tercer reporte de avance de tesis” -...

de 21

TEMA:

ANÁLISIS DE LA FORMACIÓN DE ARRUGAS EN EL EMBUTIDO

“TERCER REPORTE DE AVANCE DE TESIS”

ESTIMACIÓN DEL GRADO DE AVANCE: 46 %

TESISTA:

ING. LUIS ERNESTO GARCÍA GRACIANO

ASESOR:

DR. DIRK FREDERIK DE LANGE

Junio 2011

Índice:

Cronograma

Descripción del proyecto

Objetivo

Alcance

Antecedentes teóricos y revisión bibliográfica

Desarrollo teórico del fenómeno de arrugas

Modelo FEM

Referencias

Anexo: “Memorias de la VIII Reunión Internacional de Ingeniería Mecánica”

de 21

AVANCE DEL PROYECTO Y CRONOGRAMA:

A continuación se presenta el programa original de las actividades del proyecto:

El avance respecto a lo planeado se muestra en el siguiente cuadro:

El porcentaje de avance es de 46%

DESCRIPCIÓN DEL PROYECTO:

Se pretende desarrollar un estudio del fenómeno que se presenta al trabajar mecánicamente hojas

metálicas, el fenómeno es conocido como “arrugas” el cual se presenta como ondulaciones del material

específicamente al ser sometido a esfuerzos en el proceso de manufactura conocido como “embutido”.

OBJETIVO:

Desarrollar una teoría que prediga el “arrugamiento” (o presencia de arrugas) en el embutido, de tal

manera que se puedan predecir valores de los parámetros que sean determinantes en la ocurrencia de

dichas arrugas; logrando con ello, plantear una plataforma que posteriormente permita proponer

alternativas que hagan posible mantener el tamaño de las arrugas dentro de límites deseados. Lo anterior

en el marco de la reducción del “costo computacional” que hasta ahora implica dicho estudio.

MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ENE FEB MAR ABR MAY JUN

A Planeación 15% 15% 15% 10% 35% 8%

B Antecedentes 10% 15% 40% 15% 15% 15% 10%

C Fem 10% 60% 30% 30% 25% 25% 25% 18%

D Criterio 30% 30% 40% 40% 40% 30% 19%

E Implementación 50% 80% 80% 80% 26%

F Paper 10% 20% 20% 4%

G Tesis 10% 10% 10% 10% 20% 100% 14%

25% 15% 25% 25% 75% 75% 75% 75% 75% 75% 75% 100% 100% 100% 100% 100% 100%TIEMPO DEDICADO

ACTIVIDADAÑO 2010 AÑO 2011

% Activ.

de 21

ALCANCE

Análisis de alternativas FEM para embutido.

Proponer una solución teórica del fenómeno en cuestión, formulando un criterio de arrugas, la

cual deberá implicar las diferentes variables que resultan ser más significativas para este estudio.

Implementación del criterio de falla y evaluación de su validez.

ANTECEDENTES TEÓRICOS Y REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

En general se han presentado en avances anteriores los antecedentes de estudios realizados sobre el tema

de arrugamiento en el embutido. De manera particular en este avance se presenta principalmente el

resultado del análisis teórico o solución analítica de la viga en pandeo libre.

Con ello se compararán los resultados obtenidos al realizar el estudio de pandeo en la viga con

restricción.

ANÁLISIS DE PANDEO LIBRE

El análisis de pandeo libre o sin restricciones es un caso tratado y resuelto en diversa bibliografía básica

de mecánica de materiales y diseño mecánico [4],[5]. A continuación se presentan los resultados de

dichos estudios, para mayor detalle referirse a las notas presentadas en el archivo anexo de la XVII

Reunión de Ingeniería Mecánica.

El modelo de la viga en cuestión es como se muestra en la figura 1.

Al considerar las condiciones iniciales y resolver la ecuación de momentos en el modelo de la viga, se

obtiene la ecuación de solución para v(x) y con ello se determina la “carga crítica” Pc de Euler:

No debe perderse de vista que el análisis mostrado se ha realizado para una viga pivotada en sus

extremos de longitud L. En la figura 3 se muestra el pandeo elástico en columnas con diferentes

restricciones en sus extremos.

En la figura 2 se indica con Le la longitud equivalente al caso que se resolvió. En el inciso c de dicha

figura (lo cual corresponde al caso de una viga con empotramiento en los extremos) la ecuación para la

carga crítica estará dada por:

P P

L/2 L/2

P P

M

vx

(a) (b)

Figura 1

P P

L/2 L/2

P P

M

vx

(a) (b)

Figura 1Figura 1 a) Viga con soporte y cargas,

b) Deformación supuesta.

de 21

Este estudio mostrado de la literatura resulta de gran interés para la finalidad del desarrollo de tesis, ya

que como puede verse, por una parte nos da una solución de viga sin restricciones. Pero sobre todo, por

otro lado, muestra cómo es posible revisar el estudio de la viga solucionando solo una parte de la misma

y con lo demostrado, extrapolar el resultado a la forma de la viga que sea de nuestro interés.

Nótese que el inciso c de la figura 2 corresponde a la forma de la viga que se desarrollará en el presente

trabajo.

DESARROLLO TEÓRICO DEL FENÓMENO DE ARRUGAS

ANÁLISIS DE PANDEO CON RESTRICCIÓN

Ahora se considera el modelado de la viga con una fuerza estabilizadora, la cual se origina del contacto

con dos paredes entre las que está encerrada la viga, limitando así el desplazamiento v y por lo mismo

aportando estabilidad a la deformación ilimitada en caso que ocurra el pandeo de la viga. En la figura 3

se ilustra la situación estudiada.

Figura 3 Deformación propuesta de la viga.

Pared

columnaP P

Pared

Figura 2 Casos equivalentes para diferentes modos de soporte. Figura 3

L=Le

P PP

2L=Le L/2=Le

L/4

L/4

L

(a) (b) (c)

de 21

Se considera que las paredes son completamente rígidas y que no hay deformación local de la viga en las

zonas que se encuentren en contacto con las paredes. En este caso, las fuerzas que aparecen al existir una

pequeña deformación ondulatoria en la viga, se considerarán como puntuales. Asumiendo periodicidad y

simetría, se puede reducir el problema a la mitad de un periodo de la ondulación, usando una

equivalencia de longitudes similar a la indicada en la figura 2, por lo que la sección de la viga entre las

líneas punteadas es representativa para la viga completa de acuerdo a la longitud equivalente . Esto se esquematiza en la figura 4, dibujando la viga con cargas correspondientes, introduciendo una nueva

fuerza F que dará estabilidad a la viga cuando ésta empieza a deformarse debido a la fuerza de pandeo

P.

Para ello se busca alguna analogía con estudios en la literatura [7], [8]. El planteamiento para modelar

este caso se realiza tomando la mitad izquierda de la viga demostrada en la figura 4b, considerando que

la viga se encuentra empotrada en la mitad, justo en el punto donde se muestra la fuerza F. La figura 5

nos muestra este modelo de donde se obtendrá la ecuación de momentos.

Si planteamos la ecuación diferencial del modelo (Ecuación de momentos) y la resolvemos, tal como se detalla en anexo de las notas presentadas en el archivo de la XVII Reunión de Ingeniería Mecánica.

Como resultado se determina entonces la expresión para el desplazamiento, primera y segunda derivada

del desplazamiento:

Figura 5 modelado de la sección de la viga.

P

F/2

M

v

x

Figura 4 a) Viga con soporte y cargas,


F

P P

L/2 L/2

P P

F

F/2

M

v

xF/2

(a) (b)

Figura 4

F

P P

L/2 L/2

P P

F

F/2

M

v

xF/2

(a) (b)

Figura 4

de 21

Se han analizado las ecuaciones encontradas y al proponer el caso específico de una viga con las

siguientes especificaciones:

Si se grafican las expresiones relacionadas con el desplazamiento, se han encontrado interesantes

resultados. Para ello se presentan las gráficas en las figuras 6,7 y 8.

Figura 6 Gráfica de desplazamiento de la viga restringida bajo diferentes condiciones de carga.

Figura 7 Gráfica de la derivada del desplazamiento en función de x

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016Desplazamiento como función de posición x

P=Pc

P=2*Pc

P=3*Pc

P=4*Pc

P=5*Pc

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035Derivado desplazamiento como función de posición x

P=Pc

P=2*Pc

P=3*Pc

P=4*Pc

P=5*Pc

Longitud (Le) 2.0m

Ancho 0.05m

Espesor 0.05m

Material Acero estructural

Módulo de elasticidad 210GPa

delta (gap) 0.03m

de 21

Figura 8 Gráfica de la segunda derivada del desplazamiento en función de x

En el mismo documento anexo al que se ha hecho mención, se explica (tal como se puede interpretar en

estas gráficas); que la ecuación propuesta para este caso tiene un rango de validez limitado en un valor

de fuerza axial aplicado, de no más de 4 veces la fuerza crítica de Euler (correspondiente al valor de

fuerza en que se presenta la falla por pandeo sin restricciones).

Sin embargo no es claro que pasa después de este valor; se ha propuesto que la forma de la viga cambie

a dos secciones, una recta y una curva con la misma forma y condiciones de esta solución, pero con una

longitud reducida. Esto se muestra en la figura 9.

Figura 9 forma propuesta de la viga una vez que el valor de P es mayor a 4 veces el valor de la Fuerza Crítica en el análisis

de pandeo de Euler.

Se tiene además una ecuación que permite determinar el valor de la fuerza de restricción, que para el

caso del embutido será la fuerza del pisador.

Lo cual nos permite obtener que para un valor de F cercano a 8 veces la Fuerza Crítica de Euler, no hay

un valor de F capaz de lograr la estabilidad de la viga lo cual se visualiza en la Figura 10. Sin embargo

precisamente este es un punto importante de discusión que se tiene actualmente, ya que esto se ha

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03Segundo derivado desplazamiento como función de posición x

P=Pc

P=2*Pc

P=3*Pc

P=4*Pc

P=5*Pc

Pared

columnaP

Pared

P

de 21

determinado en base a la formulación de las figuras 4 y 5, en tanto que esto no es necesariamente válido

de acuerdo a la predicción de deformación a que se hace referencia en la figura 9.

Figura 10 Gráfica del comportamiento de la fuerza F conforme varía P

*(donde P* es el número de veces la Fuerza Crítica de

Pandeo de Euler).

MODELO FEM

Con la finalidad de corroborar y ampliar los resultados encontrados analíticamente, se ha desarrollado

un modelo de una viga en la parte simétrica a la figura 5. Dicho modelo se presenta en la figura 11

(ahora empotrado en el otro extremo).

Figura 11 Gráfica de la deformación a pandeo de la viga empotrada

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5 Fuerza como funcion de Pc

de 21

En el gráfico de la figura 12 se presentan los valores de la deformación conforme varía la carga axial

aplicada.

Figura 12 Gráfica de los valores de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada.

Los resultados obtenidos están de acuerdo a lo esperado; sin embargo ahora que se ha logrado modelar,

resta el análisis importante, que es experimentar el comportamiento de la viga conforme P aumente hasta

valores entre 4 y 8 veces el valor de la Fuerza crítica de Euler, e incluso por encima de este valor.

De acuerdo a lo planteado, en las figuras13 y 14 se presentan los resultados cuando a la viga restringida

se le aplica un valor de P* = 6.

Figura 13 Gráfica de la deformación a pandeo de la viga empotrada con P*=6 con una escala de 10 en la deformación.

de 21

Figura 14 Gráfica de los valores de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=6.

Si seguimos aumentando la carga aplicada para valores por encima de la supuesta inestabilidad de la

viga.

Para ello se ha resuelto una vez más en COMSOL y se presentan los resultados en la figura 15, en donde

se aprecia como la viga sigue incrementando una sección recta.

En adelante los resultados de la gráfica de la viga deformada son presentados en una ampliación de

factor 10.

Figura 15 Gráfica de la forma de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=11 una escala de

10 en la deformación.

de 21



Es evidente en la Figura 16 donde P*=12, que la forma de la viga conforme aumenta P, es de la manera

que se predijo.

Ahora veamos en la Figura 17 que cuando P*=14 la viga pierde su forma nuevamente, presentando un

desplazamiento ahora en el extremo izquierdo, mismo que empezó a aparecer en P*=12 en la figura 16.



de 21

Figura 18 Gráfica de los valores de deformación a pandeo de la viga empotrada contra la fuerza aplicada P*=14 La línea azul

muestra la deformación total del extremo derecho mientras que la línea punteada muestra solamente la deformación v..

En P*=14 se aprecia claramente como la viga empieza a deformarse ahora en donde se había

considerado el empotramiento.

En estos últimos gráficos se muestra como empieza a suceder otro modo del pandeo en la viga.

CONCLUSIONES

Se ha comparado el comportamiento de la viga libre de Euler y la viga con la restricción de este caso

particular, permitiendo valorar que tan significativa es la restricción y cómo cambia la estabilidad de la

viga. El análisis de pandeo dentro de un espacio formado por dos paredes ha mostrado que la fuerza

compresiva puede tener un valor de hasta 4 veces el nivel de la carga crítica de Euler para la misma viga

sin restricción.

En cuanto a la solución teórica del pandeo restringido, se ha encontrado la ecuación para determinar la

fuerza que ejerce la pared a la viga, o sea la fuerza que se necesita para estabilizar la viga manteniendo

la pared a la distancia indicada.

Al sobrepasar este nivel de fuerza, inicia un proceso en que la longitud de onda se va reduciendo Se ha

estimado la longitud de onda que aparece en la viga.

La fuerza F necesaria para estabilizar la viga se definió en función de la fuerza P aplicada a la viga y el

valor prescrito de desplazamiento (gap).

Por otra parte el modelo de la viga restringida se ha modelado exitosamente y ello nos permitirá

experimentar sobre el comportamiento de nuestro modelo en condiciones de carga mayor.

Se está discutiendo aún un punto importante que se nos ha expuesto en un par de ocasiones en que se ha

presentado avance de nuestro modelo teórico. Esto es, que nuestra solución de viga está resuelta en el

de 21

rango elástico del material; sin embargo si se desea aplicar al proceso de embutido, es menester enfatizar

que este proceso implica una deformación plástica del material.

En este sentido se tiene una teoría aplicada a vigas que refiere a cómo es posible hacer una

consideración de que el módulo tangencial es similar en valor al módulo ingenieril [8], pero ello aún es

tema de análisis y discusión en el proceso de la formulación que se pretende establecer para esta tesis.

Se está trabajando en mayor cantidad de análisis de la viga con nuevas variaciones de los parámetros

como carga P, fuerza F y distancia entre paredes para con ello ampliar el rango de solución.

Se revisará el planteamiento teórico para poder extrapolar los resultados obtenidos a la nueva

deformación de la viga a aumentar P*.

REFERENCIAS

[1]. Free Vibration Analysis of Multiple Delaminated Beams under Axial Compressive Load.

Journal of Reinforced Plastics & Composites, Della, C. N., & Dongwei, S. (2009).

[2]. Combined Torsional-Bending-Axial Dynamics of a Twisted Rotating Cantilever Timoshenko

Beam With Contact-Impact Loads at the Free End. Journal of Applied Mechanics, Sinha, S. K.

(2007).

[3]. Nonlinear dynamic modeling, instability and post-buckling analysis of a rotating beam with a

flexible support, S. F. Xiao – M Yang, Republic of China, 2006

[4]. Mecánica de Materiales 7ª edición, James M Gere-Barry J Goodno, Cengage Learning, 2009.

[5]. Diseño en ingeniería mecánica de Shigley 8ª edición, Budynas-Nisbett, Mc Graw Hill, 2008

[6]. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 6ª edición, Dennis G. Zill, Ed.

Thompson 1997

[7]. Introducción a las estructuras de edificación Tomo 1, Universidad Politécnica de Valencia, A.

Durá – I. Cabrera – E. Fenollosa – A. Martínez B. – A. Perez – B. Serrano, 2005

[8]. Introducción a la Mecánica de los Sólidos, E. Popov, Ed. Pearson, 2000.

[9]. Prediction of flange wrinkling in deep drawing process using bifurcation criterion Ravindra K.

Saxena, P.M. Dixit, 2010

[10]. Material conferencia Sistemas ópticos GOM 2009- CIMCO, Daniel Rodríguez, 2009.

[11]. Herramentales desde el diseño, Peter Ulintz, Anchor Manufacturing Group, Inc., Cleveland,OH,

2008.

[12]. Fundamentals of Modern Manufacturing, Mikell P. Groover, 2007.

[13]. Prediction of Wrinkling Initiation in Sheet Metal Forming Processes, J.B. Kim, D.Y. Yang,

2002.

de 21

[14]. Control of Blank Holder Force to Eliminate Wrinkling and Fracture in Deep-Drawing

Rectangular Parts, M. Ahmetoglu, T. R. Broek, G. Kinzel, T. Altan (1) Ohio State University,

College of Engineering, Columbus, USA, 1995.

[15]. Controlled FEM Simulation for Determining History of Blank Holding Force in Deep Drawing

Kozo Osakada ( l ) ,C han Chin Wang, Ken-ichi Mori, Faculty of Engineering Science, Osaka

University, Osaka, Japan,1995.

MEMORIAS DE LA VIII REUNIÓN INTERNACIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA

18 al 20 DE MAYO 2011, SAN LUIS POTOSÍ, S.L.P., MÉXICO

Derechos Reservados © 2011, ITSLP

ANÁLISIS DE PANDEO DE UNA VIGA CON RESTRICCIÓN DE UNA FUERZA

ESTABILIZADORA Luis Ernesto García Graciano

1, Dirk Frederik de Lange

1, Hugo Iván Medellin Castillo

1, Pedro de Jesús

García Zugasti2.

1 Centro de Investigación y Estudios de Posgrado (CIEP), Facultad de Ingeniería,

Universidad Autónoma de San Luis Potosí, San Luis Potosí, S.L.P., México.

2 Posgrado en Ingeniería Mecánica, Instituto Tecnológico de San Luis Potosí,

San Luis Potosí, S.L.P., México.

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMEN

En este trabajo se presenta el análisis del pandeo en

una viga con restricción de una fuerza estabilizadora.

Para ello se empieza revisando brevemente, el bien

conocido pandeo (según Euler), para enseguida

adentrarse en el caso particular de una viga

restringida por paredes. Esta restricción presentará

la aparición de una fuerza que evitará que la falla

por pandeo ocurra en los valores de carga crítica

conocidos de la literatura. El estudio y análisis de las

ecuaciones es mostrado mediante una explicación del

resultado, acompañado de algunas gráficas que

permiten lograr una mejor interpretación.

INTRODUCCIÓN

Muchos estudios se han realizado del comportamiento

de una viga sometida a cargas que provocan en ellas

una deformación [1], [2], [3]. Tal es el caso específico

de la deformación inestable de vigas sometidas a

fuerzas de compresión axial conocida como pandeo;

esto ha sido la base para cálculo de diseño y

seguridad de estructuras. Sin embargo la mayoría de

las aplicaciones no involucran simplemente una

fuerza de compresión [2].

El interés para el estudio de pandeo en este trabajo,

tiene su origen en el estudio de la formación de

arrugas en el proceso de embutido. Al tratar de

predecir el fenómeno de arrugamiento se han

encontrado importantes estudios que se fundamentan,

en su mayoría, en teorías de trabajo y energía. En este

trabajo se busca una propuesta diferente, que se

fundamente en una analogía entre una zona de lámina

y una viga con carga compresiva, comparando el

proceso de arrugamiento de la lámina con el pandeo

de la viga. Es claro pensar que en dicho proceso de

embutido, la lámina no solo experimenta

combinaciones de esfuerzos de compresión y tensión

en el plano, pero de todas las variables adicionales

involucradas, la de mayor relevancia es la fuerza del

pisador.

En este marco se propone solucionar la viga en

pandeo con una restricción que simule el efecto de tal

pisador mediante unas paredes (figura 4). La

restricción propuesta brindará la posibilidad de

estabilizar la viga, permitiendo que la fuerza crítica

axial (de compresión), que ordinariamente causa el

pandeo, sea de una magnitud mayor antes de lograr

que la viga falle por pandeo.

Aunque el origen del interés está en la formación de

arrugas en láminas, en el resto de este trabajo se

limita al estudio del pandeo de vigas, considerando

que el análisis y conclusiones para este caso de

estudio podrían ser de interés incluso para otras

aplicaciones en que se use vigas restringidas por

paredes.

ANÁLISIS DE PANDEO LIBRE

El análisis de pandeo libre o sin restricciones es un

caso tratado y resuelto en diversa bibliografía básica

de mecánica de materiales y diseño mecánico [4],[5].

A continuación presentaremos un breve resumen de

dicho estudio con la finalidad de posteriormente

relacionarlo con el caso de pandeo restringido,

propuesto en este artículo.

P P

L/2 L/2

P P

M

vx

(a) (b)

Figura 1

P P

L/2 L/2

P P

M

vx

(a) (b)

Figura 1 Figura 2 a) Viga con soporte y cargas, b) Deformación supuesta.




La figura 1a muestra las condiciones de soporte de la

viga, mientras que en la figura 1b se esquematiza el

diagrama de fuerzas y momentos, junto con una

deformación v(x) supuesta.

Para pequeñas deformaciones v el momento M en la

viga está dado por:

donde v” es la segunda derivada de la deformación v

con respeto a la posición x, mientras que E y I son el

módulo de elasticidad y el momento de inercia con

respecto al eje de flexión, respectivamente. De la

figura 1b se puede establecer que el momento de

reacción causado por la carga ejercida P es:

Resultando de esta manera que la ecuación diferencial

que modela el problema de pandeo es:

La ecuación (2) la podemos reescribir como:

introduciendo el coeficiente α como:

Se aprecia que es una ecuación diferencial

homogénea cuya solución [6] es del tipo:

Para el caso bajo estudio las condiciones de frontera

son:

,

de donde se obtiene que = 0.

El coeficiente puede tener cualquier valor desigual

a cero, considerando que = 0 da una solución

trivial, mientras que se cumpla que .

Esta condición se cumple cuando:

Es importante que al satisfacer este criterio, la

solución (6) es válida con cualquier magnitud de .

Dado que grandes deformaciones no son aceptables

por causar momentos excesivos, esto implica que

estas condiciones son críticas. Al sustituir y

resolver para P se obtiene la relación de “carga

crítica” Pc de Euler:

Para cargas la viga no resiste y se flexiona de

manera ilimitada, reaccionando con una fuerza de

reacción axial que se limita al valor de Pc ; mientras

que para casos en lo que la única solución

posible es la solución trivial en lo que ,

indicando que la viga soportará la carga axial sin

ninguna deformación. Es preciso mencionar que en

realidad siempre existe una imperfección de carga o

rectitud de la viga por lo que existe alguna

deformación para cargas sub-criticas, pero para este

caso se hace referencia a la literatura [8].

La ecuación (9) mostrada indica que la fuerza crítica

solo depende de las propiedades del material, de la

sección del mismo y de la longitud de la barra.

Normalmente, el valor de Pc más relevante es el valor

mínimo, que ocurre para n=1, pero existen también

soluciones “teóricas” para otros valores de n,

correspondientes a deformaciones con longitudes de

onda más cortas. En la figura 2 se muestran las

formas de la ondulación de la viga para los casos de

n=2 y n=3. Estos modos de orden superior no tienen

significado físico en el problema de pandeo estático

dado que el problema ya es inestable antes de llegar a

este nivel de la carga, aunque para cargas dinámicas

(impactos) podrían tener relevancia.

Entonces, la carga crítica de compresión (o carga de

pandeo de Euler) para una columna recta es:

No debe perderse de vista que el análisis mostrado se

ha realizado para una viga pivotada en sus extremos

de longitud L. En la figura 3 se muestra el pandeo

elástico en columnas con diferentes restricciones en

sus extremos.

Figura 3 Modos de pandeo sin restricción.

P

Figura 2

L

P

P

x

v

M

Pc 4Pc 9Pc

n=1 n=2 n=3

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)




En la figura 3 se indica con Le la longitud equivalente

al caso que se resolvió. Por ejemplo, en la figura del

inciso c (lo cual corresponde al caso de una viga con

empotramiento en los extremos) la ecuación para la

carga crítica estará dada por:

ANÁLISIS DE PANDEO CON RESTRICCIÓN

Ahora se considera el modelado de la viga con una

fuerza estabilizadora, la cual se origina del contacto

con dos paredes entre las que está encerrada la viga,

limitando así el desplazamiento v y por lo mismo

aportando estabilidad a la deformación ilimitada en

caso que ocurra el pandeo de la viga. En figura 4 se

ilustra la situación estudiada.

Se considera que las paredes son completamente

rígidas y que no hay deformación local de la viga en

las zonas que se encuentren en contacto con las

paredes. En este caso, las fuerzas que aparecen al

existir una pequeña deformación ondulatoria en la

viga, se considerarán como puntuales. Asumiendo

periodicidad y simetría, se puede reducir el problema

a la mitad de un periodo de la ondulación, usando una

equivalencia de longitudes similar a la indicada en la

figura 3, por lo que la sección de la viga entre las

líneas punteadas es representativa para la viga

completa de acuerdo a la longitud equivalente .

Esto se esquematiza en la figura 5, dibujando la viga

con cargas correspondientes, introduciendo una nueva

fuerza F que dará estabilidad a la viga cuando ésta

empieza a deformarse debido a la fuerza de pandeo P.

Para ello se busca alguna analogía con estudios en la

literatura [7], [8]. El planteamiento para modelar este

caso se realiza tomando la mitad izquierda de la viga

demostrada en la figura 5b, considerando que la viga

se encuentra empotrada en la mitad, justo en el punto

donde se muestra la fuerza F. La figura 6 nos muestra

este modelo de donde se obtiene la ecuación de

momentos.

Nótese que la fuerza F/2 produce un momento

contrario a lo de la fuerza P. Analizando de forma

análoga al pandeo libre, ahora la ecuación es:

Reordenando los términos y nuevamente

introduciendo , se obtiene la ecuación diferencial no

homogénea de la forma:

Para este tipo de ecuación diferencial la solución es

similar a ecuación (6), solo agregando el tercer

término [6], que es la solución particular:

Para solucionar nuestra ecuación diferencial, se

utilizan las condiciones en los extremos, que son:

Figura 4 Casos equivalentes para diferentes modos de

soporte. Figura 3

L=Le

P PP

2L=Le L/2=Le

L/4

L/4

L

(a) (b) (c)

Figura 7 Deformación en caso de una restricción.

P

F/2

M

v

x

Figura 5 Deformación en caso de una restricción.

Pared

columnaP P

Pared

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Figura 6 a) Viga con soporte y cargas,


F

P P

L/2 L/2

P P

F

F/2

M

v

xF/2

(a) (b)

Figura 4F

P P

L/2 L/2

P P

F

F/2

M

v

xF/2

(a) (b)

Figura 4




Sustituyendo la primera restricción se obtiene

directamente que . Al sustituir la segunda

restricción se determina que

Como resultado se determina entonces la expresión

para el desplazamiento:

Para entender el comportamiento de la viga, resulta

de interés obtener la pendiente de la deformación,

para ello se calcula la primera derivada del

desplazamiento:

También es importante analizar la segunda derivada

del desplazamiento, ya que esta representa el

comportamiento del momento:

Por otra parte, en el caso de pandeo libre, el momento

máximo ocurre en el punto que para esta solución se

considera como empotrado es decir en L/2, lo cual no

es el caso al existir la fuerza de restricción como se

reconoce en la ecuación (19). Para localizar el nuevo

valor de x en la viga (figura 6) donde el momento será

máximo se usa la teoría de la primera derivada:

La ecuación de momentos se obtiene al sustituir (17)

en (12):

Que de acuerdo con lo planteado en (20) se convierte

en la ecuación:

Lo cual se satisface en y de donde

entonces se logra determinar el valor de x donde se

presentará el momento máximo:

Como se puede apreciar, el momento máximo no

necesariamente ocurre en L/2 y dependerá de α donde

recordemos que corresponde a las propiedades del

material, su geometría (sección) y la fuerza de

compresión P.

En caso que exista una cierta apertura entre las dos

paredes, se establece una restricción adicional que

limita la amplitud de la ondulación de la viga. La

amplitud de la ondulación debe de ser igual a la mitad

del claro δ que existe entre la viga y las paredes,

como se muestra en la figura 7, resultando en la

condición:

La aplicación de esta condición permite resolver para

la fuerza que ejerce la pared a la viga al limitar la

ondulación a la amplitud δ, resultando en:

RESULTADOS

Para analizar el comportamiento de la viga bajo

cargas axiales se analiza una viga usando los datos

que se muestran en la tabla 1, y asumiendo una

separación (gap) δ.

Longitud (Le) 2.0m

Ancho 0.05m

Espesor 0.05m

Material Acero estructural

Módulo de elasticidad 210GPa

delta (gap) 0.03m

Tabla 1 Información de la viga sometida a Pandeo.

(16)

(19)

(18)

(17)

(24)

(20)

(21)

(22)

(23)

Figura 8 Gap o espacio entre viga y paredes que

restringen la deformación.

Pared

columna

Pared

delta

(25)




En las figuras 8 a 10 se presentan las gráficas

obtenidas de

. Para efectos de

comparación con el caso de la viga en pandeo libre,

se han aplicado cargas P en múltiples valores de la

carga crítica Pc del pandeo libre, introduciendo P*

como la fuerza no-dimensional de acuerdo a:

Al aplicar una fuerza compresiva P=Pc o sea P*=1, la

ecuación (25) indica que la fuerza F es justamente

igual a cero, por lo que obtenemos precisamente el

caso de pandeo libre, solo que en este caso se está

imponiendo un desplazamiento definido. Por otro

lado, al incrementar la fuerza P a niveles arriba del

nivel crítico para pandeo libre, la fuerza F empieza a

incrementar para mantener el desplazamiento dentro

del valor de δ/2 impuesto por la presencia de la pared.

En las figuras se grafican las curvas para los niveles

de fuerzas P* igual a 1, 2, 3, 4 y 5.

Figura 8 Gráfica de desplazamiento de la viga restringida

bajo diferentes condiciones de carga.

La figura 8 permite visualizar cómo se comporta la

viga en las condiciones establecidas conforme la

carga P se incrementa. En esencia, la curvatura de la

viga incrementa ligeramente con el aumento de la

carga axial. Aunque no se aprecia claramente en la

figura, para el caso en que P*=5 el desplazamiento

sobrepasa el valor límite preestablecido cerca al

extremo derecho donde está empotrada la viga. Esto

indica una inconsistencia porque físicamente no es

posible ya que la pared (que restringe a la viga) es

continua a lo largo de esta y no permite tal

deformación; el contacto con la pared en este caso ya

se hubiera extendido hasta esta zona de la viga,

generando una fuerza distribuida sobre la parte

terminal de la viga. Esto implica que para fuerzas

arriba de cierto nivel, los resultados del modelo y las

ecuaciones en principio no son válidos. Para

demostrar este comportamiento del desplazamiento se

continua estudiando las curvas de la primera y

segunda derivada del desplazamiento.

Figura 9 Gráfica de la derivada del desplazamiento en

función de x

En las curvas de la primera derivada del

desplazamiento se ve que la pendiente siempre es

positivo y baja hasta cero en el extremo derecho (tal

como fue impuesto en las condiciones) para valores

de P hasta 4 veces la carga crítica. Para la última

curva con carga P*=5, la pendiente presenta valores

negativos un poco antes de llegar al extremo derecho.

Esto indica que el desplazamiento llega a un máximo

antes de llegar al extremo y baja desde este máximo

al valor final en el empotramiento, nuevamente

indicando que el máximo desplazamiento excede en

este caso el máximo valor permisible de δ/2.

Figura 10 Gráfica de la segunda derivada del

desplazamiento en función de x

.

La gráfica 10 resulta de gran interés debido a que

representa el comportamiento del momento en la

viga. Entonces por un lado, es claro como este

máximo ocurre antes del extremo empotrado y varía

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016Desplazamiento como función de posición x

P=Pc

P=2*Pc

P=3*Pc

P=4*Pc

P=5*Pc

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035Derivado desplazamiento como función de posición x

P=Pc

P=2*Pc

P=3*Pc

P=4*Pc

P=5*Pc

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.07

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03Segundo derivado desplazamiento como función de posición x

P=Pc

P=2*Pc

P=3*Pc

P=4*Pc

P=5*Pc

(26)




según la fuerza P aplicada. En las curvas se reconoce

que la segunda derivada siempre es negativa, excepto

para el caso de P*=5 en lo que la curva sube a valores

positivos. Como la segunda derivada corresponde a la

curvatura de la viga, se puede concluir nuevamente

que para esta situación el modelo carece de validez,

porque la curvatura positiva al extremo implica que la

viga sube inicialmente moviendo desde el

empotramiento hacia la izquierda, lo mismo que

corresponde a la pendiente negativa en la figura 9.

Usando la ecuación (19) se puede derivar que la

fuerza P para la que la segunda derivada se hace

positiva en el extremo es justo para con

. Sustituyendo (5) y (10) se obtiene que esto

ocurre precisamente para P*=4 tal como se puede

reconocer también en la figura 10 en donde la curva

correspondiente a este valor termina justamente en

cero en el extremo.

RANGO DE VALIDEZ DEL MODELO

Ahora es necesario identificar cual es la importancia

del valor de P*=4. Como se ha mencionado

anteriormente, al sobrepasar la fuerza de compresión

P*=4, por arriba de este nivel, el modelo indica que la

viga entraría en la pared. Dado que la presencia de la

pared fue únicamente contemplada por medio de la

introducción de la fuerza F aplicada de forma puntual

en el extremo, el modelo pierde su validez por arriba

de este rango de fuerzas compresivas. Sin embargo,

esto no causa que el modelo pierda su valor.

Al sobrepasar el valor de P*=4 la última sección

tendría contacto con la pared, por lo que esta sección

se endereza y permanece recta, pegada a la pared. Al

ocurrir esto, esta sección no tendría momentos (por

no tener curvatura) y no tendría fuerzas de contacto

por la pared. Por lo tanto, esta sección se puede

excluir del análisis, reduciendo la viga a la sección

libre para con medida hasta el punto en

que la viga toca a la pared en . Reduciendo el

análisis a esta longitud nueva, nuevamente da validez

al modelo. Al reducirse la longitud analizada, el valor

de Pc se ha incrementado, por lo que la fuerza P* se

reduce justamente hasta el valor de 4. Entonces, en el

caso de que las fuerzas de compresión P sobrepasan

el límite de P*=4, la ondulación de la viga se

cambiará de tal forma que la longitud de onda se

reduce hasta la longitud para lo cual P* se reduce a

P*=4.

La sección recta que se ha dejado fuera de vista del

análisis podría permanecer recta mientras su longitud

es limitada, por lo que la fuerza P no sobrepasa la

fuerza crítica de Euler, que para esta sección corta

será suficientemente alta para poder mantenerse

estable. Al llegar a longitudes más elevadas, la

sección recta sufrirá del pandeo y se forma una nueva

ondulación. Aunque este proceso de reducción de la

longitud de onda no es totalmente predecible con este

modelo, se puede derivar que existe una longitud de

onda típica para cierto valor de P que se aplique a la

viga. Considerando que la fuerza Pc correspondiente

es de P/4 usando la ecuación (11) con la observación

que L en ecuación (11) es la mitad de una onda, se

obtiene que la longitud de onda λ predicha es:

LA FUERZA DE RESTRICCIÓN

Al definir el claro entre la pared y la viga se ha

obtenido la ecuación (25) que expresa el valor de la

fuerza F necesaria para estabilizar la ondulación a

esta amplitud. En la figura 11 se presenta la fuerza F

en función de la fuerza de compresión P.

Figura 11 Gráfica del comportamiento de la fuerza F

conforme varía P*.

Como se ha mencionado anteriormente, la fuerza F se

reduce a cero justo cuando la fuerza P es igual a la

fuerza crítica, lo que se entiende considerando que en

este caso se obtiene precisamente la situación de la

viga en pandeo simple. Para fuerzas debajo de Pc la

fuerza F resulta negativa. Esto corresponde a la

situación que la fuerza P no es capaz de causar el

pandeo, y la viga en pandeo simple se mantendría

recta. En este caso entonces, la fuerza F negativa que

se obtiene de ecuación (25) corresponde a la fuerza

con la cual se tiene que jalar para lograr el

desplazamiento de δ/2 que se ha impuesto. Para P=0

se obtiene la fuerza F necesaria para la flexión simple

de una viga recta a un desplazamiento de δ/2. Al

incrementar la fuerza P, la fuerza de tensión F se

reduce hasta llegar a la fuerza crítica. Para fuerzas P

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

5 Fuerza como funcion de Pc

(27)




arriba del nivel de fuerza crítica la fuerza F empieza a

crecer casi proporcional con P hasta un nivel que

depende de la resistencia de la viga a la flexión y la

apertura entre las paredes.

A niveles arriba de P*=4 la fuerza crece de forma

progresiva hasta infinito (valores de P*

entre 8 y 9), y

cambia de signo. La fuerza infinita implica que la

viga no soportara la fuerza de restricción por generar

fuerzas cortantes excesivas. El cambio del signo

corresponde a un cambio repentino en una forma de

ondulación diferente. Sin embargo, considerando que

la validez del modelo se limita a valores de P hasta 4

veces la fuerza crítica, esto nos deja con el

comportamiento casi lineal.

Es interesante mencionar que el sistema corresponde

a un sistema inestable si el desplazamiento no se fija.

Cuando δ incrementa, la fuerza F necesaria

incrementa proporcionalmente. Considerando un caso

en el que se aplica una fuerza determinada, esto

implica que al sobrepasar cierta apertura, la

ondulación crecerá sin límite. Para el análisis del

arrugamiento esta situación es muy parecida a la

realidad.

CONCLUSIONES

Se ha comparado el comportamiento de la viga libre

de Euler y la viga con la restricción de este caso

particular, permitiendo valorar que tan significativa es

la restricción y cómo cambia la estabilidad de la viga.

El análisis de pandeo dentro de un espacio formado

por dos paredes ha mostrado que la fuerza compresiva

puede tener un valor de hasta 4 veces el nivel de la

carga crítica de Euler para la misma viga sin

restricción.

Se ha encontrado la ecuación para determinar la

fuerza que ejerce la pared a la viga, o sea la fuerza

que se necesita para estabilizar la viga manteniendo la

pared a la distancia indicada. Al sobrepasar este nivel

de fuerza, inicia un proceso en que la longitud de

onda se va reduciendo, hasta que el incremento de la

carga critica es suficientemente grande para que la

fuerza no-dimensional P* se reduzca a 4, manteniendo

a P constante. Aunque este proceso de reducción de la

longitud de ondulación no está totalmente predicho

con el modelo presentado en este trabajo, con base en

esto se puede estimar la longitud de onda que aparece

en la viga. La fuerza F necesaria para estabilizar la

viga se definió en función de la fuerza P aplicada a la

viga y el valor prescrito de desplazamiento (gap).

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al apoyo brindado por el

Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología de México

(CONACYT) y por la SEP mediante el programa

PROMEP.

REFERENCIAS

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Delaminated Beams under Axial

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tercer reporte de avance de tesis” -...

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