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Tiago André Faria Regado

Desenvolvimento de um Modelo deDesempenho para Infraestruturas Ferroviáriasaplicado à Linha Férrea

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Universidade do MinhoEscola de Engenharia

Outubro de 2014

Dissertação de MestradoCiclo de Estudos Integrados Conducentes aoGrau de Mestre em Engenharia Civil

Trabalho efetuado sob a orientação doProfessor Doutor José António Silva de CarvalhoCampos e Matos

Tiago André Faria Regado

Desenvolvimento de um Modelo deDesempenho para Infraestruturas Ferroviáriasaplicado à Linha Férrea

Universidade do MinhoEscola de Engenharia

i

Agradecimentos

Um trabalho de pesquisa e de escrita desta natureza nunca é apenas do autor do projeto, mas

sim de todos aqueles que direta ou indiretamente contribuíram para que fosse possível atingir todos

os objetivos desejados. Deste modo pretendo prestar publicamente esse reconhecimento às pessoas

e entidades a seguir descritas:

Em primeiro lugar, gostaria de expressar um agradecimento ao Professor Doutor José

António Silva de Carvalho Campos e Matos por todo o envolvimento no trabalho realizado,

sempre com uma orientação atenta e cuidada, mostrando uma total disponibilidade na partilha

de conhecimentos e sugerindo concelhos fundamentais.

Agradeço ao Eng.º Bruno Gonçalves pelo apoio e transmissão de conhecimentos.

Agradeço ao Eng.º Sérgio Fernandes pela disponibilidade para ajudar em aspetos

relacionados com os modelos de Markov, que certamente contribuiu para o desenvolvimento

do modelo nesta tese.

Expresso a minha gratidão ao Eng.º Roman Denysiuk pela disponibilidade para discutir

alguns aspetos relacionados com a aplicação das ações de manutenção e ações de reparação, o

que certamente contribuiu para o enriquecimento desta tese.

Agradeço a todos os meus colegas e amigos que fiz durante o percurso académico, que

guardo com muita estima a amizade aqui criada e desenvolvida com quem espero, um dia no

futuro ter a oportunidade de colaborar profissionalmente.

À minha Família, por tudo o que têm feito por mim durante toda a vida e porque sem eles

não teria sido possível atingir esta importante etapa.

Finalmente, queria agradecer à Patrícia, pelo constante apoio e por toda a paciência em

suportar os meus momentos mais desgastantes e de maior pressão.

iii

Resumo

Os caminhos-de-ferro desde de cedo se revelaram um meio de transporte de grande utilidade

para toda a humanidade. Nos dias de hoje, embora com menor utilização, continua a ser um

meio de elevada importância. As infraestruturas em Portugal apresentam um elevado grau de

deterioração. Adicionalmente, verifica-se que não tem existido uma aposta clara nos sistemas

de gestão da segurança que contemplam este fenómeno. Torna-se então fundamental investir

na previsão dessa deterioração, garantindo aos utilizadores uma maior segurança e

possibilitando a correta gestão das ações de manutenção.

O trabalho elaborado no âmbito desta tese consiste fundamentalmente em desenvolver um

modelo de previsão de deterioração para a linha férrea, recorrendo a processos de Markov. Esta

metodologia é feita num âmbito probabilístico sendo que para desenvolver este modelo, terá de

se, recorrer aos dados das inspeções realizadas aos parâmetros geométricos da linha.

São ainda estudadas ações de manutenção ou reparação da linha de modo a controlar a

degradação e consequentemente o seu desempenho. Estas podem ser de carácter preventivo,

adiando a deterioração, ou de carácter corretivo, melhorando o índice de condição.

Por fim desenvolve-se um modelo alternativo aos processos de Markov baseados nos

Modelos de Markov Ocultos.

Palavras-Chaves:

Linha férrea ; Processos de Markov ; Modelos ocultos ; Deterioração ; Parâmetros

geométricos ; Ações de manutenção ou reparação.

v

Abstract

Railways, since an early stage proved to be a means of transport action of great benefit for

all mankind. These days, though with lower utilization, it is still a means of high importance.

In Portugal, infrastructures present a high deterioration degree. Additionally, it is verified that

the developed management systems do not consider this phenomenon. Therefore it is essential

to invest in predicting such deterioration, increase the user’s safety and allowing the correct

management of the maintenance actions.

The developed work in this thesis consists fundamentally in developing a predictive model

of the railway line deterioration, though the use of a Markov process. This methodology is

based in a probabilistic framework, being necessary to develop this model based in the

inspections data of the geometrical parameters of the line.

It will be also evaluated the railway line maintenance or corrective actions in order to control

degradation and consequently the performance. These actions can be preventive, with a delay

in deterioration, or corrective, improving the condition index.

Finally it is developed an alternative model based in a hidden Markov process.

Keywords:

Railways ; Markov processes ; Hidden models ; Deterioration ; Railway geometric

parameters ; Maintenance or corrective actions.

vii

Índice

Agradecimentos ................................................................................................................... i

Resumo ............................................................................................................................... iii

Abstract ............................................................................................................................... v

Índice.................................................................................................................................. vii

Índice de Figuras ............................................................................................................... xi

Índice de Tabelas .............................................................................................................. xv

1 Capítulo 1 - Introdução................................................................................................ 1

1.1 Enquadramento e objetivos propostos .................................................................. 1

1.2 Estrutura da dissertação ........................................................................................ 2

2 Capítulo 2 – Linha Férrea ........................................................................................... 5

2.1 Introdução ............................................................................................................. 5

2.2 Enquadramento Histórico ..................................................................................... 6

2.3 Elementos Constituintes da Linha Férrea ........................................................... 11

2.4 Inspeção .............................................................................................................. 16

2.4.1 Nivelamento Longitudinal .............................................................................. 19

2.4.2 Alinhamento ................................................................................................... 19

2.5 Índice de Condição ............................................................................................. 20

2.6 Ações de manutenção ou reparação ................................................................... 24

2.6.1 Manutenção .................................................................................................... 25

2.6.2 Reparação ....................................................................................................... 26

2.7 Conclusões ......................................................................................................... 28

3 Capítulo 3 – Modelo de Markov ............................................................................... 29

3.1 Introdução ........................................................................................................... 29

3.2 Processo de Markov em geral ............................................................................ 32

3.3 Processo de Markov em tempo discreto ............................................................. 34

3.3.1 Aplicação em tempo discreto ......................................................................... 38

viii

3.4 Processo de Markov em tempo contínuo ........................................................... 40

3.4.1 Aplicação em tempo contínuo ........................................................................ 43

3.4.1.1 Aquisição das taxas de transição 𝜽𝒊 ......................................................... 44

3.4.1.2 Alteração 𝜽𝒊 pelo método da maximização da verosimilhança ............... 46

3.4.1.3 Qualidade do modelo ............................................................................... 47

3.4.1.4 Estimativa do tempo de permanência nos vários índices de condição .... 51

3.4.1.5 Evolução das probabilidades de transição ao longo do tempo ................ 53

3.4.1.6 Previsão da deterioração .......................................................................... 55

3.5 Conclusões ......................................................................................................... 57

4 Capítulo 4 – Modelo de Markov Oculto ................................................................... 59

4.1 Introdução ........................................................................................................... 59

4.2 Elementos de um Modelo de Markov Oculto .................................................... 60

4.3 Tipos de Modelos de Markov Ocultos ............................................................... 61

4.4 Problemas básicos do Modelo de Markov Oculto ............................................. 62

4.4.1 O problema da descodificação ........................................................................ 63

4.4.2 O problema da aprendizagem ......................................................................... 65

4.5 Aplicação ............................................................................................................ 67

4.6 Conclusões ......................................................................................................... 71

5 Capítulo 5 – Ações de Manutenção e Reparação .................................................... 73

5.1 Introdução ........................................................................................................... 73

5.2 Tipos de ações de manutenção ........................................................................... 74

5.2.1 Manutenção preventiva baseada no tempo ..................................................... 75

5.2.2 Manutenção corretiva baseada no tempo ........................................................ 78

5.2.3 Manutenção corretiva baseada no índice ........................................................ 81

5.3 Exemplo de aplicação numa linha férrea ........................................................... 83

5.3.1 Análise da evolução do índice de condição da linha férrea ............................ 84

5.3.2 Análise da evolução probabilística dos diversos índices de condição ............ 86

ix

5.4 Conclusões ......................................................................................................... 88

6 Capítulo 6 – Conclusões ............................................................................................. 91

6.1 Conclusões ......................................................................................................... 91

6.2 Desenvolvimentos Futuros ................................................................................. 95

7 Bibliografia ................................................................................................................. 97

8 Anexo ......................................................................................................................... 103

xi

Índice de Figuras

Figura 2.1 – Vagonete a tração animal [7]. ......................................................................... 6

Figura 2.2 – Primeira locomotiva a vapor (Rocket) [7]. ..................................................... 6

Figura 2.3 – Ponte D. Maria Pia [12]. ................................................................................. 7

Figura 2.4 – Densidade da linha férrea Mundial [13]. ........................................................ 8

Figura 2.5 – Rede Ferroviária Portuguesa [16]. ................................................................ 10

Figura 2.6 – Perfil transversal esquemático da via balastrada [17]. .................................. 11

Figura 2.7 – Perfil longitudinal esquemático da via balastrada [17]. ................................ 11

Figura 2.8 – Carril Vignole [15]. ....................................................................................... 12

Figura 2.9 – Fixação rígida [22]. ....................................................................................... 12

Figura 2.10 – Fixação elástica [22]. .................................................................................. 12

Figura 2.11 – Travessas de madeira [15]. .......................................................................... 13

Figura 2.12 – Travessas de betão [24]. .............................................................................. 13

Figura 2.13 – Palmilha de carril fixa por pregos ou grampos [25]. ................................... 14

Figura 2.14 – Via com camada de balastro [15] . .............................................................. 14

Figura 2.15 – Via não balastrada em laje de betão [24]. ................................................... 15

Figura 2.16 – Via não balastrada em camada de mistura betuminosa [24]. ...................... 15

Figura 2.17 – Veículo de inspeção da via do tipo EM120 [31]. ........................................ 17

Figura 2.18 – Definição de Nivelamento longitudinal [30]. ............................................. 19

Figura 2.19 – Definição de Alinhamento [32]. .................................................................. 20

Figura 3.1 – Andrei A. Markov [36]. ................................................................................ 29

Figura 3.2 – Curva representativa de um fenómeno físico obtida pelo processo de Markov.

............................................................................................................................................ 30

Figura 3.3 – Curva representativa de um fenómeno físico com aplicação de uma ação de

manutenção. ........................................................................................................................ 30

Figura 3.4 – Exemplo de deterioração de uma linha ao fim de 360 meses. ...................... 39

Figura 3.5 – Estimativa do tempo de permanência em cada índice de condição para o

alinhamento. ....................................................................................................................... 52

Figura 3.6 – Estimativa do tempo de permanência em cada índice de condição para o

nivelamento. ....................................................................................................................... 52

Figura 3.7 – Evolução de Pij para índice de condição inicial 0. ....................................... 53


xii


Figura 3.10 – Evolução de Pij para índice de condição inicial 3. ..................................... 54

Figura 3.11 – Evolução de Pij para índice de condição inicial 4. ..................................... 54

Figura 3.12 – Previsão do desempenho para o parâmetro do alinhamento. ...................... 56

Figura 3.13 – Previsão do desempenho para o parâmetro do nivelamento longitudinal. .. 56

Figura 4.1 – Modelo completamente conectado [53]. ....................................................... 62

Figura 4.2 – Modelo esquerda-direita [53]. ....................................................................... 62

Figura 4.3 – Degradação do índice de condição de uma linha férrea em 30 anos. ........... 69

Figura 4.4 – Evolução da probabilidade no tempo. ........................................................... 70

Figura 4.5 – Previsão do desempenho da linha o alinhamento. ........................................ 70

Figura 5.1 – Deterioração associada à manutenção preventiva baseada no tempo [35]. .. 75

Figura 5.2 – Deterioração de uma linha sobre o alinhamento ao longo do tempo. ........... 75

Figura 5.3 – Deterioração da linha com existência do cenário de manutenção. ............... 76

Figura 5.4 – Deterioração da linha com existência do cenário de manutenção 2. ............ 76


Figura 5.6 – Deterioração associada à manutenção corretiva baseada no tempo [35]. ..... 78



Figura 5.9 – Deterioração da linha com existência dos cenários de manutenção 1 e 2. .... 82

Figura 5.10 – Deterioração da linha sem ações de manutenção e com aplicação das ações

de manutenção separadas .................................................................................................... 84

Figura 5.11 – Deterioração da linha sem existência de ações de manutenção e com ambas

ações de manutenção. ......................................................................................................... 85

Figura 5.12 – Comparação da deterioração da Linha com ações de manutenções atuando,

calculadas pelos HMM e os Markov contínuos. ................................................................. 86

Figura 5.13 – Evolução das probabilidades dos índices de condição sem ocorrência de ações

de manutenção. ................................................................................................................... 86

Figura 5.14 – Evolução das probabilidades dos índices de condição com ocorrência de

ações de manutenção preventiva. ....................................................................................... 87

Figura 5.15 – Evolução das probabilidades dos índices de condição com ocorrência de

ações de manutenção corretiva. .......................................................................................... 88

Figura 5.16 – Evolução das probabilidades dos índices de condição com ocorrência das

duas ações de manutenção. ................................................................................................. 88

xiii

Figura 6.1 – Evolução do índice de condição referente ao parâmetro alinhamento para os 3

modelos analisados. ............................................................................................................ 92

Figura 6.2 – Previsão do desempenho do caso em estudo para o alinhamento com dois

modelos de Markov. ........................................................................................................... 93

xv

Índice de Tabelas

Tabela 2.1 – Distribuição geográfica da linha férrea Mundial [13]. ................................... 8

Tabela 2.2 – Níveis de condição da via [17]. .................................................................... 21

Tabela 2.3 – Classificação dos diversos troços da linha com base no desvio padrão [33].

............................................................................................................................................ 22

Tabela 2.4 – Desvio padrão para Nivelamento Longitudinal e Alinhamento. .................. 23

Tabela 3.1 – Descrição da condição da linha para os 6 níveis. ......................................... 31

Tabela 3.2 – Classificação segundo o desvio padrão. ....................................................... 32

Tabela 3.3 – Exemplos de alguns intervalos de tempo para inspeções regulares de 3 meses.

............................................................................................................................................ 35

Tabela 3.4 – Exemplo de previsão de uma linha férrea para 30 meses. ............................ 38

Tabela 3.5 – Exemplo de uma linha com inspeções referente ao segundo semestre de 2010

do parâmetro alinhamento. ................................................................................................. 45

Tabela 5.1 – Cenários possíveis de manutenção preventiva baseada no tempo. ............... 76

Tabela 5.2 – Cenários possíveis de manutenção corretiva baseada no tempo. .................. 79

Tabela 5.3 – Cenários possíveis de manutenção corretiva baseada no estado. ................. 81

Tabela 5.4 – Ações de manutenção aplicadas à linha férrea. ............................................ 84

Capítulo 1 – Introdução

Tiago André Faria Regado 1

1 Capítulo 1

Introdução

1.1 Enquadramento e objetivos propostos

Esta dissertação tem como tema Desenvolvimento de um Modelo de Desempenho para

Infraestruturas Ferroviárias aplicado à Linha Férrea. A motivação para sua escolha deve-se do

facto de este implicar um estudo dos parâmetros existentes da linha férrea para avaliação da

mesma, possibilitando a criação de um índice de condição que permitirá avaliar

qualitativamente o estado da linha férrea. A criação deste índice possibilitará prever o grau de

degradação da linha férrea ao longo do tempo, proporcionando o desenvolvimento de uma

estratégia de ações de manutenção ou reparação incorporadas num plano de manutenção da

linha férrea.

Trata-se de um tema atual, uma vez que, nos dias de hoje, a reabilitação e manutenção das

infraestruturas é um método viável, para prolongar a sua vida útil, de uma forma eficaz e

económica.

Os estados atuais e futuros de uma estrutura estão associados a vários graus de incerteza e

evolução aleatória. No entanto, com informação adequada e diversificada, é possível criar uma

abordagem probabilística para determinar o seu estado futuro. Modelos de deterioração, como

os processos de Markov, são utilizados em diversas áreas, como por exemplo na engenharia

civil, elétrica e mecânica industrial [1].

Neste sentido, é uma necessidade real o desenvolvimento de modelos de desempenho para

a linha que implementem sistemas de previsão de deterioração. Surge, deste modo, a

necessidade de uma gestão sustentável da linha férrea que permitira implementar, de um modo

coeso e integrado uma estratégia de ações de manutenção ou reparação.

O objetivo principal do tema é o desenvolvimento de um modelo de previsão com base nos

índices de condição da linha férrea. Estes índices de condição são adquiridos após um processo

de inspeção sobre a linha férrea e permitem observar a evolução do índice no decorrer do tempo

Desenvolvimento de um Modelo de Desempenho para Infraestruturas Ferroviárias aplicado à Linha Férrea

2 Tiago André Faria Regado

mas não prevê o índice de condição futuro. Com o recurso aos índices de condição e aos

processos de Markov torna-se possível a previsão da evolução futura do índice de condição. A

previsão do índice de condição permitirá gerir e otimizar os custos financeiros na manutenção

e reparação da linha.

É necessário desenvolver e implementar um algoritmo que permita prever e otimizar o

desempenho das linhas ao longo do seu ciclo de vida. Essa modelação é probabilística e recorre

aos processos de Markov para sua execução. Para se obter este modelo, recorre-se a dados reais

de inspeções dos troços de uma linha, com finalidade de reproduzir estocásticamente a sua

degradação. Assim, o objetivo passa por aplicar o modelo elaborado à linha estudando a

evolução do seu desempenho futuro.

O desenvolvimento de um modelo de deterioração é uma mais-valia para a entidade gestora,

pois a irá auxiliar no planeamento de uma possível estratégia de ações de manutenção e

reparação da linha férrea. São também descritos os tipos de ações de manutenção aplicáveis,

sua modelação nos processos de Markov e, de forma a simular uma estratégia possível,

sugeridas ações de manutenção aplicáveis à linha. Pretende-se ainda, avaliar o impacto que

estas ações têm na deterioração das estruturas.

Por fim, sugere-se a aplicação de um modelo alternativo, os Modelos de Markov Ocultos

(HMM), constituídos por duas camadas estocásticas que evoluem de forma diferente do modelo

de Markov. Todo o processo matemático deste estudo é elaborado com recurso ao software

MatLab®.

1.2 Estrutura da dissertação

A presente dissertação encontra se organizada em seis capítulos.

No Capítulo 1, “Introdução”, fundamenta-se o assunto da dissertação, refere-se o âmbito e

os objetivos do trabalho e por fim, apresenta-se a organização da tese.

No Capítulo 2, “Linha Férrea”, apresenta-se a informação da recolha bibliográfica

desenvolvida. Faz-se um enquadramento histórico, apresentando-se as características dos

elementos constituintes da linha férrea “tradicional”. Aborda-se também a inspeção e ações de

manutenção ou reparação feitas sobre a linha férrea.

Capítulo 1 – Introdução


No Capítulo 3, “Modelo de Markov”, é apresentado um modelo probabilístico de previsão

do desempenho futuro da linha, baseado em cadeias de Markov e é feito uma análise à evolução

de certas características deste modelo.

No capítulo 4, “Modelo de Markov Oculto”, apresenta-se um modelo alternativo baseado

nos Modelos de Markov Ocultos.

No capítulo 5, “Ações de Manutenção e Reparação”, são definidas as ações e estuda-se o

impacto sobre a evolução do índice no desempenho futuro da linha.

No Capítulo 6, “Conclusões e Desenvolvimentos Futuros”, são apresentadas as principais

conclusões obtidas neste trabalho e referidos alguns desenvolvimentos futuros.

Capítulo 2 – Linha Férrea


2 Capítulo 2

Linha Férrea

2.1 Introdução

A linha férrea é considerada um sistema complexo, constituído por diferentes áreas que

interagem entre si, cuja função é proporcionar à circulação ferroviária conforto e segurança sem

nunca esquecendo a vertente económica [2]. É importante contextualizar o modo de transporte

ferroviário nos diversos momentos, circunstâncias e perspetiva, para se poder entender a

importância do desempenho das infraestruturas ferroviárias.

A linha férrea aparenta ser visualmente uma estrutura simples, com uma evolução estrutural

pouco evidente desde a sua criação. Contudo, face ao aumento da carga transportada e das

velocidades dos comboios aumentar nos últimos quarenta anos, as tecnologias associadas à sua

construção e conservação progrediram acentuadamente em conjunto com a descoberta de

fatores essenciais do seu comportamento [3].

Fogel [4] destaca que as linhas férreas assumem importância particular no desenvolvimento

de vários países, pela função que têm na expansão demográfica regional, tomando-se o seu

estímulo para o desenvolvimento.

A gestão individual de grupos de estruturas requer uma abordagem sistemática, de tal forma

que, a fiabilidade e o estado da estrutura possa manter-se dentro do orçamento e das limitações

de recursos. Isto significa que a manutenção e as atividades de inspeção devem ser

rigorosamente planeadas, permitindo a segurança e operacionalidade com custos reduzidos da

estrutura. Um conceito importante na modelação da manutenção corresponde ao custo do ciclo

de vida, onde, os efeitos e custos de uma política de manutenção específica são considerados

durante a vida útil das estruturas [1].

No presente capitulo, é apresentado o estado de arte da linha férrea, fazendo-se também o

seu enquadramento histórico. São descritos alguns elementos constituintes da linha que

compõem três tipos de vias possíveis. No sentido de manter a estrutura em segurança é



necessário monitorizar a qualidade da geometria da linha através da realização de inspeções a

determinados parâmetros geométricos tais como o nivelamento longitudinal e o alinhamento.

Estes parâmetros são posteriormente classificados soba forma de um índice de condição que

será detalhado neste capítulo. Por fim faz-se uma breve referência às ações de manutenção e

reparação que são correntemente utilizadas neste tipo de estrutura.

2.2 Enquadramento Histórico

Segundo Nock [5] os primeiros caminhos-de-ferro foram usados provávelmente em

Cumberland, em 1728, no século XVIII, em Northumberland (Figura 2.1), uma região de minas

de carvão. Foram construídas vinte linhas férreas para transporte de mercadorias. Contudo, este

transporte não era assegurado por máquinas, mas sim por cavalos ou com recurso à gravidade.

Em 1803 Richard Trevithick produziu a primeira locomotiva a vapor à escala real que

tracionava 25 toneladas. Porém, este só foi testada em 1804 (Figura 2.2) [6].

Em Portugal, no ano de 1853, foi assinado o contrato entre o Governo e Hardy Hislop,

diretor e representante da Companhia Central Peninsular dos Caminhos-de-Ferro, para a

construção de uma linha férrea, a Linha de Leste, que liga Lisboa a Badajoz, passando por

Santarém. Esta foi a primeira linha férrea construída em Portugal, com uma bitola1 de 1,435 m

entre as arestas interiores dos carris [8]. Esta linha foi inaugurada em 1856 e ligava Lisboa ao

Carregado, chegando apenas em 1863 à fronteira com Espanha [9].

1 Bitola é a distância entre carris. Esta determina o raio das curvas, quanto mais estreita a bitola, menor é o raio de curvatura da curva.

Figura 2.1 – Vagonete a tração animal [7]. Figura 2.2 – Primeira locomotiva a vapor (Rocket) [7].



Entre 1859 e 1866 são rapidamente construídas, graças ao investimento direto de capitais

franceses (Companhia Real de Caminhos-de-Ferro), as linhas do Norte e do Leste, ligando

Lisboa a Vila Nova de Gaia e a Badajoz. Nascendo, desta forma, a rede do Estado [10].

Duas grandes rotas foram concluídas em 1876, a linha Leste de Lisboa a Elvas com uma

ligação a Badajoz, que foi a primeira rota internacional a ser construída (1863), e a linha do

Norte de Lisboa ao Porto (1864). Nessa altura, algumas partes da região do Minho e do Alentejo

estavam em construção, bem como duas linhas suburbanas de Lisboa (linha de Cascais, 1889)

e Porto (linha Porto-Póvoa, 1875) [11].

Só em 1875 é que foram inauguradas as Linhas do Minho (do Porto a Nine e Braga) e do

Douro (do Porto a Penafiel). Também nesse ano foi inaugurada a Linha do Porto à Póvoa [9].

Em 1877 é finalizada a Ponte Maria Pia sobre o rio Douro (Figura 2.3). Construída pela

famosa Casa Eiffel, entre o Porto e Vila Nova de Gaia, estabelece finalmente a ligação física

entre Lisboa e o Porto por caminho-de-ferro. Esta obra de arte é, sem dúvida, a mais

emblemática obra de engenharia ferroviária construída em Portugal [9].

Posteriormente, novas linhas são projetadas e construídas. As principais foram, (de Norte a

Sul): a conclusão da Linha do Minho até Valença (1882) e até à fronteira com Espanha (1886),

a linha do Douro até Barca de Alva (1887), a linha da Beira Alta (1880) e a linha Sul de Faro

(1889). Para além disso, a exploração da linha Oeste até à Figueira da Foz (1888), da linha da

Beira Baixa até à Covilhã (1891) e da linha de Cáceres (1880) foi iniciada neste período. Entre

as derivações das linhas principais, deve-se salientar a secção do Tua até Mirandela que foi

inaugurada em 29 de Setembro de 1987 [11].

Figura 2.3 – Ponte D. Maria Pia [12].



A Tabela 2.1 e a Figura 2.4 demonstram a densidade e distribuição geográfica, em números,

da rede ferroviária Mundial, na atualidade, de acordo com as estatísticas de 2006 publicadas

pela União Internacional dos Caminhos-de-ferro (UIC).

Zona geográfica Comprimento da linha (km) Percentagem (%)

Europa 352 450 38,18

(União Europeia) (197 842) (21,44)

(Resto dos países da Europa) (154 608) (16,74)

Africa e Médio Oriente 176 970 8,34

América 296 690 32,14

Asia e Oceânia 196 812 21,34

Total 922 922 100

A gestão do sistema ferroviário Português assenta num modelo com três entidades,

nomeadamente, o organismo regulador, o gestor da infraestrutura e os operadores de transportes

[14].

A entidade reguladora do sector, Instituto da Mobilidade e dos Transportes Terrestres, I.P.

– IMTT, foi criada pelo D.L. nº 147/2007, tendo assumido as atribuições de vários organismos

Tabela 2.1 – Distribuição geográfica da linha férrea Mundial [13].

Figura 2.4 – Densidade da linha férrea Mundial [13].



extintos relacionados com atividades de transporte terrestre de passageiros e de mercadorias

[14].

A entidade gestora da infraestrutura (REFER) foi criada pelo decreto de lei nº 104/97 de 29

de Abril, tendo como missão proporcionar ao mercado uma infraestrutura de transporte

competitiva, gerindo e desenvolvendo uma rede ferroviária eficiente e segura [14].

Ao nível da operação, coexistem, atualmente, com o operador de transportes públicos,

alguns operadores privados, designadamente a Fertagus no transporte de passageiros, a Takargo

e a CP-Carga, no transporte de mercadorias [14].

A linha férrea portuguesa é composta essencialmente por vias largas, com uma bitola igual

a 1,668 metros, e por alguns trechos de via estreita, de bitola de 1,000 metros [15].

Segundo a REFER, em 2011, a infraestrutura ferroviária era composta por uma rede em

exploração de 2 794 km, com 192 km de via estreita2, 2 602 km de via larga3, 2 184 km de via

única4, e 610 km de via múltipla5, com cerca de 1 049 passagens de nível, 74 com guarda, 351

automatizadas, 353 sem guarda e 153 peões. Isto compõe a rede ferroviária portuguesa e

desenvolve-se no país segundo a Figura 2.5.

2 Largura da via inferior à bitola padrão de 1,435 m 3 Largura da via superior à bitola padrão de 1,435 m 4 Via única com dois sentidos 5 Via com duas ou mais linhas.



Figura 2.5 – Rede Ferroviária Portuguesa [16].



2.3 Elementos Constituintes da Linha Férrea

As infraestruturas ferroviárias são construídas segundo três tipos de vias, a balastrada, a não

balastrada ou em laje e a de apoio misto.

Segundo Fortunato [17] as linhas férreas apresentam uma estrutura normalmente

subdividida em duas grandes componentes, nomeadamente, a superestrutura e a subestrutura

(Figura 2.6 e 2.7).

Relativamente à superestrutura fazem parte os seguintes elementos carril, elementos de

ligação (fixação rígida e elástica, palmilhas), balastro e as travessas. A subestrutura corresponde

ao conjunto dos elementos desde a plataforma, à fundação onde a estrutura é apoiada incluindo

as camadas de sub-balastro (Figura 2.6 e 2.7) [18].

A via balastrada é a mais antiga e é, ainda hoje, uma solução estrutural para novas linhas

férreas [19].

Figura 2.6 – Perfil transversal esquemático da via balastrada [17].

Figura 2.7 – Perfil longitudinal esquemático da via balastrada [17].



Os elementos primários que permitem o movimento de um comboio são os carris (Figura

2.8), elementos que possuem uma grande rigidez e são feitos de aço [18]. Têm como funções

suportar e transferir para as travessas as cargas dos veículos e impor a direção às rodas dos

comboios [20]. O carril também é caracterizado pelo facto de ser um condutor de correntes de

sinalização e retornar correntes de tração [21].

Os elementos de ligação (Figura 2.9 e 2.10) devem promover o apoio adequado dos carris

e a sua fixação às travessas, resistindo aos esforços originados pelas ações verticais, laterais,

longitudinais e de torção (transmitidos pelas rodas), e aos esforços produzidos pelas variações

de temperatura dos carris [15].

As fixações rígidas são normalmente designadas por tirefonds, que durante o seu ciclo de

vida e, devido à vibração causada pelo material circulante, soltam-se, perdendo a capacidade

de resistir a esforços longitudinais. As fixações elásticas mantêm a pressão constante sobre o

carril, não reduzindo a tensão induzida devido ao tráfego [22].

Além disso, a fixação e a palmilha devem ainda reduzir as tensões e as vibrações causadas

pelas cargas dinâmicas. O tipo de ligação e as características dos elementos de ligação e de

apoio estão relacionados com o tipo de travessa de cada via [17].

Figura 2.8 – Carril Vignole [15].

Figura 2.9 – Fixação rígida [22]. Figura 2.10 – Fixação elástica [22].



A travessa (Figura 2.11) é definida como o elemento da estrutura ferroviária que é colocado

entre os carris e a camada de balastro. De uma forma geral, tem como principais funções a

distribuição das cargas provenientes dos carris para a camada de balastro, garantir o suporte do

sistema de fixação, impedindo os movimentos verticais, laterais e longitudinais dos carris e

manter o correto alinhamento dos carris e a dimensão da bitola [23].

O avanço na tecnologia do betão impulsionou o uso de travessas de betão a partir de meados

do século XX. As travessas de betão conferem uma maior resistência lateral, são mais

resistentes e, em princípio, mais duráveis, requerendo menor conservação da via, o que torna a

sua utilização mais vantajosa [17]. As travessas de betão (Figura 2.12) dividem-se

essencialmente em dois grandes grupos: travessas bibloco (betão armado) e monobloco (betão

pré-esforçado).

A principal vantagem da travessa bibloco, face à monobloco, é que permite atingir uma

maior resistência lateral do balastro, devido à existência de um maior número de superfícies de

contacto entre a travessa e o balastro, sendo uma travessa mais leve. Por outro lado, a travessa

monobloco, por ser pré-esforçada, garante menos susceptibilidade à fendilhação do betão [21].

Figura 2.11 – Travessas de madeira [15].

Figura 2.12 – Travessas de betão [24].



As palmilhas (Figura 2.12) são elementos elásticos colocados entre o carril e a travessa e

têm como objetivo promover o apoio adequado do carril, amortecer as vibrações provocadas

pelas rodas, reduzir o atrito entre o carril e a travessa, promover o isolamento elétrico dos

circuitos da linha e proteger as travessas de desgaste e danos por impacto [19].

Na via balastrada, o balastro funciona como camada de apoio, que se localiza entre as

travessas e a fundação, proporcionando um suporte flexível. O balastro representa a camada de

pedra britada com uma espessura variável geralmente entre os 25 e os 30 cm [26] de material

grosseiro solto e drenante [27]. O balastro representa a camada que é colocada sob as travessas,

ocupando não só o espaço por debaixo destas mas também espaço entre travessas como é visível

na Figura 2.13 [15].

O sub-balastro é a camada que sucede ao balastro, no sentido descendente, e que contacta

diretamente com a plataforma/solo de fundação [26]. Esta camada aparece devido à necessidade

de proteger a plataforma e para reduzir o nível de tensão nos solos, mantendo constante a

espessura do balastro. Esta espessura, em geral, é estabelecida à partida e convém que seja

constante ao longo de toda a linha, para possibilitar, durante as operações de conservação e

reabilitação, uma utilização sistemática dos equipamentos mecânicos [17].

Figura 2.13 – Palmilha de carril fixa por pregos ou grampos [25].

Figura 2.14 – Via com camada de balastro [15] .



A fundação é a base sobre a qual são construídas as camadas de apoio. A fundação da via é

frequentemente designada por plataforma de terraplenagens, ou apenas por plataforma. A

fundação da via é constituída pelos terrenos onde se apoia o sub-balastro e/ou o balastro da via,

e prolonga-se em profundidade até onde se fazem sentir de forma significativa as solicitações

do tráfego [17].

Na via não balastrada, a camada de balastro da via balastrada é usualmente substituída por

uma camada de laje de betão armado (Figura 2.15) ou por uma camada de mistura betuminosa

(Figura 2.16).

No primeiro caso a solução consiste em carris apoiados em travessas assentes ou embebidas

numa laje de betão armado, sendo, tipicamente, denominadas por via em laje [28]. Quanto ao

segundo caso as soluções consistem em travessas de betão armado, apoiadas diretamente sobre

uma camada betuminosa, que substitui o balastro [19]. A maioria das linhas férreas apresenta

períodos estimados de vida útil de 60 anos, sem necessitar de operações de conservação [28].

Figura 2.15 – Via não balastrada em laje de betão [24].

Figura 2.16 – Via não balastrada em camada de mistura betuminosa [24].



A via de apoio misto consiste na introdução de diferentes tipos de materiais, como ligantes

hidráulicos ou misturas betuminosas, com o objetivo de eliminar alguns dos problemas

apontados para a via balastrada. Neste tipo de via distinguem-se diferentes soluções,

nomeadamente, a substituição do material da camada de sub-balastro por uma mistura

betuminosa [19].

Resumindo, retrataram-se temas referentes à história das infraestruturas ferroviárias

referenciando o desenvolvimento das linhas em Portugal e sua extensão a nível Mundial, bem

como, foram detalhados os elementos constituintes para o conhecimento da linha.

Uma vez que o objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de um modelo de deterioração

da linha férrea é também importante abordar e descrever os seus componentes. Este modelo

baseia-se em índices resultantes das inspeções na linha férrea e na inclusão de efeitos das ações

de manutenção e reparação. Desta forma, é necessário uma revisão bibliográfica acerca das

inspeções e ações desenvolvidas.

2.4 Inspeção

O objetivo da inspeção é a deteção dos defeitos que aparecem ao longo da vida útil de uma

linha. Por sua vez, o tratamento deve ser dirigido de forma a suprimir as causas dos defeitos,

de modo a que estes não reapareçam e obriguem a uma nova intervenção na linha. Para analisar

as causas da origem do defeito deve-se dispor de um relatório de inspeção detalhado e

totalmente fiável [15].

Atualmente, as tecnologias disponíveis numa inspeção ferroviária são: métodos de inspeção

eletromagnéticos, medição com laser, técnicas de ultrassons para inspecionar a estrutura interna

do carril, radares de prospeção para inspeção do balastro e do sub-balastro e métodos para

avaliar anomalias que se geram no contacto roda-carril. Está também em desenvolvimento

equipamentos para avaliação da rigidez da via [29]. Estas inspeções realizadas a pé e/ou em

veículos monitorizados têm distintos objetivos. Nas inspeções a pé verifica-se o estado dos

materiais e dos equipamentos instalados, bem como, o estado dos sistemas de drenagem. Nas

inspeções em veículos monitorizados é analisado o comportamento da superestrutura, aquando

da passagem de cargas a velocidades reais a que a via se encontra sujeita [15].



O diagnóstico da linha pode ser feito com recurso a equipamentos de leitura contínua ou

outros meios alternativos que asseguram a qualidade da manutenção da linha férrea, consistindo

no levantamento geométrico dos principais parâmetros a conservar na via para que esteja

sempre salvaguardada a segurança e conforto dos passageiros [30].

A análise da qualidade da via pode ser assegurada por medições e levantamentos

manuais/topográficos, registos gráficos, mas principalmente por veículos de inspeção de via ou

aparelhos de medição dos parâmetros de via tais como o EM-120 [30].

O Veículo de inspeção da via, o EM-120 (Figura 2.17), é um veículo autopropulsionado de

inspeção e registo geométrico com três bogies de dois eixos, analisando até velocidades de

120 km/h e registando os parâmetros geométricos definidos com significado para a avaliação

do estado da via [30]. A utilização de um veículo que circula a velocidade semelhante ao

comboio normal tem como vantagem avaliar de forma mais realista (do que outros métodos) o

desempenho da via, já que os registos são obtidos em condições de solicitação dinâmica

semelhantes às que ocorrem durante a passagem dos comboios. Estes equipamentos permitem

uma representação contínua do meio, nas secções transversal e longitudinal, fazendo uso de

tecnologias não destrutivas e que não necessitam de interrupção do tráfego [17].

No interior do veículo é possível encontrar vários dispositivos tais como Geo-Radar, Placas

de Rede, Videografia, Applanix, EM1, Bitola, Desgaste Ondulatório, OGMS, Monitor (Perfis

Transversais), Laser Catenária, KLD e Multicom [31].

Nos últimos tempos, a tecnologia moderna associada às linhas férreas é usada para a análise

das vias numa determinada periodicidade de inspeções sendo de, quatro vezes por ano nas vias

principais, duas vezes por ano para vias intermédias e uma vez por ano nas restantes vias [15].

Figura 2.17 – Veículo de inspeção da via do tipo EM120 [31].



Para a caracterização da qualidade da geometria dia via, os parâmetros geométricos,

medidos numa campanha de inspeção, são os nivelamentos longitudinal e transversal, o

alinhamento, a bitola e o empenho [24].

Sumariando o processo de inspeção, o veículo tem condições de emitir um relatório técnico

sumário sobre a qualidade da via com base nos parâmetros geométricos observados. Nesse

relatório são listados todos os defeitos medidos, os eventos e respetiva localização. Por cada

defeito aparece a designação do parâmetro geométrico cujo valor está fora da tolerância, a

localização inicial e final do defeito (em quilómetros), o comprimento do mesmo, o seu valor

máximo (em milímetros), a localização do valor máximo do defeito (em metros), o valor

máximo admissível, a classe do troço de via analisada, a classe da via em que o defeito era

tolerado e a informação se o defeito se localiza em reta ou em curva. Para além disso, apresenta

também a extensão (em metros) e o número total de defeitos que excede a tolerância dos

respetivos parâmetros geométricos da via ou troço inspecionado, o que permite diagnosticar a

qualidade da via com bastante fiabilidade e precisão [30].

A utilização do EM120 reduz exponencialmente a necessidade de análise da condição da

via através de uma inspeção pedonal. O EM120 contribui, deste modo, para uma maior

celeridade do processo de análise, uma maior segurança para os trabalhadores, e a obtenção de

dados mais rigorosos, originando assim intervenções com maior sucesso. Deste modo, é

possível estabelecer um processo de análise contínuo, passível de comparação com dados

relativos a anos anteriores. Todos estes fatores contribuem para uma maior eficiência da rede

ferroviária, assegurando melhores condições de comodidade e segurança aos passageiros e

rapidez no transporte de carga [31].

A condição da geometria da via está relacionada com os parâmetros geométricos da via,

cujos valores limite obedecem a especificações técnicas fixadas em normas. A capacidade de

desempenho da via (velocidade máxima permitida, nível de conforto e segurança dos

passageiros) é avaliada em função dos valores medidos por estes parâmetros, que por vezes são

reveladores de defeitos de construção, falta de conservação, desgaste ou deterioração da linha

[30].

Antes de mais, importa justificar por que, na previsão de desempenho pelos modelos de

Markov, se considera apenas o alinhamento e nivelamento longitudinal. Esta escolha deve-se



ao facto de apenas ter sido disponibilizados dados de inspeções acerca de esses dois parâmetros

sendo essencial a necessidade de informação para aplicar o modelo de Markov.

Descrevem-se seguidamente os dois parâmetros geométricos da via definidos na norma

IT.VIA.018 [32], o nivelamento longitudinal e o alinhamento [30] [32].

A norma define as tolerâncias verificadas dos desvios em relação aos valores de referência

dos parâmetros geométricos da via para linhas de bitola 1668 mm, 1435 mm e 1000 mm, para

definir os trabalhos a serem executados na linha ou decisão sobre o tipo de ações de manutenção

[32].

2.4.1 Nivelamento Longitudinal

O nivelamento longitudinal denomina-se de desvio 𝑍𝑝′ na direcção 𝑍, perpendicular ao plano

de rolamento, em consecutivas posições, do eixo de cada carril, em relação a uma linha de

referência paralela ao plano de rolamento, calculado em sucessivas medições. A Figura 2.18

exemplifica esta situação.

2.4.2 Alinhamento

O alinhamento é o parâmetro responsável pela qualidade do guiamento dos veículos,

assegurando a sua estabilidade lateral [30].

Desta forma, o alinhamento corresponde ao desvio 𝑌𝑝 na direção 𝑦, paralela ao plano de

rolamento, em consecutivas posições 𝑃 em cada carril, em relação a uma linha de referência

intermédia, calculado em sucessivas medições. Por intermédio da Figura 2.19, é possível

ilustrar esta situação.

Figura 2.18 – Definição de Nivelamento longitudinal [30].



A realização da inspeção resulta na obtenção de desvios 𝑍𝑝´ e 𝑌𝑝 para os parâmetros

analisados, neste caso, o nivelamento longitudinal e o alinhamento da via. A análise desses

dados leva à classificação da linha de acordo com um índice de condição.

2.5 Índice de Condição

O cálculo do índice de condição da geometria de via, com base nos registos geométricos da

via feitos pelo EM 1206, baseia-se nos defeitos de geometria de via que por seu turno causam

variações na aceleração do veículo [31].

Para efeitos de classificação da condição da via é necessário elaborar um relatório com

índices de condição [30] que têm por base parâmetros geométricos [15]. Habitualmente,

definem-se os seguintes índices [17]:

Índice de Condição do Nivelamento (ex: TAMP);

Índice de Condição do Alinhamento (ex: LINE);

Índice de Condição Global da Via (ex: TQI - Track Quality Index);

Índice de Condição da Bitola (ex: GAGE).

O índice de condição, utilizado, é o TQI, porque é considerado um índice global. Com base

no TQI em cada troço de 250 m de comprimento é possível saber onde são necessárias

intervenções de conservação da via. O critério utilizado para definir o nível de condição da via

é apresentado na Tabela 2.2.

6 Veículo de inspeção da via

Figura 2.19 – Definição de Alinhamento [32].



TQI Nível de Condição

𝟎 ≤ 𝐓𝐐𝐈 ≤ 𝟏𝟓𝟎 Bom

𝟏𝟓𝟎 ≤ 𝐓𝐐𝐈 ≤ 𝟐𝟎𝟎 Aceitável

𝟐𝟎𝟎 ≤ 𝐓𝐐𝐈 ≤ 𝟐𝟓𝟎 Deficiente

𝐓𝐐𝐈 > 𝟐𝟓𝟎 Mau

No entanto, o índice de condição global (TQI) já não é atualmente usado para a classificação

qualitativa da via. A razão para tal, deve-se ao facto do índice de condição alterar caso a

velocidade da linha modifique. Esta alteração existe porque os intervalos de tolerâncias são

superiores em velocidades inferiores. Então com o TQI é possível encontrar um índice aceitável

caso se reduza a velocidade da linha [33]. Após, a REFER, aprovar a instrução técnica 018 em

Portugal, o índice de condição passa a ser avaliado pelo desvio padrão dos parâmetros

geométricos [31]. Assim sendo, utiliza-se atualmente dois dos parâmetros medidos pelo EM120

para classificar qualitativamente a condição da via [33].

Dependendo da velocidade de circulação para comboios de passageiros, as linhas férreas

são classificadas em várias categorias [15] [27]:

I. Linhas de tráfego misto, com velocidades entre os 80 km/h e 120 km/h;

II. Linhas de tráfego misto, com velocidades entre os 120 km/h e 160 km/h;

III. Linhas de tráfego misto, com velocidades entre os 160 km/h e 200 km/h;

IV. Linhas de tráfego misto, com velocidades entre os 200 km/h e 300 km/h;

V. Linhas de tráfego misto, com velocidades inferiores aos 230 km/h (ou 250 km/h)

com veículos dotados de características especiais;

VI. Linhas de alta velocidade unicamente dedicadas a tráfego de passageiros com

velocidades entre 250 km/h e 300 km/h.

O desvio padrão do nivelamento longitudinal e do alinhamento, calculado para secções de

200 m de linha, é utilizado para analisar a sua condição. Essa análise pode ser efetuada com

dois objetivos, por um lado para avaliar os níveis de condição da linha e por outro para avaliação

das necessidades de manutenção da linha [33].

Os níveis de condição são divididos em três, onde o QN1 corresponde ao nível de alerta, o

QN2 ao de intervenção e o QN3 a uma intervenção imediata. O efeito destes níveis são

posteriormente explanados.

Tabela 2.2 – Níveis de condição da via [17].



Obtém-se o nível de condição (QN), calculando a média dos desvios padrão da fila esquerda

e direita em cada troço de 200 m, quer para o alinhamento, quer para o nivelamento longitudinal.

O QN em cada secção é assumido como o pior dos resultados, podendo ser o QN do

alinhamento ou o QN do nivelamento longitudinal [33].

Na IT.VIA.018 [32], a classificação dos QN depende da velocidade e seu intervalo de

desvios padrão segundo a Tabela 2.3.

Velocidade Desvio padrão (mm) Níveis de Condição

Classe (km/h) Niv. Longitudinal Alinhamento

VI V ≤ 40

3.3 ≥ σ 2.1 ≥ σ QN1

3.3 < σ <4.29 2.1 < σ < 2.73 QN2

4.29 ≤ σ 2.73 ≤ σ QN3

V 40 < V ≤ 80

3.0 ≥ σ 1.8 ≥ σ QN1

3.0 < σ < 3.9 1.8 < σ < 2.34 QN2

3.9 ≤ σ 2.34 ≤ σ QN3

IV 80 < V ≤ 120

2.7 ≥ σ 1.5 ≥ σ QN1

2.7< σ < 3.51 1.5 < σ < 1.95 QN2

3.51 ≤ σ 1.95 ≤ σ QN3

III 120 < V ≤ 160

2.4 ≥ σ 1.3 ≥ σ QN1

2.4< σ <3.12 1.3 < σ < 1.69 QN2

3.12 ≤ σ 1.69 ≤ σ QN3

II 160 < V ≤ 230

1.9 ≥ σ 1.1 ≥ σ QN1

1.9< σ <2.47 1.1 < σ < 1.43 QN2

2.47 ≤ σ 1.43 ≤ σ QN3

I V > 230

1.5 ≥ σ 1.0 ≥ σ QN1

1.5< σ < 1.95 1.0 < σ < 1.3 QN2

1.95 ≤ σ 1.3 ≤ σ QN3

Com o decorrer do tempo, está previsto uma norma EN 13848 que elege uma nova

classificação para os mesmos parâmetros (Tabela 2.4).

Tabela 2.3 – Classificação dos diversos troços da linha com base no desvio padrão [33].



Velocidade (km/h) Desvio padrão (mm)

Níveis de Condição Niv. Longitudinal Alinhamento

V ≤ 80

σ ≤ 1.25 σ ≤ 0.90 A

1.25 < σ ≤1.75 0.90 < σ ≤1.25 B

1.75 < σ ≤2.75 1.25 < σ ≤1.95 C

2.75 < σ ≤3.75 1.95 < σ ≤ 2.70 D

σ >3.75 σ > 2.70 E

80 < V ≤ 120

σ ≤ 0.75 σ ≤ 0.50 A

0.75 < σ ≤1.10 0.50 < σ ≤0.7 B

1.10 < σ ≤ 1.80 0.70 < σ ≤1.05 C

1.80 < σ ≤2.50 1.05 < σ ≤ 1.45 D

σ > 2.50 σ > 1.45 E

120 < V ≤ 160

σ ≤ 0.65 σ ≤ 0.45 A

0.65 < σ ≤0.85 0.45 < σ ≤0.55 B

0.85 < σ ≤1.40 0.55 < σ ≤0.75 C

1.40 < σ ≤1.85 0.75 < σ ≤ 1.00 D

σ > 1.85 σ > 0.90 E

160 < V ≤ 230

σ ≤ 0.60 σ ≤ 0.40 A

0.60 < σ ≤0.75 0.40 < σ ≤0.50 B

0.75 < σ ≤1.15 0.50 < σ ≤0.70 C

1.15 < σ ≤1.60 0.70 < σ ≤ 0.90 D

σ >1.60 σ > 0.90 E

230 < V ≤ 300

σ ≤ 0.40 σ ≤ 0.35 A

0.40 < σ ≤0.55 0.35 < σ ≤0.40 B

0.55 < σ ≤0.85 0.40 < σ ≤0.50 C

0.85 < σ ≤1.15 0.50 < σ ≤ 0.65 D

σ >1.15 σ > 0.65 E

A deteção dos defeitos após inspeção leva à realização de ações de manutenção ou ações de

reparação com o objetivo de suprimir as causas dos defeitos e salvaguardar a segurança e

conforto dos passageiros.

Caso os defeitos da linha férrea indicam níveis de condição QN3, deverá ser ordenada uma

imediata redução da velocidade de circulação, até que as ações de manutenção e reparação da

linha sejam efetuadas [15].

Tabela 2.4 – Desvio padrão para Nivelamento Longitudinal e Alinhamento.



2.6 Ações de manutenção ou reparação

No sentido de salvaguardar a melhor qualidade geométrica da linha e dos seus diversos

aparelhos, a manutenção pode ser necessária para melhorar o conforto dos passageiros ou para

melhorar os níveis de segurança. Neste sentido, é essencial proceder regularmente a um

levantamento geométrico da linha férrea [30] [34].

Deste modo, para avaliar a qualidade geométrica da linha com vista à decisão sobre

eventuais ações de manutenção, deve se tomar em consideração três níveis principais de atuação

[32]:

Alerta;

Intervenção;

Ação imediata.

Ao nível de alerta corresponde o valor do parâmetro geométrico que, quando atingido,

deverá ser alvo de análise e considerado na programação regular de operações de manutenção

da linha definidas pelo Operador da Infraestrutura [32].

Ao nível de intervenção corresponde o valor do parâmetro geométrico que, quando atingido,

originará medidas corretivas de manutenção por parte do Operador da Infraestrutura, com o

objetivo de que o valor definido pela ação imediata não venha a ser alcançado [32].

Ao nível de ação imediata corresponde o valor do parâmetro geométrico que nunca deverá

ser atingido. Contudo, caso aconteça, irão ser necessárias medidas para reduzir o risco de

descarrilamento no troço em questão, obrigando a uma reposição imediata das condições

geométricas da linha em níveis aceitáveis. A observação de qualquer defeito na linha nestas

condições implicará a correção imediata por parte do Operador da Infraestrutura, a redução de

velocidade no troço, ou eventualmente a interdição (temporária ou definitiva) da linha em

questão [32].

As tolerâncias da ação imediata são de aplicação obrigatória, as tolerâncias correspondentes

ao nível de alerta e de intervenção servem como referência, e dependerão da política de

conservação adotada, nomeadamente, no que respeita ao nível pretendido de qualidade da linha,

aos prazos de correção das anomalias, à frequência das inspeções e ao tipo de monitorização

afeto às anomalias de maior gravidade [32].



A degradação da linha traduz-se, geralmente, por um dos seguintes estados [17]:

Perda de estabilidade;

Perda de resiliência;

Ocorrência de elevados assentamentos permanentes ao nível dos carris.

Na origem destes fenómenos podem estar [17]:

A modificação das condições envolventes da estrutura, em particular as que afetam

a drenagem;

O aumento das solicitações;

A alteração das características mecânicas dos diversos elementos, nomeadamente

dos que constituem a superestrutura, da camada de balastro, das camadas de apoio

ou da fundação.

Ao nível da superestrutura pode ocorrer desgaste ou rotura dos elementos que a constituem.

A degradação da camada de balastro, das camadas de apoio e da plataforma está associada à

perda de estabilidade, local ou global, de cada uma das camadas ou do conjunto, e a

assentamentos permanentes excessivos [17].

2.6.1 Manutenção

A manutenção traduz-se pelo conjunto das ações necessárias para que um equipamento seja

conservado ou restaurado, de modo a poder permanecer de acordo com as condições

especificadas. O objetivo primordial da manutenção, após a construção da linha férrea, é

garantir a qualidade geométrica da linha e do estado dos elementos constituintes, de forma a

permitir um nível de segurança e de conforto elevado, dentro dos limites de tolerância

admissíveis [15].

A substituição e/ou reparação de diversos componentes permitem readquirir, sem

ultrapassar, o nível de condição inicial [17].

Identificam-se como operações principais para a conservação/manutenção da via, as

seguintes [30]:



Verificação e lubrificação de juntas: detetar fissuras, desgastes e criar condições para

uma mais fácil dilatação e contração dos carris e conservação da junta. Nestas

operações são examinadas todas as peças de cada junta depois da sua desmontagem

completa;

Retificação da inclinação transversal do carril: verificação e eventual correção da

inclinação transversal dos carris;

Retificação da bitola e consolidação da pregagem: verificação e correção dos

defeitos da bitola da linha que pode obrigar à retificação da pregagem, executada

com colocação de cavilhas nos furos existentes e abertura de nova furação;

Substituição de travessas de madeira: substituição de travessas assinaladas como

incapazes por se encontrarem partidas, podres, fendilhadas em demasia, queimadas

ou que não permita a consolidação da pregagem;

Nivelamento da via (longitudinal e transversal): correções em perfil do traçado

executado manualmente ou mecanicamente;

Alinhamento da via (em reta e em curva): correção em planta do traçado da via,

podendo ser executado manualmente ou mecanicamente.

2.6.2 Reparação

A reparação é o tipo de intervenção que, através da alteração das características técnicas dos

componentes, permite dotar a linha de um nível de condição superior ao que foi obtido aquando

da sua construção. Neste tipo de atividade podem se incluir, nomeadamente, a substituição da

superestrutura, a colocação de camadas de apoio e o reforço da plataforma de terraplenagens.

Estes processos podem ser levados a cabo de forma tradicional ou recorrendo a equipamentos

de elevada versatilidade, que permitem a execução de operações relativamente complicadas e

demoradas de uma forma integrada, nomeadamente, o levantamento do balastro antigo, a sua

britagem para novo aproveitamento como sub-balastro, o saneamento de material impróprio da

fundação e a colocação de geossintéticos e de camadas de materiais granulares compactados

[17].

Silva [15] considera possíveis soluções de reparação, a esmerilagem, a ripagem da via, a

rebalastragem, a correção da bitola, a substituição das travessas, o ajuste e reparação de desvios

e de Aparelhos de Mudança de Via (AMV), a correção do fenómeno de “travessas dançantes”

e a correção do nivelamento e alinhamento.



Usualmente, a operação de renovação da via inclui os trabalhos já realizados aquando da

construção da linha, acrescida de outras atividades específicas como sejam o saneamento prévio

da plataforma, o levantamento da via existente, a execução do caminho de rolamento, o

desguarnecimento da via e a depuração do balastro [30].

Em resumo, as seguintes operações traduzem a execução de uma renovação da via [30]:

Levantamento da via existente;

Distribuição de barras novas;

Preparação do caminho de rolamento;

Substituição da via velha, seguida de ataque e guarnecimento com o balastro usado;

Soldadura de barras parciais;

Desguarnecimento e depuração de balastro;

Ataque e nivelamento da via, pelo menos em dois levantes;

Balastragem da via;

Ataque e nivelamento, em várias passagens alternadas com operações de

regularização do balastro e estabilização da via;

Libertação e regularização de barras;

Ataque e nivelamento definitivo.

As ações de manutenção ou reparação podem ser realizadas através de equipamentos de

maquinaria “pesada” e mecânica, tais como [15] [34]:

Máquina Vibradora / Alinhadora / Niveladora: trabalha estacionada e é capaz de

movimentar os carris, vertical e lateralmente, com precisão, para uma posição pré-

determinada; cumpre também, as funções de alinhamento e nivelamento;

“Stonerblower”: trata-se de uma alinhadora e uma niveladora ao mesmo tempo;

Estabilizador Dinâmico da Via: aplica sobre a via uma combinação de vibrações

horizontais com força vertical estática, exercendo um forte efeito na densificação do

balastro;

Depuradora de Balastro: capaz de remover balastro velho, desgastado ou

contaminado;

Reguladora/ Atacadeira: Este dispositivo, estando sujeitos a movimentos

combinados de vibração e aperto, eliminam os vazios existentes no balastro, tanto



entre carris como lateralmente, aumentando a superfície de atrito e pondo-o em

contacto com as faces inferiores das travessas;

Esmeriladora: Trata-se de um equipamento que atua desgastando, por atrito, a

superfície da cabeça do carril, visando melhorar o perfil longitudinal do carril,

ajustar o perfil transversal, reorientar a faixa de rodagem e remover as fibras

superficiais que apresentam sinais de fadiga;

Reperfiladora: desgasta o carril por atrito, redesenhando, desta forma, a cabeça do

carril;

Equipamentos Manuais: como a picareta ou a forquilha de balastro, podem ser

usados nos casos em que as secções em que o balastro se encontra em elevado estado

de desintegração, onde os equipamentos mecânicos apenas poderão atuar em caso

de renovação integral da via, ou, para onde o transporte da maquinaria adequada não

é viável dada a área de ação.

2.7 Conclusões

Ao longo deste capítulo faz-se uma abordagem de diversos assuntos referentes à linha férrea

para perceção de alguns conceitos existentes.

Uma revisão bibliográfica sobre a história da linha férrea no Mundo, a sua evolução em

Portugal e principais características dos elementos constituintes, permitiu um conhecimento

acerca das infraestruturas ferroviárias, concretamente a linha férrea. A existência de

equipamentos qualificados, como o EM-120, para sua inspeção permitiu obter os parâmetros

geométricos da linha férrea. Alinhamento e nivelamento foram definidos, possibilitando

classificar pelos desvios padrões a linha num índice de condição, necessário para o

desenvolvimento do modelo de desempenho.

A linha férrea é uma infraestrutura simples com história e evolução em Portugal, tendo

elementos constituintes com necessidade de uma entidade gestora para planear a manutenção

da mesma. Porém, ainda não se efetua a modelação do desempenho futuro nas linhas férreas,

sendo precisamente nessa área que se insere o trabalho desenvolvido nesta dissertação.

Capítulo 3 – Modelo de Markov


3 Capítulo 3

Modelo de Markov

3.1 Introdução

Os processos estocásticos têm sido utilizados para a modelação da deterioração de

infraestruturas ao longo do tempo como, pontes, estradas ou esgotos, devido ao carácter

aleatório que é inerente a um processo de deterioração. O processo estocástico mais

recorrentemente utilizado é o processo de Markov em cadeia [35].

Cadeia de Markov é o nome do processo estocástico em homenagem ao Professor

Andrei A. Markov (Figura 3.1). Matemático russo, nascido em 1856 e falecido em 1928,

professor em São Petersburgo desde 1886. Desenvolveu trabalhos significativos em análise

numérica, teoria da aproximação e convergência de séries. Mas os seus estudos sobre as cadeias

de Markov (sequências de variáveis estocásticas em que a variável futura é determinada pela

atual mas independente do modo como o estado atual resulta do anterior) é a sua contribuição

mais importante, estabelecendo a teoria dos processos estocásticos [35] [36].

Os processos de Markov são processos com inúmeras aplicações desde as filas de espera à

previsão de difusão de gases. Se for possível representar o comportamento de um fenómeno

físico descrevendo todos os diferentes estados que o sistema pode ocupar e indicar como o

sistema se move de um estado para outro (em termos da variável independente – usualmente o

tempo) e, também, se a distribuição de probabilidade condicional satisfaz a chamada

propriedade de Markov, então, esse fenómeno pode ser representado por um processo de

Markov [37].

Figura 3.1 – Andrei A. Markov [36].



Definindo o comportamento de um fenómeno físico em diferentes estados como 0, 1, 2, 3,

4, 5 e existir dados dos estados no tempo é possível através de um processo de Markov, por

exemplo, prever atempadamente o momento das transições entre estados. A utilização deste

processo permitem criar uma curva representativa do fenómeno físico em questão num

determinado tempo como demonstra a Figura 3.2.

Determinada a curva representativa de um fenómeno físico através do modelo de Markov é

possível prever uma estratégia com várias ações de manutenção ou reparação. A Figura 3.3 é

representativa da ocorrência de uma ação de manutenção. No entanto ao estabelecer uma

estratégia é possível criar um conjunto de ações de manutenção ou reparação que retarda a

degradação ou impeça a aparição de estados “críticos” no elemento/infraestrutura em estudo.

O estado da estrutura ferroviária é incerto, sendo, necessário desta forma, uma abordagem

probabilística para estudar o seu estado de condição. Muitos modelos diferentes foram

desenvolvidos em diversos campos de aplicação, como por exemplo, na engenharia civil,

elétrica e mecânica industrial [1].

Figura 3.2 – Curva representativa de um fenómeno físico obtida pelo processo de Markov.

Figura 3.3 – Curva representativa de um fenómeno físico com aplicação de uma ação de manutenção.

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Esta

do

s

Tempo

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Esta

do

s

Tempo



Os processos de Markov apresentam características que permitem explicar o

comportamento aleatório de um índice durante a deterioração da linha férrea. Para descrever a

condição da linha, vários índices e critérios foram definidos e utilizados em diferentes sistemas

ferroviários em todo o Mundo [38].

Uma vez que o modelo de desempenho irá ser desenvolvido com 6 níveis, é proposto uma

nova classificação baseada nas duas normas existentes apresentadas no capítulo anterior.

A Tabela 3.1 faz uma descrição da condição da linha para os 6 níveis, pretendidos.

Observando as normas e as Tabelas 2.3 e 2.4 verifica-se diferença na classificação dos desvios

padrões para determinadas velocidades da linha. O caso real é de uma linha férrea com

velocidade compreendida entre 80 e 120 km/h. Será proposto a classificação dos níveis pelo

desvio padrão para esta velocidade como demonstra a Tabela 3.2.

Índice Categoria Descrição da condição

QN1 Excelente Poucos defeitos observados, e a funcionalidade da linha não se encontra

comprometida. Nenhuma ação imediata de intervenção é requerida.

QN2 Ótimo

Pouca deterioração observada, e a funcionalidade da linha não se

encontra comprometida. A manutenção de rotina ou preventiva já deve

ser agendadas para análise.

QN3 Bom

Moderada deterioração, e a funcionalidade da linha pode estar

comprometida. Alguma manutenção de rotina e pequenas ações de

reparação podem ser necessárias.

QN4 Razoável

Significante deterioração, e a funcionalidade da linha comprometida,

porém não seriamente. Manutenção de rotina e pequenas ações de

reparação são necessárias.

QN5 Péssimo

Severa deterioração em pequenos troços da linha. Deterioração com

menos severidade pode estar presente em outros troços da linha.

Funcionalidade seriamente comprometida. Ações de reparação são

necessárias.

QN6 Rotura ou

falha

Deterioração extrema em toda ou quase toda a linha. A linha não é mais

funcional. Grandes ações de reparação, restauração completa ou

reconstrução são necessárias.

Tabela 3.1 – Descrição da condição da linha para os 6 níveis.



Velocidade (km/h) Niv. Longitudinal Alinhamento Níveis

80<V<120

σ < 0.7 σ < 0.7 QN1

0.7 ≤ σ <1.4 0.7≤ σ <1.2 QN2

1.4≤ σ <2.7 1.2≤ σ <1.5 QN3

2.7≤ σ <3.2 1.5≤ σ <1.95 QN4

3.2≤ σ <3.75 1.95≤ σ <2.7 QN5

σ ≥3.75 σ ≥2.7 QN6

Os dados do histórico das inspeções da linha férrea serão usados para prever

probabilísticamente o desempenho atual das vias, permitindo extrapolar o índice de condição

das linhas férreas. Quando os intervalos de tempo entre momentos de observação são

igualmente espaçados, a matriz de probabilidade de Markov 𝑃, mantém-se constante (processos

de Markov discretos). No entanto, por vezes, existem casos que se torna difícil obter as variáveis

de resposta em momentos de observação com intervalos de tempo igualmente espaçados.

Nestas situações, os processos de Markov em tempo contínuo são mais adequados para a

modelação da incerteza.

Seguidamente serão analisados os dois processos. Inicialmente será feita uma abordagem

geral do processo de Markov para melhor entender as especificidades do processo contínuo e

discreto no tempo.

3.2 Processo de Markov em geral

Uma cadeia de Markov é um processo que se move entre índices de um espaço amostral

[39]. Assuma-se que este espaço é constituído por estados finitos ou contáveis. Isto significa

que uma estrutura ou um componente pode se encontrar num estado 𝑁 ≥ 0 dos estados

discretos [1]. Então o índice seguinte é escolhido de acordo com uma distribuição de

probabilidade 𝑃(𝑥), definida de acordo com a expressão (3.1) [39].

𝑃{𝑋𝑡+1 = 𝑗|𝑋𝑡 = 𝑖} = 𝑃(𝑖, 𝑗) (3.1)

Esta equação é geralmente designada como propriedade de Markov, e significa que a

probabilidade condicional de passar do estado i para o estado j é a mesma, sendo irrelevante a

sequência 𝑖0, 𝑖1, … , 𝑖𝑡−1 de estados precedentes ao atual estado i [1] [39].

Tabela 3.2 – Classificação segundo o desvio padrão.



Uma vez que os valores da equação 3.1 são probabilidades e que o modelo obriga à

existência de uma transição de estado, como por exemplo do estado 𝑖 para estado j, então

cumpre a expressão 3.2 [39],

𝑝𝑖𝑗 ≥ 0,∑ 𝑃(𝑖, 𝑗) = 1𝑦∈𝑁 para todo 𝑥 ∈ 𝑁 (3.2)

As equações 3.1 e 3.2 especifica para cada estado do processo e para cada transição no

tempo a probabilidade de fazer a próxima transição para outros estados. Os valores assumidos

por i e j, são denominados de índices de condição e são denotados por 0, 1, 2, 3, 4 e 5 onde 5

representa o pior índice de condição [40].

De acordo com a equação 3.1 define-se uma probabilidade de transição pij segundo a

equação 3.3,

𝑝𝑖𝑗(∆𝑡) = 𝑃{ 𝑋𝑡+1 = 𝑗 |𝑋𝑡 = 𝑖} (3.3)

Como referido anteriormente, 𝑝𝑖𝑗, é uma probabilidade de transição que corresponde à

probabilidade de estar num estado i e ocupar o estado j após um determinado tempo ∆𝑡. A

probabilidade de transição deve se submeter às condições indicadas em 3.4 pois a probabilidade

𝑝𝑖𝑗 só pode variar entre 0 e 1 e os índices de condição 𝑖, 𝑗 entre 0 e 5,

0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1 0 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 5 (3.4)

Pela equação 3.4 a linha deverá ser sempre definida num índice de condição 𝑖, que varia de

0 a 5, com probabilidade de transição 𝑝𝑖𝑗 cumprindo a condição da equação 3.5,

∑ 𝑝𝑖𝑗

𝑁=6

𝑗=1

= 1 𝑖 = 0,1,2,3,4,5 (3.5)

Se existem 6 índices de condição, então resulta numa matriz 6 ∗ 6 [1] de acordo com a

expressão 3.6,

𝑃 =

[ 𝑝00 𝑝01 𝑝02 𝑝03 𝑝04 𝑝05

𝑝10 𝑝11 𝑝12 𝑝13 𝑝14 𝑝15

𝑝20 𝑝21 𝑝22 𝑝23 𝑝24 𝑝25

𝑝30 𝑝31 𝑝32 𝑝33 𝑝34 𝑝35

𝑝40 𝑝41 𝑝42 𝑝43 𝑝44 𝑝45

𝑝50 𝑝51 𝑝52 𝑝53 𝑝54 𝑝55]

(3.6)

A equação 3.6 denomina-se de matriz de transição de um determinado tempo ∆𝑡, porque as

probabilidades de transição obedecem a uma unidade de tempo, [1].



Para que a matriz 3.6 possa representar a degradação do desempenho de uma estrutura, é

necessário a não regressão do estado de condição da linha férrea. A não regressão significa que

o estado de condição da linha férrea não pode melhorar na inexistência de qualquer ação de

manutenção ou reparação, resultando na condição da equação 3.7.

𝑃𝑗𝑖 = 0 ∀𝑛 ∈ 𝑁 (3.7)

Acrescentando a condição anterior a matriz 3.6 resulta na seguinte nova matriz 3.8 [41] [35],

𝑃 =

[ 𝑝00 𝑝01 𝑝02 𝑝03 𝑝04 𝑝05

0 𝑝11 𝑝12 𝑝13 𝑝14 𝑝15

0 0 𝑝22 𝑝23 𝑝24 𝑝25

0 0 0 𝑝33 𝑝34 𝑝35

0 0 0 0 𝑝44 𝑝45

0 0 0 0 0 𝑝55]

(3.8)

O pressuposto Markoviano simplifica o comportamento possível do processo como também

as suas especificações. A probabilidade de fazer uma transição para cada estado do processo

apenas depende do estado atualmente ocupado. Da mesma forma, a trajetória futura de um

processo apenas depende de seu estado atual [40]. Esta propriedade do modelo de Markov deve-

se ao facto de seguir uma distribuição de Poisson.

Uma vez que o índice de condição alterou de um estado para outro, o modelo de Markov

não terá memória em relação ao anterior índice e à quantidade de tempo que permaneceu

naquele estado [42].

Uma vez definido de forma geral o processo de Markov, procede-se seguidamente à

descrição deste processo em tempo discreto e contínuo apresentado os devidos resultados

obtidos pelo algoritmo criado em MatLab® disponível no Anexo.

3.3 Processo de Markov em tempo discreto

Define-se um processo em tempo discreto quando é possível realizar inspeções em

intervalos igualmente espaçados. Neste processo o modelo estocástico de degradação é

amplamente utilizado no tempo e no estado.



Num processo de Markov em tempo discreto a probabilidade de obter um índice de condição

j num intervalo de inspeções 𝑛 sabendo que o índice inicial em 𝑛 = 0 é 𝑖, é definido de acordo

com a expressão 3.9,

𝜙𝑖𝑗(𝑛) = 𝑃{𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖} 0 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 5, 𝑛 = 0,1,2, … (3.9)

De acordo com a expressão 3.9, 𝜙𝑖𝑗(𝑛) corresponde à probabilidade de transição de um

índice i para o índice j após 𝑛 intervalos de inspeções [40]. Como referido anteriormente, o

processo de Markov em tempo discreto baseia-se numa inspeção realizada em intervalos de

tempos iguais. A título de exemplo, com inspeções realizadas com um determinado intervalo

de tempo, de três em três meses, a evolução do tempo ∆𝑡 com o aumento do intervalo (𝑛) é

exemplificado na Tabela 3.3.

∆𝒕 3 6 9 12 15 18 21

𝒏 1 2 3 4 5 6 7

Recorrendo à equação 3.9 e considerando, 𝑛 = 2 da Tabela 3.3, 𝜙𝑖𝑗(2) corresponde à

probabilidade de transição do índice 𝑖 para o índice 𝑗 6 meses após o último registo da inspeção.

Observa-se que apenas é possível determinar o índice de condição para um determinado

intervalo de tempo (∆𝑡). Sendo neste exemplo desconhecido o valor do índice de condição em

tempos 𝑡 não múltiplos de 3.

Pode-se, facilmente, relacionar as probabilidades das várias transições, tais como 𝜙𝑖𝑗(𝑛),

com probabilidades de transição 𝑝𝑖𝑗 da equação 3.3 alterando a variável tempo 𝑡 em intervalos

de inspeções 𝑛 de acordo com a equação 3.10,

𝜙𝑖𝑗(𝑛) = 𝑃{𝑋𝑛 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖} (3.10)

O valor 𝜙𝑖𝑗, definido na expressão 3.11, representa o quociente entre o número de linhas

férreas que transitaram do índice de condição 𝑖 para o índice 𝑗 (𝑛𝑖𝑗) e o número de linhas férreas

cujo índice inicial era 𝑖 (𝑛𝑖).

𝜙𝑖𝑗(𝑛) =𝑛𝑖𝑗

𝑛𝑖 (3.11)

Tabela 3.3 – Exemplos de alguns intervalos de tempo para inspeções regulares de 3 meses.



Esta probabilidade pode ser escrita em termos de probabilidade conjunta, em que o índice j

é ocupado no intervalo n +1 e o índice k é ocupado no intervalo n, da seguinte equação 3.12:

𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋0 = 𝑖} = ∑ 𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗, 𝑋𝑛 = 𝑘|𝑋0 = 𝑖}

𝑁

𝑘=1

(3.12)

Como 𝑛 ≥ 1 então, segundo a suposição Markoviana, o índice de condição futuro é apenas

influenciado pelo índice atual, alterando a equação 3.12 para a seguinte expressão 3.13,

𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑘 , 𝑋0 = 𝑖} ≡ 𝑃{𝑋𝑛+1 = 𝑗|𝑋𝑛 = 𝑘} = 𝑝𝑘𝑗 (3.13)

A expressão resulta numa probabilidade 𝑝𝑘𝑗, que define a probabilidade de transição de um

índice de condição 𝑘 para um índice de condição 𝑗. Retomando a expressão 3.9 e associando a

expressão 3.13 é então possível definir a expressão 3.14,

𝜙𝑖𝑗𝑛+1= ∑ 𝜙𝑖𝑘𝑛

∗ 𝑝𝑘𝑗

𝑁

𝑘=1

(3.14)

Esta expressão permite determinar qual a probabilidade de um índice de condição i numa

inspeção 𝑛 ocupar o índice j na próxima inspeção (𝑛 + 1) mesmo passando por um índice 𝑘.

Retomando a matriz definida em 3.8, adicionando as novas condições definidas em 3.9, e tendo

em conta 3.14, resulta uma nova matriz 3.15.

𝜙(𝑛) = 𝜙𝑖𝑗(𝑛) =

[ 𝜙00(𝑛) 𝜙01(𝑛) 𝜙02(𝑛) 𝜙03(𝑛) 𝜙04(𝑛) 𝜙05(𝑛)

0 𝜙11(𝑛) 𝜙12(𝑛) 𝜙13(𝑛) 𝜙14(𝑛) 𝜙15(𝑛)

0 0 𝜙22(𝑛) 𝜙23(𝑛) 𝜙24(𝑛) 𝜙25(𝑛)

0 0 0 𝜙33(𝑛) 𝜙34(𝑛) 𝜙35(𝑛)

0 0 0 0 𝜙44(𝑛) 𝜙45(𝑛)

0 0 0 0 0 𝜙55(𝑛)]

,

𝑛 = 0,1, 2…

(3.15)

Esta matriz volta a obedecer as mesmas condições expressas em 3.4 e 3.5. Seguindo os

métodos de Markov, o índice de condição pode ser previsto de acordo com a expressão 3.16

[42],

𝜙(0) = 𝐼

𝜙(1) = 𝜙(0) ∗ 𝑃 = 𝐼𝑃 = 𝑃 (3.16)

𝜙(2) = 𝜙(1) ∗ 𝑃 = 𝑃2



O que resulta em 3.17,

𝜙(𝑛) = 𝑃𝑛 (3.17)

O processo de Markov permite determinar o índice de condição obtido após um determinado

intervalo de n inspeções, tendo em conta o índice inicial de cálculo. A probabilidade de ocorrer

esse índice denomina-se índice probabilístico, sendo definida pela equação 3.18.

𝜋𝑖(𝑛) = 𝑃{𝑋𝑛 = 𝑖} 𝑖 = 01,2,3,4,5 ; 𝑛 = 0,1,2… (3.18)

O índice probabilístico pode ser determinado pela equação 3.19, resultando no somatório

do produto das probabilidades de transição de vários intervalos pelas probabilidades do estado

inicial.

𝜋𝑗(𝑛) = ∑𝜋𝑖(0)

6

𝑖=1

∗ 𝜙𝑖𝑗(𝑛) 𝑗 = 0,1,2,3,4,5 ; 𝑛 = 0,1,2… (3.19)

Por fim, na obtenção do índice de condição, bastará multiplicar o vetor probabilidades pelo

vetor coluna dos índices de condição tal como a expressão 3.20 [35],

𝐶𝑚𝑒𝑑(𝑛) = 𝜋(𝑛) ∗

[ 012345]

(3.20)

O vetor linha formado pelas probabilidades para os 𝑛 intervalos é designado de vetor de

probabilidades de índices no intervalo 𝑛 e é denotado por 𝜋(𝑛) de acordo com a expressão 3.21

[40],

𝜋(𝑛) = [𝜋0(𝑛) 𝜋1(𝑛) 𝜋2(𝑛) 𝜋3(𝑛) 𝜋4(𝑛) 𝜋5(𝑛)] 𝑛 = 0,1, . .. (3.21)

Estas equações são necessárias para prever o índice de condição pelos processos de Markov

em tempo discreto sendo agora exemplificado através de dados reais.



3.3.1 Aplicação em tempo discreto

A aplicação dos modelos de Markov em tempo discreto baseou-se em dados reais. Os dados

revelam que são efetuadas duas inspeções por semestre. Desta forma, é calculado uma matriz

probabilística de Markov P com ∆𝑡 = 3 meses com recurso a equação 3.11. Obtém-se uma

matriz de Markov de acordo com a equação 3.22, para intervalos de tempo de 3 meses. Esta

matriz resulta das inspeções fornecidas relativamente ao parâmetro geométrico alinhamento da

linha férrea. O valor 0,157 da matriz corresponde à probabilidade da linha estando num índice

de condição 2, transitar para o nível 3 após 3 meses.

𝑃∆𝑡=3 =

[ 0.815 0.162 0.008 0.0010 0.002 0.004

0 0.904 0.077 0.014 0.004 0.0010 0 0.821 0.157 0.006 0.0170 0 0 0.894 0.088 0.0180 0 0 0 0.967 0.0330 0 0 0 0 1 ]

(3.22)

A título de exemplo considera-se agora uma nova linha férrea em perfeito estado, sem

deterioração existente sendo então classificada com índice de condição 0, de acordo com a

expressão 3.23:

𝜋 (0) = [1 0 0 0 0 0] (3.23)

Tendo a matriz P e o vetor inicial 𝜋 determina-se probabilísticamente a evolução dos índices

de condição pela equação, 3.19, para um período de 30 meses apresentado na Tabela 3.4.

Para obter o índice de condição previsível, é necessário multiplicar o vetor probabilidades

pelo vetor coluna tal como a expressão 3.20.

Meses Probabilidade de índice de condição Índice de condição

previsível 0 1 2 3 4 5

3 0.815 0.162 0.008 0.01 0.002 0.004 0.235

6 0.664 0.278 0.025 0.02 0.005 0.008 0.449

9 0.541 0.358 0.048 0.033 0.009 0.011 0.646

12 0.440 0.411 0.071 0.047 0.015 0.016 0.831

15 0.359 0.443 0.094 0.063 0.022 0.020 1.006

18 0.292 0.458 0.114 0.081 0.029 0.025 1.173

21 0.238 0.461 0.131 0.099 0.039 0.031 1.333

24 0.194 0.456 0.145 0.118 0.049 0.038 1.487

27 0.158 0.443 0.156 0.137 0.061 0.045 1.635

30 0.129 0.443 0.164 0.154 0.074 0.053 1.779

Tabela 3.4 – Exemplo de previsão de uma linha férrea para 30 meses.



Por exemplo, após 2 anos, que equivale a 24 meses, o intervalo 𝑛 deve ser múltiplo de 3 de

acordo com a matriz 3.22. Então o intervalo de inspeção para 2 anos corresponde a 𝑛 =24

3= 8

intervalos. Recorrendo as equações 3.17, 3.19 e 3.20 obtem-se o seguinte resultado:

𝜙(8) = 𝑃8

𝜋(8) =

[ 100000] 𝑇

∗

[ 0.867 0.122 0.008 0.002 0 0

0 0.937 0.056 0.003 0.003 00 0 0.943 0.043 0.013 00 0 0 0.75 0.25 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1]

8

=

[ 0.1940.4560.1450.1180.0490.038]

𝑇

𝐶𝑚𝑒𝑑(8) = [0.194 0.456 0.145 0.118 0.049 0.038] ∗

[ 012345]

= 1.487

Este valor representa o índice de condição previsto após 24 meses.

Ao analisar a Tabela 3.4, constata-se na coluna do índice de condição 0, que à medida que

o tempo passa a probabilidade de se manter no mesmo índice vai naturalmente decrescendo.

Por sua vez, a probabilidade dos outros índices aumenta, até atingir a sua probabilidade máxima

exceto o índice de condição 5 que irá aumentar até atingir 1.

Figura 3.4 – Exemplo de deterioração de uma linha ao fim de 360 meses.

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

Ind

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)



A Figura 3.4 não é representada por uma curva contínua, pois em tempo discreto, a

observação é realizada num determinado intervalo ∆𝑡 sendo neste caso de 3 em 3 meses, não

existindo informação do que ocorre entre esse período, o que justifica o gráfico ser

caracterizado por marcadores pontuais equidistantemente espaçados no tempo.

Verifica-se a tendência natural de no período de 360 meses, o estado da linha se aproximar

do pior índice de condição 5, sem a linha ter sido sujeito a qualquer tipo de operação de

manutenção ao longo deste tempo.

3.4 Processo de Markov em tempo contínuo

Em tempo contínuo o processo de Markov despreza a não igualdade de intervalos de tempo

entre inspeções. Logo o tempo entre a realização das inspeções é irrelevante, e obedece a

equação 3.24 e os processos de Markov em tempo contínuo são mais adequados para a

modelação da incerteza.

𝑠 ≤ 𝑡, 𝑝𝑖𝑗(𝑠, 𝑡) = 𝑃{𝑋𝑡 = 𝑗|𝑋𝑠 = 𝑖} (3.24)

Neste contexto, a propriedade de Markov formulada na expressão 3.3 é definida de acordo

com a seguinte expressão 3.25 [43]:

𝑃{𝑋𝑡𝑛+1= 𝑥𝑛+1|𝑋𝑡𝑛 = 𝑥𝑛, 𝑋𝑡𝑛−1

= 𝑥𝑛−1, … , 𝑋𝑡0 = 𝑥0} (3.25)

= 𝑃{𝑋𝑡𝑛+1= 𝑥𝑛+1|𝑋𝑡𝑛 = 𝑥𝑛}

A principal diferença do processo de Markov contínuo e discreto no tempo é que as

probabilidades de transição podem ocorrer em intervalos de tempo não periódicos, ou seja, ao

contrário do processo de Markov em tempo discreto, o processo em tempo contínuo permite a

ocorrência de transições numa escala de tempo contínua [35].

Nos processos de Markov em tempo contínuo é estabelecida uma matriz intensidade, 𝑄, que

corresponde a taxas de transições 𝑞𝑖𝑗, independentes do tempo, que se relaciona diretamente

com qualquer matriz de Markov, 𝑃, de acordo com a expressão 3.26:

𝑑𝑃(∆𝑡)

𝑑𝑡= 𝑃(𝑡) ∗ 𝑄 (3.26)



Sendo a sua solução dada por 3.27, onde é possível identificar uma distribuição de Poisson,

𝑃(∆𝑡) = 𝑒𝑄∗∆𝑡 (3.27)

A matriz Markoviana 𝑃 é então determinada a partir de uma matriz intensidade 𝑄 com a

mesma dimensão. Assumindo que o processo de deterioração é contínuo e que devido à

deterioração não pode ocorrer melhoria do estado de condição, se o modelo de avaliação de

linhas férreas prever 6 índices diferentes de condição, então a matriz 𝑄 é de dimensão 6 de

acordo com a equação 3.28 [35]:

𝑄 =

[ −𝜃0 𝜃0 0 0 0 00 −𝜃1 𝜃1 0 0 00 0 −𝜃2 𝜃2 0 00 0 0 −𝜃3 𝜃3 00 0 0 0 −𝜃4 𝜃4

0 0 0 0 0 0 ]

(3.28)

Os elementos 𝜃𝑖 representam as taxas de transição entre estados consecutivos [41], da

expressão 3.29:

[ 𝜃0

𝜃1

𝜃2

𝜃3

𝜃4]

=

[ 𝑞01

𝑞12

𝑞23

𝑞34

𝑞45]

(3.29)

As taxas de transição, 𝑞𝑖𝑗 representam a probabilidade de ocorrer alteração do índice de

condição 𝑖 para um índice de condição 𝑗, em que 𝑗 ≠ 𝑖, sendo obtidas pelo método de Jackson

[44] através expressão 3.30,

𝑞𝑖𝑗 =𝑛𝑖𝑗

∑∆𝑡𝑖 (3.30)

Em que 𝑛𝑖𝑗 é o número de elementos que transitaram do índice de condição i para o índice

j e ∑∆𝑡𝑖 o somatório de intervalos de tempo onde o índice de condição i se manteve [41] [45]

[44].

Os valores de 𝜃𝑖 que constituam a matriz intensidade, 𝑄, são fundamentais para definir a

eficiência do modelo utilizado. Essa eficiência é medida recorrendo ao cálculo da

verosimilhança, que indica a distância entre a realidade e o previsto pelo modelo, sendo o



modelo tanto melhor quanto menor for essa distância. Isto é, a matriz 𝑄 ótima é determinada

através do método da maximização de verosimilhança definido pela expressão 3.31 [35] [41]:

𝑉 = ∏ 𝑝𝑖𝑗

𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖çõ𝑒𝑠=1

(3.31)

O objetivo da equação 3.31, é realizar o somatório das parcelas 𝑝𝑖𝑗 das transições existentes

nos dados reais. De acordo com a equação 3.7 as transições onde 𝑖 > 𝑗, não são tidas em conta

na equação 3.31.

É possível ainda simplificar a equação 3.31 para um somatório, através de propriedades

logarítmicas tornando-se na equação 3.32 [35] [41],

log 𝑉 = ∏ log(𝑝𝑖𝑗)

𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖çõ𝑒𝑠=1

(3.32)

O objetivo do método da maximização de verosimilhança consiste em obter o maior valor

de 𝑉 otimizando a matriz 𝑃, ajustando as taxas de transição 𝜃𝑖.

Sabendo o vetor probabilidades 𝑝(𝑡𝑖), relativo aos vários índices de condição num instante

inicial 𝑡𝑖 e, estando na posse de uma matriz 𝑃∆𝑡 que reproduza convenientemente a deterioração

da estrutura em causa ao longo do respetivo intervalo de tempo, é possível prever o desempenho

futuro para um instante final 𝑡𝑓, obtendo o vetor probabilidade de índices de condição 𝑝(𝑡𝑓) de

acordo com a equação 3.33 [35]:

𝑝(𝑡𝑓) = 𝑝(𝑡𝑖) ∗ 𝑃∆𝑡 (3.33)

Sendo, ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖 em que 𝑡𝑓 e 𝑡𝑖 representam o instante final e inicial respetivamente [35].

Um vetor probabilidades genérico para um determinado instante 𝑡, é representado pela

seguinte equação 3.34 [35]:

𝑝(𝑡) = [𝑝0 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝4 𝑝5] (3.34)

Onde o valor 𝑝𝑖, corresponde à probabilidade da estrutura se encontrar no índice 𝑖, no

instante 𝑡.



Para obter o índice de condição médio, basta multiplicar o vetor probabilidades pelo vetor

coluna dos índices de condição com índice a equação 3.35 [35]:

𝐶𝑚𝑒𝑑(𝑡) = 𝑝(𝑡) ∗

[ 012345]

(3.35)

3.4.1 Aplicação em tempo contínuo

O modelo de deterioração é elaborado através de dados reais sobre 2994 inspeções

realizadas. Este caso real é composto por 30 km de linha férrea com velocidade entre os

80 km/h e os 120 km/h, sendo que a velocidade é uma informação necessária para identificação

do índice de condição correspondente ao desvio padrão obtido aquando da ocorrência da

inspeção. A inspeção resulta na obtenção de vários parâmetros geométricos, como referido no

capítulo anterior. No entanto, serão apenas estudados o nivelamento longitudinal e o

alinhamento da via. Sendo que a análise dos parâmetros só pode ser realizado num comprimento

de 200 m, a linha é dividida em 150 troços com pontos quilométricos (𝑃𝑘𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠) e finais

(𝑃𝑘𝑓𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠).

Esta linha esteve sujeita a 2994 inspeções desde 2009, duas por semestre. São observadas

melhorias no estado de condição da estrutura que se pode dever a duas situações: erros de

avaliação do índice de condição por parte do inspetor ou aplicação de uma ação de manutenção

na estrutura. Estas melhorias do índice de condição observaram-se 341 vezes no caso do

alinhamento e 213 vezes no caso do nivelamento longitudinal.

Os resultados obtidos nas inspeções foram sujeitos à nova classificação dos índices de

condição baseados nos novos intervalos de desvio padrão definidos na Tabela 3.2. Após

determinação do índice de condição de cada inspeção é calculado pelo método de Jackson

(equação 3.30) as taxas de transição 𝑞𝑖𝑗 e posteriormente otimizadas pelo método da máxima

verosimilhança. Analisou-se a eficiência do modelo, a estimativa do tempo de permanência nos

vários índices de condição, a evolução das probabilidades de transição ao longo do tempo e por

fim previu-se para um determinado tempo, com recurso aos processos de Markov, a evolução

dos índices de condição.



3.4.1.1 Aquisição das taxas de transição 𝜽𝒊

Esta fase passa pela obtenção das taxas de transição 𝜃𝑖 pelo método de Jackson, que

correspondem aos valores da matriz 𝑄 da equação 3.28. Estas taxas fundamentais para a

previsão do índice de condição, sendo depois otimizadas pelo método da maximização da

verosimilhança.

A obtenção dos valores de 𝜃𝑖, depende dos índices de condição obtidos nas inspeções. No

entanto, como foi já referido em alguns casos verifica-se uma melhoria do estado de condição

de uma inspeção para a seguinte. O que sucede, aquando da constatação de um aumento do

índice de condição, a transição de melhoria não entra para o cálculo das taxas transição e a linha

terá um novo índice inicial. Se porventura nos dados exista uma melhoria do estado de índice

de condição e se não existe inspeções após a mesma, essa inspeção não irá entrar no processo

de cálculo.

Por vezes podem existir situações com melhoria natural devido a erros do inspetor porém,

não foi tido em conta essas ocorrências pois não existia um histórico de ações de manutenção

ou reparação em conjunto com os dados reais. Caso um documento sobre essas ações fosse

disponibilizado, analisava-se as transições existentes nos dados reais e verifica-se se essas

transições foram devido a ações de manutenção ou reparação. Se por ventura é visível o erro

do inspetor um ajuste é realizado sobre a inspeção em causa verificando o valor do índice de

condição antes e depois dessa inspeção. Por exemplo, uma transição 2-3 em que a próxima

inspeção resultou num índice de condição 2 e é visível a não existência de nenhuma ação de

manutenção ou reparação o valor da inspeção, que resultou em 3, seria alterada para 2.

A partir dos dados reais e segundo a equação 3.30, obtiveram-se as seguintes expressões

3.36 e 3.37:

[ 𝜃0

𝜃1

𝜃2

𝜃3

𝜃4]

𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

=

[ 0.0490.0230.0450.0250.011]

(3.36)

[ 𝜃0

𝜃1

𝜃2

𝜃3

𝜃4]

𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

=

[ 0.0970.0360.003

00 ]

(3.37)



E, por conseguinte, a matriz intensidade 𝑄 resulta na equação 3.38 e 3.39:

𝑄𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ −0.049 0.049 0 0 0 0

0 −0.023 0.023 0 0 00 0 −0.045 0.045 0 00 0 0 −0.025 0.025 00 0 0 0 −0.011 0.0110 0 0 0 0 0 ]

(3.38)

𝑄𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ −0.097 0.097 0 0 0 0

0 −0.036 0.036 0 0 00 0 −0.003 0.003 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0]

(3.39)

Pode se observar na matriz 𝑄 referente ao parâmetro do nivelamento a inexistência de taxas

de transição 𝜃3 e 𝜃4, pois nos dados reais não existe desvio padrão para além do índice de

condição 3. Tal se deve ao rigoroso plano de manutenção realizado pela REFER de modo a

impedir a degradação para além deste índice para este parâmetro.

Os valores estipulados para 𝜃𝑖, que formam a matriz 𝑄, são fundamentais para definir a

eficiência do modelo utilizado. Essa eficiência é medida recorrendo à matriz 𝑄 ótima e é

determinada através do método da maximização da verosimilhança, sendo realizada com o

auxílio de uma função de otimização disponível no MatLab®, fmincon.

No sentido da percepção do funcionamento do método da maximização da verosimilhança

é exemplificado a obtenção dos valores 𝑝𝑖𝑗 da equação 3.32 para 3 inspeções existentes da

Tabela 3.5.

𝐋𝐢𝐧𝐡𝐚 𝐈𝐃 𝐏𝐤𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐏𝐤𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥

IC ∆𝐭 IC ∆𝐭 IC ∆𝐭

𝟗𝟏 38,00 38,2 2 3 2 3 5 3

Sabendo que a matriz 𝑄 é única e é utilizada para o cálculo das matrizes de probabilidade

de Markov e que os intervalos ∆𝑡 entre inspeções é constante (3 meses), determina-se a matriz

Markoviana 𝑃 recorrendo a equação 3.27 obtendo a expressão 3.40,

Tabela 3.5 – Exemplo de uma linha com inspeções referente ao segundo semestre de 2010 do parâmetro alinhamento.



𝑃(3) = 𝑒𝑄∗3 =

[ 0.862 0.133 0.005 0 0 0

0 0.932 0.063 0.004 0 00 0 0.873 0.122 0.005 5 ∗ 10−5

0 0 0 0.928 0.071 0.0010 0 0 0 0.967 0.0330 0 0 0 0 1 ]

(3.40)

Tendo a matriz Markoviana 𝑃 a determinação dos 𝑝𝑖𝑗 da equação 3.32, depende da transição

entre os índices de condição de cada inspeção 𝑖 e 𝑗.

No caso da Tabela 3.5, a primeira inspeção resulta num índice de condição 2, a segunda

também, logo há uma permanência de índice. Nesta transição o 𝑝𝑖𝑗, é 𝑃22 da matriz 3.40 com

valor de 0,873.

A terceira inspeção resulta num índice de condição 5. Logo da segunda inspeção para a

terceira ocorre uma transição 2-5. Neste caso o 𝑝𝑖𝑗, é 𝑃25 da matriz 3.40 com valor de 5 ∗ 10−5.

Neste exemplo o valor de 𝑉 é o somatório logarítmico dos dois 𝑝𝑖𝑗 obtidos, resultando na

expressão 3.41,

𝑉 = log(0.873) + log(5 ∗ 10−5) = − 4.36 (3.41)

O valor de 𝑉 negativo ocorre pelo facto das parcelas que entram no somatório serem

logaritmos de valores entre 0 e 1.

Com as taxas de transição obtidas pela equação 3.36 e 3.37 é efetuado o cálculo da

verosimilhança aos 150 troços da linha em estudo com as respetivas transições existentes.

Determina-se todos os 𝑝𝑖𝑗 e realiza-se um somatório logarítmico de acordo com a expressão

3.32 para obter a verosimilhança 𝑉. Quanto ao alinhamento o valor de 𝑉 corresponde a – 1042.4

e o nivelamento de – 786.631.

3.4.1.2 Alteração 𝜽𝒊 pelo método da maximização da verosimilhança

Como já referido, recorre-se à função fmincon do Matlab® para maximização da

verosimilhança. A função em questão determina o valor mínimo da equação 3.32, ajustando os

valores de 𝜃𝑖 a partir de uma estimativa inicial que foi obtida na equação 3.36 e 3.37.

Relativamente a este caso, a função fmincon estima as taxas de transição 𝜃𝑖 que melhor se



adaptam aos dados reais, no sentido de que 𝑉 seja o menor possível. Como já demonstrado, o

resultado da verosimilhança é um valor negativo, razão pela qual se procura a máxima

verosimilhança, o que corresponde a minimizar o valor absoluto de V.

Depois de aplicada a função, obtiveram-se as seguintes expressões 3.42 e 3.43:

[ 𝜃0

𝜃1

𝜃2

𝜃3

𝜃4]

𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

=

[ 0.0620.0320.0670.0330.001]

(3.42)

[ 𝜃0

𝜃1

𝜃2

𝜃3

𝜃4]

𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

=

[ 0.1210.0380.0030.0010.001]

(3.43)

Deste modo a partir das taxas de transição 𝜃𝑖 das expressões 3.42 e 3.43, o método da

máxima verosimilhança resultou num 𝑉 de -1026 e -784,84 para o alinhamento e para o

nivelamento longitudinal.

Ao comparar a equação 3.36 com a 3.42 é observável uma alteração nas taxas de transição

𝜃3 e 𝜃4 que já não são iguais a 0. A alteração deve-se ao facto de ser necessário atribuir um

valor mínimo aos 𝜃𝑖 aquando a aplicação da função fmincon para ocorrer uma convergência na

obtenção de 𝑉.

Portanto, os valores obtidos pelo método da máxima verossimilhança são os que fornecem

menores valores de V, logo passando a ser a taxa de transição 𝜃𝑖 utilizada no modelo de

desempenho.

3.4.1.3 Qualidade do modelo

Uma das possibilidades para avaliar a qualidade do modelo, é o teste de ajustamento do Qui-

Quadrado.

O teste de ajustamento do Qui-Quadrado é aplicado para avaliar o ajuste entre um conjunto

de observações (amostra) e uma distribuição teórica. Mais concretamente, a avaliação da



qualidade de ajuste baseia-se na comparação da distribuição dos dados amostrais com a

distribuição teórica à qual se supõe pertencer a amostra [46].

Como na generalidade dos testes de ajustamento, o processo inicia-se com a formulação das

hipóteses (hipótese nula, 𝐻0, e hipótese alternativa,𝐻1) nos seguintes termos:

𝐻0: A amostra possui uma determinada distribuição teórica;

𝐻1: A amostra não possui a distribuição teórica.

A qualidade do modelo é verificada através do cálculo da semelhança da diferença entre as

transições observadas e previstas. Num modelo de deterioração, apenas a transição de um

estado 𝑖 para um estado 𝑗, com 𝑖 ≤ 𝑗 pode ocorrer [47].

As transições observáveis entre índices de condição são agrupadas em 𝐶 classes calculadas

pela equação 3.44.

𝐶 =

𝑛(𝑛 + 1)

2− 1 (3.44)

O 𝑛 indica o número total de índices de condição. Havendo 6 índices, resulta em 𝐶 = 20.

Nestas vintes classes não fazem parte as transições do índice 5 → 5 pois é considerado como

índice absorvente.

No teste de ajustamento do Qui-Quadrado a avaliação do ajuste entre o conjunto de

observações e o modelo teórico baseia-se na determinação da estatística do teste, equação 3.45.

A estatística do teste trata-se de uma medida global da discrepância entre as frequências

observadas na amostra, 𝑂𝑐 e as frequência esperadas,𝐸𝐶 [47].

𝑇 = ∑

(𝑂𝑖 − 𝐸𝑖)2

𝐸𝑖

𝐶

𝑖=1 (3.45)

Nas situações em que a hipótese nula, 𝐻0, é verdadeira, devem-se registar pequenas

diferenças entre as frequências observadas e esperadas e, consequentemente, a estatística do

teste, 𝑇, deve apresentar valores baixos. Por outro lado, um valor da estatística do teste, 𝑇,

elevado constitui uma indicação de que existe um desajuste entre a amostra e a distribuição

teórica [46].

Pode se demonstrar que, quando a hipótese nula, 𝐻0, é verdadeira e a dimensão da amostra

grande, a estatística do teste, 𝑇, segue uma distribuição 𝜒𝑔𝑙2 com gl = (C − 1) − p graus de

liberdade, onde 𝑝 representa o número de parâmetros estimados a partir da amostra.



Uma vez fixo o nível de significância 𝛼, a rejeição ou não rejeição da hipótese nula, 𝐻0, é

realizada com base na comparação entre o valor da estatística do teste e 𝜒𝑔𝑙:𝛼2 . Rejeita-se a

hipótese nula, 𝐻0, a um nível de significância 𝛼 caso o valor da estatística do teste, 𝑇, seja

superior 𝜒𝑔𝑙:𝛼2 , isto é, rejeita-se a hipótese nula, 𝐻0, se verificar a equação 3.46:

𝑇 > 𝜒𝑔𝑙:𝛼2 (3.46)

Caso contrário, aceita-se a hipótese nula, 𝐻0 [47].

No início de cada intervalo de tempo entre duas inspeções consecutivas, contabiliza-se o

número total de diferentes índices de condição observados e obteve-se as expressões 3.47 e

3.48:

𝑂𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙;𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ 𝑂0

𝑂1

𝑂2

𝑂3

𝑂4

𝑂5]

=

[ 50113743632233018 ]

(3.47)

𝑂𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙;𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ 𝑂0

𝑂1

𝑂2

𝑂3

𝑂4

𝑂5]

=

[ 2141562853200 ]

(3.48)

Após cada intervalo de tempo ∆𝑡, as inspeções apresentam o seguinte resultado do número

total de índices de condição, equação 3.49 e 3.50:

𝑂𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙;𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ 𝑂0

𝑂1

𝑂2

𝑂3

𝑂4

𝑂5]

=

[ 41013234082795732 ]

(3.49)

𝑂𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙;𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ 𝑂0

𝑂1

𝑂2

𝑂3

𝑂4

𝑂5]

=

[ 145144310321100 ]

(3.50)



As equações 3.49 e 3.50 correspondem às observações existentes nos dados reais faltando

somente determinar os índices de condição esperados através do modelo de Markov. Observa-

se nas equações 3.48 e 3.50 inexistência nas inspeções da linha férrea de índices de condição

de 4 e 5 no nivelamento.

A obtenção dos valores de 𝐸𝑖, é seguidamente exemplificada com a Tabela 3.5. Para chegar

aos valores de 𝐸𝑖, realiza-se um somatório, em que cada uma das matrizes 𝑃 calculadas

contribui com uma das suas linhas.

A matriz 𝑃 é calculada pela equação 3.27 com ∆𝑡 = 3 e 𝜃𝑖 das equações 3.42 e 3.43.

O exemplo baseado no parâmetro do alinhamento a matriz 𝑃 corresponde a equação 3.51,

𝑃(∆𝑡 = 3) = 𝑒𝑄∗3 =

[ 0.831 0.161 0.007 0.001 0 0

0 0.909 0.082 0.008 0 00 0 0.818 0.173 0.009 00 0 0 0.905 0.095 00 0 0 0 0.997 0.0030 0 0 0 0 1 ]

(3.51)

Note-se que as matrizes 𝑃 das equações 3.40 e 3.51 são necessariamente diferentes pois a

matriz 𝑄 para a equação 3.51 é obtida pelo método da máxima verosimilhança e não pelo

método de Jackson [44].

Como existe um intervalo regular entre inspeções a matriz 𝑃 da equação 3.51 não se altera.

Na determinação de 𝐸𝑖, somente é necessário conhecer o índice de condição inicial, pois a linha

da matriz 𝑃 referente a esse índice contribui para o somatório e obtenção do 𝐸𝑖.

Uma vez que o índice de condição inicial é de 2 na primeira inspeção, então será a terceira

linha da matriz 𝑃 da equação 3.51 obtendo a expressão 3.52.

𝐸𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 =

[ 𝐸0

𝐸1

𝐸2

𝐸3

𝐸4

𝐸5]

=

[

00

0.8180.1730.009

0 ]

(3.52)

No caso da segunda inspeção para a terceira o índice de condição inicial também é 2 logo a

linha da matriz 𝑃 da equação 3.51 na contribuição para o 𝐸𝑖 é igual a equação 3.52.



Aplicando este processo às transições existentes, e executando o somatório com todas as

linhas das respetivas matrizes 𝑃, obtêm-se os resultados da equação 3.53 e 3.54.

𝐸𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ 𝐸0

𝐸1

𝐸2

𝐸3

𝐸4

𝐸5]

=

[ 409.681323.86413.77284.2359.3118.15 ]

(3.53)

𝐸𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 =

[ 𝐸0

𝐸1

𝐸2

𝐸3

𝐸4

𝐸5]

=

[ 146.51443.11030.211.100 ]

(3.54)

A partir dos resultados observados (3.49 e 3.50) e esperados (3.53 e 3.54) referentes aos

dois parâmetros geométricos analisados é então possível determinar o valor da estatística do

teste associada a cada um através da equação 3.45. Obteve-se o valor de 𝑇𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 6.32 e

de 𝑇𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 0.02. Sendo assim de acordo com a equação 3.46, a hipótese nula é rejeitada

com um nível de significância de 5 % se os valores obtidos forem superiores a 𝜒 14∶ 0,052 =

23.685.

Como para os dois parâmetros analisados os valores obtidos são inferiores ao valor limite,

significa que o ajuste efetuado tem qualidade, ou seja, que o modelo teórico considerado

descreve de um modo adequado os dados observados.

É agora provado que os valores de 𝑉 são excelentes. No entanto sabendo-se que um valor

de verosimilhança igual a zero seria o resultado ideal porque significava que o modelo

corresponderia exatamente à realidade.

3.4.1.4 Estimativa do tempo de permanência nos vários índices de condição

Segundo Jackson [44], a partir da matriz 𝑄, pode ser avaliado o tempo de permanência 𝑇𝑖

de cada índice de condição antes de transitar para o seguinte resultando na equação 3.55

𝑇𝑖 =

1

𝜃𝑖 (3.55)



Recorre-se à equação 3.55 com as taxas de transição ótimas, resultando na Figura 3.5 para

o alinhamento e Figura 3.36 para o nivelamento.

Relativamente à Figura 3.5 o índice 4 não é visível, no gráfico, pois o valor de 𝜃4 é muito

pequeno comparado com os outros 𝜃𝑖, o que resulta num tempo de permanência no estado 4 de

cerca de 1000 meses. Não esquecer que essa taxa é muito baixa porque existem poucas

inspeções, ou até nenhuma, que resultaram num índice de condição 5, logo, poucas transições

de índice 4 para 5. Averigua-se uma permanência de cerca de 30 meses para o índice de

condição 1 e 3, sendo estes os índices mais prevalecentes nas inspeções utilizadas. No entanto,

a permanência dos índices 0 e 2 são de cerca 15 meses sendo 50 % do índice 1 e 3.

Verifica-se na Figura 3.6, caso a linha, para o nivelamento, esteja no melhor índice de

condição 0, passa mais rápido para o índice seguinte do que qualquer outro. Observa-se também

que ao piorar o índice de condição maior é o tempo de permanência do mesmo. Os tempos de

permanência de índice de condição 3 e 4 não são observáveis pois são iguais ao índice de

condição 4 da Figura 3.5.

Figura 3.5 – Estimativa do tempo de permanência em cada índice de condição para o alinhamento.

Figura 3.6 – Estimativa do tempo de permanência em cada índice de condição para o nivelamento.

16,21

31,60

14,89

30,12

0 5 10 15 20 25 30 35

Índice 0

Índice 1

Índice 2

Índice 3

Tempo (meses)

8,24

26,31

353,05

0 100 200 300 400

Índice 0

Índice 1

Índice 2

Tempo (meses)



3.4.1.5 Evolução das probabilidades de transição ao longo do tempo

A análise sobre as probabilidades de transição apenas é apresentada para o parâmetro

geométrico da via, o alinhamento, pois as probabilidades de transição devido ao nivelamento

seguem evoluções parecidas e não existe transições de índice 3-4 e 4-5. Nas Figuras 3.7, 3.8,

3.9, 3.10, 3.11 apresentam-se a evolução dos 𝑃𝑖𝑗 para cada índice de condição inicial 𝑖.

Figura 3.7 – Evolução de Pij para índice de condição inicial 0.


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Pro

bab

ilid

ades

Tempo (meses)

P00

P01

P02

P03

P04

P05

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Pro

bab

ilid

ades

Tempo (meses)

P11

P12

P13

P14

P15






0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Pro

bab

ilid

ades

Tempo (meses)

P22

P23

P24

P25

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Pro

bab

ilid

ades

Tempo (meses)

P44

P45

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Pro

bab

ilid

ades

Tempo (meses)

P33

P34

P35



Da análise das Figuras 3.7, 3.8, 3.9, 3.10 e 3.11 é possível concluir que:

Independentemente do índice de condição inicial observado, a probabilidade do parâmetro

da linha permanecer nesse mesmo índice, decresce continuamente ao longo dos meses,

atingindo uma probabilidade nula ao fim de alguns meses. A probabilidade 𝑃𝑖𝑖 nunca revela

tendência para aumentar, pois isso indicaria que a linha teria sofrido uma operação de

manutenção ou ação de reparação.

É possível também verificar que as probabilidades 𝑃𝑖𝑗 com 𝑖 ≠ 𝑗 e 𝑗 ≠ 5, apresentam todas

uma tendência de subida até determinado ponto. Começando posteriormente a diminuir

gradualmente. Esta inversão deve-se ao facto de atingido determinado tempo, ser cada vez mais

provável chegar a um índice de condição superior.

Verifica-se ainda que independentemente do índice de condição inicial da linha, a

probabilidade de um parâmetro atingir o índice de condição 5, cresce continuamente ao longo

do tempo em análise, pois trata-se do índice que representa o pior estado da linha.

Não foi elaborado um gráfico com a evolução da probabilidade 𝑃55, pois o índice 5 é o

índice absorvente do processo de Markov, ou seja, uma vez atingido esse valor numa linha, este

não sofre mais alterações. Uma ilustração gráfica de 𝑃55, não seria mais do que uma linha reta

de probabilidade 1 ao longo de todo o período.

3.4.1.6 Previsão da deterioração

A matriz 𝑄 que reflete o caso real, permite realizar a previsão da curva média do

desempenho da linha ao longo dos próximos 200 meses. A intenção passa por recorrer ao último

registo de inspeções realizadas, que correspondem a um determinado índice de condição e

fazendo a sua média obtém-se o índice de condição inicial. Através do modelo de Markov

prevê-se o índice de condição para o horizonte de 200 meses. No caso geral, as inspeções são

realizadas em datas variadas. No entanto, neste caso, não é necessário atualizar as datas de

inspeção, visto que não havendo informação relativamente à data da sua realização, considera-

se que foi realizada as últimas inspeções à linha na mesma data.

Uma vez que o índice de condição é variável, o vetor do índice de condição inicial também

o será. Determina-se pelas equações 3.27, 3.33 e 3.35 o índice de condição para todos os troços



da linha e no seu seguimento retira-se a média e o desvio padrão do caso real resultando nas

Figuras 3.12 e 3.13.

Na Figura 3.12 observa-se que os 150 troços têm um índice inicial médio para parâmetro

alinhamento de 1,473 que, por coincidência, é o mesmo para o parâmetro o nivelamento

longitudinal (Figura 3.13).

Constata-se nas duas Figuras 3.12 e 3.13 que a curva de deterioração média vai

gradualmente e continuamente crescendo ao longo do período em análise. Nota-se, na

Figura 3.12, que por volta do mês 70, a curva começa a ficar tangente à linha, correspondendo

ao facto de se aproximar do pior índice de condição, 5.

Como é sabido, o desvio padrão mede a dispersão dos dados relativamente à média. O

gráfico revela uma tendência a decrescer continuamente, aproximando-se de zero no final do

tempo de análise. Significa que a grande maioria da linha apresenta no mês 200, um índice de

condição próximo do pior índice, 5.

Figura 3.12 – Previsão do desempenho para o parâmetro do alinhamento.

Figura 3.13 – Previsão do desempenho para o parâmetro do nivelamento longitudinal.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Ind

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

Curva dedeterioração média

Desvio Padrão

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Ind

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

Curva dedeterioração média

Desvio Padrão



A curva de deterioração média da Figura 3.13 revela um menor aumento do índice de

condição quando comparada com a da Figura 3.12 devendo-se ao tal, facto das taxas de

transição 𝜃4 e 𝜃5 terem um valor muito baixo, comparados com os utilizados no alinhamento.

A curva tenderia a acabar da mesma forma que a Figura 3.12, após um tempo de,

aproximadamente, 400 meses.

3.5 Conclusões

Neste capítulo descreveram-se os processos de Markov com o objetivo de realizar um estudo

de previsão do desempenho de uma linha férrea existente, baseado em resultados passados de

inspeções feitas num caso real. Foi também proposto um índice de condição baseado nas duas

classificações existentes, através de limites de desvio padrões com base na velocidade de

funcionamento da linha.

Relataram-se os pormenores das propriedades da metodologia Markoviana e como as

matrizes de Markov podem indicar previsões sobre o índice de condição futuro da linha férrea.

Os modelos de Markov podem ser definidos em tempo discreto e contínuo. Numa análise em

tempo discreto previu-se a evolução de uma linha com índice inicial igual a 0 tendo atingido,

em 24 meses, o índice final de 1,487. A evolução da deterioração da linha permitiu uma

primeira aproximação gráfica acerca da mesma segundo um índice de condição. No entanto o

modelo em tempo discreto pode não ser o mais adequado na previsão da deterioração. Daí, o

estudo dos processos em tempo contínuo, com a obtenção das taxas de transição (𝜃𝑖) pela

equação 3.26. Pela maximização da verosimilhança de acordo com a equação 3.32 obteve-se

novos 𝜃𝑖, aproximando-se dos valores reais . Certificou-se a qualidade do modelo obtido pelo

teste do Qi-Quadrado. Verificou-se que, embora não sendo igual à realidade este era válido.

Foi também analisado o tempo de permanência dos diferentes índices de condição. Estes

tempos 𝑇𝑖 permitem definir um tempo no qual o índice de condição permanecerá com o mesmo

valor. Estudou-se a evolução das probabilidades de transição 𝑝𝑖𝑗 ao longo do tempo,

observando-se a evolução das probabilidades dos índices consoante o tempo e o índice inicial

𝑖. Identificando-se a diferença de evolução no tempo dessas probabilidades.

Por fim, o uso do processo de Markov permitiu a previsão da curva média sobre o caso real,

com índice inicial 1,473. Estudaram-se ambos os parâmetros geométricos, verificando-se

diferentes desenvolvimentos das curvas médias devido as diferentes taxas de transição, sendo



agora possível acrescentar ações de manutenção ou reparação no modelo para analisar o seu

efeito no tempo. Estudar o efeito destas ações permitirá estabelecer uma possível estratégia de

manutenção da linha dependendo dos objetivos estabelecidos.

Capítulo 4 – Modelo de Markov Oculto


4 Capítulo 4

Modelo de Markov Oculto

4.1 Introdução

No sentido de abordar um novo modelo de desempenho para a linha férrea, este capítulo

descreve um modelo estatístico, nomeadamente, os modelos de Markov ocultos (Hidden

Markov Model – HMM). Os HMM podem ser vistos como um modelo alternativo ao anterior.

Durante os últimos 15 anos, os HMMs têm sidos aplicados em várias áreas, incluindo

reconhecimento de voz, a modelação de linguagens, o reconhecimento de palavras manuscritas,

a verificação on-line de assinaturas, a aprendizagem de ações humanas e a deteção de falhas

em sistemas dinâmicos [48].

Os HMM procuram encontrar padrões em sequências de observações. A partir de

sequências de estados observáveis, o modelo estabelece relações com os estados pretendidos,

os quais não são diretamente observáveis [49].

Os HMM geram um processo “duplamente estocástico” no qual os dados observados são

resultado de uma transição num processo não observável (sequência de índices), por uma

função que produz o processo observável. O modelo do processo não observável consiste num

conjunto de índices ligados por transições, cada uma descrita por uma probabilidade de

transição que estabelece a probabilidade de se efetuar uma transição de um índice para outro

[50].

Por sua vez, o modelo do processo observável é descrito por uma função densidade de

probabilidade de saída que define a probabilidade condicional de se observar um conjunto de

características da linha férrea [50].

A existência de uma sequência de índices e de um processo não observável, tornam o HMM

um modelo com duas camadas estocásticas. Uma camada semelhante à cadeia de Markov de

primeira ordem, que contudo, não é diretamente observável, pois, cada índice é uma possível



observação. A segunda camada estocástica é um conjunto de probabilidades que indica, para

cada índice, as probabilidades de emissão de cada observação do modelo [51].

Como já referido, a sequência de índices num modelo, dada uma sequência de observações,

não é observada pelo observador. Ou seja, existindo uma sequência de observações, a sequência

de índices do modelo para gerar essa sequência não é conhecida. Por isso, o modelo é intitulado

como oculto [51].

Os modelos HMM baseiam-se num conjunto de índices conectados por transições com

probabilidades. Os processos observáveis consistem num conjunto de observações, podendo

ser emitidos por cada índice de acordo com a função de densidade de probabilidade [48].

4.2 Elementos de um Modelo de Markov Oculto

Um modelo de Markov oculto é geralmente definido por três variáveis, 𝜆 = (𝐴, 𝐵, 𝜋) sendo

[51]:

𝐴, matriz de transição de índices;

𝐵, matriz de probabilidades de emissão das observações;

𝜋, vetor probabilidade de índice inicial, ou seja, a probabilidade de determinado

índice iniciar a sequência de observações.

Um HMM em tempo discreto é caracterizado por cinco parâmetros [48] [51] [52]:

𝑆 = {𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝑁}, conjunto de 𝑁 índices possíveis. O índice no tempo 𝑡 é definido

por 𝑞𝑡.

𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑀}, conjunto de 𝑀 observações possíveis. Usualmente uma

observação no instante 𝑡 é denotada por 𝑜𝑡.

𝐴, matriz 𝑁 ∗ 𝑁 a probabilidade de transição definida pela expressão 4.1 e

condicionadas pela expressão 4.2,

𝐴 = {𝑎𝑖𝑗} = 𝑃[𝑞𝑡+1 = 𝑗|𝑞𝑡 = 𝑖] (4.1)

∑ 𝑎𝑖𝑗 = 1𝑁

𝑗=1 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (4.2)



𝐵, uma matriz 𝑁 ∗ 𝑀 de probabilidade dos estados observados definida pela

expressão 4.3 condicionada pela expressão 4.4,

𝐵 = {𝑏𝑗(𝑘)} = 𝑃[𝑜𝑡 = 𝑣𝑘 | 𝑞𝑡 = 𝑗] , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑀 (4.3)

∑ 𝑏𝑗(𝑘) = 1𝑀

𝑘=1 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁 (4.4)

𝜋, um vetor 𝑁, que representa a probabilidade do índice inicial e é definida pela

expressão 4.5 condicionada pela expressão 4.6,

𝜋𝑗 = 𝑃[𝑞1 = 𝑖] , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (4.5)

∑ 𝜋𝑖 = 1𝑁

𝑖=1 (4.6)

Em HMMs de observações discretas 𝐵 é uma matriz cujos elementos representam a

probabilidade de cada observação em cada índice. Fazendo um paralelismo para os HMMs de

observações contínuas, 𝐵 será uma estrutura de dados mais complexa contendo, para cada

índice, dois vetores e uma matriz. Um dos vetores, cuja dimensão é o número de componentes

da mistura, contém os coeficientes da mistura Gaussiana, e o outro vetor, cuja dimensão é a

dimensão do vetor observação, contém as médias das variáveis aleatórias que compõem o vetor

observação. A matriz é quadrada e os seus elementos são as covariâncias das variáveis

aleatórias que compõem o vetor observação [50].

Pode se observar que uma completa especificação de um modelo oculto de Markov requer

a enumeração dos dois parâmetros do modelo, 𝑁 e 𝑀, a especificação da observação de

observações e de três conjuntos de medidas de probabilidade 𝐴, 𝐵 e 𝜋 [48].

4.3 Tipos de Modelos de Markov Ocultos

A estrutura do modelo e o número de índices escolhidos são fatores fundamentais para a

determinação do modelo ótimo [48]. Os modelos são classificados de acordo com a estrutura

das matrizes de transição (𝐴). De entre os diversos tipos existentes, temos os modelos

completamente conectados (Figura 4.1) e os esquerda-direita (Figura 4.2) [48] [51] [53].



Nos modelos completamente conectados, a matriz de transição de índices possui apenas

elementos positivos, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 > 0, sendo 1 ≤ 𝑖 e 𝑗 ≤ 𝑁. Por outras palavras, é possível

transitar para todos os índices do modelo [51].

Os de topologia esquerda-direita permitem probabilidades de transições positivas apenas

para os índices superiores (ou igual) ao índice de origem, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 quando 𝑗 < 𝑖 [51].

Neste tipo, a matriz de transição entre índices é triangular superior [48].

Como suprarreferido no Capítulo 3 o índice de condição da linha não pode melhorar sem se

efetuar alguma ação de manutenção ou reparação. Esta situação corresponde a um fenómeno

de não regressão, pelo que o modelo tipo esquerda-direita serão recomendado para o caso em

questão.

4.4 Problemas básicos do Modelo de Markov Oculto

Os seguintes problemas base do HMM têm de ser resolvidos:

Problema da descodificação: Dado um modelo e uma sucessão de observações, qual

é a probabilidade dessas observações terem sido geradas pelo modelo? A solução

para este problema pode ser encontrada através do algoritmo forward-backward [50]

[53].

Problema da aprendizagem: Dado um modelo e uma sucessão de observações, quais

deveriam ser os parâmetros do modelo, de modo a tornar máxima a probabilidade

de gerar tal sucessão? A solução para este problema pode ser encontrada através do

algoritmo de Baum-Welch [50] [53].

Figura 4.1 – Modelo completamente conectado [53]. Figura 4.2 – Modelo esquerda-direita [53].



4.4.1 O problema da descodificação

O problema da descodificação pode também ser visto como um problema de “ajuste”. Ou

seja, dada uma sequência de observações, pretende-se determinar o quanto a sequência se ajusta

a determinado modelo [50]. Por exemplo, considerando o caso na qual se deve tentar escolher

um modelo entre vários, a solução desse problema permite escolher o modelo que melhor

corresponde às observações [48] [53].

A forma mais trivial de calcular a probabilidade de determinada sequência de observações

ter sido gerada por um modelo (𝑃(𝑂|𝜆)), é através da verificação de todas as sequências de

índices de tamanho 𝑇 possíveis. Posteriormente, determina-se a probabilidade de 𝑂 ter sido

criada pelos respetivos índices dessas sequências 𝑄. Assim, a probabilidade da sequência 𝑂 ter

sido gerada pelos índices da sequência 𝑄 no modelo 𝜆 é descrita pela equação 4.7 e 4.8 [51],

𝑃(𝑂|𝜆) = ∑𝑃(𝑂, 𝑄|𝜆) = ∑𝑃(𝑂|𝑄, 𝜆) ∗ 𝑃(𝑄, 𝜆)

𝑄𝑄

(4.7)

𝑃(𝑂|𝜆) = ∑ 𝜋𝑞1𝑏𝑞1(𝑂1)𝑎𝑞1𝑞2𝑏𝑞2(𝑂2)…𝑎𝑞𝑇−1𝑞𝑇𝑏𝑞𝑇(𝑂𝑇)

𝑞1,𝑞2,…𝑞𝑇

(4.8)

Sabe-se que cada produto da equação 4.8 realiza implicitamente 2𝑇 − 1 multiplicações para

cada sequência de índices. Desta forma, para realizar o cálculo de 𝑃(𝑂|𝜆) através das equações

anteriores são necessárias 𝑁𝑇(2𝑇 − 1) multiplicações e 𝑁𝑇-1 somas, tornando o processo

computacionalmente impraticável [51].

O problema soluciona-se de modo eficaz através de dois métodos independentes, forward

(𝛼) e backward (𝛽). Estes utilizam a técnica de programação dinâmica para calcular

eficientemente os valores que são necessários [48] [51] [53].

A variável forward 𝛼𝑡(𝑖) indica a probabilidade da sequência de observações parciais

𝑜1, 𝑜2, … , 𝑜𝑇, no tempo 𝑇 esteja no índice 𝑖, dado 𝜆 de acordo com a equação 4.9,

𝛼𝑡(𝑖) = 𝑃(𝑜1, 𝑜2, … , 𝑜𝑡, 𝑞𝑡 = 𝑖|𝜆) (4.9)



O algoritmo forward dedica-se à obtenção de 𝑃(𝑂|𝜆), sendo descrito por operações dadas

pelas três equações 4.10, 4.11 e 4.12 [54].

Inicialização

𝛼1(𝑖) = 𝜋𝑖 ∗ 𝑏𝑖(𝑜1), 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (4.10)

Indução

𝛼𝑡+1(𝑗) = [∑𝛼𝑡(𝑖). 𝑎𝑖𝑗

𝑁

𝑖=1

] 𝑏𝑗(𝑜𝑡+1), 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 − 1 𝑒 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑁 (4.11)

Terminação

𝑃(𝑂|𝜆) = ∑𝛼𝑇(𝑖)

𝑁

𝑖=1

(4.12)

Em alternativa, outro modo de obtenção da probabilidade desejada, é através do

procedimento backward, representado pela variável 𝛽 de acordo com a equação 4.13,

𝛽𝑡(𝑗) = 𝑃(𝑂𝑡+1𝑂𝑡+2 …𝑂𝑇|𝑞𝑡 = 𝑆𝑗, 𝜆) (4.13)

O algoritmo backward, também dedica-se à obtenção de 𝑃(𝑂|𝜆), sendo descrita pelas três

equações 4.14, 4.15 e 4.16 [54].

Inicialização

𝛽𝑇(𝑖) = 1, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (4.14)

Indução

𝛽𝑡(𝑖) = ∑𝑎𝑖𝑗𝑏𝑗(𝑜𝑡+1)𝛽𝑡+1(𝑗)

𝑁

𝑗=1

, 𝑡 = 𝑇 − 1, 𝑇 − 2, . .1 𝑒 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 (4.15)

Terminação

𝑃(𝑂|𝜆) = ∑𝜋𝑖𝑏𝑖(𝑜1). 𝛽1(𝑖)

𝑁

𝑖=1

(4.16)

Contudo, os procedimentos forward e backward são independentes e apenas uma das

variáveis (𝛼 ou 𝛽) será necessária para solucionar a incógnita em avaliação [51].



4.4.2 O problema da aprendizagem

O problema mais difícil dos HMMs é determinar um método para ajustar os parâmetros do

modelo 𝜆 = (𝐴, 𝐵, 𝜋) de modo a satisfazer um determinado critério de otimização. Não se

conhece nenhum método analítico que permita uma maximização global, da probabilidade de

ocorrência da sequência observável para todos os parâmetros do modelo [50]. No entanto, é

possível escolher o modelo onde a sua probabilidade seja localmente maximizada através de

um procedimento iterativo [51].

Esse procedimento é denominado Baum-Welch, baseado no algoritmo EM - Expectation-

Maximization, aplicada aos modelos de Markov ocultos. Antes de se descrever o método para

recalcular os parâmetros do HMM, é interessante a definição de variáveis que sejam utilizadas

no algoritmo Baum-Welch. Define-se a variável 𝜉𝑡(𝑖, 𝑗) como sendo a probabilidade de estar no

índice 𝑖 no tempo 𝑡 e transitar para o índice 𝑗 no tempo 𝑡 + 1, dado o modelo e a sequência de

observações, resultando na equação 4.17 [48] [51] [53],

𝜉𝑡(𝑖, 𝑗) = 𝑃(𝑞𝑡 = 𝑖, 𝑞𝑡+1 = 𝑗 |𝑂, 𝜆) (4.17)

Recorrendo as definições das variáveis forward e backward, a equação 4.17 pode ser

reescrita numa nova equação 4.18,

𝜉𝑡(𝑖, 𝑗) =

𝛼𝑡(𝑖). 𝑎𝑖𝑗. 𝑏𝑗(𝑜𝑡+1). 𝛽𝑡+1(𝑗)

𝑃(𝑂|𝜆)=

𝛼𝑡(𝑖). 𝑎𝑖𝑗. 𝑏𝑗(𝑜𝑡+1). 𝛽𝑡+1(𝑗)

∑ ∑ 𝛼𝑡(𝑖). 𝑎𝑖𝑗 . 𝑏𝑗(𝑜𝑡+1). 𝛽𝑡+1(𝑗)𝑁𝑗=1

𝑁𝑖=1

(4.18)

Outra variável a ter em conta é 𝛾𝑡(𝑖), e define-se como sendo a probabilidade de estar no

índice 𝑖 no instante t de acordo com a equação 4.19.

𝛾𝑡(𝑖) = 𝑃(𝑞𝑡 = 𝑖 |𝑂, 𝜆) (4.19)

Como anteriormente a equação 4.19 também pode ser reescrita em função das variáveis

forward e backward, obtendo-se a equação 4.20,

𝛾𝑡(𝑖) =

𝛼𝑡(𝑖). 𝛽𝑡(𝑖)

𝑃(𝑂|𝜆)=

𝛼𝑡(𝑖). 𝛽𝑡(𝑖)

∑ 𝛼𝑡(𝑖). 𝛽𝑡(𝑖)𝑁𝑖=1

(4.20)



Pode-se, ainda, relacionar as variáveis 𝜉 e 𝛾 obtendo-se a equação 4.21,

𝛾𝑡(𝑖) = ∑𝜉𝑡(𝑖, 𝑗)

𝑁

𝑗=1

(4.21)

Neste sentido, observa-se que a probabilidade de transição do índice 𝑖 para 𝑗 na sequência

de observações é o somatório das probabilidades de estar em cada instante da observação no

índice 𝑖 e transitar para o índice 𝑗, resultando na equação 4.22. A probabilidade de estar no

índice 𝑖 e transitar para um índice qualquer é descrita pela equação 4.23 [51].

∑ 𝜉𝑡(𝑖, 𝑗)

𝑇−1

𝑡=1

(4.22)

∑ 𝛾𝑡(𝑖)

𝑇−1

𝑡=1

(4.23)

Com as variáveis definidas, os parâmetros 𝜋, 𝐴 e 𝐵 do HMM são recalculados pelas

equações, 4.24, 4.25, 4.26 e 4.27.

𝜋�̅� =probabilidade de estar no estado 𝑖 no instante 𝑡 = 1

�̅�𝑖𝑗 =número de transições do estado i para o estado j

número de transições do estado i para qualquer estado (4.24)

�̅�𝑖𝑗 =

∑ 𝜉𝑡(𝑖, 𝑗)𝑇−1𝑡=1

∑ 𝛾𝑡(𝑖)𝑇−1𝑡=1

(4.25)

�̅�𝑖(𝑘) =número de vezes no estado i com o símbolo vk

número de vezes no estado i (4.26)

�̅�𝑖(𝑘) =

∑ 𝛾𝑡(𝑖)𝑇𝑡=1

𝑜𝑡=𝑣𝑘

∑ 𝛾𝑡(𝑖)𝑇𝑡=1

(4.27)

Um HMM inicial é definido por 𝜆 = (𝐴, 𝐵, 𝜋) e seu modelo recalculado por �̅� = (�̅�, �̅�, �̅�).

Baum provou que se o modelo inicial 𝜆 está no ponto crítico de função de probabilidade, neste

caso �̅� = 𝜆. Caso o modelo �̅� é mais promissor que o modelo 𝜆, porque 𝑃(𝑂|�̅�) > 𝑃(𝑂|𝜆),

então é encontrado um novo modelo �̅� na qual a sequência de observações é mais provável [53].

O algoritmo Baum-Welch realiza diversas iterações sobre a sequência de observações

fornecidas, com o intuito de recalcular os parâmetros dos modelos de Markov ocultos com base

nas variáveis iniciais. Para terminar ao recalcular, deve ser estabelecido um critério de paragem



para o algoritmo, como exemplo, a tolerância que os valores dos parâmetros de uma iteração

para a outra [51].

Como o algoritmo Baum-Welch só encontra um valor máximo local e não global, um detalhe

importante em sua utilização para a recalcular os parâmetros de 𝜆 é a configuração inicial do

modelo, ou seja, o ponto de partida do algoritmo. Uma escolha inicial inadequada pode resultar

num máximo local muito distante do máximo global e, consequentemente, um modelo

incoerente [55].

4.5 Aplicação

Para aplicar o modelo teoricamente descrito, recorreu-se a uma toolbox já existente no

MatLab® sobre Hidden Markov Models (HMM). Esta integra duas funções que permitem a

aplicação dos HMM. A função “hmmtrain”, estima as probabilidades de transição e emissão

para um modelo oculto de Markov usando o algoritmo de Baum-Welch, enquanto a função

“hmmgenerate”, tendo os parâmetros do HMM definidos, é utilizada para gerar as sequências

de observações. No entanto estas funções não permitem alterar o índice de condição inicial (𝜋).

Para tal utiliza-se outra toolbox denominada “Hidden Markov Model (HMM) Toolbox for

MatLab”, permitindo alterar 𝜋.

Apesar de recorrer a essas funções, é necessário introduzir três parâmetros, são eles a matriz

de transição (𝐴), a matriz dos estados observados (𝐵) e a sequência de observações. As

matrizes 𝐴 e 𝐵 correspondem a configuração inicial pois a função “hmmtrain” recorre ao

algoritmo de Baum-Welch e recalcula as melhores matrizes que se ajustam à sequência de

observações introduzida.

Na tentativa de obter o modelo 𝜆 e tendo em conta a importância dos valores iniciais já

referidos, utiliza-se a matriz de transição da equação 3.22. Esta matriz corresponde ao modelo

de Markov em tempo discreto do capítulo 3 e como o modelo de Markov oculto é em tempo

discreto é adequada para a configuração inicial. Caso seja utilizada a matriz de transição

correspondente ao modelo de Markov em tempo continuo as parcelas da matriz iguais a zero,

durante o processo de cálculo pelo algoritmo de Baum-Welch, irão manter-se inalteradas.



Em relação a matriz 𝐵 o editor da função “hmmtrain” recomenda, caso não seja calculada,

que os elementos da matriz sejam todos iguais. Isto é, como existe 6 índices de condição essa

condição resulta na seguinte equação 4.28,

𝐵∆𝑡=3 =

[ 1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6]

(4.28)

E, a matriz 𝐴 de acordo com a equação 4.29,

𝐴∆𝑡=3 =

[ 0.815 0.162 0.008 0.0010 0.002 0.004

0 0.904 0.077 0.014 0.004 0.0010 0 0.821 0.157 0.006 0.0170 0 0 0.894 0.088 0.0180 0 0 0 0.967 0.0330 0 0 0 0 1 ]

(4.29)

As matrizes 4.28 e 4.29 permitem definir a configuração inicial para a função “hmmtrain”,

permitindo reduzir o número de iterações. Por sua vez, a equação 4.29 incorpora termos

equivalentes a zero e irão manter-se, permitindo garantir o HMM do tipo esquerda-direita.

A sequência de observações é composta pelos índices obtidos das inspeções referentes ao

parâmetro geométrico do alinhamento.

Introduzindo os parâmetros já definidos, a função “hmmtrain” devolve as matrizes 𝐴 da

equação 4.30 e 𝐵 da equação 4.31, que segundo a própria função melhor se ajustam às

sequências de observações.

𝐴∆𝑡=3𝑜𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜=

[ 0.912 0.026 0.011 0.038 0.007 0.006

0 0.971 1 ∗ 10−6 0.029 1 ∗ 10−33 9 ∗ 10−58

0 0 0.759 0.241 3 ∗ 10−8 5 ∗ 10−30

0 0 0 0.971 0.027 0.0020 0 0 0 0.958 0.0420 0 0 0 0 1 ]

(4.30)



𝐵∆𝑡=3𝑜𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜=

[ 0.938 0.057 0.003 0.002 0 00.359 0.611 0.013 0.013 0.05 0

0 0.513 0.017 0.327 0.09 0.0540.012 0.981 0.005 0.001 0 0

0 0.422 0.494 0.082 0.003 00.056 0.029 0.148 0.627 0.06 0.081]

(4.31)

O algoritmo Baum-Welch como referido anteriormente recorre ao algoritmo EM

(Expectation-Maximisation). A função devolve a verosimilhança do modelo, sendo esta de

– 1782.85.

Depois das matrizes 𝐴 e 𝐵 serem obtidas, os problemas da descodificação e aprendizagem

foram resolvidos pois os parâmetros do HMM já se encontram definidos. Por conseguinte, é

então necessário analisar a evolução do índice de degradação no tempo, recorrendo à segunda

função “hmmgenerate”.

No sentido de observar essa evolução, são gerados 10000 sequências de observações dos

índices, provenientes de 100 inspeções correspondendo a 30 anos em estudo. Por fim,

calcula-se a média dessas sequências sendo possível observar na Figura 4.3 a evolução do índice

de condição para o parâmetro o alinhamento.

Figura 4.3 – Degradação do índice de condição de uma linha férrea em 30 anos.

0

1

2

3

4

5

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)



A toolbox permite examinar sobre a evolução das probabilidades dos índices no tempo

através da função “hmmdecode”, resultando na Figura 4.4.

Pela Figura 4.4 observa-se que a probabilidade do índice inicial decresce continuamente ao

longo dos meses, atingindo uma probabilidade nula ao fim de 200 meses. Todas as

probabilidades, à exceção da P00 e P05, apresentam uma tendência de subida até determinado

ponto, começando gradualmente depois a diminuir. Em relação ao P05 verifica-se um aumento

contínuo da probabilidade de transição do índice 0 para 5 ao longo do tempo tendendo para 1.

No sentido de obter a curva média, recorre-se a segunda toolbox e utiliza-se o parâmetro 𝜋

da equação 4.32 obtendo-se a curva média na Figura 4.5.

𝜋(0) = [0.17 0.45 0.18 0.16 0.02 0.02] (4.32)

Figura 4.4 – Evolução da probabilidade no tempo.

Figura 4.5 – Previsão do desempenho da linha o alinhamento.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Pro

bab

ilid

ades

Tempo (meses)

P00

P01

P02

P03

P04

P05

0

1

2

3

4

5

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)



A aplicação do modelo de Markov oculto apenas foi realizada para o parâmetro do

alinhamento, pois a matriz 𝑃 em tempo discreto do parâmetro nivelamento longitudinal não

contém informação das transições dos índices de condição 4 e 5. Significa que o valor das linhas

dos índices de condição 4 e 5 da matriz 𝑃 são zeros.

4.6 Conclusões

A criação de uma modelo de desempenho através dos modelos de Markov ocultos, necessita

conhecimento sobre os parâmetros e variáveis que são necessários para uma perceção da sua

aplicação.

Sabe-se que um modelo HMM é definido principalmente pelas matrizes 𝐴 e 𝐵 e o vetor 𝜋.

Fez-se também referência a dois problemas dos HMM a descodificação e a aprendizagem que

abordam os algoritmos forward-backward e Baum-Welch.

Utilizaram-se as funções disponíveis na toolbox incorporadas no MatLab®,para aplicação

dos HMM “hmmtrain”,“hmmgenerate” e “hmmdecode”. As funções apenas consegue gerar

sequências com índice inicial igual a 1 no MatLab® (neste caso 0). Obtendo-se na Figura 4.3 a

curva sobre a evolução do desempenho da linha referente ao parâmetro geométrico

alinhamento. Este gráfico analisa a evolução do índice num período de 30 anos. Devidas as

limitações das funções existentes no MatLab® sobre o vetor probabilidade inicial (𝜋) , foi

necessário uma segunda toolbox, permitindo determinar a curva de desempenho para o caso

real.

A função “hmmdecode” possibilitou obter o gráfico da Figura 4.4 sobre a evolução das

probabilidades de índices de condição, e consequentemente observar algumas semelhanças com

o modelo Markov em tempo contínuo.

Capítulo 5 – Ações de Manutenção e Reparação


5 Capítulo 5

Ações de Manutenção e Reparação

5.1 Introdução

As infraestruturas ferroviárias representam um elevado investimento, desenhadas para

trabalhar em condições de segurança exigentes e baixa ocorrência de problemas de

deterioração. Estes problemas dependem das características da infraestrutura, do tráfego de

comboios e dos planos de manutenção utilizados. Os planos de manutenção devem ser traçados

e a ocorrência de problemas de degradação deve ser previstos para que as vias se mantenham

num nível aceitável de funcionamento e conforto. Ações de manutenção ligadas a estes

problemas representam custos que são de difícil previsão na altura da construção da

infraestrutura, logo são necessários métodos para a previsão da sua ocorrência [15].

O objetivo principal da manutenção, após construção da linha férrea, é a garantia das

qualidades geométricas da linha e do estado dos materiais, de forma a permitir um nível de

segurança e conforto, nos limites admissíveis da tolerância.

Um modelo de previsão do desempenho associado a um algoritmo otimizado permite o

planeamento das intervenções a realizar nas estruturas. Desta forma, é possível controlar os

custos de manutenção, minimizar as interrupções de tráfego e garantir a segurança dos

utilizadores [15].

Este capítulo descreve inicialmente a forma de modelar as ações de manutenção preventivas

e corretiva, considerando a modelação Markoviana que foi descrita nos capítulos anteriores.

Para tal, foram criados cenários de ações de manutenção, de forma a exemplificar o seu efeito

no índice de condição no tempo. Em segundo lugar é possível visualizar uma estratégia de ações

de manutenção aplicada à rede ferroviária. Por último é feita uma análise à evolução dos

diversos índices de condição no tempo.



5.2 Tipos de ações de manutenção

As ações de manutenção podem ser baseadas no tempo ou no índice de condição,

dependendo do tipo de aplicação. A aplicação de ações baseadas no tempo estão sujeitas a um

agendamento pré estabelecido independentemente do índice de condição da estrutura nesse

período. As ações de manutenção baseadas no índice de condição são aplicadas somente,

quando as estruturas atingem um índice considerado inaceitável, ao ponto de ser requerida a

respetiva ação [41].

As ações de manutenção podem ser classificadas como preventivas ou corretivas de acordo

com o seu efeito no modelo de desempenho da linha férrea [15] [41] [47].

A manutenção preventiva ocorre de uma forma cíclica e programada, necessitando de uma

elevada concentração de recursos e meios mecânicos de grande porte. É realizada em intervalos

fixos de tempo, independentemente do material em análise estar, ou não, num valor crítico de

desgaste. Como consequência, os planos de manutenção preventivos podem originar resultados

inferiores aos esperados e tornar dispendiosa a manutenção. A realização em excesso de ações

de correção da geometria da linha férrea provoca a degradação prematura do balastro. Por esta

razão é importante determinar o momento adequado de intervenção antes do sistema falhar [47].

As ações de carácter preventivo são usualmente baseadas no tempo e resultam numa suspensão

da deterioração durante um determinado período, sem melhorar a condição da infraestrutura

[15] [41].

A manutenção corretiva é o método mais primário de conservação, dado que ocorre depois

do defeito ou degradação ter sido detetado. Nesta modalidade a intervenção é realizada, visando

a correção de uma anomalia que comprometa o desempenho do sistema e atuando

principalmente na geometria da linha. Paralelamente são corrigidos alguns defeitos do material.

O objetivo é deixar a linha em bom estado, de forma a retardar os processos de deterioração e

assegurar a segurança do comboio e a proteção do material [47]. As ações de manutenção

corretivas podem ser baseadas no tempo ou no estado. Contudo, são geralmente baseadas no

estado e têm um impacto mais significativo no desempenho da estrutura, incutindo uma efetiva

melhoria no seu desempenho [15] [41].



5.2.1 Manutenção preventiva baseada no tempo

Na manutenção preventiva baseada no tempo (Figura 5.1), quatro variáveis devem ser

definidas para a elaboração de um modelo, são estas [35]:

o tempo da primeira aplicação de manutenção (𝑡𝑝𝑎);

o intervalo de tempo entre aplicações (∆𝑡𝑎);

o tempo de duração das aplicações (𝑡𝑑𝑎);

e o fator de redução da deterioração (𝛿).

Considere-se, a título de exemplo, uma linha férrea nova na qual a qualidade geométrica do

alinhamento esta ótima, ou seja, o índice de condição é igual a 0. Efetuou-se a previsão do

desempenho num modelo com 6 diferentes índices de condição, num ciclo de vida de 120

meses. Para tal, utiliza-se a equação 3.27 com taxas de transição 𝜃𝑖 da equação 3.42. O resultado

da previsão da deterioração da linha ao longo do tempo, apenas referente ao alinhamento,

encontra-se ilustrado graficamente na Figura 5.2.

Figura 5.1 – Deterioração associada à manutenção preventiva baseada no tempo [35].

Figura 5.2 – Deterioração de uma linha sobre o alinhamento ao longo do tempo.

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)



Para exemplificar a manutenção preventiva baseada no tempo, recorre-se à criação de três

cenários possíveis, como se pode observar na Tabela 5.1,

Cenário 𝐭𝐩𝐚 ∆𝐭𝐚 𝐭𝐝𝐚 𝜹

1 10 12 5 -

2 20 5 5 -

3 10 15 10 50 %

Em seguida as Figuras 5.3, 5.4 e 5.5 representam o efeito dos cenários 1, 2 e 3 aplicados na

curva da Figura 5.2:

Tabela 5.1 – Cenários possíveis de manutenção preventiva baseada no tempo.

Figura 5.3 – Deterioração da linha com existência do cenário de manutenção.

Figura 5.4 – Deterioração da linha com existência do cenário de manutenção 2.

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)



O cenário 1 interpreta uma ação aplicada 10 meses após a instalação da linha, com uma

durabilidade de 5 meses. Essa ação só deve ser repetida após 12 meses. O cenário 2, altera o

momento da primeira aplicação para 20 meses com um intervalo de tempo entre aplicações de

5 meses. O cenário 3 reduz as taxas de transição da equação 3.42 de 50 %, aplicada 10 meses

após instalação da linha e com efeito durante 10 meses e repetida após 15 meses

sucessivamente.

A Figura 5.3 ilustra o efeito da ação proposta no cenário 1 e verificam-se intervalos de 5

meses onde o índice de condição permanece constante.

Na formulação de Markov, estes cenários são interpretados pela transformação de uma

matriz intensidade numa matriz identidade, permitindo manter, durante o tempo 𝑡𝑑𝑎 o índice de

condição adquirido no momento da aplicação da ação de manutenção. Por exemplo, na primeira

aplicação da ação de manutenção, Figura 5.3, o índice de condição é 1 que corresponde ao vetor

de probabilidade da equação 5.1.

𝑝(𝑡 = 10) = [0.29 0.50 0.14 0.06 0.01 0] (5.1)

Então, a matriz 𝑃 a utilizar, é uma matriz identidade para qualquer intervalo de tempo entre

o momento da aplicação e o tempo de duração da aplicação. O índice de condição ao longo da

duração da aplicação, calcula-se pela equação 5.2.

𝐶(𝑡=[10−15]) =

[ 0.290.500.140.060.010 ]

𝑇

∗

[ 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1]

∗

[ 012345]

= 1 (5.2)


0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)



Desta forma o índice de condição não altera ao longo do efeito da manutenção preventiva.

Na Figura 5.4, o cenário 2 demonstra que ao igualar o intervalo de tempo entre aplicação e

o tempo de duração de cada aplicação (∆𝑡𝑎 = 𝑡𝑑𝑎), o índice de condição mantém-se, como é

observável gráficamente com o surgimento de uma linha reta horizontal desde o instante da

primeira aplicação.

A Figura 5.5 ilustra o efeito do cenário 3 na curva de deterioração. Este cenário reduz as

taxas de transição e é calculada pela seguinte equação 5.3,

𝜃𝑖 =

[ 𝜃0

𝜃1

𝜃2

𝜃3

𝜃4]

=

[ 0.0620.0320.0670.0330.001]

∗ (1 − δ) =

[ 0.0310.0150.0290.0110.001]

(5.3)

A redução das taxas de transição 𝜃𝑖, implica a redução de probabilidade de um índice

𝑖 transitar para 𝑗 aumentando deste forma os valores da 𝑃𝑖𝑖.

5.2.2 Manutenção corretiva baseada no tempo

Na manutenção corretiva baseada no tempo (Figura 5.6), para além das variáveis 𝑡𝑝𝑎 e ∆𝑡𝑎,

surge a variável 𝐼𝑎𝑙𝑣𝑜 que indica o índice de condição que se pretende atingir no momento da

aplicação da manutenção corretiva [35].

No sentido de ilustrar este género de manutenção recorre-se a dois tipos de cenários

possíveis, apresentados na Tabela 5.2. O cenário 1 tem como o objetivo passar o índice de

condição para 0 no momento da sua aplicação, e o cenário 2 passar para 2.

Figura 5.6 – Deterioração associada à manutenção corretiva baseada no tempo [35].



Cenário 𝐭𝐩𝐚 ∆𝐭𝐚 𝐈𝐚𝐥𝐯𝐨

1 20 60 0

2 24 48 2

Aplicando os cenários da Tabela 5.2 ao exemplo obtém-se as Figuras 5.7 e 5.8 para o cenário

1 e 2 respetivamente.

Relativamente à Figura 5.7 a primeira ação de manutenção corretiva ocorre no mês 20, com

um índice de condição de 1,77 e sendo o vetor de probabilidade do índice a seguinte equação

5.4,

𝑝(𝑡 = 𝑡𝑝𝑎) = [0.09 0.41 0.21 0.22 0.07 0] (5.4)

Tabela 5.2 – Cenários possíveis de manutenção corretiva baseada no tempo.



0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)



O cenário 1 tem como objetivo alterar o índice de condição para 0. Desta forma, o índice

não deve ser superior a 0 no momento de atuação da ação, obrigando à alteração do vetor de

probabilidade do índice. Deste modo, o vetor probabilidade deve ser igual a equação 5.5,

resultando num índice 0 conforme a equação 5.6,

𝑝(𝑡 = 10) = [1 0 0 0 0 0] (5.5)

𝐶𝑡=10 = [1 0 0 0 0 0] ∗

[ 012345]

= 0 (5.6)

Através da equação 5.6, verifica-se que o índice alvo é conseguido.

No entanto, para um cenário onde o índice alvo (𝐼𝑎𝑙𝑣𝑜) é superior a 0, o vetor de

probabilidade do índice é diferente da equação 5.5.

Observa-se na Figura 5.8, que a ocorrência da ação de manutenção corretiva com índice de

condição alvo igual a 2 no momento da ação, a curva não se encontra exatamente neste valor.

O processo é feito num âmbito probabilístico e, análogamente ao exemplo anterior, o índice

de condição não será igual a 2, pois são apenas transferidas para o índice de condição alvo as

probabilidades referentes aos melhores índices de condição. O índice alvo (𝐼𝑎𝑙𝑣𝑜) é de 2, logo

os índices de condição que identificam uma melhoria da linha são 0 e 1. No momento da

segunda aplicação do cenário 1 o vetor probabilidade do índice corresponde a equação 5.7,

𝑝(𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 = 72) = [0 0.02 0.03 0.25 0.67 0.03] (5.7)

A obtenção do novo vetor probabilidade do índice consiste em alterar as parcelas referentes

as probabilidades de índices superiores a 2 para 0 e verificar a condição da equação 3.5. A

equação 3.5 obriga o somatório da linha que seja igual à 1. Desta forma o vetor probabilidade

resulta na seguinte equação 5.8,

𝑝(𝑡𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 = 72) = [0 0.02 0.98 0 0 0] (5.8)

Comparando as equações 5.7 e 5.8, as parcelas das probabilidades dos índices 0 (0) e 1

(0,02) são iguais nas duas equações. Os valores referentes as probabilidade dos índices 3, 4 e 5



são alterados para 0.No sentido do vetor probabilidade verificar a condição da equação 3.5 o

valor relativo a probabilidade do índice 2 é obtido pela equação 5.9,

𝑝(𝑡𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 = 72)(2) = 1 − 0 − 0.02 = 0.98 (5.9)

5.2.3 Manutenção corretiva baseada no índice

Na manutenção corretiva no estado, não existem variáveis temporais que definam o instante

na qual uma ação de manutenção é aplicada. Apenas é necessário definir o índice de condição

a partir do qual se pretende reabilitar a estrutura (𝐼𝑟𝑒𝑎𝑏) e definir o respetivo índice alvo para

qual esta é reabilitada (𝐼𝑎𝑙𝑣𝑜) [41].

Para exemplificar este tipo de manutenção recorre-se a dois cenários possíveis sugeridos na

Tabela 5.3.

Cenário 𝐈𝐫𝐞𝐚𝐛 𝐈𝐚𝐥𝐯𝐨

1 3 1

2 4 1

O cenário 1 implica que ao chegar ao índice de condição 3, a linha férrea seja reabilitada

para o índice 1. Analisando o exemplo utilizado anteriormente, sabe-se que a linha tem um

índice inicial 0 e a deterioração da linha aumenta ao longo do tempo, logo aumenta a

probabilidade de transitar para os demais índices de condição. Portanto, quando a probabilidade

da linha férrea se encontra no índice 3 é maior que 0, a ação de manutenção tem efeito e melhora

o índice para 1. Isto obriga a que o processo de atuação deste modelo de manutenção seja

contínuo.

O cenário 2 tem um índice alvo igual ao primeiro. No entanto, o índice de reabilitação é de

4. Neste caso o índice médio da linha férrea é alterado. A Figura 5.9 ilustra os dois cenários.

Tabela 5.3 – Cenários possíveis de manutenção corretiva baseada no estado.



Analisando a Figura 5.9, a ação 1 leva a que o índice de condição estabilize num valor de

1,34, permanecendo assim até ao final do seu ciclo de vida. No entanto a ação 2 estabiliza num

índice de condição de 2,14, devendo-se ao facto dos índices de reabilitação (𝐼𝑟𝑒𝑎𝑏) serem

diferentes.

O valor dos índices de condição a partir do qual se pretende reabilitar afeta fortemente o

vetor probabilístico do índice. No cenário 1 o índice para reabilitação é de 3 tornando o vetor

probabilidade do índice com valores nulos para os índices 4 e 5, mas no caso do cenário 2

apenas no índice 5 essa probabilidade é nula.

No cenário 1, a ação apenas é aplicada caso os valores do vetor de probabilidade relativos

aos índices de condição superiores a 3 sejam diferentes de 0. Na curva de deterioração da Figura

5.2 as parcelas do vetor probabilidade do índice de condição superiores a 3 são diferentes de 0

após 19 meses. Para perceção do calculo determina-se os índices quanto 𝑡 = 19 e 𝑡 = 20.

O vetor probabilidade do índice em 𝑡 = 19 corresponde a seguinte equação 5.10,

𝑝(𝑡 = 19) = [0.10 0.63 0.25 0 0 0] (5.10)

Se a ação do cenário 1 não é aplicada quanto 𝑡 = 20 o vetor probabilidade do índice

corresponde a equação 5.11.

𝑝(𝑡 = 20) = [0.10 0.61 0.26 0.03 0 0] (5.11)

Observa-se que a parcela da probabilidade do índice ser 3 é diferente de 0. Tendo em conta

o cenário 1 e 𝐼𝑟𝑒𝑎𝑏 = 3, a ação corretiva baseada no índice deve ocorrer neste instante 𝑡 = 20.

Figura 5.9 – Deterioração da linha com existência dos cenários de manutenção 1 e 2.

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

Cenário 1

Cenário 2



O processo é feito num âmbito probabilístico como no exemplo da manutenção corretiva

baseada no tempo. O novo vetor probabilidade do índice resulta na equação 5.12.

𝑝(𝑡 = 20) = [0.10 0.64 0.26 0 0 0] (5.12)

Comparando as equações 5.11 e 5.12 à parcela referente a probabilidade do índice 3 é

alterada para 3. No entanto como para o caso das manutenções corretivas baseadas no tempo o

vetor probabilidade deve verificar a condição da equação 3.5. A diferença relativamente a

manutenção corretiva no tempo, consiste que apenas a parcela do índice 𝐼𝑎𝑙𝑣𝑜 é alterada, não

modificando neste cenário as parcelas de probabilidade do índice 0 e 3.

Para verificar a condição da equação 3.5 no vetor probabilidade a parcela do índice 1 é

obtido pela equação 5.13.

𝑝(𝑡 = 20)(2) = 1 − 0.1 − 0.26 = 0.64 (5.13)

Após exemplificação, é fácil a perceção do efeito desta ação sobre a modelação Markoviana.

5.3 Exemplo de aplicação numa linha férrea

No capítulo anterior fez-se uma previsão do desempenho médio, importa agora no âmbito

deste capítulo realizar um estudo do efeito de determinadas ações sobre a mesma curva.

Através de uma revisão bibliográfica, várias ações de manutenção podem ser aplicadas às

infraestruturas ferroviárias. Opta-se entre uma ação de manutenção preventiva e outra corretiva,

no sentido de estudar a influência na rede ferroviária.

Como exemplo de ação de manutenção preventiva, recorre-se a nivelamentos e

alinhamentos pontuais. Esta ação refere-se ao nivelamento da via e ao alinhamento da via

referidos nas manutenções do capítulo 2. Os nivelamentos pontuais do carril ou das juntas

pretendem restituir as alturas dos carris ou das juntas para as quais foram projetadas [35] e

alinhamentos pontuais à correção em planta do traçado. Para tal, utilizam-se meios mecânicos

ligeiros [30].

Uma ação de manutenção corretiva considera o ataque mecânico pesado da via. Esta

atividade consiste na vibração do balastro e à reposição do carril, que visam restabelecer as



condições geométricas iniciais da via [35]. Esta ação corresponde as ações descritas na

reparação no capítulo 2.

A análise é elaborada para um horizonte de 180 meses sendo os efeitos das ações

apresentadas na Tabela 5.4. São sugeridas duas ações sendo a primeira de manutenção

preventiva baseada no tempo e a segunda corretiva baseada no tempo.

ID Ações de manutenção 𝐭𝐩𝐚 𝐭𝐝𝐚 ∆𝐭𝐚 𝐈𝐫𝐞𝐚𝐛 𝐈𝐚𝐥𝐯𝐨

1 Nivelamentos e alinhamentos pontuais 6 3 6 - -

2 Ataque mecânico pesado 60 - 60 - 0

5.3.1 Análise da evolução do índice de condição da linha férrea

A Figura 5.10 ilustra gráficamente a evolução da deterioração em termos de índice de

condição da linha, sem ações de manutenção, com aplicação da ação 1 e aplicação da ação 2.

Observa-se, na evolução da deterioração com aplicação da ação de manutenção preventiva uma

coincidência na parte inicial até à primeira ação ser executada distinguindo-se, a partir daí, a

evolução do índice de condição relativamente às duas situações.

A aplicação da ação 1, preventiva, estagna a deterioração por 3 meses, cada vez que é

aplicada, visível na Figura 5.10. Observa-se na curva da ação 1 que aproximando-se do fim do

tempo de estudo, a diferença entre a mesma e a curva sem manutenção é de cerca 0,2. Esta

situação indica que o planeamento a longo prazo desta ação preventiva pode não ter uma

substancial interferência na preservação do índice de condição da linha férrea. O uso desta

Tabela 5.4 – Ações de manutenção aplicadas à linha férrea.

Figura 5.10 – Deterioração da linha sem ações de manutenção e com aplicação das ações de manutenção separadas

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

Curva de deterioração semmanutenção

Curva de deterioração comaplicação da ação 1

Curva de deterioração comaplicação da ação 2



manutenção ao longo da vida útil da linha, não oferece as suficientes garantias ao gestor da

linha uma vez que não evita que o índice seja superior a 3 após 50 anos.

A aplicação da ação 2 ocorre todos os 5 anos (60 meses), devolvendo à linha férrea as suas

condições iniciais (índice de condição 0). Como tal, observando o gráfico da Figura 5.10, a

primeira aplicação ocorre aquando o índice de condição atinge o valor de 3,77. A partir da

primeira manutenção o índice volta a 0 e aumenta durante os próximos 60 meses até atingir 3,5,

voltando-se a aplicar a ação.

Tendo em vista um ótimo planeamento na gestão da linha férrea, é sensato a combinação de

estratégias de manutenção ao longo da vida útil da linha. De tal forma, devem ser utilizados as

duas ações de manutenção em simultâneo originando o gráfico da Figura 5.11.

A Figura 5.11 permite observar facilmente a diferença entre as curvas de deterioração sem

manutenção e com as duas ações de manutenção. Verifica-se um índice de condição após a

primeira aplicação das ações em simultâneo um valor índice de condição máximo de 2,5. De

notar, agora com a existência da ação preventiva, que o tempo entre aplicações sucessivas (∆𝑡𝑎)

da ação de manutenção corretiva pode ser aumentado, pois o valor do índice de condição não é

superior a 3 na exceção da primeira aplicação. Este conjunto de ações possibilita a não obtenção

de valores de índices superiores a 3 permitindo a linha férrea não entrar num nível de ação

imediata.

Tendo já definidos os dois modelos Markov, oculto e em tempo contínuo, aplica-se o efeito

em simultâneo das ações nas curvas médias obtendo a Figura 5.12.

Figura 5.11 – Deterioração da linha sem existência de ações de manutenção e com ambas ações de manutenção.

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

Curva de deterioração semmanutenção

Curva de deterioração comas duas ações demanutenção



Pela Figura 5.12, os HMM sujeitos ao efeito das ações combinadas apresentam valores

inferiores comparados com os Markov em tempo contínuos. Logo aquando a ocorrência das

ações de manutenção no caso dos HMM o valor do índice não ultrapassara 2 contrariamente

aos Markov contínuos.

5.3.2 Análise da evolução probabilística dos diversos índices de condição

Uma análise é feita sobre as probabilidades de transição dos índices no sentido de observar

o efeito das ações de manutenção sobre a evolução das probabilidades dos índices. Como foi já

referido no capítulo 3, a linha férrea tem como índice de condição médio 1,473, obtendo-se um

vetor de probabilidades inicial da expressão 5.14.

𝑝(𝑡𝑜) = [0.17 0.45 0.18 0.16 0.02 0.02] (5.14)

Para perceber o efeito das ações de manutenção é ilustrada na Figura 5.13 a evolução

probabilística dos diversos índices de condição sem ocorrência de nenhuma manutenção.

Figura 5.12 – Comparação da deterioração da Linha com ações de manutenções atuando, calculadas pelos HMM e os

Markov contínuos.

Figura 5.13 – Evolução das probabilidades dos índices de condição sem ocorrência de ações de manutenção.

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Pro

bab

ilid

ade

Tempo (meses)

Índice de Condição 0






0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Índ

ice

de

Qu

alid

ade

Tempo (meses)

Curva de deterioraçãoHMM com as duas açõesde manutenção

Curva de deterioraçãoMTC com as duas açõesde manutenção



Constata-se a evolução de índices semelhantes ao já identificado no capítulo 3. Uma

tendência natural ao longo do tempo de uma convergência rápida para a extinção das

probabilidades dos índices 0, 1, 2, 3 e 4.

O índice 5 é o índice absorvente, revela uma probabilidade sempre crescente ao longo do

tempo até estabilizar num valor máximo próximo de 1. No entanto já foi discutido no capítulo

anterior o porquê de no tempo em análise, esse valor ainda não ter sido atingido.

O efeito provocado por uma ação de manutenção preventiva é ilustrada na Figura 5.14. É

observável a influência da ação de manutenção preventiva que retarda a probabilidade de

deterioração para cada índice de condição, sempre que esta é aplicada. Comparando com a

Figura 5.13, esta ação atenua o aumento crescente da probabilidade do índice de condição 5 e

mantem em vários intervalos o mesmo valor probabilísticos dos diversos índices de condição.

Atrasando o aumento parcial dos índices de condição, cuja evolução é decrescente.

Constata-se, com a existência desta ação, que a probabilidade de existir um índice de condição

4 não atingiu o seu valor máximo.

Na Figura 5.15 analisa-se a influência da ação corretiva que reabilita a linha todos os 60

meses para um índice igual a 0. Aquando da aplicação da ação de manutenção o índice de

condição 0 tem 100% probabilidade de ocorrer, logo, igual a 1. Em contrapartida, os outros

índices voltam a ter uma probabilidade igual a 0.

Figura 5.14 – Evolução das probabilidades dos índices de condição com ocorrência de ações de manutenção preventiva.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Pro

bab

ilid

ade

Tempo (meses)

Índice de Qualidade 0














Após análise da evolução probabilística dos vários índices de condição falta somente

verificar a evolução dos mesmos, sujeitos à ocorrência de ambas as ações ao mesmo tempo,

resultando no gráfico apresentado na Figura 5.16.

A Figura 5.16 resulta na combinação das Figuras 5.14 e 5.15 observando-se as mesmas

características referidas anteriormente.

5.4 Conclusões

Neste capítulo estudou-se o efeito das ações de manutenção e reparação na deterioração de

uma linha férrea. Os tipos de ações existentes são preventivas e corretivas, podendo ser

baseadas no tempo ou no índice.

Figura 5.15 – Evolução das probabilidades dos índices de condição com ocorrência de ações de manutenção corretiva.

Figura 5.16 – Evolução das probabilidades dos índices de condição com ocorrência das duas ações de manutenção.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180

Pro

bab

ilid

ade

Tempo (meses)













0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Pro

bab

ilid

ade

Tempo (meses)















Observou-se, gráficamente, a consequência de duas ações preventivas no tempo,

verificando-se um atraso da deterioração quando os intervalos de aplicações são superiores ao

tempo de aplicação. Durante esse tempo é evitada a deterioração do índice de condição, contudo

não se evita a sua evolução. Caso esses tempos sejam iguais no momento de aplicação da ação

o índice irá estagnar, não evoluindo a deterioração da linha. Analiticamente é correto, mas, num

caso real, existe sempre alguma degradação do material.

Estudou-se, também, como o índice de condição é influenciado por ações corretivas

baseadas no tempo e no índice. Uma ação corretiva baseada no tempo como seu nome indica

influência o momento no qual é aplicada. Nesse instante a linha é reabilitada e o índice de

condição altera para um valor alvo inferior ao atual. Constatou-se, caso o índice alvo não fosse

0, que o índice não iria altera-se para o valor alvo mas sim um valor inferior.

No caso de ações corretivas baseadas no índice o processo analítico é bastante diferente, e

o desenvolvimento do índice estagna num determinado valor. Este valor depende

essencialmente do valor probabilístico dos índices de condição. Neste género de ações não

existe parâmetros temporais mas sim de índice. Desta forma, o vetor probabilidade dos índices

irá estagnar para um determinado índice o que implica a ocorrência repetitiva desta ação de

manutenção corretiva.

Após exemplificação e explicação analítica das ações possíveis fez-se uma análise sobre o

desempenho da linha considerando as ações nivelamento e alinhamento pontuais, e ataques

mecânicos pesados. Verifica-se que duas ações de tipo diferentes, mas combinadas revelaram-

se eficazes evitando um índice de condição superior a 3.

Uma estratégia de ações de manutenção bem planeada pode efetivamente evitar a existência

de índices de condição acima de valores indesejados. Com o objetivo de se evitar atingir esses

valores pode se juntar um objetivo económico visto que o recurso a ações de manutenção

repetidas aumenta consideravelmente o custo da linha férrea.

Através de um estudo de otimização de estratégias de manutenção, de modo a obter um

menor custo sobre a linha férrea, é possível ajustar as variáveis referentes ao tempo de aplicação

da ação. Sendo estes o tempo da primeira aplicação e o intervalo entre aplicações. Esta

otimização permite determinar a estratégia de manutenção mais económica.

Conclusões e Desenvolvimentos Futuros


6 Capítulo 6


6.1 Conclusões

Esta tese contribuiu para o desenvolvimento e implementação de um modelo de previsão do

desempenho de linha férrea, recorrendo a processos de Markov. A partir dessa previsão, foi

incorporado e analisado no modelo as ações de manutenção que alterassem a evolução do índice

de condição da linha férrea. Como alternativa ao modelo de previsão, estudou-se o Modelo de

Markov oculto (HMM).

Antes da possibilidade de criar um modelo de previsão do desempenho de linha férrea é

primordial entender a linha férrea. Retratou-se no capítulo 2 a história da mesma no Mundo, a

sua evolução em Portugal, principais características dos elementos constituintes, as inspeções

a linha, os parâmetros geométricos e as ações de manutenção e reparação. Foi possível observar

qual o sistema de classificação qualitativo usado para a linha férrea. Este sistema recorre a

índices de condição obtidos pelo desvio padrão conseguindo através das inspeções. Observa-

se, na necessidade de 6 níveis de condição, a elaboração de uma nova classificação dos índices

de condição para a linha férrea.

Para criar o algoritmo do modelo de previsão do desempenho de linha férrea, foi primordial

no capítulo 3 estudar o processo de cálculo realizados nos modelos de Markov em tempo

discreto e continuo. Constata-se que a informação histórica é elemento importante, e o processo

de Markov depende essencialmente da qualidade e da quantidade dessa informação no sentido

de garantir a eficácia da previsão.

Para o caso em estudo confirma-se ter obtido um modelo de Markov em tempo contínuo de

qualidade pois a avaliação feita através do teste de ajustamento do Qui-Quadrado demonstrou

que o modelo descreve de um modo adequado os dados reais.

Na elaboração de processos de Markov existem, algumas limitações a ter em consideração,

tais como:



O índice de condição, segundo o qual é classificado o parâmetro geométrico, indica

o nível de deterioração do mesmo mas não representa os defeitos pontuais que

possam existir na linha férrea;

A classificação atribuída à linha férrea, não é obtida por métodos quantitativos mas

por inspeções visuais, sujeitas à subjetividade de cada inspetor;

A classificação do índice de condição, não considera as causas específicas da

deterioração.

Com o algoritmo definido realiza-se a determinação do desempenho da linha e constata-se

que é possível ser representado gráficamente nas Figuras 3.12 e 3.13. Através desses resultados

é possível observar a forma como evolui as probabilidades dos índices de condição, o tempo de

permanência dos vários índices de condição e a evolução do desempenho da linha permitindo

deste modo a possibilidade de estudar os efeitos das ações de manutenção e reparação no

modelo.

Apresentaram-se no capítulo 4, os modelos de Markov ocultos (HMM) como alternativa ao

modelo de Markov. O processo de desenvolvimento dos HMMS baseiam-se nos modelos de

Markov no entanto acrescenta a probabilidade de observação de cada sequência. Os parâmetros

do HMM foram determinados pelas funções do MatLab® que recorrem aos algoritmos foward-

backward e Baum-Welch. Depois de definir os parâmetros para o histórico de inspeções foi

possível criar uma curva (Figura 4.5), representando a degradação da linha férrea.

Com os resultados obtidos no capítulo 3 e 4 é possível observar as curvas de desempenho

para uma linha nova na Figura 6.1 obtida pelos 3 modelos.

Figura 6.1 – Evolução do índice de condição referente ao parâmetro alinhamento para os 3 modelos analisados.

0

1

2

3

4

5

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

Modelos Markov Ocultos Markov Contínuos Markov Discretos



Para o caso real em estudo apresenta-se a evolução do índice de condição do alinhamento

para o HMM e o processo de Markov em tempo contínuo através da Figura 6.2.

Constata-se, pelas Figura 6.1 e 6.2, que o processo de Markov em tempo contínuo apresenta

taxas de incremento superiores numa fase inicial. No entanto, essa curva exibe menores valores

após 250 meses. Considerando este histórico de inspeções, o modelo de Markov em tempo

contínuo revela uma evolução acentuada inicialmente comparada com os outros dois modelos.

Entre os modelos HMM e em tempo discreto observa-se diferença a partir dos 30 meses,

prevendo o HMM valores inferiores. Entretanto, com o decorrer do tempo, a curva dos HMM

aproxima-se dos processos de Markov em tempo discreto sendo já superior aos processos

contínuos a partir dos 228 meses.

Apesar dos modelos apresentarem curvas diferentes, a menor verosimilhança em módulo

foi obtida pelos processos de Markov contínuos. Conclui-se que são estes os que melhores se

ajustam a este historial de inspeções. Para comprovar, recorre-se a uma análise através do Qui-

Quadrado sobre o modelo HMM através das equações 3.45 e 3.46. O cálculo dos valores

expectáveis pelo HMM resultam na equação 6.1,

𝐸𝐻𝑀𝑀𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜=

[ 𝐸0

𝐸1

𝐸2

𝐸3

𝐸4

𝐸5]

=

[ 416.381319.55218.51476.8949.7027.97 ]

(6.1)

Figura 6.2 – Previsão do desempenho do caso em estudo para o alinhamento com dois modelos de Markov.

0

1

2

3

4

5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360

Índ

ice

de

Co

nd

ição

Tempo (meses)

Modelos Markov Ocultos Markov Contínuos



A partir dos resultados observados (equação 3.49) e esperados (equação 6.1) referentes ao

parâmetro geométrico analisado é possível determinar o valor da estatística do teste associada

a cada um através da equação 3.45. Obteve-se o valor de 𝑇𝑎𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 231.837. Sendo assim

de acordo com a equação 3.46, a hipótese nula não é rejeitada com um nível de significância de

5 % se os valores obtidos forem superiores a 𝜒 14∶ 0,052 = 23.685. O teste Qui-Quadrado

comprova que o modelo HMM obtido não possui distribuição teórica.

A realização da tese passou também pela incorporação de ação de manutenção e reparação

nos modelos permitindo observar o comportamento da curva de deterioração. A análise foi

realizada apenas para o parâmetro geométrico alinhamento. O nivelamento longitudinal não foi

considerado nos modelos HMM e na incorporação das ações porque o histórico não têm registos

sobre todas as transições possíveis dos índices de condição e as curvas analisadas teriam

comportamentos semelhantes ao do alinhamento.

Constatou-se que a aplicação exclusiva da ação preventiva, de modo a impedir a evolução

do índice, é uma medida insuficiente, sobretudo numa visão a longo prazo do índice de

condição. Isto porque, tendo em relevância o carácter unicamente preventivo desta ação, o

índice de condição médio surge sempre numa gama de valores demasiados altos, se nenhuma

melhoria for de facto incluída. A aplicação da ação corretiva apenas também apresenta

limitações pois permite o índice ser superior a 3 durante determinado tempo. A combinação das

duas revelou-se uma melhor situação pois a ação preventiva retarda a degradação e, ocorrendo

a ação corretiva todos os 60 meses, evita a evolução do índice para além de 3. Demonstra-se

que a combinação de ambas as ações revela-se promissor para a segurança da linha férrea,

considerando-se este parâmetro geométrico.

Para finalizar, o estudo desenvolvido nesta tese constitui um passo importante para previsão

do desempenho da linha férrea, tendo em vista a integração num possível sistema de gestão que

venha a ser elaborado em Portugal e requisite este tipo de modelos. O algoritmo elaborado nesta

dissertação (em anexo), através do software MatLab®, executa a previsão do desempenho de

qualquer índice de qualidade da linha. É possível também para o utilizador, através deste

programa, prever o comportamento das estruturas com o planeamento de quaisquer tipos de

ações de manutenção nesta tese estudadas, sejam elas preventivas, corretivas ou ambas.



6.2 Desenvolvimentos Futuros

A investigação sobre a previsão de desempenho é uma área ainda nova, havendo uma

enorme necessidade de maiores desenvolvimentos. Como perspetivas de futuras linhas de

investigação, propõe-se que sejam implementadas as seguintes atividades:

Aplicação num sistema de gestão com previsão e otimização baseado nos custos e

efeitos.

Utilização de processos de Markov de grau 2 e superior, baseando o cálculo da

degradação do desempenho não só no índice anterior, mas também na sequência de

eventos que o antecederam [41] [35].

Utilização de um algoritmo de otimização para obtenção da melhor estratégia para

as ações de manutenção.

Introduzir no modelo a estimativa de probabilidades de transição recorrendo ao

levantamento de opinião de peritos, para as situações em que o registo histórico de

inspeções não é suficientemente credível, ou não possui uma quantidade de dados

considerável [35].

Elaborar uma previsão do desempenho da Linha, não só com base apenas nos dois

parâmetros geométricos, mas com todos os parâmetros possibilitando a elaboração

de um índice global

Melhorar os HMM para tempos contínuos, que foram referidos brevemente no

capítulo 5, onde podem recorrer a distribuições gaussianas.

Anexo


7 Bibliografia

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Life-Cycle Performance of Deteriorating Structures : Review and Future

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ferro em Portugal na segunda metade do século XIX,” Análise Social, vol. 15, pp.

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Serviços da CP Regional,” Dissertação de mestrado, Instituo Superior de

Engenharia de Lisboa, Lisboa, 2009.

[15] T. S. d. S. Silva, “Inspeção e Reabilitação de Infraestruturas Ferroviárias,”

Dissertação de mestrado, Lisboa: Faculdade de Ciências e Tecnologias da

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2001, ISBN 90-800324-3-3.

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Anexo


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mestrado, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, 2010.

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Abril 2004, DOI:10.1109/ITCC.2004.1286531.

Anexo


8 Anexo



function [ IC_niv ,IC_ali , Geral , Geral_ali , Geral_niv , matriz_P , C_MTD ] = codigo(dados)

load('dados.mat'), %variaveis sobre os desvios padrões das inspeções.

% Transformar os desvios padrões dos dados das inspeções no índice proposto.

n=size(dados,1);

IC_niv=zeros(n,20);

IC_ali=zeros(n,20);

% Transformar nos IC propostos

for i=1:n

for j=1:20

if niv(i,j)<0.7;

IC_niv(i,j)=0;

elseif niv(i,j)>=0.7 && niv(i,j)<1.4;

IC_niv(i,j)=1;


IC_niv(i,j)=2;


IC_niv(i,j)=3;


IC_niv(i,j)=4;

elseif niv(i,j)>=3.75

IC_niv(i,j)=5;

end

if ali(i,j)<0.7;

IC_ali(i,j)=0;

elseif ali(i,j)>=0.7 && ali(i,j)<1.2;

IC_ali(i,j)=1;


IC_ali(i,j)=2;


IC_ali(i,j)=3;


IC_ali(i,j)=4;

elseif ali(i,j)>=2.7

IC_ali(i,j)=5;

end

end

end

Quadro geral composto por 7 colunas onde a principal função é o índice de condição e o

intervalo de tempo entre as inspeções. Esse quadro é baseado num conjunto de índices

integrados numa variável denominada “dados”, sendo a linha correspondente a um troço e as

colunas as respetivas inspeções ocorridas sucessivamente.

% Criação do quadro

n=size(dados,1); %numero de linhas.

f=n*19; %linhas do quadro sendo que existe +20 índices.

Geral_ali = zeros(f,7);

Geral_niv = zeros(f,7);

% Preecher as primeiras colunas baseadas sobre o ID da linha e os pontos ,

% quilométricos iniciais e finais onde realiza-se a inspeção.

ii=1;

Anexo


j=1;

for i=1:f

Geral_ali(i,1)=dados(ii,1);




Geral_niv(i,1)=dados(ii,1);




if j==19

ii=ii+1;

j=0;

end

j=j+1;

end

% Preenchimento das colunas dos índices de condição.

ii=1;

j=1;

for i=1:f

if j==1

Geral_ali(i,5)=IC_ali(ii,j);

Geral_niv(i,5)=IC_niv(ii,j);

j=j+1;

end

Geral_ali(i,6)=IC_ali(ii,j);

Geral_niv(i,6)=IC_niv(ii,j);

j=j+1;

if j==21

ii=ii+1;

j=1;

end

end

% Preenchimenteno do intervalo entre as inspeções sendo no nosso caso de 3 meses.

falta=1;

for i=1:f

Geral_ali(i,7)=3;

Geral_niv(i,7)=3;

falta=falta+1;

end

% Preenchimento da coluna correspondente ao índice inicial antes de ocorrer;

% a inspeção.

for i=2:f

if Geral_niv(i,5)==0

Geral_niv(i,5)=Geral_niv(i-1,6);

end

if Geral_ali(i,5)==0

Geral_ali(i,5)=Geral_ali(i-1,6);

end

end



Obtenção da matriz intensidade para tempo discreto (apenas o alinhamento). Para a matriz

do nivelamento apenas altera-se "ali" para "niv"

linhas=size(Geral_ali,1) ;

% Soma das linhas com indice iniciais igual a 0 e transitam para índices diferentes

AA=0; AB=0; AC=0; AD=0; AE=0; AF=0;

for i=1:linhas

if Geral_ali(i,5)==0 && Geral_ali(i,6)==0 && Geral_ali(i,5)==Geral_ali(i,6)

AA= AA +1; %transição de 0 para 0

end

if Geral_ali(i,5)==0 && Geral_ali(i,6)==1

AB= AB +1; %transição de 0 para 1

end


AC= AC +1; %transição de 0 para 2

end


AD= AD +1; %transição de 0 para 3

end


AE= AE +1; %transição de 0 para 4

end


AF= AF +1; %transição de 0 para 5

end

end

% Igual como anterior mas para índice inicial 1

BB=0; BC=0; BD=0; BE=0; BF=0;

for i=1:linhas


BB= BB +1;

end


BC= BC +1;

end


BD= BD +1;

end


BE= BE +1;

end


BF= BF +1;

end

end


CC=0; CD=0; CE=0; CF=0;

for i=1:linhas


CC= CC +1;

end


CD= CD +1;

end


Anexo


CE= CE +1;

end


CF= CF +1;

end

end


DD=0; DE=0; DF=0;

for i=1:linhas


DD= DD +1;

end

if Geral_ali(i,5)==3 && Geral_ali (i,6)==4

DE= DE+1;

end


DF= DF+1;

end

end


EE=0; EF=0;

for i=1:linhas


EE= EE +1;

end


EF= EF+1;

end

end


FF=0;

for i=1:linhas


FF= FF +1;

end

end

% Contar o numero de vezes que apareça determinado indices iniciais

M=0;N=0;O=0;P=0;Q=0;R=0;

for i=1:linhas

if Geral_ali(i,5)==0 && Geral_ali(i,6)>=0

M= M +1;

end


N= N +1;

end


O= O +1;

end


P= P +1;

end


Q= Q +1;



end


R= R +1;

end

end

% Obtenção da matriz P

matriz_P=[(AA/M),(AB/M),(AC/M),(AD/M),(AE/M),(AF/M);0,(BB/N),(BC/N),(BD/N),(BE/N),(BF/N);0,0,(

CC/O),(CD/O),(CE/O),(CF/O);0,0,0,(DD/P),(DE/P),(DF/P);0,0,0,0,(EE/Q),(EF/Q);0,0,0,0,0,(FF/R)];

Calcular o índice futuro através de processos de Markov em tempo Discreto

IC=input('Escolha o indice paramétrico neste momento 0 1 2 3 4 5 = ');

% Indice das escolhas

if IC==0;

prob_inicial= [1 0 0 0 0 0];

elseif IC==1;

prob_inicial= [0 1 0 0 0 0];

elseif IC==2;

prob_inicial= [0 0 1 0 0 0];

elseif IC==3;

prob_inicial= [0 0 0 1 0 0];

elseif IC==4;

prob_inicial= [0 0 0 0 1 0];

elseif IC==5;

prob_inicial= [0 0 0 0 0 1];

end

n=input('Qual inspeção pretende determinar o índice, a partir da atualidade ? ');

P=matriz_P^(n);

P_IC = prob_inicial * P;

indice_futur = P_IC * [0;1;2;3;4;5];

disp ('O indice de qualidade é')

disp (indice_futur)

Desenvolvimento em gráfico da evolução do índice

graf=questdlg('Deseja observar o desenvolvimento do índice em

gráfico','Opção','Sim','Não','Sim');

switch graf

case 'Sim'

num_meses=120;

C_MTD = zeros(1,num_meses);

% Indice de condição da base de dados

if IC == 0;

C_MTD(1,1) = 0;

elseif IC == 1

C_MTD(1,1)= 1;

elseif IC == 2

C_MTD(1,1)= 2;

elseif IC == 3;

C_MTD(1,1) = 3;

elseif IC == 4;

C_MTD(1,1) =4;

elseif IC == 5;

Anexo


C_MTD(1,1) =5;

end

for j=1:num_meses;

n=j;

P=matriz_P^(n);

P_IC = prob_inicial * P ;

C_MTD(1,(j+1)) = P_IC * [0;1;2;3;4;5] ;

end

% PLOT

axes1 =

axes('Parent',figure,'YGrid','on','XGrid','on','FontWeight','demi','FontAngle','italic');

box(axes1,'on');

hold(axes1,'all');

x=0:3:360;

y=C_MTD;

plot(x,y);

title('Evolução do Indice de Qualidade');

xlabel('Tempo (meses)');

ylabel('Indice de Qualidade');

pause

case 'Não'

end

Obtenção da matriz intensidade para tempo contínuo (apenas o alinhamento)

Para a matriz do nivelamento apenas altera-se "ali" para "niv"

linhas=size(Geral_ali,1) ;

% Estados com indice inicial IC=0

AA=0;

for i=1:linhas


AA= AA +1;

end

end


BB=0;

for i=1:linhas


BB= BB +1;

end

end


CC=0;

for i=1:linhas


CC= CC +1;

end

end


DD=0;

for i=1:linhas


DD= DD +1;



end

end


EE=0;

for i=1:linhas


EE= EE +1;

end

end

% Contar o tempo dos indices iniciais

M=0; N=0; O=0; P=0; Q=0;

for i=1:linhas


M= M + Geral_ali(i,7);

end


N= N + Geral_ali(i,7);

end


O= O + Geral_ali(i,7);

end


P= P + Geral_ali(i,7);

end


Q= Q + Geral_ali(i,7);

end

end

% Obtenção dos tetas

teta = [AA/M;BB/N;CC/O;DD/P;EE/Q];

% Otimização da matriz

q=zeros(6,6);

q(1,1)=-teta(1); q(1,2)=teta(1);

q(2,2)=-teta(2); q(2,3)=teta(2);

q(3,3)=-teta(3); q(3,4)=teta(3);

q(4,4)=-teta(4); q(4,5)=teta(4);

q(5,5)=-teta(5); q(5,6)=teta(5);

% Contrução do vector intensidade

v = abs(diag(q));

% Verosimilhança do modelo não otimizado

veros=0; Geral=Geral_ali; veros = calc_veros(v, Geral_ali);

disp ('A verosimilhança do modelo não otimizado é de'); disp(veros);

disp ('A matriz intensidade não otimizada do modelo é'); disp(q);

% Optimizar o V

fVeros = @(v,veros)calc_veros(v,Geral_ali);

% precisão - pode ser ajustada

vLBounds = [0.001 ; 0.001 ; 0.001 ; 0.003 ; 0.003 ; 0];

vUBounds = [1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 0];

[v_opt, veros_opt] = fmincon(fVeros,v,[],[],[],[],vLBounds,vUBounds);

% Construção da matriz intensidade a partir do vetor intensidade

q_opt = diag(v_opt);

q_opt(size(q_opt,1),:) = 0;

Anexo


q_opt(:,size(q_opt,2)) = 0;

q_opt = -q_opt + circshift(q_opt,[0 1]);

q=q_opt;

% disp ('A verosimilhança óptima do modelo é ');

% disp(veros_opt);

disp ('A matriz intensidade óptima do modelo é');

disp(q_opt);

Calcular o índice futuro através de processos de Markov em tempo contínuo

IC=input('Escolha o indice paramétrico neste momento 0 1 2 3 4 5 = ');

% Indice das escolhas

if IC==0;

prob_inicial= [1 0 0 0 0 0];

elseif IC==1;

prob_inicial= [0 1 0 0 0 0];

elseif IC==2;

prob_inicial= [0 0 1 0 0 0];

elseif IC==3;

prob_inicial= [0 0 0 1 0 0];

elseif IC==4;

prob_inicial= [0 0 0 0 1 0];

elseif IC==5;

prob_inicial= [0 0 0 0 0 1];

end

n=input('Qual mês pretende determinar o índice? ');

mProb=expm(q*n);

P_IC = prob_inicial * mProb;

indice_futur = P_IC * mProb * [0;1;2;3;4;5];

disp ('O indice de qualidade é')

disp (indice_futur)

Desenvolvimento em gráfico da evolução do índice no tempo

graf=questdlg('Deseja observar o desenvolvimento do índice em

gráfico','Opção','Sim','Não','Sim');

switch graf

case 'Sim'

num_meses=200;

C_MTC = zeros(1,num_meses);


if IC == 0;

C_MTC(1,1) = 0;

elseif IC == 1

C_MTC(1,1)= 1;

elseif IC == 2

C_MTC(1,1)= 2;

elseif IC == 3;

C_MTC(1,1) = 3;

elseif IC == 4;

C_MTC(1,1) =4;



elseif IC == 5;

C_MTC(1,1) =5;

end

for j=1:num_meses;

mProb=expm(q*1);

if j==1

vEstado=mProb((C_MTC(1,1)+1),:);

else

vEstado=P_IC*mProb;

end

P_IC = vEstado * mProb ;

C_MTC(1,(j+1)) = P_IC * [0;1;2;3;4;5] ;

end

% PLOT

axes1 =


box(axes1,'on');

hold(axes1,'all');

plot(C_MTC);




pause

case 'Não'

end

Desenvolvimento em gráfico da curva média

num_meses=200;

linhas=size(dados,1);

C_ALL_MTC = zeros(linhas,num_meses+1);


for i=1:linhas

C_ALL_MTC(i,1)=IC_ali(i,20);

end

mProb=expm(q*1);

for nLinhas=1:linhas

for nMeses=1:num_meses;

if nMeses==1

vEstado=mProb((C_ALL_MTC(nLinhas,1)+1),:);

else

vEstado=P_IC*mProb;

end

P_IC = vEstado * mProb ;

C_ALL_MTC(nLinhas,(nMeses+1)) = P_IC * [0;1;2;3;4;5] ;

end

end

% PLOT curva média e desvio padrão

axes1 =


box(axes1,'on');

hold(axes1,'all');

Anexo


Media_ali=mean(C_ALL_MTC(:,:));

DesvPad_ali=std(C_ALL_MTC(:,:));

plot(Media_ali);

plot(DesvPad_ali);




pause

end

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