CLCULO E ARMAO DE LAJES DE CONCRETO ARMADO COM A CONSIDERAO DO MOMENTO VOLVENTE

ENG. GUILHERME ARIS PARSEKIAN

Dissertao apresentada Escola de Engenharia de So Carlos, da Universidade de So Paulo, como parte dos requisitos para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia de Estruturas.

ORIENTADOR: Prof. Dr. Mrcio Roberto Silva Corra

So Carlos 1996

Para meus pais, Rapiel e Beatriz

AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Dr. Mrcio Roberto Silva Corra, pela dedicao dispensada competente orientao deste trabalho, pelas lies de conhecimento e, principalmente, pela sua amizade. Ao Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de So Carlos, por permitir e dar todas as condies para realizao deste trabalho. Ao Prof. Dr. Wilson Srgio Venturini pelas sugestes. Ao Prof. Dr. Marcio Antonio Ramalho pela contribuio e amizade. D. C. Matos Engenharia de Projetos e Consultoria Ltda e TECSOF Engenharia de Estruturas S/C Ltda por permitirem que projetos de sua propriedade fossem usados como exemplos. Sra. Maria Nadir Minatel pela ajuda com a bibliografia. A todos aqueles que de alguma forma contriburam para a realizao deste trabalho. Ao CNPQ pela bolsa de estudos. Ao Luiz Andr M. C. Bicudo e ao Juarez Felipe Jr. pela ajuda e pela amizade. Ao Srgio e Lilian pelo apoio e Marilu pelo amor e carinho.

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SUMRIO

LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LISTA DE SMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv vi vii x xi xii

1. INTRODUO............................................................................................11.1 Apresentao.................................................................................................. 1 1.2 Finalidades do Trabalho ................................................................................ 4 1.3 Discusso Sucinta dos Captulos................................................................. 5

2. MOMENTOS EQUIVALENTES AO TERNO DE ESFOROS MX, MY E MXY ................................................................................................................72.1 Introduo ....................................................................................................... 7 2.2 Mtodo de Wood............................................................................................. 82.2.1 Momentos Positivos em Todas as Direes........................................................ 11 2.2.2 Momentos Negativos em Todas as Direes ...................................................... 15 2.2.3 Campos de Momentos Positivos e Negativos ..................................................... 16

2.3 Mtodo de Leonhardt & Mnnig.................................................................. 182.3.1 Chapa de Concreto Armado ................................................................................ 19 2.3.2 Lajes com Armaduras Ortogonais........................................................................ 23

2.4 Momentos Equivalentes em Duas Direes Oblquas Entre Si ............... 25

3. RESISTNCIA DO CONCRETO AO MOMENTO VOLVENTE ................313.1 Introduo ..................................................................................................... 31

ii

3.2 Tenses Cisalhantes Devidas Fora Cortante em Vigas....................... 32 3.3 Tenses Cisalhantes Devidas Toro em Vigas .................................... 34 3.4 Interao Entre Fora Cortante e Momento Toror .................................. 36 3.5 Tenses Cisalhantes Devidas Fora Cortante em Lajes ....................... 38 3.6 Tenses Cisalhantes Devidas Toro em Lajes..................................... 40 3.7 Recomendao Para o Clculo do Mximo Momento Volvente .............. 41

4. SOFTWARE BSICO E DE ANLISE.....................................................444.1 Introduo ..................................................................................................... 44 4.2 O Programa CADGM .................................................................................... 45 4.3 O Programa LAJEEF .................................................................................... 47 4.4 O Programa MLAJE...................................................................................... 50

5. EXEMPLOS ..............................................................................................555.1 Introduo ..................................................................................................... 55 5.2 Exemplo 1...................................................................................................... 56 5.3 Exemplo 2...................................................................................................... 60 5.4 Verificao de Momento Mnimo................................................................. 63 5.5 Armadura Oblqua - Exemplo 3 ................................................................... 65 5.6 Armadura Oblqua - Exemplo 4 ................................................................... 67 5.7 Laje retangular apoiada nos quatro lados ................................................. 685.7.1 Lajes 4m x 4m ...................................................................................................... 70 5.7.2 Lajes 4m x 8m ...................................................................................................... 71 5.7.3 Laje 4m x 4m Apoiada em Vigas Deformveis .................................................... 72 5.7.4 Anlise dos Resultados dos Processamentos..................................................... 73

5.8 Anlise de um Pavimento Tipo ................................................................... 745.8.1 Clculo por Charneiras Plsticas ......................................................................... 75 5.8.2 Clculo por Elementos Finitos (sem Mxy) ........................................................... 79 5.8.3 Clculo por Elementos Finitos (considerando Mxy)............................................. 80 5.8.4 Consumos de Ao ................................................................................................ 82 5.8.5 Anlise dos Resultados........................................................................................ 85

iii

6. CONCLUSO...........................................................................................89 7. ANEXOS...................................................................................................927.1 Anexo A - Subrotina Para Clculo dos Momentos Equivalentes............. 92 7.2 Anexo B - Curvas de L3 e L3A .................................................................... 987.2.1 Laje L3.................................................................................................................. 98 7.2.2 Laje L3A ............................................................................................................... 99

7.3 Anexo C - Curvas do Pavimento Tipo (sem Mxy) .................................... 102 7.4 Anexo D - Curvas do Pavimento Tipo (com Mxy).................................... 106

8. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.......................................................112

iv

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 2.1 - Terno de esforos Mx, My e Mxy e armaduras segundo as direes X e Y............7 FIGURA 2.2 - Momentos normais desenvolvidos a partir de Mx, My e Mxy e de M*x e M*y .....8 FIGURA 2.3 - Curvas de f(k).............................................................................................................15 FIGURA 2.4 - Esforos solicitantes na chapa...................................................................................20 FIGURA 2.5 - Fora de compresso do concreto.............................................................................20 FIGURA 2.6 - Esforos resistentes da chapa....................................................................................21 FIGURA 2.7 - Esforos em uma chapa de concreto: direo paralela a ....................................21 FIGURA 2.8 - Esforos em uma chapa de concreto: direo perpendicular a ..........................23 FIGURA 2.9 - Momentos para armaduras paralelas ao eixo x e .............................................26 FIGURA 3.1 - Tenses cisalhantes devidas fora cortante..........................................................32 FIGURA 3.2 - Tenses cisalhantes de toro....................................................................................35 FIGURA 3.3 - Superfcie de interao entre toro, flexo e fora cortante [ HSU (1968) ] .......37 FIGURA 3.4 - Tenses cisalhantes de toro em lajes....................................................................40 FIGURA 3.5 - Combinao de tenses cisalhantes em lajes ...........................................................42 FIGURA 4.1 - Arquivo de sada do programa CADGM.................................................................46 FIGURA 4.2 - Forma do pavimento tipo a ser modelado................................................................47 FIGURA 4.3 - Malha gerada pelo programa GM............................................................................48 FIGURA 4.4 - Tela do programa LAJEEF mostrando as espessuras dos elementos placa .........50 FIGURA 5.1 - Laje do Exemplo 1 .....................................................................................................56 FIGURA 5.2 - Laje do Exemplo 2 ....................................................................................................60 FIGURA 5.3 - Disposio das armaduras do Exemplo 3.................................................................65 FIGURA 5.4 - Recomendaes encontradas sobre a armadura de canto......................................69 FIGURA 5.5 - Laje quadrada apoiada em vigas..............................................................................72 FIGURA 5.6 - Forma do pavimento tipo do Ed. Andaluzia............................................................75 FIGURA 5.7 - Detalhamento das armaduras positivas - mtodo das charneiras plticas ..........78 FIGURA 5.8 - Detalhamento das armaduras negativas - mtodo das charneiras plsticas.........78 FIGURA 5.9 - Detalhamento das armaduras positivas - MEF sem Mxy.......................................79 FIGURA 5.10 - Detalhamento das armaduras negativas - MEF sem Mxy ...................................80 FIGURA 5.11 - Detalhamento das armaduras positivas - MEF com Mxy ....................................81 FIGURA 5.12 - Detalhamento das armaduras negativas - MEF com Mxy ...................................82 FIGURA 5.13 - Comparao dos consumos de ao .........................................................................85 FIGURA 7.1 - Curvas de momentos calculados para L3 ................................................................98 FIGURA 7.2 - Curvas de momentos equivalentes para L3 .............................................................98 FIGURA 7.3 - Curvas de armaduras calculadas para L3 ...............................................................99

v

FIGURA 7.4 - Curvas de momentos calculados para L3A .............................................................99 FIGURA 7.5 - Curvas de momentos equivalentes para L3A considerando Mxyc ......................100 FIGURA 7.6 - Curvas de armaduras calculadas para L3A considerando Mxyc ........................100 FIGURA 7.7 - Curvas de momentos equivalentes para L3A sem considerar Mxyc ...................101 FIGURA 7.8 - Curvas de armaduras calculadas para L3A sem considerar Mxyc .....................101 FIGURA 7.9 - Curvas de Mx [MEF sem Mxy (KNm/m)] ............................................................102 FIGURA 7.10 - Curva de My [MEF sem Mxy (KNm/m)]............................................................102 FIGURA 7.11 - Curvas de deslocamento transversal [MEF sem Mxy (cm)] ..............................103 FIGURA 7.12 - Curvas de Asx positivas [MEF sem Mxy (cm2/m)].............................................103 FIGURA 7.13 - Curvas de Asy positivas [MEF sem Mxy (cm2/m)].............................................104 FIGURA 7.14 - Curvas de Asx negativas [MEF sem Mxy (cm2/m)] ...........................................104 FIGURA 7.15 - Curvas de Asy negativas [MEF sem Mxy (cm2/m)] ...........................................105 FIGURA 7.16 - Curvas de Mx [MEF com Mxy (KNm/m)]..........................................................106 FIGURA 7.17 - Curva de My [MEF com Mxy (KNm/m)] ...........................................................106 FIGURA 7.19 - Curva de Mxy [MEF com Mxy (KNm/m)] .........................................................107 FIGURA 7.20 - Curvas de deslocamento transversal [MEF com Mxy (cm)] ..............................107 FIGURA 7.21 - Curva de M*x positvos [MEF com Mxy (KNm/m)] ..........................................108 FIGURA 7.22 - Curva de M*y positvos [MEF com Mxy (KNm/m)] ..........................................108 FIGURA 7.23 - Curva de M*x negatvos [MEF com Mxy (KNm/m)] .........................................109 FIGURA 7.24 - Curva de M*y negativos [MEF com Mxy (KNm/m)] ........................................109 FIGURA 7.25 - Curvas de Asx positivas [MEF com Mxy (cm2/m)] ...........................................110 FIGURA 7.26 - Curvas de Asy positivas [MEF com Mxy (cm2/m)] ...........................................110 FIGURA 7.27 - Curvas de Asx negativas [MEF com Mxy (cm2/m)] ..........................................111 FIGURA 7.28 - Curvas de Asy negativas [MEF com Mxy (cm2/m)] ..........................................111

vi

LISTA DE TABELASTABELA 2.1 - Valores dos momentos normais e de f(k) ..................................................................14 TABELA 2.2 - Comparao entre momentos normais para M*x = 2,0 .............................................17 TABELA 2.3 - Comparao entre momentos normais para M*x = 1,5 .............................................17 TABELA 5.1 - Posio dos pontos analisados no Exemplo 1 .........................................................56 TABELA 5.2 - Esforos do Exemplo 1................................................................................................56 TABELA 5.3 - Armaduras do Exemplo 1 (cm2/m) ..............................................................................58 TABELA 5.4 - Armaduras do Exemplo 1 recalculadas (cm2/m)........................................................60 TABELA 5.5 - Esforos do Exemplo 2................................................................................................61 TABELA 5.6 - Armaduras do Exemplo 2 (cm2/m) ..............................................................................62 TABELA 5.7 - Momentos Mn1 e Mn2 ..................................................................................................64 TABELA 5.8 - Momentos Mn1 e Mn2 para o Exemplo 3 ...................................................................66 TABELA 5.9 - Momentos Mn1 e Mn2 para o Exemplo 4 ...................................................................67 TABELA 5.10 - Armaduras encontradas para lajes 4mx4m .............................................................71 TABELA 5.11 - Armaduras para lajes 4mx8m....................................................................................71 TABELA 5.12 - Lista de armaduras - mtodo das charneiras plsticas..........................................83 TABELA 5.13 - Lista de armaduras - MEF sem Mxy..........................................................................83 TABELA 5.14 - Lista de armaduras - MEF com Mxy .........................................................................84 TABELA 5.15 - Consumos de ao (kg)..............................................................................................84

vii

LISTA DE SMBOLOSLetras romanas maisculas:

Asx, Asy Fc Fx, Fy I K M*x, M*y Mn1 Mn2 Mn Mn,x, Mn, Ms Mx, My Mxy Mxyc N1, N2 T Tc Tu V Vu

- reas de armaduras dispostas segundo as direes X e Y - fora de compresso no concreto - foras segundo as direes X e Y - momento de inrcia de flexo - valor absoluto da tangente do ngulo crtico - momentos fletores equivalentes normais s direes X e Y - momento normal correspondente a M*x e M*y - momento normal correspondente Mx, My e Mxy - momento normal ao plano - parcelas do momento normal ao plano , nas direes X e - momento esttico - momentos fletores normais s direes X e Y - momento volvente - momento volvente resistido pelo concreto - foras normais segundo as direes principais 1 e 2 - momento toror - momento toror resistido pelo concreto - momento toror ltimo - fora cortante - fora cortante ltima

Letras romanas minsculas:

al b bw

- distncia do deslocamento de diagrama de momentos - base de uma seo - largura das vigas de seo retangular

viii

cx, cy d fc fck fy h k w

- cobrimentos segundo as direes X e Y - altura til de uma seo - resistncia do concreto compresso - resistncia caracterstica do concreto compresso - resistncia do ao - altura de uma seo - tangente de ; parmetro para clculo de wu1 - parmetro adimensional para clculo do mdulo de resistncia a toro Letra grega maiscula:

- coeficiente de segurana do ACI Letras gregas minsculas:

, x, y c t tc td w wd

- ngulo de referncia; parmetro para clculo de wu1 - direo crtica - razo entre o maior e o menor lado de uma laje - direo de um plano qualquer - taxas geomtricas de armadura - tenso cisalhante - tenso cisalhante devida fora cortante resistida pelo concreto - tenso cisalhante devida ao momento toror - tenso cisalhante devida ao momento toror resistida pelo concreto - tenso cisalhante de projeto devida ao momento toror - tenso cisalhante devida fora cortante de referncia - tenso cisalhante de projeto devida fora cortante de referncia

ix

wu1 4

tenso

cisalhante

permitida

em

lajes

sem

armadura

transversal parmetro para clculo de wu1

x

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLASACI - American Concrete Institute

ASCE - American Society of Civil Engineers CEB - Comit Euro-International du Bton

EESC - Escola de Engenharia de So Carlos MEF NB NBR USP - Mtodo dos Elementos Finitos - Norma Brasileira - Norma Brasileira Registrada - Universidade de So Paulo

xi

RESUMOPARSEKIAN, G. A. (1996). Clculo e armao de lajes de concreto armado com a considerao do momento volvente. 116p. Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.Para calcularem-se lajes de concreto armado considerando todos os esforos resistentes, incluindo o momento volvente, necessrio o conhecimento de procedimentos para determinar momentos normais a duas direes escolhidas, segundo as quais sero dispostas as armaduras, que cubram o terno de esforos Mx, My e Mxy. No presente trabalho so estudados e comparados dois mtodos para armaduras ortogonais e um mtodo para o caso de armaduras oblquas entre si. Com a finalidade de se considerar a resistncia do concreto ao momento volvente no detalhamento das armaduras, so estudadas as resistncias do concreto s tenses cisalhantes devidas fora cortante e ao momento toror e as maneiras de se combinarem essas tenses. Outra finalidade do trabalho foi a de desenvolver pr-processadores para facilitar a modelagem de pavimentos por elementos finitos e um ps-processador que permitisse a anlise dos resultados utilizando os conceitos estudados. Utilizando estes softwares fez-se um pequeno estudo de lajes retangulares apoiadas nos quatro lados, procurando avaliar as recomendaes existentes na bibliografia especializada, sobre as armaduras de canto necessrias a esse tipo de laje. Fez-se, tambm uma comparao de detalhamentos das lajes de um pavimento tipo calculadas pelo mtodo das charneiras plsticas, pelo mtodo dos elementos finitos sem a considerao da rigidez toro e pelo mtodo dos elementos finitos considerando a rigidez toro.

Palavras-chave: Concreto armado; Lajes; Momento volvente; Elementos Finitos.

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ABSTRACT

PARSEKIAN, G. A. (1996). Design of reinforced concrete slabs considering torsion. 116p. Dissertao (Mestrado) - Escola de Engenharia de So Carlos, Universidade de So Paulo.

In order to design reinforced concrete slabs considering all the resisting moments, including the torsional moment, it is necessary to know procedures to determine normal moments, in two chosen reinforcement directions, that are equivalent to the field of moments Mx, My and Mxy. In this work, two methods for orthogonal reinforcement are studied and compared and one for skew reinforcement is studied. In an attempt to consider the resistance of concrete to the torsional moment, the shear stress due to shear carried by concrete and the shear stress due to torsion carried by concrete and the ways of combining them are studied. Another aim of this work was to develop pre-processors to facilitate the process of modeling building floors in finite elements and one post-processor that permits the analysis of the results, using the concepts of this work. Using these softwares, a short study of simply supported rectangular slabs was made, in an attempt to evaluate the recommendations, found in the specialized bibliography, about the corner reinforcement necessary in these kinds of slabs. A comparison of the slabs design of one building floor, calculated using the yield line theory, using the finite element method without the torsional strength and using the finite element method with the torsional strength was also made.

Keywords: Reinforced concrete; Slabs; Torsion; Finite Element

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1. INTRODUO

1.1 Apresentao

Existe vrias maneiras de se calcular a armadura necessria para uma laje. A partir de valores de momentos fletores e volvente (Mx, My e Mxy), pode-se pensar em calcular os valores dos momentos principais e dispor as armaduras segundo as direes principais. Este procedimento tem pouco sentido prtico, uma vez que para cada ponto da laje existem duas direes principais perpendiculares diferentes. Um procedimento bastante utilizado o de desconsiderar a rigidez toro na laje, tratando-a como faixas ortogonais fletidas. Desta maneira tem-se como esforos solicitantes apenas por Mx e My, o que implica no aumento dos valores destes momentos e da flecha, porm define as direes x e y como principais. Neste caso o projetista deve estar sempre atento s regies de canto de laje onde h necessidade de uma armadura de combate aos momentos volventes, apesar do mtodo de clculo empregado no as indicar. Uma maneira mais eficiente de calcular lajes de concreto armado considerar todos os esforos resistentes, incluindo o momento volvente. Para tanto se faz necessrio o estudo de algoritmos que permitam determinar momentos normais a duas direes escolhidas, que cubram o terno de esforos Mx, My e Mxy calculados, para que, a partir destes, sejam

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determinadas as armaduras necessrias laje, dispostas segundo estas direes. Alguns projetistas utilizam, para o clculo de lajes, procedimentos que consideram a contribuio do momento volvente, porm detalham as lajes utilizando os valores de Mx e My encontrados e simplesmente desconsideram o valor de Mxy. Este procedimento incorreto pois vo existir na laje direes onde o momento normal dado pelo par de esforos Mx e My insuficiente para cobrir o momento normal resultante do terno de esforos calculado. Na prtica, porm, os efeitos da desconsiderao do momento volvente no detalhamento sentida apenas em regies onde os valores deste momento so relativamente altos. Esta disparidade entre a teoria e a prtica pode ser explicada, entre outros fatores, pelo coeficiente de majorao dos esforos e por existir uma resistncia do concreto ao cisalhamento provocado pelo momento volvente, que, em geral, desprezada na armao. Hoje em dia j rotina a utilizao de microcomputadores no projeto de edifcios, existindo vrios softwares desenvolvidos para esta finalidade. Historicamente, pode-se dividir o desenvolvimento desses softwares em duas etapas: i) inicialmente, foram criados softwares que apenas agilizavam o clculo prtico, utilizando as mesmas simplificaes que seriam feitas em projetos sem a ajuda de computadores, sendo o procedimento de clculo igual ao feito sem a ajuda de computares; ii) com o desenvolvimento dos programas foi possvel aprimorar o procedimento de clculo, criando modelos matemticos mais prximos do modelo real e estudando o edifcio de maneira mais exata. Dentro da primeira classe, para o clculo de pavimentos de edifcios formados por lajes e vigas, pode-se citar programas que calculam lajes e vigas independentemente, sendo que a nica interao laje-viga a reao vertical.

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Esses tipos de programas no representam rigorosamente o pavimento, sendo feitas algumas simplificaes no procedimento de clculo da laje, tais como considerar indeformveis os seus apoios, tratar a continuidade dos painis como se no houvesse nenhuma interao entre eles ou simplificando o comportamento conjunto, considerar o carregamento e as reaes nos apoios uniformes, simplificar detalhadas sobre modelagem de encontrados em CORRA (1991). As aproximaes, em geral, alteram o consumo de materiais. Este aumento depende da teoria utilizada no clculo da laje: o clculo utilizando a teoria de charneiras plsticas implica, em geral, num consumo menor do que o obtido utilizando a teoria da elasticidade clssica. No clculo de vigas tambm tente a ser maior, uma vez que as reaes das lajes so passadas totalmente para as vigas e de maneira uniforme, o que no verdade, pois parte desta reao migra diretamente para o pilar e estas so maiores perto dos apoios e menores no centro do vo. Na outra classe pode-se destacar os programas de grelha e elementos finitos, atualmente de uso mais difundido. Com um programa de grelha possvel aproximar as lajes e vigas do pavimento, fazendo-se uma analogia destas com barras de propriedades equivalentes ao trecho que representa. Os programas de elementos finitos podem representar o pavimento de maneira mais rigorosa: vigas como elementos do tipo barra e lajes como elementos do tipo placa. Comparaes entre modelagens de lajes com a analogia de grelha e atravs de elementos finitos podem ser encontradas em FIGUEREDO FILHO (1989). Para o processamento de pavimento utilizando elementos finitos necessrio criar uma malha apropriada, determinando para cada elemento placa sua espessura e carregamento distribudo, atribuir restries aos ns e determinar as cargas em ns e elementos viga; se a malha for densa o lajes recortadas ou com aberturas para formas mais conhecidas e outras. Informaes mais pavimentos de edifcios podem ser

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suficiente pode-se adotar as cargas nos elementos como concentradas nos ns. Para que o procedimento possua agilidade e confiabilidade, se faz necessrio o desenvolvimento de softwares que sirvam para gerar, alterar e conferir os modelos.

1.2 Finalidades do Trabalho

Apesar de serem relativamente simples as expresses que permitem levar em conta a contribuio do momento volvente no clculo lajes de concreto armado, tanto no caso de armaduras dispostas ortogonalmente, quanto no caso de armaduras oblquas entre si, so poucos os engenheiros que as conhecem. Este trabalho teve como proposta inicial, tornar mais conhecidos os procedimentos que permitem, de maneira prtica e segura, a considerao do momento volvente em lajes de concreto armado. Durante o desenvolvimento do trabalho, percebeu-se que, apesar de ser comum entre os projetistas de estruturas de concreto armado desprezar o valor do momento volvente no detalhamento da armadura, admitindo que este seja resistido pelo prprio concreto, no existiam, dentre os mtodos pesquisados, critrios para determinar o valor do mximo momento volvente resistido pelo concreto, passando a ser este um outro objetivo do trabalho. Outra finalidade do trabalho foi a de desenvolver pr-processadores para facilitar a modelagem de pavimentos por elementos finitos e um psprocessador que permitisse a anlise dos resultados utilizando os conceitos estudados. Utilizando estes softwares fez-se um pequeno estudo de lajes retangulares apoiadas nos quatro lados, procurando avaliar as recomendaes existentes na bibliografia especializada, sobre as armaduras de canto necessrias a esse tipo de laje. Fez-se, tambm uma comparao de detalhamentos das lajes de um pavimento tipo calculadas pelo mtodo

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das charneiras plsticas, pelo mtodo dos elementos finitos sem a considerao da rigidez toro e pelo mtodo dos elementos finitos considerando a rigidez toro.

1.3 Discusso Sucinta dos Captulos

No segundo captulo so discutidas e comparadas as teorias descritas em WOOD (1968) e em LEONHARDT & MNNING (1978a) que possibilitam o clculo das armaduras segundo duas direes ortogonais escolhidas. discutido tambm o procedimento de Wood para o clculo de armaduras segundo duas direes oblquas entre si. No captulo 3 so detalhados critrios para determinar o mximo valor do momento volvente resistido pelo concreto, a fim de considerar esta contribuio no detalhamento das armaduras. So discutidos dois critrios: um critrio obtido a partir de estudos do AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (ACI) e outro adaptado da norma brasileira que indica o valor mximo de tenso cisalhante resistida pelo concreto para o caso de lajes. No captulo 4, esto descritos os programas de entrada, conferncia e correo de dados de malhas de elementos finitos, e do programa de anlise dos resultados do processamento segundo os critrios de tratamento do momento volvente. No quinto captulo so apresentados exemplos da utilizao dos conceitos descritos nos captulos anteriores. feito um pequeno estudo de lajes retangulares apoiadas nos quatro lados, procurando avaliar as recomendaes existentes na bibliografia especializada sobre a armadura de canto necessria neste tipo de laje. feita, tambm, uma comparao de detalhamentos de lajes de um pavimento tipo calculadas pelo mtodo das charneiras plsticas, pelo mtodo dos elementos finitos (MEF) sem a

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considerao da rigidez toro e pelo MEF considerando a rigidez a toro.

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2. MOMENTOS EQUIVALENTES AO TERNO DE ESFOROS MX, MY E MXY

2.1 Introduo

O presente captulo mostra a deduo de algoritmos de clculo de momentos equivalentes normais a duas direes escolhidas, que cubram o terno de esforos Mx, My e Mxy. A partir destes momentos, pode-se calcular as armaduras e disp-las segundo as direes escolhidas.

FIGURA 2.1 - Terno de esforos Mx, My e Mxy e armaduras segundo as direes X e Y

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So descritos dois mtodos: o primeiro baseado na verificao dos momentos normais, de acordo com WOOD (1968), e o segundo baseado no equilbrio de foras, de acordo com LEONHARDT & MNNIG (1978a).

2.2 Mtodo de Wood

As rotinas de detalhamento de armaduras segundo duas direes preferencias, descritas em WOOD (1968), tm como base o critrio de resistncia do momento normal, conhecido como critrio de Johansen, ou critrio das linhas de plastificao. O momento normal a um plano qualquer calculado com os momentos M*x e M*y, correspondentes s armaduras dispostas na laje, deve ser maior ou igual ao momento normal ao mesmo plano dado pelos esforos Mx, My e Mxy. A armadura comear a plastificar segundo o plano de menor resistncia.

FIGURA 2.2 - Momentos normais desenvolvidos a partir de Mx, My e Mxy e de M*x e M*y

Existem vrios aspectos a serem discutidos sobre a utilizao desse critrio. Alguns aspectos trazem vantagens, no sentido de conduzir a uma maior segurana. Dentre estes pode-se citar: aumento da resistncia do concreto devida compresso biaxial, no considerado no mtodo; efeito de kinking ou retoro da armadura, ou seja, as barras das armaduras tendem a se rearranjarem de maneira a cortarem

9

perpendicularmente as fissuras, sendo admitido que elas permaneam na sua posio original; efeito de membrana, tambm no considerado no mtodo; laje calculada pelo mtodo elstico, existindo ainda uma reserva de resistncia. Outros aspectos trazem desvantagens, no sentido de serem aproximaes contra a segurana, e devem ser analisados com cuidado. Dentre esses aspectos, pode-se citar o fato de o brao de alavanca dos momentos ser considerado constante em cada ponto verificado. Esta simplificao no implica em grandes erros, uma vez que, em geral, o brao de alavanca varia pouco. Equaes para o clculo do momento resistente, considerando braos de alavancas diferentes nas direes X e Y, podem ser encontradas em PARK & GAMBLE (1980). Em JAIN & KENNEDY (1974) verificado que a diferena entre considerar ou no a variao do brao alavanca de no mximo 2%, para os casos usuais de laje. Outra desvantagem da utilizao do critrio de verificao do momento normal, o fato de apenas o momento normal ser verificado, no levando em conta o momento volvente na direo crtica. Para o caso de lajes istropas (com reas de armaduras iguais nas duas direes) possvel provar analiticamente que, no plano de menor resistncia, os momentos volventes, aplicado e resistente, tambm sero iguais se os momentos normais aplicado e resistente o forem. Esta verificao pode ser encontrada em LENSCHOW & SOZEN (1967). Para o caso de lajes orttropas, os momentos volventes na direo crtica no so iguais. A presena de momentos volventes na direo do plano de plastificao pode fazer com que haja um pequeno desvio entre a direo crtica terica e a real (verificada em ensaios). Em LENSCHOW & SOZEN (1967) e em JAIN & KENNEDY (1974) so relatados ensaios experimentais em lajes istropas e orttropas, sujeitas a diferentes tipos de carregamento (momentos fletores e torores).

10

Lenschow e Sozen ensaiaram 5 lajes armadas isotropicamente sujeitas a momentos fletores em duas direes, 8 lajes sujeitas a momentos torores (6 com armadura istropa e 2 com armadura orttropa) e 8 lajes com momento aplicado em uma direo. Nestes ensaios, os autores verificaram que a direo medida do plano de plastificao era bem prxima da direo calculada segundo o princpio do plano de menor resistncia, e que, em alguns casos, podem existir momentos volventes na direo crtica. Jain e Kennedy ensaiaram 12 lajes com momento aplicado em uma direo, 8 lajes sujeitas a toro pura e 9 lajes sujeitas a momentos fletores e volvente. Em todos os casos de carregamentos foram ensaiadas lajes istropas e orttropas. A partir dos resultados dos ensaios, os autores afirmam que a direo do plano de plastificao orientado conforme o princpio do plano de menor resistncia e que os efeitos da mudana do brao de alavanca devido rotao dos planos de plastificao, de compresso biaxial e de kinking so insignificantes. Apesar do artigo WOOD (1968) ter sido publicado h quase trinta anos, foram poucas as crticas contrrias utilizao do mtodo descrito, sendo encontradas vrias bibliografias que adotam este mtodo para tratamento do momento volvente. A nica restrio encontrada se refere lajes onde os valores de momento volvente calculados nas direes das armaduras so relativamente altos, ainda assim para casos de taxas de armaduras mdias e altas. Em MARTI & KONG (1987) estudado o caso extremo de lajes

sujeitas a toro pura, sendo relatado que o critrio a favor da segurana at o limite da taxa geomtrica de armadura () das eqs. (2.1).x = As x c fc < x e h 2 fy h y = c y fc As x , < h 2 fy h

... (2.1)

onde x e y so as taxas de armadura segundo X e Y, Asx e Asy so as reas de armadura segundo X e Y, cx e cy so os cobrimentos segundo X e Y,

11

fc a resistncia do concreto, fy a resistncia do ao, e h a altura da laje. Para lajes com c/h=0,10, para o caso de toro pura, verificam-se taxas de armaduras 100% seguras at os limites iguais a 0,20% para C20 e 0,25% para C25. Para valores maiores, pode-se obter resultados contra a segurana, aumentando-se o erro proporcionalmente taxa de armadura. Ainda segundo MARTI & KONG (1987), este aspecto relevante apenas em lajes com armadura ortogonal com cargas concentradas nos cantos, como em lajes em balano com cargas concentradas em um dos cantos do balano ou em lajes isoladas com os quatro cantos apoiados em pilares, no sendo encontradas maiores consideraes quanto utilizao deste mtodo no clculo de pavimentos de concreto armado. Modelos mais avanados podem ser utilizados para clculo de lajes com maior preciso. FANTI & MANCINI (1995) sugere a utilizao de um modelo de elemento tipo sanduche para determinar o estado limite ltimo de placas de concreto armado.

2.2.1 Momentos Positivos em Todas as Direes

Pode-se calcular Mn1 e Mn2 de acordo com as seguintes expresses de transformao tensorial [vide TIMONSHENKO & KRIEGER (1959)]: Mn1 = M* .cos 2 + M* . sen2 x y Mn2 = Mx .cos 2 + My . sen2 + 2. Mxy . sen .cos

Deve-se ter, portanto, Mn1 > Mn2 ou Mn1 - Mn2 > 0. A parte esquerda da inequao, aqui chamada de f(), a funo do excesso de momento normal.

12

f () = M* .cos 2 + M* . sen2 Mx .cos 2 + My . sen2 + Mxy . sen .cos 0 x y

Dividindo por cos2 e chamando tan de k, tem-se:* * f (k ) = M x + M y . k 2 M x M y . k 2 M xy .2. k 0

... (2.2)

Para cada par de M*x e M*y tem-se um valor crtico de k, onde a funo f(k) mnima. Para calcular este valor pode-se utilizar a primeira derivada da funo:

df () df (k ) df (tan ) df (tan ) df (tan ) df (k ) = = = . = . sec 2 d d d d(tan ) d dk

Como sec2 no pode ser zero; df(k)/dk = 0:

df (k ) * = 2. M y . k 2. M y . k 2. M xy = 0 dk 1 * M y = M y + . M xy k kcrtico =

... (2.3) ... (2.4)

M xy M My* y

Neste ponto f(k) deve ser igual a zero para que os momentos normais sejam iguais, portanto substituindo-se a eq. (2.3) na eq. (2.2) e igualando a zero, obtm-se:* M x = M x + k. M xy

... (2.5)

Nas outras direes f(k) deve ser sempre positivo, ou seja f(kcrtico) deve ser um ponto de mnimo. Para tanto a segunda derivada da funo deve ser maior que zero:

13

d 2f (k ) >0 dk 2 * * 2. My 2. My > 0 My > My O valor de kcrtico define a tangente do ngulo onde os momentos normais so iguais, sendo esta a direo onde est havendo equilbrio dos esforos aplicados e resistentes. Em um caso limite apareceriam fissuras segundo esta direo.* Se M y = M y +

1 * . M e M y > M y , chega-se concluso que M xy / k k xy

positivo. Portanto, pode-se adotar k sempre positivo e Mxy em valor absoluto. Ento possvel simplificar as expresses para clculo de momentos equivalentes, fazendo:M* = Mx + K . Mxy x M* = M y + y 1 . Mxy K

... (2.6),

onde K deve ser sempre positivo

O parmetro de K, valor absoluto da tangente do ngulo crtico, determina quanto do momento Mxy ser resistido por Mx e quanto por My. Admitindo-se que o brao de alavanca do momento resistente seja igual para as armaduras em x e y, a quantidade de armadura ser proporcional soma (Mx + My). Para um valor mnimo da rea de armadura, tem-se:d(M* + M* ) x y dK K =1 d(My + K . Mxy + My + dK 1 . Mxy ) 1 K = Mxy . 1 2 = 0 K

=0

Ento a forma mais econmica fazer:

* M x = M x + M xy * M y = M y + M xy

... (2.7)

14

Em alguns casos, como aqueles em que a armadura em uma direo igual armadura mnima, possvel que esta simplificao seja menos eficiente, podendo o projetista determinar qual o momento resistido pela armadura mnima e calcular o correspondente valor de kcrtico, com as eqs. (2.6). Para ilustrar o equacionamento anterior ser usado o terno de esforos Mx=3, My=1 e Mxy=1. A indica valores de momentos normais calculados em diversas direes a partir do terno de esforos dado, e a partir de M*x e M*y calculados com K = 0,5, K = 1 e K = 2, utilizando as eqs. (2.6). Indica, ainda, os valores de f(k), eq. (2.2), para cada um dos valores de K. Com os valores da ,criaram-se curvas ilustrando f(k), .Pode-se perceber que os valores de f(k) so sempre positivos, ou seja, sempre h um excesso de momento normal. Alm disto possvel observar que f(k) nulo nas direes crticas.

TABELA 2.1 - Valores dos momentos normais e de f(k)

()

k tan

Mn2 Mx=3 My=2 Mxy=1 3,000 3,526 3,572 3,116 2,372 1,688 1,384 1,602 2,240 3,000

Mn1 kcrt=1

Mn1 kcrt=0,5

Mn1 f(k) kcrt=1 f(k) f(k) kcrt=0,5 kcrt=2 kcrt=2

M*x=4 M*x=3,5 M*x=5 M*y=3 M*y=4 M*y=2,5 4,000 3,883 3,587 3,250 3,030 3,030 3,250 3,587 3,883 4,000 3,500 3,558 3,707 3,875 3,985 3,985 3,875 3,707 3,558 3,500 5,000 4,708 3,967 3,125 2,575 2,575 3,125 3,967 4,708 5,000

crt= 451,000 0,357 0,015 0,134 0,658 1,342 1,866 1,985 1,643 1,000

crt= crt= 26,6 63,40,500 0,033 0,135 0,759 1,613 2,297 2,491 2,105 1,318 0,500 2,000 1,182 0,395 0,009 0,203 0,887 1,741 2,365 2,467 2,000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0,000 0,364 0,839 1,732 5,671 -5,671 -1,732 -0,839 -0,364 0,000

15

Examinando-se as curvas da ,observa-se que para K=0,5 e K=2, a amplitude da curva maior do que a amplitude da curva traada para K=1. Examinando-se a soma de (M*x + M*y) percebe-se que ela menor quando K=1. Portanto a simplificao de K=1 para clculo de M*x e M*y perfeitamente justificvel.

2,5

2,0

1,5

1,0

(K=1) (K =0,5) (K=2)

0,5

0,0 0 20 40 60o 80 100 120 140 160 180

FIGURA 2.3 - Curvas de f(k)

2.2.2 Momentos Negativos em Todas as Direes

Para o caso de campos de momentos estritamente negativos, a situao anloga anterior, mudando apenas o posicionamento das armaduras e conseqentemente o sinal dos momentos. Desta forma, temse:

* Mx = M x Mxy * My = My Mxy

... (2.8)

16

2.2.3 Campos de Momentos Positivos e Negativos

Em casos em que um momento principal positivo e o outro negativo, devem ser verificadas tanto as equaes positivas, eqs. (2.7), quanto as negativas, eqs. (2.8), podendo haver, em um mesmo ponto da laje, a necessidade de serem dispostas tanto armaduras positivas, quanto e negativas. Neste caso existiro duas direes crticas: uma positiva (com fissuras ocorrendo na parte inferior da laje) e outra negativa (fissuras na parte superior). Pode acontecer que, ao se tentar calcular momentos positivos, resulte um momento negativo. O terno de esforos Mx = 1, My = -2 e Mxy=1 ser usado para ilustrar esta situao. Utilizando-se as eq. (2.7), tem-se M*x=2 e M*y = -1. O valor negativo no tem significado fsico, pois est se tentando combater um momento positivo (com tenses de trao na parte inferior da laje) com uma armadura negativa (disposta na parte superior da laje). Neste caso no h necessidade M*y feito igual a zero. Utilizando-se o valor do momento equivalente positivo e tomando igual a zero o outro momento, pode-se verificar que, no campo dos momentos positivos, o valor do momento normal resistente maior que o momento normal solicitante. Na esto calculados os valores dos momentos normais para o exemplo. Pode-se verificar que, no campo de momentos positivos Mn1 (momento normal calculado com M*x = 2 e M*y = 0) sempre maior que Mn2 (calculado com Mx = 1, My = -2 e Mxy = 1). Ao serem comparados os valores de Mn1 e Mn2 no campo de momentos negativos, percebe-se que Mn1 continua sendo maior que Mn2, ou seja matematicamente os resultados parecem certos. Fisicamente, de armadura positiva segundo esta direo, devendo ser considerado zero o momento calculado negativo. No exemplo

17

porm, os resultados esto errados, uma vez que est se tentando combater momentos negativos com armaduras positivas. A comparao dos valores absolutos de Mn1 e Mn2, apesar de tambm no ser fisicamente correta pelo mesmo motivo anterior, serve para chamar a ateno de que a comparao de momentos positivos com momentos negativos no consistente.

TABELA 2.2 - Comparao entre momentos normais para M*x = 2,0 () Momento Normal Mn2 Momento Normal Mn1 Mn1 - Mn2 * (Mx=1, My=-2, Mxy=1) (M*x = 2, M y = 0) |Mn1| - |Mn2|

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

1,000 1,292 0,745 -0,384 -1,568 -2,252 -2,116 -1,224 0,006 1,000

2,000 1,766 1,174 0,500 0,060 0,060 0,500 1,174 1,766 2,000

1,000 0,474 0,428 0,884 1,628 2,312 2,616 2,398 1,760 1,000

1,000 0,474 0,428 0,116 -1,507 -2,191 -1,616 -0,051 1,760 1,000

Tambm pode-se verificar que, neste caso, K=1 deixa de ser a soluo mais econmica. Melhora-se o resultado calculando-se o valor do ngulo crtico correspondente ao momento feito nulo (neste caso diferente de 45o) e determinando-se o valor do outro momento as eq. (2.7). No exemplo, para M*y = 0, tem-se K = 0,5 e M*x = 1,5; soluo 25% mais econmica que a anterior. A indica que, no campo de momentos normais positivos, estes momentos equivalentes so suficientes para equilibrar o momento normal solicitante. Procedimento anlogo deve feito ao obter-se um valor de momento equivalente positivo no clculo de armaduras negativas.TABELA 2.3 - Comparao entre momentos normais para M*x = 1,5 () Momento Normal Mn2 Momento Normal Mn1 * (Mx=1, My=-2, Mxy=1) (M*x = 1,5, M y = 0) Mn1 - Mn2 |Mn1| - |Mn2|

18

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

1,000 1,292 0,745 -0,384 -1,568 -2,252 -2,116 -1,224 0,006 1,000

1,500 1,325 0,880 0,375 0,045 0,045 0,375 0,880 1,325 1,500

0,500 0,033 0,135 0,759 1,613 2,297 2,491 2,105 1,318 0,500

0,500 0,033 0,135 -0,009 -1,522 -2,206 -1,741 -0,344 1,318 0,500

Resumidamente tem-se: se M x < 0 impe-se M x = 0 sendo M y = My +* * *2 M xy

Mx2 M xy

;

se M*y < 0 impe-se M*y = 0 sendo M*x = Mx +

My

.

Tambm pode-se obter um resultado positivo ao se tentar calcular momentos negativos. Analogamente: se M*x > 0 impe-se M*x = 0 sendo M*y = My 2 M xy

Mx2 M xy

;

se M y > 0 impe-se M y = 0 sendo M x = Mx -

*

*

*

My

.

Este procedimento adotado no EUROCODE 2 (1992), em PARK & GAMBLE (1980), em MAC GREGOR (1992) e nos softwares STRAP e LUSAS.

2.3 Mtodo de Leonhardt & Mnnig

19

Uma outra maneira de determinarem-se armaduras oblquas direo dos esforos principais fazer-se o equilbrio de foras aplicadas e resistentes de uma seo. Pode-se tratar a regio tracionada de uma laje como uma chapa, admitindo que as tenses normais e cisalhantes sejam iguais aos momentos aplicados laje, divididos por um brao de alavanca mdio. Por ser um problema de mais fcil visualizao, ser estudada inicialmente uma chapa de concreto armado sujeita a um estado plano de tenses genrico, onde objetiva-se a determinao de tenses normais a dois planos perpendiculares, que cubram este estado de tenso.

2.3.1 Chapa de Concreto Armado

Em uma chapa de concreto armado, com armadura de trao em direes diferentes das principais, aparecero, em um estado limite, fissuras segundo um plano de menor resistncia, dependendo das armaduras dispostas. Imaginando-se uma chapa fissurada apresenta-se o seguinte problema:

chapa

de

concreto

armado

com

armaduras

por

unidade

de

comprimento Asx e Asy dispostas segundo os eixos X e Y de um plano cartesiano,

tenses principais aplicadas chapa, 1 e 2 (1 a maior), sendo ongulo entre 1 e o eixo X,

fissuras ocorrendo segundo um ngulo medido a partir do eixo Y.Em LEONHARDT & MNNING (1978a), para o desenvolvimento das dedues, imposto que o ngulo dever ser sempre menor ou igual a 45o.

20

Analisando-se um elemento de comprimento unitrio nas direes principais determina-se os esforos solicitantes por unidade de comprimento N1 e N2, conforme a .

N1 = 1 . 1 . d N2 = 2 . 1 . d

FIGURA 2.4 - Esforos solicitantes na chapa

Imaginando-se a direo das fissuras conhecidas, aparecem entre estas tenses de compresso no concreto (c) que resultam em uma fora por unidade de comprimento Fc1,

Fc = c . 1 . d

FIGURA 2.5 - Fora de compresso do concreto

Das armaduras resultam, nas direes X e Y, foras Fx e Fy por unidade de comprimento proporcionais s suas reas, sendo estas foras, juntamente com Fc, os esforos resistentes da chapa, conforme .

21

Fx = Asx . sx Fy = Asy . sy

FIGURA 2.6 - Esforos resistentes da chapa

Fazendo o equilbrio de uma seo paralela a tem-se:

bx = 1 . cos () by = 1 . sen () b1 = 1 . cos () b2 = 1 . sen ()

FIGURA 2.7 - Esforos em uma chapa de concreto: direo paralela a

segundo Leonhardt & Mnnig (1978a), as tenses de compresso do concreto so ligeiramente inclinadas em relao s fissuras devido aos efeitos de fora cortante e engrenamento, sendo a no considerao destes efeitos favorvel segurana.

1

22

X =0

N1 b1 cos + N 2 b2 sen + Fx bx = 0 Fx = Fx = N1 b1 cos N 2 b2 sen bx N1 cos( ) cos N 2 sen( ) sen cos

Y = 0

N1 b1 sen + N 2 b2 cos Fx bx = 0 Fy = Fy = N1 b1 sen + N 2 b2 cos by N1 cos( ) sen + N 2 sen( ) cos sen

Utilizando as transformaes trigonomtricas:

cos( ) = cos cos + sen sen sen( ) = sen cos cos sen

pode-se rescrever as equaes de equilbrio como:Fx = N1 (cos 2 + tan sen cos ) N 2 (tan sen cos sen 2 ) Fy = N1 (cot an sen cos + sen 2 ) + N 2 (cos 2 cot an sen cos )

Chamando tan = K e rearranjando-se as equaes, obtm-se: Fx = N1 cos 2 + N2 sen2 + (N1 N2 ) K sen cos Fy = N1 sen2 + N2 cos 2 + (N1 N2 ) ... (2.9) 1 sen cos K

Para determinar-se a fora de compresso no concreto pode-se fazer o equilbrio do foras em uma seo de comprimento unitrio perpendicular a :

23

bx = 1 . sen () by = 1 . cos ()

b1 = 1 . sen (-) b2 = 1 . cos (-)

FIGURA 2.8 - Esforos em uma chapa de concreto: direo perpendicular a

= 0N1 b1 sen( ) + N 2 b2 cos( ) Fx bx sen Fy by cos + Fc = 0 Substituindo os valores de bx, by, b1, b2 e tem-se:Fc = (N1 N 2 ) sen 2

... (2.10)

2.3.2 Lajes com Armaduras Ortogonais

24

Em uma laje sujeita a momentos principais M1 e M2 onde se quer calcular momentos equivalentes M*x e M*y, pode-se, admitindo um brao de alavanca mdio (zm), fazer: M*x = Fx . zm; M*y = Fy . zm; M1 = N1 . zm; M2 = N2 . zm Portanto: M* x = M1 cos 2 + M2 sen2 + (M1 M2 ) K sen cos M* x = M1 sen2 + M2 cos 2 + (M1 M2 ) 1 sen cos K ... (2.11)

O campo de momentos Mx, My e Mxy pode ser expresso por seus valores principais M1 e M2 e pelo ngulo . As equaes de transformao tensorial, que relacionam momentos em vrias direes, so:Mx = Mx cos 2 + My sen2 + 2 Mxy sen cos My = Mx sen2 + My cos 2 + 2 Mxy sen cos Mxy = Mxy (cos 2 sen2 ) (Mx My) sen cos

Escrevendo-se Mx, My e Mxy a partir de M1, M2 e , chega-se: Mx = M1 cos 2 + M2 sen2 My = M1 sen2 + M2 cos 2 Mxy = (M1 M2 ) sen cos ... (2.12)

Substituindo-se as equaes (2.12) em (2.11) e ajustando-se o sinal de k, chega-se a: M* x = Mx + K Mxy ... (2.13) 1 M* y = My + Mxy K

25

Conclui-se, portanto, que os resultados do mtodo de Leonhardt & Mnnig so equivalentes aos resultados do mtodo de Wood, pois as eqs. (2.13) so iguais s eqs. (2.6). O mtodo de Leonhardt-Mnnig uma aproximao fsica para o problema, enquanto o mtodo de Wood uma aproximao numrica. A verificao de momentos normais a vrias direes, sendo uma direo crtica onde haver equilbrio entre os momentos externos e internos, equivale a determinar o equilbrio de esforos internos e externos admitindo fissuras segundo uma direo crtica. Em Leonhardt-Mnnig (1978a) o ngulo crtico econmico tambm verificado como sendo igual a 45 (o que equivale a K=1), sendo comentado que este ngulo deixa de ser econmico para casos em que a rea de armadura secundria menor que 20% da rea de armadura principal, o que equivale ao que foi dito anteriormente sobre a necessidade de armadura mnima, uma vez que, tanto na norma alem (segundo a qual os autores da referida bibliografia se baseiam), quanto na norma brasileira de concreto armado, esta um dos valores mnimos da rea armadura a ser disposta na laje. Para caso de momentos principais positivo e negativo,

recomendado que seja verificado o par de momento M1 e M2 considerando a fora N2 = M2/zm como de trao ao invs de N1, ou seja, invertendo-se os sinais dos momentos. Isto equivale necessidade de verificao das equaes para armaduras positivas e negativas, discutida no item 2.2.3.2.4 Momentos Equivalentes em Duas Direes Oblquas Entre Si

Em alguns tipos de laje com lados inclinados pode ser interessante disporem-se as armaduras formando um ngulo entre elas diferente de 90. Desta forma pode-se conseguir uma disposio mais racional das barras de armaduras nas lajes e evitar o corte desnecessrio de barras com vrios comprimentos diferentes.

26

Neste caso se faz necessrio encontrar um par de momentos equivalentes M*x (com armadura paralela ao eixo X) e M* (armadura paralela a um angulo formado entre ela e o eixo X) que cubram o terno de esforos Mx, My e Mxy dado, conforme proposto por G. S. T. ARMER (1968). O momento normal a uma direo qualquer dado por M*x e M*, sendo o ngulo medido no sentido anti-horrio entre o eixo x e a direo da armadura resistente a M* conforme ,:

Mn ,x ds = M*x ds cos cos Mn , ds = M* ds cos ( ) cos ( ) Mn = M*x cos 2 + M* cos 2 ( ) ... (2.14)

FIGURA 2.9 - Momentos para armaduras paralelas ao eixo x e

Desta forma a funo f() relativa ao excesso de momento normal ser: f ( ) = M*x .cos 2 + M* .cos 2 ( ) Mx .cos 2 My .sen 2 2 Mxy .sen .cos 0 ... (2.15)

27

Como: cos( ) = cos cos + sen sen cos 2 ( ) = cos 2 cos 2 + 2 cos cos sen sen + sen2 sen2, pode-se simplificar a expresso dividindo por cos2 e chamando (tan ) de k. Desta forma tem-se:f (k ) = M* x + M* (cos 2 + 2 k cos sen + k 2 sen2 ) Mx My k 2 Mxy 2 k 0

...

(2.16)

Derivando-se a funo tem-se:

df (k ) = 2 M* (cos sen + k sen2 ) 2 My k 2 Mxy = 0 ... (2.17) dk Portanto:M* = My k Mxy 1 My k Mxy = 2 2 cos sen + k sen sen cot + k ... (2.18)

K crtico =

M* cos sen + Mxy M* cos sen + Mxy = M* (1 cos 2 ) My M* sen2 My

... (2.19)

Com a transformao: k k + cot cot cot = = 1 ; cot + k cot + k cot + k

pode-se rescrever a equao (2.18) como: M* = Mxy + My cot 1 My 2 cot + k sen ... (2.20)

Substituindo a eq. (2.20) na eq. (2.16) e igualando a zero, obtm-se:

28

M* x = Mx + 2 Mxy cot + My cot 2 (cot + k ) (Mxy + My cot ) (2.21) A segunda derivada da funo : d 2 f (k ) = 2 M* sen2 2 My > 0 dk 2 M* > My sen2 ... (2.22)

...

Analisando-se as eqs. (2.20) e (2.22) chega-se concluso que Mxy + My cot deve ser negativo, portanto, pode-se fazer K = |cot + k| e cot + k substituir Mxy + My cot por ( -|Mxy + My cot | ).

Desta forma: M* = 1 | Mxy + My cot | My + 2 K sen ... (2.23) ... (2.24)

M* x = Mx + 2 Mxy cot + My cot 2 + K | Mxy + My cot |

Minimizando-se a soma de M*x e M* em funo de K, tem-se:d(M* x + M* ) dK = Mxy + My cot 1 + K 2 sen2 =0 K 2 sen2

1 K= | sen |

... (2.25)

Substituindo a eq. (2.25) em (2.23) e (2.24) pode-se escrever as equaes para determinao de momentos equivalentes em duas direes oblquas para o caso de momentos positivos:

M* =

My Mxy + My cot + 2 sen sen

... (2.26)

29

M* x = Mx + 2 Mxy cot + My cot 2 +

Mxy + My cot sen ... (2.27)

Estas equaes se reduzem s equaes dadas anteriormente para M*x e M*y fazendo-se = 90. As equaes para o caso de momentos estritamente negativos e momentos positivo e negativo em conjunto podem ser obtidas de maneira anloga ao caso de M*x e M*y. Resumidamente tem-se: i) momentos equivalentes positivos:Mxy + My cot sen

M * x = Mx + 2Mxy cot + My cot 2 + M * = My Mxy + My cot + 2 sen sen

se M*x resultar negativo; adotar M*x = 0 e recalcular M* com a expresso: 1 M * = sen 2 2 (Mxy + My cot ) My + Mx + 2Mxy cot + My cot 2

(

)

caso M* resulte negativo, adotar M* = 0 e recalcular M*x:

M * x = Mx + 2Mxy cot + My cot +2

(Mxy + My cot ) 2My

caso ambos M*x e M* resultem negativos no h necessidade de armadura positiva;

30

ii)

momentos equivalentes negativos:Mxy + My cot sen

M * x = Mx + 2Mxy cot + My cot 2 M * = My Mxy + My cot 2 sen sen

se M*x resultar positivo; adotar M*x = 0 e recalcular M* com a expresso: 1 M * = sen 2 2 (Mxy + My cot ) My Mx + 2Mxy cot + My cot 2

(

)

caso M* resulte positivo, adotar M* = 0 e recalcular M*x:

M * x = Mx + 2Mxy cot + My cot 2

(Mxy + My cot ) 2My

caso ambos M*x e M* resultem positivos no h necessidade de armadura negativa. Vale observar que as equaes para clculo de M*x quando M* feito igual a zero, podem ser substitudas pelas equaes para o clculo de M*x para armaduras ortogonais, quando M*y nulo, uma vez que, em ambos os casos, existe a necessidade apenas de armadura segundo a direo X.

31

3. RESISTNCIA DO CONCRETO AO MOMENTO VOLVENTE

3.1 Introduo

O cisalhamento desenvolvido em uma pea de concreto armado sujeita a um momento toror , em parte, resistido pelo prprio concreto. Para determinar qual o mximo momento volvente resistido pelo concreto necessrio determinar-se a mxima tenso cisalhante de toro que pode ser resistida pelo concreto. Existem, na bibliografia especializada, uma srie de estudos que procuram determinar o valor dessa tenso. Esses estudos revelam que o valor da mxima tenso cisalhante resistida pelo concreto em uma pea sujeita toro pura significantemente maior do que em peas sujeitas toro combinada com flexo, fora cortante ou foras axiais. Nos itens seguintes sero discutidos os procedimentos para se determinarem as tenses cisalhantes aplicadas em uma pea sujeita a esforos de toro, flexo e fora cortante e as resistncias do concreto a essas tenses, levando-se em conta as interaes existentes entre cada tipo de esforo. A maior parte do trabalhos feitos sobre este assunto, se referem a vigas. Deste forma, sero discutidas inicialmente vigas de concreto armado

32

e em seguida as analogias que podem ser feitas para uma laje de concreto armado.3.2 Tenses Cisalhantes Devidas Fora Cortante em Vigas

Uma seo sujeita a fora cortante possui resulta na fora cortante.

tenses cisalhantes,

distribudas ao longo de sua rea. A integrao destas tenses na seo

As tenses cisalhantes desenvolvidas ao longo da altura da pea podem ser calculadas pela seguinte expresso clssica da resistncia dos materiais [encontrada em extensa bibliografia, como por exemplo SCHIEL (1984)], vlida para material homogneo: = V Ms ; b I onde V a fora cortante;

Ms = o momento esttico a uma altura y; b a largura da seo na altura y e I o momento de inrcia de flexo da seo. Para uma seo retangular tem-se a seguinte distribuio de tenses:

=

6 V (h y) y b d3

=

15 V , bd

FIGURA 3.1 - Tenses cisalhantes devidas fora cortante

Em muitas normas de concreto, incluindo o ACI e a norma brasileira de concreto (NB1), adotado um valor convencional da tenso cisalhante (w) igual a

V , que corresponde ao valor mdio desta tenso. bw d

33

Esse valor ser usado no presente trabalho, pois a mxima tenso cisalhante resistida pelo concreto, de acordo com o ACI e com a NB1, discutida nos itens seguintes, utilizam-no como referncia. A norma americana de concreto (ACI 318-89, revised 1992) permite considerar a resistncia do concreto s tenses cisalhantes devidas fora cortante igual a 2:

c = 2,0 fck (psi) ou c = 0,166 fck (Mpa); com = 0,85.Este valor previne contra a ruptura, levando em conta a possibilidade de combinao com momentos fletores de diferentes intensidades. Um estudo detalhado sobre o assunto pode ser encontrado em ACI-ASCE Committee 426 (1973) e, mais resumidamente, em PARK & PAULAY (1975). O anexo da NB116/89 considera o seguinte valor para resistncia do concreto s tenses cisalhantes devidas fora cortante em peas sujeitas a flexo simples:

c = 015 fck (Mpa) ,

Consideraes sobre o tratamento de elementos fletidos sujeitos a fora cortante, de acordo com as normas brasileiras, podem ser encontradas em GIONGO & TOTTI JR.(1994). Comparando-se os dois valores, percebe-se que o limite do ACI 6% menor que o da NB1, ressaltando que, na comparao entre as normas, importante levar em conta, tambm, as diferenas existentes entre os coeficientes de segurana. O ACI adota coeficientes de majorao iguais a 1,4 para cargas permanentes (dead loads) e 1,7 para cargas acidentais

As notaes utilizadas no ACI esto adaptadas para as equivalentes da NB1. Desta forma, a notao para a resistncia especfica do concreto, fc no ACI, ser adotada fck e assim por diante.

2

34

(live loads). A NB1 adota coeficiente de majorao igual a 1,4 para cargas permanentes (g) e acidentais (q). Para um caso idealizado com g igual a 80% da carga total, tem-se:

- NB1: carga majorada = 1,4(g+q); - AC1: carga majorada = 1,40,80g + 1,70,20q = 1,46(g+q).

Na recomendao para clculo do momento volvente (descrita no final deste captulo) utilizou-se idias do ACI e da NB1 para clculo das tenses de referncia, porm, os limites mximos das tenses de cisalhamento foram adotados de acordo com as prescries da NB1, devendo-se, portanto, utilizar-se os coeficientes de segurana da norma brasileira. Embora o concreto possua resistncia ao cisalhamento, a maioria dos autores recomenda uma armadura mnima quando w menor que c, exceo feita em NAWY (1990), que recomenda vigas sem estribos quandow menor que 50% de c.

3.3 Tenses Cisalhantes Devidas Toro em Vigas

Uma seo sujeita toro possui tenses cisalhantes distribudas em contornos de tenso constante conforme a ,sendo maiores as tenses prximas ao permetro externo.

35

t,max, localizada noponto trajetrias de tenso mdio do maior lado

FIGURA 3.2 - Tenses cisalhantes de toro

O valor de t,max dado pela expresso:

t,max =

T w b2 h

... (3.1)

onde b o menor lado do retngulo e h o maior. T o momento toror. O valor do parmetro adimensional w varia de 0,208 a 0,333 na teoria elstica e de 0,333 a 0,5 na teoria plstica. Em ACI COMMITTEE 438 (1969) e em NAWY (1990) so feitas referncias ao trabalho HSU3, confirmado por outros, estabelecendo que w pode ser tomado como 0,333. O ACI adota este valor. Para sees compostas de retngulos pode-se fazer a somatria de b2 . h. A NB1 utiliza, para determinao da mxima tenso cisalhante devida toro, a frmula de Bredt, vlida para peas com tenses compatveis com o estdio II (seo fissurada). Em LEONHARDT & MNNIG (1977) e em GIONGO (1994a) podem ser encontradas maiores informaes de como tratar vigas sujeitas toro segundo a norma brasileira. Estudos feitos pelo ACI, relatados em ACI COMMITTEE 438 (1969), OSBRUN et al. (1969) e HSU & HWANG (1977), determinam o valor mximo

3

HSU, T.T.C. (1968). Torsion of structural concrete - plain concrete rectangular sections. Torsion of structural concrete. SP-18, American Concrete Institute.

36

da tenso cisalhante devida toro igual a 6 fck (psi) ou 0,5 fck (Mpa) para peas sujeitas a toro pura. Para peas sujeitas a flexo e toro existe uma reduo grande na resistncia do concreto a toro. Em VICTOR & FERGUSON (1968), HSU (1968), LAMPERT & COLLINS (1972) e KIRK & LASH (1971) podem ser encontradas expresses que relacionam toro e flexo. Por facilidade de clculo o ACI prefere levar em conta esta interao de modo indireto, reduzindo a resistncia toro do concreto para peas sujeitas a toro e flexo para 40% do valor verificado para peas sujeitas a toro pura. Segundo o ACI esta reduo segura para todos os possveis casos de combinao de toro e flexo. Desta forma, o valor da mxima tenso cisalhante associada toro e resistida pelo concreto (tc), ser igual a 0,4 (0,5 fck ) = 0,2 fck (Mpa). A NB1 (1982) no prev resistncia do concreto toro.

3.4 Interao Entre Fora Cortante e Momento Toror

Na bibliografia pesquisada so encontradas vrias referncias a ensaios feitos procurando-se estudar a interao entre fora cortante e toro. Dentre esses trabalhos pode-se citar HSU (1968) para vigas sem estribos e OSBURN et al. (1969) e LIAO & FERGUSON (1969) para vigas com estribos. A partir destes ensaios so sugeridas curvas de interao entre entes dois tipos de solicitao. A ,extrada de HSU (1968), mostra a superfcie de interao entre toro, fora cortante e flexo.

37

FIGURA 3.3 - Superfcie de interao entre toro, flexo e fora cortante [ HSU (1968) ]

De uma maneira geral pode-se representar a interao entre fora cortante e momento toror pela seguinte equao:T V + =1 Tu Vu m n

... (3.2)

Os fatores m e n dependem do valor do momento fletor. Conforme visto na ,HSU (1968) adota m=2 e n=1 para valores de momento fletor baixos, e m=2 e n=2 para momentos fletores mdio a altos. O ACI (1992) e o EUROCODE (1992) adotam m=n=2. A NB1 adota m=n=1, sendo a mais conservadora das normas neste assunto. Ensaios experimentais feitos em vigas L, relatados em LIAO & FERGUSON (1969), determinam um erro mximo de 10% para a curva de interao com m=n=2. Para verificar-se a necessidade de armadura de combate toro em vigas de concreto armado, basta substituir os esforos ltimos, Tu e Vu, pelos esforos resistidos pelo concreto, Tc e Vc (obtidos a partir de tc e c). O ACI possui uma recomendao geral para a necessidade de armadura de combate toro em vigas. Momentos torores menores que fck Tc = 0,85 (b 2 h) , fck em Mpa, b e h em mm (ACI 318M-83), no 20

necessitam de armadura. Este valor corresponde a 25% do momento toror

38

resistido pelo concreto em peas sujeitas a toro pura. Segundo o ACI, a resistncia do concreto s tenses cisalhantes devidas fora cortante no sofre grande influncia de momentos torores dessa magnitude.

3.5 Tenses Cisalhantes Devidas Fora Cortante em Lajes

O procedimento para clculo da tenso cisalhante devida fora cortante mdia idntico ao de vigas. O ACI determina que a mxima tenso cisalhante resistida pelo concreto em lajes um valor entre 2 fck c 4 fck (psi) ou

017 fck c 0,33 fck , sendo este valor discutido com maiores ,

detalhes em ASCE-ACI COMMITTE 426 (1974) e em PARK & GAMBLE (1980). A NB1 permite tenses cisalhantes em lajes at o valor de wu1. Podese calcular wu1 segundo o anexo da NBR 7197 / 1989:

wu1 = 4 fck 10 (Mpa) ,4 tem um dos seguintes valores:

I) 4 = 012 ,

kd 1 3 L

para cargas distribudas, podendo adotar-se

4 = 014 k quando d L ,

20

, sendo L o menor vo terico das

lajes apoiadas ou o dobro do comprimento terico das lajes em balano; II) 4 = 0,08 k para cargas lineares paralelas ao apoio, permitindo-se a reduo, na proporo a 2d , da parcela da fora cortante decorrente

de cargas cujo afastamento a do eixo do apoio seja inferior ao dobro da altura til d;

39

III) quando h cargas distribudas e cargas lineares paralelas ao apoio 4 obtido por interpolao proporcionalmente s parcelas de fora cortante decorrentes desses dois tipos de carregamento. Os coeficientes e k so dados pelas expresses: k = 1,6 - d 1 , com d em metros = 1 + 50 1 1,5

limitando-se o produto k ao valor 1,75, sendo 1 a taxa geomtrica de armadura longitudinal de trao afastada de 2h da face interna do apoio, considerando-se apenas as barras de ao prolongadas at o apoio e a corretamente ancoradas. A taxa geomtrica (1) deve ser menor que 2%. Nesse procedimento so levadas em conta as influncias da armadura longitudinal, da altura til da pea e da resistncia do concreto para diferentes tipos de carga. Explicao detalhada sobre a influncia de cada fator no clculo de wu1 pode ser encontrada em FUSCO (1982). Com a finalidade de facilitar o uso destas expresses fez-se as seguintes simplificaes: a) 1 adotado 0,0012 (utilizando uma taxa de armadura mnima de 0,12%), desta forma ter valor constante de 1,06; b) para cargas distribudas 4 ser adota igual a 0,14k, por se entender que na maioria dos casos d ser menor que L/20 e por esta simplificao ser a favor da segurana; c) adotado o coeficiente C como sendo a relao entre a parcela de fora cortante decorrente de cargas distribudas e o valor total da fora cortante na laje. Para laje com cargas distribudas somente, C=1. Desta forma tem-se:c = wu1 = (0,06 C + 0,08) 106 (16 d ) fck 10 (Mpa) , , ,

... (3.3)

40

3.6 Tenses Cisalhantes Devidas Toro em Lajes

As tenses cisalhantes nas lajes se desenvolvem segundo contornos semelhantes aos descritos em vigas. Porm, como as lajes possuem, em geral, b>>h, as tenses se distribuem horizontalmente na maior parte da laje, existindo alguma pertubao nos cantos. A ilustra esta situao.

FIGURA 3.4 - Tenses cisalhantes de toro em lajes

No presente trabalho ser adotada a idia do mtodo do ACI para clculo de t,max, por entender-se que este mais adequado verificao a ser feita. O mtodo da NB1 baseado na hiptese de que a parte interna da seo de concreto armado estar fissurada e os esforos de toro sero resistidos pela armadura somente, no levando em conta a resistncia do concreto toro. Desta forma a seo tratada como uma seo vazada. Como se est verificando a resistncia do concreto toro, deve-se tratar a seo cheia. Alm disto, as lajes so, na grande maioria do casos, elementos de seo retangular com h b e portanto com o valor de w da eq. (3.1)

igual a 0,333 [vide TIMOSHENKO & GOODIER (1980)]. Segundo PARK & GAMBLE (1980) a mxima tenso cisalhante de toro resistida pelo concreto em lajes pode ser admitida como duas vezes a mesma tenso para vigas.

41

Desta forma tem-se tc = 0,4 fck = 0,34 fck (Mpa). Ensaios relatados em KANOH & YOSHIZAKI (1979) determinam a resistncia a toro em lajes como sendo cinco vezes maior que o valor adotado. O valor de tc ser comparado com wu1.

3.7 Recomendao Para o Clculo do Mximo Momento Volvente

Em PARK & GAMBLE (1979) apresentada uma expresso para o clculo do mximo momento volvente resistido pelo concreto em lajes, de acordo com o ACI. Adaptada para as unidades do sistema internacional de medidas (S.I.), esta expresso :

Mxy c =

h2 3

0,4 fck 1 + 12 w , t

,

h em metros e fck em MPa

Nesta recomendao esto assumidas resistncias do concreto a tenses cisalhantes iguais a 0,33 fck para fora cortante e 0,4 fck para momentos torores e interao circular entre fora cortante e toro, equivalente a adotar-se m=n=2 na eq. (3.2). Exprimindo em funo das tenses, obtm-se:

wd wd td + td 1 + 1 0,85 0,33 fck 0,85 0,4 fck c tc

2

2

2

2

De acordo com a NB1, wu1 a mxima tenso cisalhante resistida pelo concreto. Como no existe nenhuma recomendao para resistncia do

42

concreto a toro, wu1 ser adotada tambm como tenso cisalhante resistida pelo concreto neste caso. Desta forma, de maneira semelhante, chega-se a:

wd + td 1 wu1 wu1

2

2

... (3.4)

A considerao acima equivale a, supondo-se verticais as tenses devidas fora cortante e horizontais as tenses de toro, calcular-se uma tenso cisalhante resultante e compara-la com wu1. Essa tenso resultante ser igual soma vetorial entre a tenso cisalhante devida fora cortante convencional com a mxima tenso cisalhante devida momento toror, sendo importante lembrar que essa simplificao s possvel porque foram adotados coeficientes m=n=2 na eq. (3.2) e resistncia do concreto s tenses cisalhante devidas toro tambm igual a wu1. A ilustra esta situao.

2 2 = wd + td wu1

FIGURA 3.5 - Combinao de tenses cisalhantes em lajes

Escrevendo-se a eq. (3.4) em funo dos esforos, tem-se, para lajes macias:

43

Vd 3 Mxy d 2 d + h wu1 wu1

2

1 2

2

Vd h 2 wu1 Mxy d Mxy c = 1 3 d wu1

... (3.5)

Para outras tipologias de lajes, como por exemplo lajes nervuradas, pode-se calcular as tenses cisalhantes devidas fora cortante e ao momento volvente e fazer a verificao na forma de tenses, utilizando a eq. (3.4), ressaltando-se a necessidade de comprovao experimental para o valor de wu1, no caso de lajes nervuradas. O valor do mximo momento volvente resistido pelo concreto determinado por este critrio menor do que o determinado pelo critrio anterior. Para uma laje macia com d=6 cm e cargas distribudas tem-se, adotando-se as simplificaes descritas anteriormente, wu1 = 0,2285 fck , que equivale a 81% do valor adotado em PARK & GAMBLE (1980) para fora cortante e a 67% do valor adotado para momento toror. Utilizando os conceitos descritos neste captulo, pode-se, de maneira criteriosa, levar em conta a resistncia do concreto ao momento volvente no dimensionamento das armaduras de lajes de concreto armado. Valores de momentos volventes menores que Mxyc, calculado com a eq. (3.5) para o caso de lajes macias, podem ser desprezados no detalhamento. Para valores de Mxy maiores que Mxyc, pode-se diminuir o valor do momento volvente resistido pelo concreto do valor do momento volvente de clculo.

44

4.

SOFTWARE BSICO E DE ANLISE

4.1 Introduo

Para que se pudesse estudar, de um ponto de vista prtico, as implicaes que a utilizao dos conceitos descritos nos captulos 2 e 3 trazem ao clculo de lajes, foram criados modelos matemticos de lajes e pavimentos em elementos finitos. Estes modelos e a anlise dos resultados so descritos no captulo seguinte. Para facilitar o processo de criao de modelos de pavimentos em elementos finitos, existem algoritmos de gerao automtica de malhas. O programa GM utiliza estes algoritmos para gerar uma malha a partir de dados do contorno do pavimento e de pontos e barras principais (pilares e vigas), determinados num arquivo de dados padro ASCII. Uma descrio mais detalhada do procedimento empregado pode ser encontrado em BAPTISTA (1994). A fim de facilitar a entrada de dados para o programa GM desenvolveu-se o programa CADGM, com o qual, a partir de um desenho de forma produzida com o AUTOCAD, o projetista pode marcar os pontos necessrios gerao e o programa automaticamente cria um arquivo com as coordenadas nodais, extrados das informaes grficas. Gerada a malha, existe a necessidade de se intervir no modelo a fim de acertar espessuras e carregamentos dos elementos e restries nodais.

45

Para tanto foi desenvolvido o programa LAJEEF que permite ao projetista conferir e modificar malhas de elementos finitos. O modelo criado processado utilizando-se o programa de elementos finitos LS5H, desenvolvido nos trabalhos CORRA (1991) e RAMALHO (1990). Processado o modelo, tem-se como resultado os momentos Mx, My e Mxy segundo o eixo de coordenadas adotado. O programa MLAJE analisa estes resultados e calcula momentos equivalentes segundo as direes X e Y, segundo a teoria descrita anteriormente, e as reas de armadura necessrias para resistir a estes momentos. A partir da anlise feita, pode-se traar curvas de momento e reas de armadura, utilizando o programa CPLS, de acordo com LISERRE (1993).4.2 O Programa CADGM

Para modelar o pavimento necessrio informar ao programa gerador de malhas as coordenadas dos pontos que formam o contorno do pavimento e pontos especiais. Para tanto se faz necessrio adotar um eixo de coordenadas na forma e, a partir deste, medir as coordenadas X e Y de cada ponto. A partir das cotas da forma pode-se fornecer, para cada ponto, as coordenadas, anot-las no desenho e depois digitar estes dados no arquivo de entrada do gerador de malhas. Este um procedimento lento, alm de estar sujeito a erros de medio, principalmente quando a forma do pavimento irregular. O programa CADGM facilita este procedimento pois permite ao projetista obter estas coordenadas a partir do desenho da forma feita em AUTOCAD, agilizando a entrada de dados e minimizando a incidncia de erros. Para tanto, o projetista deve acessar o desenho da forma do

pavimento no programa AUTOCAD. Em seguida deve marcar, em uma

46

layer de nome GM, os ponto desejados atravs de textos no desenho. A coordenada do texto indicar a coordenada do ponto e o texto propriamente dito deve ser o nmero do n. Deve-se, ento, utilizar a funo dxfout do programa para criar um arquivo DXF que servir de interface. O programa CADGM ir analisar o arquivo DXF, procurar os pontos anotados e criar um novo arquivo contendo as informaes dos ns. Informaes sobre o formato de arquivos .DXF podem ser encontradas em AUTODESK (1989). No programa existem recursos que permitem a gerao das coordenadas em uma unidade de comprimento diferente da existente no desenho original, a imposio de um critrio de proximidade para alinhamento de ns, mudana na origem dos eixos e determinao da aproximao decimal desejada. A seguir, tem-se um exemplo de um arquivo gerado pelo programa CADGM (.)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0.00 5.90 5.90 8.24 8.24 14.00 14.00 16.33 16.33 22.22 22.22 19.13 19.13 10.76 10.76 7.97 7.97 5.85 5.85 0.00 12.47 12.47

0.63 0.63 0.00 0.00 0.63 0.63 0.00 0.00 0.63 0.63 7.69 7.69 10.46 10.46 7.69 7.69 10.46 10.46 7.69 7.69 7.69 9.54

23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

14.31 14.31 0.00 0.00 3.23 3.23 5.90 5.06 5.96 11.12 11.12 11.12 11.12 14.31 16.33 16.27 17.17 19.13 22.22 22.22 7.97

9.54 7.69 1.07 7.26 7.26 7.69 1.07 3.75 3.75 0.63 1.07 3.81 4.51 8.54 1.07 3.75 3.75 7.26 1.07 7.26 8.74

FIGURA 4.1 - Arquivo de sada do programa CADGM

A mostra o desenho da forma do pavimento tipo de Ed. Portal dos Pssaros (projeto de propriedade da TECSOF Engenharia de Estruturas) os ns necessrios gerao anotados.

47

FIGURA 4.2 - Forma do pavimento tipo a ser modelado

4.3 O Programa LAJEEF

48

Com as coordenadas dos pontos obtidas, monta-se o arquivo de entrada de dados do gerador de malhas. A malha gerada com elementos de espessura e carregamento constante e sem restries nos ns segundo a translao em Z, e rotao em torno de X e Y.

FIGURA 4.3 - Malha gerada pelo programa GM

H necessidade de se intervir na malha, para determinar regies de espessuras e carregamentos diferentes e restries nodais. Alm disto, existe a necessidade de conferir a malha gerada e suas alteraes. O programa LAJEEF utilizado para alterar e conferir as malhas geradas, possuindo os recursos descritos acima e ainda a possibilidade de eliminao de elementos e ns da malha. um programa de interface grfica com recursos de zoom e utilizao de mouse, o que torna seu uso fcil. Os arquivos de entrada de dados dos modelos so formatados de acordo com ALGOR SUPERDRAW SYSTEM (1987). Na tela inicial do programa perguntado o nome do arquivo de dados. Depois do arquivo lido mostrada uma tela grfica com os comandos possveis e o desenho da malha. Os recursos do programa so: i) visualizao dos elementos; ii) visualizao dos nmeros dos elementos; iii) visualizao dos ns;

49

iv) visualizao dos nmeros dos ns; v) zoom no desenho a partir de coordenadas fornecidas; vi) zoom a partir de janela definida com a utilizao do mouse; vii) regulagem da dimenso dos caracteres utilizados para desenhar os nmeros dos ns e elementos; viii) visualizao dos carregamentos adotados em cada elemento; ix) visualizao das espessuras de cada elemento; x) restaurao da tela inicial do programa; xi) conferncia das restries adotadas em cada n; xii) alterao de linha de restries; xiii) alterao dos carregamentos dos elementos; xiv) alterao das espessuras dos elementos; xv) eliminao de elementos e ns da malha. xvi) gravao das alteraes;

A utilizao deste programa facilita o trabalho do projetista pois fornece ferramentas que agilizam o processo de modelagem do pavimento e oferece uma maior confiabilidade ao modelo, permitindo que sejam conferidas vrias das suas caractersticas. Um projetista que possusse as ferramentas de gerao de malha e no dispusesse de um software de alterao e visualizao desta malha teria que imprimir os dados do modelo e, com a ajuda de um editor de textos, modificar um a um cada elemento e/ou n. Em seguida teria que reimprimir os dados para conferir as alteraes, sendo este um procedimento demorado e de baixa confiabilidade.

50

FIGURA 4.4 - Tela do programa LAJEEF mostrando as espessuras dos elementos placa

As ferramentas de eliminao de ns e elementos permitem uma agilidade ainda maior ao clculo de pavimentos. Em um edifcio de andares mltiplos comum existirem pavimentos semelhantes. A eliminao de ns e elementos permite aproveitar a malha de um pavimento para a modelagem de outro. Permite, tambm, que alteraes na forma do pavimento sejam facilmente impostas ao modelo.4.4 O Programa MLAJE

Depois de processado o pavimento, existe a necessidade de se analisarem os esforos resultantes, e determinarem-se os momentos positivos e negativos equivalentes em cada ponto da laje. O programa MLAJE calcula os momentos equivalentes e as reas de armadura necessrias em cada ponto da laje, a partir dos esforos calculados. Para tanto, o usurio deve informar ao programa as unidades

51

utilizadas, a resistncia do concreto e do ao, a caracterstica do carregamento e as sees de laje utilizadas. As armaduras so assumidas dispostas segundo os eixos X e Y. Foi prevista a possibilidade de haverem espessuras de lajes diferentes no pavimento, devendo o usurio determinar contornos diferentes para cada espessura de laje. O arquivo de entrada de dados tem o seguinte formato: PROJETO CLIENTE ESTRUTURA UNIDADE DE FORA UNIDADE DE COMPRIMENTO FCK FYK

[para cada regio de laje diferente] CTN1 h, d, d, C, O,onde C = relao entre a soma das cargas distribudas e a soma total de cargas na laje (de acordo com item 3.4), O = opo para considerar a resistncia do concreto ao momento volvente (O=0, considerar; O=1, no considerar) momento resistido pela armadura mnima positiva momento resistido pela armadura mnima negativa

n1, n2,..., nf (ns que definem o contorno da regio) .

52

. .

FIM Inicialmente determinado o mximo momento volvente resistido pelo concreto de acordo com as eqs. (3.3) e (3.5):

wu1 = (0,06 C + 0,08) 106 (16 d ) fck 10 , , , Vd h 2 wu1 Mxy c = 1 3 14 , d wu1 2

O valor das cortante segundo as direes X e Y podem ser obtidos a partir das derivadas dos momentos. Se o valor de Mxy for menor ou igual a Mxyc, os momentos equivalentes so iguais aos momentos Mx e My. Se no for, subtrai-se o valor Mxyc de Mxy, e calculam-se os momentos equivalentes positivos e negativos:

i)

momentos equivalentes positivos [eqs. (2.7)]:* M x = M x + M xy * M y = M y + M xy

se ambos M*x e M*y resultarem negativos, no h necessidade de armadura positiva e os momentos equivalentes positivos so feitos iguais a zero. Caso contrrio, se ambos M*x e M*y resultarem em valores menores que M+min, estes so feitos iguais ao momento mnimo,

53

se apenas M*x for menor que M+min; adota-se M*x = M+min, calcula-se K com a eq. (2.5) e recalcula-se M*y com a segunda das eqs. (2.6):

* Mx Mx K= M xy

* My = My +

1 . M xy K

caso somente M*y seja menor que M+min, ento adota-se M*y = M+min, calcula-se K com a eq. (2.4) e recalcula-se M*x com a primeira das eqs. (2.6);K= M xy* My My

* M x = M x + K . M xy

ii)

momentos equivalentes negativos [eqs. (2.8)]:

* Mx = M x Mxy * My = My Mxy

se ambos M*x e M*y resultarem positivos, no h necessidade de armadura negativa e os momentos equivalentes negativos so feitos iguais a zero. Caso contrrio, se ambos M*x e M*y resultarem em valores maiores que M-min (valor negativo), estes so feitos iguais ao momento mnimo. se apenas M*x for maior que M-min, adota-se M*x = M-min, calcula-se K e recalcula-se M*y:

54

K=

M* M x x Mxy

M* = M y y

1 . Mxy K

caso somente M*y seja maior que M+min, ento adota-se M*y = M+min, calcula-se K e recalcula-se M*x ; K= Mxy M* M y y

M* = Mx K. Mxy x

Nesse roteiro de clculo procurou-se determinar os menores momentos equivalentes (e conseqentemente menores armaduras) possveis, de acordo com os critrios discutidos nos captulos 2 e 3. Desta forma houve uma preocupao em levar em conta a resistncia do concreto ao Mxy e em verificar a possibilidade dos momentos equivalentes serem menores que o momento resistido pela armadura mnima. Com os valores dos momentos equivalentes positivos e negativos so calculadas as armaduras necessrias em cada ponto da laje. A sub-rotina do programa MLAJE para clculo dos momentos equivalentes est descrita no Anexo A.

55

5.

EXEMPLOS

5.1 Introduo

Procurando ilustrar os conceitos anteriormente descritos, so mostrados a seguir exemplos da utilizao desses conceitos. Nos exemplos 1 e 2 foram calculados os esforos em alguns pontos de uma laje quadrada apoiada e engastada em seus quatro lados, respectivamente. A partir dos esforos calculados mostrado como tratar o terno de esforos Mx, My e Mxy, considerando-se a armadura disposta em duas direes ortogonais. No item 5.4 ilustrado como tratarem-se casos em que um momento calculado menor que o momento resistido pelo armadura mnima e o outro maior. Nos dois itens seguintes so mostrados exemplos com armaduras dispostas em duas direes oblquas. Em seguida feito um estudo em algumas lajes retangulares apoiadas nos quatro lados, procurando avaliar as recomendaes existentes em normas para as armaduras de canto dessas lajes. Finalmente feito um estudo comparando-se o detalhamento das lajes de um pavimento tipo, calculado pelo mtodo das charneiras plsticas, por elementos finitos sem a considerao do momento volvente e por elementos finitos, considerando-se o momento volvente.

56

5.2 Exemplo 1

Laje macia apoiada em quatro lados indeslocveis, conforme e .

h = 7 cm d = 6 cm concreto C20 = 0,20 q = 3,0 KN / m2

FIGURA 5.1 - Laje do Exemplo 1

TABELA 5.1 - Posio dos pontos analisados no Exemplo 1

A X (m) Y (m)

B

C

D

E

1,909 0,091 0,091 1,000 1,546 0,091 0,091 1,546 1,000 1,727

Para calculo dos esforos na laje, foi criada uma malha de 121 elementos quadrados, modelando o quadrante superior4

esquerdo.

Processado o modelo, obtiveram-se os resultados mostrados na . TABELA 5.2 - Esforos do Exemplo 1

Ponto A B

Mx 3,87 0,45

My 3,87 0,32

Mxy -0,01 -0,19

Vx 0,07 2,51

Vy 0,15 0,21

4

No presente captulo, quando no indicadas so adotadas as unidades kN e m para representar as grandezas de fora e de comprimento

57

C D E

0,05 2,38 0,90

0,05 2,38 1,21

-3,22 -1,34 -0,95

0,48 2,24 0,15

0,48 2,24 5,57

Empregando um procedimento simples, utilizando as eqs. (2.7) e (2.8) sem verificar a armadura mnima e a resistncia do concreto, tem-se:

ponto A: armadura positiva: M*x = M*y = 3,87 + 0,01 = 3,88 armadura negativa: M*x = M*y = 3,87 - 0,01 = 3,86 > 0, no h necessidade de armadura negativa ponto B: armadura positiva: M*x = 0,45 + 0,19 = 0,64 M*y = 0,32 + 0,19 = 0,51 armadura negativa: M*x = 0,45 - 0,19 = 0,26 M*y = 0,32 - 0,19 = 0,13 no h necessidade de armadura negativa.

ponto C: armadura positiva: M*x = M*y = 0,05 + 3,22 = 3,27 armadura negativa: M*x = M*y = 0,05 - 3,22 = -3,17

ponto D: armadura positiva: M*x = M*y = 2,38 + 1,34 = 3,72 armadura negativa: M*x = M*y = 2,38 - 1,34 = 1,04

58

no h necessidade de armadura negativa.

ponto E: armadura positiva: M*x = 0,90 + 0,95 = 1,85 M*y = 1,21 + 0,95 = 2,16 armadura negativa: M*x = 0,90 - 0,95 = -0,05 M*y = 1,21 - 0,95 = 0,26

A partir dos momentos equivalentes foram determinadas as armaduras necessrias em cada ponto da laje, considerando uma armadura mnima de 0,12% de h, igual a 0,84 cm2/m. A mostra as reas de armadura calculadas.TABELA 5.3 - Armaduras do Exemplo 1 (cm2/m)

Ponto A B C D E

Asx+ 2,23 0,84 1,86 2,14 1,02

Asy+ 2,23 0,84 1,86 2,14 1,20

Asx0 0 1,79 0 0,84

Asy0 0 1,79 0 0

No ponto B so necessrias apenas armaduras mnimas, no sendo eficiente fazer verificaes mais detalhadas. Para os demais pontos interessante a verificao da resistncia do concreto ao momento volvente, procurando diminuir a quantidade de armadura necessria para resistir aos esforos. Desta forma, utilizando a eq. (3.3), tem-se:

wu1 = (0,06 1 + 0,08) 106 (160 0,06) 20 = 102 = 10 MPa , , , ,ponto A: Vmax= 0,15 KN / m

59

Mxyc =

14 015 103 0,072 10 , , , 1