teste06 b

Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 2009/2010 1

Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis

10º Ano de Matemática – A

Estatística

6º Teste de avaliação – versão B

Grupo I

1. Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, qual das condições seguintes define um plano

perpendicular a Ox e que passa no ponto ( )A 2,0, 5− ?

(A) z 5= −

(B) y 0= (C) y 0 z 5= ∧ = −

(D) x 2=

2. Considere a função polinomial f definida por ( ) ( ) ( ) ( )f x 0,5 x 5 x 1 x 4= − − − + .

Quais são os zeros da função h definida por ( ) ( )h x f x 2= + ?

(A) { }2,3,7− (B) { }7, 3,2− − (C) { }6, 1,3− − (D) { }3,1,6−

3. Na figura está representada parte do gráfico de uma

função polinomial do terceiro grau.

2 é um máximo relativo da função f.

Seja g a função, de domínio ℝ , definida por

( ) ( )g x f x 3= + .

Qual é o máximo relativo da função g?

(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 1

4. A polícia Judiciária realizou um estudo sobre a evolução percentual dos crimes contra o

património, a partir de 1996. O gráfico abaixo apresenta alguns dados desse estudo, tendo

como referência o número de crimes cometidos (66005) no ano de 1996.

• As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita

for ilegível.

• Não apresente cálculos ou justificações.

• Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.


Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) O número de crimes contra o património baixou todos os anos desde 1996 até 2005.

(B) Em 1998, registou-se um número de crimes contra o património maior do que em 1999.

(C) De 2003 para 2005, verificou-se um aumento do número de crimes contra o património.

(D) O ano em que se registou o menor número de crimes contra o património foi o de 2002.

5. Na escola da Marta, o professor de Matemática resolveu questionar

os alunos de duas turmas distintas sobre o número de mensagens

que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel. Os resultados

obtidos na turma B encontram-se representados numa tabela.

Os alunos deviam fazer um estudo completo da situação a fim de

responderem a algumas perguntas. Qual das afirmações seguintes é

verdadeira?

(A) A moda e a mediana do número de mensagens recebidas pelos

alunos da turma B são iguais.

(B) A percentagem de alunos que receberam menos de 13 mensagens é igual à percentagem

de alunos que receberam mais de 13 mensagens.

(C) 75% dos alunos receberam 13 ou menos mensagens.

(D) 25% dos alunos receberam menos de 13 mensagens.


Grupo II

1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados e o perímetro de cada face é

16.

1.1. Defina analiticamente a superfície esférica circunscrita ao cubo.

1.2. Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF]

respectivamente, determine as coordenadas do ponto [ ]P HE∈

sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano

MNP é um quadrado.

2. Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados 100 metros de rede de

arame. Um muro faz o quarto lado.

2.1. Se o lado c medir 15 metros, quanto mede o outro

lado e a área da cerca?

2.2. Se a largura for c quanto mede o comprimento?

2.3. Mostre que uma fórmula que exprima a área

cercada, A, em função de c é ( )A c 100 2c= − e

indique quais são os valores que faz sentido atribuir

a c.

2.4. Analiticamente calcule o valor de c para o qual é máxima a área cercada e calcule

também o valor da área máxima.

3. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de

trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:

Velocidade

(km/h) 60 70 90 100 120 130 150

Número de

automóveis 1 2 6 5 4 2 3

3.1. Determine a média, a moda e a mediana da distribuição.

3.2. Suponha que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por

190 km/h e que o restante se mantém. Calcule a mediana e a média desta nova

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos

os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado,

pretende-se sempre o valor exacto.


distribuição e comente em qual destas medidas de tendência central se reflecte a

alteração.

4. Uma sondagem profunda da

crosta terrestre, com cerca de

8km permitiu determinar as

temperaturas a diferentes

profundidades.

O diagrama de dispersão da

figura relaciona a profundidade

p, em metros, e a temperatura t,

em graus Celsius.

4.1. Determine as coordenadas

do centro de gravidade da

distribuição.

4.2. Com a calculadora, determine uma equação da recta de regressão e preveja valores

aproximados às unidades da:

4.2.1. temperatura quando a profundidade é de 4200 metros;

4.2.2. profundidade quando a temperatura é de 120 graus.

NOTA: sempre que utilizar a calculadora não se esqu eça de indicar de forma organizada

os dados que introduziu.

FIM

COTAÇÕES

Grupo 1 Grupo 2

1 2 3 4 5 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 4.1 4.2.1 4.2.2

10 10 10 10 10 15 15 10 10 10 10 15 15 20 15 15




Estatística

6º Teste de avaliação – versão B – Proposta de reso lução

Grupo I

1. (D) Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, das condições seguintes a que define um plano

perpendicular a Ox e que passa no ponto ( )A 2,0, 5− é x 2= .

2. (C) Consideremos a função polinomial f definida por ( ) ( ) ( ) ( )f x 0,5 x 5 x 1 x 4= − − − + .

Os zeros da função h definida por ( ) ( )h x f x 2= + têm um valor igual ao dos zeros de f

subtraídos de 2 unidades. Como os zeros de f são { }4,1,5− os zeros de h têm de ser

{ }6, 1,3− − .

3. (A) Na figura está representada parte do gráfico de uma

função polinomial do terceiro grau.

2 é um máximo relativo da função f.

Seja g a função, de domínio ℝ , definida por

( ) ( )g x f x 3= + .

O máximo relativo da função g é igual ao máximo relativo da função f dado que o gráfico de f

sofre apenas uma translação associada ao vector de coordenadas ( )3,0− , tratando-se de uma

translação horizontal o máximo mantém-se.

4. (C) A polícia Judiciária

realizou um estudo sobre a

evolução percentual dos

crimes contra o património,

a partir de 1996. O gráfico

abaixo apresenta alguns

dados desse estudo, tendo

como referência o número

de crimes cometidos

(66005) no ano de 1996. A

afirmação verdadeira é “De 2003 para 2005, verificou-se um aumento do número de crimes

contra o património.”


5. (A) Na escola da Marta, o professor de Matemática resolveu

questionar os alunos de duas turmas distintas sobre o número de

mensagens que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel.

Os resultados obtidos na turma B encontram-se representados

numa tabela.

Os alunos deviam fazer um estudo completo da situação a fim de

responderem a algumas perguntas. Das afirmações seguintes a

que é verdadeira é “A moda e a mediana do número de

mensagens recebidas pelos alunos da turma B são iguais.”

Grupo II

1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos

coordenados e o perímetro de cada face é 16.

1.1. Vamos definir analiticamente a superfície esférica

circunscrita ao cubo.

• Se o perímetro de cada face é 16 é porque a aresta

do cubo é 4 e porque ( )A 2,2,0 o centro do cubo,

que vai ser o centro da superfície esférica, tem

coordenadas ( )0,0,2 .

• O raio da superfície esférica vai ser metade da

diagonal espacial do cubo por ela ter de ser circunscrita ao cubo ou seja ter de passar

por todos os vértices do cubo. Assim o raio da superfície esférica vai ser 4 3

2 32

=

• A equação que define analiticamente a superfície esférica é ( )22 2x y z 2 12+ + − =

1.2. Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF] respectivamente, determinemos

as coordenadas do ponto [ ]P HE∈ , sabendo que a secção plana determinada no cubo

pelo plano MNP é um quadrado. Para que a secção seja um quadrado é necessário que

NP 4= dado que MN 4= . Considerando o triângulo rectângulo [ENP] podemos calcular

PE utilizando o Teorema de Pitágoras:

2 22 24 PE 2 PE 16 4 PE 12 PE 2 3= + ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

Então se ( )P 2,y,4 e ( )E 2,2,4 concluímos ser:

x

y

z

N

OM

G F

BC

EH

DA(2,2,0)

P


( )PE E P 0,2 y,0= − = −��

e ( )2PE 2 y 2 y= − = −��

e como

2 y 2 3 2 y 2 3 2 y 2 3 y 2 2 3 y 2 2 3− = ⇔ − = ∨ − = − ⇔ = − ∨ = + e P está à

esquerda de E terá de ser y 2 2 3= −

Finalmente ( )P 2,2 2 3,4−

2. Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados 100 metros de rede de

arame. Um muro faz o quarto lado.

2.1. Se o lado c medir 15 metros, como há um outro lado

igual a c o restante lado vai medir

100 2 15 70m− × = e a área da cerca é

2A 15 70 1050m= × =

2.2. Fazendo um raciocínio semelhante concluímos que

o outro lado da cerca mede 100 2c− .

2.3. A área cercada é a área de um rectângulo com dimensões c e 100 2c− . A área é

( )A c 100 2c= − . Porque há sempre um outro lado igual a c, o valor de c só pode variar

em [ ]0,50 .

2.4. Analiticamente calculamos o valor de c para o qual é máxima a área cercada e

calculamos também o valor da área máxima, calculando o vértice da parábola que

representa a área vedada por esta ter a concavidade virada para baixo.

• Cálculo dos zeros de A: ( )c 100 2c 0 c 0 c 50− = ⇔ = ∨ =

• Cálculo da abcissa do vértice que é o valor de c para o qual a área é máxima por se

tratar de uma função quadrática representada por uma parábola com a

concavidade voltada para baixo. 0 50

c 252

+= =

• Calculemos a área máxima. ( ) ( )A 25 25 100 2 25 1250= × − × =

Finalmente a área máxima é 1250 m2 e obtém-se quando o lado c medir 25 m.

3. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de

trânsito numa auto-estrada foi a seguinte:

Velocidade

(km/h) 60 70 90 100 120 130 150

Número de

automóveis 1 2 6 5 4 2 3


3.1. Determinemos a média, a moda e a mediana da distribuição começando por construir

uma tabela de frequências acumuladas.

Velocidade (km/h) (xi)

ni Ni i ix n×

60 1 1 60

70 2 3 140

90 6 9 540

100 5 14 500

120 4 18 480

130 2 20 260

150 3 23 450

Totais 23 2430

A média é 2430

x 105,6523

= = .

A moda é 90.

A mediana é o 12º elemento ou seja 100.

3.2. Suponhamos que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída

por 190 km/h e que o restante se mantém. Calculemos a mediana e a média desta nova

distribuição e comentemos em qual destas medidas de tendência central se reflecte a

alteração.

Velocidade (km/h) (xi)

ni Ni i ix n×

60 1 1 60

70 2 3 140

90 6 9 540

100 5 14 500

120 4 18 480

130 2 20 260

190 3 23 570

Totais 23 2550

A média é 2550

x 110,8723

= = . E a mediana continua a ser o 12º elemento ou seja 100.

Concluímos então ser a média a medida que sofre alteração o que era previsível pois

apenas alterámos os últimos valores da variável que não colidem com o cálculo da

mediana afectando sim a média que é uma medida sensível a valores extremos.


4. Uma sondagem profunda da

crosta terrestre, com cerca de

8km permitiu determinar as

temperaturas a diferentes

profundidades.

O diagrama de dispersão da

figura relaciona a profundidade

p, em metros, e a temperatura t,

em graus Celsius.

4.1. Determinemos as

coordenadas do centro de

gravidade da distribuição,

começando por construir

uma tabela a partir do gráfico.

Concluímos assim que o centro de gravidade da distribuição é ( )G p,t sendo p 4055,56≃ e

t 165= .

4.2. Com a calculadora, determinámos uma equação da recta de regressão de equação

y ax b= + com a 0,033≃ e b 29,856≃ e vamos prever valores aproximados às unidades

da:

4.2.1. temperatura quando a profundidade é de 4200 metros;

Podemos calcular a partir do gráfico ou a partir da tabela.

p t

500 30

1000 60

2000 96

3000 141

4000 177

5000 210

6000 231

7000 258

8000 282


Para o fazermos a partir do gráfico teremos de o seleccionar e depois calcular o valor da

função afim para x 4200=

Para o fazermos a partir da tabela vamos formatar a tabela para escolhermos os valores e

em seguida calculamos a imagem de 4200

A temperatura a uma profundidade de 4200 m é cerca de 170 graus (aproximação às

unidades).

4.2.2. profundidade quando a temperatura é de 120 graus.

Para determinarmos o objecto que tem como imagem 120 introduzimos a função definida

por y 120= e determinamos a intersecção dela com a recta de regressão.

Concluímos que se prevê que a temperatura seja de 120 graus a uma profundidade de

2705 m (aproximação às unidades)




Estatística

6º Teste de avaliação – Critérios de correcção

Grupo I

1 2 3 4 5

D C A C A

Grupo II

1. ………………………………………………………………………………………………….. 30

1.1. ……………………………………………….………………………………………. 15

•••• Centro …………………………………………………………………… 5

•••• Raio ……………………………………………………………………… 5

•••• Condição ..………………………………………………………………. 5

1.2. ………………………………………………..………………………………………. 15

•••• Concluir que MN 4= e NP 4= …………………………………………… 3

•••• Calcular PE .……..………………………………………………………… 3

•••• Calcular a ordenada de P…………………………………………………. 5

•••• Indicar as coordenadas de P …………………………………………….. 4

2. …………………………………………………………………………………………………… 60

2.1. ………………………………………………………….………………………………. 10

• Calcular a medida do outro lado .………………………………… 5

• Calcular a área cercada ……….………………………………….. 5

2.2. ………………………………………………………..………………………………… 10

2.3. ……………………………………………………….………………………………… 10

• Justificar a expressão da área …………………………………… 5

• Indicar o domínio ……….…………………………………………. 5

2.4. ………………………………………………………………………………………… 10

• Calcular a abcissa do vértice ..…………………...……………… 3

• Calcular a ordenada do vértice ................................................. 2

• Apresentar a resposta justificando a existência de máximo …. 5

3. …………………………………………………………………………………………………… 30

3.1. ……………………………………………………………………………………….. 15

• Tabela …………………………………………………………… 2


• Média ……………………………………………………………. 5

• Moda …………………………………………………………….. 3

• Mediana …………………...…………………………………….. 5

3.2. ………………………………………………………………………………………. 15

• Cálculo da nova média …………………………………………. 5

• Justificação com identificação das medidas …………………. 10

4. …………………………………………………………………………………………………… 50

4.1. ………………………………………………………………………………………. 20

• Construir tabela a partir do gráfico .……………………………. 5

• Calcular a média de p …………………………………………… 5

• Calcular a média de t ……………………………………………. 5

• Apresentar o centro de gravidade ……………………………… 5

4.2. ………………………………………………………………………………………. 30

4.2.1. ……………………………………………………………………… 15

• Calcular a recta de regressão ………………………… 7

• Calcular a imagem de 4200 …………………………… 6

• Apresentar o resultado com a aproximação pedida … 2

4.2.2. ……………………………………………………………………… 15

• Referir a introdução da recta de equação y 120= …… 2

• Apresentar o gráfico …………………………………….. 6

• Assinalar a intersecção das duas rectas ………………. 5

• Apresentar o resultado com a aproximação pedida … 2

Total ………………………………………………………………………………………………… 200

teste06 b

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