tese - versão 1

Universidade Federal de Juiz de Fora

Universidade Federal de Juiz de Fora

Programa de Ps Graduao em Engenharia Eltrica

Doutorado em Sistemas de Energia Eltrica

Luiz Eduardo de Souza PereiraANLISE INTERVALAR APLICADA AOS ESTUDOS DE FLUXO DE POTNCIA E ESTABILIDADE DE TENSO CONSIDERANDO DADOS INCERTOS Juiz de Fora

2015Luiz Eduardo de Souza Pereira

ANLISE INTERVALAR APLICADA AOS ESTUDOS DE FLUXO DE POTNCIA E ESTABILIDADE DE TENSO CONSIDERANDO DADOS INCERTOSTese submetida ao corpo docente da coordenao do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Eltrica da Universidade Federal de Juiz de Fora como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de doutor em engenharia eltrica.Orientador: Prof. Vander Menengoy da Costa, D. Sc.

Juiz de Fora2015ANLISE INTERVALAR APLICADA AOS ESTUDOS DE FLUXO DE POTNCIA E ESTABILIDADE DE TENSO CONSIDERANDO DADOS INCERTOSLUIZ EDUARDO DE SOUZA PEREIRATESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DO PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE DOUTOR EM ENGENHARIA ELTRICA.

Aprovada por:___________________________________________________________

Prof. Vander Menengoy da Costa, D. Sc. Orientador UFJF

___________________________________________________________ Prof. Marina Lavorato de Oliveira, D. Sc. UNESP___________________________________________________________

Prof. Dbora Rosana Ribeiro Penido Araujo, D. Sc. UFJF___________________________________________________________

Prof. Leandro Ramos de Araujo, D. Sc. UFJFJuiz de Fora, MG, Brasil.

Junho de 2015AGRADECIMENTOSAo professor Vander Menengoy da Costa, pela orientao, confiana, dedicao e amizade durante toda a realizao deste trabalho.

A minha famlia, em especial aos meus pais Luiz e Carlota, que tanto me apoiaram em toda a minha trajetria acadmica e em todos os momentos importantes da minha vida.

A minha esposa Gisele, por todo amor, compreenso, incentivo e carinho que me motivaram a prosseguir.Ao meu filho Eric, por toda alegria que me trouxe desde o seu nascimento.A todos os amigos que, de alguma forma, contriburam ou fizeram parte de mais esta importante etapa da minha vida.Resumo da tese apresentada UFJF como parte dos requisitos necessrios para a obteno do grau de Doutor em Cincias (D. Sc.)

ANLISE INTERVALAR APLICADA AOS ESTUDOS DE FLUXO DE POTNCIA E ESTABILIDADE DE TENSO CONSIDERANDO DADOS INCERTOSLuiz Eduardo de Souza PereiraJunho de 2015Orientador: Prof. Vander Menengoy da Costa, D. Sc.Programa: Engenharia Eltrica.

A anlise do fluxo de potncia determinstico restrita a um nico instante de tempo especfico. Contudo, as demandas de potncia ativa e reativa, dentre outros, variam constantemente e afetam o perfil das tenses nodais e as distribuies dos fluxos de potncia nos ramos do sistema eltrico. Desta forma, a utilizao do modelo determinstico seria invivel, face s inmeras simulaes necessrias no sentido de representar todas as possveis combinaes das variaes envolvidas no problema.Com a utilizao da matemtica intervalar possvel representar intervalos de variao das demandas ativa e reativa, dos parmetros de linha e obter, atravs de um fluxo de potncia intervalar, o perfil das tenses nodais, as distribuies de fluxo de potncia nos ramos e as perdas tambm na forma intervalar. Por conseguinte, possvel realizar uma anlise detalhada e completa do comportamento da rede frente s variaes em estudo.

A proposta do trabalho modelar e implementar as metodologias de fluxo de potncia intervalar, nas verses polar e injeo de correntes, incorporando o controle de gerao de reativo em barras PV e o limite de tenso em barras PQ nos vrios pontos de operao, incluindo o ponto de mximo carregamento. A simulao de Monte Carlo utilizada como parmetro para a aferio dos resultados.

Abstract of proposed thesis theme presented to UFJF as a partial fulfillment of the requirements for a Doctor of Science Degree (D. Sc.)INTERVAL ANALYSIS APPLIED TO POWER FLOW AND VOLTAGE STABILITY STUDIES CONSIDERING DATA UNCERTAINTIESLuiz Eduardo de Souza PereiraJuly 2013Advisor: Vander Menengoy da Costa, D. Sc.

Department: Electrical Engineering.The analysis of the deterministic power flow is restricted to a single time instant. However, the active and reactive load powers, among others, vary constantly and affect the voltage profiles and line flows throughout electric power systems. Therefore, the deterministic model is not feasible due to a number of simulations required to represent all possible combinations of the variations involved in the problem.

With the use of interval mathematics can represent ranges of active and reactive power demand and obtain, through a power flow interval, the profile of node voltages, the distribution of power flow in the branches and also the losses in the form interval. It is therefore possible to perform detailed and thorough analysis of the behavior of the network to variations in the study.The purpose of this study is to model and implement the methodologies power flow interval versions polar and current injection incorporating the control of generation reactive generation on PV buses and voltage limit on PQ buses, in various operating points of a system, including maximum loading point. The Monte Carlo simulation is used as a parameter for measuring the results.SumrioCaptulo I

Introduo .....................................................................................................................1

I.1. Consideraes Gerais ........................................................................................1

I.2. Objetivos ............................................................................................................2

I.3. Publicaes ........................................................................................................3

I.4. Estrutura do Trabalho ........................................................................................3

Captulo II

Fundamentos da Matemtica Intervalar .......................................................................5

II.1. Introduo ........................................................................................................5

II.2. Conjunto IR ......................................................................................................5

II.3. Operaes Bsicas ............................................................................................6

II.3.1. Adio Intervalar ....................................................................................6

II.3.2. Pseudo Inverso Aditivo Intervalar .........................................................6

II.3.3. Subtrao Intervalar ...............................................................................6

II.3.4. Multiplicao Intervalar .........................................................................7

II.3.5. Pseudo Inverso Multiplicativo Intervalar ...............................................7

II.3.6. Diviso Intervalar ...................................................................................7

II.4. Ponto Mdio de um Intervalo ...........................................................................8

II.5. Dimetro de um Intervalo ................................................................................8

II.6. Intervalo Simtrico ...........................................................................................8

II.7. Funo Seno ..................................................................................................... 8

II.8. Funo Cosseno ............................................................................................... 8

II.9. Unio Entre Dois Intervalos .............................................................................9

II.10. Interseco Entre Dois Intervalos ..................................................................9

II.11. Inversa de uma matriz intervalar .................................................................... 9

II.12. Mtodo de Newton Intervalar ........................................................................ 12

II.12.1. Apresentao do mtodo ......................................................................12

II.12.2. Aplicaes prticas...............................................................................13

II.12.2.1. Aplicao 1 ...........................................................................13

II.12.2.2. Aplicao 2 ...........................................................................14

II.12.2.3. Aplicao 3 ...........................................................................16

II.13. Mtodo de Krawczyk ..................................................................................... 19

II.13.1. Modelagem matemtica .......................................................................19

II.13.2. Aplicaes prticas ..............................................................................20

II.13.2.1. Aplicao 1 ...........................................................................20

II.13.2.2. Aplicao 2 ...........................................................................22

II.13.2.3. Aplicao 3 ...........................................................................23

Captulo III

Metodologia Intervalar Proposta...................................................................................26

III.1. Introduo .......................................................................................................26

III.2. Fluxo de Potncia Intervalar Injeo de Correntes.......................................27

III.3. Fluxo de Potncia Intervalar Polar................................................................31

III.4. Aplicao Prtica ............................................................................................33

III.4.1. Resultado Determinstico.......................................................................34

III.4.2. Resultados do algoritmo FPI-IC............................................................35

III.4.3. Resultados do algoritmo FPI-P..............................................................41

III.5. Simulao de Monte Carlo..............................................................................46

III.6. Anlise dos Resultados ...................................................................................48

Captulo IV

Resultados .....................................................................................................................52

IV.1. Introduo .......................................................................................................52

IV.2. Mdulo e fase das tenses...............................................................................53

IV.3. Gerao ativa e reativa da barra de referncia.................................................60

IV.4. Gerao reativa das barras de gerao............................................................. 62

IV.5 Fluxos de potncia ativa e reativa..................................................................... 65

IV.6. Perdas ativa e reativa....................................................................................... 73

IV.7. Ponto Mximo de Carregamento..................................................................... 80

IV.8. Eficincia computacional ............................................................................... 81

IV.9. Anlise geral dos resultados............................................................................ 82

Captulo V

Concluses ....................................................................................................................84

V.1. Consideraes Finais .......................................................................................84

V.2. Proposta para trabalhos futuros ........................................................................85

Apndice A

Fluxo de Potncia Convencional...................................................................................86

A.1. Coordenadas polares.........................................................................................86

A.2. Fluxo de potncia via equaes de injeo de correntes...................................87

A.2.1. Representao das barras tipo PQ...........................................................87

A.2.2. Incluso das barras tipo PV....................................................................88

A.2.3. Atualizaes das tenses.........................................................................89

Apndice B

Derivadas das equaes das variveis dependentes funcionais ....................................90

B.1. Clculo do fluxo de potncia nas linhas ...........................................................90

B.1.1. Coordenadas polares ..............................................................................90

B.1.2. Coordenadas retangulares ......................................................................92

B.2. Clculo da gerao ativa e reativa ....................................................................94



B.3. Clculo das perdas ............................................................................................96



Apndice C

Sistemas Testes..............................................................................................................99

C.1. Oporto...............................................................................................................99

C.2. CEMIG..............................................................................................................101

Referncias Bibliogrficas ............................................................................................104

Lista de Figuras

Figura C.1 Oporto Diagrama unifilar......................................................................99

Figura C.2 CEMIG Diagrama unifilar....................................................................101

Lista de TabelasTabela II.1 Resultados Newton Aplicao 1 ......................................................... 14

Tabela II.2 Resultados Newton Aplicao 2 ......................................................... 16

Tabela II.3 Resultados Newton Aplicao 3 .........................................................19

Tabela II.4 Resultados Krawczyk Aplicao 1 ......................................................21



Tabela III.1 Sistema 3 barras Dados de barras........................................................34

Tabela III.2 Sistema 3 barras Dados de linhas......................................................34

Tabela III.3 Sistema 3 barras Resultados de barras...............................................34

Tabela III.4 Sistema 3 barras Resultados de linhas................................................. 34

Tabela III.5 Sistema 3 barras Demandas intervalares.............................................35

Tabela III.6 Sistema 3 barras Resultados prximos ao PMC..................................36

Tabela III.7 Sistema 3 barras Gerao reativa intervalar da barra PV....................38

Tabela III.8 Sistema 3 barras Mdulo da tenso intervalar da barra PQ................38

Tabela III.9 Sistema 3 barras Gerao reativa intervalar da barra PV....................44

Tabela III.10 Sistema 3 barras Mdulo da tenso intervalar da barra PQ..............45

Tabela III.11 Sistema 3 barras Mdulo das tenses................................................49

Tabela III.12 Sistema 3 barras Fase das tenses.....................................................49

Tabela III.13 Sistema 3 barras Gerao ativa da barra de referncia......................49

Tabela III.14 Sistema 3 barras Gerao reativa da barra de referncia..................50

Tabela III.15 Sistema 3 barras Gerao reativa das barras PV...............................50

Tabela III.16 Sistema 3 barras Fluxo de potncia ativa nas linhas.........................50

Tabela III.17 Sistema 3 barras Fluxo de potncia reativa nas linhas......................50

Tabela III.18 Sistema 3 barras Perdas de potncia ativa nas linhas........................51

Tabela III.19 Sistema 3 barras Perdas de potncia reativa nas linhas.....................51

Tabela IV.1 IEEE 30 10% de variao Mdulo das tenses................................53

Tabela IV.2 IEEE 30 10% de variao Fase das tenses.....................................54

Tabela IV.3 IEEE 30 6% de variao Mdulo das tenses..................................54

Tabela IV.4 IEEE 30 6% de variao Fase das tenses.......................................55

Tabela IV.5 IEEE 30 2% de variao Mdulo das tenses..................................55

Tabela IV.6 IEEE 30 2% de variao Fase das tenses.......................................56

Tabela IV.7 IEEE 57 Mdulo das tenses..............................................................56

Tabela IV.8 IEEE 58 Fase das tenses....................................................................57

Tabela IV.9 Oporto Mdulo das tenses.................................................................57

Tabela IV.10 Oporto Fase das tenses....................................................................58

Tabela IV.11 CEMIG Mdulo das tenses.............................................................58

Tabela IV.12 CEMIG Fase das tenses..................................................................59

Tabela IV.13 1768 Mdulo das tenses..................................................................59

Tabela IV.14 1768 Fase das tenses.......................................................................60

Tabela IV.15 Gerao ativa da barra de referncia....................................................61

Tabela IV.16 Gerao reativa da barra de referncia.................................................62

Tabela IV.17 IEEE 30 10% de variao Gerao reativa das barras de gerao.63

Tabela IV.18 IEEE 30 6% de variao Gerao reativa das barras de gerao...63

Tabela IV.19 IEEE 30 2% de variao Gerao reativa das barras de gerao...64

Tabela IV.20 IEEE 57 Gerao reativa das barras de gerao...............................64

Tabela IV.21 Oporto Gerao reativa das barras de gerao..................................65

Tabela IV.22 1768 Gerao reativa das barras de gerao.....................................65

Tabela IV.23 IEEE 30 10% de variao Fluxo de potncia ativa........................66

Tabela IV.24 IEEE 30 10% de variao Fluxo de potncia reativa.....................66

Tabela IV.25 IEEE 30 6% de variao Fluxo de potncia ativa..........................67

Tabela IV.26 IEEE 30 6% de variao Fluxo de potncia reativa.......................67

Tabela IV.27 IEEE 30 2% de variao Fluxo de potncia ativa..........................68


Tabela IV.29 IEEE 57 Fluxo de potncia ativa.......................................................69

Tabela IV.30 IEEE 57 Fluxo de potncia reativa...................................................69

Tabela IV.31 Oporto Fluxo de potncia ativa.........................................................70

Tabela IV.32 Oporto Fluxo de potncia reativa......................................................70

Tabela IV.33 CEMIG Fluxo de potncia ativa.......................................................71

Tabela IV.34 CEMIG Fluxo de potncia reativa....................................................71

Tabela IV.35 1768 Fluxo de potncia ativa............................................................72

Tabela IV.36 1768 Fluxo de potncia reativa.........................................................72

Tabela IV.37 IEEE 30 10% de variao Perda de potncia ativa........................73

Tabela IV.38 IEEE 30 10% de variao Perda de potncia reativa.....................74

Tabela IV.39 IEEE 30 6% de variao Perda de potncia ativa..........................74

Tabela IV.40 IEEE 30 6% de variao Perda de potncia reativa.......................75

Tabela IV.41 IEEE 30 2% de variao Perda de potncia ativa..........................75


Tabela IV.43 IEEE 57 Fluxo de potncia ativa.......................................................76

Tabela IV.44 IEEE 57 Fluxo de potncia reativa...................................................77

Tabela IV.45 Oporto Fluxo de potncia ativa.........................................................77

Tabela IV.46 Oporto Fluxo de potncia reativa......................................................78

Tabela IV.47 CEMIG Fluxo de potncia ativa.......................................................78

Tabela IV.48 CEMIG Fluxo de potncia reativa....................................................79

Tabela IV.49 1768 Fluxo de potncia ativa............................................................79

Tabela IV.50 1768 Fluxo de potncia reativa.........................................................80

Tabela IV.51 Ponto Mximo de Carregamento.........................................................81

Tabela IV.52 Iteraes...............................................................................................82

Tabela IV.53 Dados gerais e variveis calculadas.....................................................82

Tabela C.1 Oporto Dados de barras........................................................................100

Tabela C.2 Oporto Dados de linhas........................................................................100

Tabela C.3 CEMIG Dados de barras.......................................................................102

Tabela C.4 CEMIG Dados de linhas.......................................................................103

Lista de Abreviaturas e Smbolos

BTotalkmSuceptncia shunt total da linha k m

cValor entre x e y

CMatriz de pr-condicionamento

ETenso

Erro relativo

hiterao

ICorrente

Corrente complexa da barra k

IdMatriz identidade

IRConjunto dos intervalos reais

JMatriz Jacobiana

Demanda complexa determinstica da barra k

Demanda complexa intervalar da barra k

Gerao complexa determinstica da barra k

Gerao complexa intervalar da barra k

RConjunto dos nmeros reais

RkmResistncia da linha k - m

SPotncia aparente

UNmero aleatrio uniforme

Tenso determinstica polar da barra k

Tenso intervalar polar da barra k

Tenso determinstica retangular da barra k

Tenso intervalar retangular da barra k

XVetor de intervalos

Valor da varivel de sada obtida nas simulaes tipo Monte Carlo

Valor da varivel de sada determinada pela metodologia em anlise

XkmReatncia da linha k m

x1, x2

Elementos de R (x1 x2)

yValor incremental a partir de x

YMatriz Admitncia

Variao percentual da demanda ativa da barra k

Variao percentual da demanda reativa da barra k

kConjunto das barras vizinhas a barra k

Os sobrescritos i e d denotam, respectivamente, quantidades intervalares e determinsticas.

Captulo IIntroduo

I.1. Consideraes geraisO fluxo de potncia [1, 2] uma das ferramentas mais utilizadas no estudo dos sistemas de energia eltrica, e lida com o clculo das tenses e fluxos nas linhas, em uma grande e esparsa rede eltrica, para uma determinada carga e gerao. O fluxo de potncia convencional utiliza as equaes de potncia expressas em termos das coordenadas polares ou retangulares da tenso. Ao longo dos ltimos anos, o fluxo de potncia via injeo de correntes foi aplicado em diferentes reas do sistema de energia eltrica, obtendo resultados notveis publicados na literatura [3 6].A estabilidade de tenso tem sido uma das principais preocupaes dos operadores e planejadores do sistema de energia eltrica, nos ltimos anos. O contnuo aumento da carga, aliada falta de investimentos em transmisso e gerao, levou os sistemas a operarem muito prximos de seus limites. Por isso, a estabilidade de tenso tem sido um assunto amplamente analisado [7]. Sua anlise esttica pode ser avaliada pelo fluxo de potncia continuado e pelo mtodo de ponto de colapso.O perfil de tenso obtido por meio de vrias solues do fluxo de potncia atravs de sucessivos acrscimos de carga. No entanto, o perfil de tenso no pode ser rastreado por completo, usando apenas o fluxo de potncia convencional, porque a matriz Jacobiana se torna singular no ponto de mximo carregamento (PMC). O mtodo da continuao aplicado s equaes de fluxo de potncia, no intuito de superar a singularidade. Um breve histrico apresentado a seguir. Em [8], um modelo matemtico para o fluxo de potncia continuado, usando a variao de carga, ou o mdulo de tenso como parmetros de continuao, apresentado. Uma ferramenta para avaliao de efeitos no lineares nas variveis de estado, devido s variaes na admitncia/impedncia das linhas, apresentada em [9]. Um fluxo de potncia continuado trifsico proposto em [10]. Em [11], um fluxo de potncia continuado fuzzy desenvolvido considerando incertezas mltiplas.O objetivo do mtodo de ponto de colapso iterativamente calcular o ponto de mximo carregamento do sistema de energia eltrica, sem traar as curvas de continuao. Um breve histrico apresentado a seguir. Em [12], uma extenso do ponto de colapso desenvolvida, incluindo a transmisso em alta tenso de corrente contnua. Em [13], os mtodos de ponto de colapso e continuado so implementados em grandes sistemas CA/CC. Em [14], o PMC calculado pelo mtodo dos pontos interiores, utilizado em problemas de otimizao no linear.Por outro lado, os dados de entrada esto sujeitos incertezas. Por exemplo, as cargas so medidas por dispositivos frequentemente imprecisos. Uma das abordagens utilizadas para levar em conta os efeitos de erros a anlise intervalar, incluindo a matemtica intervalar. A tcnica calcula o intervalo entre os limites inferior e superior em relao s variveis sob incerteza. Apresentar solues com um sentido matemtico e expressar as variveis incertas como intervalos, so suas principais vantagens. A principal limitao , por vezes, sobrestimar o intervalo entre os limites inferior e superior. Assim, as cargas e os outros parmetros podem ser caracterizados no por um nico nmero, mas sim por uma gama de valores reais ou um intervalo real [15 17]. Outras abordagens para lidar com as incertezas so o fluxo de potncia probabilstico [18 20] e o fluxo de potncia fuzzy [21 23].Em [24], apresentado um modelo de fluxo de potncia em condies de incerteza, incorporando a matemtica intervalar na formulao de injeo de corrente. Os dispositivos de controle no so considerados no problema do fluxo de potncia e as solues intervalares referem-se ao ponto normal de operao.I.2. ObjetivosO objetivo principal deste estudo generalizar a metodologia desenvolvida em [24], a fim de calcular, de forma intervalar, com incertezas nos dados de carga e nos parmetros de linha, no somente o PMC, mas tambm as principais variveis correspondentes a este ponto, como magnitudes das tenses, ngulos de fase, geraes de potncia ativa e reativa, fluxos e perdas de potncia ativa e reativa nas linhas. Os limites de potncia reativa nas barras PV e os limites de magnitude de tenso nas barras PQ so considerados. O sistema de equaes intervalar no-linear resultante resolvido pelo mtodo de Krawczyk [25]. A metodologia proposta implementada em ambiente MATLAB usando a toolbox INTLAB [26], que realiza todas as operaes intervalares. A toolbox INTLAB desenvolvida pela Hamburg University of Technology na Alemanha, suporta intervalos de nmeros escalares reais e complexos, bem como vetores e matrizes intervalares. A aferio dos resultados intervalares ser feita atravs da simulao de Monte Carlo.

Um sistema teste do IEEE, um sistema de distribuio modificado da CEMIG e um sistema de transmisso com 1768 barras, sero utilizados na simulao e validao dos modelos. Assim, o presente trabalho visa desenvolver e programar uma metodologia rpida e robusta, para o tratamento de incertezas em estudos de fluxo de potncia. Espera-se que este estudo venha a abrir novos horizontes de pesquisa dentro do setor eltrico brasileiro, ampliando os conhecimentos j existentes e inserindo outros conceitos da matemtica intervalar nas modelagens de sistemas de energia eltrica.

I.3. PublicaesDurante o desenvolvimento da pesquisa relacionada a esta tese, os seguintes artigos foram produzidos:

Interval arithmetic in current injection power flow analysis. Int J Electr Power Energy Syst 2012;43(1):1106-13 Anlise de Incertezas em Sistemas de Energia Eltrica via Fluxo de Potncia Intervalar. XIX Congresso Brasileiro de Automtica, CBA 2012. Interval Analysis Applied to the Maximum Loading Point of Electric Power Systems Considering Load Data Uncertainties. Int J Electr Power Energy Syst 2014;54:334-340I.4. Estrutura do trabalhoO trabalho est dividido em seis captulos e trs apndices, os quais esto descritos a seguir:

O Captulo II apresenta os conceitos e definies bsicas relacionados matemtica intervalar.

O Captulo III apresenta os conceitos e definies bsicas relacionados estabilidade de tenso.

O Captulo IV apresenta as formulaes dos diferentes fluxos de potncia determinsticos, do fluxo de potncia intervalar e da simulao de Monte Carlo.

O Captulo V apresenta os resultados para diferentes sistemas eltricos, com anlises e explicaes de cada parte dos clculos realizados.

O Captulo VI apresenta as concluses sobre este trabalho e prope possveis estudos futuros.

O Apndice A apresenta a formulao matemtica bsica do problema do fluxo de potncia polar e injeo de correntesO Apndice B apresenta as relaes matemticas referentes s variveis dependentes funcionais dos fluxos de potncia intervalar polar, retangular e injeo de correntes.

O Apndice C apresenta os dados de linha e de barra do sistema de distribuio modificado da CEMIG.

Captulo II

Fundamentos da Matemtica IntervalarII.1. IntroduoA matemtica intervalar, baseada na aritmtica de Moore [27 - 34], surgiu para resolver o problema da qualidade do resultado na computao cientfica, que depende do conhecimento dos erros computacionais nos dados.

A matemtica intervalar considera um conjunto de mtodos para manipulao de intervalos numricos que aproximam dados incertos. Segundo [35], os intervalos podem ser aplicados para representar valores desconhecidos e, tambm, valores contnuos, para controlar o erro de arredondamento e para representar dados inexatos, aproximaes e erros de truncamento de procedimentos.

II.2. Breve histrico da matemtica intervalarOs primeiros estudos da matemtica intervalar como ramo da Computao Cientfica aparecem na dcada de 1950, atravs de alguns estudos isolados e que pouco a pouco passaram a requisitar a ateno de um nmero maior de pesquisadores. nesse contexto que se apresenta o trabalho de Sunaga [36], no qual so investigadas as regras que definem as operaes aritmticas entre intervalos. Neste trabalho so definidos vetores e matrizes intervalares juntamente com as operaes correspondentes, e so esboados exemplos de aplicaes da aritmtica intervalar para a determinao de solues intervalares para razes de funes e para integrais. Porm, somente com o primeiro livro sobre anlise intervalar, publicado por Moore [37], tais resultados passaram a receber mais ateno da comunidade cientfica.

Um dos fundamentos que motivaram o desenvolvimento da matemtica intervalar foi o desenvolvimento de algoritmos numricos para Computao Cientfica. Neste contexto, a compreenso dos efeitos da existncia de uma aritmtica associada noo de erro de arredondamento aliada necessidade de truncamento de certos mtodos iterativos impulsionou o desenvolvimento de algoritmos cuja a sada fosse capaz de garantir a proximidade entre a soluo exata e as respostas produzidas.Durante as ltimas trs dcadas o lugar dos intervalos compactos como objetos independentes tem crescido continuamente na anlise numrica, na verificao ou determinao de solues de vrios problemas matemticos ou na prova de que tais problemas no possuem soluo em um domnio particular.

Diversas reas de aplicao foram exploradas atravs da abordagem intervalar: problemas de engenharia estrutural, engenharia qumica, engenhara mecnica, engenharia eltrica e economia [38 39]. Do ponto de vista matemtico pode-se citar problemas associados soluo de sistemas lineares ou no lineares, otimizao (restrita ou global), determinao de valores e vetores prprios, soluo de problemas de contorno e de equaes diferenciais, entre outros. Isto foi possvel atravs da compreenso de intervalos como extenses de nmeros reais ou complexos, da introduo de funes intervalares e de aritmticas intervalares.

II.3. Conjunto IRO conjunto de todos os intervalos reais IR definido por:

IR = {[x1; x2] | x1; x2 R, x1 x2} (II.1)So exemplos de intervalos: [4 ; 6], [-3 ; -1] e [7 ; 7]. Note que o intervalo [7 ; 7] corresponde ao prprio nmero real 7, recebendo a denominao de intervalo pontual. A seguir, as principais operaes intervalares sero apresentadas. II.4. Operaes bsicasPara apresentao das principais operaes bsicas, sejam X = [x1; x2] e Y = [y1; y2] IR.II.4.1. Adio intervalar A adio intervalar definida por:X + Y = [(x1 + y1); (x2 + y2)] (II.2)

Assim, se X = [1 ; 2] e Y = [3 ; 4], ento X + Y = [1 + 3 ; 2 + 4] = [4 ; 6]. A Figura 2.1 ilustra um exemplo de soma de dois intervalos.Figura 2.1 Soma de dois intervalos

O conjunto IR no possui inverso aditivo, ou seja, nem sempre pode-se achar um intervalo X tal que X + (X) = 0.

II.4.2. Pseudo inverso aditivo intervalar O pseudo inverso aditivo intervalar definido por:X = [x2; x1] (II.3)Portanto, se X = [4 ; 9], ento X = [9 ; 4].II.4.3. Subtrao intervalar A subtrao intervalar definida por:X Y = [(x1 y2); (x2 y1)] (II.4)

Assim, se X = [1 ; 4] e Y = [3 ; 8], ento X Y = [1 8; 4 3] = [9 ; 1].II.4.4. Multiplicao intervalar A multiplicao intervalar definida por:X.Y = [min {x1.y1, x1.y2, x2.y1, x2.y2}; max{x1.y1, x1.y2, x2.y1, x2.y2}] (II.5)Como ilustrao, se X = [2 ; 3] e Y = [4 ; 5], ento X.Y = [min {(2) 4, (2) 5, 3 4, 3 5} ; max {(2) 4, (2) 5, 3 4, 3 5}] = [10; 15].A adio e a multiplicao intervalar so associativas e comutativas, contudo, a propriedade distributiva nem sempre verdadeira para a aritmtica intervalar.

II.4.5. Pseudo inverso multiplicativo intervalar Se 0 X, o pseudo inverso multiplicativo intervalar definido por:

(II.6)

Portanto, se X = [3 ; 4], ento X-1=[1/4 ; 1/3].II.4.6. Diviso intervalar Se 0 Y ,a diviso intervalar definida por:

X/Y = [min {x1/y1, x1/y2, x2/y1, x2/y2}; max{x1/y1, x1/y2, x2/y1, x2/y2}] (II.7)Portanto, se X = [2; 4] e Y = [1; 3], ento X/Y = [min {2/1 ; 2/3 ; 4/1 ; 4/3} ; max {2/1 ; 2/3 ; 4/1 ; 4/3} = [0,6666 ; 4].II.5. Ponto mdio de um intervaloO ponto mdio do intervalo X definido por:

med(X) = (II.8) A Figura 2.2 apresenta a representao geomtrica do ponto mdio de um intervalo.

Figura 2.2 Representao geomtrica do ponto mdio de um intervalo

II.6. Dimetro de um intervaloO dimetro do intervalo X definido por:

diam(X) = (II.9)A Figura 2.3 apresenta a representao geomtrica do dimetro de um intervalo.

Figura 2.3 Representao geomtrica do dimetro de um intervalo

II.7. Intervalo simtricoX um intervalo simtrico se X = X. [-1 ; 1], [- ; ] e [0 ; 0] so exemplos de intervalos simtricos.II.8. Funo senoO seno do intervalo X definido por:

sen(X) = [min{sen(x1) ; sen(x2)} ; max{sen(x1) ; sen(x2)}]II.9. Funo cossenoO cosseno do intervalo X definido por:cos(X) = [min{cos(x1) ; cos(x2)} ; max{cos(x1) ; cos(x2)}]II.10. Unio entre dois intervalosA unio dos intervalos X e Y definida por:XY = [min {x1 ; y1}; max {x2 ; y2}] (II.10)

A Figura 2.4 apresenta a representao geomtrica da unio entre dois intervalos.

Figura 2.4 Representao geomtrica da unio entre dois intervalos

II.11. Interseco entre dois intervalosA interseco dos intervalos X e Y definida por:X Y = [max {x1; y1} ;min {x2; y2}]; (II.11)se max {x1; y1} < min {x2; y2};se min {x2; y2} > max {x1; y1};ento X Y = 0.A Figura 2.5 apresenta a representao geomtrica da interseco entre dois intervalos.

Figura 2.5 Representao geomtrica da interseco entre dois intervalos

II.12. Inversa de uma matriz intervalarSeja A uma matriz intervalar 2x2 inversvel:

Utilizando a biblioteca INTLAB:

Calculando obtm-se:

cuja matriz ponto mdio :

A matriz ponto mdio da matriz A :

A inversa de B :

que igual a matriz ponto mdio da matriz A-1.Considere agora uma matriz 3x3:

Utilizando a biblioteca INTLAB:

Calculando obtm-se:

cuja matriz ponto mdio :

A matriz ponto mdio da matriz C :

A inversa de D :

que igual a matriz ponto mdio da matriz C-1.

Portanto, a inversa de uma matriz intervalar calculada da mesma forma que a inversa de uma matriz pontual.

II.13. Mtodo de Newton IntervalarII.13.1. Apresentao do mtodo O mtodo de Newton um algoritmo para calcular a raiz de uma dada equao, atravs da construo de uma sequncia convergente de pontos. De maneira anloga, a verso intervalar do mtodo de Newton permite construir uma sequncia convergente de intervalos, cujo limite ser um intervalo que contm a raiz real da funo dada. O mtodo de Newton intervalar [25, 35] est descrito a seguir.Considere a funo no linear f, tal que f(x)=0. A aplicao do teorema do valor mdio resulta:

f(y) = f(x) + J(c)(y x) (II.12)Assumindo f(y) = 0:

J(c)(y x) = f(x) (II.13)

Definindo o intervalo [x ; y] X ento:

J(X)(X x) = f(x) (II.14)

Definindo N(x, X) como o operador de Newton intervalar que fornece o intervalo soluo X da equao (II.14), ento:

N(x, X) = x J-1(X)f(x) (II.15)

A equao (II.15) define o mtodo de Newton intervalar, onde x o ponto mdio do intervalo X. Introduzindo a iterao h na equao (II.15):

N(xh, Xh) = xh J-1(Xh)f(xh) (II.16)

Xh+1 = Xh N(xh, Xh) (II.17)

A equao (II.17) mostra que o mtodo de Newton intervalar reduz as solues candidatas atravs da interseco de dois intervalos. Alm disso, o mtodo de Newton intervalar necessita resolver a equao linear intervalar (II.16) a cada iterao h.II.13.2. Aplicaes prticasII.13.2.1. Aplicao 1

Considere a funo intervalar:

Uma soluo no intervalo buscada. A Jacobiana avaliada neste intervalo dada por:

Um ponto especfico selecionado da seguinte forma:

A funo f(X) calculada no ponto :

O operador N calculado segundo (II.16)

O valor de obtido fazendo a interseco apresentada em (II.17)

A convergncia testada da seguinte maneira:

Como a tolerncia no satisfeita, o processo repetido calculando-se , e um novo intervalo:

Esse processo repetido at que . A Tabela II.1 apresenta os resultados de X para cada iterao. A convergncia ocorre na sexta iterao para o intervalo [1,8231 ; 2,1692].

Tabela II.1 Resultados Newton Aplicao 1IteraoXPonto Mdio de X

0[0,0000 ; 6,0000]3,0000

1[0,0000 ; 2,5715]1,2857

2[1,6742 ; 2,5715]2,1229

3[1,7952 ; 2,1692]1,9822

4[1,8223 ; 2,1692]1,9958

5[1,8231 ; 2,1692]1,9961

6[1,8231 ; 2,1692]1,9962

II.13.2.2. Aplicao 2Considere a mesma funo intervalar da seo anterior:

Uma soluo ser buscada no novo intervalo . A Jacobiana avaliada neste intervalo dada por:







Esse processo repetido at que . A Tabela II.2 apresenta os resultados de X para cada iterao. A convergncia ocorre na quarta iterao para o intervalo [1,8228 ; 2,1772].


0[1,5000 ; 2,5000]2,0000

1[1,7999 ; 2,2001]2,0000

2[1,8214 ; 2,1786]2,0000

3[1,8227 ; 2,1773]2,0000

4[1,8228 ; 2,1772]2,0000

Como o dimetro do intervalo inicial de X na aplicao 2 menor que o da aplicao 1, a aplicao 2 necessita de um nmero menor de iteraes para a convergncia.II.13.2.3. Aplicao 3

Considere a funo intervalar:

Uma soluo ser buscada no intervalo . A Jacobiana avaliada neste intervalo dada por:






Como a tolerncia satisfeita, o processo encerrado na primeira iterao, porm com o resultado errado, j que no houve diminuio do intervalo inicial de X. Repetindo o processo com um intervalo inicial de X maior, , a Jacobiana avaliada neste intervalo dada por:







Esse processo repetido at que . A Tabela II.3 apresenta os resultados de X para cada iterao. A convergncia ocorre na quarta iterao para o intervalo [1,36 ; 2,64].


0[1,0000 ; 3,0000]2,0000

1[1,2499 ; 2,7501]2,0000

2[1,3333 ; 2,6667]2,0000

3[1,3571 ; 2,6429]2,0000

4[1,3636 ; 2,6364]2,0000

5[1,3653 ; 2,6347]2,0000

6[1,3658 ; 2,6342]2,0000

7[1,3659 ; 2,6341]2,0000

8[1,3660 ; 2,6340]2,0000

Contudo, o valor convergido de X apresenta erro em relao ao resultado correto de [1,4495; 2,4641], que pode ser encontrado da seguinte forma:

Os valores negativos so descartados por no estarem dentro do intervalo .

Esta aplicao demonstra que o tamanho do intervalo assumido no problema pode interferir na exatido do processo iterativo.II.14. Mtodo de KrawczykII.14.1. Modelagem matemtica Na matemtica intervalar, um dos mtodos mais utilizados para a resoluo de sistemas no-lineares o mtodo de Krawczyk, criado a partir do mtodo de Newton. Neste mtodo, o sistema no-linear resolvido somente por produto de matrizes [25, 35]. Adicionando o termo (x y) nos dois lados da equao (II.13)[Id J(X)](x y) = f(x) + x y (II.18)A equao (II.14) pode ser reescrita da seguinte forma:

y = x f(x) + (Id J(X))(y x) (II.19)Como [x ; y] X, y pode ser substitudo pelo intervalo X. Assim:

K(x, X) = x f(x) + (Id J(X))(X x) (II.20)

K(x, X), denominado operador Krawczyk, propicia o intervalo de soluo da equao (II.19). Introduzindo uma matriz de pr-condicionamento mais a iterao h em (II.20) obtm-se:

K(xh, Xh) = xh Cf(xh) + (Id CJ(Xh))(Xh xh) (II.21)

C = (med(J(Xh)))-1 (II.22)

Xh+1 = Xh K(xh, Xh) (II.23)

C a matriz de pr-condicionamento igual inversa do ponto mdio de J(Xh). A principal vantagem do mtodo de Krawczyk sobre o mtodo de Newton que no operador Krawczyk no necessrio o clculo da inversa da Jacobina intervalar, como necessrio no mtodo de Newton intervalar. Por esse motivo o mtodo de Krawczyk mais eficiente computacionalmente que o mtodo de Newton.II.14.2. Aplicaes prticas

II.14.2.1 Aplicao 1 Considere a funo intervalar:

Da mesma forma que no mtodo de Newton:

O operador K calculado segundo (II.21) onde:

Portanto, de (II.23):

A convergncia testada de forma anloga aquela utilizada no mtodo de Newton. Como , o processo repetido calculando-se ,e um novo intervalo:

Esse processo repetido at que . A Tabela II.4 apresenta os resultados de X para cada iterao. A convergncia ocorre na dcima iterao para o intervalo [1,8228 ; 2,1772].

Tabela II.4 Resultados Krawczyk Aplicao 1IteraoXPonto Mdio de X

0[0,0000 ; 6,0000]3,0000

1[0,0000 ; 4,5000]2,2500

2[0,2980 ; 3,7212]2,0096

3[0,8605 ; 3,1395]2,0000

4[1,4005 ; 2,5995]2,0000

5[1,7135 ; 2,2865]2,0000

6[1,8059 ; 2,1941]2,0000

7[1,8207 ; 2,1793]2,0000

8[18226 ; 2,1774]2,0000

9[1,8228 ; 2,1772]2,0000

10[1,8228 ; 2,1772]2,0000

II.14.2.2 Aplicao 2 Considere a mesma funo intervalar da seo anterior e o novo intervalo inicial de X:




A convergncia testada de forma anloga aquela utilizada no mtodo de Newton. Como , o processo repetido calculando-se ,e um novo intervalo:

Esse processo repetido at que . A Tabela II.5 apresenta os resultados de X para cada iterao. A convergncia ocorre na quinta iterao para o intervalo [1,8228 ; 2,1772].

Tabela II.5 Resultados Krawczyk Aplicao 2IteraoXPonto Mdio de X

0[1,5000 ; 2,5000]2,0000

1[1,7499 ; 2,2501]2,0000

2[1,8124 ; 2,1876]2,0000

3[1,8216 ; 2,1784]2,0000

4[1,8228 ; 2,1772]2,0000

5[1,8228 ; 2,1772]2,0000

Como o dimetro do intervalo inicial de X na aplicao 2 menor que o da aplicao 1, a aplicao 2 necessita de um nmero menor de iteraes para a convergncia.

II.14.2.3 Aplicao 3 Considere a funo intervalar:




A convergncia testada de forma anloga aquela utilizada no mtodo de Newton. Como , o processo encerrado na primeira iterao, porm com o resultado errado, j que no houve diminuio do intervalo inicial de X. Repetindo o processo com um intervalo inicial de X maior, :



A convergncia testada de forma anloga aquela utilizada no mtodo de Newton. Como

Esse processo repetido at que . A Tabela II.6 apresenta os resultados de X para cada iterao. A convergncia ocorre na dcima primeira iterao para o intervalo [1,3659 ; 2,6341].

Tabela II.6 Resultados KrawczykIteraoXPonto Mdio de X

0[1,0000 ; 3,0000]2,0000

1[1,1666 ; 2,8334]2,0000

2[1,2685 ; 2,7315]2,0000

3[1,3216 ; 2,6784]2,0000

4[1,3466 ; 2,6534]2,0000

5[1,3576 ; 2,6424]2,0000

6[1,3624 ; 2,6376]2,0000

7[1,3645 ; 2,6355]2,0000

8[1,3653 ; 2,6347]2,0000

9[1,3657 ; 2,6343]2,0000

10[1,3659 ; 2,6341]2,0000

11[1,3659 ; 2,6341]2,0000

Contudo, o valor convergido de X apresenta erro em relao ao resultado correto de [1,4495; 2,4641], conforme apresentado no item II.13.2.3.Esta aplicao demonstra que o tamanho do intervalo assumido no problema pode interferir na exatido do processo iterativo.Captulo III

Estabilidade de TensoIII.1. IntroduoA possibilidade de ocorrncia de problemas ligados estabilidade de tenso vem se tornando um assunto de grande preocupao nas empresas de energia eltrica do mundo inteiro. Os fenmenos de estabilidade de tenso esto intrinsecamente ligados ao fluxo de potncia reativa sobre a rede, ao comportamento das cargas face a variaes de tenso, ao de dispositivos automticos de controle de tenso e limitao de sobre-excitao de geradores.A estabilidade de tenso est associada capacidade do sistema de energia eltrica em manter um perfil de tenses adequado, tanto em condies normais de operao quanto no caso de ocorrncia de perturbaes severas. Caso essa condio no seja satisfeita, ocorrer o fenmeno da instabilidade de tenso, caracterizado por uma reduo progressiva e incontrolvel da magnitude da tenso em uma ou mais barras do sistema, podendo, caso no sejam tomadas medidas corretivas, estender-se a regies vizinhas, resultando em um colapso parcial ou total do sistema.A instabilidade de tenso est fortemente associada deficincia no suporte de reativos e limitaes na capacidade de transmisso do sistema. Essa deficincia se manifesta, por exemplo, em uma situao na qual os principais troncos de transmisso encontram-se operando prximos aos seus limites de mxima transferncia e as reservas de gerao de potncia reativa nos centros de carga esto praticamente esgotadas.

Existem algumas definies associadas estabilidade de tenso. Em [40] define-se que um sistema de energia eltrica em uma dada condio de operao estvel, se o mdulo da tenso em qualquer barra aumenta quando a injeo de potncia reativa na mesma barra aumentada. Por outro lado, um sistema de energia eltrica em uma dada condio de operao instvel, se pelo menos uma barra tem seu mdulo de tenso reduzido quando a injeo de potncia reativa nesta barra aumentada. Em [41] define-se que um ponto de operao de um sistema de energia eltrica estvel, se aps a qualquer pequeno distrbio, o sistema retorna ou fica prximo do mesmo ponto de operao pr-distrbio.Os mtodos de avaliao da estabilidade de tenso podem ser divididos em duas categorias: estticos e dinmicos. Os mtodos estticos baseiam-se na anlise de equaes algbricas obtidas a partir do modelo de fluxo de potncia em sua verso convencional ou modificada. Os mtodos dinmicos, em geral, baseiam-se em solues no tempo de sistemas de equaes diferenciais e algbricas representando o desempenho dinmico dos componentes do sistema. Embora o fenmeno de instabilidade de tenso seja essencialmente dinmico, os mtodos estticos so importantes pela sua eficincia computacional e pelas informaes que produzem com relao a sensibilidade, graus de instabilidade e margens de estabilidade. Os mtodos de simulao dinmica, por sua vez, reproduzem de forma mais precisa o comportamento do sistema e so a nica forma de se determinar a cronologia dos eventos que eventualmente, conduzem a uma situao de instabilidade.A anlise esttica da estabilidade de tenso a mais utilizada principalmente pela simplicidade e rapidez nas simulaes, na qual as margens de potncia ativa e reativa so calculadas atravs de sucessivos processamentos de fluxos de potncia traando o perfil de tenso das barras em funo de seu carregamento (curvas PV e QV), ou ento obtendo-se diretamente o ponto de mximo carregamento. Estas curvas tm sido recomendadas pelas empresas do setor eltrico nacional [42] e internacional [43] para a avaliao das margens de estabilidade de tenso. Entre outras aplicaes, estes perfis podem ser utilizados para ajustar margens, observar o comportamento das tenses nas barras e comparar estratgias de planejamento.Um dos principais objetivos do estudo da estabilidade de tenso em regime permanente o clculo do ponto de mximo carregamento (PMC). A obteno deste ponto importante tanto para o clculo de margens de estabilidade, quanto para a realizao da anlise modal. O ponto de mximo carregamento define a fronteira entre as regies de operao estvel e instvel, estando associado singularidade da matriz Jacobiana. Para carregamento maiores que o correspondente a este ponto, as equaes do fluxo de potncia no possuem soluo, ou seja, a gerao e a rede no so fisicamente capazes de suprir a carga especificada. Portanto, as equaes do fluxo de potncia so essenciais para a anlise esttica da estabilidade de tenso, uma vez que representam o limite para a regio de operao estvel.A margem de estabilidade de tenso, ou margem de carregamento, a distncia existente entre o ponto de operao e o ponto correspondente ao mximo carregamento da rede. Esta distncia dada por parmetros como a potncia ativa, reativa ou aparente. Considerando como parmetro a potncia ativa do sistema, pode-se afirmar que a margem de carregamento representa o maior aumento de consumo possvel que mantm o sistema operando na regio estvel. O critrio da estabilidade de tenso define a margem considerada suficientemente segura para que o sistema no entre em colapso, selecionada de forma a fornecer segurana adequada sem restringir a operao do sistema.

III.2. Curvas PVO perfil de tenso mostrado na Figura 3.1 relaciona o mdulo da tenso numa determinada barra com o aumento do carregamento nas barras do sistema de energia eltrica. As curvas PV so traadas calculando-se as solues do fluxo de potncia para sucessivos aumentos na carga e na gerao, tendo como parmetros de continuao o fator de carregamento (), o mdulo e a fase da tenso na barra, at que o ponto de mximo carregamento seja obtido. Para isto, tradicionalmente assume-se o aumento na carga de uma determinada rea mantendo-se o fator de potncia constante e proporcional ao caso base, considerando-se o modelo de carga do tipo potncia constante.Contudo, no possvel obter as curvas PV de forma completa utilizando um programa de fluxo de potncia convencional, uma vez que a matriz Jacobiana torna-se singular no ponto de mximo carregamento. Consequentemente, no possvel obter a soluo do fluxo de potncia neste ponto. O nico ponto de operao com soluo nica o ponto de mximo carregamento, correspondente ao carregamento mximo que o sistema suporta sem perder a estabilidade de tenso. A parte inferior da curva, que compreende as solues abaixo do ponto de mximo carregamento, no tem sentido prtico, uma vez que correspondem a pontos de operao instveis. A margem de carregamento a distncia entre o ponto de operao referente ao caso base ( = 0) e o ponto de mximo carregamento ( = max).

Figura 3.1 Curva PV em uma barra genrica

O fluxo de potncia uma ferramenta bsica de anlise tanto no planejamento quanto na operao, alm de ser tambm bastante usado nos estudos de estabilidade de tenso. De modo a contornar o problema da singularidade da matriz Jacobiana no ponto de mximo carregamento e consequentemente obter a soluo do fluxo de potncia neste ponto, utiliza-se o fluxo de potncia continuado. Esta metodologia uma das ferramentas mais eficazes no estudo da estabilidade de tenso, consistindo em um mtodo indireto de obteno do ponto de mximo carregamento.

III.3. Curvas QVTal como nas curvas PV, as curvas QV so obtidas realizando sucessivos estudos de clculo de fluxo de potncia. As curvas QV mostram a relao entre o valor da tenso num dado barramento e a potncia reativa injetada nesse barramento.O ponto onde a derivada dQ/dV nula, o ponto onde se encontra o limite de estabilidade de tenso. Os pontos de funcionamento representados no lado direito da curva QV, representada na Figura 3.2, so pontos estveis, enquanto os pontos representados no lado esquerdo representam situaes de instabilidade de tenso. O valor mnimo de potncia reativa que necessrio para garantir que o sistema se mantenha estvel o ponto que corresponde derivada nula da curva.

As curvas QV podem ser determinadas ligando um gerador fictcio com potncia ativa zero e registrando a produo de potncia reativa, tendo em conta a variao da tenso aos seus terminais. Este gerador designado por compensador sncrono devido ao fato de no produzir potncia ativa. As curvas QV podem ajudar a definir a quantidade de compensao necessria para repor um ponto de operao ou para obter a tenso pretendida.Figura 3.2 Curva QV em uma barra genrica

III.4. Fluxo de Potncia ContinuadoO fluxo de potncia continuado tem sido um tema continuamente estudado e apresentado na literatura. Em [44] apresentado um modelo matemtico de fluxo de potncia continuado, utilizando o aumento de carga, o mdulo da tenso e o ngulo de fase numa barra como parmetros de continuao. As perdas totais de potncia ativa e reativa, bem como as potncias ativa e reativa geradas pela barra de referncia so consideradas como parmetros de continuao em [45]. Em [46] apresentada uma ferramenta para avaliao dos efeitos nas variveis de estado do sistema, devido variao na impedncia/admitncia de um ramo, utilizando o fluxo de potncia continuado. Em [47] proposto um fluxo de potncia continuado trifsico em coordenadas polares, de modo a analisar a estabilidade de tenso de sistemas trifsicos balanceados ou no. Em [48] apresentada uma metodologia alternativa para reduzir as perdas ativas totais atravs da utilizao de um mtodo de continuao. Um fluxo de potncia desacoplado rpido parametrizado utilizando ou V como parmetros de continuao foi proposto em [49, 50].III.4.1. Princpios bsicosA Figura 3.3 ilustra um perfil de tenso obtido atravs do mtodo de fluxo de potncia continuado. Normalmente, as solues correspondentes parte superior da curva, so os pontos de operao estveis do sistema, ao passo que as solues correspondentes parte inferior so os pontos de operao instveis. Embora as solues instveis possam no ter significado prtico, um par de solues do fluxo de potncia, para uma determinada condio de carga, pode fornecer importantes informaes sobre a condio de estabilidade do sistema. Diversos ndices usados para avaliar as condies de estabilidade de tenso so baseados nestas solues [51, 52].Figura 3.3 Curva de Perfil de Tenso

O fluxo de potncia continuado consiste de duas etapas bsicas: predio e correo, conforme apresentado na Figura 3.3. A partir da soluo correta A, a etapa de predio fornece, atravs do vetor tangente, a condio inicial B para o processo iterativo de obteno da soluo correta B. A correo realizada utilizando-se o mtodo iterativo de Newton-Raphson.

A aplicao do mtodo da continuao ao problema do fluxo de potncia requer a incluso da varivel , que representa o carregamento adicional do sistema, conforme mostrado em (3.1) e (3.2).

(3.1)

(3.2)

As equaes (2.30) e (2.31) utilizadas no fluxo de potncia continuado, referem-se s formulaes convencional polar e injeo de corrente, respectivamente.

(3.3)

(3.4)

A cada etapa de predio feita a escolha do parmetro da continuao. Normalmente, a escolha feita mediante a anlise da variao de cada estado entre os dois ltimos pontos corrigidos (A e B da Figura 3.3). Tradicionalmente utiliza-se Vk ou como parmetros da continuao, entretanto, conforme j citado, outras grandezas, tais como perdas e fluxos tambm podem ser utilizadas.

A seguir sero apresentadas mais detalhadamente as etapas de predio e correo.III.4.2. Processo de predioIII.4.2.1. Formulao Convencional PolarO vetor tangente [d dV d]t calculado a partir de (3.3). O sistema de equaes

linearizado a ser resolvido na etapa de predio, caso o parmetro da continuao seja o carregamento adicional , dado por:

(3.5)

onde JP a matriz Jacobiana polar.

A linha adicional da equao (2.32) impe a variao do parmetro da continuao, d = . A coluna adicional contm as derivadas das potncias em relao varivel g . Para uma barra genrica l tem-se:

(3.6)

(3.7)

Caso o parmetro da continuao seja a tenso k V, onde k a barra com maior variao da tenso entre os dois ltimos pontos corrigidos, ento o sistema de equaes a ser resolvido dado por:

(3.8)

A linha adicional impe a variao do parmetro da continuao, dVk , para a etapa de correo, enquanto a coluna adicional contm as derivadas das potncias em relao varivel .

Com o vetor tangente calculado atravs de (3.5) ou de (3.8), atualizam-se as variveis de estado. Assim, a partir da soluo correta A, apresentada na Figura 3.3, obtm-se a estimativa B:

(3.8)

III.4.2.2. Formulao de Injeo de CorrenteO vetor tangente [d dV d]t calculado a partir de (3.4). O sistema de equaes linearizado a ser resolvido na etapa de predio, caso o parmetro da continuao seja o carregamento adicional , dado por:

(3.9)

onde JI a matriz Jacobiana injeo de correntes.

A linha adicional do sistema de equaes (3.9) impe a variao do parmetro da continuao, dg = r . A coluna adicional contm as derivadas das correntes em relao varivel g. Para uma barra genrica l tem-se:

(3.10)

(3.11)

Caso o parmetro da continuao seja a tenso Vk , onde k a barra com maior variao da tenso entre os dois ltimos pontos corrigidos, ento o sistema de equaes a ser resolvido dado por:

(3.12)

A linha adicional impe a variao do parmetro da continuao, dVk = - . A coluna adicional contm as derivadas das correntes em relao varivel .

Com o vetor tangente calculado atravs de (3.9) ou de (3.12), aplica-se a transformao de coordenadas e, ento, atualizam-se as variveis de estado atravs de (3.8).III.4.3. Processo de correoIII.4.3.1. Formulao Convencional PolarO sistema de equaes linearizado a ser resolvido na etapa de correo, a cada iterao do Mtodo de Newton Raphson, caso o parmetro da continuao seja o carregamento adicional , dado por:

(3.13)

Conforme pode ser observado, a etapa de correo quando o parmetro da continuao o carregamento adicional , simplesmente a execuo de um fluxo de potncia convencional polar a partir do ponto estimado.Caso o parmetro da continuao seja a tenso k V, ento o sistema de equaes a ser resolvido dado por:

(3.14)

A linha adicional impe variao nula do parmetro da continuao, uma vez que seu valor j foi especificado na etapa de predio. Aps o clculo do vetor de correes, atravs de (3.13) ou (3.14), atualizam-se as variveis de estado em uma dada iterao h+1:

(3.15)

Assim, ao final do processo iterativo, o ponto correto B obtido a partir da estimativa B.III.4.3.2. Formulao de Injeo de CorrenteO sistema de equaes linearizado a ser resolvido na etapa de correo, a cada iterao do Mtodo de Newton Raphson, caso o parmetro da continuao seja o carregamento adicional , dado por:

(3.16)

Neste caso, a etapa de correo simplesmente a execuo de um fluxo de potncia a partir do ponto estimado. Caso o parmetro da continuao seja a tenso Vk, ento o sistema de equaes a ser resolvido dado por:

(3.17)

A linha adicional impe variao nula do parmetro da continuao. Aps o clculo do vetor de correes, atravs de (3.16) ou (3.17), aplica-se a transformao de coordenadas e, ento, atualizam-se as variveis de estado atravs de (3.15). Ao final do processo iterativo, o ponto correto B obtido a partir da estimativa B.

Captulo IVMetodologia Intervalar PropostaIV.1. IntroduoO fluxo de potncia consiste na soluo em regime permanente de uma rede eltrica, para uma dada condio de carga e gerao, com aplicao direta no planejamento da operao e da expanso. Nestas aplicaes avaliado o desempenho da rede em relao a nveis de tenso, fluxos nas linhas, dentre outros, tanto para a configurao normal, quanto para casos de contingncias. O clculo do fluxo de potncia tambm necessrio como elemento auxiliar em estudos de curto-circuito, estabilidade, otimizao e confiabilidade, entre outros.

A estabilidade de tenso um tpico que tem sido, nos ltimos anos, cada vez mais abordado tanto no planejamento, como na operao de sistemas de energia eltrica. Em termos gerais, pode ser definida como sendo a habilidade do sistema em permanecer em um ponto de equilbrio durante o seu funcionamento normal, e tambm de alcanar um novo ponto de equilbrio estvel, aps ser submetido a um grande distrbio.As metodologias para avaliao do fenmeno da estabilidade de tenso so classificadas em estticas, quase-dinmicas e dinmicas [53, 54]. A metodologia esttica a mais utilizada principalmente pela simplicidade e rapidez nas simulaes, na qual as margens de potncia ativa e reativa so calculadas atravs de sucessivos processamentos de fluxos de potncia, ou ento obtendo-se diretamente o ponto de mximo carregamento. Na metodologia quase-dinmica utiliza-se a anlise modal, de modo a avaliar a estabilidade de tenso para pequenas variaes no ponto de operao. Atravs das matrizes de sensibilidade reduzidas PV ou QV obtm-se a relao entre a variao incremental das demandas de potncia ativa e/ou reativa e a variao incremental do mdulo das tenses nas barras. A metodologia dinmica no tem sido utilizada devido ao elevado tempo computacional.

Este trabalho prope uma nova metodologia para o clculo intervalar, sob incertezas nos dados de carga e nos parmetros de linha, de todos os pontos de operao de um sistema, incluindo o ponto de mximo carregamento, e das principais variveis correspondentes a estes pontos, como mdulo de tenso, ngulos de fase, geraes de potncia ativa e reativa, e fluxos e perdas de potncia ativa e reativa nas linhas.O problema do fluxo de potncia modelado atravs das equaes de potncia escritas em coordenadas polares das tenses, ou das equaes de injeo de corrente escritas em coordenadas retangulares das tenses.

Este captulo esta dividido em quatro partes. Na primeira e segunda partes so apresentados, respectivamente, os fluxos de potncia convencionais e fluxo de potncia intervalar. Na terceira parte apresentada a simulao de Monte Carlo. Na quarta parte so analisados os resultados dos fluxos de potncia intervalar e da simulao de Monte Carlo, para um sistema eltrico de 3 barras.IV.2. Fluxo de Potncia Intervalar Injeo de CorrentesO fluxo de potncia intervalar utilizando as equaes de injeo de corrente em coordenadas retangulares, denotado por FPI-IC, pode ser descrito nos seguintes passos:

Passo 1: Executar o programa PSAT (Power System Analysis Toolbox) [55] para calcular todas as variveis determinsticas associadas a um ponto de operao. Caso a anlise seja realizada no ponto de mximo carregamento, ento o PMC determinstico tambm calculado pelo programa PSAT. As configuraes adotadas para executar o fluxo de potncia continuado no programa PSAT so: corrector step tolerance = 10-5 (tolerncia na etapa de correo do fluxo de potncia continuado), flow tolerance = 10-4 (tolerncia do fluxo de potncia); step size control = 0,005 (passo da etapa de predio do fluxo de potncia continuado) e maximum number of points = 5000 (nmero mximo de pontos calculados pelo fluxo de potncia continuado). Alm disso, a representao de dispositivos de controle tambm ativada.Passo 2: As variaes das cargas ativa e reativa e dos parmetros de linha, a partir do caso base, numa barra genrica k so dadas por

(IV.1)

(IV.2)

(IV.3)

(IV.4)

(IV.5)

onde e so fatores que denotam variaes de carga ativa e reativa. Alm disso,,, e so fatores que denotam variaes de linhas sobre a resistncia, reatncia srie e susceptncia shunt, respectivamente.Passo 3: Uma nova varivel utilizada para simular variaes de carga e gerao. Caso a anlise seja realizada no ponto normal de operao, ento = 0. Portanto, os componentes dos resduos de corrente devem ser calculados considerando esta varivel extra. Assim, das Eq. (A.6) e (A.7) apresentadas no Apndice A

(IV.6)

(IV.7)

onde Vk o mdulo da tenso no ponto sob anlise; o resduo de corrente intervalar no mesmo ponto. O subscrito k denota a barra. Os resduos de corrente so calculados apenas uma vez.

Passo 4: As tenses intervalares so inicializadas usando o perfil de tenso determinstica, no ponto sob anlise como ponto mdio. A fim de melhorar as condies iniciais intervalares, o raio dado por

(IV.8)

Portanto

(IV.9)

(IV.10)

A matriz Jacobiana determinstica, , na Eq. (IV.8) possui a estrutura matemtica dada pela Eq. (A.16) no Apndice A. Esta matriz singular no PMC. Assim, caso a anlise se restrinja a este ponto, a estratgia adotada calcular em um ponto prximo do PMC. Por exemplo, se o programa PSAT requer n pontos para calcular o PMC, utilizamos todas as variveis do fluxo de potncia correspondente ao ponto (n-2).Passo 5: Aplicar o operador Krawczyk de acordo com a Eq. (II.21). A matriz Jacobiana intervalar calculada usando as tenses intervalares e a matriz de admitncia intervalar. A matriz C igual a matriz inversa do ponto mdio da matriz Jacobiana intervalar. Alm disso e . O vetor X corresponde a soluo intervalar do fluxo de potncia. O sobrescrito t denota vetor transposto.

Passo 6: O intervalo das tenses intervalares atualizado da seguinte forma

(IV.11)

(IV.12)

Passo 7: Verificar a convergncia atravs da tolerncia. O valor de adotada neste trabalho 10-4. Se a convergncia no for alcanada, o algoritmo retorna ao passo 5. Caso contrrio, prossegue para o Passo 8.Passo 8: Calcular a gerao de potncia reativa nas barras PV. Outras variveis intervalares de sada, tais como, gerao de potncia ativa na barra de referncia, fluxos e perdas de potncia nas linhas so calculadas de forma semelhante. Se g denota qualquer varivel de sada correspondente ao ramo k m, ento

(IV.13)

Portanto

(IV.14)

onde X, Y, Z e W so linhas da matriz inversa de Jd.

Finalmente

(IV.15)

Passo 9: Se a gerao reativa intervalar , em uma barra k PV, viola qualquer limite, ou , ento o tipo da barra redefinido de PV para PQ, com a potncia reativa intervalar especificada no limite violado, isto , ou , ou .Passo 10: Se o mdulo da tenso intervalar , em uma barra k PQ, viola qualquer limite, ou, ento o tipo da barra redefinido de PQ para PV, com o mdulo da tenso intervalar especificado no limite violado, isto , ou, ou.Passo 11: Se nenhum tipo de violao ocorrer nos Passos 9 e 10, ento procedesse ao Passo 12. Caso contrrio, retorna ao Passo 5.

Passo 12: Calcular a potncia ativa intervalar na barra de referncia e os fluxos e as perdas de potncia intervalar nas linhas, usando (IV.14) e (IV.15).

Passo 13: Calcular o PMC intervalar, caso a anlise se restrinja a este ponto. De (IV.6) e (IV.7) considerando que os resduos intervalares da corrente so nulos, ento

(IV.16)

(IV.17)

Considerando apenas as barras PQ

(IV.18)

(IV.19)

De (IV.18) e (IV.19)

(IV.20)

(IV.21)

Portanto, h duas forma possveis de calcular i. Os valores determinsticos gerados por (IV.20) e (IV.21) so idnticos. No entanto, esta afirmao no verdadeira em termos de operaes intervalares. Testes prticos demonstraram que a operao de subtrao deve ser evitada no denominador. Assim, dependendo dos sinais de , , e , a equao mais adequada para ser usada a que consiste da operao de adio no denominador.

IV.3. Fluxo de Potncia Intervalar Polar

O fluxo de potncia intervalar polar, denotado por FPI-P, pode ser descrito por treze passos, desses, os passos 1, 2, 7, 9, 10 e 11 so semelhantes ao do algoritmo FPI-ICPasso 3: Os resduos de potncia so calculados da seguinte forma

(IV.22)

(IV.23)

onde e so a potncia ativa e reativa no ponto sob anlise; o resduo de potncia intervalar no ponto sob anlise; a gerao complexa no caso base; a carga complexa no caso base. Os resduos de potncia so calculados apenas uma vez.

Passo 4: As tenses intervalares so inicializadas usando o perfil de tenso determinstica no ponto sob anlise como ponto mdio. A fim de melhorar as condies iniciais intervalares, o raio dado por

(IV.24)

Portanto

(IV.25)

(IV.26)

A matriz Jacobiana determinstica, , na Eq. (IV.26) possui a estrutura matemtica dada pela Eq. (A.3) no Apndice A. Os mesmos comentrios feitos anteriormente so vlidos neste algoritmo.Passo 5: Aplicar o operador Krawczyk de acordo com a Eq. (II.21). A matriz Jacobiana intervalar calculada usando as tenses intervalares e a matriz de admitncia intervalar. A matriz C igual a matriz inversa do ponto mdio da matriz Jacobiana intervalar. Alm disso e . O vetor X corresponde a soluo intervalar do fluxo de potncia. Passo 6: O intervalo das tenses intervalares atualizado da seguinte forma

(IV.27)

(IV.28)

Passo 8: Calcular a gerao de potncia reativa nas barras PV. Outras variveis intervalares de sada, tais como, gerao de potncia ativa na barra de referncia, fluxos e perdas de potncia nas linhas so calculadas de forma semelhante. Se g denota qualquer varivel de sada correspondente ao ramo k m, ento

(IV.29)

Portanto

(IV.30)

onde X, Y, Z e W so linhas da matriz inversa de .

Finalmente

(IV.31)

Passo 12: Calcular a potncia ativa intervalar na barra de referncia e os fluxos e as perdas de potncia intervalar nas linhas, usando (IV.30) e (IV.31).Passo 13: Calcular o PMC intervalar, caso a anlise se restrinja a este ponto. De (IV.22)

(IV.32)

O clculo de i envolve operaes intervalares. A preciso dos intervalos gerados por (IV.33) ser melhor se o nmero de operaes intervalares for reduzido. fcil notar que algumas subtraes do intervalo podem ser evitadas simplesmente pela avaliao de i apenas para as barras PQ, j que para essas barras a gerao de potncia ativa e reativa nula. Para uma barra PQ genrica k

(IV.33)

De (IV.33)

(IV.34)

IV.4. Aplicao Prtica

A seguir, resolveremos o fluxo de potncia intervalar para um mesmo sistema teste, utilizando os dois mtodos apresentados. A metodologia pode ser aplicada em qualquer ponto de operao. Como ilustrao, a metodologia ser apresentada no PMC. A Figura IV.1 apresenta o diagrama unifilar do sistema.Figura IV.1 Diagrama unifilar do sistema teste

IV.4.1. Resultados DeterminsticosPasso 1: As Tabelas IV.1 a IV.4 apresentam dados e resultados do fluxo de potncia determinstico, de um sistema de trs barras hipottico no PMC, com controles e limites calculados pelo PSAT.Tabela IV.1 Sistema 3 barras Dados de barrasBarraTipoV (PU) ()P (pu)Q (pu)Qgmax(pu)Vmin(pu)

1V 1,000000,00000----

2PQ---0,18000-0,04000-0,80000

3PV0,98000--0,15000-0,10000-

Tabela IV.2 Sistema 3 barras Dados de linhas

DeParaRkm (PU)Xkm (PU)BTOTAL (PU)

120,100001,000000,02000

130,200002,000000,04000

230,100001,000000,02000

Tabela IV.3 Sistema 3 barras Resultados de barrasBarraTipoV (pu) ()Pg (pu)Qg (pu)Pd (pu)Qd (pu)

1V1,000000,000000,703910,358830,00000,00000

2PQ0,80000-30,904410,000000,000000,359700,07993

3PV0,87303-35,643130,000000,100000,299750,00000

Tabela IV.4 Sistema 3 barras Resultados de linhas

DeParaP (pu)Q (pu)P perdas (pu)Q perdas (pu)

120,437670,260200,026460,24817

130,266240,098640,016990,13467

320,05151-0,067910,00101-0,00394

De posse do resultado do fluxo de potncia determinstico:

Passo 2: As Tabelas IV.5 e IV.6 apresentam as demandas e os parmetros de linha intervalares calculadas atravs de (IV.1) e (IV.5) , considerando uma variao de 4%.Tabela IV.5 Sistema 3 barras Demandas intervalaresBarraTipoPd (pu)Qd (pu)

2PQ[0,17279 ; 0,18720][0,03839 ; 0,04160]

3PV[0,14399 ; 0,15600][0,00000 ; 0,00000]

Tabela IV.6 Sistema 3 barras Parmetros intervalares

LinhaR (pu)X (pu)BSH (pu)

1 2 [0,09600 ; 0,10400][0,96000 ; 1,04000][0,00960 ; 0,01040]

1 3 [0,19200 ; 0,20800][1,92000 ; 2,08000][0,01920 ; 0,02080]

2 3 [0,09600 ; 0,10400][0,96000 ; 1,04000][0,00960 ; 1,04000]

IV.4.2. Resultados do algoritmo FPI-IC Passo 3: Utilizando as Eqs. (IV.6) e (IV.7).

Passo 4: As tenses intervalares so calculadas atravs de (IV.5) a (IV.7). De posse das tenses intervalares:

Passo 5: Aplicao do operador Krawczyk de acordo com a Eq. (II.21). A matriz C calculada num ponto prximo ao PMC. A Tabela IV.6 apresenta o resultado deste ponto fornecido pelo PSAT.Tabela IV.6 Sistema 3 barras Resultados prximos ao PMC

BarraTipoV (pu) ()Pg (pu)Qg (pu)Pd (pu)Qd (pu)

1V1,000000,000000,700370,350420,00000,00000

2PQ0,80356-30,601420,000000,000000,358190,07962

3PV0,87689-35,285110,000000,100000,298510,00000

Passo 6: Atualizao do vetor de tenses utilizando as Eqs. (IV.11) e (IV.12)

Passo 7: Testar a convergncia

Como a tolerncia no satisfeita, retorna-se ao Passo 5. A convergncia ocorre depois de 2 iteraes. Com a tolerncia satisfeita, passa-se ao Passo 8.Passo 8: Clculo da potncia reativa gerada pela barra PV de acordo com as equaes (IV.14) e (IV.15). A Tabela IV.7 apresenta o resultado da potncia reativa gerada.Tabela IV.7 Sistema 3 barras Gerao reativa intervalar da barra PV

BarraTipoMtodoQg (pu)

3PVFPI Injeo[0,0739 ; 0,1235]

Passo 9: O valor superior da gerao reativa intervalar violou o limite superior de 0.1 pu. Assim, o intervalo de ajustado para [0,0739 ; 0,1000], o tipo da barra 3 modificado para PQ e a tenso intervalar inicial calculada segundo as Eqs. (IV.8) a (IV.10).Passo 10: A Tabela IV.8 apresenta o resultado do mdulo da tenso intervalar da barra PQ.

Tabela IV.8 Sistema 3 barras Mdulo da tenso intervalar da barra PQ

BarraTipoMtodoV (pu)

2PQFPI Injeo[0,7663 ; 0,8347]

O valor inferior do mdulo intervalar violou o limite inferior de 0.8 pu. Assim, o intervalo de ajustado para [0,80000 ; 0,8347], e o tipo da barra 2 modificado para PV.

Passo 11: Como h violaes, retorna-se ao Passo 5. O algoritmo converge com mais duas iteraes. Como existe apenas uma barra PV e uma barra PQ, os Passos 8, 9 e 10 no so executados porque os limites nessas barras j foram ajustados na primeira execuo desses passos e o algoritmo segue para o Passo 12.Passo 12: Clculo da potncia ativa intervalar na barra de referncia e dos fluxos e perdas de potncia intervalar nas linhas, usando as equaes (IV.14) e (IV.15).Passo 13: Clculo do PMC usando (IV.20) ou (IV.21)

O resultado apresentado pela Eq. (IV.20) possui um negativo por isso vai ser descartado. O resultado apresentado pela Eq. (IV.218) considerado o correto.

IV.4.3. Resultados do algoritmo FPI-P Passo 3: Utilizando as Eqs. (IV.24) e (IV.25)

Passo 4: As tenses intervalares so calculadas atravs de (IV.26) a (IV.28). Neste trabalho, optou-se em manter os ngulos de fase nas barras de gerao constantes, de modo a garantir o mdulo da tenso nestas barras. De posse das tenses intervalares:

Passo 5: Aplicao do operador Krawczyk de acordo com a equao (II.21). A matriz C calculada num ponto prximo ao PMC. A Tabela IV.6 apresenta o resultado deste ponto fornecido pelo PSAT.

Passo 6: Atualizao do vetor de tenses utilizando as equaes (IV.29) e (IV.30)

Passo 7: Testar a convergncia

Como a tolerncia no satisfeita, retorna-se ao Passo 5. A convergncia ocorre depois de 4 iteraes. Como a tolerncia satisfeita, passa-se ao Passo 8.Passo 8: Clculo da potncia reativa gerada pela barra PV de acordo com as equaes (IV.32) e (IV.33). A Tabela IV.9 apresenta o resultado da potncia reativa gerada.Tabela IV.9 Sistema 3 barras Gerao reativa intervalar da barra PV

BarraTipoMtodoQg (pu)

3PVFPI Polar[0,0742 ; 0,1229]

Passo 9: O valor superior da gerao reativa intervalar violou o limite superior de 0.1 pu. Assim, o intervalo de ajustado para [0,0742 ; 0,10000], o tipo da barra 3 modificado para PQ e a tenso intervalar inicial calculada seguindo as Eqs. (IV.24) a (IV.26).Passo 10: A Tabela IV.10 apresenta o resultado do mdulo da tenso intervalar da barra PQ.

Tabela IV.10 Sistema 3 barras Mdulo da tenso intervalar da barra PQ

BarraTipoMtodoV (pu)

2PQFPI Polar[0,7843 ; 0,8140]

O valor inferior do mdulo intervalar violou o limite inferior de 0.8 pu. Assim, o intervalo de ajustado para [0.8000 ; 0.8140] e o tipo da barra 2 modificado para PV.

Passo 11: Como h violaes, retorna-se ao Passo 5. O algoritmo converge com mais uma iterao. Como existe apenas uma barra PV e uma barra PQ, os Passos 8, 9 e 10 no so executados porque os limites nessas barras j foram ajustados na primeira execuo desses passos e o algoritmo segue para o passo 12.Passo 12: Clculo da potncia ativa intervalar na barra de referncia e dos fluxos e perdas de potncia intervalar nas linhas, usando as equaes (IV.32) e (IV.33).

Passo 13: Clculo do PMC usando (IV.36)

IV.5. Inicializao alternativa

Baseado no fluxo de potncia continuado foi desenvolvido uma inicializao alternativa para o fluxo de potncia intervalar. A seguir ser apresentada esta inicializao para o FPI-IC e o FPI-P.

IV.5.1. FPI-ICO Passo 4 do FPI-IC modificado da seguinte maneira:


(IV.35)

A Equao (IV.35) baseada na etapa de predio do fluxo de potncia continuado injeo de correntes. Desde que o ponto de mximo carregamento determinstico d, calculado pelo PSAT, a nica componente no nula do vetor em (IV.35) dada por:

(IV.36)

Pode ser observado que o ponto de mximo carregamento intervalar i agora calculado durante o processo de inicializao.IV.5.2. FPI-PO Passo 4 do FPI-P modificado da seguinte maneira:


(IV.37)

A Equao (IV.37) baseada na etapa de predio do fluxo de potncia continuado polar.IV.6. Simulao de Monte Carlo

A simulao de Monte Carlo (MC) consiste na utilizao de procedimentos estocsticos para simular uma grande quantidade de cenrios possveis para a varivel em estudo.A simulao de Monte Carlo pode ser entendida como uma tcnica de simulao para problemas que tem base probabilstica ou estocstica. O mtodo resolvido por um processo que procura simular o problema utilizando nmeros aleatrios.

Para possibilitar a simulao de enorme diversidade de cenrios, a simulao de Monte Carlo faz uso de um gerador de nmeros aleatrios, o qual sortear aleatoriamente valores pertencentes distribuio uniforme sobre o intervalo [0 ; 1]. Em seguida, realiza-se a transformao da varivel aleatria uniformemente distribuda para a distribuio desejada.

Para que se tenha certeza de que uma sequncia de nmeros constitui uma amostra de nmeros aleatrios, um aspecto bsico a ser observado que cada nmero sucessivo na sequncia tenha que ter uma probabilidade igual a de assumir qualquer um dos valores possveis, e que tenha que ser estatisticamente independente dos outros nmeros na sequncia, isto , os nmeros precisam ser observaes aleatrias de uma distribuio uniforme.

A simulao de Monte Carlo baseia-se na repetio do processo simulado vrias vezes. No h uma regra nica para determinar a estimativa do nmero de experimentos que devem ser realizados. Ao se determinar o nmero de simulaes, deve-se levar em considerao a preciso e o esforo computacional. Sempre haver erro na estimao, porm ao elevar a quantidade de simulaes o erro no resultado final tende a diminuir.A simulao de Monte Carlo foi escolhida para a aferio dos resultados intervalares devido a sua simples implementao em comparao com outras abordagens que lidam com incertezas, como o fluxo de potncia probabilstico e o fluxo de potncia fuzzy.O programa desenvolvido utilizando a simulao de Monte Carlo, denotado por MC, pode ser descrito nos seguintes passos:

Passo 1: Determinar o nmero de simulaes de Monte Carlo a serem realizadas.Passo 2: Determinar as variaes das demandas ativa e reativa e dos parmetros das linhas de transmisso, a partir do caso base.Passo 3: Sortear um nmero (U) entre 0 e 1, utilizando distribuio uniforme, para cada valor de demanda ativa e reativa e dos parmetros das linhas de transmisso.Passo 4: Calcular os novos valores das demandas e dos parmetros utilizando as seguintes expresses:

(IV.38)

(IV.39)

(IV.40)

(IV.41)

(IV.42)

Passo 5: Rodar um fluxo de potncia para o sistema em anlise com os valores calculados no Passo 3.Passo 6: Comparar os resultados obtidos no Passo 5 com os resultados armazenados, caso existam, e armazenar os maiores e os menores resultados de cada varivel.

Passo 7: Se o nmero de simulaes determinado no Passo 1 for atingido, encerrar o processo, caso contrrio, retornar ao Passo 3. IV.7. Anlise dos ResultadosAs Tabelas IV.11 IV.19 apresentam os resultados dos mtodos apresentados. A convergncia do FPI para o sistema de 3 barras foi obtida com 4 iteraes para todos os mtodos. Para o clculo dos desvios (D), associados ao problema, foi adotado o mtodo do erro relativo dado pela seguinte expresso:

(IV.43)

Tabela IV.11 Mdulo das tensesBarraMtodoV (pu)D(%)

1PSATFPI-PFPI-ICMC1,00000[1,00000 ; 1,00000][1,00000 ; 1,00000][1,00000 ; 1,00000]-

[0,00000 ; 0,00000]

[0,00000 ; 0,00000]

-

2PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC0,80000[0,80000 ; 0,83814]

[0,80000 ; 0,83556][0,80000 ; 0,82927]-[0,00000 ; 1,06962][0,00000 ; 0,75850]-

3PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC0,87303[0,83552 ; 0,91536][0,83775 ; 0,90847][0,83781 ; 0,90442]-[0,51083 ; 1,20962][0,00716 ; 0,44780]-

Tabela IV.12 Inicializao Alternativa Mdulo das tenses

BarraMtodoV (pu)D(%)

1PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC1,00000[1,00000 ; 1,00000][1,00000 ; 1,00000][1,00000 ; 1,00000]-

[0,00000 ; 0,00000]

[0,00000 ; 0,00000]

-

2PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC0,80000[0,80000 ; 0,83892]

[0,80000 ; 0,83614][0,80000 ; 0,82927]-

[0,00000 ; 1,16367]

[0,00000 ; 0,82844]-

3PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC0,87303[0,83482 ; 0,91401][0,83704 ; 0,90926][0,83781 ; 0,90442]-

[0,35688 ; 1,06035]

[0,09191 ; 0,53515]-

Tabela IV.13 Fase das tensesBarraMtodo ()D(%)

1PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC0,00000[0,00000 ; 0,00000][0,00000 ; 0,00000][0,00000 ; 0,00000]-

[0,00000 ; 0,00000]

[0,00000 ; 0,00000]

-

2PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC-30,90440[-31,65582 ; -30,05633][-33,14937 ; -28,57205][-31,98473 ; -29,50386]-

[1,02833 ; 1,87253]

[3,64124 ; 3,15826]-

3PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC-35,64310[-38,12795 ; -33,40124][-38,01869 ; -33,10797][-37,40473 ; -33,58436]-

[1,93350 ; 0,54525]

[1,64140 ; 1,41849]-

Tabela IV.14 Inicializao Alternativa Fase das tenses

BarraMtodo ()D(%)

1PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC0,00000[0,00000 ; 0,00000][0,00000 ; 0,00000][0,00000 ; 0,00000]-

[0,00000 ; 0,00000]

[0,00000 ; 0,00000]

-

2PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC-30,90440[-31,40125 ; -30,10482][-32,97685 ; -28,49821][-31,98473 ; -29,50386]-

[1,82425 ; 2,03689]

[3,10186 ; 3,40854]-

3PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC-35,64310[-38,18206 ; -33,46002][-38,07145 ; -33,09978][-37,40473 ; -33,58436]-

[2,07816 ; 0,37023]

[1,78245 ; 1,44287]-

Tabela IV.15 Gerao ativa da barra de referncia

MtodoP (MW)D(%)

PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC70,39100[66,61916 ; 73,73422][66,34270 ; 74,19739][65,99321 ; 74,84732]-

[0,94851 ; 1,48716][0,52958 ; 0,86834]-

Tabela IV.16 Inicializao Alternativa Gerao ativa da barra de referncia

MtodoP (MW)D(%)

PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC70,39100[66,70573 ; 73,63018][66,41858 ; 73,93982][65,99321 ; 74,84732]-

[1,07969 ; 1,62616]

[0,64457 ; 1,21247]-

Tabela IV.17 Gerao reativa da barra de referncia

MtodoQ (MVAr)D(%)

PSAT

FPI-P

FPI-IC

MC35,88300[32,27814 ; 39,07768][32,17094 ; 39,22764][31,40285 ; 40,02746]-

[2,78729 ; 2,37282][2,44592 ; 1,99818]-

Tabela IV.18 Inicializao Alternativa Gerao reativa da barra de referncia

MtodoQ (MVAr)D(%)

PSAT

tese - versão 1

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