tese de doutorado

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EDIVALDO ANTONIO BULBA CONTRIBUIÇÕES AO ESTUDO DE ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO FUNCIONAL São Paulo 2003 Tese apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do Título de Doutor em Engenharia

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Page 1: TESE DE DOUTORADO

EDIVALDO ANTONIO BULBA

CONTRIBUIÇÕES AO ESTUDO DE ÍNDICES DECAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO FUNCIONAL

São Paulo2003

Tese apresentada à Escola Politécnica daUniversidade de São Paulo paraobtenção do Título de Doutor emEngenharia

Page 2: TESE DE DOUTORADO

EDIVALDO ANTONIO BULBA

CONTRIBUIÇÕES AO ESTUDO DE ÍNDICES DECAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO FUNCIONAL

São Paulo2003

Tese apresentada à Escola Politécnica daUniversidade de São Paulo paraobtenção do Título de Doutor emEngenharia

Área de Concentração:Engenharia de Produção

Orientadora:Prof. Dra. Linda Lee Ho

Page 3: TESE DE DOUTORADO

A minha esposa Ildonê e a minha filha Débora -desejo-lhes o maior bem.

Page 4: TESE DE DOUTORADO

AGRADECIMENTOS

A Deus, acima de tudo.

A minha incansável orientadora.

Ao Prof. Roberto Gilioli Rotondaro, sem seu incentivo eu não teriarealizado este trabalho.

Aos meus amigos da FEI, FATEC e SÃO JUDAS pelas mais variadasajudas prestadas.

A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram na execução destetrabalho.

Page 5: TESE DE DOUTORADO

Resumo

“Neste trabalho são apresentados métodos baseados na linearização local obtida pordiferenciação total para a determinação dos índices de capacidade usuais (Cp e Cpk)da característica de qualidade não observável Y obtida indiretamente através de umarelação funcional conhecida 1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X= , tendo cada variável de entrada

iX , média e variância respectivamente iguais a Xiµ e σ 2Xi ; tolerâncias XiT ,

1,2,3,....i k= são conhecidas. Tais índices de capacidade resultantes, a quechamaremos de índices de capacidade de uma relação funcional, têm duas aplicaçõesprincipais: seus parâmetros podem ser usados na fase de projeto dos processos, oupara ajudar no controle, na fase produtiva, sendo que, neste caso, serão obtidas asestimativas por ponto e por intervalo de Cp e Cpk da variável não observável Y ,obtida indiretamente pelas várias variáveis de entrada.”

Page 6: TESE DE DOUTORADO

Abstract

“Here we present methods based on local li nearization obtained for totaldifferentiation on to determine usual capabili ty indices as Cp and Cpk for a non-observable quali ty characteristic Y obtained through a known relational function

1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X= ; each input iX is a random variable with mean and

variance equals to Xiµ and σ 2Xi ; tolerances XiT , 1,2,3,....i k= are known. Such

capabili ty indices are useful in two main applications: these parameters can be usedin the design of process phase, or in productive phase (helping to make statisticalcontrol). In this last case, the parameters (Cp and Cpk) can be estimated from thevalues of input variables. Here we presented confident intervals for the capabili tyindices for the non-observable output variable Y, indirectly obtained through theinput variables.”

Page 7: TESE DE DOUTORADO

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................11.1 Objetivos e conteúdo do Trabalho ...............................................3

2 MÉTODO DA LINEARIZAÇÃO LOCAL NA OBTENÇÃO DOSPARÂMETROS DA RELAÇÃO FUNCIONAL .................................6

2.1 Parâmetros da relação funcional ..................................................62.2 Análise de Sensibilidade.............................................................122.3 Determinação do erro por empregar a diferenciação limitadaà pr imeira ordem ...............................................................................16

3 MÉTODOS PARA DEFINIÇÃO DAS TOLERÂNCIAS NOPROJETO ..............................................................................................27

3.1 Introdução....................................................................................273.2 Análise e distr ibuição das tolerâncias........................................283.2.1 Método Determinístico da Intercambiabilidade Total ..........313.2.2 Métodos Estatísticos na análise de tolerâncias evar iabil idade acumuladas.................................................................353.2.3 Lei geral de propagação do erro aplicado ao método daintercambiabilidade parcial ..............................................................363.2.4 – Método por simulação ...........................................................39

4 ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA RELAÇÃOFUNCIONAL .........................................................................................42

4.1 Introdução....................................................................................424.2 Índice de capacidade YCp de uma relação funcional - noprojeto .................................................................................................504.3 Índice de capacidade YCpk de uma relação funcional - noprojeto .................................................................................................554.4 Exemplo numérico do efeito de substituir -se uma relação não-linear por linear no projeto...............................................................564.5 Programas para obtenção de YCp e YCpk .................................594.6 Índices de capacidade de uma relação funcional emdistr ibuições não normais..................................................................60

5 ESTIMAÇÃO DOS ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMARELAÇÃO FUNCIONAL ....................................................................65

5.1 Introdução.....................................................................................655.2 Estimação por ponto e intervalar de YCp .................................655.3 Estimação por ponto e intervalar de YCpk ...............................76

6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.......................................................836.1 Exemplo 1- Ajuste com folga....................................................836.2 Exemplo 2 - Área de um retângulo............................................89

Page 8: TESE DE DOUTORADO

7 CONCLUSÕES.................................................................................967.1 Proposta de novas pesquisas......................................................98

ANEXO A.............................................................................................101ANEXO B.............................................................................................107ANEXO C.............................................................................................111ANEXO D.............................................................................................116ANEXO E.............................................................................................119ANEXO F .............................................................................................120LISTA DE REFERÊNCIAS...............................................................124

Page 9: TESE DE DOUTORADO

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Exemplos de correlação..............................................................................10Figura 2 - Redução da var iação na var iável de resposta...........................................13Figura 3 – Alteração na geometr ia por conta do projeto por parâmetros ..............15Figura 4 – I lustração do conceito de derivada............................................................17Figura 5 – Diferenciais parciais de pr imeira ordem para duas var iáveis................18Figura 6 – Err o “ ε ∆i ix ” para cada var iável de entrada .......................................21Figura 7 – L inear ização com incrementos bilaterais.................................................23Figura 8- Distr ibuição de tolerâncias (método determinístico) ................................29Figura 9- Distr ibuição de var iabili dade (método estatístico)....................................30Figura 10 - Pr incipais métodos para análise e distr ibuição de tolerâncias evar iabili dade..................................................................................................................31Figura 11 - Contr ibuição de 1 1 1X X XT B C= − para YT ...............................................33Figura 12 - Contr ibuição de 2 2 2X X XT B C= − para YT ..............................................33Figura 13 - Modelo não linear com acúmulo de 2 tolerâncias de entrada...............34Figura 14 - Var iabili dade reduzida na var iável de resposta pela aplicação da leigeral de propagação do erro.........................................................................................36Figura 15 - Comparação dos métodos da intercambiabili dade total e parcial.......38Figura 16 - Distr ibuição dos processos A e B .............................................................44Figura 17- Evolução do Índice Cp ...............................................................................47Figura 18 - Processos com qualidade de 3 e 6 sigma................................................48Figura 19 – Efeito da oscilação de ±

1,5σ em (µ ).........................................................48

Figura 20 - Acúmulo de tolerâncias e var iabili dade num modelo não linear comduas var iáveis de entrada.............................................................................................51Figura 21 - Exemplo de modelo não linear 1 2.Y X X= .............................................56Figura 22 - Distr ibuição uniforme...............................................................................62Figura 23 - Comparação de uma normal com a combinação de duasdistr ibuições uniformes.................................................................................................63Figura 24 - Resultado da combinação de 3 distr ibuições uniformes iguais.............63Figura 25 - Suposta região para o intervalo de confiança de Cpk ...........................77Figura 26 - Exemplo de ajuste com folga....................................................................84Figura 27 - Exemplo de controle da área de um retângulo.......................................89Figura 28 - Montagem de resistores em série...........................................................101Figura 29 - Ajuste com folga entre um eixo e um furo ............................................102Figura 30 - Cotas num motor de combustão interna...............................................103Figura 31 - Montagem de resistores em paralelo....................................................105Figura 32 – Controle geométr ico de um ângulo em um tr iângulo.........................105Figura 33 – Volume de um cili ndro...........................................................................106Figura 34 – I lustração da demonstração do teorema da aproximação linear .......108Figura 35 - Histograma resultante da simulação (massa molar do metano) .........113Figura 36 - Teste de Anderson Dar ling (massa molar do Metano) ........................114Figura 37 - Colunas da planilha excel .......................................................................118Figura 38 - O confli to de interesses na designação das tolerâncias........................121

Page 10: TESE DE DOUTORADO

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1- Faixas de níveis de confiança (γ ) de 90% e 95% relativos a intervalosde confiança bilaterais para o os métodos de Satterthwaite e Graybill -Wang............75

Tabela 5.2- Tamanho de amostras para simulação.....................................................80

Tabela 5.3- Valores de variância para simulação.......................................................81

Tabela 5.4 - Níveis de Confiança de 90% e 95%, obtidos pela combinação do métodode Bissel, para obtenção aproximada do intervalo de Cpk, da variável de respostacom os graus de liberdade equivalentes de Satterthwaite, a partir de 10000simulações de intervalos de confiança para cadacaso.............................................................................................................................82

Page 11: TESE DE DOUTORADO

LISTA DE SÍMBOLOS

2X - Relação funcional entre as variáveis de entrada

iX - Variável de entrada i no seu valor médioY – Variável de resposta

YCp - Parâmetro do Índice de capacidade Cp na variável de respostaˆ

YCp - Estimativa do Índice de capacidade Cp na variável de resposta

YCpk - Parâmetro do Índice de capacidade Cpk na variável de respostaˆ

YCpk - Estimativa do Índice de capacidade Cpk na variável de resposta

XiU - Limite Superior da Especificação de iX

XiL – Limite Inferior da Especificação de iX

Xiσ - Desvio padrão da variável de entrada iX

Yσ - Desvio padrão da variável de resposta

ˆXiσ - Desvio padrão estimado da variável de entrada iXˆYσ - Desvio padrão estimado da variável de resposta

,Xi Xjσ - Covariância entre variáveis de entrada iX e jX

XiP - Erro sistemático da variável de entrada iXˆXiP - Erro sistemático estimado das variável de entrada iX

Xik - Fator k de descentralização da variável iX

Yk - Fator k de descentralização da variável de resposta

XiT - Tolerância da variável de entrada iX

YT - Tolerância da variável de resposta

Yd - Diferencial Total da variável de resposta

Xi∂ - Diferencial parcial da variável de entrada iX

Xi∆ - Incremento da variável de entrada iX

Y∆ - Incremento da variável de resposta

i

fX∂

∂- Derivada de primeira ordem da variável de entrada iX ; coeficiente de

sensibili dade2

i j

fX X∂

∂ ∂- Derivada de segunda ordem relativo às variáveis iX e jX

i Xiε ∆ - Contribuição da variável de entrada iX no erro da variável de resposta

ε∆ iY - Erro inferior de diferenciais bilaterais de primeira ordem na resposta

ε∆ sY - Erro superior de diferenciais bilaterais de primeira ordem na resposta

Xim - Valor Central de um incremento bilateral e determinístico da variável de

entrada iX ou valor central da Tolerância da variável de entrada iX

Ym - Valor Central de um incremento bilateral e determinístico da variável deresposta Y ou valor central da Tolerância da variável de resposta Yρ - Coeficiente de correlação

Page 12: TESE DE DOUTORADO

ρ - Coeficiente de correlação estimado

Xiµ - Média da variável de entrada iX

Yµ - Média da variável de saída YˆXiµ - Média estimada da variável de entrada iXˆYµ - Média estimada da variável de saída Y

XiR - Contribuição relativa da variância 2Xiσ na variância 2

YσXiRT - Contribuição relativa de XiT em YT

2d - Fator de correção pela substituição de Xiσ por XiR4c - Fator de correção pela substituição de Xiσ por Xis

Xin - Tamanho da amostra da variável de entrada iX

Yν - graus de liberdade equivalentes na variável de resposta Y2

/ 2αχ - Distribuição Qui-quadrado

22

Yχσ - Variância da Distribuição Qui-quadrado

22ˆYσσ - Variância da distribuição de 2ˆYσ

/ 2zα - Distribuição Normal Padronizada

: ,XiFα ν ∞ - Distribuição de Fisher

,1 / 2tν α− - Distribuição t de student

γ - Nível de confiançaα - Nível de significância

Page 13: TESE DE DOUTORADO

1

1 INTRODUÇÃO

A avaliação de quão adequado é um processo para cumprir determinadas

especificações de engenharia por meio dos índices de capacidade tem sido aplicada

com intensidade crescente, desde que JURAN (1974) introduziu o conceito básico de

índices de capacidade. Dada a importância destes índices, o periódico JOURNAL OF

QUALITY TECHNOLOGY (1992) dedicou um número especial a este tópico e,

mais recentemente, outro número do periódico [JQT (2002)] fez uma revisão de

cerca de 170 publicações sobre os índices de capacidade, entre 1992 a 2000. KOTZ e

JOHNSON (1993) e BOTHE(1997) entre outros publicaram livros que tratam

exclusivamente deste tema.

Não obstante, os índices de capacidade de uma relação funcional foram muito

pouco explorados. Comumente na engenharia ocorrem situações em que uma

característica de qualidade é obtida indiretamente, por outras características. Isto é, a

característica de qualidade Y é dependente de um certo número de variáveis de

entrada 1 2 3 k( ; ; ;..... )X X X X , relacionadas por uma função conhecida:

1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X=

sendo esta relação funcional li near ou não linear. (Vejam-se exemplos no Anexo A.)

Nas situações em que se obtêm indiretamente a característica de qualidade da

variável resultante por meio de diversas variáveis de entrada, haverá um acúmulo de

tolerâncias de projeto e, consequentemente, acúmulo de variabili dade decorrentes

dos processos de fabricação.

Do ponto de vista da qualidade, este aspecto é de grande importância, pois o

acúmulo resultante das tolerâncias e de variabili dade produzirá faixas de variação

Page 14: TESE DE DOUTORADO

2

que poderá acarretar uma “função perda” significativa [TAGUCHI(1991) e ROSS

(1991)].

Por sua vez, o conceito da “função perda” contrasta com o conceito tradicional

de conformidade, que pode ser traduzido como o mero cumprimento de

especificações. Obviamente se o valor da característica crítica de qualidade se

encontra próximo dos extremos da tolerância (limites superior e inferior da

especificação), os atributos da qualidade, como confiabili dade, intercambiabili dade,

durabili dade, funcionabili dade etc., poderão não ser mantidos no mesmo nível, caso

a característica seja encontrada próxima do valor central da mesma tolerância.

Este enfoque mais recente de conformidade utili za índices de capacidade tais

como Cp e Cpk, como indicadores que efetuam uma comparação de quão próxima

ou distante a característica de qualidade pode estar do seu valor nominal. Os índices

de capacidade, na grande maioria dos casos, são empregados no estudo de uma

característica de qualidade especial isolada e medida diretamente do processo de

manufatura. Este trabalho visa a apresentar como obter estes mesmos índices na

situação de acúmulo de tolerâncias e variabili dade, quando a característica de

qualidade é obtida indiretamente por um modelo matemático conhecido.

Se o enfoque mais recente de conformidade se reveste de grande valor para

aprimorar os atributos da qualidade junto a características isoladas, isto será ainda

mais significativo quando ocorrer um acúmulo de tolerâncias e variabili dade.

[GARVIN(1992)]

Page 15: TESE DE DOUTORADO

3

1.1 Objetivos e conteúdo do Trabalho

O propósito deste trabalho é apresentar um método para a obtenção do índice de

capacidade de uma relação funcional da característica de qualidade na resposta, que é

obtido indiretamente, por meio de variáveis de entrada de outras características,

dentro das seguintes condições de contorno:

- distribuições de probabili dade das variáveis de entrada e da variável de saída

são normais ou aproximadamente normais;

- conhecimento da relação funcional que relaciona as variáveis de entrada e a

variável de resposta (modelo univariado);

- as tolerâncias e variâncias das variáveis de entrada têm valores

suficientemente pequenos, a fim de propiciar uma linearização localizada,

com erros desprezíveis;

- abordar-se-á a condição “nominal é melhor” , quando a variabili dade e a

tolerância são distribuídas simetricamente em torno do valor nominal.

Nessas condições, os objetivos são:

- determinação dos índices de capacidade de uma relação funcional (na

variável de resposta) como parâmetros na fase de projeto;

- análise do efeito das correlações nos parâmetros dos índices de capacidade

obtidos de uma relação funcional na fase de projeto;

- estimação, por ponto e por intervalo, dos índices de capacidade obtidos de

uma relação funcional.

Page 16: TESE DE DOUTORADO

4

Genericamente, há condições de obter os intervalos de confiança para a variância da

relação funcional apenas estabelecendo que a função é linear ou linearizável por

meio da diferenciação limitada à primeira ordem da série de Taylor, e que as

variáveis de entrada sejam normais e independentes, tendo como consequência uma

variável de resposta também normal [RABINOVICH (2000)]. Mesmo dentro destas

condições, os intervalos de confiança obtidos são valores aproximados, sendo muito

difícil obter valores exatos para tais [GRAYBILL e WANG(1980)]. Estes intervalos

de confiança para a variância da relação funcional, por sua vez, são fundamentais

para a obtenção dos intervalos de confiança para os índices de capacidade da relação

funcional.

O conteúdo do trabalho está assim disposto:

No primeiro capítulo, estão apresentados os objetivos do trabalho. No segundo,

serão revisados alguns conceitos básicos de cálculo e estatística, que servirão de base

para o desenvolvimento desta tese. A diferenciação limitada à primeira ordem da

série de Taylor, técnica de linearização local empregada para obter os índices de

capacidade de uma relação funcional e o respectivo cálculo do erro devido à

linearização serão abordados também neste capítulo. A aplicação desta técnica será

realizada com enfoques determinístico e estatístico. Será verificado como a variância

da variável de resposta pode ser influenciada pelas correlações entre as variáveis de

entrada e também pelos coeficientes de sensibili dade obtidos pelo cálculo diferencial.

No terceiro capítulo, o enfoque está nas tolerâncias de projeto. Serão apresentados os

métodos clássicos para análise e distribuição do acúmulo de tolerâncias e

variabili dade comumente usados durante o projeto.

Page 17: TESE DE DOUTORADO

5

No quarto capítulo, far-se-á uma revisão comentada dos índices de capacidade mais

utili zados. Em seguida, será visto como determinar os índices de capacidade de uma

relação funcional ( YCp e YCpk ) na análise em projetos a partir dos parâmetros

associados às variáveis de entrada.

No capítulo cinco, são apresentados métodos para determinação da estimação por

ponto, bem como a determinação dos intervalos de confiança dos índices YCp e

YCpk da variável de resposta.

A aplicação dos métodos propostos estabelece o conteúdo do sexto capítulo.

Conclusões do trabalho e oportunidades de novas pesquisas vinculadas ao tema

encerram este trabalho, no capítulo sete.

Page 18: TESE DE DOUTORADO

6

2 MÉTODO DA LINEARIZAÇÃO LOCAL NA OBTENÇÃO DOS

PARÂMETROS DA RELAÇÃO FUNCIONAL

Neste capítulo, está descrito o método de cálculo aproximado para obtenção

dos parâmetros da relação funcional por meio da primeira ordem da série de Taylor,

bem como a determinação do erro por aplicar esta técnica de linearização.

Analisaremos a influência que a correlação entre as variáveis de entrada exerce sobre

tais parâmetros. O capítulo encerra-se evidenciando a importância das derivadas

parciais.

2.1 Parâmetros da relação funcional

Se a relação funcional é linear, e as variáveis de entrada (independentes ou não)

são normalmente distribuídas, então a variável de resposta também será normal

[DIETRICH (1991)]. Por sua vez, a normalidade da variável de resposta propicia a

obtenção dos índices de capacidade e seus respectivos intervalos de confiança, dentro

das condições estabelecidas no Capítulo 1. Neste caso de relação funcional li near, a

média e variância não observáveis da variável de resposta são, respectivamente:

( )µ µ= =

= = =∑ ∑1 1

( )K K

Y i i i Xii i

E Y a E X a

( ) ( )2 2

1 1 1

12 2

,1 1 1

var( ) var 2 cov ,

2 .

K K K

Y i i i j i ji i j i

K K K

i Xi i j Xi Xj Xi Xji i j i

Y a X a a X X

a a a

σ

σ ρ σ σ

= = = +

= = = +

= = +

= +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

onde Y é a variável de resposta, iX são variáveis de entrada, ( )iX iE Xµ = ,

( )var i XiX σ= , ( )cov ,i jX X é a covariância entre iX e jX dada por , .Xi Xj Xi Xjρ σ σ ,

Page 19: TESE DE DOUTORADO

7

onde ,Xi Xjρ é o coeficiente de correlação entre as variáveis de entrada iX e jX , e ia

constantes.

No entanto, mesmo tendo todas distribuições de entrada como normais, se o

modelo matemático não for linear, a variável Y pode não ter distribuição normal, e

provavelmente nem simétrica; consequentemente, o desvio padrão não pode ser

usado como indicador de uma dispersão simétrica, e a média não coincidirá com a

mediana, de modo que a condição “nominal é melhor” com variação da função

distribuída simetricamente ao redor do valor nominal não é obtida.

Neste caso, uma aproximação por meio da linearização local obtida pela

diferenciação limitada à primeira ordem da série de Taylor junto às variações das

variáveis de entrada surge como alternativa, desde que sejam respeitadas certas

condições. Segundo HALD (1952) e a guia ISO-GUM (1998), a normalidade da

variável de resposta de uma função linearizada é aceitável se as variáveis de entrada

forem normais e suas variações forem suficientemente pequenas.

A aplicação desta técnica de linearização torna simples o cálculo aproximado da

média e desvio padrão de funções não lineares, pois a obtenção dos valores exatos

destes parâmetros pode ser extremamente difícil , segundo LARSEN e MARX

(2001). Outros autores corroboram esse argumento: GREEN e BOURNE (1972)

afirmam que encontrar os parâmetros resultantes de uma distribuição combinada

pode ser muito trabalhoso quando a função é complexa. MANDEL (1964) menciona

que o cálculo exato da variância de uma função não linear com várias variáveis de

entrada sujeitas a erro é um problema de considerável complexidade matemática.

GOODMAN (1960) apresenta um artigo cuja finalidade é obter a expressão exata de

variâncias de funções definidas a partir de produto de variáveis. COOLEMAN;

Page 20: TESE DE DOUTORADO

8

STEELE (1989), MOOD; GRAYBILL (1974), MEYER (1983) e MELCHERS

(1999) também confirmam esta dificuldade e recomendam um cálculo aproximado

dos parâmetros da variável de resposta por meio do emprego da primeira ordem da

série de Taylor. Já na primeira metade do século passado, SHEWART (1931)

utili zou a primeira ordem da série de Taylor como um método eficaz para linearizar

funções não lineares. HAUGEN (1968) emprega o método da máxima

verossimilhança, método dos momentos e a diferenciação limitada à primeira ordem,

a fim de obter o valor da média e variância de funções simples, tais como adição,

subtração, produto e quociente, considerando as variáveis de entrada normais e

identicamente distribuídas. Sua conclusão é que, para variâncias pequenas, o método

aproximado da diferenciação limitada à primeira ordem oferece boas aproximações.

No Anexo D, apresentamos o cálculo exato da variância para o exemplo constante na

Seção 6.2, a título de compará-lo com o método aproximado da diferenciação.

O método aproximado da diferenciação total depende do cálculo de derivadas

parciais, porém este cálculo não constitui dificuldade, por mais complexo que o

modelo matemático possa se apresentar, pois hoje há programas matemáticos

disponíveis e de fácil manuseio que determinam literal ou numericamente as

derivadas parciais. Exemplos destes programas são o MATHEMATICA(2002),

MATHCAD(2002) e MATLAB(2000). Contudo, por enquanto, esta mesma

facili dade computacional não é encontrada para o cálculo simbólico ou numérico da

variância de uma relação funcional. O programa MATHSTATICA (2002) é o que

mais se aproxima desta aplicação, pois por meio dele é possível obter o valor exato,

numérica ou simbolicamente para os casos de funções de uma variável de entrada

[ROSE; SMITH (2002)]. Os desenvolvedores estão empenhados em disponibili zar

Page 21: TESE DE DOUTORADO

9

uma versão futura que ofereça esta mesma facili dade para o cálculo de variâncias de

relações funcionais com mais de uma variável de entrada.

Diante destes argumentos, por expandir a função 1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X= numa

série de Taylor, em torno dos valores médios 1, 2,.....( )X X Xiµ µ µ , temos:

1, 2,.....1

( ) ( )Xi

K

X X Xi i Xi Xii i

fY f X R

X µµ µ µ µ ==

∂= + − +∂∑

onde R representa os termos de ordem superior. Por limitar os termos à primeira

ordem, nós teremos as seguintes aproximações:

( )1 2 3 ; 1,2,3...( ) ; ; ;.....XiY k Xi i KE Y f X X X X µµ = == ≅ (2.1)

2

2 2

1

var( )Xi

K

Y Xi Xii i

fY

X µσ σ==

∂= ≅ ∂ ∑ (2.2)

Estes parâmetros, sob o efeito de correlações entre as variáveis de entrada, ficam:

( )1 2 3 ; 1,2,3...

2

,1 1

( ) ; ; ;.....

.

Xi

Xi

Y k Xi i K

K K

Xi Xi Xj Xi Xjj i i j

E Y f X X X X

fX X

µ

µ

µ

ρ σ σ

= =

== =

= ≅ +

∂+ ∂ ∂ ∑∑

(2.3)

21

2 2,

1 1 1

var( ) 2Xi

K K K

Y Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j ii i j

f f fY

X X Xµσ σ σ σ ρ−

== = = +

∂ ∂ ∂= ≅ + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ (2.4)

Todavia, dentro das condições estabelecidas neste trabalho, o segundo termo

para a aproximação da média, na expressão (2.3), existente quando há correlação

entre as variáveis de entrada, pode ser considerado desprezível. [KENNEDY;

NEVILLE (1986)], [MELCHERS (1999)], [LI e WU(1999)].

Por outro lado, o termo de correlação na aproximação da variância em (2.4) não

pode ser desconsiderado, pois a correlação entre as variáveis de entrada pode exercer

forte influência no valor da variância da variável de resposta. [BISSEL(1994)]

Page 22: TESE DE DOUTORADO

10

O valor do coeficiente de correlação ,Xi Xjρ varia entre +1 e –1. Quando o valor

de uma variável iX aumenta, o mesmo ocorre com a variável jX ; de modo análogo,

se o valor de iX diminui, jX também diminui. Se a correlação for negativa, iX

cresce enquanto enquanto jX decresce. Na Figura 1, temos alguns casos de

correlação:

iX iX

iX e jX são independentes iX e jX são fortemente dependentes

ρ = 0 (distr. Normal) ρ ≈ 1 (correlação positiva)

jX jX

iX iX

iX e jX são fortemente correlacionadas alguma correlação negativa

ρ ≈ -1 (correlação negativa) -1 ≥ ρ ≥ 1

Figura 1 - Exemplos de correlação

jXjX

Page 23: TESE DE DOUTORADO

11

O máximo valor que o desvio padrão da variável de resposta Yσ pode assumir

na presença de correlação é alcançado quando , 1Xi Xjρ = , e o produto das diferenciais

parciais referente ao segundo termo da lei geral de propagação do erro com

correlação se encontra em valor absoluto.[TAYLOR(1997)] :

21

2

1 1 1

1

2Xi

i xi

K K K

Y Xi Xi Xi Xji i j ii i j

K

X Xii i

f f fX X X

fX

µ

µ

σ σ σ σ

σ

== = = +

==

∂ ∂ ∂≤ + ∂ ∂ ∂

∂≤∂

∑ ∑ ∑

∑ (2.5)

A expressão (2.5) apresenta um limite superior para o desvio padrão da variável

de resposta Y.

Podemos empregar as expressões (2.1), (2.2), (2.4) e (2.5), como parâmetros

durante o projeto, ou suas estimativas, quando estamos controlando os processos de

manufatura, desde que tenhamos a relação funcional e as informações pertinentes a

eventuais correlações entre estas variáveis de entrada [KRAGTEN (1994)].

A expressão (2.4), denominada “ lei geral de propagação do erro” , tem tido

grande aceitação no meio científico. (O “Guia para Expressão da Incerteza de

Medição” [ISO-GUM (1998)]- considerado a mais importante obra da metrologia

contemporânea e resultante da união de esforços de várias organizações científicas

coordenadas pela Organização Internacional para a Normalização (ISO) - faz amplo

uso da lei geral de propagação do erro , chamando-a especificamente de lei de

propagação de incertezas, junto ao controle de medidas).

Page 24: TESE DE DOUTORADO

12

2.2 Análise de Sensibilidade

Além das vantagens apresentadas na Seção (2.1), outra vantagem na aplicação

da linearização na forma de lei geral de propagação do erro na ausência de correlação

é que os termos da expressão (2.2) nos dão a contribuição absoluta que cada variável

de entrada, associada à sua derivada parcial exerce sobre 2Yσ . Por sua vez, a

contribuição ou sensibili dade relativa XiR é dada por:

2

2

2

XiXi Xii

XiY

fX

Rµ σ

σ

= ∂ ∂ = e portanto

1

1k

xii

R=

=∑ .

Esta informação é útil para conhecer e posteriormente buscar reduzir as

principais fontes de variação na variável de resposta, sem necessariamente alterar as

variâncias na entrada 2Xiσ . Os termos

2

2XiXi Xi

i

fX µ σ=

∂ ∂

evidenciam que a variação

na variável de resposta Y é devida parcialmente à derivada i

fX∂

∂, também

denominado coeficiente de sensibili dade e parcialmente ao desvio padrão Xiσ .

Os estudos que conduzem à redução da variação na variável de resposta por

meio da alteração dos valores dos coeficientes de sensibili dade, por escolhermos

pontos de tangência otimizados para que estas diferenciais transmitam a menor

variação possível, é o procedimento correto antes de tentarmos reduzir as variâncias

nas variáveis de entrada, pois, se a redução da variação em Y for possível por este

método, isto sem dúvida implicará economia, se comparado ao procedimento de

diretamente reduzir as variâncias nas variáveis de entrada, que requer o emprego de

processos de fabricação com maior precisão, e portanto, mais caros. A esta técnica de

Page 25: TESE DE DOUTORADO

13

redução da variação na variável de resposta pela alteração dos coeficientes de

sensibili dade, TAGUCHI (1991) denominou “projeto por parâmetros” ; e à redução

das variâncias de entrada, “projeto por tolerâncias” . Justamente por ser mais

econômico, o “projeto por parâmetros” deve ser realizado antes que o “projeto por

tolerâncias” . Na Figura 2 verificamos que, embora não tenha havido redução da

variação sobre a variável de entrada, houve uma redução da variação na variável de

resposta em função de um menor coeficiente de sensibili dade:

iX

Figura 2 - Redução da var iação na var iável de resposta

Adaptamos os dados de um exemplo de ULLMAN(1997), numa situação na

qual se deseja construir reservatórios cilíndricos com volume igual a 21 2.Y X Xπ= ,

sendo 1X o raio e 2X a altura do reservatório.

O objetivo é obter um reservatório que tenha o conteúdo o mais próximo possível de

4 3m . Teoricamente há inúmeros pares de valores nominais de 1X e 2X que resultam

Var

iáve

l de

Res

post

a Y

Page 26: TESE DE DOUTORADO

14

neste valor. Analisemos primeiramente o par “A” , cujos valores nominais são:

1 0,5AX m= e 2 5,09AX m= . As diferenciais parciais resultantes são

respectivamente:

1 21

2 2 0,5.5,09 16A AA

fX X

Xπ π∂ = = =

∂ e 2 2

12

0,5 0,78AA

fX

Xπ π∂ = = =

Vamos supor variâncias iguais para as variáveis de entrada ( )2 2 21 2X X Xσ σ σ= = ,

portanto:

1 1 2 2

2 2

2 2 2

1 2

2 2 2256 0,61 256,61

YA A A A AX X X XA A

X X X

f fX Xµ µσ σ σ

σ σ σ

= = ∂ ∂≅ + ∂ ∂

≅ + =

Vamos analisar o par “B” de valores nominais: 1 1,21BX m= e 2 0,87BX m= .

Neste caso, as diferenciais parciais são:

1 21

2 2 1,21.0,87 6,61B BB

fX X

Xπ π∂ = = =

∂ e 2 2

12

1,21 4,6BB

fX

Xπ π∂ = = =

Segue que:

1 1 2 2

2 2

2 2 2

1 2

2 2 243,69 21,16 64,85

YB B B B BX X X XB B

X X X

f fX Xµ µσ σ σ

σ σ σ

= = ∂ ∂≅ + ∂ ∂

≅ + =

Notamos que, por aumentar o valor do raio e reduzir o comprimento na

opção(B), alteramos os valores dos coeficientes de sensibili dade, ou seja, as

diferenciais parciais das variáveis de entrada; reduzimos 1/f X∂ ∂ que contribui para

a maior parcela na composição da variância 2Yσ , compensando com vantagem o

aumento de 2/f X∂ ∂ , pois assim 2 2<<YB YA

σ σ .

Page 27: TESE DE DOUTORADO

15

Por sua vez, esta escolha do par de dimensões nominais “B” vale somente para

1 2X Xσ σ= . Para garantir um 2Yσ menor, os valores dos coeficientes de sensibili dade

dependem dos valores estabelecidos para 1Xσ e 2Xσ . No exemplo original do

reservatório, ULLMAN (1997) estabelece 2Xσ cinco vezes maior que 1Xσ ; neste

caso é o par de dimensões nominais “A” que determina o menor valor para 2Yσ :

( ) ( )

2 2 21 2

2 2

256 0,61

256 0,01 0,61 0,05 0,027

YA X Xσ σ σ≅ +

≅ + =

( ) ( )

2 2 21 2

2 2

43,69 21,16

43,69 0,01 21,16 0,05 0,057

YB X Xσ σ σ≅ +

≅ + =

2AX 2BX

1AX 1BX

Figura 3 – Alteração na geometr ia por conta do projeto por parâmetros

Melhor opção se

1 25 X Xσ σ=Melhor opção se

1 2X Xσ σ=

Page 28: TESE DE DOUTORADO

16

A conclusão é que para uma determinada relação funcional, o valor para 2Yσ

depende do valor das diferenciais parciais (que por sua vez dependem dos valores

nominais de iX ) e dos valores de Xiσ .

Note-se ainda que em projetos complexos, pode ser difícil obter a relação

funcional entre as variáveis de entrada e suas derivadas parciais. Nestes casos pode-

se empregar o delineamento de experimentos para se obter derivadas parciais

experimentais, por se medir a variação em Y, provocada por uma variação em um

dado iX , ao mesmo tempo que se mantêm constantes as demais variáveis de entrada.

[ISO-GUM (1998) e CREVELING (1997)].

2.3 Determinação do erro por empregar a diferenciação limitada

à pr imeira ordem

As relações funcionais via de regra não são lineares; no entanto, devido aos

argumentos apresentados na Seção anterior, vimos que a linearização pode constituir-

se em uma ferramenta muito útil .

As técnicas de linearização, por sua vez, são amplamente aplicadas na

resolução de problemas de engenharia. PÉREZ (1990) faz uma revisão bibliográfica

destas técnicas aplicadas a sistemas não-lineares. BORTOFF (1997) usa splines, com

propósito semelhante. Não obstante, nosso tema não está relacionado a sistemas de

equações, nos quais, na maioria das vezes, é necessária uma linearização que não se

limita a uma região próxima do ponto de operação. Neste trabalho, consideramos

modelos univariados, nos quais as variações das variáveis de entrada são de valor

Page 29: TESE DE DOUTORADO

17

suficientemente pequeno (a conceituação de suficientemente pequeno será vista

posteriormente). Nesta circunstância, basta uma linearização local. A linearização

local obtida pela polinomial restrita à primeira ordem, por sua vez, encontra várias

aplicações, entre as quais a determinação das raízes aproximadas de um sistema de

equações (método de Newton), a determinação da função afim, como aproximação

da função para a pequena região em análise, e a determinação do valor linear

aproximado da variação numa variável de resposta. É esta última aplicação da

linearização local obtida por diferenciação que nos interessa, pois queremos

determinar os valores aproximados por linearização da tolerância e da variância da

variável de resposta. A diferenciação está relacionada com a definição de derivada,

conforme ilustrado, na Figura 4:

X

Figura 4 – I lustração do conceito de derivada

Y X Ydε∆ − =∆

Xε ∆

Y∆

x dx∆ =

m

Y

Page 30: TESE DE DOUTORADO

18

Dado um incremento ∆X igual à diferencial dx , medido a partir de um ponto

de tangência m , o incremento Y∆ pode ser aproximado por Y Y i Xid ε= ∆ − ∆ ,

desde que o erro 0Xε ∆ → . Desta forma ( )/Y Y Xd d x∆ = ∆ . Uma condição

necessária porém não suficiente para o erro ε ser desprezível é 0X∆ → .

Genericamente, para várias variáveis de entrada temos:

1Xi

k

Y Xi m ii i

fX

X ==

∂∆ ≅ ∆ ∂ ∑

Na Figura 5 temos a representação gráfica das diferenciais parciais de duas variáveis

aplicadas para a linearização local :

Figura 5 – Diferenciais parciais de pr imeira ordem para duas var iáveis

X1

X2

Y

m

2x∆

1x∆

(X1,X2)

2 2 22

XX m

fX

X = ∂ ∆ ∂

1 1 11

XX m

fX

X = ∂ ∆ ∂

1 1 2 21 21 2

X XY X m X m

f fX X

X X= = ∂ ∂∆ ≅ ∆ + ∆ ∂ ∂

Page 31: TESE DE DOUTORADO

19

O incremento ∆Y representado pela primeira ordem, considerando duas

variáveis de entrada, é aproximado pela diferencial total Yd :

1 1 2 21 21 2

X XY Y X m X m

f fd X X

X X= = ∂ ∂∆ ≅ = ∆ + ∆ ∂ ∂

onde ∂

∂ 1

fX

e ∂

∂ 2

fX

são derivadas parciais definidas por:

( ) ( )0

limi

Xi i Xi

xi

f m x f mfX xi∆ →

+ ∆ −∂ =∂ ∆

.

E o mesmo incremento Y∆ como função de duas variáveis de entrada até a segunda

ordem é dado por:

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

2 22 2

1 2 1 22 21 2 1 2

2 2

; 2 ; 21 2 2 1

1 1

1 12 2

1 12 2

Y x mx x mx x mx x mx

x mx x mx x mx x mx

f f f fx x x x

X X X X

f fx x x x

X X X X

= = = =

= = = =

≅ + + +

+ +

∂ ∂ ∂ ∂∆ ∆ ∆ ∆ ∆∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂

Embora os termos de segunda ordem proporcionem uma melhor aproximação

do valor do incremento Y∆ , por meio da redução do erro i xiε ∆ , tais termos são

constituídos de polinômios de segundo grau, ou seja, a função polinomial pela série

de Taylor até a segunda ordem gera parábolas. Neste trabalho nos limitaremos à

aproximação de primeira ordem, que corresponde à diferenciação total, considerando

que os termos de segunda ordem devem ter um valor desprezível. Os termos de

primeira ordem na forma de diferenciais parciais são compostos pelo produto de sua

variação com sua derivada parcial.

Page 32: TESE DE DOUTORADO

20

Neste trabalho, cada derivada parcial será calculada no ponto =i x iX m nos

casos determinísticos, sendo x im o ponto de tangência, e µ=i x iX nos casos de

variação estatística, onde x iµ é o valor esperado da distribuição de iX .

Uma questão básica é: quando a diferenciação pode ser seguramente aplicável ?

Para uma aplicação bem sucedida da diferenciação parcial, deve haver confirmação

quanto à diferenciabili dade da função na região onde é avaliada a variabili dade das

variáveis de entrada. A fim de testar esta diferenciabili dade, empregamos o Teorema

da Aproximação Linear : “ Se as derivadas parciais de primeira ordem

1 2 3

; ; ;....k

f f f fX X X X∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ existirem próximas ao ponto 1 1 1( ; ; ;... )Y X X X Xkm m m m m , e

forem contínuas em 1 1 1( ; ; ;... )X X X Xkm m m m , então Yf é diferenciável em

1 1 1( ; ; ;... )X X X Xkm m m m .”

A expressão do teorema da aproximação linear, cuja demonstração encontra-se no

Anexo B, é dada por:

1 1xi

K K

Y xi m i i ii ii

fX X

Xε=

= =

∂∆ = ∆ + ∆∂∑ ∑ (2.6)

Façamos agora uma representação gráfica da diferenciação. Conforme representado

na Figura 6, temos A = i ixε ∆ ; B = Xi mi ii

fx

x = ∂ ∆ ∂

; C = ( ) ( )X i Xi if m X f m+ ∆ − ;

D = ( )X if m ; E = ( )X iif m X+ ∆

Como A = C – B; segue que:

( ) ( ) .i i X i X Xi mi ii ii

fx f m X f m X

Xε =

∂ ∆ = + ∆ − − ∆ ∂

Page 33: TESE DE DOUTORADO

21

Figura 6 – Err o “ ε ∆i ix ” para cada var iável de entrada

SWOKOWSKI(1994) apresenta um exemplo no qual se calcula o erro através

da diferenciação. No seu exemplo, os incrementos das duas variáveis de entrada são

unilaterais, semelhante ao exemplo da Figura 6, valendo respectivamente

∆ = ∆ = −1 20,01 0,02X e X com valores nominais 1 21 2X Xm e m= = . O

modelo matemático relacionando as variáveis de entrada com a resposta é

21 1 23 .Y X X X= − . Se aplicarmos diretamente esta função matemática com seus

respectivos incrementos, teremos um resultado exato, li vre de erros:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 21 2 1 2

2 21 1 21 1 2 1 1 2

2 2

( ; ) ( ; )

3 . 3 .

3 1 0,01 1 0,01 . 2 0,02 3.1 1.2

0,0605

Y X X X X

X X X X X X

f m X m X f m m

m X m X m X m m m

∆ = + ∆ + ∆ −

= + ∆ − + ∆ + ∆ − − = + − + + − − −

=

D

E

B

Xi∆

C

A

iX

Y

m

Page 34: TESE DE DOUTORADO

22

Pelo cálculo diferencial :

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 21 2

1 2

1 21 2 16 6.1 2 0,01 1 0,02

0,06

X XY X m X m

X X X

f fd X X

X X

m m X m X

= = ∂ ∂= ∆ + ∆ ∂ ∂

= − ∆ + − ∆ = − + − −

=

Assim, 1

0,0605 0,06 0,0005K

i ii

x Yε ε=

∆ = ∆ = − =∑

Note-se que a expressão (2.6) utili za incrementos e diferenciais com seus

respectivos sinais; deste modo, para incrementos unilaterais, se o erro de uma

variável de entrada for positivo ao mesmo tempo em que o erro de outra variável de

entrada for negativo, poderá haver uma anulação parcial entre os erros destas

variáveis de entrada. No exemplo acima, se 2X∆ = 0,02, o erro decresce de 0,0605

para 0,0201; se 2X∆ = 0,04, o erro na variável de resposta tenderia a zero, e se 2X∆ =

0,05, este erro em Y já resultaria num valor negativo de –0,0102. Relativamente ao

ponto de tangência da função (m), se o teorema da aproximação linear confirmar

diferenciabili dade para os dois lados, sendo o incremento na variável de entrada

bilateral e simétrico, o incremento na variável de resposta será também

aproximadamente simétrico, assim como o valor do erro encontrado nos dois lados

do ponto de tangência, conforme ilustrado na Figura 7:

2 ( ) ( )Y S id Y x Y xε ε≅ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ como 0 2 S ix dY Y Y Yε∆ → ⇒ ≅ ∆ + ∆ ≅ ∆

Page 35: TESE DE DOUTORADO

23

Figura 7 – L inear ização com incrementos bilaterais

É importante para o desenvolvimento de nosso tema a análise de incrementos

iX∆ bilaterais e simétricos, pois, segundo as condições de contorno, os índices de

capacidade serão baseados na simetria da distribuição relativa aos erros aleatórios,

bem como na simetria de suas respectivas tolerâncias. Neste sentido, o que nos

interessa é obter o máximo erro possível para cada um dos lados da variável de

resposta Y. Deve ser ressaltado que todas as variáveis de entrada, com seus

incrementos bilaterais e simétricos, contribuem simultaneamente tanto para a

minimização como para a maximização da variável de resposta, de modo que o

teorema da aproximação linear expresso por (2.6) deve ser aplicado para ambos os

extremos do intervalo de variação a fim de verificarmos a diferenciabili dade para

ambos os lados e também calcularmos o erro máximo devido à linearização local.

Em outras palavras, na presença de incrementos iX∆ simétricos e,

iY xε∆ + ∆

SY xε∆ − ∆

iY∆

m

sY∆

2 x∆

- x∆ x∆

2 Yd

Page 36: TESE DE DOUTORADO

24

consequentemente, diferenciais simétricas, todas as variáveis de entrada contribuem

para aumentar e também diminuir Y.

Incrementos iX∆ positivos contribuem para o aumento de Y quando a função

de sua respectiva variável de entrada for crescente, e incrementos iX∆ negativos

também contribuem para o aumento de Y quando sua função for decrescente.

Analogamente, incrementos iX∆ positivos contribuem para a redução de Y quando a

função de sua respectiva variável de entrada for decrescente, e incrementos iX∆

negativos também contribuem para a redução de Y quando sua função for crescente.

Desta forma, as adaptações da expressão (2.6), que doravante empregaremos

para calcular o erro inferior iYε∆ e o erro superior sYε∆ da variável de resposta Y

de modelos matemáticos linearizados, são expressas respectivamente como:

1 21 2 1 1 2

1

( ; ;... ) ( ; ;... )

Xi

i X X X i X X Xi i

k

Xi m ii i

Y f m x m x m x f m m m

fX

X

ε

==

∆ = − ∆ − ∆ − ∆ −

∂− ∆∂∑

(2.7)

1 21 2 1 1 2

1

( ; ;... ) ( ; ;... )

Xi

s X X X i X X Xi i

k

Xi m ii i

Y f m x m x m x f m m m

fX

X

ε

==

∆ = + ∆ + ∆ + ∆ −

∂− ∆∂∑

(2.8)

Para cada variável de entrada temos, à partir do valor nominal X im incrementos

iX∆ bilaterais, simétricos e com sinais opostos. A fim de maximizar o erro, nas

expressões (2.7) e (2.8), cada incremento iX∆ constante no primeiro termo deve ter

o sinal da derivada parcial de sua respectiva variável de entrada, pois este sinal

determina se a função da variável em estudo é crescente ou decrescente, enquanto

todas as outras são consideradas como constantes. Estas duas expressões dão a pior

Page 37: TESE DE DOUTORADO

25

combinação possível no que tange à maximização do valor do erro, sendo que, na

prática, este valor provavelmente seria menor.

Utili zando ainda o exemplo de SWOKOWSKI (1994), vamos considerar os

seguintes valores nominais e incrementos simétricos:

( 1Xm = 1,005 ± 0,005 e 2Xm = 1,99 ± 0,01). Então:

1 21

6 6.1,005 1,99 4,04X X

fm m

X∂ = − = − =

∂.

a diferencial de 1X é positiva indicando que sua função é crescente.

12

1,005X

fm

X∂ = − = −

∂,

e a diferencial de 2X é negativa, indicando função decrescente.

Aplicando (2.7), temos:

1 21 2 1 2

1

( ; ;... ) ( ; ;... )

Xi

i X X X i X X Xi i

k

Xi m ii i

Y f m x m x m x f m m m

fX

X

ε

==

∆ = − ∆ − ∆ − ∆ −

∂− ∆∂∑

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1 2

2 21 1 21 1 2 1 1 2

1 1 2 21 2

2 2

3 . 3 .

3 1,005 0,005 1.005 0,005 . 1,99 0.01 3.1,005 1,005.1,99

6.1,005 1,99 0,005 1,005 0,01

0,030125 0,03025 0,000125

X X X X X X

x mx x mx

m X m X m X m m m

f fX X

X X= =

= − ∆ − − ∆ − −∆ − − −

∂ ∂∆ + ∆∂ ∂

= − − − + − − −

− − + −

= − =

E aplicando (2.8), temos:

Page 38: TESE DE DOUTORADO

26

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1 2

1 21 2 1 2

1

2 21 1 21 1 2 1 1 2

1 1 2 21 2

2 2

( ; ;... ) ( ; ;... )

3 . 3 .

3 1,005 0,005 1.005 0,005 . 1,99 0,01 3.1,005 1,005.1,99

Xi

X X

s X X X i X X Xi i

k

Xi m ii i

X X X X X X

X m X m

Y f m x m x m x f m m m

fX

X

m X m X m X m m m

f fX X

X X

ε

==

= =

∆ = + ∆ + ∆ + ∆ −

∂− ∆∂

= + ∆ − + ∆ + −∆ − − −

∂ ∂∆ + ∆∂ ∂

= + − + − − − −

6.1,005 1,99 0,005 1,005 0,01

0,030375 0,03025 0,000125

− − + −

= − =

Os erros ε∆ iY e sYε∆ neste caso são simétricos e correspondem apenas à

quarta parte do erro com os incrementos originais ( Yε∆ = 0,0005) antes de

centralizarmos os pontos de operação. Deste modo, sempre que a variação for

simétrica ao redor do ponto de operação e a função estiver sujeita ao teorema da

aproximação linear para incrementos bilaterais, teremos erros de ordem superior

significativamente menores em comparação com incrementos unilaterais de mesma

amplitude, aumentando as chances de aplicações bem sucedidas da linearização

local.

Por fim devemos avaliar se ε∆ iY e ε∆ sY na variável de resposta podem ou não

ser considerados desprezíveis. Isto fica por conta de se verificar se o erro superior e o

erro inferior na variável de resposta Y estão contidos dentro dos algarismos não

significativos na variável de resposta, definidos em cada circunstância em função da

precisão requerida pelas conhecidas regras de arredondamento. Uma análise deste

tipo é feita no exemplo da Seção 6.2.

Page 39: TESE DE DOUTORADO

27

3 MÉTODOS PARA DEFINIÇÃO DAS TOLERÂNCIAS NO

PROJETO

3.1 Introdução

Após o projeto por parâmetros visto na Seção 2.2, precisamos realizar o projeto

por tolerâncias. A produção em larga escala, agregando cada vez mais qualidade e

baixo custo, só se torna possível graças ao desenvolvimento e ao refinamento de

técnicas que passam a determinar cientificamente as tolerâncias de projeto. Faremos,

portanto, neste capítulo, uma revisão destas técnicas, para definição das tolerâncias

de entrada e consequentemente da tolerância total acumulada na variável de resposta.

ULLMAN(1997) afirma que a aplicação da técnica de linearização limitada à

primeira ordem para obtenção de tolerâncias em projetos é satisfatória na grande

maioria dos casos. BISGAARD e ANKEMAN (1995) afirmaram que quando o

objetivo é obter um projeto robusto, se conhecermos o modelo matemático do

sistema de variáveis relacionando as entradas com a saída, o método baseado na lei

geral de propagação do erro facilit a a otimização do projeto e é mais eficaz que

métodos baseados no delineamento de experimentos. BISGAARD; GRAVES; SHIN

(2000) apresentam a lei de propagação do erro limitada à primeira ordem para a

obtenção de parâmetros que venham a auxili ar no projeto, tanto para a previsão do

desvio padrão da variável de resposta do processo de manufatura, como para a

obtenção da tolerância natural combinada. Mencionam que estas aplicações da lei

geral de propagação do erro formam a base teórica para a teoria sobre a alocação

de tolerâncias.

Page 40: TESE DE DOUTORADO

28

Mas o que é “tolerância” ? BAUMEISTER e MARKS (1967) definiram

tolerância como “variação total permissível” , e o Glossário da Sociedade Americana

para o Controle de Qualidade expressa que os limites de tolerância são os “ limites de

conformidade relativos a uma unidade produzida por manufatura ou serviço” [ASQ

(1983)]. Portanto YT e XiT representam, neste trabalho, respectivamente a tolerância

da variável de resposta e as tolerâncias das variáveis de entrada, que correspondem

respectivamente a 2XiT xi= ∆ e 2 2YT Y dY= ∆ ≅ . É importante destacar que,

como o valor da tolerância corresponde a uma faixa determinística de variação

permissível, estes valores de tolerância devem sempre aparecer em valor absoluto.

3.2 Análise e distr ibuição das tolerâncias

Quando estamos desenvolvendo um novo produto cuja característica de

qualidade é uma variável de resposta não observável e que depende de k variáveis de

entrada, a previsão de como irá se comportar esta característica é possível graças ao

conhecimento da relação funcional e das variações previstas em processos que já

existem na própria empresa, ou de fornecedores. Mesmo nos casos em que não

temos as informações de determinado processo disponíveis, uma vez que este talvez

ainda não tenha sido desenvolvido, temos disponíveis as informações quanto ao

nível de variação requerido pelo cliente, de maneira que a escolha ou o

desenvolvimento deste processo deve se enquadrar dentro da solicitação do cliente.

Tal planejamento é mais salutar do que simplesmente lançar tolerâncias sem a

preocupação de verificar se existem meios de serem atendidas pelos processos

Page 41: TESE DE DOUTORADO

29

disponíveis. No que se refere ao projeto de um novo produto, duas atividades são

básicas:

Tendo-se o valor das tolerâncias de entrada e também o modelo matemático ou

relação funcional entre estas, torna-se possível a obtenção da tolerância da variável

de resposta. Este procedimento denomina-se “ Análise de Tolerâncias”. O caminho

inverso também pode ser empregado: determinar o valor de uma ou mais tolerâncias

de variáveis de entrada, tendo-se como partida a tolerância da variável de saída. Esta

tarefa denomina-se “ Distr ibuição de Tolerâncias”. [WEISS (1993)]. A Figura 8

ilustra estas duas atividades:

Análise de Tolerâncias Distr ibuição de Tolerâncias

Figura 8- Distr ibuição de tolerâncias (método determinístico)

Não apenas as tolerâncias determinísticas são passíveis deste planejamento.

Atualmente já é difundida entre muitas empresas a prática de selecionar processos de

fabricação ainda na etapa do projeto, sendo esta atividade parte da Engenharia

2XT1XT 3XT XiT

1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X=

1XT 2XT 3XT XiT

YT

YT

1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X=

Page 42: TESE DE DOUTORADO

30

Simultânea. Deste modo, podemos ilustrar pela Figura 9, com vistas às variações

inerentes aos processos, sua análise e distribuição:

Figura 9- Distr ibuição de var iabili dade (método estatístico)

No projeto, a medida de variabili dade utili zada nas variáveis de entrada e na

variável de resposta é a tolerância natural, ou seja, a capacidade do processo que,

segundo vários autores, corresponde a seis desvios padrão de uma distribuição

normal, tendo como valor esperado desta distribuição o valor nominal da variável de

entrada X im . [BANKS (1989)], [BURR (1976)]. A prática de estabelecer tolerâncias

estatísticas tem aumentado, e certas normas, por exemplo a ASME Y 14.5.M (1994),

exigem tolerâncias estatísticas como especificação.

Faremos uma apresentação dos principais métodos de análise e distribuição de

tolerâncias e variabili dade. Estes métodos tornam possível a previsão do

comportamento do processo frente às especificações. A apresentação preliminar

destes métodos obedecerá à forma como os mesmos estão contidos na maior parte da

bibliografia relacionada ao tema. [Maiores detalhes, consultar: BISGAARD;

1Xσ1Xσ 3XσXiσ

1Xσ 1Xσ 3Xσ Xiσ

1 2 3( , , ,.... )

kY f X X X X= 1 2 3

( , , ,.... )k

Y f X X X X=

Page 43: TESE DE DOUTORADO

31

GRAVES e SHIN (2000), MITRA (1998), CREVELING (1997), WEISS(1993).

AGOSTINHO; LIRANI e RODRIGUES (1990), BANKS (1989), HARRY e

STEWART (1988), BURR (1976)]

A Figura 10 apresenta os principais métodos (determinístico, estatístico e

simulação):

Análise e Distr ibuição de Tolerâncias e Var iabilidade

Figura 10 - Pr incipais métodos para análise e distr ibuição de tolerâncias evar iabili dade

3.2.1 Método Determinístico da Intercambiabilidade Total

O método determinístico da intercambiabili dade total baseia-se em valores

determinísticos para as tolerâncias e é também conhecido como método do pior caso.

Neste método de acúmulo de tolerâncias, todos os componentes oferecerão condições

de montagem, quando novos ou de substituição após algum uso sem acarretar

problemas de retrabalho, ajustes ou nova seleção. Para se conseguir isto, os valores

de tolerância das variáveis de entrada são relativamente estreitos, acarretando um

DETERMINÍSTICO

-Método daIntercambiabili dade Total

MÉTODOS ESTATÍSTICOS

- Método da Intercambiabili dadeParcial ( 6 )Y YT σ=

- Método para obter > 6Y YT σ

SIMULAÇÃO

- Método de Monte Carlo

Page 44: TESE DE DOUTORADO

32

maior custo de fabricação, sendo tal método justificado apenas para largas

produções, nas quais pode haver uma amortização de tal custo graças à economia de

escala.

A aplicação da diferenciação na determinação da tolerância da variável de

resposta Y, segundo o método do pior caso, segue uma forma determinística

[CHASE ; PARKINSON (1991); CREVELING(1997)]:

1

Xi

k

Y Xi m Xii i

fT T

X ==

∂≅∂∑ (3.1)

Na aplicação de tal método junto a relações funcionais não lineares, o produto

de cada derivada parcial em valor absoluto XiXi m

i

fX =∂

∂ pela sua respectiva tolerância

XiT fornece deterministicamente o valor máximo de tolerância transferido para a

variável de resposta Y.

O percentual de tolerância em YT contribuído pelo produto XiXi m Xi

i

fT

X =∂

∂, onde

Xim refere-se ao valor central de XiT , é dado por:

100XiXi m Xi

iXi

Y

fT

XRT

T

=

∂ ∂ =

(3.2)

A Figura 11 mostra uma função com duas variáveis de entrada (superfície em

vermelho), o plano tangente (verde) no ponto de operação m e a contribuição de

1 1 1X X XT B C= − para YT . A Figura 12 faz o mesmo para 2Tx .

Page 45: TESE DE DOUTORADO

33

Figura 11 - Contr ibuição de 1 1 1X X XT B C= − para YT

Figura 12 - Contr ibuição de 2 2 2X X XT B C= − para YT

m

m

Page 46: TESE DE DOUTORADO

34

A Figura 13 ilustra a forma determinística de acúmulo de tolerâncias para as duas

tolerâncias de entrada:

Figura 13 - Modelo não linear com acúmulo de 2 tolerâncias de entrada

( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 21 2

1 1 2 2

1 21 2

X X

X X

X X

X m X X m X

Y

Y X m X X m X

T CX BX T CX BX

f fAX BX T AX BX T

X X

T AY BY AX BX AX BX

f fT T T

X X

= =

= =

= − = −

∂ ∂− = − =∂ ∂

≅ − = − + −

∂ ∂≅ +∂ ∂

m

Page 47: TESE DE DOUTORADO

35

3.2.2 Métodos Estatísticos na análise de tolerâncias e var iabilidade

acumuladas

É usual fixar 2 6Xi Xi XiT σ= ∆ ≅ [CREVELING (1997)]; onde 6 Xiσ é a

tolerância natural de iX . Aplicando a lei geral de propagação do erro, expressa por

(2.4), tendo como variáveis de entrada suas respectivas tolerâncias naturais, teremos

como resultado a tolerância natural da variável de resposta:

( )2

12

,1 1 1

6 6 2 6 6Xi

K K K

Y Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j ii i j

f f fX X Xµσ σ σ σ ρ

== = = +

∂ ∂ ∂≅ + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ (3.3)

Aspecto importante a ser considerado junto à expressão (3.3) e já verificado na

expressão (2.5) do capítulo anterior, é que 6 Yσ resultará sempre num valor menor ou

igual que a soma das contribuições das variáveis de entrada sobre a variável de

resposta.

Na ausência de correlação, 6 Yσ sempre será menor que a soma das

contribuições das variáveis de entrada sobre a variável de resposta. A título de

ilustração, a Figura 14 evidencia este fato para um caso com três variáveis de

entrada:

Page 48: TESE DE DOUTORADO

36

∆− 6 Yσ

Tolerância Total = YT

1 1 11

6X x X

fa

X µ σ= ∂= ∂

; 2 2 22

6X x X

fb

X µ σ= ∂= ∂

; 3 3 33

6X x X

fc

X µ σ=

∂= ∂

1 2 3

22 2

2 2 21 1 2 2 3 3

1 1 3

6 6X X XY X X X X X X Y

f f fT

X X Xµ µ µσ σ σ σ= = = ∂ ∂ ∂≅ + + < ∂ ∂ ∂

Figura 14 - Var iabili dade reduzida na var iável de resposta pela aplicação da leigeral de propagação do erro

3.2.3 Lei geral de propagação do erro aplicado ao método da

intercambiabilidade parcial

Se o objetivo for apenas e tão-somente o cumprimento da tolerância

determinística acumulada na variável de resposta, tendo-se desta forma um enfoque

de conformidade mais tradicional, a lei geral de propagação do erro pode ser ajustada

para este fim, já na fase de projeto. Neste caso as tolerâncias naturais das variáveis de

a b c

Tolerâncias naturais

Variabili dade total reduzida noprocesso

Page 49: TESE DE DOUTORADO

37

entrada podem ser maiores que as respectivas tolerâncias determinísticas, conforme

estipuladas originalmente pelo método do pior caso. Ou seja, com este propósito este

método viabili za uma maior variabili dade junto às grandezas de entrada, sendo

normalmente a redução de custos nos processos o argumento evocado nesta

circunstância. [AGOSTINHO; LIRANI e RODRIGUES (1990)]

Neste método, as tolerâncias determinísticas das variáveis de entrada sofrem um

acréscimo em comparação com as tolerâncias estipuladas originalmente pelo método

do pior caso. Não obstante, se este método permite tal alargamento dos limites de

especificação para todas as tolerâncias componentes, ou algumas selecionadas, o

controle sobre a centralização de todos os processos da cadeia é muito importante,

sendo que a média ( Xiµ ) de cada um deles deve estar bem próxima do valor nominal

da tolerância. Este método, que trabalha sob a hipótese de não haver correlação, é

conhecido como “ método da intercambiabili dade parcial” , uma vez que, por se

buscar economia no processo, a variabili dade combinada na variável de resposta

correspondente a 6 Yσ pode abranger toda a faixa da tolerância de saída (6 )Y YTσ = ;

todavia, devido à redução da margem de segurança, se ocorrer alguma instabili dade

no processo, esta poderá acarretar refugo ou retrabalho, talvez antes de se poder

efetuar uma correção. Devido a isto, tal método evidentemente não deve ser aplicado

quando o acúmulo de tolerâncias está relacionado a alguma característica de

qualidade crítica, sendo necessário maior precisão. Na Figura 15 ilustramos

graficamente o ajuste que foi feito no método estatístico exempli ficado na Figura 14,

a fim de adequá-lo ao método da intercambiabili dade parcial. Nesta figura, é

ilustrado uma comparação do efeito dos componentes de tolerâncias naturais de

Page 50: TESE DE DOUTORADO

38

processo 6Xi xi Xii

fX µ σ=

∂ ∂

, e das respectivas tolerâncias de projeto Xi xi Xii

fT

X µ=∂

∂,

obtidas de uma função linear ou linearizada, sobre a variável de resposta. A diferença

de variabili dade admissível entre o método da intercambiabili dade total

(determinístico) e o método da intercambiabili dade parcial (estatístico) é indicada

pela cota ∆. Esta aumenta à medida que aumentam os valores das tolerâncias das

variáveis de entrada, bem como a quantidade destas variáveis.

6 Y YTσ =

A B C

11 11

XX X

fA T

X µ=∂=

∂;

22 22

XX X

fB T

X µ=∂=

∂;

33 33

XX X

fC T

X µ=∂=

1 2 3

22 2

2 2 21 1 2 2 3 3

1 1 3

6 6X X XY Y X X X X X X

f f fT

X X Xµ µ µσ σ σ σ= = = ∂ ∂ ∂= = + + ∂ ∂ ∂

Figura 15 - Comparação dos métodos da intercambiabili dade total e parcial.

a b c

Método daintercambiabili dade total(Determinístico)

Tolerânciasalargadas no processoMétodo daintercambiabili dadeparcial (estatístico)

Page 51: TESE DE DOUTORADO

39

O método da intercambiabili dade parcial trabalha dentro do enfoque

tradicional de conformidade, pois visa apenas ao cumprimento da tolerância final,

não importando se tal objetivo foi conseguido com a penalização (prevista em

projeto) de ter alguns produtos manufaturados com sua característica tendo valores

tangenciando os limites da tolerância especificada. A abordagem estatística de

análise e distribuição de tolerâncias pode ter outro enfoque, além do encontrado no

método da intercambiabili dade parcial: da mesma forma que podemos alargar

tolerâncias de variávies de entrada a fim de obter ( 6 )Y YT σ= , podemos também

reduzi-las com o propósito de obter ( > 6 )Y YT σ , o que garantirá valores mais

elevados para os índices de capacidade. Este assunto será abordado no próximo

capítulo.

3.2.4 – Método por simulação

A simulação de Monte Carlo é um outro método bastante empregado na

análise de tolerâncias para funções lineares ou não e para distribuições normais ou

não. [CHASE; PARKINSON (1991)]. Consiste basicamente numa análise com

exaustivos cálculos matemáticos, hoje possível com computadores velozes, que

geram números pseudo-aleatórios, ou seja, valores ao acaso respeitando os

parâmetros e o formato da distribuição de cada variável de entrada preliminarmente

definidos. Em seguida as distribuições são combinadas, respeitando a relação

funcional , o que conduz à distribuição resultante na variável de resposta, sendo que

os programas podem fornecer estimativas dos parâmetros desta distribuição

Page 52: TESE DE DOUTORADO

40

resultante. Este procedimento pode ser repetido muitas vezes, simulando o que

aconteceria na prática. A simulação apresenta como principal vantagem a

possibili dade de podermos selecionar as distribuições das variáveis de entrada, não

nos limitando à normalidade. Por sua vez, o tempo necessário para a simulação vem

caindo com o aumento da velocidade do hardware.

Todavia, a simulação por Monte Carlo apresenta algumas desvantagens:

- O método analítico torna evidente a contribuição que cada variável de entrada

têm sobre a variável de resposta: conforme expressão (2.2), 2Yσ é vista como

a soma de termos, onde cada um deles representa a contribuição para 2Yσ .

Assim, conforme verificado na Seção 2.2, a expressão (2.2) permite realizar

facilmente uma análise de sensibili dade. Tal análise é mais trabalhosa quando

realizamos simulações. Segundo VARDEMAN; JOBE (1999), o método

requer várias simulações com diferentes valores de desvios padrão nas

variáveis de entrada para obter mais precisamente a influência que cada

variável de entrada exerce sobre a variavel de resposta.

- A simulação ainda não é tão rápida quando comparada ao método analítico de

análise de tolerâncias, pois o tamanho da amostra para simulação deve ser

consideravelmente grande, a fim de propiciar um resultado confiável. Este

número vai de um mínimo de 10.000 até centenas de milhares, dependendo

do grau de precisão que se requer nos resultados. [CHASE; PARKINSON

(1991)]

Page 53: TESE DE DOUTORADO

41

- Segundo CHASE e GREENWOOD (1988), este método é bem empregado na

análise de tolerâncias, mas não é uma ferramenta adequada na distribuição de

tolerâncias. (Vide Figura 8).

Dentre os programas mais comuns empregados para realizar a simulação da

análise de tolerâncias pelo método de Monte Carlo encontram-se os programas

CRYSTAL BALL (2000) e RISK (2001); também o MINITAB (1996) pode ser

utili zado, desde que se escreva um arquivo executável para este propósito.

O Anexo C apresenta uma comparação do método que emprega a lei geral de

propagação do erro com uma simulação de Monte Carlo. Neste exemplo, notamos

que os resultados obtidos pelos dois métodos são semelhantes.

Page 54: TESE DE DOUTORADO

42

4 ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO

FUNCIONAL

4.1 Introdução

A tolerância natural, também denominada capacidade, é dada pela variabili dade

apresentada no processo e corresponde a 6σ , sendo σ o valor do desvio padrão do

processo. A razão entre a variação permitida na especificação (tolerância) e a

tolerância natural do processo ( 6σ ) define o índice de capacidade Cp:

Cp = Variação especificada = Tolerância =6 6

U L Tσ σ− = (4.1)

Variação do processo Tolerância Natural

onde U é o limite superior da especificação e L é o limite inferior desta.

Desta forma, embora a tolerância tenha um valor fixo, o índice de capacidade

depende da tolerância natural de processo, que definirá se o processo é ou não capaz

de produzir dentro da especificação. Ele assemelha-se a um coeficiente de segurança,

sendo que o valor (Cp – 1).100 expressa quanto a especificação é maior ou menor

que a capacidade do processo em termos percentuais. O valor 100/ C p, por sua vez,

estima o percentual da especificação abrangido pela variabili dade do processo.

[MONTGOMERY( 2001)].

Não obstante, o índice de capacidade C p não mede os erros sistemáticos do

processo, de modo que precisamos de um índice de capacidade sensível à condição

de centralização do processo. O índice C pk definido por [KANE(1986)] cumpre

parcialmente este objetivo. Seja:

/ 2

mk

T

µ −= (4.2)

Page 55: TESE DE DOUTORADO

43

onde m é o valor central de projeto, mµ − corresponde ao erro sistemático em

valor absoluto e o fator k expressa quanto a média µ do processo está

descentralizada em relação à metade da tolerância especificada. Por exemplo, para

k = 0,25 corresponde uma descentralização de 25% para direita ou para a esquerda.

Este fator não tem uma relação com a variabili dade do processo, mas, quando

introduzido na equação (4.1), contribui para relacionar os dois índices:

( )1Cpk Cp k= − (4.3)

Substituindo k por (4.2), temos:

min ;3 3

L UCpk

µ µσ σ

− −=

Cpk é um índice de capacidade que procura dar mais informação que o índice Cp,

pois leva em conta não só a condição do processo em termos de sua dispersão ( como

faz o Cp) mas também em termos de sua centralização; quanto mais a distribuição se

distancia do valor central do projeto, menor o valor de Cpk. A Figura 16 ilustra uma

situação em que temos os limites de especificação U = 13, L = 1 e dois processos

com sua variabili dade dentro destes limites, porém com diferentes características de

dispersão e centralização ( 27; 4A Aµ σ= = e 210; 1B Bµ σ= = ):

Page 56: TESE DE DOUTORADO

44

Aµ Bµ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Figura 16 - Distr ibuição dos processos A e B

segue que:

13 1 121

6.2 12ACp−= = = e

13 1 122

6.1 6BCp−= = = ;

13 7 6

13.2 6ACpk

−= = = e 13 10 3

13.1 3BCpk−= = = .

Analisando qual das duas condições de processo é preferível, há três considerações :

L U

processo A

processo B

Page 57: TESE DE DOUTORADO

45

1) O processo (B) é melhor pois tem menor variabili dade que o processo (A) , ou

seja BCp > ACp . Assim, embora o processo (B) esteja descentralizado, é muito

mais simples proceder a um ajuste para melhor centralizar (B), ( mesmo que este

estivesse ainda mais deslocado do valor alvo, podendo manifestar alguns itens fora

da especificação [GUNTER (1989)] ) do que proceder à redução da variabili dade

evidenciada pela condição do processo (A). Neste caso, centralizando-se (B), o valor

do Cpk passaria para o valor respeitável de 2.

2) Segundo a Figura 16, embora o processo (A) tenha mais dispersão do que o

processo (B), esta dispersão se dá a partir do valor alvo, o que não acontece em (B).

Portanto, segundo SULLIVAN(1984), a condição do processo (A) contém mais

produtos em torno do valor central da especificação que (B), e isto é mais

importante.

C) <A BCp Cp mas A BCpk Cpk= , portanto é interessante o uso simultâneo dos

dois índices, pois com apenas o valor de Cpk pode-se não saber exatamente a

condição de dispersão.

Existem vários outros índices desenvolvidos para situações mais específicas,

dos quais ressaltamos os índices Cpm e Cpmk, empregados onde o valor central de

projeto é assimétrico dentro da tolerância especificada [BOTHE (1997)]. Entretanto

este trabalho concentrar-se- á nos índices Cp e Cpk, que são os mais empregados.

Se elevados índices de capacidade são plausíveis para uma característica de

qualidade isolada, o são ainda mais no acúmulo de tolerâncias e variabili dade.

Conforme expresso na introdução deste trabalho, quando ocorre um acúmulo de

tolerâncias e variabili dade, aumenta-se o risco de ocorrer uma redução na qualidade,

Page 58: TESE DE DOUTORADO

46

de maneira que neste caso os estudos relativos aos índices de capacidade na variável

de resposta são de grande importância, seja enquanto uma previsão durante o projeto

do produto ou durante a medição destes índices de capacidade de uma relação

funcional na fase produtiva.

Embora não tratem diretamente dos índices de capacidade de uma relação

funcional, muitos autores, referindo-se ao acúmulo de tolerâncias ou variabili dade,

enfatizam a necessidade de um estudo voltado às idéias que valorizam a redução da

variação, como é o caso da função perda ou o seis sigma [GARVIN (1992), LI; WU

(1999)]. HARRY e STEWART (1988) chegam a propor um controle nas variáveis de

entrada de modo a obter índices de capacidade de uma relação funcional compatíveis

com o seis sigma. As Figuras 17, 18 e 19 podem ser interpretadas para uma variável

de resposta obtida por uma relação funcional.

Em suma, a valorização de elevados índices de capacidade deve ocorrer também

no caso de índices de capacidade de uma relação funcional.

A Figura 17 apresenta a evolução na busca por elevados índices de capacidade Cp

que podem autenticamente ser alvos também para o índices de capacidade de uma

relação funcional YCp que abordaremos em seguida [BOTHE (1996)]:

Page 59: TESE DE DOUTORADO

47

-6σ -3σ +3σ +6σ (L ) (U )

Limites da especificação % dentro da especificação Defeitos por milhão

(Cp = 0,67) ± 2σ (Há 30 anos) 95.45 45.600 (Cp =1,00) ± 3σ (Há 20 anos) 99,73 2.700 (Cp = 1,33) ±4σ (Há 10 anos) 99,9937 63 (Cp = 2,00) ±6σ (Atualmente) 99,9999998 0,002

Figura 17- Evolução do Índice Cp

Recentemente, temos presenciado uma grande adesão à abordagem “seis

sigma”. Embora não haja novidade do ponto de vista estatístico, a inovação está no

campo da gestão da qualidade, por conta da intensificação e otimização no que tange

à aplicação de ferramentas estatísticas.

Estatisticamente a idéia é simples: o processo deve propiciar que seis desvios

padrão estejam dentro de cada lado da tolerância especificada para a variável de

resposta, a partir de seu valor central. Conforme ilustrado na Figura 18, isto

corresponde a 12 desvios padrão do processo dentro da especificação, o que reflete

em apenas 0,002 defeitos por milhão.

Page 60: TESE DE DOUTORADO

48

LIE (-6σ) -3σ +3σ LSE (+6σ)

Limites da especificação Área % dentro da especificação Defeitos em PPM ± 3σ 99,73 2700 ±

6σ 99,9999998 0,002

Figura 18 - Processos com qualidade de 3 e 6 sigma

Neste caso o processo com qualidade “seis sigma” proporciona um índice Cpk =

2. Todavia, dentro da estratégia “seis sigma”, alguns autores adotam após um longo

prazo (long-term) uma oscilação em torno do valor médio do processo (µ) de ±1,5σ.

Este erro sistemático provoca uma redução do índice Cpk para 1,5. [BOTHE (1997)].

A Figura 19 apresenta a quantidade de defeitos por milhão [BREYFOGLE (1999)],

segundo os mesmos limites de especificação da Figura 18.

-1,5σ- +1,5σ

LIE (-6σ) LSE (+6σ)

-3σ +3σ

Limites da especificação Área % dentro da especificação Defeitos em PPM ± 3σ 93,32 66810 ±4σ 99,379 6210 ±5σ 99,9767 233 ±

6σ 99,99966 3,4

Figura 19 – Efeito da oscilação de ±

1,5σ em (µ )

Page 61: TESE DE DOUTORADO

49

Conforme ilustrado na Figura 19, atualmente almeja-se, segundo este enfoque,

um Cp = 2; Cpk = 1,5 resultando em 3,4 defeitos por milhão.

Convém ressaltar que o estabelecimento prévio do erro sistemático

1,5mµ σ= ± nos processos de longo prazo não é consenso, sendo que alguns

autores não admitem esta oscilação para a média e defendem a idéia de que o método

seis sigma deve estar restrito à busca de um Cpk = 2 [ WILSON (1999)].

Independentemente da ênfase dada ao método seis sigma, é reconhecido que

muitas vezes tal método tende a exigir processos mais caros e não deve ser aplicado

indiscriminadamente. Um índice de capacidade para a variável de resposta ( YCpk )

de valor 1,33 provavelmente atende à maioria das aplicações. Não obstante, para

algumas características críticas ou especiais de um produto, um 2,0Cp = e

1,5Cpk = que corresponde ao seis sigma pode se tornar uma estratégia de

manufatura que resulta em produtos com melhor desempenho, durabili dade e

confiabili dade. Nestes casos, um eventual maior custo de processo é compensado

com vantagem por economias realizadas nos custos da não-qualidade no processo,

no seu controle e principalmente nos custos pós-venda. Deming, Juran e Taguchi,

entre outros, defendem tal abordagem, e a experiência recente de muitas empresas de

renome confirma os bons resultados. Embora as características especiais formem

uma pequena minoria dentre as características de um projeto, há uma tendência de

que os casos de acúmulo de tolerâncias e variabili dade sejam considerados especiais

ou críticos justamente devido a este acúmulo.

Page 62: TESE DE DOUTORADO

50

4.2 Índice de capacidade YCp de uma relação funcional - no

projeto

O índice de capacidade de uma relação funcional, denotado por “ YCp ” é

definido similarmente como:

6Y

YY

TCp

σ= (4.4)

onde o valor de YT é a tolerância da variável de resposta, dada pela equação (3.1) e

6 Yσ é a tolerância natural dada pela equação (2.4). Substituindo (3.1) e (2.4) em

(4.4), obtemos:

1

21

2,

1 1 1

6 2

Xi

Xi

k

Xi m Xii i

YK K K

Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j ii i j

fT

XCp

f f fX X Xµ σ σ σ ρ

==

== = = +

∂∂

≅ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂

∑ ∑ ∑

Na Figura 20 está uma ilustração do índice de capacidade de uma relação funcional

obtido de duas variáveis de entrada independentes, onde assume-se que as duas

variáveis de entrada apresentam índices de capacidade 1XiCp = .

Page 63: TESE DE DOUTORADO

51

Figura 20 - Acúmulo de tolerâncias e var iabili dade num modelo não linear comduas var iáveis de entrada

Na Figura 20, as tolerâncias nas variáveis de entrada são, respectivamente,

1 1 1XBX CX T− = e 2 2 2XBX CX T− = , e as contribuições destas tolerâncias na

variável de resposta são obtidas pela técnica de linearização, aproximadamente dada

por: 1 11 1 1

1XX m X

fAX BX T

X =∂− =

∂ e

2 22 2 22

XX m X

fAX BX T

X =∂− =

∂. A tolerância na

variável de resposta Y será ( ) ( )1 1 2 2YT AY BY AX BX AX BX≅ − = − + − que

corresponde a:

1 1 2 21 21 2

X XY X m X X m X

f fT T T

X X= =∂ ∂≅ +

∂ ∂.

Supondo índices de capacidade 1 2 1X XCP CP= = , então 1 16X XT σ= e 2 26X XT σ= ,

segue que a tolerância natural na resposta ( 6 Yσ ) será:

A’y

B’y

m

Page 64: TESE DE DOUTORADO

52

1 1 2 2

2 2

1 21 2

6 6 6, ,X XY X X X X

f fAY B Y

X Xµ µσ σ σ= =

∂ ∂− ≅ ≅ + ∂ ∂

e o índice de capacidade YCp será obtido por:

1 1 2 2

1 1 2 2

1 21 2

2 2

1 21 2

6 6

66 6

, ,X X

X X

X m X X m X

YY

Y

X X X X

f fX XT AY BY

CPAY B Y f f

X Xµ µ

σ σ

σσ σ

= =

= =

∂ ∂+∂ ∂−≅ = =

− ∂ ∂+ ∂ ∂

Note que > , ,AY BY AY B Y− − portanto YCp é maior do que 1. Isto é

devido à aplicação da lei geral de propagação do erro. Assim, no caso de não haver

correlação entre as variáveis de entrada, quanto maior for o número de variáveis de

entrada, o ganho em YCp será mais significativo. Em outras palavras, conservando-

se a igualdade entre tolerâncias naturais e tolerâncias determinísticas de projeto

relativo às variáveis de entrada (o que é um procedimento usado em projeto), é

possível obter índices de capacidade elevados, o que refletiria uma qualidade com o

padrão “seis sigma”. Tal aumento no índice de capacidade na variável de resposta,

para os caso sem correlação, será mais acentuado à medida que aumenta a

quantidade das variáveis de entrada bem como o valor de suas respectivas

tolerâncias.

Para ilustrar este fato, considere um caso simpli ficado em que todas tolerâncias

determinísticas sejam iguais entre si 1 2 3( ... )x X X X XkT T T T T= = = = e iguais às

tolerâncias naturais,( )6Xi XiT σ= e que todos os coeficientes de sensibili dade i

fX∂

sejam iguais. Então teríamos:

Page 65: TESE DE DOUTORADO

53

1

2

2

1

2

2

i Xi Xi

i Xi Xi

i Xi Xi i Xi Xi

i Xi Xii Xi Xi

K

X m Xii i

YK

X m Xii i

X m X X m Xi i

X m XX m X i

i

fT

XCp

fT

X

f fk T k T

X X kk

f kf T kk T XX

µ

µ

µ µ

µµ

= ==

= ==

= = = =

= == =

∂ ∂ ≅ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ≅ ≅ ≅ ≅

∂ ∂ ∂ ∂

onde k é o número de tolerâncias das variáveis de entrada. Numa situação prática

de acúmulo de tolerâncias e variabili dade não teremos coeficientes de sensibili dade,

índices de capacidade e tolerâncias iguais; não obstante, esta simpli ficação ilustra

como o valor de YCp pode facilmente assumir valores elevados e muitas vezes até

superiores ao padrão "seis sigma", mesmo que os índices de capacidade das variáveis

entrantes não sejam muito elevados.

Tal aumento do índice de capacidade de uma relação funcional ocorre em

qualquer tipo de modelo matemático linear ou linearizável cujas variáveis de entrada

não estejam correlacionadas, não obstante, mesmo na presença de correlação

provavelmente haveria ganhos junto ao índice YCp . Num caso extremo, se , 1Xi Xjρ =

ou , 1Xi Xjρ = − , para i j∀ ≠ , não haveria ganho no índice YCp , o que na prática é

uma situação muito improvável.

O índice de capacidade de uma relação funcional YCp pode ser utili zado em

duas grandes aplicações: primeiramente na fase de projeto, na qual veremos que é

tratado como um parâmetro, e posteriormente no controle estatístico de processo, já

na fase de produção, estimado a partir das variáveis de entrada obtidas através do

CEP (Controle Estatístico de Processo).

Page 66: TESE DE DOUTORADO

54

Como foi visto na Seção (3.2.3), a aplicação da abordagem estatística pode ter o

enfoque da intercambiabili dade parcial. Não obstante, a aplicação da abordagem

estatística por meio da “lei geral de propagação do erro” pode também ter um

propósito diferente daquele da intercambiabili dade parcial, de modo que esta lei

estatística pode ser empregada se o objetivo for alcançar índices de capacidade de

uma relação funcional com valores mais elevados, o que proporcionará não só uma

intercambiabili dade melhor do que mesmo a obtida pelo método da

intercambiabili dade total (determinística), como também poderá melhorar o

desempenho, durabili dade e confiabili dade do produto. O enfoque mais recente de

conformidade resume estes objetivos. [BULBA (1998)].

Ainda se houver um maior custo para a obtenção de menor variabili dade junto

a processos críticos, estes custos de processo podem ser considerados como

investimentos na melhoria dos atributos da qualidade, o que repercutirá num custo

global menor tanto para o sistema produtivo como para o pós-venda.

Recentemente tem ocorrido uma diminuição dos defensores do enfoque

tradicional de conformidade, o qual limit a-se ao cumprimento de tolerâncias

determinísticas em que qualquer valor da característica controlada é considerado em

conformidade desde que dentro do campo de tolerância, mesmo que este esteja nos

limites desta tolerância. Muitos estão descobrindo para o caso de “nominal é melhor”

as vantagens de se aplicar um controle estatístico de processo mais ambicioso, cuja

meta é centralização e menor variabili dade possível, tendo como alvo índices de

capacidade iguais ou superiores a 1,33 como é o caso da QS 9000, que solicita

índices de capacidade Cpk ≥ 1,33 ou dentro da metodologia 6σ , 1,5Cpk ≥ e

2,0Cp ≥ .

Page 67: TESE DE DOUTORADO

55

4.3 Índice de capacidade YCpk de uma relação funcional - no

projeto

O índice de capacidade de uma relação funcional YCpk , será denotado por:

( )1Y Y YCpk Cp k≅ −

O índice de capacidade YCpk expressa concomitantemente erros de precisão ou

aleatórios (variabili dade medida pelo desvio padrão) e erros de posicionamento ou

sistemáticos, que são expressos em valor relativo pelo fator “ Yk ” [vide expressão

(4.2)]. O valor correspondente “ Yk ” , é dado por:

/ 2 / 2Y Y Y

YY Y

m Pk

T T

µ −≅ =

onde Yµ , Ym , YT e YP são respectivamente a média da distribuição, o valor central

da tolerância, a tolerância e o erro sistemático em valor absoluto da variável de

resposta. Por sua vez o erro sistemático em valor absoluto da variável de resposta é

dado por:

1

.Xi

K

Y xi m Xii i

fP P

X ==

∂≅∂∑

sendo Xi Xi XiP mµ= − , o erro sistemático em valor absoluto da variável iX .

Verificamos portanto uma outra aplicação da diferenciação junto aos erros

sistemáticos com enfoque determinístico. Isto é justificado pelo fato que estes erros

sistemáticos na fase de projeto via de regra são considerados simétricos, ou seja, com

o mesmo valor para ambos os lados do valor nominal, o que lhes confere um

comportamento semelhante ao do acúmulo das tolerâncias. Devido a isto, as

diferenciais parciais na linearização local devem aparecer em valor absoluto, e os

Page 68: TESE DE DOUTORADO

56

erros sistemáticos ou de posição iPx de cada variável também. A descentralização

máxima, caracterizada por Xi Ximµ ≠ deve ser estabelecida em projeto.

4.4 Exemplo numérico do efeito de substituir -se uma relação não-

linear por linear no projeto

Devido à dificuldade envolvida em trabalhar com relações não lineares, alguns

deixam de “linearizar” determinadas funções não lineares, pela lei geral de

propagação do erro. Desta forma consideram a relação entre variáveis originalmente

como linear, por aplicar uma soma simples de tolerâncias ou de variâncias a fim de

estimar ou prever a tolerância ou a variância na variável de resposta. Este

procedimento pode ser prejudicial [(CREVELING,1997)].

Ilustremos isto através de um exemplo de MONTGOMERY (2001). Num

circuito simples em corrente contínua a a tensão Y entre dois pontos a e b deve ser

de 100 ± 2 V. As especificações das variáveis de entrada: a corrente e a resistência

do circuito são respectivamente 1X = 25 ± 1A e 2X = 4 ± 0,06 Ω. (Figura 21):

2X

a b 1X = I = 25 ± 1A ( 1XT =2A) 1X 2X = R = 4 ± 0,06 Ω ( 2XT = 0,12Ω)

Figura 21 - Exemplo de modelo não linear 1 2.Y X X=

Page 69: TESE DE DOUTORADO

57

Assume-se neste caso que as variações de 1X e 2X são normalmente

distribuídas e independentes entre si, com médias coincidindo com os valores

nominais, de modo que a variável de resposta Y também tem uma distribuição

normal. Ainda, considera-se a previsão das tolerâncias naturais de processo de 1X e

2X como coincidentes com as respectivas especificações limite em 99,7% ( 3µ σ± ),

ou seja:

1 1 2 2 1X X X XCp Cpk Cp Cpk= = = = ⇒

1 1/ 3 0,33Xσ = = e 2 0,06 / 3 0,02Xσ = =

Pela lei de Ohm, 1 2Y X X= . Nestas condições, a média e o desvio padrão de Y

serão aproximadamente:

1 2 25.4 100Y X X= = =

como 21

fX

X∂ =

∂ e 1

2

fX

X∂ =

∂ , daí segue que

1 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 1 1 2

1 2X XY X X X X Y X X

f fX X

X Xµ µσ σ σ σ σ σ= = ∂ ∂≅ + → ≅ + ∂ ∂

2 2 2 2 24 .0,33 25 .0,02 2

2 1,41

Y

Y

σ

σ

≅ + ≅

≅ ≅

Calculando os limites naturais de variação de tensão Y , teremos 100 ± 3. Yσ = 100 ±

4,23v. Percebe-se, portanto, que esta variação de Y não atende à especificação

inicial 100 ± 2v, resultando num sofrível índice de capacidade de 0,47 , embora

tanto 1X como 2X tenham variações de processo dentro da especificação

originalmente estabelecida:

Page 70: TESE DE DOUTORADO

58

4,0 4,00,47

6. 6.1,41 8,46Y

YY

TCp

σ≅ ≅ ≅ ≅

Isto ocorreu devido ao acúmulo de variabili dade e uma equivocada escolha de

tolerâncias, por não se levar em consideração as relações não-lineares entre as

variáveis de entrada. A conclusão é que tolerâncias supostamente aceitáveis nas

variáveis de entrada sem se levar em consideração estas relações não lineares não

refletirão uma tolerância adequada na variável de resposta.

Para evitar este problema, precisamos fazer o caminho inverso, aplicando a lei geral

de propagação do erro com o alvo de encontrar valores adequados para as

especificações de cada variável de entrada, a fim de garantir a tolerância

originalmente especificada para a variável de resposta 4YT V= . Na reavaliação das

tolerâncias de 1X e 2X iremos supor que as relações entre os valores originais das

tolerâncias determinísticas e entre as tolerâncias naturais da resistência e da corrente

( 2 1 2 1/ 6 / 6 0,06 /1X X X XT T σ σ= = ) estejam otimizadas. Também queremos

estabelecer um YCp de 1,33, de modo que precisamos estabelecer o máximo valor

para a tolerância natural de Y :

40,5

6 6. 6.1,33Y Y

Y YY Y

T TCp

Cpσ

σ≅ → ≅ = ≅

Porém, 2 22 1

1 1

60,06 0,06.

6X X

X XX X

σ σ σ σσ σ

= = → = . Como

2 2 2 2 22 1 1 2

2 2 2 2 2 21 1

. .

0.5 4 . 25 .0,06 .Y X X

X X

X Xσ σ σσ σ

≅ +

≅ +

1 0,117Xσ ≅ e 2 10,06. 0,007X Xσ σ≅ ≅

A partir da tolerância requerida 4YT V= , vamos definir as novas tolerâncias

determinísticas das variáveis de entrada através do método do pior caso:

Page 71: TESE DE DOUTORADO

59

2 1 1 2. .Y X XT X T X T≅ + , calculando 1X e 2X nos valores nominais,

temos 1 24 4. 25.X XT T= +

Como 2

2 11

0,06 0,06.XX X

X

TT T

T= → = , substituindo na expressão acima,

1 14 4 25.0,06.X XT T= + , então 1 20,727 0,044X XT T= =

Finalmente, para confirmar que o índice de capacidade YCp tem valor de 1,33:

1 1 2 2

1 1 2 2

1 21 2

2 2 2 2 2 2

2 21 2

1 2

4.0,727 25.0,0441,33

6. 4 .0,117 25 .0,0076.

X X

X X

X m X X m X

Y

X X X X

f fT T

X XCp

f fX Xµ µσ σ

= =

= =

∂ ∂+∂ ∂ +≅ ≅ ≅

+ ∂ ∂+ ∂ ∂

Uma vez que se respeitou a relação não-linear, do parâmetro do índice de

capacidade YCp da tensão, coerentemente este se confirmou em 1,33 a partir dos

valores redefinidos de tolerância.

4.5 Programas para obtenção de YCp e YCpk

Há pelo menos dois programas disponíveis para obtenção dos parâmetros de

YCp e YCpk enquanto informações que auxili am no projeto: TOLSTACK (2002)

e VARTRAN (1998). Ambos realizam entre outras coisas cálculos analíticos para

Page 72: TESE DE DOUTORADO

60

se obter YCp e YCpk quando a relação funcional é linear, sendo que neste caso os

valores encontrados são exatos. Para relações funcionais não lineares, ambos

programas obtém valores aproximados destes índices de capacidade, sendo que o

TOLSTACK (2002) emprega a simulação pelo método de Monte Carlo e o

VARTRAN (1998) obtém os valores de YCp e YCpk por intermédio das séries de

Taylor (opção padrão) ou por meio de polinomiais. O problema no tratamento

estatístico destas relações não lineares é que o VARTRAN (1998), considera a

variável de resposta sempre como normal, o que não é condizente com argumentos já

apresentados na Seção 2.1; mesmo considerando todas as variáveis de entrada

identicamente distribuídas por normais o programa não lineariza a função, mas a

aproxima até a quarta ordem, independentemente se a escolha for por séries de

Taylor ou polinomiais, de modo que os resultados obtidos podem ficar enviesados se

as variâncias das variáveis de entrada não forem suficientemente pequenas.

4.6 Índices de capacidade de uma relação funcional em

distr ibuições não normais

Os índices de capacidade de uma relação funcional conforme desenvolvidos

neste capítulo estão na forma de parâmetros e podem ser aplicados na fase de projeto.

Consideramos originalmente neste trabalho que todas as variáveis de entrada têm

distribuição normal ou próxima da normalidade, sendo independentes ou não,

resultando sua combinação também numa variável de saída com distribuição normal.

Esta é a condição básica para aplicação dos índices de capacidade de uma relação

Page 73: TESE DE DOUTORADO

61

funcional, não obstante existem situações em que não podemos afirmar a priori que

cada variável de entrada terá uma distribuição normal:

1) Algumas variáveis de entrada podem exercer influência na resposta após o

produto estar pronto. Pode ser que uma variável deste tipo tenha um

comportamento muito diferente de uma distribuição normal. Por exemplo, a

temperatura ambiente na produção ou utili zação de um determinado produto

provavelmente não tem uma variação simétrica em torno de uma média,

como é o caso da distribuição normal, mas em muitos casos esta temperatura

é uma variável de entrada de grande importância no modelo matemático.

2) Algumas variáveis oriundas de certos processos produtivos podem não ser

facilmente colocadas sob controle estatístico, de modo que outros métodos

de controle diferentes do CEP devem ser empregados [ MONTGOMERY

(2001)].

3) Quando o processo a ser empregado para obtenção de determinada variável

de entrada ainda não foi escolhido ou, para outros casos, sequer foi

desenvolvido, ou não há uma variável similar a título de comparação, não

podemos concluir normalidade diante desta carência de informações.

Também pode ocorrer que conheçamos o processo para determinada variável

e saibamos que o mesmo foge muito da normalidade.

Nestas circunstâncias, mesmo conhecendo as distribuições das variáveis de

entrada, uma combinação de distribuições não normais seria algo complexo.

Todavia podemos aplicar os índices de capacidade de uma relação funcional nestes

casos, desde que adotemos o que é considerado o pior caso estatístico: estabelecer

distribuição uniforme para variáveis de entrada não normais, conforme Figura 22.

Page 74: TESE DE DOUTORADO

62

BURR (1976) sugere a possibili dade de se considerar todas as distribuições das

variáveis de entrada como sendo uniformes no intervalo [ ];L Uµ µ− + . A variância

e a média de uma distribuição uniforme (Figura 22) são respectivamente:

2 22 4

12 3 3

a a aσ σ= = → = , sendo

a L Uµ µ= − = − e 2

L Uµ +=

b/2

L µ U

a a

3σ− 3σ+

Figura 22 - Distr ibuição uniforme

Em cada extremo da distribuição uniforme temos 3a σ= ± a partir da média,

o que significa que temos 100% da distribuição entre 3µ σ± . Além disto, nota-se

que a convolução de distribuições uniformes rapidamente tende a uma normal,

mesmo com poucas destas distribuições participando da convolução. A convolução

de apenas duas distribuições uniformes idênticas resulta numa distribuição triangular,

conforme Figura 23 [DIETRICH(1991)]:

Page 75: TESE DE DOUTORADO

63

6 Yσ 3σ

Figura 23 - Comparação de uma normal com a combinação de duasdistr ibuições uniformes

Note-se que esta distribuição triangular embora próxima do formato da normal,

tem 100% da distribuição compreendido entre 6 2,45Y Yµ σ σ± ≅ ± , enquanto com

a normal, para ter 99,7% de probabili dade, temos 3 Yµ σ± .

Uma combinação de três distribuições uniformes idênticas resulta numa

distribuição muito próxima da normal (Figura 24) [ISO-GUM (1998);

DIETRICH(1991)]

Figura 24 - Resultado da combinação de 3 distr ibuições uniformes iguais

Mesmo se considerarmos todas as distribuições das variáveis de entrada como

uniformes, e a distribuição da variável de resposta como normal, sempre a

probabili dade no intervalo de 3 Yµ σ± será maior ou igual a 99,7% na variável de

Page 76: TESE DE DOUTORADO

64

resposta, para qualquer combinação entre distribuições uniformes, triangulares ou

normais, não importando a quantidade das variáveis de entrada e nem mesmo o valor

de suas variâncias [DIETRICH(1991), AGOSTINHO; LIRANI e RODRIGUES

(1990)] apresentam um estudo de distribuição de tolerâncias envolvendo

distribuições normais, uniformes e triangulares, do qual podemos tirar a mesma

conclusão. BURR (1976) apresenta um estudo em que considera todas as

distribuições de entrada como uniformes, confirmando que, para qualquer número

delas, a probabili dade dentro de 3 Yσ± será sempre maior ou igual a 99,7% na

variável de resposta.

O fato de a distribuição combinada com estes tipos de distribuição ter uma

probabili dade maior que 99,7% no intervalo 3 Yµ σ± continua propiciando o uso

dos índices de capacidade de uma relação funcional YCp como uma previsão de

projeto, tendo a garantia de que o mesmo será sempre maior ou igual aos índices de

capacidade de uma relação funcional real, sendo que, além de não estarmos correndo

o risco de sub-avaliar a dispersão da distribuição resultante, também não corremos o

risco de super-avaliar esta mesma dispersão, por conservar como normais as

variáveis de entrada que assim se comportam. Tal conclusão quanto a estas

combinações continua válida se as variáveis de entrada são dependentes.

Page 77: TESE DE DOUTORADO

65

5 ESTIMAÇÃO DOS ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA

RELAÇÃO FUNCIONAL

5.1 Introdução

Na etapa de projeto trabalhamos com parâmetros, enquanto que no controle de

processos trabalhamos com estimativas. Durante a produção deve haver um controle

estatístico de processo (CEP) para variáveis que representam características críticas

de qualidade. Quando uma característica destas é obtida indiretamente, nos moldes

do tema deste trabalho, ou seja por meio do acúmulo de variabili dade de entrada, esta

característica na condição de variável de saída, pode ser estimada a partir dos

estimadores das variáveis de entrada fornecidos de seus respectivos controles

estatísticos de processo. BISSEL (1994) sugeriu a utili zação da lei geral de

propagação do erro a fim de estimar o desvio padrão da variável de resposta, tendo

como dados de entrada as estimativas dos desvios padrão das variáveis de entrada.

Neste Capítulo abordaremos a estimação por ponto e por intervalo de YCp e YCpk .

5.2 Estimação por ponto e intervalar de YCp

Um estimador por ponto de YCp é:

ˆ6 ˆ

YY

Y

TCp

σ≅

onde o estimador natural para ˆYσ é obtido por:

Page 78: TESE DE DOUTORADO

66

21

2 2,ˆ

1 1 1ˆˆ ˆ 2 ˆ ˆ

Xi

K K K

y Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j i

i i j

f f fX X Xµσ σ σ σ ρ

== = = +

∂ ∂ ∂≅ ∑ + ∑ ∑ ∂ ∂ ∂

sendo que os estimadores usuais do desvio padrão com dados extraídos do CEP de

cada uma das variáveis de entrada são:

ˆ2

XiXi

Xi

Rd

σ = ou 4Xi

XiXi

sc

σ = ou ( )2

1ˆ1

m

n

i im

Xi

X X

nσ =

−=

onde XiR é a amplitude média amostral, Xis é o desvio padrão médio amostral e 2d

e 4c são constantes tabeladas em função do número da amostra, para corrigir o viés

pela substituição de Xiσ por XiR ou por Xis [MONTGOMERY(2001)]. E o

estimador do coeficiente de correlação corresponde a:

( )( )( ) ( )

,2 2

1 1

ˆ m m

m m

i i j j

Xi Xj n n

i i j jm m

X X X X

X X X X

ρ

= =

− −=

− −

∑∑ ∑

Notamos que ˆYCp é um estimador por ponto baseado no estimador por ponto

do desvio padrão da variável de resposta ( ˆYσ ), semelhantemente ao que ocorre para

uma característica única de qualidade ( ˆ / 6 ˆCp T σ= ) [BOTHE(1997)];

[MONTGOMERY (2001)]; [VARDEMAN; JOBE (1999)]

Os métodos para obtenção de intervalos de confiança para os índices de

capacidade de uma relação funcional que ora apresentamos são baseados nos estudos

relativos aos intervalos de confiança para a variância da variável de resposta 2Yσ ,

como simples resposta de um modelo univariado e obtida por meio de um modelo

matemático que pode ser expresso por uma combinação linear. [GRAYBILL e

WANG (1980)]; [BURDICK e GRAYBILL (1992)]; [LU (1985)]. Tal combinação

Page 79: TESE DE DOUTORADO

67

linear ou linearizável pela diferenciação deve levar em conta a condição, já

estabelecida, de que todas as variáveis de entrada desta combinação seguem

distribuições normais. Para estes intervalos de confiança, considera-se também que

as variáveis de entrada como independentes (Veja Seção 1.1).

Sabe-se que o estimador da variância de uma variável de entrada X é dado por:

( )2

2ˆ1

i

X

X X

−=

−∑

com iX independentes e coletados de uma distribuição normal e proporcional a uma

distribuição qui-quadrado 2χ com 1nν = − graus de liberdade. Segue que o

intervalo de confiança bilateral com nível de confiança(1 )α− % de 2σ é dado por:

2 2 22 2

/ 2 (1 ) / 2

ˆ ˆX X Xα α

ν νσ σ σχ χ −

≤ ≤

onde 2/ 2αχ e 2

(1 ) / 2αχ − são respectivamente as abscissas da distribuição qui-quadrado

com n-1 graus de liberdade, respectivamente numa área de / 2α e 1 / 2α− sob a

curva. Extraindo a raiz, temos um intervalo de confiança para o desvio padrão:

2 2/ 2 (1 ) / 2

ˆ ˆX X Xα α

ν νσ σ σχ χ −

≤ ≤

Segue que um intervalo de confiança para sua tolerância natural 6σ será:

2 2/ 2 (1 ) / 2

6 ˆ 6 6 ˆX X Xα α

ν νσ σ σχ χ −

≤ ≤

Page 80: TESE DE DOUTORADO

68

Como 6T

Cpσ

= , onde T é a tolerância determinística de projeto, o intervalo de

confiança para o índice de capacidade Cp de uma variável simples, segundo

MONTGOMERY (2001), fica:

2 2(1 ) / 2 / 2

6 ˆ 6 ˆT T

Cpα αχ χσ ν σ ν

− ≤ ≤

Quando Y é função de apenas uma variável de entrada, podemos aplicar a

técnica de linearização local, de maneira que um estimador de Yσ é assim expresso:

22

ˆˆ ˆxY x X

dfdX µσ σ=

Deste modo, um intervalo de confiança para YCp é dado por:

2 2(1 ) / 2 / 2

6 ˆ 6 ˆY YY Y

YY Y

T TCpα αχ χ

σ ν σ ν− ≤ ≤

Para uma variável de resposta combinada com dois ou mais componentes de

variância, a distribuição de 2ˆYσ não segue uma distribuição qui-quadrado e não há

intervalos de confiança exatos para combinações lineares e positivas de 2Yσ

[GRAYBILL e WANG (1980)].

Vamos aplicar métodos para obter o intervalo de confiança aproximado para

2Yσ que satisfaçam as seguintes condições: as distribuições das variáveis de entrada

são normais e independentes, cuja combinação linear resulta numa única variável de

resposta (modelo univariado) . Serão apresentados os seguintes métodos: Método de

Satterthwaite, Método para Grandes Amostras e Método de Graybill -Wang.

Page 81: TESE DE DOUTORADO

69

O método de aproximação do intervalo de confiança para 2Yσ mais comumente

empregado foi proposto por SATTERTHWAITE (1941) e basicamente consiste em

considerar a variável 2ˆYσ seguindo uma distribuição qui-quadrado com Yν graus de

liberdade equivalentes. Segundo KRAGTEN (1994), para a maioria das aplicações

práticas, tal aproximação resulta numa boa precisão.

Desta forma um intervalo de confiança aproximado para YCp é dado por:

( )2 2

1 / 2 / 2

6 ˆ 6 ˆY YY Y

YY Y Y Y

T TCp

α αχ χ

σ ν σ ν− ≤ ≤

onde YT é a tolerância determinística de projeto em Y , 2Yχ é a distribuição qui-

quadrado da variável de resposta Y , ˆYσ é o desvio padrão estimado de Y e Yν

representam os graus de liberdade equivalentes para Y .

O desenvolvimento para a expressão de Yν é o que segue:

Um estimador para 2Yσ é dado por:

2

2 2ˆ

1

ˆ ˆXi

k

Y Xi Xii i

fX µσ σ=

=

∂≅ ∂ ∑ (5.1)

onde 2ˆXiσ são estimadores de 2Xiσ . Como iX segue distribuições normais, então 2ˆXiσ

segue distribuições qui-quadrado com xiν graus de liberdade. Deste modo, a relação

que segue será empregada tanto nas variáveis de entrada iX como na variável de

resposta Y :

2 22 2 2

2

ˆˆXi Xi Xi

Xi Xi XiXi Xi

ν σ χχ σ σσ ν

= → = (5.2)

Substituindo (5.2) em (5.1) temos:

Page 82: TESE DE DOUTORADO

70

22 22 2 2

ˆ1

ˆk

Y XiY Y Xi i Xi

iY i Xi

fX µ

χ χσ σ σν ν=

=

∂= = ∂ ∑

Seja 2 2

XiXi i Xi

i Xi

fK

X µσν=

∂ = ∂ , segue que:

2 22 1

k

XiY

Y Xii

Y

Kνχ χσ =

= ∑ (5.3)

Aplicando a diferenciação em (5.3), temos que cada diferencial parcial será dada por:

2 2Y

Xi YXiK

f νχ σ∂ =

Portanto a variância de 2Yχ é aproximadamente igual a:

2 2

2

2 22

1Y Xi

Xi

ky

i y

Kχ χ

νσ σ

σ=

=

2 2

2 2

222 2

1

222

2

22 22

1

Y Xi

Y iXi X

kY

iY

k

Xi

XiXi

i Xi

Y

iY

K

fx

χ χ

χ µ χ

σ σ σν

σν

σ σ σν =

=

=

=

=

∂ ∂

Como ( )22 2 2 1

XiXi inχ

σ ν= = − e 22 2

YYχ

σ ν= , segue que:

2

22 2222ˆ

1

2 2XiY

kY

Y XXi

Xii Xi

iiY

fXσ µ

σσν

σ ν νν =

=

∂ ∂ = = ⇒

( ) 22 22

2

1

22

Xi

kY

Xi XiiY Xi i

fX µ

σσ

ν ν ==

∂ = ∂ ∑ (5.4)

Page 83: TESE DE DOUTORADO

71

a expressão (5.4), segundo BOX, HUNTER e HUNTER (1978), correspondente à

variância da distribuição de 2ˆYσ que pode ser estimada por:

( )2

22 22

2 2ˆˆ

1

ˆ 2ˆ 2 ˆ

XiY

kY

Xi XiiY Xi i

fX µσ

σσ σ

ν ν ==

∂ = = ∂ ∑

Assim, isolando Yν , que corresponde aos graus de liberdade equivalentes de Y ,

temos:

( )22

4

1

ˆ

ˆXi

Y

Y

Xi Xiki

i Xi

fX µ

σν

σ

ν

=

=

= ∂ ∂ ∑

Quando os valores de Xiν são grandes, o método de Satterthwaite proporciona uma

boa aproximação, porém fora desta circunstância este modelo tende a apresentar

intervalos de confiança maiores, se comparados aos intervalos obtidos com os

métodos que seguem [BURDICK e GRAYBILL (1992)].

O segundo método para obtenção de intervalos de confiança para YCp é o

Método para Grandes Amostras. Repetimos aqui o nome que foi dado na literatura

para tal método, embora se reconheça que não existe consenso sobre a partir de que

valor de amostra pode-se considerá-la grande, de modo que a expressão “método

assintótico” talvez fosse mais apropriada.

De qualquer forma, considerando uma distribuição assintótica próxima da

normal, podemos construir um intervalo de confiança aproximado para 2Yσ

Page 84: TESE DE DOUTORADO

72

[BURDICK e GRAYBILL (1992)]. Estes intervalos são baseados no resultado

obtido pela distribuição normal padronizada dada por:

22 2 2

ˆ( ˆ ) /

YY Yz σ

σ σ σ= −

Deste modo, uma aproximação do intervalo de confiança bilateral (1 )α− para

grandes amostras é:

2 22 2 2 2 2

/ 2 / 2ˆ ˆˆ ˆ

Y YY Y Yz zα ασ σ

σ σ σ σ σ− ≤ ≤ +

onde 22

ˆYσσ é a variância da distribuição de 2ˆYσ (aproximada por uma normal), dada

pela expressão (5.4).

Como a distribuição de 2ˆYσ tende à normal somente quando o tamanho das

amostras das variáveis de entrada n → ∞ , há restrições no que tange à

confiabili dade deste método, mesmo para grandes amostras. Também, pelo mesmo

motivo, tal método não é recomendável para pequenas amostras.

Há estudos que estabelecem alterações neste método, com o propósito de se

obter intervalos de confiança confiáveis para pequenas amostras.

WELCH (1956) apresenta um estudo neste sentido, que não será abordado

aqui, uma vez que o “método modificado das grandes amostras” posteriormente

desenvolvido por GRAYBILL e WANG (1980) é o melhor existente para a obtenção

de intervalos de confiança aproximados para funções de componentes de variância,

devido à sua precisão e simples cálculo [CHIANG (2001)].

Segundo BURDICK e GRAYBILL (1992), o intervalo de confiança

aproximado de 2Yσ pelo “método modificado das grandes amostras” é dado por:

2 2 2 4 2 2 2 2 4

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆk k

Y Xi Xi Xi Y Y Xi Xi Xii i

G c H cσ σ σ σ σ= =

− ≤ ≤ +∑ ∑

Page 85: TESE DE DOUTORADO

73

onde:

2

: , 1 : ,

1 11 1

Xi

Xi Xi

Xi Xi Xi Xii

fc G H

X F Fµα ν α ν

=∞ − ∞

∂= = − = − ∂

onde : ,XiFα ν ∞ e 1 : ,Xi

F α ν− ∞ são limites da distribuição de Fisher, com níveis de

confiança γ α= e ( )1γ α= − , com 1Xi Xinν = − graus de liberdade no

numerador ( )1,2,3.....i k= e ∞ graus de liberdade no denominador.

portanto:

2 2

2 2 4 2 2 2 4

1 1: , 1 : ,

1 1ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ

Xi Xi

k k

Y Xi Xi Y Y Xi Xii i

c cF Fα ν α ν

σ σ σ σ σ= =∞ − ∞

− − ≤ ≤ + −

∑ ∑

2 2

2 2 2 2 2

1 1: , 1 : ,

1 1ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ

Xi Xi

k k

Y Xi Xi Y Y Xi Xii i

c cF Fα ν α ν

σ σ σ σ σ= =∞ − ∞

− − ≤ ≤ + −

∑ ∑

2 22 2

2 2 2 2 2

1 1: , 1 : ,

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

Xi Xi

k kXi Xi Xi Xi

Y Xi Xi Y Y Xi Xii i

c cc c

F Fα ν α ν

σ σσ σ σ σ σ= =∞ − ∞

− − ≤ ≤ + −

∑ ∑ (5.5)

Como 2/ 2; : ,Fα ν α νχ ν ∞= , substituindo em (5.5), obtemos:

2 22 22 2 2 2 2

2 2/ 2; 1 / 2;1 1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ

Xi Xi

k kXi Xi Xi Xi Xi Xi

Y Xi Xi Y Y Xi Xii i

c cc c

α ν α ν

ν σ ν σσ σ σ σ σχ χ −= =

− − ≤ ≤ + −

∑ ∑ (5.6)

Notamos que o “método modificado das grandes amostras” não estabelece uma

distribuição para a variância de 2ˆYσ ; por outro lado, conforme evidenciado na

expressão (5.6), tais intervalos aproximados baseiam-se na raiz da somatória

Page 86: TESE DE DOUTORADO

74

quadrática dos intervalos de confiança inferiores e raiz da somatória quadrática dos

intervalos de confiança superiores das variâncias estimadas 2ˆXi Xic σ . Em outras

palavras todos os intervalos de confiança das variâncias das variáveis independentes

de entrada com distribuição qui-quadrado são exatos e estão multiplicados por Xic ,

de modo que temos a contribuição de cada um dos “ k ” intervalos de confiança

sobre o intervalo de confiança aproximado de 2Yσ .

GRAYBILL e WANG (1980) mediram a precisão de alguns métodos para

obtenção de intervalos de confiança aproximados de 2Yσ para duas variáveis de

entrada valendo-se de simulação e integração numérica para encontrar faixas

verdadeiras dos níveis de confiança, sendo que nesta determinação experimental,

foram definidos vários valores de variância para 1xσ e 2xσ à partir da variação da

contribuição relativa destas variâncias sobre 2Yσ , dada por XiR (Veja Seção 2.2), com

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 0,1 0,9 ; 0,2 0,8 ..... 0,8 0,2 ; 0,9 0,1X XR R+ = = + + + + , e com estas

combinações de variância, todas combinações possíveis com os seguintes tamanho

de amostra:

1

2

4,5,6,7,8,9,10,15,20,30

4,5,6,7,8,9,10,15,20,30X

X

n

n

==

Para estas combinações foram associados valores ( )1 0,90α− = e ( )1 0,95α− = .

Embora não esteja no objetivo deste trabalho detalhar este método

experimental, a título de informação repetimos na Tabela (5.1) alguns resultados

deste procedimento aplicado na avaliação dos métodos de Satterthwaite e Graybill -

Wang. Os valores na Tabela (5.1) correspondem a faixas contendo, respectivamente,

o máximo e o mínimo valor dentre os milhares de valores de nível de confiança reais

Page 87: TESE DE DOUTORADO

75

obtidos por simulação e integração numérica, respectivamente para o nível de

confiança (γ ) de 90% e 95%:

gl 90%γ = 95%γ =

1ν 2ν Satterthwaite mín máx

Graybill -Wang mín máx

Satterthwaite mín máx

Graybill -Wang mín máx

5 5 0.886-0.921 0.900-0.917 0.939-0.963 0.949-0.960

5 30 0.855-0.912 0.900-0.916 0.907-0.958 0.950-0.960

10 10 0.892-0.913 0.900-0.910 0.943-0.958 0.950-0.956

10 30 0.882-0.908 0.900-0.908 0.934-0.956 0.950-0.955

30 30 0.897-0.905 0.900-0.904 0.948-0.953 0.950-0.952

Tabela 5.1- Faixas de níveis de confiança (γ ) de 90% e 95% relativos a intervalos

de confiança bilaterais para o os métodos de Satterthwaite e Graybill -Wang

Conforme podemos observar na Tabela 5.1, os intervalos obtidos pelo método

de Graybill -Wang em geral têm menor amplitude que o método de Satterthwaite,

principalmente quando os valores de graus de liberdade são pequenos. LU (1985)

avaliou o método de Graybill -Wang para 3 e 4 variáveis de entrada e confirmou

resultados com semelhantes níveis de exatidão e precisão para os intervalos de

confiança bilaterais aproximados de 2Yσ .

Como / 6Y YCp T σ= , o intervalo de confiança bilateral e aproximado de YCp

empregando o método de Graybill -Wang, fica:

2 2 2 4 2 2 2 4

1 1

6 ˆ ˆ 6 ˆ ˆ

Y YY

k k

Y Xi Xi Xi Y Xi Xi Xii i

T TCp

H c G cσ σ σ σ= =

≤ ≤

+ −∑ ∑ (5.7)

Page 88: TESE DE DOUTORADO

76

5.3 Estimação por ponto e intervalar de YCpk

Um estimador por ponto de YCpk pode ser dado por:

( )ˆ ˆ ˆ1Y Y YCpk Cp k≅ − (5.8)

Observamos que o estimador por ponto de YCpk depende dos estimadores de

ˆYCp e Yk . Como

/ 2Y

YY

Pk

T≅ , seu estimador natural é:

ˆˆ

/ 2Y

YY

Pk

T≅

onde YP é dado por:

ˆ1

ˆ ˆ.Xi

K

Y Xi Xii

i

fP P

X µ==

∂≅ ∑ ∂

ˆXiP é o estimador do erro sistemático para cada uma das variáveis de entrada iX ,

dado por ˆ ˆXi Xi XiP mµ= − ; ˆXiµ é obtido do CEP relativo ao processo de

manufatura da respectiva variável de entrada e Xim é o valor nominal de projeto.

Diferentemente do que foi visto para a obtenção do parâmetro YCpk , os valores de

Yk , YP , e ˆXiP não estão em valor absoluto, pois a descentralização de cada variável

de entrada iX se dará para um dos dois lados da especificação. Também os

coeficientes de sensibili dade

ˆXiXii

fX µ=

∂ ∂

não devem estar em valor absoluto, pois as diferenciais parciais passam

a assumir o papel de incrementos positivos ou negativos. Deste modo a combinação

de sinais dos coeficientes de sensibili dade e das descentralizações de iX provocarão

uma anulação parcial ou, menos provavelmente, até mesmo uma anulação total sobre

a descentralização da variável de resposta não observável Y .

Page 89: TESE DE DOUTORADO

77

Para obter um intervalo de confiança para YCpk , analisemos primeiramente a

obtenção do intervalo de confiança para Cpk . Neste caso existem vários métodos

desenvolvidos, porém, todos estes procedimentos são aproximações com restrições,

principalmente quando a amostra é de tamanho reduzido.

A construção de um intervalo de confiança para Cpk é mais trabalhosa, porque

existem dois parâmetros (σ e µ ) associados ao seu valor. Uma alternativa seria

primeiramente obter os intervalos de confiança para cada um destes parâmetros, que

são respectivamente dados por:

( )2 2

1 / 2 / 2ˆ ˆ

α α

ν νσ σ σχ χ−

≤ ≤

,1 / 2 ,1 / 2ˆ ˆX t X tν α ν ασ µ σ− −− ≤ ≤ +

Em seguida poderíamos estabelecer a região da Figura 25 como intervalo de

confiança para Cpk :

Figura 25 - Suposta região para o intervalo de confiança de Cpk

Considerando as variáveis X e σ de distribuições normais e independentes,

para qualquer ponto da região,

( )1 / 2

2ˆα

νσχ

− / 2

2ˆα

νσχ

,1 / 2 ˆX tν α σ−+

,1 / 2 ˆX tν α σ−−

Page 90: TESE DE DOUTORADO

78

teremos uma probabili dade ( )21 α− . Por exemplo, se o nível de confiança para cada

um dos intervalos é de 95%, o nível de confiança combinando ambos os intervalos

será de 20,95 0,9025= . Embora X e σ sejam independentes, os intervalos

baseados nas distribuições t e 2χ não são independentes, de modo que não é

possível saber exatamente qual o nível de confiança para este intervalo de confiança

da variável de resposta. Desta forma, qualquer proposta de um intervalo de confiança

para Cpk resultará num valor aproximado. [MOOD e GRAYBILL (1963);

JOHNSON e KOTZ (1993)]

Embora haja vários trabalhos conduzindo a intervalos de confiança aproximados

para Cpk , o mais difundido é o intervalo proposto por BISSEL(1990). KUSHLER e

HURLEY (1992) recomendam este método devido a sua simplicidade e razoável

acurácia obtida. FRANKLIN e WASSERMAN (1992) verificaram que para n ≥ 30,

este método produz intervalos de confiança bastante confiáveis.

O intervalo de confiança para Cpk proposto por Bissel é dado por:

( ) ( )2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

9 2 1 9 2 1Cpk Cpk

Cpk z Cpk Cpk zn n n nα α− + ≤ ≤ + +

− − (5.9)

Veremos agora que o intervalo de confiança da expressão (5.9) pode ser

estendido também para obtenção do intervalo de confiança para YCpk .

Para o caso de uma única variável de entrada não há combinação de

distribuições, mas apenas a linearização da única variável de entrada por meio de sua

derivada. Assim, estimamos ˆYCpk conforme (5.8), daí calculamos o intervalo de

confiança para ˆYCpk empregando a equação (5.9).

Page 91: TESE DE DOUTORADO

79

Quando temos mais de uma variável de entrada, o índice de capacidade de uma

relação funcional ˆYCpk dependerá mais ainda de aproximações; assim nos resta

buscar a melhor aproximação possível para seu intervalo de confiança.

O nosso pressuposto é utili zar a aproximação proposta por BISSEL(1990) para

Cpk e estendê-lo a YCpk com os Yν graus de liberdade equivalentes, segundo o

método de Satterthwaite, pois ambos os métodos são baseados na aproximação por

uma normal.

Na abordagem de intervalos de confiança para YCp , o método de Satterthwaite

não se mostrou o melhor. Porém, no caso de se obter um intervalo de confiança

aproximado para YCpk , há algumas particularidades que induzem a reavaliar a

aplicação deste procedimento de Satterthwaite para auxili ar na obtenção de um

intervalo de confiança aproximado para YCpk . O método de Satterthwaite estabelece

um valor de graus de liberdade equivalente usado na aproximação dos intervalos de

confiança não somente para a variância mas também para a média de uma variável

de resposta com distribuição normal, como resultado da combinação de variáveis de

entrada também com distribuições normais. A aproximação consiste em considerar

a distribuição da variância amostral como uma distribuição qui-quadrado e a

distribuição da média amostral como uma t de student, o que é exato no caso de ter

uma única variável normal, mas não no caso de combinações lineares ou

linearizáveis de distribuições normais.

A obtenção da aproximação do intervalo de confiança da variância de resposta

baseada numa distribuição qui-quadrado foi considerada na Seção 5.2. Quanto à

aproximação do intervalo de confiança da média da variável de resposta Y por uma

distribuição t de student com Yν graus de liberdade equivalentes, HALL e

Page 92: TESE DE DOUTORADO

80

WILLINK(2001) destacam que, desde que as distribuições das variáveis de entrada

sejam normais, esta aproximação é surpreendentemente boa. Este procedimento é

recomendado por NIST (National Institute of Standards and Technology), por meio

do trabalho de KUYATT e TAYLOR(1994), e pela ISO (International

Standardization for Organization), constante na guia ISO-GUM (1998).

A fim de testar o pressuposto de empregar a aproximação de BISSEL (1990)

para Cpk combinada com os Yν graus de liberdade de Satterthwaite (o que se faz

necessário, uma vez que a distribuição amostral de 2Yσ têm aproximadamente

amostra de tamanho 1Y Yn ν= + ), estabeleceu-se uma combinação linear de duas

variáveis de entrada 1 2Y X X= + , tendo a variável de resposta Y um valor nominal

de 20,5 ; 1 2X X= = 10,25 e tolerância variando de 17 a 24. As estimativas de YCpk

foram geradas por simulação empregando-se o programa MINITAB (1996),

estabelecendo-se a priori variáveis de entrada com distribuições normais e

independentes; 1 2 10X X= = (descentralização de 0,25). Tamanhos de amostras

conforme Tabela (5.2) e vetores de variância conforme Tabela (5.3):

1Xn 2Xn

30 100

40 90

50 80

Tabela 5.2- Tamanho de amostras para simulação

Page 93: TESE DE DOUTORADO

81

1Xσ 0,2 0,3 0,5 0,8 0,9

2Xσ 0,9 0,8 0,6 0,3 0,2

Tabela 5.3- Valores de variância para simulação

Temos portanto, vários conjuntos de dados para a simulação do valor estimado

de YCpk , através da combinação de diferentes valores de graus de liberdade com

diferentes valores de variâncias de entrada. Cada um dos 15 conjuntos de dados,

foram simulados 10.000 vezes, gerando assim 10.000 valores de ˆYCpk para cada

conjunto de dados. Cada um destes valores de ˆYCpk foi empregado no método de

Bissel, segundo expressão (5.9) para níveis de confiança de 90% e 95% e com

amostra de tamanho 1Y Yn ν= + :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

9 1 9 12 1 1 2 1 1Y Y

Y Y YY YY Y

Cpk CpkCpk z Cpk Cpk zα αν νν ν

− + ≤ ≤ + ++ ++ − + −

Verificou-se quantos destes 10.000 intervalos estavam fora do valor paramétrico

de YCpk (obtido a partir dos parâmetros da média e desvio padrão para cada caso), a

fim de se encontrar o nível de confiança deste método e compará-lo com os níveis de

confiança de 90% e 95%. O procedimento detalhado de todo processo de simulação

encontra-se no Anexo D.

A conclusão é que a aproximação alcançada por este procedimento é bastante

razoável se for levada em consideração a dificuldade inerente à obtenção de

intervalos de confiança para YCpk . Tais aproximações evidenciam uma precisão

melhor que a alcançada pelo comumente empregado método de Satterthwaite na

Page 94: TESE DE DOUTORADO

82

obtenção dos intervalos de confiança para 2Yσ . A tabela 5.2 expressa os resultados

das 10.000 simulações de intervalos de confiança obtidos por este procedimento para

cada uma das combinações estabelecidas:

σ x1 0.2 0.3 0.5 0.8 0.9

σ x2 0.9 0.8 0.6 0.3 0.2

nx1= 30 nx2= 100 89.6 94.7 88.5 94.1 88.3 93.8 90.0 94.4 89.5 95.0

nx1= 40 nx2=90 89.9 94.8 89.2 94.7 87.9 94.2 89.3 93.5 89.9 94.9

nx1= 50 nx2=80 90.3 95.1 88.9 94.1 88.0 94.6 89.7 93.8 90.3 95.0

Tabela 5.4 - Níveis de Confiança de 90% e 95% obtidos pela combinação do métodode Bissel para obtenção aproximada do intervalo de Cpk, da variável de resposta comos graus de liberdade equivalentes de Satterthwaite a partir de 10000 simulações deintervalos de confiança para cada caso.

Page 95: TESE DE DOUTORADO

83

6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

Os dois exemplos que serão apresentados limitam-se a apenas duas variáveis de

entrada. O primeiro estabelece uma simples relação funcional li near entre a variável

de resposta e as variáveis de entrada. Tais simpli ficações têm por objetivo tornar

clara a aplicação do método que serviria para qualquer número de variáveis de

entrada e para modelos matemáticos mais complexos.

6.1 Exemplo 1- Ajuste com folga

O ajuste com folga, também conhecido como ajuste deslizante, é formado por

uma montagem de uma peça contendo uma dimensão interna com tolerância com

outra peça contendo uma dimensão externa também com uma tolerância de projeto,

sendo que, para ocorrer folga, qualquer dimensão interna variando dentro do seu

campo de tolerância deve sempre ser maior que qualquer dimensão externa também

dentro do seu respectivo campo de tolerância. Estas combinações lineares entre duas

dimensões são tão comuns, que um câmbio ou um motor, por mais simples que

sejam contêm dezenas destes ajustes deslizantes. Existem normas técnicas exclusivas

para ajustes que abrangem muitas aplicações a fim de padronizar as características do

ajuste; mesmo assim, muitos ajustes não são contemplados por estas normas por

terem características específicas. Além disto, infelizmente estas normas não tratam

os ajustes do ponto de vista estatístico.

O exemplo que ora apresentamos pode ocorrer na montagem de um eixo com

um furo, numa guia de deslizamento ou num encaixe estático. Primeiramente vamos

abordar o exemplo do ponto de vista de projeto avaliando parâmetros, e em seguida

do ponto de vista de controle de processos, por estimativas.

Page 96: TESE DE DOUTORADO

84

1X

2X

Figura 26 - Exemplo de ajuste com folga

O modelo matemático que relaciona as variáveis de entrada com a variável

de saída é definido pela combinação linear 1 2Y X X= − , sendo 1X a dimensão

interna e 2X a dimensão externa; 1X e 2X independentes e normalmente

disribuídas. As derivadas parciais são respectivamente:

1 2

1 1f f

X X∂ ∂= = −

∂ ∂

As dimensões nominais e tolerâncias das variáveis de entrada neste exemplo

são os seguintes dados de projeto:

1Xm = 20mm 1X∆ = ± 0,1 1 0,2XT =

2Xm = 19mm 2X∆ = ± 0,1 2 0,2XT =

Segue a determinação da tolerância na variável de resposta ( YT ), aplicando a

diferenciação:

1 21 1 2 21 2

1.0,2 1.0,2 0,4X XY X m X X m X

f fT T T

X X= =∂ ∂= + = + − =

∂ ∂

Page 97: TESE DE DOUTORADO

85

O parâmetro da tolerância natural ( 6 Yσ ) na variável de resposta, aplicando a

diferenciação na forma de lei geral de propagação do erro e igualando as tolerâncias

determinísticas de projeto às tolerâncias naturais das variáveis de entrada

( 6Xi XiT σ= ), é dado por:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 22 2

1 1 2 21 2

2 2 2 2

6 6 6

1 0,2 1 0,2 0,283

X XY X X X X

f fX Xµ µσ σ σ= =

∂ ∂= + = ∂ ∂

= + − =

Neste exemplo não precisamos testar a aplicabili dade da diferenciação para

confirmar erros desprezíveis, pois no caso de relação funcional li near não há erros de

ordem superior. Notamos assim que os parâmetros neste caso são exatos, pois nesta

combinação linear as derivadas parciais tem valor (+1) e (-1).

Com YT e 6 Yσ podemos determinar o parâmetro do índice de capacidade YCp

na variável de resposta:

0.41,41

6 0,283Y

YY

TCp

σ= = =

Especificando no projeto que valores desejamos como erros sistemáticos

máximos para as variáveis de entrada, podemos determinar a tolerância para o erro

sistemático na variável de resposta YP aplicando a diferenciação. Portanto, se

1 0,01XP = ± e 2 0,005XP = ± , temos que:

Page 98: TESE DE DOUTORADO

86

1 21 1 2 21 2

. . 1. 0,01 1. 0,005 0.015X XY X m X X m X

f fP P P

X X= =∂ ∂= + = + − =

∂ ∂

Com YP o fator Yk na variável de resposta pode ser determinado:

0,0150,075

/ 2 0,4 / 2Y

YY

Pk

T= = =

E o parâmetro para YCpk é dado por:

(1 ) 1,41(1 0,075) 1,3Y Y YCpk Cp k= − = − =

Na etapa de processo, vamos considerar que as estimativas foram extraídas do

controle estatístico de processo das variáveis de entrada, sendo estas as estimativas

de processo:

1 1ˆ 0,03 ˆ 19,99X Xσ µ= = 1 60Xn =

2 2ˆ 0,02 ˆ 18,99X Xσ µ= = 2 120Xn =

Com as estimativas dos desvios padrão das variáveis de entrada uma estimativa

da tolerância natural ( 6 ˆYσ ) na variável de resposta, pode ser obtida:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

2 22 22

1 2ˆ ˆ1 2

2 2 2 2 2

6 ˆ . 6 ˆ . 6 ˆ

6 ˆ 1 . 6.0,03 1 . 6.0,02 0,216.

X XY X X X X

Y

f fX Xµ µσ σ σ

σ

= = ∂ ∂= + ∂ ∂

= + − =

Segue que uma estimativa do índice de capacidade YCp na variável de resposta

é dada por:

Page 99: TESE DE DOUTORADO

87

0,4ˆ 1,856 ˆ 0,216

YY

Y

TCp

σ= = =

E um intervalo de confiança bilateral com 95% de confiança pode ser obtido:

2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 41 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 26 ˆ ˆ ˆ 6 ˆ ˆ ˆ

Y YY

Y X X X X X X Y X X X X X X

T TCp

H c H c G c G cσ σ σ σ σ σ≤ ≤

+ + − +

onde 2 2

1 21 2

1 1X X

f fc e c

X X

∂ ∂= = = = ∂ ∂

10,025:60,

20,025:60,

10,975:120,

20,975:120,

1 11 1 0,2797

1,3883

1 11 1 0,2116

1,2684

1 11 1 0,4821

0,6747

1 11 1 0,3104

0,7631

X

X

X

X

GF

GF

HF

HF

= − = − =

= − = − =

= − = − = −

= − = − = −

que resulta em:

1,288 1,505YCp≤ ≤

A partir das médias estimadas, pode-se obter uma estimativa do erro sistemático

para a variável de resposta YP , temos também as estimativas dos erros sistemáticos

das variáveis de entrada ˆXiP , ou seja:

( ) ( ) ( ) ( )

1 21 1 2 2ˆ ˆ1 2

ˆ ˆ ˆ. .

ˆ 1 . 0,01 1 . 0,01 0,0

X XY X X X X

Y

f fP P P

X X

P

µ µ= = ∂ ∂= + ∂ ∂

= − + − − =

Notamos que, neste caso, os erros sistemáticos se anularam, portanto:

Page 100: TESE DE DOUTORADO

88

ˆ 0,0ˆ 0,0/ 2 0,4 / 2

Y

YY

Pk

T= = =

Neste caso, a estimativa de YCpk é igual de YCp .

Se houvesse correlação entre o eixo e o furo, notaríamos uma grande alteração

no valor de 2ˆYσ , e consequentemente sobre ˆYCp .

A título de ilustração se 1, 2ˆ 0,8X Xρ = teríamos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

2 2

2 21 1 1 2 2 2 1, 2 1 2ˆ ˆ

1 2 1 2

2 2 2 2

ˆˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ

1 0,03 1 0,02 2.0,8 1 1 0,03 0,02

0,018

Y X x X X x X X X X X

f f f fX X X Xµ µσ σ σ ρ σ σ= =

∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂

= + − + −

=

consequentemente, o valor de ˆYCp seria:

0,4ˆ6 ˆ 6.0,018

YY

Y

TCp

σ= = = 3,704

Por outro lado, com 1, 2ˆ 0,8X Xρ = − , o resultado seria:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )

2 2

2 21 1 1 2 2 2 1, 2 1 2ˆ ˆ

1 2 1 2

2 2 2 2

ˆˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ

1 0,03 1 0,02 2. 0,8 1 1 0,03 0,02

0,048

Y X x X X x X X X X X

f f f fX X X Xµ µσ σ σ ρ σ σ= =

∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂

= + − + − −

=

desta vez o valor de ˆYCp seria:

0,4ˆ 1,3896 ˆ 6.0,048

YY

Y

TCp

σ= = =

Page 101: TESE DE DOUTORADO

89

6.2 Exemplo 2 - Área de um retângulo

Consideremos uma situação na qual chapas são cortadas primeiramente na

largura 1X e depois no comprimento 2X , e a área resultante é uma característica

crítica de qualidade. No projeto devemos determinar qual deve ser a máxima

variação para cada processo de corte a ser escolhido, a fim de indiretamente

controlarmos a área ilustrada na Figura 27:

2X

1X

Figura 27 - Exemplo de controle da área de um retângulo

Vamos considerar os seguintes valores nominais, tolerâncias e diferenciais

parciais de 1X e 2X :

1Xm = 100mm 1X∆ = ± 0,1 1 0.2XT =

2Xm = 200mm 2X∆ = ± 0,1 2 0.2XT =

A função que relaciona a variável resposta Y e as variáveis de entrada é:

1 2.Y X X= , com 1X e 2X independentes. Por se tratar de uma função não linear,

devemos testar a aplicabili dade da técnica de linearização pela diferenciação a fim de

confirmar se os erros de segunda ordem são desprezíveis. Para o cálculo dos erros

iYε∆ e sYε∆ procedemos da seguinte forma: Como as tolerâncias são bilaterais, há

incrementos positivos ( )ix+∆ e incrementos negativos ( )ix−∆ .

Page 102: TESE DE DOUTORADO

90

A derivada em relação a 1X , 21

fX

X∂ =

∂, é positiva indicando função crescente, de

modo que o incremento 1X∆ a ser usado é o positivo. Similarmente, a derivada em

relação a 2X , 12

fX

X∂ =

∂, é positiva, de modo que o incremento 2X∆ a ser usado

também é o positivo. Calculando o erro inferior iYε∆ temos:

( ) ( ) ( )

1 21 2 1 1 2

1

( ; ;... ) ( ; ;... )

100 0,1 . 200 0,1 100.200 200 . 0,1 100 . 0,1

19970,01 20000 30 0,01

Xi

i X X X i X X Xi i

k

Xi m ii i

Y f m x m x m x f m m m

fX

X

ε

==

∆ = − ∆ − ∆ − ∆ −

∂− ∆∂

= − − − − − + −

= − − =

Similarmente, o erro superior sYε∆ é:

( ) ( ) ( )

1 21 2 1 1 2

1

( ; ;... ) ( ; ;... )

100 0,1 . 200 0,1 100.200 200.0,1 100.0,1

2030,01 20000 30 0,01

Xi

s X X X i X X Xi i

k

Xi m ii i

Y f m x m x m x f m m m

fX

X

ε

==

∆ = + ∆ + ∆ + ∆ −

∂− ∆∂

= + + − − +

= − − =

sYε∆ ou iYε∆ (simétricos neste exemplo), corresponde ao resto “ R ” referente aos

termos de ordem superior da série, que neste caso limita-se apenas a erros de de

segunda ordem. (Veja Seção 2.2 e Anexo B):

1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

; 2 ; 21 2 2 1

2

1 1

1

1 12 2

0,1.0,1 0,01

i s x mx x mx x mx x mx

f fY Y x x x x

X X X X

x x

ε ε = = = =+ ∂ ∂∆ = ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∆ ∆ = =

Devido à simetria entre os dois erros, o erro absoluto é nulo:

Page 103: TESE DE DOUTORADO

91

0,01 0,01 0s iY Y Yε ε ε∆ = ∆ − ∆ = − =

isto resulta em um valor exato para YT :

1 21 1 2 21 2

200.0,2 100.0,2 60X XY X X X X

f fT T T

X Xµ µ= =∂ ∂= + = + =

∂ ∂

Mesmo em outros casos com sYε∆ e iYε∆ não desprezíveis, se estes estiverem

próximos da simetria, propiciarão um erro absoluto desprezível, dando assim um

resultado de YT com boa aproximação.

Esta idéia não é válida para a tolerância natural correspondente a 6 Yσ , pois,

considerando-se todas as variáveis de entrada normalmente distribuídas, basta sYε∆

ou iYε∆ não ser desprezível para que o formato da distribuição da variável de

resposta não seja aproximadamente normal. Mesmo para o erro desprezível, a

distribuição de Y não é exatamente normal, o que resulta num valor de 6 Yσ

aproximado.

Levando-se em consideração que genericamente 6Y YT σ≥ (Veja Seção 3.2.2 ) e

portanto / 2 3Y Y YT σ= ∆ ≥ , considera-se a bem da segurança comparar o valor de

Y∆ , com o erro calculado a partir dos incrementos / 2Xi XiT∆ = . Isto sempre

representará o pior caso possível para o cálculo do erro (mesmo na presença de

elevados níveis de correlação).

Neste exemplo, aplicando esta regra, verificamos que o erro é desprezível, pois não

representa algarismo significativo:

0,01 30s i YY Yε ε∆ = ∆ << ∆<<

Page 104: TESE DE DOUTORADO

92

Para determinar o parâmetro da tolerância natural ( 6 Yσ ) na variável de

resposta, aplicando também a primeira ordem da série de Taylor na forma de lei geral

de propagação do erro, tendo como dados as tolerâncias naturais das variáveis de

entrada e tomando por base as tolerâncias determinísticas de entrada, 6Xi XiT σ= ,

obtemos:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

2 22 2

2 1 2 21 2

2 2 2 2

6 6 6

200 0,2 100 0,2 44,7.

X XY X X X X

f fX Xµ µσ σ σ= =

∂ ∂≅ + ≅ ∂ ∂

≅ + ≅

Os coeficientes de sensibili dade são respectivamente:

( ) ( )( )

1

2

22 21 1

11 22

200 0,2 / 6

44,7 / 6

XX X

XY

fX

Rµ σ

σ

= ∂ ∂ = = =0,80

( ) ( )( )

2

2

22 22 2

22 22

100 0,2 / 60,20

44,7 / 6

XX X

XY

fX

Rµ σ

σ

= ∂ ∂ = = =

A análise é que mesmo com variâncias 2 21 2X Xσ σ= , a contribuição de 1X é quatro

vezes maior que 2X , de modo que para uma melhoria no projeto (redução de 2Yσ ),

deveríamos verificar a possibili dade de alterar a geometria do retângulo sem reduzir

21Xσ (projeto por parâmetros) ou numa segunda hipótese reduzir 2

1Xσ (projeto por

tolerâncias) (Veja Seção 2.2)

O índice de capacidade na variável de resposta ( YCp ) será igual a :

601,34.

6 44,7Y

YY

TCp

σ≅ ≅ ≅

Page 105: TESE DE DOUTORADO

93

Seguindo os procedimentos para obtenção de YCpk , determinamos a tolerância

do erro sistemático na variável de resposta, YP , aplicando a diferenciação. Dados

que: 1 0,01XP = ± e 2 0,02XP = ± , segue que:

1 1 1 2 2 21 2

. .

200 . 0,01 100 . 0,02 4.

Y X mx X X mx X

f fP P P

X X= =∂ ∂≅ +

∂ ∂

≅ + ≅

E determinando o fator Yk na variável de resposta, temos:

40,133

/ 2 60 / 2Y

YY

Pk

T≅ ≅ ≅

Segue-se que o valor de YCpk :

(1 ) 1,34(1 0,133) 1,16Y Y YCpk Cp k≅ − ≅ − ≅

Vamos considerar que as estimativas foram extraídas do controle estatístico de

processo das variáveis de entrada, obtendo:

1 1

2 2

ˆ 0,02 ˆ 99,97

ˆ 0,03 ˆ 199,98X X

X X

σ µσ µ

= == =

com 1 2 120X Xn n= =

A determinação da estimativa da tolerância natural ( 6 ˆYσ ) na variável de

resposta é obtida aplicando-se a diferenciação na forma de lei geral de propagação do

erro, tendo como dados as tolerâncias naturais estimadas das variáveis de entrada.

Deste modo:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

2 22 2

1 2ˆ ˆ1 2

2 2 2 2

6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ

199,98 6.0,02 99,97 6.0,03 30,0.

X XY X X X

f fx

X Xµ µσ σ σ= = ∂ ∂≅ + ∂ ∂

≅ + ≅

Page 106: TESE DE DOUTORADO

94

Segue que uma estimativa do índice de capacidade na variável de resposta

( ˆYCp ) é dada por:

60ˆ 2,0.6 ˆ 30

YY

Y

TCp

σ≅ ≅ ≅

Um intervalo de confiança bilateral para YCp com um nível de confiança de

95%, pode ser obtido aplicando o método de Graybill -Wang:

2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 41 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 26 ˆ ˆ ˆ 6 ˆ ˆ ˆ

Y YY

Y X X X X X X Y X X X X X X

T TCp

H c H c G c G cσ σ σ σ σ σ≤ ≤

+ + − +

1 1

2 2

2

2 21 2ˆ

1

2

2 22 1ˆ

2

ˆ 199,98

ˆ 99,97

X

X

X X X

X X X

fc

X

fc

X

µ

µ

µ

µ

=

=

∂= = = ∂

∂= = = ∂

1 2: , 0,025:120,

1 21 : , 0,975:120,

1 11 1 0,2116

1 11 1 0,3104

Xi

Xi

X Xn

X Xn

G GF F

H HF F

α

α

∞ ∞

− ∞ ∞

= = − = − =

= = − = − = −

que, empregando-se os valores apropriados, resulta em:

1,805 2,176YCp≤ ≤

Para determinar uma estimativa do erro sistemático para a variável de resposta

( YP ), aplicamos a diferenciação, obtendo:

( )( ) ( )( )1 1 2 21 2ˆ ˆ

1 2

ˆ ˆ ˆ

199,98 0,03 99,97 0,02 8

X XY X X X X

f fP P P

X Xµ µ= = ∂ ∂≅ + ≅ ∂ ∂

≅ − + − ≅ −

Na sequência podemos determinar uma estimativa do fator Yk para a

variável de resposta:

Page 107: TESE DE DOUTORADO

95

ˆ 8ˆ 0,267/ 2 60 / 2

Y

YY

Pk

T

−≅ ≅ ≅

Segue que uma estimativa de ˆYCpk é dada por:

ˆ ˆ ˆ(1 ) 2,0 (1 0,267) 1,466Y Y YCpk Cp k≅ − ≅ − ≅

Para determinar um intervalo de confiança para YCpk , primeiramente

precisamos calcular os graus de liberdade equivalentes Yν pelo método de

Satterthwaite. Segue que:

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2

2 22 2

4 4 4

4 4 41 1 2 2ˆ ˆ ˆ

1 2

1 1 2

22

4 4 4 4

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

5220,6

199,98 0,02 99,97 0,03

119 119

Xi X X

Y Y

Y

Xi Xi X X X Xki

i Xi X X

f f fx x xµ µ µ

σ σν

σ σ σ

ν ν ν

= = =

=

= = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +

= =

+

Um intervalo de confiança aproximado para YCpk pode ser obtido por:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

9 1 9 12 1 1 2 1 1Y Y

Y Y YY YY Y

Cpk CpkCpk z Cpk Cpk zα αν νν ν

− + ≤ ≤ + ++ ++ − + −

que, com os devidos valores, vale:

1,323 1,610YCpk≤ ≤

Page 108: TESE DE DOUTORADO

96

7 CONCLUSÕES

A importância que têm os índices de capacidade de uma relação funcional

obtidos indiretamente é semelhante à dos índices de capacidade de uma característica

de qualidade obtida diretamente. Estes índices, como indicadores fundamentais na

avaliação de qualidade frente a especificações e processos, prestam-se a apontar um

enfoque de conformidade que não se restringe ao mero cumprimento de

especificações determinísticas. Vivemos numa época em que o enfoque de

conformidade é traduzido como a busca por maior uniformidade. Tal enfoque tem

sido cada vez mais valorizado, depois que Taguchi, Juran e Deming, entre outros,

realçaram os ganhos de almejar o valor nominal junto às características críticas de

qualidade. Estes ganhos estão sendo confirmados por várias empresas que têm

aderido à metodologia seis sigma que estabelece Cp = 2 e Cpk = 1,5 como mínimos

índices de capacidade aceitáveis.

Vimos dois grandes campos de aplicação para os índices de capacidade de uma

relação funcional:

- No projeto, para previsão da tolerância natural da variável de resposta por

meio das informações dos processos a serem empregados ou desenvolvidos e

a relação da tolerância total acumulada de projeto com a tolerância natural a

fim de avaliar a robustez do projeto e do projeto do processo.

- Na produção, para avaliar a robustez dos processos. Valendo-se dos índices

de capacidade de uma relação funcional, relacionamos a tolerância total

acumulada com os erros sistemáticos e aleatórios obtidos na variável de

resposta.

Page 109: TESE DE DOUTORADO

97

Verificamos que a técnica de linearização pela diferenciação é uma poderosa

ferramenta para atingir nosso objetivo. Não obstante, devemos respeitar as condições

estabelecidas, e a principal destas é trabalhar com tolerâncias e variabili dade

suficientemente pequenas. Todavia, esta restrição não impede aplicarmos a técnica

de linearização na maioria das vezes, pois, via de regra, trabalhamos com tolerâncias

e variabili dade de valor suficientemente pequeno. Além disso, com o avanço da

tecnologia, a tendência tem sido de estabelecer tolerâncias e variabili dade cada vez

menores; portanto, podemos afirmar que os índices de capacidade de uma relação

funcional e linearizados serão cada vez mais utili zados.

Notamos que na determinação dos parâmetros e estimativas destes índices há de

se tomar alguns cuidados:

- Deve-se fazer uma avaliação acurada das eventuais correlações entre as

variáveis de entrada, que podem alterar significativamente a variância da

variável de resposta.

- Nunca se devem subestimar as relações não lineares por simplesmente adotar

relações lineares onde estas não ocorrem. Antes, deve-se tomar o devido

cuidado no cálculo diferencial dos coeficientes de sensibili dade, desta forma

levando em conta os efeitos que o modelo matemático tem sobre estes

coeficientes. Em outras palavras, a técnica de linearização por Taylor deve

ser rigidamente aplicada nos casos de relação não linear.

Observamos também que, na aplicação da técnica de linearização na sua

forma estatística como “ lei geral de propagação do erro” , a variância da variável

de resposta não é a soma das variáveis de entrada mas sim uma soma quadrática,

o que indica sempre uma tendência de elevação no índice de capacidade de uma

Page 110: TESE DE DOUTORADO

98

relação funcional YCp , sendo que este elevar-se-á cada vez mais à medida que

aumenta o valor e a quantidade das tolerâncias naturais relacionadas às variáveis

de entrada. Ressalva-se que nem sempre isto ocorre, por exemplo, na presença de

correlações este efeito é reduzido ou menos provavelmente anulado. Esta

elevação natural em YCp , sem dúvida terá um efeito imediato sobre os custos,

uma vez que de posse deste fenômeno podemos alargar algumas tolerâncias na

entrada, redistribui-las e ainda preservar um valor respeitável para os índices de

capacidade de uma relação funcional.

Também apresentamos métodos para a obtenção de intervalos de confiança

para YCp e YCpk que resultaram em boa aproximação.

7.1 Proposta de novas pesquisas

O tema pode ser explorado de vários ângulos diferentes, de modo que se

apresentam alguns possíveis estudos a serem realizados:

- Avaliar a influência que a aplicação da “lei geral de propagação do

erro” junto aos índices de capacidade de uma relação funcional

exerce sobre os custos

Como verificado, o aumento natural dos índices de capacidade de uma relação

funcional proporciona eventualmente um alargamento nas tolerâncias de entrada e

sua redistribuição. Com certeza este aumento natural dos índices de capacidade de

uma relação funcional pode ser mais bem pesquisado, contribuindo para o “projeto

por parâmetros” e o “projeto por tolerâncias” proposto por Taguchi.

Page 111: TESE DE DOUTORADO

99

- Índices de capacidade de uma relação funcional com modelos não

paramétr icos

Podemos encontrar valores que relacionem a tolerância na saída com a variação

de uma distribuição na saída composta por distribuições não normais, a partir da

utili zação das desigualdades de Camp-Meidell e Tchebicheff . [FLAIG (1996) e

ESTLER (1997)].

Embora tal alternativa não dê a mesma acurácia nos resultados obtidos por meio

de combinação de distribuições normais, estes estudos talvez sejam úteis.

- Índices de capacidade de uma relação funcional quando a

linear ização não pode ser aplicada.

Quando os erros de ordem superior não são desprezíveis, não podemos aplicar a

técnica de linearização por Taylor. É necessário identificar alguma outra técnica para

estes casos.

- Índices de capacidade de uma relação funcional na condição de

assimetr ia da tolerância em relação ao valor central de projeto.

Não foram abordados neste trabalho a condição “nominal é melhor” com

assimetria da tolerância, nem as condições “menor é melhor” e “maior é melhor”

[TAGUCHI (1990)].

Page 112: TESE DE DOUTORADO

100

- Determinação de outros Índices de capacidade de uma relação

funcional

Neste trabalho nos limitamos aos índices de capacidade de uma relação

funcional YCp e YCpk ; todavia, existem vários outros índices a serem explorados,

por exemplo, os índices de capacidade de máquina [BOTHE (1997)].

Page 113: TESE DE DOUTORADO

101

ANEXO A

A1 - Exemplos de caracter ísticas de qualidade obtidas indiretamente

por meio de funções lineares

Há muitas situações práticas que estabelecem adições ou subtrações entre as

variáveis de entrada, que definem as relações lineares. Vejamos a título de ilustração

alguns casos comuns:

Exemplo 1 – Uma ligação de resistores em série : muitos produtos eletrônicos

contêm associação de resistores. No caso de uma ligação em série, a resistência

resultante é dada pela soma das resistências que compõem esta associação.

No que se refere à qualidade, a média e o desvio padrão da resistência resultante são

dependentes das médias e desvios padrão das resistências de entrada iX .

Também, no projeto, a tolerância determinística desta resistência resultante será

dependente das tolerâncias da associação. De posse dos dados determinísticos de

projeto e dos dados estatísticos das resistências da associação, podemos obter os

dados determinísticos de tolerância e os dados estatísticos relativos à resistência

resultante. Com estas informações também podemos obter os índices de capacidade

para esta resistência resultante. Veja a Figura 28:

1X 2X 3X

1 2 3Y X X X= + +

Figura 28 - Montagem de resistores em série

Exemplo 2- Uma montagem de um eixo (dimensão externa) com um furo (dimensão

interna) resulta num ajuste cuja folga é a variável de resposta:

Page 114: TESE DE DOUTORADO

102

Na engenharia mecânica estes ajustes são o caso mais comum e também mais

simples de acúmulo de tolerâncias e variabili dade.

A diferença entre as dimensões do eixo e do furo, definirão o tipo de ajuste:

quando 1 2>X X haverá uma folga e quando 1 2<X X haverá uma interferência.

No projeto de eixos e furos produzidos em larga escala são estabelecidas tolerâncias

para estes, prevendo o máximo valor de folga. Este valor de folga ou interferência

nada mais é do que a tolerância na variável de resposta.

Na fase de produção, havendo controles estatísticos de processo para o processo

de manufatura do eixo e do furo, pode haver, indiretamente, um controle estatístico

de processo para a folga ou a interferência.

Relacionando os dados de projeto e os dados extraídos do controle estatístico de

processo de ambos os componentes, poderemos obter os índices de capacidade

relativos ao valor da folga ou interferência . Veja-se a Figura 29:

Y

2X 1X 1 2Y X X= −

Figura 29 - Ajuste com folga entre um eixo e um furo

Exemplo 3 – O acúmulo de tolerâncias e variabili dade não se restringe a duas

variáveis. As considerações feitas para o Exemplo 2 são válidas neste exemplo com

12 variáveis de entrada.

Page 115: TESE DE DOUTORADO

103

As dimensões da Figura 30 compõem uma cadeia de variáveis de entrada que

definirão a variável de resposta, ou seja, a cota correspondente ao ponto morto

superior de um motor a combustão interna. A cota R relativa a este ponto morto

superior é uma característica de qualidade de saída de grande importância, pois

contribui diretamente para a taxa de compressão, que é responsável, parcialmente,

pelo desempenho do motor de combustão interna.

Figura 30 - Cotas num motor de combustão interna

1 2 3 4 5 6 7 8

5 1 2

6 3 4

7 5 6

8 7 8

( ) ( )Y X X X X X X X X

X W W

X W W

X W W

X W W

= − − − + + + += −= −= −= −

Neste exemplo observamos que 5 6 7 8; ;X X X e X constituem variáveis de

entrada para Y , porém ao mesmo tempo são variáveis de resposta das grandezas

representadas por iW . Em 5 6 7 8; ;X X X e X verificamos relações lineares

semelhantes às vistas no Exemplo 2 de ajuste com folga.

1

2

3

4

5

6

7

8

A X

B X

C X

D X

E X

F X

G X

H X

========

H

Page 116: TESE DE DOUTORADO

104

A2 - Exemplos de caracter ísticas de qualidade obtidas indiretamente

por meio de funções não lineares

Se o modelo matemático for composto por outras funções como produto,

divisão, trigonométricas, exponenciais etc, teremos relações não lineares.

Exemplo 4- Para os casos mais simples, teremos apenas uma variável de entrada; por

exemplo, o volume de uma esfera Y pode ser controlado pelo seu raio X :

343X

Yπ=

Exemplo 5- Vamos considerar uma associação em paralelo de resistores:

As considerações feitas para a associação em série do Exemplo 1 continuam

válidas para este caso de associação em paralelo, ou para qualquer outra combinação

série/paralelo. A novidade aqui é apenas o modelo matemático não linear para a

obtenção da resistência resultante, como característica de qualidade que pode ter seus

índices de capacidade, a partir das informações das resistências que compõem a

associação. Veja-se a Figura 31:

Page 117: TESE DE DOUTORADO

105

2X

1X

2 31

2 3

.X XY X

X X= +

+

3X

Figura 31 - Montagem de resistores em paralelo

Exemplo 6 - Vamos considerar o controle geométrico de um ângulo interno de um

triângulo, cujos lados são variáveis de entrada que definirão o ângulo Y .

As tolerâncias dos três lados do triângulo irão definir a tolerância do ângulo

que, neste caso, é a variável de resposta. Analogamente, as médias e variâncias

destes três lados serão suficientes para o cálculo da média, variância e também os

índices de capacidade deste ângulo. Veja a Figura 32:

1X 3X 2 2 2

1 1 2 3

1 2

cos2 .

X X XY

X X− + −=

2X

Figura 32 – Controle geométr ico de um ângulo em um tr iângulo

Page 118: TESE DE DOUTORADO

106

Exemplo 7 - Volumes sempre definem uma relação não linear com as variáveis

de entrada. Neste caso o raio 1X e o comprimento do cili ndro 2X são as

variáveis de entrada do volume deste cili ndro. Assim, os índices de capacidade

de uma relação funcional serão referentes a este volume, porém obtidos

indiretamente. Veja-se a Figura 33:

2X

1X 21 2.Y X Xπ=

Figura 33 – Volume de um cili ndro

Page 119: TESE DE DOUTORADO

107

ANEXO B

Teorema da Aproximação Linear

A demonstração que segue para duas variáveis de entrada é baseada em EDWARDS

e PENNEY(1997) e STEWART(2002):

“ Se as derivadas parciais de primeira ordem 1

fX∂

∂ e

2

fX∂

∂ existirem próximas ao

ponto de tangência 1 2( , )Y X Xm m m , e forem contínuas em 1 2( , )X Xm m , então Yf é

diferenciável em 1 2( , )X Xm m ” .

Seja 1 1 2 2 1 2( , ) ( , )Y X X X Xf m X m X f m m∆ = + ∆ + ∆ −

A fim de provar que Yf é diferenciável em 1 2( , )X Xm m , o incremento Y∆ poderá ser

expresso como:

1 21 1 2 2 1 1 2 21 2

x xY X m X m

f fX X X X

X Xε ε= =

∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆∂ ∂

onde 1ε e 2 0ε → quando 1X∆ e 2 0X∆ → .

Page 120: TESE DE DOUTORADO

108

Demonstração:

2X

1X

Figura 34 – I lustração da demonstração do teorema da aproximação linear

Sendo r 1 1 2( , )x xm mX+ ∆ , conforme indicado na Figura 3, então

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2

( , ) ,

, ( , )

Y Y

Y

x x x x

X X x x

m m m m

m m

f q f m

f r f m f q f r

f X f

f m X m X f X

∆ = −

= − + − = + ∆ − +

+ ∆ + ∆ − + ∆

(A1)

Seja

( ) ( )1 1 2, Xg x f X m= para 1X em [ ]1 1 1,X Xm m X+ ∆

pelo teorema do valor médio, temos:

( ) ( )11 1 2 1 2 1

1

, , .X X X X x U

dff m X m f m m X

dX =+ ∆ − = ∆ (A2)

para algum número U no intervalo aberto [ ]1 1 1,X Xm m X+ ∆

q ( 1xm +1

X∆ , 2xm +2

X∆ )

( 1xm +1

X∆ , V)

r ( 1xm +1

X∆ , 2xm )

V

(U, 2xm )

1X∆

2X∆Ym

Page 121: TESE DE DOUTORADO

109

Seja:

( ) ( )2 1 1 2,Xh x f m X X= + ∆ para 2X em [ ]2 2 2,X Xm m X+ ∆

similarmente, pelo teorema do valor médio:

( ) ( )21 1 2 2 1 1 2 2

2

, , .X X X X x V

dff m X m X f m X m X

dX =+ ∆ + ∆ − + ∆ = ∆ (A3)

para algum número V no intervalo aberto [ ]2 2 2,X Xm m X+ ∆

Substituindo (A2) e (A3) em (A1), temos:

1 2

1 1 1 1

2 2 2

1

2 2

1 21 2

11

22

1 1

2 2

. .

xx

xx

Y x U x V

x m x U x

x

m

Vm x x m

f fX X

f fX X

X X

fX

f fX

XX

f

X

X

= =

= =

= =

=

=

∂ ∂− ∂ ∂

∂ ∂−

∂ ∂∆ = ∆ + ∆∂ ∂

∂= + ∆ + ∂ ∂+ + ∆ ∂

∂ ∂

onde 1 1 1

1 1xx U x m

f fX X= =

∂ ∂− ∂ ∂ e

2 2 2

2 2xx V x m

f fX X= =

∂ ∂− ∂ ∂ correspondem

respectivamente a 1ε e 2ε , portanto:

1 21 1 2 2 1 1 2 21 2

x xY x m x m

f fX X X X

X Xε ε= =

∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆∂ ∂

Para funções de três ou mais variáveis, o teorema da aproximação linear pode ser

generalizado:

1 1xi

K K

Y xi m i i ii ii

fX X

Xε=

= =

∂∆ = ∆ + ∆∂∑ ∑

A demonstração do teorema da aproximação linear é suficiente para provar-se a

viabili dade da linearização local, que se dá por diferenciação. Percebe-se que esta

Page 122: TESE DE DOUTORADO

110

diferenciação, como uma linearização local, corresponde à primeira ordem da série

de Taylor. Para uma variável, a fórmula de Taylor é expressa:

( )2 3

2 32 3 ...

2! 3! !

nn

X x mx x mx x mx x mxn

f f f fY f m X X X X R

x x x n x= = = =∂ ∂ ∂ ∂= + ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ +∂ ∂ ∂ ∂

sendo R o resto equivalente aos termos de ordem superior da série. Limitando a

série de Taylor até a primeira ordem:

( )X x mx

fY f m X R

x =∂= + ∆ +∂

podemos também expressar Y por ( )X YY f m= + ∆ , sendo que pelo teorema da

aproximação linear Y X mx

fX X

Xε=

∂∆ = ∆ + ∆∂

. Assim:

( ) ( )X X mx X x mx

f ff m X X f m X R

X xε= =

∂ ∂+ ∆ + ∆ = + ∆ + ⇒∂ ∂

X Rε∆ =

Page 123: TESE DE DOUTORADO

111

ANEXO C

Comparação entre os Métodos da Diferenciação Total e Simulação

na obtenção das estimativas de uma var iável de resposta sujeita a

uma relação funcional não-linear .

O exemplo é de um processo físico-químico, no qual queremos medir a massa

molar (M) no processo de obtenção do CH4 (metano) [NJIT(2001)]:

PV

WRTM =

Tendo as médias e tolerâncias naturais os seguintes valores :

VV ((vvoolluummee )) == 221100 ± 22 mmll

PP ((pprr eessssããoo )) == 773355 ± 11 mmmm

WW (( ppeessoo)) == 113377 ± 22 mmgg

TT ((tteemmppeerr aattuurr aa)) == 2255 ± 11 ooCC ==(( 227733++2255)) ooKK ± 11 ookk

RR == 00,,0088220066 ll ..aattmm//mmoollee..KK

Page 124: TESE DE DOUTORADO

112

0

12 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 22

(0.137 )(0.08206 / )(298 )16.47 /

735( )(0.210 )760

6 M= 6 6 6 6 6W

6 6

oWRT g l atm mole K KM g mole

PV atm l

f f f f fW R T P V

R T P V

RT WTM W

PV PV

σ σ σ σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

σ σ

= = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + +

= + 2

1/ 22 2 2

2 2 22 2

12 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

6 6 6 6

M M M6 6 W + 6 R + 6 6 6

W R T

2 0 16 16.5 /

137 0.08206 298

WR WRT WRTR T P V

PV P V PV

M MM T P V

P V

M g mole

σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ

+ + +

= + +

= + +

12 2 2 2

1 20.294 /

735 210g mole

+ + =

O resultado analítico aplicando diferenciação total é, portanto, 16,47 ± 0,294 g/mole.

Façamos uma simulação com números pseudo-randômicos aplicando o MINITAB

(1996), para podermos comparar o resultados pelos processos analítico e simulado. A

simulação foi feita com amostras iguais a 10.000, considerando-se distribuições

normais nas variáveis de entrada . Os valores de desvio padrão foram determinados a

partir das tolerâncias naturais estimadas, sendo 1/6 desta:

VV ((vvoolluummee )) == 221100 ± 22 mmll (( Vσ == 00,,000022mmll //33 == 00..000000666677mmll ))

PP ((pprr eessssããoo )) == 773355 ± 11 mmmm (( Pσ == 11 mmmm//33 == 00..333333 mmmm))

WW (( ppeessoo)) == 113377 ± 22 mmgg (( Wσ == 00,,000022gg//33 == 00..000000666677 gg))

TT ((tteemmppeerr aattuurr aa)) == ==(( 227733++2255)) ooKK ± 11 ookk (( Tσ == 11 //33 ooKK == 00..333333 ooKK ))

RR == 00,,0088220066 ll ..aattmm//mmoollee..KK ((ccoonnssttaannttee))

Page 125: TESE DE DOUTORADO

113

MTB > random 5000 c1;SUBC> norm 735 .333.MTB > random 5000 c2;SUBC> norm .210 .000667.MTB > random 5000 c3;SUBC> norm .137 .000667.MTB > random 5000 c4;SUBC> norm 298 .333.MTB > let c5=(c3*0.08206*c4)/((c1/760)*c2)MTB > describe c5

Descriptive Statistics

Variable N Mean Median Tr Mean StDev SEMeanC5 5000 16.495 16.496 16.495 0.0980.001

Variable Min Max Q1 Q3C5 16.115 16.894 16.430 16.561

17.016.916.816.716.616.516.416.316.216.1

400

300

200

100

0

C5

Fre

quen

cy

Figura 35 - Histograma resultante da simulação (massa molar do metano)

Page 126: TESE DE DOUTORADO

114

P-Value: 0.784A-Squared: 0.237

Anderson-Darling Normality Test

N: 5000StDev: 0.0981576Average: 16.4953

16.916.816.716.616.516.416.316.216.1

.999

.99

.95

.80

.50

.20

.05

.01

.001

Pro

babi

lity

C5

Normal Probability Plot

Figura 36 - Teste de Anderson Dar ling (massa molar do Metano)

O resultado pela simulação é 16,495 ± 3. 0,098 = 16,495 ± 0,294 . Tal valor é

semelhante ao obtido analiti camente (16,47 ± 0,294)

Outra informação obtida neste exemplo de simulação é que o histograma e o

teste de normalidade de Anderson-Darling confirmam que, admitindo-se

distribuições normais nas variáveis de entrada (neste caso independentes), a

distribuição da variável de resposta (dependende) também é aproximadamente

normal.

Neste exemplo em que a massa molar é a variável de resposta , as derivadas

parciais, como coeficientes de sensibili dade no método estatístico, têm os seguintes

valores:

Page 127: TESE DE DOUTORADO

115

2 0 1 1 2; ; ;

137 0.08206 298 735 210f f f f f

W R T P V∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ou seja, o controle do peso (W) e do volume (V) devem receber maior atenção, pois

são os principais responsáveis pela variação na resposta.

Outras comparações entre os métodos por simulação e pela lei geral de

propagação do erro podem ser vistas no trabalho de VARDEMAN; JOBE (1999).

Page 128: TESE DE DOUTORADO

116

ANEXO D

Procedimento para determinação dos verdadeiros intervalos deconfiança para yCpk para duas var iáveis de entrada aplicando acombinação dos métodos de Bissel e Satterthwaite

O exemplo apresentado refere-se ao seguinte caso:

1 2Y X X= + , tendo a variável de resposta Y um valor nominal de 20,5 ;

1 2X X= = 10,25 e tolerância variando de 17 a 24.

Dados de entrada para simulação de minCpk :

1 0,2Xσ = ; 2 0,9Xσ = ; 1 30Xn = ; 2 100Xn = ; 1 2X X= = 10.

Primeiramente digitamos num editor de texto o executável abaixo:

random 30 c1;norm 10 0.2.random 100 c2;norm 10 0.9.stdev c1= c5mean c1= c6stdev c2= c7mean c2= c8let c9= (c5*c5+c7*c7)**0.5let c10= c6+c8let c11= (c10-17)/(3*c9)mean c11 = c12

Este executável foi gravado com a extensão *.mtb. (Este foi gravado como

“cpk1A.mtb”). Em seguida, escolhe-se o número de vezes que este arquivo será

executado. Neste caso, escolheu-se 10.000 simulações de Cpk , sendo este o

procedimento computacional: No menu superior do Minitab (R 11.12): File/Other

Files/Run a Exec/10.000/Select file/ cpk1A.mtb

Após as simulações gravou-se a “session” com uma extensão *.txt (p.ex.

cpk1A.txt). Na sequencia reiniciou-se o minitab; no menu superior: Open

worksheet/cpk1.txt.

Page 129: TESE DE DOUTORADO

117

No momento de abrir este arquivo, filt ramos os valores de minCpk , ou

filt ramos após o arquivo aberto, com o seguinte procedimento: No menu superior:

Manip/Change Data Type/Text to Numeric(C5 para C10).

Selecionamos C10 e Manip/Copy Columns(C10 para C11)/Use Rows/Use rows

with numeric column (C10)/ selecionamos o campo de 0.8 a 2.2 que com certeza

contém o valor de cpkmín/ gravou-se a coluna C11 como arquivo *.xls.

Abriu-se o arquivo *.xls no excel e preparou-se a planilha como segue:

Na coluna A estão os 10.000 valores de YCpk obtidos pelo minitab.

Na coluna B definimos a fórmula =A1-1.645*((1/(9*109)+A1^2/(2*109-2))^0.5)

que calcula o limite inferior do intervalo de confiança para YCpk segundo Bissel:

2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ9 2 2 9 2 2

Cpk CpkCpk z Cpk Cpk z

n n n nα α− + ≤ ≤ + +− −

Na coluna C definimos a fórmula =A1+1.645*((1/(9*109)+A1^2/(2*109-2))^0.5)

que calcula o limite superior do intervalo de confiança para YCpk , segundo Bissel.

O valor de 109 corresponde a Yν +1, sendo Yν os graus de liberdade segundo

Satterthwaite:

( ) ( )42 2 22

4 4 4 4 4

1

0,9 0,2ˆ108,1

1 .0,9 1 .0,2ˆ 99 29Xi

Y

Y

Xi Xiki

i Xi

fX µ

σν

σ

ν

=

=

+= = =

∂ + ∂ ∑

Na coluna E definimos a fórmula =1.0847-B e na coluna F definimos a fórmula

=C-1.0847 a fim de calcular os verdadeiros intervalos de confiança, sendo 1.0847 o

valor paramétrico de YCpk mín, obtido a partir dos dados originais:

Page 130: TESE DE DOUTORADO

118

min ;3 3Y Y Y Y

YY Y

L UCpk

µ µσ σ

− −≅

20 171,0847

3 3.0,922Y Y

YLY

LCpk

µσ− −≅ ≅ ≅

20 241,45

3 3.0,922Y Y

YUY

LCpk

µσ− −≅ ≅ ≅

Na coluna I colocamos os valores da coluna E em ordem crescente de valores, e na

coluna H, a quantidade de valores negativos encontrados em I.

Na coluna J colocamos os valores da coluna F em ordem crescente de valores, e na

coluna K, a quantidade de valores negativos encontrados em J.

((H+ K)/10.000) - 1= ((544+492)/10.000) – 1 = 0,896 corresponde ao verdadeiro

intervalo de confiança obtido pela combinação dos métodos de Bissel e Satterthwaite

para este caso.

Para os demais casos basta alterar os dados de entrada e seguir o mesmo

procedimento.

Figura 37 - Colunas da planilha excel

Page 131: TESE DE DOUTORADO

119

ANEXO E

Comparação do cálculo aproximado do desvio padrão e tolerância

natural do exemplo do item 6.2 com o valor exato do mesmo

No exemplo 6.2 (controle da área de um retângulo) o valor pelo cálculo

aproximado do desvio padrão corresponde a:

2 2 2 21 2 2 1

2 22 20,2 0,2

100 200 7,4536 6

Y X X X Xσ µ σ µ σ≅ +

≅ + ≅

e o cálculo exato pelo método da máxima verossimilhança ou também pelo método

dos momentos [HAUGEN (1968)] nos dá:

2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2

2 2 2 22 2

3

0,2 0,2 0,2 0,2100 200 .

6 6 6 6

55.555 2,222.10 7,453

Y X X X X X Xσ µ σ µ σ σ σ

= + +

= + +

= + =

Sendo o valor da tolerância natural correspondente a 6 44,721Yσ = , pelo

cálculo aproximado e 6 44,722Yσ = pelo cálculo exato.

Quando se leva em consideração que a tolerância determinística da área é de

260mm , conclui-se que houve uma mínima alteração apenas no terceiro algarismo

não significativo. Evidentemente, o termo a mais, presente na expressão do cálculo

exato ( )2 21 2X Xσ σ não seria desprezível na medida que aumentássemos o valor das

variâncias das variáveis de entrada.

Page 132: TESE DE DOUTORADO

120

ANEXO F

Contr ibuição dos índices de capacidade de uma relação funcional na

gestão da qualidade.

Quando 2 ou mais grandezas se relacionam, o acúmulo de tolerâncias e

variabili dade deve ser detidamente analisado a fim de não comprometer a

intercambiabili dade, durabili dade, confiabili dade e funcionabili dade requeridas pelo

cliente. Porém, além da necessidade do cliente externo, deve-se também considerar

que os departamentos de engenharia de projetos e manufatura são clientes internos

recíprocos, mas que constantemente têm neste tema motivos de atritos e crises, pois

não raro a engenharia procura garantir que o conjunto projetado desempenhe bem

sua função a partir de tolerâncias muito estreitas, enquanto a manufatura muitas

vezes admite a possibili dade de alargá-las, a fim de facilit ar sua execução ou reduzir

custos nos processos.

Exempli ficando a tendência do departamento de projetos adotar tolerâncias

indevidas, HALL (1983) destaca que se alguns projetistas ficam inseguros se as

especificações serão realmente seguidas pela produção, eles podem estreitá-las,

resultando uma faixa de tolerância mais estreita do que é realmente necessário para

o produto funcionar bem durante seu tempo de vida útil . De modo semelhante,

GUNN (1993), menciona que em muitos casos, o processo e os equipamentos

manufatureiros que estão em operação não são nem mesmo capazes de atender às

especificações exigidas no desenho da peça. Isto talvez se deva ao fato de os

engenheiros, não sabendo quais dimensões são críticas para o desempenho da

qualidade da peça, colocarem todas as especificações de forma restrita, aumentando

assim o custo de manufatura desnecessariamente.

Page 133: TESE DE DOUTORADO

121

Por outro lado, quando os departamentos de manufatura não assimilam as

vantagens da redução da variabili dade junto às características críticas de processo,

estes naturalmente resistirão diante da solicitação de tolerâncias estreitas ou índices

de capacidade elevados. Para mudar tal atitude a alta gerência deve fazer um trabalho

genuíno e envolvente de conscientização do grande valor da redução da variação.

GABOR (1994) enfatiza que uma boa compreensão sobre a variação é vital

para a mudança gerencial, destacando: o entendimento sobre a variabili dade e seus

efeitos sobre a organização pode servir de maneira significativa como uma

linguagem comum para derrubar as barreiras de comunicação, e aquilo que

frequentemente aparece como interesses antiéticos de diferentes departamentos

dentro da mesma empresa.

Desta maneira, a avaliação da qualidade a partir das tolerâncias tem focado

atenção dos efeitos da variação em dois aspectos aparentemente conflitantes: melhor

desempenho do produto versus menor custo de produção. Um elo crítico é

representado na Figura 38 [CHASE; PARKINSON (1991)]:

Projeto Tolerâncias Manufatura

Tolerâncias estreitas Requisitos competitivos Tolerâncias largas

Figura 38 - O confli to de interesses na designação das tolerâncias

Page 134: TESE DE DOUTORADO

122

Uma alternativa seria combinar os interesses de redução de custos e

aprimoramento da qualidade, pela aplicação do conceito de “manufaturabili dade” ,

definida pela Motorola como a habili dade para reproduzir, identicamente e sem

perdas, unidades de produto de modo que estes venham a satisfazer todas as

necessidades físicas e funcionais do cliente ( qualidade, confiabili dade,

performance, disponibili dade e preço) e também satisfazer os objetivos comerciais

da Motorola. [HARRY; STEWART (1988)].

Para alcançar isto, a qualidade deve ser projetada num produto desde o início de seu

desenvolvimento, de modo que o projetista deve prever índices de capacidade

baseados em processos disponíveis ou similares aos que deverão ser empregados.

[BATTIN (1988)]. Assim, passam a ser parte do vocabulário conceitos como

“designing for manufaturabili ty” ou “design for six sigma” o que obviamente implica

uma relação entre as tolerâncias de engenharia e as capacidades dos processos de

manufatura. [HARRY; STEWART (1988)]. Dentro deste conceito, os

departamentos de projetos e manufatura devem compor um único time visando

simultâneamente à otimização de custos da manufatura e à satisfação do cliente por

intermédio de um projeto robusto, que proporcione elevada intercambiabili dade,

durabili dade e desempenho.

Toda esta discussão passa a ter uma importância ainda maior quando estamos

lidando com o acúmulo de tolerâncias e variabili dade.

GARVIN (1992), menciona que quando duas ou mais peças tem de ser unidas, suas

tolerâncias muitas vezes determinam até que ponto elas ficarão bem ajustadas uma à

outra...

Page 135: TESE DE DOUTORADO

123

Tamanhos acima e abaixo do normal podem, em conjunto, produzir uma variação

total mais extrema que a variação das peças tomadas isoladamente.

ANAND (1997) discute o assunto, apresentando exemplos práticos sobre a

necessidade desta integração departamental face ao acúmulo de variabili dade.

Assim, a previsão da tolerância bem como da variação de processo numa

variável de resposta que, por sua vez, é dependente de várias variáveis de entrada e

que compõem entre si uma relação matemática é assunto de grande interesse para a

garantia da qualidade.

Nos últimos anos várias empresas de renome, como Motorola, Xerox e General

Eletric, estabeleceram e atingiram esta meta adotando amplos programas de

gerenciamento da qualidade.

A união entre estes departamentos originalmente concorrentes é viável, à

medida que sabemos que cabe aos engenheiros projetistas criar conjuntos que

funcionem bem, mas é a manufatura que melhor conhece os processos disponíveis, e

agora deve conhecer também seus processos não só em termos do que estes podem

fazer operacionalmente, mas também em termos de quais tolerâncias podem ser

cumpridas e que índices de capacidade podem ser obtidos a partir do conhecimento

das características estatísticas básicas de cada processo. O “ feedback” destas

informações proporciona projetos mais robustos, com custo reduzido.

As empresas citadas, a partir da aplicação sistêmica de metodologias robustas

com vistas à redução da variação, com destaque para o “seis sigma”, transformaram

a análise de tolerâncias e variabili dade como vantagem competitiva, somando e não

subtraindo esforços entre departamentos anteriormente concorrentes.

Page 136: TESE DE DOUTORADO

124

LISTA DE REFERÊNCIAS

AGOSTINHO, O. L.; LIRANI, J.; RODRIGUES, A. C. Tolerâncias, Ajustes,Desvios e Análise de Dimensões. São Paulo, Ed. Edgard Blucher, 1990.

AIAG Measurement Systems Analysis (MSA) Reference Manual, ChryslerCorporation, Ford Motor Company, General Motors Corporation, 1995.

ASME Y-14 . 5 M, American Society of Mechanical Engineers, Edição de l994.

ANAND, K. N. The role of statistics in determining product and par tspecification - a few Indian experiences, Quali ty Engineering, Monticello, vol.2,n.2, p.187-93, 1997.

ASQ Glossário da sociedade americana para o controle da qualidade, 1983.

BANKS, J. Pr inciples of quali ty control, New York, John Wiley & Sons, FirstEdition, Georgia Institute of Technology, 1989.

BATTIN, L. Six sigma process by design, Group Mechanical Technology,Scostsdale, AZ, Motorola Inc, 1988.

BAUMEISTER, T.; MARKS L. S. Standard Handbook for MechanicalEngineers, New York, Mc Graw-Hill , 1967.

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