teoria de conjuntos

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais (PUC/Minas) Curso de Sistemas de Informação. Disciplina: Fundamentos Matemáticos para Computação

Teoria dos Conjuntos Pode-se dizer que a Teoria dos Conjuntos é em grande parte trabalho de um único matemático: Georg Cantor (1845-1918).

• A noção de conjunto uma noção primitiva., não depende de outras noções mais simples

• É de fundamental importância para várias áreas da ciência da computação: o Teoria dos Números o Lógica o Banco de Dados, etc

Conceitos Básicos

• Conjunto – Notação: Letras Maiúsculas o A, B, C ... X, Y, Z

o Um conjunto é uma coleção bem definida de entidades ou objetos

(chamados de membros ou elementos do conjunto), considerados globalmente e que pode ser identificada.

o Ou, “coleção não-ordenada de objetos”. Exemplos:

• Conjunto de livros na biblioteca (conj. finito) • Conjunto dos números naturais (conj. infinito) • Conjunto de cães falantes (conj. vazio, {}, Ø) • Conjunto de dois elementos, Conjunto de alunos e carteiras

da sala. o Conjuntos normalmente são observados como tendo características em

comum, mas isto não é necessário Exemplo: {mesa, cão, lua} é um conjunto

• Elemento – Notação: letras minúsculas

o a, b, c, .... x, y, z o A = {a, b, c} o Os objetos que constituem um conjunto denominam-se elementos do

conjunto. Exemplos:

• Memórias póstumas de Brás Cubas é um elemento do conjunto de livros da Biblioteca

• 1 é um elemento do conjunto dos Números Naturais. • 3 é elemento do conjunto solução da equação 3x–9=0


• Pertinência – Notação: ∈ o Uma relação fundamental em conjuntos é a de um elemento ser ou não

membro de um conjunto, ou seja pertencer aquele conjunto, ou ainda, se o elemento x possui o predicado P.

x ∈ X

o Se o elemento x não pertence ao conjunto, denota-se por ∉ que também pode ser equivalente a dizer que x não está no conjunto, ou ainda que x não possui o predicado P

x ∉ X

ou ¬(x ∈ X) = x ∉ X

• Conjunto Universo – Notação: U o Chama-se Conjunto Universo ou simplesmente Universo de uma Teoria a

todos os entes que são considerados como elementos nesta Teoria. Exemplo: em geometria o Universo é o conjunto de todos os

pontos possíveis. o Muitas vezes a noção de conjunto e elementos pode ser relativa o um

conjunto completo pode ser apenas um elemento em outro conjunto. Exemplo : Uma reta é um elemento do conjunto de todas as

possíveis retas, mas também é um conjunto de pontos. Características dos Conjuntos A ordem em que os elementos são listados em um conjunto é irrelevante: {3, 2,

1} = {1, 2, 3}. A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante: {1, 1, 1, 3, 2, 2} = {1,

2, 3}.

Formas de se descrever um Conjunto De maneira explícita: A={água, terra, fogo, ar} Indicando um padrão: (normalmente para conjuntos infinitos)

o P={2, 4, 6, 8, ...} Por recursão:

1. 2 ∈ S

2. Se n ∈ S, então (n+2) ∈ S Através de uma propriedade que os elementos do conjunto tenham em comum:

(usa-se um predicado P(x) para denotar a propriedade P referente a uma variável x)

o S = {x | P(x)}


o ∀x (x ∈ S ^ P(x)) Exemplos:

• A = {x | x é um inteiro e 4 < x < 9} • S = {x | x é solução para x2 – 4 = 0}

Diagramas de Venn

o Como forma de facilitar o entendimento de certas definições e demonstrações da Teoria dos Conjuntos é útil a representação de um conjunto por um recinto plano delimitado por uma linha fechada qualquer não entrelaçada.

o Os elementos do conjuntos são os pontos internos ao recinto, enquanto os elementos que não pertencem ao conjunto são pontos externos ao recinto.

a2 ∉ A

A

a1 ∈ A

U

Conjuntos Especiais o N: conjunto dos números naturais: {1, 2, 3, ...} o Z: conjunto dos números inteiros: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} o Z*: conjunto dos números inteiros positivos {1, 2, 3, ...}

o Q: conjunto dos números racionais: {x|x=n/m, m, n ∈ Z ^ m ≠ 0} o R: conjunto dos números reais: {x | x é um número real}

o C: Conjunto dos números complexos. {x | x=a + bi, a ∈ R, b ∈ R, e i = √ -1

Propriedades dos Conjuntos Igualdade de Conjuntos

o Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se todo elemento de A pertence também a B e todo elemento de B pertencer a A.

A=B ↔ ∀x ((x∈A→ x∈B) ^ (x∈B → x∈A)) Desigualdade de Conjuntos


Se existe elemento de A que não pertence a B ou existe elemento de B que não

pertence a A, então diz se que A não é igual a B.

o A≠B ↔ ∃x ((x∈A ^ x∉B) ∨ (x∉ A ^ x∈ B))

Subconjuntos o O conjunto A é dito um subconjunto de B se e somente se todo elemento

de A é também um elemento de B.

A⊆B ↔ ∀x (x∈A→ x∈B) o Diz-se que A está contido em B. o Se A não está contido em B, escreve-se A ⊄ B

o Obs: {1} ⊆ {1, 2} ({1} está contido no conjunto {1, 2} ) mas 1 ∈ {1, 2} ( 1 pertence ao conjunto {1, 2}, e não está incluso nele) Somente subconjuntos podem estar incluídos ou ser subconjuntos de outros

• Subconjunto Próprio

o Se A é um subconjunto de B, mas quer-se enfatizar que A ≠ B, escrevemos A⊂ B e dizemos que A é um subconjunto próprio de B.

A ⊂ B ↔ ∀x (x∈A→ x∈B) ^ ∃x (x∉ A ^ x∈ B) A ⊆ B ^ A ≠ B

• Subconjuntos (Exemplos)

o Sejam os conjuntos: A={1, 7, 9, 15} B={7, 9} C={7, 9, 15, 20}

B ⊆ C 15 ∈ C B ⊆ A {7, 9} ⊆ B B ⊂ A {7} ⊂ A

o Seja A um conjunto e seja B={A,{A}}

A ∈ B e {A} ∈ B {A} ⊆ B e {{A}} ⊆ B A ⊄ B A ≠ {A}

• Subconjuntos (Propriedades)

o Reflexiva: A ⊆ A

o Transitiva: (A ⊆ B) ^ (B ⊆ C) → (A ⊆ C)


Conjuntos Especiais • Conjunto Vazio:

o Um conjunto que não contenha nenhum elemento é chamado de Conjunto Vazio - ∅.

o O conjunto vazio está contido (é subconjunto de qualquer conjunto). • Conjunto Potência:

o Dado qualquer conjunto A, sabemos que o conjunto vazio e o conjunto A são ambos subconjuntos de A.

o Podemos definir TODOS os subconjuntos de A da seguinte forma: o Para um conjunto A, o conjunto formado por todos os subconjuntos de A

é chamado de Conjunto Potência de A. o É denotado por 2A, ou P(A), ou ainda ρ(A)

Exemplo: Seja A={1,2,3}. Então P(A) consiste de todos os subconjuntos de A;

• P(A)={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2, 3}} • Obs.: Se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos. •

Operações sobre Conjuntos • UNIÃO:

o Se A e B são conjuntos, a união de A e B, denotada por A U B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A, ou em B, ou em ambos: A ∪ B = ∀x(x∈A v x∈B)

U BA ∪ B

A

• INTERSEÇÃO: o Se A e B são conjuntos, a interseção de A e B, denotada por A � B, é o

conjunto que contém aqueles elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo: A ∩ B = x(x∈A ^ x∈B)

U B

A ∩ B

A


• DIFERENÇA:

o Se A e B são conjuntos, a diferença de A e B, denotada por A - B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão em A mas não estão em B: A - B = x(x�A ^ x�B)

Exemplo: A = {1,2,3} B = {1,2} A-B={3} , B-A=∅ Obs: A diferença de conjuntos não é comutativa

• COMPLEMENTO:

o Se U é o conjunto Universo, U-A é chamado de complemento de A e é denotado por Â ou A: Â = U - A = x(x�U ^ x�A)

A − B

Â

U

A

U BA

• PRODUTO CARTESIANO: o O produto cartesiano de dois conjuntos é o conjunto de todos os pares

ordenados dos elementos do primeiro conjunto que pode-se formar com os elementos do segundo conjunto.

o Definição: Supondo-se A e B serem conjuntos de um Universo U. O Produto Cartesiano de A e B é denotado por AxB e definido por: AxB={(x,y) | (x�A ^ y�B)

o Exemplo: Dados os conjuntos X={a,b} e Y={1,2}, o produto cartesiano de

XxY é: XxY={(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)}


Modelo Boleano Clássico de Conjuntos As 8 possíveis relações entre os conjuntos A, B e C Região Relacionamento

∩ ∩ A B C 1 ∩ ∩ A B C 2 ∩ ∩ B A C 3 ∩ ∩ B C A 4 ∩ ∩ C A B 5 ∩ ∩ A C 6 B ∩ ∩ A B C 7 ∩ ∩ A B C 8


Propriedades das operações sobre conjuntos:

o Comutatividade: A �B = B �A A �B = B �A

o Associatividade: A �(B �C) = (A �B) �C A �(B �C) = (A �B) �C

o Distributividade: A �(B �C) = (A �B) �(A �C) A �(B �C) = (A �B) �(A �C)

o Idempotência (Reflexão) A �A = A A �A = A

o Complemento do Complemento A = A

o Leis de De Morgan (A �B) = A �B (A �B) = A �B

o Propriedades do Complemento: (Â) = A A �Â = U A �Â = �

o Propriedades de Elemento Neutro A ��= A A �U = A

o Propriedade do Elemento Nulo para a Interseção A �� = �

Exemplo: Sejam A, B e C conjuntos. Mostre que: A �(B �C) = (C �B) �A Os Números Naturais

• Conjunto bastante conhecido, freqüentemente utilizado para contar elementos e objetos;

• Esta utilização permite a definição da noção de similaridade ou equipotência de dois conjuntos e também do conceito de Número Cardinal de um conjunto.

Cardinalidade de Conjuntos

• Contagem de Conjuntos o O que devemos fazer neste caso é estabelecer uma correspondência de

um-para-um entre os objetos a serem contados e o conjunto dos naturais. o Definição: Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes (ou equivalentes,

ou possuindo a mesma cardinalidade), e denotados por A ~ B, se e


somente se existir uma correspondência de um-para-um entre os elementos de A e os elementos de B. Exemplo: Mostre que os números naturais N e os números naturais

pares P tem a mesma cardinalidade. • Para cada elemento n de N, corresponderá o elemento 2x

dos números pares. Assim, podemos estabelecer a correspondência de um-para-um entre os dois conjuntos e portanto N ~ P.

• Note entretanto que P � N. o Definição: Um conjunto A é dito finito se ele tem n elementos distintos

onde n � N. O número n chama se número cardinal de A e escreve-se: n(A) = n ou |A| = n

Exemplo: Seja o conjunto dos inteiros positivos ímpares menor do que 10.

|A|=5

qualquer conjunto que não seja finito é chamado de infinito

o Definição: Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos números naturais é chamado de enumerável.

Pergunta: E o Conjunto dos números reais???

o Definição: Um conjunto que seja infinito e não-enumerável é chamado

incomensurável.

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