teoria das cÉlulas de mÚltiplas passagens
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NOTA TÉCNICAN T - 004/83
04.^5.1983
TEORIA DAS CÉLULAS DE MÚLTIPLAS PASSAGENS
por
Rudimar Riva
Ctntro Técnico AwxtpoctolInstituto d* Ettudoo Avonçodot
Rodovlo dot Tomoloi, Km òfi12.200-Soo Jos# dot Compot-SP
Bretil
RESUMO
—«££ •»
Apresentamos uma revisão dos principais conceitos envolvidos nas
células de multi£las_passagens não astigmãticas.>cMostraste que esses conceitos podem ser extendidos para cavidades
em anel» onde a análise da propagação de raios 'na aproximação paraxial) e
efetuada em dois planos distintos. Aplicam»* os conceitos desenvolvidos
para uma cavidade em anel simples (um espelho curvo e dois planos),mostrando
que o padrão formado pelas projeções do raio nos espelhos i o das Figuras
de Lissajous, que permitem um melhor aproveitamento da área do espelho e
conseqüentemente um numero maior de passagensv<A cavidade tem aplicações em linhas de atraso Ótico, medidas de
refletividade de espelhos com alta refletividade e possivelmente em giros- ' L "~
cõpios do tipo passivo.
ABSTRACT
A review of the main concepts envolved in non astigmatic
multiple passes cells is presented.^
It is shown that these concepts can be extended to ring cavities
in which the analysis of the ray propagation (in the paraxial approaching)
in two separated plans is accomplished. The concepts developed are applyed
to a simple ring cavity (one curve mirror and two plane ones) showing that
the acquired pattern of the rays on the mirrors is the one of a Lissajours
figure which allows a better use of the mirror's area and consequently a
larger number of passes,y
''The cavity has applications in optical delay lines, measurements
of mirrors reflectivities and possibly in passive optical gyroscopes.
ÍNDICE
1 - LISTA DE FIGURAS H
2 -INTRODUÇÃO 1
3 - TEORIA DAS CAVIDADES DE MÚLTIPLAS PASSAGENS 1
4 - CÉLULA DE MÚLTIPLAS PASSAGENS EM ANEL 5
5 - ESCOLHA DA CAVIDADE 9
6 - APLICAÇÕES 10
7 - APÊNDICE 11
8 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 14
9 - FIGURAS (CONFORME "LISTA DE FIGURAS" CEm seqüência) IS a 26
ill
LISTA DE FIGURAS
N9 TÍTULO PAGINA
1 Propagação do raio em uma CMP com 6 passagens. 15
2 Seqüência de lentes equivalente i uma cavidade com
dois espelhos iguais (f.-f• " •»• )• A linha tracejada
representa o plano de entrada. • 15
3 Projeções do raio no plano dos espelhos. 16
4 Arranjo das projeções do raio no plano dos espelhos
(El ou E 2 ) . 16
5 Casamento de modos de um feixe gaussiano utilizando
uma lente. 17
6 Métodos de injeção do feixe em uma CMP. 17
7 CMP en anel. 18
8 Seqüência de lentes equivalente ã cavidade em anel. 18
9 Projeções do raio no espelho curvo de uma CMP em anel
com N-21 passagens, Kx • 3 e ky « 2. Os pontos marca_
dos com p.r sao os pontos de retorno. 19
10 Projeções do raio no espelho curvo de uma CMP em anel
com N • 21 passagens, kx • 5, ky • 10. 20
11 Variação dos parâmetros da cavidade (B e 40 em função
das freqUências 0 e 0 . 21x y
12 Taxa de variação das freqUências 0 e 0 em relação dos
parâmetros da cavidade. 22
13 Astigmatismo da cavidade em função das freqUsncias
V ey ' 23
14 Diâmetro da cintura do feixe gaussíano nos planos sagí_
tal e tangencial em função das freqUências 0 e 0 . 24
15 Seqüência das projeções do raio no plano dos espelhos
para uma CMP em anel com N • 21 passagens, kx • 4,
ky - 3. 25
16 Propagação do raio (uma dimensão) em uma seqUência
periódica de lentes, igualmente espaçadas. 26
INTRODUÇÃO:
Em 1963, Herriot ei Allis (1), utilizando a teoria desenvolvida
por Pierce (2), estudaram pela primeira vez a célula de múltiplas passa
gens para aplicações óticas.
Nesta nota técnica extendeoos os conceitos das células de mui
tiplas passagens com dois espelhos não astigmãticos para uma cavidade em
anel.
Devido ao astigmatismo, inerente às cavidades em anel, faz-se
necessário analisar a propagação de raios (na aproximação paraxial) em
dois planos distintos (3).
E possível construir uma cavidade astigmãtica com dois espelhos
somente (A), entretanto a cavidade em anel pode ser utilizada em giroscõ
pios do tipo passivo.
Apresentamos inicialmente uma revisão dos conceitos básicos das
células de múltiplas passagens.
Esses conceitos são utilizados na segunda parte deste trabalho
na análise de uma cavidade em anel
São apresentados também, alguns resultados numéricos derivados
da análise efetuada nas cavidades em anel, com os quais pode-se escolher
a cavidade adequada.
Na última seção mostramos algumas das possíveis aplicações das
células de múltipla passagem.
1. TEORIA DAS CAVIDADES DE MÜLTIPLAS PASSAGENS
En uma célula de múltiplas passagens (CMP), o caminho ótico é
muitas vezes maior que a distância entre os espelhos da cavidade. Quando
um feixe de luz entra em um interferômetro, do tipo Fabry-Perot com esp£
lhos esféricos,desalinhados em relação do eixo ótico, observa-se um "free
spectral range" correspondente a um espaçamento entre os espelhos, muito
maior que a distância que os separa.
0 raio luminoso é refletido várias vezes em pontos diferentes
do espelho e sob certas condições pode retornar ao ponto de origem (FIG.-l)
Como exemplo de uma CMP, analisamos uma cavidade simples, cons ti
tuida por dois espelhos esféricos com iguais raios de curvatura. Utiliza
mos no estudo da propagaçlo de raios pela cavidade a aproximação paraxial.
Sendo os dois espelhos iguais, a seqUência de lentes equivalente
à cavidade é composta simplesmente por lentes de igual distância focaiR •»
£ " —o" separadas por L (distancia entre espelhos; (FIG.-2).A matriz ABCD para esta seqüência de lentes é dada por (5):
M -
1J 1 -
Um raio propagando-se pelo sistema tem coordenada rn (distância
do raio ao eixo õtico do sistema (Ver apêncide A.I).
r n. r,max sen (̂ 6 • (1)
onde:
cos e
Ctg(o) - 1 -,1/2
(2)
(3)
R
rmax m ,ro•en (a)
(4)
Com ro , r'o sendo a coordenada e a inclinação inicial do raio,
respectivamente. (0 subíndice n se refere a n-ésima passagem do raio
pelo sistema õtico).
Utilizando o sistema de coordenadas cartesíanas, com origem no
eixo ótico da cavidade, podemos descrever a projeção do raio no plano dos
espelhos (FIG.-3).
Se o raio ro (inicial) se encontra no espelho El, então para
todo n par retornará a esse espelho.
Como as coordenadas x , y do sistema de coordenadas cartesia
nas são independentes» temos:
xn » \ax sen (n0 + ox) (5)
yn - max sem (n© + oy) (6)
tg(ox) .Cl-Cl-i)2") 1' 2 O)
x'o Lx5 R
tg(ay)
y« *
senoy(10)
xmax • yn»ax r e P r e 8 e n t a o a «ãxi"* excursão do raio nos eixos x e y exo, x*o, yo e y'o se referem as coordenadas do raio inicial
A freqüência angular e está definida por (2) e quando
Ne - 2 * J (N,J são inteiros) (11)
Temos xn - xo e yn - yQOu seja, o raio apôs efetuar M passagens pelo sistema Stico
retorna ao ponto de origem. Essa 5 a "condição reentrante" definida por
Herriot (1).
As projeções do raio, no limite das cavidades estáveis
r * e > •y(A + D ) < l ) v f ornam no plano dos espelhos da
cavidade uma elipse com semi-eixos *máx e ya2x, que depeniem das coordena
das iniciais do raio.
6 sempre possível, ajustar as condições iniciais de forma a ter_
mos:xmax - ymax - r (12)
ox - oy ± — (ou tan(ox). tan(ay) - - 1) (13)
Neste caso as projeções do raio são dadas por
*n - r sen(ne) (14)
yn « r cos (n6) (15)
que representam na forma parametrica a equação de um circulo de raio r .
Em cada um dos espelhos da cavidade os pontos (projeções do
raio) estão separados por uma distância angular 20. (FIG.-4). A matriz
ABCD transfere o raio de um espelho para o outro em cada passagem deste
pelo sistema que é composto apenas por uma lente e uma distância.
0 feixe de luz injetado em uma CMP deve ser "adaptado" (mode
matching) aos modos naturais da cavidade (dimensão do feixe gaussiano).
Para um sistema ótico estável representado por uma matriz de
transferencia de raios ABCD o diâmetro da cintura do feixe gaussiano
(2wo) e a distância da cintura do feixe ao plano de entrada do sistema
ótico Z são dados por f*5 J :
2 1/2
« 2 X 4 - ( A • D y (16)
2* C
( A - D2 C (17)
(X e o comprimento de onda do feixe luminoso ) .
0 diâmetro do feixe gaussiano em qualquer ponto dentro da
cavidade, seu raio de curvatura e outros parâmetros, podem ser calcula
dos conhecendo-se Wo e Zwo f5"] .
O casamento de modos do feixe injetado e da cavidade é obtido
utilizando-se uma lente TsH * 6 necessário apenas conhecer as cinturas
de feixe a ser em "casadas!* A distancia das cinturas do feixe â lente são
dadas por:
(f2 - f o 2 ) 1 / 2 (18)
J* ( f 2 - f o 2 ) 1 / 2 (19)
fo - * "* "2 ;( f*fo ) (20)
(f é distancia focai da lente;(FIG.-5).
Existem varias maneiras de injetar o feixe de luz em uma
CMP £4^] .As mais utilizadas são mostradas na (FIG.-6). Um projeto
muito bem detalhado de uma CMP similar a descrita aqui e fornecido em
CO.
2. CÉLULA DE MÚLTIPLAS PASSAGENS EM ANEL;
A cavidade analisada £ constituída por um espelho curvo e dois
planos, dispostos de maneira a formar um triângulo isõceles (FIG.-7),
Essa escolha se deve a simplicidade da matriz de transferência de raios.
Isso é importante quando tem-se que analisar o sistema em dois planos com
diferentes matrizes devido ao astigmatismo.
Essa cavidade tem como unidade da seqüência de lentes, o siste
ma formado por somente uma lente, cora distância focal f • R/2 e
uma distância L • 2d + t (perímetro da cavidade; ver (FIG.-8).
A diferença nos planos sagital e tangencial da cavidade está
nas distancias focais (*3*1 :f R L J
t • •=• cos • (plano tangencial) (21)
R ( plano sagital )2 cosi»
definido na figura 7 )
(22)
Com essa definição para as distâncias focais nos dois planos,
temos então para as matrizes ABCD:
-1
Tl-L
(Plano sagital) (23)
(Plano tangencial) (24)
A condição de estabilidade é diferente nos planos sag tal e
tangencial CJ] e pode ser definida pelo intervalo de validade do
parâmetro ft " õ" 5
0 < ft < 2 cos V (tangencial)
0 < ft < _2cosv
(sagital)
(25)
(26)
• 6
Satisfeita a condição (25), temos necessariamente uma cavidade
estável (em ambos os planos). As coordenadas do raio (projeções no plano
do espelho curvo) são dadas por:
nx max sen(n6 + <*x) (p. tangencial) (27)6
yn - ymax sen(n9y + oy) (p. sagital) (28)
C "máximas, expressos como em (3) e (10) )
Note-se que agora as freqüências 8x e ey são diferentes e
definidas através de:
k C23)
cos 6y - 1 - Pcos* (30)
Para as fases ax e cey temos que:
tg(ox) - 5 --=» (31)
tg(oy) . té*' O7 (32)
eoif yo
As dimensões do feixe gaussiano não são iguais nos planos
tangencial e sagital como podemos ver pelas expressões abaixo:
( p.tangencial )
ços* (34)
• v < -àsr • x' í35>
( p.sagital )
W2 . ^ 1 (36)Ely "P 2 1/2
onde 2WElx 2WElx representam o diâmetro do feixe gaussiano nos planos
tangencial e sagital, respectivamente. Devido a simetria da cavidade
Cintura do feixe gaussiano em ambos os planos esta localizada em Zo • -5- ,
a meio caminho entre os espelhos planos da cavidade.
No projeto de uma CMP £ importante conhecer o padrão formado
nos espelhos pelas projeções do raio descritas em (27) e (28). 0 fato de
não se ter mais uma freqüência única (ângulo 6) para os dois planos (sagj.
tal e tangencial) em uma cavidade em anel (como em qualquer cavidade astig_
tnãtica) implica na ampliação da condição reentrante:
N9x - 2*kx (37)
(kx,ky inteiros)
N9y - 2nky (38)
Para termos um caminho fechado, isto é, o retorno do raio do
ponto de origem apôs N passagens pelo sistema ótico é necessário satisfa
ser (37) e (38) simultaneamente dentro do intervalo o o<(5<2Lcos^ (cavi
dade estável). Satisfeitas essas condições, as projeções dos raios nos
espelhos formam as conhecidas figuras de Lissajous. Das expressões (28)
e (30) temos:
B2 - (1 - cos0x) C 1 - cosQy ) (39)
2., 1 - cos 6y (40)cos • - I—
1 - cos Ox
0 intervalo 0 < * < * representa todas as configurações possjí
veis para a cavidade. Então, com o auxílio de (40),e possível descobrir
a limitação nos inteiros kx e ky definidos por (37) e (38), ou seja:2
- Para cos *>0 ky < kx < (N - ky)
- Para cos2*<l ky < -
u
0 intervalo — < kx < N-ky representa os ângulos completnentares
ao intervalo ky<kx<-x . Portanto o» valores possíveis para kx e ky estão
nos intervalos:
1 * ky < - (41)2
ky % kx < - (42)2
8
Kem todos os valores de kx e ky nos intervalos descritos por
(41) e (42) são realmente possíveis. 6 necessário descartar desse intejr
valo os inteiros que sao fatores de — .
Por exemplo, o par kx * 10 e ky > 12 para uma CMP com N - 40
passagens representa a mesma cavidade i.e., iguais valores de 0 e •
que o par kx • 5 e ky • 6 com N • 20 passagens.
E Óbvio que a CMP real 5 a de N « 20, pois os vinte pontos
subseqüentes são retraçados pelos pontos anteriores. Fisicamente os
inteiros kx e ky representam o número de pontos de retorno nos planos x
e y. (FIG.-9).
Se entretanto os valores de kx e ky são divislveis pelo mesmo
fator (desde que N não o seja também) o número de pontos de retorno e dado
pelo resultado da divisão de kx e ky por esse fator.
Por exemplo o par kx • 10 , ky - 5 tem como máximo divisor comum
o numero 5. Logo o numero de pontos de retorno é dado por 2 e 1 nos planos
x e y respectivamente (FIG.-10). 0 valor 5 nesse caso representa também
o numero de vezes que o raio percorre o caminho representado pela linha
continua da figura 10 antes de retornar ao ponto de origem. Nessa figura
os pontos estão numerados para melhor visualização do fato enunciado acima
e representam a localização do raio no espelho curvo para uma CMP com 21
passagens.
Normalmente o feixe de luz injetado na cavidade não é astigmáti
co. Para efetuar o casamento de modos e necessário transformar o feixe tor
nando-o astigmático. Isso é possível usando no casamento um elemento as_
tigmãtico, como por exemplo uma lente inclinada em relação ao eixo Ótico
CO.
3. ESCOLHA DA CAVIDADE:
Os valores possíveis de kx e ky representam um número muito
grande de cavidades» Os parâmetros da cavidade (dimensões do feixe
gaussiano, dimensões da cavidade, etc) devem ser escolhidos de acordo
com a aplicação a que se destina a CMP, respeitando os limites impostos
na execução prática do projeto (alinhamento, tamanho finito dos espelhos,
etc.) E necessário então esboçar o comportamento desses parâmetros no
intervalo de variação de kx e ky definido por (41) e (42). 0 gráfico da
(FIG.-11) mostra o comportamento dos parâmetros 3 e • em função das fre_
qUencias Ox e 6y. (8 - 2»kx e 9y - 2*ky\ £ importante escolherN « '" N í -os valores de Ox e Oy que sejam menos sensíveis â variação de 3 e 1),
A taxa de variação das freqllências Ox e Oy em função de 3 e <» de acordo
com as expressões (29) e (30) é dada por:
38x 1 1 (43)1( 2 cosV -L)
3
1
(2 cost!» -1 ]
12 ]
( Tcosif" * '
1i 1 / 2 3
t|
1L/2 3
w
( 4 5 )
2 1/2Icos* 1 '
(A6)
A freqliência 8x e mais sensível a variação de B e •.A (FIG.-12)
era as derivadas de 8x em função das freqüências 6x e 6y. Os m<?n£
res valores de -rg- e — w ocorrem quando 9x u 8y tem valores próximos
e a melhor situação acontece para 8y » v/2 ou ky - N/4. Neste caso o
ângulo ty da cavidade ver (FIÜ.-7) é pequeno e o astigmatismo é pouco
pronunciado. Como medida de astigmatismo do feixe gaussíano tomamos a
razão entre os diâmetros do feixe medido no espelho curvo, nos dois planos
(FIG.-13), Para 6x >> ôy o feixe torna-se bastante astigmãtico,
palmente para valores pequenos de 8y,
10
A (FIG.-14) ilustra a dependência do diâmetro da cintura do feixe (em
unidades relativas) em função das frequencies Ox e Oy. Com os gráficos
apresentados pode-se escolher a cavidade desejada de acordo com a aplic£
ção a que se destina a CMP.
Após a definição da cavidade (escolha de 6 e 4'|número de pas
sagens, etc) i interessante conhecer o padrão formado pelos pontos nos
espelhos. Isso porque, no alinhamento da cavidade devemos acompanhar a
trajetória de raio.
As (FIGs.-lO e 151 mostram as projeções dos raios no espelho
curvo para uma cavidade com K • 21 passagens. Qualquer dos pontos marca
dos pode ser o ponto inicial (injeção do feixe) desde que os pontos sub-
sequentes acompanhem a seqüência na figura. A linha continua nas figuras
representa o padrão formado para um número infinito de passagens, manten
do os valores de kx e ky.
4. APLICAÇÕES:
As CMP foram utilizadas principalmente com o objetivo de cons_
truir amplificadores de laser compactos, devido a multiplicação do meio
ativo provocada pelas muitas passagens do feixe. ( Q>J , Q H ) .
Elas se tornam potencialmente úteis; em sistemas onde o ganho é extremamejn
te baixo, como é o caso das células de Hidrogênio utilizadas para gerar
radiação por espalhamento Raman estimulado [ól . Nas CMP não-astigmá
ticas devido ao padrão único apresentado pelas projeções do raio nos espe_
lhos (elipses) o número jáximo de passagens e reduzido.
já nas CMP astigmaticas devido aos variados padrões das figuras
de Liosajours que podem ocupar nos espelhos uma área maior, o número de
passagens e sensivelmente aumentado. A limitação maior ao número de passj*
gens i a refletividade dos espelhos, a qual deve ser a maior possível.
D. Herriot e H.J.Sehulte fí] obtiveram uma CMP astigmátj^
ca de dois espelhos com até 1000 passagens. Uma das aplicações desse tipo
de cavidade é no atraso ótico de um feixe luminoso. Com uma cavidade de
apenas 3 m (separação entre os espelhos) foi possível se obter um atraso de
10P s , com perdas na intensidade luminosa de apenas lOdB PAJ . Essa
mesma cavidade foi utilizada na medida de espelhos com alta refletividade,
0 principal interesse no desenvolvimento da CMP em anel está na
aplicação em giroscõpíos do tipo passivo» em substituição aqueles feitos
com fibras óticas.
11
APÊNDICE I
A transferencia de raios em uma seqllência de lentes pode ser
expressa por (_9 J :
rn • l - A rn • Br'n
rn • 1 • C rn + Dr'n
(1.1)
(1.2)
onde:
r • distância do raio ao eixo ótico do sistema
rn » inclinação do raio ea relação ao eixo ótico
n • n - ésima transferência do raio pelo sistema
periódico (FIG.-16).
De forma mais compacta» podemos escrever as equações de transferência
de raios na forma matricial 6 :
As matrizes ABCD são bem conhecidas e um resumo de tais matrizes pode
•er encontrado em £3} e [5] . Utilizando (A.l) vemos que:
rn - i ( r n + l - Am ) (1.3)
Logo:
•I ( r n + 2 - A r n + l ) (1.4)
Substituindo (A.4) em (A.2) obtemos:
" <A + D> (AD " BC) r (1.5)
12
C propriedade das matrizes ABCD que AD-BC * — onde n e n* são os índjL̂
ces de refração dos planos de entrada e saida do sistema ótico, respe£
ti vãmente (3*1 •
A equação de diferença (A.5) e equivalente a equação diferen
ciai: r "tí2r " 0 cuja solução é dada por r(Z) • r(0) exp f - iwz J
Substituindo a solução tentativa r " rQe in
em (A.5) obtemos:
e - (A+D) e x*+ 1 « 0 (1.6)
Efetuando algumas transformações obtemos finalmente que:
COS» » j (A + D) e portanto, (1.7)
ie i r i 7 ̂ 1/2
e i e - i (A + D) - i | 1 - i (A + D ) Z \ (1.8)
Note que se •=• (A + D) - ̂ 1 - as soluções serão do tipo e
onde a é real, ou seja:
t|| - a e + o n + be"°n (1.9)
S õbivio de (A.3) que para n •*• •» a solução é divergente, ou seja, o
sistema e instável. Portanto a condição de estabilidade é dad£ por:
| cos (8) | - | I (A • D | < 1 ( I 1 0
A solução mais geral para a propagação do raio pelo sistema é
periódica:
rn • a sen(nô) + b cos(nõ) (1.11)
ou de outra forma:
rn " rmax sen(n8+o) (1.12)
Conhecendo as condições iniciais do raio, ro e r'o e com
o auxilio das equações (A.3) e (A.A) podemos descrever rmax e a fase a:
13
r 2 1 1 / 2
tgo - I.» - <A • D) J ( i a 3 )
Note-se que estas equações são válidas para qualquer sistema ótico que
possa ser representado por una matriz ABCD, dentro da região de estabili^
dade definida por (A-10).
0 sub índice n se refere então a n-esima passagem pelo sistema
ABCD, seja ele composto por 2,3 ou mais elementos.
14
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1- D.Herriot, H.Kogelnik e R.Kompfner, Appl. Opt;.2 » 523 (1964)
2- J.R.Pierce, Theory and Design of Electron Beams (Van Nostrand,N.York),
1954, Cap. 11, PP 194-137
3- A.Lago, Nota Técnica, (LEA/NT-022/81), Dez (1981)
4- D.R.Herriot e H.J.Schultz, Appl. Opt, £ 883 (1965)
5- H.Kogelnik e T.Li, Proc. IEEE, 54 , PP. 1312-29 (1966)
6- W.R.Trutna, R.L.Byer. Appl. Opt., 2_ , 301. (1980)
7- A.Lago, a ser publicado
8- H.Kogelnik, T.J. Bridges. IEEE, J.Quant .Electr, 2_ , 95, (1966)
9- A.Yariv., Introduction to Optical Electronics (Holt,Rinehart and
Wiston, Inc) N.York, 1971, ch 2, PP 19-24.
15
(FIG.-l)
lf,« R/2 •fz«R/2
(FIG.-2)
16
Espdho
(FIG.-3)
(FIG.-4)
17
(FIG.-5)
(FIG.-6)
18
E..R
(FIG.-7)
1ft
/ ft12
/ \
(FIG
1 1
•
20
V \II- j
M J.-10)
•
I
II
II*
(FIG.-1A)
25
(FIG.-15)
26
raio no n-ésimo MÇÔO
(FIG.-16)