tópicos de cálculo vol. ii - mitacc

n M O L f l f

m i lVOLUMEN 2' i i i y

TERCERA EDICIN www.FreeLibros.com

TOPICOS DE CALCULO VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA

- INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRALES IMPROPIAS

- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

- COORDENADAS POLARES

- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

- SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

www.FreeLibros.com

TOPICOS DE CALCULO VOL. II

TERCERA EDICION

MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA

IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU

Prohibida la reproduccin total o parcial por todos los medios grficos, sin permiso de los autores.Nmero de Inscripcin en le Registro Nacional de Derechos de Autor N 160Impreso en los Talleres Grficos de:Editorial THALES S.R.L.

TERCERA EDICION Mayo del 2009

www.FreeLibros.com

PRLOGO

En esta segunda edicin de T p ico s de C lcu lo Vo l. II, nos hem os esforzado por presentar el clculo integral para funciones reales de una variable real y la geometra analtica en el espacio, en form a tal que resulte de m xim o provecho a los estudiantes cuyo cam po de especializacin no sea estrictamente las matemticas. L a orientacin principal del libro es hacia aplicaciones en d iversas reas de la ciencia, lo cual am pla la utilidad del texto.Aunque en esta edicin la estructura bsica general no se ha cam biado, se ha realizado una gran cantidad de revisiones. H em os reestructurado casi la totalidad del capitulo 6 y el captulo 7, se han hecho una gran cantidad de m od ificaciones alo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales desarrollados y redaccin de procedimientos. E l conjunto de ejercicios propuestos se ha m odificado, con la adicin de nuevos ejercicios.

E l L ib ro se d ivide en siete captulos. E n los prim eros cuatro captulos se hace una presentacin de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus aplicaciones. H em os visto por conveniencia desarrollar primero la integral indefinida con la finalidad de fam iliarizar al estudiante con las tcnicas y/o artificios de integracin que luego se usan en los captulos siguientes. E l captulo cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los captulos siguientes (del sexto al sptimo), se inicia con una introduccin breve de vectores en el espacio trid im ensional y se continua con recta, plano, superficies y se concluye con las coordenadas cilindricas y esfricas.

Nuestro propsito es que esta edicin no lenga errores, pero es casi un axiom a que todo libro de Matem tica los presente; por tal m otivo consideram os que este texto no sea la excepcin, a pesar del esmero y la dedicacin puesta para detectarlos y corregirlos antes de su impresin. E n tal sentido, los autores com partim os la responsabilidad de los m ism os, aclarando que d ichos errores han sido com etidos solamente por uno de los autores.

Querem os expresar nuestro agradecim iento a los profesores y a lum nos de todo el pas por la acogida brindada a la edicin anterior y esperam os que esta nueva edicin tenga la m ism a preferencia.

L o s Autores

www.FreeLibros.com

I N D I C E

C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A

Antiderivada e integracin indefin ida.......................................... 1

Propiedades de la integral indefin ida..................................... 4

Integrales inm ediatas........................................................... 5M todos de integracin........................................................ 10

Integracin por sustitucin o cam bio de variab le............. 11Integracin por p a rte s .................................... 20Tcnicas de integracin........................................................ 29Integrales de algunas funciones trigonomtricas e hiperblicas 32

integrales de la form a / sen* c o s - x dx y f s , n ^ x cosk x dx 32

Integracin por sustitucin trigonom trica ................................ 45M todo de integracin por descom posicin en fracciones parciales 56Integracin de algunas funciones irracionales........... .............. 68

C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A

Sum atoria s............................................................................ 95

Clcu lo del rea de una regin plana por sum ato ria s.............. 104

Sum a superior y sum a in fe r io r ............................................ 112

Integrales inferiores y su p e rio re s.......................................... 115

Integral de R iem ann .............................................................. 116

Propiedades de la integral definida ....................................... 120

Teorem as fundamentales del clculo in te gra l........................ 121

C am b ia de variable en una integral d e f in id a ........................ 130

Integracin por partes en una integral d e f in id a ...................... 134

Clcu lo aproxim ado de las integrales defin idas................... 144

C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S

Integrales im propias con lm ites infin itos.............................. 149

Integrales im propias con lm ites f in ito s ............................... 152

Integrales im propias con integrando no negativo............. . 161

C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

rea de regiones p la n a s ....................... ....... ........................... 167

www.FreeLibros.com

Vo lum en de un s lido en funcin de las reas de las secciones p lanas...... 181

Vo lum en de un s lido de revo luc in..................................... 185

M todo del d isco circular y del anillo circu lar...................... 185

M todo de la corteza cilindrica .............................. ............... 191

Longitud de a r c o .................................................................. 201

rea de una superficie de re vo lu c i n ................................... 208

M om entos y centros de masa ( centros de g ra ve d a d )........... 214

Ap licac iones de la integral en los n e g o c io s ............. ............... 229

C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S

Sistem a de coordenadas p o la re s ..................................... ........ 237

Relacin entre las coordenadas polares y las rectangu lares....... 239

D istancia entre dos puntos en coordenadas p o la re s ................... 240

Ecuacin polar de una re c ta .............................. ..................... 241

Ecuacin polar de una c ircunferencia ....................................... 243

D iscu sin y grfica de una ecuacin p o la r ................................ 244

Interseccin de curvas en coordenadas p o la re s........................... 248

Derivadas y rectas tangentes en coordenadas p o la re s.............. 251

n g u lo entre dos curvas en coordenadas p o la re s ...................... 254

rea de regiones en coordenadas p o la re s ........................ ....... 262

Longitud de arco en coordenadas p o la re s ................................. 266

Vo lum en de un s lido de revolucin en coordenadas polares.... 268

C A P I T U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C I O

T R I D I M E N S I O N A L

Vectores en el espacio tr id im en siona l....................................... 273

Representacin geomtrica de un vector en i 3 ....... .................. 274

Vectores paralelos en R 3 .......................................................... 276

M d u lo y longitud de un vector en K 3 ...................................... 277 n g u lo entre dos ve c to re s......................................................... 278

Vectores ortogonales o perpendiculares..................................... 279

Producto ve c to r ia l............. ....................................................... 283

Ap licac iones del producto ve c to r ia l............................................ 285

A p licac in del triple producto e sc a la r ........................................ 287

Recta en el e sp a c io .............................. ..................................... 295

Relacin entre los cosenos directores de una recta....................... 296 www.FreeLibros.com

Ecuaciones de un plano en el e sp a c io ......................................... 306

n g u lo entre dos p la n o s ............................................................. 319

Proyeccin ortogonal de una recta sobre un p la n o ...................... 320

C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S

E s fe r a .................................................................................... 342

D iscu si n y grfica de la ecuacin de una su p e rf ic ie ................. 347

C i l in d r o s ................................................................................. 352Superficie de re v o lu c i n ......................................................... 356

Superficies cuad r tica s............................................................. 361

Coordenadas cilindricas y coordenadas e sf rica s........................ 369

Coordenadas esfricas............................................................... 371

A p lic a c io n e s .............................................................................. 373

www.FreeLibros.com

( r ' ........ ....1............................ ^

INTEGRAL INDEFINIDA

^ ...... ..... ^

1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A

En el libro de T p ico s de C lcu lo Vo lum en 1, se trat principalmente el problem a bsico siguiente: D ada una funcin encontrar su derivada . S in embargo, existen m uchas aplicaciones del clculo que estn relacionadas con el problema inverso, el cual es: D ada una funcin /, definida en un intervalo /, encontrar una funcin F cuya derivada sea la funcin /, es decir,

F '( x ) = / (x ) , V x G /.

D e fin ic i n 1. Sea / un intervalo y /: / -> M una funcin. U na funcin F: / M tal que F ' ( x ) = / (x ) , V x G /, se denom ina prim itiva o antiderivada de / en / y se escribe

F ( x ) = An t ( / ( x ) ) , V x G /

E je m p lo 1. S e a / ( x ) = 4 x 3 , x G R y g ( x ) = e x , x G B .

Las funciones F(x) = x 4 y G (x ) = e x, x G K, son respectivamente antiderivadas de / y g en E , es decir,

F'(x) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R

G '( x ) = ( e xy = e * , V x G l

Tam bin son antiderivadas de / ( x ) = 4 x 3 las funciones

1007TF1(x) = x 4 + 2, F2{x) = x 4 + ln7i y F3( x ) = x 4 + -

pues sus derivadas son iguales a / ( x ) = 4 x 3

Anlogam ente, otras antiderivadas de g ( x ) = e x son, por ejemplo,

V3G iC x) = e x - 1, G2(x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + y C 4( x ) = e x + k

donde k es cualquier constante real.

www.FreeLibros.com

Observacin i. Si F{ x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F(x) + C, donde C es una constante real, es tambin antiderivada de f en l.

lista propiedad es evidente, pues si F(x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces F ' ( x ) = f ( x ) , V x e l

Tam bin ( F ( x ) + C ) ' = F'{x) = / ( * ) , V x 6 /. Entonces F(x) + C = A n t ( f { x ) ) en /

U na pregunta natural es: S i F(x) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cualqu ier otra antiderivada de / en I difiere de F a lo ms en una constante?. D ic h o de otro modo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, necesariamente Fr (x) = F ( x ) + C, V x e l ? La respuesta es afirm ativa y se deduce de la siguiente proposicin.

P rop o s ic i n 1. Sea / :/ - E una funcin definida en el intervalo abierto / y F:I - E una antiderivada o prim itiva de /. S i : / -> E es tambin una antiderivada de /, entonces

F1(x) = F ( x ) + C para alguna constante C.

Dem ostracin

D efin im os la funcin H por H(x) = F ^ x ) - F (x ) . Entonces

H'(x) = Fi(x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l Luego, H'(x) = 0 , V x e l .

D e aqu se deduce que H( x ) = C , V x e l , donde C es una constante (ver Coro la rio 1 del T .V .M . T p ico s de C lcu lo Vo l. 1). Luego, se tiene

H(x) = F iC O - F{x) = C F^ x) = F(x) + C , V x e l

Geomtricamente, sign ifica que si F( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cualquier otra antiderivada de / en I es una curva paralela al grfico de y = F(x) (Fig. 1.1).

T O I% ()S DE C L C U L O - VOLUMEN II

2 www.FreeLibros.com

INTEGRAL INDEFINIDA

D e fin ic i n 2. Sea F ( x ) una antiderivada de f { x ) definida en el intervalo I. L a in tegra l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f ( x )definidas en d icho intervalo y se representa mediante el sm bolo

J f ( x ) d x = F ( x ) . + C

donde C es una constante real que se denom ina constante de in tegrac in .

L a func in / ( x ) se llam a integrando, f { x ) d x es el elemento de integracin, x

variable de la integral- y el s m bolo j se denom ina sm bolo de la integral. La

expresin / / ( x ) d x se lee integral de f ( x ) con respecto a x o integral

indefinida de / ( x ) diferencial x .

Observacin 2, De la definicin 2 se deduce las siguientes propiedades:

i) ^ ( J / ( x ) d x ) ( J / ( x ) d x ) = ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r :

la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "

ti) d / ( x ) d x j = / ( x ) d x j d x = f { x ) d x

ii) Si f es una funcin derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J f ' { x ) d x = f ( x ) + C

iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce:

J d ( / ( x ) ) = f ( x ) + CD e las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede interpretarse com o una operacin inversa de la diferenciacin, pues al aplicar la integral indefinida a la diferencial de la funcin f { x ) , sta reproduce la funcin / ( x ) m s la constante de integracin.

E je m p lo 2. D e l ejemplo 1 se deduce:

i) J e xd x = e x + C

ii) J 4 x 3d x = x 4 + C

E n la figura 1.2 se muestra la grfica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir, de F ( x ) = e * + C , donde C es una constante real. S i C > 0, la grfica de y = e x se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza paralelamente C unidades hacia abajo.


TPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

Ejem plo 3. Como d (x ln x - x ) = ln x dx, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d ( x l n x x ) = J \ n x d x = x l n x - x + C

, , 1 xEjem plo 4. J - ^ j = - ar c t a n - + C , pues

n x \' 1( -a r c ta n - + C) = -

1__ 2__

X ^1 +=r4

14 + x 2

1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A

P rop o s ic i n 2. S i / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo / y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / g y k f admiten antiderivadas en / y se tiene:

a) [ f ( x ) g ( x ) ] d x = J f ( x ) d x J g ( x ) d x

b ) I [ k f ( x ) ] d x = k j f ( x ) d x

D em o stra c i n

a) Com o | J [/ (x ) 5 (x )]d x j = / (x ) ^ ( x ) = / (x )d x j J g ( x ) d x ,

entonces J [ f (x ) g ( x ) ] d x y J f ( x ) d x J g ( x )d x son las antiderivadas de / ( x ) g ( x ) . Po r tanto,

j [ / ( * ) 9 ( x ) ] d x = J f ( x ) d x j g ( x ) d x

b) L a dem ostracin queda com o ejercicio para el lector.

D e la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una sum a algebraica de varias funciones es igual a la sum a algebraica de sus integrales.

E je m p lo 5. Calcule j (e x - 4 x 3 + ln x )d x .

So luc in . E n virtud de la proposicin 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:

J (e x - 4 x 3 + l n x ) d x = J e xdx - J 4 x 3d x + J l n x d x= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C2) + ( x l n x - x + C3)

= e x - x 4 + x In x - x + C, d on d e C = Cx + C2 + C3En lo que sigue solamente usarem os una constante n ica de integracin para la sum a de 2 o m s funciones.


S i conocem os f ' ( x ) , por la observacin 2-iii se deduce que

j f ' ( x ) d x = f ( x ) + C J d ( f ( x ) ) = f { x ) + C

Esta integral se denom ina integral inmediata. Po r ejemplo, una integral inmediata es / d x = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas, que contiene, adems de las integrales de funciones elementales, otras que sern de m ucha utilidad. Po r comodidad, en lugar de la variable x usarem os la letra u. M s adelante, verem os que u puede ser una funcin, es decir, u = u (% ).

F R M U L A S E L E M E N T A L E S D E I N T E G R A C I N

1. J du = u + C 2. j = ln|u| + C

f un+1 f3. undu = ---------------- + C ,n 1 4. e udu = e + C

J n + 1 J

f ciu f5. \ a udu = --------b C 6 . | sen u du = - c o su + C

J ln a J

7. J eos u d u = sen u + C 8 . j tan u d u = ln[sec u| + C

9. J c o tu d u = njsen u + C 1 0 . J secu du ln|secu + tan u| + C

/ ese u du = ln|csci coti| + C 12. J sec2u du = tan u + C13. J csc2u du = cot u + C 14. J se cu tan u du = se cu 4- C

15. J ese u cot u du = ese u + C 16. J senh u du = cosh u + C

17. j cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = tanh u + C 2 0 . J cschJu du = - c o th u + C

2 1 . J s e c h u tpnh u d u = se ch u + C

2 2 . J c sc h u coth u d u = c o sh u + C

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 I N T E G R A L E S IN M E D IA T A S


h h

du+ u- a

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

1 Uarctan + C , (a > 0)

1 u a= ln2a u + a

1 u + a= ln2a u - a

+ C , (a > 0)

+ C , (a > 0)

26f du u

= = = arcsen - + C , (a > 0)

-a rc se c ------1- C , (a > 0)a

29

30

a r c s e n - + C , (a > 0 ) a j

f du i ,-----------127. I - p = = In u + V u 2 a 2 + C

v u 2 a 2

r du 128. ;..= -

J u v u 2 a 2 a

. J yja2 u 2du = juVa 2 - u 2 + a

j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln (u + J u 2 + a 2)j 4- C

31. J yju2 - a 2du = - [u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2j] + C

Cada una de stas frm ulas se pueden verificar mediante la derivacin (respecto a la variable u).

Por ejemplo, en el caso de la frm ula 24 se tiene:

dd / 1 iu ai\ 1du \ 2 a n lu + aU 2a (ln|u - a \ - ln|u + a|)L UU

1 1 1 1 2a u - a u + a

P o r tantof du 1 iu - a i

I ^ ------ j = t;ln --------- + CJ u '- a 2 2a lu + a l

En el caso de la frm ula 18, se tiene:

d s e n h u ( In co sh u|) = .?= tanh u du co sh u

De lo a n te r io r se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.


Ejem plo 6 . Calcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )du.

SolucinU sando las frm ulas de integracin, tenemos

J (6x 4 - x 2 + 3 ) d u = J 6x 4dx - J x 2d x + J 3dx

= 6 J x 4dx - J x zd x + 3 J dx6 x 3

= - x 5 - + 3x + C

Ejem plo 7. Calcule J (v 2 \ [x)2dx.

Solucin

C om o (V 2 V * ) 2 = (2 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene

j (V2 - yfx)2dx = 2 J dx - 2V 2 J x 1/2dx + J xdx

r3/2 y 2= 2 _ 2 V 2 _ + y + C

= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C

f 3 x 5 6x 2 + yfxEjem plo 8. Halle I ------------------- ---- dx.

J x 6SolucinD iv id iendo trmino a trm ino el integrando y aplicando las propiedades de la integral, se tiene

f 3 x s - 6 x 2 + t J x f f dx fI ---------- --------------dx = 3 I x dx - 6 I ------ - x s/2dx

2- x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C

En los ejemplos anteriores, el mtodo para hallar las integrales consisti en tratar de descom poner el integrando como la sum a algebraica de varias funciones y luego aplicar las propiedades enunciadas en la p roposicin 2. Este mtodo es llamado "m todo de integracin por descomposicin. E n ciertas funciones, descom poner la funcin en sum as parciales no es tarea fcil, pues depende de la experiencia, habilidad y prctica del que calcula.

INTEGRAL INDEFINIDA


/TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

dxEjem plo 9. Calcule ,

J se nh 2x co sh -x So lu c in

1 co sh2x - senh2xComo --------- = -------------------- = csch^x - sech2x, entonces

s e n r rx co sh -x senh2x cosh^x

/ se n h 2x c o sh 2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~ COth X tanh x + C

r x 2 + 2Ejem plo 10 . Encuentre --------dx.

J x 2(x 2 + 4)So lu c in

Expresando el num erador del integrando en trminos de los factores del denominador, resulta

2 1 + 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ]

Ahora, escribim os la integral como la sum a de dos integrales (haciendo las sim plificaciones en cada integrando) y obtenemos

* + 2 l f i ! + ( i 2 + 4 ) i r d x 1 r dxJ x 2( x 2 + 4 ) X ~ 2 j x 2( x 2 + 4 ) 2 J x 2"+~4 + 2 J x 2^

1 rl 1~ 2 l2

i ri x : arctan - + 2

1 X 1- a r c ta n - - + C4 2 2x

x 2 5Ejem plo 11 . Halle / = dx

J x 2( x 2 - 9)Solucin

Procediendo del m ism o m odo que en el ejemplo anterior, resulta

x 2 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -X 29 9 9

_ f * 2 + | ( * 2 - 9 ) 4 r dx 5 r dxJ x 2( x z - 9 ) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2

4 1= 9 ' ln

x + 3x 3

5 2 ix + 3| 5~ 9 x + ~ 2 7ln L 31 ~ 9 x + C


INTEGRAL INDEFINIDA

3 dxJ x 2( x 2 + 5)

So lu c in

Usando el m ism o procedim iento de los ejemplos anteriores, se obtiene

3 3 33 = - (x 2 + 5 x 2) = (x 2 + 5) - - x 2 . Luego,

3 , 7 . , . , , 3 2 j

Ejemplo 12. Halle

_ r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 d x ^ 3 r d x 3 r J x 2( x 2 + 5 ) 5 J x 2 5 J x 2 + 5

3 xarctan + C

5x 5 V 5 V 5

Ejem plo 13. Sea /: R -> K una funcin continua en E tal que

m =2 y = * e\ e x, x > 1

Determ ine f ( x ) .

Solucin( - 1, oo < x < 0 f - x + Cu x < 0

/ '( x ) = | 1 . 0 < x < l => f ( x ) = I x + C2 , 0 < x < 1l e * , x > l l e * + C3 , x > l

D e la continuidad de / en E, se tiene

0 / (O ) - l*m / ( x ) = m / ( x ) 1 + C2 = e + C3 ( 2 )

Reso lv iendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: = 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.

- x + 2 , x < 0P o r tanto, / ( x ) = | x + 2 , 0 < x < 1

le* + e - 3 , x > 1

Observacin 3. Una identidad til en el proceso de integracin es

1 1a2 - u2 2a a u a -r u



f dxEjem plo 14 . Calcule I

SolucinU sando la identidad de la observacin 3, se tiene

( d x _ 1 f r 1 1J x 4 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~~}

111 * 1- a rc ta n + ln6 LV3 V3 2V3

x 2 + 13

dx

+ V 3

- V 3+ C

f x + 13Ejem plo 15 . Encuentre - -- dx.

J V F T 9SolucinTrabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene

f x 2 + 13 , f ( x 2 + 9 ) + 4 f r------ f dx. d x = dx = \ y jx 2 + 9 dx + 4 1

J V x 2 + 9 J V x 2 + 9 J J V * 2 + 9

= - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + y j x 2 + 9 )] + 4 ln (x + j x 2 + 9 ) + C

= 2 [ W * 2 + 9 + 17 ln (x + J x 2 + 9 )] + C

1.4 M TO D O S D E IN TEG R A C I N

Antes de presentar los mtodos de integracin por sustitucin o cam bio de variable y por partes, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las operaciones de derivacin y de integracin. Dada una funcin elemental (funcin que se obtiene mediante un nmero finito de operaciones de suma, resta, multiplicacin, d iv isin y com posic in de funciones de las funciones: constante, potencia ( y - x a ), exponencial ( y = a x), logartm ica ( y = lo g a x), trigonomtricas y trigonom tricas inversas), su derivada mantiene la m ism a estructura, es decir, tambin se expresa com o una funcin elemental, m ientras que en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones m uy especiales.

Por ejemplo, las integrales sim ples com o

l ^ i x . f e * d x .

J V i + x 3 d x , J ser(x2) d x , j c o s ( x 2) dx

no pueden ser expresadas en trm inos de com binaciones finitas de funciones elementales.


INTEGRAL INDEFINIDA

Del punto de vista prctico, la integracin se presenta como una operacin ms com plicada que la derivacin, pues sta tiene reglas generales de derivacin; mientras que para la integracin es posible hacer artificios que son v lidos para clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una tentativa, por lo que se recom ienda prctica, ms prctica y ms prctica.

1.4.1 I N T E G R A C I N P O R S U S T IT U C I N O C A M B I O D E V A R I A B L E

Para hallar la integral indefinida por este mtodo, d iv id im os nuestro an lisis en dos partes: reconocim iento del m odelo y cam bio de variable.

En el reconocim iento del m odelo realizamos la sustitucin mentalmente, mientras que en cam bio de variable escribim os los pasos de la sustitucin.

E l procedim iento de sustitucin en la integracin es comparable con la regla de la cadena en la derivacin. Recuerde que para funciones derivables y = f { u ) y u = g ( x ) , la regla de la cadena establece

S i hacem os la sustitucin u = g ( x ) , entonces a partir de la defin icin de la integral definida tenemos

A s, hem os probado la siguiente proposicin:

]P ro p o s ic i n 3. S i y = f ( u ) es una funcin derivable de u, u = g ( x ) es una i funcin derivable de x y F es una antiderivada de /, entonces |

J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx = F ( g (x ) ) + C (Reconocim iento del m odelo)

S i hacemos el cam bio de variable u = g ( x ) , entonces du = g ' ( x ) d x . Luego,

d

J f ' { g ( x ) ) g ' ( x ) d x = f { g ( x ) ) + C = f ( u ) + C

J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = J f ( u ) d u = F ( u ) + C

Ejem plo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx.

Solucin

Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 dx . Luego,

II www.FreeLibros.com

TOPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

X 4Ejem plo 17 . Halle la integral I - d x .J Vx5 + 1

Solucin

S i t = x 5 + 1 , se tiene d t = 5x 4d x . Entonces

f x 4 , 1 f 5x 4dx i r ,,, 1 7 T 'f - dx = r Tr , = c f d t = - - - t 6/7 + C

J Vx5 + 1 5 J Vx5 + 1 5 J 5 6

= 7 ( * 5 + i ) 6 + c

r SexdxEjem plo 18 . Calcule la integral J - ^ = = = = .

Solucin

S i u = e x , se tiene du = e * d x . Luego, se obtiene

f S e xdx f du...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C

J Vi - e 2* J V l ^ 2

f s e n h x c o s h xEjem plo 19 . Calcule I = ---------- - dx.

J (1 + senh 2x ) 5Solucin

S i consideram os u = 1 + se n h 2x , se tiene d u = 2 senh x co sh x d x . Luego,

f ? du 1 1 u4 1/ - J - ^ - 2 j U d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C

f a rc senV x dx Ejem plo 20 . Halle I = = .

/ V x X 2Solucin

r- . ' 1 d x d xSi se hace u = a r c s e n V x , se tiene du = ------- = = ..... . Por tanto,

V T ^ x 2V x 2V x - x 2

r arcsenVx dx f 2J = J 2u d u = u + C = [arcsenVx] + C

= arcsen2 Vx + C

Observacin 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el integrando para que el cambio de variable sea ms fci l de realizar.


INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 21. Calcule I I 2 + J2 + J 2 + 2cos (5\/x + 4 ) x 1/ 2dx.Solucin

En el integrando, aplicam os la identidad trigonomtrica

9 1 + eos 9eos = ------

2 2

Q 1 + eos 0 = 2 e o s2

- 1 = 2 + 2 + |2 [ l + eos (5V3c + 4 )] x i /2dx

- i . ! 2 + 12 + 2 cos 5-^ + 4 x~1/ 2dx = J 2 + 2 eos5 V * 4- 4 1/2dx

5 V x + 4 5 _ . 16Si u = ----- -, entonces du = ~x ,dx du = x ' d x . Luego,

8 16 5

32 f 3 2 32 / 5 V x + 4 \/ = I eos u du = sen u + C = sen I ----- g | + C

Ejem plo 2 2 . Halle / = J x dxe3* ( l - x ) 4

Solucin

Luego de expresar el denom inador en una sola potencia, tenemos

x e x d x C x e x dxf x e d x r xe = J e 4x( l x ) 4 = J ( e x .e 4x( l x ) 4 J ( e x - x e x) 4

Lucho, hacemos u = e x x e x . Entonces du = x e xdx *=> du = x e xdx

l)c esiii manera, se obtiene:

/ f du _ 1J u4 3u 3 + C = 3 e 3* ( l - x ) 3

+ C



E jem plo 23. Calcule / = J(x 2 - 1)dx

(.x 2 + l ) V x 4 + 1 SolucinD iv id iendo el numerador y el denom inador entre x 2 , se tiene

, = f f t 1 ~ x 1) d x

Si u = x + - , entonces du = ( l -----t ) dxx \ x 2)

V u2 = x 2 + + 2 ^ u 2 2 = x 2 + . Por tanto, se obtiene x 2 x-

r du 1 |u| 1 ( x 2 + 1I = ...... = aresee + C = aresee

J x W u 2 2 V 2 V 2 V 2 \ V 2 |x|

f x + 2Ejem plo 24 . Calcule / = I -------- ^ .x.

J (X i-JSolucinS i hacemos u = x 2 , se tiene du = dx . Luego,

/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u -4)du

u 2 4 , 3 x + 2

= - " 3 +C = - ^ 2 F +C

r x ixEjem plo 25. Calcule / = | f = .

Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3SolucinLa integral puede escribirse com o

x d x f x d x/1 + x z + V ( l + x 2) 3 V l + W l + V l + x 2

,--------- x d xSi consideram os i = 1 + V x 2 + 1< entonces d u = . Luego,

V x 2 + 1

/ = J = J u /2du = 2 V + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C


Ejem plo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx.So lu c inSi se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x

/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2u du = j (2 u4 - 8 u 2)d u

INTEGRAL INDEFINIDA

2u du . Por consiguiente,

(x + 4 ) 3/215

( 6 x - 1 6 ) + C

E J E R C I C I O S

J 4 x ( x + 1 ) d x

4 d x

V x ^ d x

/?. - x 3/2 + 3 x + C

R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C

/?. 4 arcsen + CV6

x ( x 2 8 )

7 x 2 + 16 x 4 + 4 x 2

18 d x

9 x z - x 4

3 d x

x 2 + 4 x - 5

4 dx

V 4 x 2 2 0 x 9

J V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 d x

1

* ~ 16ln x 2 - 8 + C

3 x 4/?. - a r c t a n ---------- 1- C

2 2 x

/?. 2 1 inx 3

\\nx - 1x + 5

x + 3

+ C

+ C

2 x + 5 R. 2 a r c s e n ------------ i- C

R. (2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rcsen2 x + 3

+ C

10.

I I.

2X3X-dx (D'E^ s)-3 /6 ' * 25

scn h x d x

(1 + co sh x ) 3

dx

c o s 2( l - 4 x )

R. - + C2 (1 + c o s h x ) :

R. - - t a n ( l 4 x ) + C 4


TONICOS Dii C LC U LO - V O LU M LN II

13. J cos(7x + 4 ) d x

14. J c l'2x~r,) d x

15. J (lnX + l ) e x l nxdx

16.dx

x ln2x

f dx17. ---------

J x ln x

18. J 4 xe x dx

dx19.

20./ sen2x V c o t x - 1 tan2xsen x ec o s Jx

ev*3e2'. I

I dx23.

(1 4- x 2) ln(x 4- Vi + x 2)

arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 11 -f X 2

1R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C

R. - e i2x- ^ 4- C

R. x x + C

R. --------b CIn x

R. ln I In x I 4- C

( 4 e ) xR. ------ ~ + C

1 4- In 43

R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C

R. - e ta,>2* 4- C

2 ( 3 e )R. t ~ T ~ + c In 3

R- 2 J l n ( x 4- -J1 4- x 2) 4- C

dx

R e arctanx 4- ln (x 2 4- 1) 4- arctan x 4- C4

24,

25

26

J i

I /

sen x

dx

dx R. sen x 4- *+ C

1 4- co s lO x

dx

R. tan 5 x 4- C

V 2 x 4- 1 - yjx

R. 2 ( V 2x 4- 1 4- V x ) 2 [a rc ta n V 2 x 4- 1 4- a rc ta n V x ] 4- C

^ f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j27. -------- ---------------- dx

J 1 - x R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4-C


28. J x 2x( \nx + 1 )dx

' V2 + x 2 V2 x 2

x 2xR . + C

INTEGRAL INDEFINIDA

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

f / V ^ T

h

V 4 x 4 dx

-dx

+ sen x

x - a rctan 2x+ 4 x 2

ln ( ln x )

dx

f ln ( ln x j

J x l n x

Idx

2X 4- 3

dx V e * - 1

x c o s x

/f sen x

J

/

V2 - se n 4x dx

4 + 5 c o s 2x

dx4 + 5 se n 2x

dx

-.dx

ex + 4 In 3 x

x In 5 xd x

ln (x + V x 2 + 1)

/

i

/

/ v r

43. j V l + c o s x dx

. J .

1 + x2

+ se n x d x

d x

* arcsenf t ) - senl" ' + c

/?. - [ (x + l ) 3/2 (x - l ) 3/2] + C

R. tan x - s e c x + C

1 1/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2( 2 x ) + Co Z

1R. - l n 2( l n x ) + C

R. - x - ^ K 2^ 3) + c

R. 2 arctanVfc^ - 1 + C

R. - a r c s e n _2 \ V2 + C

1 ( 2 tan x \R. - a r c t a n ) - ) + C

R.1

(L tan x \

A 3 J( 2 cot xV 3 )arctan ( = | + C

1R. - - l n ( l + 4e x) + C

R. In ln| ln5x| + l n x + C

R. - [ ln (x + V x 2 + 1 )] + C

R. 2 V l sen x + C

e x + e x

R. 2 V l - c o s x + C

R. a rc ta n (e *) + C


y f W -


d x 4f dx 445' ~ r = = /? ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 )1/2 + C

J vvx + 1

4 8 . I j;Z se n l ' fsenx + x ros r In r i d r , x 2 senx + ^2 '

f arctanVx J v + + x * d x R tarctan^ r + C*n ( x - 2 ) , _ _ f y f x 2 - X + l \

' j * 2 arcse" (----- ----- ) + c

3. j x2senx~i(senx + x cosx In x)dx

' ~ i------ ------ R. J l n x + V l n x + ... + Ce lr,(2x)4 in x + V l n x + ... + o o x

f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10J eos 5x + 5 eos 3 x + 10 c o s x dX R - 2 s e n x + C

f sen 8 x d x 1 / 'sen2 4x \5L I 9 + senHx R' J^arctan ( 3 j + C

f c o s 2x ( t a n 2x + 1) 152. ---------- ----------- dx R --------------------- 1- r

J (sen x + c o s x ) 2 1 + tan x

4 9 .

f I s e c x - tan xb3 J J s e c x + t a n x d* R' >n|secx + tan x | - ln(secx) + C54. J c s c 3x d x R. - - [ e s c x c o t x 4- ln|csc x - cotx|J + C

55. J s e c 3x d x R. - [ ln lse c x + tan x| + s e c x tan x ] + C

f e 2x 25 6 ' J 4 t+ ~ * dX fi- - ( e - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C

r V ^ T e arctan * + ln f ( l + x 2)'x2eX- x2] + V ^ = T57. I ---------------- *-------------dx

J \l 1 4- y -^\!p x 4- y2pX v2 1

R. earctan* + ^ ln 2 ( l + x 2) + arc tanx + C4

q s f x d x n 1J ( x - l ) 5e 4x R ~ 4 (x l ) 4e 4Ar + C


2ex + e x 59- 1 3^ - ^ dx

I n x dx x 3 ( l n x l ) 3

4 dx

60

61

/

/

f ---------- =J cos x v l -

INTEGRAL INDEFINIDA

fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C

1R. -

2 x 2( ln x - l ) 2+ C

se n 2x + 2 c o s2x _____________________R. 4 ln [(tan x 1) + V t a n 2x - 2 tan x + 3] + C

62. J (4 3 l n x ) 4 d ( l n x )

f e * V e * + 2 J ex + 6

x 5 d x

63 dx

/

J

x 3 - 8

. 1 + tan x65. | -------- d x

sen 2x

/?. - ( 4 - 3 1 n x ) s + C

Ve* + 2fi. 2 V e * + 2 - 4 a rc ta n ----- -------- h C

x3 8 f. Y + - l n | x 3 - 8 | + C

/?. - ln | c s c 2 x - cot 2x\ + tan x + C

6 6 . U n a funcin /: R -

o ) = - f y / ' W = l2 + 1

es continua en E y satisface: x + |1 - x|

Halle f ( x ) .

x < 1R. / W = arctan* - 2 '(. l n ( x 2 + 1 ) - arctan x - In 2 , x > 1

67. H alle la ecuac in de la cu rva para el cual y " = y que es tangente a lax2

recta 2 x + y = 5 en el p un to (1; 3 ) R. y = + 1

6 8 . Halle la ecuacin de la curva cuya tangente en el punto (0; 2 ) es horizontal y/ 10 \

tiene punto de in fle x in en ( 1 ; "g - ) y y " ; = 4.

2 vR. y = - x 3 + 2 x 2 + 2

x 2 + V i + x69. E n cuen tre la an t id e r iv a d a de / ( x ) = j--- , de m od o que d icha

an tide r ivada pase p o r P ^0;

VTTx7 0 9 \

2 80/, r3 , 6 3 6 _______

R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x L8 5 L 1 + 1


Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de la diferencial del producto, se tiene

d ( u v ) = u d v + vd u Podem os reescribir la expresin como

u d v = d ( u v ) - vd u

Integrando am bos lados de la igualdad se obtiene la frm ula

J u d v = u v j vduEsta frm ula es conocida com o frmula de integracin por partes.

Observacin 5. La idea bsica de la integracin por partes consiste en calcular la integral original mediante el clculo de otra integral, la cual se espera que sea ms simple de resolver que la integral original dada.

Para descomponer el elemento de integracin en dos factores u y dv, normalmente se elige como la funcin u aquella parte del integrando que se simplifica con la derivacin y d v ser el factor restante del elemento de integracin. Esta no es una regla general, pues en la prctica la habil idad y la experiencia del que calcula son las mejores herramientas.

Observacin 6. Cuando se determina la funcin v a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integracin, pues si en lugar de v se considera v + C, C constante, entonces

j u d v = u ( v + C) - j ( v + C)du = u v - J v duEsto significa que la constante C considerada no f igura en el resultado final.

E jem p lo 2 7 . Calcu le j ln x dx.Solucin

De acuerdo con la sugerencia dada en la observacin .2, e legim os1

u = l n x = > du = - dx x

d v = dx = s v = J dx = x (no se considera la constante de integracin) Por la frm ula de integracin por partes, se obtiene

, f x dxJ ln x d x = x ln x - I - x \ n x - x + C


1.4.2 M T O D O DE IN T E G R A C I N P O R PAR TES


Ejem plo 2 8 . Calcule I = J (x 2 + 3x - 1 ) e Zxdx.SolucinEscogem os

u = x 2 + 3x 1 = > du = (2 x + 3 )d x

\ d v _ g 2x^x ^ v J e 2xdx = e 2x

Luego, obtenemos

/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x - J ( * + 2 )En la ltima integral (m s sim ple que la original) aplicam os nuevamente la integracin por partes con

( 3u = x + - = $ d u = dx

d v = e 2xd x = * v = - e 2x2

INTEGRAL INDEFINIDA

Por lo tanto,

/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x

02x= ( x 2 + 2x - 2 ) + C

Ejem plo 2 9 . Calcule / = J e ax cosbx dx.

SolucinEscogem os

d u = a e ax dx 1

d v = eos bx d x = > v = 7- sen 6x b

Entonces,

1/ = - e a* sen 6 x

b ~ e axsen bx dx = - sen bx b e axsen bx dxIntegrando nuevam ente p o r partes en | e ax sen bx d x , escogem os

C u = e ax = > d u = a e ax dx

/'

|d y = se n bx dx =* v = co sb x


^ = ~b e

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejem pia 31- Calcule J x arctan x dx.So lu c i n

E scogem osdx

u = arctan x => du

1 f x 2 dx/ = \ x arctan x dx = arctan x

2 2 J 1 + x 2x 2 d x 'f x d x

Para ca lcu la r la in tegra l ------- r , se efecta la d iv is i n y se tiene:J 1 + r

, = T araan)I l / ( i - r ^ ) * rX 2 1 ( x 2 + 1) 1

= arctan x - - ( x - a rctan x) + C = ----- ------ arctan x - - x + C L> * Lt

f c o s x + x sen x 1 E je m p lo 32. Calcule / = J ----- ^ x ^ 2

c o sx + x sen x 32. Calcule / = j

So lu c inUtilizando la identidad se n 2* + c o s2x = 1, escrib im os la integral com o

f c o s x + x sen x - se n 2x - c o s2x = J (se n x - x ) 2f - c o s x ( c o s x - 1) - sen x ( se n x - x)

1 I ---------------^ ^

/

(se n x - x ) 2 c o s x ( c o s x 1) f sen x dxf - c o s x ( c o s x - 1) f

J (sen x - x ) 2 J (sen x - x)I

Para la integral J, aplicam os la integracin por partes con

u = eos x => du = sen x dx( c o s x - 1 )dx ^ _ 1

dV ~ ( se n x - x ) 2 ^ v ~ ( Sen x - x )Luego,

c o s x " f s e n x d x f s e n x d x / = --------- +

f sen x d x fJ ( s e n x - x ) Jsen x - x J (se n x - x ) J ( se n x - x )

Por lo tanto,cosx

/ = -------------- + Csen x - x

www.FreeLibros.com

Ejem plo 3 3 . Calcule / = J dx.Solucin

Separando la integral en la sum a de dos integrales, se tiene

I = J ~ d x + J e x \n x d x

Para la integral / , hacem os j u ~ ^ n x = > d u =

vdi? = e x d x =$ v e xA s,

1 = j ~xdx + \eX]nx ~ I ~^ dx\ = e * l n * + cr ^.garctan*

Ejem plo 3 4 . Calcule / = -----------------dx.J (1 + x 2)3/2 ux

Solucing arc tan x

Como la integral de ^ 2 es inmediata, elegimos

g arc tan xd v = - ..2 d x

1 + x 2


Luego, tenemos

x e ar d u = e sen * eos x d x, sen * . 1 re su lta

d v = a * = * v = -------co s^ x c o s x

l2 = ----------- [ e senx d x = e senx sec x - [ e senx dxc o s x J J


v3


E JE R C IC IO S

Calcule las siguientes integrales indefinidas.

1. J x 2 l n x dx

2. J (7 + x 3 x z ) e~ x dx

3. J x se c2x dx

4. J a rc se n (2 x)dx

_ f l n x* J ^6 . J ln (x + V i + x 2) dx

7. j eos ( l n x ) dx8 . J s e n ( l n x ) d x

9. J x a rc ta n 2x dx

R. (3 l n x 1) + C

. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C

f. a : ta n x + ln|eosx| + C

V i - 4 x 2 /?. x a resen 2x h------------------ 1- c

1 + 2 l n x- --------1- C4 x 2

R. x ln (x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C

XR. - [ s e n ( l n x ) + eos ( ln x ) ] + i '

/?. - [ s e n ( l n x ) eos ( ln x ) ] + C

R- 2 [(*2 + l) a r c ta n 2x - 2x arctan x + l n ( x 2 + 1)] + C

10 / a rc se n 2x d x

ii.

fx,n(hr)L ,J i r r n c v c o n v V

f J (x + i y

R. x aresen2* + 2 VI - x 2 aresen x - 2x + C

R. ln x |ln (lnx) - 1| + C

x 2 + 1 ( X 1

x 2 dx ( x c o s x - sen x ) 2

( x 2 + l ) e x

R.

R.

R.

- ln ( )Vx + 1/

sen x ( e o s x - sen x )

2x e x

x + C

eot x + C

x + 1e x + C


INTEGRAL INDEFINIDA

15.

16.

17.

18.

19.

2 0 .

2 1 .

22 .

23 .

24.

25 .

27.

2H.

x e*( 1 + x ) 2

dx R. ----------+ e x + C1 + xx e

_ 1 ^x a rctan y j x 2 l d x R. - x 2 a rc ta n V * 2 - 1 - 1 + C

(1 - x 2) 3/2

arctan *

d xarcsen x 1 /?. + ln

-dx R.

V i - x 2 2

arctan x

1 - x+ C

1 + x

+ In|x| l n i / l + x 2 + C

es c 5x d x R.

X ( X + 1 \

V i X 2

e 2*c o s ( e * ) d x

e a* s e n x d x

- c s c 3x c o tx - - ( e s e x c o tx + ln|cscx + co tx| )j + C

R. Vi - x 2 ln f------ + 2 a rc se n x + CVx + 1 /

/?. e*sen(e*) + cos(e*) + C

[a sen bx b co s b x J + C

a rc ta n (V x + 1) d x

ln (V x + V i + x ) dx

se n 2( I n x ) dx

a 2 + b 2

R. (x + 2 )a rc ta n V x + 1 - V x + 1 + C

R. {x + ln (V x + V x + 1) ~ V x 2 + x + C

R. x se n 2 ( ln x ) - - [x se n (2 ln x ) - 2 x eos (2 In x ) ] + C

^gS en x C 0 S 4 X _ ^

C O SJXd x

R. e sen x - - [see x tan x + ln | secx + tan x |] + C

( x 2 - se n 2x )-dx R. x ( c s c x - c o t x ) + C

x - sen x eos x + x eos x - sen x

(a rcco s x - ln x) d x R. x rceos x - V 1 - x 2 x ( In x - 1) + C


29. S i / (x ) = a / ( x ) y g " ( x ) = b g(x), donde a y b son constantes, hallar la integral:


j f M g " ( x ) dx

/30. I 4 x 3 a rc sen dx

x a rctan x 31. I ~~7Z-----T^rdx-P I

35. I

(1 + x 2) 4

x 4 x a rctan x32. | ------- dx(1 + x2)2

, a rc se n V x33. | ------ dx

V x

, 1 /x

dx

.. r x 2se c 2x37. I -------------------^~z^dx

J (tan x - x sei

> /

^ 2cai.2,

(tan x - x se c 2x ) 2 '

1dx

arcsen 39 1 ---------- *x3

41. j arctan^ jVx - 1 dx

43. / senh" J r -d x

(e 2* - x 2) ( x - 1)45. J -------- d x

x 2ex

se n x + 1(x + c o s x ) 2

a ln (x + a + V x 2 + 2 a x ) (x + a ) 2

a + b l f ( x )g ' ( x ) - f ' ( x ) g ( x ) } + C

-yx 2 - 1 + c

/34. eos x e x dx

36.

38.

:eos x d xJ x e x i J x a rctan V x 2 - 1 d x

/

/

c o sh 2x d x

(x senh x - c o s h x ) 2

ln (2 + Vx)42. | ' ' ' dx

Vx

44. I (x sen x + eos x ) ( x 2 - c o s2x ) d x

f x c o s x

J (x -

/

f J - = = [ l n ( l + X ) * - ln ( l - x ) * ]

46. J co sh 3 x eos 2 x dx

* 5 / l+ * \48. I : In ( --------Jd xJ V I - x 2 Vi - x /

d x


1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinom io cuadrado de la form a: /

d x f dxI

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 T C N IC A S D E IN T E G R A C I N

I. 5 --------- II. J p x 2 + qx + r J j rp x 2 + qx + r J j p x 2 + qx + r

n ] [ (ax + b)dx f ( ax 4- b)dxJ p x 2 + qx + r J J p x 2 + qx + r

En los casos ( I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinom io y aplicar las frm ulas que correspondan: (23), (24), (25) (26).

En los casos ( I I I ) y ( IV ) se usa el siguiente artificio:

a aqax + b = (2 px + q) + b2 p 2 p

La expresin 2 p x + q es la derivada del trinom io cuadrado. Entonces

(ax + b ) d x a f (2p x 4- q ) d x ( a q \ f dxr (ax 4- b)dx a C (2px + q)dx / aq\ fJ p x 2 + qx + r 2p j p x 2 + qx + r V 2 p) ) ;p x 2 + qx + r

a / a q \= ln [p x + qx + r| + I b - 1A

2 p V 2 p)

Por otro lado,

(ax + b ) d x a f ( 2px + q ) d x / a q \ f dxI' (ax + b) dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq ^ f J yjpx2 + qx + r J J p x 2 + qx + r ' 2p / J J p x 2 + qx + :

a / -^-------- ( acl\= - V p x 2 4- qx + r 4- \ b - j B

p \ 2 p)

I ,as integrales (4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.

E jem p lo 37. Calcule las siguientes integrales:

3 d x f dxf 3 d x fJ 4 x z 4- 4x - 3 J x 2 - 2x 4- 10f 2 dx 5 dx

J \ l x 2 4- 6x 4- 18 ^ i V x 2 8x 12So lu c inCom pletando el cuadrado en cada trinom io y aplicando las frm ulas de m ig ra c in , tenemos


f 3 dx 3 r J 4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J


2 x - l 3 dx 3 f 2 dx 3= l^n(2x + l ) 2 - 4 2x + 3

+ C

f dx f dx 1 ( x - l \) J x 2 - 2x + 10 J ( x - l ) 2 + 9 3 arCtan( _ 3~ J + C

( 2 dx r dx , ,--------------------,c) 7 f . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6x + 18 + CJ V x 2 + 6x + 18 J J ( x + 3 ) 2 + 9 L J f 5 d x r d x /x + 4 \

d) I 7 ' 0 ~ = 5 = = 5 arcsen ( - ) + Ci V - x 2 - 8x 12 J ^ 4 - (x + 4 ) 2 v 2 )

E je m p lo 38. Calcule las siguientes integrales:

f (3 x - 5 )d x r (1 - 4 x )d x

J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1c) 2 ~ i x d ) ( - ( i i i W

J V x 2 + lO x + 21 J x ( x + 3)So lu c in

Com pletando cuadrado en cada trinom io y usando el artificio indicado, se tiene

3 3a) 3 x 5 = (2 x + 6 ) 9 5 = (2 x + 6 ) 14. Entonces

f (3 x 5 )dx _ 3 r (2 x + 6 )d x f dxJ x 2 + 6x + 18 2 J x 2 + 6x + 18 1 4 J ( x + 3 ) 2 + 9

3 , / , 14 /x + 3 \= 2 (x + 6x + 18 ) arctan - J + C

4 4 2 7b) 1 4 x = (1 8 x + 6 ) + l + = - (1 8 x + 6 ) + . Luego,

f Cl ~ 4 x )d x _ _ 2 [ (1 8 x + 6 )d x ^ 7 1 f 3 dx J V 9 x 2 + 6 x - 3 9 J V 9 x 2 + 6x - 3 + 3 3 J y/ ( 3x + l ) 2 - 4

4 : 7 ----------------------------------------------------

= - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n 3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C y y i i1 1

c) 2 x = (2 x + 10) + 2 + 5 = - (2 x + 10 ) + 7. Entonces

(2 - x )d x 1 f (2x + 10 )d x f dxf __ ( 2 x)dx _ i r (2x + 10)dx fJ Vx2 + lO x + 21 ~ 2 j Vx2 + lO x + 21 + 7 i 'V x 2 + lO x + 21 J V ( x + 5 )2 - 4

= - V x 2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 10x + 2 l| + C


d)

INTEGRAL INDEFINIDA

(4 4- 5x ) 5 f 2x 4- 3 7 f dxf (4 4- 5 x ) 5 f 2x 4- 3 7 fJ x (x + 3 ) dX 2 j x 2 + 3 x dX 2 J 3V 9

\ x + 2) 4

5 7 i x= - ln | x 2 + 3x\ - l n

2 6 I * 4- 3 '

E je m p lo 39. Ca lcu le las siguientes integrales:

^ f ( 3 e 2x - 4 e x) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^J V 4 e * e x 3 J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)

So lu c in

a) I( 3 e 2x - 4 e x) f (3ex - 4 )e *d x

v '4 e * - e * - 3 J V 4 e * - e 2* - 3

S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . Luego,

f ( 3 1 - 4 ) d t 3 f (4 - 2 t ) d t f d tl =

j- ( 3 1 - 4 ) d t _ 3 I" (4 2 t ) d t + ^ [ d tJ V 4 t - t 2 - 3 2 j V 4 t - t 2 - 3 J yjl - (t - 2 ) 2

= - 3 V 4 - t 2 3 + 2 arcsen(t 2) + C

= 3yj4ex e 2* 3 4- 2 a rcsen (e * 2) 4- C

r (senh x + 3 cosh x ) dx ^ ^ J c o s h x (6 se nh 2x 4 -senh 2x 4 -5)

= /:(senh x + 3 c o sh x ) dx

cosh x (6 se n h 2x 4- 2 senh x cosh x 4- 5)

D iv id iendo num erador y denom inador entre c o sh 3x , se tiene

J= J

(tanh x 4- 3) sech2x dx6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 sech2x

(tanh x 4- 3) sech2x dxJ 6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 (1 tanh2x )

A h o ra bien, si t = tanh x , entonces d t = se ch 2x dx. Po r consiguiente.

r (t 4- 3) d t _ 1 f (2t + 2) d t n f d t1 ~ J t 2 + 2 t+ 5 ~ 2J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4

1 , , /tanh x + 1\- ln | ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C


Recordem os las siguientes identidades:

1. sen2u + cos2u = 1 2. sec2u _ tan2u = 13. csc2u - cot2u = 1 4 sen2u _ 1 ~ cos 2u

2r , 1 + cos 2 u5. cos2u = -------------------- 6 cosh2u _ senh2u = 17. sech2u + tanh2u = 1 8. coth2u _ csch2u = 1

9. senh2u = ~ 1 10 cosh2u = cosh 2 u + l 2

Estas identidades son m uy importantes en los artificios para resolver ciertos tipos de integrales de funciones trigonomtricas e hiperblicas.

TPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

! '52 rH IP E R B U C A ES ALGUNAS FUNCI NES T R IG O N O M TR IC A S

I. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J se nmx cosnx dx y j se n h mx e o sh n* dx.Se consideran 2 casos:

CASO 1: Uno de los exponentes m n e s un entero im par positivo.

0 S i m es impar positivo, se factoriza sen x dx (o se n h * d j ) y se expresa los senos o senos hiperblicos) restantes en funcin de cosenos (o cosenos h iperblicos) usando la identidad

se n 2* = 1 e o s2* ( se n h 2* = c o sh 2* - 1)

ii) S. n es impar positivo, se procede de manera sim ilar, es decir, se factoriza eos * dx (o co sh x dx) y se expresa los cosenos ( cosenos h iperblicos) restantes en funcin de senos (o senos h iperblicos) usando la identidad.

e o s2* = 1 - s e n 2* (o c o sh 2* = 1 + s e n h 2* )

Ejemplo 40 . Calcu le las integrales

a) I se n 3* eos4* dx b) J senh 5* V ^ i h 7 dx

Solucin

a) / = J se n 3* eos4* dx = J sen2* eos4* (sen * dx)= - cos2*)cos4* (sen * dx)

www.FreeLibros.com

INTEGRAL INDEFINIDA

E n la ltim a integral, hacem os u = eos x =* du = - s e n x d x . A s , se tiene

/ = J (1 - ii2) u 4 ( - d u ) = - f Cu4 - u6)d u = - y + y + C

(5 eos2* - 7) + Cco s5x

35

b) f se n h 5x V ^ i h l d x = J (co sh2x - l ) 2(cosh x ? ' 2 (senh x dx)

= J (co sh9/2x - 2 co sh 5/2x + co sh 1/zx )(se n h x dx)= J L c o s h 11/2x - ~ co sh7/2x + \ co sh3/2x + C

11 7 3

CASO 2 : Ambos exponentes m y n son pares y m ayores o iguales a cero.

En este caso, se usan las identidades:

1 - eos 2 x , 1 + eos 2 xse n 2x = -------^------- y C = -------2-------

/ eosh 2 x - 1 . , co sh 2 x + se n h 2x ------- ------ y co sh x = ----- - J

A l efectuar las operaciones, se obtienen trm inos que contienen potencias pares e impares de eos 2 x ( co sh 2 x ). L o s trm inos que tienen las potencias impares se integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s trm inos que tienen las potencias pares se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.

Ejemplo 41. Ca lcu le las integrales:

a) J se n h 4 3 x dx b) f se n 2x c o s4x d x

Solucin

a, f senh-3, r = / ( E S J p i ) 2 dx = i J (c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx

= 1 f ( < y l l _ 2 c0 sh 6 , + l ) d ,

= ^ | (cosh 1 2 x - 4 cosh 6x 4- 3 ) dx

= i f senh 1 2 x - ^ s e n h 6 x + 3 x ) + C 8 \12 3 >



. 2u f 4 , f / I - c o s 2 x \ /I 4-cos2x\b) J sen-x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32 x) dx

1 f / 14- cos4x\ 1 [- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen22 x)(cos 2x dx)

= J (j + C0S 2X ~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j

f f C0 t4X ,b) cot 5x d x = -------- ( c o t x c s c x d x )

J J CSC X

INTEGRAL INDEFINIDA

f (csc2x l ) 2= -------------------(cot x csc x dx)

J c scx

= - (csc3x - 2 c scx 4-------- ) ( - c o t x e scx dx )J cscx

c4x \--------csc2x + ln|cscx| I + k

f , ,--------- f tanh2xc) tanh3x v s e c h x d x = ,........: (tanh x sech x x a x )

J J V se c h x1 sech2xf 1 - se c rrx

= ^ = = _ (tanh x sech x dx)J V se c h x

= - J (sech~1/2x sech3/,2x ) ( tanh x sech x dx) = ^2V se c h x - s e c h 5/2x j + C

d) j coth5x csch3x d x = J coth4x csch2x(co th x c sc h x ) dx= J (1 + csch2x ) 2 csch x (coth x csch x d x )

= - J (c sch x + 2 csch3x + csch5x ) ( - c o t h x c sc h x d x )

n i i \= I - cschzx + - csch4x + - csch6x 1 + C

\2 2 6 /

CASO 2. Si n es un entero p ar positivo, se factoriza se c2x d x ( c sc 2x d x se ch2x d x c sch 2x d x ) y el resto de las secantes ( cosecantes secantes hiperblicas cosecantes hiperblicas) se transforman en trm inos de tan x ( c o tx tanh x coth x) usando la identidad se c 2x = 1 + ta n 2x ( c sc 2x = 1 + co t2x se ch 2x = 1 - tan h 2x c sch 2x = co th 2x - 1 ).

www.FreeLibros.com

c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6x d x

Solucin

a) j tan3/2x s ec4x d x = J tan3/2x s ec2x(sec2x dx)

= j tan3/2x ( l + tan2x ) ( se c 2x dx)

- J (tan3/

INTEGRAL INDEFINIDA

I I I . I N T E G R A L E S D E L A F O R M A :

J se n (mx) cos(nx) d x , J sen(mx)sen(nx)dx , J eos(mx) cos(nx) d x ,

J senh(mx) co sh (n x ) d x , J senh(mx)senh(nx)dx y j co sh (m x ) co sh (n x ) dx.Para calcular estas integrales se usan las frmulas:

1a) sen (mx) eos (nx) = - [sen (m - n)x + sen (m + n)x]

b) se n (m x )se n (n x ) = - [co s(m - n ) x - eos(m + n) x]

c) eos (mx) eos (nx) = - [cos(m - n) x 4- eos (m + n) x]

1d) se n h (m x ) co sh (n x ) = - [senh (m + n)x + senh (m - n)x]

1e) se n h (m x ) se n h (n x ) = - [co sh (m + n ) x eosh(m n )x ]

1f) co sh (m x) co sh (n x ) = [csh(m + n) x + eosh (m n)x]

E jem p lo 44. Calcule las siguientes integrales:

a) J sen 2x eos 3 x dx b) j eos 3 x eos 4x dxc) j senh d) J cosh 4 x senh x d xSo lu c in

a) J sen 2 x c o s 3 x dx = - J [sen (2 3 )x + se n (2 4- 3 )x ]d x

= 2 / ^ S6n ~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5-*" C S * ) +

b) J c o s 3 x c o s 4 x d x = - J [ c o s ( x ) 4-eos 7 x ]d x = - ^ s e n x 4-- s e n 7 x )

c) J senh 3 x senh 4 x d x = - J [ c o s h 7x c o sh x jd x

www.FreeLibros.com

d) J co sh 4 x se nh x d x = j [senh 5 * - senh 3 x ] d x1 / 1 1 \

= 2 \5 C S ~ 3 C0S 3 x ) + ^

E n este ejemplo, se han usado las identidades:

s e n h ( - u ) = - s e n h u , s e n ( - u ) = - s e n u

c o sh ( u ) = c o s h u , c o s ( - u ) = c o su

E je m p lo 45. Ca lcu le las integrales:

y i ~ . sen4* + eos4*a) I se n 3( 3 * ) t a n 3 * d * b) ------ ------------T-dx

J J sen2* eos2*f e o s * r

c) dx d) I eos3* sen 3* dxJ V'sen7 (2 *)eos* J

So lu c in

f f sen43xa) / = se n 3 ( 3 * ) tan 3 * dx = ------ dx

J J eos 3 *

_ J (1 - co s23 * ) 2


eos 3 *- dx

b)

= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33*)d*

1 2 1 f = - ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)

1 2 1 / 1 \= - ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C

j 3 3 V 3 /

1 , 1 1= - ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - - s e n 3* - - s e n 33* + C

J J 7

f sen4* + eos4* r 4 (2 + 2 cos22*)----- i ----------- J~ d x = ------------- -------- d xJ sen2* - eos2* J - e o s 2*

- l ( s e c 2* + eos 2x )d x1 , 1

= - - r h i (s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C4 4


c) /

INTEGRAL INDEFINIDA

cos * I f cos x dx- f C0SX H - 1 fJ Y s e n ^ ( 2x T c o s x V 2 7 J V s e n 7 x c o s 8*

Se observa que esta integral no se adapta a n inguno de los tipos estudiados en (I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transform ar a los otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes cotangentes y cosecantes. E n este ejemplo, transform ando a tangentes y secantes (d iv id iendo entre e o s5* , numerador y denom inador) se obtiene:

1 f se c4* 1 f 1 + tan2*' = V l 2 8 J ta n 7/3* = V f J ta n 7/3* O 0 " * d * )

1, . .tan 7/3x + tan 1/3* ) s e c 2* d *

4 V2J v J

= rrz ( - co t4/3* + - t a n 2/3* ) + C 4V2V 4 2 )

f 7 f (1 + eos 4*\d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx

4 / ( c s 2 x Sen 3 ^ + J eos 4*(cos 2* sen 3x )d x

= - J [sen * + sen 5*] dx + - J [eos 4* sen * + eos 4* sen 5x]dx1 1 1 i r= eos * - - eos 5* + - I [ -sen 3* + sen 5* + sen * + sen 9x]dx

\ ( 1 \ 1/1 1 1 \= - eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* - eos 5 * - eos * -----eos * + C4 V 5 / 8 \3 5 9 /

3 1 3 1= - - eos * + eos 3* - eos 5 * - eos 9* + C

8 24 40 72

E je m p lo 46. Calcule las siguientes integrales:

f f f sen^xa) j tanh42 * d x b) I seeh3x d x e) I dx

, ^d)

e o s*

f s e n 43 * f----- Tdx e) ta n x s e c * d *

J e o s33 * J

Solucin

Se observa que n inguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo que ser necesario efectuar algunas transformaciones. E n efecto,



a) I tanh4 2 x dx = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1 - 2 sechz2 x + sech4 2 x) dx

= x tanh 2x + J (1 tanh2 2 x) sech2x dx

1 / 1 = x - tanh 2x + - ( t a n h 2x - - t a n h 3 2x) + C

1 1= x - - t a n h 2x - - t a n h 32 x + C

O

b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx)

(Si u = tanh x , du = sech2x dx)

= [tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C

l r= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C

f sen2x f r^ J cs^xdx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx)

= I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C J 3 5

( sen43x r (1 - cos23x)2 r3 J cos33x J ^ 3 * d x = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* )= J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3x

A

1 r= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A

1 1 1 = gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c

e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x )

1 ,= - | s e c x t a n x - ln|secx + tan x|] + C

www.FreeLibros.com

INTEGRAL INDEFINIDA

dxf dxl:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la su st itu c i n x = 2 tan i

So l ut-ion

( .uno x = 2 tan 0 , dx 2 s c c 29 d9. Entonces

d x l f sec29 dB 1i

f d x I f see 0 dB 1 f

1 f (1 + cos 2 9 ) d 9 1'i

)

- i J1

( a rctan - 4- , ,16 V 2 4 + x 2

2 1 6

x 2 x

sen 2 0+ C = [0 + sen 0 co s 0 ] + C

16

4 -C

l.tra regresar a la variab le orig inal x, en vista de que tan # = - , se construye

d tringulo

A partir de este tringulo, se obtiene que

sen 0 =V x 2 + 4

y eos ti = V x 2 4- 4

E J E R C I C I O S

Calcule las siguientes integrales indefinidas:

1.

/

+ 2x 8 dx

R.

9 dx

3.

V 9 x z - 12x + 13

3 dx 4 x 2 1 6x 4 -17

4 Ix

- [ (x 4- l)Vx2 - x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2x - 8|J 4- C

fl. 3 ln [3x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C

fi. -a r c t a n (2 x - 4) 4- C

V x 2 4- 2 x 8: dx

. - 7 a /x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8 | 4- C


3 + 5*

1 2 * + 13

i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II

dx

1.

8.

5. f !J 9* 2 -

R- In (9 * 2 - 12 * + 13) + y arctan ( ^ y ~ ) + C

j f (2 x)dx _______________ ^ ^J V * 2 10* 21 ^ ~ xZ ~ 10 * 21 + 7arcsen + CJ sen 2 * + 3 c o s *

dx

16 12 tanh * + 5n * sen 2** 2 ---- i ~ +CD X 1R- 2 + ^ se n ( ! 0 * } + C

3 * sen 2 * sen 4 ** T 4~ + +cn 2 1

sen * - - s e n 3* + - s e n 5* + C

V 9 + 4 s e n * - co s2*

* 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | se n * + 2 + x 7 T 4 l i I 7 T T 8 | + c[ (5 senh * + 4 cosh x)dx

J cosh * ( 9 senh2* + 6 senh 2* + 5)

R- r ln | 4 tanh2* + 12 tanh *| - In l- t a n h * + 1 l16 12 tanh I

9. J se n 2* dx

1 0 . J co sh 25 * dx

n . / se n 4* dx

12 . / c o s5* dx

, 3 . / co s7* se n 3* d *

f se n 3*14. I -----r - d *

J co s4*

co s8*40

13 co s3*

(4 co s2* - 5) + C

- s e c * + C

15. J se n h 3* dx

16. j se n 2( 3 * ) c o s 43 * dx

17. J se n h 8* co sh 5* dx

18. j tan6* dx

1R - c o s h * ( c o s h 2* 3 ) + C

* sen 12 * se n 36*' 16 192 + ~ 1 4 4 ~ + C

1 2 i R. - se n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C

1 1g tan * - - t a n 3* - tan * + * + c


INTEGRAL INDEFINIDA

19. J cot5* dx

20. J tanh4* dx

21. J sec4* V cot3* dx

2 2 . J tan5* V e o s 3x dx

23. J tanh6* sech4* dx

V2 dx24.

co s3*V s e n 2*

25. J sen 3 * sen 5 * dx

26. I eos 2* eos 7x d x

J I

27. J se n 52* co sB2 * dx

28. j se n 3* eos3* dx

29. J (1 4- eos 4 * ) 3/2 dx

30. J cot4(3x)dx

i a x ->x ,31. | sen4 - cos'1- dx

32. J tan3* dx

33. J tan3(3 * ) s e c 3(3 * )c *

1 A 1 ,R. - c o t 4* + - c o t z* + ln|sen*| + C

R. x t a n h * - - t a n h 3* + C

R. 2Vcot * + - V tan3* + C

2 2 R. -sec5/2* 4 sec1/2* -cos3/2x + C

R. - t a n h 7* - t a n h 9* + C7 9

R. - V t a n * ( 5 + tan2* ) + C

sen 2* sen 8*R ------77 + C4 16

1 1 R. sen 5 * + sen 9 * + C

10 18

1 1 R. - s e n 6( 2 * ) - - s e n 8( 2 * ) + C

R. - eos ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C 16 48

V 2 V 2 , 'R. sen 2 * sen32 * + C

2 3

1 , 1 R. - c o t 33 * + - c o t 3 * + * -I- C

9 3

* 1 1R TZ ~ To sen 2 * sen * + C 16 32 24

tan2*R. ------h ln|cos*| + C

1 1 ,R. se c53 * - - s e c 33 * + C 15 9

www.FreeLibros.com

1TPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

f s c n 3x _____ ,3' i V ^ dX R' 3V i n ( - c o s 2x + 3) + C

dxse n 2x co s4x 2 t a n x + ^ t a n 3x c o tx + C

36. /

3 7 . f dx 1 3 1J sen5x c o s 5x ? tan * ^ n^ l^an x \ ~ ~ c o t 2x cot4* 4* C9 ~ 1 ^i ai ( ^ 4

3 8 / v s e n x c o s 3x R-2Vtx + C

oq Sec4*H 1 J tan4x R- - cotx - 3 c t3x + C

40. I S o t x c o s ^ x dx R. 2-sfsx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C

se n 2(nx) i ^ ^J co s6(jrx) dx R [3 tan3C^x)+ - t a n s (7rx)J + C

42. J sen x sen 2x sen 3x dx R. c o s 6 x - A Co s 4 x ^ cos 2x + C.43. f sen 4x eos 5x dx r cos9x cosx

J 18 2

44. sen 8x sen 3x dx r sen x _ sen , rJ 22 10

45. J cosh 3x cosh x dx r . i senh 4x + ^ senh 2x + Co 4

46. j senh 4x senh x dx R. _ COsh 5x + ^ cosh 3x + C

47. J sen3x eos 3x dx R. l c o s 2 x - c o s 4 * + c 0S6x + C

48. f cos2x sen24x d x R x e^n i sen 2x sen 6x sen lOxJ ' 4 32 -8 ~ 48 8 ~ + C

49. f senh2x cosh 5x dx r sen ^^x j_ senh 3x senh 5xJ 90 n tt:

5 0 . /dx

28 ' 12 10 +C2

V se n 3x c o s ^ x R ~ 2 ^ x + 3 t a n x V t l F * + C


INTEGRAL INDEFINIDA

1.5.3 IN T E G R A C I N P O R S U S T IT U C I N T R I G O N O M T R I C A

Las integrales de la form a f R ( x , J p x 2 + qx + r ) d x , donde R es una funcin racional de las variables x y J p x 2 + qx + r , se puede sim p lifica r por m edio de una sustitucin trigonom trica adecuada.

Com pletando el cuadrado en el trinom io p x 2 + qx + r se obtiene una expresin de la form a u 2 + a 2 u 2 a 2 a 2 u 2, donde a es una constante.

I) S i el trinom io tiene la form a a 2 u 2, mediante la sustitucin u - a se n 9 , a > 0

se e lim ina el radical, pues V a 2 - u 2 = a eos 9 . Tam bin se tiene que

d.u = a eos 9 dO

Para regresar a la variable original u, se emplea el tringulo form ado con lausustitucin sen 6 = (Fig. 1.3 a).

(a)

Fig. 1.3

II) S i el trinom io tiene la form a a 2 + u 2, mediante la sustitucinu - a tan Q , a > 0

se e lim ina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 9 . Tam bin se tiene que du = se c 29 d 8

Para regresar a la variable original u, se utiliza el tringulo form ado con la u

su stituc in tan 9 = - (Fig. 1.3 b). a

III) S i l trinom io tiene la form a u2 t - a 2 , mediante la sustitucinu = a sec 6 , a > 0

se e lim ina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . Tam bin se tiene du = a se c 9 tan 9 d9

Para expresar la integral orig ina l en trm inos de su variable u, se emplea elu

t r i n g u lo e la b o ra d o con se c fi = - (Fig. 1.3 c).



Ejem plo 48. Calcule / = J ^9 - x 2 dx.SolucinHaciendo ia sustitucin * = 3 sen 8 , dx - 3 eos 8 d d y calculando la integral trigonomtrica que resulta, se tiene

/ = j V 3 2 x 2 dx J ^ p^-^^se2d 3 eos 9 dd = J 9 eos26 dd = - J (1 + eos 29) dd

co s20 .3 eos 6 dd

9 9 ( x xV9 - x2= - ( 0 4- sen 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- -------

- ( Xy9 - x 2 + 9 aresen - ) + C

E je m p lo 4 9 . Calcu le / = /dx

x 2-J 16+ 9X 2Solucin

Sea 3 x = 4 ta n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,

dx _ 4 f J x 2V l 6 4- 9 x 2 ~ 3 J

sec2d dd

x 2V l 6 4- 9 x 2 3 J ^ t a n 20 V 1 6 4- 16tan20

3 f secd 3 f c o s = -----T - d d = ----- d 0

16 J tan2d 16 Jsen2d 16-C S C 0 4- C

3 V 1 6 4 - 9 x 2 V 1 6 4 -9 X 2 . + c = ------------------ + c

16 3x 16x

:dx.E je m p lo 50. Ca lcu le / ,J V x 2 9

SolucinHaciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 9 tan 9 d9 , se obtiene

27 sec30 . 3 sec d tan d dd

V 9 sec20 9

( x J f := d x =

J V x 2 9 J

= 27 J ( 1 4- tan20 )se c 20 d d = 27 (tan d 4- - t a n 3flj 4-

= 9 v 'x 2 9 4- - ( x 2 9 )2 4- CO


I 'li 'i iiplo 51. Halle I = JINTEGRAL INDEFINIDA

X 3 dx

V x 2 + 2x 4- 5

Solucini ompletando el cuadrado en el trinom io y Imi icndo la sustitucin

v I 1 = 2 tan 9 , d x = 2 se cz 9 dd

M' obtiene

x 3 dx f x 3 dx/ V x 2 + 2x + 5 J J ( x + l ) 2 + 4

I (2 tan 0 l ) 3 2 see20 dd2 se c 0 = J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd

(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd

Hsee30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln |see0 + tan 8 \ - 2 see 8 + C

1 3 t____________________

(xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1)V * 2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C

( 2 x 2 - 5 x - 5 ^

lije m p lo 52. Halle /

Solucin

/

4- 5 ln x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C

dx

( 1 + X 4)a/\/T + X 4 - X 2"

se c 20Si se hace x = tan 0 => d x = ; . d f t .

lntonces

/dx

- /

see20 d 0

(1 + x4)VVl + x 4 - x 2 > see20 Vsee 0 tan 0

e o s0 d 0

V sen 0 se n 20 1 / l Teos 0 d8

z 2-a rc se n + C

1 1 / 2x 2= -a re se n (2 sen 0 - 1 ) 4- C = - arcsen - ^ =

2 2 V v i + x 41 4-C



12 dx/;

Ejem plo 53 . Calcule / - , __________________(2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 ) 3

SolucinCom pletando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustit jc in

2x - 1 = 3 sec 9, d x = - sec 9 tan 9 d.9

Resulta

/= /

- /

/

12 dx

(2x - 1 ) V ( 4x2 4x 8) 3

12 dx{2.x l ) [ ( 2 x l ) 2 9 ]3/2

18 sec 8 tan 9 dd 2 3 s e c 0 2 7 t a n 30 9

J cot26 d9 = j (esc29 1 ) d 62 , 2 /

= [cot 6 0] + C = (

Ejem plo 54 . Calcule J

SolucinS i se sustituye

/

9 V V 4 x 2 - 4x - 8

e _:>f dx

2x - 1 \+ a re sen - J + C

( 9 e ~ 2x + 1 ) 3/2'

3e * = tan fl, e = - - s e c 29 d9 , se tiene

= Je x dx

[ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2

r ~ 3 sec29 d 9 \ rJ se c39 3 J eos 9 d9- - s e n 9 + C

Vi + 9e~2*+ C


R|cinp lo 55. Calcule / = I XV * X- d*J V 2 x

So luc in

Racionalizando el integrando, obtenemos

f x \ [ i - x f x ( l ~ x ) r x ( l - x ) d x

J V 2 - x X ~ J V l ^ / 2 ^ X ~ \ V x 2 - 3 x + 2

INTEGRAL INDEFINIDA

Aliora bien, completando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustitucin

3 1 1- = - sec 8, dx = - sec 8 tan 8 d82 2 2

Sust . 2x - 3 = se c 9

c obtiene 2x-3 /ly / x 1 - 3 x + 2

f x ( l - x ) d x

\ ( y 1/ Q \

12

r ^ sec 8 + ( l - ^ - i sec ^ sec 6 tan 0 dd

^ tan 8

= - - J (se c 3 8 + 4 se c28 4- 3 sec 8) dd3 1 r ------------------

= - tan 8 - - ln | s e c 0 + tan 8\ - - y / l + ta n 20 s e c2d dd4 4 J

3 1= - t a n 8 - - ln | s e c 0 4- tan 8 | - - ( s e c 8 tan 8 + ln| sec0 4- tan 0\ 4- C

4 o

1 7= - - t a n 0 (8 4- s e c 0 ) - - ln | s e c 0 4- tan 8\ 4- C

O O

2sJx 2 3x 4- 2 7 i ____________= -----------------------(8 + 2x - 3 ) - - l n \2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C

O O ' '

y j 3x h 2 7 i ____ i= ------------ -----------(5 4- 2 x ) - - \ n \ 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3x 4- 2| 4- C



Observacin 7. Si el integrando contiene una expresin de la form a V a 2 u

V a2 + u 2 Vu2 - a2 , a veces una sustitucin hiperblica es ms efectiva.

Para V a 2 - u 2 , la sustitucin es u = a tanh t.

Para Va2 + u 2 , la sustitucin es u = a senh t.

Para Vu2 a2 , la sustitucin es u = acosh.

En el primer caso, V a2 - u2 = a sech t.

En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a co sh t.

En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a senh t.

E je m p lo 56. Calcule / = J x 2J x 2 + 4 dx.So lu c inUsando la sustitucin

x = 2 se nh , d x = 2 co sh d t tenemos

/ - J x 2yx2 + 4 d x = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t d t

- 16 J senh2t cosh 2t d t = 4 J senh22 d t = 2 J (cosh 4 t - l)d

1- - s e n h 4 - 2 t + C = 2 senh tco sh t(sen h 2 t + cosh2t ) - 2 1 + C

x V 4 + x 2 / x 2 4 + x 2 \ xj _ 2 Se n h -1 - + :

x V 4 + x 2

4 2

x 2 dxE jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f

J

INTEGRAL INDEFINIDA

(3 cosh t - 2 ) 2 dt = J (9 co sh 2 - 12 cosh t + 4 )d t

/cosh 2 t + 1 9 ^-----------------) - 12 co sh t + 4 ) d t9 17- c o s h 2 t - 12 c o s h t + 2 2

d t

9 17= - s e n h 2 t - 12 se nh t + t + C

4 2

9 17= - senh t c o s h t 12 senh t + - t + C

2 2

V x 2 + 4 x - 5 17 ( x 4- 2 \--------- - --------- (x 6 ) + c o sh - ( - J + ^

O b s e r v a c i n 8 . Si la int egral t iene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 x 2) dx

I R ( x n ; J x 2 a 2) d x , donde n es entero i mpar posi t ivo, es pr e f e r i b l e

usar ia sustitucin z 2 = a 2 x 2 z 2 = x 2 - a 2.

I.jem plo 58. Ca lcu le las siguientes integrales:

J)

f ( x 5 - x ) _ r (x * - l ) ( x dx) f [ ( z 2 - 3 ) 2 - ] z d z

J V ^ T 3 J V F T 3 " J zf z **

= J ( z 4 - 6 z 2 + 8 ) d z = Y - 2 z 3 + 8 z + C


b) Haciendo z 2 = x 2 + 3, z dz = x dx se obtiene

z= - [ z 4 - 1 0 z 2 + 4 0 ] + C

Vx2 + 3 ,= ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 19 ) + C

c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x dx resulta

r x 3 d x _ r x 2(x dx) f ( z 2 - 9 ) ( z d z ) J (X2 + 9)3/2 - J ( x 2 + 9)3/2 - Jdz

9 1 ,= z H ------h C = - (z + 9 ) + C

z z

1( x 2 + 1 8 ) + C

V x 2 + 9

d) Haciendo z 3 x 2, x dx = - - d x se obtiene

f x 5 d x x 4(x d x ) f (3 - z ) 2( - d z )J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2)4 = J i?

1 f / 9 6 1 \2 J +1 / 3 3 1 \

2 \ ^ ~ I * + z ) + C

x 4 - 3 x 2 + 3 ~ 2 (3 - x 2) 3 + C

www.FreeLibros.com

f x~ dx

J v f ^ F

J * + x 2 dx

j x z \ 4 - x z dx

f dx

J x 2v l + x 2

dx

J ( X 2 -r 1 ) V 1 - X 2

' x 3 dx

v 2 x 2 + 7

dx

x 4V x 2 + 3

r (4 x + 5 )d x

J ( x 2 2x + 2 ) 3/2f - 4I ( X 2

( 2x - 3 )d xJ ( x 2 4- 2 x - 3 ) 3/2

f V x 2 4 xd x

x 4 d x

I 1

(4 - x 2y /z( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x

x 6

d x

INTEGRAL INDEFINIDA

E JE R C IC IO S

(x + l)3Vx2 + 2x

r sen x dx J Vcos2x + 4cosx 4- 1

1 x /-------- -R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 -C

R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C

x V 4 - x 2 R. 2 a rc sen ----------- - |x - 2 x j + C

V l + x i R . --------------- 4- C

I y[2x ,R. a rc ta n l - = = ) + C

1

v f \ V 1 - X 2

V 2 x 2 4- 7 ,R. ------- ( x 2 + 7) + C

V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2R. ---- r--------- -- ---- + C

R.

9x 2 7 x 3

9x - 13^ _______ : 4~ C

V x 2 - 2 x 4- 2

5 x - 3

4 V x 2 + 2 x - 3

( x 2 - 4 x ) 3/2

: + C

6 x 3

v sR.

2 0 (4 - x 2) 5/2

( x 2 - 2 5 ) s/2

4- C

+ c

1 2 5 x 5

1 V x 2 4- 2xif. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C

/?. - l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j +



5 /e x\ e2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 )

15. | ------------- " dx2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4

R. \ n\ex + 2| - V e 2* - 4 + c

_ f 2 x 2 - 4 x 4- 4 16. j - dx

J 4 3 + 2x x 2 R. a resen - (x - 1 )V 3 + 2 x - x 2 + C

17

18.

d x

( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2

( x 2 + 3 x )d x

R.x - 1

4 V x 2 - 2x + 5

( x 2 + 3x

J (x - l W x 2 -(X - l ) V x 2 - 2x + 10R . V * 2 - 2a: + 10 + 5 In |V *2 - 2x + 10 + x + l| + - ln

V x 2 - 2x + 1 0 - 3x - 1 + C

m 4 ^ LJ V 4 x 2

(3 + x 2) 2 x 3

2 0 '

V4 - x2 /? .------ -----(8 + x2) + C

21

22

23

/

f V y 2 ~ 4i y 4

J

/

R. - - . 2

( * 2 + l ) 2 , 7 , 4-------------+ ( x 2 + 1) + -f*

d y

(x2 l)Vx2 - 2

2x2 4- 1( x 2 + 4 ) 2

dx

dx161

r ( y 2 - 4 ) 3/2 2 y 3 + C

_ Vx2 - 2k. arctan--------- + C

x

x 1 4 x

2 x 2 4- 4J

( 2 x 2 4- l ) V x 2 + 1

f 3 x a r c s e n x 25. I . dx

R- r r l a r c t a n r ---- - 1 4- C

fi. a rctan * ) + CW 1 4- r 2/

J V ( i - * 2) 5

J V i - x 2 v i - x /

aresen x 1 [ x

(1 x 2) 3/7

i r x

2 l ~-4 -in

V i 4- x 2

AT + 1

V T4- C

dx

R ] n f 1 + X ) ( 2 7 3 1 s \ , 89 /2 5 + 6x 2\* l n l T ^ I A 3 z ~ 5 - z J + g arcsen * * 2 ( e T ' j + c-

donde z = J l - x 2


i tx - 3

A v/x4 - 4:d x

INTEGRAL INDEFINIDA

1In |x 2 + V * 2 _ 4 | - - a r c s e n

x dx

't

(x 2 - 2 ) V x 4 - 4 x 2 + 5

x 2 d x

1/?. - I n

V x 4 4 x 2 4- 5 1x 2 - 2

+ C

4- C

\l 4 x 2 1 2 x 5(2x 4- 3 \ i------------------------

11 a rcsen^ - j 4- -J4-x2 - 12x 5 (3 2x )

411

I I

1,

4 I

x z dx( x 2 4- 4 ) 3

2 x :i dx

1R 64

x 2 x ( 4 - x 2) 1 arctan - -

'2 (4 + x 2) 2

4- C

4- C

( v - l ) 4 dx

1 - 3 x 2 R -^-----TTT 4- C

(() _ x 2)3

( 4 x 2 4- l ) d x

R.3

4- - In

6 ( x 2 l ) 3 (3 + x f

3 6 ( 9 - x 2) 2 1 6 ( 9 - x 2) 4 9 x 24- C

It

( v - 3 )V 6 x x 2 8

/. 24 a rc se n (x 3 ) 4- 37 In

e 2x dx

1 - V x - x 2 - 8x 3

J ( c x - 2 e x 4- 5 ) ) 3

se nh 2x dx

R.

4y6x x 2 8 4- C

e * - 5

4 V e 2* - 2 e * 4- 54- C

(2 c o sh 2x 3 se n h 2x 2 co sh x ) 3/2

R3 co sh 2 x

2 V 2 c o sh 2x - 3 se n h 2x - 2 c o s h x:4- C

illI ,

! sen 2x sen x d x( - 4 sen 2 x - 19 se n 2x ) 5/2

4 tan x 16 / 5 ( t a n x - 4 ) 2

I.5.4.1 I N T E G R A C I N D E F R A C C I O N E S S I M P L E S

Se denom inan fracciones sim ples a ias funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:

0 f W =

TPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

1.5.4 M T O D O DE IN T E G R A C I N P O R D E S C O M P O S IC I N ENF R A C C IO N E S P A R C IA L E S

x r

*) / O ) = 7 , n > 2 , n e N (x r ) nax + b

ill) f ( x ) 2 '------ : , donde p x 2 + qx + r no tiene races reales, es decir,JjX t CJX T Y

qz Apr < 0.

^ s CLX + bIV ) f ( x ) = - ----------- , donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.(;p x 2 + qx + r)n ^ p

La s integrales de estas fracciones sim ples son inmediatas, pues

f ai) dx = a ln x - r| + CJ x r

U) (x - r ) n dX ~ (1 - n)(x - r ) n_1 + C

f ax + biii) 7 - -------- ; dx (desarro llado en 1.5.1 caso I I I)J p x 2 + q x + r J

f ax + b ( 2 p x + q)dxJ (p x 2 + qx + r ) n X 2pJ (px2 + qx + r ) n + \

2p( n - 1 ) ( p x 2 + qx + r ) n~ - + ( * - S ) /

f dxi ( p x 2 + qx + r ) n

f dxJ ( px2 + qx + r ) n

;

Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinom io, se obtiene

r du j j r~ R , 4 r P _

INTEGRAL INDEFINIDA

dx

So lu c in

l n este caso n = 2 y k = 2. Entonces

r dx x 2 (2 ) - 3 f dx] (x 2 + 4 ) 2 2.22(2 - l ) ( x 2 + 4 ) 2-1 + 2.22(2 - 1) J (x2 + 4)

x 1 1 x 1 / x 2 x \ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + ^ T ) + C

l 'le m p lo 59. Usando la frm ula de reduccin, calcule / = J + .

1.5.4.2 I N T E G R A C I N D E F U N C I O N E S R A C I O N A L E S P O R D E S C O M P O S I C I N E N F R A C C I O N E S S I M P L E S

P (x )Sim la funcin racional f ( x ) = -r, donde P ( x ) y Q{x ) son po linom iosQ(x)i n, se dice que rs una funcin racional im propia.

Por ejemplo, las funciones racionales

x 5 - 6 x 2 + 7y a t o2 x 4 + 8 J " 2 x & + 3 x 3 + 2

mm propias, pues el grado del polinom io del num erador es menor que el g iado del polinom io del denom inador; mientras que las funciones racionales

3 x 4 - 2 x 2 + 7 _ 5 x 3 - 3 x 2 + 1F(X) ~ x 2 + 2x + 3 y " 2 x 2 - 7 x 3 + 4

son impropias.

P(x)Si / (x ) = es Una funcin racional impropia, po r el a lgoritm o de la divisin,

uxisicn po linom ios C( x ) y /?(x) nicos tales que

l t o r r ^-------= C(x) +Q(x) Q(x)

ilmule el grado de R( x) es m enor que el grado de Q(x) . C(x) y R ( x ) son, ii'speclivamente, el cociente y el resto de la d iv isin de P ( x ) entre Q( x) .

I to sign ifica que toda fraccin im propia puede ser expresada com o la sum a de un polinom io y de una fraccin propia. A s , la integral de una fraccin im propia IMifilc ser escrita com o

p t o , f , ( R t o dx


Enseguida, verem os el mtodo de integracin para una fraccin propia, el cual se basa en que toda fraccin racional propia puede ser descompuesta en la sum a de fracciones sim p les. Este hecho se sustenta en el conocim iento de dos teoremas del lgebra que adm itirem os sin demostracin.

Teorem a 1. S i Q (x ) es un polinom io de grado n (n > 1 ) , entonces Q ( x ) se descompone com o un producto de factores de 1er grado y de factores de 2 do grado irreductibles en M, de la siguiente forma:

Q(x) = a(x r j ) " 1 (x r2) n2 ... (x - rk)nk(x2 + p^x + q1)m ...(x2 + psx + qs)m> ( *),

donde n = TI-L+ n 2+ . . . + n k + 2 m l + ... + 2m s

T eorem a 2. S i el polinom io ( ? ( * ) posee la descom posicin '( * ) y P ( x ) esP (Xj

un po linom io de grado m enor que n, entonces la fraccin prop ia

se descom pone unvocamente en fracciones sim ples como

P( X) _ ^11 A12 ^21 ^22Q(x) x + (x rx) 2 (x - r j )ni + (x - r2) + (x - r2) 2 + ^

+ - Alnt- + . - 4 - A k l - + Ak2 + . . . + Akn*__ +( x - r 2)"2 (x - rk) (x rk) 2 (x - r k) nk

^ Bl l x + ^11 ^ Bl2x + ^12 ^ J ^lm, + ^( x 2 + p 1x + q1) ( x 2 + p xx + Ch) 2 ( x 2 + p jX + Q i)mi

_l_ B S1X + Cs ^ B s2X + CS2 smj "t" Q m s

x 2 + psx + qs ( x 2 + psx + qs) 2 ( x 2 + psx + qs) ms

En resumen, podem os afirmar que la integracin de una funcin racional (propia impropia) se reduce a integrar a lo ms un polinom io y las fracciones simples. Recuerde que si ei grado del numerador es m ayor o igual que el grado del denominador, primero se debe d iv id ir (salvo que se emplee otro artificio de integracin).

Cuando se descom pone una funcin racional en fracciones simples, la ecuacin resultante es una identidad, es decir, es verdadera para todos los valores sign ificativos de la variable x. E l mtodo para determinar las constantes que se presentan en los numeradores de las fracciones sim ples se basa en un Teorem a del A lgebra que establece que los po linom ios de un m ism o grado son idnticos cuando son iguales los coeficientes que corresponden a potencias iguales. Estas constantes tambin se pueden determinar resolviendo la igualdad de po linom ios para un nm ero suficiente de valores de x.

En el siguiente ejemplo, sin determinar las constantes, mostrarem os com o se descom pone una fraccin propia.



Sea la fraccin propia

P( x ) 7 x 4 2 x 3 + x 2 %/2x + nQ(x) = (x + l ) ( x - 4 ) 3( x 2 + 9 ) ( x 2 + 1 ) 2

I .1 descom posicin de esta fraccin en fracciones sim ples se expresa com o

P(x) A B C D Ex + F Gx + H Jx + M + -------r + 7------ :t t + -:------ ; t t + ---- H---- -^--- - + -

INTEGRAL INDEFINIDA

Q(x) x + 1 x - 4 (x - 4 ) 2 (x - 4 ) 3 x 2 + 9 x 2 + 1 ( x 2 + l ) 2

donde A, B, C, D , E, F, G, H, J y M son constantes a determinar.

f x 3 3x + 3 lile m p lo 60. Calcule / = :---------- i rdx.

H J x 2 + x - 2So luc in

I n primer lugar, se divide, ya que el integrando es una fraccin racional impropia.

x 3 3 x + 3 1 1= x 1 + ---------- - = x - 1 +

x 2 + x - 2 x 2 + x - 2 ( x - l ) ( x + 2)

1 iit'o, J = j (x l)d x + J dx x 2

X(x l ) ( x + 2 ) 2

A l descom poner el integrando de I en fracciones simples, se tiene

1 A B(x l ) ( x + 2 ) x 1 x + 2

donde A y B son constantes a determinar. M u ltip licando esta ecuacin por el m nim o com n m ltip lo del denominador, se obtiene la ecuacin p r in c ip a l

1 = A( x + 2 ) + B( x - l ) , V x l

Ahora bien, para determinar las constantes A y B se debe escoger valores npi opiados de x. E stos valores son aquellos que hacen igual a cero el denom inador de cada fraccin simple. A s, tenemos:

l'm a x = 1 en la ecuacin principal, nos queda: 1 = 3A A = 1/3

l'n ia x = - 2 en la ecuacin principal, resulta: 1 = - 3 B => B = - 1 / 3

I ui'^o,x .

/( :1/3 1/3 \ 1 , 1 , 1.

tópicos de cálculo vol. ii - mitacc

Documents