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Sociedad Mexicana de Ingeniería Geotécnica, A.C. XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C. Teoría del Caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos Chaos theory for determining the fundamental period of soils José Luis GUTIERREZ 1 y Silvia GARCIA 2 1 Estudiante de Posgrado, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Instituto Politécnico Nacional 2 Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México RESUMEN: La técnica propuesta en esta investigación para estimar el periodo natural de vibración en los suelos se basa en conceptos de la Teoría del Caos y usa una de sus herramientas topológicas, los mapas de recurrencia MR, para estudiar la respuesta de los materiales naturales ante la acción de la carga sísmica. Los mapas de recurrencia permiten el reconocimiento y el tratamiento de las aceleraciones medidas desde el punto de vista de la dinámica no lineal. Un Mapa de Recurrencia MR obtenido de datos sísmicos permite una interpretación más eficiente de los movimientos del suelo y la aplicación de esta explicación a la definición de las tendencias de respuesta. Se ofrece una alternativa “natural” para definir el periodo fundamental de los suelos que incrementa el conocimiento y mejora la comprensión de las manifestaciones del fenómeno sísmico. ABSTRACT: The technique proposed in this investigation to estimate the natural period of soils vibrating is based on Chaos Theory concepts and uses one of its topologic tools, the recurrence plots RP, for studying the natural materials response under seismic load. The recurrence plots permit the recognition and treatment of the accelerations measured from the nonlinear dynamics vision. A recurrence plot from seismic data facilitates more efficient interpretation of ground movements and the application of this explanation for defining response trends. In this investigation a "natural" alternative to define the fundamental period of soils is proposed, alternative that increases the knowledge and improves the seismic manifestations understanding. 1 INTRODUCCIÓN Las prácticas actuales en modelado sísmico no resuelven cabalmente las diferencias entre las mediciones de respuesta y su predicción teórica. Uno de los factores responsables de esta peligrosa diferencia es el conocimiento parcial de las características de vibración de los suelos. Entre los parámetros más importantes en el análisis de respuesta del terreno está el periodo fundamental de vibración y la discusión entre la comunidad científica acerca de su naturaleza y el procedimiento para su determinación está aún abierta. En esta investigación se trata de dar solución a cuestionamientos sobre la forma en la que vibran los suelos a través del estudio de las series de tiempo de aceleraciones con herramientas de la dinámica no lineal. Los acelerogramas son tomados como los vectores que contienen los atributos sísmicos más importantes y sin recurrir a su transformación de dominio ni a la aplicación de relaciones conceptuales (entrada + función de transferencia salida) son objeto de examinación topológica. Usando conceptos básicos de la Teoría del Caos y una de sus técnicas de razonamiento de mayor alcance, los mapas de recurrencia MR, se reconstruye la dinámica de los sistemas de suelo respondiendo al paso de las ondas sísmicas. Un MR es una representación visualmente atractiva que auxilia en la búsqueda de correlaciones ocultas entre datos de alta complejidad. A través de la proyección de la serie de tiempo unidimensional en un espacio de dimensión topológica mucho mayor se estudian comportamientos y tendencias que sólo pueden ser descubiertas en la dimensión reconstruida. Con las conclusiones gráficas obtenidas en este trabajo se argumenta sobre la necesidad de reconsiderar el sustento teórico de algunos conceptos sísmicos como las funciones de transferencia, el efecto de sitio, el fenómeno de resonancia y aquellos ítems que involucran las frecuencias de vibración de los suelos.

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Sociedad Mexicana de

Ingeniería Geotécnica, A.C.

XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos

e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

Teoría del Caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos Chaos theory for determining the fundamental period of soils

José Luis GUTIERREZ1 y Silvia GARCIA2

1 Estudiante de Posgrado, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, Instituto Politécnico Nacional 2 Investigador, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

RESUMEN: La técnica propuesta en esta investigación para estimar el periodo natural de vibración en los suelos se basa en conceptos de la Teoría del Caos y usa una de sus herramientas topológicas, los mapas de recurrencia MR, para estudiar la respuesta de los materiales naturales ante la acción de la carga sísmica. Los mapas de recurrencia permiten el reconocimiento y el tratamiento de las aceleraciones medidas desde el punto de vista de la dinámica no lineal. Un Mapa de Recurrencia MR obtenido de datos sísmicos permite una interpretación más eficiente de los movimientos del suelo y la aplicación de esta explicación a la definición de las tendencias de respuesta. Se ofrece una alternativa “natural” para definir el periodo fundamental de los suelos que incrementa el conocimiento y mejora la comprensión de las manifestaciones del fenómeno sísmico.

ABSTRACT: The technique proposed in this investigation to estimate the natural period of soils vibrating is based on Chaos Theory concepts and uses one of its topologic tools, the recurrence plots RP, for studying the natural materials response under seismic load. The recurrence plots permit the recognition and treatment of the accelerations measured from the nonlinear dynamics vision. A recurrence plot from seismic data facilitates more efficient interpretation of ground movements and the application of this explanation for defining response trends. In this investigation a "natural" alternative to define the fundamental period of soils is proposed, alternative that increases the knowledge and improves the seismic manifestations understanding.

1 INTRODUCCIÓN Las prácticas actuales en modelado sísmico no resuelven cabalmente las diferencias entre las mediciones de respuesta y su predicción teórica. Uno de los factores responsables de esta peligrosa diferencia es el conocimiento parcial de las características de vibración de los suelos. Entre los parámetros más importantes en el análisis de respuesta del terreno está el periodo fundamental de vibración y la discusión entre la comunidad científica acerca de su naturaleza y el procedimiento para su determinación está aún abierta.

En esta investigación se trata de dar solución a cuestionamientos sobre la forma en la que vibran los suelos a través del estudio de las series de tiempo de aceleraciones con herramientas de la dinámica no lineal. Los acelerogramas son tomados como los vectores que contienen los atributos sísmicos más importantes y sin recurrir a su transformación de dominio ni a la aplicación de relaciones conceptuales (entrada + función de

transferencia → salida) son objeto de examinación topológica. Usando conceptos básicos de la Teoría del Caos y una de sus técnicas de razonamiento de mayor alcance, los mapas de recurrencia MR, se reconstruye la dinámica de los sistemas de suelo respondiendo al paso de las ondas sísmicas. Un MR es una representación visualmente atractiva que auxilia en la búsqueda de correlaciones ocultas entre datos de alta complejidad. A través de la proyección de la serie de tiempo unidimensional en un espacio de dimensión topológica mucho mayor se estudian comportamientos y tendencias que sólo pueden ser descubiertas en la dimensión reconstruida.

Con las conclusiones gráficas obtenidas en este trabajo se argumenta sobre la necesidad de reconsiderar el sustento teórico de algunos conceptos sísmicos como las funciones de transferencia, el efecto de sitio, el fenómeno de resonancia y aquellos ítems que involucran las frecuencias de vibración de los suelos.

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2 Teoría del caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

2 MAPAS DE RECURRENCIA

Los Mapas de Recurrencia MR son una herramienta para la interpretación cualitativa de series de tiempo que permiten detectar gráficamente patrones ocultos y cambios estructurales en datos (Eckmann, et al., 1987).

Un MR es una representación bi-dimensional de una trayectoria individual que conserva la dependencia temporal y espacial de la serie de tiempo original. Las series de tiempo se expanden hacia las ordenadas y las abscisas y cada punto (i,j) en el plano es coloreado de acuerdo a la distancia entre dos puntos de trayectoria yi y yj . Existen MR “sin frontera” donde el píxel en la posición (i, j) se codifica a color de acuerdo con un valor de distancia mientras que en un MR “con frontera” el píxel (i, j) es negro si la separación está dentro de una franja de valores específica y es blanco cuando la distancia tiene cualquier otro valor. Por ejemplo, para un MR “sin frontera”, si el punto 117 en una trayectoria está a 14 unidades de distancia del punto 9435, el píxel en la posición (117, 9435) tendrá el color que corresponda al valor de espaciamiento igual a 14. El punto (9435,117) se colorea de manera similar aunque los MR no son necesariamente simétricos (Eckmann, et al., 1987).

La figura 1 muestra un MR sin frontera (en lo sucesivo las siglas MR se refieren sólo a mapas de este tipo) generados a partir de diferentes conjuntos de datos: una serie de tiempo derivada del muestreo de la función seno(t), una serie de tiempo del sistema Lorenz y la representación del ruido. El color en estos gráficos va desde amarillos-blanco para espaciamientos muy pequeños hasta azules-negro para distancias muy grandes, como se muestra en las barras de calibración de la figura.

Figura 1.- Descripción grafica de los mapas de recurrencia

El MR de la onda seno es relativamente fácil de comprender; cada uno de los bloques de color representa la mitad del periodo de la señal. El MR de Lorenz (figura 2), que representa un conjunto de datos caóticos, es más complicado a pesar de tener una apariencia estructurada (bloques semejantes a

los de la señal periódica). Esta señal, se sabe, no es periódica, por lo que los elementos estructurales repetidos deben ser explicados y categorizados comparándoles con las geometrías extremas, como las correspondientes al ruido blanco, señal que representa el comportamiento aleatorio y el límite en estructuración nula (figura 2).

Con estos sencillos ejemplos se observa que los MR son visualmente llamativos, favorables en la búsqueda de correlaciones ocultas en datos altamente complicados, no demandan la estacionalidad en las series de tiempo y son particularmente útiles en el análisis de sistemas cuya dinámica podría estar cambiando. Con el uso de los MR y sus estructuras dependientes de tipos de comportamiento, se intenta responder a los cuestionamientos sobre la mecánica del fenómeno sísmico sin involucrar el uso de funcionales prohibitivos.

Los trabajos previos a este respecto están orientados hacia aplicaciones muy concretas y los resultados cuantitativos están sesgados. En esta propuesta metodológica se pretende extender, formalizar y sistematizar el manejo de MR con el propósito de encontrar propiedades cualitativas y cuantitativas útiles en la práctica geotécnica y sísmica.

2.1 Construyendo un mapa de recurrencia En esta sección se apuntan brevemente algunos aspectos básicos de los MR y se describe cómo se genera un MR a partir de un conjunto de datos experimentales. El primer paso en el procedimiento estándar es reconstruir la dinámica por medio de embeber la serie de tiempo uni-dimensional en el espacio de reconstrucción dE-dimensional usando el método del retraso de coordenadas.

Dado un sistema cuya dimensión topológica sea d, el muestreo de una variable de estado individual es equivalente a proyectar la dinámica del espacio de fase d−dimensional hacia uno de los ejes. Embeber es similar a describir esas dinámicas en diferentes ejes. El Teorema de Takens garantiza que la dinámica reconstruida, si está propiamente embebida, es equivalente a la dinámica del verdadero sistema detrás de los datos, en el sentido que los invariantes dinámicos (dimensiones generalizadas y el espectro de Lyapunov, por ejemplo) son idénticos (Packard et al., 1980; Takens, 1981).

El proceso correcto para embeber es sujeto de numerosos trabajos en la literatura y ha generado gran cantidad de argumentos y algoritmos heurísticos para su determinación (Abardanel, 1995). Dentro de este proceso el problema básico es la elección de dos parámetros (el retraso y la dimensión del espacio de reconstrucción) que garanticen el correcto embebimiento de los datos.

series de tiempo, punto i

serie

s de

tiem

po, p

unto

j

MR

(unidades medidas y variables)

MIN

MAX

DISTANCIAS

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GUTIERREZ J. et al. 3

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

Figura 2. Aplicaciones de MR en distintas señales 2.1.1 Embebimiento de Coordenadas Retrasadas Para reconstruir una dinámica se debe contar con los datos experimentales en forma de serie:       𝑋!,𝑋!,… ,𝑋! (1)

La reconstrucción de las coordenadas retrasadas del posible espacio de fase dinámico multidimensional a partir de la variable única observable x está gobernada por dos parámetros, dimensión de embebimiento dE (llamada m en algunos textos técnicos) y tiempo de retraso t. La trayectoria resultante en RdE es:   𝑌!,𝑌!,… ,𝑌! (2) 𝐿𝑜𝑠      𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠    𝑠𝑜𝑛       ∶ 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒    𝑚 = 𝑁 − 𝑑! − 1 𝑡    𝑦    𝑦!=     𝑥! , 𝑥!!! , 𝑥!  !!! ,… , 𝑥!!     !!!! !  para  k   =  1,2,… ,m. Una elección adecuada de dE y τ es crítica en este tipo de reconstrucción y debe realizarse con inteligencia; sólo valores “correctos” de estos dos parámetros generan embebimientos que garantizan ser topológicamente equivalentes a la dinámica del

espacio de fase original (no observado) (Packard et al., 1980; Takens, 1981; Sauer et al., 1991).

Asumiendo que el embebimiento de coordenadas retrasadas es correcto, un MR de una trayectoria reconstruida presenta gran similitud con el MR de su verdadera dinámica. Más aún, se espera que cualquier propiedad de la trayectoria reconstruida inferida a partir de este MR sea propia del verdadero sistema. 2.1.2 Cálculo de las distancias Los MR están basados en las distancias entre puntos por lo que un paso muy importante en su construcción es la elección de la norma D. En este trabajo de investigación se usa la máxima norma (euclidiana) por dos razones: i) su fácil implementación y ii) la diferencia entre la medición más grande y la más pequeña en la serie de tiempo es independiente de la dimensión embebida dE para esta norma en particular, lo que significa que podemos hacer comparaciones directas entre los MR generados usando diferentes valores de dE sin re-escalar los mapas. 2.1.3 Proceso de Construcción: Ejemplo numérico Para expandir la señal 1D a un espacio de fase de M dimensiones, se sustituye cada observación de la señal original 𝑥(!) con el vector 𝑦! =  𝑥! , 𝑥!!! , 𝑥!!!! ,… , 𝑥!! !!! ! donde i es el índice del tiempo, m es la dimensión a la que se embebe y d es el tiempo de retraso. Como resultado se tiene una serie de vectores Y=𝑦!, 𝑦!, 𝑦!,… , 𝑦! !!! ! donde N es la longitud de la serie original. La idea de la reconstrucción es capturar los estados del sistema original en cada una de las salidas observadas. Cada estado desconocido S(t) en el tiempo t se aproxima con un vector de coordenadas retrasadas 𝑦! =  𝑥! , 𝑥!!! , 𝑥!!!! ,… , 𝑥!! !!! !.

Como ejemplo analicemos la serie de tiempo de los precios al cierre de una semana típica en el índice Dow Jones:

9/25/98 8029 10/2/98 7785 10/9/98 7900 10/16/98 8417 10/23/98 8452 10/30/98 8592 11/6/98 8975 … …

Si d = 1 y m = 3, los vectores reconstruidos se definen como:

Y(10/9/98) = {7900, 7785, 8029} Y(10/16/98) = {8417, 7900, 7785} Y(10/23/98) = {8452, 8417, 7900}

SENO

LORENZ

ECG

MOVIMIENTO BROWNIANO

RUIDO BLANCO

MANCHAS SOLARES

Señal MR Mapa de Espacio de Fase

RÖSSLER

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4 Teoría del caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos

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La distancia Euclidiana entre los vectores Y(10/9/98) y Y(10/16/98) es D (Y(10/9/98), Y(10/16/98)) = [(7900-8417)2 + (7785-7900)2 + (8029-7785)2]1/2 = 583.

Usando un código de color dependiente de la distancia máxima entre vectores, el mapa resultante se presenta en la figura 3.

Figura 3. Ejemplo de aplicación

3 DETERMINACIÓN DEL PERIODO FUNDAMENTAL USANDO MR

Los MR obtenidos de acelerogramas registrados durante distintos sismos en diferentes condiciones de suelo tienen una característica intrigante y desconcertante: una marcada similitud estructural en todas las condiciones evaluadas (figura 4). La evolución temporal de las aceleraciones expone áreas blancas y bandas frías (verde / azul en tiras), sello inconfundible de sistemas no estacionarios.

La combinación de tiras verticales y horizontales forma rectángulos donde se localizan las aceleraciones máximas. Esto ocurre en lo que se llama la macro escala. Entonces el fenómeno sísmico en este nivel de análisis no presenta diferencias sustanciales entre suelos ni eventos, pero si se observa a detalle, los rectángulos formados por las tiras verticales (lo que en dinámica no lineal se llama intermitencia) marcan diferencias entre tipos de suelo y algunas particularidades sobre la intensidad sísmica y su repercusión en la trayectoria de respuesta pueden ser detectadas. A continuación se expone brevemente la metodología para estudiar los rectángulos en la intermitencia y cómo, a partir de ellos, podemos determinar el periodo de vibración de los suelos. 3.1 Base de datos En esta investigación se usaron 20 estaciones acelerográficas distribuidas en el valle de México pero por restricciones de espacio aquí se incluyen sólo los resultados para las estaciones AR, SCT, CDAO como ejemplos de estaciones en Zona de Lago; AO y CH para ejemplificar las respuestas en Zonas de Transición y por último CE, UI y CU son los tres sitios elegidos para mostrar el comportamiento de la Zona de Lomas.

Figura 4.- Ejemplos de mapas de recurrencia

JCZona de Lago

TEZona de Lomas

UIZona de Lomas

CHZona  de  Transición  

10.00 cm/s2

12 000

12 00099/06/21

20 000

20 00027.22 cm/s2

30/09/9925.73 cm/s218 000

18 000

95/09/14

2.24 cm/s225 000

25 000

99/06/21

25 000

5.19 cm/s225 000

99/06/21

4.68 cm/s2

10 000

10 000

99/06/21

40 000

40 000

5.60 cm/s2

30/09/99

30 000

35 000 16.33 cm/s2

30/09/99

18 000

18 000 24.29 cm/s2

30/09/99

8.26 cm/s240 000

40 000

95/09/14

15.15 cm/s2

40 000

40 00095/09/14

27.82 cm/s218 000

18 000

95/09/14

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5 Teoría del caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos

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De forma general podemos decir que los sitios ubicados en la cuenca lacustre se conforman de suelos que fueron depositados por el transporte de aire o agua (formaciones de arcilla muy suaves con grandes cantidades de micro-organismos intercaladas por lentes de arena limosa), los de la zona de Lomas son producto de los derrames volcánicos que tuvieron lugar hace millones de años y las estaciones en el tercer tipo (Transición) contienen características de las zonas anteriores pero sin que puedan definirse geometrías características (espesor y longitud de estratos) ni secuencias claras (estratigrafías erráticas, patrón de continuidad nulo).

Como se observa en la figura 5 son los MR de los sitios en zona de Lago los que muestran claras diagonales recurrentes que los califican como sistemas con comportamiento determinista.

Ni la zona sismogénica ni la exacta ubicación en la zona de Lago tienen un efecto sustancial sobre las estructuras deterministas claramente desplegadas en estos MR. Por otro lado, los MR de registros en roca presentan estructuras similares a los movimientos brownianos y sistemas deterministas contaminados con ciertas componentes ruidosas, por ello podemos etiquetarlos como MR de sistemas caóticos o cuasi-periódicos. Los MR sin estructuración que presentan conjuntos de puntos con distribución uniforme son los obtenidos para sitios en transición y pueden ser catalogados como aleatorios o con un alto grado de caoticidad.

Como puede observarse el concepto de vibración armónica y periodo fundamental sólo aplica en los movimientos registrados en Lago. En las zonas de Loma y Transición otros criterios deberían ser empleados para calificar y cuantificar las manifestaciones en superficie.

Figura 5.- MR de algunos ejemplos de patrones periódicos, caóticos y aleatorios.

I(Zona    de  Lomas)

II(Zona  de  Transición)

III(Zona  de  Lago)

Sitio:CU14/09/1995M = 7.3t : 50 s

Sitio:CU30/09/1999M = 7.5t : 80 s

Sitio:UI14/09/1995M = 7.3t : 40 s

Sitio:UI30/09/1999M = 7.5t : 65 s

Sitio:AO14/09/1995

M = 7.3t : 15 s

Sitio:AO21/06/1999

M = 6.0t : 12 s

Sitio:CH14/09/1995

M = 7.3t : 2 s

Sitio:CH21/06/1999

M = 6.0t : 10

Sitio:SCT21/06/1999

M = 6.0t : 30 s

Sitio:SCT19/09/1985

M = 8.1t : 30 s

Sitio:CDAO30/09/1999

M = 7.5t : 30 s

Sitio:CDAO19/09/1985

M = 8.1t : 40 s

ROCA SUEOS BLANDOS

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6 Teoría del caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

3.2 vibración en sistemas deterministas La intermitencia en los suelos blandos permite estudiarlos como un oscilador vibrando donde el período de esta vibración (Tn) puede obtenerse directamente de la observación de los movimientos senoidales y midiendo la distancia, en segundos, entre diagonales (figura 6). Figura 6.- Ejemplos de oscilaciones en zona de Lago para sismos severos

Usando este criterio se determinaron (observaciones de las distancias) los periodos de los sitios en Lago contenidos en la base de datos. Debido a limitaciones de espacio sólo se presentan algunos casos representativos. En las figuras 7, 8 y 9 se muestran los rectángulos de intermitencia para ambas direcciones, los espacios medidos entre diagonales, las características de dimensionalidad y el comparativo entre el periodo obtenido de la vibración armónica y aquel recomendado en el reglamento (NTC, RCDF). Una importante conclusión de estas evaluaciones es el efecto que la intensidad símica tiene sobre el valor de Tn. Los periodos cambian para el sismo más intenso si se comparan con las distancias medidas en los sismos menores. Parece que el periodo de reglamento se acerca al “natural”, aquel obtenido de la vibración de los suelos bajo cargas severas, pero en ningún sitio resulta plenamente coincidente.

Tomando en cuenta la información contenida en las tablas comparativas se aprecia que el periodo fundamental calculado con mapas de recurrencia MR tiende a estar por encima del recomendado por el RCDF, situación particularmente importante en el diseño antisísmico del valle.

CONCLUSIONES

La técnica de mapas de recurrencia MR representa una atractiva alternativa para estimar el periodo

natural de vibración en los suelos. Los MR permiten el reconocimiento y el tratamiento de las aceleraciones medidas desde el punto de vista de la dinámica no lineal y generan interpretaciones más eficientes de los movimientos del suelo.

La lectura de las aceleraciones en un MR es muy simple y directa. Las conclusiones sobre las trayectorias son fácilmente traducidas a situaciones ingenieriles. Esta simplicidad y practicidad son útiles no sólo cuando se requiere un cálculo rápido del periodo fundamental (o predicción bajo condiciones de carga específicas), sino cuando se intenta dar explicación científica a respuestas registradas distintas a las pronosticadas por modelos de análisis convencionales.

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Site:CDAO30/09/1999

M = 7.5

Site:CDAO19/09/1985

M = 8.1

Site:SCT21/06/1999

M = 6.0

Site:SCT19/09/1985

M = 8.1

Tn= 2.20 s Tn= 2.18 s

Tn= 3.30 s Tn= 3.27 s

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GUTIERREZ J. et al. 7

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8 Teoría del caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

Figura 7.- Ejemplos de cálculo de periodo natural con MR, sitio Aragón

Sitio:AR31/05/1990Tn=1.25s

Componente:H1

Sitio:AR31/05/1990Tn=1.25s

Componente:H2

Sitio:AR23/05/1994Tn=1.8s

Componente:H1

Sitio:AR23/05/1994Tn=1.85s

componente:H2

Sitio:AR09/10/1995Tn=3.7s

Componente:H1

Sitio:AR09/10/1995Tn=4.6s

Componente:H2

sitio sismo Dimensión embebida retraso Periodo

Fundamental P.F. (reglamento)

H1 H2 H1 H2 H1 H2

AR 31/05/1990 9 8 40 36 1.25 1.25

3.6 23/05/1994 10 10 23 22 1.8 1.85

09/10/1995 8 10 73 66 3.7 4.6

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GUTIERREZ J. et al. 9

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Figura 8.- Ejemplos de cálculo de periodo natural con MR, sitio Central de Abastos Oficinas

Sitio:CDAO12/10/1995

Tn=3sComponente:H1

Sitio:CDAO12/10/1995Tn=3.06s

Componente:H2

Sitio:CDAO25/02/1996Tn=2.78s

Componente:H1

Sitio:CDAO25/02/1996Tn=2.8s

Componente:H2

Sitio:CDAO30/04/1986Tn=3.53s

Componente:H1

Sitio:CDAO30/04/1986Tn=3.15s

Componente:H2

sitio sismo Dimensión embebida retraso Periodo

Fundamental P.F. (reglamento)

H1 H2 H1 H2 H1 H2

CDAO 12/10/1995 9 10 62 39 3.0 3.06

2.75 25/02/1996 10 10 37 56 2.78 2.80 30/04/1986 10 10 27 20 3.53 3.15

Page 10: Teoría del Caos en la determinación del periodo ... · 2 Teoría del caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA,

10 Teoría del caos en la determinación del periodo fundamental de los suelos

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.

Figura 9.- Ejemplos de cálculo de periodo natural con MR, sitio Secretaría de Comunicaciones y Transportes

Sitio:SCT24/10/1993Tn=1.76s

Componente:H1

Sitio:SCT24/10/1993Tn=1.76s

Componente:H2

Sitio:SCT22/05/1997Tn=1.67s

Componente:H1

Sitio:SCT22/05/1997Tn=1.94s

Componente:H2

Sitio:SCT20/04/1998Tn=0.77s

Componente:H1

Sitio:SCT20/04/1998Tn=1.65s

Componente:H2

sitio sismo Dimensión embebida retraso Periodo

Fundamental P.F. (reglamento)

H1 H2 H1 H2 H1 H2

SCT 24/10/1993 10 7 44 43 1.76 1.76

1.80 22/05/1997 7 8 29 30 1.67 1.94 20/04/1998 8 6 18 20 0.77* 1.65