Teoria dos Grafos

Aulas 3 e 4

Profa. Alessandra Martins Coelho

fev/2014

Passeio ou percurso

• Um passeio ou percurso é uma sequência finita de vértices e arestas

Exemplo

• Em (1) o passeio inicia pelo vértice 1, avançando na sequência 1-6-4-3-2-6-4-3

• Um passeio é aberto quando o vértice inicial é diferente do vértice final e fechado caso contrário.

• Em (2) tem-se o passeio fechado1-5-3-4-2-3-1

Cadeia ou Trilha• Uma cadeia ou trilha é um

passeio sem repetição de arestas.

• Em (1) cadeia aberta: 5-a8-1-a7-4-a3-3-a4-2-a5-6-a1-1

• Em (2) cadeia fechada: 5-1-3-4-1-6-2-5

• OBS: a cadeia da figura (1) é aberta apesar de possuir uma subcadeia fechada (1-4-3-2-6-1)

Caminho• Um caminho é uma cadeia sem repetição de

vértices.• Um caminho entre os vértices “a” e “b” será

denotado por a-b, por Pa-b ou por Pi.• Em um grafo não ponderado, o comprimento

de um caminho é o número de arestas desse caminho.

• Em um grafo ponderado, o comprimento de um caminho é a soma dos pesos das arestas desse caminho.

Conceitos

Ciclo• Em um grafo G, um ciclo é um caminho

fechado.• Quando um grafo G é orientado, alguns autores

denominam circuito a sequência de arcos distintos que repete somente o primeiro e último nó visitados.

Ciclo Euleriano

• Percurso passando por todas as arestas uma única vez e retornando ao ponto inicial:– este percurso (ciclo) só existe se o grau dos vértices

for par. Onde, o grau de um vértice é o número de arestas incidentes.

A – grau 3B – grau 5C – grau 3D – grau 3

A

D

C

B

Caminho Euleriano• Um vértice com um número ímpar de arcos tem de ser o

primeiro ou o último da trajetória. Isto é, podem haver, no máximo, dois vértices com um número ímpar de arcos ligados a eles.

• No caso das pontes de Königsberg, existem quatro vértices com um número ímpar de arcos, logo, não tem solução.

Grafo euleriano– Possui um ciclo euleriano– Todos os vértices são de grau par

Grafo semi-euleriano– Possui um caminho euleriano– Tem dois vértices de grau ímpar

Alguns autores usam os termos cadeia euleriana e cadeia euleriana fechada para notar caminho euleriano e ciclo

euleriano, respectivamente.

Caminho Hamiltoniano

• Trata-se de um caminho em G, passando por todos os vértices, os visita somente uma vez

Observação• O uso dos termos caminho euleriano e

ciclo euleriano deve ser cuidadoso. Há possibilidade de ambiguidade, tendo em vista que caminhos e ciclos são definidos como sequência de vértices, não como sequência de arestas.

Ciclos eulerianos e hamiltonianos

Corda

• É uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo.

Cintura e Circunferência

• Cintura é o comprimento do menor ciclo de G.

• Circunferência é o comprimento do maior ciclo de G.

Cintura e Circunferência

• Cintura é o comprimento do menor ciclo de G.

• Circunferência é o comprimento do maior ciclo de G.

Grafo de Heawood

Grau de um vértice

• Grau ou valência de um vértice, em um grafo não direcionado é igual ao número de arestas incidentes no vértice.

Grafo conexo

• G é conexo se para todo par i,j de vértices existe um caminho que liga i a j.

Grafo desconexo

Grafos acíclicos• Árvore é um grafo conexo que não possui

ciclos.• Em uma árvore, um vértice com grau 1 é

denominado folha ou vértice terminal.• Quando o numero de vértices terminais de

um grafo é 2, é usual denominá-los vértices extremos de G.

• As árvores modelam um enorme número de aplicações reais.

Árvores

árvore Folhas da árvore Vértices extremos

Conexidade ou conectividade em vértices

• κ(G) é o menor número de vértices cuja remoção resulta em um grafo desconexo ou em um grafo trivial.

Conexidade ou conectividade em arestas

• λ(G) é dada pelo menor número de arestas cuja remoção resulta na desconexão de G

Grafos Especiais

Grafo Planar• É um grafo cuja representação geométrica

admite alguma representação plana (R²) e não há cruzamento de arestas.

Exemplo

Grafo completo de 4 vértices ou K4

Exemplo

Grafo completo de 4 vértices ou K4

Conceitos

• Se existe um G representado em uma superfície, ele é imersível.

• Se um G planar está representado em um plano, então as linhas que dividem o plano em regiões são chamadas de faces.

• Existe somente uma face ilimitada que nós chamamos de face externa ou infinita.

Pergunta

• Dado um grafo planar, existe uma representação plana onde todas as arestas são retas?

Pergunta

• Dado um grafo planar, existe uma representação plana onde todas as arestas são retas?

Pergunta

• Dado um grafo planar, existe uma representação plana onde todas as arestas são retas?

Exemplo

Exemplo