 2 ) y P2( 3; 2; 3 ) y d ir ig ido de Px a P2

b) S i {45°, 60°, y } es un conjunto de ángulos directores de una recta, calcule los posib les valores del ángulo y


So lu c ión

a) La distancia entre Px y P2 es d = V 4 + 4 + 1 = 3. Luego, los cosenos

directores de la recta que pasa por Pt y P2 son

3 - 2 1 2 1eos a = — -— = - , eos B = - , eos y = -

3 3 F 3 3

b) D e la relación entre los cosenos directores de una recta, se tiene

1 1c o s 245° 4- c o s260° + c o s2y = 1 = > eos 2 y = - = > eos y = ± -

De donde resulta eos y = 60° V y = 120°

6.2.2 E C U A C I O N E S D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3

U na recta es un conjunto de puntos que se desplazan en el espacio R 3 en una

d irección constante (Fig. 6.16)

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

6.2.2.1 E C U A C IÓ N V E C T O R I A L D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O K 3

Sea L una recta que pasa por el punto Pn(x n-,y 0; z 0) y sigue la d irección dei

vector á = - (a 1; a 2',a3) (F ig. 6.17;. E l vector a se llama vecto r d irección.de la

recta L.

Sea P ( x ; y \ z ) un punto cualquiera de la recta L. Entonces PaP es paralelo al

vector a, luego existe t e M tal que P0P = ta <=> P = P0 + í a , t £ E

Por lo tanto, la ecuación vecto ria l de la recta L es

i : i | L : ( x ; y ; z ) = ( x0; y 0; z 0) + t á , t e R j

E jem p lo 20 Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos

/»,(3 ; 2 ; - l ) y P2( 5 ; - 2 ; 4 )

So lu c ión


E l vector d irección de la recta que pasa por P1 y P2 es a = P1P2 = (2; — 4; 5 )

Tom ando el punto P i ( 3 ; 2 ; - l ) com o P0, Ia ecuación de la recta es

L-. ( * ; y ; z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - 4 ; 5 )

6.2.2.2 E C U A C I Ó N P A R A M É T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O

D e la ecuación vectorial de la recta L: 0 t ; y ; z ) = ( x 0; y 0;zo ) + se tiene que

cualquier punto P (x ; y ; z ) E L verifica la igualdad

O ; y ; z ) = ( x 0; y 0; z 0) + ¿ 0 % ; a 2; a 3)

Luego, de la igualdad de vectores resulta

Ix = x Q + ta ty - y0 + ta2

z = z 0 + t a 3

Estas ecuaciones se denom inan ecuaciones p a ram é tr ic a s de la recta L que pasa

por el punto P0(x 0; y 0; z 0) y es paralela al vector a , y t se llam a p a rám e tro de

la ecuación.

E je m p lo 21 H alle las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos

P i ( 2 ; 3 ; 4 ) y P2( — 1 ; — 3 ;2 )

So lu c iónE l vector d irección de la recta es a = PXP2 = ( - 3 ; — 6; - 2 ) . A s í, las ecuaciones

paramétricas de la recta son

(x = 2 - 3 1L: y = 3 - 6 t , t e

z = 4 - 2t

6.2.2.3 E C U A C I O N S I M E T R I C A D E U N A R E C T A E N E L E S P A C I O

Sea L una recta cuyas ecuaciones paramétricas son

x = x 0 + t a t L: y = y 0 + t a 2 , t e r

z = z 0 + t a 3

S i n inguno de los núm eros a t , a 2 y a 3 es cero, entonces despejando t de cada

una de las ecuaciones paramétricas e igualando los resultados se obtiene

x - x 0 y - y o z - z QL\ -----------= ------------ = ------------ ( * )

a l a 2 a 3


Estas ecuaciones se llaman ecuaciones sim étricas de la recta L que pasa por el

punto P o (x 0; y 0; z 0) y es paralela al vector á = ( ax; a 2; a 3). L a s componentes

del vector a 1 , a 2 y a 3 son los números directores de la recta L. v

O bservación 9

a) Si uno de los números directores a i , a 2 ó a 3 es igual a cero, no podem os usar la ecuación (*). En este caso se emplean otras relaciones

Por ejemplo, si a x = 0, la ecuación de L se escribe como, A y - y 0 ¿ - ¿ oL: x = x 0 A --------- = ----------

a 2 a 3

Si a 2 = 0, la ecuación de la recta L se escribe como x - x 0 z - z0

L: — = — A =

S i a 3 = 0. La ecuación de L se escribe comox - x 0 y — yo

L: -------------= -------- A z = zna, a 2

b) Si dos de los números directores a, , a 2 ó a 3 son iguales a cero, tampoco se puede usar (*). P or ejemplo, si a , = a 3 = 0, la ecuación de la recta L se escribe com o L: x = x 0 A z = z 0

E je m p lo 22 Determ ine ¡as ecuaciones vectorial, paramétricas y sim étricas de la

recta que pasa por el punto -4(1; 2; 2) y es perpendicular a las rectas

Lx\ (x ;y ;z ) = ( 3 ; 2 ; - l ) + t ( 2 ; - l ; 0 ) yL2: ( x : y ; z ) = ( 0 ; - 3 , 0 ) - r s ( — 12; 3; 13)

So lu c ión

A q u i el vector d irección a. de la recta L que pasa por el punto A es perpendicular

a los vectores ¿ = ( 2 ; - l ; 0 ) (vector dirección de Lx) y c = ( - 1 2 ; 3; 13)

(vector d irección de L2)• Entonces a \ \b x c , donde


b x ci J k2 - 1 0

- 1 3 3 13

= ( - 1 3 ; - 2 6 ; - 6 )

Ahora, tomando el vector á = (13; 26; 6), las ecuaciones de la recta L son:

Form a vectorial L: (x :y , z ) = (1: 2; 2) + £(13; 26; 6), t £ IR

IX = 1 4- 1 3 t

Form a paramétrica L: |y = 2 + 2 6 t

l z = 2 + 6t

x — 1 y — 2 z — 2Form a sim étrica L: -------- = --------- = ---------

13 2 6 6


En el espacio R 3 las rectas Lx: ( x ; y ; z ) = P0 + t a y L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + t b pueden tener las siguientes posiciones relativas

6.2.3.1 R E C T A S P A R A L E L A S

Las rectas y L2 son paralelas si sus vectores dirección d y b son paralelos. C om o consecuencia de este resultado tenemos


6.2.3 PO SICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL ESPA CIO

Observación 10

i) Para todo punto Px de R 3 y toda recta Lt : (x\ y: z ) — P0 + tá , t E R , existe una única recta L que pasa por el punto Px y es paralela a la recta Ll

ii) Si Li y ¿ 2 son dos rectas paralelas, entonces = l 2 ó L1 n L2 — 0

6.2 .3 .2 R E C T A S S E C A N T E S

La s rectas Lr y ¿ 2 son secantes si se intersecan en un único punto, esto es,

¿ i n L2 — {Po}

6.2 .3 .3 R E C T A S Q U E S E C R U Z A N

La s rectas Lx y i 2 se cruzan si no se cortan y no son paralelas. D o s rectas que se

cruzan están en planos paralelos, esto es, no se encuentran en un m ism o plano.

6.2.4 A N G U L O E N T R E D O S R E C T A S

El ángulo entre las rectas L t \ (x \y - ,z ) = P0 + tá y L2: ( x ; y ; z ) = Q0 + s b (Fig. 6.18) es el ángulo 0 com prendido entre los vectores d irección a y b

£)<¿ la defin ic ión del ángulo entre dos

Véctores, una relación para calcular el

ángulo entre las rectas y l 2 es

eos 0a ■ 0

¡|a|| b

Si el ángulo entre las rectas L, y Lz es

recto. 9C dice que las rectas son

o rtogona le s o perpend icu la re s, esto es.

L i ± L 2 s = > ü ± b < ^ > á - b = Q

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL '

6.2.5 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N A R E C T A

Sean un punto y

L: (x - ,y ;z ) = P0 + tá una recta en el

espacio IR3 .

Ahora, si d es la distancia del punto P, a la

recta L (F ig. 6.19), entonces

d = ||v|| sen 9

donde 8 es el ángulo que forman los

vectores a y v = P0P1

Por una propiedad del producto vectorial se

sabe que

Ha x y|| = Hallllvll sen 9 = ||a||(d)

De donde resulta

Fig. 6.19

a X 17 j a x P0Pt

E je m p lo 23 Ca lcu le la distancia del punto 4 (3 ; 2 ; - 1 ) a la recta

L: P — (1; 3; 2 ) + í ( — 1; 2; 3), t € K

So lu c ión

En este caso d = ( - 1 ; 2; 3 ) y v = 1 \A - (2; - 1 ; - 3 ) . entonces

á x v = ( - 3 ; 3; - 3 ) . Luego,

V 9 + 9 + 9 _ 27

V 9 + 4 + 1 ^ 14

E je m p lo 24 Sean las rectas;

L . P = ( - 2 ; 1; 0 ) + £ ( - 2 ; 1; - 1 ) , t 6 R

L2:Q = (3 ; 7; 1 ) + <>(— 1; 2; 3 ) ,s 6 R

¿ 3: x = 2 + 4 t , y = - 1 - 2t , z = 2 + 2t

x - 9 z - 3

LS:R = (3 ;4 ; 0) + r ( 4 ; - 2 ; 2 ) , r e IR

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Determine si son o no paralelas cada uno de los siguientes pares de rectas, en caso

que sean secantes determine su intersección.

a) y Lz b) ¿ i y l 3 c) Lx y Ls

d) l 2 y L 4 e) L2 y L3 f) ¿ 4 y Ls

So lu c ión

a) C om o los vectores dirección á = ( - 2; 1; — 1) y 6 = ( — 1 ;2 ; 3 ) no son

paralelas, entonces las rectas Lt y L2 no son paralelas.

Supongam os que A ( x ; y ; z ) £ n L2, entonces existen valores ún icos para t

y s para los cuales

A = ( - 2 ; 1; 0 ) + t ( — 2; 1; - 1 ) = (3; 7; 1) + s ( - 1; 2; 3 )

Por la igualdad de vectores, se obtiene

— 2 — 2 t = 3 — s (1 )

1 + t = 7 + 2 s (2 )

- t = 1 + 3s (3 )

7 26Resolviendo (2 ) y (3 ) se obtiene s = - - y t = — , pero estos va lores no

5 5satisfacen (1). Luego, no existe punto de intersección entre las rectas L 1 y Lz , es

decir, Lx y L2 se cruzan.

E n form a análoga se prueba los siguientes resultados.

b) Lx || ¿ 3 A ■= ¿ 3

c) || ¿ 5 A n ¿5 = 0

d) L 2 t t L 4 A L x n L s = >1(5; 3; - 5 )

e) L2 l/¡ L3 A Lz A ¿ 3 se cruzan

E je m p lo 25 H a lle la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 ( 3 ; l ; 5 ) y e s

paralelo a la recta L t : 2 x — 2 = 1 — y A z = 4

So lu c ión

En primer lugar reordenando la ecuación de la recta Lx tenemos

y — 12 x - 2 = l - y A z = 4 <=> x - 1 = — — A z = 4

—2

Luego, la ecuación vectorial de L1 es L^.P = ( l ; l ; 4 ) + t ( l ; - 2 ; 0 ) , t E R

C om o L || => L || a , donde a = (1; - 2 ; 0 ) es el vector d irección de Lx

Por tanto, la ecuación de la recta buscada es

L: Q = (3 ; 1; 5 ) + A ( l ; - 2 ; 0), A £ R

E je iilp fo 2 6 Halle la ecuación de la recta que pasa por P0 (3; 1; — 2) e interseca y es perpendicular a la recta Lx: x -r 1 = y + 2 = z + í

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.

So lu c ión

La form a vectorial de !a ecuación de la

recta es

Ly.Q = ( —1; —2; —1) + A( l ; 1; 1) , A g R

Sea A el punto de intersección de las rectas

Lx y L (Fig. 6.20). C om o A G Lventonces 3 k G K tai que A ( —l +k : ~ 2 -'r k ' , — 1 -r k ) .

Por la condición de perpendicularidad

resulta

P0A = {k - 4; k - 3; k + 1) 1 a = (1; 1; 1)

<=> PfíA. a. — k — 4 i- k — 3 + fc -i- 1 = 0

«=> k = 2

A s í, / 4 (1 ;0 ;1 )

Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos P0 ( 3; 1; - 2 ) y ¿4(1; 0; 1 ) es

L: P = (3; 1; - 2 ) + t ( 2; 1; - 3 ) , t £ R

E je m p lo 27 Determ ine la ecuación de la recta que pasa por P0 ( l ; 4 ; 0 ) y e s perpendicular a las rectas

x + 4 2y - \ 1L^.x = 3 + t , y = 4 + t , z = - 1 + t A ¿ 2 : --------= ----------- A z — —

So lu c ión

Sea a el vector d irección de la recta

L buscada.

Un vector d irección de L2 es

v = (4; 1; 0 ) y el vector d irección de

es b = (1; 1; 1). C om o L 1 L2 y

L i ¿ i ^ a l í y a i i

=> a || v X b = (1; - 4 ; 3)

Luego, la ecuación de la recta buscada

es

L:P = (1; 4; 0) + t ( l ; —4; 3), t 6Fig. 6.21

Kjc inp ln 28 Determ ine la ecuación de la recta que pasa por el punto m edio de

AH y corta bajo un ángulo de 6 0 c a la

recta que pasa por los puntos R y S. donde 4 (2 ; 4; OV 2?(0; 0; — 2), R (3; 3; 3)

y S ( - l ; 3 ; 3 ) .

So lu c ión

Este problema tiene dos soluciones (Fig.

6 .22 ).

E l punto 'medio del segmento AB es

M ( 1; 2; — 1 ) y la ecuación de la recta L-¡_ que pasa por R y S es

I Ol’ lCOS DE CALCULO - VOLUMEN II

p = ( _ i ; 3; 3) + t ( l ; 0; 0), t 6 R

Sea / el punto de intersección de L con Lr

=> I £ => 3 t £ E / / ( - 1 + t; 3; 3)

De la condición de que la recta L interseca a la recta L x bajo^un ángu lo de 60°

resulta

eos 6 0 “ = ■a ■ t>

, donde d = (1; 0; 0 ) , b = MI = (t - 2; 1; 4)

t = 2 ± ^ 1 7 / 3 => / ( I ± ^ 1 7 / 3 ; 3 ; 3)

Ma ll|!u li

D e donde soobtiene

1 t - 2

2 _ ¿ ( t ~ 2 ) 2 + 1 + 16

Luego, tas ecuaciones de las rectas buscadas son

L: Q = (1; 2; - 1 ) 4- r ( V l 7 / 3 ; 1 ; 4), r £ U

L':Q' = ( 1 ; 2 ; - 1 ) + A ( - V l 7 / 3 ; 1 ; 4 ) , A E R

E jem p lo 29 Halle el punto en la recta L: F = (2; 11; 1 4 ) 4- í (2;. 4; 5), t £

que equidista de las rectas

L¡: Eje x A

/,2:<2 = (1; 7; 0 ) -r s (0 ; 0; 1), s £ l

So lu c ión

Un bosquejo de este problema se muestra en

la l'ig. 0.23.

La ecuación del eje x e s

Lx\ R = (0; 0; 0 ) + í ( l ; 0 ; 0 ) , t £ E


Sea A 6 L el punto que equidista de Jas rectas L, y ¿ 2, entonces

A (2 + 2t; 11 + 4t; 14 + S í )

Luego,

d(>l- L ) = X - í,(2 + 2 í ’ 11 + 4 t ' 1 4 + 5 í ) X (1: ° ; 0)11Ü(l ; 0; 0)|!

= V ( 1 4 + 5 t ) 2 + ( l l + 4 t ) 2

d ( A . L -) _ 110^4 x 6j| | | ( 1 + 2 t , 4 + 4 t , 1 4 + 5 t ) x (0 ; 0; 1 ) | |

1 2 p|| 11(0; 0; 1)||

- V ( 4 + 4 t ) 2 + ( l + 2 f ) 2

Reso lv iendo la ecuación que resulta de d(A; Lx) = d ( A \ L 2) se obtiene

í = - 2 V t = - 5 0 / 7

Luego, los puntos de la recta L que equidistan de las rectas y L¿ son

i4v( - 2 ; 3 ; 4 ) y A z ( — 6 6 / 7 ; - 1 2 3 / 7 1 52 / 7 )

E J E R C I C I O S

1. Encuentre la distancia del punto Á(Z\2- ,Y) a la recta que pasa por los puntos P0 ( l ; 2; 9 ) y P i ( - 3 ; - 6 ; - 3 )

2. S i L,: P = ( 1 ; 0 ; - 1 ) + t ( l ; l ; 0 ) , t € K y L2: Q = (0; 0; 1 ) + s ( l ; 0; 0) , s e US.,

halle la ecuación de la recta L que es perpendicular a Lt y l 2 y las interseca.

3. Determ ine la ecuación de la recta que interseca a las rectas

¿j: P = (1; — 1; 1 ) + t ( l ; 0 ; - l ) , t £ M y L2: Q = (1; 0; 0 ) . + s ( - l ; 1; 1), s £ K

en los puntos A y B respectivamente, de tal manera que la longitud del

segmento AS sea m inima.

4. Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto / 4 (1 9 ;0 ;0 ) y corta a las

rectas L x: P = (5; 0; - 1 ) -f t ( l ; 1; 1), t c K

L2: Q = ( - l ; 2 ; 2 ) + s ( — 2 ;1 ;0 ) , s E R

5. U na recta pasa por el punto A{1\ 1; 1) y forma ángulos de 60° y 30° con los

ejes x e y respectivamente. Halle la ecuación vectorial de dicha recta.

R. L: P — (1; 1; 1) -f- t ( l ; ± V 3 ; 0 j , t E K

6. U n a recta que pasa por el punto A ( - 2 ; 1; 3 ) es perpendicular e interseca a la

recta Lx: P = (2; 2; 1) 4- t ( 1; 0; — 1), t E R . Halle la ecuación vectorial de

dicha recta. R. Q = ( - 2 ; 1; 3 ) -i- 5 (1; 1; 1), s e l .


Un plano en el espacio es un conjunto de puntos que se desplazan de tal manera,

que el vector que form a estos puntos con un punto fijo es perpendicular al vector dirección del plano (Fig. 6.24). E l vector dirección se llama vec to r n o rm a l del

plano y se denota con N.


6.3 PLANO EN EL ESPACIO

Observación 11 La ecuación de un plano queda com pletamente determinado cuando se conoce:

i) Un punto de paso y su vector normal ó

ii) Un punto de paso y dos vectores paralelos al plano ó

iii) Tres puntos no colineales del plano

6.3.1 E C U A C I O N E S D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O

6.3.1.1 E C U A C I Ó N V E C T O R I A L D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O

Sea Q un plano que pasa por el punto PQ(x0-,y 0; z 0) y es paralelo a los vectores

a. = ( a 1(- a 2; a 3) y b = (b1; b2; b3), donde el vector a no es paralelo al vector

b (Fig. 6.25)

Sea P ( x \ y , z ) un punto cualquiera del plano Q, entonces existen r , s £ 1 tai

que P0P = r á + sb

D e donde, P - P0 = r á + sb ó P = P0 + r a + sb

Por consiguiente, la ecuación vecto ria l del plano Q es

l------------------------------------------—-- ---------------1

Q: (x; y , y.) = P0 + r d + sb, r, s 6 E ¡


RE C IA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

6.3.1.2 E C U A C IÓ N P A R A M É T R I C A D E U N P L A N O E N E L E S P A C I O

De la ecuación vectorial del plano Q: P = P0 + r á + s b , se tiene que cualquier

punto P (x \ y ; z ) £ Q verifica la igualdad, es decir

(x; y ; z ) = ( x0; y 0; z 0) + r ( a j ; a 2; a 3) + sC£>i.; b2; b3)

Luego, por la igualdad de vectores resulta

Íx = x 0 + r a x + s b x y = y 0 + r a 2 + s b 2 , r , s 6 R

z = z 0 + r a 3 +

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones p a ram étr ica s del plano Q que pasa por el

punto P0(x 0; y Q-,z0) y es paralelo a los vectores a y b, r y s se llaman

p a rám e tro s de la ecuación.

E je m p lo 30 Halle las ecuaciones vectorial y paramétrica del plano que pasa por

los puntos P0 ( 3 ; l ; 2 ) , P ^ l - , - 1 ; 2 ) y P2( 2 ;0 ; 3 )

So lu c ión

L o s vectores paralelos al plano Q que pasa por

P0 ,P i y P2 son á = P ¿ P ¡ = ( - 2; — 2; 0 ) y

5 = P„P2 = ( - l ; - l ; l )

Luego, la ecuación vectorial del plano Q es

Q: P = ( 3 ; l ; 2 ) + r ( - 2 ; - 2 ; 0 ) + s ( - l ; - l ; l ) , r , s 6 R

y su ecuación paramétrica es:

í x = 3 — 2r — s Q: \ y = \ - 2 r - s , r , s 6 R

Iz = 2 + s

O b se rv a c ió n 12

i) De la ecuación vectorial del plano se obtiene que N = a X b es un vector perpendicular al plano. En general, todo vector no nulo perpendicular al plano es llamado norm al del plano.

ii) Si N es una normal del plano Q: P = P0 + r a + s b , r , s E 1 y Px y P2 son dos puntos del plano, entonces N 1 P\P2.

iii) Si N es la normal del plano Q: P — P0 + r á + s b , r , s 6 R y P0P1 1 N entonces Px 6 Q

iv) Si N es la normal del plano Q: P = P0 + r á + s b , r , s G R , entonces Q = { P ( x ; y ; z ) / Ñ.P^P = 0 } y es el único plano que pasa p o r P0 con

normal N


6.3.1.3 ECUACION GENERAL DE UN PLANO

Sea Q un plano que pasa por el punto

Po(x o’>yo'' z o) Y cuyo vector normal es

Ñ = (A-.B-.C).

Sea P ( x ; y ; z ) un punto cualquiera del

plano Q , entonces

P ¡P 1 Ñ «=* Ñ.P^P = 0

<=* (A;B; C) . (x - x Q; y - y 0; z - z Q) = 0

<?=> A (x - x 0) + B ( y - y 0) + C (z - z 0) = 0

Por lo tanto, la ecuación general del plano Q es de la forma

j ' " I

i Q; Ax + B y + Cz + D = 0 ¡

Esta ecuación también es llamada ecuación cartesiana del plano.En lo que sigue, por ecuación del plano se entenderá a la ecuación cartesiana.

Ejemplo 31

a) Halle la ecuación del plano que pasa por el punto P0 ( 2 ; 3 ; - 5 ) y es ortogonal

al segmento PQt , donde P ( 3; - 2 ; 1) y ( ^ ( l ; 3; 0)

b) Halle la eEttación del plano que contiene a los puntos P0, P y Qt dados en (a).

So lu c ión

a) Sea Ñ = = (2; — 5; 1) y P 0( 2 ; 3 ; - 5 ) .

entonces la ecuación general del plano es

Q: 2{x - 2 ) - 5 ( y - 3 ) + 1 ( z + 5 ) = 0 ó

Q : 2x - 5 y + x + 16 = 0

b) De la Fig. 6.26 se tiene

& = PaQi = ( - 1 ; 0; 5 ) y

b = P ¿P = (1; — 5; 6)

Enionces Ñ II á x b = (25 ; 11; 5 )

Tom ando Ñ - (25 ; 11; 5), la ecuación del plano es:

Q: 2 5 ( x - 2 ) + U ( y - 3 ) + 5 ( z + 5 ) - 0 ó

Q: 25x + l l y + 5 z - 5 8 = 0

Observación 13 Sea Q un plano cuya normal es N y L una recta cuyo vector dirección es á , entonces se tiene

i) L \ \ Q < = $ N ± a < = * N ' á = 0 (Fig. 6.27)

ii) L ± Q « N II a (Fig. 6.28)

KtUIAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

L

Ñi k

l ] /

Fig. 6.27 Fig. 6.28

iii) Si L \\ Q => L n Q = <Ji ó L c Q

iv) L c Q =$ N 1 a y P0 e L => P0 6 Q (Fig. 6.29)

v) Si L # Q => L fl Q = / es un punto. (Fig. 6.30)

Ni k

/ J h

Fig. 6 .29 Fig 6.30

E je m p lo 32 Halle la ecuación del plano que contiene a la recta

L: P — (1; 2; 2 ) + t(0 ; 3; 1), t 6 M y el punto Q0( 2; - 3 ; 8 ) ,

So lu c ión

Sea N el vector norm al del plano Q que

contiene a la recta L y al punto Q0 , entonces

N 1 á = (0; 3; 1) A N I P0Q0 = (1; - 5 ; 6),

d o n d e P 0 ( l ; 2 ; 2 )

Por lo tanto, al tomar N = (23; 1; 3 ) como vector normal del plano Q que pasa por el punto Q0, su ecuación es

Q: 2 3 ( x - 2 ) + ( y + 3 ) + 3 (z - 8 ) = 0 ó

Q\ 2 3 x + y + 3 z — 9 7 = 0

6.3.2 P O S I C I O N E S R E L A T I V A S D E D O S P L A N O S E N E L E S P A C I O

En el espacio los planos

Q[: A 1x + B1y + Ct z + Dx = 0 y Q2\ A2x + B2y + 2 z + D2 = 0

pueden tener las siguientes posiciones relativas

6.3.2.1 P L A N O S P A R A L E L O S

L o s planos y Qz son paralelos <=> ÑQl II ÑQi » ÑQi = A - Ñ q

Observación 14 Si Qy y Q2 son dos planos paralelos, entonces

0 Q1 - Q 2 (p la n o s co in c id e n te s )

ii) Qt fl Q2 = 0 (planos paralelos no coinCidenles)

6.3.2.2 P L A N O S S E C A N T E S

L o s pianos Qr y Q2 son secantes «=» ÑQl # ÑQi <=> n Q2 = L, donde L es la

recta de intersección de los planos. 1

La ecuación de la recta de intersección d^ los planos y Q2 se escribe como

(A-^x + Bxy + CjZ + D j = 0

\ a 2x + B2y + C2z + D2 = 0

ó L: A xx + Bt y + Cxz + Oj = 0 A A2x + B2y + C2z + D2 - 0

Observación 15

i) Los planos secantes Qx y Q2 son perpendiculares si y solam ente s í sus vectores normales son perpendiculares, esto es.

Plano Qx 1 p la n o Q2 <=> Nqi 1 ^ ' Ñqz

ii) Si Qx: AjX + Bry + C1z + D j = 0 y Q2: A2x + B2y + C2z + D2 — 0 sonplanos secantes, entonces Ia ecuación de la fam ilia de planos que pasan p o r laintersección de estos planos es

QF\ A-^x + Bxy + C ,z + Dj + k ( A 2x + B2y + C2z + D2) = 0

donde k es e l param étro de la familia.

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II 1

Luego. Ñ || & x P ¡ ÍQ ¡ = (2 3 ; 1; 3 ) ;

K t C lA Í> Y r L A N U S t N t L t S P A U Ü 1 K lU lM b N S lO N A L

Observación 16 Las ecuaciones de los planos coordenados y de los planos paralelos a estos son

i) Ecuación del plano coordenado x y: z = 0

ii) Ecuación del plano coordenado xz: y = 0

iii) Ecuación del plano coordenado y z : x = 0

iv) Ecuación del plano paralelo al plano x y que p a sa p o r el punto (0; 0; k ) esz = k

v) Ecuación del plano paralelo a l plano x z que pa sa p o r el punto (0; k; 0 ) es y = k

vi) Ecuación del plano paralelo al plano y z que pa sa p o r el punto ( k ; 0; 0 ) es x = k

E je m p lo 33

a) Halle la ecuación del plano que contiene al punto P0 (2; 6; - 1 ) y es paralelo al plano Q\ 4x — 2 y + z - 1 = 0

b) Halle la distancia del punto @0( 2 ; — 1 ;3 ) a la recta

L: 2x - y + z - 3 = 0 A x + 2 y - z + l = 0So lu c ión

a) Sea el vector norm al al plano que pasa por el punto P0, entonces

Ñx II ÑQ = (4; - 2 ; 1). A s í, al tomar Nt - (4; - 2 ; 1), la ecuación del plano

Qi es

Qi. 4 ( x - 2 ) - 2 ( y - 6 ) + l ( z + 1) = 0 ó 4x - 2 y + z + 5 = 0

b) Para hallar la distancia del punto Q0 a la recta L, es necesario tener la ecuación

de la recta en su form a vectorial. A s í, al resolver simultáneamente las

ecuaciones de los dos p lanos que da origen a la recta L, se tiene:

( 2x — y + z — 3 = 0 (1 )

\ x + 2 y — z + l = 0 (2 )

Sum ando (1) y (2) resulta 3x + y - 2 = 0 => y = 2 - 3x (3 )

Reem plazando (3) en (1) se obtiene z = 5 - 5 x (4 )

Haciendo x = t, se tiene la ecuación paramétrica de la recta L, esto es,

x — tL: y = 2 - 3 t , t e R

z = 5 - 5 t

Luego, la ecuación vectorial de la recta L es

L: P = (0; 2; 5 ) + t ( l ; - 3 ; - 5 ) , t € R


Sean v = P0Q0 = (2; — 3; — 2) y á = ( 1 ; — 3 ; — 5), donde P0 (0 ;2 ;5 ) .

Mmonccs la distancia del punto Q0 a la recta L es

||i; x ¿t|| _ V 8 1 + 6 4 + 9 _ 22

d = l|a|| V H

E jem p lo 34 Halle la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de

los p lanos x — y 4 - 2 z 4 - 4 = 0 , 2 x 4 - y 4 - 3 z — 9 = 0 y es paralelo a la recta

cuyos números directores son [ 1; 3; — 1 ]

So lu c ión

La ecuación de la fam ilia de planos que pasan por la intersección de los pianos

dados es

x — y 4- 2 z 4- 4 + k ( 2 x + y + 3z — 9 ) = 0

« (1 + 2 k ) x + ( k - 1 ) y + (2 4- 3 k ) z + 4 - 9k = 0

Luego N = (1 4- 2 k; k — 1; 2 4- 3 k) es el vector normal de la familia. C om o el

plano es paralelo al vector a = (1; 3; — 1), entonces IV l a «

Ñ ■d = Q <=> 1 4- 2/c 4- 3/c — 3 — 2 — 3/c = 0 => k = 2

Por tanto, la ecuación del plano descrito es

5 x + y 4- 8 z — 14 = 0

E jem p lo 35 D adas las rectas Lr \ P — (1; 2; — 1) 4- t ( l ; 3; 1), t € 1 y

L2: Q = (5; — 1; — 2 ) + s (2 ; — 1; 2 ),5 6 K

Halle las ecuaciones de dos planos paralelos

Q\ }' Qz de m odo que

¿i c Q y ¿2 c QzSo lu c ión

Sea N el vector norm al com ún de los planos

<2i Y Qz => Ñ ± a = (1; 3; 1 ) y

J V 1 ¿ = ( 2 ; - 1 ; 2 )Fig. 6.31

Luego, yv II a x b = (7; 0; — 7)

S i utilizamos, el vector normal N — (1; 0; — 1) y el punto Px( 1; 2; — 1) E Lr como punto de paso del plano, entonces la ecuación del plano que contiene a la

recta L x es

TOPICOS DI- CALCULO - VOLUMEN II

Qt : 1 0 - 1) 4- 0(y - 2) - í ( z + 1) = 0 <=> Qr : x - z - 2 = 0

Análogam ente, si u sam os el vector norm al A? = (1; 0; — 1) y el punto

P2( 5 ; - l ; — 2 ) £ L2 com o punto de paso del plano, entonces la ecuación del plano que contiene a la recta l 2 es

Q2: l ( x - 5 ) + 0 ( y + 1 ) - l ( z + 2 ) = 0 <f=> Q2: x - z - 7 = 0

E je m p lo 36 E n cada uno de los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un plano. Determ ine si L es paralela o no al plano Q y halle L n Q

a) L: P = (1; - 1 ; 2 ) + t ( 2; - 1 ; 3), t £ R y Q: x + 5 y + z + 1 = 0

b) L: P = (2; 0; 1 ) + t ( 1; 2; - 1 ) , t é R y Q: x + 2 y + 5 z - 7 = 0

c) L: P = (3; - 1 ; 0 ) + t ( 2; 1; - 1 ) , t e 1 y Q: 4x + 2 y - 2 z + 2 = 0 !

d) L: P = ( 1 ; - 1 ; 1 ) + t ( l ; 2 ; - 1 ) , t e R y Q : 3 x - y - z + 5 = 0So lu c ión

S i a es el vector d irección de la recta L y Ñ es la norm al del plano Q , se tiene

a) a = (2; - 1 ; 3 ) y Ñ = (1; 5; 1) =* á ■ Ñ = 0 =* L || Q

Pará verificar si L n Q = 0 ó L c ( J , consideram os un punto P0 £ L y com probam os si P0 £ Q ó P0 £ Q . S i P0 £ Q =* L c Q; si P0 g (? =>

L n Q = 0 . Para determinar si un punto pertenece a un plano es suficiente verificar si sus coordenadas satisfacen o no la ecuación del plano.

C om o P0(l-, — 1; 2 ) £ L , entonces reemplazando en la ecuación del plano se

tiene 1 + 5 ( — 1) + 2 + 1 0 (P0 no satisface la ecuación del plano). Lu e go

Po $ Q •

Por tanto L n Q = 0

b) L c Q ó LC\ Q = L

c) L L Q y L n Q = / ( l; — 2; 1)

d) a = (1; 2; — 1) y W = ( 3 ; - 1 ; - 1 ) => a • Ñ = 3 - 2 + 1 * 0

=> L n Q = / (un punto) =* / £ L A l e Q

¡ E L => / ( I + t; — 1 + 2 1; 1 - t)

/ £ Q => 3 (1 + t) - ( - 1 + 2 t ) - (1 - t) + 5 = 0 => t = - 4

Por consiguiente, / ( - 3 ; — 9; 5 )

E jem p lo 37 Por el punto 4 (1 ; 0; 1) se traza una perpendicular al plano

Q: 2x 4- y - z - 7 = 0. S i 6 es el pie de dicha perpendicular, determine un

punto C en la recta L: P = (— 1; 1; 0 ) + t(0; 1; 5), t e E de m odo que el

volum en del tetraedro de vértices 4 , 6 , C y D es igual a 4 u 3, donde D es el

punto de intersección de la recta L con el plano Q .

So lu c ión

En primer lugar, determinaremos el punto B.

Sea LN: P = A + s N , s G R la recta que

pasa por el punto A y es perpendicular al

plano Q. A s i,

B e L N n Q < = > B e L N A B e Q

<=* 5 ( 1 + 2 s ; s ; l - a) 6 Q

«=> 2 (1 + 2 s ) + s — ( 1 - s ) — 7 = 0

< = > s = 1

D e donde resulta B (3 ; 1; 0 )

C om o D = L n Q s = $ D E L A D 6 ( ? < = > D ( — 1; 1 + t; 5 1) 6 Q

<*=> 2 ( — 1) + (1 + t) - 5 t - 7 = 0 <=* t = - 2

A s í, £ )(— 1; — 1; — 1 0 )

Por otro lado, dado que C 6 L = > C ( — 1; 1 + t; 5 t). Ahora, sean

a = BC = ( - 4 ; t; 5t), b = BD = ( - 4 ; - 2 ; - 1 0 ) y c = S 4 = ( - 2 ; - 1 ; 1)

Entonces ¿ x c = ( - 1 2 ; 2 4 ; 0 ) y

1 _ i yT = - | a - ( b x c ) ! = 4 < = > 7 |48 + 24t| = 4<= * |2 + t| = 1 <=» t = - 1 V í = - 3

6 6

Por lo tanto, el punto es C ( — 1; 0; — 5 ) V C ( - l ; - 2 ; - 1 5 )

E je m p lo 38 Sean 4 (3 ; 2; 1 ) y B ( - 5 ; 1; 2 ) dos puntos del espacio. H a lle un

punto C en el plano Q: x - y + 2 z - 4 = 0 de m odo que AC + CB sea

m ínimo.

Solución

Para que AC + CB sea m ínim o, necesariamente 4 , B y C deben estar en un plano

perpendicular al plano Q . E n la Fig. 6.33 se muestra al plano Q de canto. S i B'

es el punto sim étrico de B respecto al plano Q (*), entonces CB + CB' = d 2 .

Luego d t + d 2 es m ín im o si C es la intersección de 4 6 ' con el plano Q .


Fig. 6 .3 2

K tc I AS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

(* ) D o s puntos B y B '__ son simétricos respecto al plano Q, si (J es

perpendicular al segmento BB' en el punto medio M de ~BBi

En primer lugar determinaremos M. Sea

Ln \ P = B + t ( l ; — 1; 2), t E IR

la recta que pasa por B y es perpendicular al

plano Q, entonces M £ LN y M 6 Q

= > M ( - 5 + t ; l - t ; 2 + 2 t ) y

( - 5 + t) - (1 - t) 4- 2 (2 + 2 t) - 4 = 0

<=» t = 1 => M (—4; 0; 4 )

C om o M es el punto m edio entre B y B'. por la fórm ula de punto m edio se obtiene

B ' ( — 3, — 1,6)

Asf, la ecuación vectorial de la recta que pasa

L: Q = (3; 2; 1) + r ( — 6; — 3; 5), r E

D ado que C = L n Q =* C 6 L y C & Q

» C ( 3 - 6 r , 2 - 3 r , 1 + 5 r > A (3 - 6 r ) - (2 - 3 r ) 4- 2 (1 + 5 r ) - 4 = 0

r = 1/7

Por consiguiente, se tiene C (1 5 / 7 ; 1 1 / 7 ; 12/7 ).

6.3.4 D I S T A N C I A D E U N P U N T O A U N P L A N O

Sea Q un plano cuya ecuación general es Q: Ax + B y + Cz + D = 0 y

P i O i í y i ^ i ) un punto del espacio. S i d es la distancia del punto Pr al plano Q (la longitud del segmento perpendicular trazado de Px a Q (Fig. 6.34)), entonces

^ = l l ^ ^ U l c o s e l .... ( a )

Donde P0(x 0; y 0; z 0) es un punto del

plano Q y 9 es el ángulo entre el vector

P0Pt y el vector norm al N.

por A y B' es

R

3 1 5

Fig. 6.34

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C om o P0 e Q => A x0 + B y0 + C z0 + D = 0

D e donde D = - A x 0 - B y0 - C zQ (/?)

Por otro lado,

( K pI ) - ñeos 9 - ------ , ( y )Ito lllM I

Reem plazando (y) en (a) se obtiene

\A (xx - X0) + B (y t - y 0) + C (zt - z 0)|d = -------------------- - ----- ---------------- _ (X)

V ¿ 2 + B 2 + C 2

Reem plazando (/?) en ( A ) , la fórm ula para la distancia del punto al plano Q se escribe como

\Axj_ + B y 1 + Czx + D\a =

tJA2 + B 2 + C2

Observación 17 La distancia d entre los planos paralelos

Qt : Ax + B y + Cz + D-l = 0 y Qz : Ax + B y + C z + D2 = 0

está dada p o r la fórm ula

d ='¡Ar + W T c 2

E je m p lo 39 Ca lcu le la distancia del punto P1( 1 ; 2 ;3 ) a l v i n o

Q :P = (2; 1; — 1) + r ( l ; 1; 1) + s ( — 1; 1; 0), , r , s 6 E

So lu c ión

E l vector norm al del plano Q es Ñ = á x b = ( - 1 ; 1; 0 ) X (1; 1; 1) = (1; 1; - 2 )

A sí, la ecuación del plano Q es l ( x — 2 ) + l ( y - 1 ) — 2 (z + 1) = 0 ó

(?: x + y - 2 z - 5 = 0

Por tanto, la distancia entre / ^ ( l ; 2; 3 ) y el plano Q es

|1 + 2 — 2 (3 ) — 5| 4 V 6d =

V i + 1 + 4 3

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Ejem plo 4 0 Encuentre la distancia entre los planos paralelos

Qi". x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: 3 x — 6 y + 6 z — 7 = 0 Solución

Para aplicar la fórmula de distancia entre planos paralelos, es necesario que los dos planos tengan el mismo vector normal; con este propósito dividimos la ecuación del plano Q2 entre 3 y obtenemos las ecuaciones

Qt : x — 2 y + 2 z — 5 = 0 y Q2: x - 2 y + 2 z - 7 / 3 = 0

En consecuencia, la distancia entre los planos Q^ y Q2 es

E je m p lo 41 L a distancia del punto P ( l ; 0; 2 ) al plano Q es 1. S i el plano Q pasa

por la intersección de los p lanos 4 x - 2 y - z + 3 = 0 A 2x - y + z — 2 = 0, halle la ecuación del plano.

So lu c ión

L a ecuación de la fam ilia de p lanos que pasan por la intersección de los planos dados es

. Q f : 4 x - 2 y - z + 3 + k ( 2 x - y + z - 2 ) = 0 ó

Qf : (4 + 2 k ) x - (2 + k ) y + (k - 1 ) z + 3 - 2k = 0

Per ia condición descrita, la distancia del punto P al plano QF resulta

1 |(4 + 2 k ) — 2{k — 1 ) + 3 — 2k\ _ \2k + 5|

” V ( 4 + 2 k Y + ( 2 + k Y + (fe - l ) 2 ~ V6/c2 + 18A: + 21

« 6 k 2 + 1 8 k + 21 = 4 k 2 + 2 0 k + 25

<=> 2fcz - 2 k - 4 = 0 = > k = - l V k = 2

Luego, las ecuaciones del p lano Q (hay dos soluciones) son

(?!: 2 x - y - 2 z + 5 = 0

- Q2: 8 x - 4 y + z — 1 = 0

E je m p lo 42 Se tiene el punto / \ ( - 3; 2; — 1) y la recta L: x = 2 y = z . Halle

las ecuaciones de dos p lanos paralelos si se sabe que uno de ellos contiene a Pt y

el otro contiene a L, además, la distancia entre d ichos planos es V2.

So lu c ión

L a ecuación vectorial de la recta L es L\ P = (0; 0; 0 ) + t ( 2; 1; 2), t £ IR

Sea Ñ — (A-, B; C) el vector normal com ún de los p lanos paralelos. Entonces, la

ecuación general del plano que contiene al punto P1( - 3 ; 2 ; - l ) y la del plano

que contiene a la recta L son respectivamente

Qx: A( x + 3 ) + B ( y - 2 ) + C ( z + 1 ) = 0 y

Qz : Ax + B y + Cz - 0

C om o el plano Q2 contiene a la recta L, entonces N = 04; B-, C) 1 a = (2; 1; 2 )

*=>Ñ. a = 2A + B + 2C = 0*=> B = - 2 A - 2 C ( a )

Ahora, utilizando la fórm ula de la distancia entre dos p lanos resulta

\ 3 A - 2 B + C\V 2 = . ___ :

y¡Az + B 2 + C2

<=> 2 (A2 + B2 + C2) = (3A - 2 B + C )2 (/?)

Reem plazando (a ) en (/?) se obtiene

10A 2 + 10 C2 + 16AC = 4 9 A2 + 25 C2 + 70AC

<=> 13A 2 + 18AC + SC2 = 0

<=> (13i4 + 5 C)(A + C) = 0 <=> A = - C ó A = - 5 C / 1 3

S i A = - C => B = 0 => = ( — C; 0; C ) = - C ( 1; 0; - 1 )

Considerando Ñx = (1; 0; - 1 ) se obtiene las soluciones

x - z + 2 = 0

Q2: x - z = 0

S i A = - 5 C / 1 3 => B = - 1 6 C / 1 3 => Ñ¡ = ( - 5 C / 1 3 ; - 1 6 / 1 3 ; C )

Para C = - 1 3 se obtiene Ñ2 = (5; 16; - 1 3 ) . E n este caso las so luc iones son

Qx: Sx + 1 6 y - 1 3 z - 3 0 = 0

Q2\ Sx + 1 6 y - 1 3 z = 0

E je m p lo 43 U n p lano se encuentra a una distancia de 2 /7 unidades del origen

de coordenadas. H a lle la ecuación del plano si se sabe que contiene a la recta

L: x = 2 y = 3 z - 1.

So lu c ión

L a recta L puede ser considerada com o la intersección de los p lanos x — 2y A x = 3z - 1. L a fam ilia de los p lanos que pasan por la intersección de estos

p lanos es


Qf : x - 2 y + k ( x - 3z + 1) = 0 <=* (1 + k ) x - 2 y - 3 kz + k = 0

REC TA S Y PLANOS EN EL ESPACIO TRID IM EN SIO N A L

A sí, de la distancia del origen de coordenadas al plano QF resulta

2 \k\<=> 4 0 k 2 + 8 k + 2 0 = 4 9 k 2

7 y / ( l + k ) 2 + 4 + 9 k 2

«=> k = 2 ó k = - 1 0 / 9

Por tanto, existen dos soluciones al problema y estas son

Q . 3x — 2 y — 6 z + 2 = 0 (para k — 2)

Qz’ x + l Q y - 3 0 z + 10 = 0 (para k = - 1 0 / 9 )

6.3.5 Á N G U L O E N T R E D O S P L A N O S

D o s p lanos no paralelos y Q2 forman dos ángu los (diedros) 9 y 180° - 9 (Fig. 6.35), luego es suficiente conocer uno de los ángulos. U n o de estos ángulos

es igual al ángulo que form an sus normales. S i 9 es este ángulo, entonces

eos 9 =W i - i V 2

w m m .

donde y N2 son respectivamente, los vectores normales de los planos

<?i Y <?2-

Fig. 6 .35

E je m p lo 44 Halle el ángulo obtuso que forman los planos

Q t : 2x — y + z — 4 = 0 y Q2: x + y + 2z - 5 = 0

So lu c ión

L o s vectores normales de los p lanos Qa y Q2 son respectivamente

Ñ, = (2; — 1; 1) y Ñ2 = (1; 1; 2 )

Entonces

j V i v 2eos 9 =

\N,

3 1— — - = - <=> 9 = 60°V ó V ó 2

Luego, el ángulo obtuso entre los p lanos es a = 180° — 60° = 120°

E jem p lo 45 H alle la ecuación del plano perpendicular al plano y z , que form a un

ángulo 6 = a rc c o s (2 / 3 ) radianes con el plano Q2: 2x — y + 2 z - 3 = 0 y pasa

por el punto

So lu c ión

Sean Ñ = (¿4; B ; C ) el vector normal del plano buscado, = (1; 0; 0 ) el vector

ftormal del plano y z (x = 0 ) y Ñ2 — (2; — 1; 2 ) el vector norm al del plano Qz

C om o el p lano buscado es perpendicular al plano y z (N 1 Nt ) y form a un ángulo

9 con el plano Q2 , entonces se tiene

N. Ñt = 0 =*> A = 0 (1 )

Ñ ■ Ñ2 2 A - B + 2Ceos 0 = „ = ..........— (2 )

\\N\\\\N2\\ V í42 + B2 + C 2.V 9

Reem plazando (1) en (2) se obtiene

2 _ 2 C - B

3 _ 3V S 2 + C2

D e donde 4 ( B 2 + C 2) = 4 C2 - A B C + B 2 «=> 3 B 2 + ABC = B( 3B + 4 C ) = 0

<=> B = 0 ó B = - 4 C / 3

S i B = 0 entonces Ñ - (0; 0; C ) = C (0 ; 0; 1). Luego, la ecuación buscada del

plano que pasa por el punto P1( 0 ; 1 ; 1 ) es

Qi. 0 ( x - 0 ) + 0 ( y - 1) + l ( z - 1 ) = 0 ó Qi- z = 1

S i B — 4C/3, entonces Ñ = (0; — 4C/3 ; C ) = — (C /3 )(0 ; 4; — 3). Luego, la

ecuación buscada del plano q,ue pasa por le punto ?*((); 1 ;1 ) es

Q3: 0 ( x - 0 ) + 4 (y - 1) - 3 ( z - 1 ) = 0 ó Qz : 4 y - 3 z - 1 = 0

6.3.6 P R O Y E C C I Ó N O R T O G O N A L D E U N A R E C T A S O B R E U N P L A N O

Sea P un punto del espacio y Q un plano. Se l i c e que el punto P' e Q es la

proyección (ortogonal) del punto P sobre el plano Q si PP' 1 Q (Fig. 6.36).

Sea L una recta y Q un plano. A la recta contenida en Q , que se obtiene

proyectando los puntos de la recta L se denom ina recta de p royecc ión de L sob re

el p lano Q . A esta recta se denota con LQ (F ig. 6.37). S i L es perpendicular al

plano Q , la proyección de L sobre Q se reduce a un punto.

RECTAS Y PLANOS ÉN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

E je m p lo 46 E n los siguientes ejercicios, L es una recta y Q es un plano Determ ine la p royección de L sobre Q .

a) L: P = (2; - 1 ; 4 ) + t { 2; 1; 1), t 6 R , Q: 2x + y + z - 2 5 = 0

b) L: P = (1; 2; 1 ) + t ( l ; - l ¡ 2 ) , t 6 R , Q: x - y - z - 4 = 0

c ) L: P = (2 ; 1; - 1 ) + t(2 ; - 1 ; 1), t 6 R , Q: x + 3 y - z + 16 = 0

So lu c ión

a) L o s vectores d irección de la recta L y el plano Q son respectivamente

a = ( 2 ; l ; l ) y Ñ = (2; 1; 1 ) entonces L 1 Q. Luego, ia p royección de L sc jre Q se reduce al punto / = L n Q (Fig. 6.38a). A l hallar la intersección de la recta L con el plano Q, obtenemos /(8; 2; 7)

b) Análogam ente tenemos

^ = (1* — 1; 2 ) y W — (1; — 1; — 1) => a ■ Ñ — 0 L \\ Q. Por ser L || Q será suficiente proyectar un punto de L y considerar al vector á com o el vector d irección de l Q (F ig. 6.38 b).



S e a n P 0 ( l ; 2 ; 1 ) E L y LN la r e c t a q u e p a s a p o r P 0 e n la d i r e c c i ó n d e Ñ.A sí, la ecuación vectorial de la recta l N es

Ln : P = (1; 2; 1) + s ( l ; - 1 ; - 1 ) , s 6 R

Ahora, si P ¿ es la proyección de P0 sobre el plano Q, entonces Pg = LN n Q. A l resolver la intersección de LN con Q se obtiene P q(3; 0; — 1)

Por lo tanto, L q \ R = (3; 0; — 1) + A ( l ; — 1; 2), X 6 E

c) E n este caso, tenemos

d = (2; - 1 ; 1 ) y Ñ = (1; 3; - 1 ) , entonces L no es paralela ni perpendicular

al plano Q (Fig. 6.38 c). Para hallar la recta l Q será suficiente hallar

I — L n Q y proyectar el punto Po(2; 1 ;— 1) sobre el plano Q. A l hallar

/ = L n Q, se obtiene /(24; - 1 0 ; 10). A l proyectar el punto P0(2; 1; - 1 )

sobre el plano Q se obtiene P ¿(0 ; — 5; 1).

Luego Lq es la recta que pasa por los puntos / y Pq. Po r tanto,

Por lo tanto, la fórm ula para hallar el ángulo entre las rectas L y el plano Q es

Lq \ R = (24 ; - 1 0 ; 1 0 ) + A (24 ; - 5 ; 9 )

6.3.8 Á N G U L O E N T R E R E C T A Y P L A N O

Sea L una recta con vector dirección

a y Q un plano cuyo vector norm al es

Ñ .

E l ángulo entre la recta L y el plano Q se define com o el ángulo que form a L con Lq , donde LQ es la p royección de

L sobre Q (F ig. 6.39).

S i a es uno de los ángu los que form a L con Q (E l otro ángulo es 180° — a), entonces 6 + a = 90°, donde 6 es el

ángulo que form an el vector TV y el

vector á. Luego,

Fig. 6.39

Ñ ■ âsen a = eos Q =

Ñ • asen a =

Ñ IIa||


E je m p lo 4 7 H alle el ángu lo agudo que form an el plano Q: 2x + y + z — 5 = 0 con la recta L: P - (2; 3; 5 ) + t ( 1; - 1 ; 2), t 6 RSo lu c ión

En este caso los vectores dirección de la recta L y del plano Q son

respectivamente d = (1; - 1 ; 2 ) y Ñ = (2; 1; 1). Luego, si a es el ángulo que forma la recta L con el plano Q, tenemos

\á.Ñ\


sen a — 1 n= - =» a - aresen

G K

Por tanto, el ángulo agudo que form an L y Q es de 30°

E jem p lo 48 Sean L \ P — (1; 0; 0 ) + t ( 0; 1; 1), í 6 IR una recta y

Q: x - z = 0 un plano. S i L'Q es la proyección de V sobre Q, halle la

ecuación de la recta que pasa por L' n Q, form a un ángulo de 45° con UQ y está

contenida en el plano Q .

So lu c ión

Sea L la recta buscada (Fig. 6.40). C om o

I — L n Q — L ' ñ Q , entonces se obtiene

/ (1 ;1 ;1 ) . A l hacer las operaciones

correspondientes para proyectar V sobre el plano Q, obtenemos

L'q : P = (1; 1; 1) s ( l ; 2; 1), s 6 R

Sea a — ( a i ; a 2; a 3) el vector d irección de L.C om o la recta L está contenida en el plano Q y

forma un ángu lo de 45° con la recta L'q, tenemos Fig. 6.40

a - Ñq - 0 => a t ~ a3

eos 45°a • (1; 2; 1) a x + 2a 2 + a 3

(1)

(2)V e llall V 6 ||a||

Reem plazando (1) en (2) s ; obtiene

1 2 (ü i + a 2)

+ 8 a ^ - 2 a ‘ = » = * =

Así, el vector d irección de la recta L es

a = (a j; ( - 4 ± 3 ^ / 2 )% ; a j = a ^ l ; - 4 ± 3 V 2 ; 1)

Por tanto, la ecuación buscada de la recta es

L: R = (1; 1; 1) + A (l; —4 ± 3V2; l) ,A 6 E (Dos soluciones)


Ejemplo 49 Sea Q: x - y — 1 = 0 un plano. Halle la ecuación de la recta L que pasa por i4(0; —1; 0) de modo que LQ\ P = (0 ; -1 ; 0) + t ( 0 ; 0; 1), t e IR sea la proyección de L sobre Q. Se sabe que el ángulo entre L y Q es de 45°.Solución

Se observa que el punto A pertenece a la recta L(¡ (Fig. 6 .41).

Sea a = (a ; b; c) el vector dirección de L.Como la recta L forma un ángulo de 45° tanto con la recta LQ como con el plano Q, entonces tenemos

TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

eos 4 5 ° =

sen 4 5 ° =

óí * (0; 0; 1) _ c

Hall ~ V a 2 + 6 2 + c 2

a . ( 1 ; —1 ;0 ) ) a - b

» a 2 + b 2 = c 2 (1 )

V2||a|| V 2V a2 + b 2 + c 2

(2)o a 2 + b2 + c 2 = a 2 - lab + b2

De (1) y (2 ) obtenemos

a2 + b2 = —2ab «=> a + ¿ = 0 «=> a - -b

Reemplazando b = - a en (1 ) obtenemos c 2 = 2 a 2 =* c = ± V 2 a

Así, el vector dirección de la recta L es a = ( a ; -a; ±V2a) = a ( l ; - 1 ; ±V2) Por consiguiente, las ecuaciones buscadas de ia recta L son

L: R = (0 ; - 1 ; 0 ) ) + A (l; - 1 ; ± V 2 ) , A € E

6 .3 .9 D ISTA N CIA M IN IM A E N T R E R EC T A S

Sean ¿ 1: P = P0 + í a , t e l y Lz: Q = Q0 + s b , s e espacio.

Las dos posiciones relativas de estas rectas son

i) II L2 « a II b

ii) ln tt /,2 <=> a Jt b

dos rectas en ei

Si L1 || L2, la distancia entre estas rectas está dada por d = d ((?0; ¿ i ) . distanciade Q0 a la recta Lí ó d = d(P 0; L2), distancia de P0 a la recta Lz (Fig. 6 .42).

Si las rectas se cruzan (Z^ L2) , la distancia mínima d es la longitud delsegmento perpendicular común comprendida entre ambas rectas (Fig. 6 .43 ).

R EC T A S Y PLA N O S EN EL ESPA C IO T R ID IM E N S IO N A L

Si las rectas L1 y L2 se cruzan existen dos planos paralelos Qx y Q2 , tales que ¿■i c Q\ Y ^2 c Qi ■ Luego d es la distancia entre los planos Qx y Q2.

Sea N = a x b y 0 el ángulo entre N y C = P0Q0 , entonces

d = ¡C|||cos0|

C - ÑDado que eos 0 =

se escribe como

, la fórmula de distancia entre rectas que se cruzan

donde Uf¡ es el vector unitario en la dirección del vector Ñ

Observación 18 Si Lx y L2 son dos rectas y d es la distancia mínima entre ellas, entonces

i) Si ¿ i II L2 , d ( ¿ 1; ¿ 2) = 0 <=> Lx = L2

ii) Si Lj ¿ 2 , d^Li, L2) = 0 <=> Lj fl ¿2 ^ 0 (la intersección es un punto)

E jem p lo 50 Halle la distancia mínima entre las rectas

L1: P = (1; 1 ;4 ) 4- £(0; 1; -3), t £ R y

L2: x = 4 + t l y — 5, z = -3 + 2 t

So lu c ión

El punto de paso y el vector dirección de Lx son P0(l;l;4) y a = (0; 1; — 3).El punto de paso y el vector dirección de L2 son <?0(4; 5; —3) y b = (0; 1; —3)

Así, tenemos a x b — (2; —3; — 1) y C = PqQq — (3; 4; — 7)

Por lo tanto, la distancia mínima entre las rectas Lt y L2 es

|c • (a x g)| | 6 - 1 2 + 7| 1

||a X b|| _ V 4 + 9 + 1 ~ V Í 4

E je m p lo 51 Una esfera metálica es soltada en el punto A(l-, 2; 1 0 ) y cae■(verticalmente) hasta el plano Q: 2x + y + z — 12 = 0; luego resbala por élhasta chocar con el plano x y . Halle la distancia total recorrida por la esfera.

So lu c ión

La distancia total recorrida por la esfera es

d = \AB\ + d(B-,Li)

donde B es la intersección de la recta L: P = (1; 2; 1 0 ) + í(0 ; 0; 1), t G R

con el plano Q y es la recta de intersección de los planos Q y x y (Fig.6.44).

Como B = L n Q, entonces B ( 1 ; 2 ; 8 ) y \J b \ = V 0 + 0 + 4 = 2

Por otro lado, la ecuación de la recta L¿ es

(2x + y + z — 12 = 0 ^ p = (0;i2;0) + A(1;-2;0),A £ E ( z - 0

||axPñfi|| ||(1; — 2; 0 ) x (1; — 10; 8)|| n ^LuCRo. rf(B; ¿,) = — ¡¡Jj— = --------------- -------------------= 8^675

Por tanto, la distancia total recorrida por la esfera es

d = \AB\ + d ( B ; L¡) = 2 + 8 ^ 6 / 5

R EC T A S Y P LA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N S IO N A L

E je m p lo 52 Po r la recta L: P = (4; 2; — 3 ) + t ( l ; 0; 1) pasa un p lano cuyas

intersecciones con los p lanos coordenados x y e y z form an un ángu lo de 60°. Halle la ecuación del plano.

So lu c ión

Sea N = (A ;B ;C ) el vector normal del plano buscado Q. C om o el plano Q contiene a la recta L, entonces

P0(4; 2; - 3 ) £ Q y Ñ. d = (A ; B; C). (1; 0; 1) = A + C = 0 <=> C = - A ( a )

Por otro lado, las rectas intersección del plano Q: Ax + B y + Cz + D = 0 con

los p lanos x y e y z son respectivamente

L B y + Cz + D = 0 By + Cz + D — Q

Ahora, si á y b son los vectores dirección de las rectas y L2 respectivamente, entonces

d = Ñ x k = (A ;B ;C ) x (0; 0; 1) = (B; - A ; 0 ) y

b = Ñ x T = ( A ; B ; C ) x (1; 0; 0 ) = (0; C; - B )

D ado que las rectas Lx y l 2 form an un ángulo de 60°, entonces tenemos


A sí, el problem a tiene dos soluciones

S\ B = A => Ñx = (A; A ; - A ) = i 4 ( l ; l ; - l

S i B .= - A =» Ñ2 = 04; —A ; - A ) = A ( l ; - 1 ; - 1 )

Luego, las ecuaciones de los p lanos que satisfacen las condiciones del problem a son

l ( x - 4 ) + l ( y - 2 ) - l ( z + 3 ) = 0 ó x + y - z - 9 = 0

Q2: 1 ( x - 4 ) - l ( y - 2 ) - l ( z + 3 ) = 0 ó x - y - z - 5 = 0

E je m p lo 53 Sean P, Q, R y S los vértices consecutivos de un cuadrado contenido en el plano Qx\ 2x + 2 y - z - 10 = 0. S i P ( 2; 9; 1 2 ) y R ( - 2; 11; 8 )

son los extremos de una de las d iagonales del cuadrado, halle las coordenadas de los vértices Q y S.So lu c ión

á ■ b 1 - A Ceos 60° =

l l á l l l l S H ^ Z V B 2 + A2 J C 2 + B2

PR = ( - 4 ; 2; - 4 ) y \\PR\\ = 6

Ahora, si a es el vector dirección de la recta L que contiene a la d iagonal Q5, entonces

a l P R A a 1 ÑQl = > a || PR X ÑQl = 6 (1 ; - 2 ; - 2 )

A s í, la ecuación vectorial de la recta L es

L: (x; y; z ) = (0; 10; 1 0 ) + t ( l ; - 2 ; - 2 ) , t £ R

C om o Q € L, entonces Q (t; 10 — 2t; 10 - 2t). D ado que,

¡|QM¡¡ = ^|jPR|| = 3 <=» V t 2 + 4 t 2 + 4 t 2 = 3 «=* t = ± 1

Por tanto, las coordenadas buscadas de los puntos son Q ( l ; 8; 8 ) y 5 ( - l ; 12; 1 2 )

TOPICOS D E C A L C U L O - V O L U M E N II

En la figura 6.45, el punto medio del cuadrado es M (0; 10; 10),

E jem p lo 54 U n a recta L, interseca a los p lanos coordenados x y e y z , de tal

manera que el segmento com prendido entre los puntos de intersección está en el

primer octante. S i desde d ichas intersecciones se trazan perpendiculares a los ejes

coordenados, quedan determinados los cuadrados Cx y C2 respectivamente. E l

área de Cx es el cuádruple del área de Cz . Halle la ecuación vectorial de la recta L si su distancia al origen es 18.

Solución

Sean <4(0; b; b) el punto de intersección de L con el plano y z y B ( a ; a; 0 ) el

punto de intersección de L con el plano x y (a > 0 , b > 0). C om o el área de Cx es cuatro veces el área de C2 (F ig. 6.46), entonces tenemos

A(Cr) = a 2 = 4/1 (C2) = 4 b 2 =¡> a = 2b

R EC T A S Y PLA N O S EN E L E SPA C IO T R ID IM E N S IO N A L

A sí, el vector d irección de L es AB = ( 2 b; b ; —tí) = b (2 ; 1; - 1 ) y la ecuación

vectorial de esta recta es L: P = (0; b; b) + A(2; l ; - l ) , Í e l

U tilizando la fórm ula de distancia del punto (0(0; 0; 0)) a la recta L, tenemos

I N x (2; l ; - l)| |18 = d ( 0 ; ¿ ) =

V 6<=> b = 9 V 2

Por lo tanto, la ecuación vectorial buscada de la recta es

L: P = ( 0 ; 9 V 2 ; 9 V 2 ) + A (2; 1 ; - 1 ) , A e R

E je m p lo 55 U n a recta L que pasa por el punto A(2; 2; 2), es paralela al plano

cuya ecuación es Q: x + 2 y + 4 z — 4 = 0. H a lle la ecuación vectorial de la

recta L si el área del triángulo AOB es igual a V l 4 u 2, donde O es el origen de

coordenadas y B es la intersección de L con el plano coordenado y z .

So lu c ión

Sean 6 (0 ; a; b ) el punto de intersección de

L con el plano y z (F ig. 6.47) y

a = BA = (2; 2 - a; 2 — b) el vector

d irección de L.

C om o L II Q, entonces a 1 NQ. D e donde

tenemos

a - ÑQ = a - ( 1 ; 2 ; 4 )

= 2 + 2 (2 - a ) + 4 (2 - b) = 0

= > a = 7 — 2b ( a )

Por otro lado, utilizando la fórm ula del área de un triángulo tenemos

i | | ó l x ó s | | = i |A& = \ \ \ O A * O B \ \ = i | | ( 2 ; 2 ;2 ) x (0 ;a ;6 )| |

= - > / 8 a 2 + 8 b 2 — 8 ab = V l 4 <=* a 2 + b 2 - ab = 7 (0)


¿)2 - 5b + 6 = 0 <=> (b - 2 ) (b - 3 ) = 0 < = > b - = 2 V b = 3

Po r consiguiente, tenemos

S i b = 2 => 5 (0 ; 3; 2 ) y P = (2; 2; 2 ) + t(2 ; - 1 ; 0), t £ R

S i b = 3 =* B '( 0 ; 1; 3 ) y L 2: P = (2; 2; 2 ) + s (2 ; 1; - 1 ) , s e l

p»! TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

K jcm p lo 56 U n plano pasa por el punto E ( 2; 0; 0 ) y es paralelo a la recta

L: P = (5; 6; 1 ) + t(0; 1; —1), t £ l

S i el plano interseca a los ejes z e y en los puntos F y G respectivamente, halle la

ecuación del plano si se sabe que el área del triángulo EFG es igual a (3 / 2 ) u 2 (dos soluciones).

So lu c ión

Sea Q el plano que interseca al eje z en G (0 ;0 ; c ) y al eje y en F (0;b;Q ) (Fig. 6.48). Entonces, tenemos

a = EF = ( - 2 ; b; 0), b = E G = ( - 2 ; 0; c) y ÑQ = a x b = (be; 2c; 2b)

Dado qué

Q II L = > ÑQ 1 d = > ÑQ ■ d = (be; 2c; 2b) ■ (0; 1; - 1 ) = 2c - 2b = 0

= > b = c (a )

Por otro lado, utilizando la fórm ula del área de un triángulo obtenemos

A a = i | |E F x EG|| = ^ b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 = \¿é ¿

= > b 2c 2 + 4 c 2 + 4 b 2 ~ 9 (/?)

Reem plazando (a) en (ft) resulta

c 4 + 8 c 2 - 9 = 0 <=> ( c 2 - l ) ( c 2 + 9 ) = 0 <=> c = ± 1

Por lo tanto, las ecuaciones de los p lanos que satisfacen las condiciones del problema son

S i c = 1 = > b = 1 = > ÑQ = (1; 2; 2 ) y Qt : x + 2 y + 2 z - 2 = 0

S i c = - 1 = > b = - 1 = > Nq = (1; - 2 ; - 2 ) y (?2: at - 2 y - 2 z - 2 = 0

R EC T A S Y PLA N O S EN E L ESPA C IO T R ID IM E N S IO N A L

Kjem plo 57 Sean las rectas Lt : Eje z , L2: x = 3 ; z = 4 . H a lle la longitud

del menor segmento que es paralelo al plano Q: x - 2 y + z — 2 = 0 y une a las

rectas y L2

So lu c ión

U n bosquejo del problem a se muestra en la Fig. 6.49. L a s ecuaciones vectoriales de las rectas Lx y Lz son

Lj: P = ( 0 ; 0 ; t ) , t E K y L2. Q = (3; 0; 4 ) + s (0 ; 1; 0 ) , s 6 E

Sean A E Lx y B E L2, entonces i4 ( 0 ;0 ; t ) para algún va lor de t E l y

B ( 3; s; 4 ) para algún va lor de s E M.

C om o AB = (3; s; 4 — t ) es paralelo al plano Q, entonces tenemos

AB 1 Nn (1; - 2 ; 1) = > AB ■ N0 = 3 - 2s + 4 - t = 0 = » t = 7 - 2s

Así, la longitud del m enor segmento es

f ’í s ) =

p B | | = V 9 + s 2 + ( 2 s - 3 ) 2 = V l 8 - 2 sv + 5 s 2 = f ( s )

Para encontrar el va lor de s que hace m ínim o a f(s), derivam os con respecto a s y tenemos

5 s - 6 6... :------ - ..... = 0 =» S = -

V 1 8 - 125 + 5 s 2 5

E l criterio de la primera derivada confirm a que / ( s ) es m ín im o cuando s = 6/5 y

los puntos son i4(0 ; 0 ; 2 3 / 5 ) y B { 3 ; 6/5 ; 4).

Por lo tanto, la longitud del menor segmentó es ||i4B|j = 3 ^ 6 / 5 = 3,286...

E je m p lo 58 Halle la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3; 4; - 5 ) ,

corta a la recta Lx: Q = (1; 3 ; - 2 ) + t(4 ; 3; 2), I E E y es perpendicular a la x — 4 y + 2

recta L2: —— = —~ ■ 2 “ 5

So lu c ión

Sea B 6 Llt entonces ñ ( 1 + 4 í ; 3 + 3 í; 2 t - 2 ) para algún t 6 l . Como el vector dirección

a = AB = (4 t - 2; 3 t - l ; 2 t + 3 ) de ¿ es

perpendicular al vector dirección b = ( 2 ; 3 ; 0 )de L2, entonces

a - b = 2 ( 4 í - 2 ) + 2 ( 3 t - l )

= 1 7 t - 7 = 0 «=» t «= 7 /1 7

Por tanto, la ecuación de la recta L es

L: P = ( 3 ; 4 ; - 5 ) + A ( - 6 ; 4 ; 6 5 ) , l € #


E jem p lo 59 Halle la ecuación del plano que pasa por P 0( 5 ; 0 ; - 2 ) y form a un ángulo de 30° con el eje z. (dos soluciones).

S o lu c ión

Sea N = ( A ; B ; Q el vector normal del plano Q que pasa por P0 ( 5 ; 0 ; - 2 ) . Entonces su ecuación es

Q: A (x - 5 ) + B y + C (z + 2 ) = 0 ( * )

C om o el ángulo que form a el plano Q con el eje z es 30° (Fig. 6.51), entonces

1 |C4; 6; C) ■ (0; 0; 1)1sen 30° = — — - ; 'J ± <=» 3C 2 = A2 + B 2 ( a )

2 V ¿ 2 + B 2 + C2 ^

Por otro lado, si K (0 ; 0 ; z 0) es el punto de intersección del plano Q con el eje z,

entonces P0V = ( - 5 ; 0; z 0 + 2 ) y el eje z forman un ángulo de 30°. Luego,

V 3 P o ? • (0; 0; 1) ^— = e o s 30° — - W | | « z . ^ 2 ± 5 V 3 ( «

Dado que V (0; 0; z 0) e Q , entonces satisface la ecuación ( * ) , esto es

— 5i4 + C (z0 + 2 ) = 0 <=> — SA + C ( — 2 ± 5 V 3 ) = 0 <=> ¿4 = +V3^C (y )

Reem plazando ( y ) en ( a ) se deduce que B = 0. De este modo, el vector normal

del plano Q es Ñ = ( ± V 3 C; 0; C) = C ( ± V 3 ; 0; 1)

Por consiguiente, la ecuación buscada del plano Q resulta

(?: ± V 3 x + z + 2 + 5 V 3 = 0

TOPICOS DE C A L C U L O - V O LU M E N II

E je m p lo 60 U n rayo lum inoso ¿ £: P = (1; 4; 3 ) + t ( l ; 2 ; - l ) , t 6 R incide en

el espejo plano Q; 3x — y + 4 z — 2 = 0 y se refleja; hálle la ecuación del rayo reflejado.

So lu c ión

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL

Sea I = n Q (en la Fig. 6.52, el plano Q se muestra de canto).

Luego,

/ ( I + t; 4 + 2t; 3 - t ) e Q e* 3 (1 + t) - (4 + 2 t) + 4 (3 - t ) = 2 <=> t = 3

= » /(4; 10; 0 )

Ahora, la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P0 y sigue la

dirección del vector normal es LN: P = (1; 4; 3 ) + A (3; — 1; 4 ) , X £ IR

S i M = Ln fl Q, entonces al hacer las operaciones respectivas obtenem os

/ 1 113 4 2 \

2 6 '" 2 6 " '2 6 /

Dado que Ai es el punto m edio del segmento P0Qo , entonces el punto Q0 es

/ 14 61 3 \

V 1 3 '1 3 '1 3 /

Por tanto, la ecuación vectorial del rayo reflejado que pasa por el punto I y sigue

la d irección del vector b = Q0I — — (66; 69; — 3) es

Lr : R = (4; 10; 0 ) + r ( 6 6 ; 69; - 3 ) , r £ IR

EJERCICIOS

1. Halle la ecuación de la recta que pasa por (1; 3; 2), es paralelo al plano

Q: P = (1; 4; 0 ) + r ( 1; 1; 1) + s ( 0; 1; 2), r, s £ E y form a un ángulo de

60° con la recta Lx\ R = (1; — 2; 3 ) + t(0 ; 1; 0), t £ E

R. L: = (1; 3; - 2 ) + t ( 3 ± 2V 2 ; 2 ± V 2 ; l ) , t 6 E

2. Halle la ecuación del plano que pasa por (3; 1; — 2 ) y form a ángu los iguales

con las rectas Lx: P = (1; 4; 2 ) + t ( l ; 1; 1), t £ E , ¿ 2; eíe x y L3: e ] e yR. {x - 3 ) + (y - 1 ) + ( V 3 - 2 ) ( z + 2 ) = 0

3. Sean las rectas:

Li'. P = ( 3 ; 0 ; 0 ) + t ( l ; — 1; 1), t £ E

L2- Q — (2; 9; 1) + s ( l ; 3; — í) , s £ E

Halle la ecuación del plano que es paralelo a Lr y Lz , y d iv ide en 2 partes

iguales al segmento de m enor longitud que une a d ichas rectas.

4. Sea el plano con ecuación 2x + 3y + z + 4 = 0 , encontrar n y m no nu los de

m anera que los dos vectores A = i + j + k y B = n j + m k están en un

plano perpendicular al dado.R . m = 1 / 2 , n = - 1 / 2

5. ln : P = (1; 2; — 3 ) + t ( l ; — 1 ;5 ), t G R

L2: Q = (0; 1 ;4 ) + s ( l ; 0 ; - 1 ) , s e l

son dos rectas, ¿se intersecan?. E n caso afirmativo, halle el punto de

intersección y la ecuación del plano que los contiene. En caso contrario, halle la distancia m ín im a entre Lx y ¿ 2

6. Halle la ecuación del plano paralelo al plano 2x - y + 2 z + 4 = 0 si se sabe

que el punto P0 ( 3 ; 2 ; — 1) equidista de ambos planos.

R. 2x — y + 2 z - 8 = 0

7. Dadas las rectas P = (1; - 1 ; 1) + t ( 0; 1; 1), t e l

¿ 2: Q = (0; 1;0) + 5(1;0; — 1), s £ R

Halle las ecuaciones de dos planos paralelos Qx y Q2 de m odo que Lx c Qxy. L2 c Q2 . ¿C u á l es la distancia entre Qt y Q21

8. Halle la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que pasa por el

punto P0 ( 2 ; 2 ; 2 ) y que form a un ángulo de 60° con el plano

y [3 x + 2 y — 3 z + 2 = QR. 4 V 3 x + y - 2 (1 + 4 V 3 ) = 0

9. Dadas las rectas:

L x : P = (1; 2; - 1 ) + t ( 2; - 2 ; - 3 ) , t G R

L2. Q = (2; 3; 1) + s ( l ; 2; - 1 ) , 5 G R

L3: R = (3; 1; - 1 ) + r ( 1; 1; 1), r G R

Halle, si existe, la ecuación del plano Q que contiene a L3 y a su vez el

plano sea paralelo a las rectas Lx y L2.R. no existe

10. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por ( 2 ; 6 ; 1 ) y contiene a laX z

recta - = - , y = - 5

R. 8 8 x — 1 3 y — 3 3 z — 65 = 0

11. La recta L que pasa por ( - 1 ; 1; 6 ) es paralela a los p lanos x + y = 0 A

2x — z — 6 . L a recta LQ es la proyección de L sobre el plano x y . H a lle las

ecuaciones de las rectas L y LQ.

12. Halle la ecuación de la recta que contiene al m enor segmento horizontal

(paralelo al plano x y ) que une las rectas

P = ( 0 ; 0 ; 0 ) + t1( l ; 2 ; 8 ) , t E R

l‘¿: Q = (1; 3; 0 ) + t2(0; 1; 4), t 6 R

R. L: P = (1; 2; 8 ) + t3( 0; 3; 0), t3 G R

13. Halle la ccunción cartesiana del plano que pasa por P0( l ; 0; 0), sabiendo que

la recta L: P — (5; 1 ;— 5) + t ( l ; 0 ; — 1), í G R está a una distancia de 1 unidad de d icho plano (Z, II Q).



I I. Halle la ecuación cartesiana del plano, sabiendo que es paralelo al plano

2 x + 2 y - z + 7 = 0 y que el punto (5; 2; - 3 ) equidista de am bos planos.

R. 2x + 2 y - z - 41 = 0

15.Sean L\ P = (1; 1; 3 ) + t ( 2 ; 0 ; l ) , t G E y Q: 2 y - y + z - 15 = 0 unarecta y un plano respectivamente. S i A — L n Q, halle la ecuación de la recta

L1 que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta Lq . L a recta Lx está

contenida en el plano Q.

16. D adas las rectas = (3; 4; 5 ) + tx(0; 1 ; - 2 ) , t x G E

L2: P2 = (4; - 2 ; 1) + t2( 1; 2; 3), t2 G E

L3: P 3 = (0; 0; 0 ) + t3 ( 2; 1; 0), t3 G E

Halle la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos

A, B y C respectivamente, de m odo que AB = BC, E l plano solicitado es

paralelo a la recta x = y = z y los puntos A, B y C están alineados.

R. 19x - 2 0 y + z - 81 = 0

17.a = (4; 0; 3 ) y b = ( - 3 ; VTT ; 4 ) son los vectores d irección de las rectas

y l 2 respectivamente. La s rectas se intersecan en (3; 2; 1). Halle la ecuación

de la recta ¿ 3 que pasa por el punto P0(3 1 / 5 ;2 ; 1 7 / 5 ) y determina con

Lx y L2 u n tr iá n g u lo de área 6 u 2 .

18. Halle la ecuación de una recta que pasa por el punto (3; 4; — 6 ) y es paralela a

los p lanos x + 2 y - z = 4 A 3 x - y + 2 z = - 6 .

R. L: P = (3; 4; - 1 ) + t ( - 3 ; 5; 7), t G E

19. Halle la ecuación del plano que dista del origen V 2 3 4 unidades y pasa por la

intersección de las rectas P = (9; 5; 4 ) + t ( l ; 1; 2), t e E y

L 2: Q = (1; 2; 3 ) + s (2 ; 1; 1), 5 G ER. 11 (x - 1 1 ) + 7 (x - 7 ) + 8 (z - 8 ) = 0

20. Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1 ) y es

perpendicular a los p lanos x - y - 4 A x + z = 6.R. x + y - z - 6 = 0

21. S i L1: P = (2; 1 ;0 ) + t ( l ; — 1; 1), t G E , halle la ecuación de la recta L que

- sea simétrica a la recta L x con respecto al plano 2 x - y - z - 5 - 0 .

x + 4 5 - y.25. Dado el p lano x - 2 y + 3z = 8 y la recta L: —— = —— <y = _ 1

Halle la ecuación de la recta que pasa por (0; 2; — 1), es paralela al plano dado

y corta a la recta L.R. L1\ P = (0; 2; - 1 ) + t(4; - 1 ; - 2 ) , t £ E

22. D adas las rectas

Ly. P i = (1; 1; 2 ) + t ^ l ; 2; 0), t x G M

L2- P2 = ( 2 ; 2 ; 0 ) + t2( l ; — 1; 1). t2 G E

R EC T A S Y PLA N O S EN E L E SPA C IO T R ID IM E N S IO N A L

^ 3* ^3 = (0; 3; — 2) + t3 (S; 0; 2), ¿3 6 ®

Halle la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas Lu Lz y L 3 en

los puntos M, N y P respectivamente, de tal manera que MN = NPR. L: P = (0; - 1 ; 2 ) + t ( 2; 2; - 1 ) , t £ E

23. Sean las rectas ¿ j = {(1 ; 0; 0 ) + r ( 1; 1; 1) / r e E } y

¿2 = {(7 ;4 ;3) + s (3;4;2) / s &E}Halle los vértices de un triángulo equilátero de lado 2 V 2 u , tal que un vértice

pertenece a ¿ 2 y el lado opuesto en L1.

R. ( 4 ; 0 ; 1 ) , ( 2 ± V 2 7 3 ;

24. Dadas las rectas no coplanares concurrentes en P0( l ; - 2 ; 3 )

x - 1 y + 2 z - 3 x — 1 3 - z1 . : — - — = — . W - — = — A y = - 2 y

x — 1 y + 2 z - 3L o : -------- = -- ------ = ---------

3 2 1 2Halle la ecuación de un plano que pasa por el punto A { —4; 2; 6 ) y form a

ángulos iguales con estas rectas.

R. 3x — y - z + 2 0 = 0

26. Dadas las rectas:

x — í y + 2 5 - z y - 1 z + 2¿ . — = — - — = — -— ■ y L2. x = - 2 ,— -— = — - —

1 2 3 4 * z 1 2

que se cruzan. H alle la ecuación de la recta que pasa por i 4 ( - l ; - 2 ; 0 ) , es

perpendicular a Lí (en el espacio) e interseca a ¿ 2.

R. P = ( - 1 ; - 2 ; 0 ) + t ( — 1; 6 ; 4), t 6 E

27. D ado s los p lanos Qt : 2x + 2 y - 2 z + 2 = 0. y <32; x - 2 y — z = 1 y el

punto >4(2; 1; 4 ). H a lle la ecuación de una recta que pasa por A , es paralela a

Q2 y form a un ángu lo de 30° con

R. ¿ = { ( 2 ; l ; 4 ) + t ( l l ± 6 V 2 ; 2 ± 3 V 2 ; 7 ) / t 6 i }

28. Halle la ecuación de una recta que pasa por (3; 1; 2 ) y corta a la rectas

Lt : P = {(2 ; 4; - 1 ) + t ( 0; 1; 2 ) / t e E }

f x - y + z = 4

l 2 jc + z = 6R. Q = ( 3 ; l ; 2 ) + s ( - l ; 1 0 ; l l ) , s é E

29. Encuentre la ecuación del plano que pasa por el puntó ' <2(3;— 5; 2 ) ' y es

perpendicular a los planos 2 x + 3 y - z - 5 = 0 A x - 2 y + 2 z - 3 = 0.

R. 4 x - 5 y - 7 z — 23 = 0

30. Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos ( - 2 ; 5; 3 ) y

(4; 8 ; - 8 ), y es perpendicular al plano xz.R. l l x + 6 z + 4 = 0

V TO PICO S D E C A L C U L O - V O L U M E N II

31. Encuentre la ecuación del plano que pasa por origen, es perpendicular a&pJano

2x + 3 y - Sz = 0 y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1; - 1 ; 3) y (2; 1; - 2 ) .

R. Sx — 5 y — z = 0

32. Encuentre la ecuación del plano que es paralelo al plano 12x — y — Y l z = 4 y

pasa por la intersección de los planos 2x - y - Sz = 4 A 3x + y - z = 0.

R. Y 2 x - y ~ \ 7 z = 12

33. U n plano pasa por los puntos P1( l ; 0; - 1 ) y P2( - 1; 2; 1 ), y es paralelo a la

recta de intersección de los p lanos 3x + y - 2 z = 6. A 4 x - y + 3 z = 0. H a lle su ecuación.

R. 5 x - 3 y + 8 z + 3 = 0

34. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por ¿ 4 ( 1 ; - 2 ; 1 ) y es

perpendicular al vector OA, donde O es el origen de coordenadas.

R. x - 2 y + z = 6

3 5 .Encuentre la ecuación de un plano que pasa por los puntos P ! ( l ; 2 ; 3 ) y

P2 ( 3; 2; 1), y es perpendicular al plano 4 x - y + 2 z = 7.

R. x + 6 y + z = 16

36. Encuentre la distancia del origen de coordenadas

x — 2 y — 1 2 — z

3 ~ 4 ~ 5R. 3 u

Í„ — 2 z — 3 — 0y _ 2 Z = o interseca al plano x + 3 y — z + 4 = 0.

Encuentre el punto de intersección P y halle la ecuación de la recta contenida

en este plano, que pasa por P y es perpendicular a L.

R. P ( 1; - 2 ; - 1 ) , = L t l = £ ± 1— 5 3 4

3 8 .Calcu le la distancia m ín im a entre la rectas Lx y L2, donde l x pasa por el

origen y el punto (1; 1; 1), y ¿ 2 pasa por (1; 2; - 2 ) y es paralelo al vector

2 í - j + 2k.R. 3V2/2

39. H a lle la ecuación del p lano que form a un ángu lo de 60° con el plano»

2x - y + z = 7 y contiene a la recta L: P = (1; 8; 1) + t ( l ; — 3; 1), t 6 M.

R. x + y + 2 z = 11, l l x + 2 y — 5 z — 2 2 = 0 (dos soluciones)^

40. H a lle la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3; 4; 1 ) y es ortogonal a

los p lanos P: x - y — 4 A Q: x + z = 6

R. x + y - z - 6 = 0

REC TA S Y PLANOS EN EL ESPA C IO TRID IM EN SIO N A L


41. Halle las ecuaciones de tres planos

equidistantes, que pasan por los puntos

(1; 4; 0), (2; — 5; 1) y (3; 0; - 2 )

respectivamente, de tal manera que sean a su

vez paralelas a la recta

L = {(1 ; 4; 0 ) + t ( l ; 1; 1) / t G M}.

Suge renc ia : Considere P1P2 = P2P3 R. 9 x - 2 y - 7 z - 1 = 0

9x — 2 y - 7 z - 2 1 = 0

9 x - 2 y - 7 z - 41 = 0

42. Halle la longitud del m enor segmento paralelo al p lano x y , que une las rectas

Lx = {(1 ; 2; 0 ) + ^ ( 1 ; 2; 1 ) / ^ G R } y = {(0 ; 0; 0 ) + t2( 1; 1; l ) / t 2 G ®¡}

R. l u

43. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (3; - 1 ; 6 ) y es paralela a los

p lanos x — 2 y + z = 2 A 2 x + y - 3 z = 5.

R. x — 3 = y + l = z - 6

44. Halle la ecuación del plano que es paralelo al plano 1 2 x — y - 1 7 z = 14 y

pasa por la intersección de los p lanos 2 x - y - 5 z = 4 A 3x + y — z - 0.R. 1 2 x - y - 1 7 z = 6

4 5 .Encuentre la ecuación de los p lanos que bisecan el ángu lo entre los p lanos

2 x + y + z = 4 A 7 x - y — 2 z = 2.R. x — 4 y — 5 z + 10 = 0

4 6 .C o n los puntos j4 (1 ;2 ;3 ) , B ( 0 ; - l ; 4 ) y C ( — 1 ; 2 ; 6 ) se form a el

paralelogram o ABCD. H a lle la ecuación de la recta que pasa por los puntos Cy d .

R. L = { ( 0 ; 5 ; 5 ) + t ( — 1; — 3; 1 ) / t G K }

47. Halle la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y por la

intersección de los p lanos x — y + z — 4 = 0 A 2 x + y - 2 z — 6 = 0.

R. x + 5 y - 7 z = 0

48. Halle la ecuación cartesiana de un plano que pasa por (1; 2; — 3 ) y por la

intersección del plano x — y + 2 z = 4 con el plano xy .R. 3 x - 3 y - 5 z - 12 = 0

49. Encuentre la longitud m ín im a del cordel que se necesita para llegar desde el

punto Pq(8; 6; - 5 ) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos

Qx(3; 5; 3 ) y <?2( 8 ; 3 ; 1 )

R. d = 5 ,65 u

5 0 .L a s rectas Lx = {(5 ; 11; — 2 ) + ^ ( 0 : 8 ; —1), 6 R }

L2 = {(8 ; - 2 3 ; 3 ) + t2( 3; - 1 0 ; - 4 ) , t2 6 R }

¿ 3 = {(8 ; 1; -6 ) + t3(3; - 2 ; - 5 ) , t3 6 R }

contienen a los lados del triángulo ABC. H a lle la distancia del centro de

gravedad de d icho triángulo al plano 5 x + 1 2 z + 14 = 0.

R. 5 u

51. D a d o s los puntos no colineales .4(0; 0 ;0 ),

f í ( 0 ; l ; 5 ) , C ( 5 ; 2 ; — 1) y D ( 3; 7 ; - 7 ) , determine la

ecuación de los p lanos paralelos que pasan por d ichos puntos, de tal manera que las distancias que los separan sean iguales.

R. Qt : 9x + y - 1 2 z + 59 = 0,

Q2: 9x + y - 1 2 z = 0

Q3: 9x + y - 1 2 z - 5 9 = 0,

<?4 : 9x + y — 1 2 z — 1 18 = 0.

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPA CIO TRID IM EN SIO N A L

Su ge renc ia : E n el gráfico adjunto, para determinar

las coordenadas del punto P (x 0; y Q; z 0) la ra zónos

DP 2 _r = = = — y la norm al del plano es N — á x b

BP 1 F

52. U n hom bre que se encuentra en

0 (0 ; 0; 0 ) lanza una flecha desde

¿4 (0 ;0 ;1 6 ) hacia un blanco en

f í ( 5 0 ; 1 2 ; 1 6 ) que se encuentra

sobre el plano

2 5 * - 6 y - 1 1 7 8 = 0 ,

haciendo impacto a 0,1 unidades

del blanco. S i la flecha fue lanzada

con una trayectoria paralela al

plano x y , halle el ángu lo que

debió g irar el hom bre para no

fallar.

R. 3,62°

53. Se tienen dos túneles que parten de la superficie (suponer que la superficie es

lisa y es el plano x y ) desde los puntos P1A(0 ;5 / 2 ; 0 ) y P1B(5 ; 2 ; 0) y llegan

respectivamente a los puntos P2/»(— 7; — 1; — 7) y P2B( - 5 ; 3 ; - 5 ) . H a lle la

m ín im a distancia que debe tener un túnel para quedar a n ivel (paralelo al plano

xy) y sirva para interconectar a los túneles A y B.R. d = 2 ,457

Suge renc ia : E l túnel que debe intersecar a los dos túneles debe ser paralelo al

plano x y para que quede a nivel, luego igualar las coordenadas z de los puntos

que se toma sobre cada túnel.

Z ÁkA(0;0;16) a B (50;12;16)

...Sugerencia:0,1 = \IB\

O (0;0;0) ^y, =15,96 / y

* * eos a = 0,988 => a (i,62°)

TOPICO S DE CALCULO - VOLUMEN II

54. Un niño patea una pelota desde el punto P0(8; - 1 0 ; 1 2 ) y ésta se mueve en

línea recta en la dirección del vector v = (2; 2; 2), con velocidad constante. S i la pelota se d irige hacia una ventana de vidrio, ¿qué tiem po tardará en

impactar con el v id rio si la ventana está en el plano 2x + 8 z = — 4 ?

R. V 2 u

55. Halle la ecuación cartesiana de un plano que contenga a la recta

L = {(1 ; 2; - 3 ) + t ( l ; - 4 ; 2 ) / t 6 R }

y se encuentra a una distancia 8 / V 4 1 unidades del punto (2; — 4; — 5).R. 6x + 2 y + z — 7 = 0 A 3 0 * + 2 y - l l z - 6 7 = 0

56. U n rayo de luz parte del punto (1; 4; 2), se refleja en el espejo plano y z . E l

rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano x z y este últim o rayo

reflejado pasa por (5 ; 1; 4 ) . Halle la ecuación de este últim o rayo reflejado.

R. L = { (1 9 / 5 ; 0 ; 1 8 / 5 ) + t(6 ; 5; 2 ) / t E l )

57. U n rayo de luz parte del punto (2; 1; 6 ) , se refleja en el espejo plano xz; este

rayo reflejado se refleja nuevamente en el espejo plano yz , y este últim o rayo

reflejado pasa por (3; 8; 2). Halle la ecuación de este últim o rayo reflejado.

R. L = { (0 ; 13/5 ; 2 2 / 5 ) + t ( 5; 9; - 4 ) / t e R}

58. En los p lanos paralelos Pj: 4x — 8 y — z + 9 = 0 y P2\ 4x — 8y — z — 18 = 0,

se tienen los puntos Qt y Q2 respectivamente. Halle el vo lum en del cilindro

cuya d iagonal QÍ Q2 m ide 9 unidades.

R. V = 5 4 7r u 3

59. U na puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos p lanos

P1: 5x + 3 y - z ~ 9 - 0 y P2: 3x - 2 y + 5 z - 6 = 0

Se quiere aumentar un plano más a la puerta, de tal manera que pase por la

recta de intersección de am bos planos y que sea paralelo a la co lum na que

describe la ecuación de la recta Lx = {(3 ; 1; 6 ) + t ( l ; 1; 0 , ) / t 6 R } . Halle

la ecuación de d icho plano.

R. 1 9 * - 1 9 y + 4 1 z - 39 = 0

60. U n barco se encuentra en el punto P ( 2 ; 3 ; 0 ) y tiene un m ovim iento

rectilíneo con una velocidad constante — (1; 5; 0). E n ese m ism o instante

un avión com ercial empieza a caer desde el punto (5; 4; 6 ) con una velocidad

constante v 2 = (2; 11; - 6 ) en línea recta. C on estos elementos de ju ic io se

pregunta

a) ¿K l avión cae sobre el barco?

b) S i no es así, ¿cuá l será la m enor distancia entre ellos?.

R. a) N o b) 2,5 u


SUPERFICIES

U na superficie es un conjunto de puntos P ( x ; y ; z ) e R 3 cuyas coordenadas satisfacen una ecuación dada en las variables x, y y z, esto es,

S — { (x ; y ; z ) 6 E 3 / £ ( x ; x; z ) = 0 } es generalmente una superficie.

U n ejemplo de superficie es el plano (su ecuación es Ax + B y + Cz + D = 0) Observación 1 Existen ecuaciones tales como

a) x 2 + ( y - 2 ) 2 + z 2 + 8 = 0

b) (x + l ) 2 + 4 ( y - 2 ) 2 + 3 ( z - 5 ) 2 = 0

que no representan a una superficie. Para la ecuación (a), no existen números reales x, y , z que satisfagan la ecuación dada, en este caso se dice que (a) representa al conjunto vacío (0)

Para la ecuación (b), los únicos números reales que satisfacen la ecuación son x = —1, y = 2, z = 5. Luego, la ecuación (b) representa solamente al punto P C-l; 2; 5).

Observación 2 (Traslación de ejes) De modo similar a la traslación de ejes en el plano cartesiano, se efectúa la traslación de ejes en el espacio tridimensional R 3.

Si el sistema de coordenadas o x y z se traslada a un nuevo origen 0 ' ( h ; k; l), de

modo que las coordenadas de cualquier 7 z

punto P E I 3 antes y después de la 11 ‘ 1traslación son (x \ y \ z ) y ( x 1; y ' ; z ' ) f|P

respectivamente (Fig. 7.1), entonces las ]

relaciones de tranformación del sistema " z -original (oxyz) al nuevo sistema de ^ Y

coordenadas (o’x 'y 'z ') son

x = h + x' y = k + y '■ z = l + z'

Fig. 7.1

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S I J I ' I Í K I ' I C I E S

7.1 E S F E R A

Definición: U na esfera es el conjunto de

todos los puntos del espacio IR3 que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia constante de cualquier punto al

centro se llam a radio y se denota con

r > 0 .

Sea P ( x ; y ; z ) cualquier punto de la esfera

de centro C (h',k;l) y radio r > 0.

Entonces, por defin ic ión tenemos

d (C ; P) = V ( * - h) 2 + ( y - k ) 2 + (z - l ) 2 = r

D e donde,

(x - h ) 2 + ( y - k ) 2 + ( z - l ) z = r 2 ( * )

Esta ecuación se llama form a ordinaria de la ecuación de la esfera.

La esfera con centro en el origen de coordenadas y radio r > 0 tiene por ecuación

x 2 + y 2 + z 2 — r 2

y esta ecuación se denom ina form a canónica de la ecuación de la esfera.

S i desarrollam os la form a ordinaria de la ecuación de la esfera, obtenemos una ecuación de la form a

x 2 + y 2 + z 2 + Dx + Ey + Fz + G = 0 ( a )

que es la ecuación de la esfera en su form a general.

Cualqu ier ecuación de la forma (a), empleando el método de completar

cuadrados, se puede expresar en la forma

(x - h Y + ( y - k ) 2 + (z - i)2 = t (P)

Com parando las ecuaciones ( * ) y (¡3), se tienen tres posibilidades:

S i t > 0, (/?) representa a una esfera de centro C ( h ; k ; l ) y radio V t

S i t = 0, (/?) representa al punto C ( h \ k \ l )

S i í < 0, (/?) representa al conjunto vacío

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SUPERFICIES

E je m p lo 1

a) H a lle la ecuación de la esfera de centro C(2; — 1; 0 ) y ra d io r = 3

b) H alle la ecuación de la esfera si uno de sus d iám etros es el segmento de extremos „4(3; 1; 4 ) y B ( 5; — 1; 2)

c) Determ ine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a unpunto o al conjunto vacío.

i) x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4 y - 6 z + 1 = 0

ii) x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 2 z f 6 = 0

iii) x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 6 y ~ 8 z + 35 = 0

Solucióna) U tilizando la form a ordinaria de la ecuación de una esfera, tenemos,

(x - 2 ) 2 + ( y + l ) 2 + z 2 - 9 ó x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 = 0

b) C om o el centro de la esfera es el punto medio de AB, es decir, C ( 4 ; 0 ; 3 ) y el

radio r = d iC ;A ) — V 3 ; entonces la ecuación de la esfera es de la form a

(x - 4 ) 2 + y 2 + ( z - 3 ) 2 = 3 ó x 2 + y 2 + z 2 - 8x - 6 z + 22 = 0

c) A l completar los cuadrados en cada una de las ecuaciones, obtenemos

i) (x — l ) 2 + ( y + 2 ) 2 + (z — 3 ) 2 = 13. Esfera de centro C ( l ; - 2 ; 3 ) y

radio r = V l 3

ii) (x — 2 ) 2 + ( y + l ) 2 + (z - l ) 2 = 0. Luego, la ecuación representa el punto C ( 2 ; - l ; l )

iii) {x + l ) 2 + ( y + 3 ) 2 + ( z — 4 ) 2 = - 9 . L a ecuación dada representa al conjunto vacío.

E je m p lo 2 Halle la ecuación de la esfera que es tangente a los planos

<21: x + 2 y + z - 4 = 0 y

Q2'- x - y + 2 z - 5 = 0,

y tiene su centro en el eje z . (D o s soluciones)

So lu c ión

Sea C (0; 0; l ) el centro de la esfera buscada.

Entonces, utilizando la fórm ula de distancia

de punto a plano, tenemos

d ( C ,Q i ) = d(C , Q2) « = £ L l 5 !

<=> i = 1 V 1 = 3 F ig . 7.3

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S i / = 1 , la ecuación buscada de la esfera es

3x 2 + y 2 + ( z - l ) 2 = - ó 2 x 2 + 2 y z + Z z2 — 4 z - 1 = O

S i / = 3 , la ecuación buscada de la esfera es

1x 2 + y 2 + ( z — 3 ) 2 = - ó 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 — 3 6 z + 53 = 0

6

E je m p lo 3 E l plano Q pasa por el punto y contiene a la recta

y + 1L : x - 1 —- ~ = z + 4

'H a lle la ecuación de la esfera, con centro

C ( 0 ; - 2 ; l ) y tangente al plano Q.¿C uá l es el punto de contacto?

So lu c ión

D ado que el punto de paso de la recta L es

(1; — 1; — 4), entonces los vectores que

están contenidos en el plano Q son

SUPRRriClLS

3 = PoPi — (0; 0; — 4 ) y b = (1; 4; 1)

Luego, el vector norm al Ñ del plano es

N = a X b = ( 1 6 ; - 4 ; 0 )

A sí, la ecuación del plano Q es

Q: 1 6 ( x - 1 ) - 4 ( y + 1 ) = 0 ó < ? : 4 x - y - 5 = 0

Utilizando la fórm ula de distancia de punto a plano, el radio de la esfera es

. |2 — 5| 3r = d (C ; Q) = = —=

V T 7 V I 7

Así, la ecuación de la esfera de centro C (0 ; — 2; 1) y radio r = 3 / V l 7 es

9x 2 + (y + 2 ) 2 + (z - l ) 2 =

17

«=> 1 7 x 2 + 1 7 y 2 + 1 7 z 2 + 6 8 y - 3 4 z + 7 6 = 0

E l punto de contacto entre el plano Q y la esfera es I = Q ñ LN, donde LN es la

recta que pasa por el centro de la esfera y sigue la d irección del vector N\ su

ecuación vectorial es LN :P = (0; - 2 ; 1 ) + t ( 4; - 1 ; 0), t £ E .

Hallando la intersección de LN con el plano Q, se obtiene el punto de tangencia

/ (1 2/ 1 7 ; — 3 7 / 1 7 ; 1)

E jem p lo 4 Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano x z y es tangente al plano Q: 2x - y + z - 4 = 0, en el punto P1( 1; 5; 7).

So lu c ión

La ecuación vectorial de la recta LN que pasa

por el punto P i ( l ; 5; 7 ) y sigue la dirección

del vector normal Ñ = (2; - 1 ; 1 ) (Fig. 7.5) es

Ln : (x ; y ; z ) = (1; 5; 7 ) + t ( 2 ; - l ; l ) , t 6 E

S i C es el centro de la esfera, entonces

C £ Ln D P lano x z

<=> C £ Ln A C £ P lano x z

«=> C (1 + 2t; 5 - t; 7 + t) £ P lano x z ( y = 0)

Luego, el centro de la esfera es C ( l l ; 0; 12 ) y su radio r = d ( C ; P J = V i 50

Por consiguiente, la ecuación buscada de la esfera es

(x - l l ) 2 + ( y - O )2 + (z - 1 2 )2 = 1 5 0 ó

x 2 + y 2 + z 2 - 22x - 2 4 z + 115 = 0

E JE R C IC IO S

1. Halle la ecuación de la esfera de centro C(4; 3; - 1 ) y radio r = V 7 .

R. x 2 + y 2 + z 2 - 8 x - 6 y + 2 z + 1 9 = 0

2) H a lle la ecuación de la esfera si uno de sus diámetros es el segmento de

extremos i 4 ( 1 0 ; - 5 ; 8 ) y B ( 2 ; 5 ; - 1 4 )

R. x 2 + y 2 + z 2 — 1 2 x + 6 z — 1 1 7 = 0

3) Determ ine si una de las siguientes ecuaciones representa a una esfera, a un

punto o al conjunto vacío. S i representa a una esfera determine su centro y su radio.

a) x 2 + y 2 + z 2 - Í 6 x + 8 y + 4 z + 75 = 0

b) x 2 + y 2 + z 2 + 8 x - 6 y - 4 z + 2 9 = 0

c) x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y - 6 z + 15 = 0

R . a) Esfera, C (8 ; - 4 ; - 2 ) y r = 3 b) Punto c) 0

3. H a lle la ecuación de la esfera que es tangente al plano x - 8 y + 4 z + 7 = 0

y es concéntrica a la esfera x 2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y r 6 z + 33 = 0.

R . X2 + y 2 + z 2 - 1 2 x - 4 y - 6 z + 4 8 = 0

SU PER FIC IES

SU PERFIC IES

4. Halle la ecuación de la esfera que tiene su centro en el eje x y pasa por los

puntos P 1( 0 ; 5 ; 0 ) y P2( - 2 ; 1 ; Ó ) .

R. x 2 + y z + z 2 — 1 0 * - 2 5 = 0

5. Encuentre la ecuación de la esfera que tiene su centro en el plano coordenado

y z y es tangente al plano x + 3 y — 2 z + 1, = 0 en el punto P ( 5; 0; 3).

R. x 2 + y 2 + z 2 .+ 3 0 y - 2 6 z — 1 0 6 = 0

6. Determ ine la ecuación de la esfera que pasa por, el punto P0 ( — 2 ;4 ; 0 )

y por la intersección de las esferas x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 2 y — 4 z + 2 = 0

x 2 .+ y 2 + z 2 - 4 x — 2 y — 6 z + 10 = 0

R. x 2 + y 2 + z 2 - I9 x — 3 2 y - 2 1 z + 70 = 0

Suge renc ia . S i = 0 y Sz — 0 son las ecuaciones de dos esferas, entonces

+ kSz = 0, para k =é — 1, representa la fam ilia de esferas que pasan por la

intersección de las esferas dadas, con la excepción de la esfera S 2 = 0

7. Determ ine la ecuación de la esfera que pasa por la circunferencia de

intersección de las esferas:

x 2 + y 2 + z z - 4 x - 8 y + 6 z + 12 - 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 4 y - 6 z - 12 = 0

y es tangente al plano x + 2 y - 2 z — 3 = 0

,, R. 5 t : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 6 y + 4 z + 8 = 0

S2. x 2 + y 2 + z 2 — 4 x - 2 4 y + 2 2 z + 4 4 = 0

8. U na recta L pasa por fil punto A(3; - 4 ; 6 ) , interseca a la recta

l x: P = (6; - 1 0 ; 1 2 ) + t ( l ; 0; 0 ) y a la esfera

3 29

( * + 2 )Z + ( y “ 1)2 + 2)2 = T

en una cuerda de longitud 3 unidades. H alle la ecuación vectorial de L (dos

soluciones).

9. Halle la ecuación del plano Q que contiene a la recta

L: P = (1 ; 2 : 3 ) 4 - t < l ; - l ; 0 ) , t é E

de m odo qué dicho, plano sea tangente a la superficie x 2 + y 2 + z z — 1 = 0

(dos so luciones)

Sugerencia. U sa r la condic ión d (C ; Q ) = 1 donde C (0 ; 0 ; 0 )

R. Qt i 2 x .+ 2y - z - 3 = 0, Qz \ 4x + 4 y - 7 z + 9 = 0

10. U n plano contiene a la recta L: 6 x = 2 y = - 3 z e interseca a la esfera

x 2 + y 2 + z 2 + 2 x — 4 y — 1 0 z + 5 = 0 en una circunferencia de radio 3.

Halle la ecuación del plano (dos soluciones).

De m anera sim ilar a la d iscusión que se efectúa en la ecuación de una curva plana,

en el caso de las superficies es también ventajoso discutir previamente su

ecuación antes de construir su gráfica. Para discutir la ecuación E ( x ; y; z ) = 0 de una superficie se siguen los siguientes pasos:

I) In te rse cc ión con los ejes coordenados. So n las intersecciones de la superficie con cada uno de los ejes coordenados.

i) Con el eje x. Se reemplaza y = z = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

ii) Con el eje y . Se reemplaza x - z = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

iii) Con el eje z. Se reemplaza x = y = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

II) T razas sobre los planos coordenados. L a traza de una superficie es una

curva form ada por la intersección de la superficie con el plano coordenado.

A s í, las trazas sobre los planos coordenados se obtienen de la siguiente manera

i) Con el plano x y . Se reemplaza z = 0 en la ecuación de la superficie se analiza la ecuación resultante.

ii) Con el plano y z . Se reemplaza x = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

iii) Con el plano x z. Se reemplaza y = 0 en la ecuación de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

I I I ) T razas en los planos paralelos a los planos coordenados. So n las

intersecciones de la superficie con p lanos paralelos a los planos coordenados.

i) Con planos paralelos al plano xy. Se reemplaza z = k en la ecuación

de la superficie y se analiza la ecuación resultante.

ii) Con planos paralelos al plano xz. Se reemplaza y - k en la ecuaciónde la superficie y se analiza la ecuación resultante.

iii) Con planos paralelos al plano yz. Se reemplaza x — k en la ecuaciónde la superficie y se analiza la ecuación resultante.

IV ) Extensión de una superfìcie Se entiende por extensión de la superficie a

los intervalos de variación, en los cuales las variables x, y A z tienen valores reales.

SU PER F IC IE S

7.2 D IS C U S IÓ N Y G R Á F IC A DE LA E C U A C IÓ N D E UNA S U P E R F IC IE


SUPERFICIES

V ) S im e tr ía s con respecto a los p lanos coordenados, a lo s ejes co o rde n ado s

y a l origen. Se dice que dos puntos P y Q son sim étricos con respecto a un

plano, si el plano es perpendicular al segmento que los une en su punto

medio.

Por otro lado, se dice que una superficie es sim étrica con respecto a un

plano, cuando el plano es perpendicular al segmento que une dos puntos de

la superficie en su punto medio.

Observación 3

Si P(x; y ; z ) es un punto del espacio, entonces tenemos

a) El simétrico de P con respecto al plano x y es Q(x\ y ; —z)

■ b) El simétrico de P con respecto al plano x z es Q(x\ — y ; z )

c) El simétrico de P con respecto al plano y z es Q (—x \ y , z )

d) El simétrico de P con respecto al eje x es Q (x ; —y ; —z )

e) El simétrico de P con respecto al eje y es Q (—x; y; — z )

f ) El simétrico de P con respecto al eje z es Q (—x ; —y ; z )

g) El simétrico de P con respecto al origen es Q {~ x \ — y; — z)

Una superficie es simétrica con respecto a una recta L si e l simétrico de cada punto de la superficie, respecto a la recta L, es también un punto de Ia superficie.

Una superficie es simétrica con respecto a un punto C si el simétrico de cada punto de la superficie, respecto al punto C, es también un punto de la superficie.

De acuerdo con estas consideraciones, se obtiene los resultados dados en la siguiente tabla:

Si la ecuación de la superficie no se altera cuando se reemplaza

La superficie es simétrica con respecto al

x p or —x Plano y z

y p or - y Plano x z

z por —z Plano x y

z por - z A y por —y E je x

x p or —X A z p or —z Eje y

x p or —X A y por - y Eje z

x p or - x A y por - y A z p o r - z origen


SU PER F IC IES

V I) C onstrucción de la superficie (gráfica). C o n la ayuda de los pasos

anteriores se construye la gráfica de la ecuación de una superficie.

E je m p lo 5 D iscu tir y graficar la ecuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0

Solución

I. Intersecciones con los ejes

i) C on el eje x: haciendo y = z = 0 en la ecuación se obtiene 9 x 2 = 0,

entonces x = 0. L a superficie interseca al eje x en el origen de coordenadas.

A l estudiar las otras intersecciones se com prueba que el origen es el único punto de intersección.

II. T razas sobre los planos coordenados

i) Sobre el plano x y . H aciendo z = 0 se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 0. Estaecuación, en el plano x y , representa al origen de coordenadas.

ii) Sobre el plano xz. Se hace y = 0 y se obtiene 9 x 2 - 1 2 z = 0. Esta

ecuación, en el plano x z , representa a una parábola.

iii) Sobre el plano y z . Haciendo x = 0 se tiene la parábola 4 y 2 - 1 2 z = 0

III. T razas en los planos paralelos a los planos coordenados

i) C on planos paralelos al plano xy . Haciendo z = k en la ecuación de la

superficie se obtiene 9 x 2 + 4 y 2 = 12fc. Se observa que hay intersección

solamente cuando k > 0 (si k = 0 es un punto, si k > 0 es una elipse).

ii) C on p lanos paralelos al plano xz. Reemplazando y = k en la ecuación

de la superficie se obtiene 9 x 2 - 1 2 z + 4 k 2 = 0. Esta ecuación representa a una parábola V k G R.

iii) C on p lanos paralelos al plano y z . Reem plazando x = k en la ecuación

se tiene 4 y 2 - 1 2 z + 9 k 2 = 0. Esta ecuación representa a una parábola V f e E M.

IV. Extensión

La ecuación 9 x 2 + 4 y 2 - 1 2 z = 0 está definida

Vx G R (de I I I - iii), V y G ñ (de I I I - ii) y V z G [0; +oo ) (de I I I - i).

V. Sim etrías

A l reemplazar x p o r —x en la ecuación de la superficie se observa que esta

no varía, es decir, la superficie es simétrica con respecto al plano y z . D e

manera sim ilar, la superficie es simétrica con respecto al plano x z y al eje z.


r r - SUPERFICIES

VI. Gráfica

1.a gráfica de esta ecuación se muestra en la Fig. 7.6 y se llama paraboloide elíptico.

Ejemplo 6 D iscutir y graficar la superficie cuya ecuación es y 2 - 4 y 4- 2z = 0

Solución

I. Intersección con los ejes

i) C on el eje x. Haciendo y = z = 0 se obtiene 0 = 0, esto sign ifica que

todo punto del eje x satisface la ecuación de la superficie, es decir, la

intersección de la superficie con el eje x es el eje x.

ii) C on el eje y. S i x = z = 0 => y 2 - 4 y = 0 => y = 0 V y = 4.

Luego, las intersecciones con el eje y son los puntos

P1( 0 ; 0 ; 0 ) y P2 ( 0 ;4 ; 0 )

iü) C on el eje z. S í x = y = 0 => 2 z = 0 <=> z = 0. A s í, la intersección

con ele eje z es el origen de coordenadas.

II. T razas sobre los planos coordenados

i) Sobre el plano xy . La s trazas son las rectas y = 0 (eje x ) e y = 4

(recta paralela al eje x).

ii) Sobre el plano xz. L a traza es la recta z = 0 (e jex).

iíi) Sobre el plano yz. La traza es la parábola y 2 — 4 y + 2 z = 0

i) C on p lanos paralelos al plano xy.

z = k => y 2 — 4 y + 2k = 0 ==> y = 2 ± V 4 — 2 k

Existe intersección para k < 2 (Para k = 2 es una recta, para k < 2son dos rectas paralelas)

ii) C o n p lanos paralelos al plano xz. y = k => 2 z - 4k - k 2, es una recta

V k e M

iii) C on p lanos paralelos al plano y z . x = A: => y 2 - 4 y + 2 z = 0 , es una

parábola, V fc 6 IR

IV . E x te n sió n

L a ecuación y 2 - 4 y + 2 z = 0 está definida V x 6 l (de I I I - iii), V y £ E

(de 111- ii) y V z 6 (— oo; 2] (de 111- ii).

V. S im e tr ía s

Existe simetría con respecto al plano y z .

V I. G rá f ic a

En la Fig. 7.7 se muestra la parte de la superficie que se encuentra en el

primer octante. L a superficie se denom ina c ilin d ro parabó lico .

E J E R C I C I O S

E n cada uno de los siguientes ejercicios efectúe la d iscusión y trace la gráfica de

la superficie representada por las ecuaciones dadas.

TO PICO S DE CALCULO - VOLU M EN II

l l i . Trazas en lo s p la n o s p a ra le lo s a lo s p la n o s c o o rd e n a d o s

1. 4 x 2 + y 2 + z 2 = 4 (elipsoide)

2. x 2 + y 2 - z 2 - 0 (cono circular)

*»4 . X 2 + z 2 - 4 y = 0 (Paraboloide de revolución o circular)

4, y 2 - x 3 = 0 (C ilindro )

5. 9 x 2 - 4y 2 - 4 z 2 = 36 (H iperboloide circular de dos hojas)

6. 9 x 2 - 4y 2 + 4 z 2 = 36 (H iperboloide elíptico de una hoja)

7. y 2 - x 2 = 2z (Paraboloide hiperbólico)

8. x 2 + y 2 + z 2 = 4 (esfera)

9. y 2 - x 2y = 0

10. z = |y|

SU PERFICIES

Un cilindro es una superficie generada por una recta que se m ueve a lo largo de

una curva plana dada, permaneciendo siempre paralela a una recta fija que no está

en el plano de dicha curva. L a recta que se mueve se llama generatriz del cilindro y la curva plana se llama directriz del cilindro.

S i la generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, el cilindro

es llamado cilindro recto y en caso contrario, cilindro oblicuo.

S i la directriz es una recta, el cilindro se reduce a un plano.

En lo que sigue, se considera que la directriz es una curva contenida en uno de los planos coordenados.

7.3 C IL IN D R O S

Supongam os que la directriz está en el plano x y (F ig. 7.8). Luego, su ecuación es

de la form a E ( x ; y ) = 0 A z — 0. S i P ( x ; y ; z ) es un punto del cilindro cuya

generatriz tiene por vector dirección al vector a — ( a x; a 2; a 3) y si P0 ( x '; y '; 0 )

es el punto de intersección de la directriz con la generatriz que pasa por P, entonces

E ( x ' , y ' ) = 0 , z ' = 0 ( a )

La ecuación de la recta que pasa por P y P0 es:

x - x' y — y ' z — z'--------- = ------ i - = -------- ( £ )

«, a z a 3

De (a ) y (/í), elim inando las variables x ' , y ' y z ' se obtiene la ecuación del cilindro.


E j e m p lo ? H a lle la ecuación del cilindro cuya directriz es la curva y 2 = 4x A z = 0 y a = (1 ; — 1; 1 ) es el vector dirección de la generatriz.

So lu c ión

Sea P (x - ,y ; z ) un punto del cilindro y

P0( x ' ; y ' ; z ' ) la intersección de la directriz

con la generatriz que pasa por P, entonces

la ecuación de dicha generatriz es

x - x' y — y' z - z'(a)

TOPICO S DE CA LCU LO - VOLU M EN II

1 - 1 1

C om o PQ es un punto de la directriz,

entonces se tiene

y ' 2 = 4x' A z ' = 0 (/?)

Reem plazando z ’ — 0 en (a) se obtiene:

x — x ' = z A y — y ' = —z

D e donde x ' = x — z A y ' 2 = {y + z ) 2. Reem plazando festos valores en

y ' 2 = 4x ' se obtiene ( y + z ) 2 - 4{x - z).

Por tanto, la ecuación de la superficie cilindrica es ( y + z ) 2 = 4{x - z )

Este c ilindro se llam a c ilin d ro p a rab ó lico ob licuo. E n la Fig. 7.9 se muestra su

gráfica (para z > 0).

E je m p lo 8 Halle la ecuación del cilindro recto cuya directriz es la curva 2\x\

z =1 + X2

A y = 0

So lu c ión

Supongam os que la generatriz que pasa por

el punto P ( x ; y ; z ) (Fig. 7.10) de la

superficie corta a la directriz en el punto

P o ( x ' : y ' ' , z ' ) , entonces la ecuación de la

generatriz (eje y ) es

x = x ' A z = z ' (a )

C om o P0 pertenece a la curva, entonces

2|x'|

= l T T 2 A y ^Reem plazando (a ) en (0 ) se obtiene

2 jx l

Z l + x 2Se observa que esta ecuación es sim ilar a la ecuación de la directriz.


Observación 3 En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos de las tres variables x, y , z es un cilindro cuya directriz es una curva que se encuentra en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación y cuyas generatrices son paralelas al eje coordenado asociado con la variable (altante, es decir.

1) E ( x ; y ) = O representa (en el espacio) a un cilindro con:

Directriz: E(x-,y) = O A z = O

Generatriz: eje z (variable que ja ita en la ecuación)

2) E ( x ; z ) = O representa a un cilindro con

Directriz: E(x-,z) — O A y = O

Generatriz: eje y

3) E ( y \ z ) — O representa a un cilindro con

Directriz: E ( y ; z ) = O A x = O

Generatriz: eje x

E je m p lo 9 Trace la gráfica de la superficie representada por cada una de las

ecuaciones

a) x 2 + y 2 - 4 y = 0

b) z - e x = 0

c) z 2 - y 3 = 0

d) x 2 = ( y + l ) y 2

So lu c ión

Las gráficas se muestran en las figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14

SU PERF IC IES

f ¡9 7 11

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Topiros nr r \ i m n - voi i 'm fn u

E JE R C IC IO S

I. E n cada uno de los siguientes ejercicios halle la ecuación del c ilindro usando las ecuaciones de la directriz y el vector d irección de la generatriz.

1. x 2 + 4 y = 1 A z = 0 , a = (1; 1; 3 )

R. 9 x 2 + z 2 - ó x z - 3 6 y 4- 1 2z = 0

2. y 2 ~ z 2 = 1 A x = 0 , d = ( - 1 ; 1; 2)

3. x 2 + y = 1 A z = 0 , a = (2; 1 ;0)

II. Esboce la gráfica de la superficie representada por cada una de las siguientes ecuaciones

1. y 2 — 2 y + 4 = z

2. y = c o s x , x e [0; An]

3. y 3 = x 2

4. x 2 - y 2 = 1.

5. 4 x 2 + y 2 — 4

6. y = l n x

8. y 2 = 4 z

9. z = x e x

n n1 0 .y = t a n z , z e < ~ 2 : 2^

SU PERFIC IES

7.4 S U P E R F IC IE S D E R E V O L U C IÓ N

La superficie generada por la rotación de

una curva plana alrededor de una recta fija que está en el plano de la curva, se

llama superficie de revolución. L a recta

fija se llama eje de revolución y la curva

plana se llama cu rva generadora.

S i por un punto cualquiera P ( x ; y ; z ) se

traza un plano perpendicular al eje de

revolución, la intersección de la superficie

con d icho plano es una circunferencia

(Fig. 7.15).

S i C es el punto de intersección del plano con el eje de revoluc ión L y Q es el

punto de intersección con la curva generadora, entonces se verifica

d{P-,C) = d ( Q ,C )

A la ecuación generada por esta igualdad se denom ina ecuación de la superficie de revolución.

En lo que sigue, se considera que la curva generadora está contenida en un plano

coordenado o en un plano paralelo a un plano coordenado.

Observación 4 En la siguiente tabla, se muestra la form a de la ecuación de una superficie de revolución generada por una curva que se encuentra en un plano coordenado y gira sobre uno de los ejes coordenados.

Ecuación de la curva

generadora

Eje de

revolución

Ecuación de la superficie de

revolución

oIIxIIN eje y x 2 + z 2 = [ / ( y ) ] 2

* = / ( y ) , z = o eje y x 2 + z 2 = [ f ( y ) ] 2

y- = / ( * ) , y = 0 eje x y 2 + z 2 — [ f { x ) Y

y = f ( x ) , z = 0 eje x y 2 + z 2 — [ / ( x ) ] 2

y = / ( z ) , x = 0 e j e z x 2 + y 2 = [ / ( z ) ] 2

x = A * ) . y = 0 e j e z x 2 + V 2 = í f ( z ) ] 2

Fig. 7.15

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Dem ostrem os la prim era fórm ula de la

tabla, donde la ecuación de la curva

generadora es C: z = / ( y ) , x - 0 y el

eje de rotación es el eje y.

Sea P ( x ; y ; z ) un punto cualquiera de la

superficie de revolución. S i Q es el punto

de intersección del plano perpendicular al

eje y que pasa por P con la curva

generadora y C es el punto de intersección

de d icho plano con el eje y, entonces

<2(0;y;/(y)) y c ( 0 ; y ; 0 )

Luego, de la defin ic ión de la superficie de revolución resulta

d(P; C) = D(Q; C) <=> J x 2 + z 2 = |/(y)| <=> x 2 + y 2 = [ f ( y ) ] 2

E n los otros casos, la dem ostración es similar.

Observación 5 Si el origen de coordenadas se traslada al punto O '( x 0; y 0; z0),

las ecuaciones de las superficies de revolución de la tabla anterior tienen las siguientes formas:

i) (x - x 0) 2 + ( z - z 0) 2 = [ / ( y - y 0) ] 2

¡O (y " yo)2 + (z - z0)2 = [/(* - *0)]2iii) (x - x 0) 2 + ( y - y 0) 2 = [/ ( z - z0) ] 2

E je m p lo 10 E n cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la

curva generadora y el eje de revolución L, determine la ecuación de la superficie de revolución y esboce su gráfica.

a) C: z = e y , x = 0 ; L: e je y

b) C: z = e v , x = 0 ; L: e je z

c) C: z 2 - 4 y 2 = 1, x = 0 ; L: e je y

2\x\d ) C : z = Y + x 2 ' y = 0 ' L: eJe x

e) C: y = x 2, z = 0 ; L: e je x

f) C: y - x 2, z = 0 ; L: e je y

So lu c ió n

Fia. 7.16

SU PERFIC IES

a) C: z = e y , x = O ; L: e je y

L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 = e 2y.

L a gráfica se muestra en la F ig. 7.17

b) C: y = l n z , x = 0 ; L\ e je z

L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + y 2 = ln2z.

L a gráfica se muestra en la Fig. 7.18

c) E n este caso, C: z = J 1 + 4 y 2, x = 0 ; L: e je y

L a ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 - 1 + A y2

L a gráfica se muestra en la Fig. 7.19 (esta superficie se llam a h ipe rb o lo id e derevo luc ión o h ipe rbo lo ide c irc u la r de una hoja)

d ) c z = i + ^ z » y = 0 ; L: ei e x .

Ax2La ecuación de la superficie es y 2 + z 2 = -------- — .

( 1 + x 2) 2

La gráfica se muestra en la Fig. 7.20

e) C: y = x 2, z = 0 ; L: e je x

La ecuación de la superficie de revolución es y 2 + z 2 = x 4.


f) C: y = x 2, z = 0 ; L: e je y

La ecuación de la superficie de revolución es x 2 + z 2 = y .


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SU PER F IC IES

Fig. 7.17


E jem p lo 11 E n cada uno de los siguientes ejercicios se da la ecuación de la curva

generadora C y el eje de giro halle la ecuación de la superficie de revolución.

a) C: z = / (y ) , x = a ; L\ z = b , x - a

b) C: z = 2 y - 3, x = 5 ; L: z = - 1 , x = 5

c) C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y - l ) 2 = 1, z - 3 ; L: el eje im aginario de la hipérbola

d) C: 4 ( x + 2 ) 2 — ( y — l ) 2 = 1, z = 3 ; L: el eje transverso de la hipérbola

So lu c ión

a) En la Fig. 7.23 se muestra la curva C y

la recta L en el plano x = a . Luego,

C(a; y: b ) , Q (a ;y ; / ( y ) ) y P ( x ; y ; z )

De la defin ic ión de la superficie de revolución, tenemos

d(P; C) = d(Q-,C)

Por tanto, la ecuación de la superficie de revolución es

(x - a ) 2 + (z - b Y = [/ (y ) - b ]2

Esta ecuación también puede obtenerse

trasladando previamente el origen al

punto 0 '( a ; 0 ; ¿ ) .

b) ( x — 5 ) 2 + (z + l ) 2 = ( 2 y — 2 ) 2 (cono de revolución o cono circular)

( y + 1 )2c) (x + 2 )2 + (z — 3 ) 2 -------- ------ = 1 (h iperboloide circu lar de una hoja)

4

d) ( y + l ) 2 + (z - 3 ) 2 = 4 ( x + 2 ) 2 - 1 ó

4 ( x + 2 ) 2 — ( y + l ) 2 — (z — 3 ) 2 = 1 (hiperboloide circular de dos hojas)

E jem p lo 12 En cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es una

superficie de revolución. Luego, determine el eje de revolución y la ecuación de la curva generadora.

a) x 2 = 5 + z 2 — y 2

b) 2 x 2 + 4 z 2 + y 2 = 1

c) x 2 + 2 y 2 4- 2 z 2 — 4 x 4- 8 y — 4 z — 4 = 0

d) 2 x 2 4 2 z 2 4 4 x 4 y - 4 z 4 - 4 - 0

So lu c ión

SU PERF IC IES


lU l ' I L U ^ U t L A IX U L U - V O L U M b N H

a) x 2 + y 2 = 5 + z 2 (hiperboloide circular de una Jioja)

i) Eje de revolución L: x - 0, y — 0 (e jez)

ii) C u rva generadora C: x = 0, y = v 5 -f z 2 ó y = 0 , x = V 5 + z 2 (hipérbola)

b) N o es una superficie de revolución (n inguna de las trazas en los planos

paralelos a los p lanos coordenados es una circunferencia).

(x — 2)2c) ( x + 2 ) 2 + (z - l ) 2 = 9 --------------- (e lip so id e de re vo lu c ió n o e sfe ro ide )

i) Eje de revolución L: x = —2 , z = 1

18 - (x - 2 ) 2ii) Curva generadora C: x = —2, z - 1 +

N

d) (x + l ) 2 + (z - l ) 2 = - 1 (p a rabo lo ide c ircu la r)

(e lipse)

i) Eje de revolución L: x - — 1, z = 1

y¡~ 2ii) Curva generadora C:x = — 1, z = l + (parábola)

7.5 S U P E R F I C I E S C U A D R A T I C A S

U na supe rfic ie cu ad rá tica o simplemente cuád rica es la gráfica de una ecuación

de segundo grado en las variables x ,y ,z .

A lgu n a s superficies c ilindricas o superficies de revoluc ión son ejemplos de

cuádricas. En ésta sección se presentará algunas form as usuales de las superficies

cuadráticas cuyas ecuaciones están en su form a m ás sim ple (fo rm a canónica).

Considerando que el lector está en condiciones de discutir la ecuación de una

superficie, nos lim itarem os a describir algunas propiedades de estas superficies.

7.5.1 E L I P S O I D E

L a form a canónica de la ecuación del elipsoide con centro en el origen es

x 2 y 2 z 2 a2 ^ b 2 + ^2 = 1

donde a, b y c son núm eros reales positivos. Adem ás, los intervalos de variación

de las variables x, y a z son

x £ [ - a ; a], y 6 [ - b ; b] A z e [ - c ; c]


SU PERFICIES

Si a ¿ = b 2 = c 2, la superficie es una esfera.

S i a 2 = b 2 (ó b 2 = c 2, ó a 2 = c 2) la superficie es un e lip so ide de re vo lu c ióno esferoide. U n esferoide cuyo tercer número es m ayor que los dos núm eros

iguales, se llama esfero ide a la rgado. (L a elipse que la genera g ira alrededor de su

eje mayor). S i el tercer número es menor que los dos núm eros iguales, se llama esferoide acha tado (la elipse que la genera gira alrededor de su eje menor).

Las trazas en los p lanos paralelos a los planos Coordenados son elipses o

circunferencias. (E n los planos x ~ ¿ a , y = + b , z — + c se reduce a un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto a los planos coordenados, a los ejes coordenados y al origen de coordenadas.

La gráfica del e lipsoide se muestra en fá Fig. 7.24

La forma ordinaria de la ecuación del elipsoide con centro C ( h ; k ; l ) es

(1, _ lr\2 fr* I\2■ * ) , ( y - * ) 2- . 0 - - 0 2 ñ-------i---------------- 1--------:—

7.5.2 H I P E R B O L O I D E E L Í P T I C O ( C I R C U L A R ) D E U N A H O J A

La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el origen es

x y “-

ñ 2 + b 2= 1

x 2 y 2 ~ü~ ~ +V a ¿ b 2 c

donde a, b y c son números reales positivos.

En la Fig. 7.25 se muestra la gráfica de

z 2 x 2 y= 1 ó - - T +

b 2z

+ - r = 1

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Los intervalos de variación de las variables x, y A z son

x 6 ( - 00; - a ] U [a; + 00), y e (— 00; - b ] U [fe; + 00) y z £ < - 00; + 00)

Si a 2 = b 2, es una superficie de revolución (hiperboloide circu lar de una hoja)

Si a 2 & b 2, la superficie es el hiperboloide elíptico de una hoja, las trazas en los planos paralelos al plano x y son elipses o circunferencias según sea el caso en que

a 2 b 2 ó a 2 = b 2

Las trazas en los planos paralelos a los planos x z e yz son hipérbolas, (en los planos y - b , x - a son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas.

La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de una hoja con centro en el punto C(h) k; l) es

(x - h) 2 (y - k)2 (z - O 2

a2 b2 c2 1

7.5.3 H IP E R B O L O ID E E L ÍP T IC O ( C IR C U L A R ) D E D O S H O J A S

La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el origen es

x 2 y 2 z 2 ( x 2 y 2 z 2 , x 2 y 2 z 2

~ a 2 + b 2 ~ 7 2 = 1 \ ° ^ 2 ~ b 2 ~ c 2 = 1 ° ~ á 2 ~ b 2 + c 2

donde a, b y c son números reales positivos.


x 2 y 2 z 2 ~~¿2 + ¥ ~ c 2 = 1

Los intervalos de variación de las variables x ,y A z para estasuperficie son

x £ ( - 00; + 00),

y £ (— 00; -b] U [b; +co) y

Z £ ( - 00; + « > )


A continuación se describe algunas propiedades de esta superficie

SUPERFICIES

S i a 2 = c 2, es una superficie de revolución (h ipe rbo lo ide c ir c u la r de do s hojas)

Si a 2 c 2, la superficie es el h ipe rbo lo ide elíptico de dos hojas.

Las trazas en los p lanos paralelos al plano x z son circunferencias o elipses según

sea el caso en que a 2 = c 2 ó a 2 c 2. (En el plano y = b es un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto a los ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas.

La forma ordinaria de la ecuación del hiperboloide de dos hojas con centro en el

punto C(ft; k\ í) es

(x - h ) 2 | (y - fe)2 (z - Q 2 _ ^

Observación 6 Las tres cuádricas (elipsoide, hiperboloide de una hoja e hiperboloide de dos hojas) también se denominan cuádricas centrales.

En general cualquier ecuación de ¡a forma:

(x - h ) 2 ( y - k ) 2 (z - l ) 2± - -----r ^ ± 7-2" ± 2 = 1a 2 b 2 c 2

donde a, b y c son números reales positivos, representa a una cuádrica central con centro en C (h ;k ; l) .

Sí los tres signos son positivos: elipsoide

Si dos signos son positivos y uno es negativo: hiperboloide de una hoja

Si dos signos son negativos y uno es positivo: hiperboloide de dos hojas.

Si los tres signos son negativos: el conjunto es vacío.

7.5.4 P A R A B O L O I D E E L Í P T I C O (O C I R C U L A R )

La form a canónica de la ecuación del paraboloide con vértice en el origen es

x 2 y 2 / x 2 z 2 y 2 z 2

? + ^ = I,6 ^ + ^ = b y 6 ¥ + ^ = ax

donde a y b son núm eros positivos y c =/= 0

En la l'ig. 7.27 se muestra la gráfica de

x 2 y 2— + — = cz, con c > 0


TO PICO S DE C A L C U L O - V O L U M E N II

S i c < 0 el paraboloide se abre hacia la

parte negativa del eje z.

Lo s intervalos de variación de las variables

x, y A z para la ecuación de esta superficie son:

x £ (— c°; + c o ) , y 6 ( — 00; + 0 0 ) y

z £ [0; + 0 0 ) ( s i c < 0, z £ ( - 0 0 ; 0])

S i a 2 = b 2 , la superficie es una superficie

de revolución (p a rabo lo id e c ircu la r)

S i a 2 & b 2, la superficie es el p arabo lo ide elíptico.

Las trazas en los p lanos paralelos al plano x y son circunferencias o elipses según

sea el caso en que a 2 = b 2 ó a 2 * b 2. (En el plano z = 0. la traza es un punto).

Esta superficie es simétrica con respecto al eje z, al plano ‘x z y al plano y z .

La form a ordinaria de la ecuación del paraboloide con vértice en el punto V ( h ,k ; l ) es

(x - h.)2 ( y - k ) 2= c (z - i)

a 2 b 2

En los otros casos, la ecuación es de la forma

{ x - h ) 2 ( z - l ) 2 ■ H----------- b ( y - k) ó

(y - k ) 2 ( z - 0+ ■ = a (x - h)

7.5.5 P A R A B O L O I D E H I P E R B Ó L I C O ( S I L L A D E M O N T A R )

La form a canónica de la ecuación del paraboloide h iperbólico con punto de silla en el origen de coordenadas es

y -

b 2

x c

a2cz

í z 2 x 1 ó — - — = b y , ó

V, c L a 2z 2 y 2 \

c ‘ b 2 )

donde a y b son núm eros positivos y c i d ,


y 2 x 2- r r ------- - CZ , con C > 0o 2 a 2

L o s intervalos de variación para las variables x , y A / de esta superficie son

X £ ( - 0 0 , + 0 0 ) , y 6 ( - 0 0 , + 0 0 ) V Z £ ( - 0 0 , + 0 0 )

SU PERF IC IES

l.iis secciones transversales al plano x y

son hipérbolas (En el plano z = 0 son

ilos rectas que se cortan). La$ trazas en

los planos paralelos a los planos xz e

yy. son parábolas.

lista superficie es simétrica con respecto

al eje z, al plano x z y al plano y z .

E l origen de coordenadas es el punto de

silla de esta superficie.

La forma ordinaria de la ecuación del

paraboloide h iperbólico con punto de

silla en S {h ; k\ l) es

(y ~ k ) 2 (x - h y= c ( z - l)

b 2 a 2


( z - / ) 2 ( x - h ) 2 „ ; (z-— 3 -------------- -5— = b ( y - k ) o —

O2 { y - k f= a ( x - h )

7.5.6 C O N O E L Í P T I C O (O C I R C U L A R )

La forma canónica de la ecuación del cono con vértice en el origen de

coordenadas es

donde a, b y c son núm eros reales positivos.

En la Fig. 7.29, se muestra la gráfica de la superficie

x 2 y 2 z 2

a 2 + b 2 c 2

Los intervalos de variación de las variables

x, y A z son

x e 1 , y e 1 a z e E

S i a ¿ — b'¿, la superficie es de revolución

(cono c ircu la r).

S i a 2 * b 2, la superficie es el cono elíptico.


r o n c o s DE CALCULO - VOLUM EN 11

Las trazas en los planos paralelos al plano x y son circunferencias o elipses según

sea el caso en que a 2 = b 2 ó a 2 * h 2. (En el plano z = 0 la traza es el origen

de coordenadas). Las trazas en los planos paralelos al plano x z y al plano y z son

hipérbolas (E n los p lanos y = 0 A x = 0 son dos rectas que se cortan).

Esta superficie es simétrica con respecto a ios ejes coordenados, a los planos coordenados y al origen de coordenadas.

La form a ordinaria de la ecuación del cono con vértice el punto V(Iv, k\ l) es

(x - h ) 2 ( y - fe)2 _ (z - l ) 2

a - o*- c*-


(x - h )2 (z - Q 2 __ ( y - fe)2 . (z - Q 2 ( y - k ) 2 _ (x - h ) 2a 2 + c 2 b 2 ° c 2 + b 2 ~ a 2

E je m p lo 13 D iscutir y graficar la ecuación 9 x 2 + 4 z 2 + 9 y = O

So lu c ión

I) Intersección con los ejes coordenados: el origen de coordenadas.

II) T razas sobre los planos coordenados

i) Sobre el plano xy :

la parábola x 2 + y = O

ii) Sobre el plano yz:

la parábola 4 z 2 4- 9 y = O

iii) Sobre el plano xz:

el origen de coordenadas

II I ) T razas en planos paralelos a los

planos coordenados

A I plano xy : parábolas

A l plano y z : parábolas

A l plano xz: elipses, (para y < 0)

IV ) Extensión: x E l , y £ ( —oo; Oj, z £ K

V ) La gráfica de la superficie se muestra en la l-ig. 7.30 (paraboloide elíptico).

Fig. 7.30

¡ f ” SUPERFICIES

F.Jcinplo 14 Ivsboce la gráfica de las siguientes ecuaciones

a) iíjfl /. + y 2z - 9 z 2 = 0

x ¿ y 2 z lz l

b ) T + T 6 — = 1

So lu c ión

a) 3 x 2z + y 2z - 9 z 2 = 0 <=> ( 3 x 2 + y 2 - 9z ) z = 0

<=> 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 ó z = 0

La ecuación 3 x 2 + y 2 — 9 z = 0 representa a un paraboloide elíptico.

La ecuación z = 0 representa al plano xy.

La gráfica de la ecuación ( 3 x 2 + y 2 — 9 z ) z = 0 se muestra en la Fig. 7.31

b) U tilizando la defin ición del va lor absoluto en

x 2 y 2 z \z \~ 9 + 1 6 ~ ~ 9 ~ ~ 1

se tiene

x 2 y 2 z 2S i z < 0 => '^■ + 7 7 + 7 r : = l (e lipso ide)

9 16 9

x 2 y 1 z 2S i z > 0 => — + — — — = 1 (h iperbo lo ide de una hoja)

9 16 9

x 2 y 2 z \z \La gráfica de la ecuación — + — -— = 1 se m uestra en la Fig. 7.32

Las coordenadas de uso frecuente en el espacio tridimensional, aparíe de las

rectangulares son las coordenadas cilindricas y las coordenadas esféricas.

7.6.1 C O O R D EN A D A S C ILIN D R IC A S

S i P es un punto del espacio

tridim ensional y ( x ; y ; z ) son sus

coordenadas rectangulares, se define

las coordenadas cilindricas de P

com o la terna ( r ; 8 ; z ) , donde ( r ; 8 )

son las coordenadas polares de la

proyección ortogonal de P sobre el

plano x y y z es la distancia d irig ida

de (r; 0 ) a P (Fig. 7.33).

7.6.1.1 R E L A C IÓ N E N T R E LA S CO O RD EN AD AS C A R T E S IA N A S Y C ILIN D R IC A S

S i (x ; y ; z ) y ( r ; 0 ; z ) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las

coordenadas cilindricas de un punto P € 1R3, entonces se tiene

C artesian as en térm inos de las cilindricas

x - r eos 9, y = r se n 8, z = z

Cilindricas en térm inos de las cartesianasy

tan 9 = - , r 2 = x 2 + y 2, z = z x

Observación 7

a) Las coordenadas cilindricas principales son: r > 0 , 0 < 0 < 2n A z E l

b) Las coordenadas cilindricas del origen son ( 0 ; 9 ; z ) para cualquier 8

c) La ecuación de un cilindro circular recto de radio a en coordenadas cartesianas es x 2 + y 2 = a 2, transformando a coordenadas cilindricas su ecuación es r = a.


7.6 C O O R D E N A D A S C IL IN D R IC A S Y C O O R D E N A D A S E S F É R IC A S

i) Encuentre las coordenadas cartesianas del punto que tiene las coordenadas cilindricas dadas

3) ( 3 ; f ; 5 j b) ( 7 ; y : - £ ) c) (1; 0; 1)

ii) Encuentre un conjunto de coordenadas cilindricas del punto cuyas coordenadas cartesianas son

a) (4; 4 ; - 2 ) b) ( - 3 V 3 ; 3; 6 ) c) (1; 1; 1)

So lu c ión

i) a) S i las coordenadas cilindricas de P son (3; n / 2 ; 5 ) , entonces r = 3.

0 - n /2 y z = 5. Luego, aplicando las fórm ulas que relacionas estas coordenadas con las cartesianas se tiene

x = 3 cos(7r/2) = 0, y = 3 s e n ( n / 2 ) = 3 y z = 5

Por tanto, las coordenadas cartesianas de P son (0 ; 3 ; 5)

Procediendo de manera sim ilar se obtiene

u- í 7 \— ; - 4 c) (1; 0; 1)

V ^ *- ¡

ii) a) Si las coordenadas cartesianas de P son (4; 4 ; - 2 ) . entcnces x = 4,y - 4 y z = 5

Luego, aplicando las fórm ulas que relacionas estas coordenadas con las cilindricas tiene

y 4 ntan 0 = - = - = 1 => 6 = - , r ‘ = x 2 + y 2 = 32 => r = 4 V 2 , z = 5

X i 4Por tanto, las coordenadas cilindricas de P son (4 V 2 ; 7r/4 ; 5)

b) (6 ; 5n/6 ; 6) c) (V 2 ; n/4] l )

E jem p lo 16 Halle una ecuación en coordenadas c ilindricas para la superficie representada por la ecuación cartesiana

a) 2x -f y — z = 0 b) x 2 + y 2 = 4 z

c) x z - y 2 - 4 z z - 4 = 0 •

So lu c ión

Reem plazando x = r eos 0, y = r sen G y z = z, se obtiene

a) 2 r eos 6 + r sen 9 - z = 0

b) r 2 - 4 z

c) r 2 eos 2 0 - 4 z 2 - 4 = 0

s u p e r f i c i e s

r jc m p io 15


TO PICO S DE CALCULO - VO LU M EN II

7.6 .2 C O O R D EN A D A S E S F E R IC A S

La s coordenadas esféricas de un punto

P 6 R 3, se define com o la terna

(p; 8; 0 ) , donde p representa la distancia

del punto P al origen, 0 es la m edida del

ángulo que form a el segmento OP con el

rayo positivo del eje z (el ángulo 0 se

llama co-Iatitud de P, el ángu lo n / 2 — 0

se llama latitud de P) y 0 es la medida

del ángulo que form a el rayo positivo del

eje x y el segmento OQ, donde Q es la

proyección (ortogonal) de P sobre el plano x y (F ig. 7.34) Fig. 7.34

7.6 .2 .1 R E L A C IÓ N E N T R E LA S CO O RD EN AD AS C A R T E S IA N A S Y E S F É R IC A S

S i (x ; y ; z ) y (p; 9; (p) son respectivamente las coordenadas cartesianas y las

coordenadas esféricas de un punto P E R 3, entonces se tiene

C artesian as en térm inos de las esféricas

Z = p COS 0

x = p sen 0 eos 8

y = p se n 0 se n 8

Esféricas en térm inos de las cartesianas yx 2 + y 2 + z 2 = p 2, x 2 + y 2 = p 2 se n 20 A - = ta n f l

Observación 8

a) Si se incluye los puntos del eje z, las restricciones

p > 0 , 0 < 8 < 2 n , O < 0 < 7 r

determinan una correspondencia biunivoca entre los puntos del espacio y las coordenadas esféricas (p; 8; 0 )

b) Las coordenadas esféricas del origen son (0; 9; 0 ) , donde 8 , 0 son arbitrarios.

c) La ecuación cartesiana de la esfera con centro en el origen y radio a es

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

Al transformar a coordenadas esféricas se reduce a p = a

i) Encuentre las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas

rectangulares son

a) (2; 2; 2 ) b) (0; 0; — 3 )

ii) Encuentre las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas

esféricas son *

a) (3; 7t/2; 7t/4 ) b) ( 2 ; -7 r/3 ;7 r/6 )

So lu c ión

i) U tilizando las fórm ulas de transformación de coordenadas cartesianas a esféricas, tenemos

SU PERFIC IES

E je m p lo 17

a) (2 V 3 ; 7r/4; a r c c o s ( l/ V 3 ) ) b) (3; 0; zr)

ii) U sando las fórm ulas de transform ación de coordenadas esféricas a cartesianas,

se tiene

a) (0; 3 V 2 / 2 ; 3 V 2 / 2 ) b) ( l / 2 ; - V 3 / 2 ; V 5 )

E J E R C I C I O S

1. Encuentre coordenadas esféricas para los siguientes puntos especificados por sus coordenadas rectangulares

a) (4; 2 ; - 4 ) b) ( 1 ; - V 3 ; 4 )

c) (1; 1; 1 ) d) (2; 0; 2 )

2. Halle las coordenadas cilindricas para los puntos del ejercicio 1.

3. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas cilindricas

a) ^2; a r c c o s - ; o j b)

d ) ( - í . - í . i ) o ( ^ 2 )

4. Halle las coordenadas rectangulares del punto en coordenadas esféricas

/ n n \ / n n\

b> ( 3 : r - 6 )

/ TI T l\ r TI 7T\

C> (,: 6 ' i ) d) (6: «)

37 2 www.FreeLibros.com

5. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas de la superficie cuya ecuación en coordenadas cartesianas es

TO PICO S D E CALCULO - VOLU M EN II

6. La s siguientes superficies están descritas en coordenadas esféricas. Encuentre sus ecuaciones rectangulares.

7. H a lle una ecuación en coordenadas esféricas, para la esfera de radio 3 con

centro en (0; 1; 0)

8. Halle una ecuación en coordenadas cilindricas para la esfera del ejercicio 7.

9. En los siguientes ejercicios, encuentre las ecuaciones en coordenadas

cilindricas y en coordenadas esféricas para la superficie dada.

a) E l paraboloide x 2 + y 2 = 4 z b) E l h iperboloide x y = z

10. De scrib ir la superficie z = 2 r (coordenadas cilindricas), y obtener una

ecuación de la m ism a en coordenadas cartesianas.

11. H a lle una ecuación en coordenadas rectangulares(cartesianas) de la superficie

a) (x + y ) 2 = z — 5 b ) x 2z 2 = 25 — y 2z 2

d ) ax + b y + cz = x 2 + y 2 + z 2

a) co t 0 = sen 8 + eos 6

c) p = a sen 0 sen 8 d)

b) p 2 eos 2 0 = a 2

p 2 se n 20 sen 28 = a 2

z 2 = i _ ( r _ 2 ) 2

7.7 A P L I C A C I O N E S

E je m p lo 17 Ca lcu le el vo lum en del só lido lim itado por la superficie z = x 2 + y 2

y el plano z = 4

So lu c ió n _________________________________

L a ecuación z = x 2 + y 2 representa un

paraboloide circular. La s secciones

transversales perpendiculares al eje z son

c írcu los de radio r = V i (F ig. 7.35).

E l área de cada sección transversal es

A (z ) = n z , z G [0; 4]Y

Por consiguiente, el vo lum en del só lido es

x

Fig. 7.35= 8 n u 3


SU PERFICIES

E jem p lo 19 ¿ L a ecuación x 2 + y 2 - e 2z = 0 representa una superficie de revoluc ión? Ln caso afirmativo, halle el área de la superficie com prendida entre

los planos z — 0 y z = 1 y calcule la longitud de arco de la curva generadora.

So lu c ión

x 2 + y 2 = e 2z representa una superficie de revolución. E l eje de revoluc ión es el

eje z, ( x - 0 , y = 0 ) y una curva generadora es C: y = e z, x = 0

Para determinar el área de la superficie de revolución com prendida entre los

planos z — 0 y z = 1 (Fig. 7.36), basta considerar el arco de la curva y — e z . z e [0; 1] en el plano x = 0 y hacerla girar alrededor del eje z. (Fig. 7.37)

i

NII

0 1 ” z

Fig. 7.36

Luego, el área de esta superficie de revolución es

Fig. 7.37

~ly J1+[§] iz * i evl+e”‘¡ze V 1 + e 2 + ln |

/T ~,;— 7 i /e + Vi + e2 = - e V 1 + e 2 + ln ------------— —

2 V 1+V2La longitud de arco de la curva generadora resulta

- V 2

Haciendo la sustitución trigonométrica e z = tan 0 <=* z = ln (ta n 0 ), obtenemos

- a r c ta n e ^ ¿-arctane

------ r ------sen 0 e o s2#

4 4

/•arctan e

- I ( ese 9 + tan 9 sec 9 ) d9

lnVi + 1

- ln(V2 - l ) + V i + e2 - V 2


E je m p lo 20 Calcule el vo lum en del sólido lim itado por las superficies

9 x 2 — 9 y 2 + 4 z 2 — 36x — 8 z 4- 4 = 0. y = — 1 A y = 4

So lu c ión

A l completar cuadrados en la ecuación de la

superficie se obtiene

( * 2 ) 2 + ( z - l ) 2

4 9

A si. la superficie es un hiperboloide elíptico

de una hoja cuyo centro es C ( 2 ; 0 ; l ) .

L a gráfica del só lido se muestra en la Fig.

7.38. La s secciones transversales del sólido

perpendiculares al eje y son las elipses

(.x - 2 ) z (z - l ) 2■ ■ - t - —— — — —

4

(x - 2 )2

4 1■ 4- ■

9

(z - l ) 2

9 1

= 1 + :

1, donde t =4 4- y 2

Luego, el área de la elipse (sección transversal) es

/ 4 4- y 2A (y ) = í r ( 2 V t ) ( 3 V t ) = 6 n : (— - — y 6 [ - 1 : 4 ]

U sando el método de secciones transversales, el vo lum en del só lido es

- 4 3 r4j A ( y ) d y = - n J (4 + y 2) d y =

E je m p lo 21 Calcule el vo lum en del sólido lim itado por la superficie

y 2 4- z 2 - 2 se n 2* - 2 sen * - c o s 2x = 0 y los planos x = 0 y x = n /2 .

So lu c ión

L a ecuación se puede escribir com o y 2 + z 2 = ( s e n x 4- l ) 2. Esta ecuación

representa una superficie de revolución cuyo eje de giro es el eje x.

L a sección transversal del só lido perpendicular al eje x es el circulo

y 2 4- z 2 = (sen x + l ) 2, x £ jo;- ]

A sí, el área de la sección transversal es

A (x ) = 7r(señx 4 -1)2. x e [0 ; - |

Por consiguiente, el vo lum en del só lido resulta

f n/ z f 1 , ít(37t 4- 8)V(S) = I A {x ) d x ~ n (sen x 4-1)2 dx = -------

jo 'ou


SU PERFICIES

E jem plo 22 C a lc u le e l v o lu m e n d e l s ó l id o l im i ta d o p o r la s s u p e r f i c ie s

o - x , y2 Z — —— b —— 4 9

y — * 4

= z 2

So lu c ión

x yLa ecuación 2z = — + — representa

representa a un paraboloide con vértice en el origen y la ecuación „2 ,,2

representa a un cono conx . y 2 T + T = zrepresenta a un cono con vértice en el origen.

Estas superficies se intersecan cuando

L a sección transversal del sólido,

perpendicular al eje z, es el anillo

elíptico cuya área es

A (z ) = 7 r ( V 8 z ) ( V l 8 z ) - n ( J a z 2) ( V 9 ? ) = I 2 n z - 6 n z 2, z 6 [0; 2]

Por lo tanto, el vo lum en del só lido es

y ( S ) = í (127TZ — 6 n z 2) d z = 8n u 3 ■>o

E je m p lo 23 U n só lido está lim itado por las superficies

1S i : p = - cot <p ese (p (en coordenadas esféricas)

S2: z = 3 (en coordenadas c ilindricas)

Bosqueje la gráfica y calcule el vo lum en del sólido.

So lu c ión

Utilizando las relaciones entre las

coordenadas esféricas y las coordenadas

cartesianas: z — p eos (p,

y = p sen (p sen 0. x = p sen (p cos:0 se

tiene x z + y 2 = p 2 s e n 2(p.

De la ecuación de resulta

cosrf) -, -, , ,,3 p = ----- r—- <=> 3 p 2 se n 2 3 0 " + y ) = z

sen ¿q)

Esta ecuación representa a un paraboloide circular.

Por otro lado, la ecuación cartesiana de S2 es z = 3.

L a gráfica del só lido se muestra en la Fig. 7.40. L a s secciones transversales del

sólido, perpendiculares al eje z, son círculos de radio r = *Jz~/3. A s í, el área de

la sección plana es

A (z ) = y , z 6 [0; 3]

U sando el método de secciones planas, el vo lum en del só lido resulta

f 3 n z 3n ,n s ) = Jj T * = y U

E je m p lo 24 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto Pt ( 0; - 2 ; 4 ) y

es tangente al c ilindro 5: 2 y = x 2 . E l ángulo que form a dicha recta con el plano

x y es de 30° (4 soluciones).

So lu c ión

Sea P0 (a; b; c) el punto de tangencia (Fig. 7.41 izquierda). En la vista horizontal

(visto desde arriba hacia abajo - F ig. 7.41 derecha), se tiene


y + 2Pendiente de la tangente: m = (a )

d y y + 2Tam bién m = — = x. Luego, --------= x (p )

dx x

SUPERFICIES

Por otro lado, A ( x ; y ; z ) pertenece al cilindro, entonces

2 y = x 2 (y)

D e (y ) y (/?) se obtiene y = 2, x — ± 2

S i se reemplaza m = ± 2 en (a ) se obtiene las ecuaciones de los p lanos

tangentes Qx: y + 2 = 2x y Q2: y + 2 = —2x

1. Considerando el plano tangente Qt : 2 x — y — 2 = 0, se tiene:

P0 E Qi =>2a — b — 2 = 0

P0 £ S => 2b = a 2

D e estas dos ecuaciones se obtiene a = 2 y b = 2

D ado que el ángu lo que form a la recta con el plano x y es 30°, entonces

l , __________ i;. - 1 1 _________l l v í l l 2 + (6 + 2 )! + (c - 4 ) 2

Reem plazando el va lor de a - 2 y b = 2, se obtiene

1 | c - 4 | 2 V l 5- = => C = 4 ± — - —4 V 2 0 + (c - 4 ) 2 3

Luego, las ecuaciones de las rectas tangentes son

L x: P = ( 0 ; — 2 ;4 ) + t ^ l ; 2 ; ^ j , t £ R

¿ 2 : Q = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ l ; 2 ; - ^ p ^ i A £ R

2. Considerando el plano tangente Q2: 2 x + y + 2 = 0, se obtienen las

soluciones:

¿ 3: P = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + t ^ - l ; 2 ; ^ p j , t E R

L 4 : (2 = ( 0 ; - 2 ; 4 ) + A ^ — 1 ; 2 ; - ^ ) , A 6 R

2 V Í5Los puntos de tangencia son (— 2; 2; 4 ± — -— )


I. En cada uno de los siguientes ejercicios, d iscutir y graficar la superficie representada por cada ecuación


E JE R C IC IO S

II. E n cada uno de los ejercicios, calcule el vo lum en del só lido lim itado por las superficies

III. Halle la ecuación de la recta L que pasa por P ^ O ; - 7 ; 3 ) y es tangente a la

superficie c ilindrica y = 5 - (x - 4 ) 2 . La recta L corta a la recta

W- P - (1; 1; 1) + t(0; 2; - 3 ) , t 6 M (dos so luc iones)

R. V\ Q = (0; -7 ; 3) + t(l; 12; -8 ) , t e R

L": R = (0; - 7 ; 3 ) + A ( l ; 4; 4), X 6 R

a) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 3 6 b) x 2 + 4 y 2 + 4 z = 0

d) x 2 — y 2 — 4 z z = 4

í) x 2 + 9 y 2 = z 2

h) x 2 + 4 y 2 = 4 z 2 - 4 z + 1

j) x 2 + y 2 = 1 + z

I) y 2 + 1 6 x 2 = 6 4 - 4 z 2

c) x 2 — y 2 + 4 z 2 = 4

e) 4 x 2 + 8 y + z 2 = 0

g) 2 5 y 2 - x 2 - 9 z 2 = 0

i) x 2 — y 2 — 4 z 2 = 4

k) 1 6 x 2 - 9 y 2 - z 2 - 1 4 4 = 0

2) 8 z = x 2 + 4 y 2 , z = 1 R. (V 2 7 i ) u 3

R. ( 3 6 n )u 3

4) z — x 2 + 2 y 2 , x 2 + 2 y 2 + z 2 = 6 (dos soluciones)

x 2 y 2 z|z| 7) T + V -

4 9


tópicos de cálculo vol. ii v - by priale

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