teste1 versao2
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Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/2013
1
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I
1º Teste de avaliação – versão 2
Grupo I
1. Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. Quantas faces e arestas tem esse
prisma?
(A) 2n faces e 2n arestas (B) 2n faces e 3n arestas
(C) n 2+ faces e 2n arestas (D) n 2+ faces e 3n arestas
2. Se o círculo da figura tem área 22 cmπ , então o quadrado nele inscrito tem
área:
(A) 21cm (B) 22cm (C) 24cm (D) 22 cm
3. Considere um prisma e uma pirâmide que têm bases geometricamente iguais, sendo a altura
da pirâmide metade da do prisma.
O volume do prisma é n vezes o volume da pirâmide, sendo n igual a:
(A) 2 (B) 3
(C) 4 (D) 6
4. Na figura, as retas BC e DE são paralelas. De
acordo com os dados da figura a medida de BC é:
(A) 2cm (B) 7 cm
(C) 3cm (D) 5cm
• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.
• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.
• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.
• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
• Não apresente cálculos ou justificações.
• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
6 cm
6 cm
4 cm
3 cm
B
ECA
D
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2
5. Na figura estão representados um paralelepípedo e um prisma triangular
reto. Escolha a afirmação verdadeira.
(A) As retas FE e AD são não complanares
(B) Os planos AFE e BCG são paralelos
(C) A reta JA é paralela ao plano DEF
(D) As retas JA e DA são perpendiculares
Grupo II
1. A figura representa um cubo com 3 m de aresta, onde se escavou uma
pirâmide quadrangular regular.
1.1. Mostre que os elementos do sólido assim obtido verificam a
igualdade de Euler.
1.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 23
da aresta do cubo, determine
que percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada.
2. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a
tracejado um quadrado [ABCD] com 3 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira
peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH].
Relativamente à segunda figura, sabe-se que:
• Cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD]
• Os quatro triângulos retângulos [EDH], [HCG], [GBF] e [FAE] são geometricamente
iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor.
2.1. Mostre que a área do quadrado [EFGH] é 5 dm2.
J
D
A
C
EF
HG
B
I
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,
pretende-se sempre o valor exato.
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2.2. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide
quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 45
dm2 de área e cuja altura é 12 dm.
Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça
metálica da alínea anterior, de tal modo que a
peça ficou paralela à base da pirâmide e os
vértices do quadrado [EFGH] ficaram sobre as
arestas laterais da pirâmide.
Determine a distância, d, em dm, entre a peça
metálica e a base da pirâmide.
NOTA: Admita que a espessura da peça metálica
é desprezável e tenha em conta que a área do
quadrado [EFGH] é 5 dm2.
3. A figura representa um cubo com aresta 8 cm, onde se desenhou uma
secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das diagonais
espaciais.
3.1. Determine a área da secção, sabendo que os vértices do hexágono
são os pontos médios das arestas a que pertencem.
3.2. Considerando agora que 1
GI GC3
= desenhe um cubo e nele, com
todo o rigor, desenhe a secção produzida pelo plano AIB.
4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de
modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo.
H G
FE
DC
BA
H G
FE
C
BA
1.1. Justifique porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro
regular.
I
H G
FE
D C
BA
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1.2. Há elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza? Quais são?
Justifique.
1.3. Supondo que a aresta do cubo é igual a duas unidades, prove que a área de cada face do
tetraedro é 2 3 e que a área total do tetraedro é 8 3 .
2. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, três bolas de ténis. Que fração do volume
da embalagem representa o volume das bolas?
NOTA: Considere o raio da bola igual a r.
Formulário
Geometria Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo Áreas
Paralelogramo: base altura×
Losango: diagonal maior diagonal menor
2×
Trapézio: base maior base menor
altura2+ ×
Polígono regular: perímetro
apótema2
×
Círculo: 2rπ , sendo r o raio do círculo
Superfície esférica: 24 rπ , sendo r o raio da esfera Volumes
Prismas e cilindro: área da base altura×
Pirâmide e cone: 1
área da base altura3
× ×
Esfera: 34r
3π , sendo r o raio da esfera
Álgebra Fórmula resolvente de uma equação do segundo grau d a forma
2ax bx c 0+ + = : 2b b 4ac
x2a
− ± −=
Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5 TOTAL Cotação 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 200
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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I
1º Teste de avaliação – versão 2 – Proposta de reso lução
Grupo I
1. (D) Num certo prisma, cada uma das bases tem n vértices. esse prisma tem n+2 faces e 3n
arestas
2. (C) Se o círculo da figura tem área 22 cmπ , é porque o seu raio é 2 então
o quadrado nele inscrito tem 2 2 de diagonal e tem área:
22 2 2 2A 4cm
2×= =
3. (D) Considere um prisma e uma pirâmide que têm bases geometricamente iguais, sendo a
altura da pirâmide metade da do prisma. Seja A a área das bases do prima e da pirâmide e
seja h a altura do prima. Então prismaV A h= × e pirâmide
hA A h2V
3 6
× ×= =
O volume do prisma é n vezes o volume da pirâmide, sendo n igual a 6
4. (A) Na figura, as retas BC e DE são paralelas. De
acordo com os dados da figura, da semelhança dos
triângulos resulta que
6 BC 3 6BC BC 2cm
9 3 9×= ⇔ = ⇔ =
E a medida de BC é 2cm:
5. (B) Na figura estão representados um paralelepípedo e um prisma triangular
reto. Escolhamos a afirmação verdadeira.
(A) As retas FE e AD são não complanares FALSA
(B) Os planos AFE e BCG são paralelos VERDADEIRA
(C) A reta JA é paralela ao plano DEF FALSA
(D) As retas JA e DA são perpendiculares FALSA
J
D
A
C
EF
HG
B
I
6 cm
6 cm
4 cm
3 cm
B
ECA
D
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6
Grupo II
1. A figura representa um cubo com 3 m de aresta, onde se escavou uma
pirâmide quadrangular regular.
1.1. Mostremos que os elementos do sólido assim obtido verificam a
igualdade de Euler.
• Nº de faces = 9
• Nº de vértices = 9
• Nº de arestas =16
• Relação de Euler: 9 9 16 2 18 18+ = + ⇔ =
Conclusão: Os elementos do sólido assim obtido verificam a igualdade de Euler.
1.2. Sabendo que a altura da pirâmide é 23
da aresta do cubo, determinemos que
percentagem do volume do cubo representa o volume da pirâmide que foi retirada.
• Volume do cubo: 3 3cuboV 3 27m= =
• Volume da pirâmide: 2 3pirâmide
1 2V 3 3 6m
3 3= × × × =
O volume da pirâmide é ( )6 20, 2
27 9= = do volume do cubo ou seja é de 22,(2)% do volume
do cubo.
2. Nas figuras seguintes, estão representadas uma peça metálica plana na qual se marcou a
tracejado um quadrado [ABCD] com 3 dm de lado e na outra que se obteve a partir da primeira
peça, cortando e retirando o quadrado [EFGH].
Relativamente à segunda figura, sabe-se que:
• Cada vértice do quadrado [EFGH] pertence a um lado do quadrado [ABCD]
• Os quatro triângulos retângulos [EDH], [HCG], [GBF] e [FAE] são geometricamente
iguais e, em cada um deles, o cateto maior é igual ao dobro do cateto menor.
2.1. Mostremos que a área do quadrado [EFGH] é 5 dm2, começando por reproduzir os dois
quadrados:
2x
x
F
E
G
H
D
CB
A
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Como x 2x 3 3x 3 x 1dm+ = ⇔ = ⇔ =
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo [BFG] temos:
2 2 22 2 2FG 1 2 FG 1 4 FG 5dm= + ⇔ = + ⇔ =
O que prova que a área do quadrado [EFGH] é 5 dm2.
2.2. Na figura ao lado, está representada uma pirâmide
quadrangular regular [IJKLV] cuja base tem 45
dm2 de área e cuja altura é 12 dm.
Sobre esta pirâmide deixou-se cair a peça
metálica da alínea anterior, de tal modo que a
peça ficou paralela à base da pirâmide e os
vértices do quadrado [EFGH] ficaram sobre as
arestas laterais da pirâmide.
A aresta da base da pirâmide é 45 3 5 dm=
O lado do quadrado da peça é 5 dm
Então podemos desenhar a secção produzida na
pirâmide passando pelo vértice e por dois pontos médios de lados
opostos da base:
Da semelhança dos dois triângulos resulta:
3 5 12x 4dm
x5= ⇔ =
A distância, d, em dm, entre a peça metálica e a base da pirâmide é
então 12 4 8dm− =
NOTA: Admita que a espessura da peça metálica é desprezável e
tenha em conta que a área do quadrado [EFGH] é 5 dm2.
3. A figura representa um cubo com aresta 8 cm, onde se desenhou uma
secção produzida no cubo por um plano perpendicular a uma das
diagonais espaciais.
3.1. Determinemos a área da secção, sabendo que os vértices do
hexágono são os pontos médios das arestas a que pertencem.
Observando a face superior do cubo verificamos que o lado do
hexágono é 4 2 cm por ser a diagonal de um quadrado de lado 4 cm.
x
12 - x
3 5
5
V
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8
4
4
4 2
h
4 24 2
2 2
Aplicando o Teorema de Pitágoras a um dos 6 triângulos equiláteros em que podemos
dividir o hexágono vamos determinar o apótema h:
( ) ( )2 22 2h 2 2 4 2 h 32 8 h 24 h 2 6+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
A área do hexágono é
2hexágono
4 2 6A 2 6 24 12 48 3 cm
2×= × = =
3.2. Considerando agora que 1
GI GC3
= desenhe um cubo e
nele, com todo o rigor, desenhemos a secção produzida
pelo plano AIB.
4. Na figura estão traçadas seis diagonais de um cubo, uma em cada face, de modo que as seis
diagonais representadas concorrem apenas em quatro dos vértices do cubo.
H G
FE
DC
BA
H G
FE
C
BA
4.1. Justifiquemos porque é que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um
tetraedro regular.
De facto o poliedro tem 4 faces que são triângulos equiláteros geometricamente iguais por
terem os 3 lados iguais já que são diagonais faciais do cubo, além disso concorrem 3
faces em cada um dos 4 vértices do cubo onde concorrem as diagonais do cubo.
4.2. Há elementos deste poliedro representados em verdadeira grandeza. São as arestas [AF]
e [CH] pois estão nas faces da frente e de trás do cubo que estão desenhadas em
verdadeira grandeza.
I
H G
FE
DC
BA
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4.3. Supondo que a aresta do cubo é igual a duas unidades, prove que a área de cada face do
tetraedro é 2 3 e que a área total do tetraedro é 8 3 .
Se a aresta do cubo é igual à duas unidades a sua diagonal facial medirá 2 2 então:
• A altura de um triângulo equilátero cujo lado mede 2 2 é 3
h 2 2 62
= × =
• A área desse triângulo é ( )23A 2 2 2 3
4= × = .
• A área total do tetraedro é totalA 4 2 3 8 3= × = .
5. Uma embalagem cilíndrica acondiciona, sem folgas, três bolas de ténis. Que fração do volume
da embalagem representa o volume das bolas?
NOTA: Considere o raio da bola igual a r.
Calculemos o volume do cilindro com r de raio da base e altura 6r. 2 3
cilindroV r 6r 6 r= π × × = π
Calculemos o volume de três esferas de raio r.
3 34esferas
4V 3 r 4 r
3= × π × = π
Calculemos então a fração do volume da embalagem representada pelo volume das bolas: 3
3
4 r 236 r
π =π
As esferas representam 23
do volume da caixa cilíndrica.
Questão 1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 4.3 5 TOTAL Cotação 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 200
Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 2012/2013
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Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 1 – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO I
1º Teste de avaliação – versão 2 – Critérios de cla ssificação
Grupo I (50 pontos)
Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
1 2 3 4 5
D C D A B
Grupo II (150 pontos)
1. 30
1.1. 15
•••• Indicar o nº de faces 3
•••• Indicar o nº de vértices 3
•••• Indicar o nº de arestas 3
•••• Verificar a Regra de Euler 6
1.2. 15
•••• Calcular o volume do cubo 3
•••• Calcular o volume da pirâmide 5
•••• Calcular a percentagem pedida 5
•••• Apresentar o resultado 2
2. 30
2.1. 15
•••• Calcular a medida de cada parte do lado 5
•••• Calcular a área pedida 10
2.2. 15
•••• Reconhecer a semelhança dos triângulos 5
•••• Calcular a altura da pirâmide pequena 5
•••• Calcular a distância pedida 5
3. 30
3.1. 15
•••• Calcular a medida do lado do hexágono 5
•••• Calcular a medida do apótema do hexágono 5
•••• Calcular a medida da área 5
3.2. 15
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11
•••• Desenhar corretamente o cubo 5
•••• Desenhar corretamente a secção 10
4. 45
4.1. 15
•••• Referir justificando que as faces são polígonos
regulares e geometricamente iguais 10
•••• Referir que concorre igual nº de faces em cada vértice 5
4.2. 15
•••• Sim 5
•••• Indicar as arestas 5
•••• Justificar 5
4.3. 15
•••• Aresta do cubo ⇒diagonal facial 5
•••• Lado do triângulo⇒área do triângulo 5
•••• Área total do tetraedro 5
5. 15
•••• Volume do cilindro 5
•••• Volume das esferas 5
•••• Fração pedida 5
Total …… …………………………………………………………………………………………… 200