teoria de coinjuntos
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This his a summary on the basics of elementary set theory. It will benefit anyone who had forgotten the basic ideas on set theory. The fundamental concepts of sets are presented precisely. Operations on set are explained and there application exercises shown.TRANSCRIPT
Teoria de conjuntosConceitos básicos
Relações entre conjuntos
Operações com conjuntos
Resolução de problemas
I. CONCEITOS BÁSICOS
Conjunto: agrupamento/colecção de objectos/indivíduos.
Exemplo: - conjunto das vogais do alfabeto.
- conjunto dos rios de Moçambique.
- conjunto dos números ímpares positivos
- conjunto das equipas do moçambola
Elemento: cada mebro/objecto que forma o conjunto.
Exemplo: - segunda-feira pertence ao conjunto dos dias da semana.
- 1 pertence ao conjunto dos números ímpares positivos
- O Armando pertence ao conjunto dos alunos da turma da 10ª A.
Teoria de conjuntos
Designação de um conjunto
• Os conjuntos indicam-se, geralmente, por letras maiúsculas: A, B, C, …
• Os elementos são, em geral, indicados por letras minúsculas: a, b, c, …
Exemplos:
, ,
vogais do alfabeto português
Bairros da cidade da Matola
A a b c
V
D
Teoria de conjuntos
Representação de conjuntos
1. Em chavetas
2. Em diagrama de Venn
Exemplo: , ,A a b c
Exemplo:
Relação de pertença
Seja A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos:
Para indicar que x não é elemento de A, escrevemos: .
Ax
Ax
Teoria de conjuntos
Definiação de um conjunto
Um conjunto define-se de duas formas:
1. por extensão: enumera-se/cita-se/escreve-se os elementos do conjunto.
Exemplos:
2. Por compreensão: indica-se uma característica comum dos elementos ou um padrão.
Exemplos:
, , , ,
Maputo,Sofala,Nampula
4,5,6
V a e i o u
M
B
| é vogal
| é província de Mocambique
| é um número inteiro maior que 3 e menor que 7
V x x
M x x
B x x
Teoria de conjuntos
Cardinal de um conjunto
O cardinal de um conjunto é o número de elementos que um conjunto possui, e denota-se por #A ou n(A).
Exemplo:
Determine o cardinal de cada um dos seguintes conjuntos:
a) V = {a, e, i, o, u}
b) A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
Teoria de conjuntos
Conjunto vazio e conjunto singular
1. Conjunto vazio: não possui elemento algum, e representa-se por Ø ou {}.
Exemplo: A = {x| x é um homem que vive no sol} → n(A) = 0.
→ n(B) = 0.
2. Conjunto singular ou unitário: possui um único elemento.
Exemplo: A = {x ϵ IN| x é um número primo e par} → n(A) = 1.
B = {x ϵ IN: x + 2 = 5} → n(B) = 1.
2B = { IN : 0}x x
Teoria de conjuntos
Conjunto finito e conjunto infinito
1. Conjunto finito: quando é possível contar os seus elemento e terminar a
contagem.
Exemplo: - A = {x| x é um homem que vive no sol}
- D = {1,2,4,8}
- M = {0,1,2,3,…,500}
2. Conjunto infinito: apresenta uma quantidade ilimitada de elementos.
Exemplo: - o conjunto dos números inteiros →{…-3,-2,-1,0,1,2,3,…} .
- o conjunto dos números reais → ]0;1[
Teoria de conjuntos
II. RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
1. Conjunto universal
Conjunto univ ersal ou Universo de um conjunto: conjunto de todos oselementos que sao considerados num determinado estudo, designadogeralmente por U.
Exemplo:
Teoria de conjuntos
• No estudo dos alunos da Willow, o Universo é o conjunto formado por todos os alunos da Willow;
• Se procuramos as soluções reais de uma equação, o Universo é o conjunto dos números reais (IR).
2. Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais se, cada elemento do conjunto A for, também, elemento do conjunto B, e vice-versa.
Exemplos:
Teoria de conjuntos
• A = {2, 4, 6, 8} e B = {8, 4, 2, 6} → A = B, porque ambos conjuntos têm os mesmos elementos.
• , porque tem os mesmos elementos.
•
2B = { : 0} e C {0;1} B Cx x x
{1, 3, 5, 7, ...} { | é inteiro, positivo e ímpar}x x
A repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo
inútil pois, por exemplo: {a, b, d} = {a, a, b, b, b, d}.
Se A não é igual a B, escrevemos .
Teoria de conjuntos
A B
3. Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
Representa-se e lê-se “A é subconjunto de B”
ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”.
Exemplo:
Teoria de conjuntos
A B
Sinal de inclusão " "
a, b a, b, c, d
1 1, 2
a, b a, b
| é inteiro e par | é inteirox x x x
Exemplo:
Seja A = {a,b}, B = {a,b,c}, e C = {a,d}. Qual das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa? Justifique.
a) b) c) d)
Resolução
a) F → porque c pertence a B mas não pertence a A.
b) V → porque todo elemento de A e também elemento de B.
c) F → porque d pertence a C mas não pertence a B.
d) F → porque d pertence a C mas não pertence a B.
B A A B C B C A
Teoria de conjuntos
- Quando também podemos escrever , que se lê “B contém A”.
- Usamos a notação , para indicar que A não é subconjunto de B.
Exemplo:
A B B A
"A B"
a, b, c b, c, d, e
a, b c, d, e
| é inteiro e par | é inteiro e primox x x x
Teoria de conjuntos
Conjunto das partes de A
Ao conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A,
chama-se conjunto das partes de A e indica-se por P(A).
Exemplo:
• O cardinal de P(A), ou seja, o número de subconjuntos de um conjunto A, é dado pela formula, , onde n é o número de elementos de A.
Teoria de conjuntos
1. Se A 1 , então P A ,{1}
2. Se A 1,2 , então P A ,{1},{2},{1,2}
3. Se A 1,2,3 , então P A ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}
#P 2nA
Propriedades da inclusão
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, temos:
1. A
2. A A propriedade reflexiva
3. Se A B e B A, então A B propriedade anti-simétrica
4. A B e B C, então A C propriedade transitiva
5. O número de subconjuntos de um conjunto com elementos é 2 .nn
Teoria de conjuntos
1. Reunião de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Denota-se por e lê-se “A reunião B”. Simbolicamente, escreve-se
Exemplo:
Teoria de conjuntosII. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
A B
A B | A ou Bx x x
Se A { , , , } e B { , , , }, então
A B { , , , } { , , , } { , , , , , }
a b c d a c e f
a b c d a c e f a b c d e f
Exercício
Determine a reunião de cada par de conjuntos seguintes.
a) A = {a, b, c, d, e, f};
B = {a, d, g, h}
b) C = {1, 3, 5, 7, 9};
D = {1, 3, 5}
b) E = {x, y, z};
F = {m, n, p, k}
Teoria de conjuntosResolução
Propriedades da Reunião
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
Teoria de conjuntos
1. A A A Idempotência
2. A B B A Comutativa
3. A B C A B C Associativa
4. A A Elemento neutro
5. A U U
Teoria de conjuntos2. Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem, simultaneamente, a A também a B. Denota-se por e lê-se “A intersecção com B”. Simbolicamente, escreve-se
Exemplo:
A B
A B | A e Bx x x
Se A { , , , } e B { , , , },
então, A B { , , , } { , , , } { , }
a b c d a c e f
a b c d a c e f a c
Exercício
Determine a intersecção de cada par de conjuntos seguintes.
a) A = {a, b, c, d, e, f};
B = {a, d, g, h}
b) C = {1, 3, 5, 7, 9};
D = {1, 3, 5}
b) E = {x, y, z};
F = {m, n, p, k}
Teoria de conjuntosResolução
Conjuntos disjuntos
Quando , isto é, quando os conjuntos A e B não têm elemento comum, A e B dizem-se disjuntos.
Exemplo:
Resolução:
Teoria de conjuntos
A B
Seja A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7} então . Assim os conjuntos A e B são disjuntos.
A B
Propriedades da intersecção
Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
Teoria de conjuntos
1. A A A Idempotência
2. A B B A Comutativa
3. A B C A B C Associativa
4. A U A Elemento neutro
5. A
Leis distributivas
Sejam A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 6} e C = {1, 2, 5, 7}. Determine os seguintes conjuntos e compare-os.
a) A ∩ B ∪ C e A ∩ B ∪ A ∩ C
b) A ∪ B ∩ C e A ∪ B ∩ A ∪ C
Resolução:
Teoria de conjuntos
3. Diferença de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjuntoformado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Representa-se por A – B ou A\B e lê-se “A menos B”.
Simbolicamente,A − B = 𝑥 𝑥 ∈ A e 𝑥 ∉ B}
Exemplo:
Sejam A = {a, b, c}, B = {b, c, d, e}, C = {b, c}, D = {c, d, e, f}, E ={a, b} e
F = {a, b, c, d, e}. Determine:
a) A – B b) A – C c) E – D d) E – F
Teoria de conjuntos
4. Complementar de um conjunto
Chama-se complementar de A, o conjunto de elementos de U que não pertencem a A e denota-se por “ A” ou “Ac”.
Simbolicamente,
A = 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑈 e 𝑥 ∉ A .
Exemplo:
Seja U = {3, 4, 5, 7, 8, 9, a, b} e A = {a, 3, 7, 9}.
Determine:
a) A b) A ∪ A c) A ∩ A d) A
Teoria de conjuntos
AA A
Problemas concretos da vida real
Os problemas sobre os quais se aplicam a Teoria de conjuntos,
geralmente, tomam as formas seguintes:
1. É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões
ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado
dele.
2. É dada a proporção ou percentagem de alguns subconjuntos de algum
conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.
A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn,
marcando-se em cada área o número (ou percentagem) de elementos,
começando-se sempre do mais interno para o mais externo.
Teoria de conjuntos
Exemplo:Numa turma de 36 alunos, 24 gostam de Matemática e 18 de Português. Quantos alunos gostam de Matemática e Português?
Resolução:
Teoria de conjuntos
Exemplo:
Em uma cidade, 15% da população foi exposta ao Antrax, 20% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 77% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Que percentagem população foi expostas a Antrax e Peste Bubônica?
Resolução:
Teoria de conjuntos
Problema – Tarefa em grupo
Em 2014, os alunos da Willow tiveram como opções curriculares “ o currículoCambridge” e “o currículo Nacional”. Sabe-se que todos os alunos escolherampelo menos um dos dois currículos. O número de alunos que optou peloCambridge foi 114, o número de alunos que optou pelo Nacional foi 228 e onúmero de alunos que optou por ambos currículos foi 80.
a) Quantos alunos teve a Willow naquele ano?
b) Quantos alunos optaram pelo currículo Cambridge, somente?
c) Quantos alunos optaram apenas, pelo currículo Nacional?
d) Quantos alunos optaram por um só currículo?
Teoria de conjuntos