teste de tukey

Roteiro de Aula Curso: Engenharia Agronômica - 3º período Disciplina: Estatística Experimental Professor: José Ricardo Gonçalves Manzan

Aula 03: Testes para comparações de médias 1: Teste de Tukey, SNK e

de Duncan Após fazer a Análise de Variância em um delineamento, teremos duas possibilidades. Aceitar

0H concluindo não haver diferenças significativas

entre os tratamentos, ou Rejeitar 0H concluindo

que pelo o menos dois dos tratamentos estudados apresentam médias estatisticamente diferentes. No caso da aceitação de 0H , o experimento está

concluído. No caso de rejeição, surge uma pergunta a ser analisada: Se existem diferenças, quais são elas? Qual tratamento tem média maior, e quais tem médias iguais? Para responder essas perguntas, usamos um teste para comparação de médias. Nesta aula, estudaremos os testes de Tukey, SNK (Student-Neuman-Keuls) e o de Duncan. Entretanto, apresentaremos antes alguns conceitos importantes para estes testes. Contraste de médias Y Um contraste é uma combinação linear entre as médias dos tratamentos de um experimento, observando-se o critério de que a soma destes contrastes seja nula. Uma combinação linear, é uma equação que envolve variáveis e coeficientes (valores numéricos). Os coeficientes multiplicam as variáveis compondo “termos” e a equação é formada pela soma destes termos. Genericamente, a representação de contraste é dada por:

1 1 2 2 ... I IY c m c m c m= + + +

onde: 1 2 ... 0Ic c c+ + + = ou 1

0I

i

i

c=

=∑

Exemplos:

• 1 1 2Y m m= − Veja que 1 1 0− =

• 2 1 3Y m m= − Veja que 1 1 0− =

• 3 1 2 32Y m m m= + − Veja que

1 1 2 0+ − =

• 3 1 2 3 4 54Y m m m m m= + + + − Veja

que 1 1 1 1 4 0+ + + − =

Por outro lado 4 1 2 3Y m m m= + − não é um

contraste, pois 1 1 1 1+ − = . Contrastes ortogonais Dois contrastes são ortogonais se o somatório dos produtos dos respectivos coeficientes for nulo. Considere por exemplo os contrastes

1 1 2 30Y m m m= − + e 2 1 2 32Y m m m= + −

são ortogonais. De fato, fazendo: 1 1 ( 1) 1 0 ( 2) 1 1 0 0⋅ + − ⋅ + ⋅ − = − + = Por outro lado, veja que os contrastes

1 1 2 30Y m m m= − + e 2 1 2 30Y m m m= + −

não são ortogonais. Verifique! De forma genérica, dizemos que se

1 1 1 2 2 ... I IY c m c m c m= + + + ,

1

0I

i

i

c=

=

∑ e

2 1 1 2 2 ... I IY b m b m b m= + + + ,

1

0I

i

i

b=

=

∑


então os contrastes anteriores serão ortogonais se

1 1 2 2 ... 0I Ic b c b c b+ + + = onde

1

0I

i i

i

c b=

=

∑ .

Observações importantes: 1) Três ou mais contrastes serão ortogonais entre si se eles forem ortogonais dois a dois; 2) Do ponto de vista prático, se dois ou mais contrastes são ortogonais entre si, isso indica que as comparações neles feitas são comparações independentes; 3) Num experimento qualquer, o número máximo de contrastes ortogonais que podemos obter é igual ao número de graus de liberdade de tratamentos desse experimento. 4) O valor obtido na expressão será útil em alguns testes. 5) A variância da estimativa do contraste é

calculada por � �( ) ( )

22 2 21 2 ... I

sV Y c c c

r= + + +

onde 2

s QMR= . 6) O erro padrão do contraste é dado por

�( ) � �( )s Y V Y= .

Teste de Tukey Podemos afirmar que o teste de Tukey talvez seja o teste mais utilizado nos experimentos. Talvez isso aconteça pela sua praticidade e objetividade. Todo teste de comparação de médias só deve ser empregado após a execução da Análise de Variância (Teste F) e respectiva constatação da significância. Os passos para a execução do teste de Tukey são: a) Calcular a Diferença Mínima Significativa – DMS:

QMRdms q

r= quando o número de

repetições é o mesmo para todos os tratamentos.

Caso o número de repetições seja diferente o cálculo da DMS é dado por:

1 2

1 1dms q QMR

r r

= +

• q é o valor tabelado em função do número de tratamentos (horizontal) e do numero de graus de liberdade do resíduo (vertical);

• r, r1, r2 é o número de repetições respectivamente de todos os tratamentos, do tratamento 1 e do tratamento 2;

• QMR é o quadrado médio dos resíduos obtido na Análise de Variância.

b) Calculamos as diferenças entre todas as médias, ou melhor dizendo, todos os possíveis contrastes. c) Comparamos as diferenças com a DMS. Se o módulo da diferença é menor que a DMS, então não há diferença significativa. Se o módulo da diferença é maior que a DMS, então as médias dos tratamentos são diferentes. d) Indicamos a significância entre dois tratamentos atribuindo letras diferentes para ambos, e a igualdade entre eles atribuindo a mesma letra para ambos. Observação: O Teste de Tukey se torna mais simples quando as médias são dispostas em ordem decrescente. Exemplo 1: Considere que um experimento para a comparação de variedades de mandioca tenha sido realizado com 5 repetições para cada tratamento e que o resultado da análise de variância seja:

Causa de variação

G.L. S.Q. Q.M. F

Tratamentos 4 2135,94 533,99 28,59**

Resíduo 20 373,52 18,68

Total 24 2509,46

Considere ainda que as médias dos tratamentos seja: A – 27,9 t/ha B – 27,3 t/ha


C – 26 t/ha D – 40,6 t/ha E – 49,4 t/ha Saiba que os tratamentos acima citados, correspondem as seguintes variedades de mandioca: A – IAC 5 B – IAC 7 C – IAC 11 D – Iracema E – MANTIQUEIRA Use o Teste de Tukey para comparar as médias dos tratamentos. Solução: Inicialmente ordenamos as médias em ordem decrescente e calculamos todas as possíveis diferenças entre elas. A ordem decrescente é dada por: E, D, A, B e C. As diferenças são obtidas da maior média para as menores. Assim: E – D = 8,8 E – A = 21,5 E – B = 22,1 E – C = 23,4 D – A = 12,7 D – B = 13,3 D – C = 14,6 A – B = 0,6 A – C = 1,9 B – C = 1,3 Posteriormente, calculamos a D.M.S.

QMRdms q

r=

Veja que o valor tabelado para 5 tratamentos e 20 graus de liberdade do resíduo, considerando um nível de 5% de probabilidade de erro na estimativa é dado por 4,23. Desta forma, temos que:

18,684, 23 1,9 /

5dms t ha= ⋅ =

Comparamos a DMS com as diferenças calculadas. As diferenças que são maiores que a D.M.S. são consideradas significativas e portanto os tratamentos recebem letras diferentes. Quando a diferença é menor que a D.M.S. consideramos que os tratamentos tem mesma média e portanto recebem a mesma letra. O quadro resumo do teste é dado por:

Tratamento Média Significância

E 49,4 a D 40,6 b A 27,9 c B 27,3 c C 26,0 c

OBS. Muitas vezes é interessante calcular o coeficiente de variação (C.V.). O coeficiente de variação relaciona o desvio padrão em termos de porcentagem da média aritmética. Usamos a fórmula:

�. . 100

sC V

m= ⋅

Onde s QMR= .

Os pesquisadores utilizam o coeficiente de variação para comparar a variabilidade de seus resultados com a obtida por pesquisadores que trabalham com material semelhante. Ele é sempre expresso em porcentagem, e dá uma idéia da precisão do experimento (quanto menor o coeficiente de variação, maior a precisão). No caso do exemplo 1, o coeficiente de variação é dado por:

18,68 4,3 /s t ha= =

� 1 856,234,2 /

25

n

i

i

y

m t han

== = =

∑

4,3. . 100 12,57%

34, 2C V = ⋅ =


Teste de Duncan O teste de Duncan é menos rigoroso que o Teste de Tukey. Por outro lado, traz consigo uma séria desvantagem: “é bem mais trabalhoso de ser executado”. Passos: 1) Coloque as médias dos I tratamentos em ordem decrescente; 2) Calcule a estimativa do contraste

�1 maior menorY x x= −

onde este contraste abrange I tratamentos. 3) Calcule o valor da amplitude total mínima significativa, DI, dada por:

I I

sD z

r= ⋅

em que:

Iz - é a amplitude total estudentizada, para uso no

teste de Duncan, encontrada em tabelas, em função do número de médias abrangidas pelo intervalo do contraste e do número de graus de liberdade do resíduo.

s QMR=

r = número de repetições com que foram calculadas as médias.

4) Comparar �

1Y com DI:

- Se �

1 IY D< , o teste não é significativo,

indicando que as duas médias que entraram no

contraste �

1Y não diferem. Então, ligamos as médias abrangidas pelo contraste por uma barra contínua e não podemos comparar médias dentro da barra.

- Se �

1 IY D≥ , o teste é significativo, indicando

que as duas médias que entraram no contraste �

1Y diferem. Então, passamos a testar contrastes que

abrangem um número imediatamente inferior de médias (I – 1). 5) Calcular as estimativas dos contrastes:

�2 maior penúltimaY x x= −

�3 segunda menorY x x= −

6) Calcular o novo valor de ( 1)ID D

−⇒

7) Proceder a comparação do novo valor de D com os contrastes até que não seja mais necessário realizar comparações. É importante dizer que o teste de Duncan exige que todos os tratamentos tenham o mesmo número de repetições para que ele seja exato. Quando isso não acontece, podemos obter uma aproximação em que a amplitude passa a ser calculada por:

1 2

1 1I ID z QMR

r r

= +

Exemplo 2: Num experimento de competição de cultivares de cana-de-açúcar, foram utilizados 5 tratamentos e 4 repetições, no delineamento em blocos ao acaso. Os blocos controlavam diferenças de fertilidade do solo entre terraços. Os cultivares de cana-de-açúcar (Tratamentos) testados foram: 1) Co 413 2) CB 40/19 3) CB 40/69

4) CB 41/70 5) CB 41/76

A análise de variância mostrou que 286,11QMR = com graus de liberdade equivalente

a 12. Além disso as médias dos tratamentos em ordem decrescente foram:

3) 139,7 t/ha

2) 137,2 t/ha

4) 129,8 t/ha

5) 124,6 t/ha

1) 100,2 t/ha


Estabeleça o comparativo entre as médias dos tratamentos usando o teste de Duncan.

Solução:

Inicialmente fazemos o contraste entre a maior e a menor média. Assim:

� � �1 3 1 139,7 100,2 39,5 /Y m m t ha= − = − =

Calculamos a amplitude total mínima significativa, D5, obtendo:

5 5

286,113,36 28,4 /

4

sD z t ha

r= ⋅ = ⋅ =

Veja que obtivemos z5 na tabela para 5 médias e 12 g.l. do resíduo com uma probabilidade de erro de 5%.

Lembre-se também que s QMR= .

Verificamos que �1 5Y D> , o que nos diz que

� �3 1m m≠ .

Diante deste resultado, passamos agora a estudar dois contrastes.

� � �2 3 5 139,7 124,6 15,1 /Y m m t ha= − = − =

� � �3 2 1 137,2 100, 2 37,0 /Y m m t ha= − = − =

A nova amplitude é dada por:

4 4

286,113,33 28, 2 /

4

sD z t ha

r= ⋅ = ⋅ =

Agora o valor z4 é obtido na tabela para 4 médias e 12 g.l. do resíduo.

Estabelecendo as comparações, é fácil visualizar

que �2 4Y D< e, portanto todas as médias

abrangidas pelo intervalo de � 3m a � 5m são

estatisticamente iguais. Por outro lado � 3 4Y D> ,

informando que � �2 1m m≠ .

Prosseguimos o teste analisando o contraste que abrange 3 médias:

� � �4 4 1 129,8 100,2 29,6 /Y m m t ha= − = − =

3 3

286,113,23 27,3 /

4

sD z t ha

r= ⋅ = ⋅ =

Como � 4 3Y D> verificamos que � �4 1m m≠ .

Tomamos novamente um novo contraste, agora considerando o intervalo apenas de duas médias abaixo:

� � �5 5 1 124,6 100,2 24,4 /Y m m t ha= − = − =

A amplitude para essa comparação é:

2 2

286,113,08 26,0 /

4

sD z t ha

r= ⋅ = ⋅ =

Como � 5 2Y D> , verificamos que as médias dos

tratamentos 5 e 1 são iguais.

Para representar a significância usamos traços contínuos para as médias que são iguais. Assim, a significância do exemplo é representada a seguir, como:

Podemos também usar letras para representar a significância deste teste. Assim, teríamos:


Teste de Student-Neuman-Keuls (SNK)

É um teste intermediário em relação aos testes de Tukey e de Duncan. Não é tão rigoroso, mas por outro lado também não é “pouco rigoroso”. Sua mecânica de operação é igual a feita pelo teste de Duncan, mas por outro lado usamos o valor q da tabela de Tukey. O valor q é obtido em função do número de médias abrangidas pelo intervalo e dos graus de liberdade do resíduo experimental.

Assim, a estatística de comparação para os contrastes é dada por:

I

sW q

r= , lembrando que s QMR= .

Assim como no teste de Duncan, o teste de SNK também exige que todos os tratamentos tenham o mesmo número de repetições para que ele seja exato. Quando isso não acontece, podemos obter uma aproximação em que a amplitude passa a ser calculada por:

1 2

1 1I IW q QMR

r r

= +

Exemplo 3: Considerando os mesmos dados do exemplo 2, tomemos o teste SNK para a comparação entre as médias.

Solução:

Para o contraste de 5 médias, temos:

� � �1 3 1 139,7 100,2 39,5 /Y m m t ha= − = − =

5

286,114,51 38,1 /

4W t ha= =

Constatamos que �1 5Y W> , o que nos mostra que

� �3 1m m≠ .

Prosseguimos o teste com os contrastes que abrangem 4 médias. Assim temos:

� � �2 3 5 139,7 124,6 15,1 /Y m m t ha= − = − =

� � �3 2 1 137,2 100, 2 37,0 /Y m m t ha= − = − =

5

286,114,20 35,5 /

4W t ha= =

Como � 2 4Y W< , logo � �3 5m m= . Por outro lado

�3 4Y W< , logo � �

2 1m m≠ .

Continuamos o teste analisando o contraste que abrange 3 médias.

� � �4 4 1 129,8 100,2 29,6 /Y m m t ha= − = − =

3

286,113,77 31,9 /

4W t ha= =

Como � 4 3Y W< , concluímos que � �4 1m m= . Com

isso o teste se encerra por aqui, e a significância é apresentada a seguir:


Exercícios

1) Suponha-se um ensaio de arroz, com seis cultivares e quatro repetições em blocos ao acaso. O erro experimental tem 15 g.l. e quadrado médio 189’656,62. O CV do ensaio foi de 19%. Os 6 tratamentos são compostos por 3 linhagens, CNA 8548 (1), CNA 8674 (4) e CNA 8676 (6) e por três cultivares em uso geral, Xingu (2), Progresso (3) e Maravilha (5), e as médias dos tratamentos 1 a 6, em kg/ha, foram iguais a 2991,5; 2499,5; 2499,5; 2258,3; 2070,5; 1995,5 e 1937,3, respectivamente. Com base nesses dados faça o teste de Tukey para comparação de médias.

2) Faça o teste de Duncan para o exemplo anterior.

3) Faça o teste de SNK para o exercício 1.

4) Considere um experimento para a verificação do aumento de peso de leitões em um ensaio inteiramente ao acaso com 5 repetições.

Rações

A B C D

40 39 35 27

35 27 19 12

46 20 31 13

41 29 15 28

33 45 30 30

Totais 195 160 130 110

Médias 39 32 26 22

Faça o teste F e o teste de Tukey para a comparação entre as médias.

5) Use o teste de Duncan para comparar as médias do exercício anterior.

6) Use o teste de SNK para comparar as médias do exercício anterior.

Respostas

1) DMS = 1001,64 1 – 2991,5 a 2 – 2499,5 ab 3 – 2258,3 ab 4 – 2070,5 ab 5 – 1995,5 ab

6 – 1937,3 b

2) 3)

4) Causa de variação

G.L. S.Q. Q.M. F

Tratamentos 3 823,75 274,58 3,99*

Resíduo 16 1100 68,75

Total 19 1923,75

Fcrit = 3,24 Portanto é significativo ao nível de 5%. Teste de Tukey DMS = 15,008 A – 39 a B – 32 ab C – 26 ab D – 22 b

5) Teste de Duncan

D4 = 11,96 ; D3 = 11,66 e D2 = 11,11

6) Teste de SNK

W4 = 15,008 ; W3 = 13,54 e W2 = 11,12

teste de tukey

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