tese anexos v5 - ulisboa...126 anexos a. demonstração do primeiro resultado em 4.2.2.1 neste anexo...

Anexos

126 Anexos

A. Demonstração do Primeiro Resultado em 4.2.2.1

Neste anexo podemos aceder à demonstração da relação exposta em (4.2.2.1)

��∗��∗ = �� , �∗ = � − �� Ou seja, partindo da expressão à esquerda na equação anterior e multiplicando

à direita por �� , resulta

��∗��∗ = ��∗��∗�� Onde, segundo a relação estabelecida em (3.31), � = ��∗��, temos

��∗�� Jogando novamente com a expressão �� e tendo em consideração a

expressão definida em (3.32), = ��∗�� , obtemos

��∗�� = �� = �� Cujos valores próprios associados são

� = ��

B. Demonstração do Segundo Resultado em 4.2.2.1

Neste anexo pretende-se demonstrar a segunda relação exposta em (4.2.2.1)

Desenvolvendo esta expressão e tendo em conta que �∗ = � − ��, temos

�2 � �� 00 ��

2� − 1� � 1

2 � � � �!� �" � �2� − 1

� � 12 � � � �! #$ = ��#� # ⟺

� 12� � �� 0

0 �� &�� − � � � ��'� (� − �) � �*+#$ = ��#� # ⟺

� 12� � �� 0

0 �� − ��) � �* − � � � �� + � � � �� ! #$ = ��#� # ⟺

Considerando a relação da massa da coluna �# = ��- ��

Análise de Correspondências Generalizada 127

� 12� �� 0

0 �� − (2��#+) � �* − � � � �2� 12� � � �

�! + � � � � � � � �! #$= ��#� # ⟺

� 12� � �� 0

0 �� − � � � � � � � � − � � � � � � � � + � � � � � � � �! #$ = ��#� # ⟺

� 12� � �� 0

0 �� − � � � � � � � �! #$ = ��#� # ⟺

A matriz �� é uma matriz de Burt. Portanto, para duas variáveis, apresenta a

seguinte estrutura

� 12� � �� 0

0 �� .�� − � /��

�� 01 #$ = ��#� #

Como �� = �� e �� = �� e �� = �� e ainda �� = ��, resulta

� 12� � �� 0

0 �� /�� 0 − � /��

�� 0! #$ = ��#� # ⟺

�12 � �� 0

0 �� /�� 0 − /��

�� 0! #$ = ��#� # ⟺

�12 � �� 0

0 �� .�� − �� − �� − �� − ��1

#$ = ��#� # ⟺

�12 � �� 0

0 �� .�" − ��2�� 2�∗��2�∗� " − ��2��1

#$ = ��#� #

Sendo ��2� = � = ��2� , vem �1

2 � �� 00 �� .� " − �� 2�∗

��2�∗� " − ��1 #$ = ��#� #

Considerando a partição de # em

# = /#�#�0 A expressão anterior pode ser simplificada, originando as seguintes equações

(" − ��+#� + ��2�∗#� = 2#��#� (a)

��2�∗�#� + (" − ��+#� = 2#��#� (b)

128 Anexos

Multiplicando a primeira equação (a) à esquerda por ��∗�, temos

3��∗�4(" − ��+#� + (��∗�+ ��2�∗#� = 23��∗�4#��#� ⟺ ��∗��2�∗#� = 2 ��∗�#��#� − ��∗�(" − ��+#� ⟺

��∗��2�∗#� = 2 ��∗�#��#� − ��∗�#� + ��∗��#�

Como �∗�� = 0, resulta ��∗��2�∗#� = 2 ��∗�#��#� − ��∗�#� ⟺

��∗��2�∗#� = (2 ��#� − "+ ��∗�#� (c)

Da segunda expressão deduzida (b), tiramos

��2�∗�#� = 2#��#� − (" − ��+#�

E substituindo na expressão deduzida em (c), adquirimos a expressão

��∗��2�∗#� = (2 ��#� − "+ 52#��#� − (� − ��+#�6 Desenvolvendo a segunda parte da equação anterior, temos

(2 ��#� − "+ 52#��#� − �# + ��#�6 = (2 ��#� − "+ 5 32 ��#� − "4#� + ��#�6 =

#�(2��#� − "+� + ��#�32��#� − "4 = #�(2��#� − "+� + ��#�32��#� − ��#��#��4 Tendo em conta a expressão (b), ou seja

2#��#� = ��2�∗�#� + (" − ��+#�

Podemos escrever a expressão de outra forma, isto é, retomando o

desenvolvimento

#�(2��#� − "+� + ��(2#��#�+ − 12 ��(2#��#�+��#�� =

#�(2��#� − "+� + �� 7��∗�#� + (" − ��+#�8 − ��2 7��∗�#� + (" − ��+#�8 ��#��

Formulando a expressão, sendo �� = ��, resulta

#�(2��#� − "+� + ��∗�#� + ��(" − ��+#� − 12 7��∗�#� + ��(" − ��+#�8 ��#��

Onde ��∗� = 0, #�(2��#� − "+� + ��(" − ��+#� − 1

2 5��(" − ��+#�6��#�� =


#�(2��#� − "+� + ��#� − ��#� − 12 5��#� − ��#�6��#��

Como �� = ��, a expressão anterior resume-se a apenas

#�(2��#� − "+� + ��#� − ��#� − 12 5��#� − ��#�6��#�� = #�(2��#� − "+�

Logo,

��∗��2�∗ #� = (2 ��#� − "+� #�

Multiplicando igualmente (b) à esquerda por ��∗ obtém-se

��∗ ��2 �∗�#� = (2 ��#� − "+� #�

C. Demonstração do Resultado em 4.2.2.2

Retomando a igualdade demonstrada no anexo B,

��#��#∗��#��#∗ # = ��#� # , �∗ = � − ��

Temos,

��9��(�: − �9�9�+� ��#�� (�: − �9�9�+ # = ��#� # ⟺

��9��(�9� − �9 �9�+ �" (�: − �9�9�+ # = ��#� # ⟺

� ��9��(�9��: − �9� �9�9� − �9 �9��: + �9 �9� �9�9�+ # = ��#� # Substituindo �: e tendo em consideração que ��9�� = ��;�� e �# = �

- � , vem

� ��;�� .��<�

�<� − 1

��<� � �9� − 1

� �9 �� <� + 1

�� 9 �� 9�1 # = ��#� #

Logo, como �=>- � = �9 = �; e �; = @

>A- = �=�>A- e �� = �, temos

� ��;�� .�;� – �; �;�� − �; �;�� + �; �;�� 1 # = ��#� # ⟺

��;��(�; – �; �;�+ # = ��#� #

130 Anexos

Como �; = �; , podemos reescrever a função anterior

��;��(�; – �; �;�+ # = ��#� # ⟺

��;��;∗ # = ��#� #

Onde, por outro lado, aplicando o mesmo desenvolvimento à matriz de Burt,

obtém-se facilmente

��;��;∗��;��;∗ ; = ��;� ; ⟺ 3 ��;��;∗43��;��;∗4 ; = ��;� ; ⟺ 3 ��;��;∗4C; = ��;� ;

Chegando assim à conclusão que λ;� = λ9� .

D. Rotinas em “R”.

D.1 Análise de Correspondências

ac <- function(dados){ # Matriz inicial de dados: K <- dados # Matriz de correspondências: F <- K / sum(K) # numero de linhas e colunas: n <- nrow(F) p <- ncol(F) # vectores unitários: ul(n*1) uc(p*1) ul <- matrix(c(rep(1,n)),n,1) uc <- matrix(c(rep(1,p)),p,1) # Totais marginais linha e coluna: l <- F %*% uc c <- t(F) %*% ul # Matrizes diagonais dos pesos: Dl <- diag(n) Dc <- diag(p) for (i in 1:n) Dl[i,i] <- l[i] for (i in 1:p) Dc[i,i] <- c[i] # Perfis linha e coluna: L <- solve(Dl) %*% F C <- solve(Dc) %*% t(F) # Matriz dos resíduos estandardizados: S <- sqrt(solve(Dl)) %*% {F - l%*%t(c)} %*% sqrt(solve(Dc))


# Decomposição em valores singulares: dvs <- svd(S) # Valores próprios: lam <- dvs$d^2 # Matriz diagonal: Dlam <- matrix(0,p,p) for (i in 1:p) Dlam[i,i] <- lam[i] # % explicação de cada eixo: expl <- 100 * (lam / sum(lam)) # coordenadas das colunas: ro <- (solve(sqrt(Dc)) %*% dvs$v) %*% sqrt(Dlam) # coordenadas das linhas: fi <- (solve(sqrt(Dl)) %*% dvs$u) %*% sqrt(Dlam) # contribuicoes relativas: # colunas crc.1 <- 100 * (ro[,1]^2 / (ro[,1]^2+ro[,2]^2)) crc.2 <- 100 * (ro[,2]^2 / (ro[,1]^2+ro[,2]^2)) # linhas crl.1 <- 100 * (fi[,1]^2 / (fi[,1]^2+fi[,2]^2)) crl.2 <- 100 * (fi[,2]^2 / (fi[,1]^2+fi[,2]^2)) # contribuicoes absolutas: # colunas cac.1 <- 100 * dvs$v[,1]^2 cac.2 <- 100 * dvs$v[,2]^2 # linhas cal.1 <- 100 * dvs$u[,1]^2 cal.2 <- 100 * dvs$u[,2]^2 # Tabelas resumo: # Valores próprios e % explicação: print("Resumo", quote=FALSE) vpp <- data.frame(round(lam, 2), round(expl,1), round(cumsum(expl),1)) colnames(vpp) <- c("Valor pp","% expl", "% expl. acumulado") print(vpp) # colunas: print("Colunas:", quote=FALSE) col <- data.frame(round(c,3), round(ro1,3), round(ro2,3), round(cac.1,1), round(cac.2,1), round(crc.1,1), round(crc.2,1)) colnames(col) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(col) # linhas: print("Linhas:", quote=FALSE) lin <- data.frame(round(l,3), round(fi1,3), round(fi2,3), round(cal.1,1), round(cal.2,1), round(crl.1,1), round(crl.2,1)) colnames(lin) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(lin) # Gráfico: ac.biplot <- function(rx, ry, cx, cy, dados) { simbolos=c(21,22,24,25,23,15:20,0:2,5:7,9:14,8,3,4) pc <- simbolos limsupx <- 0 liminfx <- 0 if (max(rx)>max(cx)){limsupx <- max(rx)} else {limsupx <- max(cx)} if (min(rx)>min(cx)){liminfx <- min(cx)} else {liminfx <- min(rx)} limsupy <- 0 liminfy <- 0 if (max(ry)>max(cy)){limsupy <- max(ry)} else {limsupy <- max(cy)}

132 Anexos

if (min(ry)>min(cy)){liminfy <- min(cy)} else {liminfy <- min(ry)} par(mar=c(2,2,1,1)) plot.default(cx,cy, xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1), axes=FALSE, pch="", xlab=paste(""), ylab="", cex=2, panel.first = grid(9,9)) par(new=TRUE) matplot(rx, ry, xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1), axes=FALSE, xlab ="", ylab="" , pch=".", cex=2, col="transparent") for(i in 1:dim(dados)[1]) { points(rx[i],ry[i], pch=pc[1], cex=0.9, col="blue", bg="turquoise") text(rx[i], ry[i], labels = rownames(dados)[i], pos=3, cex=0.8) } axis(1, col="black", lwd = 1) axis(2, col="black", lwd = 1) box(col="black", lwd = 1) abline(h=0, v=0, lwd=0.5, lty="dotted", col="black") for(i in 1:dim(dados)[2]) { points(cx[i],cy[i], pch=pc[3], cex=1.3, col="maroon", bg="red") text(cx[i], cy[i], labels = colnames(dados)[i], pos=3, cex=1) } title(main=c(""), line=1,col.main = "blue3")

legend(liminfx*1.1, limsupy*1.1, legend= colnames(dados), col="blue", pch = simbolos[1:dim(dados)[2]], merge = FALSE, bg = 'transparent', pt.bg="turquoise", pt.cex=1.5)

text(limsupx,0-limsupy*0.1, labels=bquote(lambda[1] == .(round(lam[1],4))),cex= 0.9) text(limsupx*0.98,0-limsupy*0.175, labels=c(round(expl[1],2)," %"),cex= 1.1) text(0+limsupx*0.2,limsupy, labels=bquote(lambda[2] == .(round(lam[2],4))),cex= 0.9) text(0+limsupx*0.18,limsupy*0.93, labels=c(round(expl[2],2)," %"),cex= 1.1) text(limsupx*0.55,liminfy*1.1, labels=c(round(expl[2]+expl[1],2),"Qualidade = % "),cex= 0.8, col="black") } ac.biplot(fi[,1],fi[,2],ro[,1],ro[,2],dados)

}

D.2 Análise de Correspondências Múltiplas

acm <- function(base.dados, var.sup, tipo){ # tipo = "dc" > ACM via Matriz Disjuntiva Completa # tipo = "burt" > ACM via Matriz de Burt # var.sup = 0 > ausência de variáveis suplementares # Matriz inicial de dados: if (min(var.sup)!=0){ dados <- base.dados[, -var.sup] dados.sup <- base.dados[, var.sup] } else { dados <- base.dados } # número de indivídus: I I <- nrow(dados) # número de variáveis: Q Q <- ncol(dados) # Criar matrix disjuntiva completa (Z): # numero de J.q de resposta por variável: J.q <- unlist(lapply(base.dados, nlevels))


# numero de J.q acumuladas J.q.cum <- cumsum(J.q) J <- sum(J.q) Q.t<-ncol(base.dados) Z<-matrix(0, nrow= I, ncol= J) basedados2<-lapply(base.dados, as.numeric) cat<-(c(0, J.q.cum[-length(J.q.cum)])) for (i in 1:Q.t) { Z[1:I + (I*(cat[i] + basedados2[[i]]-1))]<-1 } coluna.n<-rep(names(base.dados), unlist(lapply(base.dados, nlevels))) niveis <- unlist(lapply(base.dados, levels)) dimnames(Z)[[2]] <- paste(coluna.n, niveis, sep="") dimnames(Z)[[1]] <- as.character(1:I) if (min(var.sup)!=0){ cat.sup <- range(J.q.cum[var.sup]) Z.var.sup <- (cat.sup[1]-1):cat.sup[2] Z.dc <- Z[, -Z.var.sup] } else { Z.dc <- Z } J <- ncol(Z.dc) if (tipo=="dc"){ # Matriz de correspondencias: F <- Z.dc / sum(Z.dc) # Totais marginais coluna: c <- apply(F, 2, sum) # Totais marginais linha: l <- apply(F, 1, sum) # Aproximação de F: lc <- l %*% t(c) S <- (F - lc) / sqrt(lc) # Decomposição em valores singulares: dvs <- svd(S) # Valores próprios: lam <- dvs$d[1:(J-Q)]^2 # % explicação de cada eixo: expl <- 100*(lam / sum(lam)) # % inercia ajustada: lam.adj <- (Q / (Q-1))^2 * (lam[lam >= 1/Q] - 1/Q)^2 total.adj <- (Q / (Q-1)) * (sum(lam^2) - ((J-Q) / Q^2)) expl.adj <- 100 * (lam.adj / total.adj) # coordenadas das colunas: ro1 <- (dvs$v[,1] / sqrt(c)) * sqrt(lam[1]) ro2 <- (dvs$v[,2] / sqrt(c)) * sqrt(lam[2]) # coordenadas das linhas: fi1 <- (dvs$u[,1] / sqrt(l)) * sqrt(lam[1]) fi2 <- (dvs$u[,2] / sqrt(l)) * sqrt(lam[2]) # contribuicoes relativas: # colunas crc.1 <- 100 * (ro1^2 / (ro1^2+ro2^2)) crc.2 <- 100 * (ro2^2 / (ro1^2+ro2^2)) # linhas crl.1 <- 100 * (fi1^2 / (fi1^2+fi2^2)) crl.2 <- 100 * (fi2^2 / (fi1^2+fi2^2)) # contribuicoes absolutas: # colunas

134 Anexos

cac.1 <- 100 * dvs$v[,1]^2 cac.2 <- 100 * dvs$v[,2]^2 # linhas cal.1 <- 100 * dvs$u[,1]^2 cal.2 <- 100 * dvs$u[,2]^2 # Tabelas resumo: # Valores próprios e % explicação: aux <- length(expl.adj) print("Resumo", quote=FALSE) vpp <- data.frame(round(lam[1:aux], 2), round(expl[1:aux],1), round(cumsum(expl[1:aux]),1), round(expl.adj[1:aux],1), round(cumsum(expl.adj[1:aux]),1)) colnames(vpp) <- c("Valor pp","% expl", "% expl. acumulado", "% ajust.", "% ajust. acumulada") print(vpp) # colunas: print("Colunas:", quote=FALSE) col <- data.frame(round(c,3), round(ro1,3), round(ro2,3), round(cac.1,1), round(cac.2,1), round(crc.1,1), round(crc.2,1)) colnames(col) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(col) # linhas: print("Linhas:", quote=FALSE) lin <- data.frame(round(l,3), round(fi1,3), round(fi2,3), round(cal.1,1), round(cal.2,1), round(crl.1,1), round(crl.2,1)) colnames(lin) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(lin) # Coordenadas suplementares if (min(var.sup)!=0){ Z.star <- Z[, Z.var.sup] I.star <- nrow(Z.star) cs.star <- apply(Z.star, 2, sum) base <- Z.star / matrix(rep(cs.star, I.star), nrow = I.star, byrow = TRUE) b.star1 <- t(base) %*% cbind(fi1, fi2) } # Gráfico: acm.biplot <- function(rx, ry, cx, cy, Q, cat, cumcat, nomes, dados) { simbolos=c(21,22,24,25,23,15:20,0:2,5:7,9:14,8,3,4) pc <- rep(0, cumcat[Q]) pc[1:cumcat[1]] <- rep((simbolos[1]), J.q[1]) for(i in 1:(Q-1)) { pc[(1+cumcat[i]):(cumcat[i+1])] <- rep((simbolos[i+1]), J.q[i+1]) } limsupx <- 0 liminfx <- 0 if (max(rx)>max(cx)){limsupx <- max(rx)} else {limsupx <- max(cx)} if (min(rx)>min(cx)){liminfx <- min(cx)} else {liminfx <- min(rx)} limsupy <- 0 liminfy <- 0 if (max(ry)>max(cy)){limsupy <- max(ry)} else {limsupy <- max(cy)} if (min(ry)>min(cy)){liminfy <- min(cy)} else {liminfy <- min(ry)} #par(mar=c(5,4,3,1)) par(mar=c(2,2,1,1))

plot.default(cx,cy, axes=FALSE, pch="", xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1),

xlab=paste(""), ylab="", cex=2, panel.first = grid(9,9)) par(new=TRUE)


matplot(rx, ry, axes=FALSE, xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1), xlab ="", ylab="" , pch=".", cex=2)

axis(1, col="black", lwd = 1) axis(2, col="black", lwd = 1) box(col="black", lwd = 1) abline(h=0, v=0, lwd=0.5, lty="dotted", col="black") for(i in 1:cumcat[Q]) { points(cx[i],cy[i], pch=pc[i], cex=1.5, col="blue", bg="turquoise") text(cx[i], cy[i], labels = nomes[i], pos=3, cex=1) } title(main="", line=1,col.main = "blue3") #mtext(side=3, line=-1.5, cex=0.8, bquote(lambda[2] == .(round(lam[2],4)))) #text(max(rx)-1,y = NULL, pos=4, cex=0.8, bquote(lambda[1] == .(round(lam[1],2))))

legend(locator(1), legend= names(dados), col="blue", pch = simbolos[1:Q], merge = FALSE, bg = 'transparent', pt.bg="turquoise", pt.cex=1.5)

text(locator(1), labels=bquote(lambda[1] == .(round(lam[1],4))),cex= 0.9) text(locator(1), labels=c(round(expl[1],2)," %"),cex= 1.1) text(locator(1), labels=bquote(lambda[2] == .(round(lam[2],4))),cex= 0.9) text(locator(1), labels=c(round(expl[2],2)," %"),cex= 1.1) text(locator(1), labels=c(round(expl.adj[1],2)," %"),cex= 1.1,col="darkred") text(locator(1), labels=c(round(expl.adj[2],2)," %"),cex= 1.1,col="darkred")

text(locator(1), labels=c(round(expl[2]+expl[1],2),"Qualidade = %"),cex= 0.8, col="black") text(locator(1), labels=c(round(sum(lam),6),"Inércia = "),cex= 0.8, col="black") text(locator(1), labels=c(round(expl.adj[2]+expl.adj[1],2)," ( %)"),cex= 1, col="darkred") } # Output do gráfico através da matriz disjuntiva completa: print("MCA através da matriz disjuntiva completa:", quote = FALSE) print("", quote=FALSE) # Alterar o tipo de plot: acm.biplot(fi1, fi2, ro1, ro2, Q, J.q, J.q.cum, dimnames(Z)[[2]], dados) if (min(var.sup)!=0){ nomes.sup <- c("S1","S2","Id1","Id2","Id3","Id4") pc2<-c(21,21,24,24,24,24) for(i in (J.q.cum[Q-2]+1):(J.q.cum[Q]+2)) { i<-(i-(J.q.cum[Q-2])) points(b.star1[,1][i],b.star1[,2][i], pch=pc2[i], cex=1.5, col="maroon", bg="red") text(b.star1[,1][i], b.star1[,2][i], labels = nomes.sup[i], pos=3, cex=1, col="darkred") i<-(i+(J.q.cum[Q-2])) } } # Fim do if sobre a AC de uma matriz disjuntiva completa: } if (tipo=="burt"){ # Matriz de Burt: Burt <- t(Z.dc) %*% Z.dc # Matriz de correspondências: F.b <- Burt / sum(Burt) # Totais marginais coluna: c.b <- apply(F.b, 2 , sum) # Aproximação de F.burt: lc.b <- c.b %*% t(c.b) S.b <- (F.b - lc.b) / sqrt(lc.b) # Decomposição em valores próprios: dvs.b <- eigen(S.b) # Valores próprios: alpha <- dvs.b$values[1:(J-Q)] # % explicação de cada eixo:

136 Anexos

expl.b <- 100 * (alpha / sum(alpha)) # % inercia ajustada: lam.adj <- (Q / (Q-1))^2 * (alpha[alpha >= 1/Q] - 1/Q)^2 total.adj <- (Q / (Q-1)) * (sum(alpha^2) - ((J-Q) / Q^2)) expl.adj <- 100 * round(lam.adj / total.adj, 3) # coordenadas das colunas (ou linhas): ro1 <- (dvs.b$vectors[,1] / sqrt(c.b)) * sqrt(alpha[1]^2) ro2 <- (dvs.b$vectors[,2] / sqrt(c.b)) * sqrt(alpha[2]^2) # contribuicoes relativas: crb.1 <- 100 * (ro1^2 / (ro1^2+ro2^2)) crb.2 <- 100 * (ro2^2 / (ro1^2+ro2^2)) # contribuicoes absolutas: cab.1 <- 100 * dvs.b$vectors[,1]^2 cab.2 <- 100 * dvs.b$vectors[,2]^2 # Tabelas resumo: # Valores próprios e % explicação: aux <- length(expl.adj) print("Resumo", quote=FALSE) vpp <- data.frame(round(alpha[1:aux], 2), round(expl.b[1:aux],1), round(cumsum(expl.b[1:aux]),1), round(expl.adj[1:aux],1), round(cumsum(expl.adj[1:aux]),1)) colnames(vpp) <- c("Valor pp","% expl", "% expl. acumulado", "% ajust.", "% ajust. acumulada") print(vpp) # colunas (ou linhas): print("Colunas (ou linhas):", quote=FALSE) col <- data.frame(round(c.b,3), round(ro1,3), round(ro2,3), round(cab.1,1), round(cab.2,1), round(crb.1,1), round(crb.2,1)) colnames(col) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(col) # Coordenadas suplementares if (min(var.sup)!=0){ Z.star <- Z[, Z.var.sup] ct.star <- t(Z.star) %*% Z.dc I.star2 <- dim(ct.star)[2] cs.star2 <- apply(ct.star, 1, sum) base2 <- ct.star / matrix(rep(cs.star2, I.star2), ncol = I.star2) b.star2 <- base2 %*% cbind(ro1, ro2) } # Gráfico: acm.biplot.burt <- function(cx, cy, Q, cat, cumcat, nomes, dados) {

plot.default(cx,cy, pch="", axes=FALSE, xlim=range(cx)*1.2, ylim=range(cy)*1.2, xlab=paste(""), ylab="", cex=2, panel.first = grid(9,9))

axis(1, col="black", lwd = 1) axis(2, col="black", lwd = 1) box(col="black", lwd = 1) par(new=TRUE) abline(h=0, v=0, lwd=0.5, lty="dotted", col="black") simbolos=c(21,22,24,25,23,15:20,0:2,5:7,9:14,8,3,4) pc <- rep(0, cumcat[Q]) pc[1:cumcat[1]] <- rep((simbolos[1]), J.q[1]) for(i in 1:(Q-1)) { pc[(1+cumcat[i]):(cumcat[i+1])] <- rep((simbolos[i+1]), J.q[i+1]) } for(i in 1:cumcat[Q]) { points(cx[i],cy[i], pch=pc[i], cex=1.5, col="blue", bg="turquoise") #text(cx[i] -0.1, cy[i], labels = nomes[i], adj=c(0.5, 0.5))


text(cx[i], cy[i], labels = nomes[i], pos=3, cex=0.8) } title(main="", line=1,col.main = "blue3")

legend(locator(1), legend= names(dados), col="blue", pch = simbolos[1:Q], merge = FALSE, bg = 'transparent', pt.bg="turquoise", pt.cex=1.5)

text(locator(1), labels=bquote(lambda[1] == .(round(alpha[1],4))),cex= 0.9) text(locator(1), labels=c(round(expl.b[1],2)," %"),cex= 1.1) text(locator(1), labels=bquote(lambda[2] == .(round(alpha[2],4))),cex= 0.9) text(locator(1), labels=c(round(expl.b[2],2)," %"),cex= 1.1) # Ajustados: text(locator(1), labels=c(round(expl.adj[1],2)," %"),cex= 1.1,col="darkred") text(locator(1), labels=c(round(expl.adj[2],2)," %"),cex= 1.1,col="darkred")

text(locator(1), labels=c(round(expl.b[2]+expl.b[1],2),"Qualidade = % "),cex= 0.8, col="black")

text(locator(1), labels=c(round(sum(alpha),4),"Inércia = "),cex= 0.8, col="black") text(locator(1), labels=c(round(expl.adj[2]+expl.adj[1],2)," ( %)"),cex= 1, col="darkred") } # Output do gráfico através da matriz disjuntiva completa: print("MCA através da matriz de burt:", quote = FALSE) print("", quote=FALSE) # Alterar o tipo de plot: acm.biplot.burt(ro1,ro2, Q, J.q, J.q.cum, dimnames(Z)[[2]], dados) if (min(var.sup)!=0){ nomes.sup <- c("S1","S2","Id1","Id2","Id3","Id4") pc2<-c(21,21,24,24,24,24) for(i in (J.q.cum[Q-2]+1):(J.q.cum[Q]+2)) { i<-(i-(J.q.cum[Q-2])) points(b.star2[,1][i],b.star2[,2][i], pch=pc2[i], cex=1.5, col="maroon", bg="red") text(b.star2[,1][i], b.star2[,2][i], labels = nomes.sup[i], pos=3, cex=0.8) i<-(i+(J.q.cum[Q-2])) } } # Fim da AC sobre uma matriz de Burt: } # Fim da função:

}

D.3 Análise de Correspondências Conjuntas

Adapatado de Greenacre (2005): acc <- function(base.dados){

# Matriz inicial de dados: dados <- base.dados # número de indivídus: I I <- nrow(dados) # número de variáveis: Q Q <- ncol(dados) # Criar matrix disjuntiva completa (Z): # numero de J.q de resposta por variável: J.q <- unlist(lapply(base.dados, nlevels)) # numero de J.q acumuladas

138 Anexos

J.q.cum <- cumsum(J.q) J <- sum(J.q) Q.t<-ncol(base.dados) Z<-matrix(0, nrow= I, ncol= J) basedados2<-lapply(base.dados, as.numeric) cat<-(c(0, J.q.cum[-length(J.q.cum)])) for (i in 1:Q.t) { Z[1:I + (I*(cat[i] + basedados2[[i]]-1))]<-1 } coluna.n<-rep(names(base.dados), unlist(lapply(base.dados, nlevels))) niveis <- unlist(lapply(base.dados, levels)) dimnames(Z)[[2]] <- paste(coluna.n, niveis, sep="") dimnames(Z)[[1]] <- as.character(1:I) Z.dc <- Z J <- ncol(Z.dc) # Matriz de Burt: Burt <- t(Z.dc) %*% Z.dc # Actualização da matrix de burt (JCA) nd <- 2 maxit <- 1000 epsilon <- 0.0001 lev <- J.q n <- sum(Burt) li <- as.vector(c(0, cumsum(lev))) dummy <- matrix(0, J, J) for (i in 1:(length(li)-1)) { ind.lo <- li[i] + 1 ind.up <- li[i + 1] ind.ti <- diff(li)[1] dummy[rep(ind.lo:ind.up, ind.ti) + (rep(ind.lo:ind.up, each = ind.ti) -1) * J] <- 1 } iterate <- function(obj, dummy, nd, adj = FALSE) { Bp <- obj / n cm <- apply(Bp, 2, sum) eP <- cm %*% t(cm) cm.mat <- diag(cm^(-0.5)) S <- cm.mat %*% (Bp - eP) %*% cm.mat dec <- eigen(S) lam <- dec$values u <- dec$vectors phi <- u[, 1:nd] / matrix(rep(sqrt(cm), nd), ncol = nd) if (adj) lam <- (Q / (Q-1))^2 * (lam[lam >= 1 / Q])^2 for (s in 1:nd) { if (exists("coord")) { coord <- coord + lam[s] * (phi[, s] %*% t(phi[, s])) } else { coord <- lam[s] * (phi[, s] %*% t(phi[, s])) } } obj * (1 - dummy) + n * eP * dummy * (1 + coord) } # first iteration (adjusted lambda) B.star <- iterate(Burt, dummy, 2, adj=TRUE) # subsequent iterations k <- 1 it <- TRUE


while(it) { temp <-iterate(B.star, dummy, 2) delta.B <- max(B.star - temp) B.star <- temp if (delta.B <= epsilon | k >= maxit) it <- FALSE k <- k+1 } # Matriz de correspondências: F.c <- B.star / sum(B.star) # Totais marginais coluna: c.c <- apply(F.c, 2, sum) # Aproximação de F.c (Através da matriz de Burt actualizada): lc.c <- c.c %*% t(c.c) S.c <- (F.c - lc.c) / sqrt(lc.c) # Decomposição em valores próprios: dvs.c <- eigen(S.c) # Valores próprios: alpha.c <- eigen(S.c)$values lam.c <- alpha.c^2 # % explicação de cada eixo: expl.c <- 100 * (lam.c / sum(lam.c)) # coordenadas das colunas (ou linhas): ro1 <- (dvs.c$vectors[,1] / sqrt(c.c)) * sqrt(lam.c[1]) ro2 <- (dvs.c$vectors[,2] / sqrt(c.c)) * sqrt(lam.c[2]) # contribuicoes relativas: cr.c1 <- 100 * (ro1^2 / (ro1^2+ro2^2)) cr.c2 <- 100 * (ro2^2 / (ro1^2+ro2^2)) # contribuicoes absolutas: ca.c1 <- 100 * dvs.c$vectors[,1]^2 ca.c2 <- 100 * dvs.c$vectors[,2]^2 # Tabelas resumo: # Valores próprios e % explicação: aux <- length(expl.c) print("Resumo", quote=FALSE) vpp <- data.frame(round(lam.c[1:length(lam.c)], 2), round(expl.c[1:length(lam.c)],1), round(cumsum(expl.c[1:length(lam.c)]),1)) colnames(vpp) <- c("Valor pp","% expl", "% expl. acumulado") print(vpp) # colunas (ou linhas): print("Colunas (ou linhas):", quote=FALSE) col <- data.frame(round(c.c,3), round(ro1,3), round(ro2,3), round(ca.c1,1), round(ca.c2,1), round(cr.c1,1), round(cr.c2,1)) colnames(col) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(col) # subinr <- function(Burt, ind) { nn <- length(ind) subi <- matrix(NA, nrow= nn, ncol = nn) ind2 <- c(0, cumsum(ind)) for (i in 1:nn) { for (j in 1:nn) { tempmat <- Burt[(ind2[i] + 1):(ind2[i + 1]), (ind2[j] + 1):(ind2[j + 1])] tempmat <- tempmat / sum(tempmat) ec <- apply(tempmat, 2, sum) ex <- ec %*% t(ec) subi[i, j] <- sum((tempmat - ex)^2 / ex) }

140 Anexos

} subi / nn^2 } si <- subinr(B.star, lev) print( round(si, 5)) # Gráfico: mca.biplot.burt2 <- function(cx, cy, Q, cat, cumcat, nomes, dados) { par(mar=c(2,2,1,1))

plot.default(cx,cy, pch="",axes=FALSE, xlim=range(cx)*1.2, ylim=range(cy)*1.2, xlab=paste(""), ylab="", cex=2, panel.first = grid(9,9))

axis(1, col="black", lwd = 1) axis(2, col="black", lwd = 1) box(col="black", lwd = 1) abline(h=0, v=0, lwd=0.5, lty="dotted", col="black") simbolos=c(21,22,24,25,23,15:20,0:2,5:7,9:14,8,3,4) pc <- rep(0, cumcat[Q]) pc[1:cumcat[1]] <- rep((simbolos[1]), J.q[1]) for(i in 1:(Q-1)) { pc[(1+cumcat[i]):(cumcat[i+1])] <- rep((simbolos[i+1]), J.q[i+1]) } for(i in 1:cumcat[Q]) { points(cx[i],cy[i], pch=pc[i], cex=1.5, col="blue", bg="turquoise") #text(cx[i] -0.1, cy[i], labels = nomes[i], adj=c(0.5, 0.5)) text(cx[i], cy[i], labels = nomes[i], pos=3, cex=0.8) } title(main=c(""), line=1,col.main = "blue3") legend(locator(1), legend= colnames(dados), col="blue", pch = simbolos[1:dim(dados)[2]], merge = FALSE, bg = 'transparent', pt.bg="turquoise", pt.cex=1.5) text(locator(1), labels=bquote(lambda[1] == .(round(lam.c[1],4))),cex= 0.9) text(locator(1), labels=c(round(expl.c[1],2)," %"),cex= 1.1) text(locator(1), labels=bquote(lambda[2] == .(round(lam.c[2],4))),cex= 0.9) text(locator(1), labels=c(round(expl.c[2],2)," %"),cex= 1.1) text(locator(1), labels=c(round(expl.c[2]+expl.c[1],2),"Qualidade = % "),cex= 0.8, col="black") inercia <- {(lam.c[1]+lam.c[2])-sum(diag(si))}/{sum(lam.c)-sum(diag(si))}*100 text(locator(1), labels=c(round(inercia,2),"( %)"),cex= 1.1, col="darkred") } mca.biplot.burt2(ro1,ro2, Q, J.q, J.q.cum, dimnames(Z)[[2]], dados)

}

D.4 Análise de Correspondências Generalizada

acg <- function(dados, A, B){ # Matriz inicial de dados: K <- dados # Matriz de correspondencias: F <- K / sum(K) # numero de linhas e colunas: n <- nrow(F) p <- ncol(F) # vectores unitários: ul(n*1) uc(p*1) ul <- matrix(c(rep(1,n)),n,1) uc <- matrix(c(rep(1,p)),p,1)


# Totais marginais linha e coluna: l <- F %*% uc c <- t(F) %*% ul # Matrizes diagonais dos pesos: Dl <- diag(n) Dc <- diag(p) for (i in 1:n) Dl[i,i] <- l[i] for (i in 1:p) Dc[i,i] <- c[i] # Perfis linha e coluna: L <- solve(Dl) %*% F C <- solve(Dc) %*% t(F) #================================================================= # Matriz dos resíduos estandardizados: Q <- {(1/(A*(1+B)))*(solve(Dl) %*% F %*% solve(Dc))^A - B*ul%*%t(uc)} if (A==0){Q <- log(K)} S <- sqrt(Dl) %*% {diag(length(l)) - (1-B)*ul%*%t(l)} %*% Q %*% t(diag(length(c)) - (1-B)*uc%*%t(c)) %*% sqrt(Dc) #================================================================= # Decomposição em valores singulares: dvs <- svd(S) # Valores próprios: lam <- dvs$d^2 # Matriz diagonal: Dlam <- matrix(0,p,p) for (i in 1:p) Dlam[i,i] <- lam[i] # % explicação de cada eixo: expl <- 100 * (lam / sum(lam)) # coordenadas das colunas: ro <- (solve(sqrt(Dc)) %*% dvs$v) %*% sqrt(Dlam) # coordenadas das linhas: fi <- (solve(sqrt(Dl)) %*% dvs$u) %*% sqrt(Dlam) # contribuicoes relativas: # colunas crc.1 <- 100 * (ro[,1]^2 / (ro[,1]^2+ro[,2]^2)) crc.2 <- 100 * (ro[,2]^2 / (ro[,1]^2+ro[,2]^2)) # linhas crl.1 <- 100 * (fi[,1]^2 / (fi[,1]^2+fi[,2]^2)) crl.2 <- 100 * (fi[,2]^2 / (fi[,1]^2+fi[,2]^2)) # contribuicoes absolutas: # colunas cac.1 <- 100 * dvs$v[,1]^2 cac.2 <- 100 * dvs$v[,2]^2 # linhas cal.1 <- 100 * dvs$u[,1]^2 cal.2 <- 100 * dvs$u[,2]^2 # Tabelas resumo: # Valores próprios e % explicação: print("Resumo", quote=FALSE) vpp <- data.frame(round(lam, 2), round(expl,1), round(cumsum(expl),1)) colnames(vpp) <- c("Valor pp","% expl", "% expl. acumulado") print(vpp) # colunas: print("Colunas:", quote=FALSE) col <- data.frame(round(c,3), round(ro[,1],3), round(ro[,2],3), round(cac.1,1), round(cac.2,1), round(crc.1,1), round(crc.2,1)) colnames(col) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(col)

142 Anexos

# linhas: print("Linhas:", quote=FALSE) lin <- data.frame(round(l,3), round(fi[,1],3), round(fi[,2],3), round(cal.1,1), round(cal.2,1), round(crl.1,1), round(crl.2,1)) colnames(lin) <- c("Peso", "CoordenadaX", "CoordenadaY", "CaX", "CaY", "CrX", "CrY") print(lin) # Gráfico: acg.biplot <- function(rx, ry, cx, cy, dados) { simbolos=c(21,22,24,25,23,15:20,0:2,5:7,9:14,8,3,4) pc <- simbolos limsupx <- 0 liminfx <- 0 if (max(rx)>max(cx)){limsupx <- max(rx)} else {limsupx <- max(cx)} if (min(rx)>min(cx)){liminfx <- min(cx)} else {liminfx <- min(rx)} limsupy <- 0 liminfy <- 0 if (max(ry)>max(cy)){limsupy <- max(ry)} else {limsupy <- max(cy)} if (min(ry)>min(cy)){liminfy <- min(cy)} else {liminfy <- min(ry)} par(mar=c(2,2,1,1)) plot.default(cx,cy, xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1), axes=FALSE, pch="", xlab=paste(""), ylab="", cex=2, panel.first = grid(9,9)) par(new=TRUE) matplot(rx, ry, xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1), axes=FALSE, xlab ="", ylab="" , pch=".", cex=2, col="transparent") for(i in 1:dim(dados)[1]) { points(rx[i],ry[i], pch=pc[1], cex=0.9, col="blue", bg="turquoise") text(rx[i], ry[i], labels = rownames(dados)[i], pos=3, cex=0.8) } axis(1, col="black", lwd = 1) axis(2, col="black", lwd = 1) box(col="black", lwd = 1) abline(h=0, v=0, lwd=0.5, lty="dotted", col="black") for(i in 1:dim(dados)[2]) { points(cx[i],cy[i], pch=pc[3], cex=1.3, col="maroon", bg="red") text(cx[i], cy[i], labels = colnames(dados)[i], pos=3, cex=1) } title(main=c(""), line=1,col.main = "blue3")

legend(liminfx*1.1, limsupy*1.1, legend= colnames(dados), col="blue", pch = simbolos[1:dim(dados)[2]], merge = FALSE, bg = 'transparent', pt.bg="turquoise", pt.cex=1.5)

text(limsupx,0-limsupy*0.1, labels=bquote(lambda[1] == .(round(lam[1],4))),cex= 0.9) text(limsupx*0.98,0-limsupy*0.175, labels=c(round(expl[1],2)," %"),cex= 1.1) text(0+limsupx*0.2,limsupy, labels=bquote(lambda[2] == .(round(lam[2],4))),cex= 0.9) text(0+limsupx*0.18,limsupy*0.93, labels=c(round(expl[2],2)," %"),cex= 1.1)

text(limsupx*0.55,liminfy*1.1, labels=c(round(expl[2]+expl[1],2),"Qualidade = % "),cex= 0.8, col="black")

} acg.biplot(fi[,1],fi[,2],ro[,1],ro[,2],dados)

}

#----------------------------------------------------------------------------------------------------------

# Método/Parâmetros | A (alpha) B(beta) |

#----------------------------------------------------------------------------------------------------------

# Para a AC simples | 1 0 |

# Para a AC via distancia de Hellinger | 1/2 1 |

# Para o SM | 0 0 |

#----------------------------------------------------------------------------------------------------------


D.5 Transição da Análise de Correspondências para o Spectral Mapping

# Matriz inicial de dados: K <- dados # Matriz de correspondencias: F <- K / sum(K) # numero de linhas e colunas: n <- nrow(F) p <- ncol(F) # vectores unitários: ul(n*1) uc(p*1) ul <- matrix(c(rep(1,n)),n,1) uc <- matrix(c(rep(1,p)),p,1) # Totais marginais linha e coluna: l <- F %*% uc c <- t(F) %*% ul # Matrizes diagonais dos pesos: Dl <- diag(n) Dc <- diag(p) for (i in 1:n) Dl[i,i] <- l[i] for (i in 1:p) Dc[i,i] <- c[i] # Perfis linha e coluna: L <- solve(Dl) %*% F C <- solve(Dc) %*% t(F) # Gráfico: acg.biplot <- function(rx, ry, cx, cy, dados) { simbolos=c(21,22,24,25,23,15:20,0:2,5:7,9:14,8,3,4) pc <- simbolos limsupx <- 0 liminfx <- 0 if (max(rx)>max(cx)){limsupx <- max(rx)} else {limsupx <- max(cx)} if (min(rx)>min(cx)){liminfx <- min(cx)} else {liminfx <- min(rx)} limsupy <- 0 liminfy <- 0 if (max(ry)>max(cy)){limsupy <- max(ry)} else {limsupy <- max(cy)} if (min(ry)>min(cy)){liminfy <- min(cy)} else {liminfy <- min(ry)} par(mar=c(2,2,1,1)) plot.default(cx,cy, xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1), axes=FALSE, pch="", xlab=paste(""), ylab="", cex=2, panel.first = grid(9,9)) par(new=TRUE) matplot(rx, ry, xlim=c(liminfx*1.1,limsupx*1.1), ylim=c(liminfy*1.1,limsupy*1.1), axes=FALSE, xlab ="", ylab="" , pch=".", cex=2, col="transparent") for(i in 1:dim(dados)[1]) { points(rx[i],ry[i], pch=pc[1], cex=0.9, col="blue", bg="turquoise") text(rx[i], ry[i], labels = rownames(dados)[i], pos=3, cex=0.8) } axis(1, col="black", lwd = 1) axis(2, col="black", lwd = 1) box(col="black", lwd = 1) abline(h=0, v=0, lwd=0.5, lty="dotted", col="black") for(i in 1:dim(dados)[2]) { points(cx[i],cy[i], pch=pc[3], cex=1.3, col="maroon", bg="red") text(cx[i], cy[i], labels = colnames(dados)[i], pos=3, cex=1) }

144 Anexos

title(main=c(""), line=1,col.main = "blue3") legend(liminfx*1.1, limsupy*1.1, legend= colnames(dados), col="blue", pch = simbolos[1:dim(dados)[2]], merge = FALSE, bg = 'transparent', pt.bg="turquoise", pt.cex=1.5)

text(limsupx,0-limsupy*0.1, labels=bquote(lambda[1] == .(round(lam[1],4))),cex= 0.9) text(limsupx*0.98,0-limsupy*0.175, labels=c(round(expl[1],2)," %"),cex= 1.1) text(0+limsupx*0.2,limsupy, labels=bquote(lambda[2] == .(round(lam[2],4))),cex= 0.9) text(0+limsupx*0.18,limsupy*0.93, labels=c(round(expl[2],2)," %"),cex= 1.1) text(limsupx*0.55,liminfy*1.1, labels=c(round(expl[2]+expl[1],2),"Qualidade = % "),cex= 0.8, col="black") } for (i in 100:1){ alpha <- i/100 # Matriz dos resíduos estandardizados: Q <- (1/alpha)*{(solve(Dl) %*% F %*% solve(Dc))^alpha} S <- sqrt(Dl) %*% {diag(length(l)) - ul%*%t(l)} %*% Q %*% t(diag(length(c)) - uc%*%t(c)) %*% sqrt(Dc) # Decomposição em valores singulares: dvs <- svd(S) # Valores próprios: lam <- dvs$d^2 # Matriz diagonal: Dlam <- matrix(0,p,p) for (i in 1:p) Dlam[i,i] <- lam[i] # % explicação de cada eixo: (expl <- 100 * (lam / sum(lam))) # coordenadas das colunas: ro <- (solve(sqrt(Dc)) %*% dvs$v) %*% sqrt(Dlam) # coordenadas das linhas: fi <- (solve(sqrt(Dl)) %*% dvs$u) %*% sqrt(Dlam) acg.biplot(fi[,1],fi[,2],ro[,1],ro[,2],dados) if (i==100) Sys.sleep(2) Sys.sleep(0.1) }

E. ACM via Distância de Hellinger

No capítulo seis optou-se por utilizar a técnica da ACM tradicional (via

distância do qui-quadrado), pois o resultado gráfico da abordagem que utiliza a

distância de Hellinger não permitia uma investigação conjunta das variáveis em

análise com as pré-seleccionadas para apoiar as conclusões (variáveis

suplementares).

Em seguida mostra-se o resultado da análise com a distância de Hellinger:


Olhando para a disposição das variáveis suplementares (a vermelho),

verificamos que esta análise produz uma representação diferente. Todavia, é

necessário realizar uma rotação nos eixos para poder comparar estes resultados

com os expostos no capítulo seis.

Apesar da alteração da distância, é curioso verificar que as principais relações

analisadas no capítulo seis mantêm-se.

146 Anexos

F. Inércias e Contribuições das Colunas

Inércia % Expl. % Expl. Acumulada % Expl. Ajustada % Expl. Aj. Acumulado

1 0.149 8.0 8.0 30.7 30.7

2 0.120 6.5 14.6 11.1 41.8

3 0.110 6.0 20.5 6.5 48.3

4 0.108 5.8 26.3 5.6 53.9

5 0.102 5.5 31.8 3.6 57.5

6 0.097 5.2 37.1 2.4 59.9

7 0.091 4.9 42.0 1.2 61.1

8 0.089 4.8 46.9 0.9 62.0

9 0.085 4.6 51.5 0.4 62.4

10 0.081 4.4 55.9 0.1 62.5

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Contribuições RelativasContribuições Absolutas

tese anexos v5 - ulisboa...126 anexos a. demonstração do primeiro resultado em 4.2.2.1 neste anexo...

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