tese antifairese

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  • Marcos Paulo Ferreira de Arajo

    Introduo ao Conceito de Nmeros Reais: UmaProposta Didtica Baseada na Histria da

    Matemtica

    Rio de Janeiro

    2011

  • Marcos Paulo Ferreira de Arajo

    Introduo ao Conceito de Nmeros Reais: UmaProposta Didtica Baseada na Histria da

    Matemtica

    Dissertao apresentada coordenao de Ps-graduao em Ensino de Matemtica da Univer-sidade Federal do Rio de Janeiro para a obten-o do grau de Mestre em Ensino de Matem-tica

    Orientadora:Profa. Dra. Tatiana Marins Roque

    UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROCENTRO DE CINCIAS MATEMTICAS E DA NATUREZA

    INSTITUTO DE MATEMTICA

    Rio de Janeiro

    2011

  • Arajo, Marcos Paulo Ferreira de.

    A663i Introduo ao conceito de nmero reais: uma proposta didtica baseada na histria da matemtica / Marcos Paulo Ferreira de Arajo. -- Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2011.

    viii, 47f.: il. ; 30 cm. Dissertao (mestrado) UFRJ/IM. Programa de Ps- graduao em Ensino de Matemtica, 2011. Orientador: Tatiana Marins Roque. Referncias: f.45-47.

    1. Nmeros reais. 2. Matemtica-Histria. 3. Matemtica- Estudo e ensino. I. Roque, Tatiana Marins. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de Matemtica. III. Ttulo.

  • Agradecimentos

    Gostaria de deixar registrado meu agradecimento a todos os professores do Programa deMestrado em Ensino de Matemtica. O compromentimento desses professores com a melhoriada qualidade do ensino de matemtica atravs da prtica e da pesquisa acadmica h de sercompensado com um Brasil melhor.

    Particularmente gostaria de agradecer minha orientadora professora Tatiana que conse-guiu me acalmanr quando tudo parecia perdido (e pra mim tudo sempre parecia perdido). Obri-gado mil vezes pela sua pacincia e boa vontade em me guiar por esse caminho (agora menos)tenebroso da Histria da Matemtica.

    Agradeo ainda a todos os meus colegas de curso que sempre me trataram com respeito, es-pero ter tratado a todos com o mesmo respeito. Especialemtne agradeo ao Ledo pelos milhesde cafs que tomamos juntos: muitas idias boas surgiram ali.

    minha famlia, alem da minha gratido, deixo registrado um pedido de desculpas pelaminha negligncia e ausncia em tantos momentos. Deixo tambm a promessa de que passareio resto da minha vida tentando compensar tudo de ruim que eu tenha feito vocs passarem paraque eu pudesse terminar meu trabalho.

  • minha avJulia

    in memorian

  • Resumo

    Neste trabalho apresentamos uma proposta didtica para a introduo do conceito de n-mero real baseada na histria da matemtica.

    Nosso objetivo mostrar que a abordagem que leva em considerao as circunstnciashistricas pode ser to contundente quanto as abordagens usuais apresentando vantagens aoressaltar aspectos normalmente obscurecidos pelo tratamento comum.

    No caso do conceito de nmero real, visamos tornar mais natural, mas no trivial, as neces-sidades de extenses do conceito de nmero, desde a apresentao dos nmeros inteiros, at oocnceito de nmero real passando pelos nmeros racionais. Para isso, nos baseamos nos fortesindcios apresentados por Fowler e Knorr, eminentes historiadores da matemtica, da existn-cia de teorias das razes no seculo quarto a. C. que teriam sido suplantadas, e posteriormenteesquecidas, dando lugar teoria das propores de Eudoxo.

    Buscamos, portanto, uma proposta didtica que pudesse servir de base para outras pesquisasem ensino fortalecendo a ideia de uma educao matemtica que possa comunicar-se com osavanos recentes das metodologias de pesquisa em histria da matemtica.Palavras-chave: Histria da Matemtica, Nmeros Reais, Antifairese, Grcia Antiga.

  • Abstract

    This work presents a didactic proposal for an introduction of the concept of real numbers,based on the history of mathematics.

    Our goal is to show that the approach that takes into account the historical circumstancesthat can be as compelling as the usual approaches with advantages to highlight the aspects thatare usually obscured by common teachings.

    In the case of the concept of real numbers, we aim to become more natural, but not trivial,the needs for extensions of the concept of numbers, since the presentation of whole numbers,up to the concept of real numbers, passing through the rational numbers. For this, we rely onthe strong evidence presented by Fowler and Knorr, the eminent historians of mathematics, ofthe existence of theories of ratio in the fourth century A. C. that would have been superseded,and later forgotten, and giving rise to the theory of proportions of Eudoxus.

    We seek, therefore, a didactic proposal that could serve as a basis for further research ineducation by strengthening the idea of the mathematics education that can interact with therecent advances of research methodologies in the history of mathematics.

  • Sumrio

    1 Introduo p. 9

    2 Metodologia p. 11

    2.1 Histria como Ferramenta Didtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

    2.2 Abordagem Modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

    2.3 Restries artificiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

    3 A Noo de Razo na Matemtica da Grcia Antiga p. 14

    3.1 Matemtica Prtica Matemtica Terica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

    3.2 Antifairese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

    3.3 A Razo Antifairtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

    3.3.1 Antifairese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

    3.3.2 Controvrsias Sobre a Descoberta das Grandezas Incomensurveis . . p. 22

    3.3.3 Aproximaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

    3.3.4 Abandono da Teoria de Razes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

    4 Proposta didtica p. 28

    4.1 As regras do Jogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

    4.2 Antifairese de duas grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

    4.3 Antifairese no Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

    4.4 Antifaireses infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

    4.5 O Retngulo ureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 354.6 Diagonal e lado de um quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

  • 4.7 Atribuindo Nmeros s Grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

    4.8 Antifaireses interrompidas e Aproximaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

    5 Consideraes Finais p. 43

    Referncias Bibliogrficas p. 45

  • 91 Introduo

    Nas ltimas dcadas diversos artigos vm propondo a insero da Histria da Matemticacomo recurso didtico. Desse modo, sua utilizao encorajada a partir de diversos argumentosem seu favor apontando suas vantagens bem como assinalando recursos para contornar desvan-tagens ou dificuldades que possam emergir a partir de sua utilizao em sala de aula. Desseponto de vista, a Histria da Matemtica viria a compor, juntamente com os demais recursosdidticos, o grande conjunto de ferramentas disponveis para o professor no processo de ensino-aprendizado.

    Sem questionar a potencialidade da Histria da Matemtica como ferramenta didtica, con-sideramos que tratar a histria do conceito apenas como um recurso didtico para sua aborda-gem inadequado e questionamos o distanciamento provocado por esse enfoque entre conceitoa ser ensinado e sua histria. Em outras palavras, consideramos que o conhecimento da evoluohistrica de um conceito est inexoravelmente includo no conhecimento do prprio conceito.Mais do que isso, a dissociao entre esses elementos torna a abordagem, a partir da histriade um conceito, artificial, o que prejudica consideravelmente o potencial do seu uso em sala deaula.

    Tomamos nesse artigo, o caso da introduo do conceito de nmero. As dificuldades queenvolvem o ensino desse conceito tm sido protagonistas de diversos artigos na rea de edu-cao e ensino da Matemtica. Embora abundante, a literatura revela-se incapaz de provocaruma mudana de atitude no cotidiano escolar. Trata-se de um caso em que a interveno diretaproposta nos diversos relatos de experincia, embora em muitos casos bastante criativos e inte-ressantes, mostra-se impossvel de serem reproduzidos dada a falta de preparo dos professores.Uma mudana no paradigma da viso do conceito incluindo seu desenvolvimento histrico ,como deve ser, no trivial e, como tal, necessita de uma formao especfica que seja capaz deincluir esse novo paradigma na realidade do professor de sala de aula.

    Propomos aqui, portanto, uma atividade a ser desenvolvida em cursos de formao continu-ada e aperfeioamento de professores. Nela fazemos uso de elementos da evoluo do conceito

  • 10

    de nmero tentando resgatar o momento em que as grandezas deixaram de serem tratadas comotal e receberam um tratamento de nmero sem o amadurecimento necessrio para a compreen-so de ambos os conceitos. Intriga-nos que a comparao entre reas de retngulos no passemagora de comparao entre os produtos de suas bases pelas suas respectivas alturas. Mais do queisso, a reduo das grandezas s suas medidas e, consequentemente, algebrizao por meiode frmulas estendam-se s apresentaes das ampliaes dos domnios numricos. Passa-sedos naturais aos racionais porque no possvel resolver a equao 2n3 = 0 com n natural,no entanto porque resolver tal equao relevante para o aluno? Essa justificativa , no mnimo,artificial demais para ser considerada suficiente.

    Nossa atividade trata basicamente da comparao entre grandezas, particularmente de seg-mentos, a partir da descrio dessa comparao feita de modo natural. Dessa descrio, alega-damente, haveria emergido uma teoria de razes que precede a teoria das propores de Eudoxo.Fazemos ento uma reviso nos trabalhos de dois eminentes historiadores da matemtica, es-pecialistas na matemtica da Grcia antiga, resgatando indcios da existncia de tal teoria. Aanlise desses indcios mostra-se to rica quanto a prpria atividade e foi concebida para traba-lhar juntamente com a atividade no reforo da formao do professor. A atividade sozinha nadatem de histria da cincia assim como a anlise descrita anteriormente nada tem de didtica,mas quando conjugadas podem, no nosso entendimento, fortalecer a compreenso do professorsobre a viso de como tratar um tema levando em considerao o desenvolvimento histricodos conceitos envolvidos.

  • 11

    2 Metodologia

    2.1 Histria como Ferramenta Didtica

    O fortalecimento nas ltimas dcadas da comunidade de historiadores da cincia com umaumento considervel na produo de artigos nessa rea, particularmente na histria da matem-tica, nos convida a um novo olhar sobre a sua utilizao como recurso didtico. Consideramosessa reviso um passo importante na implementao efetiva de uma metodologia que consigaser coerente com os diversos aspectos envolvidos nessa utilizao. Buscamos, portanto, conju-gar os avanos considerveis das pesquisas em educao e ensino da matemtica com a noomoderna de pesquisa em histria da matemtica.

    2.2 Abordagem Modular

    Jankvist (2009) categoriza os argumentos que sugerem a utilizao da histria da matem-tica em sala de aula em duas classes principais sendo a primeira a da histria como ferramentae a segunda a da histria como objetivo. Jankvist ainda prope um conjunto de lentes sobas quais as diferentes abordagens da histria da matemtica em educao podem ser vistas(JANKVIST, op. cit., p.251). Os trs tipos de abordagens tratadas so:

    Abordagem para Iluminao, na qual a histria da matemtica seria uma maneira detrazer um determinado assunto tona e desaparecendo de cena em seguida para dar lugarao tratamento moderno do assunto;

    Abordagem Modular, que se insere como um parntese nos assuntos comumente ensina-dos com princpio meio e fim voltando os olhares peculiaridades que passariam desper-cebidas sem sua interveno;

    Abordagem Histrica, que envolve uma reformulao do prprio currculo enfatizando oprocesso histrico (motivaes, obstculos, tentativas, erros e acertos) de construo do

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    conhecimento mais do que o prprio contedo criado a ser ensinado.

    Cada uma dessas abordagens mostrada em comunicao constante tanto com a histriacomo ferramenta quanto com a histria como objetivo e essa comunicao revela as relaesentre os comos e os porqus de se usar histria da matemtica, segundo o autor.

    A atividade proposta no presente trabalho se aproxima bastante da descrio da abordagemmodular a medida que prope uma sequncia com incio desenvolvimento e fim abrindo espaopara intervenes do professor objetivando ressaltar aspectos como a perda do princpio da boaordem, a densidade dos nmeros racionais sobre os reais e a completude dos nmeros reais.

    2.3 Restries artificiais

    A atividade composta de exerccios utilizando uma noo de nmero restrita artificial-mente para imitar aquela dos gregos. A restrio artificial criada no incio da atividade emque propomos uma definio de nmero e de grandeza limitando seu tratamento e sua mani-pulao aos permitidos pela definio. O uso desse artifcio se deve impossibilidade de serecriar o contexto no qual houvesse uma restrio natural. Dada a carga cultural, escolar ecotidiana, trazida pelos alunos, consideramos totalmente inapropriado pedir que esses alunoscomportem-se como matemticos da Grcia antiga.

    Buscamos ento em proeminentes historiadores especializados em histria da matemticagrega, em particular nos trabalhos de Knorr (1975) e Fowler (1979, 1999) a inspirao para osexerccios e, a eles, devem-se as notaes usadas tanto nas definies quanto nos exerccios.

    O uso da notao moderna foi feito de maneira cuidadosa para no distorcer as noesgregas com a viso atual. No foi instituda nenhuma lgebra de grandezas, de modo quequando subtramos duas grandezas, por exemplo, essa subtrao no deve remeter operao desubtrao no sentido contemporneo. Vale ressaltar que quando nos referimos a uma grandezaA, no estamos nos referindo sua medida. Por exemplo, se desejamos fazer uma subtraoentre dois segmentos no congruentes, temos como resultado um terceiro segmento e no adiferena entre as medidas dos segmentos envolvidos na operao.

    O desenvolvimento da atividade prope uma abordagem a partir de um princpio gentico,mais precisamente, segundo a classificao de Schubring (apud JANKVIST, 2009) um prin-cipio psicolgico-gentico, onde os alunos so convidados a redescobrir o conceito, no nossocaso de nmero real, a partir de uma construo prpria, guiada pela atividade proposta.

    Consideramos que, nesse sentido, nos aproximamos do que Jankvist classifica de histria

  • 13

    como objetivo, pois aproxima o aluno da atividade intrinsecamente humana de fazer matem-tica. No se trata, no entanto de pensar que

    Crianas devem repetir o processo de aprendizado da humanidade, no comoela fatualmente aconteceu mas, ao invs disso, como teria acontecido se as pes-soas do passado tivessem conhecido um pouco mais do que sabemos agora.(FREUDENTHAL, 1991 apud JANKVIST, 2009, pp.248-249, traduo nossa)

    pois consideramos que uma abordagem nesse sentido afasta a proposta de utilizao dahistria da matemtica a medida que ignora o contexto social e filosfico do perodo onde oconceito que se pretende ensinar foi criado.

  • 14

    3 A Noo de Razo na Matemtica daGrcia Antiga

    Por matemtica da Grcia antiga, Fowler (1999) entende a fase de desenvolvimento queculminou nos trabalhos de Euclides e Arquimedes. A limitao causada pela escassez defontes dessa poca faz com que o trabalho do historiador da cincia parea, at certo ponto,especulativo. De certo modo, seu trabalho preencher as lacunas a partir dos fragmentos aosquais tem acesso. Nas palavras de Wilbur R. Knorr,

    Basicamente, o registro grego fragmentrio; possumos alguns tratados ma-temticos virtualmente concludos, outros parcialmente e outros com apenastrechos aleatrios preservados por acidente em obras derivadas, alm de umareduzida literatura para matemtica como os textos da lgica de Plato e Aris-tteles, por exemplo. Nesta circunstncia, a literalidade seria desastrosa.(KNORR,2001, p.122, traduo nossa)

    Grande parte do que se conhece sobre a matemtica na Grcia antiga parte de conclusestiradas de um exame minucioso, por um lado, dos escritos de Plato e Aristteles, e de outro,dos Elementos de Euclides. No caso deste ltimo, acredita-se que este livro seja, na realidade,uma compilao de conhecimentos matemticos anteriores, ainda que a forma da exposiodeva ser caracterstica do tempo e do meio em que Euclides viveu.

    Comecemos, portanto, pelos Elementos, no qual Euclides apresenta dois tipos de teoria daspropores. H uma verso no livro VII que pode ser aplicada somente razo entre inteiros.Esta verso, atribuda aos pitagricos, pode ser facilmente estendida para razes entre grandezascomensurveis. A segunda verso, presumidamente posterior primeira, est contida no livro Ve atribuda ao matemtico platnico Eudoxo. Esta teoria das propores bastante sofisticadae se aplica igualmente a grandezas comensurveis e incomensurveis.

    W. Knorr contesta a tese de que a primeira verso da teoria das propores possa ser atri-buda aos pitagricos, ao menos do modo formal como ela exposta nos Elementos. Segundoeste historiador, o desenvolvimento formal da matemtica deve ter se iniciado com os trabalhosde Teeteto, no incio do quarto sculo a. C. Comparando os dois tipos de teoria das propor-

  • 15

    es expostas por Euclides, h motivos histricos para se acreditar que a inadequao da teorianumrica para tratar as grandezas incomensurveis tenha levado busca de uma tcnica que pu-desse ser aplicada a elas de modo confivel. Como a tcnica da antifairese j era conhecida paranmeros, os matemticos da poca tentaram estender a teoria das propores por meio destamesma tcnica, com o objetivo de obter uma teoria que pudesse incluir os incomensurveis.

    Neste contexto, surgiram questes tcnicas difceis com as quais os matemticos tiveramque lidar, o que os teria levado a expressar a teoria das propores de um modo mais meticulosoe formal, de forma a evitar os erros e enganos oriundos de um modo intuitivo de comparargrandezas.

    H diversos exemplos pr-euclidianos de comparao de grandezas. Os babilnios j li-davam com problemas envolvendo o estudo da semelhana de certas figuras e os primeirosmatemticos gregos, como Herdoto, tratavam exemplos envolvendo razes entre medidas defiguras geomtricas.

    Os escritos de Herdoto constituem o nico documento do sculo V a.C. contendo umestudo de razes e propores entre figuras geomtricas. Estes estudos incluam a comparaode segmentos de crculos. Herdoto sabia, por exemplo, que a razo entre as reas de doissegmentos de crculo semelhantes igual razo entre o quadrado de suas cordas. Para chegara este resultado, ele chegou a demonstrar que a razo entre as reas de dois crculos igual razo entre o quadrado de seus dimetros.

    Esta demonstrao, de uma poca bem anterior de Eudoxo, exigia um conhecimento pro-fundo de razes e propores. Uma das hipteses mais confiveis, defendida por historiadorescomo Freudenthal, Knorr e Fowler, a de que o mtodo da antifairese estava na base de umateoria das razes e propores que era praticada, pelo menos, durante o sculo IV a.C. e queteria sido desenvolvida por Teeteto, matemtico contemporneo de Plato e pertencente ao seucrculo.

    A possibilidade de existirem grandezas incomensurveis no teria representado, assim, ne-nhum tipo de escndalo ou crise nos fundamentos da matemtica grega. Ao contrrio, a exis-tncia da incomensurabilidade seria uma circunstncia positiva, pois seria responsvel pelodesenvolvimento de novas tcnicas matemticas para lidar com razes e propores.

    No perodo pr-euclidiano, segundo algumas fontes indicam, as grandezas eram classifi-cadas como comensurveis em comprimento ou em potncia (mais especificamente, em qua-drado). Isto queria dizer que duas grandezas incomensurveis, como o lado e diagonal do qua-drado, apesar de no serem comensurveis em comprimento, so comensurveis em potncia,

  • 16

    pois seus quadrados so comensurveis. Se temos, por exemplo, um quadrado de lado 1, estelado no comensurvel em comprimento com a diagonal (que sabemos medir 2). No en-tanto, seu quadrado 1 comensurvel com o quadrado da diagonal, que 2. Podemos concluir,assim, que estas grandezas so comensurveis em potncia.

    Esta distino permite reduzir uma situao em que aparecem duas grandezas incomensur-veis a outra na qual existe uma comensurabilidade potencial. Ou seja, para lidar com exemplosem que eram consideradas razes particulares, como aqueles tratados por Hipcrates, no eranecessrio desenvolver uma teoria geral das razes e propores.

    No sculo IV, Teeteto teria refinado esta classificao das grandezas comensurveis paraincluir outras potncias, para alm dos quadrados. Este estudo, que consta no livro X dosElementos de Euclides, inclua um tratamento mais refinado dos incomensurveis e demandouuma nova tcnica para comparar grandezas deste tipo. A tcnica da antifairese, que j eraconhecida para nmeros, servia a este propsito e forneceu um meio para a constituio de umaprimeira teoria geral das razes e propores.

    Proclus afirma que:

    A teoria das grandezas comensurveis foi desenvolvida, primeiramente, pelaaritmtica e depois, por imitao, pela geometria. Por esta razo, ambas ascincias definem grandezas comensurveis como aquelas que esto uma paraoutra na razo de um nmero para outro nmero, o que implica que a comen-surabilidade existiu primeiro entre os nmeros (Proclus, p.49).

    Os matemticos teriam forjado a noo de comensurabilidade para nmeros, uma vez quea unidade a medida de todos os nmeros. Em seguida, eles teriam estendido esta noo paragrandezas, mas no puderam encontrar uma medida comum para todas as grandezas. Por isto, apartir da descoberta dos incomensurveis, a identificao entre grandezas e nmeros, de modogeral, no ser mais possvel.

    Sendo assim, aqui apresentaremos alguns aspectos da reconstruo da noo de razo namatemtica da Grcia antiga baseada nos trabalhos de Fowler (1999, 1979) e Knorr (1975). Talreconstruo apresenta apenas, como ressaltam os prprios autores, um certo grau de plausibi-lidade.

    Alem disso,

    O matemtico treinado para pensar na correo matemtica sem um di-mensionamento temporal, ou seja, pensar no historicamente. Obviamente interessante saber como um evento histrico se mostra quando observado porum matemtico do sculo vinte. Mas confundir isso com o que ele significavaem sua poca uma m histria.(MAY, 1975, p.453, Traduo Nossa)

  • 17

    Desse modo, embora as noes modernas de nmero, razo, grandeza, etc. tragam con-sigo toda a carga de sua construo histrica, devemos alertar que os conceitos homnimostratados nesse trabalho tm sentido filosfico e social bastante diferente dos contemporneos.

    3.1 Matemtica Prtica Matemtica Terica

    Se hoje, por exemplo, temos uma aritmtica que trata tanto de nmeros quanto das grande-zas com suas respectivas medidas, h indcios (ASPER, 2009), de que na Grcia antiga haviaum grupo de calculistas e esticadores de corda que tratavam da matemtica pragmticados clculos monetrios assim como daquela relativa engenharia, enquanto o grupo dos te-ricos tratava de questes filosficas onde os nmeros tinham um papel bastante diferente e suaaritmtica no se aplicava s grandezas.

    De fato, o pensamento platnico, imperativo nas obras de Euclides, visa apresentar os con-ceitos aproximando-os dos ideais inatingveis pela realidade que apresenta apenas simulacrosnecessariamente imperfeitos desses conceitos.

    Tais argumentos reforam a existncia de uma matemtica prtica que coexistia paralela-mente terica, enfraquecendo observaes anacrnicas de que os gregos teriam dificuldadeno tratamento dos processos infinitos ou que a descoberta da existncia dos irracionais teriacausado uma crise nos fundamentos da matemtica grega.

    Os indcios so mais fortes no sentido de que os processos infinitos, bem como os mtodosde neusis para soluo de problemas como a duplicao do cubo ou a trisseco do ngulo,eram relegados matemtica da prtica, ao passo que os fundamentos da matemtica previamum tratamento bem estruturado para os nmeros e para as grandezas (incluindo as grandezasincomensurveis entre si) sendo clara a distino entre esses entes e, filosoficamente, importantetrata-los de maneira diferente.

    Entendemos, ento, que a reconstruo de Fowler, baseada no trabalho de Knorr, prope aexistncia de uma teoria das razes baseada no mtodo das subtraes recprocas que era capazde tratar satisfatoriamente grandezas e nmeros. A essa noo de razo Fowler d o nomede razo antifairtica, com referncia ao mtodo de antifairese, que significa, literalmente,subtraes recprocas.

    O conhecimento do procedimento de antifairese dado como certo por vrios historiadores,uma vez que no desenvolvimento dos Livros VII-IX dos Elemntos esse processo aplicado nmeros inteiros. Por outro lado, o Livro V, que seria cronologicamente posterior aos citados

  • 18

    anteriormente, j apresenta a teoria das propores de Eudoxo.A teoria das propores de Eudoxo torna desnecessrio um desenvolvimento de uma teoria

    de razes, visto que permite que, dadas quatro grandezas homogneas, A, B, C e D, decidir seelas formam uma proporo, caso em que se denota A : B :: C : D, mesmo sem dar nenhumainterpretao para as razes A : B e C : D. Desse modo, mesmo que na Definio V-3 se tenhaque: Sejam chamadas proporcionais as grandezas que tenham a mesma razo (JOYCE, 1997),o critrio para comparao no consiste em calcular cada uma das razes e compar-las.

    3.2 Antifairese

    A etimologia desta palavra j indica seu significado de subtraes mtuas, ou subtraesrecprocas: dados dois nmeros (ou duas grandezas), subtrai-se, em cada passo, um mltiplodo menor do maior at que o resto seja menor do que o menor.

    Quando este procedimento funciona, e nos permite encontrar a medida comum a dois seg-mentos, podemos reduzir a geometria aritmtica. A verificao da semelhana entre figuraspode ser reduzida verificao de uma proporo aritmtica e a proporo pode ser definidacomo uma igualdade de razes entre nmeros.

    Mas quando a antifairese no termina, temos o caso incomensurvel, como no procedimentoque usaremos adiante para demonstrar geometricamente a incomensurabilidade entre o lado ea diagonal do quadrado. Nesta situao, as definies de proporo pela igualdade de razesno sero mais aceitveis e passaro a ser vlidas apenas para o caso particular de grandezascomensurveis.

    No se sabe ao certo em que exemplo a incomensurabilidade entre duas grandezas foi veri-ficada pela primeira vez, mas acredita-se que o mtodo da antifairese permitiu que se chegasse aesta concluso. A possibilidade de existirem duas grandezas incomensurveis tornou necessriauma teoria das razes e propores independente da igualdade entre nmeros.

    Mais do que isso, o mtodo da antifairese teria sido usado para desenvolver uma teoriade razo independentemente da noo de proporo. Segundo Fowler, trs noes distintas derazo estariam presentes na tradio grega: uma vinda da teoria musical, outra da astronomia(que teria servido de base para as definies do livro V) e uma terceira baseada na antifairese,que seria a mais interessante.

    Para este historiador da matemtica, os gregos entendiam a razo 22:6, por exemplo, combase no fato de que podemos subtrair 6 de 22 trs vezes, restando 4; em seguida, subtramos 4

  • 19

    de 6, restando 2; e finalmente, subtramos 2 de 4 exatamente duas vezes. Logo, a razo 22:6seria definida pela seqncia trs vezes, uma vez, exatamente duas vezes.

    No caso geomtrico, duas grandezas estariam na mesma razo quando possuem a mesmaantifairese. Se tentarmos encontrar a razo entre a diagonal e o lado do quadrado por esteprocedimento, obteremos uma vez, duas vezes, duas vezes, duas vezes,.... No difcil admi-tir, com argumentos da matemtica grega, que esta seqncia continua indefinidamente, o quebastaria para concluir pela incomensurabilidade.

    A descoberta da incomensurabilidade, deste ponto de vista, no seria uma crise dos funda-mentos da matemtica, mas uma descoberta interessante que motivou novos desenvolvimentosda matemtica. Logo, no seriam exatamente as questes de fundamento descobertas pelosgregos que teriam sido resolvidas por Dedekind, como se diz usualmente, pois as questes nosdois contextos seriam bem diferentes.

    Para os gregos, a questo foi resolvida pela teoria das propores de Eduoxo no campo dageometria. A colocao de que por mera falta de viso eles no tenham estendido o conceitode nimero absurda, caso contrrio eles teriam aceito, como nmeros, os racionais. Portanto,quanto a discusso de porque os gregos no teriam construdo os nmeros irracionais,

    [...] devemos perceber de uma vez que tal discusso no poderia ter emergidoantes da resoluo bem sucedida do problema dos nmeros irracionais porWeierstrass e Dedekind no sculo XIX. (KNORR, 2001, p. 124, traduonossa, comentario nosso)

    Afirmarmos que no houve crise no significa diminuir a importncia da descoberta dos in-comensurveis. H duas consequncias importantes que precisam ser investigadas. A primeiradelas o fato desta descoberta ter produzido um divrcio entre o universo das grandezas e ouniverso dos nmeros.

    Segundo Aristteles:

    Para provar alguma coisa no se pode passar de um gnero ao outro, isto ,no se pode provar uma proposio geomtrica pela aritmtica (...) Se o g-nero diferente, como na aritmtica e na geometria, no possvel aplicardemonstraes aritmticas a propriedades de grandezas (Metafsica, Analti-cos Posteriores, I.6-7 75a).

    A segunda relaciona-se necessidade de demonstrao e ao desenvolvimento do mtodoaxiomtico.

  • 20

    3.3 A Razo Antifairtica

    O conceito de razo encerra a idia de comparao de tamanhos. Portanto, qualquer teoriade comparao pode ser encarada como uma teoria de razo. A diferena entre essas teorias estbasicamente na maneira como encarada a comparao. Desse modo, vemos que a definio derazo apresentada nos Elementos deve ser abrangente o suficiente para que possa se enquadrarnas diferentes teorias de razo: Uma razo um tipo de relao referente ao tamanho entreduas grandezas de mesmo tipo. (JOYCE, 1997, Livro V, Definio 3, traduo nossa, grifo doautor)

    Cada um dos contextos em que a razo se enquadrava na Grcia antiga tinha sua teoriaprpria que ressaltava os aspectos desejados para seu propsito. Fowler apresenta as teoriasde razo nos contextos da Matemtica, da Msica e da Astronomia. Cada uma dessas teorias apresentada, em (FOWLER, 1999), a partir de um dilogo, conforme a tradio da escolaplatnica.

    Na Matemtica, Fowler apresenta a sua verso de uma continuao do dilogo de Plato(Mnon) em que Scrates discute com Mnon e seu Escravo sobre o problema da duplicao doquadrado. Na continuao desse dilogo, proposta por Fowler, Scrates incentiva o Escravo deMnon a encontrar sua definio de razo que discutiremos aqui.

    Aps o dilogo com Scrates, o Escravo parte em uma peregrinao visando entender ou-tros aspectos do conceito de razo. Assim Fowler apresenta dois outros dilogos fictcios entreo Escravo e Arquitas, para entender alguns aspectos da noo de razo na Msica, e entre oEscravo e Eudoxo para discutir a teoria, supostamente em construo, da razo para a Astrono-mia.

    3.3.1 Antifairese

    A palavra antifairese, etimologicamente, seria uma aproximao de Antho-hypo-hairesis,que significa literalmente subtrao recproca. Aqui, usaremos a palavra na forma de subs-tantivo, a antifairese entre duas grandezas, embora, Euclides use apenas a forma verbal... quando a menor de duas grandezas desiguais continuamente subtrada, por sua vez, damaior.... Na lgebra moderna, o procedimento conhecido como Algoritmo de Euclides paraencontrar o maior divisor comum entre dois nmeros. No entanto, esse termo nos remete ideiade diviso, o que indesejado no momento. Buscando a neutralidade nas ideias desenvolvidasaqui, daremos preferncia ao termo antifairese ao invs de Algoritmo de Euclides.

  • 21

    O mtodo da antifairese, descreve uma srie de comparaes. No dilogo proposto porFowler, Scrates inicialmente pede ao Escravo de Mnon que ele compare duas pilhas de pedras.A primeira com sessenta pedras e a segunda com vinte e seis pedras. O Escravo sugere, entoque:

    1o Passo: Da primeiro da pilha com sessenta pedras pode-se subtrair duas vezes a pilha com vintee seis pedras e ainda resta uma pilha com oito pedras.

    2o Passo: Da pilha com vinte e seis pedras pode-se subtrair trs vezes a pilha com oito pedras eainda resta uma pilha com duas pedras.

    3o Passo: Por fim a pilha com duas pedras cabe exatamente quatro vezes na pilha com oitopedras.

    sequncia: duas vezes, trs vezes e quatro vezes exatamente, que representa o nmero desubtraes que se pode fazer em cada passo, o Scrates de Fowler chama de razo. A notaoAnt(60,26) = [2,3,4] usada, ento para representar a razo antifairtica de 60 : 26.

    A escolha de uma grandeza que pode sempre ser representado por nmeros inteiros sugereo carter introdutrio do problema. Mesmo assim, as pilhas de pedra so tratadas como gran-dezas e no sugerida nenhuma comparao entre os nmeros sessenta e vinte e seis, o queconsideramos natural quando se pretende estender o procedimento outras grandezas.

    De modo geral, se A e B so duas grandezas de mesmo tipo, possvel subtrair a menor,digamos B, da maior, nesse caso A, n0 vezes deixando um resto R1 menor que B. Nessecaso, n0 ser o primeiro passo da Antifairese entre A e B. O segundo passo da antifairese acomparao entre R1 e B. Como R1 menor que B, pode-se subtrair R1 de B, n1 vezes deixandoum resto R2. Continua-se procedendo dessa forma at que algum dos restos, digamos Ricaiba exatamente ni vezes em R(i1), ou seja, quando a grandeza Ri medir a grandeza R(i1),nesse caso, Ant(A,B) = [n0, n1, , ni] que tem i+1 passos.

    O fato de Ri medir R(i1) garante imediatamente que Ri pode medir, no sentido de caberuma quantidade inteira de vezes, todas as grandezas intermedirias do processo, ou seja, Rimede A, B, R1, , R(i1). Em particular, Ri mede A e B, garantindo que essas grandezas socomensurveis entre si.

    Reciprocamente, se A e B so comensurveis, existe uma grandeza R, do mesmo tipo deA e B que mede ambas. Essa mesma grandeza deve medir A n0B, que chamamos de R1assim como deve medir Bn1R1, que chamamos de R2 e todas as grandezas analogamenteobtidas no processo de antifairese. Como essas grandezas ficam cada vez menores, se o processo

  • 22

    no terminasse, inevitavelmente teramos que R deveria medir uma grandeza Ri < R, o que impossvel. Portanto o processo de antifairese deve ser necessariamente finito.

    Para os nmeros, a antifairese serve ao propsito de encontrar fatores comuns a dois nme-ros, o maior divisor comum. Muito embora a existncia da unidade garanta que a antifaireseseja finita, no caso em que os nmeros so primos entre si o processo tem como resultado noum nmero mas a unidade. Nesse caso, no existem fatores comuns, ou ainda, no existe umnmero que mea ambos os nmeros considerados, j que a unidade no era considerada umnmero.

    Uma vez que, mesmo para dois nmeros, pode no ser possvel encontrar a maior medidacomum, o mesmo pode acontecer para grandezas. Mas nesse caso, o processo de antifairesevai apresentando grandezas de mesma natureza cada vez menores indefinidamente, ou seja, oprocesso infinito.

    3.3.2 Controvrsias Sobre a Descoberta das Grandezas Incomensurveis

    A Proposio X-2 dos Elementos, sugere que os incomensurveis eram compreendidos apartir de um procedimento de antifairese:

    Se, quando a menor de duas grandezas desiguais subtrada continuamenteda maior, do qual o resto nunca mea aquele anterior, ento as duas grandezassero incomensurveis(JOYCE, 1997, Proposio X-2, traduo nossa)

    Um exemplo de antifairese infinita a comparao entre o lado e a diagonal de um pent-gono regular, que uma figura bastante ligada aos matemticos pitagricos e, portanto, bastanteestudada por esse grupo.

    Seja L o lado do pentgono regular e D a sua diagonal. Por meio de construes com rgua ecompasso, possvel perceber que L cabe uma vez em D e sobra segmento que chamaremos deDL. Comparando L, com DL, nota-se que DL cabe uma vez em L e sobra um segmentoque chamaremos de 2LD. Em seguida, devemos fazer a comparao entre DL e 2LD, masessas duas grandezas so tambm, respectivamente, diagonal e lado de um pentgono regular.

    Desse modo, aps a segunda etapa da anifairese, devemos resolver o mesmo problemainicial de comparar o lado e a diagonal de um pentgono regular, mas com dimenses menorese, portanto o processo se repete indefinidamente e Ant(D,L) = [1, 1, 1, ]

    De fato, na Figura 3.1, temos um pentgono ABCDE de lado L e diagonal D. Facilmente,com argumentos da matemtica contempornea, podemos chegar ao resultado de que o pen-

  • 23

    tgono FGHIJ tem lado 2LD e diagonal DL. possvel, no entanto, chegar ao mesmoresultado utilizando apenas a matemtica da Grcia antiga, pois argumentos anlogos aos apre-sentados nas figuras do dilogo de Plato (Mnon) sugerem que esse resultado era conhecidotambem pelos matemticos da poca.

    A B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    IJ

    Figura 3.1: Diagonal e o Lado de um pentgono: Antifairese infinita.

    Embora haja razes suficientes para acreditar que o estudo das relaes entre lados e diago-nais de polgonos fosse considerado bastante relevante Matemtica da Grcia antiga, Fowlersublinha que h srias objees ao fato de que o mtodo de antifairese, aplicado nesse estudo,tenha sido o responsvel pela descoberta da incomensurabilidade. Ele argumenta que nemmesmo a demonstrao atribuda pelos estudiosos a Aristteles de que, caso a diagonal e o ladodo quadrado fossem comensurveis, teramos um nmero par igual a um mpar, seria a maneiracomo os incomensurveis teriam sido descobertos.

    Fowler refora, no entanto que, independentemente de como tenham sido descobertas asgrandezas incomensurveis, o papel da antifairese estaria ligado ao tratamento dado a essasgrandezas:

    Ns devemos, contudo, continuar argumentando que a antifairese desempe-nhou um importante papel no estudo das grandezas incomensurveis no sculoquarto, e nas tcnicas aritmticas de definio, manipulao e aproximao derazes de nmeros(FOWLER, 1979, p. 820, Traduo Nossa)

  • 24

    3.3.3 Aproximaes

    Embora haja indcios de que os matemticos da Grcia Antiga pudessem manipular fraespelo mtodo egpcio, nenhuma ligao entre as fraes usadas nesses procedimentos e a ideiade razo aparece nos textos dessa poca. De fato, pouco se sabe sobre os mtodos usadospelos gregos para clculos cotidianos. No entanto, alguns resultados que aparecem nos textosremanescentes sem maiores explicaes, reforam a ideia de que eles eram capazes de encontrarconvergentes de fraes contnuas.

    Na verdade, dada uma antifairese [n0, n1, , ni] possvel chegar relao

    [n0, n1, , ni] = n0 + 1n1 +

    11

    n2+...+

    1ni

    Desse modo, a sequncia de antifaireses interrompidas

    [n0], [n0, n1], [n0, n1, n2],

    nos fornece uma sequncia de convergentes

    n0, n0 +1n1

    , n0 +1

    n1 +1n2

    ,

    Os textos mostram que, por exemplo, Aristarco usava 7 : 5 como aproximao para a ra-zo entre a diagonal e o lado do quadrado, enquanto Heron teria usado 17 : 12 para a mesmarazo. Note que a antifairese entre o a diagonal do quadrado [1, 2, 2, 2, ] e os primeirosconvergentes das fraes contnuas so

    1, 1+ 12=

    32, 1+ 1

    2+ 12

    =75 , 1+

    1

    2+ 1

    2+ 12

    =1712

    portanto, as aproximaes usadas por Aristarco e Heron eram convergentes da frao contnuareferente antifairese entre a diagonal e o lado do quadrado. Nesse exemplo simples, tenta-dor, no entanto, pensar que Aristarco e Heron tenham apenas tomado as antifaireses truncadas[1,2,2] e [1,2,2,2] e desenvolvido de trs para frente, como se fossem antifaireses de nmerosprimos entre si, para chegar aos seus resultados. Mas, embora o desenvolvimento de trs parafrente seja simples com poucos passos de antifairese, tal desenvolvimento se torna bastante tra-

  • 25

    balhoso conforme o nmero de passos aumenta. Arquimedes, em seu Da Medida do Crculo,afirma que, em linguagem contempornea, 265 : 153 [p,m, ], [p,q,n, ]< [p,q,m, ] e assim sucessivamente.Essa comparao seria necessria para decidir se a nova aproximao por excesso ou por falta

    Usando a proposio de Parmnides, podemos tomar, por exemplo, 1 : 1 como aproximaopor falta da razo entre a diagonal e o lado de um quadrado, denotaremos [1,2,2, ] parasimplificar a escrita, e 2 : 1 uma aproximao por excesso dessa razo.

    [1] = 1 : 1 [1,2,2, ] 2 : 1 = [2]

  • 26

    [1] = 1 : 1 [1,2,2, ] 3 : 2 = [1,2]

    [1,3] = 4 : 3 [1,2,2, ] 3 : 2[1,2]

    [1,2,2]7 : 5 [1,2,2, ] 3 : 2 = [1,2]

    [1,2,2] = 7 : 5 [1,2,2, ] 10 : 7 = [1,2,3]

    [1,2,2] = 7 : 5 [1,2,2, ] 17 : 12 = [1,2,2,2]

    Que nos trs novamente s aproximaes usadas por Heron e Aristarco.

    3.3.4 Abandono da Teoria de Razes

    Com o surgimento da teoria das propores de Eudoxo, a noo de razo perdeu muitaimportncia e os procedimentos relativos aos processos de antifairese perderam relevncia ma-temtica, assim como sua relao com o conceito de razo seria esquecido.

    De fato, resultados que haviam sido obtidos a partir da teoria de razo seriam explicadosnovamente em termos da teoria de propores. A teoria das razes, particularmente a razoantifairtica, trs consigo uma inerente falta de afinidade com demonstraes de propriedadessimples, como, por exemplo, p : q :: p : r q = r.

    Mesmo no caso de razes entre grandezas comensurveis, em que as razes podem serreduzidas a antifaireses entre nmeros, o desenvolvimento da teoria de razes, bem como amanipulao dos clculos desses entes seria visto pelos sbios da poca como uma aritmticapara fraes que conflitariam com questes filosficas como a partio da unidade, sem contara falta de relao evidente entre, por exemplo, Ant(p,q) e Ant(r,s) com Ant(pr,qs) ou Ant(ps+qr,qs).

    No existe nenhum registro na Grcia antiga de que se tenha tentado criar uma teoria daspropores usando a teoria das razes. No entanto, Hogendijk (2002) remonta os passos detrs matemticos rabes que se propuseram a demonstrar a equivalncia entre as proposiesde Euclides usando a teoria das propores de Eudoxo e uma teoria de propores baseada narazo antifairtica semelhante apresentada por Fowler. No entanto, esse trabalho apresentariavarias suposies anacrnicas, conforme ressalta Vitrac (2002).

    Para ns, no entanto, o potencial didtico da teoria das razes no modelo proposto porFowler, no que diz respeito ao deslocamento da extenso dos domnios da usual para uma inde-pendente das operaes, pode ser uma ferramenta interessante. A possibilidade de apresentaro desafio de construir uma noo de nmero real baseada no conceito de razo nos pareceu

  • 27

    promissora.

    Em nossa proposta, tentamos apresentar de maneira mais natural a necessidade de extensodo domnio numrico trabalhado mantendo o propsito inicial de atribuir uma medida gran-deza. Nesse processo, aproximamos o aluno da atividade de fazer matemtica deparando-secom limitaes ou obstculos que devem ser, hora vencidos, hora apenas compreendidos comoacontece diversas vezes na Histria da Matemtica.

  • 28

    4 Proposta didtica

    A separao conceitual entre nmero e grandeza instaurada pelos matemticos da GrciaAntiga persistiu na matemtica at o movimento de Aritmetizao da Anlise, a partir da metadedo sculo dezenove. De fato, at o sculo dezoito e incio do seculo dezenove,

    Essa cincia era compreendida por consistir do estudo geomtrico e algbricodo nmero e das grandezas contnuas, como comprimentos e pesos assim comosuas contrapartes abstratas. (EPPLE, 2003, p. 291, traduo nossa, grifo doautor)

    Com a criao da teoria dos conjuntos e a associao dos nmeros reais aos pontos da reta,o conceito de grandeza tornou-se aparentemente indissocivel da sua medida fazendo com quenem sempre o aluno faa a distino de quando est trabalhando com um problema associ-ado a uma grandeza ou simplesmente resolvendo uma equao. Sendo assim, no incomumencontrarmos resultados inconsistentes com a pergunta do problema.

    Alem disso, nem sempre fica clara a necessidade de se utilizar nemeros reais, pois ashabilidades de estimativa (aproximao) e contextualizao incentivadas pelos parmetros cur-riculares reduz consideravelmente a percepo da presena dos nmeros reais no cotidiano.

    simplesmente surreal que, por exemplo, ao ser perguntado sobre quantos centmetros defita so necessrios para envolver uma caixa de bombons de formato circular com dimetro10cm, o aluno responda 10picm. Ninguem pede 10picm de fita numa loja. A resposta esperada 32cm ou qualquer outra aproximao que seja imposta no enunciado. Por outro lado, dificil-mente as pessoas de modo geral, e os alunos em particular, percebem que, ao comprarem 1mde fita na mesma loja, eles esto levando igualmente uma aproximao de 1m. De fato, 1 epi tm naturezas diferentes enquanto nmeros mas quando esto no contexto da expresso deuma medida, ambos so igualmente nmeros reais que somente sero atingidos por uma apro-ximao. Finalmente, a densidade dos nmeros racionais sobre os reais, de certo modo, deixaa impresso de que os nmeros reais so desnecessrios, dada a limitao dos instrumentos demedida acessveis.

    Propomos, portanto, uma introduo ao conceito de nmero baseada na idia de medio.

  • 29

    Isso significa que iremos associar nmeros a grandezas a partir da escolha de uma unidade. Amedida de uma grandeza ser construda a partir da sua comparao com a unidade escolhida.

    A noo de nmero inicial restrita aos nmeros inteiros e ser estendida gradativamentea partir dos exerccios propostos. H, portanto, um conflito inevitvel de que o pblico alvoda atividade traga consigo sua prpria viso de nmero. Visando minimizar esse conflito, pro-pomos uma restrio do conceito de nmero e de grandeza s caractersticas desejadas para odesenvolvimento da atividade.

    Frequentemente assuntos da matemtica so apresentados como jogos e, desse modo con-sideramos que para a apresentao da sequncia didtica que propomos seja necessrio iniciartratando de suas regras.

    4.1 As regras do Jogo

    Consideraremos nesta seo, um nmero como sendo um nmero inteiro no negativo euma grandeza como tudo aquilo que pode ser aumentado ou diminudo. Nesse sentido, pode-seconsiderar um nmero como uma grandeza, embora no seja atribudo s grandezas nmeroalgum.

    Entre duas grandezas diferentes de mesma natureza, A e B, dizemos que a grandeza B cabena grandeza A se B pode ser aumentada (ou A pode ser diminuda) de modo a obter a grandeza A(respectivamente B). Nesse caso, dizemos que existe a diferena AB, que uma grandeza demesma natureza que as grandezas consideradas inicialmente. Diremos ainda que B cabe n vezesem A se existirem as diferenas AB, (AB)B, [(AB)B]B, , com n iteraes dessaoperao, que consiste em comparar se a grandeza B cabe na grandeza resultado da iteraoanterior. Nesse caso, dizemos que ocorre uma entre as duas afirmaes a seguir:

    i- Existe a diferena AnB que uma grandeza de mesma natureza que A e B

    ii- A grandeza B mede a grandeza A se as grandezas B e A(n1)B forem iguais. Nessecaso, dizemos que A = nB

    4.2 Antifairese de duas grandezas

    Suponha que desejamos comparar duas grandezas diferentes de mesma natureza A e B.Uma comparao simples seria verificar quantas vezes B cabe em A. Dessa comparao inicial,

  • 30

    se B no mede A, obteremos uma grandeza An1B que daremos o nome de R1. Na linguagemcorrente, podemos dizer que B cabe em A n1 vezes e ainda sobra uma grandeza de mesmanatureza R1 (B no cabe em R1). Para uma comparao mais precisa, podemos comparar asgrandezas B e R1. Se R1 no mede B, obtemos uma grandeza B n2R1 que chamaremosde R2. Essa operao pode ser iterada comparando Ri1 com Ri descrevendo cada vez maisdetalhadamente a comparao entre as grandezas iniciais A e B.

    Exemplo1: A grandeza B cabe 2 vezes na grandeza A e sobra uma grandeza R1 que cabe3 vezes em B e sobra uma grandeza R2 que cabe 2 vezes em R1 e sobra uma grandeza R3 quecabe exatamente 2 vezes em R2.

    Chamaremos Antifairese de duas grandezas A e B, denotada por Ant(A,B), a sequncia denmeros que representam quantas vezes B cabe em A, R1 cabe em B e assim sucessivamente.No Exemplo1, teramos Ant(A,B) = [2, 3, 2, 2]

    Vale notar que a antifairese entre duas grandezas no descreve cada uma delas separada-mente. Ela nos fornece apenas uma comparao entre essas grandezas. Para efeito de visua-lizao, observe a Figura 4.1 onde as grandezas descritas no Exemplo1 so os lados A e B doretngulo.

    Note que a grandeza R3 mede as grandezas R2, R1, B e A. Diz-se ainda quer R3 a maiormedida comum s grandezas A e B.

    B

    A

    R1

    R2R3

    Figura 4.1: Antifairese do Exemplo 1 Ant(A,B) = [2, 3, 2, 2]

    Exerccio 1: Dizer que a grandeza R1 mede a grandeza X consiste em encontrar o nmero n talque X = nR1. No Exemplo1, encontre os nmeros n e m tais que A = nR3 e B = mR3.

  • 31

    4.3 Antifairese no Geogebra

    Para encontrarmos a antifairese entre duas grandezas (particularmente segmentos), usare-mos o software Geogebra.

    Na Figura 4.2, os nmeros 1, 2 e 3 indicam os passos para efetuarmos uma subtrao entreas grandezas A e B.

    Figura 4.2: Software Geogebra: 3 passos para a uma subtrao

    O programa ir perguntar quantos lados tm o polgono regular que se deseja traar. O g-nero 4, que o que desejamos, vem pr-selecionado de modo que basta confirmar selecionandoOK (Figura 4.3).

    A Figura 4.4 Mostra o resultado dessa operao e os nmeros 1 e 2 indicam os pontos para a

    Figura 4.3: Caixa de texto para escolher o gnero do polgono regular.

  • 32

    continuao do processo. Aps algumas iteraes, chega-se at o resultado ilustrado na Figura

    Figura 4.4: Primeiros passos da Antifairese entre A e B no software Geogebra

    4.5, onde est assinalada a grandeza que a maior medida comum s grandezas A e B. Quando possvel encontrar tal grandeza, dizemos que A e B so comensurveis.

    Figura 4.5: Resultado final da Antifairese entre os segmentos A e B. Ant(A,B) = [2, 1, 1, 1, 2]

    Exerccio 2: Encontre a antifairese entre dois segmentos dados usando o Geogebra.Exerccio 3: Construa no Geogebra dois segmentos A e B tais que Ant(A,B) = [1, 1, 4].Exerccio 4: A Figura 4.6 mostra as respostas de dois alunos ao Exerccio 3.

  • 33

    i) Pode-se dizer que A =C e B = D? Justifique?

    ii) Seja P a maior medida comum entre A e B e Q a maior medida comum entre C e D.Encontre n1, n2, n3, n4 tais que A = n1P, B = n2P, C = n3Q e D = n4Q.

    iii) Calcule n1n3 e n2n4 obtidos na resposta do item ii.

    iv) Que relao existe entre os retngulos da figura? Justifique sua resposta.

    Figura 4.6: Ant(A,B) e Ant(C,D)

    Exerccio 5: Seja Ant(A,B) = [n1, n2, n3, ni]. Determine as seguintes antifaireses:

    i) Ant(A+B,B)

    ii) Ant(A+n0B,B)

    iii) Ant(AB,B)

    iv) Ant(An1B,B)

    Exerccio 6: Considere conhecida a antifairese entre duas grandezas P e Q: Ant(P,Q) =[n1, n2, , ni]. Desejamos encontrar a antifairese entre duas outras grandezas A e B, de mesma

  • 34

    natureza das grandezas P e Q. Em determinado passo do processo, encontra-se grandezas,R j1 = P e R j = Q. Se os primeiros nmeros da antifairese entre A e B so m1, m2, , m j,qual ser a antifairese completa entre A e B? O que aconteceria se no lugar de R j1 = P eR j = Q tivssemos apenas que o retngulo de lados R j1 e R j semelhante ao retngulo de ladosP e Q?Exerccio 7: Na Figura 4.7, considere conhecidas Ant(BC,BA) e Ant(FH,FG). Sabendo queCEFG um quadrado, determine Ant(BE,BC) nos seguintes casos:

    b

    A

    b

    Bb

    C

    b

    D

    b

    E

    b

    Fb

    G

    b

    H

    Figura 4.7: Ant(BC,BA) = [n0, n1, , ni] e Ant(FH,FG) = [m0, , m j]

    i) FG < FH

    ii) FG > FH

    4.4 Antifaireses infinitas

    A antifairese entre duas grandezas nos fornece uma maneira de compara-las de modo topreciso quanto tenhamos necessidade. Desse modo se desejamos fornecer uma comparaoentre as grandezas A e B podemos escolher o grau de preciso interrompendo a antifairese apsalguns passos do processo.

    Interromper a descrio da comparao consiste em no comparar a grandeza Ri+1 com agrandeza Ri.

  • 35

    Usaremos a seguinte notao para uma antifairese interrompida entre as grandezas A e B:

    Ant(A,B) = [n0, n1, , ni, Ant(Ri+1,Ri)]

    deixando indicado que se pode refinar a comparao entre A e B, bastando, para isso, acrescentaros nmeros de Ant(Ri,Ri+1).

    Diremos que duas grandezas tm antifairese infinita se o processo de subrao mtua puderser continuado indefinidamente.

    Se duas grandezas apresentam uma antifairese infinita, conforme descrito acima, no serpossvel encontrar a maior grandeza que mede ambas as grandezas consideradas. Diremos,ento, que as grandezas so incomensurveis.

    De modo geral, decidir se a antifairese entre duas gradezas ou no infinita se mostra bas-tante difcil, pois, em princpio, nada garante que a prxima iterao do processo no forneceruma grandeza Ri+1 que capaz de medir Ri finalizando o processo de antifairese.

    Tomemos, no entanto o caso particular em que existem Ri e Ri+1 na antifairese entre asgrandezas A e B, tais que Ant(A,B) = Ant(Ri,Ri+1). Se as grandezas consideradas forem seg-mentos de reta, vimos que isso acontece quando o retngulo de lados A e B semelhante aoretngulo de lados Ri e Ri+1. Nesse caso, teremos que Ant(A,B) infinita, pois

    Ant(A,B) = [n0, n1, , ni, Ant(Ri,Ri+1)] = [n0, n1, , ni, Ant(A,B)]

    Ant(A,B) = [n0, n1, , ni, n0, n1, , ni, n0, n0, n1, , ni, ]

    De fato, esse mesmo conceito pode ser extendido para um caso um pouco mais geral, ondeAnt(Ri+p,Ri+p+1) = Ant(Ri,Ri+1), onde Ri, Ri+1, Ri+p, Ri+p+1 so grandezas que aparecemna antifairese entre duas grandezas A e B.

    Ant(A,B) = [n0, n1, , ni, Ant(Ri,Ri+1)]

    Ant(Ri,Ri+1) = [m1, m2, , mp, Ant(Ri+p),Ri+p+1)] = [m1, m2, , mp, Ant(Ri,Ri+1)]

    Ant(A,B) = [n0, n1, , ni, m1, , mp, m1, , mp, ]

    4.5 O Retngulo ureoUm retngulo dito ureo, quando ao removermos dele um quadrado de lado igual ao

    menor dos lados, o retngulo restante semelhante ao retngulo original (Figura 4.8).

  • 36

    A

    B

    E

    F

    D

    C

    Figura 4.8: Retngulo ureo: ABFE um quadrado e ABCD DEFC

    Mas o procedimento de remover um quadrado do retngulo, conforme descrito na definiodo retngulo ureo exatamente o primeiro passo da antifairese entre as grandezas que so oslados do retngulo. Desse modo temos:

    Ant(AD,AB) = [1,Ant(DC,DE)]

    e, pela definio de retngulo ureo, o retngulo de lados AB e AD semelhante ao retngulode lados DC e DE, portanto Ant(AB,AD) = Ant(DC,DE) e Ant(AD,AB) = [1,Ant(AB,AD)] =[1, 1, 1, ]

    Conclui-se, portanto, que os lados do retngulo ureo so incomensurveis entre si.

    4.6 Diagonal e lado de um quadrado

    A Figura 4.9 mostra Ant(D,L), onde D e L so, respectivamente a diagonal e o lado de umquadrado.

    Vamos mostrar que o retngulo ressaltado na Figura 4.9 semelhante ao retngulo todo.Para que isso seja verdade, precisamos garantir que DL e 2LD sejam tambm o lado e adiagonal, respectivamente, de um quadrado.

    De fato, na Figura 4.10, os tringulos ADB e GEB so retngulos issceles e congruentes,de modo que GE = L. Alem disso, os tringulos GFD e AFE so retngulos, issceles econgruentes, de onde tiramos que GF = DL. A hipotenusa do tringulo AFE tambm adiagonal do quadrado AFHE de lado DL e sua diagonal mede FE = GEFG = L (D

  • 37

    L

    D

    DL

    2LD

    Figura 4.9: Antifairese entre a diagonal e o lado de um quadrado.

    L

    D-L

    D-L Lb

    Ab

    B

    b

    Cb

    D

    bE

    b

    F

    b

    G

    b

    H

    b

    Figura 4.10: Quadrados de lados L e DL e suas respectivas diagonais D e 2LD

    L) = 2LD. Portanto se D e L so diagonal e lado de um quadrado, ento 2LD e DLtambm so.

    Desse modo, a partir do Exerccio 7, concluimos que Ant(D,L) = [1, Ant(L,D L)] =[1, 2, 2, 2, ] que uma antifairese infinita e, portanto, D e L so incomensurveis entre si.

  • 38

    4.7 Atribuindo Nmeros s Grandezas

    A Antifairese nos fornece uma maneira comparar quaisquer duas grandezas de mesma na-tureza. No entanto, at agora, nenhum nmero atribudo s grandezas.

    Atribuir um nmero a uma grandeza A consiste, em ltima anlise, em escolher uma gran-deza U , do mesmo tipo de A, como unidade e fazer a comparao entre A e U . grandeza User atribudo o nmero 1 e o nmero atribuido grandeza A ser a medida de A, tomando comounidade U . Obviamente A ter medidas diferentes se unidades diferentes forem escolhidas.

    Como vimos anteriormente, U mede A se existir um nmero n tal que A = nU . Nessecaso, dizemos que A mede n unidades e Ant(A,U) = [n].

    Note, no entanto, que no existe uma unidade que seja capaz de medir todas as grandezasde um tipo, pois, por exemplo, nenhuma unidade seria capaz de medir uma grandeza menorque ela. At o momento, ao denotar Ant(A,B), era possvel tomar A como a maior das duasgrandezas e iniciar o processo de subtrao fazendo AB e encontrando quantas vezes B cabiaem A. Podemos generalizar esse processo para o caso em que B maior que A, o que consistiriaem iniciar a descrio da comparao dizendo que B no cabe em A, o que pode ser denotadopor Ant(A,B) = [0, Ant(B,A)].

    Para que possamos atribuir um nmero s grandezas menores que a unidade, precisamos ne-cessariamente estender o conceito de nmero, pois nenhum nmero, no sentido compreendidoat aqui, pode expressar uma grandeza menor que a unidade.

    Inicialmente, vamos considerar uma grandeza A e uma unidade U tal que U = nA. Nessecaso, temos que Ant(A,U) = [0,Ant(U,A)] = [0,n]. Na descrio em linguagem corrente, serianatural dizer que A a n-sima parte de U , ou ainda A = 1

    nU e, portanto, o nmero atribuido

    a A ser a frao 1n

    . Como a medida de A resultado de sua comparao com a unidade U ,usaremos a seguinte identificao:

    Ant[A,U ] = [0,Ant(U,A)] = 0+ 1Ant(U,A)

    = 0+ 1n=

    1n

    Essa identificao nos permite, uma vez conhecida a antifairese entre duas grandezas, ex-pressar a medida de uma considerando a outra como a unidade. Exemplo: Sejam A e B duasgrandezas de mesma natureza tais que Ant(A,B) = [1,2,2]. Se desejamos medir A tomando B

  • 39

    como unidade, basta escrever:

    Ant(A,B) = 1+1

    [2,2]= 1+

    1

    2+12

    =75

    De modo geral, se Ant(A,B) = [n0, n1, n2, , ni], a medida de A, tomando B como uni-dade ser um nmero na forma p

    q, onde p e q 6= 0 so nmeros, no sentido que haviamos

    proposto inicialmente, de modo que:

    pq= n0 +

    1

    n1 +11

    n2+...+

    1ni

    Vale ressaltar que essa representao nica, desde que consideremos que as sobras Ri se-jam cada vez menores. Obviamente, se compararmos as antifaireses [n0, , ni] e [n0, , ni1,1] elas sero iguais, mas desse modo, teramos Ri+1 = Ri, que no desejado no processodas subtraes. Podemos eliminar essa ambiguidade desde que sempre tenhamos ni 6= 1 eni > 0, i > 0.

    4.8 Antifaireses interrompidas e Aproximaes

    Como vimos anteriormente, podemos interromper uma antifairese fornecendo uma compa-rao menos detalhada entre duas grandezas. A aproximao c de ndice j+ 1 (denotada porc j+1) da medida de A, tomando como unidade B, ser o nmero correspondente antifaireseAnt(A,B) interrompida no ndice j. Se Ant(A,B) = [n0, n1, n2, , ni] temos:

    c1 = [n0], c2 = [n0, n1], , c j+1 = [n0, n1, , n j]

    Cada c j+1 pode ser escrito na forma c j+1 =p j+1q j+1

    , onde

    p0 = 1, p1 = n0

    q0 = 0, q1 = 1e

    p j+1 = n j+1 p j + p j1q j+1 = n j+1q j +q j1

    , j = 1, 2, , i

    Note que c0 no uma aproximao da medida de A, assim como p0 e q0 no so numeradore denominador dessa aproximao. Eles foram introduzidos apenas para facilitar a maneirade escrever as frmulas de p j+1 e q j+1. Essas frmulas podem ser facilmente demonstradas

  • 40

    usando o princpio da induo finita, desde que faamos a concesso de que as antifairesespossam conter nmeros fracionarios, o que no nos interessante no momento.

    Para determinar as aproximaes da medida de uma grandeza A, tomando como unidade agrandeza B, tal que Ant(A,B) = [n0, n1, , ni], vamos usar um programa de planilhas eletr-nicas.

    Os programas de planilhas eletrnicas tm a vantagem de trabalhar bem com frmulas derecorrncia, como as descritas para p j+1 e q j+1. Na Tabela 4.8, descrevemos o preenchimentodessas frmulas para p1, q1, p2 e q2, bem como c1. Para encontrar os valores seguintes dep, basta copiar clula C4 e colar nas clulas C5 at C(i+3) da coluna C. Analogamente paraencontrar os valores de q, copiamos a clula D4 e colamos nas clulas D5 at D(i+3) e, porfim, para obtermos as expanses decimais de c j+1 =

    p j+1q j+1 basta copiar a clula E3 e colar nas

    clulas E4 at E(i+3). Exerccio 9: Num programa de planilhas eletrnicas com as frmulasA B C D E

    1 j n j p j+1 q j+1 c j+1 = p j+1q j+12 -1 - 1 0 -3 0 n0 =B3 1 =C3/D34 1 n1 =B4*C3+C2 =B4*D3+D25 2 n26 3 n37 4 n4.

    .

    . i+3 i ni pi+1 qi+1 ci+1

    Tabela 4.1: Clculo de ci+1 em um programa de planilha eletrnica.

    configuradas conforme a Tabela 4.8, preencha a coluna B com os nmeros de Ant(A,B) =[5,2,3,1,2,3,4,5,6,1,2].

    i) Determine a medida de A, tomando B como unidade (A medida de A ser o nmero queaparece na clula E13).

    ii) Selecione a coluna E e formate suas clulas como Nmero com 2 casas decimais. Quan-tas aproximaes so diferentes da medida de A?

    iii) Utilize o recurso Aumentar nmero de casas decimais do programa, de modo que todasas aproximaes sejam diferentes da medida de A. Quantas casas decimais foi necessrio?

    iv) Se voc precisasse usar a medida de A, em forma de frao, para algum clculo que nopremitisse erro maior que 0,01, qual o menor denominador que voc poderia usar?

  • 41

    v) Na clula F3 escreva a seguinte frmula: =E$13-E3. Copie a clula e cole esta frmulana coluna F, de F4 at F13 e formate as clulas dessa coluna como nmero (com 10 casasdecimais). Interprete essa frmula e os resultados dessa coluna.

    Exerccio 10: Seja 2316 a medida de A, tomando B como unidade. Determine Ant(A,B). Exer-

    ccio 11: Justifique a afirmao: Se a medida de A, tomando como unidade B um nmeroda forma p

    q, onde p e q so nmeros inteiros e q 6= 0, ento Ant(A,B) finita. A afirmao

    continuaria verdadeira se p e q pudessem ser fracionrios?

    Nesse ponto, deve estar claro que se Ant(A,B) infinita, ento nenhum nmero da formapq

    , onde p e q so nmeros inteiros e q 6= 0, pode representar a medida de A, tomando B comounidade. Para contemplar as medidas de segmentos incomensurveis com a unidade escolhida,devemos, ento, estender mais uma vez o conceito de nmero.

    Seja A uma grandeza incomensurvel com a unidade, que representaremos a partir de agorapor 1, tal que Ant(A,1) = [n0, n1, n2, ]. Sejam, ainda c j+1 as aproximaes de ordem j+1obtidas a partir das antifaireses interrompidas em n j. Diremos que a medida de A um nmeroc, se |c c j+1| for cada vez mais prximo de 0, conforme aumentamos o valor de j.

    De fato, essa ltima definio de nmero engloba todas as definies anteriores, sendo queno caso de c = c1, esse nmero ser inteiro. No caso de c = ci+1, o nmero ser racional(ou fracionrio). Por ltimo, se c 6= c j+1, j, esse nmero ser irracional. Os nmeros, emqualquer dos casos descritos, que expressam a medida de uma grandeza so ditos reais. Exer-ccio 12: Como vimos anteriormente, Ant(D,1) = [1, 2, 2, 2, ], onde D a diagonal de umquadrado cujo lado a unidade de medida.

    i) Use um programa de planilhas eletrnicas para encontrar, a partir de Ant(D,1), as vinteprimeiras aproximaes para a medida de D.

    ii) Na planilha preenchida conforme a Tabela 4.8, preencha a clula F3 com a frmula=ABS(E4-E3). Copie essa clula e cole na coluna F de F4 at F19. Interprete essafrmula e os resultados dessa coluna.

    iii) Formate as clulas das colunas E e F como nmero com 2 casas decimais e usando aferramenta do programa varie a quantidade de casas decimais. O que significa aumentarou diminuir o nmero de casas decimais dessa coluna?

    Exerccio 13:Considere uma reta r onde esto marcados dois pontos O e U . Argumente sobreas seguintes afirmaes:

  • 42

    i) Dado um ponto A r com A 6= U e A 6= O sempre possvel encontrar a medida dosegmento OA, tomando U como unidade.

    ii) Dada uma medida c existem exatamente dois pontos A, A r tais que as medidas dossegmentos OA e OA, tomando U como unidade, so iguais a c

    iii) Dado um ponto A, P r. Se a medida de OA, tomando U como unidade, no umnmero racional, ento existe entre A e P um ponto Q tal que a medida do segmento OQ,tomando U como unidade, racional.

  • 43

    5 Consideraes Finais

    Entendemos que, embora sejam abundantes os artigos que se referem s vantagens de seutilizar a Histria da Matemtica no ensino, h ainda certa carncia no que diz respeito me-todologia dessa utilizao. Sendo assim, nossa proposta baseou-se em diversos artigos que,embora no tratassem diretamente de metodologia didtica, traziam recomendaes que con-sideramos relevantes para uma proposta didtica consubstanciada do conhecimento histrico etcnico esperados na formao do aluno.

    Buscamos portanto suplantar a fase em que nos perguntamos se devemos ou no ensinarutilizando como recurso didtico a historia da matemtica e nos concentramos em desenvolveruma atividade que pudesse ser inserida em diversos contextos de ensino. Por esse motivo, nosugerimos um pblico especfico como alvo da atividade. Poderamos facilmete argumentar, porexemplo, em favor da sua utilizao em cursos de formao de professores, pois esperado quea diversidade de abordagens de um assunto to importante no curriculo do ensino bsico sejabenfico para professores em formao. Do mesmo modo, podemo sugerir que essa atividadeseja aplicada no ensino mdio visando tornar o conceito de nmero real mais natural para osalunos.

    Naturalmente a atividade no se trata de um roteiro com garantia de sucesso na aquisioda noo de nmero real. Muito menos deve-se encarar a proposta didtica como uma lista deexerccios. Esperamos que, com base nos modelos de exerccios propostos o professor faa suasadaptaes direcionando a atividade para seu pblico alvo de modo a tirar maior proveito paraseus propsitos.

    Uma preocupao secundria, mas no menos importante, na confeco da proposta did-tica foi a possibilidade de que essa atividade servisse como base para pesquisas em ensino dematemtica.

    Ressaltamos que a anlise da produo dos alunos, como proposto por Cury et al. (2008)e Mandarino et al. (2008), em uma atividade baseada na proposta que aqui fazemos pode serbastante esclarecedora no que diz respeito concepo de nmero real trazida pelos alunos

  • 44

    e contribuindo para o avano da pesquisa sobre a prpria prtica, no modelo defendido por(PALIS, 2008).

    Os primeiros modelos de exerccios onde os alunos so convidados a manipular a ferra-menta introduzida, pode gerar situaes adidticas interessantes que podem suportar uma enge-nharia didtica. De fato, um exmplo cannico de Brusseau de engenharia didtica descritopor Artigue (2000), onde se deseja introduzir o conceito de nmero racional a partir do conceitode comensurabilidade comparando-se pilhas de papel. Acreditamos que haveria ganho em umaatividade semelhante onde a manipulao fosse feita a partir do software de geometria din-mica comparando-se segmentos ao inves de pilhas de papel, conforme sugerido na atividadeque propusemos.

    Por fim, a introduo dos recursos computacionais na atividade abrem caminho para in-vestigaes acerca das restries inerentes aos softwares utilizados. Tais investigaes tm semostrado frutferas nas tentativas de se compreender, no s os softwares como como recursodidtico, mas as concepes dos alunos sobre o conceito, como feito por Giraldo (2004) no casoda derivada.

    Portanto, acreditamos que nossa proposta didtica, fundamentada na histria da matem-tica, possa interagir com diversas reas de estudo da educao e do ensino da matemtica con-tribuindo para o fortalecimento de ambas as reas de pesquisa.

  • 45

    Referncias Bibliogrficas

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