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Teoria dos Grafos

Valeriano A. de OliveiraSocorro Rangel

Silvio A. de AraujoDepartamento de Matemática Aplicada

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Conjuntos de Corte eConectividade

Preparado a partir do texto:Rangel, Socorro. Teoria do Grafos, Notas de aula, IBILCE, Unesp, 2002-2013.

Conjuntos de Corte

Conjuntos de Corte Conectividade

Definição e ExemplosConjuntos de Corte Conectividade

Teoria dos Grafos (Antunes Rangel&Araujo) – 3

Ao estudarmos árvores geradoras, estávamos interessados em um tipoespecial de subgrafo de um grafo conexo: um subgrafo que mantivessetodos os vértices do grafo interligados. Neste tópico, estamosinteressados em um outro tipo de situação: subgrafos cuja remoção dografo separa alguns vértices de outros.

Definição 1. Em grafo conexo G, um corte de arestas (ousimplesmente conjunto de corte) é um conjunto de arestas cujaremoção torna o grafo G desconexo, desde que nenhum subconjuntopróprio destas arestas tenha a mesma propriedade

Definição e ExemplosConjuntos de Corte Conectividade


Exemplo 1. Considere o grafo:

Aplicação 1: Suponha que os vértices representam 6 cidades interligadaspor cabos de fibra ótica. Desejamos saber quais são os pontos fracosdesta rede, isto é, pontos que necessitam de cabos adicionais. Estamosprocurando, entre todos os cortes de arestas deste grafo, aquele com omenor número de arestas. Neste caso, a cidade v3 necessita de maiscabos.

Exemplo 2. Como são os corte de arestas de uma árvore?

PropriedadesConjuntos de Corte Conectividade


Questão: Considere uma árvore geradora T em um grafo conexo G e umcorte de arestas S qualquer deste grafo. Existe alguma aresta em comumentre T e S? Sim, pois caso contrário a remoção das arestas em S dografo G não resultaria em um grafo desconexo.

Teorema 1. Todo corte de arestas de um grafo conexo G contém pelomenos uma aresta em comum com qualquer árvore geradora de G.

Exemplo 3. Verificar o teorema para a seguinte árvore geradora T:



Para identificar os pontos fracos de uma rede é necessário encontrartodos os cortes de aresta de G. Como fazer isso?

Definição 2. Seja um grafo G e T uma árvore geradora de G. Umconjunto de corte fundamental relativo à arvore T, é um conjuntode corte de G que contém apenas uma aresta em comum com a árvoregeradora T.



Exemplo 4. Seja G:

Seja T:



Vamos considerar a aresta e. A remoção da aresta e de T particiona oconjunto de vértices de T em:

Ou seja, {e} é um corte de arestas de T.Como determinar um corte de arestas fundamental de G relativo a T quecontenha a aresta e? Basta encontrarmos o conjunto de arestascontendo o ramo {e} e que provoque a mesma partição no conjunto devértices de G: {d, e, f}



Perguntas:

1. Quantos corte de arestas fundamentais existem? n−1, ou seja 5.Quais são eles? {a, b}, {d, e, f}, {a, c, d}, {f, g, h}, {f, h, k}

2. Qual é a relação entre cortes de aresta fundamentais e circuitosfundamentais?Podem ser obtidos a partir de uma árvore geradora de G.Todo elo de uma árvore geradora define um circuito fundamental.Todo ramo de uma árvore geradora define um corte de arestafundamental.

3. Como obter todos os cortes de arestas de um grafo G?



Definição 3. A soma direta de dois cortes de arestas em um grafoé igual a um terceiro corte de arestas ou a união aresta-disjunta de doiscortes de arestas.

Exemplo 5. Seja o grafo G e árvore T do Exemplo 4.{d, e, f} ⊕ {f, g, h} = {d, e, g, h} é um corte de arestas mas não éfundamental{a, b} ⊕ {b, c, e, f} = {a, c, e, f} é um corte de arestas mas não éfundamental{d, e, h, k} ⊕ {f, g, h} = {d, e, f, g, k} não é um corte de arestas mas éunião aresta-disjunta de dois cortes de aresta {d, e, f} ∪ {g, k}.Assim, é possível gerar todos os cortes de arestas de um grafo G a partirdos cortes de arestas fundamentais relativos a uma dada árvore geradorade G.

ExercícioConjuntos de Corte Conectividade


Considere o Grafo:

a) Determine uma árvore geradora deste grafo e liste todos os sete cortesde arestas fundamentais relativos a esta árvore.b) Usando a operação de soma direta, determine todos os outros cortesde arestas deste grafo.

Conectividade

Conjuntos de Corte Conectividade

Definições e exemplosConjuntos de Corte Conectividade


No estudo de conectividade, entre outros aspectos, estamos interessadosem estudar a vulnerabilidade de um grafo.Podemos observar que cada corte de arestas tem um determinadonúmero de arestas. Estamos interessados no corte de arestas que possuio menor número de elementos.

Definição 4. O número de arestas no menor corte de arestas de umgrafo G é chamado de Conectividade de Aresta (CA) .



Exemplo 6. :

1. Qual é a conectividade de arestas de uma árvore?

2. Qual é a conectividade de arestas do grafo de exercício anterior?

3. Qual é a conectividade de arestas dos grafos dos dois exemplosanteriores?

4. Qual é a conectividade de arestas do grafo a seguir?



Exemplo 7. :

Observamos que não é possível obter um subgrafo desconexo removendoapenas 1 aresta de G. No entanto, é possível obter um subgrafodesconexo, através da remoção de um vértice. Assim, podemos definir aconectividade de vértices do grafo.



Definição 5. Em um grafo conexo G, um corte de vértices é umconjunto de vértices cuja remoção torna o grafo G desconexo, desde quenenhum subconjunto próprio tenha a mesma propriedade. O número devértices no menor corte de vértices é chamado de Conectividade de

Vértices (CV )

Exemplo: A conectividade de vértices de cada um dos grafos do exemploanterior é: a) árvore CV =1 b) CV =4 c) CV =1 e CV =2 d) CV =1



Definição 6. Um grafo conexo é separável se a conectividade devértices é igual a 1.

Exemplo 8. : O grafo item d do Exemplo anterior é separável.Aplicação: Suponha que existam n estações para serem ligadas atravésde m linhas (linhas de telefone, túneis, estradas, etc) tal quem ≥ (n− 1). Qual é a melhor maneira de se fazer a conexão?Precisamos de um grafo com n vértices, m arestas e com o maior valorpossível para CA e CV . O grafo do exemplo d tem 8 vértices e 16arestas e CV =1 e CA=3. Ao passo que o grafo do exercício anterior temCA=CV =4. Ou seja, este último grafo, representa uma forma melhor dese obter a conexão.É necessário destruir 4 estações ou 4 linhas para quebrar a comunicaçãoentre as estações. Qual é o maior valor possível para CV e CA?



Teorema 2. A conectividade de arestas de um grafo é menor ou igualao grau do vértice de grau mínimo do grafo.

Prova: Seja vmin o vértice de grau mínimo do grafo. Seja δ o grau destevértice. Para separar este vértice dos demais vértices do grafo énecessário remover as δ arestas incidentes em vi . Portanto, CA ≤ δ.

Teorema 3. A conectividade de vértices em um grafo G é menor ouigual à conectividade de arestas.



Usando os Teoremas 3 e 4 temos podemos estabelecer a seguinterelação: CV ≤ CA ≤ δMais ainda, é possível mostrar que CV ≤ CA ≤ 2m/n.Exercício

Determine a conectividade vértices e de arestas do grafo abaixo. Observeque a desigualdade acima é satisfeita estritamente.

Para obter um grafo com o maior valor possível para CV , inicialmenteconstrua um grafo regular de grau ⌊2m/n⌋, em seguida acrescente asarestas restantes.

DefiniçãoConjuntos de Corte Conectividade


Definição 7. Um grafo G é k-conexo em arestas (ou vértices) quandosua conectividade de arestas (ou vértices) é ≥ k .

Exercícios: verificar a conectividade de arestas e vértices dos grafos aseguir



Teorema 4. Um grafo G é k-conexo se e somente se existem pelomenos k caminhos disjuntos (exceto nos extremos) entre cada par devértices de G.

Exemplo 9. Exemplo: No grafo de exemplo anterior (item d) temos:{u,(u,v),v,(v,x),x} e {u,(u,w),w,(w,x),x} entre os vértices u e x.Aplicação: Considere que mensageiros devem ser enviados entre duascidades a e b . Como algumas estradas podem estar bloqueadas,queremos que cada mensageiro use estradas diferentes. Quantosmensageiros podem ser enviados?Considere um grafo onde os vértices são as cidades e as arestasrepresentam estradas. O número de mensageiros que podem ser enviadosé igual ao número de caminhos aresta-disjuntos entre os vértices a e b .Este número pode ser determinado usando os resultados acima.

ExercícioConjuntos de Corte Conectividade


Seja o grafo:

1. Encontre 3 caminhos aresta-disjuntos entre s e t .

2. Encontre um corte de arestas contendo 3 arestas que separe s e t .

3. Qual é o maior número possível de caminhos disjuntos entre s e t ?

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