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Teoria da Partilha Equilibrada Métodos de Divisão Proporcional

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Teoria da Partilha Equilibrada. Métodos de Divisão Proporcional. Um pouco de história…. “No verão de 1787 em Philadelphia, delegados de treze estados encontraram-se para planearem a constituição para a nova nação. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Teoria da Partilha Equilibrada

Teoria da Partilha Equilibrada

Métodos de Divisão

Proporcional

Page 2: Teoria da Partilha Equilibrada

Teoria da Partilha Equilibrada

Um pouco de história…““No verão de 1787 em Philadelphia, delegados de treze estados encontraram-No verão de 1787 em Philadelphia, delegados de treze estados encontraram-se para planearem a constituição para a nova nação.se para planearem a constituição para a nova nação.Os estados mais pequenos liderados por New Jersey, queriam que todos os Os estados mais pequenos liderados por New Jersey, queriam que todos os estados tivessem o mesmo número de representantes e os estados maiores estados tivessem o mesmo número de representantes e os estados maiores liderado por Virgínia, exigiam uma forma de representação proporcional.liderado por Virgínia, exigiam uma forma de representação proporcional.A resolução final de disputa foi:A resolução final de disputa foi:

. um senado . um senado

. uma casa de representantes, onde cada estado obtém um . uma casa de representantes, onde cada estado obtém um nº de representantes em função do seu nº populacional. nº de representantes em função do seu nº populacional.

Artigo 1, secção 2 e 3 da constituição E.U.Artigo 1, secção 2 e 3 da constituição E.U.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Divisão proporcional

É o processo de dividir objectos iguais e indivisíveis por um determinado número de participantes, recebendo cada um partes desiguais consoante uma determinada situação.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Os resultados das eleições autárquicas de 2001 para a Câmara Municipal de Coimbra, estão traduzidos na tabela seguinte, onde num universo de 72690 eleitores, existiam 11 mandatos para serem divididos pelos vários partidos, consoante o número de votos atribuídos a cada um.

Partidos Votos

PSD/PP/PPM 38335

PS 22512

CDU 9611

B.E. 1385

PCTP/MRPP 587

P.H. 260

In Diário Coimbra 17/12/2001

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Teoria da Partilha Equilibrada

Calcular a razão entre a população total e o número de mandatos a distribuir de modo a obter o número de votos necessários para conseguir um mandato. Este número é chamado divisor standard.

População TotalDivisor Standard =

# de Mandatos

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Teoria da Partilha Equilibrada

Fazendo a razão entre o número de votos de cada partido e o Divisor standard iremos obter o número total de mandatos a que cada partido fica habilitado.Este número é chamado quota.

População de cada PartidoQuota=

Divisor Standard

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Teoria da Partilha Equilibrada

Quota

Quota Máxima(quota arredondada por excesso)

Quota Mínima(quota arredondada por defeito)

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Teoria da Partilha Equilibrada

Um método de divisão proporcional que, a cada estado faz corresponder sempre um número de lugares igual à quota máxima ou à quota mínima diz-se que está de acordo com regra da quota.

Se no método de partilha, a um estado for dado um número de lugares diferente da quota máxima ou da quota mínima, diz-se que o método viola a regra da quota.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Métodos de divisão proporcional

• Método de Hamilton

Passo 1: Calcular o divisor standard;Passo 2: Para cada estado, calcular a quota;Passo 3: Atribuir a cada estado a sua quota mínima;Passo 4: Dividir os lugares sobrantes (um a um) pelos

estados, por ordem decrescente das partes decimais das suas quotas.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Coimbra- câmara municipal  

Votantes-72690 Mandatos-11 Divisor standard = 72690 / 11 = 6608.18 (Passo 1)

 

Partidos Votos Quota (Passo2)

Quota mínima

(Passo3)

Parte decimal

Votos extra(Passo4)

Divisão final

(mandatos)

PSD/PP/PPM 38335 5.801 5 0.801 1 6

PS 22512 3.406 3 0.406 3

CDU 9611 1.454 1 0.454 1 2

BE 1385 0.209 0 0.209 0

PCTP/MRPP 587 0.088 0 0.088 0

PH 260 0.039 0 0.039 0

TOTAL 72690 11 9 2 11

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Teoria da Partilha Equilibrada

Pelo menos cada partido consegue um número de mandatos igual à sua quota mínima.

Alguns partidos podem ter direito a mais um mandato, ficando assim com um número de mandatos igual à sua quota máxima.

Um partido nunca fica com um número de mandatos inferior à sua quota mínima ou superior à sua quota máxima.

Neste sentido dizemos que o método Hamiltoniano não viola a regra da quota.

Resumo da tabela

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Teoria da Partilha Equilibrada

Paradoxo de Alabama

Um incremento no número total de lugares a serem distribuídos, obriga a que um estado perca um lugar.

A descoberta do Paradoxo de Alabama em 1880 foi o beijo de morte do método.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Depois dos sensos de 1880, o chefe dos sensos U.S. concluiu que se a casa dos representantes tivesse 299 lugares para serem distribuídos, Alabama conseguiria 8 lugares, enquanto que se a casa tivesse 300, Alabama conseguiria apenas 7.

Estado Quota M=299 Divisão M=299 Quota M=300 Divisão M=300

Alabama 7.64 8 7.671 7

Texas 9.64 9 9.672 10

Illinois 18.64 18 18.70 19 O método hamiltoniano e o paradoxo de Alabama, 1880

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Teoria da Partilha Equilibrada

Incrementando o número de lugares a ser partilhado, a quota de cada estado sobe;

Pode mudar a parte decimal de cada uma;

Os lugares extra a serem ganhos irão ser distribuídos consoante as novas casas decimais.

Explicação

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Teoria da Partilha Equilibrada

Paradoxo da população

Um aumento na população de um estado, pode obrigar o estado a perder um lugar.

O paradoxo da população foi descoberto por volta de 1900, quando se mostrou que um estado podia perder um lugar na casa dos representantes, devido a um aumento na sua população.

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Teoria da Partilha Equilibrada

No ano 2525, cinco planetas criaram uma federação intergaláctica, onde existiam 50 lugares para serem ocupados por delegados dos 5 planetas.

Federação intergaláctica: divisão de 2525 (divisor standard = 900 / 50 = 18)

PlanetaPopulação (biliões)

Quota (população/18)

Quota mínima

Parte decimal

Lugares extra

Divisão Final

Alanos 150 8.3 8 0.3 8

Betta 78 4.3 4 0.3 4

Conii 173 9.61 9 0.61 1 10

Dugos 204 11.3 11 0.3 11

Ellisium 295 16.38 16 0.38 1 17

TOTAL 900 50 48 2 2 50

Page 17: Teoria da Partilha Equilibrada

Teoria da Partilha Equilibrada

Federação intergaláctica: divisão de 2535 (divisor standard = 909 / 50 = 18.18)

PlanetaPopulação (biliões)

Quota (população/18.18)

Quota mínima

Parte decimal

Lugares extra

Divisão Final

Alanos 150 8.25 8 0.25 8

Betta 78 4.29 4 0.29 1 5

Conii 181 9.96 9 0.96 1 10

Dugos 204 11.22 11 0.22 11

Ellisium 296 16.28 16 0.28 16

TOTAL 909 50 48 2 2 50

Dez anos mais tarde...

_ Ellisium, cuja população cresceu 1 bilião, perdeu um lugar para Betta cuja população se manteve. !?!

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Teoria da Partilha Equilibrada

Paradoxo do novo estado

Quando um estado novo, com direito a um determinado número de lugares na casa dos representantes (baseado na sua população), adere ao congresso, depois de recalculada a distribuição, o número de lugares por estado pode ser alterado.

O paradoxo do novo estado foi descoberto em 1907 quando Oklahoma se tornou um estado. Com a entrada do novo estado, era esperado manter o número de lugares ocupados pelos outros estados. No entanto, quando a partilha foi recalculada, Maine ganhou um lugar e New York perdeu um lugar.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Alunos-10000 Divisor standard = 10000 / 100 = 100

EscolaAlunos Quota Quota

mínimaParte

decimalDivisão

final

A 1045 10.45 10 0.45 10

B 8955 89.55 89 0.55 90

TOTAL 10000 100 99 1 100

Num determinado distrito, existem 100 psicólogos para serem distribuídos por duas escolas A e B, com respectivamente 1045 e 8950 alunos, usando o método de Hamilton

Suponhamos que, nesse mesmo distrito, abre uma nova escola C (525 alunos) com direito a 5 psicólogos.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Alunos-10525 Divisor standard = 10525 / 105 = 100.238

EscolaAlunos Quota Quota

mínimaParte

decimalDivisão

final

A 1045 10.425 10 0.425 (1) 11

B 8955 89.337 89 0.337 89

C 525 5.239 5 0.239 5

TOTAL 10525 105 104 1 105

Recalculando a partilha…

… verificamos que a escola B perde um psicólogo para a escola A

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Teoria da Partilha Equilibrada

Conclusão

O método hamiltoniano deixa margem para dúvidas e, apesar de ainda ser utilizado em países como Costa Rica e Suécia, está realmente longe de ser um método correcto de divisão proporcional.

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Teoria da Partilha Equilibrada

• Para introduzir o método de Jefferson, tivemos que eliminar o passo 3 do método de Hamilton, de modo que depois de, dividirmos o número de habitantes por defeito, terminássemos sem lugares excedentes.

• Necessitamos de usar um divisor, diferente do divisor standard, para obtermos novas quotas. Obtemos este novo divisor por erro e tentativa, de modo que, a soma das novas quotas arredondadas por defeito, nos dê o número exacto de lugares a serem divididos.

• A este novo divisor chamamos Divisor Modificado e às novas quotas, Quotas Mínimas Modificadas.

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Teoria da Partilha Equilibrada

MÉTODO DE

JEFFERSON

Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas por defeito somem o número exacto de lugares a serem distribuídos.

Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota mínima modificada.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Vejamos o seguinte exemplo

Estado População Quota Quota mínima

A 1,646,000 32.92 32

B 6,936,000 138.72 138

C 154,000 3.08 3

D 2,091,000 41.82 41

E 685,000 13.70 13

F 988,000 19.76 19

Total 12,500,000 250.00 246

Tabela 1: República do Parador Cálculos usando o divisor standard = 50,000 (12,500,000/250)

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Teoria da Partilha Equilibrada

Estado População Quota Quota Modificada

Quota Mínima

Modificada

A 1,646,000 32.92 33.25 33

B 6,936,000 138.72 140.12 140

C 154,000 3.08 3.11 3

D 2,091,000 41.82 42.24 42

E 685,000 13.70 13.84 13

F 988,000 19.76 19.96 19

Total 12,500,000 250 252.52 250

Tabela 2: República do Parador Cálculos usando o divisor modificado = 49,500

...verifica-se que o estado B obtém 140 lugares, e a sua quota é 138.72. De acordo com a regra da quota, o número justo de lugares que o estado Bpoderia obter é 138 ou 139 lugares, há uma diferença de 1.28 lugares.

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Teoria da Partilha Equilibrada

O método de Jefferson viola a regra da quota, no entanto viola somente a quota máxima nunca a quota mínima.

É também conhecido como o método de grandes divisores e na Europa como o método de D´Hondt.

Este método continua a ser usado em muitos países nomeadamente Portugal, Áustria, Brasil, Finlândia, Alemanha e Países Baixos.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Na divisão proporcional de 1832, Nova York tinha uma quota de 38.59 e recebeu 40 lugares, o que horrorizou toda a delegação!

Partiu-se então em busca de um método de divisão proporcional, que não violasse a regra da quota.

Como o método de Jefferson estava desacreditado por todos, surgiu um novo método apresentado por John Quincy Adams.

Adams no seu método arredonda a quota modificada por excesso. A esta nova quota chamamos Quota Máxima Modificada.

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Teoria da Partilha Equilibrada

MÉTODO DE ADAMS

Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas por excesso somemo número exacto de lugares a serem distribuídos.

Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota máxima modificada.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Estado População Quota Quota modificada

Quota máxima

modificada

A 1,646,000 32.92 32.47 33

B 6,936,000 138.72 136.80 137

C 154,000 3.08 3.04 4

D 2,091,000 41.82 41.24 42

E 685,000 13.70 13.51 14

F 988,000 19.76 19.49 20

Total 12,500,000 250.00 246.55 250

Tabela 3: República do Parador Cálculos usando o divisor modificado =50,700

...verifica-se que o estado B obtém 137 lugares e comparando-ocom a sua quota de 138.72, existe uma diferença de lugares.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Apesar de todos os esforços, Adams não conseguiu superar o problema de violação da regra da quota, o seu método viola a quota mínima.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Em 1832, Daniel Webster propôs uma ideia baseada no seguinte:

- Arredondar as quotas para o inteiro mais próximo, da maneira convencional.

Tratar todos estados exactamente do mesmo modo, foi uma filosofia que os métodos anteriores partilharam e que trouxe de certa

forma problemas que levaram à desacreditação dos métodos.

A ideia de Webster era, usar quotas modificadas (escolhidas especificamente) de modo que depois de arredondadas convencionalmente,

somassem exactamente o número de lugares a serem divididos.

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Teoria da Partilha Equilibrada

MÉTODO DE WEBSTER

Passo 1: Encontrar o divisor modificado, de modo que as quotas modificadas arredondadas de modo convencional somem o número exacto de lugares a serem distribuídos.

Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota arredondada de modo convencional.

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Teoria da Partilha Equilibrada

O método de Webster é mais difícil de usar na prática, pois o divisor modificado que temos que escolher por tentativa e erro pode ser: menor que, igual a, ou maior que,

o divisor standard.

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Teoria da Partilha Equilibrada

Estado População Quota modificada

Arredondar para

A 1,646,000 32.85 33

B 6,936,000 138.44 138

C 154,000 3.07 3

D 2,091,000 41.74 42

E 685,000 13.67 14

F 988,000 19.72 20

Total 12,500,000 249.49 250

Tabela 4: República do Parador Cálculos usando o divisor modificado =50,100

...verifica-se que o divisor modificado é maior que o divisor standard,isto para que, as quotas modificadas arredondadas de modo convencional somem o total de 250 lugares a serem distribuídos.

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Teoria da Partilha Equilibrada

O método de Webster também viola a regra da quota, mas felizmente as violações são raras e difíceis de imaginar.

O método de Webster, é considerado por muitos experimentadores o melhor de todos os métodos de divisão proporcional. Poderá vir a ser o método oficial da divisão proporcional para a Casa de Representantes e possivelmente nas nossas vidas.

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Teoria da Partilha Equilibrada

CONCLUSÃO

O congressista Ernest Gibson de Vermont disse em 1929:

“A divisão proporcional de representantes para a população é um problema

matemático. Então porquê não usar um método que pode testar (de justiça) sobre

uma fórmula matemática correcta?”

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Teoria da Partilha Equilibrada

A resposta foi dada em 1980 por uma descoberta feita por dois matemáticos – Michael L. Balinski e H. Peyton Young – e é conhecida como

Não há métodos de divisão proporcional perfeitos.Qualquer método de divisão proporcional que nãoviole a regra da quota tem que aderir a paradoxos, equalquer método de divisão proporcional que nãoproduza paradoxos tem que violar a regra da quota.

Teorema da Impossibilidade de Balinski e Young:

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Teoria da Partilha Equilibrada

Em síntese:

Hamilton Jefferson Adams Webster

Viola a regra da quota

Não Sim Sim Sim

Paradoxo de Alabama

Sim Não Não Não

Paradoxo da População

Sim Não Não Não

Paradoxo de Novos

Estados

Sim Não Não Não

Favorece Estados grandes

Estados grandes

Estados pequenos

Estados pequenos

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Teoria da Partilha Equilibrada

MÉTODO DE HUNTINGTON-HILL

Passo 1: Encontrar um número D tal que, cada quota modificada é arredondada pela regra de Huntington-Hill. O total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir.

Passo 2: Atribuir a cada estado a sua quota modificada arredondada pela regra de Huntington-Hill.

  

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Teoria da Partilha Equilibrada

Regra de Arredondamento de Huntington-Hill

 

Se a quota está entre L e L+1, o ponto de

viragem é H = sqrt (L×(L+1)). Se a quota é

inferior a H, arredonda-se por defeito, caso

contrário, arredonda-se por excesso.

 

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Teoria da Partilha Equilibrada

Mais uma vez, chegámos à conclusão que justiça e

representação proporcional são incompatíveis.

FIM