Disciplina: Fundamentos do Ensino de Matemática I

Professora: Kênia Bomtempo Data: _______/_______de 2013

Texto: A APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA SEGUNDO VAN HIELE

Kênia Bomtempo

Nesse universo de modelos, teorias e observações sobre o ensino da geometria, tem-se

o modelo de Dina Van Hiele Geldof e Pierre Marie Van Hiele, que despontou os trabalhos

que surgiram dos estudos sobre o ensino da geometria, realizados pelo casal na tese de

doutorado. Sendo assim, o modelo Van Hiele, é a fundamentação e um referencial teórico

para este trabalho. O modelo Van Hiele é estruturado em uma teoria com níveis de

desenvolvimento do pensamento geométrico, que segundo Crowley, para eles a construção do

conhecimento pelos alunos apresenta níveis diferenciados de pensamento, que podem ser

utilizados para orientar a formação, bem como para avaliar corretamente habilidades. Para o

casal, é possível identificar e estruturar esses níveis, e, também, desenvolver uma didática e

metodologia para possibilitar que os alunos atinjam um nível mais elevado, considerando a

maturidade do pensamento geométrico dos alunos.

Os níveis são classificados da seguinte forma: Visualização, análise, dedução

informal, dedução formal e rigor, nesta ordem. O modelo tem também cinco fases de

aprendizagem para elevação dos níveis: interrogação e/ou informação, orientação dirigida,

explicação, orientação livre e integração. Apresenta, também, características e propriedades

essenciais para o desenvolvimento do pensamento geométrico que são: seqüencial, avanço

intrínseco e extrínseco, lingüística e combinação inadequada.

O contexto do modelo valoriza a aprendizagem da geometria como um processo

gradual e universal. A intuição, o raciocínio e a linguagem geométrica são adquiridos de

forma processual e gradativamente, sendo assim, gradual. Universal, porque pressupõe que a

geometria e suas propriedades estabeleçam relações, formulando e construindo conceitos de

acordo com as figuras e suas semelhanças, bem como, os objetivos que são manipulados no

Texto retirado de minha monografia de especialização. Ano-2002, Universidade Federal de Goiás, para uso em sala de aula.

dia-a-dia. Para Crowley “Nos escritos dos Van Hiele está implícita a noção de que seria

apresentada às crianças uma variedade ampla de experiências geométricas” (1994, p. 8),

para facilitar a compreensão dos conceitos de geometria.

O objetivo do modelo, pode ser visto, ao observar os níveis, o casal não achou,

simplesmente, que era importante a aquisição de técnicas que facilitassem o estudo e

manuseio da geometria em um processo mecânico. Eles objetivaram a compreensão de como

os conceitos geométricos são construídos pelos alunos e como esse processo mental se

desenvolve. Os níveis propiciam então, a integração de informações na formação de

conceitos. A progressão dos alunos aos níveis posteriores dá-se através de um pensamento

mais específico diante das propriedades geométricas, passando assim, para um conhecimento

mais rigoroso, mudando de um nível de pensamento inferior para um posterior mais

avançado.

A visualização é o estagio inicial, pois o conceito de geometria é destacado no plano

da aparência, observa-se às formas como um todo, deixando de lado partes, propriedades e

conceitos. Nesse nível, comparam-se desenhos e os identificam, caracterizam formas através

do visual, classificam-se, de forma não convencional, grupos de figuras, por não se ter à

compreensão da variedade infinita de formas e conceitos. As percepções são estritamente

visuais, o que importa é o desenho, a forma e a aparência.

No segundo nível, a análise começa a diferenciar propriedades, analisando figuras,

observando e usando experimentação. Entretanto, ainda não é possível incluir classes entre

tipos gerais de formas, a classificação é feita com propriedades simples e necessárias para a

composição das figuras. As definições são próprias e não conceituadas por livros.

A dedução informal é o terceiro nível, nela inicia-se as relações entre figuras, inclusão

e implicação lógica. Estabelece nesse nível a inter-relação de propriedades que possibilitam o

reconhecimento de classes de figuras. Surge a habilidade de aceitar e modificar conceitos, a

ordenação lógica parcial como a inclusão de classes, classifica-se formas de acordo com

diferentes atribuições, mas ainda não se pode compreender o significado dedutivo como um

todo. Adquire-se a capacidade de acompanhar demonstrações, mas, ainda não é capaz de

contestar, construir e ver caminhos diferentes para refazer.

A dedução formal, quarto nível, é onde compreende-se as funções de termos como

axiomas, postulados e teoremas. Nasce aqui a confiança nas demonstrações, elas são vistas

como provas autoritárias finais e decididas sobre a verdade de proposições. Tudo isso, porque

2

aqui é adquirida a habilidade de desenvolvimento de demonstrações com mais de uma forma,

a compreensão das condições necessárias e a distinção entre afirmar e provar algo

matemático.

No quinto e último nível, apresenta-se o Rigor, a abstração geométrica é, finalmente,

compreendida. Enxerga-se a possibilidade de comparar, desenvolver e distinguir sistemas

axiomáticos. A complexidade desse nível e a dificuldade de atingi-lo, faz com que ele seja o

menos estudado.

Para orientar educadores quanto as decisões, levantar hipóteses e usar linguagem

específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá

caminhar os estudos, enquanto o professor se informa dos conhecimento prévios de seus

alunos.

São colocadas cinco propriedades. Observa-se uma seqüência dos níveis, uma

hierarquia, para que a assimilação ocorra é necessário passar pelos níveis anteriores. A idade

não é um fator determinante na passagem dos níveis, pois o conteúdo recebido revela o

potencial e o nível adequado, ou seja, a elevação depende mais da instrução do que da idade

ou maturidade. Na relação intrínseco e extrínseco, tem-se claramente que o que esta implícito

em um nível, torna-se explícito no nível seguinte. Cada nível possui conceitos geométricos

expressos com uma linguagem própria, bem como símbolos e relações, sendo assim, a

linguagem depende do nível. Por fim, percebe-se o desnível, a combinação inadequada de

pessoas com níveis diferentes, é preciso que o professor os identifique para usar linguagem,

material e conteúdos adequados, pois a elevação do nível só acontecerá se as atividades

desenvolvidas forem propícias.

Para a eficácia dos níveis é necessário pensar nas fases do aprendizado, levar em

consideração os aspectos pedagógicos desta ação. O modelo prioriza também a reflexão sobre

os princípios metodológicos específicos para o ensino da geometria. A seqüência de fases foi

então estudada e estruturada pelos Van Hiele a luz destas constatações. Em primeiro

momento, professor e aluno devem vivenciar a fase da interrogação, visando a informação,

devem discutir atividades a serem desenvolvidas, levantar hipóteses e usar linguagem

específica e explícita ao nível, há então a troca de informações, o aluno sabe por onde irá

caminhar os estudos, enquanto o professor se informa da bagagem de conhecimento dos

alunos.

3

A segunda fase é chamada de orientação dirigida, as atividades são apresentadas aos

alunos de forma ordenada e em seqüência, preparadas previamente pelo professor. As

atividades são propostas com a finalidade de estimular respostas pertinentes ao nível. Já a fase

posterior, a explicação, ela auxilia o aluno a usar linguagem apropriada mostrando a tarefa

mínima do professor e a especificidade do sistema de relações de níveis, bem como a

expressão e modificação do ponto de vista dos alunos.

A orientação livre é a quarta fase. Nesta etapa os alunos elaboram soluções próprias,

precisam pesquisar para concluir as tarefas, já que elas têm uma infinidade de tipos de

soluções. Eles precisam orientar a si mesmos diante das diversas possibilidades, até mesmo

atentar para o fato de as tarefas terem final aberto. As tarefas nessa fase são mais complexas,

possuem mais passos e eles descobrem a importância de se orientarem e pesquisarem as

relações existentes entre os objetivos do estudo. A última fase prioriza a integração, aqui o

aluno revisa e analisa o que aprendeu, para só então, formar uma visão geral a respeito dos

estudos dos objetivos e suas relações. Ao acabar esta fase, segundo o modelo Van hiele, o

aluno encontra-se pronto a reiniciar a fase inicial no nível seguinte.

O importante no processo de aprendizagem é reconhecer que o conhecimento é

resultado de condutas, que são organizadas de acordo com a relação entre sujeito e objeto de

conhecimento. As análises de Van Hiele apóiam-se em estudos feitos em sala de aula,

considerando seus conhecimentos e a experiência com os alunos. Para os Van Hiele os

avanços do pensamento geométrico poderiam ser colocados em níveis e fases que

priorizassem a construção de conceitos, ou seja a estruturação mental do desenvolvimento

geométrico, e assim fizeram seus estudos e os níveis, acreditando nas possibilidades de

compreensão dos conceitos e não somente na aquisição mecânica dos mesmos.

No Brasil, a teoria do casaL Van Hiele foi muito estudada e aplicada em projetos

como o Fundão, na Universidade Federal do Rio de Janeiro. Pessoas como; Lílian Nasser,

Maria Laura M. Leite Lopes e Neide P. Sant’Anna, fizeram com que a teria fosse aplicada e

estudada, escrevendo sobre os resultados de suas pesquisas, mostrando seu valor. Elas

elaboraram pesquisas e atividades, usando sempre os princípios do pensamento geométrico de

Van Hiele.

Para Lopes e Nasser, os conceitos geométricos são construídos como se

construíssemos um “Edifício Geométrico”1, cada degrau tem sua função e sua especificidade,

assim sendo, “As dificuldades mais freqüentes detectadas no ensino/aprendizagem de

1

4

Geometria podem ser superadas se os alicerces do EDIFÍCIO GEOMÉTRICO2 forem

solidamente construídos desde os primeiros anos de escolaridade”(Lopes e Nasser, 1996, p.

8).

BIBLIOGRAFIA

BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio. Secretaria de Educação média e

tecnológica. Brasília: Ministério da Educação, 1999.

CROWLEY, Mary L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico.

IN: LINDQUIST, Mary Montgomery & SHULTE, Albert P. ( org.). Aprendendo e ensinando

geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação matemática: representação e construção em

geometria. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 1999.

FAINGUELERNT, Estela Kaufman. A importância da prática de ensino em um curso de

formação de professores em matemática. Temas e Debates: Sociedade Brasileira de Educação

Matemática, Formação de Professores de Matemática. Ano VIII, 7.ed., p. 32-35, 1995.

FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Representação do conhecimento em matemática:

transformações no plano- translação e simetria. Bolema: Boletim De Educação Matemática,

Ano 9, Especial 3, p. 1- 14, 1994.

FAINGUELERNT, Estela Kaufman. O ensino de geometria no 1º e 2º graus. A Educação

Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de Matemática, SBEM, Ano III, p. 3-

13, 1º sem., 1995.

GÁLVEZ, Grecia. A geometria, A psicogênese das noções espaciais e o ensino da geometria

na escola primária, IN: PARRA, Cecília & SAIZ, Irmã. Didática da matemática: reflexões

psicopedagógicas. 2. ed., São Paulo: Artmed, p. 236- 256, 2001.

HERSHKOWITZ, Rina. Visualização em geometria – as duas faces da moeda. Boletim do

Gepem, vol. 18, nº 32, p. 45- 61, 1994.

LINDQUIST, Mary Montgomery & SHULTE, Albert P. ( org.). Aprendendo e ensinando

geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

2

5

LOPES, Maria Laura M. Leite; NASSER, Lílian.(Coord.) Geometria: na era da imagem e do

movimento. Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 1996.

LORENZATO, Sérgio. Porque não ensinar geometria? A Educação Matemática em Revista.

Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, SBEM, Ano III, p. 3- 13, 1º sem.,

1995.

NASSER, Lílian & SANT’ANNA, Neide P. Geometria segundo a teoria de Van Hiele. 3. ed.,

Rio de Janeiro: Editora UFRJ, 2000.

NASSER, Lílian. Níveis de Van Hiele: uma explicação definitiva para as dificuldades em

geometria? Boletim do Gepem, nº 29, p. 33- 38, 1992.

NASSER, Lílian. O desenvolvimento do raciocínio em geometria. Boletim do Gepem, vol. 15,

nº 27, p. 93 – 99, 1990.

PAVANELLO, Regina Maria. A pesquisa na formação de professores de matemática para a

escola básica. A Educação Matemática em Revista. Revista da Sociedade Brasileira de

Educação Matemática, SBEM, Ano 10, n º 15, p. 8- 12, dez. 2003.

6