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APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos

Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao 1

MATEMTICA Operaes com nmeros inteiros fracionrios e decimais. Conjuntos e funes. Progresses aritmticas e geomtricas. Logaritmos. Porcentagem e juros. Razes e propores. Medidas de tempo. Equaes de primeiro e segundo graus; sistemas de equa-es. Relaes trigonomtricas. Formas geomtricas bsicas. Permetros, rea e volume de figuras geomtricas. Raciocnio lgico e noes de funo exponencial. Matemtica financeira.

TEORIA DOS CONJUNTOS

CONJUNTO

Em matemtica, um conjunto uma coleo de elementos. No interessa a ordem e quantas vezes os elementos esto listados na coleo. Em contraste, uma coleo de elementos na qual a multiplicidade, mas no a ordem, relevante, chamada multiconjunto.

Conjuntos so um dos conceitos bsicos da matemtica. Um conjunto apenas uma coleo de entidades, chamadas de elementos. A notao padro lista os elementos separados por vrgulas entre chaves (o uso de "parnteses" ou "colchetes" incomum) como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3}

{1, 2, 2, 1, 3, 2}

{x : x um nmero inteiro tal que 0



conjunto dos nmeros pares positivos, menores do que100.

d) Ainda usando reticncias, podemos representar, por enumerao, conjuntos com infinitas elementos que tenham uma lei de formao bem clara, como os seguintes:

D = ( 0; 1; 2; 3; .. . ) indica o conjunto dos nmeros inteiros no negativos;

E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2; . .. ) indica o conjunto dos nmeros inteiros;

F = ( 1; 3; 5; 7; . . . ) indica o conjunto dos nmeros mpares positivos.

A representao de um conjunto por meio da des-crio de uma propriedade caracterstica mais sintti-ca que sua representao por enumerao. Neste ca-so, um conjunto C, de elementos x, ser representado da seguinte maneira:

C = { x | x possui uma determinada propriedade }

que se l: C o conjunto dos elementos x tal que possui uma determinada propriedade:

Exemplos

O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode ser representado por descrio da seguinte maneira: A = { x | x algarismo do nosso sistema de numerao }

O conjunto G = { a; e; i; o, u } pode ser representado por descrio da seguinte maneira G = { x | x vogal do nosso alfabeto }

O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; . . . } pode ser representado por descrio da seguinte maneira:

H = { x | x par positivo }

A representao grfica de um conjunto bastante cmoda. Atravs dela, os elementos de um conjunto so representados por pontos interiores a uma linha fechada que no se entrelaa. Os pontos exteriores a esta linha representam os elementos que no perten-cem ao conjunto.

Exemplo

Por esse tipo de representao grfica, chamada diagrama de Euler-Venn, percebemos que x C, y C, z C; e que a C, b C, c C, d C.

4 Nmero de elementos de um conjunto

Consideremos um conjunto C. Chamamos de nme-ro de elementos deste conjunto, e indicamos com n(C), ao nmero de elementos diferentes entre si, que per-tencem ao conjunto.

Exemplos

a) O conjunto A = { a; e; i; o; u } tal que n(A) = 5. b) O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } tal

que n(B) = 10. c) O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) tal que n

(C) = 99.

5 Conjunto unitrio e conjunto vazio

Chamamos de conjunto unitrio a todo conjunto C, tal que n (C) = 1.

Exemplo: C = ( 3 )

E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c, tal que n(C) = 0.

Exemplo: M = { x | x2 = -25}

O conjunto vazio representado por { } ou por .

Exerccio resolvido

Determine o nmero de elementos dos seguintes com juntos :

a) A = { x | x letra da palavra amor } b) B = { x | x letra da palavra alegria } c) c o conjunto esquematizado a seguir d) D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 ) e) E o conjunto dos pontos comuns s

relas r e s, esquematizadas a seguir :

Resoluo

a) n(A) = 4 b) n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de

possuir dote letras, possui apenas seis letras distintas entre si.

c) n(C) = 2, pois h dois elementos que pertencem a C: c e C e d e C

d) observe que: 2 = 2 . 1 o 1 par positivo 4 = 2 . 2 o 2 par positivo 6 = 2 . 3 o 3 par positivo 8 = 2 . 4 o 4 par positivo . .

. .



. .

98 = 2 . 49 o 49 par positivo

logo: n(D) = 49

e) As duas retas, esquematizadas na figura, possuem apenas um ponto comum.

Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E , portanto, unitrio.

6 igualdade de conjuntos

Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 so iguais, e indicaremos com A = 8, se ambos possurem os mes-mos elementos. Quando isto no ocorrer, diremos que os conjuntos so diferentes e indicaremos com A B. Exemplos .

a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u} b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a} c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u} d) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o} e) { x | x2 = 100} = {10; -10} f) { x | x2 = 400} {20}

7 Subconjuntos de um conjunto

Dizemos que um conjunto A um subconjunto de um conjunto B se todo elemento, que pertencer a A, tambm pertencer a B.

Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, o conjunto A estar "totalmente dentro" do conjunto B :

Indicamos que A um subconjunto de B de duas maneiras:

a) A B; que deve ser lido : A subconjunto de B ou A est contido em B ou A parte de B;

b) B A; que deve ser lido: B contm A ou B inclui A.

Exemplo

Sejam os conjuntos A = {x | x mineiro} e B = { x | x brasileiro} ; temos ento que A B e que B A.

Observaes:

Quando A no subconjunto de B, indicamos com A B ou B A.

Admitiremos que o conjunto vazio est contido em qualquer conjunto.

8 Nmero de subconjuntos de um conjunto dado Pode-se mostrar que, se um conjunto possui n

elementos, ento este conjunto ter 2n subconjuntos. Exemplo

O conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo, ele ter 22 = 4 subconjuntos.

Exerccio resolvido:

1. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto C = (a; e; i; o; u ) .

Resoluo: Como o conjunto C possui cinco elementos, o nmero dos seus subconjuntos ser 25 = 32.

Exerccios propostas:

2. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }

Resposta: 1024

3. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto C = 1

213

14

24

34

35

; ; ; ; ;

Resposta: 32

B) OPERAES COM CONJUNTOS

1 Unio de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chamamos unio ou reunio de A com B, e indicamos com A B, ao con-junto constitudo por todos os elementos que perten-cem a A ou a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a interseo dos conjuntos, temos:

Exemplos

a) {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e} b) {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d} c) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c}

2 Interseco de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interse-o de A com B, e indicamos com A B, ao conjunto constitudo por todos os elementos que pertencem a A e a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras a interseco dos conjuntos, temos:



Exemplos a) {a;b;c} {d;e} = b) {a;b;c} {b;c,d} = {b;c} c) {a;b;c} {a;c} = {a;c}

Quando a interseco de dois conjuntos vazia, como no exemplo a, dizemos que os conjuntos so disjuntos.

Exerccios resolvidos

1. Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t ), determinar os seguintes conjuntos:

a) A B f) B C b) A B g) A B C c) A C h) A B C d) A C i) (A B) U (A C) e) B C

Resoluo a) A B = {x; y; z; w; v } b) A B = {x } c) A C = {x; y;z; u; t } d) A C = {y } e) B C={x;w;v;y;u;t} f) B C= g) A B C= {x;y;z;w;v;u;t} h) A B C= i) (A B) u (A C)={x} {y}={x;y}

2. Dado o diagrama seguinte, represente com hachuras os conjuntos: :

a) A B C b) (A B) (A C)

.Resoluo

3. No diagrama seguinte temos: n(A) = 20 n(B) = 30 n(A B) = 5

Determine n(A B). Resoluo

Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30 elementos de B, estaremos considerando os 5 elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrair uma vez os 5 elementos de A n B; teremos ento:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) ou seja:

n(A B) = 20 + 30 5 e ento:

n(A B) = 45.

4 Conjunto complementar

Dados dois conjuntos A e B, com B A, chamamos de conjunto complementar de B em relao a A, e indicamos com CA B, ao conjunto A - B.

Observao: O complementar um caso particular de diferena em que o segundo conjunto subconjunto do primeiro.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e representando com hachuras o complementar de B em relao a A, temos:



Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f}

Observao: O conjunto complementar de B em relao a A formado pelos elementos que faltam para "B chegar a A"; isto , para B se igualar a A.

Exerccios resolvidos:

4. Sendo A = { x; y; z } , B = { x; w; v } e C = { y; u; t }, determinar os seguintes conjuntos:

A B B A A C

C - A B C C B

Resoluo

a) A - B = { y; z } b) B - A= {w;v} c) A - C= {x;z} d) C A = {u;t} e) B C = {x;w;v} f) C B = {y;u;t}

Exemplos de conjuntos compostos por nmeros

Nota: Nesta seo, a, b e c so nmeros naturais, enquanto r e s so nmeros reais.

1. Nmeros naturais so usados para contar. O smbolo usualmente representa este conjunto.

2. Nmeros inteiros aparecem como solues de equaes como x + a = b. O smbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemo Zahlen que significa nmeros).

3. Nmeros racionais aparecem como solues de equaes como a + bx = c. O smbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).

4. Nmeros algbricos aparecem como solues de equaes polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem razes e alguns outros nmeros irracionais. O

smbolo ou usualmente representa este conjunto.

5. Nmeros reais incluem os nmeros algbricos e os nmeros transcendentais. O smbolo usualmente representa este conjunto.

6. Nmeros imaginrios aparecem como solues de equaes como x 2 + r = 0 onde r > 0. O smbolo usualmente representa este conjunto.

7. Nmeros complexos a soma dos nmeros reais e dos imaginrios: . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; ento os conjuntos dos nmeros reais e o dos imaginrios so subconjuntos do conjunto dos nmeros complexos. O smbolo usualmente representa este conjunto.

NMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS.

Conjuntos numricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exem-plo abaixo:

A = {51, 27, -3}

Esse conjunto se chama "A" e possui trs termos, que esto listados entre chaves.

Os nomes dos conjuntos so sempre letras mais-culas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.

Vamos comear nos primrdios da matemtica. - Se eu pedisse para voc contar at 10, o que voc

me diria? - Um, dois, trs, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove

e dez.

Pois , estes nmeros que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, so chamados de nmeros NATURAIS, o qual representado pela letra .

Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como inteno mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero no estava includo neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este nmero como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros nmeros e possui algumas propriedades prprias, al-gumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos nmeros naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o smbolo * (asterisco) empregado ao lado do smbolo do conjunto, iria representar a au-sncia do zero. Veja o exemplo abaixo:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Estes nmeros foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessrio criar uma representao numrica para as dvidas.

Com isso inventou-se os chamados "nmeros nega-



tivos", e junto com estes nmeros, um novo conjunto: o conjunto dos nmeros inteiros, representado pela letra

.

O conjunto dos nmeros inteiros formado por to-dos os nmeros NATURAIS mais todos os seus repre-sentantes negativos.

Note que este conjunto no possui incio nem fim (ao contrrio dos naturais, que possui um incio e no possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos re-presentar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notao usada para os NATURAIS.

Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...}

Em algumas situaes, teremos a necessidade de representar o conjunto dos nmeros inteiros que NO SO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do smbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os nmeros NO NEGATIVOS, e no os nmeros POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:

Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}

Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um incio. E voc pode estar pensando "mas o zero no positivo". O zero no positivo nem negativo, zero NULO.

Ele est contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os nmeros NO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os no negativos sem o zero), escrevemos:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Pois assim teremos apenas os positivos, j que o zero no positivo.

Ou tambm podemos representar somente os intei-ros NO POSITIVOS com:

Z - ={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}

Obs.: Este conjunto possui final, mas no possui i-ncio.

E tambm os inteiros negativos (ou seja, os no po-sitivos sem o zero):

Z*- ={...,- 4, - 3, - 2, -1}

Assim:

Conjunto dos Nmeros Naturais So todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o

zero. representado pela letra maiscula N. Caso queira representar o conjunto dos nmeros natu-rais no-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

Conjunto dos Nmeros Inteiros So todos os nmeros que pertencem ao conjunto

dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negati-vos).

So representados pela letra Z: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles so:

- Inteiros no negativos So todos os nmeros inteiros que no so negati-

vos. Logo percebemos que este conjunto igual ao conjunto dos nmeros naturais.

representado por Z+: Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}

- Inteiros no positivos So todos os nmeros inteiros que no so positi-

vos. representado por Z-

: Z

- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros no negativos e no-nulos o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se es-

se subconjunto por Z*+: Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Z*+ = N*

- Inteiros no positivos e no nulos So todos os nmeros do conjunto Z

-

excluindo o zero. Representa-se por Z*

-

.

Z*- = {... -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Nmeros Racionais Os nmeros racionais um conjunto que engloba

os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", so tambm conhecidas como dzimas peridicas.

Os racionais so representados pela letra Q.

Conjunto dos Nmeros Irracionais formado pelos nmeros decimais infinitos no-

peridicos. Um bom exemplo de nmero irracional o nmero PI (resultado da diviso do permetro de uma circunferncia pelo seu dimetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores j conseguiram calcular bilhes de casas decimais para o PI.

Tambm so irracionais todas as razes no exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)

Conjunto dos Nmeros Reais formado por todos os conjuntos citados anterior-

mente (unio do conjunto dos racionais com os irracio-nais).

Representado pela letra R.



Representao geomtrica de A cada ponto de uma reta podemos associar um -

nico nmero real, e a cada nmero real podemos asso-ciar um nico ponto na reta.

Dizemos que o conjunto denso, pois entre dois nmeros reais existem infinitos nmeros reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois nmeros reais, existem infinitos pontos).

Veja a representao na reta de :

Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-

numericos/

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N)

ADIO E SUBTRAO Veja a operao: 2 + 3 = 5 . A operao efetuada chama-se adio e indicada

escrevendo-se o sinal + (l-se: mais") entre os nme-ros.

Os nmeros 2 e 3 so chamados parcelas. 0 nme-ro 5, resultado da operao, chamado soma.

2 parcela + 3 parcela 5 soma

A adio de trs ou mais parcelas pode ser efetua-da adicionando-se o terceiro nmero soma dos dois primeiros ; o quarto nmero soma dos trs primeiros e assim por diante.

3 + 2 + 6 = 5 + 6 = 11

Veja agora outra operao: 7 3 = 4

Quando tiramos um subconjunto de um conjunto, realizamos a operao de subtrao, que indicamos pelo sinal - .

7 minuendo 3 subtraendo 4 resto ou diferena

0 minuendo o conjunto maior, o subtraendo o sub-conjunto que se tira e o resto ou diferena o conjunto que sobra.

Somando a diferena com o subtraendo obtemos o minuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtrao.

4 + 3 = 7

EXPRESSES NUMRICAS

Para calcular o valor de uma expresso numrica envolvendo adio e subtrao, efetuamos essas ope-raes na ordem em que elas aparecem na expresso.

Exemplos: 35 18 + 13 = 17 + 13 = 30 Veja outro exemplo: 47 + 35 42 15 =

82 42 15= 40 15 = 25

Quando uma expresso numrica contiver os sinais de parnteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, procede-remos do seguinte modo:

1 Efetuamos as operaes indicadas dentro dos parnteses;

2 efetuamos as operaes indicadas dentro dos colchetes;

3 efetuamos as operaes indicadas dentro das chaves.

1) 35 +[ 80 (42 + 11) ] = = 35 + [ 80 53] =

= 35 + 27 = 62

2) 18 + { 72 [ 43 + (35 28 + 13) ] } = = 18 + { 72 [ 43 + 20 ] } = = 18 + { 72 63} = = 18 + 9 = 27

CLCULO DO VALOR DESCONHECIDO

Quando pretendemos determinar um nmero natu-ral em certos tipos de problemas, procedemos do se-guinte modo:

- chamamos o nmero (desconhecido) de x ou qualquer outra incgnita ( letra )

- escrevemos a igualdade correspondente - calculamos o seu valor

Exemplos: 1) Qual o nmero que, adicionado a 15, igual a 31?

Soluo: Seja x o nmero desconhecido. A igualdade cor-

respondente ser: x + 15 = 31

Calculando o valor de x temos: x + 15 = 31 x + 15 15 = 31 15 x = 31 15 x = 16

Na prtica , quando um nmero passa de um lado para outro da igualdade ele muda de sinal.

2) Subtraindo 25 de um certo nmero obtemos 11. Qual esse nmero?

Soluo: Seja x o nmero desconhecido. A igualdade corres-

pondente ser: x 25 = 11 x = 11 + 25 x = 36

Passamos o nmero 25 para o outro lado da igual-



dade e com isso ele mudou de sinal.

3) Qual o nmero natural que, adicionado a 8, i-gual a 20?

Soluo: x + 8 = 20 x = 20 8 x = 12

4) Determine o nmero natural do qual, subtraindo 62, obtemos 43.

Soluo: x 62 = 43 x = 43 + 62 x = 105

Para sabermos se o problema est correto sim-ples, basta substituir o x pelo valor encontrado e reali-zarmos a operao. No ltimo exemplo temos:

x = 105 105 62 = 43

MULTIPLICAO

Observe: 4 X 3 =12

A operao efetuada chama-se multiplicao e in-dicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre os nmeros.

Os nmeros 3 e 4 so chamados fatores. O nmero 12, resultado da operao, chamado produto.

3 X 4 = 12

3 fatores X 4

12 produto

Por conveno, dizemos que a multiplicao de qualquer nmero por 1 igual ao prprio nmero.

A multiplicao de qualquer nmero por 0 igual a 0.

A multiplicao de trs ou mais fatores pode ser efe-tuada multiplicando-se o terceiro nmero pelo produto dos dois primeiros; o quarto numero pelo produto dos trs primeiros; e assim por diante.

3 x 4 x 2 x 5 = 12 x 2 x 5 24 x 5 = 120

EXPRESSES NUMRICAS

Sinais de associao O valor das expresses numricas envolvendo as

operaes de adio, subtrao e multiplicao obti-do do seguinte modo:

- efetuamos as multiplicaes - efetuamos as adies e subtraes, na ordem

em que aparecem.

1) 3 . 4 + 5 . 8 2 . 9 = =12 + 40 18 = 34

2) 9 . 6 4 . 12 + 7 . 2 = = 54 48 + 14 =

= 20

No se esquea: Se na expresso ocorrem sinais de parnteses col-

chetes e chaves, efetuamos as operaes na ordem em que aparecem:

1) as que esto dentro dos parnteses 2) as que esto dentro dos colchetes 3) as que esto dentro das chaves.

Exemplo: 22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) 3 . 7] 8 . 9 } = 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) 21] 72 } = = 22 + { 12 + [ 84 21] 72 } = = 22 + { 12 + 63 72 } = = 22 + 3 = = 25

DIVISO

Observe a operao: 30 : 6 = 5

Tambm podemos representar a diviso das se-guintes maneiras:

30 6 ou 56

30=

0 5

O dividendo (D) o nmero de elementos do con-junto que dividimos o divisor (d) o nmero de elemen-tos do subconjunto pelo qual dividimos o dividendo e o quociente (c) o nmero de subconjuntos obtidos com a diviso.

Essa diviso exata e considerada a operao inversa da multiplicao.

SE 30 : 6 = 5, ENTO 5 x 6 = 30

observe agora esta outra diviso:

32 6 2 5

32 = dividendo 6 = divisor 5 = quociente 2 = resto

Essa diviso no exata e chamada diviso apro-ximada.

ATENO: 1) Na diviso de nmeros naturais, o quociente

sempre menor ou igual ao dividendo. 2) O resto sempre menor que o divisor. 3) O resto no pode ser igual ou maior que o divi-

sor. 4) O resto sempre da mesma espcie do divi-

dendo. Exemplo: dividindo-se laranjas por certo nmero, o resto ser laranjas.

5) impossvel dividir um nmero por 0 (zero), porque no existe um nmero que multiplicado



por 0 d o quociente da diviso.

PROBLEMAS

1) Determine um nmero natural que, multiplica-do por 17, resulte 238. X . 17 = 238 X = 238 : 17 X = 14 Prova: 14 . 17 = 238

2) Determine um nmero natural que, dividido por 62, resulte 49. x : 62 = 49 x = 49 . 62 x = 3038

3) Determine um nmero natural que, adicionado a 15, d como resultado 32 x + 15 = 32 x = 32 15 x =17

4) Quanto devemos adicionar a 112, a fim de ob-termos 186? x + 112 = 186 x = 186 112 x = 74

5) Quanto devemos subtrair de 134 para obter-mos 81? 134 x = 81 x = 81 134 x = 53 (multiplicando por 1) x = 53 Prova: 134 53 = 81

6) Ricardo pensou em um nmero natural, adi-cionou-lhe 35, subtraiu 18 e obteve 40 no re-sultado. Qual o nmero pensado? x + 35 18 = 40 x= 40 35 + 18 x = 23

Prova: 23 + 35 18 = 40

7) Adicionando 1 ao dobro de certo nmero ob-temos 7. Qual esse numero? 2 . x +1 = 7 2x = 7 1 2x = 6 x = 6 : 2 x = 3 O nmero procurado 3. Prova: 2. 3 +1 = 7

8) Subtraindo 12 do triplo de certo nmero obte-mos 18. Determinar esse nmero. 3 . x -12 = 18

3 x = 18 + 12 3 x = 30 x = 30 : 3 x = 10

9) Dividindo 1736 por um nmero natural, encon-tramos 56. Qual o valor deste numero natural?

1736 : x = 56 1736 = 56 . x 56 . x = 1736 x. 56 = 1736 x = 1736 : 56 x = 31

10) O dobro de um nmero igual a 30. Qual o nmero? 2 . x = 30 2x = 30 x = 30 : 2 x = 15

11) O dobro de um nmero mais 4 igual a 20. Qual o nmero ? 2 . x + 4 = 20 2 x = 20 4 2 x = 16 x = 16 : 2 x = 8

12) Paulo e Jos tm juntos 12 lpis. Paulo tem o dobro dos lpis de Jos. Quantos lpis tem cada menino? Jos: x Paulo: 2x Paulo e Jos: x + x + x = 12 3x = 12 x = 12 : 3 x = 4 Jos: 4 - Paulo: 8

13) A soma de dois nmeros 28. Um o triplo do outro. Quais so esses nmeros? um nmero: x o outro nmero: 3x x + x + x + x = 28 (os dois nmeros) 4 x = 28 x = 28 : 4 x = 7 (um nmero)

3x = 3 . 7 = 21 (o outro nmero). Resposta: 7 e 21

14) Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas. Marcelo tem 6 bolinhas a mais que Pedro. Quantas bolinhas tem cada um? Pedro: x Marcelo: x + 6 x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro) 2 x + 6 = 30 2 x = 30 6 2 x = 24 x = 24 : 2 x = 12 (Pedro)

Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18

EXPRESSES NUMRICAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAES

Sinais de associao: O valor das expresses numricas envolvendo as

quatro operaes obtido do seguinte modo: - efetuamos as multiplicaes e as divises, na



ordem em que aparecem; - efetuamos as adies e as subtraes, na ordem

em que aparecem;

Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 = = 45 + 4 = 49

Exemplo 2) 18 : 3 . 2 + 8 6 . 5 : 10 = = 6 . 2 + 8 30 : 10 = = 12 + 8 3 = = 20 3 = 17

POTENCIAO

Considere a multiplicao: 2 . 2 . 2 em que os trs fatores so todos iguais a 2.

Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma 23 (l-se: dois elevado terceira potncia), em que o 2 o fator que se repete e o 3 corresponde quantidade desses fatores.

Assim, escrevemos: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores)

A operao realizada chama-se potenciao. O nmero que se repete chama-se base. O nmero que indica a quantidade de fatores iguais

a base chama-se expoente. O resultado da operao chama-se potncia.

2 3 = 8 3 expoente

base potncia

Observaes: 1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes especi-

ais de quadrado e cubo, respectivamente. 2) As potncias de base 0 so iguais a zero. 02 =

0 . 0 = 0 3) As potncias de base um so iguais a um. Exemplos: 13 = 1 . 1 . 1 = 1 15 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1 4) Por conveno, tem-se que: - a potncia de expoente zero igual a 1 (a0 = 1,

a 0) 30 = 1 ; 50 = 1 ; 120 = 1

- a potncia de expoente um igual base (a1 = a) 21 = 2 ; 71 = 7 ; 1001 =100

PROPRIEDADES DAS POTNCIAS

1) para multiplicar potncias de mesma base, conserva-se a base e adicionam-se os expoen-tes.

am . an = a m + n Exemplos: 32 . 38 = 32 + 8 = 310 5 . 5 6 = 51+6 = 57 2) para dividir potncias de mesma base, conser-

va-se a base e subtraem-se os expoentes. am : an = am - n

Exemplos:

37 : 33 = 3 7 3 = 34 510 : 58 = 5 10 8 = 52 3) para elevar uma potncia a um outro expoente,

conserva-se base e multiplicam-se os expoen-tes.

Exemplo: (32)4 = 32 . 4 = 38 4) para elevar um produto a um expoente, eleva-

se cada fator a esse expoente. (a. b)m = am . bm

Exemplos: (4 . 7)3 = 43 . 73 ; (3. 5)2 = 32 . 52

RADICIAO

Suponha que desejemos determinar um nmero que, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x esse nmero, escrevemos: X2 = 9

De acordo com a potenciao, temos que x = 3, ou seja: 32 = 9

A operao que se realiza para determinar esse nmero 3 chamada radiciao, que a operao inversa da potenciao.

Indica-se por: 392 = (l-se: raiz quadrada de 9 igual a 3)

Da , escrevemos: 9339 22 ==

Na expresso acima, temos que: - o smbolo chama-se sinal da raiz - o nmero 2 chama-se ndice - o nmero 9 chama-se radicando - o nmero 3 chama-se raiz, - o smbolo 2 9 chama-se radical

As razes recebem denominaes de acordo com o ndice. Por exemplo:

2 36 raiz quadrada de 36 3 125 raiz cbica de 125

4 81 raiz quarta de 81

5 32 raiz quinta de 32 e assim por diante

No caso da raiz quadrada, convencionou-se no es-crever o ndice 2.

Exemplo : 49 49 7 492 = = =, pois 72

EXERCCIOS

01) Calcule: a) 10 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 = c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 3 = e) 30 : 5 + 5 = f) 6 . 15 56 : 4 = g) 63 : 9 . 2 2 = h) 56 34 : 17 . 19 = i) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j) 24 12 : 4+1. 0 =

Respostas:



a) 8 c) 24 e) 11 g) 12 i) 8

b) 11 d) 60 f) 76 h) 18 j) 21

02) Calcule o valor das expresses: a) 23 + 32 = b) 3 . 52 72 = c) 2 . 33 4. 23 = d) 53 3 . 62 + 22 1 = e) (2 + 3)2 + 2 . 34 152 : 5 = f) 1 + 72 3 . 24 + (12 : 4)2 =

Respostas: a) 17 c) 22 e) 142

b) 26 d) 20 f) 11

03) Uma indstria de automveis produz, por dia, 1270 unidades. Se cada veculo comporta 5 pneus, quantos pneus sero utilizados ao final de 30 dias? (Resposta: 190.500)

04) Numa diviso, o divisor 9,o quociente 12 e o resto 5. Qual o dividendo? (113)

05) Numa diviso, o dividendo 227, o divisor 15 e o resto 2. Qual o quociente? (15)

06) Numa diviso, o dividendo 320, o quociente 45 e o resto 5. Qual o divisor? (7)

07) Num diviso, o dividendo 625, o divisor 25 e o quociente 25. Qual o resto? (0)

08) Numa chcara havia galinhas e cabras em igual quantidade. Sabendo-se que o total de ps des-ses animais era 90, qual o nmero de galinhas? Resposta: 15 ( 2 ps + 4 ps = 6 ps ; 90 : 6 = 15).

09) O dobro de um nmero adicionado a 3 igual a 13. Calcule o nmero.(5)

10) Subtraindo 12 do qudruplo de um nmero ob-temos 60. Qual esse nmero (Resp: 18)

11) Num joguinho de "pega-varetas", Andr e Rena-to fizeram 235 pontos no total. Renato fez 51 pontos a mais que Andr. Quantos pontos fez cada um? ( Andr-92 e Renato-143)

12) Subtraindo 15 do triplo de um nmero obtemos 39. Qual o nmero? (18)

13) Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3 amigos. No final sobraram 2. Quantas balas coube a cada um? (16)

14) A diferena entre dois nmeros naturais zero e a sua soma 30. Quais so esses nmeros? (15)

15) Um aluno ganha 5 pontos por exerccio que a-

certa e perde 3 pontos por exerccio que erra. Ao final de 50 exerccios tinha 130 pontos. Quantos exerccios acertou? (35)

16) Um edifcio tem 15 andares; cada andar, 30 sa-las; cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2 gavetas; cada gaveta, 1 chave. Quantas chaves diferen-tes sero necessrias para abrir todas as gave-tas? (2700).

17) Se eu tivesse 3 dzias de balas a mais do que tenho, daria 5 e ficaria com 100. Quantas balas tenho realmente? (69)

18) A soma de dois nmeros 428 e a diferena entre eles 34. Qual o nmero maior? (231)

19) Pensei num nmero e juntei a ele 5, obtendo 31. Qual o nmero? (26)

20) Qual o nmero que multiplicado por 7 resulta 56? (8)

21) O dobro das balas que possuo mais 10 36. Quantas balas possuo? (13).

22) Raul e Lus pescaram 18 peixinhos. Raul pescou o dobro de Lus. Quanto pescou cada um? (Raul-12 e Lus-6)

PROBLEMAS

Vamos calcular o valor de x nos mais diversos ca-sos:

1) x + 4 = 10 Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inver-

sa da adio: x = 10 4 x = 6

2) 5x = 20 Aplicando a operao inversa da multiplicao, te-

mos: x = 20 : 5 x = 4

3) x 5 = 10 Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inver-

sa da subtrao: x = 10 + 5 x =15

4) x : 2 = 4 Aplicando a operao inversa da diviso, temos:

x = 4 . 2 x = 8

COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UM PROBLEMA

Usando a letra x para representar um nmero, po-demos expressar, em linguagem matemtica, fatos e sentenas da linguagem corrente referentes a esse



nmero, observe: - duas vezes o nmero 2 . x

- o nmero mais 2 x + 2

- a metade do nmero 2x

- a soma do dobro com a metade do nmero

22 xx +

- a quarta parte do nmero 4x

PROBLEMA 1 Vera e Paula tm juntas R$ 1.080,00. Vera tem o triplo do que tem Paula. Quanto tem cada uma? Soluo: x + 3x = 1080

4x= 1080 x =1080 : 4 x= 270

3 . 270 = 810 Resposta: Vera R$ 810,00 e Paula R$ 270,00

PROBLEMA 2 Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta. Pagou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cada um, sabendo-se que a computador seis vezes mais caro que a bicicleta? Soluo: x + 6x = 5600 7x = 5600 x = 5600 : 7 x = 800 6 . 800= 4800 R: computador R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00

PROBLEMA 3 Repartir 21 cadernos entre Jos e suas duas irms, de modo que cada menina receba o triplo do que recebe Jos. Quantos cadernos receber Jos? Soluo: x + 3x + 3x = 21 7x = 21 x = 21 : 7 x = 3 Resposta: 3 cadernos

PROBLEMA 4 Repartir R$ 2.100,00 entre trs irmos de modo que o 2 receba o dobro do que recebe o 1 , e o 3 o dobro do que recebe o 2. Quanto receber cada um? Soluo: x + 2x + 4x = 2100 7x = 2100 x = 2100 : 7 x = 300 300 . 2 = 600 300 . 4 =1200 Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00

PROBLEMA 5 A soma das idades de duas pessoas 40 anos. A

idade de uma o triplo da idade da outra. Qual a i-dade de cada uma? Soluo: 3x + x = 40 4x = 40 x = 40 : 4 x = 10 3 . 10 = 30 Resposta: 10 e 30 anos.

PROBLEMA 6 A soma das nossas idades 45 anos. Eu sou 5 a-nos mais velho que voc. Quantos anos eu tenho? x + x + 5 = 45 x + x= 45 5 2x = 40 x = 20 20 + 5 = 25 Resposta: 25 anos

PROBLEMA 7 Sua bola custou R$ 10,00 menos que a minha. Quanto pagamos por elas, se ambas custaram R$ 150,00? Soluo: x + x 10= 150 2x = 150 + 10 2x = 160 x = 160 : 2 x = 80 80 10 = 70 Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00

PROBLEMA 8 Jos tem o dobro do que tem Srgio, e Paulo tanto quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cada um, se os trs juntos possuem R$ 624,00? Soluo: x + 2x + x + 2x = 624

6x = 624 x = 624 : 6 x = 104

Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00

PROBLEMA 9 Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderia dar a voc 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantas rosas tenho? Soluo: x + 4 7 = 2 x + 4 = 7 + 2

x + 4 = 9 x = 9 4 x = 5

Resposta: 5

CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS (Z)

Conhecemos o conjunto N dos nmeros naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....,}

Assim, os nmeros precedidos do sinal + chamam-se positivos, e os precedidos de - so negativos.

Exemplos: Nmeros inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....}



Nmeros inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....}

O conjunto dos nmeros inteiros relativos formado pelos nmeros inteiros positivos, pelo zero e pelos n-meros inteiros negativos. Tambm o chamamos de CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS e o represen-tamos pela letra Z, isto : Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ... }

O zero no um nmero positivo nem negativo. To-do nmero positivo escrito sem o seu sinal positivo.

Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10 Ento, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 ,

1, 2, 3, ...}

N um subconjunto de Z.

REPRESENTAO GEOMTRICA Cada nmero inteiro pode ser representado por um

ponto sobre uma reta. Por exemplo:

... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ... ... C B A 0 A B C D ...

Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde o nmero zero.

Nas representaes geomtricas, temos direita do zero os nmeros inteiros positivos, e esquerda do zero, os nmeros inteiros negativos.

Observando a figura anterior, vemos que cada pon-to a representao geomtrica de um nmero inteiro.

Exemplos: ponto C a representao geomtrica do nme-

ro +3 ponto B' a representao geomtrica do nme-

ro -2

ADIO DE DOIS NMEROS INTEIROS 1) A soma de zero com um nmero inteiro o pr-

prio nmero inteiro: 0 + (-2) = -2 2) A soma de dois nmeros inteiros positivos um

nmero inteiro positivo igual soma dos mdulos dos nmeros dados: (+700) + (+200) = +900

3) A soma de dois nmeros inteiros negativos um nmero inteiro negativo igual soma dos mdu-los dos nmeros dados: (-2) + (-4) = -6

4) A soma de dois nmeros inteiros de sinais contr-rios igual diferena dos mdulos, e o sinal o da parcela de maior mdulo: (-800) + (+300) = -500

ADIO DE TRS OU MAIS NMEROS INTEIROS A soma de trs ou mais nmeros inteiros efetuada

adicionando-se todos os nmeros positivos e todos os negativos e, em seguida, efetuando-se a soma do n-mero negativo.

Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) = (+17) + (-11) = +6

2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) = (+5) + (-12) = -7

PROPRIEDADES DA ADIO A adio de nmeros inteiros possui as seguintes

propriedades:

1) FECHAMENTO A soma de dois nmeros inteiros sempre um n-

mero inteiro: (-3) + (+6) = + 3 Z

2) ASSOCIATIVA Se a, b, c so nmeros inteiros quaisquer, ento: a

+ (b + c) = (a + b) + c

Exemplo:(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2) (+3) + (-2) = (-1) + (+2) +1 = +1

3) ELEMENTO NEUTRO Se a um nmero inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a

e 0 + a = a

Isto significa que o zero elemento neutro para a adio.

Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2

4) OPOSTO OU SIMTRICO Se a um nmero inteiro qualquer, existe um nico nmero oposto ou simtrico representado por (-a), tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a)

Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0

5) COMUTATIVA Se a e b so nmeros inteiros, ento: a + b = b + a

Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4) -2 = -2

SUBTRAO DE NMEROS INTEIROS Em certo local, a temperatura passou de -3C para

5C, sofrendo, portanto, um aumento de 8C, aumento esse que pode ser representado por: (+5) - (-3) = (+5) + (+3) = +8

Portanto: A diferena entre dois nmeros dados numa certa

ordem a soma do primeiro com o oposto do segundo.

Exemplos: 1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4 2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -7 3) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -7

Na prtica, efetuamos diretamente a subtrao, eli-minando os parnteses

- (+4 ) = -4 - ( -4 ) = +4

Observao: Permitindo a eliminao dos parnteses, os sinais

podem ser resumidos do seguinte modo: ( + ) = + + ( - ) = -



- ( + ) = - - ( - ) = +

Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6 - (+3) = -3 +(+1) = +1

PROPRIEDADE DA SUBTRAO A subtrao possui uma propriedade.

FECHAMENTO: A diferena de dois nmeros intei-ros sempre um nmero inteiro.

MULTIPLICAO DE NMEROS INTEIROS 1 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS

INTEIROS POSITIVOS

Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6 Exemplo: (+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6 Logo: (+3) . (+2) = +6

Observando essa igualdade, conclumos: na multi-plicao de nmeros inteiros, temos:

(+) . (+) =+

2 CASO: UM FATOR POSITIVO E O OUTRO NEGATIVO

Exemplos: 1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12 ou seja: (+3) . (-4) = -12

2) Lembremos que: -(+2) = -2 (-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15 ou seja: (-3) . (+5) = -15

Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros, temos: ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = -

Exemplos : (+5) . (-10) = -50 (+1) . (-8) = -8 (-2 ) . (+6 ) = -12

(-7) . (+1) = -7

3 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS IN-TEIROS NEGATIVOS

Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18 isto : (-3) . (-6) = +18

Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros, temos: ( - ) . ( - ) = +

Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20

As regras dos sinais anteriormente vistas podem ser resumidas na seguinte:

( + ) . ( + ) = + ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( - ) = + ( - ) . ( + ) = -

Quando um dos fatores o 0 (zero), o produto i-gual a 0: (+5) . 0 = 0

PRODUTO DE TRS OU MAIS NMEROS IN-TEIROS Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) = (-20) . (-2 ) . (+3 ) = (+40) . (+3 ) = +120

2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) =

(+2 ) . (+3 ) . (-2 ) = (+6 ) . (-2 ) = -12

Podemos concluir que: - Quando o nmero de fatores negativos par, o

produto sempre positivo. - Quando o nmero de fatores negativos mpar,

o produto sempre negativo.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAO No conjunto Z dos nmeros inteiros so vlidas as

seguintes propriedades:

1) FECHAMENTO Exemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8 Z Ento o produto de dois nmeros inteiros inteiro.

2) ASSOCIATIVA Exemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 ) Este clculo pode ser feito diretamente, mas tam-

bm podemos faz-lo, agrupando os fatores de duas maneiras:

(+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 ) (+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 ) -24 = -24

De modo geral, temos o seguinte: Se a, b, c representam nmeros inteiros quaisquer,

ento: a . (b . c) = (a . b) . c

3) ELEMENTO NEUTRO Observe que: (+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4

Qualquer que seja o nmero inteiro a, temos: a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a

O nmero inteiro +1 chama-se neutro para a multi-plicao.

4) COMUTATIVA Observemos que: (+2). (-4 ) = - 8

e (-4 ) . (+2 ) = - 8 Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 )

Se a e b so nmeros inteiros quaisquer, ento: a . b = b . a, isto , a ordem dos fatores no altera o pro-duto.

5) DISTRIBUTIVA EM RELAO ADIO E SUBTRAO

Observe os exemplos: (+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 ) (+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 )

Concluso: Se a, b, c representam nmeros inteiros quaisquer,

temos: a) a . [b + c] = a . b + a . c A igualdade acima conhecida como proprieda-

de distributiva da multiplicao em relao adi-o.

b) a . [b c] = a . b - a . c A igualdade acima conhecida como proprieda-

de distributiva da multiplicao em relao sub-



trao.

DIVISO DE NMEROS INTEIROS

CONCEITO Dividir (+16) por 2 achar um nmero que, multipli-

cado por 2, d 16. 16 : 2 = ? 2 . ( ? ) = 16

O nmero procurado 8. Analogamente, temos: 1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +12 2) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +12 3) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -12 4) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12

A diviso de nmeros inteiros s pode ser realizada quando o quociente um nmero inteiro, ou seja, quando o dividendo mltiplo do divisor.

Portanto, o quociente deve ser um nmero inteiro.

Exemplos: ( -8 ) : (+2 ) = -4 ( -4 ) : (+3 ) = no um nmero inteiro

Lembramos que a regra dos sinais para a diviso a mesma que vimos para a multiplicao:

( + ) : ( + ) = + ( + ) : ( - ) = - ( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = -

Exemplos: ( +8 ) : ( -2 ) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2 (+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) = -4

PROPRIEDADE Como vimos: (+4 ) : (+3 ) Z

Portanto, no vale em Z a propriedade do fecha-mento para a diviso. Alem disso, tambm no so vlidas as proposies associativa, comutativa e do elemento neutro.

POTENCIAO DE NMEROS INTEIROS

CONCEITO A notao (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 )

um produto de trs fatores iguais

Analogamente: ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 )

um produto de quatro fatores iguais

Portanto potncia um produto de fatores iguais.

Na potncia (+5 )2 = +25, temos: +5 ---------- base 2 ---------- expoente +25 ---------- potncia

Observaces : (+2 ) 1 significa +2, isto , (+2 )1 = +2 ( -3 )1 significa -3, isto , ( -3 )1 = -3

CLCULOS

O EXPOENTE PAR Calcular as potncias 1) (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto ,

(+2)4 = +16 2) ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto ,

(-2 )4 = +16

Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16

Ento, de modo geral, temos a regra:

Quando o expoente par, a potncia sempre um nmero positivo.

Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9

O EXPOENTE MPAR Calcular as potncias: 1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8 isto , (+2)3 = + 8 2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8 ou seja, (-2)3 = -8

Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8

Da, a regra: Quando o expoente mpar, a potncia tem o

mesmo sinal da base.

Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16

PROPRIEDADES

PRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10

Para multiplicar potncias de mesma base, mante-mos a base e somamos os expoentes.

QUOCIENTE DE POTNCIAS DE MESMA BASE (+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 Para dividir potncias de mesma base em que o ex-

poente do dividendo maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtramos os expoentes.

POTNCIA DE POTNCIA [( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 Para calcular uma potncia de potncia, conserva-

mos a base da primeira potncia e multiplicamos os expoentes .

POTNCIA DE UM PRODUTO [( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4

Para calcular a potncia de um produto, sendo n o expoente, elevamos cada fator ao expoente n.



POTNCIA DE EXPOENTE ZERO (+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1

Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1

Qualquer potncia de expoente zero igual a 1.

Observao: No confundir -32 com ( -3 )2, porque -32 significa

-( 3 )2 e portanto -32 = -( 3 )2 = -9 enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 Logo: -3 2 ( -3 )2

CLCULOS

O EXPOENTE PAR Calcular as potncias (+2 )4 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto , (+2)4 = +16 ( -2 )4 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto , (-2 )4 = +16

Observamos que: (+2)4 = +16 e (-2)4 = +16

Ento, de modo geral, temos a regra: Quando o expoente par, a potncia sempre um

nmero positivo.

Outros exemplos: (-1)6 = +1 (+3)2 = +9

O EXPOENTE MPAR

Exemplos: Calcular as potncias: 1) (+2 )3 = (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8

isto , (+2)3 = + 8 2) ( -2 )3 = ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8

ou seja, (-2)3 = -8

Observamos que: (+2 )3 = +8 e ( -2 )3 = -8

Da, a regra: Quando o expoente mpar, a potncia tem o

mesmo sinal da base.

Outros exemplos: (- 3) 3 = - 27 (+2)4 = +16 PROPRIEDADES PRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASE Exemplos: (+2 )3 . (+2 )2 = (+2 )3+22 = (+2 )5 ( -2 )2 . ( -2 )3 . ( -2 )5 = ( -2 ) 2 + 3 + 5 = ( -2 )10

Para multiplicar potncias de mesma base, mante-mos a base e somamos os expoentes.

QUOCIENTE DE POTNCIAS DE MESMA BASE (+2 ) 5 : (+2 )2 = (+2 )5-2 = (+2 )3 ( -2 )7 : ( -2 )3 = ( -2 )7-3 = ( -2 )4 Para dividir potncias de mesma base em que o ex-

poente do dividendo maior que o expoente do divisor, mantemos a base e subtramos os expoentes.

POTNCIA DE POTNCIA [( -4 )3]5 = ( -4 )3 . 5 = ( -4 )15 Para calcular uma potncia de potncia, conserva-

mos a base da primeira potncia e multiplicamos os expoentes .

POTNCIA DE UM PRODUTO [( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4 = ( -2 )4 . (+3 )4 . ( -5 )4 Para calcular a potncia de um produto, sendo n o

expoente, elevamos cada fator ao expoente n.

POTNCIA DE EXPOENTE ZERO (+2 )5 : (+2 )5 = (+2 )5-5 = (+2 )0 e (+2 )5 : (+2 )5 = 1 Consequentemente: (+2 )0 = 1 ( -4 )0 = 1 Qualquer potncia de expoente zero igual a 1.

Observao: No confundir-32 com (-3)2, porque -32 significa -( 3 )2 e portanto: -32 = -( 3 )2 = -9

enquanto que: ( -3 )2 = ( -3 ) . ( -3 ) = +9 Logo: -3 2 ( -3 )2

NMEROS PARES E MPARES

Os pitagricos estudavam natureza dos nmeros, e baseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo de vida. Vamos definir nmeros pares e mpares de acordo com a concepo pitagrica:

par o nmero que pode ser dividido em duas par-tes iguais, sem que uma unidade fique no meio, e mpar aquele que no pode ser dividido em duas partes iguais, porque sempre h uma unidade no meio

Uma outra caracterizao, nos mostra a preocupao com natureza dos nmeros:

nmero par aquele que tanto pode ser dividido em duas partes iguais como em partes desiguais, mas de forma tal que em nenhuma destas divises haja uma mistura da natureza par com a natureza mpar, nem da mpar com a par. Isto tem uma ni-ca exceo, que o princpio do par, o nmero 2, que no admite a diviso em partes desiguais, por-que ele formado por duas unidades e, se isto po-de ser dito, do primeiro nmero par, 2.

Para exemplificar o texto acima, considere o nmero 10, que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5, mas tambm como a soma de 7 e 3 (que so ambos mpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos so pares); mas nunca como a soma de um nmero par e outro m-par. J o nmero 11, que mpar pode ser escrito como soma de 8 e 3, um par e um mpar. Atualmente, definimos nmeros pares como sendo o nmero que ao ser dividido por dois tm resto zero e nmeros mpares aqueles que ao serem divididos por dois tm resto diferente de zero. Por exemplo, 12 dividido por 2 tm resto zero, portanto 12 par. J o nmero 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1, portanto 13 mpar.

MLTIPLOS E DIVISORES

DIVISIBILIDADE Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4,

6 ou 8. Ex.: O nmero 74 divisvel por 2, pois termina em



4.

Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valo-res absolutos dos seus algarismos um nmero divisvel por 3. Ex.: 123 divisvel por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 divi-svel por 3

Um nmero divisvel por 5 quando o algarismo das unidades 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O nmero 320 divisvel por 5, pois termina em 0.

Um nmero divisvel por 10 quando o algarismo das unidades 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O nmero 500 divisvel por 10, pois termina em 0.

NMEROS PRIMOS

Um nmero natural primo quando divisvel apenas por dois nmeros distintos: ele prprio e o 1.

Exemplos: O nmero 2 primo, pois divisvel apenas por dois

nmeros diferentes: ele prprio e o 1. O nmero 5 primo, pois divisvel apenas por dois

nmeros distintos: ele prprio e o 1. O nmero natural que divisvel por mais de dois

nmeros diferentes chamado composto. O nmero 4 composto, pois divisvel por 1, 2, 4. O nmero 1 no primo nem composto, pois divi-

svel apenas por um nmero (ele mesmo). O nmero 2 o nico nmero par primo.

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS (FATORA-O)

Um nmero composto pode ser escrito sob a forma de um produto de fatores primos.

Por exemplo, o nmero 60 pode ser escrito na forma: 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5 que chamada de forma fato-rada.

Para escrever um nmero na forma fatorada, devemos decompor esse nmero em fatores primos, procedendo do seguinte modo:

Dividimos o nmero considerado pelo menor nmero primo possvel de modo que a diviso seja exata.

Dividimos o quociente obtido pelo menor nmero pri-mo possvel.

Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo menor nmero primo possvel, at que se obtenha o quo-ciente 1.

Exemplo: 60 2

0 30 2

0 15 3 5 0 5

1

Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5

Na prtica, costuma-se traar uma barra vertical di-reita do nmero e, direita dessa barra, escrever os divi-sores primos; abaixo do nmero escrevem-se os quocien-tes obtidos. A decomposio em fatores primos estar terminada quando o ltimo quociente for igual a 1.

Exemplo: 60

30 15 5

1

2 2 3 5

Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5

DIVISORES DE UM NMERO

Consideremos o nmero 12 e vamos determinar todos os seus divisores Uma maneira de obter esse resultado escrever os nmeros naturais de 1 a 12 e verificar se cada um ou no divisor de 12, assinalando os divisores. 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 = = = = = ==

Indicando por D(12) (l-se: "D de 12) o conjunto dos divisores do nmero 12, temos:

D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}

Na prtica, a maneira mais usada a seguinte: 1) Decompomos em fatores primos o nmero consi-derado.

12 6 3 1

2 2 3

2) Colocamos um trao vertical ao lado os fatores primos e, sua direita e acima, escrevemos o nume-ro 1 que divisor de todos os nmeros.

12 6 3 1

2 2 3

1

3) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e es-crevemos o produto obtido na linha correspondente.

12 6 3 1

2 2 3

x1 2

4) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelos divisores j obtidos, escrevendo os produtos nas linhas correspondentes, sem repeti-los.

12 6 3 1

2 2 3

x1 2 4

12 6

2 2

x1 2 4



3 1

3 3, 6, 12

Os nmeros obtidos direita dos fatores primos so os divisores do nmero considerado. Portanto:

D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12}

Exemplos: 1)

18 9 3 1

2 3 3

1 2 3, 6 9, 18

D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18}

2)

30 15 5 1

2 3 5

1 2 3, 6 5, 10, 15, 30

D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

MXIMO DIVISOR COMUM

Recebe o nome de mximo divisor comum de dois ou mais nmeros o maior dos divisores comuns a esses nmeros.

Um mtodo prtico para o clculo do M.D.C. de dois nmeros o chamado mtodo das divises sucessivas (ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas se-guintes:

1) Divide-se o maior dos nmeros pelo menor. Se a diviso for exata, o M.D.C. entre esses nmeros o menor deles.

2) Se a diviso no for exata, divide-se o divisor (o menor dos dois nmeros) pelo resto obtido na di-viso anterior, e, assim, sucessivamente, at se obter resto zero. 0 ultimo divisor, assim determi-nado, ser o M.D.C. dos nmeros considerados.

Exemplo: Calcular o M.D.C. (24, 32)

32 24 24 8

8 1 0 3

Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8

MNIMO MLTIPLO COMUM

Recebe o nome de mnimo mltiplo comum de dois ou mais nmeros o menor dos mltiplos (diferente de zero) comuns a esses nmeros.

O processo prtico para o clculo do M.M.C de dois ou mais nmeros, chamado de decomposio em fatores primos, consiste das seguintes etapas:

1) Decompem-se em fatores primos os nmeros apresentados.

2) Determina-se o produto entre os fatores primos

comuns e no-comuns com seus maiores expo-entes. Esse produto o M.M.C procurado.

Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18)

Decompondo em fatores primos esses nmeros, te-mos:

12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1

12 = 22 . 3 18 = 2 . 32 Resposta: M.M.C (12, 18) = 22 . 32 = 36

Observao: Esse processo prtico costuma ser sim-plificado fazendo-se uma decomposio simultnea dos nmeros. Para isso, escrevem-se os nmeros, um ao lado do outro, separando-os por vrgula, e, direita da barra vertical, colocada aps o ltimo nmero, escrevem-se os fatores primos comuns e no-comuns. 0 calculo estar terminado quando a ltima linha do dispositivo for composta somente pelo nmero 1. O M.M.C dos nmeros apresentados ser o produto dos fatores.

Exemplo: Calcular o M.M.C (36, 48, 60)

36, 48, 60 18, 24, 30 9, 12, 15 9, 6, 15 9, 3, 15 3, 1, 5 1, 1 5 1, 1, 1

2 2 2 2 3 3 5

Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24 . 32 . 5 = 720

RAZ QUADRADA EXATA DE NMEROS INTEIROS

CONCEITO Consideremos o seguinte problema: Descobrir os nmeros inteiros cujo quadrado +25. Soluo: (+5 )2 = +25 e ( -5 )2 =+25 Resposta: +5 e -5

Os nmeros +5 e -5 chamam-se razes quadradas de +25.

Outros exemplos: Nmero Razes quadradas +9 +16 +1 +64 +81 +49 +36

+ 3 e -3 + 4 e -4 + 1 e -1 + 8 e -8 + 9 e -9 + 7 e -7 +6 e -6

O smbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto 25 = +5

Como 25 = +5 , ento: 525 = Agora, consideremos este problema.



Qual ou quais os nmeros inteiros cujo quadrado -25?

Soluo: (+5 )2 = +25 e (-5 )2 = +25 Resposta: no existe nmero inteiro cujo quadrado

seja -25, isto , 25 no existe no conjunto Z dos nmeros inteiros.

Concluso: os nmeros inteiros positivos tm, como raiz quadrada, um nmero positivo, os nmeros inteiros negativos no tm raiz quadrada no conjunto Z dos n-meros inteiros.

RADICIAO

A raiz n-sima de um nmero b um nmero a tal que an = b.

2325 =

5 ndice 32 radicando pois 25 = 32

raiz 2 radical

Outros exemplos : 3 8 = 2 pois 2 3 = 8 3 8 = - 2 pois ( -2 )3 = -8

PROPRIEDADES (para a 0, b 0) 1) pm pnm n aa : := 3 215 10 33 = 2) nnn baba = 326 =

3) nnn baba :: = 4

44

165

165

=

4) ( ) m nnm aa = ( ) 3 553 xx = 5) nmm n aa = 126 33 =

EXPRESSES NUMRICAS COM NMEROS IN-TEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAES

Para calcular o valor de uma expresso numrica com nmeros inteiros, procedemos por etapas.

1 ETAPA: a) efetuamos o que est entre parnteses ( ) b) eliminamos os parnteses

2 ETAPA: a) efetuamos o que est entre colchetes [ ] b) eliminamos os colchetes

3 ETAPA: a) efetuamos o que est entre chaves { } b) eliminamos as chaves

Em cada etapa, as operaes devem ser efetuadas na seguinte ordem:

1) Potenciao e radiciao na ordem em que apa-

recem. 2) Multiplicao e diviso na ordem em que apare-

cem. 3) Adio e subtrao na ordem em que aparecem.

Exemplos: 1) 2 + 7 . (-3 + 4) = 2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9

2) (-1 )3 + (-2 )2 : (+2 ) = -1+ (+4) : (+2 ) = -1 + (+2 ) = -1 + 2 = +1

3) -(-4 +1) [-(3 +1)] = -(-3) - [-4 ] = +3 + 4 = 7

4) 2( -3 1)2 +3 . ( -1 3)3 + 4 -2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 = -2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 = -32 192 + 4 = -212 + 4 = - 208

5) (-288) : (-12)2 - (-125) : ( -5 )2 = (-288) : (+144) - (-125) : (+25) = (-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3

6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) = (-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) = -3 - (- 5) = - 3 + 5 = +2

7) 52 : (+25) - (-4 )2 : 24 - 12 = -25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 = -1 - (+1) 1 = -1 -1 1 = -3

8) 2 . ( -3 )2 + (-40) : (+2)3 - 22 = 2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 = +18 + (-5) - 4 = + 18 - 9 = +9

CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS (Q)

Os nmeros racionais so representados por um

numeral em forma de frao ou razo, ab

, sendo a e b

nmeros naturais, com a condio de b ser diferente de zero.

1. NMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado (a, b) de nmeros naturais, sendo b 0, corresponde um nmero fracionrio

ba

.O termo a chama-se nume-

rador e o termo b denominador.

2. TODO NMERO NATURAL pode ser represen-tado por uma frao de denominador 1. Logo, poss-vel reunir tanto os nmeros naturais como os fracion-rios num nico conjunto, denominado conjunto dos nmeros racionais absolutos, ou simplesmente conjun-to dos nmeros racionais Q.

Qual seria a definio de um nmero racional abso-

baab nn ==



luto ou simplesmente racional? A definio depende das seguintes consideraes:

a) O nmero representado por uma frao no mu-da de valor quando multiplicamos ou dividimos tanto o numerador como o denominador por um mesmo nmero natural, diferente de zero. Exemplos: usando um novo smbolo: o smbolo de equivalncia para fraes

3020

215210

1510

5352

32

b) Classe de equivalncia. o conjunto de todas as fraes equivalentes a uma frao dada.

,

412

,

39

,

26

,

13

(classe de equivalncia da fra-

o: 13 )

Agora j podemos definir nmero racional : nmero racional aquele definido por uma classe de equiva-lncia da qual cada frao um representante.

NMERO RACIONAL NATURAL ou NMERO NATURAL:

===

20

100 (definido pela classe de equiva-

lncia que representa o mesmo nmero racional 0)

===

22

111 (definido pela classe de equiva-

lncia que representa o mesmo nmero racional 1)

e assim por diante.

NMERO RACIONAL FRACIONRIO ou NME-RO FRACIONRIO:

===

63

42

21 (definido pela classe de equivaln-

cia que representa o mesmo nmero racional 1/2).

NOMES DADOS S FRAES DIVERSAS Decimais: quando tm como denominador 10 ou

uma potncia de 10

,

1007

,

105

etc.

b) prprias: aquelas que representam quantidades menores do que 1.

,

72

,

43

,

21

etc.

c) imprprias: as que indicam quantidades iguais ou maiores que 1.

,

59

,

18

,

55

etc.

d) aparentes: todas as que simbolizam um nmero natural.

204

5 4= =, 82

, etc.

e) ordinrias: o nome geral dado a todas as fra-es, com exceo daquelas que possuem como de-nominador 10, 102, 103 ...

f) fraes iguais: so as que possuem os termos i-guais 3

485

= 34

85

, = , etc.

g) forma mista de uma frao: o nome dado ao numeral formado por uma parte natural e uma parte

fracionria;

742 A parte natural 2 e a parte fracio-

nria 74

.

h) irredutvel: aquela que no pode ser mais sim-plificada, por ter seus termos primos entre si.

34

, , 5

12

37

, etc.

4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAO, desde que no possua termos primos entre si, basta dividir os dois ternos pelo seu divisor comum.

32

4:124:8

128

==

5. COMPARAO DE FRAES. Para comparar duas ou mais fraes quaisquer pri-

meiramente convertemos em fraes equivalentes de mesmo denominador. De duas fraes que tm o mesmo denominador, a maior a que tem maior nume-rador. Logo:

43

32

21

129

128

126



56

Indicamos por: 65

62

63

=+

26

56

36

Indicamos por: 63

62

65

=

Assim, para adicionar ou subtrair fraes de mesmo denominador, procedemos do seguinte modo:

adicionamos ou subtramos os numeradores e mantemos o denominador comum.

simplificamos o resultado, sempre que possvel.

Exemplos:

54

513

51

53

=

+=+

34

912

984

98

94

==

+=+

32

64

637

63

67

==

=

070

722

72

72

==

=

Observao: A subtrao s pode ser efetuada quando o minuendo maior que o subtraendo, ou igual a ele.

2 CASO: Fraes com denominadores diferentes: Neste caso, para adicionar ou subtrair fraes com

denominadores diferentes, procedemos do seguinte modo:

Reduzimos as fraes ao mesmo denominador. Efetuamos a operao indicada, de acordo com o

caso anterior. Simplificamos o resultado (quando possvel).

Exemplos:

65

1210

1264126

124

42

31)1

==

=

+=

=+=

=+

89

2427

2412152412

2415

63

85)2

==

=

+=

=+=

=+

Observaes: Para adicionar mais de duas fraes, reduzimos to-

das ao mesmo denominador e, em seguida, efetuamos a operao.

Exemplos.

54

1512

15372

153

157

152)

==

=

++=

=++a

2453

241232018

2412

243

2420

2418

21

81

65

43)

=

=

+++=

=+++=

=+++b

Havendo nmero misto, devemos transform-lo em frao imprpria:

Exemplo: 2 1

35

123 1

673

512

196

2812

512

3812

28 5 3812

7112

+ + =

+ + =

+ + =

+ +=

Se a expresso apresenta os sinais de parnteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, observamos a mesma ordem:

1) efetuamos as operaes no interior dos parnte-ses;

2) as operaes no interior dos colchetes; 3) as operaes no interior das chaves.

Exemplos:

1211

126

1217

21

1217

21

129

128

24

25

43

32)1

=

==

==

=

+=

=

+



1217

1229

1246

1229

623

1229

67

630

129

1220

675

43

35

62

695

43

321

31

235)2

=

==

==

=

=

=

+

=

=

+

=

=

+

NMEROS RACIONAIS

Um crculo foi dividido em duas partes iguais. Dize-mos que uma unidade dividida em duas partes iguais e indicamos 1/2.

onde: 1 = numerador e 2 = denominador

Um crculo dividido em 3 partes iguais indicamos (das trs partes hachuramos 2).

Quando o numerador menor que o denominador temos uma frao prpria. Observe:

Observe:

Quando o numerador maior que o denominador temos uma frao imprpria.

FRAES EQUIVALENTES

Duas ou mais fraes so equivalentes, quando re-presentam a mesma quantidade.

Dizemos que: 63

42

21

==

- Para obter fraes equivalentes, devemos multi-plicar ou dividir o numerador por mesmo nmero dife-rente de zero.

Ex: 63

33

.

21

ou 42

22

21

==

Para simplificar fraes devemos dividir o numera-dor e o denominador, por um mesmo nmero diferente de zero.

Quando no for mais possvel efetuar as divises dizemos que a frao irredutvel.

Exemplo:

== 63

69

22

: 1218

Frao Irredutvel ou Sim-

plificada

Exemplo: 43

e 31

Calcular o M.M.C. (3,4): M.M.C.(3,4) = 12

43

e 31

=( ) ( )

1234:12

e 12

13:12 temos: 129

e 124

A frao 31

equivalente a 124

.

A frao 43

equivalente 129

.

Exerccios: 1) Achar trs fraes equivalentes s seguintes fra-

es:

1) 41

2) 32

Respostas: 1) 164

,

123

,

82

2) 128

,

96

,

64

COMPARAO DE FRAES

a) Fraes de denominadores iguais. Se duas fraes tem denominadores iguais a maior

ser aquela: que tiver maior numerador.



Ex.: 43

41

ou 41

43

b) Fraes com numeradores iguais Se duas fraes tiverem numeradores iguais, a me-

nor ser aquela que tiver maior denominador.

Ex.: 47

57

ou 57

47

c) Fraes com numeradores e denominadores receptivamente diferentes.

Reduzimos ao mesmo denominador e depois com-paramos. Exemplos:

31

32

> denominadores iguais (ordem decrescente)

34

54

> numeradores iguais (ordem crescente)

SIMPLIFICAO DE FRAES

Para simplificar fraes devemos dividir o numera-dor e o denominador por um nmero diferente de zero.

Quando no for mais possvel efetuar as divises, dizemos que a frao irredutvel. Exemplo:

23

33

: 6:9

22

: 12:18

==

Frao irredutvel ou simplificada. Exerccios: Simplificar 1)

129

2) 4536

Respostas: 1) 43

2) 54

REDUO DE FRAES AO MENOR DENOMINA-DOR COMUM

Ex.: 43

e 31

Calcular o M.M.C. (3,4) = 12

43

e 31

= ( ) ( )

1234:12

e 12

13:12 temos:

129

e 124

A frao 31

equivalente a 124

. A frao 43

equiva-

lente 129

.

Exemplo:

54

? 32

numeradores diferentes e denomina-

dores diferentes m.m.c.(3, 5) = 15

15(15.5).4

? 15

3).2:(15 =

1512

1510

< (ordem crescente)

Exerccios: Colocar em ordem crescente:

1) 32

e 52

2) 34

e 35

3) 54

e 32

,

65

Respostas: 1) 32

52

< 2) 35

34

<

3) 23

65

34



Exemplo: 56

1012

23

.

54

32

:54

===

Exerccios. Calcular:

1) 92

:34

2) 256

:158

3)

+

31

34

: 53

52

Respostas: 1) 6 2) 920

3) 1

POTENCIAO DE FRAES

Eleva o numerador e o denominador ao expoente dado. Exemplo:

278

32

32

3

33==

Exerccios. Efetuar:

1) 2

43

2)

4

21

3)

32

21

34

Respostas: 1) 169

2) 161

3) 72

119

RADICIAO DE FRAES

Extrai raiz do numerador e do denominador.

Exemplo: 32

94

94

==

Exerccios. Efetuar:

1) 91

2) 2516

3) 2

21

169

+

Respostas: 1) 31

2) 54

3) 1

NMEROS DECIMAIS

Toda frao com denominador 10, 100, 1000,...etc, chama-se frao decimal.

Ex: 100

7 ,

1004

,

103

, etc

Escrevendo estas fraes na forma decimal temos:

103

= trs dcimos,

1004

= quatro centsimos

10007

= sete milsimos

Escrevendo estas fraes na forma decimal temos:

103

=0,3 100

4 = 0,04

10007

= 0,007

Outros exemplos:

1) 1034

= 3,4 2) 100635

= 6,35 3) 10

2187 =218,7

Note que a vrgula caminha da direita para a es-querda, a quantidade de casas deslocadas a mesma quantidade de zeros do denominador.

Exerccios. Representar em nmeros decimais:

1) 1035

2) 100473

3) 1000430

Respostas: 1) 3,5 2) 4,73 3) 0,430

LEITURA DE UM NMERO DECIMAL

Ex.:

OPERAES COM NMEROS DECIMAIS

Adio e Subtrao Coloca-se vrgula sob virgula e somam-se ou sub-

traem-se unidades de mesma ordem. Exemplo 1:

10 + 0,453 + 2,832 10,000

+ 0,453 2,832

_______

13,285

Exemplo 2: 47,3 - 9,35 47,30 9,35 ______

37,95

Exerccios. Efetuar as operaes: 1) 0,357 + 4,321 + 31,45 2) 114,37 - 93,4 3) 83,7 + 0,53 - 15, 3

Respostas: 1) 36,128 2) 20,97 3) 68,93

MULTIPLICAO COM NMEROS DECIMAIS

Multiplicam-se dois nmeros decimais como se fos-sem inteiros e separam-se os resultados a partir da



direita, tantas casas decimais quantos forem os alga-rismos decimais dos nmeros dados.

Exemplo: 5,32 x 3,8 5,32 2 casas, x 3,8 1 casa aps a virgula ______

4256 1596 + ______

20,216 3 casas aps a vrgula

Exerccios. Efetuar as operaes: 1) 2,41 . 6,3 2) 173,4 . 3,5 + 5 . 4,6 3) 31,2 . 0,753

Respostas: 1) 15,183 2) 629,9 3) 23,4936

DIVISO DE NMEROS DECIMAIS

Igualamos as casas decimais entre o dividendo e o divisor e quando o dividendo for menor que o divisor acrescentamos um zero antes da vrgula no quociente.

Ex.: a) 3:4

3 |_4_ 30 0,75 20 0

b) 4,6:2 4,6 |2,0 = 46 | 20 60 2,3 0

Obs.: Para transformar qualquer frao em nmero decimal basta dividir o numerador pelo denominador.

Ex.: 2/5 = 2 | 5 , ento 2/5=0,4 20 0,4

Exerccios 1) Transformar as fraes em nmeros decimais. 1)

51

2) 54

3) 41

Respostas: 1) 0,2 2) 0,8 3) 0,25

2) Efetuar as operaes: 1) 1,6 : 0,4 2) 25,8 : 0,2 3) 45,6 : 1,23 4) 178 : 4,5-3,4.1/2 5) 235,6 : 1,2 + 5 . 3/4

Respostas: 1) 4 2) 129 3) 35,07 4) 37,855 5) 200,0833....

Multiplicao de um nmero decimal por 10, 100, 1000

Para tornar um nmero decimal 10, 100, 1000..... vezes maior, desloca-se a vrgula para a direita, res-pectivamente, uma, duas, trs, . . . casas decimais. 2,75 x 10 = 27,5 6,50 x 100 = 650 0,125 x 100 = 12,5 2,780 x 1.000 = 2.780 0,060 x 1.000 = 60 0,825 x 1.000 = 825

DIVISO Para dividir os nmeros decimais, procede-se as-

sim: 1) iguala-se o nmero de casas decimais; 2) suprimem-se as vrgulas; 3) efetua-se a diviso como se fossem nmeros in-

teiros.

Exemplos: 6 : 0,15 = 6,00 0,15

000 40 Igualam se as casas decimais. Cortam-se as vrgulas.

7,85 : 5 = 7,85 : 5,00 785 : 500 = 1,57

Dividindo 785 por 500 obtm-se quociente 1 e resto 285

Como 285 menor que 500, acrescenta-se uma vrgula ao quociente e zeros ao resto

2 : 4 0,5

Como 2 no divisvel por 4, coloca-se zero e vr-gula no quociente e zero no dividendo

0,35 : 7 = 0,350 7,00 350 : 700 = 0,05

Como 35 no divisvel por 700, coloca-se zero e vr-gula no quociente e um zero no dividendo. Como 350 no divisvel por 700, acrescenta-se outro zero ao quociente e outro ao dividendo

Diviso de um nmero decimal por 10, 100, 1000

Para tornar um nmero decimal 10, 100, 1000, .... vezes menor, desloca-se a vrgula para a esquerda, respectivamente, uma, duas, trs, ... casas decimais.

Exemplos: 25,6 : 10 = 2,56 04 : 10 = 0,4 315,2 : 100 = 3,152 018 : 100 = 0,18 0042,5 : 1.000 = 0,0425 0015 : 1.000 = 0,015

milhar centena dezena Unidade simples

dcimo centsimo milsimo

1 000

100

10

1

0,1

0,01

0,001

LEITURA DE UM NMERO DECIMAL Procedemos do seguinte modo: 1) Lemos a parte inteira (como um nmero natural). 2) Lemos a parte decimal (como um nmero natu-

ral), acompanhada de uma das palavras: - dcimos, se houver uma ordem (ou casa) deci-

mal - centsimos, se houver duas ordens decimais; - milsimos, se houver trs ordens decimais.

Exemplos: 1) 1,2 L-se: "um inteiro e



dois dcimos".

2) 12,75 L-se: "doze inteiros e setenta e cinco centsimos".

3) 8,309 L-se: "oito inteiros e trezentos e nove milsimos''.

Observaes: 1) Quando a parte inteira zero, apenas a parte de-

cimal lida. Exemplos:

a) 0,5 - L-se: "cinco dcimos".

b) 0,38 - L-se: "trinta e oito centsimos".

c) 0,421 - L-se: "quatrocentos e vinte e um milsimos".

2) Um nmero decimal no muda o seu valor se a-crescentarmos ou suprimirmos zeros direita do ltimo algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 " .......

3) Todo nmero natural pode ser escrito na forma de nmero decimal, colocando-se a vrgula aps o ltimo algarismo e zero (ou zeros) a sua direita. Exemplos: 34 = 34,00... 176 = 176,00...

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS (R)

CORRESPONDNCIA ENTRE NMEROS E PONTOS DA RETA, ORDEM, VALOR ABSOLUTO

H nmeros que no admitem representao decimal finita nem representao decimal infinita e peridico, como, por exemplo:

pi = 3,14159265... 2 = 1,4142135... 3 = 1,7320508... 5 = 2,2360679...

Estes nmeros no so racionais: pi Q, 2 Q, 3 Q, 5 Q; e, por isso mesmo, so chamados de irracionais.

Podemos ento definir os irracionais como sendo aqueles nmeros que possuem uma representao decimal infinita e no peridico.

Chamamos ento de conjunto dos nmeros reais, e indicamos com R, o seguinte conjunto:

Como vemos, o conjunto R a unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros

irracionais.

Usaremos o smbolo estrela (*) quando quisermos indicar que o nmero zero foi excludo de um conjunto.

Exemplo: N* = { 1; 2; 3; 4; ... }; o zero foi excludo de N.

Usaremos o smbolo mais (+) quando quisermos indicar que os nmeros negativos foram excludos de um conjunto.

Exemplo: Z+ = { 0; 1; 2; ... } ; os negativos foram excludos de Z.

Usaremos o smbolo menos (-) quando quisermos indicar que os nmeros positivos foram excludos de um conjunto.

Exemplo: Z

= { . .. ; - 2; - 1; 0 } ; os positivos foram excludos de Z.

Algumas vezes combinamos o smbolo (*) com o smbolo (+) ou com o smbolo (-).

Exemplos a) Z

*= ( 1; 2; 3; ... ) ; o zero e os negativos foram

excludos de Z. b) Z+* = { ... ; - 3; - 2; - 1 } ; o zero e os positivos

foram excludos de Z.

Exerccios resolvidos 1. Completar com ou : a) 5 Z b) 5 Z

*

c) 3,2 Z+* d) 1

4 Z

e) 41

Z

f) 2 Q

g) 3 Q* h) 4 Q i) ( ) 2 2 Q

-

j) 2 R k) 4 R

-

Resoluo a) , pois 5 positivo. b) , pois 5 positivo e os positivos foram

excludos de Z

*

c) 3,2 no inteiro. d) , pois 1

4no inteiro.

e) , pois 41

= 4 inteiro.

f) , pois 2 no racional. g) , pois 3 no racional h) , pois 4 = 2 racional i) , pois ( ) = =2 4 22 positivo, e os

R= { x | x racional ou x irracional}



positivos foram excludos de Q

.

j) , pois 2 real. k) , pois 4 = 2 positivo, e os positivos foram

excludos de R

2. Completar com ou : a) N Z* d) Q Z b) N Z+ e) Q+* R+* c) N Q

Resoluo: a) , pois 0 N e 0 Z* . b) , pois N = Z+ c) , pois todo nmero natural tambm

racional. d) , pois h nmeros racionais que no so

inteiros como por exemplo, 23

.

e) , pois todo racional positivo tambm real positivo.

Exerccios propostos: 1. Completar com ou a) 0 N b) 0 N* c) 7 Z d) - 7 Z+ e) 7 Q

f) 17

Q

g) 71

Q+*

h) 7 Q i) 72 Q j) 7 R*

2. Completar com ou a) 3 Q d) pi Q b) 3,1 Q e) 3,141414... Q c) 3,14 Q

3. Completar com ou : a) Z+* N* d) Z* R b) Z

N e) Z

R+ c) R+ Q

4. Usando diagramas de Euler-Venn, represente os conjuntos N, Z, Q e R .

Respostas: 1. a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j)

2. a) b)

c) d)

e)

3.

a) b)

c) d)

e)

4.

Reta numrica Uma maneira prtica de representar os nmeros re-

ais atravs da reta real. Para constru-la, desenha-mos uma reta e, sobre ela, escolhemos, a nosso gosto, um ponto origem que representar o nmero zero; a seguir escolhemos, tambm a nosso gosto, porm direita da origem, um ponto para representar a unidade, ou seja, o nmero um. Ento, a distncia entre os pon-tos mencionados ser a unidade de medida e, com base nela, marcamos, ordenadamente, os nmeros positivos direita da origem e os nmeros negativos sua esquerda.

EXERCCIOS 1) Dos conjuntos a seguir, o nico cujos elementos

so todos nmeros racionais :

a)

24 ,5 ,3 ,2 ,21

c)

3 ,2 ,0 ,72

,1

b) { } 0 ,2 ,2 ,3 d) { } 7 5, ,4 ,9 ,0

2) Se 5 irracional, ento: a) 5 escreve-se na forma

n

m, com n 0 e m, n N.

b) 5 pode ser racional c) 5 jamais se escreve sob a forma

n

m, com n 0 e

m, n N. d) 2 5 racional

3) Sendo N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntos dos naturais, inteiros, racionais e reais, podemos escrever:

a) x N x R c) Z Q b) x Q x Z d) R Z

4) Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, podemos afirmar que:

a) x A x primo b) x A | x maior que 7 c) x A x mltiplo de 3 d) x A | x par e) nenhuma das anteriores

5) Assinale a alternativa correta:



a) Os nmeros decimais peridicos so irracionais b) Existe uma correspondncia biunvoca entre os

pontos da reta numerada, e o conjunto Q. c) Entre dois nmeros racional existem infinitos n-

meros racionais. d) O conjunto dos nmeros irracionais finito

6) Podemos afirmar que: a) todo real racional. b) todo real irracional. c) nenhum irracional racional. d) algum racional irracional.

7) Podemos afirmar que: a) entre dois inteiros existe um inteiro. b) entre dois racionais existe sempre

tj pr - matemmática.pdf

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