tópicos de cálculo vol. ii h - by priale

MAXIMO MITACC LUIS TORC

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TOPICOS DE CALCULO VOL. II

- INTEGRAL INDEFINIDA

- INTEGRAL DEFINIDA

INTEGRALES IMPROPIAS

- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

- COORDENADAS POLARES

- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

- SUPERFICIES

MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA

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TOPICOS DE CALCULO VOL. II

TERCERA EDICION

MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA

IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU

Prohibida la reproduccin total o parcial por todos los medios grficos, sin permiso de los autores.

Nmero de Inscripcin en le Registro Nacional de Derechos de Autor N 160

Impreso en los Talleres Grficos de: Editorial THALES S.R.L.

TERCERA EDICION Mayo del 2009

PRLOGO

En esta segunda edicin de Tpicos de Clculo Vol. II, nos hemos esforzado por presentar el clculo integral para funciones reales de una variable real y la geometra analtica en el espacio, en forma tal que resulte de mximo provecho a los estudiantes cuyo campo de especializacin no sea estrictamente las matemticas. La orientacin principal del libro es hacia aplicaciones en diversas reas de la ciencia, lo cual ampla la utilidad del texto.Aunque en esta edicin la estructura bsica general no se ha cambiado, se ha realizado una gran cantidad de revisiones. Hemos reestructurado casi la totalidad del capitulo 6 y el captulo 7, se han hecho una gran cantidad de modificaciones alo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales desarrollados y redaccin de procedimientos. El conjunto de ejercicios propuestos se ha modificado, con la adicin de nuevos ejercicios.

El Libro se divide en siete captulos. En los primeros cuatro captulos se hace una presentacin de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus aplicaciones. Hemos visto por conveniencia desarrollar primero la integral indefinida con la finalidad de familiarizar al estudiante con las tcnicas y/o artificios de integracin que luego se usan en los captulos siguientes. El captulo cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los captulos siguientes (del sexto al sptimo), se inicia con una introduccin breve de vectores en el espacio tridimensional y se continua con recta, plano, superficies y se concluye con las coordenadas cilindricas y esfricas.

Nuestro propsito es que esta edicin no lenga errores, pero es casi un axioma que todo libro de Matemtica los presente; por tal motivo consideramos que este texto no sea la excepcin, a pesar del esmero y la dedicacin puesta para detectarlos y corregirlos antes de su impresin. En tal sentido, los autores compartimos la responsabilidad de los mismos, aclarando que dichos errores han sido cometidos solamente por uno de los autores.

Queremos expresar nuestro agradecimiento a los profesores y alumnos de todo el pas por la acogida brindada a la edicin anterior y esperamos que esta nueva edicin tenga la misma preferencia.

Los Autores

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INDICE

CAPITULO 1: INTEGRAL INDEFINIDAAntiderivada e integracin indefinida................................................ 1Propiedades de la integral indefinida.......................................... 4Integrales inmediatas.................................................................. 5Mtodos de integracin.............................................................. 10Integracin por sustitucin o cambio de variable............... 11Integracin por partes......................................... 20Tcnicas de integracin.............................................................. 29Integrales de algunas funciones trigonomtricas e hiperblicas 32integrales de la forma / sen* cos-x dx y f s 'n k "* cosk'z fa 32Integracin por sustitucin trigonomtrica.................................... 45Mtodo de integracin por descomposicin en fracciones parciales 56Integracin de algunas funciones irracionales............ ................ 68

CAPITULO 2: INTEGRAL DEFINIDASumatorias..... ................................................................................ 95Clculo del rea de una regin plana por sumatorias................ 104Suma superior y suma inferior.................................................. 112Integrales inferiores y superiores................................................ 115Integral de Riemann ...................................................................... 116Propiedades de la integral definida ............................................ 120Teoremas fundamentales del clculo integral........................... 121Cambia de variable en una integral definida........................... 130Integracin por partes en una integral definida........................ 134Clculo aproximado de las integrales definidas..................... 144

CAPITULO 3: INTEGRALES IMPROPIASIntegrales impropias con lmites infinitos................................. 149Integrales impropias con lmites finitos............ ...................... 152Integrales impropias con integrando no negativo............... . 161

CAPITULO 4: APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDArea de regiones planas.......................... ...................................... 167

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Volumen de un slido en funcin de las reas de las secciones planas....... 181Volumen de un slido de revolucin......................................... 185Mtodo del disco circular y del anillo circular......................... 185Mtodo de la corteza cilindrica ................................................... 191Longitud de arco.......................................................................... 201rea de una superficie de revolucin....................................... 208Momentos y centros de masa ( centros de gravedad)............. 214Aplicaciones de la integral en los negocios................................ 229

CAPITULO 5: COORDENADAS POLARESSistema de coordenadas polares................................................... 237Relacin entre las coordenadas polares y las rectangulares........ 239Distancia entre dos puntos en coordenadas polares..................... 240Ecuacin polar de una recta......................................................... 241Ecuacin polar de una circunferencia........................................... 243Discusin y grfica de una ecuacin polar..................................... 244Interseccin de curvas en coordenadas polares............................... 248Derivadas y rectas tangentes en coordenadas polares................ 251ngulo entre dos curvas en coordenadas polares........................ 254rea de regiones en coordenadas polares........................... ....... 262Longitud de arco en coordenadas polares..................................... 266Volumen de un slido de revolucin en coordenadas polares.... 268

CAPITULO 6: RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIM ENSIONAL

Vectores en el espacio tridimensional............................................. 273Representacin geomtrica de un vector en i 3 ........ .................... 274Vectores paralelos en E 3 ................................................................. 276Mdulo y longitud de un vector en K3 ........................................... 277ngulo entre dos vectores................................................................ 278Vectores ortogonales o perpendiculares......................................... 279 Producto vectorial............... .............................................................. 283Aplicaciones del producto vectorial................................................. 285Aplicacin del triple producto escalar............................................. 287Recta en el espacio.................................. .......................................... 295Relacin entre los cosenos directores de una recta.......................... 296

Ecuaciones de un plano en el espacio.............................................. 306ngulo entre dos planos.................................................................... 319Proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano........................ 320

CAPITULO 7: SUPERFICIESEsfera.............................................................................................. 342Discusin y grfica de la ecuacin de una superficie................... 347Cilindros........................................................................................... 352Superficie de revolucin................................................................ 356Superficies cuadrticas.................................................................... 361Coordenadas cilindricas y coordenadas esfricas........................... 369Coordenadas esfricas....................................................................... 371Aplicaciones....................................................................................... 373

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( r ' ........... .....1..... .............................. ^

INTEGRAL INDEFINIDA

^ ........ ....... ^

1.1 ANT1DERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA

En el libro de Tpicos de Clculo Volumen 1, se trat principalmente el problema bsico siguiente: Dada una funcin encontrar su derivada. Sin embargo, existen muchas aplicaciones del clculo que estn relacionadas con el problema inverso, el cual es: Dada una funcin / , definida en un intervalo /, encontrar una funcin F cuya derivada sea la funcin f , es decir,

F '(x) = / (* ) , V x G /.

Definicin 1. Sea / un intervalo y / : / -> M una funcin. Una funcin F: / M tal que F'(x ) = /(x ), V x 6 /, se denomina primitiva o antiderivada de / en / y se escribe

F(x) = Ant ( / (* )) , V x 6 /

Ejemplo 1. Sea / (x ) = 4x3 , x G R y g(x ) = ex , E B .Las funciones F(x) x4 y G(x) = ex, x K, son respectivamente antiderivadas de / y g en E, es decir,

F'(x ) = (x4)' = 4x3 , V x R G(x) = (ex)' = ex , V x e R

Tambin son antiderivadas de f (x ) = 4x3 las funciones1007T

F1(x) = x4 + 2, F2{x ) = x4 + ln 7i y F3(x) = x4 +

pues sus derivadas son iguales a f(x ) = 4x3

Anlogamente, otras antiderivadas de g(x) = ex son, por ejemplo,

V3GiCx) = ex - 1, G2(x ) = ex - ee, G3(x) = ex + y C4(x) = ex + k

donde k es cualquier constante real.

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Observacin i. Si F{x) = A nt(f(x )) en 1, entonces F(x) + C, donde C es una constante real, es tambin antiderivada de f en l.

lista propiedad es evidente, pues si F(x) = Ant(J{x)) en /, entonces F '(x )= f (x ) , V x e l

Tambin (F(x) + C)' = F'{x) = f(x ), Vx 6 /. Entonces F(x) + C - Ant{f{x)) en /

Una pregunta natural es: Si F{x) = A nt(f(x )) en el intervalo /, cualquier otra antiderivada de / en / difiere de F a lo ms en una constante?. Dicho de otro modo, si F^x) = A n t(f(x )) en /, necesariamente F^x) = F(x) + C, V x e l ? La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente proposicin.

Proposicin 1. Sea / : / - E una funcin definida en el intervalo abierto / y F :I -> E una antiderivada o primitiva de / . Si E es tambin unaantiderivada de / , entonces

F1(x) = F(x ) + C para alguna constante C.DemostracinDefinimos la funcin H por H(x) = F^x ) - F(x). Entonces

H'(x) = F/OO - F'{x) = f (x ) - / ( * ) - 0, Vx 6 /Luego, H'(x) = 0 , V x e l .De aqu se deduce que //(x) = C, V x E / , donde C es una constante (ver Corolario 1 del T.V.M. Tpicos de Clculo Vol. 1). Luego, se tieneH(x) = F-tix) - F{x) = C F^x) = F(x) + C , V x e lGeomtricamente, significa que si F(x) = A nt(f(x )) en el intervalo I, cualquier otra antiderivada de / en / es una curva paralela al grfico de y = F(x) (Fig. 1.1).

TOI%()S DE CLCULO- VOLUMEN II

2

INTEGRAL INDEFINIDA

Definicin 2. Sea F(x) una antiderivada de f{x ) definida en el intervalo I. La integral indefinida'de f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f (x )definidas en dicho intervalo y se representa mediante el smbolo

J f(x )dx = F CO -+ C

donde C es una constante real que se denomina constante de integracin.La funcin f(x ) se llama integrando, f{x)dx es el elemento de integracin, x variable de la integral- y el smbolo j se denomina smbolo de la integral. La expresin / f(x )dx se lee integral de f ( x ) con respecto a x" o integral indefinida de f (x ) diferencial x.

Observacin 2, De la definicin 2 se deduce las siguientes propiedades:

i) ^ ( J 7 (x )< te ) (S f (x )d x ) = (F(x) + cy = / (* ) , es decir-.

"la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "

ti) d |J / (x)dxj = /(x )dx j dx = f{x)dx

iii) Si f es una funcin derivable en /, entonces una primitiva de f es f . Luego,

J f'{x )dx = f (x ) + Civ) Como d{f{x)) = f ' ( x )d x , de (iii) se deduce:

J d ( f (x )) = f (x ) + C

De las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede interpretarse como una operacin inversa de la diferenciacin, pues al aplicar la integral indefinida a la diferencial de la funcin f{x), sta reproduce la funcin f (x ) ms la constante de integracin.

Ejemplo 2. Del ejemplo 1 se deduce:

i) J exdx = ex + C

ii) J 4x3dx = x4 + CEn la figura 1.2 se muestra la grfica de las antiderivadas de f(x ) = ex, es decir, de F(x) = e* + C , donde C es una constante real. Si C > 0, la grfica de y = ex se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza paralelamente C unidades hacia abajo.

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TPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 3. Como d(x \nx - x) = lnx dx, por la obs. 2-iv , se deduce:

J d(xlnx x) = J Inx dx = xlnx - x + C

, , x 1 x Ejemplo 4. J - ^ j = - arctan-+C, pues

n x \' 1(-arctan- + C) = -

1__ 2__

X ^1 + =r4

14 + x2

1.2 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDAProposicin 2. Si / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo / y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / g y kf admiten antiderivadas en / y se tiene:

a) [ f(x) g(x)]dx = J f(x)dx J g(x)dx

b) I [kf(x)]dx = k j f{x)dx Demostracin

a) Como {jlf(x)g(x)]dx] = f(x) g(x) = [J f{x)dx] J g{x)dx ,

entonces J [f(x) g(x)]dx y J f(x )dx J g(x)dx son las antiderivadas de f (x ) g(x ) . Por tanto,

j l f ( x ) g(x)]dx = J f(x)dx j g(x)dx

b) La demostracin queda como ejercicio para el lector.

De la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una suma algebraica de varias funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales.

Ejemplo 5. Calcule j (ex - 4x3 + ln x)dx.Solucin. En virtud de la proposicin 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:

J (ex - 4x3 + ln x)dx = J exdx - J 4x3dx + J ln xdx= (ex + Ct) - (x4 + C2) + (xlnx - x + C3)= ex - x4 + x ln x - x + C, donde C - Cx + C2 + C3

En lo que sigue solamente usaremos una constante nica de integracin para la suma de 2 o ms funciones.

4

Si conocemos f '(x ) , por la observacin 2-iii se deduce que

j f '(x )d x = f (x ) + C J d (f(x )) = f{x ) + C

Esta integral se denomina integral inmediata. Por ejemplo, una integral inmediata es / dx = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas, que contiene, adems de las integrales de funciones elementales, otras que sern de mucha utilidad. Por comodidad, en lugar de la variable x usaremos la letra u. Ms adelante, veremos que u puede ser una funcin, es decir, u = u(%).

INTEGRAL INDEFINIDA

1.3 INTEGRALES INMEDIATAS

FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION

du + C1. J du u + C 2. J -lnlu

un+1 f3. undu -------- + C ,n = 1 4. eudu = e + CJ n + 1 Jf ciu f

5. \audu = -----H C 6. I sen u du = - cosu + CJ In a J

7. J eos udu = sen u + C 8. j tan u d u = ln|sec u| + C

9. J cot u du = njsen u + C 10. J secu du lnlsecu + tan u| + C

ese u du = ln|csci coti| + C 12. J sec2u du = tan u + C

13. J csc2u du = cot u + C 14. J secu tan u du = secu + C

15. J csc u cot udu cscu + C 16. J senh u du - cosh u + C

17. J cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C

19. J sech2u du = tanh u + C 20. J cschJu du = -coth u + C

21. J sechu tpnh u du = sechu + C

22. j cschu coth u du = cosh u + C


h

h

du+ u- a

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II1 U

arctan + C , (a > 0)

1 u a= ln2a u + a1 u 4 a= ln2a u - a

+ C , (a > 0)

4 C , (a > 0)

26 f du u= = = arcsen - + C , (a > 0)

-arcsec---1- C , (a > 0)a

29

30

arcsen- + C , (a > 0) a j

f du i 1----- 127. I - p = = ln u + -y/u2 a2 4 C> v u2 a2

r du 128. ;..= -J uvu1 a2 a

. J yja2 u2du = - JuVa2 - u2 + a

j yj'u2 + a2du = - |u%/u2 + a2 + a2 ln (u + J u 2 + a2)j + C

31. J yju2 - a2du = - [uvu2 - a2 - a2 ln |u + -Ju2 - a2|| + C

Cada una de stas frmulas se pueden verificar mediante la derivacin (respecto ala variable u).

Por ejemplo, en el caso de la frmula 24 se tiene:dd / 1 iu ai\ 1

du \2a n lu + a l/ 2a (ln|u - a\- ln|u + a|)i IUU1 1 1 1

2a u - a u + a

Por tantof du 1 iu - ai

I ^-t = tln ------- + CJ u'- a2 2a lu + al

En el caso de la frmula 18, se tiene:d senhu

(In cosh u|) = r ?= tanh u du cosh u

De lo anterior se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.

6

Ejemplo 6. Calcule J (6x4 - x2 + 3)du.SolucinUsando las frmulas de integracin, tenemos

J (6x4 - x2 + 3)du = J 6x4dx - J x2dx + j 3dx

= 6 J x4dx - j x2dx 4-3 j dx6 x3

= - x 5 - + 3x + C

Ejemplo 7. Calcule J (v2 \[x)2dx.SolucinComo (V2 V* )2 = (2 2V2Vx + x), entonces se obtiene

j (V2 - Vx)2dx = 2 J dx - 2V2 j x l /2dx + J xdxr 3/2 y 2

= 2 1 - 2 ^ + y + C

= 2x - ^ V T x 3/2 4-^x2 4- C

f 3x5 6x2 4- Vx Ejemplo 8. Halle I ------ ----dx.J x^SolucinDividiendo trmino a trmino el integrando y aplicando las propiedades de la integral, se tiene

f 3x5 6x2 4- Vx f f dx fI ----- ------- dx 3 I x dx - 6 I --- 1- I x 5/2cx

2- x3 - 6 ln|x| - - x 3/2 4 C

En los ejemplos anteriores, el mtodo para hallar las integrales consisti en tratar de descomponer el integrando como la suma algebraica de varias funciones y luego aplicar las propiedades enunciadas en la proposicin 2. Este mtodo es llamado "mtodo de integracin por descomposicin. En ciertas funciones, descomponer la funcin en sumas parciales no es tarea fcil, pues depende de la experiencia, habilidad y prctica del que calcula.

INTEGRAL INDEFINIDA


/TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II dxEjemplo 9. Calcule ,J senh2x cosh-x

Solucin

1 cosh2x - senh2xLomo -- -- = ----- ---- = csch^x - sech2x, entoncessenrrx cosh-x senh2x cosh^x

/ senh2x cosh2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~COth X tanh x + C

r x2 + 2Ejemplo 10. Encuentre ----dx.J x2(x2 + 4)SolucinExpresando el numerador del integrando en trminos de los factores del denominador, resulta

2 1 + 2 = xz + - (xz + 4 - x2) ~ - [(x2 + 4) + x2]

Ahora, escribimos la integral como la suma de dos integrales (haciendo las simplificaciones en cada integrando) y obtenemos

* +2 l f i ! + ( i 2 + 4) i r dx 1 r dxJ x2(x2 + 4) X ~ 2 j x2(x2 + 4) 2 j ^ T 4 + 2 j ^

1 rl xi 1 ~ 2 l2

i ri x : arctan -+ 2

1 X 1-arctan - - + C 4 2 2x

x2 5Ejemplo 11. Halle / = dxJ x2(x2 - 9)SolucinProcediendo del mismo modo que en el ejemplo anterior, resulta

x2 - 5 = x2 + | (x2 - 9 - x2) = | (x2 - 9) i- ~x2 9 9 9

_ f * 2 + | ( * 2 - 9) 4 r dx 5 r dxJ x2(x2 - 9) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 24 1

= 9 ' lnx + 3x 3

5 2 ix + 3| 5~9x + ~ 27 ln lx-31 ~9x + C

8

INTEGRAL INDEFINIDA3 dxEjemplo 12. Halle J x (x + 5)

SolucinUsando el mismo procedimiento de los ejemplos anteriores, se obtiene

3 3 33 = - (x2 + 5 x2) = (x2 + 5) - -x2 . Luego,

3 , - , . , . ^ 3 2 j_ T 5 O 2 + 5) - 5 X2 dx ^ 3 rdx 3 f J x2(x2 + 5) 5 J x2 5 J x2 + 5

3 x: arctan + C

5x 5V5 V5

Ejemplo 13. Sea / : R -> R una funcin continua en R tal que

m = 2 y = * e\ex, x > 1

Determine f(x ).Solucin

(- 1, 00 < x < 0 f-x + Cu x < 0/ '(x ) = |1. 0 < x < l => f(x ) = I x + C2 , 0 < x < 1

le * , x > l le * + C3 , x > l

De la continuidad de / en E, se tiene

0 /(O) - l*m f(x ) = l'm f(x ) *=* 2 = C, = C2 ( 1)x-0_ x^ >0*

ii) / (1 ) = lim_/(x) = lim+/(x ) => 1 + C2 e + C3 (2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: Cx - 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.

x + 2 , x < 0Por tanto, / (x ) = | x + 2, 0 < x < 1

[ex + e - 3 , x > 1

Observacin 3. Una identidad til en el proceso de integracin es

1 1a2 - u 2 2a a u a-ru


TPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II f dxEjemplo 14. Calcule I -.

SolucinUsando la identidad de la observacin 3, se tiene

C dx _ 1 f r 1 1J x4 9 ~ ~ 6 J lx2 + 3 + 3~~}

111 x 1- arctan + ln 6 LV3 V3 2V3

x2 + 13

dx

+ V3-V3 + C

r x + 13Ejemplo 15. Encuentre --- dx.J V F T 9

SolucinTrabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene

f i z + 13 , f (x2 + 9) + 4 f r--- f dx. dx = dx = I 4 X + 9 dx + 4 I

J Vx2 + 9 J Vx2 + 9 J J Vx2 + 9

= - j*V * 2 + 9 + 9 ln(x + V* 2 + 9)] + 4 ln(x + j x 2 + 9) + C

= 2 [W * 2 + 9 + 17 ln(x + V x ^T i)] + C

1.4 MTODOS DE INTEGRACIN

Antes de presentar los mtodos de integracin por sustitucin o cambio de variable y por partes, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las operaciones de derivacin y de integracin. Dada una funcin elemental (funcin que se obtiene mediante un nmero finito de operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin y composicin de funciones de las funciones: constante, potencia (y - xa), exponencial (y = ax), logartmica (y = loga x), trigonomtricas y trigonomtricas inversas), su derivada mantiene la misma estructura, es decir, tambin se expresa como una funcin elemental, mientras que en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones muy especiales.Por ejemplo, las integrales simples como

l ^ i x . e -dx,

J Vi + x3 dx , J ser(x2)dx , j cos(x2) dx

no pueden ser expresadas en trminos de combinaciones finitas de funciones elementales.

10

INTEGRAL INDEFINIDADel punto de vista prctico, la integracin se presenta como una operacin ms complicada que la derivacin, pues sta tiene reglas generales de derivacin; mientras que para la integracin es posible hacer artificios que son vlidos para clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una tentativa, por lo que se recomienda prctica, ms prctica y ms prctica.

1.4.1 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN O CAM BIO DE VARIABLE

Para hallar la integral indefinida por este mtodo, dividimos nuestro anlisis en dos partes: reconocimiento del modelo y cambio de variable.En el reconocimiento del modelo realizamos la sustitucin mentalmente, mientras que en cambio de variable escribimos los pasos de la sustitucin.El procedimiento de sustitucin en la integracin es comparable con la regla de la cadena en la derivacin. Recuerde que para funciones derivables y = f{u ) y u = g(x), la regla de la cadena establece

^IfCffCx))] = f '(g (x )) .g '(x )

Si hacemos la sustitucin u = g(x), entonces a partir de la definicin de la integral definida tenemos

J f(g (x ))g\ x)dx = f (g (x )) + C = f (u ) + C

As, hemos probado la siguiente proposicin:

]Proposicin 3. Si y = f ( u ) es una funcin derivable de u, u = g(x) es una ifuncin derivable de x y F es una antiderivada de / , entonces |

![ f ( g (x))g '(x)dx - F(g(x)) + C (Reconocimiento del modelo) \

Si hacemos el cambio de variable u = g(x), entonces du = g'{x)dx . Luego,

| f (g ( .x ))g 'to d x = J f(u )d u = F(u) + C

Ejemplo 16. Calcule J (x3 + l )4 3x2 dx.SolucinSea t - x :) + 1 . entonces dt 3x2 dx . Luego,

J ( x 3 + l ) 43x2dx = J t 4dt = + C - ..^ + C

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TOPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

X4Ejemplo 17. Halle la integral I - dx.J Vx5 + 1

SolucinSi t = x5 + 1 , se tiene dt 5x4dx . Entonces

f x4 , l f 5x4dx i r 1 7 T'f - dx = r Tr , = c f dt = - - - t6/7 + CJ Vx5 +1 5J Vx5 +1 5 J 5 6

= V ( * s + i ) 6 + c

r SexdxEjemplo 18. Calcule la integral J - ^ = = = .SolucinSi u = ex , se tiene du exdx . Luego, se obtiene

r Sexdx f du...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C

J V i - e2* J V l ^ 2

f senhxcoshxEjemplo 19. Calcule / = ---- - dx.J (1 + senh2x)5SolucinSi consideramos u = 1 + senh2x , se tiene du - 2 senh x cosh x dx . Luego,

f ? du 1 1 u 4 1/ - J - ^ - 2 j U dU - 2 ( ^ ) + C - ~ 8(1 + senh2x)4 + C

f arcsenVx dx Ejemplo 20. Halle I = = ./ V xx2

Solucinr- . ' 1 dx dxSi se hace u = arcsenVx, se tiene du = -- = = .. Por tanto,

V T ^x 2Vx 2Vx - x2

r arcsenVx dx r J r ^ i 2J = J 2u d u = u + C - [arcsenVx] + C

= arcsen2 Vx + C

Observacin 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el integrando para que el cambio de variable sea ms fcil de realizar.

12

INTEGRAL INDEFINIDA

Ejemplo 21. Calcule I I 2+ J2 + J2 + 2cos (5\/x + 4) x 1/2dx.SolucinEn el integrando, aplicamos la identidad trigonomtrica

9 1 + eos 6eos = -- 2 2

Q

1 + eos 6 2 eos2

- I1 = 2 + 2+ |2[l + eos (5Vx + 4)] x 1/2dx

- s! 2 + 12 + 2cos 5-^ +4 x~1/2dx = J 2 + 2 eos 5Vx 4- 4 t/2dx

5Vx + 4 5 _ . 16Si u = -- ----, entonces du = ~x ,dx -du = x ' dx . Luego,8 16 5

32 r 32 32 /5Vx + 4\/ = I eos u d u = sen u + C = sen I -- g | + C

Ejemplo 22. Halle / = J x dxe3* ( l - x)4SolucinLuego de expresar el denominador en una sola potencia, tenemos

xex dx r xex dxr xe dx r xe= J e4x(l x)4 = J (e *- .e4x(l x)4 J (e*-xe*)4

hacemos u = ex xex. Entonces du = xexdx *=> du = xexdx

l)c esiii manera, se obtiene:

/f du _ 1J u4 3u 3+ C = 3e3* ( l x)3 + C


TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

Ejemplo 23. Calcule / = J (x2 - 1)dx(x2 + l)Vx4 + 1

SolucinDividiendo el numerador y el denominador entre x2 , se tiene

, = f f t 1 ~ x 1) dxV i

Si u = x + -, entonces du - ( 1 -- r) dxx V x2/

V u2 = x2 + + 2 ^ u2 2 = x2 + . Por tanto, se obtieneX X

C du 1 |u| 1 /x 2 + 1/ = .......= aresee + C = aresee

J xWu2 2 V2 V2 V2 \V2|x|

f x + 2Ejemplo 24. Calcule / = I ---- dx.J (X i-)

SolucinSi hacemos u = x 2 , se tiene du = dx . Luego,

/ = J (u +J )du = | ( i r3 + 4u-4)du

u 2 4 , 3x + 2= - " 3 +C = - ^ 2 F +C

r x ixEjemplo 25. Calcule / = | f = .

I i + x2 + 7 ( i + x2)3SolucinLa integral puede escribirse como

x dx f x dx/

1 + X 2 + V ( l+ x 2)3 V i + x2V l + V i + x2

,----- x dxSi consideramos i = 1 + Vx2 + 1< entonces du = . Luego,Vx2 + 1

/ = J J u /2du = 2Vt + C = 2J 1 + V 1 + x2 + C

14

Ejemplo 26. Calcule I = J xVx + 4 dx.SolucinSi se hace u = Vx + 4 , entonces u2 = x + 4 y dx

I = J (u2 - 4)u. 2u du j (2u4 - 8u2)du (x + 4)3/2

INTEGRAL INDEFINIDA

15 - (6x - 16) + C

2u du . Por consiguiente,n uS 8 *

= 2 T - 3 +C

EJERCICIOS

J (Vx + 3)dx

J Vx(x + l)dx

4 dx V6 x2

dx x(x2 8)

7x2 + 16 x4 + 4x2

18 dx 9xz - x4

3 dx x2 + 4x - 5

4 dxV4x2 20x 9

/?. - x3,/2 + 3x + C

/?. ^ * 5/2 + 3 x3/2 + C

R. 4 aresen + CV6

K. x2 - 8 + C

3 x 4R. -arctan----- 1- C2 2 x

2 1_ _ lnx 3

x 3

A. lnx 1x + 5

x + 3

+ C

+ C

2x + 5 R. 2 aresen------ i- C

V -4x2 - 12x - 5 dx 1

R. (2.x + 3)V~4x2 - 12x - 5 + 4 aresen 2x + 3

1 0 .

11.

xox+12X3-dx

( D ' t *3 / '*

25senh x dx

i.:. J CO

(1 + cosh x) 3 dx

R. -2(1 + coshx):

4- C

C

+ C

os2( l - 4x) R. - - tan (l - 4x) + C 4


TOPICOS Di; CLCULO - VOLUMLN II

13. J cos(7x + 4)dx

14. J c'2x~r,) dx

15. J (lnx + l )e xlnxdx

16. dxx ln2xf dx17. ----

J x lnx

18. J 4xex dx

dx19.

20./sen2x Vcotx - 1

tan2*sen x ecosJx

ev*3e2 '. I

I dx23.

(1 + x2) ln(x 4- V i + x2)

arctan* + x ln (x2 + l) + l1 + x2

1R. -scn(7x + 4) + C

R. - e ^ - ^ + C

R. xx + C

R. ---- h Cln x

R. ln|ln x| + C

(4e)xR. --- ~ + C1 + ln4

3R. - -(cotx - 1)2/3 + C

r _ etarv2r j . c

2(3e^ )R + C ln 3

R 2 J ln (x + ij 1 + x2) -i- C

dx

R earctanx + - ln (x2 + 1) + arctan x + C 4

24,

25

26

J i

I /

sen x dx

dx R. sen x + *+ c

1 + eoslOx dx

R. tan 5x + C

V2x + 1 - vxR. 2(V2x + 1 + Vx) 2[arctanV2x + 1 + arctanVx] + C

^ f (x2 -2x + l ) 1/5 j27. ---- --------- dxJ 1 - x R. - (x l ) 2/s + C

16

28. J x2x(\nx + 1 )dx

x2xR .- y + C

INTEGRAL INDEFINIDA

29 V2 + x 2 V2 x2V4 x4

dx

-dx

31.

32.

33.

34.

35

Vx - 1 + V xT T dx

1 + sen x x - arctan 2x

/

f 1 + 4x2 J ln ( ln x )

/

/vi

-dx

x lnx dx

2X 4- 3 dxX _ !

sen xcosx

37

38.

39

40

41.

V2 - sen4x dx

dx

4 + 5 cos2x dx

4 + 5 sen2x dx

ex + 4 ln 3x

x ln 5x

ln(x + Vx2 + 1)

' /

J /

42. J V i + sen x dx

43. J V i + cosx dx

4 4 / ;

1 + x 2 dx

*. a r c s e (- | )- s e h - (- ) + C

/?. - [(x + I )3/2 (x - I ) 3/2] + C

R. tan x - secx + C

1 1R. - ln ( l + 4x2) - -arctan2(2x) + CO

1R. - ln 2(lnx) + C

1* 3 x - ln(2* + 3) + C

R. 2 a retan Ve* - 1 + C

R. -aresen, _ 2 V V2

+ C

1 (2 tan x\. _ arctan( _ _ j + c

1 2 cot x\R. _ - arctan( _ _ j + C

R. - - ln ( l + 4e x) + C

R. In ln|ln5x| + lnx + C

R. ^[ln(x + yjx2 + 1)] / +C

R. - 2 vT - sen x + C

e x + ex

R. 2V i - cosx + C

R. arctan(e*) + C


J W -

TOPICOS DE CLCULO - VOLUMEN IIdx 4f dx 4

45' ~ r = = R. ~ (V x + 1)3/2 - 4(Vx + l )1/2 + cJ v V x + 1

f a r c t a n V x

' J vTrTWf^dx R tarctan^ r + ca i f ( x ~ 2) , _ _ fyfx2 - x + l\

' J W f ^ T V p ^ T T T * * 2 arcse" ( ---- i ---- ) + c

48. x Zsenx~: (senx + x cosx ln x )d x R. x 2senx + C*' 2

~ /--- - ---- ft. J l n x + V l n x + . . . + oo + celn(2jcJV ln x + Vlnx + ... +oo x

f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10J eos 5x + 5 eos 3x + 10 cosx dX R - 2 s e n x + Cf sen 8x d x 1 /s e n 2 4x\

5L I 9 + senHx R' J arctan ( 3 j + Cf cos2x (ta n 2x + 1 ) 1

52. ------ ------ dx R ------------- 1- cJ (se nx + c o sx )2 1 + tan x

f Isecx - tan xb3 J Jsecx + ta n x d* R' >n|secx + tanx| - ln(secx) + C

54. J c s c 3x d x R. - -[esc x cotx 4- ln|csc x - cotx|J + C

55. J s e c 3xdx R. - [lnlsecx + tan x| + secx tan x] + C

f e2x 25- J 4 Y+~dx R- l ^ x - 1)3/2 - 2(ex + l )1-'2 -r C

r V e ^ T earctan * + ln f( l + x2)V*2e*-*2l + V ^ = T57. I --------- -*-------- ^

J \l 1 4- y ^-\!p x 4- v ^ - p X v 2 1

/?. earctan at + i In2 (1 + x2) + arctan X + C 4

q s f x d x n 1J ( X ~ l ) 5e4x R' ~ 4(x l)4 e4Ar + C

18

59.2e* + e_*

INTEGRAL INDEFINIDAf 2e* + e-* |3-------3/------- ,

J 3T " - 4 e - d y f. In J-v/3e2jc 4 ^ 3 e~2x\ + Cf Inx dx 1

J x 3( l n x - 1)3 2x2(lnx - l )2 + C4 dx

61. f ----- J eos XV 1 sen 2x + 2cos2x ____________________

/?. 4 ln[(tan x - 1) + Vtan2x - 2 tan x + 3] + C

62. j (4 3 lnx )4 d (lnx ) R. - (4 - 31nx)s + C\

. r e xy*~+2J ,----- Ve* + 263. dx f. 2 Ve* + 2 - 4 arctan------- hCj e* + 6 2

f x5 dx x3 8M . j j r r g B. _ + 8|+ c

f 1 + tan x 165. - dx R. -In esc 2x - cot 2x| + tan x + CJ sen 2x 2

66. Una funcin / : E -> E es continua en E y satisface: n r ,, X x + |1 - x|

x2 + 1/(O) = - - y / '(x ) = -f : ; . Halle/(x).

/ M = j arctan:r f S 1(.ln(x2 + 1) - arctan x - ln 2 , x > 1

467. Halle la ecuacin de la curva para el cual y " y que es tangente a lax

2recta 2x + y = 5 en el punto (1; 3) R. y = + 1

68. Halle la ecuacin de la curva cuya tangente en el punto (0; 2) es horizontal y/ 10 \

tiene punto de inflexin en ( 1; 2 ) y y' = 4.2 vR. y = - x 3 + 2x2 + 2

x2 + VTTx V f

709\69. Encuentre la antiderivada de / (x ) = T7~.. < m0C0 que dicha

antiderivada pase por P ^0; 2qqJ, r3 , 6 3 6 ______

R. (1 + x) / (1 "f* x) - - (1 + x) + - + - V i + x L8 5 L 1 +1


Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de la diferencial del producto, se tiene

d(uv ) = udv + vdu Podemos reescribir la expresin como

udv = d(uv ) - vdu Integrando ambos lados de la igualdad se obtiene la frmula

J udv = uv j vduEsta frmula es conocida como frmula de integracin por partes.

Observacin 5. La idea bsica de la integracin por parles consiste en calcular la integral original mediante el clculo de otra integral, la cual se espera que sea ms simple de resolver que la integral original dada.Para descomponer el elemento de integracin en dos factores u y dv. normalmente se elige como la funcin u aquella parte del integrando que se simplifica con a derivacin y dv ser el factor restante del elemento de integracin. Esta no es una regla general, pues en la prctica la habilidad y la experiencia del que calcula son las mejores herramientas.

Observacin 6. Cuando se determina la funcin v a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integracin, pues si en lugar de v se considera v + C, C constante, entonces

j u d v = u(v + C) - j (v + C)du = uv - J v duEsto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final.

Ejemplo 27. Calcule j lnx dx.SolucinDe acuerdo con la sugerencia dada en la observacin .2, elegimos

1u ~ \nx => du = - dx xdv = dx =s v j dx = x (no se considera la constante de integracin)

Por la frmula de integracin por partes, se obtiene , f x dxJ ln x dx = x ln x - I - x\ nx-x + C

TOPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II1.4.2 MTODO DE INTEGRACIN POR PARTES

20

Ejemplo 28. Calcule / = J (x2 + 3x - 1 )e2xdx. SolucinEscogemos

u = x2 + 3 x - l

INTEGRAL INDEFINIDA

du = (2x + 3 )dx

| dv, e2xdx => v | e2xdx = e2x/ '

Luego, obtenemos

/ = - (x2 + 3x - l ) e 2x - J (* + 2) e2*dx

En la ltima integral (ms simple que la original) aplicamos nuevamente la integracin por partes con

r 3\u = x + - =* du = dx

dv = e2xdx => v = - e 2x 2Por lo tanto,

I = 2 ^x2 + - l ) e 2x -

,2x= (x2 + 2x - 2) + C

Ejemplo 29. Calcule / = J eax cosbx dx. SolucinEscogemos

[ u = eax => du = aeax dx 1

dv - eos bx dx => v - - sen bx bEntonces,

1/ = - e ax sen bx b - a

eaxsen bx dx = - sen bx b i eaxsen bx dx

Integrando nuevamente por partes en I eax sen bx d x , escogemos!u e du = a eax dx

Idv = sen bx dx =* v = cosbx ' b21 www.FreeLibros.com

^ = ~b e * Lt

f cosx 4- x sen x 1 Ejemplo 32. Calcule / = J -- ^ x ^ 2SolucinUtilizando la identidad sen2x 4- cos2x = 1, escribimos la integral como

f cosx 4- x sen x - sen2x - cos2x = J (sen x - x)2

f - cosx(cosx - 1) - sen x(sen x - x)' I --------- ^ ^

/

(sen x - x) 2 cosx(cosx 1) f senxdxf - cosx(cosx - 1) f

J (sen x - x)2 J (sen x - x)/

Para la integral J, aplicamos la integracin por partes con

u eos x => du = sen x dx(co sx - 1 )dx ^ _ 1dV ~ (sen x - x )2 ^ V ~ (sen x - x)

Luego,cosx "f senxdx f senxdx

/ = ------- 4-

f sen x dx fJ (sen x - x) Jsen x - x J (sen x - x) J (sen x - x)

Por lo tanto,cosx/ = -------- 4-Csen x - x

www.FreeLibros.com

Ejemplo 33. Calcule / = J dx.SolucinSeparando la integral en la suma de dos integrales, se tiene


/ J dx + J ex\n x dx

Para la integral /, hacemos u ln a: => rfu vdi? = exdx => v ex

As,

/ = f- yd x + [exlnx- j ^ dx = ex ln x + C

dx.f YParC^an x

Ejemplo 34. Calcule / = I --------J ( i + x2y/2Solucin

garctan xComo la integral de ^ 2 es inmediata, elegimos

u V i + x2

du =(1 + x2)3/2dx

, arctan xdv =

1 + X -dx =$ v = e- arctan x

Luego, tenemos3arctan *

/xe

/V I T * 2 J ( 1 + x2)3/2dx

En la integral J consideramos ( 1u =

V i + x2 du = -x dx

(1 + x2)3/2

dv =

Luego, se tiene1 +x2-dx => v = e

a arctan x

I =xe arctan x

V i + X 2 vr+n x [

= H (1 + x2)3/2dx

-i arctan xrvPortante, l = i - -_ ! ? i i + c

2 V i + x2

24

INTEGRAL INDEFINIDA

Otra forma de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cambio de variable t = arctan x y la integral se transforma en J ecsert t dt.

Ejemplo 35. Calcule / = [ J

senh2x dx(x cosh x senh x)2

Solucin ,Multiplicando y dividiendo entre x, se tiene

/f senh x x senh x dxJ x (x cosh x - senh x) 2

Ahora escogemossenhx x cosh x- senh x

u = ----- => du ----- ------- dxx xlx senh x 1

dv = ----- ------- - dx => v(x cosh x - senh x) 2 x cosh x-senhxEntonces

senh x r dxx(senh x - xcoshx) J x2

senh x 1/ = -- :-------- z r - - + Cx(senh x - xcoshx) x

f e enx(xcosJx sen x)Ejemplo 36. Calcule / = I ----------------- dx.J CQSXSolucin

Tenemos l = J xesen * eos x dx - J sen x sen* ----- dxCOS2X

(u = x = > d u = dx ...h n h a c ie n d o < , v , con r se obtiene1-dv = e eos x dx => v = e

"J'1

ln /2, haciendo

U = xesenx

(u = esenx =* du = esen * eos x dx, sen x 1 resultadv = -- dx =^ > v -----cos^x cosx

l2 = ------[ esenx dx = esenx see x - [ esenx dxcosx J J



EJERCICIOS Calcule las siguientes integrales indefinidas.

v31. J x2 lnx dx

2. J (7 + x - 3xz)e~x dx

3. J x sec2x dx

4. J arcsen(2x)dx

_ f lnx* J ^

6. J ln(x + V i + x2) dx

7. j cos (ln al:) dx

8. J sen(lnx)dx

9. J x arctan2x dx

R. (3 lnx 1) + C

. (3x2 + 5x - 2)e~x + C

R. x tan x + ln|cosx| + C

V i - 4x2 R. x aresen 2x H--------- 1- C

1 + 2 lnxR. - ----b C4x2

R. x ln(x + 71 + x 2) - J l + x2 + C

XR. -[sen(lnx) + eos (lnx)] + i'

/?. -[sen(lnx) cos (lnx)] + C

R- 2 [(.x2 + l)arctan2x - 2x arctan x + ln(x2 + 1)] + C

10 / arcsen2x dx

i i .

' ,J i r r n c v con v V

f J (x + l ) 2

/?. a: arcsen2x + 2 V T ^ x 2 aresen x - 2 x + C

R. lnx |ln(Inx) - 1| + C

x2 + 1 ( X 1

x2 dx (a: eos x - sen x )2

(x2 + l ) e x

R.

R.

R.

-ln ( )Vx + 1/

sen x(cosx - sen x)

2x ex

x + C

cot x + C

x + 1 ex + C

26

INTEGRAL INDEFINIDA

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

27.

28.

x e*(1 + x )z dx R. ----- + ex + Cl + x

x e

_ ^ ^x arctan j x 2 ld x R. - x 2 arctanVx2 - 1 ~ 2 ~ 1 + C

x aresen x(1 - x2)3/2

arctan x

dx aresen x 1 R. + ln

-dx R.

V i - x2 2 arctan x

1 - x+ Cl+ x

+ ln|x| - ln i / l + x2 + C

es c5xdx R.

X ( X + 1\

ln ( * ^ t ) dxV i x2

e2*cos (e*) dx

ea*sen x dx

-csc3x cotx - -(esex cotx + ln|cscx + cotx|)j + C

R. V i - x2 ln f--- r) + 2 aresen x + CVx + 1/

R. exsen(ex) + cos(ex) + C

[a sen bx b cos bxJ + C

arctan(Vx + 1) dx

ln(Vx + V i + x) dx

sen2(Inx) dx

a2 + b2

R. (x + 2)arctanVx + 1 - Vx + 1 + C

R. {x + ln(Vx + Vx + 1) ~Vx2 + x + C

R. x sen2 (ln x) - - [x sen(2 ln x) - 2x eos (2 ln x)] + C

^gSen x C 0S4X _ ^

COSJ Xdx

R. esen * - - [seex tan x + ln|secx + tan x|] + C

(x2 - sen2x)-dx R. x(cscx - cotx) + Cx - sen x eos x + x eos x - sen x

(arccos x - ln x) dx R. x rceos x - V 1 - x2 x(ln x - 1) + C


29. Si / (x) = a f (x) y g"(x) = b g(x), donde ay b son constantes, hallar la integral:


j f(x)g"(x) dx

/30. I 4x3 arcsen dx

x arctan x 31. I ~~7Z--- T^rdx

- P

I

35. I

d + x 2y

x4 x arctan x32. | --- dx(1 + x2)2

, arcsenVx33. | --- dxVx

,1 /xdx

.. r x2sec2x37. I ----------^~z^dxJ (tan x - x se /

^2cai.2,(tan x x sec2x)2 '

1dx

arcsen 39 1 ------*

41. j arctan^jVx - 1 dx

43.

45.

47.

49.

50.

dx

(e2x - x2)(x - 1)/

xcosxJ (x -

x2exsen x + 1

dx

-dx(x + cosx) 2

a In(x + a + Vx2 + 2ax)

a + b [f(x)g'(x) - f'(x)g(x)} + C

i 1 ( x 2 + 2R. x arcsen 4- ( - 1 - /v2x2 - 1 + c

/34. eos x ex dx

36.

38.

40.

42.

44.

:eos x dxJ x ex i

J x arctan Vx2 - 1 dx

/

/

I

!

cosh2x dx(x senh x - coshx)2

ln(2 + Vx)Vx

-dx

(x sen x + cosx)(x2 - cos2x)dx

46. cosh 3x eos 2x dx

f x / l + *\48. I :In ( ---- dxJ VI - x 2 V i-x )

(x + a )2/f X^J - = = [ l n ( l + X)* - l n ( l - x y ]dx

28

1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado de la forma: /

dx f dxI

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5 TCNICAS DE INTEGRACIN

I. ----- II. J px2 + qx + r J j zpx2 + qx + r J v'px2 + qx + r

n] [ (ax + b)dx f (ax + b)dxJ px2 + qx + r J J p x 2 + qx + r

En los casos (I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinomio y aplicar las frmulas que correspondan: (23), (24), (25) (26).

En los casos (III) y (IV) se usa el siguiente artificio:a aq

ax + b (2 px + q) + b 2 p 2 pLa expresin 2px + q es la derivada del trinomio cuadrado. Entonces

f (ax + b)dx a C (2px + q)dx / aq\ r dx J px2 + qx + r 2p J px2 + qx + r V 2p) J px2 + qx + r

Aa / aq\

= ln|px2 + qx + r \ + yb - J A

Por otro lado,(ax + b)dx a f (2px + q)dx / aq\ f dxI' (ax + b)dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq^ f

J yjpx2 + qx + r 2p J j p x 2 + qx + r ' 2p) J ^jpx2 + qx + :

a / -^------ ( acl\= - Vpx2 + qx + r + \ b - j Bp \ 2 p jI ,as integrales (4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.

Ejemplo 37. Calcule las siguientes integrales:3 dx f dxf 3 dx . s 1

J 4x2 + 4x - 3 J x2 - 2x + 10f 2 dx 5 dx

J Vx2 + 6x + 18 ^ i Vx2 8x 12SolucinCompletando el cuadrado en cada trinomio y aplicando las frmulas de migracin, tenemos


f 3 dx 3 r J 4x2 + 4x-3 ~ 2 J

TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II2 x - l3 dx 3 f 2 dx 3

= ^ln(2x + i y - 4 2x + 3 + C

, n f dx f dx 1 (x~l\) J x 2 -2x + 10 J (x- 1)2 + 9 3 arCtan(_ 3~J + C

( 2 dx r dx , ,---------- ,c) 7 r . T i = 2 1 t=~ = 2 ln x + 3 + Vx2 + 6x + 18 + CJ Vx2 + 6x + 18 J V(* + 3)2 + 9 L J

f 5 dx r dx /x + 4\d) I 7 ' 0 ~ = 5 = = 5 arcsen (- ) + Ci V-x2 - 8x 12 J ^ 4 - (x + 4)2 v 2 )

Ejemplo 38. Calcule las siguientes integrales:f (3x - 5)dx r (1 - 4x)dx

J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1c) 2 ~ ix d) ( - ( i i i W

J Vx2 + lOx + 21 J x(x + 3)SolucinCompletando cuadrado en cada trinomio y usando el artificio indicado, se tiene

3 3a) 3x 5 = (2x + 6) 9 5 = (2x + 6) 14. Entonces

f (3x 5)dx _ 3 r (2x + 6)dx f dxJ x2 + 6x + 18 2 J x2 + 6x + 18 14J(x + 3)2 + 9

3, / , 14 /x + 3\= -ln(x + 6x + 18) arctan -J + C

4 4 2 7b) 1 4x = (18x + 6) + l+ = - (18x + 6) + . Luego,

f (1 ~ 4x)dx _ _ 2 f (18x + 6)dx ^ 7 1 f 3 dx J V9x2 + 6x - 3 9 J V9x2 + 6x - 3 + 3 3 J y/(3x + l ) 2 - 4

4 : 7 ----------------------= V9x2 + 6x - 3 + -ln 3x + 1 + V9x2 + 6x - 3 + C y y i i

1 1c) 2 x = (2x + 10) + 2 + 5 = - (2x + 10) + 7. Entonces

(2 - x)dx 1 f (2x + 10)dx f dxf (2 _-x)dx _ i r (2x + 10)dx fi Vx2 + lOx + 21 ~ 2 j Vx2 + lOx + 21 + 7 i 'Vx2 + lOx + 21 J V(x + 5)2 - 4

= -Vx2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V*2 + 10x + 2l| + C

30

d)

INTEGRAL INDEFINIDA(4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f dxf (4 + 5x) 5 f 2x + 3 7 f

Jx(x + 3 )dX 2 j x 2 + 3xdX 2 J / 3\ 9V* + 2 4

5 7 i x= -ln|x2 + 3x| -ln2 6 Ix + 3'

Ejemplo 39. Calcule las siguientes integrales: ^ f (3e2x - 4ex) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^J V4e* - ex - 3 J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)

Solucin

a) I (3e2x- 4 e x) f ( 3 e x -4 )exdx_ [ (3ex - 4ex) Hy _ f ~ J v4e* - e x - 3 ~ J v 4ex - e x - 3 J V4ex - e2x - 3

Si se hace t = ex , entonces dt = ex dx . Luego,

f (31 - 4)d t 3 f (4 - 2t)dt f dtl = j- (31 - 4)dt _ 3 I" (4 2t)dt + ^ [ dtJ V4t - t 2 - 3 2 J >/4t - t2 - 3 J yjl - (t - 2)2

= -3V4 - t 2 3 + 2 arcsen(t 2) + C

= 3y4ex e2x 3 + 2 arcsen(e* 2) + C

r (senh x + 3 cosh x) dx ^ ^ J coshx(6 senh2x + senh 2x + 5)

= /:(senh x + 3 coshx) dx

cosh x(6 senh2x + 2 senh x cosh x + 5)Dividiendo numerador y denominador entre cosh3x , se tiene

; = J(tanh x + 3) sech2x dx

6 tanh2x + 2 tanh x + 5 sech2x

(tanh x + 3) sech2x dxJ 6 tanh2x + 2 tanh x + 5(1 tanh2x)

Ahora bien, si t = tanh x , entonces dt = sech2x dx. Por consiguiente.

r (t + 3)d _ 1 f (2t + 2)dt n f dt1 ~ J t2 + 2t+ 5 ~ 2J t2 + 2t + 5 + 2 J (t + l ) 2 + 4

1 , , /tanh x + 1\-ln|tanh2x + 2 tanhx + 5| + arctan ^ --- ---- J + C


TPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

! '52 rH IP ERB U C A ESALGUNAS FUNCIONES TRIGONOM TRICAS

Recordemos las siguientes identidades: 1. sen2u + cos2u = 1

3. csc2u - cot2u = 1

1 + eos 2 u5. cos2u =

7. sech2u + tanh2u = 1 cosh 2u - 19. senh2u2,/

2. sec2u - tan2u = 1 1 - eos 2u4. sen2u =

6. cosh2u - senh2u = 1

8. coth2u - csch2u = 1 cosh2u + 110. cosh2u =

Estas identidades son muy importantes en los artificios para resolver ciertos tiposde integrales de funciones trigonomtricas e hiperblicas.

I. INTEGRALES DE LA FORMA: J senmx cosnx dx y J senhm* coshn* dx.Se consideran 2 casos:

CASO 1: Uno de los exponentes m n e s un entero impar positivo.0 Si m es impar positivo, se factoriza sen * dx (o senh * dj) y se expresa los

senos o senos hiperblicos) restantes en funcin de cosenos (o cosenos hiperblicos) usando la identidad

sen2* = 1 eos2* ( senh2* = cosh2* - 1)

ii) S. n es impar positivo, se procede de manera similar, es decir, se factoriza eos x dx (o coshx dx) y se expresa los cosenos ( cosenos hiperblicos) restantes en funcin de senos (o senos hiperblicos) usando la identidad.

eos2* = 1 - sen2* (o cosh2* = 1 + senh2*)

Ejemplo 40. Calcule las integrales

a) I sen3* eos4* dx b) J senh5* V ^ ih 7 dxSolucin

a) / = J sen3* eos4* dx eos4* (sen * dx)= J sen2*

= - cos2*)cos4* (sen * dx)

INTEGRAL INDEFINIDA

En la ltima integral, hacemos u = eos * =* du - -sen * dx . As, se tiene

/ = J (1 - u2)u4 (-du) = - f (tt4 - u6)du = - y + y + C

35(5 eos2* - 7) + C

b) f senh5* V ^ i h l dx = f (cosh2* - l ) 2(cosh * ) ^ 2 (senh * dx)

= j (cosh9/2* - 2 cosh5/2* + cosh1/z*)(senh * dx)

= JLcosh11/2* - ~cosh7/2* + \ cosh3/2* + C 11 7 3

CASO 2: Ambos exponentes m y n son pares y mayores o iguales a cero.

En este caso, se usan las identidades:1 eos 2* , 1 + eos 2*

sen2* = --- ^--- y C = --- 2---/ cosh 2* - 1 , 7 cosh 2x + 1\/ cosh 2 * - 1 , senh2* ------^---- Y cosh * =

Al efectuar las operaciones, se obtienen trminos que contienen potencias pares e impares de eos 2* ( cosh 2x). Los trminos que tienen las potencias impares se integran teniendo en cuenta el caso 1. Los trminos que tienen las potencias pares se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.

Ejemplo 41. C alcu le las integrales:

a) J senh43* dx b) f sen2* eos4* dxSolucin

a) I seh43x dx = J ( 5 - t l i ) 2 ix = i J (c o s h 6* - 2 cosh 6 + 1) dx

- ? / (

- I I

csh(12) + l _ fa + 1 ^2

(cosh 12* - 4 cosh 6* 4- 3) dx

= i f senh 12* senh 6* + 3*) + C 8 \12 3 >


TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II. 2u f 4 , f / I - cos2x\/I 4-cos2x\b) J sen-x cos4x dx = J (-------- j ( --- ---- J dx

= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32x) dx

1 f / 14- cos4x\ 1 f- g J + eos 2x--------- j dx - - I (1 - sen22x)(cos 2x dx)

= j ( j + cos 2x ~\cos4x) dx ~ T 6


Ejemplo 43. Calcule las siguientes integrales:

a) J tan3/2x sec4x dx b) j csc4x dx

c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6xdxSolucin

a) j tan3/2xsec4xdx = J tan3/2xsec2x(sec2x dx)

= j tan3/2x (l + tan2x)(sec2x dx)

- J (tan3/

d) J cosh 4x senh x dx = j [senh 5x - senh 3x]dx1/1 1 \

= 2 \5 C S ~ 3 C0S ^ / + ^

En este ejemplo, se han usado las identidades: senh(-u) = -senh u , sen(-u) = -sen u cosh(u) = coshu , cos(-u) = cosu

Ejemplo 45. Calcule las integrales:

i ~ . sen4* + cos.4xa) I sen3(3x)tan3xdx b) --- ----- T-dxJ J sen2x cos2xf eos x f

c) dx d) I cos3x sen 3x dxJ Vsen7(2x) cosx J

Solucinf f sen43xa) / = sen3(3x)tan3xdx = --- dxJ J eos 3*

_ J (1 - cos23x)2


eos 3x -dx

b)

= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33x)dx

1 2 1 f = -ln|sec3x + tan 3x| - - sen 3x + - I (1 - sen23x)(3 eos 3x dx)

1 2 1 / 1 \= -ln|sec3x 4- tan 3x| - - sen 3x + - (sen 3x - -sen33x + Cj 3 3 V 3 /1 , 1 1= -ln|sec3x 4- tan 3x| - -sen 3x --sen33x + CJ J 7

fsen4x + eos4x r 4(2 + 2 cos22x) i ----------- J~ d x = ------------- -------- d xJ sen2x - cos2x J -cos2x

- l (see2x + eos 2x)dx1 , 1 = --rhi(see2x + tan 2x| - -rsen 2x + C4 4

38

c) /

INTEGRAL INDEFINIDAeos x I r eos x dx

- C 0 S ; : C h - 1 f J ^ /s e ^x je o sx V27 J Vsen7 x cos8x

Se observa que esta integral no se adapta a ninguno de los tipos estudiados en (I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transformar a los otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes cotangentes y cosecantes. En este ejemplo, transformando a tangentes y secantes (dividiendo entre cos5x, numerador y denominador) se obtiene:

1 r sec4x 1 r 1 + tan2x' = V l28 J tan7/3x = V f J tan7/3* (sec"x dx )

1. .tan 7/3x + tan 1/3x)see2xdx

4 V2J v J

= rrz ( - eot4/3x + - ta n 2/3x ) + C 4V2V 4 2 J

f f (1 + eos 4x\d) ] = I cosi 2x sen 3xdx - J ^--- ---- J eos 2x sen 3x dx

^ / ( c o s z x s e n 3 ^ + J eos 4x(cos 2x sen 3x)dx

= - J [sen x + sen 5x] dx + - J [cos4x sen x + cos4x sen 5x]dx1 1 1 ir= eos x - eos 5x + - I [-sen 3x + sen 5x + sen x + sen 9x]dx

1 / 1 \ 1/1 1 1 \= - eos x - eos 5x I + - - eos 3x - - eos 5x - eos x -- eos x] + C4 V 5 / 8 \3 5 9 /

3 1 3 1= - - eos x + - eos 3x - eos 5x - eos 9x + C8 24 40 72

Ejemplo 46. Calcule las siguientes integrales:

f f f sen^xa) j tanh42xdx b) I sech3xdx e) I dx

, ^ 4d )

cosxrsen43x f-- rr~dx e) tan2xseexdxJ cos33x J

SolucinSe observa que ninguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo que ser necesario efectuar algunas transformaciones. En efecto,



a) I tanh42x dx = J (1 - sech2x)2 dx = J ( 1 - 2 sechz2x + sech42x) dx

= x tanh 2x + J (1 tanh22x) sech2x dx

1 / 1 = x - tanh 2x 4- -(tanh 2x - ~tanh32x) 4- C

1 1= x - -tanh 2x - -tanh32x + C O

b) J sech3x dx - J - J l- tanh2x (sech2x dx)

(Si u = tanh x , du - seeh2x dx)

= [tanh x V l - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C

l r= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C

f sen2x f r^ J cs^xdx = J tan2x Sec4x dx = I tan2x(-1 + tan2x)(sec2x dx)

= I (tan2x + tan4x)(sec2x dx) = ^ ta n3x + ^ ta n sx + C J 3 5

( sen43x r (1 - cos23x) 2 r3 J cos33x J ^ s'33x dx = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* ) dx

= J V l + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x 4- tan 3x| 4-^sen3xA

1 r= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x 4- tan 3x|] - A

1 1 1 = gtan 3x sec3x - -In|sec 3x + tan 3x| + gSen 3x + c

e) I tan2x secxdx = J y /sec^x^l(tan xsecxdx)

1 ,= -|secxtanx - ln|secx + tanx|] + C

INTEGRAL INDEFINIDA f dxl:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la sustitucin x = 2 tan i

Sol ut-ion< .uno x = 2 tan 0 , dx 2 scc29 dO. Entonces

1 f s e c 29 d9 1I

f dx l f sec 0 d9 1 r

1 f (1 + cos 26)d9 1- l 2 16

x 2x

sen 20+ C = [0 + sen 0 cos 0] + C 16

1 /= arctan - 4- , ,16 V 2 4 + x2 + C

Para regresar a la variable original x, en vista de que tan# = - , se construye d tringulo

A partir de este tringulo, se obtiene que

sen 0 =Vx2 + 4

y cos ti = Vx2 4- 4

EJERCIC IOSCalcule las siguientes integrales indefinidas:

1. V xz + 2x 8 dx

- [(x 4- l )V x 2 - x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- V * 2 4- 2x - 8|J 4-

3.

9 dxV9xz - 12x 4- 13

3 dx 4x2 16x 4-17

4 Ix

?. 3 ln [3x - 2 4- V6x2 - 12x 4- 13] 4- C

R. -arctan(2x - 4) 4- C

Vx2 4- 2x 8: dx

. - 7V x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8| 4- C


5. f !J 9x2 -

3 4- 5x12x + 13

i u n c u s U t CALCULO - VOLUMEN II

dx

1.

f (2 -

I(2 - x)dx

V-x2 - 10x - 21 sen 2x 4- 3 cosx

V9 4- 4 sen x cos2x

R- lg In(9x2 12x 4-13) 4- y arctan 4- C

V * 2 lOx 21 + 7arcsen + q

dx

R- 2 V i iH ^ T 4 ^ H T T 8 - In|sen x 4- 2 4- x 7 T 4 l i i T T 8 | + Ca f _____(5senh x 4- 4 cosh x)dx

J coshx(9 senh2x 4

9. J sen2xdx

cosh x(9 senh2x 4- 6 senh 2x 4- 5)

R- g ln|4 tanh2x 4-12 tanh x| - ~ ln tanh ^ + 1 [ + 16 12 tanh x 4-5

n x sen 2x * 2 ~ +C

10. J cosh25x dx

u . J sen4x dx

12. / cos5x dx

, 3 . / cos7x sen3x dx

f sen3x14. I -- r-dxJ cos4x

15. J senh3x dx

16. j sen2(3x)cos43x dx

17. J senh8x cosh5x dx

18. j tan6x dx

d * 1R- 2 + ^ sen(10x) 4- C

3x sen 2x sen 4x * ' T 4 ~ + + c

D 2 , 1R. sen x - -sen3x 4- -sen5x 4- C

R.

COS8X40

13 cos3x

(4 cos2x - 5) 4- C

- secx 4- C

1R cshx(cosh2x 3) 4- C

x sen 12x sen36x ' 16 192 + ~144~+C

1 2 i R. -senh9* 4- -senh3x 4- -senhsx -f C

1 1R g tan x - -tan3x - tan x 4- x 4- C

42

INTEGRAL INDEFINIDA

19. J cot5* dx

20. J tanh4x dx

21. j sec4* Vcot3* dx

22. J tan5x Vcos3x dx

23. J tanh6x sech4* dx

V2 dx24.

cos3*Vsen 2*

25. J sen 3* sen 5* d*

26. I cos 2* cos 7* dx

/

J

I27. J sen52x cosB2x d*

28. J sen3* cos3* d*

29. J (1 4- cos 4x)3/2 d*

30. J cot4(3*)d*

I a * 7 * ,31. | sen4 - cos dx

32. J tan3* dx

33. J tan3(3x)sec3(3x)dx

1 * 1 ,R. -cot4* 4--cot2* 4- ln|sen*| 4- C

R. x tanh* -- tanh3* 4- C

R. - 2Vcot * 4- - Vtan3* 4- C

2 2 R. -sec5/2* 4 sec1/2* -cos3/2* 4-C

1 , 1 R. -tanh7* -tanh9* 4- C 7 9

R. -Vtan*(5 + tan2*) 4- C

sen 2* sen 8*R ------77 4- C4 16

1 1 R. sen 5* 4- sen 9* 4- C 10 181 1R. -sen6(2*) - -sen8(2*) 4- C

R. - -i-cos(2*) 4--i-cos3(2x) 4 C 16 48

V2 V2 , 'R. sen 2 * sen32* 4- C 2 3

1 , 1R. -cot33* 4--cot 3* 4- * 4- C 9 3* 1 1

R TZ ~ To sen 2* sen * 4- C 16 32 24

tan2*R. --- F ln|cos*| 4- C

1 1 ,R. sec53* - -sec33x 4- C 15 9

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Veos4*


dx i?. Vsec* cos2x + + C

dx ^R. 2 tan* + -tan3* - cota: + Csen2* eos4* " ---- 3

dx 1 3 jsen5* eos5* 2 tan x + 3 n^ ltan x\ ~ :> cot2* -cot4* + C

dxVsenx eos3* R. 2Vtan x + C

dx R- -cot* - -cot3* + Ctan4* " v'v-'v 3 '

Veot* eos9* dx ?. 2Vsen * - ^sen5/z* + ^ sen9/2* + C

sen2(?r*)cos6(jr*) dx R -[3 tan3(?r*) +-tans(7r*)j + C

f sen* sen 2 * sen 3* dx R. c o s 6 * - i Cos4* ^ c o s 2* + C

f sen 4* eos 5* dx r eos 9* eos*18 2

sen 8* sen 3* dx r sen * lx _ sen , r 22 10

cosh 3* cosh * dx r . -senh 4* + -senh 2x + Co 4

senh 4x senh * dx R. cosh 5* + i cosh 3* + C

sen3* eos 3xdx R. j^cos2x - ^ c o s 4 x + cosx + C

eos2* sen24* dx R x ^en 1 sen 2x sen 6* sen 10*' 4 32 -8 ~ 48 8 ~ + C

senh2* cosh 5* dx f sen^ . senh 3* senh 5* ^' 28 ^ 12 iT + C

50 f dX 2 J Vsen3* cossx -2Vct* + -tan*V taF* + C

44

INTEGRAL INDEFINIDA

1.5.3 INTEGRACIN POR SUSTITUCIN TRIGONOM TRICA

Las integrales de la forma f R(x , yjpx 2 + qx + r)dx, donde R es una funcin racional de las variables * y j p x 2 + qx + r , se puede simplificar por medio de una sustitucin trigonomtrica adecuada.Completando el cuadrado en el trinomio px2 + qx + r se obtiene una expresin de la forma u 2 + a2 u 2 a2 a2 u 2, donde a es una constante.

I) Si el trinomio tiene la forma a2 u 2, mediante la sustitucin u - a sen 6 , a > 0

se elimina el radical, pues Va2 - u 2 = a eos 6 . Tambin se tiene que d.u a eos 6 dO

Para regresar a la variable original u, se emplea el tringulo formado con lausustitucin sen 6 = (Fig. 1.3 a).

(a)

lu 2 - a 2

Fig. 1.3

II) Si el trinomio tiene la forma a2 + u 2, mediante la sustitucinu - a tan 8 , a > 0

se elimina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 6 . Tambin se tiene que du - sec20 dff

Para regresar a la variable original u, se utiliza el tringulo formado con la u

sustitucin tan 0 = - (Fig. 1.3 b). a

III) Si l trinomio tiene la forma u 2 t- a2 , mediante la sustitucinu = a sec 6 , a > 0

se elimina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . Tambin se tiene du = a sec 9 tan QdB

Para expresar la integral original en trminos de su variable u, se emplea elu

tringulo elaborado con secfi = - (Fig. 1.3 c).



Ejemplo 48. Calcule / = J y9 - x2 dx.SolucinHaciendo la sustitucin x = 3 sen 8, dx - 3 eos 9 dd y calculando la integral trigonomtrica que resulta, se tiene

/ = j V32 x2 dx J ^ 9 - 9 sen28 3 eos 0 dd = J 9 cos29 d9 = - J (1 + eos 29) d9

cos20.3 eos 8 d9

9 9 ( x xV9 - x2\= -(0 4- sen 9 eos 9) + C = -I aresen- +-------I + C

- (*V9 - x2 + 9 aresen -) + C

Ejemplo 49. Calcule / = / dxX2V 1 6 + 9 X 2

Solucin

Sea 3x = 4tan0, dx = -sec29 d9. Luego,

dx _ 4 f J x2%/l6 + 9x2 ~ 3 J

sec29 d9x2V 16 + 9x2 3 J ^ tan20V16 + 16tan20

3 f see9 3 f cos= -- T-d9 = -- d016 J tan20 16 Jsen 20 16

- ese 0 + C

3 V16 + 9x2 V l6 + 9x2 .+ C = ------- + C16 3x 16x

; dx.Ejemplo 50. Calcule / ,J Vx2 9

SolucinHaciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 0 tan 0 d9 , se obtiene

27 sec30 .3 sec 9 tan 9 d9V9 sec20 9

f xJ f := dx =J Vx2 9 J

= 27 J (1 + tan20)sec20 d9 = 27 (tan 9 + -tan3flj +

= 9v'* 2 9 + - (x2 9)2 + C3

46

ItlPiiiplo 51. Halle I = JINTEGRAL INDEFINIDAX3 dx

Vx2 + 2x + 5Solucini ompletando el cuadrado en el trinomio y luu icndo la sustitucin

v I 1 = 2 tan 9 , dx = 2 secz9 d9M' obtiene

x3 dx f x3 dxf xJ dx rJ Vx2 + 2x + 5 i + l)2 + 4

I (2 tan 0 l )3 2 sec20 d0 = J (2 tan 0 - l )3 sec 0 dd2 see0(8 tan30 sec 0 - 1 2 tan20 sec 0 4- 6 tan 0 sec 0 - sec 0) d0

Hsec30 - 6 see 0 tan 0 + 5 ln|sec0 + tan 0| - 2 see0 + C

1 3 (____________________

, {^xl + 2x + 5 )3/2 - - (x + 1 )V *2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - + C

,------ (2x2 - 5x - 5v x + 2x + 5 ( ---- -----

lijemplo 52. Halle /Solucin

/

+ 5 In jx + 1 + V* 2 + 2x + 5| + C

dx(1 + X 4) a/\/I + X 4 - X 2"

sec20Si se hace x = tan 9 => dx = ; . dft.

Hntonces

dx

2Vtan I

-/

sec20 d02%/tan 0

(1 +x4)VVl + x4 - x 2 J sec20Vsec0-tan

_ 1 C eos 0 d0 _ 1 r 2 J Vsen 0 sen20 2 J IJ

eos 0 d9

(sen 0 i )z 2-aresen + C

1 1 / 2x2= -arcsen(2 sen 0 - 1) + C = - aresen - ^ =2 2 V v i+ x 4 1 + C


TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II12 dx

/;Ejemplo 53. Calcule / - , _________________

(2x - l ) / (4 x 2 - 4x - 8)3SolucinCompletando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustit jcin

2x - 1 = 3 sec 9, dx = - sec 9 tan 9 d.9

Resulta

/= /

- /

/

12 dx(2x - 1)V(4x2 4x 8)3

12 dx{2.x l)[(2x l )2 9]3/2

18 sec 8 tan 9 dd 2 3sec0 27tan30 9 J cot26 d9 - j (esc20 1 )d6

2 , 2 / = [cot 6 0] 4- C = I

Ejemplo 54. Calcule J

SolucinSi se sustituye

/

9 VV4x2 - 4x - 8

e~* dx

2x - 1\+ aresen - J 4- C

(9e~2x + l ) 3/2'

3e x tan 9, e Xdx = - -sec29 dd , se tiene

= /e x dx

[(3e~*)2 + I ]3/2

r ~ 3 sec29 dQ i rJ sec39 3 J cos0 d9--sen 9 + C

V i + 9e~2*4-C

48

R|inplo 55. Calcule / = I * X- drJ V2 - xSolucinRacionalizando el integrando, obtenemos

f x V 1 - x f x ( l - x ) r x ( l - x )dxJ V 2 - * * ~ J V l ^ V 2 ^ * J V *2 - 3x + 2

INTEGRAL INDEFINIDA

Aliora bien, completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitucin3 1 1- = - sec 0, dx = - sec 9 tan 0 d92 2 2 S w j. 2 x - 3 = sec9

c obtiene 2x-3/i j x 1 - X + 2f x ( l - x)dx

\(y 1/ Q \

12

r ^ sec 0 + ( l - ^ - i sec ] ^ sec 9 tan 0 d)

2 tan 9

- - - J (sec39 + 4 sec29 4- 3 sec 9) d93 i r --------

= - tan 9 - -ln|sec0 + tan 9\ - - V i + tan20 sec20 d94 4 J3 1

= -tan 9 - -ln|sec0 4- tan 9 | - - (sec9 tan 9 + ln|sec0 4- tan 0\ 4- C4 81 7

= - - tan 0(8 4- sec) - -ln|sec0 4- tan 9\ 4- CO O2\Jx2 3x 4- 2 7 i ___________

= ------ -------(8 -i- 2x - 3) - -ln \2x - 3 4- 2yfx2-3x + 2\ 4- CO O ' *y j 3x h 2 7 i ____ i

= ------ ------- (5 4- 2x) -ln 2x - 3 4- 2V* 2 - 3x 4- 2| 4- C


TPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II Observacin 7. Si el integrando contiene una expresin de la forma Va2 u

Va2 + u 2 Vu2 - a2 , a veces una sustitucin hiperblica es ms efectiva.

Para Va2 - u 2 , la sustitucin es u = a tanh t.

Para Va2 + u 2 , la sustitucin es u = a senh t.

Para Vu2 a2 , la sustitucin es u = acosh.

En el primer caso, Va2 - u 2 = a sech t.

En el segundo caso, 'Ja2 + u1 = a cosh t.

En el tercer caso, Vu2 - a2 = a senh t.

Ejemplo 56. Calcule / = J x2J x 2 + 4dx.SolucinUsando la sustitucin

x - 2senh t , dx - 2 cosh t dt tenemos

/ - J x 2^ x 2 + 4 dx = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t dt- 16 J senh2t cosh2t dt = 4 J senh22 dt = 2 j (cosh 4t - l)d

1- -senh 4 - 2t + C = 2 senh tcosh t(senh2t + cosh2t) - 2 1 + C

x V + lt2 /x 2 4 + x2 \ *j _ 2 Senh-1- + :

xV4 + x2(,x2 + 2) - 2 senh 1 % + C4 2

x2 dxEjemplo 57. Calcule / ~ f J

f (x5 - x) _ r (x* - l)(x dx) f [(z2 - 3)2 -]z dzJ V^T3 J V F T 3 " J z

f z **= J (z4 - 6z2 4- 8)dz = Y - 2z3 + 8z + C

TPICOS DE CLCULO - VOLUMEN IIb) Haciendo z2 = xz 4- 3, z dz = x dx se obtiene

z= -[z4 - 1 0 z2 +40] + C

Vx2 + 3 ,= -- --- (x4 - 4x2 4- 19) + C

c) Si se sustituye z 2 = x2 + 9, z dz = x dx resulta

r x3 dx _ r x2{x dx) f (z2 - 9)(z dz) J ( X 2 + 9 )3 /2 - J ( x 2 + 9 )3 /2 - J

dz

9 1 ,= zH---h C = - (z 4- 9) 4- Cz z1

(x2 4- 18) + CVx2 + 9

d) Haciendo z 3 x2, x dx = - -dx se obtiene

f x 5 dx x 4(xdx) f (3 - z )2( - dz)J (3 - x2)4 " J (3 - x 2)4 = J ?

1 f / 9 6 1\2 J l 4 _ ? + ? ) dz

1 /3 3 1\ 2 f e " i 2 + z ) + C

x4 - 3x2 + 3 _ 2(3 - x 2)3 +C

f x" a*J V T ^ x 2

J / 4- x2 dx

j xzV4 - xz dx

f dx i x2v l + x2

dxJ (x2 + l)V l - xz

' x3 dxv2x2 T- 7

dxx4Vx2 + 3

r (4x + 5)dxJ ( x 2 2 x 4- 2 ) 3/ 2f - 4I ( X 2

(2x - 3)dxJ (x2 4- 2x - 3) 3/2

fV x 2 4xdx

x4 dx

I 1

(4 - x2)7/2

(x2 - 25)3/2 dx x6

dx

INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCICIOS

(x 4- l ) 3Vx2 + 2x

r sen x dx J yjcos2x + 4cosx 4- 1

1 x /--------------/?. - - a rc s e n x - - v l- * +C

R. - j x V 4 + x 2 + ln ( x 4- 4 + x 2) j + C

x V4 - x2 i?. 2 arcsen ------- |x - 2xj + C

V i + xi R . ----------- 4- C

/ V2x ,R. arctanl - = = ) + C

1Ti \V1 - x 2

Vx2 4- 3 (x2 4- 3)3/zf. --r------ --+ C

R.

9x 27x3

9x - 13^ ______ : 4~ C

Vx2 - 2x 4- 25x - 3

4Vx2 4- 2x - 3

(x2 - 4x)3/2

: 4" C

6x35

R. 20(4 - x2) 5/2

(xz - 25)s/2

4- C

4- C

125x5

1 Vx2 4- 2x . jarsenC jr+ D + j j ^ + C

/?. - ln jc o s x 4- 2 + V c o s ^ x T T c o s x + l j + C



' iex'Je2x - 4 - 2e2x(ex + 2)15. | :-: -II ' ~J Hv

2(ex + 2) V e 2* - 4 R. \n\ex + 2\ - yje2x - 4 + C_ f 2x2 - 4x 4-4 16. j - dx

J V3 4- 2x x2 a resen - (x - 1)V3 + 2x-x2 + C

17

18.

/dx

(x2 -2x + 5)3/2

O 2 + 3x)dx

R.W x' - 2 x + S

i ~ -

f x3 d 19. J V 4-

(x - l)V x 2 - 2x 4- 10

fl. V*2 - 2a: + 10 + 51n jV*2 - 2a: + 10 + x + 1 +^ln

x3 dx

Va:2 - 2x + 10 - 3x- 1 + C

V4 - x2 / ? .---- --- (8 + x2) + C

. (3 + x2) 2 x3 20. J 77 dx

' /

(1 4-x2)21

R. -- . 2(x2 + i f f ? ^ 4-------+ (x2 + 1) +

x2 4- 1 + C

y/y2 - 4 dy p A (y2 - 4)3/2 2 y 3 C

f dx J (x2 - l)Vx

f

(x2 l)V x2 - 2

2x2 + 1------- - dx(x2 + 4) 2

dx

_ V x 2 - 2 k. arctan------ 4-

n 1 r x i4x 1 R. - Ja rc tan-- ] + c

(2x2 4- l)V x2 + 1

f3 x aresen x 25. . dx

J V( 1 - x 2) 5

5 = . 3

fi. arctan * ...) 4- CW l + x 2 '

(1 - x2)3/2 2

W l 4-x2 aresen x 1 r % x + 1

l r ^ +in v r ^ - +c

/26. f - j~ = = ln (7 ) dx J V i - x 2 V i - x /* ln ( t ^ i ) ( r 3 ~ i b 5 ~ z) +^ arcsen * - *2 (

/25 + 6x "60 4- C,

donde z = J l - x2

tx 3

a V x4 - 4: dx

INTEGRAL INDEFINIDA

1R.

2 x2ln |x2 + Vx2 - 4| - -aresen

I (x2x dx

'>

{x2 - 2)Vx4 - 4x2 + 5

x2 dx

1/?. -ln

Vx4 4x2 4- 5 1x 2 - 2

+ C

+ C

\l 4x2 12x 51

R. -(2x 4- 3\ i------------

11 aresen^ - j 4- V- 4x2 - 12x 5(3 2x)

411

II

I,

I I

x l dx(x2 4- 4)3

2x:i dx

1R 64

x 2 x (4 - x 2)1 arctan - -2 (4 4- x2) 2

4- C

4- C

( v - l ) 4 dx

1 - 3x2 R -^- ITT 4- C

(() _ x2)3

(4x2 4- l)dx

R. 4- 3

4- ln

6(x2 l ) 3 (3 + x f

36(9 x2) 216(9- x 2) 4 9 x2 4- C

II

( v - 3)V6x x2 8

/. 24 arcsen(x 3) 4- 37 ln

e2x dx

1 - Vx - x2 - 8x 3

J ( C-X _ 2ex + 5) )3

senh 2x dx

R.

4y6x x2 8 4- C

e* 54Ve2* - 2e* 4- 5

4- C

(.! cosh2x 3 senh2x 2 cosh x)3/2

/?3 cosh 2x

j 8 si) (20 - 4 si

sen 2x sen x dx (20 - 4 sen 2x - 19 sen2x)5/2

2V2 cosh2x - 3 senh2x - 2 coshx

128

:4- C

1/

^ 4 tan x 16 ^ 5 ( t a n x - 4 ) 2 1 7 ^ +W l.in^V - 8 tan x + 20 V an2* - 8 tan a: + 20 T / 3 ( ta n2x - 8 tan x + 2 0 )3/2

dx

r C

(* 1 )(x2 - 2x 4- 5) 2

R- Trrln 32(x - l )2

x2 2x 4- 5 4-1

8(x2 - 2x 4- 5) 4- C


I.5.4.1 INTEGRACIN DE FRACCIONES SIMPLES

Se denominan fracciones simples a las funciones que se presentan bajo una de las formas siguientes:

0 f t o =

TPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II

1.5.4 MTODO DE INTEGRACIN POR DESCOM POSICIN ENFRACCIONES PARCIALES

x r

*) f t o = 7 , n > 2 , n e N (.x - r )nax + b

ni) f(x ) ; ,--- : , donde px2 + qx + r no tiene races reales, es decir,JJ X t QX T Yqz Apr < 0.

^ s ax + bIV) f(x ) = - ----- , donde n > 2 , n e N , q 2 - Apr < 0.(;px2 + qx + r)n ^ p

Las integrales de estas fracciones simples son inmediatas, pues f ai) ----dx = a lnx - r| + CJ x r

U) (x - r )n dX ~ (1 - n)(x - r)n_1 + C f ax + b

iii) 7---- ; dx (desarrollado en 1.5.1 caso III)J px2 +qx + r Jf ax + b (2 px + q)dx

J (px2 + qx + r ) n X 2 p J (px2 + qx + r ) n + \

2p(n - 1 )(px2 + qx + r)n~- + ( - S ) J

f dxi (px2 + qx + r )n

f dxJ (px2 + qx + r)n

;Para calcular la integral /, al completar el cuadrado en el trinomio, se obtiene

, 1 [ dii q 4rp - q2J = ~ T i , i n , ' donde u - Jp .x + = y k = ------J v J (u2 + k2)n y 4niu 2 + k2r ^ 2^ y 1 1 4p

En esta ltima integral, se puede usar la sustitucin trigonomtrica u - k tan 0 la siguiente frmula de reduccin:

56

dxINTEGRAL INDEFINIDA

Kjcmplo 59. Usando la frmula de reduccin, calcule / = J + .Solucinl n este caso n = 2 y k = 2. Entonces

r dx x 2(2) - 3 f dxJ (x2 + 4)2 2.22(2 - l) (x 2 + 4)2-1 + 2. 22(2 - 1) J (x2 + 4)

x 1 1 x 1 / x 2x \ 8 ( ^ 4 ) + 8 ' 2 arCt3n 2 + C = 16 l arCtan 2 + ^ T ) + C

1.5.4.2 INTEGRACIN DE FUNCIONES RACIONALES POR DESCOM POSICIN EN FRACCIONES SIMPLES

p(x)Sim la funcin racional f(x ) - -rr-r. donde P(x) y Q(x) son polinomios

n, se dice que es una funcin racional impropia.

I'or ejemplo, las funciones racionalesx5 - 6x2 + 7

f t o = T z r r z y a t o2x4 + 8 J " 2x& + 3x3 + 2mm propias, pues el grado del polinomio del numerador es menor que el giado del polinomio del denominador; mientras que las funciones racionales

3x4 - 2x2 + 7 _ 5x3 - 3x2 + 1F(X) ~ x2 + 2x + 3 y G M " 2x2 - 7x3 + 4

son impropias.

P(x)Si / (x) = es Una funcin racional impropia, por el algoritmo de la divisin,

uxisicn polinomios C(x) y R(x) nicos tales que

l t o r r ^ , R W--- = C(x) +Q(x) Q(x)dnele el grado de R(x) es menor que el grado de Q(x). C(x) y R(x) son, ii'speclivamente, el cociente y el resto de la divisin de P(x) entre Q(x) .I to significa que toda fraccin impropia puede ser expresada como la suma de un polinomio y de una fraccin propia. As, la integral de una fraccin impropia IMifilc ser escrita como

pt o , f , ( Rto m dx ~ c ( s )dx+1 q w dx


Enseguida, veremos el mtodo de integracin para una fraccin propia, el cual se basa en que toda fraccin racional propia puede ser descompuesta en la suma de fracciones simples. Este hecho se sustenta en el conocimiento de dos teoremas del lgebra que admitiremos sin demostracin.

Teorema 1. Si Q(x) es un polinomio de grado n (n > 1) , entonces Q(x) se descompone como un producto de factores de 1er grado y de factores de 2do grado irreductibles en M, de la siguiente forma:Q(x) = a(x r1)n' (x r2)n2 ... (x - rk)nk(x2 + pjX + q1)m ...(x2 + psx + qs)m> (*), donde n = n1 + n2+ ... + nk + 2m l + ...+ 2ms

Teorema 2. Si el polinomio (?(*) posee la descomposicin '(*) y P(x) esP (Xjun polinomio de grado menor que n, entonces la fraccin propia

se descompone unvocamente en fracciones simples comoP(X) _ ^11 A12 ^21 ^22Q(x) x - r ^ i x - r ^ ) 2 (x - rj)ni + (x - r2) + (x - r2)2 + ^

+ - A l n t ----+ .- 4 - A k l - + A k 2 + . . . + A k n * +(x - r 2)"2 (x - r k) (x - rk)2 (x - rk)n> A 1/3.Igualando coeficientes de x2 en (*), resulta: 0 = .d+Z?=>B = 1/3.Igualando coeficientes de x en (*), obtenemos: O - -A + B + C =^ > C = 2/3.

En esta integral, el problema mayor es la integracin de la fraccin simple /?. Un mtodo que facilita la integracin de este tipo de fracciones simples (y que se usa cuando el denominador presenta factores cuadrticos irreducibles) consiste en expresar el integrando como

1 1 A D (2x - 1) + x 3 + 1 (x + l ) ( x 2 x + l ) x + 1 x 2 x + 1

donde 2x - 1 es la derivada del denominador x 2 - x + 1. Obsrvese que para integrar la segunda fraccin es suficiente separar en dos integrales tal como veremos a continuacin.

En la igualdad anterior, multiplicando por el denominador se obtiene la nueva ecuacin principal:

INTEGRAL INDEFINIDA

1 = A(x2 - x + 1) + [D(2x - 1) + E](x + 1) (**)Para x = -1 en (**), se obtiene: 1 = 3A => A = 1/3.Igualando coeficientes de x2 en (**), resulta: Q = A + 2 D = $ D = 1/6. Igualando coeficientes de x en (**), se tiene: O = A + D + E => E = 1/2.

Luego,

l = i i h d x + ii r dx i r 2x i i r

3 J x + 1 6 J x2 - x + 1 * 2 jxz - x + 1

dx

( - ) -

1 1 1 - 1\= -ln|x + 1| - g ln (x2 - x + 1) + -^arctan + c

f dxljeinplo 63. Calcule J

dx63. Calcule I -3

SolucinComo x3 - 1 = (x - l) ( x 2 + x + 1), aplicamos el mtodo del ejemplo anterior. 1 )c este modo, la descomposicin en fracciones simples es

1 _ A B(2x +1) + Cx3 - 1 x - 1 ' x2 + x + 1

Eliminando denominadores.se obtiene A = 1/3, B = -1/6. C = -1/2. Por tanto,

f dx 1 f dx 1 f (2x +1 )dx 1 f dxf dx _ 1 f dx_ _ l f (2x + l)dx _ 1 j- J ^ T ' s J T ^ T 6J x2 + x + 1 2J

(x4 )1 1 1 2X+1\ r-= -ln|x - 1| - gln(x2 + x + 1) - ^ a r c t a n +

Ejemplo 64. Halle / J ^ _ dx(x 2)2(x2 4x + 3) Solucin( orno (x - 2)2(x2 - 4x + 3) = (x - 2)2(x - 3)(x - 1), entonces

1 A B C D---------------- - ---r + ~--- +---- + '(x 2 )2(x2 4x + 3) x - 2 ( x - 2 ) 2 x - 3 x - 1

l lim inando denominadores, obtenemos la ecuacin principal:



l = A(x- 2 )0 - 3 )0 - 1) + B(x - 3 )0 - 1) + C(x - 1 )0 - 2)2 + D(x - 3 )0 - 2)2 Trabajando con esta ecuacin principal, se tiene Para x = 2 => 1 - B => B - -1 Para x = 3 => 1 = 2C => C = 1/2 Para x = 1 => 1 = -2D => D = -1/2

Igualando coeficientes de x3 resulta: 0 = i4 + C + D => .4 = 0 Por consiguiente,

dx r dxI S o r :(x 2)20 3 )0 1) x - 3

_ T dx 1 r dx 1 f dx( x - 2)2 + 2 J x 3 ~ 2 J x - 1

1 1:-- ^ + rlnx - 2 2 x 1 + C

Ejemplo 65. Halle I - j SolucinEscribimos la integral como

' VserTx

Vsen xcosx -dx.

f vsenx f vsen xcosx/ = ----- dx = ----- dxJ cosx J 1 sen2xHaciendo u 2 senx => eos x dx = 2u d u y descomponiendo el resultado en fracciones simples, se tiene

r 2u2 du _ 2u2 du r r 1/2 1/2 1~ J 1 - u4 ~ J (1 - u2)( 1 + u2)~ J l l - u + 1+ u ~ 1 + 2

2 u2 dudu

1, |u+ li 1 I Vsenx + 1~ ln --- r - arctan u + C = -ln , ---2 \u-l\ 2 |V Iex- l arctanVsen x + C

Ejemplo 66. Cacule I = j Solucin

dxx(x69 + l ) 3 '

dx 1 f 69 x68 dxSe tiene que I = I -^ 7------ -----------J x 0 69 + l )3 69 J x69(x69 + l )3

t Si en la ltima integral se hace u = x69 + 1 => du = 69 x68 dx, resulta

/ - 1 du 1 f \A B c D 169 J u3 (u - 1) 69 J [u + u2 + i3 + u l j

62

INTEGRAL INDEFINIDA

Determinando las constantes A, B, C y D por el procedimiento usado en los |emplos anteriores, se obtiene

! L _ j L _ - L 1 >9 J L u u2 u3 + u - 1691 ,6969 h x69 + l

1 1du = -ln|u| H---+ ln|u - 1| 4- Cu 2 u2

+ C+ 1 2 O 69 + l )2

K|emplo 67. Calcule 1 = J Vtan x dx..SolucinSI lineemos t2 = tanx

2t2 dt

x = arctan t2 y dx =2t dt 1 + t entonces

f 2t dt _ f 1 ~ J 1 + t4 J (T

2t2 dt+ V2t + t2) ( l - V2t + t 2)

l .n factorizacin de 1 + t4 se realiz del siguiente modo:

1 f t4 = (t2 + l )2 - 212 = (t2 + l )2 - (V2t)2 = ( t2 + 1 - V2t ) ( t2 + 1 + V2t)

I .1 descomposicin del integrando es

y4(2t + V2) + B 1 C(2t -y/2) + D _ 212t2 +V2t + l t2-V 2t + l l + t4

I liminando denominadores, se tiene

2t2 = [/l(2t + V2) + B][t2 V2t + 1] + [C(2t - V2) + D][t2 + V2t + l]

Igualando los coeficientes de las potencias de t en los dos polinomios, se obtiene

2A + 2C^=0, (B + D) + V2(C A) = 2 ,

V2(B - D) = O , V2G4 C) + B + D = 0 Kesolviendo las ecuaciones, resulta

A = V2/4, C = V2/4, B = - l/2 , D = 1/2I uego,

V2 4

r 2t + V2 _ i r _J t2 + V2t+ 1 f 2 J t2

dt V2 f 2t- V 2 1 fJ t2 - V2t + 1 t + 2 j t2-2 + V2t + l " 2 J t 2 + V2t + l ' 4

Integrando y simplificando, se obtiene

t2 - V2t + 1

dtV2t + 1

V2,/ = T ln 4 t2 + V2t + 1

donde t = Vtanx.

/ ^ ^2 arctan(V2t + l ) + arctan(V2t l ) + C


rEjemplo 68. Calcule / = jTOPICOS DE CLCULO - VOLUMEN II

x sec2* dx3+ 4 tan x + sec2x

SolucinEscribimos la integral como

*sec2* dx r xsec2x dx f x sec2x dx _ r x sec2* dx r x sec2* dx rJ 3 + 4 tan * + sec2* ~ J 3 + 4 tan x + (1 + tan2*) ~ J i3 + 4 tan * + (1 + tan2*) J (tan * + 2)2

Aplicando el mtodo de integracin por partes, elegimos

f u = x => du = dx ( , sec2* dx 1

) d v = 71----- V = -(tan * + 2)2 tan * + 2

Luego,

tan * + 2 J tan * + 2J ;dx i *i

Haciendo t = tan * =* dt = sec2* dx en la integral /, se tiene

i - f ^x - f _ sec2* dx r dtJ tan * + 2 ~ J (tan * + 2)(1 + tan2*) = J (t + 2)(1 + t2)

Descomponiendo el integrando en fracciones simples, tenemos

* - j L + i w i 2t) +(t + 2)(1 + t2) t + 2 1 + t2

Luego,

dt1 f dt 1 2 td t 2 f J ~ 5 J t + 2 ~ W J l + t2 + 5 j 1 + t2

1 1 2 J = pln|t + 2| ln|l + t21 +-arctan t + C b 10 51 1 2 7 = g In|tan * + 2| - ln|l + tan2*| + -arctan(tan *) + C

Finalmente, obtenemos

* 1/ ------- |---lnta n * + 2 10(tan * + 2)3

sec2*2

+ - * + C

d

INTEGRAL INDEFINIDA

EJERCIC IOSII,illc las siguientes integrales indefinidas:

1 4x2 + 6* 3 + 3*I

\wR. arctan -- + C

V3 V V3


TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN Hf 2x"

14. -7--- -J X 4 + X -dx

/

/ i

+1

-. |m

x2 dx x6 - 10x3 + 9

dx

x2 - x + 1X2 + * + 1

1 /2x + 1\ 1 /2x - 1\+ arctan =r + arctan = + C V V3 ) V3V3 i ( ^ )\ V3 /

fi' 2 4 ln

V3 X3 - 9x3 1 + C

17.

V2 /?. ln

dx x8 + x6

7 .

1 + V2x + x21 V2x + x2 + -^arctan(V2x + l ) arctan(V2x l ) + C

1 1 1. - ;r^r + -=----- arctan x + C5x3 3x4 x

r x + xJ18' J - 24 ' + 1

1 9 . /dx

20 .

x(x7 + l ) 2

f dxI X (X 999 + l ) 2

dx/

/

x(x9 + l )3

dxX12 ( X11 + 1)

. 4 1 , , , 4 , 1 |2x4 + 1 V5|R. :rln|x4 - 1| - -ln[x6 + x4 - 1 --- l n ---------= + C2 4 2V5 |2x4 + 14- v5i

R. n|x|-^in|x7 + 1|+ + C7 7(x- t t j1 1

R. ln|x|---- lnjx999


Hemos visto que las funciones racionales poseen integrales que se expresan como combinaciones lineales finitas de funciones elementales. Esto no sucede con las funciones irracionales salvo en algunos casos particulares.En esta seccin y en las siguientes, vamos a estudiar algunos tipos de funciones irracionales cuyas integrales pueden ser expresadas como una suma finita de funciones elementales. Para esto, es necesario un adecuado cambio de variable de manera que el integrando de la nueva integral sea una funcin racional.

1.6 INTEGRACION DE ALGUNAS FUNCIONES IRRACIONALES

f /a + bx\mi/ni /a + bx\mk/nk1.6.1 INTEGRALES DEL TIPO j A ( _ ) ;...; ( )

En este caso, R es una funcin racional de variables

/a + bx\miJni /a + bx\mk/rlk .x f c r s ) y '*> "* > .... .............." 6 :

a + bxPor tanto, los exponentes de --- son nmeros racionales.c + dxEn esta situacin, se hace el cambio de variable

a + bx

dx

= tn , donde n = m. c. m. {ri!, n2, - ,n k}c + dx

Despejando x, se obtienetnc a (be a d )n n_1

x = v ^r y dx= b - d - icSustituyendo estas expresiones en el integrando, se obtiene que R es una funcin racional de variable t.

dxEjemplo 69. Calcule J = f xl/2(1 + xl/4) SolucinEn este caso, los exponentes fraccionarios de x son 1/2 y 1/4. Entonces

m.c. m.{2 ,4} = 4 Haciendo el cambio de variable x ?4 =* dx = 4t 3 dt resulta

f 4 t3 dt r 4t f ( 4 \^ ~ j t 2( 1 + t) ~ J 1 + t dt ~ j \ ~ t + 1/

= 4t - 4 ln|t + 1| + C = 4x1/4 - 4 ln|x1/4 + l| + C

Ejemplo 70. Halle I = f dxJ V* - 1 + Vx - 1 '

SolucinI .os exponentes fraccionarios de x 1 son 1/2 y 1/ 3.Si se hace x ~ 1 = t* (6 = m . c. m. {2 ,3}) ==n..mos al lector seguir este camino. Resolvemos la integral usando el siguiente

, - - . .Sz - U dz )dz I r dz i r dz1 f (z - 1 )dz _ 1 r (z - 1 )dz _ 1 r dz i r2i zvl + zyz 1 2 J zyfr[ ~ 2 j Vz2^ ~ 2 J z 'lz2 - 1

1 , -----, i; ln + Vz2 1 j --arcsec|z| + C

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Ejemplo 72. Calcule / = J -Jtan2x + 2 dx.SolucinEscribimos la integral como

tan2* + 2 r sec2x + 1 f sec2x dx [ dx


l r tan2* + 2 [ sec2x + 1 _ f sec x x + fJ Vtan2* + 2 J Vtan2x + 2 J Vtan2x + 2 JVtan2x + 2 i Vtan2x + 2 'i '2

Aplicando las frmulas de integracin correspondiente a cada integral, tenemos

/* = ln jtan x + J ta n 2x + | + Cxr cosxdx f cosxdx t senx\

/, = , = -- arcsen I + C2J Vsen2x + 2 cos2x J V2 sen2* ' v 2 /

Por consiguiente,i ,--------1 /sen x\

I = ln |tan x + Vtan2* + 21 + arcsen ^ j + C

1.6.2 INTEGRALES DE LA FORMAdx

(x - a)nJp x 2 + qx + r, n e

Para calcular esta integral, se debe usar la siguiente sustitucin recproca1 dt

x - a = j= > d x = - j j

Ejemplo 73. Calcule 1 = 1 J x

dx2y/4x2 + X + 4

Solucin1 1

Haciendo la sustitucin x = - => dx = -rdt, se obtienet t zdtt2f = U L = = -

J 1 4 , 1 , , Jt dt

1 t2\|t2

- - 8 J

+ + 4

(8t + l)d t V4t2 + t + 4 ' 8 j

i f8.1

V4t2 + t + 4

dt

- s-5 V4t2 + t + 4

dt

= - ~ J4 t2 + t H-4 + - ^ ln | 2 t + 7 + V4t2 + t + 4 4 V 2V63 I 4_ '

1 V4 + 4x2 + x 1------------ + ==ln4 x 2V638 + x V4x2 + x + 4 +---------4x

+ C

+ C

70

Ejemplo 74. Calcule /

Solucin

INTEGRAL INDEFINIDA dx= [_ _ _ _ _ i

J (x 2)yfx(x - 2)yx2 +3x - 9

1 1 Como x 2 = => dx = dt, entonces

dt

n r T , . ; . - /dt

J ( + 2y + 3 ( + 2 ) - 9 J V F T t F T T

= = - ln t + - + V t2 + 7t + 1 45 I 2 + C

- ln 7x - 12 Vx2 + 3x - 92(ac - 2) x - 2

Ejemplo 75. Calcule J = f .....+ 3)dx J x2yj3x2 + 2x + 1

Solucin1 1

Si se hace x = - => dx = - ^ -dt. Luego,

/ I . _\dt = _ f f

J 1 / 3 +2 + 1 - Jt2y JF+ t + 1

3 f 2t + 2

(1 + 3t)dt V t2 + 2 + 3

dt h 22 J V t2 + 2t + 3 J V (t + l ) 2 + 2/ :

dt

= 3-y/t2 + 2t + 3 + 2 ln |t + 1 + V t2 + 2t + 3 + C

x + 1 + V3x2 + 2x + l l3V3x2 + 2x + 1 + 2In + C

1 11 algunos casos, la sustitucin recproca puede facilitar el imicl,racin, como veremos en los dos ejemplos siguientes.

proceso de



Vx -;r -yx XEjemplo 76. Calcule / = J dx. Solucin

1 1Si se hace x = - => dx = ^dt. Luego, t t2

* 11 _ J_= - J -- ^ = - J V t 2- 1 tdt ,(u = t2 - l , d u = 2td)

Ejemplo 77. Calcule / = J dx(x + l )4 x2 Solucin

1 1 t * ~~ t

dt

Si se hace x + 1 = 7 => dx = --^dt. Luego,

t4 L)

= - f y + t2 + 3 + 4 ln (l - 1) + + c

1 1 3 1 x 1 x + l i ---- H------ - H------f- 4 ln --- t H-----1 + C.3(x + l )3 (x + 1)2 x + l ljc + l l x i

1.6.3 INTEGRALES DE LA FORMA J R (x; Vax2 + bx + c) dxEn este caso, R es una funcin racional en las variables x y Vax2 + fax + c. Una integral de esta forma se calcula usando las sustituciones de Euler. Estas sustituciones permiten transformar el integrando en una funcin racional de variable t. Se presentan 3 casos:

CASO I. Si c > 0 , el cambio de variable es Vax2 + bx + c - tx + Ve. Elevando al cuadrado, resulta

ax2 + bx + c = t 2x2 + 2Ve tx + c (a - t 2)x2 + (fe - 2Vc t)x = 0 =* x[(a - t 2)x + fe - 2Vc t] = 0

72

INTEGRAL INDEFINIDAEn esta ltima ecuacin, eliminando la solucin x = 0, se obtiene x = 0 , se hace la sustitucin Vax2 + fax -f c = Vax 4- t.

Elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene bx + c = 2Vatx + t 2. De estadx

ecuacion.se obtiene que x y son funciones racionales de t y por tanto, el nuevo integrando es tambin una funcin racional de variable t.

Ejemplo 79. Calcule / = j Solucin

dxxVx2 + x + 1

Sea y = vx2 + x + l = x + t.

Elevando al cuadrado, se obtiene x2 + x + 1 = x2 + 2x + t 2. Lueo,1

1 - 21 , d x - 2- r 4* t

d x , y =- r + 1 - 1

1 - 2c(1 - 2t)2Finalmente, reemplazando estos valores en I y simplificando, se tiene

t - l l _ Vx2 4-x + l - x - l/' J

dt= ln t 4- 1 + C = ln Vx2 + X + 1 ~ X + 1



CASO III. El trinomio ax2 + bx + c tiene dos races reales r y s. En este caso, la sustitucin es y - Vax2 + bx + c = t{x - r).Elevando al cuadrado, se obtiene

ax2 + bx + c = a(x - r)(x s) = t2(x - r ) 2 Cancelando el factor x r, resulta a(x s) - t2{x - r).

dxDe esta igualdad, se sigue que x , e y son funciones racionales de t y, pordtende, el nuevo integrando es tambin una funcin racional de variable t.

dx= / ;

Ejemplo 80. Calcule / , ___________W x 2 - 3x + 2

SolucinComo x2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) , reemplazamos

y = y/x2 - 3x + 2 = V(* - 2)(x - 1) = t{x - 1)Elevando al cuadrado y simplificando el factor x 1, queda x - t 2(x - 1).Luego, se obtiene

2 t2 2 td t t x = t ^ d x= ^ w A

Finalmente,, dt V2

, = - 2 1 = ! t - V 2t + y2V2

+ c = T ln4 x - 2 4- y2(x - 1)4 7 = 2 - j 2 ( x - l )

+ C

1.6.4 INTEGRALES DE LA FORMA: J xm(a + bxn)p dx

A una expresin de la forma xm(a + bxn)p dx , donde m, n y p son nmeros racionales, se llama binomio diferencial. Pafnuty Lvovich Chevyshev (1821- 1894), el matemtico ruso ms eminente del siglo XIX, demostr que la integral de los binomios diferenciales con exponentes racionales puede expresarse mediante funciones elementales solamente en los casos siguientes (siempre que a ^ 0 y b 0):CASO I: p es un nmero entero

m + 1CASO II: ---- es un numero enteronm + 1

CASO III: :-- hp es un nmero entero nm + 1 m + 1Si ninguno de los nmeros p , ---- , --- h p es entero, la integral no puede

ser expresada mediante funciones elementales.

74

CASO I. Si p es un nmero entero, se hace la sustitucin x = z r , donde r = m. c. m. de los denominadores de las fracciones m y n .

m + 1CASO II. Si - es un nmero entero, hacemos la sustitucin a + bx11 zs,

donde s es el denominador de la fraccin p (como p es un nmero r

racional, P = ~> con r y s nmeros enteros coprimos)

m + 1CASO III. S i -1- p es un nmero entero, se utiliza la sustitucinn

a + bxn zsxn ax~n + b = z s donde s es el denominador de la fraccin p.

Ejemplo 81. Calcule / = j x2^1 +x3^ dx.SolucinEn este caso, m = 1/2, n = 1/3, p = - 2 e l (caso I) y m. c. m. {2,3} = 6.La sustitucin es x = z 6, dx = 6z 5dz, x1/2 = z3 y x1/3 = z 2.As, tenemos

, ~1/z f z3.6z5 dz .I = I TT TT^dx = I TT 7TT - 6 | ^ + ^ dz

Efectuando la divisin en el integrando, se obtiene

INTEGRAL INDEFINIDA

r x i/ r z3.6 dz r= J (l+X1/3)2dX = J (1+Z2)2 ZZ6J Ido la divisin en el integrando, se obtienef f . , 4z2 + 3 \ ( z s 2z3 \ f

= 6 J ( z4 + 2z2 + 3 - I ^ ) d z = 6 ( J - - + 3Z) - 6 j . i, , , , 4z2 + 3 \ /z5 2z3 \ r 4z2 + 31 = 6 I |z* + 2z2 + 3 - , _,N, )dz = 6 ( - - + 3 z )- 6 | --+ ^2)2dz

7 'Para calcu

tópicos de cálculo vol. ii h - by priale

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