teste de análise matemática ii

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Exame de análise matemática II+soluçãoConjuntos, domínios, funções, continuidade, diferenciabilidade, máximo, mínimo.Teorema de Green;Campos Vetoriais;Soluções de Hugo Carrasco

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  • Exame Anlise Matemtica II 19/06/2015

    explicamatevora.blogspot.com Hugo Carrasco

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    1.

    i.

    A linha

    a tracejado

    ii.

    Logo aberto.

    Logo no fechado.

    Como no fechado ento no compacto, teria de ser fechado + limitado (por acaso tambm no ).

    no conexo pois est separado pelos eixos das coordenadas.

    iii.

    O ponto um ponto de acumulao que no pertence ao conjunto, por isso a funo poder ser

    prolongada por continuidade a este ponto se o limite seguinte existir

    No primeiro vou utilizar coordenadas polares

    No segundo vou utilizar uma mudana de varivel e usar o limite notvel

    Seja se ento e assim fica

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    Se no utilizasse o limite notvel, atravs da regra de Cauchy chegaria tambm ao resultado.

    Assim o limite pretendido 0+1=1, e a funo pode ser prolongada por continuidade origem.

    2.

    O sistema admite uma soluo nica em relao s variveis u e v perto de

    se

    A matriz jacobiana dada por

    A inversa de uma matriz 2x2 dada por

    3.

    i.

    A equao do plano tangente equao , no ponto

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    A equao fica

    ii.

    4.

    Vou primeiro examinar os extremos sem a restrio

    O ponto est fora do crculo de raio 5, por isso no vale a pena ver se mximo ou mnimo

    Finalmente vou examinar os extremos na fronteira da regio com o multiplicador de Lagrange.

    A funo de Lagrange Os pontos crticos so

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    Como dividi por , tenho de ver parte o caso que d uma condio impossvel.

    H dois pontos crticos que pertencem fronteira

    o mnimo

    o mximo

    Tambm se poderia calcular a matriz Hessiana Orlada e classificar os pontos crticos.

    5.

    Mas se a primeira equao fica

    Logo a interseco do paraboloide com o cone uma circunferncia de

    raio 2.

    A limitao superior o paraboloide voltado para baixo e a inferior o cone como se fosse um

    corneto onde a parte de baunilha o cone e o gelado limitado pelo paraboloide.

    Para a regio circular vou utilizar coordenadas polares

    6.

    i.

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    ii. Pelo Teorema de Green (a curva fechada e percorrida no sentido anti-horrio)

    A regio D um crculo de raio R. Vou usar coordenadas polares

    7. Vou utilizar o Teorema da Divergncia (Gauss) pois o cone uma regio fechada.

    Para limitar o cone vou utilizar coordenadas cilndricas

    8.

    i. F conservativo se

    ii. Encontrar u tal que

    iii. Como F conservativo basta calcular a diferena do potencial entre o ltimo ponto e o primeiro