terceirão ftd - matematica - caderno de atividades 02

MatemáticaMódulo 2

M7 Função Exponencial 3 - 10M8 Função Logarítmica 11 - 22M9 Noções de Matemática Financeira 23 - 28M10 Progressões 29 - 36M11 Trigonometria no Ciclo 37 - 48

Matemática3

TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M7

TERCEIRÃO FTDFunção Exponencial Caderno de

Atividades

1 (Uniderp-MS) Se n, y 7 ς são tais que

y

3 7 3 3

2 3

n 2 n n 1

n 1=

− 9 0

9

0 0

0, então y é igual a:

a)

52 3n9

c)

56

e)

36

n 10

b)

52 3n 19 0

d)

73

y

3 7 3 3

2 3

n 2 n n 1

n 1=

− 9 0

9

0 0

0

y

9 3 7 3 3 3

6 3

n n n

n=

9 − 9 0 9

9

y

3 9 7 3

6 3

n

n=

− 0

9

( )

y

56

=

2 (FGV-SP) Num concurso que consta de duas fases, oscandidatos fizeram uma prova de múltipla escolha, com30 questões de 4 alternativas cada uma. Na segunda fase,outra prova continha 30 questões do tipo falso ou verda-deiro. Chamando de n1 o número dos diferentes modos deresponder à prova da 1a fase e de n2, o número dos diferen-tes modos de responder à prova da 2a fase, tem-se que:a) n1 = 2n2 c) n1 = 4n2 e) n1 = 430 9 n2

b) n1 = 30n2 d) n1 = 230 9 n2

X

X

Se, na 1a fase, o candidato deve escolher apenas uma das quatro alterna-tivas de cada questão, então:n1 = 4 9 4 9 4 9 ... 9 4 = 430 = 260

30 fatoresNa 2a fase, o número de maneiras de responder é:

n2 = 2 9 2 9 2 9 ... 9 2 = 230

30 fatores

Então,

n

n22

n

n 2 n 2 n1

2

60

30

1

2

301

302

= = = 9→ → .

144424443

144424443

3 (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais

que

x y 81x y 729

4 2

2 4

9 =

9 =

−

−

, então o produto x 9 y é igual a:

a) 3 c) 3 3 e) 3

b)

13

d)

19

x y 81x y 729

x y

x y81

729 x y

19

xy13

4 2

2 4

4 2

2 42 29 =

9 =

9

9= = =

−

−

−

−

→ → →

4 (UESPI) A equação exponencial dada por

3 1

x x 1

( )

0

=

admite duas soluções, x1 e x2. O valor da soma (x1 0 x2) é:a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

3 1 3 3 x x 0

x x 1 x x 02

2( )[ ] → ( ) ( ) →0 0

= = 0 =

x(x 0 1) = 0

Logo:x1 0 x2 = 0 − 1 = −1

X

X

x1 = 0ou

x2 = −1

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:053

Matemática 4

Função ExponencialM7

23

113 2

323

113 2 2

3 3

2

2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

0 =9

0 =9 9

9

−

0

−

2x

23

12

132

3 3

2

x

x

x0 =

9

9

23

123

132

13

2

x x

0 = 9 9

23

1136

23

2

x x

0 = 9

Substituindo y, temos:

23

x

=

y y

y y2

2

1136

6 66

13

60 = 9 Θ

0=

Portanto: S = {1, −1}

Logo:

Se y x

x

= = Θ =23

23

23

1, . temos:

Se y x

x

temos: = = = Θ = −

−32

23

32

23

11

, .

7 (UESPI) O conjunto verdade da equação2x − 2−x = 5(1 − 2−x) é igual a:a) {1, 4} c) {0, 1} e) { }b) {1, 2} d) {0, 2}X

2 2 5 1 2 2

12

5 11

2x x x x

x x− = − Θ − = −− −( )

yy y

− = −1

55

2x = 4 ou 2x = 12x = 22 2x = 20

x = 2 x = 0Portanto: S = {0, 2}

y2 − 1 = 5y −5y2 − 5y 0 4 = 0

y1 = 4y2 = 1

Substituindo 2x � y, temos:

5 (UEPG-PR) A equação 52x 0 125 = 6 9 5x 0 1 admitecomo soluções os números a e b, com a . b. Então, assi-nale o que for correto:

(01) ba 1=

(02) a 9 b é um número par.(04) a . 0 e b , 0(08) a 0 b , 5

(16)

ab

é um número natural.

Em questões como a 5, a resposta é dada pela soma dosnúmeros que identificam as alternativas corretas.

y1 = 25

y2 = 5

6y2 − 13y 0 6 = 0 y

1

23

=

y

2

32

=

6 (UCDB-MS) O conjunto verdade da equação

exponencial

23

113 2

3

2

2

1

1

x

x

x

x0 =

9 −

0 é:

a)

23

32

,

c)

−23

32

,

e) {1, −1}

b)

− −23

32

,

d) {1, 0}

X

01. Incorreto52x 0 125 = 6 9 5x 0 1

52x 0 125 = 6 9 5x 9 5Substituindo 5x = y, temos:y2 0 125 = 30yy2 − 30y 0 125 = 0

Logo:5x = 25 Θ 5x = 52 Θ x = 2 = a5x = 5 Θ x = 1 = b

ba

12

=

02. Corretoab = 2 9 1 = 2

04. Incorretoa = 2 . 0 e b = 1 . 0

08. Corretoa 0 b = 2 0 1 = 3 , 5

16. Correto

ab

21

2= =

Portanto: 2 0 8 0 16 = 26

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:054

Matemática5

M7Função Exponencial

L(t) = T(t)8 9 10t = 1 000 9 2t

10t = 125 9 2t

102

125t

t=

5t = 1255t = 53

t = 3 anos

8 (UFSM-RS) Um piscicultor construiu uma represa paracriar traíras. Inicialmente, colocou 1 000 traíras na represae, por um descuido, soltou 8 lambaris. Suponha-se que oaumento das populações de lambaris e traíras ocorra,respectivamente, segundo as leis L(t) = L010t e T(t) = T02

t,em que L0 é a população inicial de lambaris, T0, a populaçãoinicial de traíras, e t, o número de anos que se contam apartir do ano inicial.Considerando-se log 2 = 0,3, o número de lambaris seráigual ao de traíras depois de quantos anos?a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3X

X

3−1 = 3−2t

−2t = −1

Devemos ter M(t)

M

3. Logo:0

=

M(t)

M

2t

2t

= 9

= 9

−

−

M

M

0

00

3

33

13

3 2= − t

t ou t= =

12

0,5 s

9 (UFPB) Sendo a e k constantes reais e sabendo-se queo gráfico da função f(x) = a2kx passa pelos pontos A(0, 5) eB(1, 10), o valor da expressão 2a 0 k é:a) 15 b) 13 c) 11 d) 10 e) 12X

f(x) = 32x 0 1 0 m 9 3x 0 1f(x) = 32x 9 3 0 m 9 3x 0 1f(x) = 3 9 (3x)2 0 m 9 (3x) 0 1a) m = −4 Θ f(x) = 0 Θ 3 9 (3x)2 – 4 9 (3x) 0 1 = 0

11 (Vunesp-SP) Considere a função dada porf(x) = 32x 0 1 0 m 9 3x 0 1.a) Quando m = −4, determine os valores de x para os

quais f(x) = 0.b) Determine todos os valores reais de m para os quais a

equação f(x) = m 0 1 não tem solução real x.

10 (UCDB-MS) Certa substância radioativa de massaM0, no instante t = 0, tende a se transformar em outrasubstância não radioativa.Para cada instante t > 0, dado em segundos, a massa dasubstância radioativa restante obedece à lei M(t) = M0 3

−2t.Nessas condições, o tempo necessário, em segundos, paraque a massa da substância radioativa seja reduzida a umterço da massa inicial, é igual a:a) 3 b) 2,5 c) 1,5 d) 1 e) 0,5

b) f(x) = m 0 1 Θ 3 9 (3x)2 0 m 9 (3x) 0 1 = m 0 13 9 (3x)2 0 m 9 (3x) − m = 0Fazendo 3x = y, resulta a equação: 3y2 0 m 9 y − m = 0.Essa equação não tem soluções reais se, e somente se, suas raízes y

1e y2 não forem reais ou se ambas forem reais negativas.• As raízes y

1 e y

2 não são reais Θ ∆ = m2 0 12m , 0 Θ −12 , m , 0.

• Para que as raízes y1 e y2 sejam ambas reais e negativas, devemos

ter ∆ > 0, y1 0 y2 =

−m3

< 0

e y1 . y2 =

−m3

> 0, que se verifica apenas para m = 0.

Concluímos, então, que –12 , m < 0.

3

4 26

3 1 ou 313

x 0 ou x 1x x x=±

= = = = −→ →

Como o gráfico passa pelos pontos A e B, temos:A(0, 5) Θ a 9 2k 9 0 = 5 Θ a 9 20 = 5 Θ a = 5 �B(1, 10) Θ a 9 2k 9 1 = 10 Θ a 9 2k = 10 �Substituindo a = 5 em �, vem:5 9 2k = 102k = 2k = 1Logo:2a 0 k = 2 9 5 0 1 = 11

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:065

Matemática 6


15 (UFSM-RS) A solução da equação exponencial5x(5x − 1) = 20:a) pertence ao intervalo (−∞, −3[.b) pertence ao intervalo ]4, +∞).c) pertence ao intervalo ]0, 2[.d) é um número par.e) é um número irracional.

Se y = 5 Θ 5x = 5 Θ x = 1Se y = −4 Θ 5x = −4 Θ Ξ x 7 ς

Como x = 1, pertence ao intervalo ]0, 2[.

y1 = 5y2 = −4

Substituindo 5x = y, vem:y(y − 1) = 20 Θ y2 − y − 20 = 0

X

12 (UFPel-RS) A função exponencial serve de modelomatemático para resolver várias situações do cotidiano.Um exemplo é o de uma cultura de bactérias inicialmentecom 1 000 elementos, contados a partir do instante zero,na qual a população dobra a cada hora.Essa situação é representada pela função f(x) = 1 000 9 2x,em que x é o tempo decorrido.Com base na função acima, em seus conhecimentos, con-siderando ς o conjunto dos números reais, analise as afir-mativas abaixo.

I. O domínio da função é o conjunto dos números reais.II. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 1 000}.

III. O domínio da função é D = {x 7 ς \ x > 0}.IV. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 1 000}.V. A imagem da função é Im = {y 7 ς \ y > 0}.

Estão corretas somente as afirmativas:a) I e IV c) II e IV e) III e IVb) III e V d) I e V f) I.R.

13 (MACK-SP) O número de indivíduos de um certo

grupo é dado por f(x) 10

110 x

= −

9 1 000, sendo x o

tempo medido em dias.Desse modo, entre o 2o e 3o dia, o número de indivíduosdo grupo:a) aumentará em exatamente 10 unidades.b) aumentará em exatamente 90 unidades.c) diminuirá em exatamente 9 unidades.d) aumentará em exatamente 9 unidades.e) diminuirá em exatamente 90 unidades.

X

Sendo y = 1 000 9 2x, temos:I. Incorreta

O domínio é D = {x 7 ς \ x > 0}, pois a população dobra a cada hora.II. Incorreta

III. CorretaIV. Correta

O gráfico de y = 1 000 9 2x é:

Im = {y 7 ς \ y > 1 000}

0

y

x1

1 000

2 000

V. Incorreta

X

Se

f(x) 10 1

10 x= −

9 1 000, sendo x o tempo medido em dias e f(x)

o número de indivíduos do grupo, então:

•

f(2) 10 1

10 1 000 10

1100

1 000 =2

= − 9 = − 9

= 10 000 − 10 = 9 990

•

f(3) 10 1

10 1 000 10

11 000

1 000 =3

= − 9 = − 9

= 10 000 − 1 = 9 999

• f(3) − f(2) = 9 999 − 9 990 = 9

• Entre o 2o e o 3o dia, o número de indivíduos do grupo aumentará emexatamente 9 unidades.

14 (UFMA) Se a curva da figura abaixo representa ográfico da função y = 2x, o valor da área sombreada é:a) 4 b) 2 c) 8 d) 6 e) 10X

Se: x = 0 Θ y = 20 Θ y = 1x = 2 Θ y = 22 Θ y = 4

A área sombreada é igual a:A = 2 9 1 0 1 9 4 Θ A = 2 0 4 = 6

y

20

y = 2x

3 x

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:066

Matemática7


17 (UFF-RJ) Em um meio de cultura especial, a quan-tidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q defi-nida, para t > 0, por Q(t) = k5kt, sendo t o tempo, emminuto, e k uma constante.A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com ocálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0).Assinale a opção que indica quantos bilhões de bactériasestão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto:a) 12,5 b) 25 c) 312,5 d) 625 e) 1 000X

Portanto: Q(8)

Q(8) 54

= 9

= 9

912

5

12

12

8

Q(8) = 312,5

Pelos dados, temos:se t = 0 Θ Q(0) = k 9 5k 90 = kse t = 4 Θ Q(4) = k 9 54k

Como Q(4) = 25 9 Q(0), vem:k 9 54k = 25 9 k54k = 2554k = 52

4k = 2

k =

12

16 (MACK-SP) O menor valor assumido pela função

g(x)

12

(2 x )2

=

−

é:

a) 8 b) 4 c)

12

d)

14

e)

18

X

A função exponencial g de base 12

é estritamente decrescente. O míni-

mo valor de g, portanto, corresponde ao máximo valor do expoente.O gráfico da função f: ς Θ ς definida por f(x) = −x2 0 2 é:

e o máximo valor de f é 2.

O mínimo valor de g é

12

2

=

14

.

f(x)

2

x− 2 2

a) Sendo x = 30 e y = 20, temos:

a) Determine o valor de k.b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (va-

lor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.

19 (UNI-RIO/Ence-RJ) Conforme dados obtidos peloIBGE, relativos às taxas de analfabetismo da populaçãobrasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possívelajustar uma curva de equação y = 30kx 0 10, em quek . 0, representada a seguir:

y y

y

= 9 0 Θ = 9 0 Θ

= Λ

3013

10 3013

10

403

13 33

130

2

60

, %

O ano de 2020 corresponde a 2020 − 1960 = 60. Logo:

y y y= 9 0 Θ = 9 0 Θ =30

13

10 30 1 10 40

130

0

%

b) O ano de 1960 corresponde a x = 0. Logo:

20 30 10

13

13

13

30 30

130

30= 9 0 Θ = Θ = =k k k

010

20

20 30 40 50 tempo (anos)

taxa (%)

18 (MACK-SP) Dadas as funções f(x) = 2x2 − 4 eg(x) = 4x2 − 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é:

a)

14

b) 1 c) 8 d) 4 e)

12

X

Se f(x) = 2x2 − 4 e g(x) = 4x2 − 2x, com f(x) = g(x), temos:2x2 − 4 = 4x2 − 2x Θ 2x2 − 4 = 22x2 − 4x Θ 2x2 − 4x = x2 − 4x2 − 4x 0 4 = 0 Θ x = 2Portanto: 2x = 22 = 4.

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:067

Matemática 8


Temos

f [g(x)]g(x)

=0

172 1

. Assim, quanto maior for o valor de 2g(x) 0 1, menor

será o valor de f [g(x)]. Logo, f [g(x)] assumirá um valor mínimo quando2g(x) 0 1 assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando g(x) assumirum valor máximo. Como g(x) = 3 0 2x − x2, trata-se de uma funçãoquadrática e, como o coeficiente de x2 é negativo, seu gráfico é uma pará-bola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máxi-mo, o qual ocorrerá quando o valor de x for igual à abscissa do vértice, isto

é, quando

x2

1.=−

9 −=

2 1( ) Assim g(1) é o valor máximo assumido pela

função g e, portanto, o valor mínimo da composta será:

22 (UFCE) Sejam f e g funções reais de variável real

definidas por f(x) =

0

172 1x

e g(x) = 3 0 2x − x2. O valor

mínimo de f [g(x)] é:

a)

14

b)

13

c)

12

d) 1 e) 2

f [g(1)]g(1)

=0

=0

= =17

2 117

2 11717

14

X

20 (UEPG-PR) Dadas as funções definidas por

f(x) e g(x)= =

45

54

x x

, é correto afirmar:

(01) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.(02) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.(04) g(−2) 9 f(−1) = f(1)(08) f [g(0)] = f(1)

(16) f( 1) g(1)− 0 =

52

Fazendo o gráfico dasfunções, temos:

45

54

45

45

1

x x x x

= Θ =

−

Substituindo: y, vem:

45

x

=

y y yy

= Θ =−1 1

Se y

x

= − Θ = −145

1

01. Incorreto, pois os gráficos se interceptam em:

y2 = 1y = Σ1

Se y = Θ =1

45

1

x

45

45

0

x

=Ξ x 7 ς

x = 0

Portanto: 4 + 8 + 16 = 28

0 x

y

g(x)

1

f(x)

Os gráficos se interceptam em (0, 1).

02. Incorreto, pois f(x) é decrescente e g(x) é crescente.

04. Correto

g( )− = = =254

1

54

1625

2

2

−

f( )− = = =

−

145

145

54

1

f(1) = =

45

45

1

Logo: g( 2) f( 1) f(1)− 9 − = 9 = =

1625

54

45

08. Correto

g(0) = =

54

10

f(1) = =

45

45

1

16. Correto

g(1) = =

54

54

1

Logo:

f( 1) g(1)− 0 = 0 = =

54

54

104

52

21 (EEM-SP) A curva abaixo mostra a evolução donúmero de peças montadas em uma linha de produçãopor um operário recém-contratado.Admitindo que a curva seja descrita pela funçãoQ(t) = 500 − A 9 2−k 9 t, determine o número de peças queo operário montará em sua segunda semana de trabalho.

Se:t = 0 Θ 200 = 500 − A 9 20 Θ 200 = 500 − A Θ A = 300t = 1 Θ 350 = 500 − A 9 2−k 9 1

350 = 500 − 300 9 2−k

300 9 2−k = 150

2−k = 12

2−k = 2−1

k = 1A função é:Q(t) = 500 − 300 . 2−t

Se t = 2 semanas, temos:Q(2) = 500 − 300 9 2−2

Q(2) = 500 − 75Q(2) = 425 peças

Q

1 2 3 t (semanas)

350

200

0

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:078

Matemática9


24 (UFPB) O total de indivíduos, na enésima geração,de duas populações P e Q é dado, respectivamente, por

P(n) = 4n e Q(n) = 2n. Sabe-se que, quando

P(n)Q(n)

1 024 > ,

a população Q estará ameaçada de extinção. Com basenessas informações, essa ameaça de extinção ocorrerá apartir da:a) décima geraçãob) nona geraçãoc) oitava geraçãod) sétima geraçãoe) sexta geração

26 (FGV-SP) O gerente de produção de uma indústriaconstruiu a tabela abaixo, relacionando a produção dosoperários com sua experiência.

X

42

1 024n

n >

22

1 0242n

n >

2n > 1 0242n > 210

n > 10A ameaça de extinção ocorrerá a partir da 10a geração.

a) Supondo que A seja uma constante real e t o tempo de experiência emmeses, temos:Q(0) = 200500 − A 9 e0 = 200 Ι A = 300Q(6) = 350500 − 300 9 e−6k = 350300 9 e−6k = 150

e

12

e 26k kt

6− −−

= Ι =

Logo, Q(t) = 500 − 300 9 2t

6−

.

Com Q(t) = 425, temos:

500 − 300 9 2t

6−

= 425

300 9 2t

6−

= 75

2 =

14

= 2t

6 2−

−

− = − Ι =

t6

2 t 12 meses

b) Como

Q(t) 500300

2t6

= − , podemos afirmar que:

• quanto maior for t, tanto mais Q(t) se aproximará de 500;• Q(t) , 500.Podemos concluir, então, que a produção máxima possível é de 499unidades por hora.

Acredita o gerente que a produção Q se relaciona à expe-riência t, por meio da função Q(t) = 500 − A 9 e−k 9 t,sendo e = 2,72 e k um número real, positivo.a) Considerando que as projeções do gerente de produção

dessa indústria estejam corretas, quantos meses de ex-periência serão necessários para que os operários pos-sam produzir 425 unidades por hora?

b) Desse modo, qual será a máxima produção possível dosoperários dessa empresa?

Experiência (meses) 0 6

Produção (unidades por hora) 200 350

Devemos ter P . 31 000. Logo:32 000 (1 − 2−0,1t) . 31 00032 (1 − 2−0,1t) . 3132 − 32 9 2−0,1t . 31−32 9 2−0,1t . −132 9 2−0,1t , 1

2

132

0 1− ,, t

2−0,1t , 2−5

−0,1t , −5t . 50 dias

23 (Unipac-MG) A relação P = 32 000 9 (1 − 2−0,1t)descreve o crescimento de uma população P de bactérias,t dias após o instante 0. O valor de P é superior a 31 000se, e somente se, t satisfizer a condição:a) t . 50 c) t . 16 e) 32 , t , 64b) t , 30 d) 2 , t , 16

X

25 (FERJ-SC) A solução da inequação(0,7)x(x − 3) , (0,49)x − 2 é:a) % d) {x 7 ς\x , 2 ou x . 3}b) {x 7 ς\1 , x , 4} e) {x 7 ς\x , 1 ou x . 4}c) {x 7 ς\2 , x , 3}

X

(0,7) (0,49)

(0,7) (0,7)

x(x 3)

3x 2x

− −

− −

,

,

x

x

2

42

Logo: S = {x 7 ς\x , 1 ou x . 4}.

x2 − 3x . 2x − 4x2 − 5x 0 4 . 0

x1 = 4x2 = 1

{ {

}1 4 xx2 − 5x 0 4 = 0

Estudando o sinal, temos:

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:079

Matemática 10

Função ExponencialM727 (ECM-AL) O conjunto de todos os valores de x para

os quais 1 4 84 2< ,x

é:a) [0, 12[ c) [0, 6[ e) [0, 3[b) [0, 8[ d) [0, 4[

S = {x 7 ς\0 < x , 12} = [0, 12[

Fazendo a intersecção, temos:

14

24

3

4 84 2x

,

4 14x

>

I

II

II

4 1

4 4

4

4 0

x

x

>

>

x4

0>

x > 0

I

4 8

2 2

4 2

2 4 3 2

x

x

,

,( ) ( )

2 22 6x

,

x2

6,

x , 12

29 (UFF-RJ)a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte

raciocínio:

“ Como 1

418

. , tem-se

12

12

2 3

. e conclui-se

que 2 . 3.”Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio,levando-o a essa conclusão absurda.

b) Sem cometer o mesmo erro que José, determine omenor número m, inteiro e positivo, que satisfaz ainequação:

12

14

41

mm

.

0

a) José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a

função exponencial dada por

f(x) =12

x

é decrescente, ou seja, à

medida que aumentamos o valor de x, o valor de f(x) diminui.

42 2

42 2 0

mm

mm

, 0

− − ,

4 2 20

2− −,

m mm

2 2 40

2m mm

0 −.

2 1 20

( )( )m mm

− 0.

Conclui-se que o menor número inteiro e positivo m que satisfaz ainequação é 2.

Como m 0, temos 0,.

− 0. − 0 .

2 1 20 1 2

( )( )( )( )

m mm

m m→

ou seja, m , −2 ou m . 1.

X

0 12

120

I

II

III 5

b)

12

14

12

12

41

42 2

mm

mm

. Θ .

0 0

Como a base 12

é um número compreendido entre zero e um, a fun-

ção é decrescente e o sinal da desigualdade muda, ou seja:

{ {

}−2 1 x

28 (ITA-SP) Seja ε um número real, com 0 , ε , 1.Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos

os valores de x tais que ε

ε,2x

2x

1 1

2

:

a) ]−∞, 0] 6 [2, 0∞[ d) ]−∞, 0[b) ]−∞, 0[ 6 ]2, 0∞[ e) ]2, 0∞[c) ]0, 2[

Do enunciado, temos:

ε 9ε

,2x

2x

1

1

2

ε 9 ε ,

−2x

2x

12( )

ε2x 9 ε−x2

, ε0

ε2x − x2

, ε0

Se 0 , ε , 1, temos: 2x − x2 . 0.Raízes: 2x − x2 = 0 Θ x(2 − x) = 0

x1 = 0

x2 = 2ou

{

} }0 2

Portanto: 0 , x , 2 ou ]0, 2[

II

1 4 84 2< ,x

I

X

001_010_CA_Matem_2 11.10.06, 15:0810

M8Função Logarítmica

Matemática11

TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M8

TERCEIRÃO FTDFunção Logarítmica

3 (UFG) Suponha que o total de sapatos produzidos poruma pequena indústria é dado, aproximadamente, pelafunção S(t) = 1 000 log2 (1 0 t), em que t é o número deanos e S o número de sapatos produzidos, contados a par-tir do início de atividade da indústria. Determine:

a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano deatividades da indústria;

b) o tempo necessário para que a produção total seja otriplo da produção do primeiro ano.

a) Após o primeiro ano de atividade, temos que t = 1; então:S(1) = 1 000 log

2 (1 0 1) Θ S(1) = log

2 2 Θ S(1) = 1 000; portanto,

foram produzidos 1 000 pares de sapatos no primeiro ano.

b) Se no primeiro ano a produção é de 1 000 pares de sapatos, o triploserá 3 000 pares, ou seja:S(t) = 3 000 = 1 000 log2

(1 0 t) Θ log2 (1 0 t) = 3 Θ 1 0 t = 23 Θ

Θ 1 0 t = 8 Θ t = 7; então, depois de 7 anos, a produção total será otriplo da produção do primeiro ano.

1 (UEPG-PR) Sendo:

(25)

1125

p 2− =

q = log16 8

r

log 4

log 272

3

=

É correto afirmar que:(01) p , r , q(02) q . p(04) r , q(08) p . r(16) r , p , q


01. Correto

25

1125

p 2− = → 52p − 4 = 5−3 → 2p − 4 = −3 → p

12

=

rlog 4

log 27 r

23

2

3

= =→

q = log16 8 → 16q = 8 → 24q = 23 → 4q = 3 → q

34

=

Logo:

12

23

34

, , → p , r , q.

02. Correto

34

12

. → q . p

04. Correto

23

34

, → r , q

08. Incorreto

12

23

, → p , r

16. Incorreto

23

12

, → r , p

Portanto: 1 0 2 0 4 = 7

2 (Vunesp-SP) O valor de x na equação log x

133 3

= é:

a)

13

3 3

c)

33

e) 3

log x

13

x 3 33 3

13= =→ ( )

x 3 x 3313

32

13

= =( ) →

x 3 x 312= =→

X

Caderno de

Atividades

b)

33

3d) 33

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 20:5811

Função LogarítmicaM8

Matemática 12

4 (MACK-SP) Se

23

logb 27 0 2 logb 2 − logb 3 = −1,

0 , b ϑ 1, o valor de b é:

a) 2 c)

19

e)

18

b)

112

d) 3

8 (MACK-SP) Se a e b são números reais não-nulos, tais

que a2 + b2 = 28ab, então, adotando-se log 3

1225

= , o valor

de log

(a b)ab3

20 é:

a)

3712

b) 3 c)

2513

d)

175

e) 7

23

9 logb 27 0 2 9 log

b 2 − log

b 3 = −1

log ( )b 3323 0 logb 2

2 − logb 3 = −1

log

3 2

31

b

2 29= − Ι logb 12 = −1

b−1 = 12 Ι b

112

=

5 (Furg-RS) Sendo x a solução da equação

2

12

3 2log log ,x = o valor de x3 é:

a)

12

b) 1 c) 2 d) 4 e) 8

2 2 1

13

23 2 13 2 2

13log log log log logx x x x= Θ = − Θ = Θ =−

Assim:

x3 = = =2 2 213

3 33( )

6 (UFOP-MG) Resolva o sistema:

2x 9 8y = 32 Θ 2x 9 23y = 25 Θ x 0 3y = 5

log

8

13

13

8 2xy xy xy= Θ = Θ =

Resolvendo o sistema, obtemos:1

23

x 0 3y = 5xy = 2

x = 2 e y = 1ouΘ

x e y= =3

23

2x 9 8y = 32

142

43

log8

13

xy =

7 (MACK-SP) Se a . 0 e b . 0, considere as afirma-ções:

I. log (ab) = log a 0 log bII. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)

III. log 1 = 0

Então:

a) I, II e III são corretas.b) I, II e III são incorretas.c) apenas I e II são corretas.d) apenas II e III são corretas.e) apenas I e III são corretas.I. Correta. log (a 9 b) = log a 0 log b

II. Incorreta. log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)Para a = b = 1, por exemplo, temos:log 2 = (log 1) 9 (log 1)

III. Correta. log10

1 = 0, pois 100 = 1.

Sendo dados a2 0 b2 = 28ab e log 3

1225

= , temos:

• (a 0 b)2 = a2 0 b2 0 2ab = 28ab 0 2ab = 30ab

•

log(a b)

ablog

30abab

log 303

2

3 3

0= =

log3 3 0 log

3 10 = 1 0

2512

3712

=

X

X

X

X

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 20:5912


Matemática13

9 (EEM-SP) Sendo log10 3 = a, calcule:

log log .10 1018

320

0

log10 (9 9 2) 0 log10 3 − log10 (10 9 2)

log10

9 0 log10

2 0 log10

3 − (log10

10 0 log10

2)

2 log10 3 0 log10 2 0 log10 3 − log10 10 − log10 2

3 log10 3 − log10 10

3a − 1

Usando as propriedades, temos:

log log log log log

10 10 10 10 1018

320

18 3 200 = 0 −

10 (UERJ) Segundo a lei do resfriamento de Newton, atemperatura T de um corpo colocado num ambiente cujatemperatura é T0 obedece à seguinte relação:

T = T0 0 ke−ct

Nessa relação, T é medida na escala Celsius, t é o tempomedido em horas, a partir do instante em que o corpo foicolocado no ambiente, e k e c são constantes a serem de-terminadas.Considere uma xícara contendo café, inicialmente a100 )C, colocada numa sala de temperatura 20 )C. Vinteminutos depois, a temperatura do café passa a ser de40 )C.a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara

ter sido colocada na sala.b) Considerando ln 2 = 0,7 e ln 3 = 1,1, estabeleça o

tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sidocolocada na sala, a temperatura do café se reduziu àmetade.

11 (Vunesp-SP) Numa plantação de certa espécie deárvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetrodo tronco, desde o instante em que as árvores são planta-das até completarem 10 anos, são dadas respectivamentepelas funções:altura: H(t) = 1 0 (0,8) 9 log2 (t 0 1)

diâmetro do tronco: D(t) = (0,1) 9 2t

7

com H(t) e D(t) em metros e t em anos.a) Determine as medidas aproximadas da altura, em

metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, dasárvores no momento em que são plantadas.

b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetroaproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.

a) Substituindo os dados:

a) No momento em que elas são plantadas, t = 0. Assim:H(0) = 1 0 (0,8) 9 log2 (0 0 1)H(0) = 1 0 0,8 9 log

2 1

H(0) = 1 0 0,8 9 0H(0) = 1 m

D(0) = (0,1) 9 20

7

D(0) = (0,1) 9 20

D(0) = 0,1 mouD(0) = 10 cm

b) Se H(t) = 3,4 m, temos:1 0 0,8 9 log2 (t 0 1) = 3,40,8 9 log2 (t 0 1) = 2,4log

2 (t 0 1) = 3

t 0 1 = 8t = 7 anos

Portanto:

D(7) = 0,1 9 27

7 → D(7) = 0,1 9 2 = 0,2 m ou 20 cm

12 (Unifesp-SP) Uma droga na corrente sangüínea éeliminada lentamente pela ação dos rins. Admita que, par-tindo de uma quantidade inicial de Q0 miligramas, após thoras a quantidade da droga no sangue fique reduzida aQ(t) = Q0(0,64)t miligramas. Determine:a) a porcentagem da droga que é eliminada pelos rins em

1 hora;b) o tempo necessário para que a quantidade inicial da

droga fique reduzida à metade. Utilize log10 2 = 0,30.

a) Q(1) = Q0 9 0,641

Após 1 hora, há 64% da quantidade inicial da droga no sangue; portan-to, em 1 hora, 36% da droga é eliminada pelos rins.

b) De Q(t)

12

Q0= , temos:

Q 0,64

12

Q0t

09 = 9

log 0,64t = log 2−1

t log

210

log 26

2= −

t(6 log 2 − 2 log 10) = −log 2t(1,8 − 2) = −0,3 Ι t = 1,5 hora ou 1h 30min

T0 = 20 )C, T(0) = 100 )C e T13

= 40 )C na relação T = T0 0 ke−ct,

encontraremos:

e

14

c3

−

= → ec3 = 4

Desenvolvendo, temos: e

164

.C− =

Como queremos T56

, basta observarmos que

56

13

52

= 9 .

T56

= 20 0 80

ec

3

5

2−

= 20 0 8014

52

= 20 0 80 9 1

32= 22,5 )C

b) Pela lei do resfriamento, teremos 50 = 20 0 80e−ct, ou seja, e−ct = 38

.

Como e

164

c− = , teremos

164

38

t

= .

Usando logaritmos:

t3 ln 2 ln 3

6 ln 212

1,14,2

12

1142

21 11

421042

521

h

521

60 min 15 min

=−

= − = − =−

= = =

= 9 Λ

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0013


Matemática 14

14 (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nossubúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira,porém, cresce 2% a.a., enquanto a segunda cresce15% a.a.Admita que essas taxas de crescimento permaneçam cons-tantes nos próximos anos.a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios

hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule onúmero de habitantes das favelas daqui a um ano.

b) Essas duas populações serão iguais após determinadotempo t, medido em anos.

Se t

1log x

= , determine o valor de x.

15 (UFPel-RS) Um dos motivos que levam as pessoas aenfrentar o problema do desemprego é a busca, por partedas empresas, de mão-de-obra qualificada, dispensandofuncionários não habilitados e pagando a indenização aque têm direito.Um funcionário que vivenciou tal problema recebeu umaindenização de R$ 57 000,00 em três parcelas, em que a

razão da primeira para a segunda é

45

e a razão da segun-

da para a terceira,

612

.

Dados:log 1,06 = 0,0253log 1,01 = 0,0043

Com base no texto e em seus conhecimentos, determine:a) o valor de cada parcela;b) o tempo necessário para que o funcionário aplique

o valor da primeira parcela, a juro composto, a umataxa de 1% a.m., para acumular um montante deR$ 12 738,00;

c) a taxa mensal que deve ser aplicada, a juro simples, àsegunda parcela, para que o funcionário, no final de2 anos, obtenha o montante de R$ 25 800,00.

a) Primeira parcela: p1

Segunda parcela: p2

Terceira parcela: p3

p1 0 p

2 0 p

3 = 57 000 �

a) x 0 10x = 12 100 00011x = 12 100 000x = 1 100 000Logo:1 100 000 9 1,15 = 1 265 000 habitantes

b) Em t anos as populações serão:• subúrbios = 10x 9 1,02t

• favelas = x 9 1,15t

10x 9 1,02t = x 9 1,15t

10 9 1,02t = 1,15t

log (10 9 1,02t) = log (1,15t)1 0 t 9 log 1,02 = t 9 log 1,15

1 = t 9 log 1,151,02

t1

log 1,127=

x = 1,127 ano

13 (UFES) Um pesquisador constata que, em um dadoinstante, existem 400 tartarugas da espécie A e 200 tarta-rugas da espécie B em uma reserva marinha. Nessa reser-va, a população de tartarugas da espécie A diminui a umataxa de 20% a.a., enquanto a população da espécie B au-menta a uma taxa de 10% a.a.Determine, usando duas casas decimais, quanto tempo énecessário, a partir desse instante, para que as populaçõessejam iguais. (Considere: log 11 = 1,04 e log 2 = 0,30.)

Pelos dados, vem:400(0,8)t = 200(1,1)t → 2(0,8)t = (1,1)t

Aplicando logaritmo decimal em ambos os membros, vem:log 2(0,8)t = log (1,1)t

log 2 0 log (0,8)t = t 9 log 1,1log 2 0 t 9 log (0,8) = t 9 log 1,1

log 2 t log

810

t log 1110

0 9 = 9

log 2 0 t(log 8 − log 10) = t(log 11 − log 10)log 2 0 t(3 log 2 − log 10) = t(log 11 − log 10)Substituindo os valores dos logaritmos, vem:0,30 0 t(3 9 0,3 − 1) = t(1,04 − 1)0,30 − t 9 0,1 = t 9 0,04t(0,04 0 0,1) = 0,30

t0, 300,14

=

t

157

anos=

ou seja, 2 anos e 17

ano ou 2 anos, 1 mês e 21 dias aproximadamente.

De �: p

4p

51

2=

De �: p3 = 2p2

Substituindo � e � em �, temos:

4p

52

0 p2 0 2p2 = 57 000

4p2 0 5p

2 0 10p

2 = 285 000

19p2 = 285 000p

2 = 15 000

Logo: p1 = R$ 12 000,00p2 = R$ 15 000,00p

3 = R$ 30 000,00

b) M = C(1 0 i)t

12 738 = 12 000(1 0 0,01)t

1,06 = 1,01t

log 1,06 = log 1,01t

log 1,06 = t 9 log 1,010,0253 = t 9 0,0043t Λ 5,88 mesesPortanto, aproximadamente 6 meses.

c) J = M − CJ = 25 800 − 15 000J = 10 800 ou R$ 10 800,00Daí, temos:

J

C i t

100=

9 9

10 800

15 000 i 24100

=9 9

i = 3% a.m.

p

p45

1

2

=

p

p6

122

3

=� e �

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0014


Matemática15

16 (UFAL) Resolva, no universo ς, a equaçãolog3 x 0 log3 (x 0 2) = 1.

x1 = 1x

2 = −3 (não serve)

Ι x . −2

Resolvendo a equação, temos:log3 x(x 0 2) = 1x(x 0 2) = 31

x2 0 2x = 3

x2 0 2x − 3 = 0

Da equação, devemos ter:

x . 0x 0 2 . 0 Θ x . −2

a) Com x − 2 . 0 e x 0 2 . 0, isto é, com x . 2, temos:log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2log [(x − 2)(x 0 2)] = log 100log (x2 − 4) = log 100x2 − 4 = 100x2 = 104

x ou x= = −2 26 2 26Com a condição x . 2, temos x = 2 26 .

b) Com x . 0 e log x = t(10t = x), temos:xlog x = 100x Θ (10t)t = 102 9 10t

10 102 2t t= 0

t2 = 2 0 tt2 − t − 2 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:t = 2 ou t = −1t = 2 Θ x = 102 Θ x = 100

t = −1 Θ x = 10−1 Θ x = 1

10

18 (FGV-SP)a) Resolva a equação log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2.b) Quais as raízes da equação xlog x = 100x?

12

3

17 (IBMEC-SP) Zé Munheca e João Gastão são dois ir-mãos que têm hábitos bem diferentes quando se trata dedinheiro. Zé Munheca, sempre muito econômico e atentoaos melhores investimentos, consegue duplicar, num prazode 2 anos, qualquer capital que lhe seja disponibilizado.Já João Gastão, muito esbanjador, não consegue contro-lar seus gastos, vendo seu dinheiro se reduzir à metade acada 3 anos.Ciente disso, seu pai, antes de morrer, não dividiu igual-mente sua fortuna entre os dois filhos: reservou a JoãoGastão uma quantia igual a 1 024 vezes à quantia dada aZé Munheca.Considere em seus cálculos apenas o dinheiro que os ir-mãos herdaram de seu pai.a) Quanto tempo depois de receberem suas partes na he-

rança os dois irmãos terão a mesma quantia em di-nheiro?

b) Quanto tempo depois de receber sua parte na herança,aproximadamente, Zé Munheca terá uma quantia iguala 5 vezes à quantia de João Gastão? Se necessário, uti-lize log 2 = 0,30.

a) Sendo t o tempo em anos (t = 0 hoje, t = 1 daqui a um ano etc.),podemos escrever:

Para Zé: at = x 9 2

t2

Para João: bt = 1 024 9 x 9

12

t3

at = bt Θ x 9 2t2 = 1 024 9 x 9

12

t3

Θ 2 2 2t2

t3 109 = Θ 2

5t6 = 210

t = 12 anos

b) at = 5b

t

x 9 2t2 = 5 9 1 024 9 x 9

12

t3

25t6 = 10 9 512

log 25

6

t = log 10 0 log 29

56t

9 log 2 = 1 0 9 log 2

56t

9 0,30 = 1 0 9 9 0,30

t = 14,8 anos

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0115


Matemática 16

colog3 [log5 (log2 2125)]

−log3 [log

5 (log

2 2125)]

−log3 [log5 (125 9 log2 2)]−log3 [log5 125]−log

3 [3 log

5 5]

−log3 3 = −1

20 (Fafi-BH) O valor de colog3 [log5 (log2 2125)] é:

a) 0 b) −1 c) 2 d) 3 e) 1X

19 (UEM-PR) Sobre logaritmos e exponenciais, assi-nale o que for correto.

(01) Se

110

1

10

x y

. , então x . y.

(02) Se log4 3 = a e log3 7 = b, então log2 21 = 2a(1 0 b).

(04) Se log15 3 = c, então log 15

11 c5 =

−.

(08) Se (2x)x 0 1 = 64, então a soma dos valores de x quesatisfazem essa equação é igual a 5.

(16) A função f definida por f(x) 2

x

= ( ) , x 7 ς, é cres-

cente.(32) Para analisar fraturas em construções, usam-se

raios X. Quando os raios penetram no concreto, a suaintensidade é reduzida em 10% a cada 20 cm percorri-dos no concreto. A profundidade d em que a intensi-dade dos raios será de 0,09% da intensidade inicial é

d 20

log (0, 0009)

log (0, 9)= .

21 (UFRJ) Sendo x e y números reais e y ϑ 0, expresseo logaritmo de 3x na base 2y em função de x, y e log2 3.

log 3log 3

log 2

x log 3

y log 2

x log 3

y2x 2

x

2y

2

2

2y = = =

01. Incorreto

110

1

10

x y

. Θ x , y

02. Correto

log 3 log 3

log 4 a

log 3

2 log 3 2a4

2

2

22= = =→ →

log 7 log 7

log 3 b

log 7

2a log 7 2ab3

2

2

22= = =→ →

Portanto:log2 21 = log2 (7 9 3) = log2 7 0 log2 3 = 2ab 0 2a = 2a(b 0 1)

04. Correto

log 3 c log 3

log 15 c

log 3

log 5 log 3 c15

5

5

5

5 5

= =0

=→ →

log 3

1 log 35

50= c Θ log5 3 − c log5 3 = c Θ log5 3 9 (1 − c) = c

log 3

c1 c5 =

−Daí, vem:

log5 15 = log

5 (5 9 3) = log

5 5 0 log

5 3 = 1 0

c1 c

1

1 c−=

−

08. Incorreto

(2x)x 0 1 = 64 Θ 2x2 0 x = 26

x2 0 x = 6

x2 0 x − 6 = 0

A soma é igual a:S = 2 − 3 = −1

16. Correto

Como a base 2 é maior que 1, a função f(x) 2

x= ( ) é crescente.

32. CorretoA intensidade I em função da profundidade d é dada por:

I I (1 0,1) I I (0, 9)

0

d20

0

d20= − =→

Fazendo I = 0,09% I0, vem:

0,09% I I (0, 9)

0 0

d20=

0 0009, = 0, 9d20

log 0,0009 log(0,9)d20=

log 0,0009

d20

log 0,9= 9

d 20 log 0,0009

log 0,9= 9

x’ = 2

x” = −3

Portanto: 2 0 4 0 16 0 32 = 54

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0216


Matemática17

• 2n = 5 Θ log 2n = log 5 Θ n log 2 = log 5

•

logloglog

loglog ( )

loglog log log50

2

4450

22 5 5

2 22 5 5

= =9 9

=0 0

2 22 2 5

2 22 2 2

loglog log

loglog log0

=0 9

=n

2 22 1 2

21 2

loglog ( )9 0

=0n n

22 (UA-AM) Sendo 2n = 5, então log50 4 em função den é igual a:

a)

21 0 n

c)

11 0 n

e)

22 0 n

b)

11 20 n

d)

21 20 n

24 (ECM-AL) Considerando log 2 = 0,30, o valor delog4 3,2 é:

a)

53

b)

65

c)

12

d)

56

e) 20X

X

Substituindo os valores dos logaritmos, temos:

Aplicando a fórmula de mudança de base, vem:

log ,log ,log

log

loglog log

log4 23 2

3 24

32102

32 102 2

= = =−

log log

log

log log

log

2 10

2 2

5 2 10

2 2

5 −=

−

log ,,

,,,4

3 25 0 30 1

2 0 300 50 6

56

=9 −

9= =

25 (UFU-MG) Determine todos os valores de x 7 ς taisque satisfaçam a equação log4 (x − 3) = 1 0 log16 (x − 3).

A condição de existência é:x − 3 . 0 Θ x . 3

Resolvendo a equação, temos:

log ( )log ( )

log

log ( )log ( )

44

4

44

3 13

16

3 13

2

xx

xx

− = 0−

− = 0−

Como 19 . 3, o conjunto solução é S = {19}.

2 log4 (x − 3) = 2 0 log

4 (x − 3)

log4 (x − 3) = 2x − 3 = 16x = 19

26 (UFF-RJ) São dados os números reais positivos a, be x tais que a ϑ 1 e b ϑ 1.Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4.

Calcule a xablog .

Mas a2 = x e b4 = x. Assim, a2 = b4 e b2 = a Θ b a= .

loglog

log

log log

log log

log

logab

a

a

a a

a a

a

a

a xa x

ab

a x

a b

x

b= =

0

0=

0

0

112

1

loglogab

a

a xa

=

0 9

0=

0

0

= =

112

2

1

1 1

112

232

43

Logo:

23 (UFC) O número real x, positivo e diferente de 1,

que satisfaz a equação logx (2x) 9 log2 x = 3 − log2 x éigual a:

a) 23 d) 4

b) 2 e) 4 23

c) 2 23X

Mudando para a base 2, temos:

log (2x)

log x log x 3

log x

log 22

22

2

2

9 = −

log 2 log x

log x log x 3

12

log

log 22 2

22

2

2

09 = −

x

1 log x 3

log x

22

20 = −

2 0 2 log2 x = 6 − log

2 x

3 log2 x = 4

log x

432

=

x 2 23

=

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0317


Matemática 18

27 (Fuvest-SP) Se x é um número real,x . 2 e log2 (x − 2) − log4 x = 1, então o valor de x é:

a) 4 2 3− d) 4 2 30

b) 4 3− e) 2 4 30

c) 2 2 30

Com x . 2, temos:log2 (x − 2) − log4 x = 1

log2 (x − 2) −log

log2

2

x

4 = 1

log2 (x − 2) −

12

log2 x = 1

2 log2 (x − 2) − log2 x = 2

log

(x 2)

x2

2

2−=

(x 2)

x2

22

−=

(x − 2)2 = 4xx2 − 8x 0 4 = 0

x 4 2 3= ±

Da condição x . 2, temos x 4 2 3= 0 .

28 (UFMG) Neste plano cartesiano estão representa-dos o gráfico da função y = log2 x e o retângulo ABCD,cujos lados são paralelos aos eixos coordenados.

A abscissa de A é 14

. Logo, a abscissa de D é 14

.

y = log2 x Θ y log

14

2142

y= =→ Θ 2y = 2−2 Θ y = −2

A ordenada de D é −2.A abscissa de B é 8. Logo:y = log2 8 Θ 2y = 8 Θ 2y = 23 Θ y = 3. A ordenada de B é 3.

X

Sabe-se que:• os pontos B e D pertencem ao gráfico da função y = log2 x;

• as abscissas dos pontos A e B são, respectivamente,

14

e 8.Então, é correto afirmar que a área do retângulo ABCD é:a) 38,75 b) 38 c) 38,25 d) 38,5

x

y

AB y = log

2 x

D C

29 (FGV-SP) Considere as funções: f(x) = 3x − 3 eg(x) = log3 (x 0 1), sendo loga (b) o logaritmo de b na base a.

a) Esboce a representação gráfica das funções f(x) e g(x)num mesmo sistema cartesiano de eixos.

b) Escreva a equação das retas r e s, assíntotas das funçõesf(x) e g(x), respectivamente.

c) Determine as coordenadas dos pontos P e R, intersecçõesdas funções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Oxe as coordenadas dos pontos Q e S, intersecções dasfunções f(x) e g(x), respectivamente, com o eixo Oy.

d) Determine graficamente o número de soluções da equa-ção f(x) = g(x).

a)

x

y

y = g(x)

y = f(x)

10

1

2

3

4

5

2 3−1−1

−2

−3r

s

b) As equações das retas r e s são, nessa ordem, y = −3 e x = −1.c) De 3x − 3 = 0, temos 3x = 3, ou seja, x = 1 (P).

De log3 (x 0 1) = 0, temos x 0 1 = 1, ou seja, x = 0 (R).De f(x) = 3x − 3, temos f(0) = 30 − 3 = −2 (Q).De g(x) = log3 (x 0 1), temos g(0) = log3 (0 0 1) = 0 (S).

d) As curvas y = f(x) e y = g(x) interceptam-se em apenas dois pontosdistintos.

Portanto:AD = 3 − (−2) = 5

AB 8

14

314

= − =

A área do retângulo ABCD é:

S 5

314

38, 75= 9 =

X

011_018_CA_Matem_2 11.09.06, 21:0318


Matemática19

30 (UENF-RJ) Um grupo de 20 ovelhas é libertado parareprodução numa área de preservação ambiental. Subme-tidas a um tratamento especial, o número N de ovelhasexistentes após t anos pode ser estimado pela seguinte fór-mula:

N

2201 10(0, 81)t

=0

Admita que a população de ovelhas seja capaz de se man-ter estável, sem esse tratamento especial, depois de atin-gido o número de 88 ovelhas.a) Calcule o número de ovelhas existentes após 6 meses.b) Considerando ln 2 = 0,7, ln 3 = 1,1 e ln 5 = 1,6, calcu-

le a partir de quantos anos não haverá mais a necessi-dade de tratamento especial do rebanho.

31 (Vunesp-SP) A função p(t) 9

81 12 3 (0,1)t

= 00 9 −

expressa, em função do tempo t (em anos), aproximada-mente, a população, em milhões de habitantes, de umpequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do grá-fico dessa função, para 0 < t < 80, é dado na figura.

t (em anos)

(gráfico fora de escala)

População(em milhões de hab.)

32 80

9

10

15

17

0

a) Quando a população atingiu 12 milhões de habitantes:

p(t) = 12 Θ 9 0

81 12 3 (0,1)t0 9 −

= 12

81 12 3 (0,1)t0 9 −

= 3 Θ 3 0 12 9 31 − 0,1t = 8

31 − 0,1t = 5

12 Θ 1 − 0,1t = log3

512

1 − 0,1t = log3 5 − 2 log3 2 − log3 30,1t = −1,4 0 2 9 0,6 0 2 Θ 0,1t = 1,8t = 18 anos, ou seja, em 1950 0 18 = 1968.

b) Em 1950, isto é, para t = 0 temos

p(0) = 9 0 8

13 Λ 9,61 milhões de habitantes.

Com base no gráfico, o conjunto solução de p(t) > 15 é S = [32, 80].De acordo com o gráfico, a equação p(t) = k tem soluções reais parap(0) < k < p(80) Θ 9,61 < k < 17, aproximadamente, em milhões dehabitantes.

a) De acordo com esse modelo matemático, calcule emque ano a população atingiu 12 milhões de habitantes.(Use as aproximações log3 2 = 0,6 e log3 5 = 1,4.)

b) Determine aproximadamente quantos habitantes tinhao país em 1950. Com base no gráfico, para 0 < t < 80,admitindo que p(80) = 17, dê o conjunto solução dainequação p(t) > 15 e responda, justificando sua res-posta, para quais valores de k a equação p(t) = k temsoluções reais.

a) Com 6 meses =12

ano, temos:

N220

1 10(0,81)12

=

0

Θ N = 22 ovelhas

b)

2201 10(0,81)

88 (0, 81)3

209

103

20tt

2t

0> < <→ →

2t(ln 9 − ln 10) < ln 3 − ln 20

t ln 3 ln 20

2(ln 9 ln 10)>

−

−

t

ln 3 2 ln 2 ln 54 ln 3 2 ln 2 2 ln 5

>− −

− −

t 1,1 2 0,7 1,6

4 1,1 2 0,7 2 1,6>

− 9 −

9 − 9 − 9

t > 9,5 anos

019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3719


Matemática 20

1

1

2

2

3

3

−1

−1

�

� 5 �

33 (UFSM-RS) O domínio da função

f(x) =

−

00 − 0

xx

x x11

5 6102log ( ), em ς, é o sub-

conjunto:a) ]−∞, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∞[b) ]−∞, 0∞[c) ]−∞, 1] 6 [2, 0∞)d) {x 7 ς\x , −1 ou x > 1}e) {x 7 ς\x , 1 ou x . 3}

X

Devemos ter:

x2 − 5x 0 6 . 0 �

14

24

3

xx

−

0>

11

0

y1 = x − 1x − 1 = 0 Θ x = 1

xx

com x−

0> ϑ −

11

0 1,

y2 = x 0 1x 0 1 = 0 Θ x = −1

Quadro de sinais

Portanto: D = {x 7 ς\x , −1 ou 1 < x , 2 ou x . 3} ouD = ]−∃, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∃[

� x2 − 5x 0 6 . 0

� 5 �:

1}

{

x −1}

{

x

−{ {

−1 1

1−1

y1

y2

{ {

}2 3

32 (UFBA) O número de bactérias de determinada cul-

tura varia de acordo com a lei N(t) = 9−

100 21

2 , em queo tempo t é dado em horas.Nessas condições, pode-se afirmar:(01) No instante t = 0, o número de bactérias existentes

na cultura é igual a 200.(02) Depois de 8 horas, o número de bactérias existentes

na cultura é menor que 7.(04) Em 4 horas, a quantidade de bactérias na cultura se

reduz a

14

da quantidade inicial.

(08) Na cultura, a quantidade de bactérias se reduz de

25

da quantidade inicial no tempo t = 2

532log .

(16) Em relação ao tempo, avariação da quantidadede bactérias é represen-tada pelo gráfico ao lado.

01. Incorreto. Sendo t = 0, temos:

N(0) N(0) 100= 9 Θ = 9 =−

100 2 100 202 0

02. Correto. Fazendo t = 8, obtemos:

N(8) (6,25 7)= 9 = 9 = = = ,

−−100 2 100 2

1002

10016

6 2582 4

4,

04. Correto. Se t = 4, temos:

N(4) 100= 9 = = = 9

−

100 2100

425 25

14

42

08. Incorreto. Sendo N(t) 100 40, temos:= 9 =

25

40 100 2

25

225

22 2 2= 9 Θ = Θ =− − −

t t t

log log

t = 2

522

log

16. Incorreto. Tabelando a função, temos:

Portanto: 2 0 4 = 6

N(t)

t0

100

x0 1 2 4

y

100

50

t N

0 1002 504 25

�

�

019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3720


Matemática21

34 (UFBA) O gráfico representa a funçãof: ς Θ ]1, 0∞[; f(x) = a 0 b 9 2kx, sendo a, b e k constantesreais. A partir dessas informações, calcule f−1(x).

Com base no gráfico de f(x) = a 0 b 9 2kx, conclui-se que a funçãog(x) = b 9 2kx sofreu uma translação de 1 unidade, logo a = 1.Além disso, pelo gráfico tem-se que f(0) = 3 e f(−1) = 5.f(0) = 3 Θ 3 = 1 0 b Θ b = 2f(−1) = 5 Θ 5 = 1 0 2 9 2−k Θ 4 = 2 9 2−k Θ 22 = 21 − k

2 = 1 − k Θ k = −1Logo, f(x) = 1 0 2 9 2−x = 1 0 21 − x.Cálculo da função inversa f−1(x):y = 1 0 21 − x Θ y − 1 = 21 − x Θ log2 (y − 1) = 1 − x Θ x = 1 − log2 (y − 1)Portanto, f−1(x) = 1 − log

2 (x − 1).

y

x

5

3

1

0−1

35 (UFOP-MG) Resolva a inequaçãolog2 (x − 3) 0 log2 (x − 2) , 1.

Devemos ter:x − 3 . 0 Θ x . 3x − 2 . 0 Θ x . 2

Resolvendo a inequação, temos:log

2 (x − 3)(x − 2) , 1

(x − 3)(x − 2) , 2x2 − 5x 0 6 , 2x2 − 5x 0 4 , 0

x1 = 4x2 = 1Raízes: x2 − 5x 0 4 = 0

S = {x 7 ς\3 , x , 4}

Fazendo � 5 �, obtemos:

Θ 1 , x , 4 �{ {

}1 4 x

3

3

4

4

1�

�

� 5 �

36 (Fuvest-SP) O conjunto dos números reais x quesatisfazem a inequação log2 (2x 0 5) − log2 (3x − 1) . 1é o intervalo:

a)

− −∞, 52

d)

13

, 74

b)

74

, ∞

e)

0,

13

c)

−52

, 0

Ι x . 3 �

log2 (2x 0 5) − log2 (3x − 1) . 1

log 2x 53x 12

0

−

. 1 e 3x − 1 . 0

2x 53x 1

0

−. 2 e 3x − 1 . 0

x

74

e x 13

13

x 74

, . , ,→

37 (Vunesp-SP) Considere as funções f(x)

x2

= e

g(x) = log2 x, para x . 0.a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas re-

tangulares, os gráficos das duas funções, colocando ospontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8.

b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solu-

ção da inequação

x2

, log2 x e justifique por que

π

2, log2 π.

f(x)

x2

= g(x) = log2 x

a)

b)π2

, log2 x Θ 2 , x , 4

Se 2 , π , 4, então π2

, log2 π.

x 1 2 4 8

f(x)12

1 2 4

x 1 2 4 8

g(x) 0 1 2 3

x10

1

2

4

2 4 8

12

f

g

y

X

019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3821


Matemática 22

41 (UFRJ) Ana e Bia participaram de um site de relacio-namentos. No dia 1o de abril de 2005, elas notaram queAna tinha exatamente 128 vezes o número de amigos deBia. Ana informou que, para cada amigo que tinha no fi-nal de um dia, três novos amigos entravam para sua listade amigos no dia seguinte. Já Bia disse que, para cadaamigo que tinha no final de um dia, cinco novos amigosentravam para sua lista no dia seguinte. Suponha que ne-nhum amigo deixe as listas e que o número de amigosaumente, por dia, conforme elas informaram.a) No dia 2 de abril de 2005, 20 novos amigos entraram

para a lista de Bia.Quantos amigos havia na lista de Ana em 1o de abril?

b) Determine a partir de que dia o número de amigos deBia passa a ser maior do que o número de amigosde Ana. Se precisar, use a desigualdade1,584 , log2 3 , 1,585.

a) No dia 2 de abril, entraram 20 novos amigos para a lista de Bia. Logo:5b1 = 20 Θ b1 = 4Então, Bia tinha 4 amigos em 1o de abril.No dia 1o de abril, Ana tinha:128 9 4 = 512 amigos

b) No enésimo dia, o número de amigos de cada uma é:Ana Θ a

n = 512 9 4n − 1

Bia Θ bn = 4 9 6n − 1

Portanto:b

n . a

n Θ 4 9 6n − 1 . 512 9 4n − 1

64

5124

n 1

n 1

−

−.

32

2n 1

7

−

.

n 1 7

log 3 12

− .−

n 7

log 3 1 1

2

.−

0

Sendo 1,584 , log2 3 , 1,585, vem:

70,585

7

log 3 1

70,584

11,96 7

log 3 1 11,98

2 2

,−

, ,−

,→

A partir de 13 de abril, o número de amigos de Bia supera o de Ana.

a) Devemos ter y > 1,2. Logo:y > 1,23 − 3 9 (0,95)t > 1,2−3 9 (0,95)t > −1,8(0,95)t < 0,6Tomando os logaritmos decimais do 1o e 2o membros, temos:log (0,95)t < log 0,6 Θ t 9 log 0,95 < log 0,6Como log 0,95 Λ −0,02 e log 0,6 = −0,22, obtemos:

t t t dias9 − < − Θ > Θ .( , ) ,,,

0 02 0 220 220 02

11

b) Por outro lado, quanto maior é o valor de t, tanto mais o valor de (0,95)t

aproxima-se de zero e, assim, o valor de y aproxima-se de 3.O gráfico de y em função de t é dado pelo esboço a seguir:

39 (FGV-SP) O anúncio de certo produto aparece dia-riamente num certo horário na televisão. Após t dias doinício da exposição (t exposições diárias), o número depessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado pory = 3 − 3 9 (0,95)t, em que y é dado em milhões de pessoas.a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhão

de pessoas conhecendo o produto?b) Faça o gráfico de y em função de t.

40 (UFMA) A função

f(x)(2x

=

−

2

53

x

log ) possui

como domínio, no conjunto ς dos números reais, o intervalo:a) ]−3, 0∞[ c) ]3, 0∞[ e) ]−2, 0∞[

b)

52

,0∞

d)

− 0∞72

,

2x − 5 . 0 Θ 2x . 5 Θ x .

52

log3 (2x − 5) . 0 Θ log

3 (2x − 5) . log

3 1

Devemos ter:

14

24

3

De � e � vem:{x 7 ς\x . 3}, ou seja, ]3, 0∞[

2x − 5 . 12x . 6x . 3

X

0

3y

t

38 (Unicamp-SP) Um capital de R$ 12 000,00 é aplica-do a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anual-mente. Considerando que não foram feitas novas aplica-ções ou retiradas, encontre:a) o capital acumulado após 2 anos;b) o número inteiro mínimo de anos necessários para que

o capital acumulado seja maior que o dobro do capitalinicial.(Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477.)

O capital acumulado após n anos é dado, em R$, por C(n) = 12 000 9 1,08n.a) C(2) = 12 000 9 1,082

C(2) = 12 000 9 1,1664 Ι C(2) = 13 996,80b) De C(n) . 12 000 9 2, temos:

12 000 9 1,08n . 12 000 9 21,08n . 2log (1,08)n . log 2n 9 log 1,08 . log 2n 9 [log (22 9 33 9 10−2)] . log 2n 9 [(2 log 2 0 3 log 3 − 2)] . log 2n 9 (0,602 0 1,431 − 2) . 0,301n 9 0,033 . 0,301

n 0,3010,033

.

n . 9,12O menor valor inteiro de n é, portanto, igual a 10.

�

�

019_022_CA_Matem_2 11.10.06, 15:3822

M9Noções de Matemática Financeira

23 Matemática

Caderno de

AtividadesTERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M9

TERCEIRÃO FTDNoções de MatemáticaFinanceira

O faturamento será de 0,9 9 1,20 = 1,08 do faturamento anterior. Logo,aumentou em 8%.

2 (UFPE) Quando o preço da unidade de determinadoproduto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% du-rante certo período. No mesmo período, de que percentualaumentou o faturamento da venda deste produto?a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 30%X

90% do lucro obtido em 2002 é 0,9 9 350 000 = 315 000 (reais).Logo, o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido no ano anterior.

3 (ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes ve-getais” são produtos diferentes, comercializados em em-balagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciarum produto do outro, deve ler com atenção os dizeres dorótulo, geralmente em letras muito pequenas. As figurasque seguem representam rótulos desses dois produtos.

As quantidades de lipídios em 200 g de creme vegetal e 200 g de marga-rina são, respectivamente, 35% 9 200 g = 70 g e 65% 9 200 g = 130 g.Uma pessoa que, inadvertidamente, utiliza creme vegetal em vez de mar-

garina estará usando

70 g

130 g7

13 0, 54% 54%= Λ = da quantidade ne-

cessária de lipídios. A melhor aproximação desse resultado é “a metade”.

X

Podemos afirmar que:a) o lucro da empresa em 2003 foi 15% superior ao lucro

de 2001.b) o lucro da empresa em 2005 foi 30% superior ao lucro

de 2001.c) o lucro da empresa em 2004 foi 10% inferior ao de 2002.d) o lucro em 2003 foi 90% do lucro obtido pela empresa

no ano anterior.d) o lucro obtido em 2005 superou em 17% o do ano an-

terior.

X

Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentí-cias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, pordesatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar umamassa cuja receita pede 200 g de margarina, não obterá aconsistência desejada, pois estará utilizando uma quanti-dade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproxi-madamente:a) o triplo d) um terçob) o dobro e) um quartoc) a metade

Peso líquido 500 gMARGARINA

65% de lipídios

valor energético por porção de 10 g: 59 kcal

Peso líquido 500 gCREME VEGETAL

35% de lipídios

valor energético por porção de 10 g: 32 kcalNão recomendado para uso culinário

0

500 000reais

300 000 300 000350 000

315 000 340 000405 000

100 000

200 000

400 000

2001 2002 2003 2004 2005ano

1 (FGV-SP) O gráfico abaixo representa os lucros anuais,em reais, de uma empresa ao longo do tempo.

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:4923

Noções de Matemática FinanceiraM9

24Matemática

Seja x o valor de lançamento.O valor atual é de x 0 4x = 5x, que representa um aumento de 400% emrelação a x.

7 (PUC-RS) O valor de um produto foi acrescido de qua-tro vezes o da época de seu lançamento no mercado. Aporcentagem que o valor atual representa, em relação aopreço inicial, é de:a) 500% b) 450% c) 400% d) 5% e) 4%X


4 (UFSC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s):(01) Se uma pessoa A pode fazer uma peça em 9 dias de

trabalho e outra pessoa B trabalha com velocidade50% maior do que A, então B faz a mesma peça em 6dias de trabalho.

(02) Uma empresa dispunha de 144 brindes para distri-buir igualmente entre sua equipe de vendedores, mascomo no dia da distribuição faltaram 12 vendedores,a empresa distribuiu os 144 brindes igualmente en-tre os presentes, cabendo a cada vendedor um brindea mais. Logo, estavam presentes 36 vendedores nodia da distribuição.

(04) Se reduzindo o preço x em 20% se obtém y, então ydeve sofrer um acréscimo de 20% para se obter nova-mente x.

(08) A soma de dois números naturais é 29. Então o valormínimo da soma de seus quadrados é 533.

5 (UFPE/UFRPE) A população de pobres de um certo país,em 1981, era de 4 400 000, correspondendo a 22% da popu-lação total. Em 2001, esse número aumentou para5 400 000, correspondendo a 20% da população total. Indi-que a variação percentual da população do país no período.

6 (UFG) Um cliente encomendou 12 centos de quibe e5 centos de empadinha de camarão, cujo custo total erade R$ 305,00. Quando foi pagar a mercadoria, o clientepediu um desconto e o comerciante deu 10% de descontono preço do cento do quibe, mas não deu desconto nocento da empadinha de camarão. Com o desconto dado, ocliente pagou R$ 287,00 pela mercadoria. Calcule:a) o desconto obtido pelo cliente no valor da conta, em

porcentagem;b) o preço pago pelo cliente nos centos do quibe e da

empadinha de camarão.

01. CorretaDias Velocidade

9 vx 1,5v

02. Correta

144x 12

144x

1−

= 0

144x(x 12)

144(x 12) x(x 12)

x(x 12)−=

− 0 −

−

x2 − 12x − 1 728 = 0

Θ

9x

=1, 5v

v Θ x = 6 dias

A população de pobres era igual a:

1981 Θ 4400000

0,22

= 20 000 000

2001 Θ 5 000

0,20400

= 27 000 000

A variação percentual é:

(27000 000

20000 000

20000 000)−= 0,35 ou 35%

a) O desconto d é igual a:305 − d 9 305 = 287305d = 18d Λ 0,06oud Λ 6%

b) Os preços dos centos de quibe q e da empadinha de camarão c satisfa-zem o sistema:

123 , cuja solução é q = 15 e c = 25.12q 0 5c = 30512(0,9)q 0 5c = 287

x1 = 48

x2 = −36 (não serve)

Estavam presentes: 48 − 12 = 36 vendedores.

04. IncorretaSendo x o preço, temos:y = x − 20%x Θ y = x − 0,2x Θ y = 0,8xEstabelecendo uma regra de três, temos:0,8x − 100%

x − aO acréscimo deverá ser de 25%.

08. IncorretaSe x e y são números naturais tais que x 0 y = 29, temos:

x y 72 0 222 = 49 0 484 = 5330 29 82 0 212 = 64 0 441 = 5051 28 92 0 202 = 81 0 400 = 4812 27 102 0 192 = 100 0 361 = 461. . 112 0 182 = 121 0 324 = 445. . 122 0 172 = 144 0 289 = 433. . 132 0 162 = 169 0 256 = 4257 22 142 0 152 = 196 0 225 = 4218 219 20. .. .. .

O valor mínimo de x2 0 y2 não é 533 e sim 421.Portanto: 1 0 2 = 3

→ →

0, 8xx

100a

a 125%= =

Sendo 10% de 15,00 = 0,1 9 15,00 = 1,50, o cliente pagou pelo centodo quibe: 15,00 − 1,50 = R$ 13,50 e R$ 25,00 pelo cento da empadinhade camarão.

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:4924


25 Matemática

80% da causa: 0,8 9 200 000 = 160 000100% − 15% = 85%: 0,85 9 160 000 = 136 000Ele receberá R$ 136 000,00.

8 (Unesp-SP) Um advogado, contratado por Marcos, con-segue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200 000,00e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. Aquantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a partedo advogado, será de:a) 24 000,00 c) 136 000,00 e) 184 000,00b) 30 000,00 d) 160 000,00

X

9 (MACK-SP) Numa loja, uma caixa com 5 barras dechocolate está à venda com a inscrição “Leve 5, pague 4”.O desconto aplicado ao preço de cada barra corresponde,em porcentagem, a:a) 8 d) 20b) 10 e) 25c) 12,5

10 (UFRJ) No gráfico abaixo, x representa a quantida-de de batatas, em quilogramas, vendidas na barraca de seuCustódio, em um dia de feira, e y representa o valor, emreais, arrecadado com essa venda. A partir das 12 horas, omovimento diminui e o preço do quilograma de batatastambém diminui.

X

Suponhamos que, sem desconto algum, o preço de uma barra seja x reais.Assim, sem desconto, o preço de 5 barras seria 5x reais.Com o desconto, o preço de 5 barras passa para 4x reais.Há, portanto, um desconto de x reais em cada 5x reais.

O desconto é dado por

x5x

15

= , o que corresponde a 20%.

a) Antes das 12 h, a redução é de:

7260

= 1,20 reais/kg

A partir das 12 h, a redução é de:

90 7280 60

1820

−

−= = 0,90 real/kg

a) Calcule a redução percentual do preço do quilogramade batatas a partir das 12 horas.

b) Se o preço não diminuísse, teria sido arrecadado umvalor V na venda de 80 kg.Determine o percentual de V que corresponde à perdacausada pela redução do preço.

x (kg)

y (R$)

60 80

72

90

0

11 (UFSC) Um quadro cujo preço de custo eraR$ 1 200,00 foi vendido por R$ 1 380,00. Justifique se olucro obtido na venda, sobre o preço de custo, foi de 18%.O lucro é de:1 380,00 − 1 200,00 = 180,00A porcentagem do lucro sobre o preço de custo é de:

180 001 200 00

,,

= 0,15 = 15%

A redução percentual é igual a:

1,20 0, 901,20

0, 301,20

−= = 0,25 = 25%

b) A arrecadação com preço inicial de R$ 1,20 é:80 9 1,20 = R$ 96,00Se o valor arrecadado é R$ 90,00, o percentual de perda é:

96 9096

696

−= = 0,0625 = 6,25%

Seja x o preço inicial:x(1 0 0,10)(1 0 0,20) = x 9 1,1 9 1,2 = 1,32x = x(1 0 0,32)Sofreu um aumento total de 32%.

12 (UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu doisaumentos sucessivos, de 10% e 20%. De quantos por cen-to foi o aumento total dessa mercadoria?a) 30% b) 32% c) 25% d) 22% e) 12%X

13 (PUC-SP) Em uma indústria é fabricado certo pro-duto ao custo de R$ 9,00 a unidade. O proprietário anun-cia a venda desse produto ao preço unitário de x reais,para que possa, ainda que dando ao comprador um des-conto de 10% sobre o preço anunciado, obter um lucro de40% sobre o preço unitário de custo. Nessas condições, ovalor de x é:a) 24 b) 18 c) 16 d) 14 e) 12Do enunciado, o preço de venda é 0,9 9 x, e o lucro é de 0,4 9 9.Logo:0,9x = 9 0 0,4 9 90,9x = 12,6

x = 14

X

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5025


26Matemática

14 (Fatec-SP) Em certo aparelho eletrônico, 20% docusto total corresponde a componentes importados.Se o preço desses componentes sofrer um acréscimo de20%, e o preço dos demais sofrer um acréscimo de 10%, ocusto total do aparelho será acrescido de:a) 30% b) 20% c) 12% d) 10% e) 8%

15 (UFES) Em uma safra, um produtor de morangostem um custo de R$ 0,50 por caixa produzida, relativo asementes, defensivos agrícolas, embalagens etc., além deuma despesa fixa de R$ 1 500,00, relativa ao aluguel doterreno onde produz, ao maquinário e aos salários deempregados. Nessa safra:a) quantas caixas de morangos poderiam ser produzidas

aplicando-se R$ 15 000,00?b) se forem produzidas 50 000 caixas, qual deverá ser o

preço de venda de cada caixa para se obter um lucrototal de R$ 10 000,00?

16 (FGV-SP)a) Um televisor, cujo preço à vista é R$ 1 000,00, está sen-

do vendido, a prazo, em 3 parcelas mensais, sucessivase iguais a R$ 350,00, sem entrada.João Augusto tem R$ 1 000,00 aplicados à taxa de2% a.m., pelo critério de juro composto, mas preferiucomprar o televisor a prazo. “Levo o televisor sem gas-tar nada agora e, ainda, mantenho o dinheiro aplicado.Pagarei as parcelas com retiradas mensais da aplica-ção”, pensou ele.João Augusto raciocinou corretamente? Haverá dinhei-ro suficiente na aplicação para saldar a última parcelado financiamento?

b) Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir,como entrada, 20% do valor à vista da mercadoria e orestante a ser liquidado no final de 3 meses. Nesse caso,o saldo devedor é acrescido de 10% do valor à vista damercadoria, a título de “despesas administrativas”.Qual é a taxa anual de juros simples cobrada por essaloja?

17 (UESPI) Um investidor aplicou 30% do seu capitala juro simples de 1,5% a.m., durante um ano. O restantefoi aplicado a juro simples, durante um ano, à taxa de2% a.m. Se o total de juros recebidos foi R$ 1 776,00, qualera o capital do investidor?a) R$ 5 000,00 d) R$ 8 000,00b) R$ 6 000,00 e) R$ 9 000,00c) R$ 7 000,00

X

Seja c o custo total do aparelho. A tabela seguinte mostra os custos doscomponentes importados e nacionais antes e depois do acréscimo.

Antes do acréscimo Depois do acréscimo

importados 20%c 1,20 9 20%c

nacionais 80%c 1,10 9 80%c

custo total 100%c 1,20 9 20%c 0 1,10 9 80%c

O custo total, após o acréscimo, passou a ser1,20 9 20%c 0 1,10 9 80%c = 0,24c 0 0,88c = 1,12c.Portanto, houve um acréscimo de 12%.

a) A função que representa o custo é:c(x) = 1 500 0 0,50n (sendo n = número de caixas)Aplicando-se R$ 15 000,00, temos:15 000 = 1 500 0 0,50n0,50n = 13 500n = 27 000 caixas

b) Se forem produzidas 50 000 caixas, o custo total de produção será0,50 9 50 000 0 1 500 = R$ 26 500,00. Para obter R$ 10 000,00 delucro, será necessário arrecadar 26 500 0 10 000 = R$ 36 500,00 e,nesse caso, o preço de venda de cada caixa deverá ser36 500 : 50 000 = R$ 0,73.

a) Mês Montante – parcela (em R$)

0 1 000,00

1 1 000,00 9 1,02 − 350,00 = 670,00

2 670,00 9 1,02 − 350,00 = 333,40

3 333,40 9 1,02 − 350,00 = −9,93

Consideramos que a primeira parcela deverá ser paga exatamente ummês após a data da compra, condição que não foi mencionada no enun-ciado.Portanto, João Augusto não raciocinou corretamente, pois não haverádinheiro suficiente na aplicação para saldar a última parcela.

b) Sendo x o valor à vista da mercadoria, o acréscimo sobre o saldo deve-dor 0,8x será igual a 0,1x.

A taxa trimestral de juros é, portanto,

0,1x0, 8x

12, 5%.=

A taxa anual de juro simples é 4 9 12,5% = 50%.

J1 = C1i1t1 Θ J1 = 0,30C 9 0,015 9 12 Θ J1 = 0,054CJ2 = C2i2t2 Θ J2 = 0,70C 9 0,02 9 12 Θ J2 = 0,168CLogo:J1 0 J2 = 1 7760,054C 0 0,168C = 1 7760,222C = 1 776C = R$ 8 000,00

X

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5026


27 Matemática

18 (UFLA-MG) João fez um empréstimo de R$ 2 000,00a juro de 5% a.m., incorporado mensalmente ao montan-te da dívida. Um mês depois João pagou R$ 500,00 e, doismeses após esse pagamento, liquidou seu débito. Qual ovalor do último pagamento?Após 1 mês João devia:2 000 9 1,05 = R$ 2 100,00Pagou R$ 500,00, logo ficou devendo:2 100 − 500 = R$ 1 600,00Após 1 mês:1 600 9 1,05 = R$ 1 680,00Após 2 meses:1 680 9 1,05 = R$ 1 764,00Para liquidar o débito, João pagou R$ 1 764,00.

19 (UEM-PR) A taxa de juros de uma aplicação finan-ceira é de 2% a.m.; aplicando-se R$ 100,00 a essa taxa, éincorreto afirmar que:a) após 5 meses, haverá R$ 110,00.b) após 3 meses, haverá mais que R$ 106,00.c) depois de um mês, haverá R$ 102,00.d) se, no final de cada mês, forem retirados R$ 2,00, após

6 meses o máximo que poderá ser sacado será R$ 102,00.e) após 4 meses, o capital inicial terá sofrido um acrésci-

mo de mais de 8%.

X

a) IncorretoM = C(1 0 i)t

M = 100 9 (1 0 0,02)5

M = 100 9 1,025

M = R$ 110,40b) Correto

M = C(1 0 i)t Θ M = 100 9 (1 0 0,02)3 Θ M = R$ 106,12c) Correto

M = 100(1,02)1 Θ M = R$ 102,00d) Correto

Mês Montante (R$) Saldo (−R$ 2,00)

1 102,00 100,00

2 102,00 100,00

3 102,00 100,00

4 102,00 100,00

5 102,00 100,00

6 102,00

e) CorretoM = 100 9 1,024 Θ M = 108,24O acréscimo é de:

108 24100

,= 1,0824 Θ 8,24%

Investindo um capital x, a 7% de juros mensais, após t (meses) teremos:x 9 (1,07)t

O tempo para que o capital dobre é igual a:

20 (IBMEC) Investindo-se um capital a uma taxa dejuros mensais de 7%, em regime de capitalização com-posta, em quanto tempo o capital inicial dobrará?Considere: log 2 = 0,3; log 1,07 = 0,03.a) 10 meses c) 12 meses e) 14 mesesb) 11 meses d) 13 meses

X

x 2x9 = = = =( , ) loglog

log ,,,,

1 07 22

1 070 30 031 07

t t→

t = 10 meses

21 (UFMT) O senhor Silva planejou passar, com suafamília, as festas natalinas no Pantanal de Mato Grossoem uma pousada que cobra uma diária de R$ 450,00, in-clusos as refeições e os passeios turísticos. Fez uma reser-va por 7 dias, devendo efetuar o pagamento antecipado nodia 4/12/2003. Visando não sobrecarregar o orçamento domês de dezembro, decidiu poupar de duas maneiras:1. depositar R$ 2 000,00 no dia 3/1/2003, em uma aplica-

ção especial com taxa de juro composto de 1,5% a.m., aserem resgatados somente em 3/12/2003;

2. acumular bônus pelas compras efetuadas no cartão decrédito, podendo resgatá-los, em 3/12/2003, na formade duas diárias.

A partir dessas informações, é possível afirmar que o mon-tante reservado pelo senhor Silva com essas maneiras depoupar será:

Admita: (1,015)11 = 1,18.

a) suficiente para pagar a reserva mas não lhe sobrará paragastos extras.

b) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarãoR$ 225,00 para gastos extras.

c) insuficiente e lhe faltarão R$ 110,00.d) suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão

R$ 110,00 para gastos extras.e) insuficiente e lhe faltarão R$ 225,00.

X

Pelos dados, temos:1. aplicação de R$ 2 000,00 em 11 meses a juro composto de 1,5% a.m.

M = 2 000 9 (1,015)11

M = 2 000 9 1,18M = R$ 2 360,00

2. 2 diárias Θ 2 9 450,00 = R$ 900,00Valor da viagem: 7 9 450,00 = R$ 3 150,00Valor obtido pela poupança: 2 360,00 0 900,00 = R$ 3 260,00Logo, sobrarão:3 260,00 − 3 150,00 = R$ 110,00

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5027


28Matemática

25 (UFV-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em di-nheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o mon-tante na conta, após t meses, é dado por M(t) = C 9 20,01t, emque C é uma constante positiva, o tempo mínimo para dupli-car a quantia depositada é:a) 6 anos e 8 meses d) 9 anos e 3 mesesb) 7 anos e 6 meses e) 10 anos e 2 mesesc) 8 anos e 4 meses

Para duplicar a quantia depositada devemos ter:

C 9 20,01 9 t = 2 9 C Θ 0,01 9 t = 1 Θ t = 100 meses = 8 anos e 4 meses

22 (FGV-SP) Uma aplicação financeira rende juro de10% a.a., composto anualmente. Utilizando para os cál-culos as aproximações fornecidas na tabela, pode-se esti-mar que uma aplicação de R$ 1 000,00 seria resgatada nomontante de R$ 1 000 000,00 após:

23 (UFRJ) O senhor Feliciano contraiu, em um banco,um empréstimo de R$ 10 000,00 com juro de 3% a.m., ouseja, o saldo devedor é recalculado, a cada mês, acrescen-tando-se 3% ao antigo. Começou a pagar a dívida exata-mente um mês após tê-la contraído. Pagou, religiosamen-te, R$ 250,00 por mês, durante 10 anos.a) Calcule o saldo devedor após o primeiro pagamento.b) Indique, das opções a seguir, a que representa a situa-

ção do senhor Feliciano decorridos os 10 anos.I. A dívida foi quitada.

II. O senhor Feliciano deve ao banco menos deR$ 10 000,00.

III. O senhor Feliciano deve ao banco algo entreR$ 10 000,00 e R$ 16 000,00.

IV. O senhor Feliciano deve ao banco mais deR$ 16 000,00.

V. O banco deve dinheiro ao senhor Feliciano.

24 (Fuvest-SP) João, Maria e Antônia tinham, juntos,R$ 100 000,00. Cada um deles investiu sua parte por umano, com juro de 10% a.a. Depois de creditados seus jurosno final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11 000,00 maiso dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os trêsreinvestiram seus capitais, ainda com juro de 10% a.a.Depois de creditados os juros de cada um no final dessesegundo ano, o novo capital de Antônia era igual à somados novos capitais de Maria e João. Qual era o capital ini-cial de João?a) R$ 20 000,00 d) R$ 26 000,00b) R$ 22 000,00 e) R$ 28 000,00c) R$ 24 000,00

X

O montante resultante de uma aplicação de R$ 1 000,00 a juro de 10% a.a.,composto anualmente, durante t anos, é dado por:M = 1 000 9 (1 0 10%)t

Dessa forma:1 000 9 (1 0 0,10)t = 1 000 000 Θ 1,10t = 1 000

log 1,10t = log 1 000 Θ t 9 log 1110

= 3

t 9 (log 11 − log 10) = 3 Θ t 9 (1,04 − 1) = 3

t 3

0, 0434

100= = 9 anos

Portanto, t

34

= de século.

a) mais de 1 século d)

23

de século

b) 1 século e)

34

de século

c)

45

de século

x log x

2 0,30

5 0,70

11 1,04

a) O saldo devedor após o pagamento da primeira parcela é:S = 10 000 9 1,03 − 250 Θ S = R$ 10 050,00

b) O saldo devedor do senhor Feliciano crescerá mais do que R$ 50,00, acada mês. Em 10 anos, a dívida será superior a10 000 0 50 9 120 = R$ 16 000,00.Portanto, a opção IV é a correta. O senhor Feliciano deve ao bancomais de R$ 16 000,00.

X

Sejam j, m e a os capitais iniciais, em reais, de João, Maria e Antônia,respectivamente.Inicialmente, de acordo com o enunciado, tem-se:j 0 m 0 a = 100 000Após um ano, tem-se:1,1a = 11 000 0 2,2jE após dois anos, tem-se:1,21a = 1,21j 0 1,21m Θ a = j 0 mAssim:a 0 a = 100 000 Θ a = 50 000Portanto:1,1 9 50 000 = 11 000 0 2,2j Θ j = 20 000

X

X

023_028_CA_Matem_2 11.10.06, 15:5028

Progressões

29 Matemática

M10TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M10

TERCEIRÃO FTDProgressões

a) an = n − 3a

1 = 1 − 3 = −2

a2 = 2 − 3 = −1 (não satisfaz)

b) an = 2n2 − 4na

1 = 2 9 12 − 4 9 1 = −2

a2 = 2 9 22 − 4 9 2 = 0 (não satisfaz)

c) an = 4n − 6a

1 = 4 9 1 − 6 = −2

a2 = 4 9 2 − 6 = 2a3 = 4 9 3 − 6 = 6 (não satisfaz)

d) an = 3n2 − 5n

a1 = 3 9 12 − 5 9 1 = −2a2 = 3 9 22 − 5 9 2 = 2a

3 = 3 9 32 − 5 9 3 = 12

a4 = 3 9 42 − 5 9 4 = 28

e) an = 5n2 − 6 (não satisfaz)Logo, o termo geral é a

n = 3n2 − 5n.

1 (Unifor-CE) Considere a seqüência (an), na qualn 7 Μ − {0} e a1 = −2, a2 = 2, a3 = 12, a4 = 28 etc. Otermo geral dessa seqüência é um dos que estão dadosabaixo. Qual deles?a) an = n − 3 d) an = 3n2 − 5nb) an = 2n2 − 4n e) an = 5n2 − 6c) an = 4n − 6

X

• Os termos da seqüência an = 3n 0 2, 1 < n < 5 (n 7 Μ) são:a1 = 3 9 1 0 2 = 5a

2 = 3 9 2 0 2 = 8

a3 = 3 9 3 0 2 = 11a4 = 3 9 4 0 2 = 14a

5 = 3 9 5 0 2 = 17

• A soma dos termos que são primos é:a1 0 a3 0 a5 = 5 0 11 0 17 = 33

2 (Unifesp-SP) A soma dos termos que são números pri-mos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n 0 2,para n natural, variando de 1 a 5, é:a) 10 b) 16 c) 28 d) 33 e) 36X

3 (UERN) A seqüência de números positivos(x, x 0 10, x2, ...) é uma PA, cujo 10o termo é:a) 94 b) 95 c) 101 d) 104 e) 105

PA: (5, 15, 25, ...)a1 = 5; r = 10a10 = a1 0 9r = 5 0 9 9 10 Ι a10 = 95

x’ = 5x” = −4 (não convém)

(x, x 0 10, x2, ...) Θ PA de números positivos

( )x

x xx x0 =

0− − =10

220 0

22→

x =

±1 92

a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607

f(0) = 1f(n 0 1) = f(n) 0 3, então f(200) é:

4 (MACK-SP) Se f(n), n 7 Μ, é uma seqüência defini-da por:

12

3

X

Como a1 = f(0); a2 = f(1); a3 = f(2), temos:f(200) = a

201 Θ a

201 = a

1 0 200r

a201 = 1 0 200 9 3 = 601f(200) = 601

f(0) = 1n = 0 Θ f(1) = f(0) 0 3 = 1 0 3 = 4n = 1 Θ f(2) = f(1) 0 3 = 4 0 3 = 7n = 2 Θ f(3) = 7 0 3 = 10

(1, 4, 7, 10, ...) PAa1 = 1r = 3

X

Caderno de

Atividades

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3729

ProgressõesM10

30Matemática

a3 − a1 = −8a4 0 a2 = −12

X

O 1o termo dessa progressão é:a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

a3 − a1 = −8a4 0 a2 = −12

5 (UFRN) Numa PA de termo geral an, tem-se que

12

31

23 Θ

a1 0 2r − a1 = −8a1 0 3r 0 a1 0 r = −12

12

3 Θ2r = −82r1 0 4r = −12

12

3

2r = −8 Θ r = −4 e 2a1 0 4(−4) = −122a1 = 4a

1 = 2

6 (PUC-SP) Considere as seqüências (1, 4, 7, 10, ..., 67)e (8, 12, 16, 20, ..., 104). O número de termos comuns aessas duas progressões é:a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9X

Admitindo que as duas seqüências são progressões aritméticas, temos:• (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58,

61, 64, 67)e• (8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, ..., 104)

Os termos comuns são: 16, 28, 40, 52 e 64.Assim, o número de termos comuns a essas duas progressões é 5.

7 (UFPE/UFRPE) Nos quilômetros 31 e 229 de uma ro-dovia estão instalados telefones de emergência. Ao longoda mesma rodovia e entre esses quilômetros, pretende-seinstalar 10 outros telefones de emergência. Se os pontosadjacentes de instalação dos telefones estão situados a umamesma distância, qual é essa distância, em quilômetros?

Devemos ter:an = a1 0 (n − 1)r229 = 31 0 (12 − 1)rr = 18Portanto, a distância é igual a 18 km.

8 (Vunesp-SP) Em 5 de junho de 2004, foi inauguradauma pizzaria que só abre aos sábados. No dia da inaugura-ção, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A partir daí, o núme-ro de fregueses que passaram a freqüentar a pizzaria cres-ceu em PA de razão 6, até que atingiu a cota máxima de136 pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábadosque se passaram, excluindo-se o sábado de inauguração,para que a cota máxima de fregueses fosse atingida pelaprimeira vez, foi:a) 15 d) 18b) 16 e) 26c) 17Do enunciado, temos a PA (40, 46, ..., 136), de razão 6.Assim o número n de sábados que se passaram desde a inauguração atéatingir a cota máxima pela primeira vez pode ser obtido por:an = a1 0 (n − 1)r136 = 40 0 (n − 1) 9 6n = 17Excluindo-se o sábado da inauguração, o número de sábados que se pas-saram para que a cota máxima fosse atingida pela primeira vez foi 16.

X

9 (UEL-PR) Interpolando-se sete termos aritméticosentre os números 10 e 98, obtém-se uma PA cujo termocentral é:a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57X

Termo central: a5

a5 = a1 0 4r = 10 0 4 9 11 Ι a5 = 54

7 termos

(10, , 98)

a1 = 10 a1 0 8r = a9

a9 = 98 10 0 8r = 98

n = 9 8r = 88r = ? r = 11

14

24

3

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3730

Progressões

31 Matemática

M1010 (UFRJ) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinhouma mesada de R$ 300,00 por mês. Riquinho, que é mui-to esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada deR$ 300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia:R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$ 1,00a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, aofinal do primeiro mês, logo percebeu que havia saído noprejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias,Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesadade R$ 300,00.

Em 30 dias Riquinho receberá:1 0 2 0 3 0 4 0 ... 0 30 (PA de razão 1)A soma desses termos é:

S

a a n

2n

1 n=

0( )

S

(1 30) 30

230=

0 9

S30 = 465ouS

30 = R$ 465,00

Portanto, Riquinho receberá a mais:465 − 300 = R$ 165,00

11 (Fatec-SP) Dois viajantes partem juntos, a pé, deuma cidade A para uma cidade B, por uma mesma estra-da. O primeiro anda 12 quilômetros por dia. O segundoanda 10 quilômetros no 1o dia e daí acelera o passo, emmeio quilômetro a cada dia que segue.Nessas condições, é verdade que o segundo:a) alcançará o primeiro no 9o dia.b) alcançará o primeiro no 5o dia.c) nunca alcançará o primeiro.d) alcançará o primeiro antes de 8 dias.e) alcançará o primeiro no 11o dia.• O primeiro viajante anda 12 km por dia. Ao final de n dias, terá andado

(12n) km.• O segundo viajante anda, por dia, distâncias que, em km, são termos

da PA (10; 10,5; 11; ...; an; ...), em quea

n = 10 0 (n − 1) 9 0,5 Θ a

n = 0,5n 0 9,5

Ao final de n dias, terá andado:

(10 0, 5n 9, 5)n

219, 5n 0, 5n

2

20 0=

0

• O segundo alcançará o primeiro quando

19, 5n 0, 5n2

20= 12n Θ 0,5n2 − 4,5n = 0 Θ n = 9, pois n . 0.

X

12 (UFMA) Chicão, professor do DEMAT/UFMA, com-prou um computador e contraiu uma dívida no valor deR$ 4 200,00, que deverá ser paga em 24 prestações men-sais em PA. Após o pagamento de 18 prestações, há umsaldo devedor de R$ 1 590,00. Qual o valor da primeiraprestação?

S

a a 24

224

1 24=

0 9( ) Θ 4 200 = 12(a

1 0 a

24) Θ a

1 0 a

24 = 350

S

a a 18

218

1 18=

0 9( )Θ 4 200 − 1 590 = 9(a1 0 a18) Θ a1 0 a18 = 290

Daí, vem:

a

a

1

1

a 23r 350 2a 23r 350

a 17r 290 2a 17r 290

6r 60r = 10

1 1

1

1

0 0 = 0 =

0 0 =0 =

=

→

Logo:2a

1 0 23r = 350 Θ 2a

1 0 230 = 350 Θ a

1 = 60

A primeira prestação é igual a R$ 60,00.

13 (Vunesp-SP) Uma pessoa resolve caminhar todos osfinais de tarde. No 1o dia de caminhada, ela percorre umadistância de x metros. No 2o dia, ela caminha o dobro doque caminhou no 1o dia; no 3o dia, caminha o triplo doque caminhou no 1o dia, e assim por diante. Consideran-do o período do 1o ao 25o dia, ininterruptos, ela caminhouum total de 243 750 metros.a) Encontre a distância x percorrida no 1o dia.b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30o dia.

Do enunciado, temos a PA: (x, 2x, 3x, ...)a) a

1 = x, a

25 = 25x e S

25 = 243 750

S

a a

2

(x 25x)25

2243 75025

1 25 =

0 0=

( )→

25 Θ x = 750 m

b) No 30o dia, ela terá percorrido:a30 = 30x Θ a30 = 30(750) = 22 500 m

−

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3831

ProgressõesM10

32Matemática

14 (Unemat-MT) Um condomínio residencial, recém-inaugurado, apresentou um consumo de água de 2 500 L(litros) em seu primeiro dia. No primeiro mês de funcio-namento, ocorreu um aumento diário de 115 L. Podemosafirmar:1 O consumo de água no 23o dia foi de 5 100 L.2 O consumo total desse mês, com 31 dias, foi de 130 975 L.3 O consumo médio diário foi de 4 275 L.4 No 10o dia do mês o consumo foi de 3 535 L.

1. FalsoA PA é: (2 500, 2 615, 2 730, ...)a23 = a1 0 22r Θ a23 = 2 500 0 22 9 115 Θ a23 = 5 030 L

2. Verdadeiroa31 = a1 0 30r Θ a31 = 2 500 0 30 9 115 Θ a31 = 5 950 L

S

a a n

2 S

(2 500 5 950) 31

231

1 31

31

=

0=

0 9( )→ Θ

S31 = 130 975 L

3. FalsoO consumo médio foi de:130 975 : 31 = 4 225 L

4. Verdadeiroa

10 = a

1 0 9r Θ a

10 = 2 500 0 9 9 115 Θ a

10 = 3 535 L

15 (UFG) Deseja-se pintar com tintas de cores preta eamarela, alternadamente, um disco no qual estão marca-dos círculos concêntricos, cujos raios estão em PA de ra-zão 1 m. Pinta-se no primeiro dia o círculo central do dis-co, de raio 1 m, usando 0,5 L de tinta preta. Nos dias se-guintes, pinta-se a região delimitada pela circunferênciaseguinte ao círculo pintado no dia anterior. Se a tinta usa-da, não importando a cor, tem sempre o mesmo rendi-mento, a quantidade total de tinta amarela gasta até o21o dia, em litros, será de:a) 100,0 d) 199,5b) 105,0 e) 220,5c) 115,5

O círculo central pintado de preto tem área igual a:P1 = πR2 Θ P1 = π 9 12 Θ P1 = π m2

Para pintar π m2 gasta-se 0,5 L de tinta.

X

1 1 1 1

A2

A1

P

P

A primeira coroa circular pintada de amarelo tem área igual a:A1 = π 9 22 − π 9 12 Θ A1 = 3π m2

Para pintar 3π m2 gasta-se 3 9 0,5 = 1,5 L de tinta.A segunda coroa circular pintada de amarelo tem área igual a:A2 = π 9 42 − π 9 32 Θ A2 = 7π m2

Para pintar 7π m2 gastam-se 7 9 0,5 = 3,5 L de tinta.Para a terceira coroa circular pintada de amarelo, temos:A3 = π 9 62 − π 9 52 Θ A3 = 11π m2

Gastam-se 11 9 0,5 = 5,5 L de tinta.Assim, temos a PA:

1,5; 3,5; 5,5; ...; ––––↓ ↓ ↓ ↓

2o dia 4o dia 6o dia 20o diaDurante 10 dias ele usou tinta amarela.Assim, temos:a

10 = a

1 0 (n − 1)r Θ a

10 = 1,5 0 (10 − 1) 9 2 Θ a

10 = 19,5 L

A quantidade total de tinta amarela gasta é igual a:

S

a a n

2 S

(1, 5 19, 5) 10

2 S 105 Ln

1 n

10 10=

0=

0 9=

( )→ →

16 (UENF-RJ) Dois corredores vão se preparar para par-ticipar de uma maratona. Um deles começará correndo8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distân-cia em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia eaumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A prepara-ção será encerrada no dia em que eles percorrerem, emquilômetros, a mesma distância.Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serãopercorridas pelos dois corredores durante todos os diasdo período de preparação.

an

1442443

8 0 (n − 1) 9 2 = 17 0 (n − 1) 9 1 → n = 10Portanto, no 10o dia.

• Distância percorrida pelo corredor 1:

S km

10

8 26 10

2170=

0 9=

( )

• Distância percorrida pelo corredor 2:

S km'

( )10

17 26 10

2215=

0 9=

Logo, a soma das distâncias será:S10 0 Sδ10 = 170 0 215 = 385 km

• Corredor 1: (8 km, 10 km, 12 km, ...) PA de razão 2 e a1 = 8Corredor 2: (17 km, 18 km, 19 km, ...) PA de razão 1 e b

1 = 17

Para que a preparação seja encerrada, devemos ter:bn

144424443

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3832

Progressões

33 Matemática

M10

21 (PUC-SP) Numa PG, a diferença entre o 2o e o 1o

termo é 9 e a diferença entre o 5o e o 4o termo é 576.O 1o termo da progressão é:a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9X

� : � Θ q3 = 64 Ι q = 4Substituindo em �, vem: a

1(4 − 1) = 9 Ι a

1 = 3.

a2 − a1 = 9a5 − a4 = 576

12

3

a1q − a1 = 9a

1q4 − a

1q3 = 576

12

3 Θa1(q − 1) = 9 �

a1q3(q − 1) = 576 �

12

3

a) A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em quese repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (a

n) = (1, 2, 4, 8, ...),

uma PG de razão 2.Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a

9 = 1 9 28 = 256.

b) A altura da pilha será de 256 9 0,5 = 128 cm = 1,28 m.

Determine, ao final de 9 dessas operações:a) quantas tábuas terá a pilha;b) a altura, em metros, da pilha.

18 (Unesp-SP) Várias tábuas iguais estão em uma ma-deireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-seuma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeiravez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas jáhouveram sido colocadas anteriormente.

Pilha na 1a vez Pilha na 2a vez Pilha na 3a vez

19 (Unicap-PE) Os números que representam, emgraus, os ângulos internos de um quadrilátero estão emPG de razão 2. Qual o valor, em graus, do menor dos ân-gulos internos?

Sejam ε, ψ, υ e τ os ângulos internos do quadrilátero. Portanto:ε 0 ψ 0 υ 0 τ = 360)

Como (ε, ψ, υ, τ) é PG de razão 2, temos:ε 0 2ε 0 4ε 0 8ε = 360)

15ε = 360) Θ ε = 24)

17 (UFPI) Os números 2, x e (12 0 x) formam nessaordem uma PG. Sendo x um número positivo, podemosafirmar que:a) x = 6 d) x = 24b) x = 10 e) x = 36c) x = 12

Devemos ter:

x2

12 xx

=0

x2 = 24 0 2xx2 − 2x − 24 = 0

X

xδ = 6ouxφ = −4 (não serve)

20 (UDESC) Numa PG, o 3o termo é igual a −4, o

5o termo igual a −1 e o 8o termo é igual a −

18

.

Encontre o 1o e o 2o termos dessa PG. Caso não for possí-vel, justifique.

Do enunciado, temos:a3 = −4 Θ a1q

2 = −4 �a

5 = −1 Θ a

1q4 = −1 �

a8 = −

18

Θ a1q7 =

−

18

�

De � e �, vem:

a q

a q41

1

q4 q

14

q 12

ou q12

12

14 2

2=−

−= = = = −→ → →

Substituindo em �, vem:

q =

12

Θ a1q2 = −4 Θ a

1 9

14

= −4 Θ a1

= −16

q

12

a 141

= − 9→ = −4 Θ a1 = −16

Se q

12

= e a1 = −16, de �, vem:

− 9 = − − = −16

1128

18

18

18

→ (Verdadeiro)

Se q

12

= − e a1 = −16, vem:

− 9 − = −−

−= − = −16

12

18

16128

18

18

18

7

→ → (Falso)

Portanto, na PG

− − − − − − − −16, 4, 2, 1, 12

14

18

...8, , , ,

a1

= −16 e a2

= −8.

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3833

ProgressõesM10

34Matemática

22 (Cesesp-PE) Uma alga cresce de modo que a cada diaela cobre uma superfície de área igual ao dobro da cobertano dia anterior. Se essa alga cobre a superfície de um lagoem 100 dias, assinale a alternativa correspondente ao nú-mero de dias necessários para que duas algas da mesmaespécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago.a) 50 dias c) 98 dias e) 43 diasb) 25 dias d) 99 diasX

Depois de n dias, essas duas algas cobriram uma área de:an = a1q

n − 1 = 2x 9 2n − 1 = x 9 2n

Fazendo an = a

100 Θ x 9 2n = x 9 299 Θ n = 99.

Duas algas levarão 99 dias para cobrir a superfície do lago.

1o dia: 2x2o dia: 4x3o dia: 8x... 1

44

24

43

(2x, 4x, 8x, ...) PGa1 = 2xq = 2

No 100o dia, a área coberta será: a100 = a1q99 = x 9 299.

Para duas algas, teremos:

Seja x a área coberta por uma alga no 1o dia.

a1 = x

q = 2Θ (x, 2x, 4x, 8x, ...) PGEntão: 2x — área coberta no 2o dia

4x — área coberta no 3o dia8x — área coberta no 4o dia 1

42

43

23 (Unifesp-SP) Um objeto parte do ponto A, no ins-tante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cadaminuto, a metade da distância que o separa do ponto B,conforme figura. Considere como sendo de 800 metros adistância entre A e B.

a) Do enunciado, a distância percorrida, em metros, pelo objeto no enésimominuto é o elemento de uma PG cujo primeiro termo é 400 e a razão é12

. Assim, a distância percorrida ao final dos 10 primeiros minutos é:

S

400 1 12

1 12

800 1 0231 02410

10

=

−

−

= 9

S10

Λ 799,2Logo, a sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro.

b) A distância percorrida após t minutos é:

d

400 1 12

1 12

t

t

=

−

−

(t 7 Μ)

d 800 800 12t

t

= −

Além disso, do enunciado, a velocidade se reduz linearmente; então, aaceleração é constante em cada período considerado. Assim, concluímos

que P P ; P P ; ...; P P ; ...0 1 1 2 t t 10

são arcos de parábolas.

Logo, o gráfico de f(t) é:

Desse modo, ao final do primeiro minuto (1o período) eledeverá se encontrar no ponto A1; ao final do segundo mi-nuto (2o período), no ponto A2; ao final do terceiro minuto(3o período), no ponto A3, e assim sucessivamente. Supo-nhamos que a velocidade se reduza linearmente em cadaperíodo considerado.

BA A1 A2 A3 A4

800 m

400 m200 m

100 m50 m

t (min)

dt (m)

1 2 3

400

P0

P1

P2

P3600700800

0

t dt0 01 4002 6003 700

a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, suadistância ao ponto B é inferior a 1 metro.

b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) = distân-cia percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir doinstante t = 0.

029_034_CA_Matem_2 11.09.06, 19:3834

Progressões

35 Matemática

M10

Como os lados dos quadrados formam uma PG de razão12

, as áreas

formam uma PG de razão14

.

a) a 4

1256

=

b)

a

a201

200

18

=

c) a1 0 a2 0 ... 0 ,a 10

13

d) O menor valor de k para o qual

a1 0 a2 0 ... 0 ak .

13

11 200

− é igual a 5

26 (UnB-DF) Na figura aolado, ak representa a área dok-ésimo quadrado sombrea-do, cujo lado é o dobro do ladodo (k 0 1)-ésimo quadrado,para k = 1, 2, 3, ...Com base na figura, julgue ositens que se seguem.

a1

a2

a3

12

12

12

12

Portanto, o menor valor de k é 5.

k = = ,514

11 024

1400

5

→

k = = .414

1256

1400

4

→

− . − ,14

1400

14

1400

→

k k

13

13

14

13

11200

− . −

k

Para que a a a a k1 2 3

13

11200

0 0 0 0 . −... ,

= − = − 9

13

114

13

13

14

k k

=−

−=

−

−

=a q

q

n

k

11

1

14

114

114

( )

d) Verdadeiro, pois a1 0 a2 0 a3 0 ... 0 ak =

=

−

−

= 9 − = − 9 ,

14

114

114

13

114

13

13

14

13

10

10 10

c) Verdadeiro, pois a1 0 a2 0 a3 0 ... 0 a10 =

a q

q1

101

1

9 −

−=

( )

b) Falso, pois

a

a

a q

aq201

200

200

200

14

= = = .

a) Verdadeiro, pois

a a q4 1

3

2 312

14

1256

= = 9 =

.

24 (FGV-SP)

a) Resolva a equação x

x x x− 0 − 0 =

4 16 648... ,em

que o 1o membro é a soma dos termos de uma PG infi-nita.

b) Numa PG infinita, a soma dos termos de ordem par

é 10

3, ao passo que a soma dos termos de ordem

ímpar é 20

3. Obtenha o 1o termo e a razão dessa

progressão.

x xx

114

854

8− −

= = =

→ → 10

b) (a1, a1q, a1q2, a1q

3, a1q4, ...) PG infinita

1o a a q a q

1 12

14 20

30 0 0 =...

a

qa1

2 11203

3 20 1−

= 9 = 9 −→ ( q )2 �

2o a q a q a q

1 13

15 10

30 0 0 =...

a q

qa q1

2 11103

3 10 1−

= 9 = 9 −→ ( q )2 �

Fazendo � : �, vem:

3

3

10 1

20 112

1

1

2

2

a q

a

q

qq=

−

−=

( )

( )→

Em �: .3 20 1

12

51

2

1a a= 9 − =

→

a) A seqüência

xx x x

, , , , ...− −4 16 64

é uma PG em que

a x e q

1

14

= = − . Logo: x

x x x− 0 − 0 =

4 16 648...

25 (MACK-SP) Na seqüência de números reais (log3 x,x, k, 3, log3 y, y), os termos de ordem ímpar formam umaPA e os de ordem par, uma PG. Então k é igual a:

a)

13

b) 2 c) 3 d) 1 e)

12

X

PG: (x, 3, y)32 = xy Θ xy = 9 �

De � e �, vem:32k = 9 Θ 32k = 32

2k = 2 Ι k = 1

PA: (log3 x, k, log

3 y)

2k = log3 (xy) Θ xy = 32k � k

x y=

0log log3 3

2 →

devemos ter:

035_036_CA_Matem_2 11.09.06, 19:4135

ProgressõesM10

36Matemática

27 (FGV-SP) A figura indica infinitos triângulosisósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...

• d é a soma dos infinitos termos da PG (8, 4, 2, 1, ...).

Assim,

d =

−

8

1 12

Θ d = 16.

• A soma das áreas dos infinitos triângulos sombreados é igual à soma

dos termos da PG 3h, 3h2

, 3h4

, ... .

Dessa forma,

3h

1 12

51 h172

−

= =→ .

• Daí, conclui-se que a área S do retângulo de lados h e d é

S = 16 9 172

Θ S = 136.

X

Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos som-breados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a áreado retângulo de lados h e d é igual a:a) 68 d) 153b) 102 e) 192c) 136

h

d

8 4 2 1 ...

...

d

4 6 3

8 4 2 1

...

...

...

h

32

28 (Cefet-PR) Nas seqüências:

a en = log ; log , ; log ; ...1 0 001 7291

3

bn = − − −

19

13

1; ; ; ... ,

a diferença entre o 10o

termo de “an” e o 9o termo de “bn” é:

a) −756 c) 702 e) 270b) −270 d) 756

Sendo então:log ; log , ; log ,1 0 0 001 3 729 613

= = − = −

an = (0, −3, −6, ...) PA com a1 = 0 e r = −3

bn

= − − −19

13

1, , , ...

PG com b e q1

19

3= − =

a10 = a1 0 9r Θ a10 = 0 0 9 9 (−3) = −27

b9 = b1q8 Θ b9 =

− 919

38

= −36 = −729

a10 − b9 = −27 − (−729) = 702

X

29 (Fuvest-SP) Uma PA e uma PG têm, ambas, o 1o

termo igual a 4, sendo que os seus 3os termos são estrita-mente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o 2o ter-mo de PA excede o 2o termo da PG em 2. Então, o 3o termodas progressões é:a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

Substituindo � em �:4q2 = 2(4q − 2) 0 44q2 − 8q = 0q2 − 2q = 0q = 0 (não convém) ou q = 2a3 = 4q2 = 4 9 22 = 16O 3o termo da PG é 16.

PA: (4, 4 0 r, 4 0 2r, ...)PG: (4, 4q, 4q2, ...)

4 0 2r = 4q2

(4 0 r) − 4q = 2

12

3

4q2 = 2r 0 4 �

r = 4q − 2 �

12

3Θ

X

30 (IBMEC-SP) O departamento de Arqueologia daUniversidade de Oxford mantém em sua biblioteca umacoleção de aproximadamente 500 000 papiros, todos commais de 1 000 anos de idade, cujo conteúdo começou a serdesvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnicachamada imagem multiespectral, desenvolvida pela Nasa.Se um computador, munido de um sistema de inteligên-cia artificial, conseguir decifrar o conteúdo de cada umdesses papiros, sempre gastando a metade do tempo queprecisou para decifrar o papiro anterior e, considerandoque o primeiro papiro seja decifrado por esse computadorem 10 anos, então toda a coleção de papiros citada serádecifrada em:a) aproximadamente 20 anos.b) aproximadamente 40 anos.c) aproximadamente 50 anos.d) aproximadamente 80 anos.e) aproximadamente 100 anos.A soma dos primeiros n termos de uma PG de razão q, q ϑ 1 e 1o termo a1é dada por:

S a 1 q1 q1

n

= 9−

−

Com a 10, q

121

= = e n = 500 000, temos:

S 10 1

12

1 12

500000

= 9

−

−

Como 12

500000

Λ 0, temos:

S 10 1

1 12

S 20 anosΛ 9

−

Λ→

X

035_036_CA_Matem_2 11.09.06, 19:4136

Trigonometria no Ciclo

37 Matemática

M11TERCEIRÃO FTDTERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

M11

TERCEIRÃO FTDTrigonometria no Ciclo1 (EEM-SP) Quantos radianos percorre o ponteiro dashoras de um relógio de 1h 5min até 2h 45min?

Θ x = 2) 30δ Θ y = 22) 30δ

de 1 h p/ 2 h (ponteiro pequeno) = 30)

ε = 30) − x 0 y = 30) − 2) 30δ 0 22) 30δ = 50)

30) 60 minx 5 min

30) 60 miny 45 min

1211 1

10 2

9 3

8 4

76

x

y

5

180) π

50) z → z rad=

π518

2 (UFG) O mostrador do relógio de uma torre é dividi-do em 12 partes iguais (horas), cada uma das quais é sub-dividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o pontei-

ro das horas ( )OB mede 70 cm e o ponteiro dos minutos

( )OA mede 1 m, qual será a distância AB, em função doângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 horae 12 minutos?

3 (UFPA) Aristarco de Samos, matemático que viveu porvolta de 300 a.C., querendo calcular as distâncias relativasda Terra ao Sol e da Terra à Lua, utilizou o seguinte racio-cínio: “No momento em que a Lua se encontra exatamen-te à meia-lua, os três astros formam um triângulo retân-gulo, com a Lua ocupando o vértice do ângulo reto. Sa-bendo a medida do ângulo que a visão da Lua forma com avisão do Sol, será possível determinar a relação entre asdistâncias da Terra à Lua e da Terra ao Sol”.Sabe-se que o ângulo formado pelas direções Terra–Lua eTerra–Sol, na situação de meia-lua, é de, aproximadamen-te, 89,85° e que a distância da Terra à Lua é de, aproxima-damente, 384 000 km. Para ângulos de medidas inferioresa 1° (um grau), uma boa aproximação para o seno doângulo é a medida do mesmo ângulo em radianos.

60 min 30°12 min x

Θ x = 6°

Portanto, med (AÔB) = 36°.

B

AO

B

AO

Aplicando a lei dos cossenos no #AOB:AB2 = OA2 0 OB2 − 2 9 OA 9 OB 9 cos (AÔB)AB2 = 12 0 (0,7)2 − 2 9 1 9 (0,7) 9 cos 36°AB2 = 1,49 − 1,4 cos 36°

AB 1, 49 1, 4 cos 36 m= − °1 m

36°0,7 m

B

O A

Utilizando esses dados e o raciocínio de Aristarco, pode-seconcluir que a distância da Terra ao Sol é de, aproximada-mente:a) 2 500 000 km d) 147 000 000 kmb) 3 800 000 km e) 7 000 000 000 kmc) 34 600 000 km

Lua Sol

Terra

90°

89,85°

X

180 —— rad0,15 ——

°°

π

ε

• ε =

9 π0,15 180

rad

• sen 0,15

384 000x ° =

0,15 180

384 000x 9 π

=

x180 384 000

0,15

=9

9 π

x Λ 147 000 000 km

384 000km

89,85°

Terra

x

LuaSol

0,15°

Caderno de

Atividades

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3337

Trigonometria no CicloM11

38Matemática

6 (Unesp-SP) Uma máquina produz diariamente x de-zenas de certo tipo de peças. Sabe-se que o custo de pro-dução c(x) e o valor de venda V(x) são dados, aproximada-mente, em milhares de reais, respectivamente, pelas fun-

ções c (x) 2 cos

x6

e V(x) 3 2 sen= −π

=π

x12

,

0 < x < 6.

O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas depeças é:a) 500 c) 1 000 e) 3 000b) 750 d) 2 000Para x dezenas de certo produto, o lucro em milhares de reais é obtido por:L(x) = V(x) − c(x)

Para x = 3, resulta:

X

L sen( ) cos3 3 2312

23

6= 9 9

9 π− −

9 π

3 24

22

3 222

2 0 3 29 9π

− 0π

= 9 9 − 0 = − =sen

cos 1

Portanto, o lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas dessas pe-ças é 1 000.

7 (IBMEC) Valor monetário de uma ação é dado porV(t) = 120 0 80 cos (t), em que t é um número real positi-vo.De acordo com esse modelo, o valor monetário máximoque essa ação pode assumir é:a) 120 b) 200 c) 80 d) 40 e) 240V(t) = 120 0 80 9 cos (t)Para que o valor monetário seja máximo devemos ter cos (t) = 1, portanto:

Vmáx.

= 120 0 80 9 1 Θ Vmáx.

= 200

X

4 (UFSC) Qualquer que seja o número real x, ele obedeceà relação n < x , n 0 1, sendo n um número inteiro. Diz-seque n é a parte inteira de x e é denotada por E(x) = n.A partir dessa definição de E, calcular y na expressão:

y4E 299 2E log 127 E(sen 233 )

E78

E 2

5=

0 −

0

( ) ( ) °

( )

5 (PUC-SP) Na seqüência do termo geral

an = 5n 0 sen

n 2

9π

, com n 7 Μ*, a soma dos 20

primeiros termos de ordem ímpar é igual a:a) 1 800 d) 2 000b) 1 874 e) 2 024c) 1 896

Sendo:

•

289 299 324 17 299 18 E 299 17, , , , =→ → ( )• log

5 125 , log

5 127 , log

5 625 Θ 3 , log

5 127 , 4 Θ E(log

5 127) = 3

• −1 , sen 233° , 0 Θ E(sen 233°) = −1

•

0 78

1 E78

0, , =→

•

1 2 4 1 2 2 E 2 1, , , , =→ → ( )Então:

y4E 299 2E log 127 E(sen 233 )

E78

E 2

5=

0 −

0

( ) ( ) °

( )

y = 4 9 17 0 2 9 3 − (−1) = 75

X

Os 20 primeiros termos de ordem ímpar da seqüência são:

a1 = 5 9 1 0 sen

1 2

9π

= 5 0 sen

π

2 = 5 0 1

a3 = 5 9 3 0 sen

3 2

9π

= 15 0 sen

3π

2 = 15 − 1

a5 = 5 9 5 0 sen

5 2

9π

= 25 0 sen

5π

2 = 25 0 1

a7 = 5 9 7 0 sen

7 2

9π

= 35 0 sen

7π

2 = 35 − 1

a39

= 5 9 39 0 sen

39 2

9π

= 195 0 sen

39π

2 = 195 − 1

a1 0 a3 0 a5 0 a7 0 ... 0 a39 =

= (5 0 1) 0 (15 − 1) 0 (25 0 1) 0 (35 − 1) 0 ... 0 (195 − 1) =

=0 0 0 0

=0 9

=5 15 25 35 ... 195

Soma dos 20 termosde uma PA finita

(5 195) 20

22 0001 2444444 3444444

M M M M M M

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3338


39 Matemática

M1110 (UEL-PR) O gráfico que representa a função

y: ς Θ ς, y 2 cos 2x 1= 0 é:

X a)

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

b)

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

c)

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

d)

1

26−2

−40 x

y

2

3

−1−6

4

e)

1

π−π 0 x

y

−1

• Gráfico de cos (2x)

• Gráfico de cos (2x)

1

2

π−π 0 x

y

1

π−π 0 x

y

• Gráfico de cos (2x)2

•

1

2

π−π 0 x

y

3

1

2 6−2−40 x

y

2

3

−1−6 4

8 (UEL-PR) Uma bomba-d’água aspira e expira água acada 3 segundos. O volume de água da bomba varia entreum mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre asalternativas a seguir, assinale a expressão algébrica para ovolume y de água na bomba, em função do tempo t.

a) y = 2 0 2 sen

π

3t

d) y = 3 0 sen

2π

3t

b) y = 2 0 2 sen

23

tπ

e) y = −3 0 2 sen

π

3t

c) y = 3 0 sen

π

3t

9 (FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto 24 horaspor dia, faz a contagem do número de clientes na loja acada 3 horas. Com base nos dados observados, estima-seque o número de clientes possa ser calculado pela função

trigonométrica f(x) = 900 − 800 sen

x12

π

, em que f(x)

é o número de clientes e x, a hora da observação (x é uminteiro tal que 0 < x < 24).Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre onúmero máximo e o número mínimo de clientes dentrodo supermercado, em um dia completo, é igual a:a) 600 d) 1 500b) 800 e) 1 600c) 900

X

Seja V(t) = a 0 sen (bt) o volume de água na bomba, em função do tempo t.• Como −1 < sen a < 1 Θ 2 < 3 0 sen ε < 4.

Como 2 L < V(t) < 4 L Θ a = 3.• Como a bomba aspira e expira água a cada 3 segundos:

Período = 3 Θ

2bπ

= 3 Θ b =

23π

E V(t) = y = 3 0 sen

23

tπ

X

• Número máximo de clientes:

sen x12

1π

= −

sen x12

1x12

32

π= −

π=

π

→ 0 2kp Θ x = 18 0 24k Θ

Θ x = 18 h (0 < x < 24)

f(18) = 900 − 800 sen

1128π

= 900 0 800 = 1 700 clientes

• Número mínimo de clientes: sen

xπ

12

= 1

sen

xπ

12

= 1 Θ

x12 2

π=

π 0 2kπ Θ x = 6 0 24k Θ

Θ x = 6 h (0 < x < 24)

f(6) = 900 − 800 sen

612

π

= 900 − 800 = 100 clientes

Nmáx − Nmín = 1 700 − 100 = 1 600 clientes

Gráfico de cos (2x)y = 02 1

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3439


40Matemática

11 (PUCPR) A figura a seguir mostra parte de uma ondasenoidal que foi isolada para uma pesquisa:

12 (UFPR) Na figura abaixo está representado um pe-

ríodo completo do gráfico da função f(x) 3 sen

x4

=π

.

Para cada ponto B sobre o gráfico de f, fica determinadoum triângulo de vértices O, A e B, como na figura abaixo.Qual é a maior área que um triângulo obtido dessa formapode ter?

X

Seja y = a 0 b sen (cx 0 d) a função pedida.• Pelo gráfico: Im = [−1, 3]

−1 < sen ε < 1 Θ −2 < 2 sen ε < 2 Θ −1 < 1 0 2 sen ε < 3Logo, a = 1 e b = 2.

• O período da função (pelo gráfico) é:

133 3

4π

−π

= π .

2c

4 c12

π= π =→

• y = a 0 b sen (cx 0 d) = 1 0 2 sen

x2

d0

Pelo gráfico, quando x

3=

π, y = 1.

1 0 2 sen

π

0 =32

d 1

Θ 2 sen

π0

6 d

= 0

sen

π0

6 d

= 0 Θ

π

6 0 d = 0 Θ d =

−

π

6

Portanto, y = 1 0 2 sen

x2

6

−π

.

Qual das alternativas melhor representa a equação da ondapara o período apresentado?

a) y = 1 0 2 sen

x2 6

−π

d) y = 1 0 2 sen

x3

b) y = 1 0 2 sen

x2

e) y = 1 0 2 sen

x6

c) y = 1 0 2 sen

x2 3

0π

x

y

π

3

1

−1

3

0 4π

37π

3

10π

3

13π

3

X

• −1 < sen

x4

π< 1 Θ −3 < 3

sen

x4

π< 3

Logo, Im = [−3, 3].

• Período de f(x) =

2

4

π

π = 8

Logo, OA = 8.• A área do triângulo OAB será máxima quando y

B, ordenada do ponto B,

atingir seu maior valor. Portanto:

área máxima =

(OA) (y )

28 3

212B

9=

9=

a) 3π b) 6π c) 8 d) 9 e) 12

0

B

A

13 (Unifesp-SP) Considere as funções dadas por

f(x) sen

x2

=π

e g(x) = ax 0 b, sendo o gráfico de g for-

necido na figura.

O valor de f[g−1(2)] é:

a)

24

b)

12

c)

22

d)

32

e) 1

0

1

gy

x12

−

X

O gráfico da função inversa g−1(x) será uma reta simétrica à reta que re-presenta g(x), em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

1

1

g(x)

y = x

g−1(x)

y

x

12

−

12

−

A função g−1(x) pode ser escrita na forma y = ax 0 b.

Como os pontos (1, 0) e

0, 12

−

pertencem ao gráfico de g−1(x), temos:

(1, 0) Θ 0 = a 9 1 0 b Θ a = −b

0, 12

12

− −

→ = a 9 0 0 b Θ b =

−

12

e a

12

=

Portanto, g−1(x) =

12

x 12

x 12

− =−

g−1(2) =

2 12

12

−=

f

12

sen 4

22

=

π=

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3540


41 Matemática

M1116 (UnB-DF) Estudando-se o fluxo de água em um pon-to do estuário de um rio, determinou-se que a água fluipara o oceano na vazão v, em milhões de litros por hora, emfunção do tempo t, em horas, de acordo com a equação

v(t) = A 0 B sen (wt),

em que A, B e w são constantes reais positivas, e t > 0. Avazão na qual a água do rio flui para o oceano varia porcausa das marés. Na maré baixa, a água flui mais rapida-mente, com vazão máxima de 20 milhões de litros porhora, e, na maré alta, ela flui mais lentamente, com vazãomínima de 4 milhões de litros por hora. Nessa região, otempo entre duas marés altas é igual a 12 horas e 24 mi-nutos. Com base nessas informações, escolha apenas umadas opções a seguir e faça o que se pede.a) Calcule o valor do coeficiente A.b) Calcule o período, em minutos, da função v.c) Determine o valor de t, em minutos, quando

10h < t < 22h, para o qual v(t) é máxima.

14 (Unesp-SP) No hemocentro de um certo hospital, onúmero de doações de sangue tem variado periodicamen-te. Admita que, nesse hospital, no ano de 2001, esse nú-mero, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado,aproximadamente, pela expressão:

S(t) = ι −

− πcos

( )t 1

6

com ι uma constante positiva, S(t) em milhares e t emmeses, 0 < t < 11. Determine:a) a constante ι, sabendo que no mês de fevereiro houve

2 mil doações de sangue;b) em quais meses houve 3 mil doações de sangue.

15 (ITA-SP) Sejam f e g duas funções definidas por

f(x) e g(x)

= =−

−

212

3 13 12

( )

sen xsen x

, x 7 ς.

A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g éigual a:

a) 0 b) 2 c)

14

d)

12

e) 1X

b) Houve 3 mil doações de sangue quando:

a) Em fevereiro, tem-se t = 1 e

S(1) 1 2 3.= ι −− π

= ι − = ι − = ι =cos( )

cos1 1

60

→

t − 1 = 3 0 6n Θ t = 4 0 6n Θ t = 4 ou t = 10, pois 0 < t < 11

cos( ) ( )

,t t

n n− π

=− π

=π

0 π 7 Β1

60

16 2

→

S(t) = ι −− π

= −− π

=cos( )

cos( )t t1

63

16

3

•

g(x) =

−

12

3 12

sen x

g(x) é mínimo para sen2 x = 1; assim:

• f(x) = =− −

2 23 1 3 1

2( ) sen x sen x

f(x) é mínimo para sen x = −1; assim:

fmín.

= = =9 − −

−2 214

3 1 1

2 2( )

gmín.

= = =

9 −12

12

14

3 1 1 2

• A soma do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é: 14

14

12

0 = .

• k = 0 Θ t = 3,1 horas (não convém, pois 10 h < t < 22 h)• k = 1 Θ t = 15,5 horas Θ t = 930 min

a) De acordo com a equação v(t) = A 0 B sen (wt), verifica-se que:

−1 < sen (wt) < 1 Θ A − B < A 0 B sen (wt) < A 0 B4 < A 0 B sen (wt) < 20

A − B = 4A 0 B = 20

Θ A = 12 e B = 8

12

3 Θ

Θ

12

3

b) O período p da função v(t) é o tempo entre duas marés altas, isto é,p = 12 horas e 24 minutos Θ p = 744 min.

c) O período p da função v(t) = 12 0 8 sen (wt) é dado por:

p

w ww=

π π= =

π2 212 4

531

→ →,

Portanto, v(t)

v(t) será máximo quando

= 0π

12 8531

sen t

.

531

t2

2k , k tπ

=π

0 π 7 Β = 0 7 Β→ 3110

625

k k, .

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3641


42Matemática

I. Verdadeira. sen 40) , sen 50)

No 1o quadrante, a função seno éestritamente crescente, portanto40) , 50) Θ sen 40) , sen 50)

17 (Fatec-SP) Sobre as sentenças

I. sen 40) , sen 50)

II. cos 190) . cos 200)

III. tg 60) = tg 240)

é correto afirmar que somente:a) I é verdadeira. d) I e II são verdadeiras.b) II é verdadeira. e) I e III são verdadeiras.c) III é verdadeira.

II. Falsa. cos 190) . cos 200)

No 3o quadrante, a função cossenoé estritamente crescente, portanto190) , 200) Θ cos 190) , cos 200).

X

sen

50)40)

cos190)

200)

III. Verdadeira. tg 60) = tg 240)

tg tg tg240 60 180 60 3) = ) 0 ) = ) =( ) →

60)

tg

240)

18 (Unicamp-SP) Sejam ε, ψ e υ os ângulos internosde um triângulo.a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não po-

dem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.b) Supondo que as tangentes dos três ângulos sejam nú-

meros inteiros positivos, calcule essas tangentes.

b) ε 0 ψ = 180) − υ Θ tg (ε 0 ψ) = −tg υ

Sendo ε, ψ e υ ângulos internos de um triângulo, então:

a) tem-se ε 0 ψ 0 υ = 180) �

E = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x)

19 (UCDB-MS) Simplificando a expressãoE = (sec x − cos x) 9 (cossec x − sen x) 9 (tg x 0 cotg x),obtém-se:a) E = sen x c) E = tg x e) E = 1b) E = cos x d) E = 0

X

tg ε > 2 Θ ε . 60)

tg ψ > 2 Θ ψ . 60) Θ ε 0 ψ 0 υ . 180)

tg υ > 2 Θ υ . 60)

se

14

24

3

o que contradiz a equação �. Logo, as tangentes dos três ângulos nãopodem ser, todas elas, maiores ou iguais a 2.

Ex

xsen x

sen xsen x

xx

sen x= − 9 − 9 0

1 1cos

coscos

cos

Ex

xsen x

sen xsen x x

sen x x=

−9

−9

01 12 2 2 2coscos

coscos

Esen x

xx

sen x sen x x= 9 9

9=

2 2 11

coscos

cos

tg ε 0 tg ψ 0 tg υ = tg ε 9 tg ψ 9 tg υ

Supondo as tangentes dos três ângulos números inteiros e positivos eque não podem ser simultaneamente maiores ou iguais a 2, então ne-cessariamente uma delas deve ser igual a 1.Assim sendo, fazendo tg ε = a, tg ψ = b e tg υ = 1,tem-se a 0 b 0 1 = ab Θ ab − a − b = 1a(b − 1) − (b − 1) = 2 Θ (a − 1) 9 (b − 1) = 2(a − 1 = 1 e b − 1 = 2) ou (a − 1 = 2 e b − 1 = 1)(a = 2 e b = 3) ou (a = 3 e b = 2), pois a,

b 7 Β ∗

0.

tg tg

tg tgtg

ε 0 ψ

− ε 9 ψ= − υ

1

20 (UFAM) Sabendo que a seqüência

cos x sen x

22

tg x9 9

é uma PG, nessa ordem, então

todos os valores de x no intervalo [0, 2π] são:

a)

π π

3 ou

23

d) −

π π

6 ou

56

b)

π π

6 ou

36

e)

π π

4 ou

34

c)

43

ou 76

π π

X

Se a seqüência (cos x, sen x, 22

tg x) é uma PG, temos:

sen2 x = cos x 9 22

9 tg x Θ sen2 x = 22

9 sen x Θ sen x = 22

,

supondo sen x ϑ 0.

Para x 7 [0, 2π], x

4 ou x

34

=π

=π

.

037_042_CA_Matem_2 11.10.06, 16:3642

Trigonometria no Ciclo M11

43 Matemática


21 (UFMS) A questão a seguir trata de trigonometria efunções trigonométricas. Assinale a(s) alternativa(s)correta(s):(01) sen 300° . 0(02) sen2 70° 0 sen2 160° = 1(04) Os possíveis valores reais de m para que se possa ter

cos x

5 m3

=−

são tais que 2 < m < 8.

(08) Se a figura a seguir representa o gráfico, no sistemacartesiano xOy, da função f: [0, 2p] Θ ς, definida porf(x) = a 9 cos (bx), então a = 3 e b = 6.

22 (UFSC)(01) Um poste na posição vertical, colocado num plano ho-

rizontal, encontra-se a 3 m de uma parede plana e ver-tical. Nesse instante, o Sol projeta a sombra do postena parede e essa sombra tem 17 m de altura. Se a altu-ra do poste é de 20 m, então a inclinação dos raiossolares, em relação ao plano horizontal, é de 45°.

(02) Se sen (a)

13

= , então

sen (25π 0 a) − sen (88π − a) =

23

.

(04) Os gráficos das funções f(x) = sen (4x) e

g(x)

2x3

4

= − 0π

, têm exatamente três pontos em

comum, para x no intervalo

0, 2π

.

(08) Para ser verdadeira a desigualdadetg (x) 9 sec (x) , 0, x deve estar localizado no 2o ouno 4o quadrante.

(16) No intervalo {x 7 ς |0 < x < 2π}, a equação

cos2 x

12

= |cos x| tem seis raízes.

x

y

−3

3

2π

01. Incorreta, pois sen 300° = −

32

.

02. Correta, pois sen 160° = sen 20° =

= cos 70°, portanto sen2 70° 0 cos2 160° = sen2 70° 0 cos2 70° = 1

04. Correta, pois −1 < cos x < 1 Θ −1 <

5 m3

− < 1 Θ

Θ −3 < 5 − m < 3 Θ −8 < −m < −2 Θ 2 < m < 8.08. Incorreta, pois pelo gráfico temos:

• Im = [−3, 3] Θ a = 3

• Período p

23

=π

Θ b = 3

16. Correta, pois cos2 x = 12

|cos x| Θ |cos2 x| −

12

|cos x| = 0

• |cos x| = 0 Θ x

2 ou x

32

=π

=π

• |cos x| =

12

x3

ou x3

ou x 3

ou x3

→ =π

=π

=π

=π2 4 5

Portanto: 2 0 4 0 16 = 22

Da semelhança entre os triângulos:

x17

x 320

=0

Θ x = 17 m

E no triângulo menor:

tg ε =

sombrax

1717

= = 1 Θ ε = 45°

poste

sombra

3 m x

ε

02. Incorreta, pois:

sen (25π 0 ε) = sen (88π − ε) Θ sen (25π 0 ε) − sen (88π − ε) = 0

0

25π 0 ε 88π − ε

ε

25π ≡ π

0 ≡ 2π ≡ 88π

04. Correta, pois os gráficos de f(x) e g(x) no intervalo

0, 2π

são dados

por:

08. Incorreta, pois

tg x 9 sen x , 0 Θ

sen xcos x

1

cos x 0

sen xcos x2

9 , → , 0 Θ sen x , 0,

pois cos2 x . 0 (+ x 7 ς). Logo, se sen x , 0, então x deve estar no 3o

ou 4o quadrantes.Portanto, 1 0 4 = 5

π

8

1f(x)

g(x)

−1

0 π

4π

23π

4

01. Correta, pois:

043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 16:5843


44Matemática

23 (Fuvest-SP) Se ε está no intervalo

02

,π

e satis-

faz sen4 ε − cos4 ε = 14

, então o valor da tangente de ε é:

a)

35

b)

53

c)

37

d)

73

e)

57

Assim:

sen4 4 1

4ε − ε =cos

( cos ) ( cos )sen sen2 2 2 2 1

4ε 0 ε 9 ε − ε =

sen2 2 1

4ε − ε =cos

Portanto: tgsen

e tg pois22

2

53

53

02

ε =ε

ε= ε = ε 7

π

cos, , .

X

sen2 2 1

4ε − ε =cos

sen2 ε 0 cos2 ε = 1

14

24

3

Θ sen2 5

8ε =

cos2 3

8ε =

14

42

44

3

24 (UFSCar-SP) Sendo sen cos ε 0 ε =

15

,

a) determine sen ε e cos ε;b) represente no círculo trigonométrico todos os ângulos

ε que satisfazem a igualdade dada.a)

Substituindo os valores em �:

Para sen ε = Θ ε = −

45

35

cos .

Para sen ε = − Θ ε =

35

45

cos .

b) Podemos ter:

sen ouε = − ε =

35

45

cos

sen2 ε 0 cos2 ε = 1 sen ε 0 ε =cos

15

cos ε = − ε15

sen �

14

24

3 sen2 ε 0 cos2 ε = 1 �

14

24

3

Θ

sen sen sen sen2

2

215

1 25 5 12 0ε 0 − ε = ε − 9 ε − =

→

sen ou senε = ε = −

45

35

sen ε

cos ε

1P1

−1

−1

1A

ε

45

35

− sen eε = ε = −

45

35

cos

ε = AP1, tal que

sen ε

cos ε

1

P2

−1

−1

1A

ε45

35

−

ε = AP2, tal que

ou

0 − sen θ 0 0 0 cos θ = 0

12

32

25 (UFCE) Sabendo que cos θ =

32

e que

θ = −12

sen , podemos afirmar corretamente que

X

cos :θ 0

π0 θ 0

π

2 2

sen é igual a

a) 0 c)

32

12

0 e) − 0

32

12

b) − −

32

12

d)

32

12

−

cos θ 0π

0 θ 0π

2 2

sen

cos cos cos cosθ 9

π− θ 9

π0 θ 9

π0

π9 θ

2 2 2 2sen sen sen sen

b)

tgsen a b

a bsen a b a sen b

a b sen a sen b(a b)0 =

0

0=

9 0 9

9 − 9

( )cos ( )

cos coscos cos

27 (FGV-SP) Conhecidas as relações trigonométricascos (a 0 b) = cos a 9 cos b − sen a 9 sen b esen (a 0 b) = sen a 9 cos b 0 sen b 9 cos a:a) obtenha, justificando, a expressão de cos 2x em função

de cos x;b) obtenha, justificando, a expressão de tg (a 0 b) em fun-

ção de tg a e tg b.a) cos (2x) = cos (x 0 x) = cos x 9 cos x − sen x 9 sen x

cos2 x − sen2 x = cos2 x − (1 − cos2 x) = 2 9 cos2 x − 1

sen aa

sen bb

sen aa

sen bb

tg a tg btg a tg b

cos cos

cos cos

0

− 9

=0

− 91

1

sen a b a sen ba b

a b sen a sen ba b

9 0 9

9

9 − 9

9

cos coscos cos

cos coscos cos

26 (UFJF-MG) Considere as expressõesM = cos a 0 cos b e N = sen a − sen b. Sendoa 0 b = 120), o valor de M2 0 N2 é:a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 10X

e 2 cos a 9 cos b − 2 sen a 9 sen b2 (cos a 9 cos b − sen a 9 sen b)= 2 cos (a 0 b)Então:M2 0 N2 = 2 0 2 cos (a 0 b)M2 0 N2 = 2 0 2 9 cos 120) = 1

M2 0 N2 = (cos a 0 cos b)2 0 (sen a − sen b)2

M2 0 N2 = cos2 a 0 2 cos a cos b 0 cos2 b 0 sen2 a − 2 sen a sen b 0 sen2 b

1

1

043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 16:5944


45 Matemática

29 (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um ob-servador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele seaproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproximamais 100 m, como mostra o esquema abaixo.

A altura da torre, em metros, equivale a:a) 96 b) 98 c) 100 d) 102

160 m

torre

observadorx 2x 4x

100 m

X

Os triângulos ADE e ACD são isósceles, pois 2x e 4x são, respectivamen-te, seus ângulos externos.AD = DE = 160 m e AC = CD = 100 m

• No # ABD: sen (2x) = h

160

• No # ABC: sen (4x) = h

100 Θ 2 sen (2x) 9 cos (2x) =

h100

2 9 h

160 9 cos (2x) =

h100

Θ cos (2x) = 8

10

• Da relação fundamental:sen2 (2x) 0 cos2 (2x) = 1

sen2 (2x) 0 8

10

2

= 1

sen2 (2x) = 36

100 Θ sen (2x) =

610

(2x é agudo)

Como sen (2x) = h

160, então:

610

=h

160 Θ h = 96 m

160 m

A

BCDE

h

x

x

2x

2x

4x

100 m

28 (UFPel-RS) São cada vez mais freqüentes constru-ções de praças cujos brinquedos são montados com mate-riais rústicos.A criatividade na montagem de balanços, escorregadorese gangorras de madeira vem proporcionando uma opçãode lazer para as crianças.A figura abaixo mostra um brinquedo simples que pro-porciona à criançada excelente atividade física.

a) A

75°2 2

B C

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC:BC2 = 22 0 22 − 2 9 2 9 2 cos 75° �Sendo cos 75° = cos (30° 0 45°) = cos 30° 9 cos 45° − sen 30° 9 sen 45°

cos 75

32

22

12

22

6 2

4° = 9 − 9 =

−

Substituindo em �, vem:

BC2 = 4 0 4 − 8 9

6 24

−

= 8 − 2 6 2−( )

Fazendo 6 = 2,4 e 2 = 1,4, temos:

BC2 = 8 − 2 9 (2,4 − 1,4) = 8 − 2 = 6 Θ BC = 6 Λ 2,4 m

b) A

2 2h

B C62

62

No triângulo AHC:

h2 0 62

2

= 22

h 4

64

104

52

2 = − = =

h 52

102

3,22

1,6 m= = Λ Λ

Considerando o texto, a distância AB e AC igual a 2,0 m, oângulo BÂC igual a 75° e seus conhecimentos, determine:a) a distância de B a C.

b) a altura do triângulo ABC, relativa ao lado BC.

A

BC

043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 17:0045


46Matemática

31 (MACK-SP) Se sen 2x 0

π=

218

, então cos xpode ser:

a)

38

b) −

18

c)

34

d) −

14

e)

58

X

sen x22

18

0π

=

sen (2x) cos (2x)9

π0

π9 =cos

2 218

sen

cos (2x) = 9 − = =

18

2 118

916

2 2→ →cos cosx x

cos x ou x= = −

34

34

cos

Ι cos x = −acos 2x = 2 cos2 x − 1 Θ cos 2x = 2a2 − 1

30 (UCSal-BA) Sabe-se que sen x −

π=

2

a. O va-

lor de cos 2x é:a) 2a2 c) a2 − 1 e) 2a2 − 1b) 1 − a2 d) 1 − 2a2

X

sen x sen x x a−π

= −π

− = − =2 2

cos

4 9 (1 − sen2 x)(sec2 x − 1) = 3 Θ 4 9 cos2 x 9 tg2 x = 3

32 (UFSCar-SP) O valor de x, 0

2< <

πx , tal que

4 9 (1 − sen2 x) 9 (sec2 x − 1) = 3, é:

a)

π

2b)

π

3c)

π

4d)

π

6e) 0X

33 (Fuvest-SP) Na figura abaixo, O é o centro da cir-

cunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo

ψ mede 60° e sen ε =

34

.

Sendo x0

2 3< <

π=

π, .tem-se x

4 334

32

22

229 9 = = = Σcos

cosx

sen xx

sen x sen x→ →

Como ψ = 60° e #OCB é isósceles (OC = OB = 1), temos:

med (OCB) med (OBC)

180 60

2ˆ ˆ= =

−° ° = 60°

Portanto, o #OBC é eqüilátero.a) Aplicando a lei dos senos no #AOB (supondo ε , 60°):

ABsen

1

sen OAB

AB

34

1

sen OAB sen OAB

34ABε

= = =ˆ ˆ

ˆ→ →

b) Considere o #AOB.

Sendo med (ˆ )OBA 120 ,= ° então

med (OÂB) 0 ε = 60° Θ med (OÂB) = 60° − ε

sen OÂB = sen (60° − ε) = sen 60° 9 cos ε − sen ε 9 cos 60° = 3

4AB

Sendo sen ε = 34

, temos:

34

2

0 cos2 ε = 1 Θ cos2 ε = 1316

Θ cos ε = 134

(ε é agudo)

Substituindo em �:

32

134

34

12

34AB

9 − 9 =

3

13 18

34AB

−=

a) Determine sen OÂB em função de AB.

b) Calcule AB.

O A

B

εψ

O

1

1

1

A

B

C

ε

ψ = 60°

60°60°

�

AB2

13 1

13 1

13 1

2 13 112

13 16

=−

90

0=

0=

0( )( )

( )

043_046_CA_Matem_2 11.10.06, 17:0046


47 Matemática

34 (UFBA)

Com base no gráfico acima, que representa a função realf(x) = A 0 B cos (ax), com A, B e a 7 ς, pode-se afirmar:

(01) O período de f é igual a 2π.

(02) f

π=

0

122 2

2

(04) A soma das soluções da equação f(x) =

12

, no inter-

valo

π π

232

, ,

é igual a 2π.

(08) f(x) = 2 sen2 x

(16) f x 0

π= 0 9

41 2

sen x cos x

A partir do gráfico concluímos que f(x) = 1 − cos (2x), portanto:

01. Incorreta, pois período =

π= π

22

.

02. Incorreta, pois

fπ

= − 9π

= − =−

121 2

121

32

2 32

cos .

04. Correta, pois 1

12

− =cos (2x) →

→ →

cos (2x) temos= = Σ

π0 π 7

π π12 6 2

32

x k e para x ,

x =

π5

6 x =

π7

6ou , cuja soma é igual a 2π.

08. Correta, pois f(x) = 1 − cos (2x) = 1 − (1 − 2 sen2 x).

16. Correta,

(sen x 0 cos x)2 = 1 0 2 sen x cos x

Então, f(x) = 2 sen2 x.

f x sen x

sen x x

0π

= 0π

9 9 0

42

4

222

2

2

( cos )

Portanto: 4 0 8 0 16 = 28

35 (MACK-SP) A soma de todas as soluções da equa-ção tg a 0 cotg a = 2, 0 < a < 2π, é:

a)

54π

b)

23π

c)

32π

d)

74π

e)

73π

tg a 0 cotg a = 2 Θ

sen acos a

cos asen a

20 =

sen a cos a

sen a cos a 2

2 20

9= Θ 1 = 2 sen a 9 cos a

sen (2a) = 1 Θ 2a=

π

2 0 k 9 2π (k 7 Β)

a =

π

4 0 k 9 π (k 7 Β)

Para 0 < a < 2π, temos a =

π

4 ou a =

54π

, cuja soma vale 3

2π

.

0 x

y

2

3π

2π

2π−π 2π−2π π

2−

3π

2−

36 (UFCE) Encontre as soluções da equação:

9 − 2 cos2 x = 15 sen x, no intervalo −

π π

2 2, .

sen x = 7 (não convém)

• 9 − 2 cos2 x = 15 sen x9 − 2 9 (1 − sen2 x) = 15 sen x

2 sen2 x − 15 sen x 0 7 = 0 Θ

14

24

3

•

14

42

44

3

Θ

sen x =

12

sen x =

12

x 7 −π π

2 2,

x =π

6

X

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48Matemática

37 (Unesp-SP) A figura mostra a órbita elíptica de umsatélite S em torno do planeta Terra. Na elípse estão assi-nalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto daórbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P(perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centroda Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ânguloPÔS tem medida ε, com 0° < ε < 360°.

38 (FGV-SP) Suponha que a temperatura (em °F) deuma cidade localizada em um país de latitude elevada dohemisfério norte, em um ano bissexto, seja modelada pelaequação

T 50 sen

2366

(d 91, 5) 25= 9π

− 0

na qual d é dado em dias e d = 0 corresponde a 1o dejaneiro.a) Esboce o gráfico de T × d para 0 < d < 366.b) Use o modelo para prever qual será o dia mais quente

do ano.c) Baseado no modelo, determine em quais dias a tempe-

ratura será 0 °F.

a) T 50 sen

2366

(d 91, 5) 25 50 send

183 225= 9

π− 0 =

π−

π0

O gráfico de T × d é:A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, depen-dendo do ângulo ε, é dada aproximadamente pela função

h 64

7 980100 5 cos

10 2= − 0

0 ε9

Determine:a) a altura h do satélite quando este se encontra no perigeu

e também quando se encontra no apogeu;b) os valores de ε, quando a altura h do satélite é 1 580 km.

a) No perigeu: ε = 0°

h 64 7 980

100 5 cos 0 10 64

7 980100 5 1

10

200 km

2 2= − 00

9 = − 00 9

9 =

= − 0 9 =

°

( )64 76 10 12

No apogeu: ε = 180°

h 64 7 980

100 5 cos 180 10 64

7 980100 5 ( 1)

10 2 2= − 0

09 = − 0

0 9 −9 =

°

= (−64 0 84) 9 102 = 2 000 km

b) Se h = 1 580 km:

− 0

0 ε9 = − 0

0 ε=64

7 980100 5 cos

10 1 580 64 7 980

100 5 cos

2

→

= 15,8

7 980100 5 cos

0 ε = 79,8 Θ 100 0 5 cos ε =

7 980

79 8, = 100

5 cos ε = 0 Θ cos ε = 0Como 0 < ε < 360°, então ε = 90° ou ε = 270°.

(apogeu) A

(satélite) S

P (perigeu)

Figura fora de escala

O

ε

b) Pelo gráfico, d = 183. Como d = 0 corresponde a 1o de janeiro, d = 183corresponderá ao 184o dia, que em um ano bissexto é 2 de julho.

c) 50 sen

d183 2

25 0 sen d

183 212

9π

−π

0 =π

−π

= −

→

π−

π=

π0 π

d183 2 6

2k7

ou

π−

π=

π0 π

d183 2 6

2k11

, k 7 Β

d183

12 6

2k− = 07

d183

12 6

2k− = 011

d = 305 0 366k d = 427 0 366kPara k = 0 Θ d = 305 Para k = −1 Θ d = 61(não servem outros valores (não servem outros valores de k)de k)Então:d = 61 Θ 62o dia do ano Θ 2 de marçod = 305 Θ 306o dia do ano Θ 1o de novembro

d

T (°F)

61

91,5 183 274,5

305

366

1

25

−25

−1

75

0

047_049_CA_Matem_2 11.09.06, 19:5248

terceirão ftd - matematica - caderno de atividades 02

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