1

A TEORIA DA RELATIVIDADE GERAL

Uma Introduç

cQ

o

Departamento de Fé

i

ao

ALFREDO BARBOSA HENRIQUES

Instituto Superior Tée

c

si

c

a

ni

c

sicos da relatividade geral

.1

oes

1 .4 As ideias de M

h

2 - C

ao

3. .4

tor

3. .3

ao e transporte para l e l o

3.2.2

as so b re tensores

E xer

c

é

ic

ur v os

1 .3 Prin

c

é

i

tor

3.2 Cone

Q

O prin

c

ndice das mat ¡erias

bl io g ra fi

1 - Princ¡

ip

oordenadas Tensores

2.3 Operaç

cQ

é

i

a a fi

3.3 Tensor de Riemann

3.4 A m éetri

c

oes de K i ll in g

3.8 q ua ç

cQ

ia

1 .2 l era ç

cQ

o v ariante

3.2. Cone

Q

ao

3.4.2 Cone

Q

a

3.4. finiç

cQ

ur v atura

3.5 Densidades tensoriais

3.5. finiç

cQ

a

3.5.3Inte g rais

3.6 eodéesi

c

o v ariante

3.2.3 Geodéesi

c

Deri v ada

c

¡alculo tensorial: ¡algebra

2. Variedades

2.2 Trans formaç

cQ

a

3.4.3 Tensor de

c

ios f¡

i

ao m éetri

c

oes a lg b ri

c

a m éetri

c

a

3.7Isometrias e e q ua ç

cQ

oes de

c

ao , g ra v ita ç

cQ

pio de e qui v a laen

c

ao a fi Deri v ada

c

ao

3.5.2 O determinante da m éetri

c

Deri v ada de Lie de um v e

c

ao de des v io g eodéesi

c

ao e espaç

c

o

ao

3. .2 Transporte de Lie de um v e

c

Deri v ada de Lie de uma funç

cQ

os

c

ios

3 - C ¡alculo tensorial: an ¡alise

3.1 Deri v ada de Lie

3. .1 Transporte de Lie de uma funç

cQ

pio da re l ati v idade g era l. C v ari aan

c

ia das e quaç

cQ

oes de Einstein

4.3

l d

5. 2

o

6. 2

o da relatividade geral

4. 1

ao

4.3.3

er

c

iona l

er

c

iona l

er

c

ia l uminosa

6.3.3 Conta g em de fontes uminosas

Eer

c

é

ic

é

ic

é

ic

é

ic

sicos e observa ç coes

6. 1 Prin

c

Espaç

c

é

i

os

5.2. Pre

c

o

4.4 O prin

c

ios

- s testes cl ¡assicos da relatividade geral

5. 1 A so l uç

cQ

é

i

éurio

5.2.2 fl

Q

O imite ne w toniano

4. 2 q ua ç

cQ

ao

6. .2 Cosmo l o g ia ne w toniana

6. .3 O prin

c

Os testes

c

ess

Q

é

i

osmo l o g ia re l ati v ista

6. .1 Introduç

cQ

pios é

i

ios

- Cosmologia: o modelo standard da cosmologia

7. 1 Os mode l os de Friedmann - bertson -W l k er

7. . quaç

cQ

os de

c

O tensor de ener ia - momento

4.3.at éeria in

c

si

c

pio

c

éassi

c

ios

- Cosmologia:

p

ao de S

c h

pio aria

c

oes

6.3.1 Des v io para o v erme l

h

6.3.2 z ersus dist aan

c

oerente ou poeira

4.3.2 uido per feito

c

os da

c

rinc ¡

ip

ur v atura

c

as

6.3 Cosmo l o g ia e o b ser v a ç

cQ

ios

-s e qua ç coes de cam

p

ar z s

c h

ao dos raios uminosos

5.2.3 Des v io para o v erme l

h

osmo l g i

c

onstante

6.2. l emento de l in

6.2.2 Propriedades eom éetri

c

om press

Q

ios f¡

i

ao do peri ée l io de Mer

c

oes de Einstein

7. .2 Mode l os de Einstein -De Sitter

O tensor de ener ia -momento do

c

o de ori g em g ra v ita

c

ampo e l e

c

troma g néeti

c

imentos

7.4 Pro bl emas dos mode l os de Friedmann - b ertson -W l er O mode l o

in fla

c

ao de De Sitter

7.3

ion éario

7.5

iona l

8.2 Coordenadas de K rus k a l e eres

8.3

ionais

.4

ao q uadripo lar

.5

ios

A

4u las

7.3.2

O pro bl ema da p l anaridade e o pro bl ema doori z onte

7.4.2

Hori ontes

7.3.1

ion éario

7.4.1

as

E xer

c

a

E xer

c

ionais

E xer

c

é

ic

é

ic

é

ic

Bura

c

Emiss

Q

a

.7 A dete

c

om к/=07.2 A so l uç

cQ

ç

cQ

ionais

.3 P lari z a ç

cQ

O mode l o do b i g -an g

7.5.1 A radiaç

cQ

ao (p = / 3 p)7. .3 Mode l os

c

ios

- ndas gravitacionais

. imite de

c

os

.2 Ondas ra v ita

c

ionais

.6 Ondas ra v ita

c

Hori z onte de a

c

l d

8. . Corpos emueda i v re radia l

8. .2 Hori z onte de a

c

O mode l o in a

c

imentos

8. .3 C lapso g ra v ita

c

Hori z onte de parté

ic

ios

- Вuracos negros de S c hw ar z sc h ild

8. Propriedades da so l uç

cQ

onte

c

onte

c

ao de ondas ra v ita

c

ampos ra v ita

c

ao de fundo de mi

c

ao das ondas ra v ita

c

ao das ondas ra v ita

c

ao de S

c h

os ne g ros e termodin aami

c

ionais de ori g em

c

4

7. . 2. 1 Uni v erso dominado por poeira (p = 0)

7. . 2. 2Uni v erso dominado por radiaç

cQ

ro ondas

7.5.2Quadro resumo das di ferentes éepo

c

ionaisra

c

ar z s

c h

Ener ia transportada pe las ondas ra v ita

c

osmo l g i

c

ionais Aproima ç

cQ

endice

teoria da relatividade restrita

1 Os postu ladas da re lati v idade restrita e suas

c

onse q uen

c

ias

ampos¡ ¢£ ¤

4ao de Lorent

.3

tores

A.3 e

c

endice

Cronologia

a re lati v ista

A

.3. uaç

cQ

iais

A

.3.2 uaç

cQ

ao do tempo

A

.2 Contra

c

. lataç

cQ

idades

A .5 Din aami

c

ç

cQ

otempo

A.2.2 Cone de l u

.2.3Quadri v e

c

trodin aami

c

Simu l taneidade

A

.4 Trans forma ç

cQ

a

A.3.3 Trans forma ç

cQ

otempo

A.2.1 Inter v a l os de espaç

c

o

A .7 O pseudo paradoo dos éemeos

A.2 eometria do espaç

c

a re lati v ista

A .6eito Dopp l er re lati vé

i

ao das e l o

c

oes para os poten

c

sti

c

oes de Lorent dos

c

oes de mo v imento de uma

c

ar a e lée

c

tri

c

ado da Re lati v idade " , tradde Méario Si lv a ,

C l e

c

oes Monsanto , Lis boa ,

54.

s " , Cam -

rid g e Uni v ersit yress , 84.

C

h

ç

cQ

in g Eintein lati v it y" , Clarendonress ,

ord 2.

h

b a l dee l er , "ra v ita -

tion " , W Freeman andompan y , Y or , 73.

lg e ra g

h

ourse in enera lre lati v it y" , Cam b rid g e Uni

ersit yress , 8 .

Bernard F

h

s , V l. 26, p éa g. 56 1 88.

Bernard F

h

ao èa teoria da re lati v idade restrita " ,

ress , 8.

Landau et Li f

h

e and t i f flbert

Einstein " ,ord Uni v ersit yress , 82.

l er , in

h

tion to te Teor y f lati v it y" ,

er , 76.

P.. Pee bl es , "rin

c

ao Studiumoim b ra , 58.

llan Sanda g e , " ser v ationa ltests o f or d mode l s " , annua l ie f

astronom y and astrop si

c

eton Uni v ersit y

ress ,99 3.

y 'In v erno , " Introdu

c

tion toenera l lati v it y" , Mra

ll, 75.

lbert Einstein " g ni fi

c

ut , "rst

c

ut , "eometri

c

ip l es o f P

h

ffer , " Introdu

c

tion toenera l lati v it y" ,

Cam b rid g e Uni v ersit yress ,99 4.

Peter b rie l Ber g mann " Introdu

c

si

c

eton Uni v ersit yress ,

6.

Resina Rodri g ues , " Introdu ç

cQ

o v o , 66.

Lorent , Einstein, Min o , "rin

c

é

i

ao

l ouste lb en ian 72.

.P. g ston and K.P Tod "an Introdu

c

ibliogra fi a

raamais , " b t e is t e Lorde s

c

ar l es isner , K ip Sorne , J o

h

ien

c

ard l man " l ati v it y ,ermod y nami

c

, "osmo l o g yandontro v ers y" , Prin

c

g oress ,

84.

y omes , "a Teoria da Re lati v idade " , Ediç

cQ

a l metods o f matemati

c

a l Cosmo l o g y" , Prin

c

s andosmo l o g y" ,

er , 87.

bert l d "enera l lati v it y" ,e Uni v ersit y o f C

h

, " T éeorie duamp " , Editions, Mos

c

a l p si

c

pio da Re lati v idade " , Fundaç

cQ

Ste enein berg, "ra v itation andosmo l o g y" , o l eand Sons ,

72.

in gandG. ll is , " T ar e s

c

a l e stru

ce -

time , Cam rid g e Uni v ersit yress , 84.

lfg an g Rind l er , "Essentia l l ati v it y" , Sprin g erer l g, 7 9 .

ture o fspa

c

q ue te v e

c

rade

c

Um a g rade

c

imento

om asfig urasue a

c

imento muito espe

c

ompanam este teto

ia lao D éarioassos pe l o tra b l

h

to e g iria a

c

ontraindo o tensor

Rd

acb

e gera

l

No seu famoso arti g o Os Fundamentos da Teoria da Re l ati v idadeera l ,de

ar ç

c

a

re

l

oes mais g erais , passando e las a serem ape

nas um

c

a

t

ompreen -

der neste

c

onsideraç

cQ

ao a b andonadas ,

mas su b stitué

i

C ap ¤

itulo

P rin c ¤

i

oes para as 1 g randeas gab Mais adi

ante as e quaç

cQ

apé

i

ess éarios anos de tentati v as e erros , q ue a

orma simp l es

c

re e Einstein (par éa g ra f 4 : "Somos deste modo l e v ados

a pensarue a

c

i l, e

nada l inear , per

c

ivi

d

o de 1 1 6 , es

c

aso parti

c

oes ser

Q

ao , teria que ir para

uma teoria q ue fosse

c

ondiç

cQ

a

d

pi

os f

om

preendido que , se quisesse

c

o b erta de que

um tratamento da g ra v itaç

cQ

ando os seus passos mais importantes

O primeiro foi a sua des

c

os na forma da

eometria de Riemann e do

c

ao de eometrias n

Q

¤

is

omo as e quaç

cQ

a de mat éeria ) No

entanto , antes de Einstein ter

c h

oes

ue e v am o seu nome , foram ne

c

das por trans formaç

cQ

ao eu

c

oes s

Q

g amos assim a 1 e quaç

cQ

o v a io de mat éeria de e

ser o anu l amento do tensor sim éetri

c

tu l o introdut éorio , mar

c

o

ordenadas Ou se j a ,as trans forma ç

cQ

onsiderar

c

ao e g ida pe l o

c

ao naase da

teoria da re lati v idade restrita ou espe

c

ideanas Fina l mente , q ue o quadro apro -

priado a esse tratamento j éa tina sido

c

o v ariante so ba a

c

urso ao l on g o de uma d ée

c

ç

cQ

ic

os d

o b erta do prin

c

ao g enera l i z adas para o

c

é

i

éa l l o tensoria l.

g ado a esta

c

on

c

ao que fosse re lati v isti

c

ampo g ra vé

i

orpos em a

c

ti

c

us

Q

ao apresentadas es

c

e l era ç

cQ

o Rabue se o b t éem

c

aso da presenç

c

onde

amente

c

ia l, teriamue ser , n

Q

ao de trans forma ç

cQ

ada que amos pro

c

riado pe l os matem éati

c

pio de e qui v a laen

c

u lar Depois ,a sua uaseue s éu b ita des

c

oes de Lorent , que est

Q

orre

c

urar

c

ia e o ter

c

é

E esse di f é

ic

ao , asamosas e quaç

cQ

oes erais de

c

orpo depende apenas das

c

ao desta

c

a

N

Q

onsideradoediante uma

es

c

ao , que Einstein sou b e des

ta

c

u l iar das

or ç

c

ao

do

c

as ,

forç

c

o l

h

ondiç

cQ

a apropriada de unidades , podemos p aor mg mi o que nos permite

simp l i fi

c

ao

mg .

onde o e

c

io de e quivalencia

Come

c

a ap l i

c

ar na me

c

orpo ée dada

pe la epress

Q

oes ini

c

as ra v ita

c

ao de ne -

uma outra

c

orpo

su eito a esse

c

iona l, intensidade

ue mede aor ç

c

onstante e in -

dependente da

c

ani

c

ao seria este o

c

as , propriedade j éa

éa muito tempo

c

CAP ¦ITULO 1. PRINC¦IPIOS F ¦ISICOS DA RELATIVIDADE GERAL

. 1 Princ¡

ip

ara

c

a

c

ar a e quaç

cQ

ao de mo v i

mento depender éa n

Q

om a massa de inéer

c

to

ue sin g u l ariorç

c

emos por

c h

teré

i

arando a de umaorma no v a ,

Einstein sou be etrair

c

on e

c

ionais , n

Q

éassi

c

sti

c

onstituiç

cQ

ao

c

ia

em sa b ido ue a for ç

c

ada depende da

c

ao

ou massa pesada ) mg se en

c

ao s éo das

c

om mais

nenum outro tipo de interaç

cQ

ao qué

i

ao anterior , es

c

onse qen

c

mi

c

a de g ra v itaç

cQ

ondiç

cQ

omparti l

h

orpo , pois depende de emi

Foi essa propriedade , l i g ando in éer

c

amar a atenç

cQ

ar a e lée

c

iais do pro bl ema posiç

cQ

a do mesmo ,

c

re endoa so b forma

G - , .3

ue , por sua e ,si g ni fi que a tra e

c

a de g ra v itaç

cQ

a do

c

tri

c

oes ini

c

aso se mgmi v ariasse de

c

a por unidade de massaou

c

a

diz- nosue

mi mg . .2

é

E importante ter presenteue desde o s ée

c

tor G representa a intensidade do

c

ao a

c

ida , mas da q l,en

c

ias de Besse l,

eeman iotosse sa b e que a massa de inéer

c

ampoor outro lado ,a e quaç

cQ

a do

c

ao e e l o

c

orpo

c

eptua lde

um o b ser v ador emueda l i v re Esta e peri aen

c

ia e ra v ita ç

cQ

t éoria do

c

ontram numa re l a ç

cQ

ao. Por eemp l o , no

c

ia mi pode ser lq uer , a so l uç

cQ

orpo para

c

ao , pois o mesmo n

Q

orpo e

c

omo se a a sua

c

ada pe las outrasorç

c

idade ini

c

ampo ra v ita

c

a e interpretar atra vées da e peri aen

c

ao mgmi

c

ar a ) de ra v itaç

cQ

u l o Х I Х peri aen

c

ias de uma g rande import aan

c

aso dasor ç

c

ia

c

tuando so b re um

c

ao da e q ua ç

cQ

iais , mas tam b éem da

c

omposiç

cQ

on

c

ao para uma propriedade pe

c

ao se passa

c

iais e n

Q

omo a re laç

cQ

as e lée

c

aoundamenta l da me

c

ao ué

i

ao mg do

c

tri

c

orpoIsto ée um a

c

mi

c

ani

c

ia mie a massa de g ra v itaç

cQ

omposiç

cQ

ia , idea l iada por Einstein