teoria dos conjuntos prof. dirceu rocha de almeida
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TEORIA DOS CONJUNTOS
Prof. Dirceu Rocha de Almeida
1. Conceitos Primitivos Um grupo ou uma coleção recebe o nome de conjunto. O
conceito de conjuntos é primitivo, isto é, não possui uma definição.
Por exemplo: um grupo de alunos, uma coleção de figurinhas são exemplos de conjuntos.
Conjuntos são formados por elementos. No caso dos conjuntos acima, os elementos são os alunos e as figurinhas, ou seja, estes são os produtos dos conjuntos.
Um conjunto é representado por uma letra maiúscula e os elementos pelas letras minúsculas, porém essa representação é facultativa.
A relação de pertinência- é usada para fazer a relação entre um elemento e um conjunto, ou seja, essa relação serve para dizer se um determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto.
ExemplosSe c é um elemento do conjunto E,
escreveremos: c ELê-se: c é elemento de E ou pertence a E.
Se c não é um elemento de um conjunto E, escreveremos:
c ELê-se: c não é elemento de E ou c não pertence a E.
2 – Conjunto vazioUm conjunto vazio é representado por
∅ ou { }. Obviamente, chamamos um conjunto de vazio quando ele não possuir nenhum elemento.
Simbolizando: ∀ x : x
Exemplos: = {x|x é número natural par menor que zero} = {x|x é número natural e 5 – x = 8 }
3 - Representação de um conjunto
Pela designação de seus elementos Os elementos são colocados entre chaves, e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Por exemplo: C = {e, j, m, o, z} – indica que o conjunto C é formado pelos elementos: e, j, m, o, z A= {2; 4; 6; 8;} – indica que o conjunto A é formado pelos elementos: 2, 4, 6, 8. V = {5; {2 ; 3 ; 7} ; {3}} – indica que o conjunto V é formado pelos elementos são: 5, {2; 3; 7} e {3}
Pela propriedade de seus elementos Um conjunto representado pelas propriedades de seus elementos deve estabelecer uma característica que caiba para todos os elementos do conjunto. Para pertencer a este conjunto, o produto deverá ter as características estabelecidas por ele. Assim: Os elementos x de um determinado conjunto que possuem a propriedade P é representado por: P {x | x possui a propriedade P}
|= “tal que”, também pode ser representado por t.q, ou por dois pontos (:) ou ainda ponto e virgula (;)
Exemplo: Veja o conjunto abaixo:
A = {2, 4, 6, 8, 10…} Este conjunto pode ser indicado por: A= {x | x é número natural, par e positivo} – representa a propriedade de seus elementos. Lê-se: O conjunto A é formado por qualquer valor desde que seja número natural, par e positivo.
Obs.: O ZERO é natural e par, mas não é positivo. O Zero é neutro. Para que o Zero faça parte do conjunto, deveríamos dizer que são os pares naturais não negativos.
Pelo diagrama de Venn-Euler O diagrama de Venn-Euler representa os conjuntos através de um “círculo” ou “ linha poligonal fechada” onde os elementos estão no interior do círculo.
exemplo: a) Se C = {h, l, n, o, s, v}, então
h ln o
s v
C
4 - Subconjuntos Dizemos que um conjunto A é
subconjunto de outro conjunto B e representamos por A B (Lê-se A está contido em B) se todo elemento de A for também elemento de B.
Exemplo:A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6}
Note que todo elemento de A é também elemento de B. Assim escrevemos: A B
Diagrama de Venn - Euler
123
B
4
56
A
5 – Conjunto das partes
A partir de um conjunto E é possível formar um novo conjunto constituído de todos os subconjuntos de E. O novo conjunto recebe o nome de conjunto dos subconjuntos de E, que é representado por: P(A)
Podemos simbolizar da seguinte forma:
P(A) = {x| x A}
Teoremas:
O vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja:◦ A
Todo conjunto está contido nele próprio, isto é:◦ A A
Exemplo:Seja A = {a,b,c}
P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, }P(A) = 8 elementos, ou seja: P(A) = 2n(A)
onde n(A) indica o número de elementos do conjunto A.
6 - Igualdade Definição
Considere D e E como dois conjuntos. D = E somente quando: D é subconjunto de E, ou E é também subconjunto de D. D = E D E e E DEm outras palavras D = E se, e somente se, possuírem os mesmos elementos.
Obs.:Considere A ≠ B, através do símbolo
tornam-se diferentes, significa que A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. A B A B ou B A.
Obs.: A ordem dos elementos não é considerada neste caso, o que vale é a característica que o elemento do conjunto possui.
Em matemática, tudo que vem entre chaves não possui ordenação, em caso contrário teria que vir entre parênteses.
Exemplos:As duas sequencias abaixo são
iguais, determine x e y.(-2, x, 4, 6) = (-2, 7, y, 6)
Os conjuntos abaixo são iguais, determine os possíveis valores para x.{ 2, 5} = {2, x, 5}
X = 7 e y = 4
Neste caso, como não há ordenação , Temos X = 2 ou x = 5, pois, note que:{2,5} = {2,2,5} ou {2,5} = {2,5,5}
{a, b} = {b, a}, pois {a, b} ⊂ {b, a} e {b, a} ⊂ {a, b}. {6, 8} = {x, y} {x = 6 e y = 8} ou {y= 6 e x = 8}.
{a, a, a, b} = {a, b}, pois {a, a, a, b} ⊂ {a, b} e {a, b} ⊂ {a, a, a, b}
Como você pode ver a repetição é dispensável.
Exercícios:
1 (INFO) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
a) 5b) 6c) 7d) 9e)10
2. (INFO) - Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
a)2 ou 5b)3 ou 6c)1 ou 5d)2 ou 6e)4 ou 5
3. Complete os pontilhados com os sinais ou .
a) b ...... {a, b, c, d}b) {b} ...... {a, b, c, d}c) ∅ ...... {0, 1, 3, 4, 6}d) {a} ...... {{0}, {a}, b}e) ∅ ...... {x, y, ∅, m}f) {a, b} ...... {a, b, x, {a, b}}
4. Considere o conjunto P = {a, b, c, d}.a) Encontre todos os subconjuntos de P
com dois elementos.b) Encontre todos os subconjuntos de P
com três elementos.c) Quantos são, no total, os subconjuntos
de P?d) Quantos e quais são seus
subconjuntos triviais?e) Quantos são seus subconjuntos não-
triviais?
5. Um conjunto A tem um total de 256 subconjuntos.
a) Quantos deles são triviais?b) Quantos são não-triviais?c) Quantos têm pelo menos dois
elementos?d) Quantos são os elementos de A?
6. Nas sentenças abaixo, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as sentenças falsas.I {2} {0, 1, 2} II {5, 6, 7}III {, 4} IV 5 {3, {5, 1}, 4}V {5, 6} {5, 6, 7} Nesta ordem, a alternativa correta é:a) F, V, V, F, Fb) V, F, F, V, Fc) F, V, V, F, Vd) V, F, F, V, Ve) V, V, V, F, F
7. Considere o conjunto A = {{}, }, onde o símbolo representa o conjunto vazio. Marque a alternativa INCORRETA:
a) Ab) Ac) {{}} Ad) {{}} A
8. Seja o conjunto A = {3, {3}} e as proposições:
1. 3 A 2. {3} A 3. {3} A
Então:a) apenas 1 e 2 são verdadeiras.b) apenas 2 e 3 são verdadeiras.c) apenas 1 e 3 são verdadeiras.d) todas são verdadeiras.
9. A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos de A que pertencem ao conjunto B. Então pode-se afirmar:
a) A é subconjunto de B.b) B é subconjunto de A.c) A e B são disjuntos.d) nenhuma das anteriores.
Conjuntos Numéricos Por questões práticas, os números
são divididos em determinadas categorias, a partir de suas características específicas. Cada uma delas constitui um conjunto numérico especial.Naturais (N)Inteiros (Z)Racionais (Q)Irracionais (Ir)Reais (R)
1. Números naturais
A necessidade de contar deu origem ao conjunto N dos números naturais, assim definido:N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Trata-se de um conjunto infinito e ilimitado. Todo natural tem um sucessor natural. Se n N , seu sucessor é (n + 1). Podemos dizer, também, que o antecessor de (n + 1) é n. O natural 0 (zero) não tem antecessor.
2. Números inteiros
A operação subtração nem sempre é possível em N. Por exemplo, a diferença (3 – 5) não é definida no conjunto dos naturais. Surge aí o conceito de número inteiro negativo. A união dos naturais com os inteiros negativos constitui o conjunto Z dos números inteiros. Portanto,
Z = { ..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Temos, novamente, um conjunto infinito e ilimitado. Todo inteiro tem um sucessor e um antecessor, conceitos definidos de forma análoga ao caso dos naturais.
3. Números racionais
Todo quociente (razão) entre dois números inteiros é chamado número racional.Exemplos de racionais
(inteiro)
(fracionário de termos inteiros)
(decimal exato)
(dízima periódica)
23
6
8
3
6,05
3
9
2...222,0
DefiniçãoO conjunto Q dos números
racionais pode ser definido assim:
0,, qZqepcomq
pQ
4. NÚMEROS REAIS
Existem determinados números decimais que não são exatos nem dízimas periódicas. Eles são chamados números irracionais. Como exemplos, podemos citar
= 1,7320508... 0,131131113... = 3,14159... e = 2,71828... Os irracionais mais importantes são as raízes “não
exatas” e algumas constantes especiais, como e e, de grande importância nos estudos matemáticos. A reunião dos racionais com os irracionais constitui o conjunto dos números reais. Portanto, R = Q Ir
3
Diagrama
NR
Ir
Q Z
ObservaçãoPara os conjuntos numéricos, valem as
convenções:o sinal asterisco (*) retira o zero do
conjunto; o sinal mais (+) retira os negativos do
conjunto;o sinal menos (–) retira os positivos do
conjunto.
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOSA interseção de A e B (em símbolos:
A∩B ou B∩A) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem ao mesmo tempo (elementos comuns) a A e a B.
INTERSEÇÃO DE CONJUNTOSNo diagrama abaixo, a região
sombreada representa o conjunto A ∩ B ou B ∩ A.
ExemplosSendo A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 6, 7,
9}, seus únicos elementos comuns (em negrito) são 3 e 6. Portanto, A ∩ B = B ∩ A = {3, 6}.
Se P = {x / n é par} e I = {x / n é ímpar}, é claro que P e I não tem elementos comuns. Logo, P ∩ I = I ∩ P = .
Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, dizemos que eles são disjuntos. Assim, os conjuntos P e I do último exemplo anterior são disjuntos.
UNIÃO OU REUNIÃO DE CONJUNTOS
A união ou reunião de A e B (em símbolos: A B ou B A) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a A ou a B. Incluem-se os elementos comuns a A e B.
No diagrama a seguir, a região sombreada representa o conjunto A B ou B A.
ExemplosA união dos conjuntos A={2, 3, 5, 8} e
B={3, 6, 9} é obtida reunindo-se os elementos de A e B num único conjunto. Portanto, A B=B A={2, 3, 5, 6, 8, 9}.
Sendo P={xN/n é par} e I={xN/n é ímpar},
P I = I P = N.Se A B, temos que A B = B.
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
A diferença de dois conjuntos A e B, nesta ordem, (em símbolos: A – B) é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a A e não pertencem a B.
Veja, no diagrama, a região sombreada, que representa o conjunto A – B.
A diferença B – A é o conjunto dos elementos do universo que pertencem a B e não pertencem a A.
ExemplosSuponhamos A={2, 3, 5, 8} e B={3, 6, 9}.
Os elementos 2, 5 e 8 são os únicos que pertencem apenas a A, logo A – B = {2, 5, 8}. Os elementos 6 e 9 são os únicos que só pertencem a B, logo B – A = {6, 9}.
Sendo P={xN/n é par} e I={xN/n é ímpar}, P – I = P e I – P = I.
Note que, em geral, A – B ≠ B – A. No caso em que A B, A – B = .
CONJUNTO COMPLEMENTAR
Quando A B, a diferença B – A é também chamada complementar de A em relação a B (em símbolos: ). Portanto,
CA
B
ExemploSendo X = {a, b, c} e Y = {a, b, c, d,
e}, existe o complementar de X em relação a Y, porque X Y. Portanto,
= Y – X = {d, e}.O complementar de um conjunto A em
relação ao universo U pode ser representado simplesmente por
ou . Logo,
CY
X
CA
A
CONTANDO OS ELEMENTOS DE UM CONJUNTO
Convencionaremos representar por n(A) o número de elementos de um conjunto finito A. Assim, dado o conjunto A = {a, b, c}, n(A) = 3.
Dados dois conjuntos A e B, o número de elementos de A, B, A B e A ∩ B obedecem à seguinte relação:
É fácil perceber a lógica dessa relação. Observe que, no cálculo da soma n(A) + n(B), estamos considerando n(A ∩ B) duas vezes. Por isso, esse último valor deve ser subtraído daquela soma.
Note que n(X) = 6; n(Y) = 4; n(X ∩ Y) = 2. Logo,n(X Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y) = 6 + 4 – 2 = 8
ExemploDos 80 alunos de uma sala, 36
praticam natação, 45 não fazem caminhadas e 28 fazem natação e caminhadas. Quantos apenas fazem caminhadas?
Vamos considerar, como universo, o conjunto A de todos os alunos. Contidos em A, estão os conjuntos:
N dos alunos que praticam natação;C dos que fazem caminhadas.
A partir do diagrama abaixo, podemos inserir o número de alunos em cada região. É interessante iniciarmos por (N ∩ C), onde estão os alunos que praticam os dois esportes. Pelo enunciado, n(N ∩ C) = 28.
Diagrama:
Dos 36 alunos que nadam, 28 já estão computados. Portanto, os restantes 36 – 28 = 8 praticam apenas natação. Logo, n(N – C) = 8.
Diagrama:
Dos 36 alunos que nadam, 28 já estão computados. Portanto, os restantes 36 – 28 = 8 praticam apenas natação. Logo, n(N – C) = 8.
Os 45 alunos que não fazem caminhadas estão fora do conjunto C. Desse total, 8 já estão computados. Faltam, portanto, 45 – 8 = 37, que só podem estar no conjunto .
C C)(N
Temos, até agora, 8 + 28 + 37 = 73 alunos. Se o total de alunos é 80, a diferença 80 – 73 = 7 é o número de alunos que só fazem caminhadas. Portanto, podemos concluir finalmente que n(C – N) = 7.
Assim sendo, o número de alunos que apenas fazem caminhadas é 7.
Exemplos:Numa empresa de 90 funcionários, 40 são os
que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam inglês nem espanhol é
a) 9 b) 17c) 18 d) 27
Solução
EI
90
Y
W
X Z
40 são os que falam inglês X+Y
49 os que falam espanhol Y+Z32 os que falam espanhol e não falam inglês Z = 32
I E
90
23 + 17 + 32 = 72 W = 90 – 72 = 18
321723
18
Exemplo:
Com o objetivo de analisar o consumo de três marcas A, B e C de um mesmo produto, fez-se uma pesquisa em que foram consultadas 1000 pessoas. O resultado da pesquisa encontra-se na tabela abaixo.
Analisando esses resultados, pode-se concluir que o número de pessoas que NÃO consomem nenhuma marca é
a) 210 b) 170
c) 200 d) 370
Solução
C
A B
60300-60=240200-60=140
40
520-140-240-60=80
450-40-60-240=110400-40-60-140=160
n(AUBUC) = 160+40+110+60+140+240+80 =830Logo temos: 1000 – 830 = 170
170
Exemplos
Observe as operações a seguir, envolvendo números reais.
Das situações abaixo enumeradas, assinale a ÚNICA que NÃO ocorre em nenhum dos exemplos acima.a) Dois irracionais cuja soma é irracional.b) Dois irracionais cuja soma é racional.c) Dois racionais cuja soma é não-racional.d) Dois irracionais cujo produto é racional.
Exemplo:A seguir, são feitas várias afirmativas a respeito dos conjuntos numéricos. Assinale a única CORRETA.a) Todo real é irracional.b) Nem todo racional é real.c) Existem racionais que são inteiros.d) Não existe inteiro que seja natural.e) Toda dízima periódica é irracional.
Exemplo
Complete o quadro abaixo com os sinais ou .
ExemploDepois de n dias de férias, um estudante observa
que:
I) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;II) quando chove de manhã não chove à tarde;III) houve 5 tardes sem chuva;IV) houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7b)8c)9d)10e)11
Solução:
houve 5 tardes sem chuva n – 5 manhãs com chuva
houve 6 manhãs sem chuva n – 6 tardes com chuva
quando chove de manhã não chove à tarde, então não ocorreu dias com chuvas de manhã e a tarde, logo:(n – 5) + (n – 6) = 72n – 11 = 72n = 18 conclui-se que: n = 9