tese de doutorado
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EDIVALDO ANTONIO BULBA
CONTRIBUIÇÕES AO ESTUDO DE ÍNDICES DECAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO FUNCIONAL
São Paulo2003
Tese apresentada à Escola Politécnica daUniversidade de São Paulo paraobtenção do Título de Doutor emEngenharia
EDIVALDO ANTONIO BULBA
CONTRIBUIÇÕES AO ESTUDO DE ÍNDICES DECAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO FUNCIONAL
São Paulo2003
Tese apresentada à Escola Politécnica daUniversidade de São Paulo paraobtenção do Título de Doutor emEngenharia
Área de Concentração:Engenharia de Produção
Orientadora:Prof. Dra. Linda Lee Ho
A minha esposa Ildonê e a minha filha Débora -desejo-lhes o maior bem.
AGRADECIMENTOS
A Deus, acima de tudo.
A minha incansável orientadora.
Ao Prof. Roberto Gilioli Rotondaro, sem seu incentivo eu não teriarealizado este trabalho.
Aos meus amigos da FEI, FATEC e SÃO JUDAS pelas mais variadasajudas prestadas.
A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram na execução destetrabalho.
Resumo
“Neste trabalho são apresentados métodos baseados na linearização local obtida pordiferenciação total para a determinação dos índices de capacidade usuais (Cp e Cpk)da característica de qualidade não observável Y obtida indiretamente através de umarelação funcional conhecida 1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X= , tendo cada variável de entrada
iX , média e variância respectivamente iguais a Xiµ e σ 2Xi ; tolerâncias XiT ,
1,2,3,....i k= são conhecidas. Tais índices de capacidade resultantes, a quechamaremos de índices de capacidade de uma relação funcional, têm duas aplicaçõesprincipais: seus parâmetros podem ser usados na fase de projeto dos processos, oupara ajudar no controle, na fase produtiva, sendo que, neste caso, serão obtidas asestimativas por ponto e por intervalo de Cp e Cpk da variável não observável Y ,obtida indiretamente pelas várias variáveis de entrada.”
Abstract
“Here we present methods based on local li nearization obtained for totaldifferentiation on to determine usual capabili ty indices as Cp and Cpk for a non-observable quali ty characteristic Y obtained through a known relational function
1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X= ; each input iX is a random variable with mean and
variance equals to Xiµ and σ 2Xi ; tolerances XiT , 1,2,3,....i k= are known. Such
capabili ty indices are useful in two main applications: these parameters can be usedin the design of process phase, or in productive phase (helping to make statisticalcontrol). In this last case, the parameters (Cp and Cpk) can be estimated from thevalues of input variables. Here we presented confident intervals for the capabili tyindices for the non-observable output variable Y, indirectly obtained through theinput variables.”
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................11.1 Objetivos e conteúdo do Trabalho ...............................................3
2 MÉTODO DA LINEARIZAÇÃO LOCAL NA OBTENÇÃO DOSPARÂMETROS DA RELAÇÃO FUNCIONAL .................................6
2.1 Parâmetros da relação funcional ..................................................62.2 Análise de Sensibilidade.............................................................122.3 Determinação do erro por empregar a diferenciação limitadaà pr imeira ordem ...............................................................................16
3 MÉTODOS PARA DEFINIÇÃO DAS TOLERÂNCIAS NOPROJETO ..............................................................................................27
3.1 Introdução....................................................................................273.2 Análise e distr ibuição das tolerâncias........................................283.2.1 Método Determinístico da Intercambiabilidade Total ..........313.2.2 Métodos Estatísticos na análise de tolerâncias evar iabil idade acumuladas.................................................................353.2.3 Lei geral de propagação do erro aplicado ao método daintercambiabilidade parcial ..............................................................363.2.4 – Método por simulação ...........................................................39
4 ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA RELAÇÃOFUNCIONAL .........................................................................................42
4.1 Introdução....................................................................................424.2 Índice de capacidade YCp de uma relação funcional - noprojeto .................................................................................................504.3 Índice de capacidade YCpk de uma relação funcional - noprojeto .................................................................................................554.4 Exemplo numérico do efeito de substituir -se uma relação não-linear por linear no projeto...............................................................564.5 Programas para obtenção de YCp e YCpk .................................594.6 Índices de capacidade de uma relação funcional emdistr ibuições não normais..................................................................60
5 ESTIMAÇÃO DOS ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMARELAÇÃO FUNCIONAL ....................................................................65
5.1 Introdução.....................................................................................655.2 Estimação por ponto e intervalar de YCp .................................655.3 Estimação por ponto e intervalar de YCpk ...............................76
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.......................................................836.1 Exemplo 1- Ajuste com folga....................................................836.2 Exemplo 2 - Área de um retângulo............................................89
7 CONCLUSÕES.................................................................................967.1 Proposta de novas pesquisas......................................................98
ANEXO A.............................................................................................101ANEXO B.............................................................................................107ANEXO C.............................................................................................111ANEXO D.............................................................................................116ANEXO E.............................................................................................119ANEXO F .............................................................................................120LISTA DE REFERÊNCIAS...............................................................124
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Exemplos de correlação..............................................................................10Figura 2 - Redução da var iação na var iável de resposta...........................................13Figura 3 – Alteração na geometr ia por conta do projeto por parâmetros ..............15Figura 4 – I lustração do conceito de derivada............................................................17Figura 5 – Diferenciais parciais de pr imeira ordem para duas var iáveis................18Figura 6 – Err o “ ε ∆i ix ” para cada var iável de entrada .......................................21Figura 7 – L inear ização com incrementos bilaterais.................................................23Figura 8- Distr ibuição de tolerâncias (método determinístico) ................................29Figura 9- Distr ibuição de var iabili dade (método estatístico)....................................30Figura 10 - Pr incipais métodos para análise e distr ibuição de tolerâncias evar iabili dade..................................................................................................................31Figura 11 - Contr ibuição de 1 1 1X X XT B C= − para YT ...............................................33Figura 12 - Contr ibuição de 2 2 2X X XT B C= − para YT ..............................................33Figura 13 - Modelo não linear com acúmulo de 2 tolerâncias de entrada...............34Figura 14 - Var iabili dade reduzida na var iável de resposta pela aplicação da leigeral de propagação do erro.........................................................................................36Figura 15 - Comparação dos métodos da intercambiabili dade total e parcial.......38Figura 16 - Distr ibuição dos processos A e B .............................................................44Figura 17- Evolução do Índice Cp ...............................................................................47Figura 18 - Processos com qualidade de 3 e 6 sigma................................................48Figura 19 – Efeito da oscilação de ±
1,5σ em (µ ).........................................................48
Figura 20 - Acúmulo de tolerâncias e var iabili dade num modelo não linear comduas var iáveis de entrada.............................................................................................51Figura 21 - Exemplo de modelo não linear 1 2.Y X X= .............................................56Figura 22 - Distr ibuição uniforme...............................................................................62Figura 23 - Comparação de uma normal com a combinação de duasdistr ibuições uniformes.................................................................................................63Figura 24 - Resultado da combinação de 3 distr ibuições uniformes iguais.............63Figura 25 - Suposta região para o intervalo de confiança de Cpk ...........................77Figura 26 - Exemplo de ajuste com folga....................................................................84Figura 27 - Exemplo de controle da área de um retângulo.......................................89Figura 28 - Montagem de resistores em série...........................................................101Figura 29 - Ajuste com folga entre um eixo e um furo ............................................102Figura 30 - Cotas num motor de combustão interna...............................................103Figura 31 - Montagem de resistores em paralelo....................................................105Figura 32 – Controle geométr ico de um ângulo em um tr iângulo.........................105Figura 33 – Volume de um cili ndro...........................................................................106Figura 34 – I lustração da demonstração do teorema da aproximação linear .......108Figura 35 - Histograma resultante da simulação (massa molar do metano) .........113Figura 36 - Teste de Anderson Dar ling (massa molar do Metano) ........................114Figura 37 - Colunas da planilha excel .......................................................................118Figura 38 - O confli to de interesses na designação das tolerâncias........................121
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1- Faixas de níveis de confiança (γ ) de 90% e 95% relativos a intervalosde confiança bilaterais para o os métodos de Satterthwaite e Graybill -Wang............75
Tabela 5.2- Tamanho de amostras para simulação.....................................................80
Tabela 5.3- Valores de variância para simulação.......................................................81
Tabela 5.4 - Níveis de Confiança de 90% e 95%, obtidos pela combinação do métodode Bissel, para obtenção aproximada do intervalo de Cpk, da variável de respostacom os graus de liberdade equivalentes de Satterthwaite, a partir de 10000simulações de intervalos de confiança para cadacaso.............................................................................................................................82
LISTA DE SÍMBOLOS
2X - Relação funcional entre as variáveis de entrada
iX - Variável de entrada i no seu valor médioY – Variável de resposta
YCp - Parâmetro do Índice de capacidade Cp na variável de respostaˆ
YCp - Estimativa do Índice de capacidade Cp na variável de resposta
YCpk - Parâmetro do Índice de capacidade Cpk na variável de respostaˆ
YCpk - Estimativa do Índice de capacidade Cpk na variável de resposta
XiU - Limite Superior da Especificação de iX
XiL – Limite Inferior da Especificação de iX
Xiσ - Desvio padrão da variável de entrada iX
Yσ - Desvio padrão da variável de resposta
ˆXiσ - Desvio padrão estimado da variável de entrada iXˆYσ - Desvio padrão estimado da variável de resposta
,Xi Xjσ - Covariância entre variáveis de entrada iX e jX
XiP - Erro sistemático da variável de entrada iXˆXiP - Erro sistemático estimado das variável de entrada iX
Xik - Fator k de descentralização da variável iX
Yk - Fator k de descentralização da variável de resposta
XiT - Tolerância da variável de entrada iX
YT - Tolerância da variável de resposta
Yd - Diferencial Total da variável de resposta
Xi∂ - Diferencial parcial da variável de entrada iX
Xi∆ - Incremento da variável de entrada iX
Y∆ - Incremento da variável de resposta
i
fX∂
∂- Derivada de primeira ordem da variável de entrada iX ; coeficiente de
sensibili dade2
i j
fX X∂
∂ ∂- Derivada de segunda ordem relativo às variáveis iX e jX
i Xiε ∆ - Contribuição da variável de entrada iX no erro da variável de resposta
ε∆ iY - Erro inferior de diferenciais bilaterais de primeira ordem na resposta
ε∆ sY - Erro superior de diferenciais bilaterais de primeira ordem na resposta
Xim - Valor Central de um incremento bilateral e determinístico da variável de
entrada iX ou valor central da Tolerância da variável de entrada iX
Ym - Valor Central de um incremento bilateral e determinístico da variável deresposta Y ou valor central da Tolerância da variável de resposta Yρ - Coeficiente de correlação
ρ - Coeficiente de correlação estimado
Xiµ - Média da variável de entrada iX
Yµ - Média da variável de saída YˆXiµ - Média estimada da variável de entrada iXˆYµ - Média estimada da variável de saída Y
XiR - Contribuição relativa da variância 2Xiσ na variância 2
YσXiRT - Contribuição relativa de XiT em YT
2d - Fator de correção pela substituição de Xiσ por XiR4c - Fator de correção pela substituição de Xiσ por Xis
Xin - Tamanho da amostra da variável de entrada iX
Yν - graus de liberdade equivalentes na variável de resposta Y2
/ 2αχ - Distribuição Qui-quadrado
22
Yχσ - Variância da Distribuição Qui-quadrado
22ˆYσσ - Variância da distribuição de 2ˆYσ
/ 2zα - Distribuição Normal Padronizada
: ,XiFα ν ∞ - Distribuição de Fisher
,1 / 2tν α− - Distribuição t de student
γ - Nível de confiançaα - Nível de significância
1
1 INTRODUÇÃO
A avaliação de quão adequado é um processo para cumprir determinadas
especificações de engenharia por meio dos índices de capacidade tem sido aplicada
com intensidade crescente, desde que JURAN (1974) introduziu o conceito básico de
índices de capacidade. Dada a importância destes índices, o periódico JOURNAL OF
QUALITY TECHNOLOGY (1992) dedicou um número especial a este tópico e,
mais recentemente, outro número do periódico [JQT (2002)] fez uma revisão de
cerca de 170 publicações sobre os índices de capacidade, entre 1992 a 2000. KOTZ e
JOHNSON (1993) e BOTHE(1997) entre outros publicaram livros que tratam
exclusivamente deste tema.
Não obstante, os índices de capacidade de uma relação funcional foram muito
pouco explorados. Comumente na engenharia ocorrem situações em que uma
característica de qualidade é obtida indiretamente, por outras características. Isto é, a
característica de qualidade Y é dependente de um certo número de variáveis de
entrada 1 2 3 k( ; ; ;..... )X X X X , relacionadas por uma função conhecida:
1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X=
sendo esta relação funcional li near ou não linear. (Vejam-se exemplos no Anexo A.)
Nas situações em que se obtêm indiretamente a característica de qualidade da
variável resultante por meio de diversas variáveis de entrada, haverá um acúmulo de
tolerâncias de projeto e, consequentemente, acúmulo de variabili dade decorrentes
dos processos de fabricação.
Do ponto de vista da qualidade, este aspecto é de grande importância, pois o
acúmulo resultante das tolerâncias e de variabili dade produzirá faixas de variação
2
que poderá acarretar uma “função perda” significativa [TAGUCHI(1991) e ROSS
(1991)].
Por sua vez, o conceito da “função perda” contrasta com o conceito tradicional
de conformidade, que pode ser traduzido como o mero cumprimento de
especificações. Obviamente se o valor da característica crítica de qualidade se
encontra próximo dos extremos da tolerância (limites superior e inferior da
especificação), os atributos da qualidade, como confiabili dade, intercambiabili dade,
durabili dade, funcionabili dade etc., poderão não ser mantidos no mesmo nível, caso
a característica seja encontrada próxima do valor central da mesma tolerância.
Este enfoque mais recente de conformidade utili za índices de capacidade tais
como Cp e Cpk, como indicadores que efetuam uma comparação de quão próxima
ou distante a característica de qualidade pode estar do seu valor nominal. Os índices
de capacidade, na grande maioria dos casos, são empregados no estudo de uma
característica de qualidade especial isolada e medida diretamente do processo de
manufatura. Este trabalho visa a apresentar como obter estes mesmos índices na
situação de acúmulo de tolerâncias e variabili dade, quando a característica de
qualidade é obtida indiretamente por um modelo matemático conhecido.
Se o enfoque mais recente de conformidade se reveste de grande valor para
aprimorar os atributos da qualidade junto a características isoladas, isto será ainda
mais significativo quando ocorrer um acúmulo de tolerâncias e variabili dade.
[GARVIN(1992)]
3
1.1 Objetivos e conteúdo do Trabalho
O propósito deste trabalho é apresentar um método para a obtenção do índice de
capacidade de uma relação funcional da característica de qualidade na resposta, que é
obtido indiretamente, por meio de variáveis de entrada de outras características,
dentro das seguintes condições de contorno:
- distribuições de probabili dade das variáveis de entrada e da variável de saída
são normais ou aproximadamente normais;
- conhecimento da relação funcional que relaciona as variáveis de entrada e a
variável de resposta (modelo univariado);
- as tolerâncias e variâncias das variáveis de entrada têm valores
suficientemente pequenos, a fim de propiciar uma linearização localizada,
com erros desprezíveis;
- abordar-se-á a condição “nominal é melhor” , quando a variabili dade e a
tolerância são distribuídas simetricamente em torno do valor nominal.
Nessas condições, os objetivos são:
- determinação dos índices de capacidade de uma relação funcional (na
variável de resposta) como parâmetros na fase de projeto;
- análise do efeito das correlações nos parâmetros dos índices de capacidade
obtidos de uma relação funcional na fase de projeto;
- estimação, por ponto e por intervalo, dos índices de capacidade obtidos de
uma relação funcional.
4
Genericamente, há condições de obter os intervalos de confiança para a variância da
relação funcional apenas estabelecendo que a função é linear ou linearizável por
meio da diferenciação limitada à primeira ordem da série de Taylor, e que as
variáveis de entrada sejam normais e independentes, tendo como consequência uma
variável de resposta também normal [RABINOVICH (2000)]. Mesmo dentro destas
condições, os intervalos de confiança obtidos são valores aproximados, sendo muito
difícil obter valores exatos para tais [GRAYBILL e WANG(1980)]. Estes intervalos
de confiança para a variância da relação funcional, por sua vez, são fundamentais
para a obtenção dos intervalos de confiança para os índices de capacidade da relação
funcional.
O conteúdo do trabalho está assim disposto:
No primeiro capítulo, estão apresentados os objetivos do trabalho. No segundo,
serão revisados alguns conceitos básicos de cálculo e estatística, que servirão de base
para o desenvolvimento desta tese. A diferenciação limitada à primeira ordem da
série de Taylor, técnica de linearização local empregada para obter os índices de
capacidade de uma relação funcional e o respectivo cálculo do erro devido à
linearização serão abordados também neste capítulo. A aplicação desta técnica será
realizada com enfoques determinístico e estatístico. Será verificado como a variância
da variável de resposta pode ser influenciada pelas correlações entre as variáveis de
entrada e também pelos coeficientes de sensibili dade obtidos pelo cálculo diferencial.
No terceiro capítulo, o enfoque está nas tolerâncias de projeto. Serão apresentados os
métodos clássicos para análise e distribuição do acúmulo de tolerâncias e
variabili dade comumente usados durante o projeto.
5
No quarto capítulo, far-se-á uma revisão comentada dos índices de capacidade mais
utili zados. Em seguida, será visto como determinar os índices de capacidade de uma
relação funcional ( YCp e YCpk ) na análise em projetos a partir dos parâmetros
associados às variáveis de entrada.
No capítulo cinco, são apresentados métodos para determinação da estimação por
ponto, bem como a determinação dos intervalos de confiança dos índices YCp e
YCpk da variável de resposta.
A aplicação dos métodos propostos estabelece o conteúdo do sexto capítulo.
Conclusões do trabalho e oportunidades de novas pesquisas vinculadas ao tema
encerram este trabalho, no capítulo sete.
6
2 MÉTODO DA LINEARIZAÇÃO LOCAL NA OBTENÇÃO DOS
PARÂMETROS DA RELAÇÃO FUNCIONAL
Neste capítulo, está descrito o método de cálculo aproximado para obtenção
dos parâmetros da relação funcional por meio da primeira ordem da série de Taylor,
bem como a determinação do erro por aplicar esta técnica de linearização.
Analisaremos a influência que a correlação entre as variáveis de entrada exerce sobre
tais parâmetros. O capítulo encerra-se evidenciando a importância das derivadas
parciais.
2.1 Parâmetros da relação funcional
Se a relação funcional é linear, e as variáveis de entrada (independentes ou não)
são normalmente distribuídas, então a variável de resposta também será normal
[DIETRICH (1991)]. Por sua vez, a normalidade da variável de resposta propicia a
obtenção dos índices de capacidade e seus respectivos intervalos de confiança, dentro
das condições estabelecidas no Capítulo 1. Neste caso de relação funcional li near, a
média e variância não observáveis da variável de resposta são, respectivamente:
( )µ µ= =
= = =∑ ∑1 1
( )K K
Y i i i Xii i
E Y a E X a
( ) ( )2 2
1 1 1
12 2
,1 1 1
var( ) var 2 cov ,
2 .
K K K
Y i i i j i ji i j i
K K K
i Xi i j Xi Xj Xi Xji i j i
Y a X a a X X
a a a
σ
σ ρ σ σ
= = = +
−
= = = +
= = +
= +
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
onde Y é a variável de resposta, iX são variáveis de entrada, ( )iX iE Xµ = ,
( )var i XiX σ= , ( )cov ,i jX X é a covariância entre iX e jX dada por , .Xi Xj Xi Xjρ σ σ ,
7
onde ,Xi Xjρ é o coeficiente de correlação entre as variáveis de entrada iX e jX , e ia
constantes.
No entanto, mesmo tendo todas distribuições de entrada como normais, se o
modelo matemático não for linear, a variável Y pode não ter distribuição normal, e
provavelmente nem simétrica; consequentemente, o desvio padrão não pode ser
usado como indicador de uma dispersão simétrica, e a média não coincidirá com a
mediana, de modo que a condição “nominal é melhor” com variação da função
distribuída simetricamente ao redor do valor nominal não é obtida.
Neste caso, uma aproximação por meio da linearização local obtida pela
diferenciação limitada à primeira ordem da série de Taylor junto às variações das
variáveis de entrada surge como alternativa, desde que sejam respeitadas certas
condições. Segundo HALD (1952) e a guia ISO-GUM (1998), a normalidade da
variável de resposta de uma função linearizada é aceitável se as variáveis de entrada
forem normais e suas variações forem suficientemente pequenas.
A aplicação desta técnica de linearização torna simples o cálculo aproximado da
média e desvio padrão de funções não lineares, pois a obtenção dos valores exatos
destes parâmetros pode ser extremamente difícil , segundo LARSEN e MARX
(2001). Outros autores corroboram esse argumento: GREEN e BOURNE (1972)
afirmam que encontrar os parâmetros resultantes de uma distribuição combinada
pode ser muito trabalhoso quando a função é complexa. MANDEL (1964) menciona
que o cálculo exato da variância de uma função não linear com várias variáveis de
entrada sujeitas a erro é um problema de considerável complexidade matemática.
GOODMAN (1960) apresenta um artigo cuja finalidade é obter a expressão exata de
variâncias de funções definidas a partir de produto de variáveis. COOLEMAN;
8
STEELE (1989), MOOD; GRAYBILL (1974), MEYER (1983) e MELCHERS
(1999) também confirmam esta dificuldade e recomendam um cálculo aproximado
dos parâmetros da variável de resposta por meio do emprego da primeira ordem da
série de Taylor. Já na primeira metade do século passado, SHEWART (1931)
utili zou a primeira ordem da série de Taylor como um método eficaz para linearizar
funções não lineares. HAUGEN (1968) emprega o método da máxima
verossimilhança, método dos momentos e a diferenciação limitada à primeira ordem,
a fim de obter o valor da média e variância de funções simples, tais como adição,
subtração, produto e quociente, considerando as variáveis de entrada normais e
identicamente distribuídas. Sua conclusão é que, para variâncias pequenas, o método
aproximado da diferenciação limitada à primeira ordem oferece boas aproximações.
No Anexo D, apresentamos o cálculo exato da variância para o exemplo constante na
Seção 6.2, a título de compará-lo com o método aproximado da diferenciação.
O método aproximado da diferenciação total depende do cálculo de derivadas
parciais, porém este cálculo não constitui dificuldade, por mais complexo que o
modelo matemático possa se apresentar, pois hoje há programas matemáticos
disponíveis e de fácil manuseio que determinam literal ou numericamente as
derivadas parciais. Exemplos destes programas são o MATHEMATICA(2002),
MATHCAD(2002) e MATLAB(2000). Contudo, por enquanto, esta mesma
facili dade computacional não é encontrada para o cálculo simbólico ou numérico da
variância de uma relação funcional. O programa MATHSTATICA (2002) é o que
mais se aproxima desta aplicação, pois por meio dele é possível obter o valor exato,
numérica ou simbolicamente para os casos de funções de uma variável de entrada
[ROSE; SMITH (2002)]. Os desenvolvedores estão empenhados em disponibili zar
9
uma versão futura que ofereça esta mesma facili dade para o cálculo de variâncias de
relações funcionais com mais de uma variável de entrada.
Diante destes argumentos, por expandir a função 1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X= numa
série de Taylor, em torno dos valores médios 1, 2,.....( )X X Xiµ µ µ , temos:
1, 2,.....1
( ) ( )Xi
K
X X Xi i Xi Xii i
fY f X R
X µµ µ µ µ ==
∂= + − +∂∑
onde R representa os termos de ordem superior. Por limitar os termos à primeira
ordem, nós teremos as seguintes aproximações:
( )1 2 3 ; 1,2,3...( ) ; ; ;.....XiY k Xi i KE Y f X X X X µµ = == ≅ (2.1)
2
2 2
1
var( )Xi
K
Y Xi Xii i
fY
X µσ σ==
∂= ≅ ∂ ∑ (2.2)
Estes parâmetros, sob o efeito de correlações entre as variáveis de entrada, ficam:
( )1 2 3 ; 1,2,3...
2
,1 1
( ) ; ; ;.....
.
Xi
Xi
Y k Xi i K
K K
Xi Xi Xj Xi Xjj i i j
E Y f X X X X
fX X
µ
µ
µ
ρ σ σ
= =
== =
= ≅ +
∂+ ∂ ∂ ∑∑
(2.3)
21
2 2,
1 1 1
var( ) 2Xi
K K K
Y Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j ii i j
f f fY
X X Xµσ σ σ σ ρ−
== = = +
∂ ∂ ∂= ≅ + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ (2.4)
Todavia, dentro das condições estabelecidas neste trabalho, o segundo termo
para a aproximação da média, na expressão (2.3), existente quando há correlação
entre as variáveis de entrada, pode ser considerado desprezível. [KENNEDY;
NEVILLE (1986)], [MELCHERS (1999)], [LI e WU(1999)].
Por outro lado, o termo de correlação na aproximação da variância em (2.4) não
pode ser desconsiderado, pois a correlação entre as variáveis de entrada pode exercer
forte influência no valor da variância da variável de resposta. [BISSEL(1994)]
10
O valor do coeficiente de correlação ,Xi Xjρ varia entre +1 e –1. Quando o valor
de uma variável iX aumenta, o mesmo ocorre com a variável jX ; de modo análogo,
se o valor de iX diminui, jX também diminui. Se a correlação for negativa, iX
cresce enquanto enquanto jX decresce. Na Figura 1, temos alguns casos de
correlação:
iX iX
iX e jX são independentes iX e jX são fortemente dependentes
ρ = 0 (distr. Normal) ρ ≈ 1 (correlação positiva)
jX jX
iX iX
iX e jX são fortemente correlacionadas alguma correlação negativa
ρ ≈ -1 (correlação negativa) -1 ≥ ρ ≥ 1
Figura 1 - Exemplos de correlação
jXjX
11
O máximo valor que o desvio padrão da variável de resposta Yσ pode assumir
na presença de correlação é alcançado quando , 1Xi Xjρ = , e o produto das diferenciais
parciais referente ao segundo termo da lei geral de propagação do erro com
correlação se encontra em valor absoluto.[TAYLOR(1997)] :
21
2
1 1 1
1
2Xi
i xi
K K K
Y Xi Xi Xi Xji i j ii i j
K
X Xii i
f f fX X X
fX
µ
µ
σ σ σ σ
σ
−
== = = +
==
∂ ∂ ∂≤ + ∂ ∂ ∂
∂≤∂
∑ ∑ ∑
∑ (2.5)
A expressão (2.5) apresenta um limite superior para o desvio padrão da variável
de resposta Y.
Podemos empregar as expressões (2.1), (2.2), (2.4) e (2.5), como parâmetros
durante o projeto, ou suas estimativas, quando estamos controlando os processos de
manufatura, desde que tenhamos a relação funcional e as informações pertinentes a
eventuais correlações entre estas variáveis de entrada [KRAGTEN (1994)].
A expressão (2.4), denominada “ lei geral de propagação do erro” , tem tido
grande aceitação no meio científico. (O “Guia para Expressão da Incerteza de
Medição” [ISO-GUM (1998)]- considerado a mais importante obra da metrologia
contemporânea e resultante da união de esforços de várias organizações científicas
coordenadas pela Organização Internacional para a Normalização (ISO) - faz amplo
uso da lei geral de propagação do erro , chamando-a especificamente de lei de
propagação de incertezas, junto ao controle de medidas).
12
2.2 Análise de Sensibilidade
Além das vantagens apresentadas na Seção (2.1), outra vantagem na aplicação
da linearização na forma de lei geral de propagação do erro na ausência de correlação
é que os termos da expressão (2.2) nos dão a contribuição absoluta que cada variável
de entrada, associada à sua derivada parcial exerce sobre 2Yσ . Por sua vez, a
contribuição ou sensibili dade relativa XiR é dada por:
2
2
2
XiXi Xii
XiY
fX
Rµ σ
σ
= ∂ ∂ = e portanto
1
1k
xii
R=
=∑ .
Esta informação é útil para conhecer e posteriormente buscar reduzir as
principais fontes de variação na variável de resposta, sem necessariamente alterar as
variâncias na entrada 2Xiσ . Os termos
2
2XiXi Xi
i
fX µ σ=
∂ ∂
evidenciam que a variação
na variável de resposta Y é devida parcialmente à derivada i
fX∂
∂, também
denominado coeficiente de sensibili dade e parcialmente ao desvio padrão Xiσ .
Os estudos que conduzem à redução da variação na variável de resposta por
meio da alteração dos valores dos coeficientes de sensibili dade, por escolhermos
pontos de tangência otimizados para que estas diferenciais transmitam a menor
variação possível, é o procedimento correto antes de tentarmos reduzir as variâncias
nas variáveis de entrada, pois, se a redução da variação em Y for possível por este
método, isto sem dúvida implicará economia, se comparado ao procedimento de
diretamente reduzir as variâncias nas variáveis de entrada, que requer o emprego de
processos de fabricação com maior precisão, e portanto, mais caros. A esta técnica de
13
redução da variação na variável de resposta pela alteração dos coeficientes de
sensibili dade, TAGUCHI (1991) denominou “projeto por parâmetros” ; e à redução
das variâncias de entrada, “projeto por tolerâncias” . Justamente por ser mais
econômico, o “projeto por parâmetros” deve ser realizado antes que o “projeto por
tolerâncias” . Na Figura 2 verificamos que, embora não tenha havido redução da
variação sobre a variável de entrada, houve uma redução da variação na variável de
resposta em função de um menor coeficiente de sensibili dade:
iX
Figura 2 - Redução da var iação na var iável de resposta
Adaptamos os dados de um exemplo de ULLMAN(1997), numa situação na
qual se deseja construir reservatórios cilíndricos com volume igual a 21 2.Y X Xπ= ,
sendo 1X o raio e 2X a altura do reservatório.
O objetivo é obter um reservatório que tenha o conteúdo o mais próximo possível de
4 3m . Teoricamente há inúmeros pares de valores nominais de 1X e 2X que resultam
Var
iáve
l de
Res
post
a Y
14
neste valor. Analisemos primeiramente o par “A” , cujos valores nominais são:
1 0,5AX m= e 2 5,09AX m= . As diferenciais parciais resultantes são
respectivamente:
1 21
2 2 0,5.5,09 16A AA
fX X
Xπ π∂ = = =
∂ e 2 2
12
0,5 0,78AA
fX
Xπ π∂ = = =
∂
Vamos supor variâncias iguais para as variáveis de entrada ( )2 2 21 2X X Xσ σ σ= = ,
portanto:
1 1 2 2
2 2
2 2 2
1 2
2 2 2256 0,61 256,61
YA A A A AX X X XA A
X X X
f fX Xµ µσ σ σ
σ σ σ
= = ∂ ∂≅ + ∂ ∂
≅ + =
Vamos analisar o par “B” de valores nominais: 1 1,21BX m= e 2 0,87BX m= .
Neste caso, as diferenciais parciais são:
1 21
2 2 1,21.0,87 6,61B BB
fX X
Xπ π∂ = = =
∂ e 2 2
12
1,21 4,6BB
fX
Xπ π∂ = = =
∂
Segue que:
1 1 2 2
2 2
2 2 2
1 2
2 2 243,69 21,16 64,85
YB B B B BX X X XB B
X X X
f fX Xµ µσ σ σ
σ σ σ
= = ∂ ∂≅ + ∂ ∂
≅ + =
Notamos que, por aumentar o valor do raio e reduzir o comprimento na
opção(B), alteramos os valores dos coeficientes de sensibili dade, ou seja, as
diferenciais parciais das variáveis de entrada; reduzimos 1/f X∂ ∂ que contribui para
a maior parcela na composição da variância 2Yσ , compensando com vantagem o
aumento de 2/f X∂ ∂ , pois assim 2 2<<YB YA
σ σ .
15
Por sua vez, esta escolha do par de dimensões nominais “B” vale somente para
1 2X Xσ σ= . Para garantir um 2Yσ menor, os valores dos coeficientes de sensibili dade
dependem dos valores estabelecidos para 1Xσ e 2Xσ . No exemplo original do
reservatório, ULLMAN (1997) estabelece 2Xσ cinco vezes maior que 1Xσ ; neste
caso é o par de dimensões nominais “A” que determina o menor valor para 2Yσ :
( ) ( )
2 2 21 2
2 2
256 0,61
256 0,01 0,61 0,05 0,027
YA X Xσ σ σ≅ +
≅ + =
( ) ( )
2 2 21 2
2 2
43,69 21,16
43,69 0,01 21,16 0,05 0,057
YB X Xσ σ σ≅ +
≅ + =
2AX 2BX
1AX 1BX
Figura 3 – Alteração na geometr ia por conta do projeto por parâmetros
Melhor opção se
1 25 X Xσ σ=Melhor opção se
1 2X Xσ σ=
16
A conclusão é que para uma determinada relação funcional, o valor para 2Yσ
depende do valor das diferenciais parciais (que por sua vez dependem dos valores
nominais de iX ) e dos valores de Xiσ .
Note-se ainda que em projetos complexos, pode ser difícil obter a relação
funcional entre as variáveis de entrada e suas derivadas parciais. Nestes casos pode-
se empregar o delineamento de experimentos para se obter derivadas parciais
experimentais, por se medir a variação em Y, provocada por uma variação em um
dado iX , ao mesmo tempo que se mantêm constantes as demais variáveis de entrada.
[ISO-GUM (1998) e CREVELING (1997)].
2.3 Determinação do erro por empregar a diferenciação limitada
à pr imeira ordem
As relações funcionais via de regra não são lineares; no entanto, devido aos
argumentos apresentados na Seção anterior, vimos que a linearização pode constituir-
se em uma ferramenta muito útil .
As técnicas de linearização, por sua vez, são amplamente aplicadas na
resolução de problemas de engenharia. PÉREZ (1990) faz uma revisão bibliográfica
destas técnicas aplicadas a sistemas não-lineares. BORTOFF (1997) usa splines, com
propósito semelhante. Não obstante, nosso tema não está relacionado a sistemas de
equações, nos quais, na maioria das vezes, é necessária uma linearização que não se
limita a uma região próxima do ponto de operação. Neste trabalho, consideramos
modelos univariados, nos quais as variações das variáveis de entrada são de valor
17
suficientemente pequeno (a conceituação de suficientemente pequeno será vista
posteriormente). Nesta circunstância, basta uma linearização local. A linearização
local obtida pela polinomial restrita à primeira ordem, por sua vez, encontra várias
aplicações, entre as quais a determinação das raízes aproximadas de um sistema de
equações (método de Newton), a determinação da função afim, como aproximação
da função para a pequena região em análise, e a determinação do valor linear
aproximado da variação numa variável de resposta. É esta última aplicação da
linearização local obtida por diferenciação que nos interessa, pois queremos
determinar os valores aproximados por linearização da tolerância e da variância da
variável de resposta. A diferenciação está relacionada com a definição de derivada,
conforme ilustrado, na Figura 4:
X
Figura 4 – I lustração do conceito de derivada
Y X Ydε∆ − =∆
Xε ∆
Y∆
x dx∆ =
m
Y
18
Dado um incremento ∆X igual à diferencial dx , medido a partir de um ponto
de tangência m , o incremento Y∆ pode ser aproximado por Y Y i Xid ε= ∆ − ∆ ,
desde que o erro 0Xε ∆ → . Desta forma ( )/Y Y Xd d x∆ = ∆ . Uma condição
necessária porém não suficiente para o erro ε ser desprezível é 0X∆ → .
Genericamente, para várias variáveis de entrada temos:
1Xi
k
Y Xi m ii i
fX
X ==
∂∆ ≅ ∆ ∂ ∑
Na Figura 5 temos a representação gráfica das diferenciais parciais de duas variáveis
aplicadas para a linearização local :
Figura 5 – Diferenciais parciais de pr imeira ordem para duas var iáveis
X1
X2
Y
m
2x∆
1x∆
(X1,X2)
2 2 22
XX m
fX
X = ∂ ∆ ∂
1 1 11
XX m
fX
X = ∂ ∆ ∂
1 1 2 21 21 2
X XY X m X m
f fX X
X X= = ∂ ∂∆ ≅ ∆ + ∆ ∂ ∂
19
O incremento ∆Y representado pela primeira ordem, considerando duas
variáveis de entrada, é aproximado pela diferencial total Yd :
1 1 2 21 21 2
X XY Y X m X m
f fd X X
X X= = ∂ ∂∆ ≅ = ∆ + ∆ ∂ ∂
onde ∂
∂ 1
fX
e ∂
∂ 2
fX
são derivadas parciais definidas por:
( ) ( )0
limi
Xi i Xi
xi
f m x f mfX xi∆ →
+ ∆ −∂ =∂ ∆
.
E o mesmo incremento Y∆ como função de duas variáveis de entrada até a segunda
ordem é dado por:
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
2 22 2
1 2 1 22 21 2 1 2
2 2
; 2 ; 21 2 2 1
1 1
1 12 2
1 12 2
Y x mx x mx x mx x mx
x mx x mx x mx x mx
f f f fx x x x
X X X X
f fx x x x
X X X X
= = = =
= = = =
≅ + + +
+ +
∂ ∂ ∂ ∂∆ ∆ ∆ ∆ ∆∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂
Embora os termos de segunda ordem proporcionem uma melhor aproximação
do valor do incremento Y∆ , por meio da redução do erro i xiε ∆ , tais termos são
constituídos de polinômios de segundo grau, ou seja, a função polinomial pela série
de Taylor até a segunda ordem gera parábolas. Neste trabalho nos limitaremos à
aproximação de primeira ordem, que corresponde à diferenciação total, considerando
que os termos de segunda ordem devem ter um valor desprezível. Os termos de
primeira ordem na forma de diferenciais parciais são compostos pelo produto de sua
variação com sua derivada parcial.
20
Neste trabalho, cada derivada parcial será calculada no ponto =i x iX m nos
casos determinísticos, sendo x im o ponto de tangência, e µ=i x iX nos casos de
variação estatística, onde x iµ é o valor esperado da distribuição de iX .
Uma questão básica é: quando a diferenciação pode ser seguramente aplicável ?
Para uma aplicação bem sucedida da diferenciação parcial, deve haver confirmação
quanto à diferenciabili dade da função na região onde é avaliada a variabili dade das
variáveis de entrada. A fim de testar esta diferenciabili dade, empregamos o Teorema
da Aproximação Linear : “ Se as derivadas parciais de primeira ordem
1 2 3
; ; ;....k
f f f fX X X X∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ existirem próximas ao ponto 1 1 1( ; ; ;... )Y X X X Xkm m m m m , e
forem contínuas em 1 1 1( ; ; ;... )X X X Xkm m m m , então Yf é diferenciável em
1 1 1( ; ; ;... )X X X Xkm m m m .”
A expressão do teorema da aproximação linear, cuja demonstração encontra-se no
Anexo B, é dada por:
1 1xi
K K
Y xi m i i ii ii
fX X
Xε=
= =
∂∆ = ∆ + ∆∂∑ ∑ (2.6)
Façamos agora uma representação gráfica da diferenciação. Conforme representado
na Figura 6, temos A = i ixε ∆ ; B = Xi mi ii
fx
x = ∂ ∆ ∂
; C = ( ) ( )X i Xi if m X f m+ ∆ − ;
D = ( )X if m ; E = ( )X iif m X+ ∆
Como A = C – B; segue que:
( ) ( ) .i i X i X Xi mi ii ii
fx f m X f m X
Xε =
∂ ∆ = + ∆ − − ∆ ∂
21
Figura 6 – Err o “ ε ∆i ix ” para cada var iável de entrada
SWOKOWSKI(1994) apresenta um exemplo no qual se calcula o erro através
da diferenciação. No seu exemplo, os incrementos das duas variáveis de entrada são
unilaterais, semelhante ao exemplo da Figura 6, valendo respectivamente
∆ = ∆ = −1 20,01 0,02X e X com valores nominais 1 21 2X Xm e m= = . O
modelo matemático relacionando as variáveis de entrada com a resposta é
21 1 23 .Y X X X= − . Se aplicarmos diretamente esta função matemática com seus
respectivos incrementos, teremos um resultado exato, li vre de erros:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
1 21 2 1 2
2 21 1 21 1 2 1 1 2
2 2
( ; ) ( ; )
3 . 3 .
3 1 0,01 1 0,01 . 2 0,02 3.1 1.2
0,0605
Y X X X X
X X X X X X
f m X m X f m m
m X m X m X m m m
∆ = + ∆ + ∆ −
= + ∆ − + ∆ + ∆ − − = + − + + − − −
=
D
E
B
Xi∆
C
A
iX
Y
m
22
Pelo cálculo diferencial :
( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 21 2
1 2
1 21 2 16 6.1 2 0,01 1 0,02
0,06
X XY X m X m
X X X
f fd X X
X X
m m X m X
= = ∂ ∂= ∆ + ∆ ∂ ∂
= − ∆ + − ∆ = − + − −
=
Assim, 1
0,0605 0,06 0,0005K
i ii
x Yε ε=
∆ = ∆ = − =∑
Note-se que a expressão (2.6) utili za incrementos e diferenciais com seus
respectivos sinais; deste modo, para incrementos unilaterais, se o erro de uma
variável de entrada for positivo ao mesmo tempo em que o erro de outra variável de
entrada for negativo, poderá haver uma anulação parcial entre os erros destas
variáveis de entrada. No exemplo acima, se 2X∆ = 0,02, o erro decresce de 0,0605
para 0,0201; se 2X∆ = 0,04, o erro na variável de resposta tenderia a zero, e se 2X∆ =
0,05, este erro em Y já resultaria num valor negativo de –0,0102. Relativamente ao
ponto de tangência da função (m), se o teorema da aproximação linear confirmar
diferenciabili dade para os dois lados, sendo o incremento na variável de entrada
bilateral e simétrico, o incremento na variável de resposta será também
aproximadamente simétrico, assim como o valor do erro encontrado nos dois lados
do ponto de tangência, conforme ilustrado na Figura 7:
2 ( ) ( )Y S id Y x Y xε ε≅ ∆ − ∆ + ∆ + ∆ como 0 2 S ix dY Y Y Yε∆ → ⇒ ≅ ∆ + ∆ ≅ ∆
23
Figura 7 – L inear ização com incrementos bilaterais
É importante para o desenvolvimento de nosso tema a análise de incrementos
iX∆ bilaterais e simétricos, pois, segundo as condições de contorno, os índices de
capacidade serão baseados na simetria da distribuição relativa aos erros aleatórios,
bem como na simetria de suas respectivas tolerâncias. Neste sentido, o que nos
interessa é obter o máximo erro possível para cada um dos lados da variável de
resposta Y. Deve ser ressaltado que todas as variáveis de entrada, com seus
incrementos bilaterais e simétricos, contribuem simultaneamente tanto para a
minimização como para a maximização da variável de resposta, de modo que o
teorema da aproximação linear expresso por (2.6) deve ser aplicado para ambos os
extremos do intervalo de variação a fim de verificarmos a diferenciabili dade para
ambos os lados e também calcularmos o erro máximo devido à linearização local.
Em outras palavras, na presença de incrementos iX∆ simétricos e,
iY xε∆ + ∆
SY xε∆ − ∆
iY∆
m
sY∆
2 x∆
- x∆ x∆
2 Yd
24
consequentemente, diferenciais simétricas, todas as variáveis de entrada contribuem
para aumentar e também diminuir Y.
Incrementos iX∆ positivos contribuem para o aumento de Y quando a função
de sua respectiva variável de entrada for crescente, e incrementos iX∆ negativos
também contribuem para o aumento de Y quando sua função for decrescente.
Analogamente, incrementos iX∆ positivos contribuem para a redução de Y quando a
função de sua respectiva variável de entrada for decrescente, e incrementos iX∆
negativos também contribuem para a redução de Y quando sua função for crescente.
Desta forma, as adaptações da expressão (2.6), que doravante empregaremos
para calcular o erro inferior iYε∆ e o erro superior sYε∆ da variável de resposta Y
de modelos matemáticos linearizados, são expressas respectivamente como:
1 21 2 1 1 2
1
( ; ;... ) ( ; ;... )
Xi
i X X X i X X Xi i
k
Xi m ii i
Y f m x m x m x f m m m
fX
X
ε
==
∆ = − ∆ − ∆ − ∆ −
∂− ∆∂∑
(2.7)
1 21 2 1 1 2
1
( ; ;... ) ( ; ;... )
Xi
s X X X i X X Xi i
k
Xi m ii i
Y f m x m x m x f m m m
fX
X
ε
==
∆ = + ∆ + ∆ + ∆ −
∂− ∆∂∑
(2.8)
Para cada variável de entrada temos, à partir do valor nominal X im incrementos
iX∆ bilaterais, simétricos e com sinais opostos. A fim de maximizar o erro, nas
expressões (2.7) e (2.8), cada incremento iX∆ constante no primeiro termo deve ter
o sinal da derivada parcial de sua respectiva variável de entrada, pois este sinal
determina se a função da variável em estudo é crescente ou decrescente, enquanto
todas as outras são consideradas como constantes. Estas duas expressões dão a pior
25
combinação possível no que tange à maximização do valor do erro, sendo que, na
prática, este valor provavelmente seria menor.
Utili zando ainda o exemplo de SWOKOWSKI (1994), vamos considerar os
seguintes valores nominais e incrementos simétricos:
( 1Xm = 1,005 ± 0,005 e 2Xm = 1,99 ± 0,01). Então:
1 21
6 6.1,005 1,99 4,04X X
fm m
X∂ = − = − =
∂.
a diferencial de 1X é positiva indicando que sua função é crescente.
12
1,005X
fm
X∂ = − = −
∂,
e a diferencial de 2X é negativa, indicando função decrescente.
Aplicando (2.7), temos:
1 21 2 1 2
1
( ; ;... ) ( ; ;... )
Xi
i X X X i X X Xi i
k
Xi m ii i
Y f m x m x m x f m m m
fX
X
ε
==
∆ = − ∆ − ∆ − ∆ −
∂− ∆∂∑
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1 2
2 21 1 21 1 2 1 1 2
1 1 2 21 2
2 2
3 . 3 .
3 1,005 0,005 1.005 0,005 . 1,99 0.01 3.1,005 1,005.1,99
6.1,005 1,99 0,005 1,005 0,01
0,030125 0,03025 0,000125
X X X X X X
x mx x mx
m X m X m X m m m
f fX X
X X= =
= − ∆ − − ∆ − −∆ − − −
∂ ∂∆ + ∆∂ ∂
= − − − + − − −
− − + −
= − =
E aplicando (2.8), temos:
26
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 21 2 1 2
1
2 21 1 21 1 2 1 1 2
1 1 2 21 2
2 2
( ; ;... ) ( ; ;... )
3 . 3 .
3 1,005 0,005 1.005 0,005 . 1,99 0,01 3.1,005 1,005.1,99
Xi
X X
s X X X i X X Xi i
k
Xi m ii i
X X X X X X
X m X m
Y f m x m x m x f m m m
fX
X
m X m X m X m m m
f fX X
X X
ε
==
= =
∆ = + ∆ + ∆ + ∆ −
∂− ∆∂
= + ∆ − + ∆ + −∆ − − −
∂ ∂∆ + ∆∂ ∂
= + − + − − − −
∑
6.1,005 1,99 0,005 1,005 0,01
0,030375 0,03025 0,000125
− − + −
= − =
Os erros ε∆ iY e sYε∆ neste caso são simétricos e correspondem apenas à
quarta parte do erro com os incrementos originais ( Yε∆ = 0,0005) antes de
centralizarmos os pontos de operação. Deste modo, sempre que a variação for
simétrica ao redor do ponto de operação e a função estiver sujeita ao teorema da
aproximação linear para incrementos bilaterais, teremos erros de ordem superior
significativamente menores em comparação com incrementos unilaterais de mesma
amplitude, aumentando as chances de aplicações bem sucedidas da linearização
local.
Por fim devemos avaliar se ε∆ iY e ε∆ sY na variável de resposta podem ou não
ser considerados desprezíveis. Isto fica por conta de se verificar se o erro superior e o
erro inferior na variável de resposta Y estão contidos dentro dos algarismos não
significativos na variável de resposta, definidos em cada circunstância em função da
precisão requerida pelas conhecidas regras de arredondamento. Uma análise deste
tipo é feita no exemplo da Seção 6.2.
27
3 MÉTODOS PARA DEFINIÇÃO DAS TOLERÂNCIAS NO
PROJETO
3.1 Introdução
Após o projeto por parâmetros visto na Seção 2.2, precisamos realizar o projeto
por tolerâncias. A produção em larga escala, agregando cada vez mais qualidade e
baixo custo, só se torna possível graças ao desenvolvimento e ao refinamento de
técnicas que passam a determinar cientificamente as tolerâncias de projeto. Faremos,
portanto, neste capítulo, uma revisão destas técnicas, para definição das tolerâncias
de entrada e consequentemente da tolerância total acumulada na variável de resposta.
ULLMAN(1997) afirma que a aplicação da técnica de linearização limitada à
primeira ordem para obtenção de tolerâncias em projetos é satisfatória na grande
maioria dos casos. BISGAARD e ANKEMAN (1995) afirmaram que quando o
objetivo é obter um projeto robusto, se conhecermos o modelo matemático do
sistema de variáveis relacionando as entradas com a saída, o método baseado na lei
geral de propagação do erro facilit a a otimização do projeto e é mais eficaz que
métodos baseados no delineamento de experimentos. BISGAARD; GRAVES; SHIN
(2000) apresentam a lei de propagação do erro limitada à primeira ordem para a
obtenção de parâmetros que venham a auxili ar no projeto, tanto para a previsão do
desvio padrão da variável de resposta do processo de manufatura, como para a
obtenção da tolerância natural combinada. Mencionam que estas aplicações da lei
geral de propagação do erro formam a base teórica para a teoria sobre a alocação
de tolerâncias.
28
Mas o que é “tolerância” ? BAUMEISTER e MARKS (1967) definiram
tolerância como “variação total permissível” , e o Glossário da Sociedade Americana
para o Controle de Qualidade expressa que os limites de tolerância são os “ limites de
conformidade relativos a uma unidade produzida por manufatura ou serviço” [ASQ
(1983)]. Portanto YT e XiT representam, neste trabalho, respectivamente a tolerância
da variável de resposta e as tolerâncias das variáveis de entrada, que correspondem
respectivamente a 2XiT xi= ∆ e 2 2YT Y dY= ∆ ≅ . É importante destacar que,
como o valor da tolerância corresponde a uma faixa determinística de variação
permissível, estes valores de tolerância devem sempre aparecer em valor absoluto.
3.2 Análise e distr ibuição das tolerâncias
Quando estamos desenvolvendo um novo produto cuja característica de
qualidade é uma variável de resposta não observável e que depende de k variáveis de
entrada, a previsão de como irá se comportar esta característica é possível graças ao
conhecimento da relação funcional e das variações previstas em processos que já
existem na própria empresa, ou de fornecedores. Mesmo nos casos em que não
temos as informações de determinado processo disponíveis, uma vez que este talvez
ainda não tenha sido desenvolvido, temos disponíveis as informações quanto ao
nível de variação requerido pelo cliente, de maneira que a escolha ou o
desenvolvimento deste processo deve se enquadrar dentro da solicitação do cliente.
Tal planejamento é mais salutar do que simplesmente lançar tolerâncias sem a
preocupação de verificar se existem meios de serem atendidas pelos processos
29
disponíveis. No que se refere ao projeto de um novo produto, duas atividades são
básicas:
Tendo-se o valor das tolerâncias de entrada e também o modelo matemático ou
relação funcional entre estas, torna-se possível a obtenção da tolerância da variável
de resposta. Este procedimento denomina-se “ Análise de Tolerâncias”. O caminho
inverso também pode ser empregado: determinar o valor de uma ou mais tolerâncias
de variáveis de entrada, tendo-se como partida a tolerância da variável de saída. Esta
tarefa denomina-se “ Distr ibuição de Tolerâncias”. [WEISS (1993)]. A Figura 8
ilustra estas duas atividades:
Análise de Tolerâncias Distr ibuição de Tolerâncias
Figura 8- Distr ibuição de tolerâncias (método determinístico)
Não apenas as tolerâncias determinísticas são passíveis deste planejamento.
Atualmente já é difundida entre muitas empresas a prática de selecionar processos de
fabricação ainda na etapa do projeto, sendo esta atividade parte da Engenharia
2XT1XT 3XT XiT
1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X=
1XT 2XT 3XT XiT
YT
YT
1 2 3( , , ,.... )kY f X X X X=
30
Simultânea. Deste modo, podemos ilustrar pela Figura 9, com vistas às variações
inerentes aos processos, sua análise e distribuição:
Figura 9- Distr ibuição de var iabili dade (método estatístico)
No projeto, a medida de variabili dade utili zada nas variáveis de entrada e na
variável de resposta é a tolerância natural, ou seja, a capacidade do processo que,
segundo vários autores, corresponde a seis desvios padrão de uma distribuição
normal, tendo como valor esperado desta distribuição o valor nominal da variável de
entrada X im . [BANKS (1989)], [BURR (1976)]. A prática de estabelecer tolerâncias
estatísticas tem aumentado, e certas normas, por exemplo a ASME Y 14.5.M (1994),
exigem tolerâncias estatísticas como especificação.
Faremos uma apresentação dos principais métodos de análise e distribuição de
tolerâncias e variabili dade. Estes métodos tornam possível a previsão do
comportamento do processo frente às especificações. A apresentação preliminar
destes métodos obedecerá à forma como os mesmos estão contidos na maior parte da
bibliografia relacionada ao tema. [Maiores detalhes, consultar: BISGAARD;
1Xσ1Xσ 3XσXiσ
Yσ
Yσ
1Xσ 1Xσ 3Xσ Xiσ
1 2 3( , , ,.... )
kY f X X X X= 1 2 3
( , , ,.... )k
Y f X X X X=
31
GRAVES e SHIN (2000), MITRA (1998), CREVELING (1997), WEISS(1993).
AGOSTINHO; LIRANI e RODRIGUES (1990), BANKS (1989), HARRY e
STEWART (1988), BURR (1976)]
A Figura 10 apresenta os principais métodos (determinístico, estatístico e
simulação):
Análise e Distr ibuição de Tolerâncias e Var iabilidade
Figura 10 - Pr incipais métodos para análise e distr ibuição de tolerâncias evar iabili dade
3.2.1 Método Determinístico da Intercambiabilidade Total
O método determinístico da intercambiabili dade total baseia-se em valores
determinísticos para as tolerâncias e é também conhecido como método do pior caso.
Neste método de acúmulo de tolerâncias, todos os componentes oferecerão condições
de montagem, quando novos ou de substituição após algum uso sem acarretar
problemas de retrabalho, ajustes ou nova seleção. Para se conseguir isto, os valores
de tolerância das variáveis de entrada são relativamente estreitos, acarretando um
DETERMINÍSTICO
-Método daIntercambiabili dade Total
MÉTODOS ESTATÍSTICOS
- Método da Intercambiabili dadeParcial ( 6 )Y YT σ=
- Método para obter > 6Y YT σ
SIMULAÇÃO
- Método de Monte Carlo
32
maior custo de fabricação, sendo tal método justificado apenas para largas
produções, nas quais pode haver uma amortização de tal custo graças à economia de
escala.
A aplicação da diferenciação na determinação da tolerância da variável de
resposta Y, segundo o método do pior caso, segue uma forma determinística
[CHASE ; PARKINSON (1991); CREVELING(1997)]:
1
Xi
k
Y Xi m Xii i
fT T
X ==
∂≅∂∑ (3.1)
Na aplicação de tal método junto a relações funcionais não lineares, o produto
de cada derivada parcial em valor absoluto XiXi m
i
fX =∂
∂ pela sua respectiva tolerância
XiT fornece deterministicamente o valor máximo de tolerância transferido para a
variável de resposta Y.
O percentual de tolerância em YT contribuído pelo produto XiXi m Xi
i
fT
X =∂
∂, onde
Xim refere-se ao valor central de XiT , é dado por:
100XiXi m Xi
iXi
Y
fT
XRT
T
=
∂ ∂ =
(3.2)
A Figura 11 mostra uma função com duas variáveis de entrada (superfície em
vermelho), o plano tangente (verde) no ponto de operação m e a contribuição de
1 1 1X X XT B C= − para YT . A Figura 12 faz o mesmo para 2Tx .
33
Figura 11 - Contr ibuição de 1 1 1X X XT B C= − para YT
Figura 12 - Contr ibuição de 2 2 2X X XT B C= − para YT
m
m
34
A Figura 13 ilustra a forma determinística de acúmulo de tolerâncias para as duas
tolerâncias de entrada:
Figura 13 - Modelo não linear com acúmulo de 2 tolerâncias de entrada
( ) ( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 21 2
1 1 2 2
1 21 2
X X
X X
X X
X m X X m X
Y
Y X m X X m X
T CX BX T CX BX
f fAX BX T AX BX T
X X
T AY BY AX BX AX BX
f fT T T
X X
= =
= =
= − = −
∂ ∂− = − =∂ ∂
≅ − = − + −
∂ ∂≅ +∂ ∂
m
35
3.2.2 Métodos Estatísticos na análise de tolerâncias e var iabilidade
acumuladas
É usual fixar 2 6Xi Xi XiT σ= ∆ ≅ [CREVELING (1997)]; onde 6 Xiσ é a
tolerância natural de iX . Aplicando a lei geral de propagação do erro, expressa por
(2.4), tendo como variáveis de entrada suas respectivas tolerâncias naturais, teremos
como resultado a tolerância natural da variável de resposta:
( )2
12
,1 1 1
6 6 2 6 6Xi
K K K
Y Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j ii i j
f f fX X Xµσ σ σ σ ρ
−
== = = +
∂ ∂ ∂≅ + ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ ∑ (3.3)
Aspecto importante a ser considerado junto à expressão (3.3) e já verificado na
expressão (2.5) do capítulo anterior, é que 6 Yσ resultará sempre num valor menor ou
igual que a soma das contribuições das variáveis de entrada sobre a variável de
resposta.
Na ausência de correlação, 6 Yσ sempre será menor que a soma das
contribuições das variáveis de entrada sobre a variável de resposta. A título de
ilustração, a Figura 14 evidencia este fato para um caso com três variáveis de
entrada:
36
∆− 6 Yσ
Tolerância Total = YT
1 1 11
6X x X
fa
X µ σ= ∂= ∂
; 2 2 22
6X x X
fb
X µ σ= ∂= ∂
; 3 3 33
6X x X
fc
X µ σ=
∂= ∂
1 2 3
22 2
2 2 21 1 2 2 3 3
1 1 3
6 6X X XY X X X X X X Y
f f fT
X X Xµ µ µσ σ σ σ= = = ∂ ∂ ∂≅ + + < ∂ ∂ ∂
Figura 14 - Var iabili dade reduzida na var iável de resposta pela aplicação da leigeral de propagação do erro
3.2.3 Lei geral de propagação do erro aplicado ao método da
intercambiabilidade parcial
Se o objetivo for apenas e tão-somente o cumprimento da tolerância
determinística acumulada na variável de resposta, tendo-se desta forma um enfoque
de conformidade mais tradicional, a lei geral de propagação do erro pode ser ajustada
para este fim, já na fase de projeto. Neste caso as tolerâncias naturais das variáveis de
a b c
Tolerâncias naturais
Variabili dade total reduzida noprocesso
37
entrada podem ser maiores que as respectivas tolerâncias determinísticas, conforme
estipuladas originalmente pelo método do pior caso. Ou seja, com este propósito este
método viabili za uma maior variabili dade junto às grandezas de entrada, sendo
normalmente a redução de custos nos processos o argumento evocado nesta
circunstância. [AGOSTINHO; LIRANI e RODRIGUES (1990)]
Neste método, as tolerâncias determinísticas das variáveis de entrada sofrem um
acréscimo em comparação com as tolerâncias estipuladas originalmente pelo método
do pior caso. Não obstante, se este método permite tal alargamento dos limites de
especificação para todas as tolerâncias componentes, ou algumas selecionadas, o
controle sobre a centralização de todos os processos da cadeia é muito importante,
sendo que a média ( Xiµ ) de cada um deles deve estar bem próxima do valor nominal
da tolerância. Este método, que trabalha sob a hipótese de não haver correlação, é
conhecido como “ método da intercambiabili dade parcial” , uma vez que, por se
buscar economia no processo, a variabili dade combinada na variável de resposta
correspondente a 6 Yσ pode abranger toda a faixa da tolerância de saída (6 )Y YTσ = ;
todavia, devido à redução da margem de segurança, se ocorrer alguma instabili dade
no processo, esta poderá acarretar refugo ou retrabalho, talvez antes de se poder
efetuar uma correção. Devido a isto, tal método evidentemente não deve ser aplicado
quando o acúmulo de tolerâncias está relacionado a alguma característica de
qualidade crítica, sendo necessário maior precisão. Na Figura 15 ilustramos
graficamente o ajuste que foi feito no método estatístico exempli ficado na Figura 14,
a fim de adequá-lo ao método da intercambiabili dade parcial. Nesta figura, é
ilustrado uma comparação do efeito dos componentes de tolerâncias naturais de
38
processo 6Xi xi Xii
fX µ σ=
∂ ∂
, e das respectivas tolerâncias de projeto Xi xi Xii
fT
X µ=∂
∂,
obtidas de uma função linear ou linearizada, sobre a variável de resposta. A diferença
de variabili dade admissível entre o método da intercambiabili dade total
(determinístico) e o método da intercambiabili dade parcial (estatístico) é indicada
pela cota ∆. Esta aumenta à medida que aumentam os valores das tolerâncias das
variáveis de entrada, bem como a quantidade destas variáveis.
∆
6 Y YTσ =
A B C
11 11
XX X
fA T
X µ=∂=
∂;
22 22
XX X
fB T
X µ=∂=
∂;
33 33
XX X
fC T
X µ=∂=
∂
1 2 3
22 2
2 2 21 1 2 2 3 3
1 1 3
6 6X X XY Y X X X X X X
f f fT
X X Xµ µ µσ σ σ σ= = = ∂ ∂ ∂= = + + ∂ ∂ ∂
Figura 15 - Comparação dos métodos da intercambiabili dade total e parcial.
a b c
Método daintercambiabili dade total(Determinístico)
Tolerânciasalargadas no processoMétodo daintercambiabili dadeparcial (estatístico)
39
O método da intercambiabili dade parcial trabalha dentro do enfoque
tradicional de conformidade, pois visa apenas ao cumprimento da tolerância final,
não importando se tal objetivo foi conseguido com a penalização (prevista em
projeto) de ter alguns produtos manufaturados com sua característica tendo valores
tangenciando os limites da tolerância especificada. A abordagem estatística de
análise e distribuição de tolerâncias pode ter outro enfoque, além do encontrado no
método da intercambiabili dade parcial: da mesma forma que podemos alargar
tolerâncias de variávies de entrada a fim de obter ( 6 )Y YT σ= , podemos também
reduzi-las com o propósito de obter ( > 6 )Y YT σ , o que garantirá valores mais
elevados para os índices de capacidade. Este assunto será abordado no próximo
capítulo.
3.2.4 – Método por simulação
A simulação de Monte Carlo é um outro método bastante empregado na
análise de tolerâncias para funções lineares ou não e para distribuições normais ou
não. [CHASE; PARKINSON (1991)]. Consiste basicamente numa análise com
exaustivos cálculos matemáticos, hoje possível com computadores velozes, que
geram números pseudo-aleatórios, ou seja, valores ao acaso respeitando os
parâmetros e o formato da distribuição de cada variável de entrada preliminarmente
definidos. Em seguida as distribuições são combinadas, respeitando a relação
funcional , o que conduz à distribuição resultante na variável de resposta, sendo que
os programas podem fornecer estimativas dos parâmetros desta distribuição
40
resultante. Este procedimento pode ser repetido muitas vezes, simulando o que
aconteceria na prática. A simulação apresenta como principal vantagem a
possibili dade de podermos selecionar as distribuições das variáveis de entrada, não
nos limitando à normalidade. Por sua vez, o tempo necessário para a simulação vem
caindo com o aumento da velocidade do hardware.
Todavia, a simulação por Monte Carlo apresenta algumas desvantagens:
- O método analítico torna evidente a contribuição que cada variável de entrada
têm sobre a variável de resposta: conforme expressão (2.2), 2Yσ é vista como
a soma de termos, onde cada um deles representa a contribuição para 2Yσ .
Assim, conforme verificado na Seção 2.2, a expressão (2.2) permite realizar
facilmente uma análise de sensibili dade. Tal análise é mais trabalhosa quando
realizamos simulações. Segundo VARDEMAN; JOBE (1999), o método
requer várias simulações com diferentes valores de desvios padrão nas
variáveis de entrada para obter mais precisamente a influência que cada
variável de entrada exerce sobre a variavel de resposta.
- A simulação ainda não é tão rápida quando comparada ao método analítico de
análise de tolerâncias, pois o tamanho da amostra para simulação deve ser
consideravelmente grande, a fim de propiciar um resultado confiável. Este
número vai de um mínimo de 10.000 até centenas de milhares, dependendo
do grau de precisão que se requer nos resultados. [CHASE; PARKINSON
(1991)]
41
- Segundo CHASE e GREENWOOD (1988), este método é bem empregado na
análise de tolerâncias, mas não é uma ferramenta adequada na distribuição de
tolerâncias. (Vide Figura 8).
Dentre os programas mais comuns empregados para realizar a simulação da
análise de tolerâncias pelo método de Monte Carlo encontram-se os programas
CRYSTAL BALL (2000) e RISK (2001); também o MINITAB (1996) pode ser
utili zado, desde que se escreva um arquivo executável para este propósito.
O Anexo C apresenta uma comparação do método que emprega a lei geral de
propagação do erro com uma simulação de Monte Carlo. Neste exemplo, notamos
que os resultados obtidos pelos dois métodos são semelhantes.
42
4 ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA RELAÇÃO
FUNCIONAL
4.1 Introdução
A tolerância natural, também denominada capacidade, é dada pela variabili dade
apresentada no processo e corresponde a 6σ , sendo σ o valor do desvio padrão do
processo. A razão entre a variação permitida na especificação (tolerância) e a
tolerância natural do processo ( 6σ ) define o índice de capacidade Cp:
Cp = Variação especificada = Tolerância =6 6
U L Tσ σ− = (4.1)
Variação do processo Tolerância Natural
onde U é o limite superior da especificação e L é o limite inferior desta.
Desta forma, embora a tolerância tenha um valor fixo, o índice de capacidade
depende da tolerância natural de processo, que definirá se o processo é ou não capaz
de produzir dentro da especificação. Ele assemelha-se a um coeficiente de segurança,
sendo que o valor (Cp – 1).100 expressa quanto a especificação é maior ou menor
que a capacidade do processo em termos percentuais. O valor 100/ C p, por sua vez,
estima o percentual da especificação abrangido pela variabili dade do processo.
[MONTGOMERY( 2001)].
Não obstante, o índice de capacidade C p não mede os erros sistemáticos do
processo, de modo que precisamos de um índice de capacidade sensível à condição
de centralização do processo. O índice C pk definido por [KANE(1986)] cumpre
parcialmente este objetivo. Seja:
/ 2
mk
T
µ −= (4.2)
43
onde m é o valor central de projeto, mµ − corresponde ao erro sistemático em
valor absoluto e o fator k expressa quanto a média µ do processo está
descentralizada em relação à metade da tolerância especificada. Por exemplo, para
k = 0,25 corresponde uma descentralização de 25% para direita ou para a esquerda.
Este fator não tem uma relação com a variabili dade do processo, mas, quando
introduzido na equação (4.1), contribui para relacionar os dois índices:
( )1Cpk Cp k= − (4.3)
Substituindo k por (4.2), temos:
min ;3 3
L UCpk
µ µσ σ
− −=
Cpk é um índice de capacidade que procura dar mais informação que o índice Cp,
pois leva em conta não só a condição do processo em termos de sua dispersão ( como
faz o Cp) mas também em termos de sua centralização; quanto mais a distribuição se
distancia do valor central do projeto, menor o valor de Cpk. A Figura 16 ilustra uma
situação em que temos os limites de especificação U = 13, L = 1 e dois processos
com sua variabili dade dentro destes limites, porém com diferentes características de
dispersão e centralização ( 27; 4A Aµ σ= = e 210; 1B Bµ σ= = ):
44
Aµ Bµ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Figura 16 - Distr ibuição dos processos A e B
segue que:
13 1 121
6.2 12ACp−= = = e
13 1 122
6.1 6BCp−= = = ;
13 7 6
13.2 6ACpk
−= = = e 13 10 3
13.1 3BCpk−= = = .
Analisando qual das duas condições de processo é preferível, há três considerações :
L U
processo A
processo B
45
1) O processo (B) é melhor pois tem menor variabili dade que o processo (A) , ou
seja BCp > ACp . Assim, embora o processo (B) esteja descentralizado, é muito
mais simples proceder a um ajuste para melhor centralizar (B), ( mesmo que este
estivesse ainda mais deslocado do valor alvo, podendo manifestar alguns itens fora
da especificação [GUNTER (1989)] ) do que proceder à redução da variabili dade
evidenciada pela condição do processo (A). Neste caso, centralizando-se (B), o valor
do Cpk passaria para o valor respeitável de 2.
2) Segundo a Figura 16, embora o processo (A) tenha mais dispersão do que o
processo (B), esta dispersão se dá a partir do valor alvo, o que não acontece em (B).
Portanto, segundo SULLIVAN(1984), a condição do processo (A) contém mais
produtos em torno do valor central da especificação que (B), e isto é mais
importante.
C) <A BCp Cp mas A BCpk Cpk= , portanto é interessante o uso simultâneo dos
dois índices, pois com apenas o valor de Cpk pode-se não saber exatamente a
condição de dispersão.
Existem vários outros índices desenvolvidos para situações mais específicas,
dos quais ressaltamos os índices Cpm e Cpmk, empregados onde o valor central de
projeto é assimétrico dentro da tolerância especificada [BOTHE (1997)]. Entretanto
este trabalho concentrar-se- á nos índices Cp e Cpk, que são os mais empregados.
Se elevados índices de capacidade são plausíveis para uma característica de
qualidade isolada, o são ainda mais no acúmulo de tolerâncias e variabili dade.
Conforme expresso na introdução deste trabalho, quando ocorre um acúmulo de
tolerâncias e variabili dade, aumenta-se o risco de ocorrer uma redução na qualidade,
46
de maneira que neste caso os estudos relativos aos índices de capacidade na variável
de resposta são de grande importância, seja enquanto uma previsão durante o projeto
do produto ou durante a medição destes índices de capacidade de uma relação
funcional na fase produtiva.
Embora não tratem diretamente dos índices de capacidade de uma relação
funcional, muitos autores, referindo-se ao acúmulo de tolerâncias ou variabili dade,
enfatizam a necessidade de um estudo voltado às idéias que valorizam a redução da
variação, como é o caso da função perda ou o seis sigma [GARVIN (1992), LI; WU
(1999)]. HARRY e STEWART (1988) chegam a propor um controle nas variáveis de
entrada de modo a obter índices de capacidade de uma relação funcional compatíveis
com o seis sigma. As Figuras 17, 18 e 19 podem ser interpretadas para uma variável
de resposta obtida por uma relação funcional.
Em suma, a valorização de elevados índices de capacidade deve ocorrer também
no caso de índices de capacidade de uma relação funcional.
A Figura 17 apresenta a evolução na busca por elevados índices de capacidade Cp
que podem autenticamente ser alvos também para o índices de capacidade de uma
relação funcional YCp que abordaremos em seguida [BOTHE (1996)]:
47
-6σ -3σ +3σ +6σ (L ) (U )
Limites da especificação % dentro da especificação Defeitos por milhão
(Cp = 0,67) ± 2σ (Há 30 anos) 95.45 45.600 (Cp =1,00) ± 3σ (Há 20 anos) 99,73 2.700 (Cp = 1,33) ±4σ (Há 10 anos) 99,9937 63 (Cp = 2,00) ±6σ (Atualmente) 99,9999998 0,002
Figura 17- Evolução do Índice Cp
Recentemente, temos presenciado uma grande adesão à abordagem “seis
sigma”. Embora não haja novidade do ponto de vista estatístico, a inovação está no
campo da gestão da qualidade, por conta da intensificação e otimização no que tange
à aplicação de ferramentas estatísticas.
Estatisticamente a idéia é simples: o processo deve propiciar que seis desvios
padrão estejam dentro de cada lado da tolerância especificada para a variável de
resposta, a partir de seu valor central. Conforme ilustrado na Figura 18, isto
corresponde a 12 desvios padrão do processo dentro da especificação, o que reflete
em apenas 0,002 defeitos por milhão.
48
LIE (-6σ) -3σ +3σ LSE (+6σ)
Limites da especificação Área % dentro da especificação Defeitos em PPM ± 3σ 99,73 2700 ±
6σ 99,9999998 0,002
Figura 18 - Processos com qualidade de 3 e 6 sigma
Neste caso o processo com qualidade “seis sigma” proporciona um índice Cpk =
2. Todavia, dentro da estratégia “seis sigma”, alguns autores adotam após um longo
prazo (long-term) uma oscilação em torno do valor médio do processo (µ) de ±1,5σ.
Este erro sistemático provoca uma redução do índice Cpk para 1,5. [BOTHE (1997)].
A Figura 19 apresenta a quantidade de defeitos por milhão [BREYFOGLE (1999)],
segundo os mesmos limites de especificação da Figura 18.
-1,5σ- +1,5σ
LIE (-6σ) LSE (+6σ)
-3σ +3σ
Limites da especificação Área % dentro da especificação Defeitos em PPM ± 3σ 93,32 66810 ±4σ 99,379 6210 ±5σ 99,9767 233 ±
6σ 99,99966 3,4
Figura 19 – Efeito da oscilação de ±
1,5σ em (µ )
49
Conforme ilustrado na Figura 19, atualmente almeja-se, segundo este enfoque,
um Cp = 2; Cpk = 1,5 resultando em 3,4 defeitos por milhão.
Convém ressaltar que o estabelecimento prévio do erro sistemático
1,5mµ σ= ± nos processos de longo prazo não é consenso, sendo que alguns
autores não admitem esta oscilação para a média e defendem a idéia de que o método
seis sigma deve estar restrito à busca de um Cpk = 2 [ WILSON (1999)].
Independentemente da ênfase dada ao método seis sigma, é reconhecido que
muitas vezes tal método tende a exigir processos mais caros e não deve ser aplicado
indiscriminadamente. Um índice de capacidade para a variável de resposta ( YCpk )
de valor 1,33 provavelmente atende à maioria das aplicações. Não obstante, para
algumas características críticas ou especiais de um produto, um 2,0Cp = e
1,5Cpk = que corresponde ao seis sigma pode se tornar uma estratégia de
manufatura que resulta em produtos com melhor desempenho, durabili dade e
confiabili dade. Nestes casos, um eventual maior custo de processo é compensado
com vantagem por economias realizadas nos custos da não-qualidade no processo,
no seu controle e principalmente nos custos pós-venda. Deming, Juran e Taguchi,
entre outros, defendem tal abordagem, e a experiência recente de muitas empresas de
renome confirma os bons resultados. Embora as características especiais formem
uma pequena minoria dentre as características de um projeto, há uma tendência de
que os casos de acúmulo de tolerâncias e variabili dade sejam considerados especiais
ou críticos justamente devido a este acúmulo.
50
4.2 Índice de capacidade YCp de uma relação funcional - no
projeto
O índice de capacidade de uma relação funcional, denotado por “ YCp ” é
definido similarmente como:
6Y
YY
TCp
σ= (4.4)
onde o valor de YT é a tolerância da variável de resposta, dada pela equação (3.1) e
6 Yσ é a tolerância natural dada pela equação (2.4). Substituindo (3.1) e (2.4) em
(4.4), obtemos:
1
21
2,
1 1 1
6 2
Xi
Xi
k
Xi m Xii i
YK K K
Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j ii i j
fT
XCp
f f fX X Xµ σ σ σ ρ
==
−
== = = +
∂∂
≅ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂
∑
∑ ∑ ∑
Na Figura 20 está uma ilustração do índice de capacidade de uma relação funcional
obtido de duas variáveis de entrada independentes, onde assume-se que as duas
variáveis de entrada apresentam índices de capacidade 1XiCp = .
51
Figura 20 - Acúmulo de tolerâncias e var iabili dade num modelo não linear comduas var iáveis de entrada
Na Figura 20, as tolerâncias nas variáveis de entrada são, respectivamente,
1 1 1XBX CX T− = e 2 2 2XBX CX T− = , e as contribuições destas tolerâncias na
variável de resposta são obtidas pela técnica de linearização, aproximadamente dada
por: 1 11 1 1
1XX m X
fAX BX T
X =∂− =
∂ e
2 22 2 22
XX m X
fAX BX T
X =∂− =
∂. A tolerância na
variável de resposta Y será ( ) ( )1 1 2 2YT AY BY AX BX AX BX≅ − = − + − que
corresponde a:
1 1 2 21 21 2
X XY X m X X m X
f fT T T
X X= =∂ ∂≅ +
∂ ∂.
Supondo índices de capacidade 1 2 1X XCP CP= = , então 1 16X XT σ= e 2 26X XT σ= ,
segue que a tolerância natural na resposta ( 6 Yσ ) será:
A’y
B’y
m
52
1 1 2 2
2 2
1 21 2
6 6 6, ,X XY X X X X
f fAY B Y
X Xµ µσ σ σ= =
∂ ∂− ≅ ≅ + ∂ ∂
e o índice de capacidade YCp será obtido por:
1 1 2 2
1 1 2 2
1 21 2
2 2
1 21 2
6 6
66 6
, ,X X
X X
X m X X m X
YY
Y
X X X X
f fX XT AY BY
CPAY B Y f f
X Xµ µ
σ σ
σσ σ
= =
= =
∂ ∂+∂ ∂−≅ = =
− ∂ ∂+ ∂ ∂
Note que > , ,AY BY AY B Y− − portanto YCp é maior do que 1. Isto é
devido à aplicação da lei geral de propagação do erro. Assim, no caso de não haver
correlação entre as variáveis de entrada, quanto maior for o número de variáveis de
entrada, o ganho em YCp será mais significativo. Em outras palavras, conservando-
se a igualdade entre tolerâncias naturais e tolerâncias determinísticas de projeto
relativo às variáveis de entrada (o que é um procedimento usado em projeto), é
possível obter índices de capacidade elevados, o que refletiria uma qualidade com o
padrão “seis sigma”. Tal aumento no índice de capacidade na variável de resposta,
para os caso sem correlação, será mais acentuado à medida que aumenta a
quantidade das variáveis de entrada bem como o valor de suas respectivas
tolerâncias.
Para ilustrar este fato, considere um caso simpli ficado em que todas tolerâncias
determinísticas sejam iguais entre si 1 2 3( ... )x X X X XkT T T T T= = = = e iguais às
tolerâncias naturais,( )6Xi XiT σ= e que todos os coeficientes de sensibili dade i
fX∂
∂
sejam iguais. Então teríamos:
53
1
2
2
1
2
2
i Xi Xi
i Xi Xi
i Xi Xi i Xi Xi
i Xi Xii Xi Xi
K
X m Xii i
YK
X m Xii i
X m X X m Xi i
X m XX m X i
i
fT
XCp
fT
X
f fk T k T
X X kk
f kf T kk T XX
µ
µ
µ µ
µµ
= ==
= ==
= = = =
= == =
∂ ∂ ≅ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ≅ ≅ ≅ ≅
∂ ∂ ∂ ∂
∑
∑
onde k é o número de tolerâncias das variáveis de entrada. Numa situação prática
de acúmulo de tolerâncias e variabili dade não teremos coeficientes de sensibili dade,
índices de capacidade e tolerâncias iguais; não obstante, esta simpli ficação ilustra
como o valor de YCp pode facilmente assumir valores elevados e muitas vezes até
superiores ao padrão "seis sigma", mesmo que os índices de capacidade das variáveis
entrantes não sejam muito elevados.
Tal aumento do índice de capacidade de uma relação funcional ocorre em
qualquer tipo de modelo matemático linear ou linearizável cujas variáveis de entrada
não estejam correlacionadas, não obstante, mesmo na presença de correlação
provavelmente haveria ganhos junto ao índice YCp . Num caso extremo, se , 1Xi Xjρ =
ou , 1Xi Xjρ = − , para i j∀ ≠ , não haveria ganho no índice YCp , o que na prática é
uma situação muito improvável.
O índice de capacidade de uma relação funcional YCp pode ser utili zado em
duas grandes aplicações: primeiramente na fase de projeto, na qual veremos que é
tratado como um parâmetro, e posteriormente no controle estatístico de processo, já
na fase de produção, estimado a partir das variáveis de entrada obtidas através do
CEP (Controle Estatístico de Processo).
54
Como foi visto na Seção (3.2.3), a aplicação da abordagem estatística pode ter o
enfoque da intercambiabili dade parcial. Não obstante, a aplicação da abordagem
estatística por meio da “lei geral de propagação do erro” pode também ter um
propósito diferente daquele da intercambiabili dade parcial, de modo que esta lei
estatística pode ser empregada se o objetivo for alcançar índices de capacidade de
uma relação funcional com valores mais elevados, o que proporcionará não só uma
intercambiabili dade melhor do que mesmo a obtida pelo método da
intercambiabili dade total (determinística), como também poderá melhorar o
desempenho, durabili dade e confiabili dade do produto. O enfoque mais recente de
conformidade resume estes objetivos. [BULBA (1998)].
Ainda se houver um maior custo para a obtenção de menor variabili dade junto
a processos críticos, estes custos de processo podem ser considerados como
investimentos na melhoria dos atributos da qualidade, o que repercutirá num custo
global menor tanto para o sistema produtivo como para o pós-venda.
Recentemente tem ocorrido uma diminuição dos defensores do enfoque
tradicional de conformidade, o qual limit a-se ao cumprimento de tolerâncias
determinísticas em que qualquer valor da característica controlada é considerado em
conformidade desde que dentro do campo de tolerância, mesmo que este esteja nos
limites desta tolerância. Muitos estão descobrindo para o caso de “nominal é melhor”
as vantagens de se aplicar um controle estatístico de processo mais ambicioso, cuja
meta é centralização e menor variabili dade possível, tendo como alvo índices de
capacidade iguais ou superiores a 1,33 como é o caso da QS 9000, que solicita
índices de capacidade Cpk ≥ 1,33 ou dentro da metodologia 6σ , 1,5Cpk ≥ e
2,0Cp ≥ .
55
4.3 Índice de capacidade YCpk de uma relação funcional - no
projeto
O índice de capacidade de uma relação funcional YCpk , será denotado por:
( )1Y Y YCpk Cp k≅ −
O índice de capacidade YCpk expressa concomitantemente erros de precisão ou
aleatórios (variabili dade medida pelo desvio padrão) e erros de posicionamento ou
sistemáticos, que são expressos em valor relativo pelo fator “ Yk ” [vide expressão
(4.2)]. O valor correspondente “ Yk ” , é dado por:
/ 2 / 2Y Y Y
YY Y
m Pk
T T
µ −≅ =
onde Yµ , Ym , YT e YP são respectivamente a média da distribuição, o valor central
da tolerância, a tolerância e o erro sistemático em valor absoluto da variável de
resposta. Por sua vez o erro sistemático em valor absoluto da variável de resposta é
dado por:
1
.Xi
K
Y xi m Xii i
fP P
X ==
∂≅∂∑
sendo Xi Xi XiP mµ= − , o erro sistemático em valor absoluto da variável iX .
Verificamos portanto uma outra aplicação da diferenciação junto aos erros
sistemáticos com enfoque determinístico. Isto é justificado pelo fato que estes erros
sistemáticos na fase de projeto via de regra são considerados simétricos, ou seja, com
o mesmo valor para ambos os lados do valor nominal, o que lhes confere um
comportamento semelhante ao do acúmulo das tolerâncias. Devido a isto, as
diferenciais parciais na linearização local devem aparecer em valor absoluto, e os
56
erros sistemáticos ou de posição iPx de cada variável também. A descentralização
máxima, caracterizada por Xi Ximµ ≠ deve ser estabelecida em projeto.
4.4 Exemplo numérico do efeito de substituir -se uma relação não-
linear por linear no projeto
Devido à dificuldade envolvida em trabalhar com relações não lineares, alguns
deixam de “linearizar” determinadas funções não lineares, pela lei geral de
propagação do erro. Desta forma consideram a relação entre variáveis originalmente
como linear, por aplicar uma soma simples de tolerâncias ou de variâncias a fim de
estimar ou prever a tolerância ou a variância na variável de resposta. Este
procedimento pode ser prejudicial [(CREVELING,1997)].
Ilustremos isto através de um exemplo de MONTGOMERY (2001). Num
circuito simples em corrente contínua a a tensão Y entre dois pontos a e b deve ser
de 100 ± 2 V. As especificações das variáveis de entrada: a corrente e a resistência
do circuito são respectivamente 1X = 25 ± 1A e 2X = 4 ± 0,06 Ω. (Figura 21):
2X
a b 1X = I = 25 ± 1A ( 1XT =2A) 1X 2X = R = 4 ± 0,06 Ω ( 2XT = 0,12Ω)
Figura 21 - Exemplo de modelo não linear 1 2.Y X X=
57
Assume-se neste caso que as variações de 1X e 2X são normalmente
distribuídas e independentes entre si, com médias coincidindo com os valores
nominais, de modo que a variável de resposta Y também tem uma distribuição
normal. Ainda, considera-se a previsão das tolerâncias naturais de processo de 1X e
2X como coincidentes com as respectivas especificações limite em 99,7% ( 3µ σ± ),
ou seja:
1 1 2 2 1X X X XCp Cpk Cp Cpk= = = = ⇒
1 1/ 3 0,33Xσ = = e 2 0,06 / 3 0,02Xσ = =
Pela lei de Ohm, 1 2Y X X= . Nestas condições, a média e o desvio padrão de Y
serão aproximadamente:
1 2 25.4 100Y X X= = =
como 21
fX
X∂ =
∂ e 1
2
fX
X∂ =
∂ , daí segue que
1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 1 1 2
1 2X XY X X X X Y X X
f fX X
X Xµ µσ σ σ σ σ σ= = ∂ ∂≅ + → ≅ + ∂ ∂
2 2 2 2 24 .0,33 25 .0,02 2
2 1,41
Y
Y
σ
σ
≅ + ≅
≅ ≅
Calculando os limites naturais de variação de tensão Y , teremos 100 ± 3. Yσ = 100 ±
4,23v. Percebe-se, portanto, que esta variação de Y não atende à especificação
inicial 100 ± 2v, resultando num sofrível índice de capacidade de 0,47 , embora
tanto 1X como 2X tenham variações de processo dentro da especificação
originalmente estabelecida:
58
4,0 4,00,47
6. 6.1,41 8,46Y
YY
TCp
σ≅ ≅ ≅ ≅
Isto ocorreu devido ao acúmulo de variabili dade e uma equivocada escolha de
tolerâncias, por não se levar em consideração as relações não-lineares entre as
variáveis de entrada. A conclusão é que tolerâncias supostamente aceitáveis nas
variáveis de entrada sem se levar em consideração estas relações não lineares não
refletirão uma tolerância adequada na variável de resposta.
Para evitar este problema, precisamos fazer o caminho inverso, aplicando a lei geral
de propagação do erro com o alvo de encontrar valores adequados para as
especificações de cada variável de entrada, a fim de garantir a tolerância
originalmente especificada para a variável de resposta 4YT V= . Na reavaliação das
tolerâncias de 1X e 2X iremos supor que as relações entre os valores originais das
tolerâncias determinísticas e entre as tolerâncias naturais da resistência e da corrente
( 2 1 2 1/ 6 / 6 0,06 /1X X X XT T σ σ= = ) estejam otimizadas. Também queremos
estabelecer um YCp de 1,33, de modo que precisamos estabelecer o máximo valor
para a tolerância natural de Y :
40,5
6 6. 6.1,33Y Y
Y YY Y
T TCp
Cpσ
σ≅ → ≅ = ≅
Porém, 2 22 1
1 1
60,06 0,06.
6X X
X XX X
σ σ σ σσ σ
= = → = . Como
2 2 2 2 22 1 1 2
2 2 2 2 2 21 1
. .
0.5 4 . 25 .0,06 .Y X X
X X
X Xσ σ σσ σ
≅ +
≅ +
1 0,117Xσ ≅ e 2 10,06. 0,007X Xσ σ≅ ≅
A partir da tolerância requerida 4YT V= , vamos definir as novas tolerâncias
determinísticas das variáveis de entrada através do método do pior caso:
59
2 1 1 2. .Y X XT X T X T≅ + , calculando 1X e 2X nos valores nominais,
temos 1 24 4. 25.X XT T= +
Como 2
2 11
0,06 0,06.XX X
X
TT T
T= → = , substituindo na expressão acima,
1 14 4 25.0,06.X XT T= + , então 1 20,727 0,044X XT T= =
Finalmente, para confirmar que o índice de capacidade YCp tem valor de 1,33:
1 1 2 2
1 1 2 2
1 21 2
2 2 2 2 2 2
2 21 2
1 2
4.0,727 25.0,0441,33
6. 4 .0,117 25 .0,0076.
X X
X X
X m X X m X
Y
X X X X
f fT T
X XCp
f fX Xµ µσ σ
= =
= =
∂ ∂+∂ ∂ +≅ ≅ ≅
+ ∂ ∂+ ∂ ∂
Uma vez que se respeitou a relação não-linear, do parâmetro do índice de
capacidade YCp da tensão, coerentemente este se confirmou em 1,33 a partir dos
valores redefinidos de tolerância.
4.5 Programas para obtenção de YCp e YCpk
Há pelo menos dois programas disponíveis para obtenção dos parâmetros de
YCp e YCpk enquanto informações que auxili am no projeto: TOLSTACK (2002)
e VARTRAN (1998). Ambos realizam entre outras coisas cálculos analíticos para
60
se obter YCp e YCpk quando a relação funcional é linear, sendo que neste caso os
valores encontrados são exatos. Para relações funcionais não lineares, ambos
programas obtém valores aproximados destes índices de capacidade, sendo que o
TOLSTACK (2002) emprega a simulação pelo método de Monte Carlo e o
VARTRAN (1998) obtém os valores de YCp e YCpk por intermédio das séries de
Taylor (opção padrão) ou por meio de polinomiais. O problema no tratamento
estatístico destas relações não lineares é que o VARTRAN (1998), considera a
variável de resposta sempre como normal, o que não é condizente com argumentos já
apresentados na Seção 2.1; mesmo considerando todas as variáveis de entrada
identicamente distribuídas por normais o programa não lineariza a função, mas a
aproxima até a quarta ordem, independentemente se a escolha for por séries de
Taylor ou polinomiais, de modo que os resultados obtidos podem ficar enviesados se
as variâncias das variáveis de entrada não forem suficientemente pequenas.
4.6 Índices de capacidade de uma relação funcional em
distr ibuições não normais
Os índices de capacidade de uma relação funcional conforme desenvolvidos
neste capítulo estão na forma de parâmetros e podem ser aplicados na fase de projeto.
Consideramos originalmente neste trabalho que todas as variáveis de entrada têm
distribuição normal ou próxima da normalidade, sendo independentes ou não,
resultando sua combinação também numa variável de saída com distribuição normal.
Esta é a condição básica para aplicação dos índices de capacidade de uma relação
61
funcional, não obstante existem situações em que não podemos afirmar a priori que
cada variável de entrada terá uma distribuição normal:
1) Algumas variáveis de entrada podem exercer influência na resposta após o
produto estar pronto. Pode ser que uma variável deste tipo tenha um
comportamento muito diferente de uma distribuição normal. Por exemplo, a
temperatura ambiente na produção ou utili zação de um determinado produto
provavelmente não tem uma variação simétrica em torno de uma média,
como é o caso da distribuição normal, mas em muitos casos esta temperatura
é uma variável de entrada de grande importância no modelo matemático.
2) Algumas variáveis oriundas de certos processos produtivos podem não ser
facilmente colocadas sob controle estatístico, de modo que outros métodos
de controle diferentes do CEP devem ser empregados [ MONTGOMERY
(2001)].
3) Quando o processo a ser empregado para obtenção de determinada variável
de entrada ainda não foi escolhido ou, para outros casos, sequer foi
desenvolvido, ou não há uma variável similar a título de comparação, não
podemos concluir normalidade diante desta carência de informações.
Também pode ocorrer que conheçamos o processo para determinada variável
e saibamos que o mesmo foge muito da normalidade.
Nestas circunstâncias, mesmo conhecendo as distribuições das variáveis de
entrada, uma combinação de distribuições não normais seria algo complexo.
Todavia podemos aplicar os índices de capacidade de uma relação funcional nestes
casos, desde que adotemos o que é considerado o pior caso estatístico: estabelecer
distribuição uniforme para variáveis de entrada não normais, conforme Figura 22.
62
BURR (1976) sugere a possibili dade de se considerar todas as distribuições das
variáveis de entrada como sendo uniformes no intervalo [ ];L Uµ µ− + . A variância
e a média de uma distribuição uniforme (Figura 22) são respectivamente:
2 22 4
12 3 3
a a aσ σ= = → = , sendo
a L Uµ µ= − = − e 2
L Uµ +=
b/2
L µ U
a a
3σ− 3σ+
Figura 22 - Distr ibuição uniforme
Em cada extremo da distribuição uniforme temos 3a σ= ± a partir da média,
o que significa que temos 100% da distribuição entre 3µ σ± . Além disto, nota-se
que a convolução de distribuições uniformes rapidamente tende a uma normal,
mesmo com poucas destas distribuições participando da convolução. A convolução
de apenas duas distribuições uniformes idênticas resulta numa distribuição triangular,
conforme Figura 23 [DIETRICH(1991)]:
63
6 Yσ 3σ
Figura 23 - Comparação de uma normal com a combinação de duasdistr ibuições uniformes
Note-se que esta distribuição triangular embora próxima do formato da normal,
tem 100% da distribuição compreendido entre 6 2,45Y Yµ σ σ± ≅ ± , enquanto com
a normal, para ter 99,7% de probabili dade, temos 3 Yµ σ± .
Uma combinação de três distribuições uniformes idênticas resulta numa
distribuição muito próxima da normal (Figura 24) [ISO-GUM (1998);
DIETRICH(1991)]
3σ
Figura 24 - Resultado da combinação de 3 distr ibuições uniformes iguais
Mesmo se considerarmos todas as distribuições das variáveis de entrada como
uniformes, e a distribuição da variável de resposta como normal, sempre a
probabili dade no intervalo de 3 Yµ σ± será maior ou igual a 99,7% na variável de
64
resposta, para qualquer combinação entre distribuições uniformes, triangulares ou
normais, não importando a quantidade das variáveis de entrada e nem mesmo o valor
de suas variâncias [DIETRICH(1991), AGOSTINHO; LIRANI e RODRIGUES
(1990)] apresentam um estudo de distribuição de tolerâncias envolvendo
distribuições normais, uniformes e triangulares, do qual podemos tirar a mesma
conclusão. BURR (1976) apresenta um estudo em que considera todas as
distribuições de entrada como uniformes, confirmando que, para qualquer número
delas, a probabili dade dentro de 3 Yσ± será sempre maior ou igual a 99,7% na
variável de resposta.
O fato de a distribuição combinada com estes tipos de distribuição ter uma
probabili dade maior que 99,7% no intervalo 3 Yµ σ± continua propiciando o uso
dos índices de capacidade de uma relação funcional YCp como uma previsão de
projeto, tendo a garantia de que o mesmo será sempre maior ou igual aos índices de
capacidade de uma relação funcional real, sendo que, além de não estarmos correndo
o risco de sub-avaliar a dispersão da distribuição resultante, também não corremos o
risco de super-avaliar esta mesma dispersão, por conservar como normais as
variáveis de entrada que assim se comportam. Tal conclusão quanto a estas
combinações continua válida se as variáveis de entrada são dependentes.
65
5 ESTIMAÇÃO DOS ÍNDICES DE CAPACIDADE DE UMA
RELAÇÃO FUNCIONAL
5.1 Introdução
Na etapa de projeto trabalhamos com parâmetros, enquanto que no controle de
processos trabalhamos com estimativas. Durante a produção deve haver um controle
estatístico de processo (CEP) para variáveis que representam características críticas
de qualidade. Quando uma característica destas é obtida indiretamente, nos moldes
do tema deste trabalho, ou seja por meio do acúmulo de variabili dade de entrada, esta
característica na condição de variável de saída, pode ser estimada a partir dos
estimadores das variáveis de entrada fornecidos de seus respectivos controles
estatísticos de processo. BISSEL (1994) sugeriu a utili zação da lei geral de
propagação do erro a fim de estimar o desvio padrão da variável de resposta, tendo
como dados de entrada as estimativas dos desvios padrão das variáveis de entrada.
Neste Capítulo abordaremos a estimação por ponto e por intervalo de YCp e YCpk .
5.2 Estimação por ponto e intervalar de YCp
Um estimador por ponto de YCp é:
ˆ6 ˆ
YY
Y
TCp
σ≅
onde o estimador natural para ˆYσ é obtido por:
66
21
2 2,ˆ
1 1 1ˆˆ ˆ 2 ˆ ˆ
Xi
K K K
y Xi Xi Xi Xj Xi Xji i j i
i i j
f f fX X Xµσ σ σ σ ρ
−
== = = +
∂ ∂ ∂≅ ∑ + ∑ ∑ ∂ ∂ ∂
sendo que os estimadores usuais do desvio padrão com dados extraídos do CEP de
cada uma das variáveis de entrada são:
ˆ2
XiXi
Xi
Rd
σ = ou 4Xi
XiXi
sc
σ = ou ( )2
1ˆ1
m
n
i im
Xi
X X
nσ =
−=
−
∑
onde XiR é a amplitude média amostral, Xis é o desvio padrão médio amostral e 2d
e 4c são constantes tabeladas em função do número da amostra, para corrigir o viés
pela substituição de Xiσ por XiR ou por Xis [MONTGOMERY(2001)]. E o
estimador do coeficiente de correlação corresponde a:
( )( )( ) ( )
,2 2
1 1
ˆ m m
m m
i i j j
Xi Xj n n
i i j jm m
X X X X
X X X X
ρ
= =
− −=
− −
∑∑ ∑
Notamos que ˆYCp é um estimador por ponto baseado no estimador por ponto
do desvio padrão da variável de resposta ( ˆYσ ), semelhantemente ao que ocorre para
uma característica única de qualidade ( ˆ / 6 ˆCp T σ= ) [BOTHE(1997)];
[MONTGOMERY (2001)]; [VARDEMAN; JOBE (1999)]
Os métodos para obtenção de intervalos de confiança para os índices de
capacidade de uma relação funcional que ora apresentamos são baseados nos estudos
relativos aos intervalos de confiança para a variância da variável de resposta 2Yσ ,
como simples resposta de um modelo univariado e obtida por meio de um modelo
matemático que pode ser expresso por uma combinação linear. [GRAYBILL e
WANG (1980)]; [BURDICK e GRAYBILL (1992)]; [LU (1985)]. Tal combinação
67
linear ou linearizável pela diferenciação deve levar em conta a condição, já
estabelecida, de que todas as variáveis de entrada desta combinação seguem
distribuições normais. Para estes intervalos de confiança, considera-se também que
as variáveis de entrada como independentes (Veja Seção 1.1).
Sabe-se que o estimador da variância de uma variável de entrada X é dado por:
( )2
2ˆ1
i
X
X X
nσ
−=
−∑
com iX independentes e coletados de uma distribuição normal e proporcional a uma
distribuição qui-quadrado 2χ com 1nν = − graus de liberdade. Segue que o
intervalo de confiança bilateral com nível de confiança(1 )α− % de 2σ é dado por:
2 2 22 2
/ 2 (1 ) / 2
ˆ ˆX X Xα α
ν νσ σ σχ χ −
≤ ≤
onde 2/ 2αχ e 2
(1 ) / 2αχ − são respectivamente as abscissas da distribuição qui-quadrado
com n-1 graus de liberdade, respectivamente numa área de / 2α e 1 / 2α− sob a
curva. Extraindo a raiz, temos um intervalo de confiança para o desvio padrão:
2 2/ 2 (1 ) / 2
ˆ ˆX X Xα α
ν νσ σ σχ χ −
≤ ≤
Segue que um intervalo de confiança para sua tolerância natural 6σ será:
2 2/ 2 (1 ) / 2
6 ˆ 6 6 ˆX X Xα α
ν νσ σ σχ χ −
≤ ≤
68
Como 6T
Cpσ
= , onde T é a tolerância determinística de projeto, o intervalo de
confiança para o índice de capacidade Cp de uma variável simples, segundo
MONTGOMERY (2001), fica:
2 2(1 ) / 2 / 2
6 ˆ 6 ˆT T
Cpα αχ χσ ν σ ν
− ≤ ≤
Quando Y é função de apenas uma variável de entrada, podemos aplicar a
técnica de linearização local, de maneira que um estimador de Yσ é assim expresso:
22
ˆˆ ˆxY x X
dfdX µσ σ=
≅
Deste modo, um intervalo de confiança para YCp é dado por:
2 2(1 ) / 2 / 2
6 ˆ 6 ˆY YY Y
YY Y
T TCpα αχ χ
σ ν σ ν− ≤ ≤
Para uma variável de resposta combinada com dois ou mais componentes de
variância, a distribuição de 2ˆYσ não segue uma distribuição qui-quadrado e não há
intervalos de confiança exatos para combinações lineares e positivas de 2Yσ
[GRAYBILL e WANG (1980)].
Vamos aplicar métodos para obter o intervalo de confiança aproximado para
2Yσ que satisfaçam as seguintes condições: as distribuições das variáveis de entrada
são normais e independentes, cuja combinação linear resulta numa única variável de
resposta (modelo univariado) . Serão apresentados os seguintes métodos: Método de
Satterthwaite, Método para Grandes Amostras e Método de Graybill -Wang.
69
O método de aproximação do intervalo de confiança para 2Yσ mais comumente
empregado foi proposto por SATTERTHWAITE (1941) e basicamente consiste em
considerar a variável 2ˆYσ seguindo uma distribuição qui-quadrado com Yν graus de
liberdade equivalentes. Segundo KRAGTEN (1994), para a maioria das aplicações
práticas, tal aproximação resulta numa boa precisão.
Desta forma um intervalo de confiança aproximado para YCp é dado por:
( )2 2
1 / 2 / 2
6 ˆ 6 ˆY YY Y
YY Y Y Y
T TCp
α αχ χ
σ ν σ ν− ≤ ≤
onde YT é a tolerância determinística de projeto em Y , 2Yχ é a distribuição qui-
quadrado da variável de resposta Y , ˆYσ é o desvio padrão estimado de Y e Yν
representam os graus de liberdade equivalentes para Y .
O desenvolvimento para a expressão de Yν é o que segue:
Um estimador para 2Yσ é dado por:
2
2 2ˆ
1
ˆ ˆXi
k
Y Xi Xii i
fX µσ σ=
=
∂≅ ∂ ∑ (5.1)
onde 2ˆXiσ são estimadores de 2Xiσ . Como iX segue distribuições normais, então 2ˆXiσ
segue distribuições qui-quadrado com xiν graus de liberdade. Deste modo, a relação
que segue será empregada tanto nas variáveis de entrada iX como na variável de
resposta Y :
2 22 2 2
2
ˆˆXi Xi Xi
Xi Xi XiXi Xi
ν σ χχ σ σσ ν
= → = (5.2)
Substituindo (5.2) em (5.1) temos:
70
22 22 2 2
ˆ1
ˆk
Y XiY Y Xi i Xi
iY i Xi
fX µ
χ χσ σ σν ν=
=
∂= = ∂ ∑
Seja 2 2
XiXi i Xi
i Xi
fK
X µσν=
∂ = ∂ , segue que:
2 22 1
k
XiY
Y Xii
Y
Kνχ χσ =
= ∑ (5.3)
Aplicando a diferenciação em (5.3), temos que cada diferencial parcial será dada por:
2 2Y
Xi YXiK
f νχ σ∂ =
∂
Portanto a variância de 2Yχ é aproximadamente igual a:
2 2
2
2 22
1Y Xi
Xi
ky
i y
Kχ χ
νσ σ
σ=
=
∑
2 2
2 2
222 2
1
222
2
22 22
1
Y Xi
Y iXi X
kY
iY
k
Xi
XiXi
i Xi
Y
iY
K
fx
χ χ
χ µ χ
σ σ σν
σν
σ σ σν =
=
=
=
=
∂ ∂
∑
∑
Como ( )22 2 2 1
XiXi inχ
σ ν= = − e 22 2
YYχ
σ ν= , segue que:
2
22 2222ˆ
1
2 2XiY
kY
Y XXi
Xii Xi
iiY
fXσ µ
σσν
σ ν νν =
=
∂ ∂ = = ⇒
∑
( ) 22 22
2
1
22
Xi
kY
Xi XiiY Xi i
fX µ
σσ
ν ν ==
∂ = ∂ ∑ (5.4)
71
a expressão (5.4), segundo BOX, HUNTER e HUNTER (1978), correspondente à
variância da distribuição de 2ˆYσ que pode ser estimada por:
( )2
22 22
2 2ˆˆ
1
ˆ 2ˆ 2 ˆ
XiY
kY
Xi XiiY Xi i
fX µσ
σσ σ
ν ν ==
∂ = = ∂ ∑
Assim, isolando Yν , que corresponde aos graus de liberdade equivalentes de Y ,
temos:
( )22
4
4ˆ
1
ˆ
ˆXi
Y
Y
Xi Xiki
i Xi
fX µ
σν
σ
ν
=
=
= ∂ ∂ ∑
Quando os valores de Xiν são grandes, o método de Satterthwaite proporciona uma
boa aproximação, porém fora desta circunstância este modelo tende a apresentar
intervalos de confiança maiores, se comparados aos intervalos obtidos com os
métodos que seguem [BURDICK e GRAYBILL (1992)].
O segundo método para obtenção de intervalos de confiança para YCp é o
Método para Grandes Amostras. Repetimos aqui o nome que foi dado na literatura
para tal método, embora se reconheça que não existe consenso sobre a partir de que
valor de amostra pode-se considerá-la grande, de modo que a expressão “método
assintótico” talvez fosse mais apropriada.
De qualquer forma, considerando uma distribuição assintótica próxima da
normal, podemos construir um intervalo de confiança aproximado para 2Yσ
72
[BURDICK e GRAYBILL (1992)]. Estes intervalos são baseados no resultado
obtido pela distribuição normal padronizada dada por:
22 2 2
ˆ( ˆ ) /
YY Yz σ
σ σ σ= −
Deste modo, uma aproximação do intervalo de confiança bilateral (1 )α− para
grandes amostras é:
2 22 2 2 2 2
/ 2 / 2ˆ ˆˆ ˆ
Y YY Y Yz zα ασ σ
σ σ σ σ σ− ≤ ≤ +
onde 22
ˆYσσ é a variância da distribuição de 2ˆYσ (aproximada por uma normal), dada
pela expressão (5.4).
Como a distribuição de 2ˆYσ tende à normal somente quando o tamanho das
amostras das variáveis de entrada n → ∞ , há restrições no que tange à
confiabili dade deste método, mesmo para grandes amostras. Também, pelo mesmo
motivo, tal método não é recomendável para pequenas amostras.
Há estudos que estabelecem alterações neste método, com o propósito de se
obter intervalos de confiança confiáveis para pequenas amostras.
WELCH (1956) apresenta um estudo neste sentido, que não será abordado
aqui, uma vez que o “método modificado das grandes amostras” posteriormente
desenvolvido por GRAYBILL e WANG (1980) é o melhor existente para a obtenção
de intervalos de confiança aproximados para funções de componentes de variância,
devido à sua precisão e simples cálculo [CHIANG (2001)].
Segundo BURDICK e GRAYBILL (1992), o intervalo de confiança
aproximado de 2Yσ pelo “método modificado das grandes amostras” é dado por:
2 2 2 4 2 2 2 2 4
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆk k
Y Xi Xi Xi Y Y Xi Xi Xii i
G c H cσ σ σ σ σ= =
− ≤ ≤ +∑ ∑
73
onde:
2
: , 1 : ,
1 11 1
Xi
Xi Xi
Xi Xi Xi Xii
fc G H
X F Fµα ν α ν
=∞ − ∞
∂= = − = − ∂
onde : ,XiFα ν ∞ e 1 : ,Xi
F α ν− ∞ são limites da distribuição de Fisher, com níveis de
confiança γ α= e ( )1γ α= − , com 1Xi Xinν = − graus de liberdade no
numerador ( )1,2,3.....i k= e ∞ graus de liberdade no denominador.
portanto:
2 2
2 2 4 2 2 2 4
1 1: , 1 : ,
1 1ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ
Xi Xi
k k
Y Xi Xi Y Y Xi Xii i
c cF Fα ν α ν
σ σ σ σ σ= =∞ − ∞
− − ≤ ≤ + −
∑ ∑
2 2
2 2 2 2 2
1 1: , 1 : ,
1 1ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ
Xi Xi
k k
Y Xi Xi Y Y Xi Xii i
c cF Fα ν α ν
σ σ σ σ σ= =∞ − ∞
− − ≤ ≤ + −
∑ ∑
2 22 2
2 2 2 2 2
1 1: , 1 : ,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
Xi Xi
k kXi Xi Xi Xi
Y Xi Xi Y Y Xi Xii i
c cc c
F Fα ν α ν
σ σσ σ σ σ σ= =∞ − ∞
− − ≤ ≤ + −
∑ ∑ (5.5)
Como 2/ 2; : ,Fα ν α νχ ν ∞= , substituindo em (5.5), obtemos:
2 22 22 2 2 2 2
2 2/ 2; 1 / 2;1 1
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
Xi Xi
k kXi Xi Xi Xi Xi Xi
Y Xi Xi Y Y Xi Xii i
c cc c
α ν α ν
ν σ ν σσ σ σ σ σχ χ −= =
− − ≤ ≤ + −
∑ ∑ (5.6)
Notamos que o “método modificado das grandes amostras” não estabelece uma
distribuição para a variância de 2ˆYσ ; por outro lado, conforme evidenciado na
expressão (5.6), tais intervalos aproximados baseiam-se na raiz da somatória
74
quadrática dos intervalos de confiança inferiores e raiz da somatória quadrática dos
intervalos de confiança superiores das variâncias estimadas 2ˆXi Xic σ . Em outras
palavras todos os intervalos de confiança das variâncias das variáveis independentes
de entrada com distribuição qui-quadrado são exatos e estão multiplicados por Xic ,
de modo que temos a contribuição de cada um dos “ k ” intervalos de confiança
sobre o intervalo de confiança aproximado de 2Yσ .
GRAYBILL e WANG (1980) mediram a precisão de alguns métodos para
obtenção de intervalos de confiança aproximados de 2Yσ para duas variáveis de
entrada valendo-se de simulação e integração numérica para encontrar faixas
verdadeiras dos níveis de confiança, sendo que nesta determinação experimental,
foram definidos vários valores de variância para 1xσ e 2xσ à partir da variação da
contribuição relativa destas variâncias sobre 2Yσ , dada por XiR (Veja Seção 2.2), com
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 0,1 0,9 ; 0,2 0,8 ..... 0,8 0,2 ; 0,9 0,1X XR R+ = = + + + + , e com estas
combinações de variância, todas combinações possíveis com os seguintes tamanho
de amostra:
1
2
4,5,6,7,8,9,10,15,20,30
4,5,6,7,8,9,10,15,20,30X
X
n
n
==
Para estas combinações foram associados valores ( )1 0,90α− = e ( )1 0,95α− = .
Embora não esteja no objetivo deste trabalho detalhar este método
experimental, a título de informação repetimos na Tabela (5.1) alguns resultados
deste procedimento aplicado na avaliação dos métodos de Satterthwaite e Graybill -
Wang. Os valores na Tabela (5.1) correspondem a faixas contendo, respectivamente,
o máximo e o mínimo valor dentre os milhares de valores de nível de confiança reais
75
obtidos por simulação e integração numérica, respectivamente para o nível de
confiança (γ ) de 90% e 95%:
gl 90%γ = 95%γ =
1ν 2ν Satterthwaite mín máx
Graybill -Wang mín máx
Satterthwaite mín máx
Graybill -Wang mín máx
5 5 0.886-0.921 0.900-0.917 0.939-0.963 0.949-0.960
5 30 0.855-0.912 0.900-0.916 0.907-0.958 0.950-0.960
10 10 0.892-0.913 0.900-0.910 0.943-0.958 0.950-0.956
10 30 0.882-0.908 0.900-0.908 0.934-0.956 0.950-0.955
30 30 0.897-0.905 0.900-0.904 0.948-0.953 0.950-0.952
Tabela 5.1- Faixas de níveis de confiança (γ ) de 90% e 95% relativos a intervalos
de confiança bilaterais para o os métodos de Satterthwaite e Graybill -Wang
Conforme podemos observar na Tabela 5.1, os intervalos obtidos pelo método
de Graybill -Wang em geral têm menor amplitude que o método de Satterthwaite,
principalmente quando os valores de graus de liberdade são pequenos. LU (1985)
avaliou o método de Graybill -Wang para 3 e 4 variáveis de entrada e confirmou
resultados com semelhantes níveis de exatidão e precisão para os intervalos de
confiança bilaterais aproximados de 2Yσ .
Como / 6Y YCp T σ= , o intervalo de confiança bilateral e aproximado de YCp
empregando o método de Graybill -Wang, fica:
2 2 2 4 2 2 2 4
1 1
6 ˆ ˆ 6 ˆ ˆ
Y YY
k k
Y Xi Xi Xi Y Xi Xi Xii i
T TCp
H c G cσ σ σ σ= =
≤ ≤
+ −∑ ∑ (5.7)
76
5.3 Estimação por ponto e intervalar de YCpk
Um estimador por ponto de YCpk pode ser dado por:
( )ˆ ˆ ˆ1Y Y YCpk Cp k≅ − (5.8)
Observamos que o estimador por ponto de YCpk depende dos estimadores de
ˆYCp e Yk . Como
/ 2Y
YY
Pk
T≅ , seu estimador natural é:
ˆˆ
/ 2Y
YY
Pk
T≅
onde YP é dado por:
ˆ1
ˆ ˆ.Xi
K
Y Xi Xii
i
fP P
X µ==
∂≅ ∑ ∂
ˆXiP é o estimador do erro sistemático para cada uma das variáveis de entrada iX ,
dado por ˆ ˆXi Xi XiP mµ= − ; ˆXiµ é obtido do CEP relativo ao processo de
manufatura da respectiva variável de entrada e Xim é o valor nominal de projeto.
Diferentemente do que foi visto para a obtenção do parâmetro YCpk , os valores de
Yk , YP , e ˆXiP não estão em valor absoluto, pois a descentralização de cada variável
de entrada iX se dará para um dos dois lados da especificação. Também os
coeficientes de sensibili dade
ˆXiXii
fX µ=
∂ ∂
não devem estar em valor absoluto, pois as diferenciais parciais passam
a assumir o papel de incrementos positivos ou negativos. Deste modo a combinação
de sinais dos coeficientes de sensibili dade e das descentralizações de iX provocarão
uma anulação parcial ou, menos provavelmente, até mesmo uma anulação total sobre
a descentralização da variável de resposta não observável Y .
77
Para obter um intervalo de confiança para YCpk , analisemos primeiramente a
obtenção do intervalo de confiança para Cpk . Neste caso existem vários métodos
desenvolvidos, porém, todos estes procedimentos são aproximações com restrições,
principalmente quando a amostra é de tamanho reduzido.
A construção de um intervalo de confiança para Cpk é mais trabalhosa, porque
existem dois parâmetros (σ e µ ) associados ao seu valor. Uma alternativa seria
primeiramente obter os intervalos de confiança para cada um destes parâmetros, que
são respectivamente dados por:
( )2 2
1 / 2 / 2ˆ ˆ
α α
ν νσ σ σχ χ−
≤ ≤
,1 / 2 ,1 / 2ˆ ˆX t X tν α ν ασ µ σ− −− ≤ ≤ +
Em seguida poderíamos estabelecer a região da Figura 25 como intervalo de
confiança para Cpk :
Figura 25 - Suposta região para o intervalo de confiança de Cpk
Considerando as variáveis X e σ de distribuições normais e independentes,
para qualquer ponto da região,
( )1 / 2
2ˆα
νσχ
− / 2
2ˆα
νσχ
,1 / 2 ˆX tν α σ−+
,1 / 2 ˆX tν α σ−−
78
teremos uma probabili dade ( )21 α− . Por exemplo, se o nível de confiança para cada
um dos intervalos é de 95%, o nível de confiança combinando ambos os intervalos
será de 20,95 0,9025= . Embora X e σ sejam independentes, os intervalos
baseados nas distribuições t e 2χ não são independentes, de modo que não é
possível saber exatamente qual o nível de confiança para este intervalo de confiança
da variável de resposta. Desta forma, qualquer proposta de um intervalo de confiança
para Cpk resultará num valor aproximado. [MOOD e GRAYBILL (1963);
JOHNSON e KOTZ (1993)]
Embora haja vários trabalhos conduzindo a intervalos de confiança aproximados
para Cpk , o mais difundido é o intervalo proposto por BISSEL(1990). KUSHLER e
HURLEY (1992) recomendam este método devido a sua simplicidade e razoável
acurácia obtida. FRANKLIN e WASSERMAN (1992) verificaram que para n ≥ 30,
este método produz intervalos de confiança bastante confiáveis.
O intervalo de confiança para Cpk proposto por Bissel é dado por:
( ) ( )2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ
9 2 1 9 2 1Cpk Cpk
Cpk z Cpk Cpk zn n n nα α− + ≤ ≤ + +
− − (5.9)
Veremos agora que o intervalo de confiança da expressão (5.9) pode ser
estendido também para obtenção do intervalo de confiança para YCpk .
Para o caso de uma única variável de entrada não há combinação de
distribuições, mas apenas a linearização da única variável de entrada por meio de sua
derivada. Assim, estimamos ˆYCpk conforme (5.8), daí calculamos o intervalo de
confiança para ˆYCpk empregando a equação (5.9).
79
Quando temos mais de uma variável de entrada, o índice de capacidade de uma
relação funcional ˆYCpk dependerá mais ainda de aproximações; assim nos resta
buscar a melhor aproximação possível para seu intervalo de confiança.
O nosso pressuposto é utili zar a aproximação proposta por BISSEL(1990) para
Cpk e estendê-lo a YCpk com os Yν graus de liberdade equivalentes, segundo o
método de Satterthwaite, pois ambos os métodos são baseados na aproximação por
uma normal.
Na abordagem de intervalos de confiança para YCp , o método de Satterthwaite
não se mostrou o melhor. Porém, no caso de se obter um intervalo de confiança
aproximado para YCpk , há algumas particularidades que induzem a reavaliar a
aplicação deste procedimento de Satterthwaite para auxili ar na obtenção de um
intervalo de confiança aproximado para YCpk . O método de Satterthwaite estabelece
um valor de graus de liberdade equivalente usado na aproximação dos intervalos de
confiança não somente para a variância mas também para a média de uma variável
de resposta com distribuição normal, como resultado da combinação de variáveis de
entrada também com distribuições normais. A aproximação consiste em considerar
a distribuição da variância amostral como uma distribuição qui-quadrado e a
distribuição da média amostral como uma t de student, o que é exato no caso de ter
uma única variável normal, mas não no caso de combinações lineares ou
linearizáveis de distribuições normais.
A obtenção da aproximação do intervalo de confiança da variância de resposta
baseada numa distribuição qui-quadrado foi considerada na Seção 5.2. Quanto à
aproximação do intervalo de confiança da média da variável de resposta Y por uma
distribuição t de student com Yν graus de liberdade equivalentes, HALL e
80
WILLINK(2001) destacam que, desde que as distribuições das variáveis de entrada
sejam normais, esta aproximação é surpreendentemente boa. Este procedimento é
recomendado por NIST (National Institute of Standards and Technology), por meio
do trabalho de KUYATT e TAYLOR(1994), e pela ISO (International
Standardization for Organization), constante na guia ISO-GUM (1998).
A fim de testar o pressuposto de empregar a aproximação de BISSEL (1990)
para Cpk combinada com os Yν graus de liberdade de Satterthwaite (o que se faz
necessário, uma vez que a distribuição amostral de 2Yσ têm aproximadamente
amostra de tamanho 1Y Yn ν= + ), estabeleceu-se uma combinação linear de duas
variáveis de entrada 1 2Y X X= + , tendo a variável de resposta Y um valor nominal
de 20,5 ; 1 2X X= = 10,25 e tolerância variando de 17 a 24. As estimativas de YCpk
foram geradas por simulação empregando-se o programa MINITAB (1996),
estabelecendo-se a priori variáveis de entrada com distribuições normais e
independentes; 1 2 10X X= = (descentralização de 0,25). Tamanhos de amostras
conforme Tabela (5.2) e vetores de variância conforme Tabela (5.3):
1Xn 2Xn
30 100
40 90
50 80
Tabela 5.2- Tamanho de amostras para simulação
81
1Xσ 0,2 0,3 0,5 0,8 0,9
2Xσ 0,9 0,8 0,6 0,3 0,2
Tabela 5.3- Valores de variância para simulação
Temos portanto, vários conjuntos de dados para a simulação do valor estimado
de YCpk , através da combinação de diferentes valores de graus de liberdade com
diferentes valores de variâncias de entrada. Cada um dos 15 conjuntos de dados,
foram simulados 10.000 vezes, gerando assim 10.000 valores de ˆYCpk para cada
conjunto de dados. Cada um destes valores de ˆYCpk foi empregado no método de
Bissel, segundo expressão (5.9) para níveis de confiança de 90% e 95% e com
amostra de tamanho 1Y Yn ν= + :
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ
9 1 9 12 1 1 2 1 1Y Y
Y Y YY YY Y
Cpk CpkCpk z Cpk Cpk zα αν νν ν
− + ≤ ≤ + ++ ++ − + −
Verificou-se quantos destes 10.000 intervalos estavam fora do valor paramétrico
de YCpk (obtido a partir dos parâmetros da média e desvio padrão para cada caso), a
fim de se encontrar o nível de confiança deste método e compará-lo com os níveis de
confiança de 90% e 95%. O procedimento detalhado de todo processo de simulação
encontra-se no Anexo D.
A conclusão é que a aproximação alcançada por este procedimento é bastante
razoável se for levada em consideração a dificuldade inerente à obtenção de
intervalos de confiança para YCpk . Tais aproximações evidenciam uma precisão
melhor que a alcançada pelo comumente empregado método de Satterthwaite na
82
obtenção dos intervalos de confiança para 2Yσ . A tabela 5.2 expressa os resultados
das 10.000 simulações de intervalos de confiança obtidos por este procedimento para
cada uma das combinações estabelecidas:
σ x1 0.2 0.3 0.5 0.8 0.9
σ x2 0.9 0.8 0.6 0.3 0.2
nx1= 30 nx2= 100 89.6 94.7 88.5 94.1 88.3 93.8 90.0 94.4 89.5 95.0
nx1= 40 nx2=90 89.9 94.8 89.2 94.7 87.9 94.2 89.3 93.5 89.9 94.9
nx1= 50 nx2=80 90.3 95.1 88.9 94.1 88.0 94.6 89.7 93.8 90.3 95.0
Tabela 5.4 - Níveis de Confiança de 90% e 95% obtidos pela combinação do métodode Bissel para obtenção aproximada do intervalo de Cpk, da variável de resposta comos graus de liberdade equivalentes de Satterthwaite a partir de 10000 simulações deintervalos de confiança para cada caso.
83
6 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Os dois exemplos que serão apresentados limitam-se a apenas duas variáveis de
entrada. O primeiro estabelece uma simples relação funcional li near entre a variável
de resposta e as variáveis de entrada. Tais simpli ficações têm por objetivo tornar
clara a aplicação do método que serviria para qualquer número de variáveis de
entrada e para modelos matemáticos mais complexos.
6.1 Exemplo 1- Ajuste com folga
O ajuste com folga, também conhecido como ajuste deslizante, é formado por
uma montagem de uma peça contendo uma dimensão interna com tolerância com
outra peça contendo uma dimensão externa também com uma tolerância de projeto,
sendo que, para ocorrer folga, qualquer dimensão interna variando dentro do seu
campo de tolerância deve sempre ser maior que qualquer dimensão externa também
dentro do seu respectivo campo de tolerância. Estas combinações lineares entre duas
dimensões são tão comuns, que um câmbio ou um motor, por mais simples que
sejam contêm dezenas destes ajustes deslizantes. Existem normas técnicas exclusivas
para ajustes que abrangem muitas aplicações a fim de padronizar as características do
ajuste; mesmo assim, muitos ajustes não são contemplados por estas normas por
terem características específicas. Além disto, infelizmente estas normas não tratam
os ajustes do ponto de vista estatístico.
O exemplo que ora apresentamos pode ocorrer na montagem de um eixo com
um furo, numa guia de deslizamento ou num encaixe estático. Primeiramente vamos
abordar o exemplo do ponto de vista de projeto avaliando parâmetros, e em seguida
do ponto de vista de controle de processos, por estimativas.
84
1X
2X
Figura 26 - Exemplo de ajuste com folga
O modelo matemático que relaciona as variáveis de entrada com a variável
de saída é definido pela combinação linear 1 2Y X X= − , sendo 1X a dimensão
interna e 2X a dimensão externa; 1X e 2X independentes e normalmente
disribuídas. As derivadas parciais são respectivamente:
1 2
1 1f f
X X∂ ∂= = −
∂ ∂
As dimensões nominais e tolerâncias das variáveis de entrada neste exemplo
são os seguintes dados de projeto:
1Xm = 20mm 1X∆ = ± 0,1 1 0,2XT =
2Xm = 19mm 2X∆ = ± 0,1 2 0,2XT =
Segue a determinação da tolerância na variável de resposta ( YT ), aplicando a
diferenciação:
1 21 1 2 21 2
1.0,2 1.0,2 0,4X XY X m X X m X
f fT T T
X X= =∂ ∂= + = + − =
∂ ∂
85
O parâmetro da tolerância natural ( 6 Yσ ) na variável de resposta, aplicando a
diferenciação na forma de lei geral de propagação do erro e igualando as tolerâncias
determinísticas de projeto às tolerâncias naturais das variáveis de entrada
( 6Xi XiT σ= ), é dado por:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 22 2
1 1 2 21 2
2 2 2 2
6 6 6
1 0,2 1 0,2 0,283
X XY X X X X
f fX Xµ µσ σ σ= =
∂ ∂= + = ∂ ∂
= + − =
Neste exemplo não precisamos testar a aplicabili dade da diferenciação para
confirmar erros desprezíveis, pois no caso de relação funcional li near não há erros de
ordem superior. Notamos assim que os parâmetros neste caso são exatos, pois nesta
combinação linear as derivadas parciais tem valor (+1) e (-1).
Com YT e 6 Yσ podemos determinar o parâmetro do índice de capacidade YCp
na variável de resposta:
0.41,41
6 0,283Y
YY
TCp
σ= = =
Especificando no projeto que valores desejamos como erros sistemáticos
máximos para as variáveis de entrada, podemos determinar a tolerância para o erro
sistemático na variável de resposta YP aplicando a diferenciação. Portanto, se
1 0,01XP = ± e 2 0,005XP = ± , temos que:
86
1 21 1 2 21 2
. . 1. 0,01 1. 0,005 0.015X XY X m X X m X
f fP P P
X X= =∂ ∂= + = + − =
∂ ∂
Com YP o fator Yk na variável de resposta pode ser determinado:
0,0150,075
/ 2 0,4 / 2Y
YY
Pk
T= = =
E o parâmetro para YCpk é dado por:
(1 ) 1,41(1 0,075) 1,3Y Y YCpk Cp k= − = − =
Na etapa de processo, vamos considerar que as estimativas foram extraídas do
controle estatístico de processo das variáveis de entrada, sendo estas as estimativas
de processo:
1 1ˆ 0,03 ˆ 19,99X Xσ µ= = 1 60Xn =
2 2ˆ 0,02 ˆ 18,99X Xσ µ= = 2 120Xn =
Com as estimativas dos desvios padrão das variáveis de entrada uma estimativa
da tolerância natural ( 6 ˆYσ ) na variável de resposta, pode ser obtida:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
2 22 22
1 2ˆ ˆ1 2
2 2 2 2 2
6 ˆ . 6 ˆ . 6 ˆ
6 ˆ 1 . 6.0,03 1 . 6.0,02 0,216.
X XY X X X X
Y
f fX Xµ µσ σ σ
σ
= = ∂ ∂= + ∂ ∂
= + − =
Segue que uma estimativa do índice de capacidade YCp na variável de resposta
é dada por:
87
0,4ˆ 1,856 ˆ 0,216
YY
Y
TCp
σ= = =
E um intervalo de confiança bilateral com 95% de confiança pode ser obtido:
2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 41 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 26 ˆ ˆ ˆ 6 ˆ ˆ ˆ
Y YY
Y X X X X X X Y X X X X X X
T TCp
H c H c G c G cσ σ σ σ σ σ≤ ≤
+ + − +
onde 2 2
1 21 2
1 1X X
f fc e c
X X
∂ ∂= = = = ∂ ∂
10,025:60,
20,025:60,
10,975:120,
20,975:120,
1 11 1 0,2797
1,3883
1 11 1 0,2116
1,2684
1 11 1 0,4821
0,6747
1 11 1 0,3104
0,7631
X
X
X
X
GF
GF
HF
HF
∞
∞
∞
∞
= − = − =
= − = − =
= − = − = −
= − = − = −
que resulta em:
1,288 1,505YCp≤ ≤
A partir das médias estimadas, pode-se obter uma estimativa do erro sistemático
para a variável de resposta YP , temos também as estimativas dos erros sistemáticos
das variáveis de entrada ˆXiP , ou seja:
( ) ( ) ( ) ( )
1 21 1 2 2ˆ ˆ1 2
ˆ ˆ ˆ. .
ˆ 1 . 0,01 1 . 0,01 0,0
X XY X X X X
Y
f fP P P
X X
P
µ µ= = ∂ ∂= + ∂ ∂
= − + − − =
Notamos que, neste caso, os erros sistemáticos se anularam, portanto:
88
ˆ 0,0ˆ 0,0/ 2 0,4 / 2
Y
YY
Pk
T= = =
Neste caso, a estimativa de YCpk é igual de YCp .
Se houvesse correlação entre o eixo e o furo, notaríamos uma grande alteração
no valor de 2ˆYσ , e consequentemente sobre ˆYCp .
A título de ilustração se 1, 2ˆ 0,8X Xρ = teríamos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
2 2
2 21 1 1 2 2 2 1, 2 1 2ˆ ˆ
1 2 1 2
2 2 2 2
ˆˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ
1 0,03 1 0,02 2.0,8 1 1 0,03 0,02
0,018
Y X x X X x X X X X X
f f f fX X X Xµ µσ σ σ ρ σ σ= =
∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂
= + − + −
=
consequentemente, o valor de ˆYCp seria:
0,4ˆ6 ˆ 6.0,018
YY
Y
TCp
σ= = = 3,704
Por outro lado, com 1, 2ˆ 0,8X Xρ = − , o resultado seria:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )
2 2
2 21 1 1 2 2 2 1, 2 1 2ˆ ˆ
1 2 1 2
2 2 2 2
ˆˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ
1 0,03 1 0,02 2. 0,8 1 1 0,03 0,02
0,048
Y X x X X x X X X X X
f f f fX X X Xµ µσ σ σ ρ σ σ= =
∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂
= + − + − −
=
desta vez o valor de ˆYCp seria:
0,4ˆ 1,3896 ˆ 6.0,048
YY
Y
TCp
σ= = =
89
6.2 Exemplo 2 - Área de um retângulo
Consideremos uma situação na qual chapas são cortadas primeiramente na
largura 1X e depois no comprimento 2X , e a área resultante é uma característica
crítica de qualidade. No projeto devemos determinar qual deve ser a máxima
variação para cada processo de corte a ser escolhido, a fim de indiretamente
controlarmos a área ilustrada na Figura 27:
2X
1X
Figura 27 - Exemplo de controle da área de um retângulo
Vamos considerar os seguintes valores nominais, tolerâncias e diferenciais
parciais de 1X e 2X :
1Xm = 100mm 1X∆ = ± 0,1 1 0.2XT =
2Xm = 200mm 2X∆ = ± 0,1 2 0.2XT =
A função que relaciona a variável resposta Y e as variáveis de entrada é:
1 2.Y X X= , com 1X e 2X independentes. Por se tratar de uma função não linear,
devemos testar a aplicabili dade da técnica de linearização pela diferenciação a fim de
confirmar se os erros de segunda ordem são desprezíveis. Para o cálculo dos erros
iYε∆ e sYε∆ procedemos da seguinte forma: Como as tolerâncias são bilaterais, há
incrementos positivos ( )ix+∆ e incrementos negativos ( )ix−∆ .
90
A derivada em relação a 1X , 21
fX
X∂ =
∂, é positiva indicando função crescente, de
modo que o incremento 1X∆ a ser usado é o positivo. Similarmente, a derivada em
relação a 2X , 12
fX
X∂ =
∂, é positiva, de modo que o incremento 2X∆ a ser usado
também é o positivo. Calculando o erro inferior iYε∆ temos:
( ) ( ) ( )
1 21 2 1 1 2
1
( ; ;... ) ( ; ;... )
100 0,1 . 200 0,1 100.200 200 . 0,1 100 . 0,1
19970,01 20000 30 0,01
Xi
i X X X i X X Xi i
k
Xi m ii i
Y f m x m x m x f m m m
fX
X
ε
==
∆ = − ∆ − ∆ − ∆ −
∂− ∆∂
= − − − − − + −
= − − =
∑
Similarmente, o erro superior sYε∆ é:
( ) ( ) ( )
1 21 2 1 1 2
1
( ; ;... ) ( ; ;... )
100 0,1 . 200 0,1 100.200 200.0,1 100.0,1
2030,01 20000 30 0,01
Xi
s X X X i X X Xi i
k
Xi m ii i
Y f m x m x m x f m m m
fX
X
ε
==
∆ = + ∆ + ∆ + ∆ −
∂− ∆∂
= + + − − +
= − − =
∑
sYε∆ ou iYε∆ (simétricos neste exemplo), corresponde ao resto “ R ” referente aos
termos de ordem superior da série, que neste caso limita-se apenas a erros de de
segunda ordem. (Veja Seção 2.2 e Anexo B):
1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
; 2 ; 21 2 2 1
2
1 1
1
1 12 2
0,1.0,1 0,01
i s x mx x mx x mx x mx
f fY Y x x x x
X X X X
x x
ε ε = = = =+ ∂ ∂∆ = ∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂
= ∆ ∆ = =
Devido à simetria entre os dois erros, o erro absoluto é nulo:
91
0,01 0,01 0s iY Y Yε ε ε∆ = ∆ − ∆ = − =
isto resulta em um valor exato para YT :
1 21 1 2 21 2
200.0,2 100.0,2 60X XY X X X X
f fT T T
X Xµ µ= =∂ ∂= + = + =
∂ ∂
Mesmo em outros casos com sYε∆ e iYε∆ não desprezíveis, se estes estiverem
próximos da simetria, propiciarão um erro absoluto desprezível, dando assim um
resultado de YT com boa aproximação.
Esta idéia não é válida para a tolerância natural correspondente a 6 Yσ , pois,
considerando-se todas as variáveis de entrada normalmente distribuídas, basta sYε∆
ou iYε∆ não ser desprezível para que o formato da distribuição da variável de
resposta não seja aproximadamente normal. Mesmo para o erro desprezível, a
distribuição de Y não é exatamente normal, o que resulta num valor de 6 Yσ
aproximado.
Levando-se em consideração que genericamente 6Y YT σ≥ (Veja Seção 3.2.2 ) e
portanto / 2 3Y Y YT σ= ∆ ≥ , considera-se a bem da segurança comparar o valor de
Y∆ , com o erro calculado a partir dos incrementos / 2Xi XiT∆ = . Isto sempre
representará o pior caso possível para o cálculo do erro (mesmo na presença de
elevados níveis de correlação).
Neste exemplo, aplicando esta regra, verificamos que o erro é desprezível, pois não
representa algarismo significativo:
0,01 30s i YY Yε ε∆ = ∆ << ∆<<
92
Para determinar o parâmetro da tolerância natural ( 6 Yσ ) na variável de
resposta, aplicando também a primeira ordem da série de Taylor na forma de lei geral
de propagação do erro, tendo como dados as tolerâncias naturais das variáveis de
entrada e tomando por base as tolerâncias determinísticas de entrada, 6Xi XiT σ= ,
obtemos:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 22 2
2 1 2 21 2
2 2 2 2
6 6 6
200 0,2 100 0,2 44,7.
X XY X X X X
f fX Xµ µσ σ σ= =
∂ ∂≅ + ≅ ∂ ∂
≅ + ≅
Os coeficientes de sensibili dade são respectivamente:
( ) ( )( )
1
2
22 21 1
11 22
200 0,2 / 6
44,7 / 6
XX X
XY
fX
Rµ σ
σ
= ∂ ∂ = = =0,80
( ) ( )( )
2
2
22 22 2
22 22
100 0,2 / 60,20
44,7 / 6
XX X
XY
fX
Rµ σ
σ
= ∂ ∂ = = =
A análise é que mesmo com variâncias 2 21 2X Xσ σ= , a contribuição de 1X é quatro
vezes maior que 2X , de modo que para uma melhoria no projeto (redução de 2Yσ ),
deveríamos verificar a possibili dade de alterar a geometria do retângulo sem reduzir
21Xσ (projeto por parâmetros) ou numa segunda hipótese reduzir 2
1Xσ (projeto por
tolerâncias) (Veja Seção 2.2)
O índice de capacidade na variável de resposta ( YCp ) será igual a :
601,34.
6 44,7Y
YY
TCp
σ≅ ≅ ≅
93
Seguindo os procedimentos para obtenção de YCpk , determinamos a tolerância
do erro sistemático na variável de resposta, YP , aplicando a diferenciação. Dados
que: 1 0,01XP = ± e 2 0,02XP = ± , segue que:
1 1 1 2 2 21 2
. .
200 . 0,01 100 . 0,02 4.
Y X mx X X mx X
f fP P P
X X= =∂ ∂≅ +
∂ ∂
≅ + ≅
E determinando o fator Yk na variável de resposta, temos:
40,133
/ 2 60 / 2Y
YY
Pk
T≅ ≅ ≅
Segue-se que o valor de YCpk :
(1 ) 1,34(1 0,133) 1,16Y Y YCpk Cp k≅ − ≅ − ≅
Vamos considerar que as estimativas foram extraídas do controle estatístico de
processo das variáveis de entrada, obtendo:
1 1
2 2
ˆ 0,02 ˆ 99,97
ˆ 0,03 ˆ 199,98X X
X X
σ µσ µ
= == =
com 1 2 120X Xn n= =
A determinação da estimativa da tolerância natural ( 6 ˆYσ ) na variável de
resposta é obtida aplicando-se a diferenciação na forma de lei geral de propagação do
erro, tendo como dados as tolerâncias naturais estimadas das variáveis de entrada.
Deste modo:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
2 22 2
1 2ˆ ˆ1 2
2 2 2 2
6 ˆ 6 ˆ 6 ˆ
199,98 6.0,02 99,97 6.0,03 30,0.
X XY X X X
f fx
X Xµ µσ σ σ= = ∂ ∂≅ + ∂ ∂
≅ + ≅
94
Segue que uma estimativa do índice de capacidade na variável de resposta
( ˆYCp ) é dada por:
60ˆ 2,0.6 ˆ 30
YY
Y
TCp
σ≅ ≅ ≅
Um intervalo de confiança bilateral para YCp com um nível de confiança de
95%, pode ser obtido aplicando o método de Graybill -Wang:
2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 41 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 26 ˆ ˆ ˆ 6 ˆ ˆ ˆ
Y YY
Y X X X X X X Y X X X X X X
T TCp
H c H c G c G cσ σ σ σ σ σ≤ ≤
+ + − +
1 1
2 2
2
2 21 2ˆ
1
2
2 22 1ˆ
2
ˆ 199,98
ˆ 99,97
X
X
X X X
X X X
fc
X
fc
X
µ
µ
µ
µ
=
=
∂= = = ∂
∂= = = ∂
1 2: , 0,025:120,
1 21 : , 0,975:120,
1 11 1 0,2116
1 11 1 0,3104
Xi
Xi
X Xn
X Xn
G GF F
H HF F
α
α
∞ ∞
− ∞ ∞
= = − = − =
= = − = − = −
que, empregando-se os valores apropriados, resulta em:
1,805 2,176YCp≤ ≤
Para determinar uma estimativa do erro sistemático para a variável de resposta
( YP ), aplicamos a diferenciação, obtendo:
( )( ) ( )( )1 1 2 21 2ˆ ˆ
1 2
ˆ ˆ ˆ
199,98 0,03 99,97 0,02 8
X XY X X X X
f fP P P
X Xµ µ= = ∂ ∂≅ + ≅ ∂ ∂
≅ − + − ≅ −
Na sequência podemos determinar uma estimativa do fator Yk para a
variável de resposta:
95
ˆ 8ˆ 0,267/ 2 60 / 2
Y
YY
Pk
T
−≅ ≅ ≅
Segue que uma estimativa de ˆYCpk é dada por:
ˆ ˆ ˆ(1 ) 2,0 (1 0,267) 1,466Y Y YCpk Cp k≅ − ≅ − ≅
Para determinar um intervalo de confiança para YCpk , primeiramente
precisamos calcular os graus de liberdade equivalentes Yν pelo método de
Satterthwaite. Segue que:
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2
2 22 2
4 4 4
4 4 41 1 2 2ˆ ˆ ˆ
1 2
1 1 2
22
4 4 4 4
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
5220,6
199,98 0,02 99,97 0,03
119 119
Xi X X
Y Y
Y
Xi Xi X X X Xki
i Xi X X
f f fx x xµ µ µ
σ σν
σ σ σ
ν ν ν
= = =
=
= = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +
= =
+
∑
Um intervalo de confiança aproximado para YCpk pode ser obtido por:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ
9 1 9 12 1 1 2 1 1Y Y
Y Y YY YY Y
Cpk CpkCpk z Cpk Cpk zα αν νν ν
− + ≤ ≤ + ++ ++ − + −
que, com os devidos valores, vale:
1,323 1,610YCpk≤ ≤
96
7 CONCLUSÕES
A importância que têm os índices de capacidade de uma relação funcional
obtidos indiretamente é semelhante à dos índices de capacidade de uma característica
de qualidade obtida diretamente. Estes índices, como indicadores fundamentais na
avaliação de qualidade frente a especificações e processos, prestam-se a apontar um
enfoque de conformidade que não se restringe ao mero cumprimento de
especificações determinísticas. Vivemos numa época em que o enfoque de
conformidade é traduzido como a busca por maior uniformidade. Tal enfoque tem
sido cada vez mais valorizado, depois que Taguchi, Juran e Deming, entre outros,
realçaram os ganhos de almejar o valor nominal junto às características críticas de
qualidade. Estes ganhos estão sendo confirmados por várias empresas que têm
aderido à metodologia seis sigma que estabelece Cp = 2 e Cpk = 1,5 como mínimos
índices de capacidade aceitáveis.
Vimos dois grandes campos de aplicação para os índices de capacidade de uma
relação funcional:
- No projeto, para previsão da tolerância natural da variável de resposta por
meio das informações dos processos a serem empregados ou desenvolvidos e
a relação da tolerância total acumulada de projeto com a tolerância natural a
fim de avaliar a robustez do projeto e do projeto do processo.
- Na produção, para avaliar a robustez dos processos. Valendo-se dos índices
de capacidade de uma relação funcional, relacionamos a tolerância total
acumulada com os erros sistemáticos e aleatórios obtidos na variável de
resposta.
97
Verificamos que a técnica de linearização pela diferenciação é uma poderosa
ferramenta para atingir nosso objetivo. Não obstante, devemos respeitar as condições
estabelecidas, e a principal destas é trabalhar com tolerâncias e variabili dade
suficientemente pequenas. Todavia, esta restrição não impede aplicarmos a técnica
de linearização na maioria das vezes, pois, via de regra, trabalhamos com tolerâncias
e variabili dade de valor suficientemente pequeno. Além disso, com o avanço da
tecnologia, a tendência tem sido de estabelecer tolerâncias e variabili dade cada vez
menores; portanto, podemos afirmar que os índices de capacidade de uma relação
funcional e linearizados serão cada vez mais utili zados.
Notamos que na determinação dos parâmetros e estimativas destes índices há de
se tomar alguns cuidados:
- Deve-se fazer uma avaliação acurada das eventuais correlações entre as
variáveis de entrada, que podem alterar significativamente a variância da
variável de resposta.
- Nunca se devem subestimar as relações não lineares por simplesmente adotar
relações lineares onde estas não ocorrem. Antes, deve-se tomar o devido
cuidado no cálculo diferencial dos coeficientes de sensibili dade, desta forma
levando em conta os efeitos que o modelo matemático tem sobre estes
coeficientes. Em outras palavras, a técnica de linearização por Taylor deve
ser rigidamente aplicada nos casos de relação não linear.
Observamos também que, na aplicação da técnica de linearização na sua
forma estatística como “ lei geral de propagação do erro” , a variância da variável
de resposta não é a soma das variáveis de entrada mas sim uma soma quadrática,
o que indica sempre uma tendência de elevação no índice de capacidade de uma
98
relação funcional YCp , sendo que este elevar-se-á cada vez mais à medida que
aumenta o valor e a quantidade das tolerâncias naturais relacionadas às variáveis
de entrada. Ressalva-se que nem sempre isto ocorre, por exemplo, na presença de
correlações este efeito é reduzido ou menos provavelmente anulado. Esta
elevação natural em YCp , sem dúvida terá um efeito imediato sobre os custos,
uma vez que de posse deste fenômeno podemos alargar algumas tolerâncias na
entrada, redistribui-las e ainda preservar um valor respeitável para os índices de
capacidade de uma relação funcional.
Também apresentamos métodos para a obtenção de intervalos de confiança
para YCp e YCpk que resultaram em boa aproximação.
7.1 Proposta de novas pesquisas
O tema pode ser explorado de vários ângulos diferentes, de modo que se
apresentam alguns possíveis estudos a serem realizados:
- Avaliar a influência que a aplicação da “lei geral de propagação do
erro” junto aos índices de capacidade de uma relação funcional
exerce sobre os custos
Como verificado, o aumento natural dos índices de capacidade de uma relação
funcional proporciona eventualmente um alargamento nas tolerâncias de entrada e
sua redistribuição. Com certeza este aumento natural dos índices de capacidade de
uma relação funcional pode ser mais bem pesquisado, contribuindo para o “projeto
por parâmetros” e o “projeto por tolerâncias” proposto por Taguchi.
99
- Índices de capacidade de uma relação funcional com modelos não
paramétr icos
Podemos encontrar valores que relacionem a tolerância na saída com a variação
de uma distribuição na saída composta por distribuições não normais, a partir da
utili zação das desigualdades de Camp-Meidell e Tchebicheff . [FLAIG (1996) e
ESTLER (1997)].
Embora tal alternativa não dê a mesma acurácia nos resultados obtidos por meio
de combinação de distribuições normais, estes estudos talvez sejam úteis.
- Índices de capacidade de uma relação funcional quando a
linear ização não pode ser aplicada.
Quando os erros de ordem superior não são desprezíveis, não podemos aplicar a
técnica de linearização por Taylor. É necessário identificar alguma outra técnica para
estes casos.
- Índices de capacidade de uma relação funcional na condição de
assimetr ia da tolerância em relação ao valor central de projeto.
Não foram abordados neste trabalho a condição “nominal é melhor” com
assimetria da tolerância, nem as condições “menor é melhor” e “maior é melhor”
[TAGUCHI (1990)].
100
- Determinação de outros Índices de capacidade de uma relação
funcional
Neste trabalho nos limitamos aos índices de capacidade de uma relação
funcional YCp e YCpk ; todavia, existem vários outros índices a serem explorados,
por exemplo, os índices de capacidade de máquina [BOTHE (1997)].
101
ANEXO A
A1 - Exemplos de caracter ísticas de qualidade obtidas indiretamente
por meio de funções lineares
Há muitas situações práticas que estabelecem adições ou subtrações entre as
variáveis de entrada, que definem as relações lineares. Vejamos a título de ilustração
alguns casos comuns:
Exemplo 1 – Uma ligação de resistores em série : muitos produtos eletrônicos
contêm associação de resistores. No caso de uma ligação em série, a resistência
resultante é dada pela soma das resistências que compõem esta associação.
No que se refere à qualidade, a média e o desvio padrão da resistência resultante são
dependentes das médias e desvios padrão das resistências de entrada iX .
Também, no projeto, a tolerância determinística desta resistência resultante será
dependente das tolerâncias da associação. De posse dos dados determinísticos de
projeto e dos dados estatísticos das resistências da associação, podemos obter os
dados determinísticos de tolerância e os dados estatísticos relativos à resistência
resultante. Com estas informações também podemos obter os índices de capacidade
para esta resistência resultante. Veja a Figura 28:
1X 2X 3X
1 2 3Y X X X= + +
Figura 28 - Montagem de resistores em série
Exemplo 2- Uma montagem de um eixo (dimensão externa) com um furo (dimensão
interna) resulta num ajuste cuja folga é a variável de resposta:
102
Na engenharia mecânica estes ajustes são o caso mais comum e também mais
simples de acúmulo de tolerâncias e variabili dade.
A diferença entre as dimensões do eixo e do furo, definirão o tipo de ajuste:
quando 1 2>X X haverá uma folga e quando 1 2<X X haverá uma interferência.
No projeto de eixos e furos produzidos em larga escala são estabelecidas tolerâncias
para estes, prevendo o máximo valor de folga. Este valor de folga ou interferência
nada mais é do que a tolerância na variável de resposta.
Na fase de produção, havendo controles estatísticos de processo para o processo
de manufatura do eixo e do furo, pode haver, indiretamente, um controle estatístico
de processo para a folga ou a interferência.
Relacionando os dados de projeto e os dados extraídos do controle estatístico de
processo de ambos os componentes, poderemos obter os índices de capacidade
relativos ao valor da folga ou interferência . Veja-se a Figura 29:
Y
2X 1X 1 2Y X X= −
Figura 29 - Ajuste com folga entre um eixo e um furo
Exemplo 3 – O acúmulo de tolerâncias e variabili dade não se restringe a duas
variáveis. As considerações feitas para o Exemplo 2 são válidas neste exemplo com
12 variáveis de entrada.
103
As dimensões da Figura 30 compõem uma cadeia de variáveis de entrada que
definirão a variável de resposta, ou seja, a cota correspondente ao ponto morto
superior de um motor a combustão interna. A cota R relativa a este ponto morto
superior é uma característica de qualidade de saída de grande importância, pois
contribui diretamente para a taxa de compressão, que é responsável, parcialmente,
pelo desempenho do motor de combustão interna.
Figura 30 - Cotas num motor de combustão interna
1 2 3 4 5 6 7 8
5 1 2
6 3 4
7 5 6
8 7 8
( ) ( )Y X X X X X X X X
X W W
X W W
X W W
X W W
= − − − + + + += −= −= −= −
Neste exemplo observamos que 5 6 7 8; ;X X X e X constituem variáveis de
entrada para Y , porém ao mesmo tempo são variáveis de resposta das grandezas
representadas por iW . Em 5 6 7 8; ;X X X e X verificamos relações lineares
semelhantes às vistas no Exemplo 2 de ajuste com folga.
1
2
3
4
5
6
7
8
A X
B X
C X
D X
E X
F X
G X
H X
========
H
104
A2 - Exemplos de caracter ísticas de qualidade obtidas indiretamente
por meio de funções não lineares
Se o modelo matemático for composto por outras funções como produto,
divisão, trigonométricas, exponenciais etc, teremos relações não lineares.
Exemplo 4- Para os casos mais simples, teremos apenas uma variável de entrada; por
exemplo, o volume de uma esfera Y pode ser controlado pelo seu raio X :
343X
Yπ=
Exemplo 5- Vamos considerar uma associação em paralelo de resistores:
As considerações feitas para a associação em série do Exemplo 1 continuam
válidas para este caso de associação em paralelo, ou para qualquer outra combinação
série/paralelo. A novidade aqui é apenas o modelo matemático não linear para a
obtenção da resistência resultante, como característica de qualidade que pode ter seus
índices de capacidade, a partir das informações das resistências que compõem a
associação. Veja-se a Figura 31:
105
2X
1X
2 31
2 3
.X XY X
X X= +
+
3X
Figura 31 - Montagem de resistores em paralelo
Exemplo 6 - Vamos considerar o controle geométrico de um ângulo interno de um
triângulo, cujos lados são variáveis de entrada que definirão o ângulo Y .
As tolerâncias dos três lados do triângulo irão definir a tolerância do ângulo
que, neste caso, é a variável de resposta. Analogamente, as médias e variâncias
destes três lados serão suficientes para o cálculo da média, variância e também os
índices de capacidade deste ângulo. Veja a Figura 32:
1X 3X 2 2 2
1 1 2 3
1 2
cos2 .
X X XY
X X− + −=
2X
Figura 32 – Controle geométr ico de um ângulo em um tr iângulo
106
Exemplo 7 - Volumes sempre definem uma relação não linear com as variáveis
de entrada. Neste caso o raio 1X e o comprimento do cili ndro 2X são as
variáveis de entrada do volume deste cili ndro. Assim, os índices de capacidade
de uma relação funcional serão referentes a este volume, porém obtidos
indiretamente. Veja-se a Figura 33:
2X
1X 21 2.Y X Xπ=
Figura 33 – Volume de um cili ndro
107
ANEXO B
Teorema da Aproximação Linear
A demonstração que segue para duas variáveis de entrada é baseada em EDWARDS
e PENNEY(1997) e STEWART(2002):
“ Se as derivadas parciais de primeira ordem 1
fX∂
∂ e
2
fX∂
∂ existirem próximas ao
ponto de tangência 1 2( , )Y X Xm m m , e forem contínuas em 1 2( , )X Xm m , então Yf é
diferenciável em 1 2( , )X Xm m ” .
Seja 1 1 2 2 1 2( , ) ( , )Y X X X Xf m X m X f m m∆ = + ∆ + ∆ −
A fim de provar que Yf é diferenciável em 1 2( , )X Xm m , o incremento Y∆ poderá ser
expresso como:
1 21 1 2 2 1 1 2 21 2
x xY X m X m
f fX X X X
X Xε ε= =
∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆∂ ∂
onde 1ε e 2 0ε → quando 1X∆ e 2 0X∆ → .
108
Demonstração:
2X
1X
Figura 34 – I lustração da demonstração do teorema da aproximação linear
Sendo r 1 1 2( , )x xm mX+ ∆ , conforme indicado na Figura 3, então
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
1 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2
( , ) ,
, ( , )
Y Y
Y
x x x x
X X x x
m m m m
m m
f q f m
f r f m f q f r
f X f
f m X m X f X
∆ = −
= − + − = + ∆ − +
+ ∆ + ∆ − + ∆
(A1)
Seja
( ) ( )1 1 2, Xg x f X m= para 1X em [ ]1 1 1,X Xm m X+ ∆
pelo teorema do valor médio, temos:
( ) ( )11 1 2 1 2 1
1
, , .X X X X x U
dff m X m f m m X
dX =+ ∆ − = ∆ (A2)
para algum número U no intervalo aberto [ ]1 1 1,X Xm m X+ ∆
q ( 1xm +1
X∆ , 2xm +2
X∆ )
( 1xm +1
X∆ , V)
r ( 1xm +1
X∆ , 2xm )
V
(U, 2xm )
1X∆
2X∆Ym
109
Seja:
( ) ( )2 1 1 2,Xh x f m X X= + ∆ para 2X em [ ]2 2 2,X Xm m X+ ∆
similarmente, pelo teorema do valor médio:
( ) ( )21 1 2 2 1 1 2 2
2
, , .X X X X x V
dff m X m X f m X m X
dX =+ ∆ + ∆ − + ∆ = ∆ (A3)
para algum número V no intervalo aberto [ ]2 2 2,X Xm m X+ ∆
Substituindo (A2) e (A3) em (A1), temos:
1 2
1 1 1 1
2 2 2
1
2 2
1 21 2
11
22
1 1
2 2
. .
xx
xx
Y x U x V
x m x U x
x
m
Vm x x m
f fX X
f fX X
X X
fX
f fX
XX
f
X
X
= =
= =
= =
=
=
∂ ∂− ∂ ∂
∂ ∂−
∂ ∂∆ = ∆ + ∆∂ ∂
∂= + ∆ + ∂ ∂+ + ∆ ∂
∂ ∂
onde 1 1 1
1 1xx U x m
f fX X= =
∂ ∂− ∂ ∂ e
2 2 2
2 2xx V x m
f fX X= =
∂ ∂− ∂ ∂ correspondem
respectivamente a 1ε e 2ε , portanto:
1 21 1 2 2 1 1 2 21 2
x xY x m x m
f fX X X X
X Xε ε= =
∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆∂ ∂
Para funções de três ou mais variáveis, o teorema da aproximação linear pode ser
generalizado:
1 1xi
K K
Y xi m i i ii ii
fX X
Xε=
= =
∂∆ = ∆ + ∆∂∑ ∑
A demonstração do teorema da aproximação linear é suficiente para provar-se a
viabili dade da linearização local, que se dá por diferenciação. Percebe-se que esta
110
diferenciação, como uma linearização local, corresponde à primeira ordem da série
de Taylor. Para uma variável, a fórmula de Taylor é expressa:
( )2 3
2 32 3 ...
2! 3! !
nn
X x mx x mx x mx x mxn
f f f fY f m X X X X R
x x x n x= = = =∂ ∂ ∂ ∂= + ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ +∂ ∂ ∂ ∂
sendo R o resto equivalente aos termos de ordem superior da série. Limitando a
série de Taylor até a primeira ordem:
( )X x mx
fY f m X R
x =∂= + ∆ +∂
podemos também expressar Y por ( )X YY f m= + ∆ , sendo que pelo teorema da
aproximação linear Y X mx
fX X
Xε=
∂∆ = ∆ + ∆∂
. Assim:
( ) ( )X X mx X x mx
f ff m X X f m X R
X xε= =
∂ ∂+ ∆ + ∆ = + ∆ + ⇒∂ ∂
X Rε∆ =
111
ANEXO C
Comparação entre os Métodos da Diferenciação Total e Simulação
na obtenção das estimativas de uma var iável de resposta sujeita a
uma relação funcional não-linear .
O exemplo é de um processo físico-químico, no qual queremos medir a massa
molar (M) no processo de obtenção do CH4 (metano) [NJIT(2001)]:
PV
WRTM =
Tendo as médias e tolerâncias naturais os seguintes valores :
VV ((vvoolluummee )) == 221100 ± 22 mmll
PP ((pprr eessssããoo )) == 773355 ± 11 mmmm
WW (( ppeessoo)) == 113377 ± 22 mmgg
TT ((tteemmppeerr aattuurr aa)) == 2255 ± 11 ooCC ==(( 227733++2255)) ooKK ± 11 ookk
RR == 00,,0088220066 ll ..aattmm//mmoollee..KK
112
0
12 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 22
(0.137 )(0.08206 / )(298 )16.47 /
735( )(0.210 )760
6 M= 6 6 6 6 6W
6 6
oWRT g l atm mole K KM g mole
PV atm l
f f f f fW R T P V
R T P V
RT WTM W
PV PV
σ σ σ σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
σ σ
= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + +
= + 2
1/ 22 2 2
2 2 22 2
12 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
6 6 6 6
M M M6 6 W + 6 R + 6 6 6
W R T
2 0 16 16.5 /
137 0.08206 298
WR WRT WRTR T P V
PV P V PV
M MM T P V
P V
M g mole
σ σ σ σ
σ σ σ σ σ σ
σ
+ + +
= + +
= + +
12 2 2 2
1 20.294 /
735 210g mole
+ + =
O resultado analítico aplicando diferenciação total é, portanto, 16,47 ± 0,294 g/mole.
Façamos uma simulação com números pseudo-randômicos aplicando o MINITAB
(1996), para podermos comparar o resultados pelos processos analítico e simulado. A
simulação foi feita com amostras iguais a 10.000, considerando-se distribuições
normais nas variáveis de entrada . Os valores de desvio padrão foram determinados a
partir das tolerâncias naturais estimadas, sendo 1/6 desta:
VV ((vvoolluummee )) == 221100 ± 22 mmll (( Vσ == 00,,000022mmll //33 == 00..000000666677mmll ))
PP ((pprr eessssããoo )) == 773355 ± 11 mmmm (( Pσ == 11 mmmm//33 == 00..333333 mmmm))
WW (( ppeessoo)) == 113377 ± 22 mmgg (( Wσ == 00,,000022gg//33 == 00..000000666677 gg))
TT ((tteemmppeerr aattuurr aa)) == ==(( 227733++2255)) ooKK ± 11 ookk (( Tσ == 11 //33 ooKK == 00..333333 ooKK ))
RR == 00,,0088220066 ll ..aattmm//mmoollee..KK ((ccoonnssttaannttee))
113
MTB > random 5000 c1;SUBC> norm 735 .333.MTB > random 5000 c2;SUBC> norm .210 .000667.MTB > random 5000 c3;SUBC> norm .137 .000667.MTB > random 5000 c4;SUBC> norm 298 .333.MTB > let c5=(c3*0.08206*c4)/((c1/760)*c2)MTB > describe c5
Descriptive Statistics
Variable N Mean Median Tr Mean StDev SEMeanC5 5000 16.495 16.496 16.495 0.0980.001
Variable Min Max Q1 Q3C5 16.115 16.894 16.430 16.561
17.016.916.816.716.616.516.416.316.216.1
400
300
200
100
0
C5
Fre
quen
cy
Figura 35 - Histograma resultante da simulação (massa molar do metano)
114
P-Value: 0.784A-Squared: 0.237
Anderson-Darling Normality Test
N: 5000StDev: 0.0981576Average: 16.4953
16.916.816.716.616.516.416.316.216.1
.999
.99
.95
.80
.50
.20
.05
.01
.001
Pro
babi
lity
C5
Normal Probability Plot
Figura 36 - Teste de Anderson Dar ling (massa molar do Metano)
O resultado pela simulação é 16,495 ± 3. 0,098 = 16,495 ± 0,294 . Tal valor é
semelhante ao obtido analiti camente (16,47 ± 0,294)
Outra informação obtida neste exemplo de simulação é que o histograma e o
teste de normalidade de Anderson-Darling confirmam que, admitindo-se
distribuições normais nas variáveis de entrada (neste caso independentes), a
distribuição da variável de resposta (dependende) também é aproximadamente
normal.
Neste exemplo em que a massa molar é a variável de resposta , as derivadas
parciais, como coeficientes de sensibili dade no método estatístico, têm os seguintes
valores:
115
2 0 1 1 2; ; ;
137 0.08206 298 735 210f f f f f
W R T P V∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Ou seja, o controle do peso (W) e do volume (V) devem receber maior atenção, pois
são os principais responsáveis pela variação na resposta.
Outras comparações entre os métodos por simulação e pela lei geral de
propagação do erro podem ser vistas no trabalho de VARDEMAN; JOBE (1999).
116
ANEXO D
Procedimento para determinação dos verdadeiros intervalos deconfiança para yCpk para duas var iáveis de entrada aplicando acombinação dos métodos de Bissel e Satterthwaite
O exemplo apresentado refere-se ao seguinte caso:
1 2Y X X= + , tendo a variável de resposta Y um valor nominal de 20,5 ;
1 2X X= = 10,25 e tolerância variando de 17 a 24.
Dados de entrada para simulação de minCpk :
1 0,2Xσ = ; 2 0,9Xσ = ; 1 30Xn = ; 2 100Xn = ; 1 2X X= = 10.
Primeiramente digitamos num editor de texto o executável abaixo:
random 30 c1;norm 10 0.2.random 100 c2;norm 10 0.9.stdev c1= c5mean c1= c6stdev c2= c7mean c2= c8let c9= (c5*c5+c7*c7)**0.5let c10= c6+c8let c11= (c10-17)/(3*c9)mean c11 = c12
Este executável foi gravado com a extensão *.mtb. (Este foi gravado como
“cpk1A.mtb”). Em seguida, escolhe-se o número de vezes que este arquivo será
executado. Neste caso, escolheu-se 10.000 simulações de Cpk , sendo este o
procedimento computacional: No menu superior do Minitab (R 11.12): File/Other
Files/Run a Exec/10.000/Select file/ cpk1A.mtb
Após as simulações gravou-se a “session” com uma extensão *.txt (p.ex.
cpk1A.txt). Na sequencia reiniciou-se o minitab; no menu superior: Open
worksheet/cpk1.txt.
117
No momento de abrir este arquivo, filt ramos os valores de minCpk , ou
filt ramos após o arquivo aberto, com o seguinte procedimento: No menu superior:
Manip/Change Data Type/Text to Numeric(C5 para C10).
Selecionamos C10 e Manip/Copy Columns(C10 para C11)/Use Rows/Use rows
with numeric column (C10)/ selecionamos o campo de 0.8 a 2.2 que com certeza
contém o valor de cpkmín/ gravou-se a coluna C11 como arquivo *.xls.
Abriu-se o arquivo *.xls no excel e preparou-se a planilha como segue:
Na coluna A estão os 10.000 valores de YCpk obtidos pelo minitab.
Na coluna B definimos a fórmula =A1-1.645*((1/(9*109)+A1^2/(2*109-2))^0.5)
que calcula o limite inferior do intervalo de confiança para YCpk segundo Bissel:
2 2ˆ ˆ1 1ˆ ˆ9 2 2 9 2 2
Cpk CpkCpk z Cpk Cpk z
n n n nα α− + ≤ ≤ + +− −
Na coluna C definimos a fórmula =A1+1.645*((1/(9*109)+A1^2/(2*109-2))^0.5)
que calcula o limite superior do intervalo de confiança para YCpk , segundo Bissel.
O valor de 109 corresponde a Yν +1, sendo Yν os graus de liberdade segundo
Satterthwaite:
( ) ( )42 2 22
4 4 4 4 4
4ˆ
1
0,9 0,2ˆ108,1
1 .0,9 1 .0,2ˆ 99 29Xi
Y
Y
Xi Xiki
i Xi
fX µ
σν
σ
ν
=
=
+= = =
∂ + ∂ ∑
Na coluna E definimos a fórmula =1.0847-B e na coluna F definimos a fórmula
=C-1.0847 a fim de calcular os verdadeiros intervalos de confiança, sendo 1.0847 o
valor paramétrico de YCpk mín, obtido a partir dos dados originais:
118
min ;3 3Y Y Y Y
YY Y
L UCpk
µ µσ σ
− −≅
20 171,0847
3 3.0,922Y Y
YLY
LCpk
µσ− −≅ ≅ ≅
20 241,45
3 3.0,922Y Y
YUY
LCpk
µσ− −≅ ≅ ≅
Na coluna I colocamos os valores da coluna E em ordem crescente de valores, e na
coluna H, a quantidade de valores negativos encontrados em I.
Na coluna J colocamos os valores da coluna F em ordem crescente de valores, e na
coluna K, a quantidade de valores negativos encontrados em J.
((H+ K)/10.000) - 1= ((544+492)/10.000) – 1 = 0,896 corresponde ao verdadeiro
intervalo de confiança obtido pela combinação dos métodos de Bissel e Satterthwaite
para este caso.
Para os demais casos basta alterar os dados de entrada e seguir o mesmo
procedimento.
Figura 37 - Colunas da planilha excel
119
ANEXO E
Comparação do cálculo aproximado do desvio padrão e tolerância
natural do exemplo do item 6.2 com o valor exato do mesmo
No exemplo 6.2 (controle da área de um retângulo) o valor pelo cálculo
aproximado do desvio padrão corresponde a:
2 2 2 21 2 2 1
2 22 20,2 0,2
100 200 7,4536 6
Y X X X Xσ µ σ µ σ≅ +
≅ + ≅
e o cálculo exato pelo método da máxima verossimilhança ou também pelo método
dos momentos [HAUGEN (1968)] nos dá:
2 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2
2 2 2 22 2
3
0,2 0,2 0,2 0,2100 200 .
6 6 6 6
55.555 2,222.10 7,453
Y X X X X X Xσ µ σ µ σ σ σ
−
= + +
= + +
= + =
Sendo o valor da tolerância natural correspondente a 6 44,721Yσ = , pelo
cálculo aproximado e 6 44,722Yσ = pelo cálculo exato.
Quando se leva em consideração que a tolerância determinística da área é de
260mm , conclui-se que houve uma mínima alteração apenas no terceiro algarismo
não significativo. Evidentemente, o termo a mais, presente na expressão do cálculo
exato ( )2 21 2X Xσ σ não seria desprezível na medida que aumentássemos o valor das
variâncias das variáveis de entrada.
120
ANEXO F
Contr ibuição dos índices de capacidade de uma relação funcional na
gestão da qualidade.
Quando 2 ou mais grandezas se relacionam, o acúmulo de tolerâncias e
variabili dade deve ser detidamente analisado a fim de não comprometer a
intercambiabili dade, durabili dade, confiabili dade e funcionabili dade requeridas pelo
cliente. Porém, além da necessidade do cliente externo, deve-se também considerar
que os departamentos de engenharia de projetos e manufatura são clientes internos
recíprocos, mas que constantemente têm neste tema motivos de atritos e crises, pois
não raro a engenharia procura garantir que o conjunto projetado desempenhe bem
sua função a partir de tolerâncias muito estreitas, enquanto a manufatura muitas
vezes admite a possibili dade de alargá-las, a fim de facilit ar sua execução ou reduzir
custos nos processos.
Exempli ficando a tendência do departamento de projetos adotar tolerâncias
indevidas, HALL (1983) destaca que se alguns projetistas ficam inseguros se as
especificações serão realmente seguidas pela produção, eles podem estreitá-las,
resultando uma faixa de tolerância mais estreita do que é realmente necessário para
o produto funcionar bem durante seu tempo de vida útil . De modo semelhante,
GUNN (1993), menciona que em muitos casos, o processo e os equipamentos
manufatureiros que estão em operação não são nem mesmo capazes de atender às
especificações exigidas no desenho da peça. Isto talvez se deva ao fato de os
engenheiros, não sabendo quais dimensões são críticas para o desempenho da
qualidade da peça, colocarem todas as especificações de forma restrita, aumentando
assim o custo de manufatura desnecessariamente.
121
Por outro lado, quando os departamentos de manufatura não assimilam as
vantagens da redução da variabili dade junto às características críticas de processo,
estes naturalmente resistirão diante da solicitação de tolerâncias estreitas ou índices
de capacidade elevados. Para mudar tal atitude a alta gerência deve fazer um trabalho
genuíno e envolvente de conscientização do grande valor da redução da variação.
GABOR (1994) enfatiza que uma boa compreensão sobre a variação é vital
para a mudança gerencial, destacando: o entendimento sobre a variabili dade e seus
efeitos sobre a organização pode servir de maneira significativa como uma
linguagem comum para derrubar as barreiras de comunicação, e aquilo que
frequentemente aparece como interesses antiéticos de diferentes departamentos
dentro da mesma empresa.
Desta maneira, a avaliação da qualidade a partir das tolerâncias tem focado
atenção dos efeitos da variação em dois aspectos aparentemente conflitantes: melhor
desempenho do produto versus menor custo de produção. Um elo crítico é
representado na Figura 38 [CHASE; PARKINSON (1991)]:
Projeto Tolerâncias Manufatura
Tolerâncias estreitas Requisitos competitivos Tolerâncias largas
Figura 38 - O confli to de interesses na designação das tolerâncias
122
Uma alternativa seria combinar os interesses de redução de custos e
aprimoramento da qualidade, pela aplicação do conceito de “manufaturabili dade” ,
definida pela Motorola como a habili dade para reproduzir, identicamente e sem
perdas, unidades de produto de modo que estes venham a satisfazer todas as
necessidades físicas e funcionais do cliente ( qualidade, confiabili dade,
performance, disponibili dade e preço) e também satisfazer os objetivos comerciais
da Motorola. [HARRY; STEWART (1988)].
Para alcançar isto, a qualidade deve ser projetada num produto desde o início de seu
desenvolvimento, de modo que o projetista deve prever índices de capacidade
baseados em processos disponíveis ou similares aos que deverão ser empregados.
[BATTIN (1988)]. Assim, passam a ser parte do vocabulário conceitos como
“designing for manufaturabili ty” ou “design for six sigma” o que obviamente implica
uma relação entre as tolerâncias de engenharia e as capacidades dos processos de
manufatura. [HARRY; STEWART (1988)]. Dentro deste conceito, os
departamentos de projetos e manufatura devem compor um único time visando
simultâneamente à otimização de custos da manufatura e à satisfação do cliente por
intermédio de um projeto robusto, que proporcione elevada intercambiabili dade,
durabili dade e desempenho.
Toda esta discussão passa a ter uma importância ainda maior quando estamos
lidando com o acúmulo de tolerâncias e variabili dade.
GARVIN (1992), menciona que quando duas ou mais peças tem de ser unidas, suas
tolerâncias muitas vezes determinam até que ponto elas ficarão bem ajustadas uma à
outra...
123
Tamanhos acima e abaixo do normal podem, em conjunto, produzir uma variação
total mais extrema que a variação das peças tomadas isoladamente.
ANAND (1997) discute o assunto, apresentando exemplos práticos sobre a
necessidade desta integração departamental face ao acúmulo de variabili dade.
Assim, a previsão da tolerância bem como da variação de processo numa
variável de resposta que, por sua vez, é dependente de várias variáveis de entrada e
que compõem entre si uma relação matemática é assunto de grande interesse para a
garantia da qualidade.
Nos últimos anos várias empresas de renome, como Motorola, Xerox e General
Eletric, estabeleceram e atingiram esta meta adotando amplos programas de
gerenciamento da qualidade.
A união entre estes departamentos originalmente concorrentes é viável, à
medida que sabemos que cabe aos engenheiros projetistas criar conjuntos que
funcionem bem, mas é a manufatura que melhor conhece os processos disponíveis, e
agora deve conhecer também seus processos não só em termos do que estes podem
fazer operacionalmente, mas também em termos de quais tolerâncias podem ser
cumpridas e que índices de capacidade podem ser obtidos a partir do conhecimento
das características estatísticas básicas de cada processo. O “ feedback” destas
informações proporciona projetos mais robustos, com custo reduzido.
As empresas citadas, a partir da aplicação sistêmica de metodologias robustas
com vistas à redução da variação, com destaque para o “seis sigma”, transformaram
a análise de tolerâncias e variabili dade como vantagem competitiva, somando e não
subtraindo esforços entre departamentos anteriormente concorrentes.
124
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