MODELAÇÃO AVANÇADA EM GEOTECNIA

Emanuel Maranha das Neves

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO LISBOA 2007

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Modelação Avançada em Geotecnia

1 – Introdução A modelação faz sempre parte, de uma forma ou outra, da actividade de projecto, embora, frequentemente muitos engenheiros não se apercebam desse facto. Um modelo (matemático, físico, económico, etc.) é sempre uma simplificação da realidade. No caso presente, os geomateriais são a realidade e a habilidade na modelação das estruturas geotécnicas, naturais ou construídas, consiste em reconhecer, na análise em questão, os factores que são importantes e os que não o são. Na verdade, sempre que se modela, fazem-se determinadas hipóteses relativamente ás acções, à geometria, às condições de fronteira, às equações constitutivas e aos métodos numéricos (quando a estes se recorre) e a natureza de tais hipóteses, bem como as respectivas consequências, não podem deixar de ser tidas em conta. Nesta disciplina, a atenção será dirigida sobretudo para as equações constitutivas e o seu papel na modelação do comportamento mecânico dos geomateriais. Qualquer referência a aplicações numéricas, por exemplo, terá sempre como objectivo proporcionar um melhor entendimento do papel das equações constitutivas. Como pode ver-se fala-se de geomateriais e não apenas de solos. Na verdade abordar-se-á também a modelação de solos com ligações cimentícias entre partículas e de enrocamentos. Acrescente-se que todos estes materiais poderão ser considerados como saturados ou como não saturados. Não será obviamente possível, por limitações de tempo, abordar toda esta matéria com a profundidade que os conhecimentos actuais permitiriam. Procurar-se-á mostrar, isso sim, que a engenharia geotécnica nos domínios da engenharia civil não se esgota na Mecânica dos Solos saturados, já leccionada e permite que, na prática, o futuro engenheiro possa identificar melhor o problema geotécnico com que é confrontado. No capítulo seguinte far-se-á referência a algumas equações constitutivas usadas na Mecânica dos Solos clássica e que constituíram as bases para o desenvolvimento do projecto geotécnico no domínio da Engenharia Civil.

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2 – A modelação na Mecânica dos Solos clássica Os modelos que se vão considerar neste capítulo são alguns daqueles em que quase exclusivamente e durante décadas se baseou a prática da Mecânica dos Solos clássica. Muitos deles já foram tratados em anteriores disciplinas da licenciatura em Engenharia Civil. Serão referidos sobretudo com o objectivo de salientar algumas das suas limitações, dando assim abertura para apresentação de equações constitutivas susceptíveis contornarem alguns desses inconvenientes. Porém, é interessante tecer desde já algumas considerações sobre a tradição que o cálculo à rotura (verificação da segurança à rotura) tem na Mecânica dos Solos. Mostrar-se-á de seguida que as estruturas geotécnicas, têm uma tradição de uso do cálculo à rotura, outro tanto não sucedendo com as estruturas de outros materiais (madeira, alvenaria, ferro fundido, aço, betão armado, etc.). Tal significa que recorreram a modelações (a equações constitutivas) diferentes. 2.1 - Primeiras análises de estabilidade das estruturas geotécnicas É importante sublinhar que as primeiras abordagens da segurança de estruturas geotécnicas datam do século XVIII. Trata-se fundamentalmente das aplicações do trabalho Charles-Augustin Coulomb (1737-1806) com vista à análise da estabilidade de taludes e impulsos em estruturas de contenção, o qual consta do célebre ensaio apresentado à Academia das Ciências francesa em 1773. Em que equações constitutivas se baseia o procedimento proposto por Coulomb? a) em termos de resistência mecânica baseia-se na noção física de atrito, logo na equação: τ = σ µ (2.1)

onde τ e σ representam, no plano em análise, as tensões de corte e normal, respectivamente e µ é o coeficiente de atrito. Coulomb mostrou assim que as tensões de corte provocam rotura nos materiais geotécnicos. Normalmente usa-se o ângulo de atrito interno ou ângulo de resistência ao corte, φ, sendo: tg φ = µ (2.2) logo, τ = σ tg φ (2.3)

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Figura 2.1 – Condição de rotura de acordo com Coulomb equação cuja representação gráfica se apresenta na figura 1 e constitui o conhecido critério de Mohr-Coulomb. O nome de Mohr (1835-1918) aparece associado ao de Coulomb porque divulgou o critério com base em envolventes tangenciais aos círculos de Mohr das tensões correspondentes a estados de rotura. Admitia assim que quaisquer condições de tensão representadas por um círculo tocando a envolvente dariam início a rotura. Verificou-se que este critério de rotura estava mais de acordo com a experiência do que o critério prevalecente na altura, o qual se baseava na teoria da deformação máxima de Saint-Venant (Parry, 2004). De acordo com as condições de Coulomb, tal como pode ver-se na figura 2.1, não são possíveis combinações de τ e de σ que se situam na área a ponteado. A recta representa a fronteira entre estados de tensão possíveis e impossíveis. b) em termos de rigidez, o modelo (a equação constitutiva) é rígido-plástico. Considerando a deformação distorcional dγ e a tensão de corte τ, este comportamento está representado na figura 2.2.

Figura 2.2 – Comportamento rígido-plástico

Aplicando as formulações de Coulomb à análise da estabilidade de um talude em solo (por exemplo) admitem-se superfícies de rotura potenciais com a condição de serem cinematicamente viáveis. Na figura 2.3 está representada uma dessas superfícies.

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Figura 2.3 – Superfície potencial de rotura (AB) num talude em solo

As hipóteses básicas são as de que o material do talude é rígido, até que ao longo da superfície de deslizamento (AB) se instala uma tensão de corte τ que iguala a resistência de corte τ r do solo. Nesta situação, verifica-se uma plastificação do material ao longo de (AB) e uma deformação distorcional plástica dγ como pode ver-se na figura 2.2. Ocorre pois um movimento relativo entre dois blocos rígidos (blocos 1 e 2 na figura 2.3). Como se pode ver, trata-se de um cálculo da estabilidade à rotura. Mas se se procurar calcular deslocamentos, o modelo, tal como mostra a figura 2.2, não dá qualquer informação. A segurança é quantificada pelo cociente entre a tensão de corte na superfície (AB) correspondente à situação de rotura (plastificação) e a tensão de corte realmente instalada na mesma superfície. Como é óbvio, é necessário quantificar esta relação (denominada coeficiente de segurança, F) para várias superfícies de deslizamento, a fim de determinar a que exibe o menor valor de F. 2.2 – Primeiras análises de estruturas de outros materiais que não solos No caso de estruturas de outros materiais, as equações constitutivas usadas no seu cálculo correspondiam às de um comportamento elástico linear. A análise da estabilidade, logo uma análise onde a resistência desempenha um papel dominante, baseava-se no conceito de tensões admissíveis. Mas como se verá, o mesmo modelo permite o cálculo o cálculo de deformações, desde que esteja garantido o regime elástico na estrutura. a) em termos de resistência Na avaliação da estabilidade admitia-se a seguinte equação constitutiva: σ = E ε (2.4) relação formulada por Robert Hooke em 1678, a qual está representada graficamente na figura 2.4. E representa o módulo de Young e σ e ε representam a tensão normal e a correspondente deformação linear, respectivamente. A resistência, como pode ver-se, é infinita.

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Figura 2.4 – Comportamento elástico linear

Admite-se assim que os materiais da estrutura, na situação de serviço, têm um comportamento elástico linear. Para cálculo da segurança das estruturas, quantificam-se, recorrendo aos conceitos da resistência dos materiais, as tensões instaladas nos elementos estruturais, tendo de verificar-se que em ponto algum da estrutura em causa, a tensão nele instalada ultrapasse um dado valor σl . O coeficiente de segurança é o valor do cociente entre a tensão normal de rotura, σr , e aquele valor limite atrás indicado, isto é: F = σr / σl (2.5) Não se trata portanto de um cálculo à rotura. No caso da secção AA de um elemento de uma estrutura sujeito a flexão simples, as tensões elásticas estão representadas na figura 2.5. O valor de σ deve satisfazer a condição:

Figura 2.5 – Tensões elásticas num elemento estrutural sujeito a flexão simples

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σ ≤ σl (2.6) b) em termos de rigidez A equação constitutiva (2.4), representada na figura 2.4, ao descrever uma relação entre a tensão e a deformação, torna possível, a partir da quantificação do módulo de Young, o cálculo da deformação gerada por um dado incremento de tensão (o que naturalmente a lei de Coulomb e o comportamento rígido-plástico não permitem). Na figura 2.6 apresenta-se o exemplo mais simples de aplicação da lei de Hooke ao cálculo da deformação axial de uma barra:

Figura 2.6 – Aplicação da lei de Hooke para cálculo da deformação axial de uma barra δ = P l /A E (2.7) onde δ é o deslocamento axial, P a carga axial aplicada, A a secção da barra e E o módulo de Young do material de que é constituída a barra. Em conclusão, comparando a evolução histórica da análise estrutural, vê-se que no caso das estruturas geotécnicas se começou por introduzir o cálculo à rotura, mas houve sempre grande dificuldade na previsão de deslocamentos. Como é evidente, quando o problema em estudo permite assemelhar, sem grande entorse, o geomaterial a um meio elástico linear, poderiam ser previstas (calculadas) deformações. Mas a abordagem estava mais virada para a análise dos estados limites últimos (ELU) do que para a dos estados limites de utilização (ELUt). Tradicionalmente, na geotecnia aplicada à engenharia civil, recorria-se e continua ainda a recorre-se algumas vezes, a coeficientes de segurança suficientemente elevados para tornarem desnecessária a verificação de ELUt.. Trata-se de uma forma de limitar as deformações impondo tensões baixas em resultado de coeficientes de segurança elevados. Só a partir dos anos 60 do século XX se deu início à investigação relativa à previsão das deformações em estruturas geotécnicas, considerando comportamentos dos geomateriais mais próximos dos reais. Para tal contribui a experimentação com equações constitutivas mais complexas, a possibilidade de quantificar, em laboratório e in situ, os respectivos parâmetros, o desenvolvimento das técnicas numéricas e os progressos em termos de capacidade computacional.

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A questão da previsão das deformações nas estruturas geotécnicas, considerando comportamentos mais próximos dos reais, só começou a ser verdadeiramente equacionada a partir dos anos 70 do século XX. Para essa evolução muito contribuiu a investigação no domínio das equações constitutivas mais complexas, a possibilidade de quantificar, in situ ou em laboratório, os respectivos parâmetros, o desenvolvimento das técnicas numéricas e os progressos em termos de capacidade computacional. No caso de estruturas com outros materiais, desde que esses materiais se mantivessem garantidamente no regime elástico linear, era possível analisar a estabilidade (ELU) e prever as deformações (ELUt). Mas não se praticou o cálculo á rotura, o qual envolve necessariamente a teoria da plasticidade. Só muito posteriormente (após a 2ª guerra Mundial) foi introduzido o cálculo á rotura (logo os conceitos da teoria da plasticidade) na análise da segurança das estruturas (verificação de ELU). 3 – A modelação e os métodos de análise Ao projectar uma estrutura geotécnica, a primeira preocupação do engenheiro é demonstrar que essa estrutura é estável. Nesse sentido é necessário demonstrar que a estrutura e o sistema que a suporta sejam estáveis no seu conjunto, isto é, assegurar a não ocorrência de roturas do tipo rotacional ou vertical, ou ainda por translacção (ver figura 3.1.

Figura 3.1 – Diferentes tipos de rotura em estruturas geotécnicas: a) rotacional; b) por translação; c) vertical Mas também é necessário fazer a verificação da estabilidade global. Por exemplo, numa estrutura de contenção construída num talude, haverá que analisar a possibilidade de ocorrência de uma rotura por deslizamento no talude, tal como se pode ver na figura 3.2. É necessário estimar, nas condições mais adversas, as acções sobre os elementos estruturais, tais como paredes de contenção, ancoragens, escoras, etc., bem como os momentos e forças axiais e de corte nos referidos elementos estruturais, de modo a dimensionar tais elementos de forma a exibirem um comportamento seguro. Também têm de ser estimados os deslocamentos do terreno bem como, quando existirem, dos elementos estruturais. Esta avaliação é particularmente importante no

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Figura 3.2 – Estrutura geotécnica afectada por instabilidade global caso de obras em áreas urbanas, nos casos de taludes e ainda no caso de contenções e túneis e outras obras subterrâneas próximas de outras estruturas (edifícios) ou de serviços sensíveis a esses deslocamentos (condutas de água, por exemplo). Também no caso de estruturas geotécnicas tão importantes como as barragens de aterro, em toda a sua variedade, o conhecimento dos deslocamentos pode revelar-se fundamental. Para obter os elementos anteriormente referidos (tensões e deformações) há que efectuar cálculos visando não só a verificação da estabilidade (normalmente introduzindo coeficientes de segurança), como também a determinação dos deslocamentos e forças estruturais. Esses cálculos são de natureza matemática e baseiam-se na análise estrutural. Saliente-se que não deve confundir-se análise com projecto. Na realidade, este último abrange muitos outros aspectos, nomeadamente a identificação e quantificação de parâmetros, sendo que o empirismo (a experiência) desempenha um papel normalmente não negligenciável. Como já foi afirmado anteriormente, dirigir-se-á a nossa atenção para o papel das equações constitutivas na análise estrutural praticada na geotecnia para Engenharia Civil. 3.1 – Requisitos teóricos de uma análise estrutural É também conveniente dar uma ideia dos requisitos teóricos a que deve satisfazer uma análise estrutural. Estes são abordados de seguida. a) Condição de equilíbrio O equilíbrio está associado com à determinação de forças e momentos e tem a ver com o estabelecimento dos campos de tensão que (desprezando efeitos de inércia e de todas as forças mássicas, excepto o peso próprio), satisfazem as seguintes equações diferenciais:

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(3.1) As equações estão expressas, com base num sistema de coordenadas Cartesiano, através de tensões totais σx , σy, σz , τxy , τyz e τzx e do peso próprio, γ, actuando segundo a direcção negativa do eixo x (as tensões de compressão são consideradas positivas). As tensões têm de satisfazer as condições de fronteira (as tensões na fronteira têm de estar em equilíbrio com as forças de superfície aplicadas). O equilíbrio tem pois a ver com forças e tensões. b) Condição de compatibilidade De acordo com esta condição, se um corpo submetido a um carregamento sofre deslocamentos, não podem ocorrer nem descontinuidades nem sobreposições na matéria de que é constituído o corpo, o que de certo modo é uma restrição de natureza física. Para ilustrar o significado físico da compatibilidade pode imaginar-se uma placa composta por um conjunto de placas mais pequenas e que sofre deslocamentos (ver figura 3.3).

Figura 3.3 – Modos de deformação: a) situação original; b) deformação incompatível; c) deformação compatível Mas nem por isso estas restrições podem deixar de ser tidas em consideração matematicamente na análise. Como é sabido, no caso de pequenas deformações, a satisfação destas condições consegue-se impondo que a variação dos deslocamentos através do corpo satisfaça as seguintes equações de deformação:

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(3.2) onde u, v e w representam os deslocamentos nas direcções x,y e z, respectivamente. Demonstra-se matematicamente que para a existência de um campo de deslocamentos compatível todas as componentes de deformação e suas derivadas, expressas nas equações (3.2), têm de existir e ser contínuas pelo menos até à diferencial de segunda ordem. c) Comportamento constitutivo Combinado as condições de equilíbrio (equações 3.1) com as condições de compatibilidade (equações 3.2), verifica-se que existem quinze incógnitas (seis tensões, mais seis deformações e mais três deslocamentos) e nove equações (três de equilíbrio mais seis de compatibilidade). São assim necessárias mais seis equações, as quaissão obtidas a partir precisamente das equações constitutivas. O comportamento constitutivo é o comportamento dos materiais (neste caso dos geomateriais) e é normalmente referido como comportamento tensão-deformação. Tem pois a forma de uma relação entre a tensão e a deformação, pelo que fornece uma ligação entre o equilíbrio e a compatibilidade (ver figura 3.3).

Figura 3.3 – Ligação entre tensão e deformação: equação constitutiva

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Para fins de cálculo, o comportamento constitutivo tem de ser expresso matematicamente: ∆σ = D ∆ε (3.3) onde D é a matriz que traduz o comportamento constitutivo e ∆σ e ∆ε, os vectores incremento de tensão e deformação, respectivamente. Para um material elástico linear D pode assumir um valor constante (função do módulo de Young, E, e do coeficiente de Poisson, ν). Mas como os geomateriais se afastam muito deste comportamento, é mais adequado que as equações constitutivas relacionem incrementos de tensão com incrementos de deformação, como está indicado na equação 3.3, dependendo o valor da matriz D dos estados de tensão corrente e passado (história de tensão). As equações constitutivas podem ser expressas em termos de tensões totais ou efectivas. Mas, neste último caso, o comportamento da água intersticial tem de ser tido em conta (com base no princípio das tensões efectivas) para permitir obter as tensões totais a fim de as introduzir nas equações de equilíbrio. Assim: ∆σ’ = D’ ∆ε e ∆σf’ = Df ∆ εf (3.4) Pelo que ∆σ = (D’+ D f) ∆ ε (3.5) onde Df é uma relação constitutiva que relaciona a variação da pressão da água nos poros com a variação da deformação. No caso de um comportamento não drenado, ∆σf’ relaciona-se com ∆ εf (valor muito reduzido) através do módulo de compressibilidade volumétrica da água, Kw (que tem um valor muito elevado). d) Condição de fronteira Para além da equação constitutiva mais adequada, na aplicação dos conceitos expostos à prática, isto é, a um dado problema geotécnico real, têm de ser efectuadas determinadas hipóteses relativamente à geometria e às condições na fronteira (há, em ambos os casos, sempre um certo grau de idealização, maior ou menor). As condições de fronteira podem definir uma construção, uma escavação, uma alteração de pressão na água ou a imposição de um deslocamento. e) Trabalho conjugado Trata-se de um conceito muito importante na Mecânica dos Meios Contínuos. Diz respeito ao trabalho resultante da conjugação de tensões e deformações de molde a que a taxa de trabalho fornecido ao material, por unidade de volume, possa ser dada pelo produto das tensões pelos incrementos de deformação,

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∆W = σ ∆ε (3.6) Demonstra-se que as tensões de Cauchy, definidas no âmbito das pequenas deformações, e a deformação linear, satisfazem esta condição. Resta acrescentar que há situações que não foram contempladas no que acaba de ser exposto. Por exemplo, se ocorrer um fluxo de água terá de ser considerada a equação da continuidade bem como condições de fronteira que tenham em conta os escoamentos ou pressão de água impostos. Do mesmo modo, no caso de acções sísmicas, por exemplo, as equações de equilíbrio terão de incluir os efeitos de inércia e amortecimento. De seguida procurar-se-á referir os principais tipos de métodos de análise estrutural. 3.2 – Métodos correntes de análise estrutural Os métodos correntes de análise estrutural podem ser agrupados nas seguintes categorias: métodos ditos exactos (soluções exactas), métodos convencionais e métodos numéricos. a) Métodos ditos exactos (soluções exactas) Se for possível estabelecer uma equação constitutiva realista, identificar condições de fronteira e combinando-as com as equações de equilíbrio e compatibilidade, efectuar a integração resultante, obtém-se uma solução teoricamente exacta. Na realidade será sempre uma aproximação ao problema real, já que é impossível não existir alguma idealização na definição das condições de fronteira, geometria e equação constitutiva. E dada a complexidade do comportamento dos materiais geotécnicos, não é normalmente possível obter soluções analíticas completas de problemas geotécnicos. Estas só podem ser atingidas quando se admitir que o material é isotrópico e tem um comportamento elástico linear e as condições de fronteira são simples (ver figura 3.4, como exemplo).

Figura 3.4 – Possibilidade de obtenção de uma solução exacta num problema envolvendo um material isótropo, elástico linear, com condições de fronteira simples (envolve, mesmo assim, um pequeno grau de idealização ao desprezar-se o peso próprio face ao valor da tensão aplicada ao material)

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Podem ser usados como primeira aproximação para avaliar deslocamentos e forças estruturais, mas a experiência mostra que os resultados da análise se podem afastar significativamente da realidade. Há também algumas soluções para problemas que apresentam simetrias geométricas que permitem resolvê-lo como se de unidimensional se tratasse. É o caso, por exemplo, da expansão de cavidades esféricas e cilíndricas longas em meio infinito, contínuo elastoplástico. No entanto, estas soluções, embora muito usadas na interpretação dos resultados de certos ensaios in situ (pressiómetro auto-perfurador, por exemplo), têm um reduzido interesse na sua aplicação à análise de projectos geotécnicos. Em resumo, as soluções exactas, quando aplicáveis, satisfazem os requisitos de equilíbrio, compatibilidade e condições de fronteira (força ou deslocamentos impostos), mas a equação constitutiva resume-se ao comportamento elástico linear. No que respeita aos resultados da sua aplicação, não permitem a análise da estabilidade, mas sim a determinação dos deslocamentos (ver capítulo 2). Com todas as limitações indicadas, podem determinar efeitos em estruturas adjacentes. b) Métodos convencionais São os mais correntes nos primeiros tempos da Mecânica dos Solos e das respectivas aplicações geotécnicas. Caracterizam-se por não satisfazerem um ou mais dos requisitos teóricos da análise atrás referidos, mais frequentemente as condições de compatibilidade. Estes métodos de análise são normalmente classificados em três categorias: equilíbrio limite, campo de tensões e análise limite. Como exemplo do primeiro grupo (equilíbrio limite) podem citar-se o método da cunha de Coulomb, o método das fatias para análise da estabilidade de taludes (por exemplo Bishop, 1955) ou ainda as análises efectuadas por Caquot e Kerisel (1948) para obter os largamente usados coeficientes de impulso activo e passivo. Os métodos de equilíbrio limite satisfazem os requisitos relativos ao equilíbrio e ás forças na fronteira (condição na fronteira), mas não respeitam a condição de compatibilidade nem a condição de fronteira relativa aos deslocamentos. O modelo constitutivo é do tipo rígido-perfeitamente plástico (ver no capítulo 2). No que respeita aos resultados possíveis de obter com a sua aplicação, estes permitem uma análise da estabilidade, mas não dão informação sobre os deslocamentos nem sobre efeitos em estruturas adjacentes. Relativamente aos métodos baseados nos campos de tensões podem referir-se os coeficientes de impulso de Rankine e as soluções de Sokolovski (1965) e os coeficientes de capacidade resistente de fundações superficiais. Estes métodos, tanto no que se refere à satisfação dos requisitos teóricos, quer quanto à informação que se pode obter com sua aplicação, caracterizam-se da mesma forma que os métodos de equilíbrio limite.

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Finalmente a análise limite traduz-se na aplicação à análise estrutural dos conhecidos teoremas da região superior e da região inferior. A solução com base no primeiro1 não satisfaz a condição de equilíbrio e a baseada no segundo ignora a condição de compatibilidade A solução do problema seria exacta se os resultados das soluções baseadas no teorema da região superior e das soluções com base no da região inferior, fossem iguais, o que só acontece num reduzido número de casos e para equações constitutivas com elevado grau de idealização, isto é, muito longe do comportamento real dos geomateriais. No que diz respeito à satisfação dos requisitos fundamentais, a análise limite, baseada na aplicação do teorema da região inferior2, só satisfaz o equilíbrio às forças na condição de fronteira. O modelo constitutivo é elástico-perfeitamente plástico, com lei de escoamento associada. A informação que se pode obter da sua aplicação, permite analisar a estabilidade mas não a obtenção dos deslocamentos ou efeitos sobre estruturas adjacentes. Por sua vez uma análise limite baseada no teorema da região superior apenas tem em conta a condição de compatibilidade e de deslocamentos na fronteira. A equação constitutiva é a mesma que foi referida a propósito da aplicação do teorema da região inferior. A informação que pode ser obtida a partir da aplicação desta abordagem permite a análise da estabilidade, uma estimativa grosseira dos deslocamentos e não permite avaliar efeitos sobre estruturas próximas. Como comentários finais aos métodos convencionais, há a referir que todos necessitam de postular um mecanismo de rotura (ver capítulo 2). Além disso, apenas admitem que o comportamento do material se cinja a duas situações: drenado e não drenado. No primeiro caso admite-se no critério de rotura de Mohr-Coulomb, tendo como parâmetros o ângulo de resistência ao corte efectivo (ângulo de atrito interno), φ’, e, no caso de solos com ligações cimentícias, a coesão efectiva, c’. No caso de um comportamento não drenado é usado o critério de rotura de Tresca em termos da resistência ao corte não drenada, su. Todos os métodos convencionais dão apenas informação relativa à estabilidade (ver capítulo 2). Como não satisfazem os quatro requisitos teóricos atrás citados, fornecem apenas soluções aproximadas. ____________________________________________________________________________ 1-Segundo o teorema da região superior, um sistema submetido a determinadas acções é estável se for possível associar a esse sistema uma distribuição de deformações plásticas cinematicamente admissíveis, de tal modo que ao longo de uma dada superfície, as acções exteriores realizem trabalho a uma taxa inferior à que corresponde ao que é dissipado internamente (Drucker, 1960). 2- De acordo com o teorema da região inferior, há estabilidade num um dado equilíbrio desde que, no meio em questão, seja possível conseguir determinar um campo de tensões que equilibre estaticamente as acções aplicadas na fronteira, com a condição de que em ponto algum as tensões desse campo exibam valores superiores à tensão de cedência do material que constitui o meio (Drucker, 1960). Esse campo pode ser qualquer desde que satisfaça os requisitos apontados, podendo mesmo ser diferente do que está realmente instalado.

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3.3 Métodos numéricos Pode afirmar-se que estes métodos só atingiram a aplicação prática (projecto real) no final da década de 80 do século passado. Um ponto relevante é que têm em consideração todos os requisitos teóricos, mas de uma forma aproximada. Mas surgem com enorme vantagem em relação a todos os métodos já referidos na medida em que podem incorporar qualquer equação constitutiva. Diga-se desde já que quanto à informação que podem fornecer esta permite a análise da estabilidade, a obtenção de deslocamentos e de efeitos em estruturas adjacentes. A sua aptidão para simular as condições in situ depende da maior ou menor aproximação da equação constitutiva ao comportamento real do geomaterial e da capacidade do engenheiro geotécnico para estabelecer as condições de fronteira adequadas ao problema em causa. Quais são assim as grandes vantagens em relação aos métodos convencionais? Uma das mais importantes é o facto de não haver necessidade de considerar um mecanismo de rotura (neste aspecto estabelece um corte radical com os métodos convencionais). Além disso, o comportamento dinâmico também pode ser tido em conta simulando os efeitos do tempo no desenvolvimento da pressão na água intersticial através do acoplamento da consolidação (ou da expansão). Embora contenham aproximações, os métodos numéricos são normalmente superiores aos convencionais. Ao modelar um problema de valores na fronteira a sua geometria é representada por um conjunto de pequenas regiões denominadas elementos finitos, as quais têm nós, quer nas respectivas fronteiras, quer no interior. Para usar o método há que escolher uma variável (que pode ser a tensão ou a deformação) e estabelecer o modo como variam de ponto para ponto no interior do elemento finito, variação que é expressa em função dos valores nodais. Em geotecnia é habitual escolher o deslocamento, podendo esta variar de modo polinomial (variação linear, quadrática). A precisão da análise depende assim do tipo de variação reflectir com precisão o modo como o material se deforma nos problemas em questão. Mas pode melhorar-se a precisão usando mais elementos para o mesmo volume de material (no caso de se tratar de um cálculo 3D). Verifica-se assim que há que optimizar o binómio precisão - tempo de cálculo. A teoria em que se baseiam os métodos numéricos, seja o caso dos elementos finitos, das diferenças finitas ou dos elementos de fronteira, considera que o comportamento do material é linear e que os deslocamentos são reduzidos. Isto é, o comportamento é elástico linear sendo constante a rigidez e infinita a resistência (ver figura 2.4). Mas como na realidade os geomateriais não se comportam dessa forma, a rigidez varia durante a análise de acordo com a não lineridade (ver figura 4.2, mais à frente) para o módulo de distorção G, medido num ensaio triaxial. A solução para estas modificações na rigidez reside na aplicação da carga numa série de incrementos ou passos. Para cada incremento selecciona-se a rigidez apropriada, calculando-se os incrementos de deslocamentos, de tensão e de deformação. Como o incremento de carga tem sempre um valor finito, há sempre uma aproximação na medida em que a rigidez varia ao longo do incremento de carga. Mesmo para um incremento de valor muito reduzido haverá sempre alguma aproximação.

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Terá assim de haver uma criteriosa ponderação entre dimensão do elemento, o incremento de carga, tempo de cálculo e a precisão requerida. Em termos relativos, a dimensão dos elementos diminui onde os gradientes das tensões ou das deformações são mais elevados (figura 3.5).

Figura 3.5 – Malha de elementos finitos usada para estudos da fundação da Torre de Pisa (Potts, 2003) As técnicas não lineares podem, com grande generalidade ser divididas em dois grupos: aquelas em que as acções são aplicadas de uma só vez e aquelas em que as acções são aplicadas através de uma série de pequenos incrementos. No primeiro caso há que efectuar interacções ou operações semelhantes (método das cargas equivalentes, método do módulo secante ou método visco-plástico). Como exemplos do segundo tipo pode citar-se o método do módulo tangente. Neste caso os incrementos devem ser pequenos e a equação ∆σ = D ∆ε (3.3 bis) deve ser escrita sob a forma diferencial.

4 – Materiais hiperelásticos, elásticos e hipoelásticos Embora não perdendo de vista os objectivos apontados em 1, fazem-se umas brevíssimas considerações relativamente à elasticidade clássica, sobretudo no sentido no sentido de dar alguma informação sobre as diferentes formas da elasticidade teórica clássica frequentemente referidas na literatura, como é o caso da hiperelasticidade e da hipoelasticidade. 4.1 – Algumas considerações de natureza teórica sobre o comportamento elástico

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Um material diz-se elástico quando há uma relação biunívoca entre tensão e deformação σ = D ε (4.1) onde, no caso linear, D é um tensor constante de 4ª ordem, geralmente designado, como se viu em 3, por matriz de rigidez. Estamos portanto perante um comportamento linear. Mas se a relação tensão-deformação for originalmente expressa de forma incremental ∆σ = D ∆ε (3.3 bis) e onde D é um tensor de 4ª ordem função das tensões ou das deformações (ou, mais raramente, de ambas), então o material diz-se hipoelástico. Alternativamente, se as tensões podem ser derivadas de um potencial de energia de deformação (tal como a velocidade de percolação é derivada de um potencial de carga hidráulica), isto é σ = [∂f(ε)/∂ε] (4.2) o material diz-se hiperelástico. Pode mostrar-se que qualquer material elástico é também hiperelástico. Mas a inversa não é necessariamente verdadeira. Do mesmo modo, todos os materiais elásticos são hipoelásticos, mas um material hipoelástico pode não ser elástico. Tem-se assim que a hipoelasticidade é a forma mais geral, seguida da elasticidade e da hiperelasticidade, hierarquia que está representada na figura 4.1 Pode então perguntar-se quais são as vantagens das formas mais restritivas. Uma é a forma mais compacta da formulação, pois um material hiperelástico requer somente a definição de uma função escalar f(εij) para uma especificação completa. Um material elástico necessita que se defina uma função tensor de 2ª ordem e o material hiperelástico de um tensor de 4ª ordem. Uma segunda vantagem tem a ver com a de respeitar a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica. Na realidade é possível especificar um material elástico ou hipoelástico que, para um ciclo fechado de aplicação de tensão (carga-descarga) ou de deformação, crie ou perca energia nesse ciclo. Este comportamento não está de acordo com a 1ª lei da Termodinâmica. No caso de um material hiperelástico não é possível especificar um comportamento que não verifique aquela lei. Acontece ainda que, no caso do comportamento hipoelástico, pode especificar-se um material em que a um ciclo fechado de tensão não corresponda um ciclo fechado de

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Figura 4.1 – Classes da teoria da elasticidade

deformação, o que contradiz a noção de elasticidade no seu estrito significado, isto é, não podem ocorrer deformações permanentes associadas a um ciclo fechado de tensão. 4.2 – Equações constitutivas elásticas lineares Como é bem sabido estas equações necessitam apenas de dois parâmetros, os quais são correntemente o módulo de deformabilidade ,E, (módulo de Young) e o coeficiente de Poisson, ν. Mas como também é bem sabido, nos geomateriais e nos solos em particular, há vantagem em usar alternativamente os módulos de deformabilidade volumétrica, K, e de distorção, G. O comportamento destes materiais é bem descrito por dois modos de deformação distintos, um relativo à variação da deformação volumétrica e outro respeitante à variação da deformação distorcional. Como é sabido, K e G podem ser expressos em função de E e ν. K = [E / 3(1-2ν)] (4.3) e

G = [E / 2(1+ν)] (4.4)

Dados os parâmetros em tensões efectivas (E’, ν’ ou K’, G´) é fácil obter os mesmos parâmetros em termos de tensões totais no caso de análises não drenadas de materiais saturados. No caso da generalidade dos solos saturados, sendo a água dos poros praticamente incompressível quando comparada com o esqueleto sólido (não com a da matéria sólida das partículas), pode considerar-se que νu tende para 0,5, pelo que o módulo de deformabilidade não drenado, Ku tende para infinito. Como as variações da tensão média não dão origem a qualquer distorção em materiais isotrópicos e elásticos, então o módulo de distorção não drenado Gu é igual a G’. Assim

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Gu = [Eu / 2(1+νu)] = G’ = [E’ / 2(1+ν)] (4.5) e Eu = 1,5E’ / (1+ν’) (4.6) 4.3 – Quantificação dos parâmetros A quantificação dos parâmetros das equações constitutivas é normalmente baseada em ensaios laboratoriais. No caso da medição da rigidez estes ensaios tendem a subavaliar os valores in situ, principalmente no caso de ensaios não consolidados não drenados (UU), havendo autores que sugerem que o valor da rigidez assim obtido deve ser multiplicado por 5. Já os ensaios edométricos, no caso de aterros compactados, parece fornecerem valores mais próximos do real no caso da rigidez vertical. Mas também se pode recorrer a ensaios de campo. Por exemplo, no caso do módulo de distorção inicial G0, valor correspondente a muito pequenas deformações, pode ser quantificado com fiabilidade através da medição da velocidade de propagação no solo das ondas resultantes de um choque (domínio dos métodos geofísicos). Os modelos que se irão abordar de seguida requerem o conhecimento dos parâmetros de resistência (c,φ) ou (c’,φ’). No caso de solos sem ligações cimentícias entre as partículas (ou com ligações cimentícias relativamente fracas), o valor de c’ é nulo. Se os solos em questão (pois é de solos que agora se está a tratar) forem OC e consequentemente exibirem tensões de pico, tais tensões implicam a consideração da dilatância ψ ou de c’, entendido este último parâmetro como uma intersecção da envolvente dos estados de pico com a ordenada p’ = 0 (portanto sem qualquer significado físico). Também é necessário uma curva tensão deviatórica – deformação distorcional para a obtenção do módulo G (ver figura 4.2) bem como conhecer a relação entre a tensão média efectiva, p’e a deformação volumétrica, εv, para determinar o módulo de deformabilidade volumétrica, em termos de tensões efectivas, K’ (ver figura 4.3). Neste caso o valor de K’ pode ser obtido a partir dos valores dos índices de compressibilidade, Cc, ou de expansão-recompressão, Cs (obtidos de ensaios edométricos ou triaxiais) para o caso de materiais NC ou OC, respectivamente. Os valores de Cc e de Cs são considerados constantes, de tal modo que o módulo K’ varia linearmente com a tensão p’ Kt = p’ (1+e) / 0,434 C (4.7) onde Kt é o módulo de deformabilidade volumétrica tangencial correspondente à tensão média efectiva p’ e ao índice de vazios e, e C toma o valor de Cc ou de Cs consoante a situação em análise. Mais à frente, em 5.2, será deduzida a equação 4.7.

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Figura 4.2 – Diferentes definições de G (=G’) com base nos resultados de um ensaio de corte em compressão triaxial. Gt = módulo tangencial; Gm = módulo médio; G0 = módulo incial (no caso de ensaio de corte não drenado com material saturado, εv = 0, logo ν = 0,5 e Eu = 3G = 3Gu)

Figura 4.3 – Diferentes definições de K’ com base nos resultados tensão média efectiva (p’) – deformação volumétrica (εv) obtidos a partir de um ensaio de consolidação em câmara triaxial. Kt’ = módulo tangente; K’sec = módulo secante; K’0 = módulo inicial (se não houvesse drenagem, εv = 0, logo ν = 0,5, pelo que Ku tenderia para infinito).

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5 – Leis constitutivas para comportamento elástico variável Geralmente estas leis exprimem os módulos elásticos em função da tensão ou da deformação ou de ambas. Podem ser aplicadas com base em módulos secantes ou módulos tangentes. Uma equação constitutiva deve modelar (descrever) as seguintes propriedades dos solos, observadas experimentalmente: a) o módulo de elasticidade volumétrico, K, aumenta com a tensão média efectiva (num solo saturado com comportamento não drenado uma variação na tensão média total não tem qualquer efeito na rigidez do material, fazendo apenas aumentar a pressão na água intersticial). Este comportamento é traduzido pela forma concava da curva que traduz a relação entre a tensão hidrostática e a deformação volumétrica num ensaio de compressão hidrostática ou num ensaio edométrico (esta curva pode ser convexa no caso de materiais cujas partículas sofrem esmagamento para baixos níveis de tensão, como é o caso, por exemplo, de enrocamentos de baixa qualidade) b) o módulo de distorção, G (que também aumenta com a tensão média efectiva mas de forma muito menos pronunciada do que K) reduz-se com a distorção, comportamento bem expresso pela forma convexa da curva tensão deviatórica-deformação distorcional, obtida no ensaio de corte em compressão triaxial. c) satisfazer um critério de rotura, Mohr-Coulomb por exemplo, o que implica que o módulo de distorção tangencial tenda para zero na rotura; d) aumento abrupto de rigidez na descarga; e) elevada rigidez para baixos níveis de tensão e também na recarga após descarga; f) sofrerem, quando sobreconsolidados, uma queda abrupta de rigidez quando é atingida a tensão de préconsolidação; g) quando rígidos (argilas rijas e areias densas, por exemplo), tenderem a ser dilatantes (expandem quando submetidas ao corte) e quando pouco rígidos (argilas moles e areias soltas, por exemplo) tenderem a exibir dilatância negativa. A dilatância depende da tensão confinante efectiva bem como do volume específico (conceitos básicos da Mecânica dos Solos dos Estados Críticos); h) exibirem deslocamentos devidos a expansão ou colapso, ou seja, um aumento ou redução de volume, respectivamente, quando inicialmente não saturados. Como se verá, as leis constitutivas baseadas na elasticidade variável podem satisfazer as condições a) a c) acima referidas. Com alguma manipulação podem respeitar a condição d), mas não podem incorporar as restantes quatro. 5.1 – Modelo hiperbólico

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Este modelo tem tido grande utilização visto que a quantificação dos eus parâmetros pode ser efectuada a partir de ensaios de corte em compressão triaxial convencionais. Este modelo, atribuído a Kondner (1963), define uma relação entre a tensão e a deformação do tipo hiperbólico (σ1 – σ3) = ε1 / (a + b ε1) (5.1) representada na figura 5.1. Os parâmetros a e b são constantes quando a equação é aplicada ao resultado de ensaios de corte em compressão triaxial normais. O módulo de Young inicial, E0, é igual a 1/a e 1/b representa o valor de (σ1 – σ3) na rotura.

Figura 5.1 - Curva hiperbólica representativa dos resultados da fase de corte num ensaio de corte em compressão triaxial Como é evidente a e b variam com σ3. Não obstante as equações constitutivas deste modelo poderem comportar oito parâmetros, tem tido muita aplicação, sobretudo no domínio das barragens de aterro e nos aterros de grande dimensão de vias de comunicação. Na realidade os resultados da sua aplicação não são muito sensíveis aos valores de alguns dos parâmetros. Teve grande divulgação nos Estados Unidos e foi bastante usado em Portugal no que diz respeito a barragens de aterro. Reescrevendo a equação 5.1 ε1/ (σ1 – σ3) = a + b ε1 (5.2) pode representar-se graficamente tal como pode ver-se na figura 5.2. Verifica-se que a é o inverso do módulo de Young tangente no início da curva tensão-deformação, Ei, e b é o inverso da assímptota da hipérbole, cujo valor é igual a (σ1 – σ3)U , logo sempre superior ao valor máximo da resistência do solo (σ1 – σ3)R. Embora os parâmetros Ei e (σ1 – σ3)U possam ser obtidos por via analítica é aconselhável determiná-los com base em gráficos tais como o apresentado na figura 5.2 de modo a ponderar os ensaios mais fiáveis e eliminar inconsistências. Recomenda-se por exemplo que se considerem apenas os resultados correspondentes a 70 a 95% da resistência ao corte mobilizada, propondo-se mesmo, na prática; que se usem somente estes dois pontos da curva tensão-deformação obtida do ensaio.

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Figura 5.2 – Transformada da curva tensão-deformação obtida num ensaio triaxial

Mas a e b dependem da tensão de confinamento σ3, aumentando Ei e (σ1 – σ3) com σ3, Para relacionar Ei e (σ1 – σ3)U com a tensão σ3 recorre-se a expressões empíricas largamente comprovadas. No caso da relação Ei com σ3 (Janbu, 1963) Ei = K pa (σ3 /pa)

n (5.3) onde K (não confundir com o módulo de deformabilidade volumétrica) e n são parâmetros adimensionais e pa é a pressão atmosférica expressa nas mesmas unidades de σ3. A representação gráfica em escala logarítmica da equação (5.3), tal como se pode ver na figura 5.3, permite quantificar os parâmetros K e n.

Figura 5.3 – Variação do módulo de elasticidade tangente inicial, Ei , com a tensão de confinamento σ3

A variação de (σ1 – σ3)U com a tensão σ3 é tida em conta a partir das relações entre a resistência ao corte na rotura (σ1 – σ3)R e (σ1 – σ3)U para cada σ3. Define-se assim o chamado coeficiente de rotura, Rf , igual a

Rf = [(σ1 – σ3)R / (σ1 – σ3)U ] (5.4)

Para quantificar Rf, embora o seu valor cresça ligeiramente com σ3, é comum tomar o valor médio dos resultados obtidos. Rf indica o afastamento da curva tensão-deformação em relação à hipérbole (para Rf = 1, a curva é uma hipérbole e valores inferiores a 1 indicam progressivo afastamento do andamento hiperbólico). Normalmente Rf varia entre 0,9 e 0,5.

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A partir de um dado critério de rotura (no caso presente o de Mohr-Coulomb) pode relacionar-se (σ1 – σ3)R com σ3

(σ1 – σ3)R = (2c cosφ + 2σ3 sen φ)/(1-sen φ) (5.5)

onde c e φ são a coesão e o ângulo de atrito interno do material em termos de tensões totais. É evidente que estas mesmas expressões se poderiam escrever em termos de tensões efectivas.

Expressos a e b em função de σ3 ter-se-á

(5.6)

Finalmente exprimindo Et unicamente em função das tensões, ter-se-á

(5.7)

portanto com cinco parâmetros, a saber, c (ou c’), φ (ou φ’), K, n e Rf .

Quando ocorre uma diminuição da tensão distorcional no ensaio triaxial, verifica-se que que as deformações processadas anteriormente durante o incremento da tensão distorcional só em parte são recuperadas. Embora se verifique sempre um efeito de histerese é aceitável que, quer no incremento de descarga quer na subsequente recarga, se possa considerar o comportamento elástico linear. No modelo hiperbólico de termina-se o módulo de descarga-recarga, Rdr, através da equação

Edr = Kdr pa (σ3 /pa)n (5.8)

Kdr é sempre superior ao módulo K correspondente ao primeiro carregamento (ver figura 5. Quanto ao coeficiente de Poisson, verifica-se que as deformações radiais não são normalmente medidas nos ensaios triaxiais convencionais. Determinam-se como é sabido a partir da medição das extensões volumétricas εv através da equação ε3 = (εv – ε1)/2 (5.9) Kulhawy et al. (1969) sugeriram uma relação entre as deformações principais também do tipo hiperbólico (figura 5.5)

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Figura 5.4 – Módulo de elasticidade de descarga-recarga

4). O valor de n pode considerar-se igual ao de n na equação (5.3).

ε1 = ε3 / (f + d ε3) (5.10)

Figura 5.5 – Relação hiperbólica entre as tensões principais. Curva experimental e trans formada da curva experimental. Na mesma figura apresenta-se a correspondente curva transformada (processo semelhante ao representado na figura 5.2), a qual permite quantificar os valores de νi (igual a 1/f) e εau (igual 1/d). Para analisar a influência da tensão σ3 no valor de ν pode adoptar-se a seguinte expressão (Kulhawy, opus cit.), νi = G – F log (σ3 /pa) (5.11) onde G corresponde ao coeficiente de Poisson inicial para σ3 = pa (não confundir com o módulo de distorção) e F representa o decréscimo de νi com o aumento da tensão de

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confinamento. No gráfico da figura 5.5 exemplifica-se a quantificação dos parâmetros G e F. Há agora que estabelecer a relação entre ν e o estado de tensão. Como é sabido ν = - dε3/ dε1 = - dεr/ dεa. Reescrevendo a equação 5.10 na forma ε3 = νi ε1 / (1- dε1) (5.12) e diferenciando o valor de ε3 relativamente a ε1, obtém-se νt = - dεr/ dεa = - νi / (1 – dε1)

2 (5.13)

como pode ver-se na figura 5.6, onde dεa = dε1 e dεr = dε3.

Figura 5.6 – variação do coeficiente de Poisson inicial com a tensão σ3

Como não é conveniente exprimir νt em função de ε1 pode fazer-se a substituição desta última variável de acordo com a equação

ε1 = (σ1 - σ3) / Et (5.14) em que Et tem o valor dado pela equação 5.7. Substituindo as equações 5.14, 5.7 e 5.11 em 5.13, ter-se-á

(5.15) Dentre as vantagens do modelo hiperbólico destacam-se:

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- os parâmetros podem ser obtidos do ensaio de corte em compressão triaxial e termos de tensões totais ou de tensões efectivas; - existe uma vasta experiência na sua utilização havendo centenas de materiais ensaiados; - é relativamente fácil de implementar com vista à utilização do método dos elementos finitos e os parâmetros, como se descreverá de seguida, têm um significado físico para o engenheiro geotécnico. Assim: K – módulo de elasticidade inicial, Ei, para σ3 igual a 1 atmosfera; KDR – módulo de elasticidade descarga-recarga para σ3 igual a 1 atmosfera; n – variação do módulo de elasticidade inicial com σ3; φ (ou φ’) – ângulo de resistência ao corte ou ângulo de atrito interno;

c’ (ou c) – coesão (critério de Morh-Coulomb), sendo c’ = 0 nos solos saturados; Rf – Grau de aproximação da curva tensão-deformação no ensaio triaxial a uma hipérbole; G – coeficiente de Poisson inicial para σ3 igual a 1 atmosfera; F – decréscimo do coeficiente de Poisson inicial com o aumento de σ3; d – aumento do coeficiente de Poisson com o acréscimo da deformação principal mínima. Uma breve nota sobre a aplicação do modelo hiperbólico aos enrocamentos. Uma particularidade destes materiais é a de que a envolvente dos estados de rotura é curva, isto é, φ’ varia com a tensão média (não é necessário referir que se trata de uma tensão efectiva já que os enrocamentos, dada a dimensão das seus elementos sólidos, tem sempre um comportamento drenante). Este comportamento, que pode ver-se na figura 5.7, deve-se sobretudo à fracturação dos elementos sólidos, que pode ocorrer mesmo para muito baixas tensões médias. Na realidade este comportamento pode também ocorrer em areias (mesmo nas siliciosas), mas para tensões médias muito elevadas e pouco correntes em engenharia civil geotécnica (excluindo as que se podem verificar na zona da ponta de estacas cravadas durante a sua instalação). Como pode ver-se na figura 5.7, o valor de φ (ou φ’) , para cada ensaio triaxial, pode ser determinado admitindo que a tangente ao círculo de Mohr, na rotura, passa pela origem do sistema de referência do diagrama das tensões. Assim φ = sen-1 [(σ1 - σ3)R / (σ1 + σ3)R] (5.16)

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Figura 5.7 – Envolvente de Mohr-Coulomb (a traço interrompido). Trajectórias de tensão em ensaios triaxiais de enrocamento submerso da berragem de Beliche (Veiga Pinto, 1983) Verifica-se experimentalmente que nestes materiais o valor de φ diminui de forma proporcionalmente inversa com a tensão média, tal como se mostra na figura 5.8.

Figura 5.8 – Variação do ângulo de atrito interno com a tensão média

Pode assim considerar-se uma equação do tipo

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φ = φ0 - ∆ φ log (σ3 / pa) (5.17) esclarecendo-se na figura 5.8 o significado dos símbolos desta equação. Assim, no caso dos enrocamentos, a aplicação do modelo hiperbólico implica a consideração de mais um parâmetro, ∆ φ, substituindo-se o parâmetro φ por φ0. Na figura 5.9 apresentam-se os resultados de ensaios de corte em compressão triaxial de enrocamentos realizados no Laboratório Nacional de Engenharia Civil em amostras de grande dimensão (ver figura 5.10). Chama-se a atenção para o facto de a granulometria do material ensaiado ser uma modelação da granulometria real, com a qual, naturalmente, não seria possível preparar amostras susceptíveis de serem ensaiadas em laboratório modelada. Na figura 5.11 mostram-se as duas granulometrias: a do

Figura 5.9 – Curvas tensão-deformação de enrocamento usado no maciço estabilizador exterior da barragem de Beliche enrocamento real (enrocamento são da barragem de Beliche) e a granulometria modelada ensaiada em laboratório.

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Figura 5.10 – Amostra de grande dimensão para ensaio triaxial de enrocamento usado no maciço estabilizador exterior da Barragem de Beliche (0,3 m de diâmetro e 0,76 m de altura)

Figura 5.11 – Fuso granulométrico do enrocamento usado no maciço estabilizador exterior da Barragem de Beliche (ES) e granulometria do material ensaiado (2) A título de exemplo apresentam-se os valores dos parâmetros do modelo hiperbólicos para o enrocamento usado no maciço estabilizador exterior da barragem de Beliche, no caso de estar submerso: K – 980; KDR – 5880; n – 0,66; c – 0; φ0 – 51,1º; ∆φ – 11,6º; Rf – 0,82; G – 0,38; F – 0,30; d – 4,8.

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Tendo em atenção considerações anteriores, pode dizer-se que o modelo hiperbólico se situa nos domínios da hipoplasticidade e que satisfaz os requisitos a) a d) no que respeita à adequação aos geomateriais. 5.2 – Modelo K-G Neste modelo, são considerados módulos tangenciais K e G, os quais são explicitamente definidos em termos de tensões (Naylor, et al., 1981). Trata-se de um modelo apropriado para métodos de análise incrementais nos quais cada passo é suficientemente pequeno para que o incremento se aproxime da diferencial. Por tal motivo, são também referidos como modelos diferenciais. Tudo o que adiante se refere se aplica em termos de tensões efectivas, mas por razões de simplicidade, far-se-á sempre referência a K e G em vez de K’ e G. Como já foi referido no início do capítulo 5, nas alíneas a) e b), K cresce com o aumento da tensão σ3 (ou com p’) e G diminui com a tensão de corte, tendendo para zero na rotura. Deste modo é natural que se definam de forma separada os valores tangenciais de K As tensões a considerar no modelo sê-lo-ão na forma dos invariantes σd = (σ1 – σ3) (5.18) e σs = (σ1 + σ3) /2 (5.19) Neste caso o modelo deve incorporar o critério de rotura de Mohr-Coulomb, critério que, representado num espaço de tensões principais, assume a forma representada na figura 5.12,

Figura 5.12 – Critério de rotura de Mohr-Coulomb

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Recorrendo-se aos invariantes das tensões q = σ1- σ3 e p’ = (σ’1+σ’2+σ’3) / 3, haverá neste caso que incorpora um critério de rotura cónico (critério de von Mises generalizado, ver figura 5.13),

Figura 5.12 – Critério de rotura de von Mises generalizado

Como pode verificar-se, no plano octaédrico (ver figura 5.13), o critério de rotura de Mohr-Coulomb é traduzido por um hexágono irregular (ver figura 5.11) enquanto que o critério de von Mises generalizado é representado, no mesmo plano, por um círculo (ver figura 5.12).

Figura 5.13 – Eixo hidrostático, plano “triaxial” e plano octaédrico representados num sistema cartesiano de tensões principais

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No caso de solos ou geomateriais que não exibam ligações cimentícias entre as partículas, tanto o vértice da pirâmide hexagonal (figura 5.11) como do cone (figura 5.12) coincidiriam com com a origem do sistema cartesiano das tensões principais. O modelo K-G pode ser definido admitindo que K e G variam linearmente com invariantes das tensões. Uma possibilidade é a de estabelecer que K = K1 + αKp’ (5.20) e G = G1 + αG p’+ βG q (5.21) em que p’ = I1 / 3, onde I1, primeiro invariante das tensões é igual a (σ’1+σ’2+σ’3). Sendo q2 = σ1 (σ1 – σ3) + σ2 (σ2 – σ3) + σ3 (σ3 – σ1) (5.22) e como o segundo invariante das tensões deviatóricas, J2, é igual a q2/3, ter-se-á que q pode ser expresso em função de J2 através da equação q2 = 3 J2 (5.23) mas pode também relacionar-se com a tensão deviatórica octaédrica, τoct, através da expressão q = (3 / 21/2) τoct (5.24) já que

τoct2 = 1/9 [(σ1 – σ2)

2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)

2] (5.25)

Em alternativa às expressões (5.20) e (5.21) pode recorrer-se a

K = K1 + αK σs (5.26) e G = G1 + αG σs + βG σd (5.27) com σd e σs já definidos nas equações (5.18) e (5.19). Em qualquer dos casos ter-se-á que quantificar cinco parâmetros (c’, φ’, αK, αG e βG) ou apenas quatro no caso de c’ ser nulo. Pelas razões já atrás expostas, αK e αG são positivos e βG é negativo. Escolhendo adequadamente G1, αG e βG terá como resultado verificar-se G = 0 quando as tensões satisfizerem um critério de rotura.

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Como os geomateriais e os solos em particular, aderem melhor ao critério de Mohr-Coulomb, as equações (5.26) e (5.27) são mais frequentemente usadas do que as equações (5.20) e (5.21). Desde que K e G permaneçam positivos, o material elástico por eles definido será admissível de um ponto de vista teórico. O valor do coeficiente de Poisson situar-se-á entre os seus valores limites possíveis, isto é, -1 e 0,5. Deve chamar-se a atenção para o caso de modelos diferenciais em que se admite ν constante, variando E (ou G).

Se aumenta a distorção, o valor de E, como se observa, vai diminuindo. Ora se se admite que ν é constante e tendo em atenção a equação (4.3), ocorrerá uma diminuição não intencional de K. Isto é, tanto K como G tendem para zero na rotura o que constitui uma impossibilidade física.

Por outro lado as deformações calculadas no pressuposto de ν ser constante incluiriam deformações volumétricas que na realidade não se verificam. Assim, na prática, ν tende para 0,5 e K tende para infinito quando se caminha para a rotura.

No que respeita a quantificação dos parâmetros do modelo K-G, consideram-se, pelas razões atrás apontadas (melhor aderência dos solos ao critério de rotura de Mohr-Coulomb), K e G definidos pelas equações (5.26) e (5.27).

No caso de c ≠ 0 ter-se-ia, na rotura

G1 + αG σs + βG σd = 0 (5.28)

e, pelo critério de rotura 2 c cos φ + 2 sen φ σs - σd = 0 Dividindo (5.28) por βG, vem

(G1 / βG) + (αG / βG) σs + σd = 0 Pelo que na rotura e de acordo com o critério de Mohr-Coulomb, ter-se-á αG /- βG = 2 sen φ (5.29) e G1 / -βG = 2 c cos φ (5.30) Sabendo c e φ, podem usar-se estas últimas equações para poder usar apenas um parâmetro em vez de três (G1, αG e βG). Este será βG.

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Como exemplo, considerem-se os resultados de ensaios de corte em compressão triaxial do tipo CD (ou CU com medição das pressões na água intersticial) representados na figura 5.14.

Figura 5.14 – Ensaios de corte em compressão triaxial. Envolvente na rotura e módulos de distorção (G)

Notar que como σd = (σ1 – σ3) e não (σ1 – σ3)/2, como é habitual, astrajectórias de tensão durante a fase de corte não fazem um ângulo de 45º com o eixo das abcissas mas sim um ângulo de 63º,44.

A partir destes ensaios obtém-se, pelos procedimentos habituais, o valor de c e de φ. Embora seja c = 0, a envolvente apresentada na figura 5.14 não passa exactamente pela origem dos eixos, facto que tem a ver apenas com deficiências sempre associadas a qualquer determinação experimental. Trata-se de um solo, logo não pode exibir coesão (recorde-se que, com atrás já foi referido, se está sempre a referir a tensões efectivas).

Sendo c = 0, ter-se-á G = G1 = 0, e há apenas que satisfazer a equação (5.29). Há agora que obter a inclinaçãodas curvas tensão deviatórica-deformação distorcional dos ensaios triaxiais o valor de G num determinado número de pontos dessas curvas (ver, como exemplo, a determinação de Gt na figura 4.2). Em cada ponto são registados os valores de σs e de σd.

Pode assim ser definida uma superfície no espaço (σs , σd, G). A equação (5.27) define um plano naquele espaço, pelo que o lugar geométrico de um dado valor de G constitui uma recta paralela à linha de rotura (na figura 5.14 estão representadas as rectas correspondentes a G = 0, G = 10 MPa e G= 20 MPa).

Pode procurar-se o melhor ajustamento deste plano aos resultados experimentais modificando αG e βG mas mantendo sempre constante a sua relação expressa pela equação (5.29).

No que diz respeito a αK este parâmetro pode ser obtido independentemente do estádio de consolidação dos ensaios. Se, como é sabido, a relação entre e (ou v) e log p’ é linear, pode considerar-se K1= 0 (ver equação 5.25). Assim

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-∆e = Cc log [(p’ + ∆p’) / p’] = Cc log [1 + (∆p’ / p’)] (5.31)

Como

K = - ∆p’ / ∆εv (5.32)

Logo

∆p’ / K = - ∆εv = - ∆e / (1 + e0) = [1 / (1 +e0)] Cc log [1 + (∆p’ / p’)] (5.32)

donde

K = [(1 + e0) / Cc] {∆p’ / log [1 +(∆p’ / p’)]} (5.33)

Desenvolvendo em série de Taylor log [1 +(∆p’ / p’)] e sendo ∆p’ muito menor do que p’, ter-se-á

log [1 +(∆p’ / p’)] = (1/2,3)( ∆p’ / p’) – (1/4,6) )( ∆p’ / p’)2 + (1/6,9) )( ∆p’ / p’)3- …

= [2,3 (1 + e0) p’/ Cc]

no caso de solos NC. De forma mais geral

K = [2,3 (1 + e) p’/ C] (5.34)

ou

K = [ (1 + e) p’/ 0,434C] (4.7 bis)

onde C representa o coeficiente de compressibilidade Cc no caso de solos NC ou o coeficiente de expansibiladade (descarga-recarga) no caso de solos OC e e é o índice de vazios do material antes da aplicação do incremento ∆p’(positivo ou negativo).

No caso da relação

V = ln p’ (5.35)

onde v (= 1 + e) representa o volume específico, como

Cc = 2,3 λ (5.36)

e

Cs = 2,3 κ (5.37)

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obtêm-se as conhecidas relações da Mecânica dos Solos dos Estados Críticos

K = vp’/λ (5.38)

para solos NC, e

K = vp’/κ (5.39)

no caso de solos OC.

Assim, como K1 = 0, com base na equação 5.26 e tendo em atenção que se está a considerar uma compressão hidrostática (fase de consolidação dos ensaios de corte em compressão triaxial em que σ’1=σ’2=σ’3 = σ’ s= σs = p’) será K = αK σs = αK p’ (5.40) pelo que, comparando com a equação 5.34, se tem αK = [2,3 (1 + e) / Cc] = v / λ (5.41) a qual permite quantificar αK. Como se viu, é importante saber se o material, para a tensão em causa , é NC ou OC ou se ultrapassou durante o carregamento a tensão de sobreconsolidação. Este aspecto é muito importante já que não é tido em consideração de modo automático pelo modelo. Outro aspecto a referir é a impossibilidade do modelo introduzir, tal como sucede nos modelos elastoplásticos, o aumento de rigidez do material que se verifica durante a descarga. O modelo K-G que se apresentou constitui apenas um exemplo de um modelo diferencial (elasticidade variável). Existem modelos K-M (onde M é o módulo edométrico e ainda modelos em que K é definido em função da deformação volumétrica, mais concretamente uma função quadrática daquela deformação (Nelson & baron, 1971). Outro modelo, desenvolvido no LNEC (Veiga Pinto, 1983), é designado por EC-K0. Para medir os respectivos parâmetros recorre-se a único tipo de ensaio, o ensaio edométrico com medição das tensões laterais (ver figura 5.15), pode medir-se EC = M

38

(módulo edométrico) e o coeficiente de Poisson (a partir da relação entre as tensões horizontal e vertical efectivas).

Figura 5.15 – Corte esquemático da câmara de deformação uniaxial (edométrica) de grandes dimensões do LNEC com a possibilidade de medir as tensões laterais

Figura 5.16 – Durante a realização do ensaio de deformação uniaxial

Como se trata de um equipamento de ensaio para enrocamentos tem grandes dimensões (0,5 m de diâmetro). A fotografia da figura 5.16 corresponde à fase de ensaio no Laboratório Nacional de Engenharia Civil.

39

6 – Leis constitutivas para comportamento elastoplástico Uma das principais diferenças entre as respostas elástica e plástica é que num fluxo plástico as deformações (plásticas) não são recuperáveis quando o estado de tensão regressa ao seu valor inicial (apenas são recuperadas as deformações elásticas que tenham contribuído para levar o material à cedência). Por tal motivo não é adequado formular uma equação constitutiva relacionando a deformação plástica com o estado corrente de tensão. Não há uma relação biunívoca entre a deformação plástica e a tensão, já que pode existir uma quantidade desconhecida de deformação plástica instalada no corpo no início da aplicação de um carregamento. Assim, a relação mais apropriada é entre tensão e incremento de deformação plástica. Analisando o incremento em vez da deformação plástica total contorna-se o problema da irreversibilidade. E é claro que se são conhecidos os incrementos de deformação plástica resultantes de um processo de carregamento, a sua integração dará a deformação plástica total verificada durante o referido processo. Por vezes, no tratamento de questões de plasticidade, é usada a taxa de deformação plástica em vez de incremento de deformação plástica. É basicamente a mesma quantidade, mas envolve directamente o tempo. Mas pode encarar-se o tempo como um simples parâmetro, representando então dε

p a quantidade de deformação plástica que ocorreria para um dado incremento desse parâmetro. O uso de uma nomenclatura ou de outra não afecta o resultado final, sendo pois uma questão de preferência pessoal. É de salientar ainda que, embora as deformações plásticas possam atingir valores elevados, se usa mais frequentemente a definição de pequenas deformações. Esta opção tem em conta a simplicidade inerente à teoria das pequenas deformações e também porque em muitas aplicações são as condições no limiar da plastificação que se revelam ter maior interesse do que uma descrição muito precisa da magnitude da deformação (Davis & Selvadurai, 2002) O comportamento elastoplástico consiste numa designação geral que abrange o comportamento elástico perfeitamente plástico e o comportamento plástico com endurecimento. 6.1 – Comportamento elástico perfeitamente plástico A hipótese básica das equações constitutivas aplicáveis a este tipo de materiais é a de que o incremento de deformação resultante de qualquer alteração na tensão pode ser dividido numa parte elástica e noutra plástica dε = dεe + dεp (6.1) O modelo elástico perfeitamente plástico é definido numa região do espaço de tensões onde as deformações são apenas elásticas, tal como está representado na figura 6.1.

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Figura 6.1 - Comportamento elástico perfeitamente plástico: superfície de cedência que, num espaço de tensões, separa a região elástica da região inacessível

Nessa região, os incrementos de deformação elástica, dεe, relacionam-se com os incrementos de tensão dσ, através da relação dσ = D dεe (6.2)

Mas logo que a fronteira da região elástica é atingida e o material cede (ou rompe). Esta fronteira denomina-se superfície de cedência (figura 6.1) e matematicamente é descrita por uma função de cedência

F(σ) = 0 (6.3)

O incremento dεp (equação 6.1) só ocorre quando o estado de tensão se situa e permanece na superfície de cedência, de tal modo que

dF = (∂FT/∂σ) d σ = 0 (6.4)

onde T indica transposição do vector. Esta relação é chamada condição de consistência.

Para calcular as deformações plásticas admite-se a existência de uma função de potencial plástico, G(σ), que pode ser calculada no estado corrente de tensão de tal modo que o incremento de deformação plástica é dado por

dεp = λ (∂G/ ∂σ) (6.5)

onde λ é um escalar multiplicador, sempre positivo, cuja magnitude é arbitrária uma vez que a expressão (6.5) define apenas o mecanismo de deformação plástica, isto é, a relação entre as várias componentes da deformação plástica (cuja magnitude será indeterminada).

Combinando as equações (6.1), (6.2) e (6.5) obtém-se

41

dσ = D dε - λ D (∂G/ ∂σ) (6.6)

e combinando (6.6) com (6.4) vem

λ = [(∂FT/∂σ) D dε] / [(∂FT/∂σ) D (∂G/ ∂σ)] (6.7)

que permite obter uma expressão para a matriz de rigidez elastoplástica Dep dando dσ em função de dε

dσ = { D - [D (∂G/ ∂σ) (∂FT/∂σ) D] / [(∂FT/∂σ) D (∂G/ ∂σ)] }dε = Dep dε (6.8) a qual permite calcular o incremento de tensão a partir de qualquer incremento de deformação total que está a originar cedência. Saliente-se que podem sempre deduzir-se incrementos de tensão a partir de incrementos de deformação impostos (ver equação 6.8) mas a operação inversa nem sempre será possível se o estado de tensão corrente já se situa na fronteira da região elástica (ver figura 6.1) Para mostrar como deve ser utilizada a equação 6.8, considere-se um material elástico perfeitamente plástico que satisfaz o critério de rotura de Mohr-Coulomb numa condição de axissimetria (Wood, 2004). As propriedades elásticas, considerando a equação constitutiva correspondente ao material homogéneo, isotrópico e elástico, são

Figura 6.2 – Material elástico perfeitamente plástico satisfazendo o critério de rotura de Mohr-Coulomb. Lugar geométrico das tensões de cedência/rotura (função de cedência)

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(6.9) A função de cedência será (ver figura 6.2) F(σ) = F(p’, q) = q – Mp’ (6.10) Se F(p’,q) < 0, o solo é elástico, se F(p’,q) = 0, o solo está em cedência (rotura) e gera deformações plásticas. Não é possível a situação F(p’,q) > 0. O valor do parâmetro M (a que se fará referência quando se tratar do modelo elastoplástico com endurecimento designado Cam Clay) relaciona-se com o ângulo de atrito interno φ do material, obtido num ensaio de corte em compressão triaxial, através da expressão M = (6 sen φ) / (3 – senφ) (6.11) São assim necessárias algumas condições relativas às deformações plásticas sob a forma duma lei de fluxo plástico, a qual define o mecanismo de deformação no estado corrente de tensão. É assim definida a seguinte função de potencial plástico (ver figura 3) G(σ) = G(p’,q) = q – M* p’ + k = 0 (6.12)

Figura 6.3 – Potenciais plásticos de um material elástico perfeitamente plástico que satisfaz o critério de Mohr-Coulomb

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onde k representa um valor arbitrário que permita que G(p’,q) possa ser definida no estado de tensão corrente e M* representa uma propriedade do solo. Isto implica que os incrementos de deformação plástica sejam normais a G no estado de tensão corrente (ver figura 3)

(6.13) A relação entre as duas componentes da deformação plástica é dεv

p / dεsp = - M* (6.14)

A relação entre M e φ é muito simples e é dada pela equação (6.11). O mesmo não se pode dizer da relação entre M* e φ pois, ao contrário do que se passa no caso de M, a tensão principal intermédia influencia M*. O ângulo de dilatância, ψ, é um conceito que se adapta essencialmente à situação de deformação plana (conhecida definição geométrica no círculo de Mohr das deformações). Em condição de corte em compressão triaxial (dεa>0 ), pode definir-se um ângulo de dilatância semelhante ψc que se relaciona com ψ através da expressão (Wood, 2004) senψc = (1 – 3sen ψ) / (3 - sen ψ) (6.15) Com esta definição de ψ para o caso axissimétrico (triaxial) tem-se que para M* = 0 há deformação plástica a volume constante (ψ = 0). Se o material se contrai quando está em plastificação será ψ < 0 e M* < 0. Se pelo contrário o solo se expande ter-se-á ψ > 0 e M* > 0. Nos solos reais tem-se normalmente ψ < φ e M* < M. Um caso especial, mas que não é realista, corresponde à situação ψ = φ. A energia que é dissipada num incremento de deformação plástica será dWp = σ

Tdεp = p’dεvp + dεs

p (6.16) Na cedência (rotura) p’ e q relacionam-se através da equação q = M p’ (6.17)

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e os incrementos de deformação plástica através da equação (6.14). Pode assim escrever-se a equação que traduz a energia plástica de deformação dWp = (M –M*) p’ dεs

p (6.18) Se M = M* não há qualquer dissipação de energia plástica, condição que parece descrever de modo não satisfatório o comportamento do material, já que este é de natureza friccional. Pode então ser obtida a matriz de rigidez elastoplástica completa (equação 6.8) para este material elástico perfeitamente plástico

(6.19) O segundo termo desta equação só é incluído se o material está em cedência. Na forma rigidez a ligação entre incrementos de tensão e deformação, na cedência, será

(6.20) Normalmente parece mais indicado e natural pensar em modificações de tensão que provocam variações de deformação, isto é, deslocamentos. Mas o diagrama (p’,q) representado na figura 6.2 ajuda a perceber que este não é provavelmente o caminho mais adequado para a análise porque uma grande parte do plano das tensões não é acessível. Mas se se partir dos incrementos de deformação para os incrementos de tensão verifica-se que não existe qualquer restrição relativamente aos primeiros. São permitidos todos os incrementos de deformação, mesmo quando o estado corrente de tensão se situa na cedência. Alguns destes incrementos de tensão darão origem a alterações de tensão puramente elásticas, as quais afastarão o estado de tensão da cedência. Outros incrementos de deformação forçarão o estado de tensão a deslocar-se, num sentido ou no contrário, segundo a linha de cedência (rotura) e de tal modo que a componente elástica da deformação provocada pela alteração na tensão utilizará aquela parte do incremento de deformação total que não pode ser imputada ao mecanismo de deformação plástica dado pelas equações 6.14 ou 6.5. 6.2 – Comportamento elastoplástico com endurecimento

45

A plasticidade perfeita vias a descrição do comportamento não elástico do solo, ou seja, a acumulação de deformações irreversíveis. A plasticidade com endurecimento permite, adicionalmente, descrever a não linearidade antes da rotura. Os aspectos fundamentais destas equações constitutivas são, como é natural, comuns aos das equações aplicáveis aos materiais elásticos perfeitamente plásticos. Têm por isso de descrever as propriedades elásticas dσ = D dεe (6.21) Tem também de incorporar um critério de cedência que permita definir se, para um dado estado de tensão está ou não a ocorrer cedência. Ao contrário dos materiais elásticos perfeitamente plásticos, a fronteira que define o início da cedência não é fixa (ver figura 6.4). Por tal motivo, o critério de cedência será não só função do estado de tensão como também de um parâmetro χ, denominado parâmetro de endurecimento F(σ, χ) = 0 (6.22) Mantém-se a restrição relativamente à impossibilidade do estado corrente de tensão se localizar exteriormente à superfície de cedência, só que esta superfície já não tem um valor fixo, antes se pode expandir de modo a poder abranger a alteração aos estados de tensão. Deste modo a condição de consistência (que estabelece que o estado de tensão tem de permanecer na superfície de cedência quando estão a ocorrer deformações plásticas) será

Figura 6.4 – Comportamento elastoplástico com endurecimento. Superfície de cedência separando as regiões elástica e plástica no espaço de tensão e função de potencial plástico para definição do incremento de deformação plástica

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F(σ, χ) = 0 ; dF = (∂FT/∂σ) d σ + (∂FT/∂χ) d χ = 0 (6.23)

Há então que descrever o mecanismo de deformação plástica indicando a relação as componentes de deformação de tal modo que os incrementos de deformação plástica sejam controlados pelo estado de tensão corrente na cedência e não pelos incrementos de tensão que conduziram o material à cedência

dεp = λ (∂G/ ∂σ) (6.5 bis)

onde λ é um multiplicador (escalar) a determinar.

Mais uma vez, se F(σ) = G(σ) = 0, o material diz-se associado (o escoamento plástico é associado com a função de cedência), caso contrário dir-se-á não associado (situação representada na figura 6.4.

Finalmente a lei de endurecimento, a qual estabelece conexão entre a variação da dimensão da superfície de cedência com a magnitude da deformação plástica, logo entre χ e λ.

Em termos muito gerais pode admitir-se que o parâmetro de endurecimento é uma dada função χ(εp)) das deformações plásticas. Combinando a condição de consistência (equação 6.23) com a lei de escoamento plástico (equação 6.5), ter-se-á

(∂FT/∂σ) d σ + (∂F/∂χ) (∂χT/∂εp) (∂G/ ∂σ) = 0 (6.24)

Fazendo

H = - (∂F/∂χ) (∂χT/∂εp) (∂G/ ∂σ) (6.25)

Obter-se-á, por um processo análogo ao usado no caso do comportamento elástico perfeitamente plástico para obter a relação de rigidez entre incrementos de tensão e incrementos de deformação total

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dσ = { D - [D (∂G/ ∂σ) (∂FT/∂σ) D] / [(∂FT/∂σ) D (∂G/ ∂σ) + H] }dε = Dep dε (6.26)

6.2.1 – Comportamento elastoplástico com endurecimento admitindo o critério de rotura de Mohr-Coulomb

Trata-se de uma extensão do comportamento elástico perfeitamente plástico,já apresentado. Admite-se que o endurecimento está associado apenas às deformações distorcionais plásticas. É aplicável sobretudo a materiais arenosos. No exposição seguinte consideram-se as condições de tensão e deformação correspondentes ao ensaio triaxial.

As propriedades elásticas correspondem a um comportamento isotrópico linear. Na realidade G, nos materiais arenosos, não é constante e varia com p’, mas considerar-se-á G constante. Assim sendo a equação 6.9 descreve estas propriedades.

O critério de cedência será

F(σ, χ) = F(p’,q, ηy) = q - ηy p’ (6.27)

onde ηy é um parâmetro de endurecimento que define a dimensão corrente do lugar geométrico dos pontos de cedência (que se designará curva de cedência, não obstante, no caso em análise, ser uma recta), tal como pode ver-se na figura 6.5

Figura 6.5 – Comportamento elastoplástico com endurecimento associado ao critério de rotura de Mohr-Coulomb. Lugar geométrico dos pontos de cedência e rotura definem linhas que separam, no plano das tensões, as regiões elástica, elastoplástica e inacessível.

A lei de endurecimento a estabelecer, como pode ver-se na mesma figura, deve permitir que a curva de cedência se expanda progressivamente até um valor limite (rotura).

Quanto à lei de escoamento plástico, de modo análogo ao exposto a propósito dos comportamentos perfeitamente plásticos, não é adequado admitir a normalidade do

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vector incremento de deformação plástica à curva de cedência corrente. A normalidade implica dεv

p / dεsp = - ηy (6.28)

tal como pode ver-se na figura 6.6. São óbvios os inconvenientes de um progressivo

Figura 6.6 - Comportamento elastoplástico com endurecimento associado ao critério de rotura de Mohr-Coulomb. Normalidade dos vectores incremento de deformação plástica à curva de cedência (lugar geométrico dos pontos de cedência). aumento do incremento de deformação volumétrica plástica à medida que ηy aumenta (comportamento que não se observa na realidade). Com base nos trabalhos de Taylor (1948), recorre-se a uma relação entre a dilatância, ψ, e o atrito mobilizado, expressa em termos de incremento de deformação total dεv / dεs = M – (q / p’) = M – η (6.29) Como se está a abordar um comportamento elastoplástico, pode entender-se a equação 6.29 como uma lei de escoamento que controla a relação dos incrementos de deformação plástica dεpv / dεps = M – (q / p’) = M – ηy (6.30) onde M é a relação entre q e p’ no estado crítico, estado no qual se processam deformações distorcionais a volume constante. Como é evidente, a equação 6.30 só é aplicável quando o material está em cedência, logo q/p’ = ηy. Para valores baixos de q/p’, logo longe da rotura, as deformações elásticas são muito significativas, pelo que, nessa situação, a interpretação baseada na equação 6.29 (incrementos de deformação total) será diferente da obtida a partir da equação 6.30 (incrementos de deformação plástica). Na aproximação da rotura, as deformações plásticas tornam-se dominantes e a não consideração da diferença entre deformações plásticas e deformações totais torna-se muito menos importante.

49

É possível mostrar que a lei de escoamento expressa pela equação 6.30 corresponde à função de potencial plástico (Schofield & Wroth, 1968) G (σ ) = q – M p’ ln (pr’/p’) (6.31) sendo pr’ é uma variável arbitrária que permite obter uma entre o conjunto de curvas de potencial plástico que passam pelo estado de tensão corrente. Assim

(6.32) a qual é consistente com a equação 6.30. Na figura 6.7 estão representadas estas curvas de potencial plástico bem como um conjunto de curvas de cedência (rectas).

Como pode verificar-se é muito significativa a diferença na direcção dos incrementos de deformação plástica resultantes da aplicação da lei da normalidade. Na cedência para valores baixos de η = q/p’, há deformação volumétrica plástica de compressão (positiva), mas que vai diminuindo à medida que η cresce. Anula-se para η = M e para η > M, há expansão volumétrica (negativa).

Figura 6.7 - Comportamento elastoplástico com endurecimento de um material que obedece ao critério de rotura de Mohr-Coulomb. Curvas de potencial plástico ( _____ ) e curvas de cedência ( _ _ _ _ )

Quanto à lei de endurecimento admite-se, como já foi referido, que o material endurece devido há ocorrência de deformações distorcionais plásticas. Assim, ηy depende unicamente de dεps.

50

Como com este comportamento constitutivo se pretende descrever o comportamento de um material cuja rigidez diminui com a deformação distorcional, pode recorrer-se a uma relação hiperbólica, entre a tensão e a deformação distorcional plástica

ηy / η = dεps / (a + dεps) (6.33)

ou, de forma incremental ηy = [(ηp - ηy)

2 / a ηp] dεps (6.34)

ou ainda

(6.35) onde ηp é o valor de q/p’ e a é uma constante do solo que funcionará como um factor de escala de dεps , uma vez que a equação 6.34 é função de dε

ps /a.

Tem-se assim toda a informação para estabelecer uma relação de rigidez elasto-plástica

(6.36) onde figura a rigidez elástica de forma separada em relação à rigidez plástica. Deste modo, na aplicação desta equação constitutiva, pode recorrer-se à rigidez elástica para prever a alteração de tensão resultante de uma modificação na deformação. Se a tensão assim calculada se situar exteriormente em relação à curva (linha) de cedência corrente, (ηy), pode utilizar-se a rigidez plástica para uma correcção que leve o estado de tensão calculado para a linha de cedência (eventualmente endurecida).

Pode verificar-se que se ηy for igual a ηp, isto é, na rotura, esta relação de rigidez torna-se idêntica à deduzida para o modelo elástico perfeitamente plástico de Mohr-Coulomb se se considerar ηy = ηp = M e (M - ηy) = (M – ηp) = - M*. Em ambos os casos, como se admitem leis de escoamento não associadas, a matriz de rigidez não é simétrica.. A função de potencial plástico (6.31) é, na realidade, muito diferente da função de cedência (equação 6.27).

51

Com a informação sobre cedência e endurecimento pode deduzir-se a relação de deformabilidade entre incrementos de deformação plástica e incrementos de tensão.

(6.37) Contudo esta relação nem sempre se revela útil pois, como seria de esperar, para estados de tensão próximos do valor assintótico ηp, se verificam as ambiguidades já referidasa propósito do comportamento elástico perfeitamente plástico. Na figura 6.8 apresentam-se resultados de um material com as propriedades referidas na legenda dessa mesma figura. 6.2.2 – Comportamento elastopástico com amolecimento

Figura 6.8 - Comportamento elastoplástico com endurecimento de um material que obedece ao critério de rotura de Mohr-Coulomb. Respostas tensão-deformação e deformações volumétricas para vários valores de M (K = 5 MPa; ν = 0,15; p’ = 100kPa; ηy = 1 e a = 0,005)(Wood, 2004).

52

O comportamento anterior não permite descrever uma situação de amolecimento com a deformação (como é o caso dos materiais OC). Pode adoptar-se o modelo anterior para descrever o amolecimento introduzindo uma lei de endurecimento trilinear que relacione ηy com dεps. Para baixas deformações (η < ηy) o solo comporta-se elasticamente e a localização da linha de cedência mantém-se fixa ηy < ηp → dε

ps = 0

Atingido o valor de q/p’ de pico, o solo amolece e a dimensão da superfície de cedência reduz-se, tal como está indicado na figura 6.9. Admite-se, como pode ver-se, uma relação linear entre η e a deformação distorcional plástica (ηp - ηy) / (ηp- M) = dεps / b para 0< dεps < b (6.37) Onde b é uma constante do material que descreve a deformação plástica distorcional necessária para conduzir o solo ao estado crítico M. Para deformações distorcionais plásticas para além desse valor, o solo comporta-se como elástico perfeitamente plástico, logo continuam a ocorrer deformações distorcionais plásticas mas a volume constante, isto é ηy = M para dεps > b (6.38)

Figura 6.9 - Comportamento elastoplástico com amolecimento plástico após pico.

53

Admite-se que a lei de escoamento é a correspondente à equação 6.30, de tal modo que à medida que o material é submetido à tensão deviatórica, a partir do valor de pico de η (ou seja, ηp) até ao estado crítico (M), ocorre um aumento de volume a uma taxa que vai diminuindo progressivamente até ser atingido o estado crítico.

Figura 6.10 - Comportamento elastoplástico com amolecimento no caso de um ensaio triaxial convencional (CD) a p’ constante. Tensão-deformação e deformação volumétrica (K = 3 MPa; G = 1,5 MPa; ηp = 1,2; M = 1,2 e b = 0,2 (Wood, 2004)

Na figura 6.10 apresenta-se a resposta, no caso de um ensaio triaxial, resultante da aplicação das equações constitutivas acabadas de descrever. A única alteração em relação às equações constitutivas que descrevem o comportamento elastoplástico com endurecimento hiperbólico, é exactamente a lei do endurecimento, pelo que a única alteração será no termo H da matriz de rigidez elastopástica. Assim

H = - (∂F/∂ηy) (∂ηy/∂εp) (∂G/ ∂q) = - (-p’)[ -(ηp – M)/ b] (6.39)

e

(6.40)

54

7 – Equações constitutivas do modelo Cam Clay Modificado (CCM) Trata-se do primeiro modelo elastoplástico com endurecimento para solos, tendo sido desenvolvido na Universidade de Cambridge nos primeiros nos da década de 60 do século passado. Descreve particularmente bem o comportamento das argilas, mas no que diz respeito às areias a sua aplicabilidade não é tão grande. Relativamente a estes últimos solos, os modelos que ligam o endurecimento às deformações distorcionais plásticas e adoptam comportamento não associado mostram-se superiores. A descrição pormenorizada e justificada do modelo Cam Clay pode ser encontrada em Schofield & Wroth (1968), Maranha das Neves (1975) e Wood (1990). Seguidamente apresenta-se o modelo num enquadramento dado pelos modelos elastoplásticos com endurecimento que têm vindo a ser descritos. E ao analisar esses mesmos modelos verifica-se que não descrevem um dos comportamentos mais frequentemente observados nas argilas e que é a diminuição de volume que se verifica quando se submetem tais solos a carregamentos proporcionais de que são exemplo a compressão hidrostática e a edométrica. Parte destas deformações volumétricas são plásticas e os modelos descritos anteriormente só produzem deformações volumétricas elásticas (ver figura 7.1).

a) b)

Figura 9.1 – a) comportamento real das argilas; b) comportamento de acordo com o modelo de Mohr-Coulomb A ocorrência destas significativas deformações volumétricas plásticas implica um mecanismo de deformação plástica diferente, o qual será descrito seguidamente. Considera-se como até aqui que o material é isotrópico e quanto às propriedades elásticas, estas são definidas pelos parâmetros G e K. Na figura 7.2 está representado, no gráfico (lnp’,v), o comportamento elástico não linear (descarga-recarga) traduzido pela expressão v = vκ –κ lnp’. Diferenciando e dividindo por v ter-se-á

55

dεev = - dv/v = (κ/vp’) dp’ pelo que K = (dp’/dεe

v) = vp’/κ (7.1)

Figura 7.2 – Representação da rigidez no plano (p’, v)

Tem-se pois que K não é constante e depende de v e p’. A rigidez elástica é, como já foi referido, não linear, e depende do estado de tensão corrente. Há que considerar a segunda constante elástica, G. Embora na realidade G dependa de p’, tal dependência não é tão marcada que não se considere admissível G = constante. Assim sendo tem-se dεes = dq/3G (7.2) Em alternativa poderia considerar-se ν constante, o que implica uma relação entre G e K, já que G = [3(1-2ν)/2(1+ν)] K (7.3) Se G = constante, a variação de K implica a variação de ν e para p’ e K a tenderem para zero, ν tenderá para -1. Mas se ν= constante, K e G variam com p’, pode demonstrar-se que tal implica geração ou dissipação de energia num ciclo de carregamento supostamente elástico, o que não é aceitável dum ponto de vista termodinâmico. Deste modo, com uma certa reserva, ter-se-á

(7.4)

56

e

(7.5) Quanto ao critério de cedência, admite-se que no plano das tensões (p’, q) a função (curva) de cedência é elíptica e passa pela origem (ver figura 7.3). Esta função de cedência corresponde ao modelo CCM, portanto diferente espiral logarítmica característica do modelo Cam Clay Original (CCO).

Figura 7.3 – Função de cedência no modelo Cam Clay Modificado (Roscoe & Burland, 1968)

O parâmetro M controla a forma da elipse e p’0 determina a dimensão da elipse. É, neste modelo, o parâmetro de endurecimento. Assim F(σ, p’0) = (q2/M2) – p’(p0’ –p’) (7.6) Como é habitual, para F < 0 o comportamento é elástico, para F = 0 verifica-se cedência e F > 0 corresponde a uma situação impossível do ponto de vista do estado de tensão. A equação 7.6 pode também assumir as formas p’/p0’ = M2 / (M2+η2) (7.7) e q2/M2 = p’(p0’ –p’) (7.8) Aplicando um incremento de tensão (dp’, dq) que dá origem a cedência, a variação da curva de cedência (dp0’) pode obter-se de uma das três expressões seguintes dp0’ = (2p’- p0’ ) dp’/p’ + (2q/M2p’)dq (7.9) ou

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dp0’ = [(M 2 – η2)/M2]dp’+ (2η/M2)dq (7.10) ou ainda dp0’/ p0’= (dp’/p’) + [2η/(M2+ η2)]dη (7.11) Analisa-se de seguida a lei de fluxo plástico, estabelecendo-se desde logo que se admite um comportamento associado G(σ) = F(σ, p0’) = (q2/M2) – p’(p0’ –p’) (7.12) Os incrementos de deformação plástica são dados por

(7.13) Recorrendo à equação 7.7 para definir a curva de cedência, pode exprimir-se o mecanismo de deformação plástica da seguinte forma dεpv / dε

ps = (M2 - η2) / 2η (7.14)

Este mecanismo só depende de η= q / p’ na situação de cedência corrente e altera-se continuamente com a variação de η. Assim, para η = 0, ter-se-á (dεpv/dε

ps) = ∞, e a situação é de consolidação isotrópica.

Para η = M resulta (dεpv/dεps) = 0, pelo que o solo está no estado crítico. Finalmente

quando η > M, tem-se (εpv/dεps) >0 ocorrendo aumento de volume com a distorção.

Passando agora à lei de endurecimento, tem-se que a dimensão da curva de cedência depende apenas da deformação volumétrica plástica

(7.15) Pode recorrer-se à figura 7.4 para mostrar a forma de quantificar a deformação volumétrica plástica

58

Figura 7.4 – Deformação volumétrica plástica no plano (p’, v)

Na realidade, dεpv = [(λ-κ)/v p0’] dp0’ = [(λ-κ)/v p’] dp’ (7.16) visto que na LCN p’ é sempre igual a p0’. Deste modo dεv

= dεe v + dεpv = (κ/vp’)dp’ + [(λ-κ)/v p’] dp’ = (λ/vp’)dp’ (7.17)

Como dεv = dv/v, pode integrar-se a equação 7.17 que dá a expressão da linha de compressão normal (LCN) que liga p’ e v num carregamento virgem v = N - λ lnp’ (7.18) onde N é um valor de referência de v para p’ unitário. Deste modo pode obter-se

(7.19) E a matriz de rigidez completa ligando incrementos de tensão com incrementos de deformação total pode ser obtida por substituição nas equações 6.39 e 6.40. A quantidade de endurecimento H (também designada multiplicador plástico) será

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(7.20) E a relação de rigidez elastopástica completa será

(7.21) Sendo K = vp’/κ. Tanto em na expressão 7.19 como na 7.21 a matriz que controla o processo é simétrica. Uma análise da equação 7.19 mostra que a magnitude das deformações plásticas é controlada sobretudo pela diferença (λ-κ) e não pelos valores absolutos destes dois parâmetros. Também se verifica que quando η tende para M, dεpv e dp’0 tendem para zero, dεps/dq tende para infinito, logo G tende para zero. Isto quer dizer que para η = M se está no estado crítico. Para η < M, ocorre cedência estável não sendo relevante o problema ser formulado em termos de tensão imposta ou deformação imposta. Á medida que q aumenta para atingir o valor último, atinge-se a situação denominada carregamento neutro, com o incremento de tensão tangente à curva de cedência (ver figura 7.5).

Figura 7.5 – Carregamento correspondente a uma cedência estável

Na figura 7.6 apresentam-se os resultados obtidos com este modelo aplicado a um ensaio triaxial convencional do tipo consolidado drenado com corte a p’ constante.

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Figura 7.6 – Resultados do modelo CCM ao caso de um ensaio de corte em compressão triaxial, consolidado drenado a p’ constante (κ=0,05, G=1,5MPa, λ=0,25, M=1,2, p’0=100kPa, dp’=0 e OCR (grau de sobreconsolidação) compreendido entre 1 e 5 (Wood, 2004) A cedência estável corresponde aos valores de OCR compreendidos entre 1 e 2 (solos normalmente consolidados, NC, ou ligeiramente sobreconsolidados). Como pode ver-se exibem deformações volumétricas positivas (diminuição de volume) e não exibem tensão de pico

Quando o solo está em cedência com η > M, mostra a equação 7.19 que dεps > 0 implica

que dεpv < 0, dp’0 < 0 e dq < 0, o que indica amolecimento com a deformação (ver valores elevados de OCR na figura 7.6. A condição η = M é ainda um valor último, mas neste caso, η aproxima-se de M a partir de uma localização superior (ver tensões de pico na figura 7.6).

A figura 7.6 descreve um comportamento que é o real. Mas do ponto de vista numérico podem surgir problemas devidos à seguinte incerteza: a redução de q conduz a uma descarga elástica ou a uma deformação plástica contínua por amolecimento? Todos os incrementos de deformação são possíveis e cada um implica, sem qualquer ambiguidade, um incremento de tensão. Contudo, certos incrementos de tensão (os que tentam sair da curva de cedência corrente) não são possíveis na região onde η > M (ver figura 7.7).

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Figura 7.7 – Cedência estável (endurecimento com a deformação) e cedência instável (amolecimento coma deformação) no modelo CCM.

As variações de tensão localizadas no interior da curva de cedência unicamente com deformações elásticas ou com deformações elásticas e plásticas.

Na análise destas situações a resposta do solo deve ser sempre comandada por incrementos de deformação (que tornarão claro se há uma descarga elástica ou se há amolecimento plástico) e não por incrementos de tensão poraue alguns destes serão ou fisicamente impossíveis ou ambíguos.

Figura 7.8 – Rotura localizada nos solos muito sobre consolidados Este comportamento dá origem ao fenómeno denominado localização (ver figura 7.8): à medida que o material amolece com a deformação torna-se menos resistente e a natural existência de heterogeneidades vai originar a concentração de deformações e à formação de planos de rotura (superfícies de rotura, “shear bands”) no material. 8- Algumas breves considerações respeitantes aos solos não saturados Neste capítulo serão apresentados de forma muito sumária alguns conceitos necessários tratados no capítulo seguinte. Fundamentalmente tem a ver com a água nos solos no caso de coexistência com uma fase gasosa (ar). 8.1 – A sucção Num solo não saturado, no caso de os vazios de ar intercomunicarem, a pressão no ar pode considerar-se igual à atmosférica, sendo a pressão na água intersticial, em

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resultado das pressões capilares, inferior à pressão atmosférica. Daí a frequente designação de pressão neutra (intersticial da água) negativa. A diferença (ua – uw) denomina-se sucção. As forças entre partículas de origem capilar têm natureza hidráulica e dão origem à coesão capilar ou coesão aparente. De facto actuam como se fossem ligações cimentícias entre partículas (logo coesão efectiva) mas com a particularidade de se anularem com a saturação (daí aparente). Mas pode acontecer que o solo esteja saturado e a pressão na água seja negativa. Basta imaginar uma amostra de solo retirada, com um amostrador, a uma cota inferior à do nível freático. Retirada do amostrador, a superfície da amostra fica em contacto com a atmosfera, desenvolvendo-se meniscos na zona da superfície de acesso aos poros (ver figura 8.1).

Figura 8.1 – Pressão negativa na fase líquida de um solo saturado É esse valor negativo de uw que se converte em coesão efectiva aparente ou coesão capilar que mantém a forma da amostra. Se esta for submergida, a sucção anula-se e a amostra perde a sua forma desmoronando-se. Anulou-se a tensão efectiva devida à sucção. Na figura 8.2 pode ver-se um esquema que permite evidenciar o efeito da capilaridade. Procura estabelecer-se uma relação entre o raio de curvatura do menisco esférico da água num tubo capilar e a diferença entre a pressão no ar e na água. De acordo com a lei de Jurin e atendendo ao esquema da figura 8.2, ter-se-á, admitindo equilíbrio entre

Figura 8.2 – Ascensão capilar da água

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a coluna de água de altura h e a tensão superficial σs 2π r σs cosθ = γw π r2h (8.1) ou h = 2 σs cosθ / γw r (8.2)

pelo que, sendo h γw = (ua – uw), ter-se-á

(ua – uw) = 2 σs cosθ /r (8.3) No caso da água, tem-se que σs = 72,75.10-3 N/m e cosθ = 1.

A sucção nos solos foi definida, em termos geotécnicos, e num contexto termodinâmico, como uma energia potencial comparável à carga hidráulica nos solos saturados. Esta definição é semelhante à do potencial eléctrico de uma carga num campo eléctrico: para conduzir, a altitude constante, água livre do infinito ao solo não saturado, é necessário fornecer uma energia para resistir à atracção exercida. Daí que o potencial capilar ou matricial seja negativo. Este potencial é igual à quantidade de trabalho, por unidade de volume de água pura, necessário para transportar de modo reversível, isotérmico, a altitude constante e à pressão atmosférica, uma quantidade infinitesimal de água de um estado de água pura longe do solo para o estado de água intersticial num solo não saturado.

Tal como no caso da carga hidráulica nos solos saturados, há diferentes componentes do potencial da água num solo não saturado. Há um potencial de pressão externa e gravitacional (tal como nos solos saturados), a que há que acrescentar o potencial capilar e o potencial de adsorpção (cuja soma forma o potencial matricial, ψm) e o potencial osmótico (devida á salinidade da água de um solo não saturado), ψo. No caso de não haver variação das pressões externa e gravitacional, poderá considerar-se apenas o potencial denominado total, ψ, (sucção total) o qual será

ψ = ψm + ψo (8.4)

Habitualmente o potencial, ou sucção, tal como a carga hidrálica, exprime-se em unidades de pressão ou de comprimento (altura de água). Mas este último procedimento é mais corrente entre os agrónomos.

8.2 – Relação entre a sucção e a humidade relativa

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A humidade relativa (HR) é a relação entre a pressão parcial de vapor de água e a pressão de vapor de água saturante. Exprime-se em percentagem.

Para uma mesma humidade, uma amostra de solo fixará tanto mais água quanto mais plástico for (mais plástico, neste caso, significa maior susceptibilidade de exercer maior atracção sobre a água).

A relação entre a HR ambiente e a correspondente sucção é independente do solo. De acordo com a lei de Kelvin s = (ua – uw) = (RT/g M)/lnHR (8.5) onde R é a constante molar dos gases, T é a temperatura absoluta, g é a constante gravitacional, M é a massa molar da água e HR é a humidade relativa. Á temperatura de 20º C, o valor de RT/g M é igual a 137,837 MPa. Como pode ver-se a sucção depende da temperatura, a qual tem pois influência no comportamento dos solos não saturados. No caso de acções exclusivamente capilares, a lei de Kelvin mostra que a HR da atmosfera onde se situa o solo define o raio do menisco e que, na proximidade do menisco, a pressão parcial de vapor de água é inferior à pressão de vapor saturante, tanto menor quanto menor for o raio de curvatura do menisco. Uma dada HR impõe assim ao solo uma dada sucção de acordo com os valores seguintes (ver quadro 8.1, de acordo com a lei de Kelvin, equação 8.5), correspondendo-lhe um teor em água tanto maior quanto mais plástico for o solo. Sucção (MPa) HR (%)

0 100

10-2 99,9993

10-1 99,927

1 99,277

70 60

126 40

221 20

316 10

Quadro 8.1 – Relação entre a sucção e humidade relativa de acordo com a lei de Kelvin

Como pode verificar-se a sucção torna-se muito importante para valores da HR inferiores a 98%. Para tais valores da sucção, mostra a experiência que nos poros das areias limpas não existe água e que só as interacções água-argila, no caso dos solos

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finos suficientemente plásticos, são capazes de reter água. A equação de Kelvin intervém na evaporação dos solos e nas transferências de água, sob a forma de vapor no seio da fase gasosa, que daí resultam.

8.3 – Propriedades de retenção da água por parte dos solos. Curvas de retenção ou curvas características

A capacidade dos solos não saturados atraírem e reterem água, aspecto já atrás referido, é quantificado através da determinação das chamadas curvas de retenção, dos quais constituem uma característica essencial.

Estas curvas são obtidas submetendo uma amostra de solo a um ciclo de secagem e molhagem por aplicação de níveis crescentes e depois decrescentes, de sucção (ver figura 8.3).

Figura 8.3 – Curvas de secagem de diferentes solos: 1 – areia limpa; 2 – areia fina argilosa; 3 - argila

Num ciclo de secagem-molhagem a curva de retenção exibe uma resposta histerética. Quer isto dizer que não há uma relação biunívoca entra a sucção e o teor em água. Para uma dada sucção, o teor em água depende do caminho hídrico percorrido para chegar à sucção em questão.

Tem-se assim que se a HR determina a sucção independentemente do tipo de solo, outro tanto não sucede com teor em água correspondente a essa sucção, o qual depende do

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solo em causa. Daí a importância das curvas de retenção, percebendo-se porque também são chamadas curvas características (constitui uma característica de um dado material).

9 – Equações constitutivas aplicáveis a solos não saturadas Feitas no capítulo anterior algumas considerações sobre solos não saturados, indispensáveis para apresentação dum modelo aplicável a estes materiais, introduz-se de seguida um modelo designado BBC (Barcelona Basic Model) formulado por Alonso & al. (1990). Vejamos em primeiro lugar a superfície de cedência no espaço (p, s) onde p = σm - ua e s = ua - uw. O significado dos símbolos é o seguinte: σm é a tensão média, ua representa a pressão no ar dos poros, uw traduz a pressão da água nos poros, p é designado em língua inglesa por “net pressure” cuja tradução seria pressão líquida, isto é a pressão média total a que é subtraída a pressão do ar. O termo pressão líquida poderia desde logo estabelecer confusão com a pressão na água, uw, pelo que deve ser evitado. Será denominado daqui para a frente apenas por excesso de pressão média sobre a pressão atmosférica. No caso da pressão no ar ser igual à atmosférica, como esta é normalmente a pressão de referência, ter-se-á p = σm. Finalmente s será a sucção matricial (para que não se confunda com a sucção total que é a soma da sucção matricial e da sucção osmótica. Mas também neste caso passar-se-á a designar s apenas por sucção. Também relativamente a este modelo se recorrerá às condições de tensão e deformação correspondentes ao ensaio compressão hidrostática e edométrica, bem como, no caso de aplicação de tensões de corte, ao ensaio triaxial, ensaios estes conduzidos a sucção controlada. Só são considerados, como até aqui, materiais homogéneos e isotrópicos. A proposta para a função de cedência é de natureza axiomática mas bem suportada pela experiência com os solos saturados (que no fundo impõem uma condição limite aos solos não saturados, de que afinal são um caso particular) e aspectos de comportamento observados a partir de ensaios edométricos, de compressão hidrostática e de corte em compressão triaxial com sucção controlada. 9.1 – Comportamento do solo não saturado submetido a compressão isotrópica e com sucção controlada (s = constante) Analisa-se em primeiro lugar a cedência. 9.1.1 – Funções de cedência Neste caso verifica-se, de modo análogo com os solos saturados v = N(s) – λ(s) ln(p/pc) (9.1)

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onde pc é um estado de tensão de referência para o qual v = N(s). Na descarga-recarga os solos não saturados têm comportamento elástico, com uma rigidez κ igual á que exibe o mesmo solo com sucção nula (solo saturado) como ver-se na figura 9.1. Assim dv = - κ (dp/p) (9.2)

Figura 9.1 – Variação do volume específico (v) com o excesso de tensão média sobre a pressão atmosférica (p) e com a sucção (s) ao longo de carregamentos virgens e de descargas-recargas Observe-se a figura 9.2 a) que apresenta resultados de compressão isotrópica de um solo saturado e de um mesmo solo cuja diferença é a de não estar saturado. Aí está descrita a relação entre as pressões de préconsolidação p*0 e p0. Na mesma figura, em b), estão representadas, no plano de tensões (p,s), trajectórias de tensão indicadas em a), bem como uma curva de cedência. Se os pontos 1 e 3 pertencem à mesma curva de cedência no espaço (p,s), pode estabelecer-se uma relação entre uma tensão de cedência genérica, p0, e valor saturado p*0, a qual pode ser obtida relacionando os volumes específicos nos pontos 1 e 3 através de uma trajectória virtual qie envolve uma descarga inicial a s constante (de p0 para p*0) e subsequente redução da sucção de s para zero (a tensão constante e igual a p*0). Neste caso v1 + ∆vp + ∆vs = v3 (9.3)

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a)

b)

Figura 9.2 – Relação entre p*0 e p0 : a) curvas de compressão isotrópica para o solo saturado e para o solo não saturado; b) trajectórias de tensão indicadas em a) e uma curva de cedência, representadas no plano de tensões (p,s)

De 2 para 3 (saturação) está-se no domínio elástico.Logo ocorre uma expansão elástica ∆vs que pode ser quantificada por uma expressão semelhante à 9.2 dv = - κs [ds/(s+patm)] (9.4)

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Soma-se a patm a s para evitar valores infinitos quando s se aproxima de zero. Atendendo às equações 9.1, 9.2 e 9.4, a equação 9.3 toma a forma N(s) – λ(s) ln (p/pc) + κ ln(p*0/p0) + κs ln [(s+ patm)/ patm]=N(0) – λ(0) ln(p*0+/pc) (9.5) a qual permite estabelecer uma relação entre p0 e s em função de alguns valores de tensão de referência (p*0, pc) e alguns parâmetros do solo (N(s), λ(s) , κ e κs). Pode simplificar-se a equação 9.5 através de uma escolha adequada de pc, fazendo pc = p*0. Quer isto dizer que pc é a tensão à qual se pode atingir o estado saturado virgem, partindo de uma condição não saturada, através de um caminho de molhagem que só envolve empolamentos elásticos. Assim

∆v(pc)| = N(0) – N(s) = κs ln [(s+ patm)/ patm] (9.6) e substituindo 9.6 em 9.5, ter-se-á λ(s) ln (p/pc) - λ(0) ln(p*0+/pc) - κ ln(p*0/p0) = 0 (9.7) a qual, após algumas manipulações, dá (p0/p

c) = (p*0/pc) [λ(0) – κ]/[ λ(s) - κ] (9.10)

Esta equação define o conjunto de estados de cedência p0 para cada sucção associada (família de curvas no espaço [p, s]). Esta é a primeira função de cedência do modelo, designada de LC (“Loading-Colapse”). Não se verifica na prática, nem seria crível, que a rigidez aumentasse de modo ilimitado com o aumento da sucção. Pode obter-se um valor máximo, assimptótico, da rigidez (provavelmente muito aproximado ao comportamento real) por intermédio da equação λ(s) = λ(0) [(1 –r) e-βs + r ] (9.11) onde é uma constante adimesional relacionada com a máxima rigidez do solo (para uma sucção infinita), ou seja, r = [λ(s→∞)/ λ(0)], e β é um parâmetro que controla a taxa de aumento da rigidez do solo com a sucção (com unidades [L]2[F]-1). De notar que a

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expressão 9.11 se refere ao coeficiente de compressibilidade da parte virgem do carregamento de um solo com uma dada sucção. A figura 9.3 mostra, para um dado solo, as curvas de cedência (equação 9.10, com valores de λ(s) dados pela equação 9.11) em função de r e para p*0 e β constantes.

Figura 9.3 – Forma das curvas de cedência (LC) de um solo (pc = 0,1 MPa, λ(0) = 0,2 e κ = 0,02) para diferentes valores de r e para p*0 e β constantes (p*0 = 0,4 MPa e β = 12,5 MPa-1) Mas o solo pode também exibir deformações plásticas devido apenas a um aumento de sucção, daí a necessidade de uma segunda função de cedência. De acordo com o modelo, sempre que o solo atinge um valor máximo de sucção previamente atingido (s0), começam a gerar-se deformações plásticas (um conceito semelhante ao da tensão de préconsolidação dos solos saturados). Deste modo é proposta a seguinte condição de cedência S = s0 = constante (9.12) logo com s0 a delimitar a transição do regime elástico para a zona virgem (regime elastopástico) quando aumenta a sucção (figura 9.4). Esta segunda função de cedência do modelo (neste caso uma recta) denomina-se SI (“Suction-Increase”).

Figura 9.4 – Definição da sucção de cedência (s0), logo da função de cedência SI

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Deste modo, as funções de cedência LC e SI delimitam uma região elástica no plano de tensões (p,s), tal como pode ver-se na figura 9.5.

Figura 9.5 – Funções de cedência LC e IS

Admitindo uma relação linear entre v e ln (s + patm) tanto no domínio elástico como no domínio elastoplástico (ver figura 9.5), tem-se, para os estados virgens dv = - λs [ds/(s+patm)] (9.13) Na zona de secagem-molhagem (no fundo, de descarga-recarga), ter-se-á dv = - κs [ds/(s+patm)] (9.4 bis) Muito embora não seja possível mostrar experimentalmente que λs e κs são estritamente independentes de p, o modelo admite que se trata de constantes, isto é, parâmetros do solo. 9.1.2 – Leis de endurecimento De acordo com a equação 9.2, um aumento de p na região elástica dá origem a uma deformação volumétrica positiva dada por dεevp = -(dv/v) = (κ/vp) dp (9.14) O subíndice p significa que se trata de deformação devida a variação de p (excesso da tensão média relativamente à pressão atmosférica). Quando p atinge o valor de p0, a deformação volumétrica total passa a ser calculada a partir da expressão 9.1, isto é

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dεvp = [λ(s)/vp0]dp0 (9.15) logo

dεpvp = dεvp - dεevp = [(λ(s) – κ)/v p0] dp0 (9.16)

Considerando a expressão da LC (equação 9.10), pode verificar-se que dεpvp também pode ser dada por

dεpvp = [(λ(0) – κ)/v p*0] dp*0 (9.17)

De modo semelhante, um aumento da sucção na região elástica dá origem às seguintes deformações

dεevs = [κs/v(s+patm)]ds (9.18)

e se a função de cedência IS é atingida, isto é, s = s0, ter-se-á uma deformação volumétrica total

dεvs = [λs/v(s+patm]ds0 (9.19) e por diferença entre as equações 9.19 e 9.18, podem obter-se as deformações volumétricas plásticas devidas à sucção dεpvs= [(λs – κs)/v(s0+patm)] ds0 (9.20) As deformações plásticas, através das expressões 9.17 e 9.20, controlam a posição da LC e SI, respectivamente. Há alguma evidência experimental de que LC e SI não são independentes. De qualquer modo o tratamento diferente que no modelo se dá às deformações plásticas induzidas pela variação de p ou pela variação da sucção, acaba por ter apenas como significado formal no que diz respeito à dedução das relações apropriadas. Na realidade ambas as deformações plásticas têm efeitos semelhantes, pelo que pode adoptar-se uma forma simples de acoplar as duas curvas de cedência considerando que a respectiva posição é controlada pela deformação volumétrica plástica total dεpv = dε

pvp + dεpvs (9.21)

Assim, com base nas equações

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dεpvp = [(λ(0) – κ)/v p*0] dp*0 (9.17 bis)

e

dεpvs= [(λs – κs)/v(s0+patm)] ds0 (9.20 bis) deduzem-se as leis de endurecimento (dp*0)/( p*0) = [v /(λ(0) – κ)] dεpv (9.22) e ds0/(s0+patm) = [v/(λs – κs)] dε

pv (9.23)

isto é, no que respeita ao endurecimento, este, em qualquer dos casos, é determinado pela deformação plástica total dεpv. 9.2 – Comportamento do solo não saturado quando submetido a tensão de corte Para incorporar o efeito da tensão de corte no modelo que se tem vindo a expor, há que introduzir um terceiro parâmetro de tensão q = (σ1-σ3). O estado de deformação é definido a partir das deformações volumétricas dεv = (dε1+2dε3) e das deformações distorcionais dεs = (2/3)(dε1 – dε3). Por uma questão de consistência o modelo deve ser capaz de prever o comportamento saturado quando s = 0, neste caso o Cam Clay Modificado. Assim sendo, a curva de cedência, mantida a sucção constante, será descrita por uma elipse que exibirá uma pressão isotrópica de préconsolidação dada pelo valor de p0 previamente definido, o qualse situa na curva de cedência LC (ver figura 9.6)

Para definir a elipse é também necessário considerrar os estados de rotura, os quais se situam na linha dos estados críticos (LEC). Paralelamente à LEC correspondente ao material saturado, localizam-se as LEC dos materiais não saturados e que representam o acréscimo de resistência induzidos pela sucção, cujo efeito é representado por uma coesão efectiva capilar. Esta coesão aumenta com a sucção, mas a inclinação M (a componente friccional da resistência), considera-se independente da sucção.

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Figura 9.6 – Superfícies de cedência no espaço (p,q,s)

Se o aumento da coesão variar linearmente com a sucção, as elipses intersectam o eixo p no ponto

p = -ps = -ks (9.24)

onde k é uma constante.

O eixo maior da elipse situa-se entre -ps(s) e p0(s), e a equação da elipse será

q2- M2(p+ps)(p0-p) = 0 (9.25)

Figura 9.7 – Representação tridimensional da superfície de cedência no espaço (p, q, s)

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De acordo com o modelo a função de cedência SI estende-se para a região q>0 por intermédio de um plano paralelo ao eixo q, de tal modo que a equação s = s0 = constante é mantida no espaço (p, q, s). Na figura 9.7 apresenta-se uma vista tridimensional da superfície de cedência no espaço (p, q, s).

Relativamente à direcção dos incrementos de deformação plástica associados com a superfície de cedência (equação 9.25), o modelo admite uma lei de fluxo não associada nos planos s = constante.

É sabido (Gens & Potts, 1982) que os modelos dos estados críticos convencionais sobrestimam frequentemente os valores de K0. Para evitar este inconveniente, modifica-se a expressão relativa à lei de fluxo introduzindo um parâmetro, α, tal que

dεps / dεpvp = (2qα)/[M 2(2p+ps-p0)] (9.26)

escolhendo-se α de modo que a lei de fluxo anterior preveja deformação lateral nula para estados de tensão correspondentes ao valor de K0 dado pela expressão de Jaky (1948)

K0 = 1 – senφ (9.27)

ou

K0 = (6-2M)/(6+M) (9.28)

Dada a relação entre K0 e M, a nova lei de escoamento não introduz nenhum parâmetro constitutivo adicional. As componentes de deformação plástica associadas a esta superfície de cedência são pois {dεpvp , dε

ps}. Para a segunda superfície de cedência (s =

s0 = constante) o vector incremento de deformação plástica resultante de um aumento de sucção será {dεpvs, 0}, onde dεpvs é dado pela equação 9.20.

10 – Equações constitutivas aplicáveis aos enrocamentos

Os enrocamentos compactados são actualmente muito utilizados, principalmente nas regiões onde abundam os afloramentos rochosos. Acontece que em muitas dessas regiões se regista hoje uma enorme escassez em areias e burgaus. E muito embora se possam obter areias e britas por processamento, trata-se sempre de operações cujo custo é muito superior ao do desmonte para obtenção de enrocamento. Se a estas razões se juntar o facto de se poderem usar enrocamentos cujo grau de alteração seria, há alguns anos atrás, impeditivo do seu emprego em estruturas geotécnicas, pode compreender-se porque é que os enrocamentos compactados se tornaram uma solução tão frequente. As estruturas de enrocamentos levantam problemas quanto à deformação. Na verdade estas podem provocar estados limites de funcionalidade ou dar origem, posteriormente, a estados limites últimos. Quanto á estabilidade é raro ser uma questão determinante.

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Por exemplo, os taludes das barragens de enrocamento com cortina a montante têm limitações na inclinação do paramento que não são ditadas pela resistência ao corte dos enrocamentos mas sim por razões ligadas às tecnologias construtivas ou à natureza dos materiais da cortina. Tal não significa que a resistência ao corte não seja um parâmetro importante, principalmente quando se trata da previsibilidade das deformações das estruturas de enrocamento com base em modelos de comportamento elastoplásticos com ou sem endurecimento. Os enrocamentos distinguem-se das areias (ambos são materiais particulados) pelo facto de exibirem fracturação e esmagamento para estados de tensão muito baixos. Sobretudo os fenómenos que ocorrem nos contactos entre blocos são determinantes no comportamento mecânico destes materiais. E muito embora nas análises de estruturas de enrocamento seja quase exclusivamente usada a mecânica dos meios contínuos, só uma abordagem micromecânica pode ajudar a explicar o respectivo comportamento. Em princípio os enrocamentos compactados são pouco deformáveis. Mas fenómenos como o colapso são muito importantes (o mesmo se pode dizer da fluência, mas não nos deteremos sobre este aspecto). Claro que também há colapso (e fluência) nas argilas e nas areias. Mas a natureza estrutural desses fenómenos no caso dos enrocamentos é bem diferente, pelo que a sua modelação é própria deste tipo de materiais. Se se comparar com a investigação desenvolvida no domínio das argilas e areias no âmbito da Mecânica dos Solos, a atenção que tem sido dedicada aos enrocamentos é muito reduzida. Como se tem tornado bem patente, as argilas e areias são considerados materiais arquétipos na Mecânica dos Solos. Na verdade, a tais materiais arquétipos deveriam juntar-se os enrocamentos. Os problemas com as dimensões dos ensaios, tanto de laboratório como de campo, bem como o fenómeno da fracturação, ele também associado à grande dimensão das partículas, são, muito provavelmente, uma das razões da reduzida investigação nesta área. Na realidade é incontroverso que os parâmetros necessários à descrição do comportamento mecânico dos enrocamentos dependem em maior ou menor grau da dimensão das partículas. Quando uma argila ou uma areia sofrem variações de volume específico em resultado da alteração do estado de tensão efectiva continuam a ser, do ponto de vista das partículas sólidas que as constituem, o mesmo material. O material sólido é o mesmo, mas a modificação do volume específico confere-lhe no entanto propriedades mecânicas diferentes. No caso de um enrocamento não só há alteração do volume específico, como o próprio material sólido se torna outro em resultado da fracturação e esmagamento. Este facto tem de introduzir um grau adicional de dificuldade na interpretação do comportamento dos enrocamentos.

10.1 - O que é um enrocamento? Trata-se de um material de construção constituído principalmente por elementos rochosos com dimensões apreciáveis. Tem ainda uma importante diferença em relação aos outros materiais geotécnicos mais comuns (argilas, siltes, areias, burgans, etc.) que é

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o facto de não se encontrar imediatamente disponível na natureza. Só é possível de obter através de processamento, ou seja, efectuando desmonte de maciços rochosos por uso de explosivos ou por ripagem. No que diz respeito à granulometria deve no entanto ser-se mais preciso, não sendo suficiente afirmar que um enrocamento tem blocos de dimensão apreciável. Limitando as nossas considerações aos enrocamentos usados actualmente na construção de barragens, estradas, caminhos de ferro, aeroportos e aterros para fundação das mais diversas estruturas podem estabelecer-se os critérios granulométricos que seguidamente se apresentam. De acordo com Maranha das Neves (1993) a percentagem de elementos com dimensão inferior a 0,074 mm (peneiro nº 200 ASTM) não deve exceder 10 % e a dimensão máxima pode atingir valores de cerca de 2000 mm, embora mais frequentemente não se ultrapassem valores de 1000 mm. Frequentemente, a percentagem de elementos com dimensão superior a 50 mm ( )2 ′′≅ é superior a 60 %. Neste caso são os elementos de maior dimensão que controlam o comportamento do aterro, não só do ponto de vista mecânico mas também no que se refere à permeabilidade. Um enrocamento deve exibir um coeficiente de permeabilidade superior a 10-5 m/s o que é garantido face às características granulométricas atrás referidas. Na figura 10.1 apresenta-se o fuso granulométrico onde se devem encaixar as granulometrias dos chamados enrocamentos (Maranha das Neves, op. cit.). A possibilidade de compactar os enrocamentos através da acção de equipamentos mecânicos (utilizando cilindros vibradores) deu origem a um novo material de construção, o enrocamento compactado.

Figura 10.1 – Características granulométricas dos enrocamentos ( ______ Maranha das Neves, 1993; -------- Dapena, 1994))

A granulometria destes enrocamentos não é difícil de obter na maioria dos desmontes, implicando uma manipulação reduzida. Um material com estas características, adequadamente colocado (com segregação dos maiores blocos para o fundo da camada) pode ser eficientemente compactado com cilindros vibradores, dando origem a um material com apreciáveis qualidades mecânicas: o enrocamento compactado. Deve

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sublinhar-se que o enrocamento de granulometria sensivelmente uniforme não é susceptível de ser compactado pelos procedimentos acabados de descrever. O aparecimento do enrocamento compactado a partir de meados do século passado deu origem a um espantoso surto de utilização deste material em estruturas geotécnicas, influenciando marcadamente a sua concepção, sobretudo nas barragens e em infraestruturas de transportes.

10.2 – Caracterização mecânica dos enrocamentos Face a importantes perspectivas de utilização em áreas tão significativas da engenharia civil, iniciou-se naturalmente um processo de expansão da investigação e desenvolvimento no domínio dos enrocamentos, compactados. Como é natural essas pesquisas incidiram sobre a resistência, a deformabilidade e as equações constitutivas aplicáveis a estes materiais, quer através da observação do comportamento das estruturas, quer através de estudo em laboratório, quer ainda através da teorização sobre aqueles aspectos do comportamento mecânico. Quanto aos equipamentos para estudo laboratorial destes materiais, estes revestem-se de dificuldades específicas ligadas à elevada dimensão de algumas das suas partículas. As amostras de enrocamento, respeitando integralmente a granulometria respectiva, teriam um tamanho que as tornaria impossíveis de ensaiar, em última análise por razões económicas. Mesmo assim foram projectados equipamentos de apreciável dimensão (corte directo, corte em deformação plana, compressão edométrica, corte em compressão triaxial). As investigações efectuadas com esses equipamentos vieram permitir uma avaliação da repercussão nos resultados dos ensaios de caracterização mecânica pelo facto de não se poder ensaiar a granulometria integral. Esse notável esforço de investigação veio possibilitar uma informação muito importante: podiam realizar-se ensaios de laboratório com aparelhos de dimensão inferior à desses grandes equipamentos (mesmo assim trata-se de dimensões da ordem de 0,5 m para o diâmetro dos edómetros e 0,3m para o diâmetro das amostras para corte em compressão triaxial) sem entorse significativo na utilização prática dos resultados. 10.3 – Fracturação e esmagamento das partículas Outro aspecto cuja importância os estudos laboratoriais evidenciaram foi a relevância da fracturação das partículas dos enrocamentos na relação tensão-deformação e na resistência ao corte. Fracturação que abrange não só a subdivisão de uma partícula em uma ou mais partes mas também o esmagamento nas zonas de contacto entre partículas. Sobretudo nos anos mais recentes, tem sido investigado, com incidência na microestrutura , o papel do esmagamento e fracturação no comportamento mecânico das areias (McDowell & Bolton, 1998). E se alguns resultados desses estudos não deixam de lançar alguma luz no que diz respeito ao comportamento dos enrocamentos, a verdade é que as tensões para as quais as areias sofrem esmagamento e fracturação (pelo menos as areias de natureza siliciosa) são muito elevadas e raramente presentes nas obras de engenharia civil. Outro tanto não sucede com os enrocamentos os quais, mesmo para tensões muito baixas, podem sofrer apreciável fracturação.

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No que diz respeito à estabilidade de estruturas de enrocamento compactado a resistência ao corte é, obviamente o parâmetro mecânico mais importante. Acontece que, precisamente devido à fracturação, o ângulo de resistência ao corte é função da tensão octaédrica. Por tal motivo a envolvente de Mohr – Coulomb é curva, podendo ser traduzida pela equação (de Mello, 1977)

baστ = (10.1)

onde τ e σ são as tensões de corte e normal no plano de rotura e a e b parâmetros característicos do material que podem ser obtidos por ajustamento à curva dos ensaios.

Figura 10.2 – Ensaios de corte em compressão triaxial de um enrocamento de basalto (diâmetro da amostra igual a 0,3 m). Na figura 10.2 podem ver-se os resultados de ensaios de corte em compressão triaxial de um enrocamento de basalto, ensaiados no LNEC e usado na construção dos aterros do aeroporto de Ponta Delgada, Açores. . Acontece que os enrocamentos compactados exibem normalmente uma rigidez apreciável. Este comportamento é acentuado pelo efeito de aumento da tensão de cedência devido à compactação (pré-compressão), efeito esse que é não só reflexo de esmagamento nos pontos de contacto, como de fracturação e diminuição de índice de vazios. Estas tensões de cedência têm sido identificadas em laboratório e in situ. Mas é interessante referir que mesmo no que respeita à linha de compressão normal (LCN), os enrocamentos exibem maior rigidez (isto é, menos valores de λ, parâmetro intrínsceo do material que traduz a sua deformabilidade para tensões médias efectivas superiores à tensão média efectiva de cedência). Estabelecendo comparação com outros materiais granulares verifica-se que, numa larga gama desses materiais, o valor de λ cai no intervalo de 0,1 – 0,4 (Novello & Johnston, 1989). McDowell & Bolton (1998) demonstraram mesmo que, no caso de uma areia siliciosa, 1,0≅λ . No caso de areias siliciosas, a ultrapassagem da tensão de cedência clástica (McDowell & Bolton, op.cit.), corresponde à entrada numa fase de comportamento em que a diminuição do índice de vazios só pode fazer-se à custa da fracturação dos grãos. A

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possibilidade de diminuição de índice de vazios por rearranjo dos grãos foi totalmente utilizada para tensões inferiores à tensão de cedência clástica. Tal significa que a LCN, nas areias, coincide com o que aqueles autores designam por cedência clástica, em que, portanto, a deformabilidade é unicamente condicionada pela fracturação. A tensão de cedência clástica nas areias siliciosas assume valores muito elevados, da ordem dos 10 000 KPa.. Num gráfico à escala natural, tanto a fase elástica devida ao rearranjo das partículas como a cedência clástica, são representadas por uma relação tensão-deformação linear. Finalmente, para tensões muito elevadas, esta relação tem uma concavidade dirigida para cima, comportamento atribuído ao limite de cominuição (fracturação) das partículas de menores dimensões Continuando a aumentar a tensão progride o esmagamento, chegando-se a uma estrutura granular para a qual as partículas vizinhas nunca são de igual tamanho. Nesta situação só as partículas menores sofrem esmagamento por aumento de tensão. Esta progressiva diminuição das partículas de menor dimensão denomina-se endurecimento clástico e verifica-se que neste estágio, a relação logaritmo da tensão-deformação é linear. Acontece que, dum ponto de vista micromecâncio, os enrocamentos se comportam, quando comparados com as areias e para a gama de tensões a que, em geral, os maciços daqueles materiais estão submetidos, de modo muito diferente. Assim, nos enrocamentos, o rearranjo das partículas e a fracturação (englobando o esmagamento nos pontos de contacto) coexistem mesmo para tensões baixas. Não admira pois que sejam menores as tensões de cedência e os valores de λ. E verifica-se também que, ao contrário do que acontece nas areias, a cedência é mais condicionada pelo esmagamento no contacto entre partículas do que pela fracturação destas. 10.5 – Papel da mecânica dos meios contínuos A previsão do comportamento das estruturas de enrocamento, pressupõe, como é óbvio, o recurso a equações constitutivas as quais, nas utilizações mais correntes e de maior utilidade prática, radicam na mecânica dos meios contínuos. Trata-se de uma abordagem macromecânica ou fenomenológica. Tem havido, com seria espectável, importantes estudos que consideram o meio particulado no sentido em que são tidas em conta as diferentes partículas e a interacção que exercem através dos “pontos” onde se estabelecem contactos entre elas. Mas se os resultados do ponto de vista de aplicação prática desta mecânica têm tido pouca utilização prática, já o mesmo não se pode dizer das importantes contribuições que os estudos de natureza micromecância tem fornecido para justificar e fazer progredir o tratamento fenomenológico, permitindo o aprofundamento de equações constitutivas aplicáveis a uma mecânica dos meios contínuos capaz de simular bem o comportamento dum meio particulado. É o caso, por exemplo, dos estudos relativos à compressibilidade das areias atrás referidos,ou como se verá em 4, a influência que a humidade relativa reinante nos vazios dos enrocamentos tem na respectiva compressibilidade.

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As deformações dos enrocamentos, face à sua maior rigidez quando comparada com a dos solos arenosos e argilosos para o mesmo nível de tensão, são naturalmente bastante reduzidas. Ora não se pode concluir da afirmação anterior que as estruturas de enrocamento não podem exibir elevada deformação. O que acontece é que essas deformações, que por vezes apresentam valores elevados, são geradas por colapso (deformações a tensão efectiva constante e originadas fundamentalmente pelo aumento do teor em água dos elementos rochosos que constituem o enrocamento) e por fluência (deformação ao longo do tempo mantendo-se constante a tensão efectiva). Pela importância que estes dois fenómenos podem assumir no desempenho das estruturas de enrocamento, é a eles que será dedicada mais atenção. É interessante, a finalizar, tecer algumas considerações sobre as tensões efectivas nos enrocamentos. Se estão submersos aplica-se naturalmente o princípio das tensões efectivas. Se não estão saturados, não se pode estabelecer qualquer analogia com as tensões efectivas que se instalam nos solos em consequência do seu estado de não saturação. De facto, como é bem sabido, nos solos não saturados as tensões efectivas,

ijσ ′ , podem ser dadas por (Bishop, 1955)

( ) ijwuauijauijij δχδσσ −+−=′ (10.2)

onde ijσ ′ e ijσ representam os tensores das tensões efectivas e totais, respectivamente, ua

é pressão no ar (normalmente a pressão atmosférica), uw a pressão na água, χ é o coeficiente de Bishop (χ = 0 no caso de um solo seco e χ = 1 caso esteja saturado) e ijδ é

o símbolo de Kronecker. A equação 3.5 mostra que, para um solo parcialmente saturado ijσ ′ > ijσ .

No caso dos enrocamentos parcialmente saturados, dada a elevada dimensão dos vazios, tem-se ( ) 0=− wuau , logo, qualquer que seja o grau de saturação dos vazios dos

enrocamentos, ter-se-á sempre

ijσ ′ = ijσ

Em termos de materiais não saturados é uma diferença fundamental relativamente aos solos arenosos e argilosos. 10.6 – Modelos usados na previsão de deformação devido a colapso. Como é sabido, diz-se que um enrocamento sofre colapso quando, a tensão efectiva constante, exibe deformações relativamente rápidas em resultado de alteração do seu teor em água. Trata-se de um fenómeno observado desde há muito tempo mas não identificado como tal. A este propósito é interessante transcrever o relato de um facto que acontecia durante a construção dos aterros de enrocameneto lançado da barragem de Kenney, USA : “When water is properly applied, the effect on a mound of freshly dumped rock is amazing. It seems to dissolve and flatten out, and there is not much rolling of rock dawn the dump face.” Trata-se sem dúvida da descrição de um colapso

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de enrocamento que os engenheiros, nessa época não podiam naturalmente identificar como tal. Dum modo geral todos os métodos se baseiam na determinação das características mecânicas do material no seu estado de humidade natural e após aumento do teor em água (que simplificadamente, chamaremos por vezes saturação) procurando que o modelo matemático altere, dum modo próprio para cada modelo e sob efeito das cargas aplicadas, as características “iniciais” nas “saturadas” e quantifique as deformações resultantes.

10.6.1 – Modelo de Nobari & Duncan

Nobari & Duncan (1972), num trabalho largamente difundido, propuseram um método para obter deformação por colapso mediante aplicação do método dos elementos finitos, utilizando as equações constitutivas hiperbólicas devidas a Kondner & Zelasko (1963). O assunto já foi tratado anteriormente a propósito do modelo hiperbólico apresentado em 5.1. O método deve a sua grande difusão à relativa facilidade com que se podem quantificar os parâmetros da equação constitutiva a partir de ensaios triaxiais convencionais. (O método tem a desvantagem de só ser estritamente válido para a trajectória de tensão do ensaio triaxial convencional, a qual é frequentemente muito diferente das trajectórias reais.

10.6.2 – Modelos elastoplásticos

Naylor et. al. (1989) generalizaram o procedimento anterior a um estado geral de tensão, permitindo deste modo a aplicação de qualquer lei constitutiva. Considere-se um elemento de material sob a tensão σs e com o teor em água inicial, ou seja, o teor correspondente ao estado seco (pode considerar-se um elemento finito de tal modo que as forças nele aplicadas são forças nodais). Admita-se que a este elemento são fixados os nós (figura 10.3).

Figura 10.3 – Idealização do efeito da saturação (Naylor et al., 1989).

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Se se separar o elemento do resto do corpo, o sistema de fixação dos nós exercerá nestes um conjunto de forças Fs, representando a tensão transferida através da fronteira do elemento. Saturando o elemento, este tende a reduzir o seu volume mas o sistema de fixação dos nós impede que tal aconteça. Seja Fh o conjunto de forças exercidas pelo sistema de fixação dos nós depois da saturação. Libertando então os nós, modela-se esta situação aplicando forças nodais Q, sendo

Q = Fs - Fh (10.3)

As forças Q vão originar as deformações devidas ao colapso. A retracção por saturação (expressiva designação de Naylor, op. cit., para o colapso) tem analogias com o comportamento de um material, de elevado coeficiente de dilatação térmica, que sofre arrefecimento. O aspecto original da proposta é a forma de calcular o estado de tensão após relaxação, σh, em consequência da molhagem. Imagine-se que o elemento em causa está descarregado inicialmente e que após carregamento, no seu estado seco, até à tensão σs (trajectória representada na figura 10.4 a)) vai ocupar precisamente a fronteira onde estão aplicados os sistemas imaginários de fixação. Excepto para o caso de comportamento elástico linear, onde a tensão final é independente da trajectória, é necessário pressupor uma trajectória de tensão.

Figura 10.4 – Procedimento para cálculo das deformações de colapso por aplicação do m.e.f. quando se usa uma lei elastoplástica com endurecimento. a) trajectória de tensão do material seco e saturado; b) trajectória de deformação para o material seco e saturado (iguais). (Naylor et al. 1989).

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Admita-se agora a saturação a partir da situação inicial e carregue-se de tal modo que o elemento siga a mesma trajectória de deformação do elemento seco (ver na figura 4.2.b)). Consequentemente, ao fim deste caminho, ajustar-se-á precisamente às fronteiras fixas e a correspondente trajectória de tensão será oσh (ver trajectória de tensão na figura 4.2 a)). A tensão final σh é pois a tensão pós-saturação antes de libertar as fronteiras. Está em equilíbrio com as forças nodais Fh (figura 10.4 b). As forças nodais a aplicar para simular a libertação dos elementos de fixação são obtidas da forma convencional a partir da variação de tensão, isto é,

Q = Fs – Fh = ( )∫ − dvB hsT σσ (10.3)

onde B é a matriz das derivadas da função de forma. Q é obtido para todos os elementos saturados de modo a dar a força total a ser aplicada. 10.6.4– O modelo elastoplástico com base micromecânica Uma das contribuições mais recentes e importantes no domínio da micromecânica dos enrocamentos é a investigação desenvolvida por Oldcop (2000) no sentido de um aprofundamento dos conhecimentos no que respeita à influência da água no comportamento mecânico dos enrocamentos, nomeadamente no que diz respeito à compressibilidade e ao colapso. Através dum interessante estudo experimental o autor mostrou que a fracturação das partículas rochosas e a propagação da fractura são mecanismos básicos subjacentes ao comportamento do material e que tais mecanismos são controlados pela humidade relativa do ar que preenche os vazios do enrocamento. Um resultado muito importante do trabalho experimental desenvolvido é o de que a elevação da humidade relativa nesses vazios, para um máximo de 100 %, dá origem a uma deformação por colapso sensivelmente igual à que se obteria se se saturasse o enrocamento (vazios do enrocamento integralmente preenchidos com água). Nessa investigação são considerados dois tipos de vazios nos enrocamentos: os correspondentes ao espaço interparticular e os que têm a ver com os poros do material rocha. Esta abordagem microestrutural no que respeita ao papel da tensão e da água como indutores de fracturação, baseia-se na chamada propagação subcrítica da fracturação. De acordo com a mecânica da fracturação em meios elásticos lineares, define-se o chamado factor de intensidade de tensão, K, (Broek, 1986) que permite uma caracterização completa do campo de tensão na vizinhança da ponta de uma fissura. O valor de K que corresponde ao início da propagação da fenda para um dado material designa-se por

cK .

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Figura 10.5 – Esquema das curvas de crescimento subcrítico duma fissura e modelo conceptual da deformação volumétrica de enrocamento (Alonso & Oldcop, 2001). A figura 10.5 mostra curvas típicas de propagação subcrítica de fracturas obtidas de ensaios de fracturação mecânica em rochas. A velocidade de propagação das fendas, V, depende da carga aplicada (o que é tido em atenção através de K) e do efeito da água (que é medido através da humidade relativa do ar que rodeia o ensaio). A mesma figura traduz um modelo conceptual para a deformação do enrocamento. O eixo K é dividido em três regiões. As fissuras que se situam na região I ( 0KK < ) não se

propagam. Assim, num estado permanente de tensão e humidade relativa, o enrocamento não exibe qualquer deformação e todas as fissuras estão na região I. Efectuando um carregamento, algumas fissuras cairão no ragião III, onde 0KK > , de

que resultam rápidas deformações nos enrocamentos (observados experimentalmente). Mas outras fissuras vão situar-se na região II pelo que têm uma velocidade de propagação finita até que atinjam a rotura. Estas fissuras determinam a deformação a longo prazo dos enrocamentos. Admita-se agora que se aumenta a humidade relativa (mantendo a carga constante). A figura 10.5 mostra que cresce a velocidade de propagação das fissuras da região II. Além disso, algumas fissuras deslocam-se da região I para a II porque o valor limite

0K diminui quando a humidade relativa aumenta. Estes factos produzem uma

deformação adicional que não pode ser devida à tensão. Trata-se portanto de uma deformação de colapso. Este modelo explica porque razão o comportamento do enrocamento depende da tensão e da acção da água. Mais importante ainda é a conclusão de que o parâmetro que controla a influência da água no comportamento mecânico dos enrocamentos é a humidade relativa no ar que rodeia os blocos de rocha (admitindo equilíbrio termodinâmico entre o ambiente gasoso e o ambiente líquido) o

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que foi provado através de ensaios edométricos de enrocamento sob condições de humidade relativa controlada. Na realidade, o facto de, no colapso, ser mais importante o grau de saturação do material rochoso do que o grau de saturação do enrocamento, já havia sido intuído por vários autores. progresso de microfissuras da rocha. Mas também a observação do comportamento de barragens fornece resultados que mostram que, para haver colapso significativo, não é necessário que se verifique submersão dos aterros de enrocamento. A figura 10.6 evidência bem a correlação entre a pluviosidade e os assentamentos devidas ao colapso no paramento de jusante da barragem de Beliche. No entanto só recentes investigações vieram a permitir não só uma melhor compreensão da acção da água nos enrocamentos bem como também o que se passa na transição entre os estados inicial a final de um processo de colapso. A investigação experimental mostrou que as deformações instantâneas são a componente relevante da deformação para baixas tensões de confinamento, tendendo a diminuir quando a tensão de confinamento aumenta e sendo muito afectadas pela inundação do material. Mas as deformações de fluência, que aqui não serão tratadas, são relativamente reduzidas para baixas tensões de confinamento e estados secos. Para lá de um certo valor da tensão, as deformações de fluência são fortemente marcadas pela água (crescem rapidamente com o teor em água).

Figura 10.6 - Barragem de Beliche. Assentamentos de colapso (medidos em marcas superficiais colocadas na zona de jusante do paramento) devidos ao efeito da água da chuva. É interessante referir que o modelo que se está a descrever tem também em atenção a explicação micromecânica da compressibilidade de areias a que anteriormente se fez referência (McDowell & Bolton, 1998).

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Figura 10.7 – LCN (linha de compressão normal) e LDR (linhas de descarga-recarga) de enrocamento muito seco (Oldcop, 2000).

Analisando os resultados da figura 10.7 verifica-se que a cedência clástica se inicia a partir da tensão 0,4 MPa como se pode verificar pela relação linear entre tensão e deformação. Também se pode ver que a grandeza da tensão vertical aplicada não foi de modo a atingir-se o endurecimento clástico e muito menos o limite de cominuição. Mais concretamente, o modelo baseia-se em dois mecanismos de deformação que dão origem a deformações plásticas: um mecanismo de deformação instantânea (MDI) e um mecanismo de deformação dependente do tempo (MDT). Contudo no modelo não há dependência explícita em relação ao tempo. O MDI está presente para qualquer nível e incremento de tensões e é independente da acção da água. O MDT torna-se activo a partir dum limiar de tensão, yσ , e depende fortemente da acção da água. É a este

mecanismos que se deve o colapso, o qual não actua quando o enrocamento está no estado seco. Admitem-se LCN tanto para o MDI como para o MDT, admitindo-se também um relação linear entre a tensão e a deformação nas trajectórias de carga e descarga (ver figura 10.8). Assim para

yσσ ≤ σλεε ddd ii == (10.4)

e para

yσσ > ( )[ ] σλλεεε dwddd didi +=+= (10.5)

88

onde σ é a tensão vertical aplicada no edómetro, yσ é a tensão de cedência clástica

(marca o início da fracturação das partículas), e εd é a deformação vertical total cujas

componentes são idε (MDI) e ddε (MDT), iλ é a inclinação da LCN quando só está

activo o MDI e ( iλ + dλ ) é a inclinação da LCN quando ambos os mecanismos estão activados. O teor em água do enrocamento pode dividir-se em duas partes: o teor em água que determina realmente o comportamento do enrocamento (que varia desde zero até w0, tsto é o teor em água correspondente à saturação dos poros dos blocos da rocha) e o teor em água que corresponde ao preenchimento dos vazios do enrocamento e que não tem qualquer influência no colapso. Nas trajectórias de descarga-recarga (LDR – linha de descarga – recarga) verificam-se sómente incrementos de deformação elástica, dados por

σκε dd e = (10.6) onde a inclinação κ é independente da acção da água. Considera-se que a pequena expansão devido à saturação a baixa tensão é de natureza elástica (reversível). Admite-se a seguinte relação linear entre a deformação devido à expansão e o logarítmo do teor em água (w),

w

dww

wd κε −= (10.7)

onde wκ é o índice de expansão–recompressão devido ao efeito da água, admitindo-se,

simplificadamente, que não depende do nível de tensão. O efeito da água pode introduzir-se quer através do teor em água (w), quer através da sucção total (ψ). Qualquer destas grandezas, são usadas no modelo como um parâmetro e não como uma verdadeira variável de tensão (ao contrário da sucção, s, no caso dos solos não saturados). Admitindo a univocidade da curva de retenção do material, é indiferente usar w ou ψ. No que se segue, recorrer-se-á ao teor em água (w). A equação da superfície de cedência no espaço (σ, w), é dada por

( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0, *0 =−−−−+= κλσλσκλλσσ i

od

ydi wwwF (10.8)

onde *

0σ , a tensão de cedência do enrocamento no estado seco, representa o parâmetro

de endurecimento. A equação 10.8 representa a superfície de cedência para yσσ ⟩ . Se a

tensão não ultrapassa a tensão de cedência, yσ , a equação da superfície de cedência é

simplesmente

( ) 0, * =−= owF σσσ (10.9)

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Figura 10.8 – a) trajectórias de tensão consideradas para derivar a superfície de cedência; b) resposta do modelo idealizado.

Oldcop & Alonso (2001) propôem a seguinte lei de endurecimento

κλεσ−

=i

p

o

dd * (10.10)

sendo pε a deformação volumétrica plástica. De acordo com a condição de consistência, tem-se a seguinte lei de escoamento

para yσσ > ( )[ ] ( ) ( )dw

w

wdwd y

dip

∂∂−+−+= λσσσκλλε 00 (10.11)

para yσσ ≤ [ ] 0σκλε dd ip −= (10.12)

Experimentalmente observa-se uma relação linear entre as deformações de colapso e o logarítmo do teor em água do material rochoso (ver figura 10.9).

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Figura 10.9 – Deformação de colapso versus teor em água num ensaio edométrico (Oldcop, 2000) A curva de retenção de água da rocha em causa mostrou que a água é armazenada essencialmente nos poros da rocha pois quando a sucção tende para zero a rocha esta praticamente saturada (teor em água de saturação igual a a 3,15%, calculado com base numa porosidade igual a 8%). É sugerido deste modo que o coeficiente de compressibilidade correspondente à cedência plástica, )(wdλ , se relaciona linearmente com o logarítmo do teor em água

através do parâmetro do material, wα :

−=w

ww w

dd 00 ln)( αλλ (10.13)

onde d0λ , também parâmetro do modelo, é o valor máximo do índice de

compressibilidade clástica (para 0ww ≥ ). Deste modo )(wdλ tem como limites

⋅≤≤ dd w 0)(0 λλ (10.14)

O limite inferior na equação 10.14 permite a definição do estado muito seco. No caso do material ensaiado este estado é atingido para %45,0≤w (ver figura 10.9).

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Figura 10.10 – Superfície de cedência para diferentes valores do parâmetro de endurecimento

*0σ (enrocamento de Pancrudo, Oldcop, 2000).

Figura 10.11 – Resultados dos ensaios de compressão 1D do xisto de Pancrudo e do modelo baseado no teor em água da rocha (Oldcop, 2000).

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A figura 10.10 mostra a forma da superfície de cedência num espaço (w, σ) para diferentes valores de *0σ . Podem identificar-se três zonas onde o comportamento não

depende de w, a saber: a) para níveis de tensão inferiores a yσ ( yσ = 0,29 MPa para o

xisto de Pancrudo); b) para estados muito secos ( %45,0≤w ); c) para teores em água mais elevados que o teor em água correspondente à saturação dos blocos de rocha ( %2,3≥w ). De acordo com os resultados da experiência, nas duas primeiras regiões não é activado o MDT, pelo que as deformações só são devidas ao MDI. Na terceira região o MDT é completamente activado porque os blocos de rocha estão saturados. Na figura 10.11 apresentam-se os resultados de um ensaio edométrico com enrocamento de xisto, bem como da situação do ensaio usando o modelo descrito. Os parâmetros do enrocamento estão indicados na figura 10.10. Exceptuando um colapso parcial no ensaio, para a tensão de 0,4MPa, a simulação pode considerar-se boa. O modelo que acaba de descrever-se (compressão unidimensional) pode ser extendido a um estado triaxial de tensão combinando-o, por exemplo, com o modelo Cam-Clay modificado (Alonso & Oldcop, op. cit.),

( ) ( ) 0, 022 =−−= pppMqqpF (10.15)

onde q é a tensão deviatórica, p a tensão efectiva hidrostática, p0 a tensão efectiva de cedência em compressão isotrópica e M a inclinação da LEC. A partir da equação 10.8 (substituindo σ por p), obtém-se,

( )κλλ

λκλ−+

+−=

∗

di

dy

i ppp

00 (10.16)

Estas duas últimas equações juntamente com a lei de endurecimento (ver equação 10.10),

κλε−

=∗i

pddp0 (10.17)

definem uma superfície no espaço (p, q, w) 10.6.5 – Descrição dos ensaios de compressão edométrica com sucção controlada Finalmente descrevem-ser os ensaios edométricos de enrocamento em condições de humidade relativa controlada com o objectivo de comprovar o papel da água na compressibilidade daqueles materiais segundo o modelo conceptual apresentado (Oldcop, 2000).

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Figura 10.12 – Esquema do ensaio edométrico com sistema de controlo da humidade relativa (Oldcop, 2000) O ensaio edométrico, com 0,3 m de diâmetro (célula tipo Rowe), é realizado com aplicações de tensão com um valor máximo de 1 MPa. Como já se referiu, o ensaio pode ser realizado com humidade relativa controlada através de um sistema cujo esquema se apresenta na figura 10.12. O objectivo do sistema é produzir uma variação gradual no teor em água da amostra, o que é conseguido transportando-a no estado de vapor. Como pode ver-se na figura 10.12, o fluxo de ar borbulha numa solução aquosa salina de modo a impor humidade relativa controlada. O vapor de água é transportado da solução para os vazios de enrocamento por advecção. Mas há ainda um transporte de água desses vazios para os poros da rocha por difusão molecular devido ao gradiente de humidade relativa criado entre os vazios de enrocamento e os poros da rocha. Deste modo verifica-se condensação no interior dos poros sempre que a largura destes é inferior ao raio de curvatura, em equilíbrio, da interface ar-água (ver detalhe na figura 10.12). A curvatura depende da tensão superficial da água e da diferença entre a pressão no ar e a pressão na água dos poros.

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Quantificando a variação de peso da solução determina-se a quantidade de água transferida para o enrocamento. Quando o conjunto do sistema (amostra e dispositivo de controlo de humidade relativa) atinge o equilíbrio termodinâmico, a humidade relativa é igual em qualquer ponto da fase gasosa não havendo mais transporte de água. Nesta situação, como é sabido, pode conhecer-se a pressão neutra negativa (ou sucção) no material rocha, a partir do valor da humidade relativa. NOTAS BIBLIOGRÁFICAS Alonso, E. E., A. Gens & A. Josa (1990) “The constitutive model for partially saturated soils”, Géotechnique, vol. 40, nº 3, September, pp 405-430 Alonso, E. E. & L. A. Oldcop (2001),“Modelling the behaviour of Rockfill”, ComputerMethods and Advances in Geomechanics, Ed. Desai et al., Balkema, Rotterdam, pp 3-11.

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