teste de análise matemática ii

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Exame de análise matemática II+soluçãoConjuntos, domínios, funções, continuidade, diferenciabilidade, máximo, mínimo.Teorema de Green;Campos Vetoriais;Soluções de Hugo Carrasco

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Exame – Análise Matemática II – 19/06/2015

explicamatevora.blogspot.com Hugo Carrasco

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1.

i.

A linha

é a tracejado

ii.

Logo é aberto.

Logo não é fechado.

Como não é fechado então não é compacto, teria de ser fechado + limitado (por acaso também não é).

não é conexo pois está separado pelos eixos das coordenadas.

iii.

O ponto é um ponto de acumulação que não pertence ao conjunto, por isso a função poderá ser

prolongada por continuidade a este ponto se o limite seguinte existir

No primeiro vou utilizar coordenadas polares

No segundo vou utilizar uma mudança de variável e usar o limite notável

Seja se então e assim fica …

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Se não utilizasse o limite notável, através da regra de Cauchy chegaria também ao resultado.

Assim o limite pretendido é 0+1=1, e a função pode ser prolongada por continuidade à origem.

2.

O sistema admite uma solução única em relação às variáveis u e v perto de

se

A matriz jacobiana é dada por

A inversa de uma matriz 2x2 é dada por

3.

i.

A equação do plano tangente à equação , no ponto é

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A equação fica

ii.

4.

Vou primeiro examinar os extremos sem a restrição

O ponto está fora do círculo de raio 5, por isso não vale a pena ver se é máximo ou mínimo

Finalmente vou examinar os extremos na fronteira da região com o multiplicador de Lagrange.

A função de Lagrange é Os pontos críticos são…

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Como dividi por , tenho de ver à parte o caso que dá uma condição impossível.

Há dois pontos críticos que pertencem à fronteira

é o mínimo

é o máximo

Também se poderia calcular a matriz Hessiana Orlada e classificar os pontos críticos.

5.

Mas se a primeira equação fica

Logo a intersecção do paraboloide com o cone é uma circunferência de

raio 2.

A limitação superior é o paraboloide voltado para baixo e a inferior é o cone … é como se fosse um

‘corneto’ onde a parte de baunilha é o cone e o gelado é limitado pelo paraboloide.

Para a região circular vou utilizar coordenadas polares

6.

i.

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ii. Pelo Teorema de Green (a curva é fechada e percorrida no sentido anti-horário)

A região D é um círculo de raio R. Vou usar coordenadas polares

7. Vou utilizar o Teorema da Divergência (Gauss) pois o cone é uma região fechada.

Para limitar o cone vou utilizar coordenadas cilíndricas

8.

i. F é conservativo se

ii. Encontrar u tal que

iii. Como F é conservativo basta calcular a diferença do potencial entre o último ponto e o primeiro