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MÉDIA E DESVIO PADRÃO ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA) TIPOS DE VARIAÇÕES PROF. DRA. ADRIANA DANTAS DISCIPLINA: PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS

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Page 1: Tipos de variações

M É D I A E D E S V I O P A D R Ã OA N Á L I S E D E V A R I Â N C I A ( A N O V A )

TIPOS DE VARIAÇÕESPROF. DRA. ADRIANA DANTAS

DISCIPLINA: PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS

Page 2: Tipos de variações

INTRODUÇÃO

• A Análise de Variância (ANOVA) é um procedimento utilizado para comparar três ou mais tratamentos.

• Existem muitas variações da ANOVA devido aos diferentes tipos de experimentos que podem ser realizados.

Page 3: Tipos de variações

CONCEITOS BÁSICOS SOBRE EXPERIMENTAÇÃO

• Tratamento• Unidade experimental ou parcela• Repetição• Variável resposta ou variável dependente

• Delineamento experimental (Design)• Modelo e análise de variância

Page 4: Tipos de variações

TRATAMENTOS

• Um tratamento é uma condição imposta ou objeto que se deseja medir ou avaliar em um experimento.

• Normalmente, em um experimento, é utilizado mais de um tratamento.

• Como exemplos de tratamentos, podem-se citar: • Tratamentos quantitativos

• Dose de adubo, doses de nutrientes• quantidade de sacarose• níveis de temperatura• períodos de coleta, • Temperaturas de armazenamentos

• Tratamentos qualitativos• variedades de plantas• Métodos de preparação• Coloração das colônias• Diferentes meios de culturas

Page 5: Tipos de variações

TRATAMENTO

• Cada tipo de tratamento também pode ser chamado de um fator. • O tipo de tratamento tem importância na forma como os dados serão

analisados.• Em tratamentos são quantitativos, pode-se usar, por exemplo, técnicas

de análise de regressão

• Os tratamentos são chamados de variáveis independentes.• Apenas um tipo de variável independente, possuímos apenas um fator. • Em um experimento, um fator pode ter varias categoriais que são

chamadas de níveis.• Em um experimento, podem existir mais de um fator e mais de uma

variável resposta.• Toda e qualquer variável que possa interferir na variável resposta ou

dependente deve ser mantida constante. • Quando isso não é possível, existem técnicas ( estratégias) que podem ser

utilizadas para reduzir ou eliminar essa interferência.

Page 6: Tipos de variações

EXEMPLO 1

• Um laboratório deseja estudar o efeito da composição de peças de metal sobre a dilatação.

• A composição das peças é o fator ( variável independente) .

• Os diferentes tipos de composição são os níveis do fator.

• A dilatação das peças, medida em milímetros, é a variável resposta ( variável dependente) .

Page 7: Tipos de variações

EXEMPLO 2

• Para curar uma certa doença existem quatro tratamentos possíveis: A, B, C e D.

• Temos apenas um fator, Tratamento, que se apresenta em quatro níveis, A, B, C e D.

• Através da aplicação da análise de variância com um fator ou "one-way ANOVA",

• Hipótese : • Pretende-se saber se existem diferenças significativas nos

tratamentos no que diz respeito ao tempo necessário para eliminar a doença, podemos indagar se os tratamentos produzem os mesmos resultados no que diz respeito à característica em estudo.

Page 8: Tipos de variações

EXEMPLO 3

• Suponhamos agora que existe a suspeita de que uma estação quente é um fator determinante para uma cura rápida.

• Então, • o estudo deve ser conduzido tendo em conta este segundo

fator = estação do ano.

• A técnica estatística apropriada será a análise de variância com dois fatores = "two-way ANOVA".

• Testa-se se existe diferença entre os tratamentos e também se existe diferença entre as estações do ano, no que respeita ao tempo de tratamento até à eliminação da doença.

Page 9: Tipos de variações

UNIDADE EXPERIMENTAL OU PARCELA

• É onde é feita a aplicação do tratamento. • É a unidade experimental que fornece os dados para serem avaliados.

• Exemplos de unidades experimentais ou parcelas:• um vaso, • uma planta,• Uma placa de Petri com meio de cultura,• uma porção de algum alimento,• Uma área

• As unidades experimentais podem ser formadas por grupos ou indivíduos.• Exemplo:

• quando trabalha-se com cobaias, pode-se ter apenas uma cobaia como unidade experimental, ou seja, apenas um animal fornecerá a resposta do tratamento,

• pode-se ter um grupo de cobaias em uma gaiola fornecendo as informações.

Page 10: Tipos de variações

REPETIÇÃO

• É o número de vezes que um tratamento aparece no experimento.

• O número de repetições, em um experimento, vai depender também dos recursos disponíveis, do tipo de experimento ( delineamento) e, também, da variabilidade do experimento ou da variável resposta.

Page 11: Tipos de variações

VARIÁVEL RESPOSTAOU VARIÁVEL DEPENDENTE

• Uma variável é qualquer característica que apresenta variação:• Altura de pessoas, o peso de animais, o comprimento de uma peça, o número de

microrganismos em um litro de leite etc.

• Quando o valor de uma variável não pode ser determinado antes da realização de um experimento, tem-se então uma variável aleatória.

• Variáveis aleatórias discretas - Assumem valores e numeráveis:• o numero de sementes germinadas, o numero de microrganismos em um litro de leite.

• Variáveis aleatórias contınuas - assumem valores em um intervalo• o peso de animais, o teor de umidade em um alimento, o conteúdo de óleo em uma

semente.

• Em um experimento, podem ser medidas muitas variáveis, mas deve-se considerar somente aquelas que possam contribuir para a explicação da hipótese formulada.

Page 12: Tipos de variações
Page 13: Tipos de variações

DELINEAMENTO EXPERIMENTAL

• Tem a finalidade de reduzir o erro experimental

• É a forma como os tratamentos ou níveis de um fator são designados às unidades experimentais ou parcelas.

• A analise de variância e baseada no delineamento experimental escolhido

• Um delineamento experimental é planejado de tal forma que a variação ao acaso seja reduzida o máximo possível.

• Alguns dos principais delineamentos experimentais sao:• delineamento completamente casualizado (DCC)• delineamento em blocos casualizados (DBC)• quadrado latino.

Page 14: Tipos de variações

MEDIDAS DE VARIAÇÃO OU DISPERSÃO

• Indicam quanto as observações diferem entre si ou o grau de afastamento das observações em relação à média.

• As medidas de variação mais utilizadas são: • Média, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.

• Objetivo: • Avaliar se duas ou mais amostras diferem significativamente com

relação a alguma variável.

• É necessário um método estatístico para solucionar o problema.

• A analise de variância foi introduzida por Fisher.

Page 15: Tipos de variações

• São atribuídas a causas conhecidas e numa parte devida as desconhecidas

• O efeito das causas desconhecidas contribuem para uma porção da variação total, que é isolada na análise de variância, recebendo a denominação de Erro ou Resíduo.

• Inerente a própria variabilidade do material experimental;

• Proveniente da falta de uniformidade do ambiente em que é conduzido o experimento.

DECOMPOSIÇÃO DA ANALISE DE VARIÂNCIA

Page 16: Tipos de variações

DECOMPOSIÇÃO DA VARIAÇÃO

• Causas conhecidas Variação entre amostragens (tratamentos)

• Causas desconhecidasVariação dentro das amostragens (erro ou resíduo)

Efeito de diferentes inseticidas no controle de pulgão da batata.

Causas desconhecidas = diferenças existentes entre as plantas (parcelas), condicionando um tipo diferente de resposta a um mesmo inseticida.

Page 17: Tipos de variações

VARIÂNCIA

• A variância = s2 • é a medida de dispersão mais utilizada• facilidade de compreensão e cálculo• possibilidade de emprego na inferência estatística.

• A variância é definida como sendo a média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética.

• Assim, temos.

Page 18: Tipos de variações

TIPOS DE VARIAÇÃO

• Variação dos dados de uma amostra que será utilizada para inferir sobre a população, então a medida que deve ser utilizada é a variância com denominador n −1.

• Variância for utilizada apenas para descrever a variação de um conjunto de dados, então, ela poderá ser calculada utilizando o número de observações (n) como denominador e será denotada por s2

N ou seja,

Page 19: Tipos de variações

REPARTINDO A VARIÂNCIA TOTAL

Page 20: Tipos de variações

VARIÂNCIA TOTAL

Page 21: Tipos de variações

VARIAÇÃO ENTRE OS GRUPOS

Page 22: Tipos de variações

VARIAÇÃO DENTRO DOS GRUPOS

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MÉDIA DE ALTURA DE PLANTAS

Page 24: Tipos de variações

SIMBOLOGIA MÉDIA, DESVIO PADRÃO E VARIÂNCIA

Page 25: Tipos de variações

SOMATÓRIO SIMPLES ( Σ )

• Considere X uma variável que assume as determinações: Xi (i = 1, 2, ..., N).

• A soma dos valores de Xi é x1 + x2 + ... + xN que pode ser sintetizada por:

Σ= x1 + x2 + ... + xN

• O símbolo Σ (sigma) indica somatório

Page 26: Tipos de variações

MEDIDAS DA VARIÂNCIA

• Soma dos quadrados (SQ)

• Número de graus de liberdade (GL)

• SQ/GL = Quadrados médio (QM) • são as variâncias entre as amostras

• Estas são confrontadas através de um teste de hipótese (Teste F) • avalia-se sua significância

Page 27: Tipos de variações

TESTE DE FISHER (F)

• Ronald Aylmer Fisher, trouxe contribuições valiosas à Estatística.

• Fisher, descobriu as distribuições amostrais dos coeficientes de correlação, regressão, correlação múltipla e a distribuição da razão entre duas variâncias, chamada Análise da Variação

• Fisher trabalhou por quatorze anos na Estação Experimental de Rothamstead, Inglaterra, e, devido aos trabalhos que lá desenvolveu, é considerado o pai da Estatística Experimental.

Ronald Fisher (1890 - 1962)

Page 28: Tipos de variações

ESTATÍSTICA F – ONE-WAY ANOVA

Page 29: Tipos de variações

QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA

Page 30: Tipos de variações

QUADRO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA

Causas da variação

Graus de liberdade

(GL)

Soma dos quadrados (SQ)

Quadrados médios (QM)

F calculado

Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2 Dentro das amostras

T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1)

Total t.r - 1 SQ total

Page 31: Tipos de variações

CALCULO DA ANALISE DE VARIÂNCIA

Page 32: Tipos de variações

CALCULO DO DESVIO PADRÃO

• Definido como a raiz quadrada positiva de variância

Page 33: Tipos de variações

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)

• Compara as variabilidades de diferentes conjuntos de dados.

• É definido de variação é definido como a proporção da média representada pelo desvio padrão e dado por:

Page 34: Tipos de variações

GRÁFICO EM CAIXA (BOX PLOT)

• A informação obtida pode ser apresentada em forma de um gráfico em caixa, que agrega uma série de informações da distribuição dos dados:• localização, dispersão, assimetria, caudas e dados

discrepantes

• Antes de construir o gráfico precisamos definir o que são valores adjacentes.

• São adjacentes o menor e o maior valores não discrepantes de um conjunto de dados• o maior valor que não ultrapassa a cerca superior e o

menor valor que não ultrapassa a cerca inferior.

Page 35: Tipos de variações

GRÁFICO EM CAIXA (BOX PLOT)

• Se num conjunto de dados nenhum valor é considerado discrepante, os valores adjacentes são os próprios extremos.

• No retângulo onde estarão representados os quartis e a mediana.

• A partir do retângulo, para cima e para baixo, seguem linhas, denominadas bigodes, que vão até os valores adjacentes.

• Valores discrepantes recebem uma letra ou um símbolo ( * ).

• Posição central dos valores é dada pela mediana e a dispersão pela amplitude interquartílica (aq).

• Posições relativas da mediana e dos quartis e o formato dos bigodes dão uma noção da simetria e do tamanho das caudas da distribuição.

Page 36: Tipos de variações

TIPOS DE DISTRIBUIÇÕES

a) distribuição assimétrica positiva, com três valores discrepantes superiores;b) distribuição simétrica, com um valor discrepante inferior;c) distribuição assimétrica negativa, sem valores discrepantes.

Page 37: Tipos de variações
Page 38: Tipos de variações

• Considere o seguinte experimento que foi conduzido, considerando um delineamento inteiramente casualizado.

• Foram comparados 4 tratamentos (tipos de cultivo): • Agar (A), Cássia (C) , Guar (G) , Leucena ( L) .

• Mediu-se o crescimento, em gramas, de explantes de morango.

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Page 40: Tipos de variações
Page 41: Tipos de variações

Conclusão da análise de variância: De acordo com o teste F, foram encontradas evidências de diferenças significativas, ao nível de 1% de probabilidade, entre os tratamentos, com relação ao crescimento. Rejeitamos, portanto, a hipótese de nulidade H0 . Deve existir, pelo menos um contraste significativo entre as médias de tratamentos, com relação ao crescimento médio.

Page 42: Tipos de variações

TESTE DE KRUSKAL-WALLIS

• A análise de variância exige que os erros tenham distribuição Normal e deve haver variâncias homogêneas.• Este pressuposto nem sempre são satisfeitos em um experimento ou

conjunto de dados.

• Como uma alternativa para a análise de variância paramétrica para um delineamento completamente casualizado: Teste de Kruskal-Wallis

k ≥ 3 tratamentos

• Uma exigência do teste de Kruskal-Wallis é que a variável em estudo seja contíınua.

• Outra é que as observações devem ser independentes.

Page 43: Tipos de variações

TESTE DE KRUSKAL-WALLIS

• A analise consiste em obter o posto de cada uma das observações.

• Adota-se que o menor valor recebe ( ranking ou posto) 1 , o segundo 2 e assim por diante, até que todas as observações tenham sido consideradas.

• Quando ocorrerem empates, atribui-se o valor médio entre as observações, ou seja, atribui-se a média das ordens que seriam atribuídas a elas se não ocorresse o empate.

• Se, por exemplo, as duas menores observações forem iguais há um empate. Neste caso, cada uma recebe o posto 1 , 5 que é a médias dos valores 1 e 2 .

Page 44: Tipos de variações
Page 45: Tipos de variações

EXEMPLO

• Em um experimento para avaliar o consumo de energia elétrica em KWh de três motores durante um hora de funcionamento, obteve-se os seguintes resultados:

Page 46: Tipos de variações

DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

Page 47: Tipos de variações

DELINEAMENTOS ESTATÍSTICOS

É o processo de planejar e conduzir um ensaio ou experiência, incluindo a sua implantação, de modo que seja possível recolher dados que possam

ser analisados, usando as metodologias estatísticas

apropriadas, e que conduzam a conclusões válidas e objetivas.

Page 48: Tipos de variações

DELINEAMENTO EXPERIMENTAL

1. Reconhecimento do problema e objetivos2. Identificação das unidades experimentais3. Seleção dos fatores, tratamentos4. Seleção da(s) variável(eis)-resposta5. Escolha do tipo de delineamento6. Realização do ensaio e recolha de dados7. Análise estatística dos resultados8. Conclusões e recomendações

Page 49: Tipos de variações

DELINEAMENTO EXPERIMENTAL

• Identificação das unidades experimentais• Adequação ao ensaio• Uniformidade

• No. de unidades experimentais disponíveis• Serão necessários blocos• Variáveis independentes

• São as variáveis controladas pelo experimentador, e que se pretende testar se produzem algum efeito numa (ou várias) variável-resposta.

• Fatores fixos: número fixo de níveis• Fatores aleatórios: amostra aleatória de níveis

Page 50: Tipos de variações

TRATAMENTOS

• São os vários níveis de cada um dos fatores do ensaio.

• Controle ou testemunha:• É um dos níveis do fator, e que serve de termo de

comparação aos restantes tratamentos.

• Pode ser o “nível zero” de um fator.

Page 51: Tipos de variações

REPETIÇÃO OU REPLICAÇÃO

• É a atribuição do mesmo tratamento a várias unidades experimentais.

• Objetivos:• Estimar o erro experimental• Estimar o efeito do tratamento

• Repetição ≠ Medidas repetidas

Page 52: Tipos de variações

ALEATORIZAÇÃO

• As unidades experimentais devem receber os tratamentos de um modo completamente aleatório.

• A análise estatística requer que as observações (isto é, os dados recolhidos das unidades experimentais) sejam variáveis aleatórias independentes.

• A aleatorização garante este pressuposto

Page 53: Tipos de variações

SELEÇÃO DOS FATORES

• Três tipos de fatores (quanto à importância):• Fatores importantes e interessantes (“design

factores”)• Fatores importantes mas não interessantes

(“held constant factores”) = Uniformização pelos blocos

• Fatores menos importantes (“allowed-to-vary”)• Natureza dos fatores• Numéricos - Modelos de regressão• Categóricos - Modelos de ANOVA

Page 54: Tipos de variações

SELEÇÃO DA VARIÁVEL-RESPOSTA

• Variável aleatória• Tipo de variável• escalar, ordinal, %, • Tempo de resposta• Adequação aos objetivos do ensaio• Ensaios com múltiplas respostas• Vantagens em termos de optimização

•Atenção à complexidade!

Page 55: Tipos de variações

ESCOLHA DO TIPO DE DELINEAMENTO

• Uni ou multi-fatorial• Número de repetições

• (tamanho amostral)

• Blocos? • (Uniformidade das unidades experimentais)

• Equilibrado ou desequilibrado• Aleatorização

Page 56: Tipos de variações

DELINEAMENTO INTEIRAMENTE OU COMPLETAMENTE CASUALIZADO

• Todas as unidades experimentais deverão ser homogêneas.

• É o delineamento que assegura completa aleatorização na distribuição dos tratamentos às unidades

• Facilidade de implantação • Flexibilidade: número de tratamentos; repetições• Facilidade de interpretação dos resultados: a

variabilidade é apenas devida aos tratamentos ou ao erro experimental

• Maximiza os graus de liberdade do erro experimental

Page 57: Tipos de variações

DELINEAMENTO COMPLETAMENTE CASUALIZADO (DCC)

• O DDC é o mais simples de todos os delineamento estatístico

• Levam em conta somente princípios da repetição e da casualização, sem controle local

• Dessa forma, os tratamentos são localizados nas parcelas de uma maneira totalmente aleatória.

• Pelo fato de não terem controle local, exige-se que o ambiente do experimento seja o mais uniforme possível.

• São recomendados na experimentação em laboratórios, viveiros, casa-de-vegetação, estábulo, etc.

Page 58: Tipos de variações

VANTAGENS• Qualquer número de tratamentos ou de repetições pode ser usado

• O número de repetições pode variar de um tratamento para outro

• A análise estatística é a mais simples

• O número de graus de liberdade para o resíduo é o maior possível

Page 59: Tipos de variações

DESVANTAGENS

•Exige homogeneidade total das condições experimentais

•Conduz estimativas elevadas do erro experimental

Page 60: Tipos de variações

INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO DCC

• Consideremos um experimento com 4 tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetições, que dá um total de 20 parcelas (que é o numero mínimo de parcelas exigido por ensaio) Então temos:

A1 A3 D2 B1 D4 B2 B4 A4 B5 C4

C2 D1 A5 C1 C5 D5 C3 D3 B3 A2

Observa-se que todos os tratamentos com suas respectivas repetições foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas.

Page 61: Tipos de variações

ETAPAS

1. Definir o local onde o experimento será conduzido, que neste caso, seria, por exemplo, o laboratório, a casa de vegetação, um estábulo, etc.

2. Identificar as parcelas experimentais com etiquetas, plaquetas, etc., seguindo o que consta no croqui do experimento.

3. As parcelas nesse caso poderiam ser, por exemplo, placas de petri, vasos, caixas, baias, gaiolas, etc.

4. Distribuis as parcelas experimentais no local onde o experimento será conduzido, conforme croqui do experimento

5. Colocar as plantas, animais, etc., correspondentes ao seu respectivo tratamento em cada parcela.

Page 62: Tipos de variações

EFEITO DE 4 DOSES DE PENICILINA NO DESENVOLVIMENTO DE COLÓNIAS DE ESCHERICHIA COLLI.

• A penicilina é adicionada ao meio de cultura.• Ensaio laboratorial:

• cultura em estufa à temperatura constante de 25ºC• As unidades experimentais

• as caixas de Petri• É um tratamento uni-factorial:

• único tratamento n dose• 4 níveis do fator ou 4 tratamentos• Variável resposta:

• diâmetro da colônia de E. colli em cm, em cada uma das placas de Petri

Page 63: Tipos de variações

ESQUEMA DA ANÁLISE DA VARIÂNCIAINTEIRAMENTE CASUALIZADOOU COMPLETAMENTE CASUALIZADO

Causas da variação

Graus de liberdade

(GL)

Soma dos quadrados (SQ)

Quadrados médios (QM)

F calculado

Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2 Dentro das amostras

T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1)

Total t.r - 1 SQ total

Page 64: Tipos de variações

SOMA DOS QUADRADOS

SQ total = x2 - (x)2 N

X = valor de cada observação

N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )

SQ tratamentos = T2 - (x)2 R N

T = total de cada tratamento

SQ resíduo = SQ total – SQ tratamentos

Page 65: Tipos de variações

QUADRADOS MÉDIOS

QM tratamentos = SQ tratamentos GL tratamentos

QM resíduo = SQ resíduo GL resíduo

O QM resíduo corresponde à estimativa da variância do erro experimental (s2), cujo valor é utilizado nos testes de hipóteses, objetivando verificar se existe ou não diferença significativa entre os tratamentos avaliados.

Page 66: Tipos de variações

EXERCÍCIO 1. A PARTIR DOS DADOS DA TABELA 1, PEDE-SE:A) FAZER A ANALISE DE VARIÂNCIAB) OBTER COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Repetições Linhagens

1 2 3 4 5 6 Totais de linhagens

MSE1 MSE2 MSE3 MSE4 MSE5 MSE6 MSE7 MSE8 MSE9

385 406 354 271 344 354 167 344 385

323 385 292 208 292 354 115 385 385

417 444 389 347 354 410 194 410 396

370 443 312 302 354 453 130 437 453

437 474 432 370 401 448 240 437 458

340 437 299 264 306 417 139 410 417

2.272 2.589 2.078 1.762 2.051 2.436 985 2.423 2.494

Total 19.090

Page 67: Tipos de variações

DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS (DBC)

• Levam em consideração três princípios básicos da experimentação: repetição, casualização e controle local.

• O controle local e usado na sua forma mais simples possível representado pelos blocos:

• cada um dos quais inclui todos os tratamentos são atribuídos as parcelas aleatoriamente.

• Em experimentos zootécnicos, cada bloco constituído de animais de características semelhantes:

• interesse em estudar rações para galinhas poedeiras, colocaremos no mesmo bloco animais da mesma raça, da mesma idade, da mesma época de postura e de produção de ovos semelhantes.

Page 68: Tipos de variações

BLOCOS

• Lotes de unidades experimentais o mais homogêneas possíveis.

• certeza da heterogeneidade,

Objetivo dos blocos:

• Homogeneizar as unidades experimentais dentro de cada bloco, de modo a minimizar a variabilidade dentro dos blocos, e maximizar a variabilidade entre os blocos.

• Em cada bloco: • uma ou mais repetições de cada um dos tratamentos

Page 69: Tipos de variações

NUM EXPERIMENTO COM 4 TRATAMENTOS PODEMOS TER AS SEGUINTES FORMAS PARA OS BLOCOS:

A B C DA C

B D

Page 70: Tipos de variações

O DBC APRESENTA VANTAGENS:

a) A perda total de um ou mais blocos ou de um ou mais tratamentos em nada dificulta a análise estatística

b) Conduz a estimativas menos elevada do erro experimental

c) A analise estatística é relativamente simplesd) Permite, dentro de certos limites, utilizar

qualquer número de tratamentos e repetiçõese) Controla a homogeneidade do ambiente onde

o experimento e conduzido

Page 71: Tipos de variações

INSTALAÇÃO DO EXPERIMENTO

• Consideremos 5 tratamentos (A, B, C, D e E) e 4 repetições

A C D B E C E A B D

E A C D B D A E B C

Observa-se que em cada bloco os tratamentos foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas e que os mesmos só aparecem uma única vez por bloco.

BI

BII

BIII

BIV

Page 72: Tipos de variações

ESQUEMA DA ANALISE DE VARIÂNCIA DBC

Causas da variação

GL SQ QM F

Tratamentos Blocos residuo

t-1 r - 1

t (r-1)

SQ tratamentos SQ blocos SQ residuo

QM tratamentos QM blocos QM residuo

QM trat/QM resíduo QM blocos / QM residuo

Total tr - 1 SQ total

Page 73: Tipos de variações

SOMA DOS QUADRADOS DBC

SQ total = x2 - (x)2 N

Onde:

X = valor de cada observação

N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )

SQ tratamentos = T2 - (x)2 R N

T = total de cada tratamento

SQ tratamentos = B2 - (x)2 t N

SQ resíduo = SQ total – (SQ tratamentos + SQ blocos)

Page 74: Tipos de variações

QUADRADOS MÉDIOS DBC

QM tratamentos = SQ tratamentos GL tratamentos

QM blocos = SQ blocos / GL blocos

QM resíduo = SQ resíduo GL resíduo

Page 75: Tipos de variações

EXERCÍCIO 2. A PARTIR DOS DADOS DA TABELA 2, PEDE-SE:A) FAZER A ANALISE DA VARIÂNCIAB) OBTER O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Tabela 2. Comportamento de clones de seringueira (Hevea sp.) em relação ao desenvolvimento do tronco

Blocos (média 8 plantas) Clones 1 2 3 4 5

Totais

FX 2804 FX 4425 FX 567 FX 652 FX 3032 PB 86 FX 516 FX 4109 FX 3635 FX 232 FX 25

68,61 56,39 63,51 62,28 57,11 49,83 54,09 56,01 61,49 62,01 58,94

69,69 53,38 63,63 59,26 56,11 43,50 48,09 44,71 63,10 62,58 57,96

70,21 54,21 64,91 60,90 57,20 43,58 49,86 45,60 63,94 63,31 59,56

72,49 56,27 67,87 64,19 60,01 43,76 47,52 47,93 66,70 65,08 62,32

74,85 61,57 69,75 68,77 61,38 46,66 50,01 49,96 69,37 68,05 64,42

355,85 281,82 329,67 315,40 291,81 227,33 250,38 244,21 324,60 321,03 303,20

Totais dos blocos

650,27 622,82 633,28 654,14 684,79 3.245,30

Page 76: Tipos de variações

EXPERIMENTOS FATORIAIS

• Em casos em que vários grupos de tratamentos são estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse• Por exemplo, o estudo de efeito de diferentes espaçamentos

em cultivares de milho em uma determinada região.

• Exemplo combinamos 5 cultivares - Fator: nos 2 espaçamentos - Fator: espaçamento – níveis: 2

• Experimentos fatoriais dois termos devem ser definidos: fator e nível.

• Fator é qualquer grupo de tratamentos avaliado• Nível é qualquer uma das subdivisões dentro do fator cultivares

Page 77: Tipos de variações

ESQUEMA DA ANALISE DE VARIÂNCIA

• Considerando o experimento fatorial 3 x 2, onde combinamos 3 tratamentos A (A0, A1 e A2) e 2 tratamentos B (B0 e B1) e 4 repetições, teremos o seguinte quadro de variância?

Page 78: Tipos de variações

Causas da variação

GL SQ QM F

Tratamento A Tratamento B Interação (A x B)

tA-1 tB-1

(tA-1)(tB-1)

SQ tratamento A SQ tratamento B

SQ interação

QM trat. A QM trat. B

QM interação

QM trat. A/QM resíduo QM trat. B/QM residuo

QM inter.(A x B)/QM residuo Tratamentos Blocos Resíduo

t-1 r-1

(t-1)(r-1)

SQ tratamentos SQ blocos SQ resíduo

QM residuo

Total tr - 1 SQ total

Onde:GL = número de graus de liberdadeSQ = soma dos quadradosQM = quadrado médioF = valor calculado do teste FT = número de tratamentos (combinações)R = número de repetiçõestA = numero de tratamentos AtB = número de tratamentos B

Page 79: Tipos de variações

SOMA DOS QUADRADOS

SQ total =x2 - (x)2 N

X = valor de cada observação

N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )

SQ tratamentos = T(AB)2 - (x)2 R N

T(AB) = total de cada combinação (AB)

SQ blocos = B2 - (x)2 t N

B = total de cada bloco

SQ tratamentos A = T(tA)2 - (x)2 r.tB N

SQ tratamentos B = T(tB)2 - (x)2 r.tA N

SQ interação (AxB) = T(AB)2 - (x)2 – (SQ trat. A + SQ trat.B) R N

SQ resíduo = SQ residuo GL residuo

Page 80: Tipos de variações

QUADRADOS MÉDIOS

QM tratamentos A = SQ tratamentos A GL tratamentos A

QM tratamentos B = SQ tratamentos B GL tratamentos B

QM interação (AxB) = SQ interação AXB GL interação AXB

QM blocos = SQ blocos / GL blocos

QM resíduo = SQ resíduo GL resíduo