testes e resolução ba1

RESOLUÇÃO DE TESTES E EXAMES DE BETÃO ARMADO

JOÃO SIDÓNIO SOUSA DE FREITAS 2

Índice

1º TESTE 22/11/2007 ................................................................................ 3

RESOLUÇÃO ..................................................................................................... 6 A) ARMADURAS LONGITUDINAIS: ...................................................................... 7 B) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ....................................................................... 9 C) DISPENSA DE ARMADURAS LONGITUDINAIS: ................................................... 13

2º TESTE 18/01/2008 .............................................................................. 19

RESOLUÇÃO ................................................................................................... 21 D) ARMADURAS LONGITUDINAIS: .................................................................... 23 E) A ESTRUTURA É CONSIDERADA DÚCTIL?......................................................... 25 F) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ..................................................................... 25 G) ARMADURAS DEVIDO AO MOMENTO TORSOR:................................................... 26 H) VERIFICAÇÕES:...................................................................................... 28 I) DISPENSAS: ......................................................................................... 33

EXAME 21/01/2008 .................................................................................. 36

RESOLUÇÃO ................................................................................................... 38 a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: ............................................................. 40 B) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ..................................................................... 41 C) VERIFICAÇÕES:...................................................................................... 43 D) DISPENSA DE ARMADURAS:........................................................................ 46

2º EXAME 3/02/2004................................................................................. 48

RESOLUÇÃO ................................................................................................... 51 a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B: ............................................................. 51 B) ARMADURAS TRANSVERSAIS: ..................................................................... 52



1º Teste 22/11/2007

GRUPO 1

ACÇÕES: CP = 40 kN/m (γCP=1,5) MATERIAIS: C25/30

SC = 20 kN/m (γSC=1,5) A500NR

Rec = 4 cm

a) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite

último de flexão nas secções de esforços condicionantes. Comente as

respectivas secções quanto à sua ductilidade.

b) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção

condicionante. Dimensione e pormenorize as suas armaduras

(transversais e longitudinais obtidas na alínea anterior). Considere

θ=26,7º; concentre a armadura do banzo inferior na largura de 1,0m.

c) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal

longitudinal e pormenorize em alçado. Efectue as verificações que achar

necessárias.



GRUPO 2

a) Porque razão é que a resistência do betão obtido em provetes cúbicos é

superior à obtida em provetes cilíndricos? Qual desses valores melhor

representa a resistência do material nas estruturas?

b) Porque razão e em que aspectos é que o excesso de armaduras pode ser

prejudicial para uma estrutura de betão armado?

c) O que entende por largura efectiva de uma viga sujeita à flexão? De que

forma pode ser calculada essa largura? Enumere as vantagens e

desvantagens para o cálculo em betão armado?

d) O que entende por torção de compatibilidade e equilíbrio? De exemplos

dos 2 tipos de torção.



Resolução

GRUPO 1

Cálculo dos esforços e diagramas:

� psd= γCP x CP + γSC x SC =1,5 x 40 + 1,5 x 20 = 90 kN/m

Esforços:

=

−=⇔

=××

=+⇒

=

⋅=

∑

∑

kN1620R

kN540R

02

2190-4R

kN1080RR

0M

pF

Bsd

Asd

2B

sd

Bsd

Asd

A

,vLtotalsd

kN.m28802

809M

kN0092076201VkN207809V

kN405V

2-

sd

esqB,sd

dirB,sd

Asd

=×=

=−=→=×=

=



a) ARMADURAS LONGITUDINAIS:

Para o cálculo da altura útil vamos supor que se utilizarão dois patamares de

varões longitudinais no banzo, logo o valor da altura útil neste caso será:

m0,800,10-0,902

0,20-hd ===

Determinar o valor de momento flector reduzido:

2-32

cd2rd 108,982

107,610,8000,32880

fdbM

×=×××

=⋅⋅

=µ

Determinar o valor da percentagem mecânica de armadura necessária:

i) -2-2-2 109,789)108,982(1108,982)1( ×=×+××=+×= µµω

ii) 2-2-

109,5321,21

108,9822,421121,1

42,211×=

××−−=

×−−=

µω

iii) 2-2-

109,4351,028

108,9822,055111,028

2,05511×=

××−−=

×−−=

µω

Determinar o valor do valor de k e da posição da L.N.:

m0,1151,13950,109dkx

0,144109,7891,471,47k -2

=×=⋅=

=××=⋅= ω

Como a posição da Linha Neutra situa-se no banzo, o modelo de cálculo

utilizado está em conformidade, ou seja, as armaduras podem ser calculadas

supondo que a viga é rectangular maciça.



Cálculo das armaduras longitudinais:

22

syd

cdsL cm,1909

43516,7

0,803,00109,789ff

dbA =××××=⋅⋅⋅= −ω

Visto que k <0,5 e x <0,26d (≈0,21m) a secção é considerada dúctil, ou seja,

as armaduras entram em cedência antes do betão.

b) ARMADURAS TRANSVERSAIS:

Determinação do valor do esforço transverso para o cálculo das

armaduras:

θθ cotgzpV)cotg(zV sdsdsd ⋅⋅−=⋅

i) Escolha do ângulo θ quando não é dado: segundo o Eurocódigo 2, o valor da

co-tangente de ângulo θθθθ deve estar compreendido entre 1 e 2,5; se

escolhermos o valor médio temos que cotgθθθθ =1,75 que equivale a um ângulo

θ=30°, neste caso o valor é dado θθθθ=26,7°.

ii) 0,72m0,800,9d0,9z =×=⋅=

kN,1671726,7cotg0,7290900)cotg(zV esqB,sd =°××−=⋅ θ

kN,1659126,7cotg0,7290207)cotg(zV dirB,sd =°××−=⋅ θ

Cálculo das armaduras transversais:



/mcm12,381043526,7cotg0,72

771,16fcotgz

)cotg(zVs

A 23

syd

sdesqB,

sw =××°×

=⋅⋅

⋅=

θθ

/mcm9,491043526,7cotg0,72

591,16fcotgz

)cotg(zVs

A 23

syd

sddirB,

sw =××°×

=⋅⋅

⋅=

θθ

Como é uma secção em “T” invertido, há necessidade de colocar armadura de

suspensão.

sydsuspensão

sw

fF

sA

=

i) Calculo de F:

( )

kN/m82,88F

1,520250,400,200,102

0,200,400,200,40-40F

F

=

×

+

×

×+×++×=

⋅+−= ialma SCpppp γ

/mcm1,9143500082,88

fF

sA 2

sydsuspensão

sw ===

ii) Armadura total na alma:

m10//0,102REST

/mcm14,291,9112,38s

As

As

A 2

suspensão

swesqB,

swesqB,

Total

sw

φ→

→=+=+=

m10//0,102REST

/mcm11,401,919,49s

As

As

A 2

suspensão

swA

swdirB,

Total

sw

φ→

→=+=+=

Cálculo das armaduras transversais no banzo:



i) Ligação banzo-alma:

/mcm6,192

12,382

As

A 2swesqB,

sf ===

/mcm4,752

9,492

As

A 2swdirB,

sf ===

i) Flexão no banzo:

Supondo que se trata de uma viga invertida que suporta uma laje, vamos

calcular a carga permanente no banzo da viga (subtrair às cargas

permanentes, CP, o valor do peso próprio da alma da viga) e distribuí-la pelo

beff, fazendo o mesmo com as sobrecargas:

( )[ ]

2d

d

effd

kN/m,6372S3

1,520250,400,200,102

0,200,400,200,40-40

S

bS

=

×

+

×

×+×++×

=

⋅+−= ialma SCpppp γ

kN.m5,602

0,902

27,63

M

2

-sd =

×=

2-

32cd

2sd

101,396

1016,70,1551,005,60

fdbM

×=

×××=

⋅⋅=

µ

µ

2-

-2-2

101,415

)101,396(1101,396

×=×+××=

ωω

/m0,84cmA

43516,7

0,1551,00101,415A

2s

2s

=

××××= −



m//0,20012REST/mcm3,940,842

6,19A

2s

A

sA 2

s

sfesqB,

Total/Ramo

sf φ→=+=+=

m//0,20012REST/mcm3,220,842

4,75A

2s

A

sA 2

s

sfdirB,

Total/Ramo

sf φ→=+=+=



c) DISPENSA DE ARMADURAS LONGITUDINAIS:

Para a dispensa das armaduras neste caso não será considerada a alternância

de sobrecargas.

( ) ( )2efsL,

2efsL, cm,1054A2510cm90,20A2520 =→= φφ

i) Momento resistente:

( ) ( )

kN.m1524,31104,7541016,70,803,0fdbM

104,754104,8950,5881104,895588,01

104,8951016,70,803,0104351045,10

fdb

fA

Mcm,1045A

232cd

2Rd

222

23

34

cd

sydefsL,

Rd2

efsL,

=×××××=⋅⋅⋅=

×=××−××=⋅−⋅=

×=××××××=

⋅⋅⋅

=

→→→=

−

−−−

−−

µ

ωωµ

ω

µω

ii) Comprimento de translação:

m0,62cotg302

0,72cotg

2z

aL =×=⋅= oθ

iii) Determinação das coordenadas “x”:



Consola:

( ) 2880720x-45xMxV2x

pxM 2dirB,Sd

dirB,sd

2

sdSd ++=+⋅−⋅=

m2,18x2880720x45x1524,31 12 =⇒+−=

Vão:

( ) 28800x09-45xMxV2x

pxM 2esqB,Sd

dirB,sd

2

sdSd ++=+⋅−⋅=

m1,64x288000x945x1524,31 22 =⇒+−=

iv) Calculo dos comprimentos para dispensa de armadura:

MPa2,71,51,8

112,25fηη2,25faderenciadeTensão ctd21bd =×××=⋅⋅⋅=

MPa5,17235490,2045,10

fA

Aσ syd

totalsL,

dispsL,sd =×=⋅=

m0,502,70217,5

40,025

fσ

4l

bd

sdrqdb, =×=⋅= φ

m0,50lll rqdb,rqdb,54321bd ==⋅⋅⋅⋅⋅= ααααα



m3,30m3,300,500,622,18laxX bdL11 →=−+=++=

m2,80m2,760,500,621,64laxX bdL22 →=++=++=

v) Verificações:

Armaduras longitudinais:

i) Armadura mínima:

2t

syk

ctmmín sL, cm,3340,800,40

5002,6

0,26dbff

0,26A =×××=⋅⋅⋅=

ii) Armadura máxima:

2máx sL,

máx sL,

cm163A

1,02

0,200,400,200,4020,203,00,04Ac0,04A

=

×++××+××=⋅=

iii) Espaçamento entre varões:

( )

( ) m0,04415

0,02550,0120,0420,40s

1nAnestribo2c2b

s sL

=−

×−×−×−=

=−

⋅−⋅−⋅−=

φφ

{ }

{ } m0,044m0,0350,02m5mm;0,0250,035m;0,025m;máx

2cm5mm;dg;;Amáxs, maioreq,,

maiorsL,mín

<=+=

=+= φφ

iiii) Armaduras nos apoios de extremidade:

2máx sL,

2efsL,

2mín sL, cm163Acm,2009Acm4,33A =<=<=



Considerando o efeito mais desfavorável de um apoio pontual com b=0 e z≈2b

temos:

2

syd

Tapoios,sdT cm14,90

435000648

fF

AkN6480451,2V1,2F ===⇒=×=⋅= +

Armaduras transversais:


/mcm1,600,20500

250,08bw

f

f0,08,

sA 2

syk

ckmín

sw =××=⋅⋅

=

ii) Diâmetro mínimo dos estribos:

{ } { }{ }6,25mm6mm;estribo

250,256mm;A0,256mm;estribo sL

≥

×≥⋅≥

φφφ

iii) Espaçamento máximo entre estribos:

( )z

Vcomcotg1d0,7s sd

estribo =+⋅⋅≤ αα

Em geral o espaçamento deve ser inferior a 0,5d, neste caso inferior a 0,40m.

Verificação das compressões:

i) Devido ao esforço transverso:

Bielas comprimidas



VerificaNãoMPa10,6MPa13,34σ

1016,725025

-10,6cos26,7sen26,70,20,800,9

771,16σ

f250

f-10,6

cossenbd0,9)cotg(zV

σ

BCc,

3BCc,

cd

ck

w

sdBCc,

MPaem

⇒≥=

××

×≤××××

=

⋅

⋅≤⋅⋅⋅⋅

⋅=

θθθ



2º Teste 18/01/2008

PARTE A - GRUPO 1


SC = 20 kN/m (γSC=1,5) A500NR

Rec = 4 cm

d) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite

último de flexão na secção de esforço condicionante.

e) Comente a respectiva secção quanto à sua ductilidade.

f) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção

condicionante e dimensione as suas armaduras.

g) Verifique o estado limite último relativo ao momento torsor na secção


h) Efectue as verificações que achar necessárias (tensões e armaduras) e

pormenorize a secção transversal sobre o pilar da esquerda (armaduras

transversais e longitudinais obtidas nas alíneas anteriores).

i) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal

longitudinal e a armadura transversal para a armadura mínima.

j) Pormenorize a viga em alçado.



PARTE A – GRUPO 2

e) Explique como faria para calcular a armadura de um tirante à tracção?

Predimensione a sua secção de aço e betão considerando 4% de área de

aço em relação ao betão e uma carga de tracção de 600 kN.

f) Complete os gráficos abaixo e explique as suas fases e a que se referem

os respectivos eixos.

g) Como pode ser calculada a largura efectiva de uma viga com banzo à

compressão? Enumere as vantagens e desvantagens para o cálculo de

betão armado.



Resolução

PARTE A – GRUPO 1



Esforços:

kN7202

121202

LpVV sdB

sdA

sd =×=⋅

==

kN.m21608

121208

LpM

22sd

sd =×=⋅

=+

kN.m63TT

20,201203

2eLS

TT

Bsd

Asd

Bsd

Asd

==

××=⋅⋅

== sdC

Caracterização da secção:

−=

=

=

2-rec-hd

m0,40b

m1,20b

Asestribo

w

φφ



Características de cálculo dos materiais:

MPa3541,15500f

f

MPa201,530f

f

s

syksyd

c

ckcd

≅==

===

γ

γ



d) ARMADURAS LONGITUDINAIS:

Para o cálculo da altura util vamos supor que se utilizarão dois patamares de

varões longitudinais no banzo, logo o valor da altura útil neste caso será:

m1,125,0750-1,202

0,15-hd ===


2-32

cd2rd 107,1111

10201,1251,22160

fdbM

×=×××

=⋅⋅

=µ


i) -2-2-2 107,6168)107,1111(1107,1111)1( ×=×+××=+×= µµω

ii) 2-2-

107,44661,21

107,11112,421121,1

42,211×=

××−−=

×−−=

µω

iii) 2-2-

107,38821,028

107,11112,055111,028

2,05511×=

××−−=

×−−=

µω


m0,1261,13950,109dkx

0,112107,61681,471,47k -2

=×=⋅=

=××=⋅= ω



supondo que a viga é rectangular maciça (sem aberturas).




22

syd

cdsL cm47,28

43520

1,1251,20107,1111ff

dbA =××××=⋅⋅⋅= −ω

e) A ESTRUTURA É CONSIDERADA DÚCTIL?



f) ARMADURAS TRANSVERSAIS:


armaduras:


i) Escolha do ângulo θ quando não é dado: segundo o Eurocódigo 2, o valor da

co-tangente de ângulo θθθθ deve estar compreendido entre 1 e 2,5; se

escolhermos o valor médio temos que cotgθθθθ =1,75 que equivale a um ângulo

θ=30°.

ii) 1,0125m1,1250,9d0,9z =×=⋅=

kN509,5630cotg1,0125120720)cotg(zVsd =°××−=⋅ θ




/mcm6,681043530cotg1,0125

509,56fcotgz

)cotg(zVs

A 23

syd

sdsw =××°×

=⋅⋅

⋅=

θθ

Como é uma secção oca há necessidade de colocar estribos de ligação banzo-

alma, neste caso o valor da área dessa armadura é metade do valor da

armadura calculada anteriormente.

/mcm3,342

6,682

As

A 2swsf ===

g) ARMADURAS DEVIDO AO MOMENTO TORSOR:

Definição da secção oca eficaz:

==×

=

=+×=+×=⋅

≤≤⋅m0,30

4,801,44

1,2041,20

uA

m0,0960,008)(0,042estribo)(rec2c'2

uA

hc'22ef

φ

Considerando hef = 0,15 m temos:

==

=×=⇒

=−=

=−=

22ef

ef

m

m

m1,10251,05A

m4,201,054u

m1,050,151,20b

m1,050,151,20h

A área “A” e a área efectiva “Aef”, para efeitos de cálculo das armaduras devido

ao momento torsor é calculada independentemente de haver ou não aberturas

na viga, como é o caso da viga em estudo. Isto pode ser constatado no

capítulo 6.6 do Eurocódigo 2.



Cálculo das armaduras:

i) longitudinais:

2º

sydef

efsdsL cm2,73

4350001,10252cotg304,2036

fA2cotguT

A =××

××=⋅⋅

⋅⋅=

φ

ii) transversais:

/mcm1,44435000cotg300,151,10252

36fcotghA2

Ts

A 2º

sydefef

sdst =××××

=⋅⋅⋅⋅

=φ

h) VERIFICAÇÕES:

i) Armaduras longitudinais Flexão + Torção:

( )22sL cm49,722144cm,6584

22,73

47,28A φ⇒=+=+

( )22sL cm22,601202cm21,73

22,73

20,36A φ⇒=+=−

ii) Armaduras transversais devido ao Esforço Transverso:

m8//0,304REST.

/mcm1,674

6,68,

sA

/mcm6,68s

A 2ramo

swramos4deEstribos2sw

φ⇒

== →=

iii) Armaduras transversais devido à Torção:

m8//0,30/mcm1,44s

A único Ramo2st φ →=





2t

syk

ctmmín sL, cm,36201,1251,20

5002,9

0,26dbff

0,26A =×××=⋅⋅⋅=


( ) 22máx sL, cm2880,80,91,200,04Ac0,04A =×−×=⋅=


( )

( ) m0,04122

0,012220,00820,0421,20s

1nAnestribo2c2b

s sL

=−

×−×−×−=

=−

⋅−⋅−⋅−=

φφ

{ }

{ } m0,04m0,030,02m5mm;0,025-;-0,012m;-máx


maiorsL,mín

<=+=

=+= φφ

iiii) Armaduras nos apoios de extremidade:

Considerando o efeito mais desfavorável de um apoio pontual com b=0 e z≈2b

temos:

2

syd

Tapoios,sdT cm19,86

435000864

fF

AkN8647201,2V1,2F ===⇒=×=⋅= +

{ } { }{ } 2

apoios,

sLmíns,apoios,

cm20,367,0920,36;A

47,280,1520,36;A0,15;AA

⇒≥

×≥⋅≥−

−

2máx sL,

2efsL,

2mín sL, cm288Acm49,76Acm20,36A =<=<=





/mcm3,510,40500

300,08bw

f

f0,08,

sA 2

syk

ckmín

sw =××=⋅⋅

=


{ } { }{ }4mm6mm;estribo


≥

×≥⋅≥

φφφ


( )z

Vcomcotg1d0,7s sd





Bielas comprimidas

VerificaMPa10,6MPa2,9σ

100225030

-10,6cos30sen300,41,13950,9

506,84σ

f250

f-10,6

cossenbd0,9)cotg(zV

σ

BCc,

3BCc,

cd

ck

w

sdBCc,

MPaem

⇒≤=

××

×≤××××

=

⋅

⋅≤⋅⋅⋅⋅

⋅=

θθθ



ii) Devido ao momento torsor:

Bielas comprimidas


100225030

-10,6cos30sen300,151,10252

36σ

f250

f-10,6

cossenhA2T

σ

BCc,

3BCc,

cd

ck

efef

sdBCc,

MPaem

⇒≤=

××

×≤××××

=

⋅

⋅≤⋅⋅⋅⋅

=θθ

ii) Devido à interacção do esforço transverso e do momento torsor:

Bielas comprimidas

VerificaMPa10,6MPa3,1510,2512,9σ

f250

f-10,6σσσ

BCc,

cd

ck

BCc,BCc,BCc,

MPaem

⇒≤=+=

⋅

⋅≤+= TorsorTransverso

Verificação nas armaduras devido à Torção:

i) Espaçamento das armaduras longitudinais: smáx = 35 cm

ii) Espaçamento das armaduras transversais:

{ } m0,5250,8551,20;1,20;0,525;míns,

1,13950,751,20;1,20;4,20;81

mínd0,75h;b;;u81

míns,

máx

efmáx

==

××=

⋅⋅=



Pormenorização:



i) DISPENSAS:


i) Armaduras longitudinais:

( ) ( )22 cm24,862122cm49,722144 φφ →

ii) Momento resistente:

( ) ( )

kN.m1187,94103,910910201,1251,2fdbM

103,9109104,00520,5881104,0052588,01

104,005210201,1251,2104351024,86

fdb

fA

Mcm24,86A

232cd

2Rd

222

23

34

cd

sydefsL,

Rd2

efsL,

=×××××=⋅⋅⋅=

×=××−××=⋅−⋅=

×=×××

×××=⋅⋅⋅

=

→→→=

−

−−−

−−

µ

ωωµ

ω

µω

iii) Comprimento de translação:

m0,88cotg302

1,0125cotg

2z

aL =×=⋅= oθ

iv) Determinação das coordenadas “x”:



720x-60xxV2x

pM 2Asd

2

sdRd +=⋅+⋅−=

m10,03xm1,97x720x-60x1187,94 212 =∨=⇒+=

v) Calculo dos comprimentos para dispensa de armadura:

MPa3,151,52,1

112,25fηη2,25faderenciadeTensão ctd21bd =×××=⋅⋅⋅=

MPa5,17235449,7224,86

fA

Aσ syd

totalsL,

dispsL,sd =×=⋅=

m0,213,15217,5

40,012

fσ

4l

bd

sdrqdb, =×=⋅= φ

m0,21lll rqdb,rqdb,54321bd ==⋅⋅⋅⋅⋅= ααααα

m0,90m0,8921,088,097,1laX bdL11 →=−−=−−= x

m,1011m,111121,088,003,10laX bdL22 →=++=++= x


i) Cálculo do Esforço Transverso resistente:



kN267,76V

10435cotg301,0125103,51fsydcotgz,s

AV

V/mcm3,51,s

A

Rd

34mín

swRd

Rd2

mínsw

=

×××××=⋅⋅⋅=

⇒=

−θ

ii) Determinação dos pontos de dispensa:

m3,77x

120267,76207

pVV

x

1

sd

Rdsd1

=

−=−

=

m6//0,304REST.

/mcm0,884

3,51,

sA

/mcm3,51s

A 2ramo

sw4REstribos2sw

φ⇒

== →=



Exame 21/01/2008

GRUPO 1


SC = 24 kN/m (γSC=1,5) A500NR

Rec = 3 cm

a) Dimensione as armaduras necessárias à verificação do estado limite

último de flexão na secção B. Comente quanto à sua ductilidade.

b) Verifique o estado limite último de esforço transverso na secção


c) Efectue as verificações que achar necessárias (tensões e armaduras) e

pormenorize a secção B (armaduras transversais e longitudinais obtidas

nas alíneas anteriores).

d) Defina os pontos onde pode dispensar metade da armadura principal

longitudinal e a armadura transversal para a armadura mínima.



e) Pormenorize a viga em alçado.

GRUPO 2

a) A classe de um betão é indicada pela letra C seguida de dois números

(C30/37, por exemplo). O que representam estes dois números e como

são obtidos?

b) Diga porque razão, para a pormenorização das armaduras longitudinais

em vigas, se deve efectuar uma translação de diagramas de momentos

flectores de “al=z/2cotgθ”.

c) Explique porque razão na análise dos esforços de uma estrutura de

betão armado se pode, em geral, desprezar a rigidez de torção.



Resolução

GRUPO 1



Esforços:

=

=⇔

=××

=+⇒

=

⋅=

∑

∑

kN04,691R

kN66,184R

0213,781

-11R

kN1109,7RR

0M

pF

Bsd

Asd

2B

sd

Bsd

Asd

A

,vLtotalsd

kN.m88,299295,258

1181M

kN.m295,2522,781

M

kN472,34218,70691,04VkN218,702,781V

kN418,66V

2

sd

2-

sd

esqB,sd

dirB,sd

Asd

=−×=

=×=

=−=→=×=

=

+



a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B:

m956,02012,0

,008003,0-00,12

rec-hd Asestribo =

++=

++=φφ


2-32

cd2

w

sd 104,038210200,9560,4

295,25fdb

M×=

×××=

⋅⋅=µ


i) -2-2-2 104,2012)104,0382(1104,0382)1( ×=×+××=+×= µµω

ii) 2-2-

104,14201,21

104,03822,421121,1

42,211×=

××−−=

×−−=

µω

iii) 2-2-

104,12361,028

104,03822,055111,028

2,05511×=

××−−=

×−−=

µω


0,059m0,9540,062dkx

0,062102196,41,471,47k -2

=×=⋅=

=××=⋅= ω

Como a posição da Linha Neutra situa-se na alma, o modelo de cálculo


supondo que a viga é rectangular maciça com b=bw=0,40m.






22

syd

cdsL cm39,7

43520

956,040,0102196,4ff

dbA =××××=⋅⋅⋅= −− ω



armaduras:


i) θ=30°.

ii) 0,8604m0,9560,9d0,9z =×=⋅=

kN351,6230cotg0,860481472,34)cotg(zV esqB,sd =°××−=⋅ θ

kN97,9930cotg0,860481218,70)cotg(zV dirB,sd =°××−=⋅ θ


/mcm5,421043530cotg0,8586

351,62fcotgz

)cotg(zVs

A 23

syd

sd,

sw =××°×

=⋅⋅

⋅=

θθesqB

/mcm1,511043530cotg0,8586

97,99fcotgz

)cotg(zVs

A 23

syd

sd,

sw =××°×

=⋅⋅

⋅=

θθdirB

Como é uma secção em “T” há necessidade de colocar estribos de ligação

banzo-alma, neste caso o valor da área dessa armadura é metade do valor da

armadura calculada anteriormente.



c) VERIFICAÇÕES:



2t

syk

ctmmín sL, cm14,390,9541,0

5002,9

0,26dbff

0,26A =×××=⋅⋅⋅=−


( ) 2máx sL, cm2320,70,40,31,000,04Ac0,04A =×+××=⋅=−

2sL

2mín sL, cm7,40Acm14,39A =>= −−

Utilizando varões de 12mm serão necessários 13 varões para verificar o E.L.U.

de Flexão AsL, ef (13 φφφφ 12) = 14,69 cm2.


( )

( ) m0,06131

0,016310,00820,0321,00s

1nAnestribo2c2b

s sL

=−

×−×−×−=

=−

⋅−⋅−⋅−=

φφ

{ }

{ } m0,06m0,030,02m5mm;0,025-;-0,012m;-máx


maiorsL,mín

<=+=

=+= φφ

{ } { } 2míns,apoios, cm,394114,39;;AA ⇒−≥−≥−





/mcm3,510,40500

300,08b

f

f0,08,

sA 2

wsyk

ckmín

sw =××=⋅⋅

=


{ } { }{ }4mm6mm;estribo


≥

×≥⋅≥

φφφ


( )z

Vcomcotg1d0,7s sd





Bielas comprimidas


102025030

-10,6cos30sen300,400,9560,9

351,62σ

f250

f-10,6

cossenbd0,9)cotg(zV

σ

BCc,

3BCc,

cd

ck

w

sdBCc,

MPaem

⇒≤=

××

×≤××××

=

⋅

⋅≤⋅⋅⋅⋅

⋅=

θθθ

Pormenorização:

i) Armaduras longitudinais Flexão:



( )22sL cm14,701231cm14,39A φ⇒=−

ii) Armaduras transversais devido ao Esforço Transverso:

m8//0,152REST.

/mcm2,712

5,42,

sA

/mcm5,42s

A 2ramo

swramos2deEstribos2,

sw

φ⇒

== →=esqB

m8//0,252REST.

/mcm1,782

3,51,

sA

/mcm51,3,s

As

A 2ramo

sw2REst2mín

sw,

sw

φ⇒

== →==dirB



d) DISPENSA DE ARMADURAS:


Não é possível dispensar armaduras longitudinais superiores, pois esta

armadura é a mínima e indispensável para o bom funcionamento da estrutura

quer ao nível da resistência, quer ao nível do controlo da fendilhação.


i) Cálculo do Esforço Transverso resistente:

kN227,54V

10435cotg300,8604103,51fsydcotgz,s

AV

V/mcm3,51,s

A

Rd

34mín

swRd

Rd2

mínsw

=

×××××=⋅⋅⋅=

⇒=

−θ

ii) Determinação do ponto de dispensa:

m3,02x

81227,54472,34

pVV

xsd

RdesqB,

sd

=

−=−

=

m8//0,252REST.

/mcm1,762

3,51,

sA

/mcm3,51s

A

2ramo

sw

2REstribos2sw

φ⇒

==

→=



2º Exame 3/02/2004

2ª PARTE


SC = 36 kN/m (γSC=1,5) A500NR

Rec = 3 cm

a) Verifique a segurança da viga ao E. L. U. de flexão no apoio B.

b) Verifique a segurança ao E. L. U. de esforço transverso na zona do apoio

B e dimensione as armaduras transversais necessárias.



c) Pormenorize as armaduras calculadas na secção B Pormenorize as

armaduras transversais ao longo do troço AB (não considere alternância

de sobrecargas).



1ª PARTE

a) Represente o diagrama momento-curvatura de uma secção de betão

armado identificando os fenómenos físicos que nesse diagrama ficam

patentes. Identifique o que entende por ductilidade em flexão e explique

porquê pode avaliar esse parâmetro através da posição da Linha Neutra

no E. L. U.

b) Explique porque razão se devem adoptar armaduras longitudinais

distribuídas numa viga sujeita à torção. Explique porque razão se trata o

E. L. U. de resistência à torção de secções rectangulares com um modelo

de secção oca.



Resolução

GRUPO 1

Cálculo dos esforços (tabelas):

( )

kN.m00818

8261M

kN306812685

V

kN783812683

V

kN/m12636481,50p

2-

sd

esqB,sd

Asd

sd

=×=

=××=

=××=

=+×=

a) ARMADURAS LONGITUDINAIS EM B:

m95,02025,0

,008003,0-00,12

rec-hd Asestribo =

++=

++=φφ




2-32

cd2

w

sd 105,584510200,951,00

1008fdb

M×=

×××=

⋅⋅=µ


i) -2-2-2 105,8964)105,5845(1105,5845)1( ×=×+××=+×= µµω

ii) 2-2-

105,78711,21

105,58452,421121,1

42,211×=

××−−=

×−−=

µω

iii) 2-2-

105,73741,028

105,58452,055111,028

2,05511×=

××−−=

×−−=

µω


0,083m0,950,087dkx

0,087102196,41,471,47k -2

=×=⋅=

=××=⋅= ω



supondo que a viga é rectangular maciça com b=bw=1,00m.




22

syd

cdsL 25,75cm

43520

0,951,00105,8964ff

dbA =××××=⋅⋅⋅= −− ω



armaduras:




i) θ=30°



ii) 0,855m0,950,9d0,9z =×=⋅=

kN,4191130cotg0,855261783)cotg(zV Asd =°××−=⋅ θ

kN,4143430cotg0,860481218,70)cotg(zV esqB,sd =°××−=⋅ θ

Cálculo das armaduras transversais na alma:

/mcm2,971043530cotg0,855

191,41fcotgz

)cotg(zVs

A 23

syd

sdsw =××°×

=⋅⋅

⋅=

θθA

/mcm6,881043530cotg0,855

443,41fcotgz

)cotg(zVs

A 23

syd

sd,

sw =××°×

=⋅⋅

⋅=

θθesqB

Como é uma secção em “T” invertido, há necessidade de colocar armadura de

suspensão.

sydsuspensão

sw

fF

sA

=

i) Calculo de F:

( ) ( )[ ] NSCpppp alma k,631161,536251,000,15-48F =×+××=⋅+−= γ

/mcm2,68435000116,63

fF

sA 2

sydsuspensão

sw ===

ii) Armadura total na alma:

m8//0,102REST

/mcm9,562,686,88s

As

As

A 2

suspensão

swesqB,

swesqB,

sw

φ→

→=+=+=Total

m8//0,152REST

/mcm5,652,682,97s

As

As

A 2

suspensão

swA

swA

sw

φ→

→=+=+=Total



Cálculo das armaduras transversais no banzo:

i) Ligação banzo-alma:

/mcm3,442

6,882

As

A 2sw,

sf ===esqB

/mcm1,492

2,972

As

A 2swsf ===A

i) Flexão no banzo:

kN.m1,2720,37518

M2

-sd =×=

2-

32cd

2sd

100,441

10200,121,001,27

fdbM

×=

×××=

⋅⋅=

µ

µ

2-

-2-2

100,443

)100,441(1100,441

×=×+××=

ωω

/m0,24cmA

43520

0,121,00100,443A

2s

2s

=

××××= −

m8//0,202REST/mcm1,960,242

3,44A

2s

A

sA 2

s

sfesqB,

Total/Ramo

sf φ→=+=+=

m8//0,302REST/mcm0,990,242

1,49A

2s

A

sA 2

s

sfA

Total/Ramo

sf φ→=+=+=

testes e resolução ba1

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