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Teoria da DecisãoMétodos Baseados em Relações de Sobreclassificação

Prof. Lucas S. Batista

[email protected]

www.ppgee.ufmg.br/∼lusoba

Universidade Federal de Minas GeraisEscola de Engenharia

Graduação em Engenharia de Sistemas

Métodos de Sobreclassificação Literatura Especializada

Apresentação

Sumário

1 Métodos de SobreclassificaçãoApresentaçãoMétodos baseados em relações de sobreclassificação

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Apresentação

Introdução

Questão crucial em tomada de decisão

Como considerar simultaneamente todos os critérios para a compara-ção das ações possíveis?

Procedimentos de agregação multicritério :

Síntese de critério;

Síntese de sistema de relações de preferência.

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Apresentação

Introdução

Síntese de sistema de relações de preferência

Distingue-se da síntese de critério principalmente por não consi-derar cada ação aaa ∈ A separadamente.

Relações de preferência são estabelecidas a partir de compara-ções par a par entre as alternativas.

Não garante uma pré-ordem completa em A.

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Apresentação

Introdução

Síntese de sistema de relações de preferência

Esse sistema de preferência pode ser expresso por meio de rela-ções binárias (modelo clássico ou nebuloso).

Algumas dificuldades:

comparações par a par podem gerar intransitividades;

incomparabilidade entre ações podem ocorrer;

uma regra adicional de decisão pode ser necessária.

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Apresentação

Introdução

Métodos baseados em síntese de relações de preferência

Escola Francesa (década de 1960)

Métodos baseados em relações de sobreclassificaçãoa.

Multicriteria Decision Aid (MCDA).

Atitude construtiva:

Basea-se em modelos mais reais da preferência humana;

Auxilia o decisor a construir suas preferências.

asurclassement ou outranking

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Apresentação

Introdução

Escola Francesa

ELECTRE I Elimination Et Choix Traduisant la RealitéELECTRE IIELECTRE IIIELECTRE IV

ELECTRE TRIPROMETHEE I Preference Ranking Organization Method for

Enrichment EvaluationsPROMETHEE IIPROMETHEE V

Tabela: Principais Métodos da Escola Francesa

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Métodos baseados em relações de sobreclassificação

Sumário

1 Métodos de SobreclassificaçãoApresentaçãoMétodos baseados em relações de sobreclassificação

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Definições

Notação

Seja um conjunto de ações ou alternativas aaai ∈ A, i = 1, . . . , n e umconjunto de critérios cj , j = 1, . . . , nc . A avaliação da ação aaai pelocritério cj é dada por cj(aaai).

Representação da Sobreclassificação

As relações entre diferentes ações podem ser representadas numgrafo direcionado G. Uma seta de aaai para aaaj indica que a ação aaai

sobreclassifica (preferência ampla) aaaj .

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Definições

Exemplo de Sobreclassificação

Represente o grafo das relações entre as ações.

aaa1 aaa2 aaa3 aaa4 aaa5 aaa6 aaa7

aaa1

aaa2 Saaa3 Saaa4 S S Saaa5 S S Saaa6

aaa7

Tabela: Exemplo de relações de sobreclassificação entre ações

Nota: aaai Saaaj : aaai sobreclassifica aaaj .

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Definições

Kernel de um Grafo

O kernel de um grafo é composto pelo conjunto das ações tal que:

todas as ações que não pertencem ao kernel são sobreclassifi-cadas por pelo menos uma ação do kernel;

as ações do kernel não sobreclassificam outras ações do kernel.

Qual o kernel do exemplo anterior?

Existem ações incomparáveis nesse exemplo?

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Definições

Índice de concordância

Seja um conjunto de ações ou alternativas aaai , i = 1, . . . , n e um con-junto de critérios cj , j = 1, . . . , nc .

O critério cj é compatível com a hipótese “aaai sobreclassifica aaak ” se aaai

é pelo menos tão boa quanto aaak : cj(aaai) ≥ cj(aaak ).

Condição de discordância

A condição de discordância permite ao tomador de decisão recusar asobreclassificação de uma ação sobre outra, se uma oposição muitoalta existe em pelo menos um critério.

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ELECTRE I

Proposto por B. Roy em 1968.

‘‘Elimination and Choice Expressing the Reality”.

Permite determinar uma pré-ordem total das ações.

Passos1 Defina pesos wj para cada um dos J = {1, . . . , nc} critérios.

2 Estabeleça comparações entre cada par (aaai ,aaak ) ∈ A, gerando osseguintes conjuntos de índices:

J+(aaai ,aaak ) = {j ∈ J | cj(aaai) > cj(aaak )}

J=(aaai ,aaak ) = {j ∈ J | cj(aaai) = cj(aaak )}

J−(aaai ,aaak ) = {j ∈ J | cj(aaai) < cj(aaak )}

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ELECTRE I

Passos3 Converta as relações entre ações em valores numéricos:

P+(aaai ,aaak ) =∑

j

wj , j ∈ J+(aaai ,aaak )

P=(aaai ,aaak ) =∑

j

wj , j ∈ J=(aaai ,aaak )

P−(aaai ,aaak ) =∑

j

wj , j ∈ J−(aaai ,aaak )

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ELECTRE I

Passos4 Calcule o índice de concordância:

Cik =P+(aaai ,aaak ) + P=(aaai ,aaak )

∑

j∈Jwj

, 0 ≤ Cik ≤ 1

5 Calcule o índice de discordância:

Dik =

{

0, se J−(aaai ,aaak ) = ∅

δj max (cj(aaak )− cj(aaai)) , j ∈ J−(aaai ,aaak ), c.c.

tal que δj é o fator de escala associado ao critério cj e 0 ≤ Dik ≤ 1.

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ELECTRE I

Passos6 Obtenha as relações de sobreclassificação e as melhores ações:

aaai Saaak ⇐⇒

{

Cik ≥ τc

Dik ≤ τd

τc : limiar de concordância, em geral ≈ 0.7;

τd : limiar de discordância, em geral ≈ 0.3.

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ELECTRE I

Suponha as notas de 5 estudantes em 5 matérias

(i,j) M1 M2 M3 M4 M5

E1 7 13 8 12 11E2 8 11 11 12 11E3 20 2 10 3 15E4 16 14 16 14 13E5 12 12 8 8 10

Quem é o melhor estudante?

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ELECTRE I

Critérios adotados pelo decisor

1 c1: A nota média de todas as matérias deve ser a maior possível;

2 c2: A nota mínima deve ser maior ou igual a 8;

3 c3: A variação em torno da média deve ser a menor possível.

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ELECTRE I



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ELECTRE I



c1(E) =

∑

M nota(E ,M)

5


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ELECTRE I



c1(E) =

∑

M nota(E ,M)

5


c2(E) =

{

10, se minM(nota(E ,M)) ≥ 80, c.c.


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ELECTRE I



c1(E) =

∑

M nota(E ,M)

5


c2(E) =

{

10, se minM(nota(E ,M)) ≥ 80, c.c.


c3(E) =

√∑

M(nota(E ,M) − c1(E))2

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ELECTRE I

Cálculo dos critérios

c1 c2 c3

E1 10.2 0 1.035E2 10.6 10 0.606E3 10 0 3.08E4 14.6 10 0.5366E5 10 10 0.8

Tabela: Valores dos critérios

c′

1 c′

2 c′

3

E1 0.87 0 16.08E2 2.61 20 19.45E3 0 0 0E4 20 20 20E5 0 20 17.9

Tabela: Critérios escalados [0, 20]

Vale notar que o fator de escala adotado é δj = 1/20.

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ELECTRE I

Comparações entre estudantes (ações)

J+ E1 E2 E3 E4 E5E1 ∅ {1, 3} ∅ {1}E2 {1, 2, 3} {1, 2, 3} ∅ {1, 3}E3 ∅ ∅ ∅ ∅

E4 {1, 2, 3} {1, 3} {1, 2, 3} {1, 3}E5 {2, 3} ∅ {2, 3} ∅

J= E1 E2 E3 E4 E5E1 ∅ {2} ∅ ∅E2 ∅ ∅ {2} {2}E3 {2} ∅ ∅ {1}E4 ∅ {2} ∅ {2}E5 ∅ {2} {1} {2}

J− E1 E2 E3 E4 E5E1 {1, 2, 3} ∅ {1, 2, 3} {2, 3}E2 ∅ ∅ {1, 3} ∅

E3 {1, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {2, 3}E4 ∅ ∅ ∅ ∅

E5 {1} {1, 3} ∅ {1, 3}

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ELECTRE I

Cálculo dos coeficientes P+ e P=

Definição dos pesos dos critérios:

w1 = 0.50, w2 = 0.25, w3 = 0.25

P+ E1 E2 E3 E4 E5

E1 0 0.75 0 0.5E2 1 1 0 0.75E3 0 0 0 0E4 1 0.75 1 0.75E5 0.5 0 0.5 0

P= E1 E2 E3 E4 E5

E1 0 0.25 0 0E2 0 0 0.25 0.25E3 0.25 0 0 0.5E4 0 0.25 0 0.25E5 0 0.25 0.5 0.25

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ELECTRE I

Cálculo dos coeficientes de concordância

Cik E1 E2 E3 E4 E5

E1 0 1 0 0.5E2 1 1 0.25 1E3 0.25 0 0 0.5E4 1 1 1 1E5 0.5 0.25 1 0.25

Tabela: Coeficiente de concordância Cik

Dik E1 E2 E3 E4 E5

E1 1 0 1 1E2 0 0 0.870 0E3 0.804 1 1 1E4 0 0 0 0E5 0.043 0.130 0 1

Tabela: Coeficiente de discordância Dik

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ELECTRE I

Relações de sobreclassificação das ações

Considerando que os testes sejam satisfeitos para Cik ≥ 0.75 eDik ≤ 0.25:

Quais Cik satisfazem o teste de concordância?

Quais Dik não satisfazem o teste de discordância?

Esboce o grafo das relações entre as ações.

Qual a ordem de sobreclassificação entre as ações (estudantes)?

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ELECTRE I

Discussão

A classificação obtida é coerente: corresponde ao resultado queseria obtido de maneira convencional;

Assim, este método “imita” o pensar humano;

Possui maior capacidade para lidar com grandes quantidades dedados do que o ser humano.

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ELECTRE Iv

Corresponde ao método ELECTRE I com limiar de veto.Contorna dificuldades devidas à heterogeneidade de escalas.Permite selecionar a melhor ou um subconjunto das ações anali-sadas, independente do tipo de escala dos critérios.

Diferença entre ELECTRE I e ELECTRE Iv

O índice de discordância é relacionado à escala do critério cj em ter-mos absoluto, e o limiar de veto é relacionado às diferenças de prefe-rência entre cj(aaai) e cj(aaak ).

Condição de veto

Avaliado quando ∃ j ∈ J−. Define um limite superior a partir do qual adiscordância contrário a (aaai Saaak ) não pode ultrapassar.

cj(aaak )− cj(aaai) ≤ vj(cj(aaai)) , ∀ j ∈ J−

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ELECTRE IS

ELECTRE I com índices Cik e Dik baseados em lógica fuzzy.

Trata simultaneamente heterogeneidade de escalas e incertezas.


Índice de concordância por critério:

Cj(aaai ,aaak ) = 0 se cj(aaak )− cj(aaai) > pj

0 < Cj(aaai ,aaak ) < 1 se qj < cj(aaak )− cj(aaai) ≤ pj

Cj(aaai ,aaak ) = 1 se cj(aaak )− cj(aaai) ≤ qj

Índice de concordância global:

Cik =

∑ncj=1 wjCj(aaai ,aaak )∑nc

j=1 wj

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ELECTRE IS

Índice de discordância

Índice de discordância por critério:

Dj(aaai ,aaak ) =

0 se cj(aaak )− cj(aaai) < vj − qj1 − Cik

1 − τc

1 c.c.

Índice de discordância global:

Dik =

{

0 se Dj(aaai ,aaak ) = 0, ∀ j = 1, . . . , nc

1 c.c.

vj : limiar de veto relativo a aaai Saaak (vj ≥ pj ≥ qj ).

Quanto mais próximo vj for de pj , mais facilmente a afirmativaaaai Saaak é rejeitada (isso reflete a maior importância do critério cj ).

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ELECTRE IS

Relação de sobreclassificação

S(aaai ,aaak ) =

{

1 se Cik ≥ τc e Dik = 00 c.c.

Vantagens em relação ao ELECTRE I

A lógica fuzzy reduz a sensibilidade do método aos parâmetrosdefinidos pelo decisor.

A abordagem fuzzy permite escolher um parâmetro como um “in-tervalo” ao invés de um valor fixo.

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ELECTRE III

Emprega mesmo princípio do ELECTRE II, mas introduz lógicafuzzy ao definir:

um limiar de indiferença; e

um limiar de preferência estrita.

Introduz um grau de credibilidade (confiabilidade) de sobreclassi-ficação:

a decisão final não é mais uma escolha binária entre aceitação ourejeição da ação.

Elimina circuitos (paradoxo de Condorcet).

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ELECTRE III

Pseudo-critério

Um pseudo-critério é definido usando duas bandas que correspon-dem a diferentes áreas de preferência:

uma banda indiferente, onde aaai Iaaak ; e

uma banda de preferência estrita, onde aaai Paaak ou aaak Paaai .

Limiares de preferência

Sejam os limiares de preferência estrita (pj ) e indiferença (qj ).Eles podem ser definidos como:

uma constante; ou

uma função dependente da ação considerada:

pj(aaai) = α+ βcj(aaai)

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ELECTRE III

Relações de preferência

∀ (aaai ,aaak ) ∈ A e assumindo pj ≥ qj

A relação de indiferença é definida como:

aaai Iaaak ⇔ −qj ≤ cj(aaai)− cj(aaak ) ≤ qj

A preferência fraca é definida como:

aaai Qaaak ⇔ qj < cj(aaai)− cj(aaak ) ≤ pj

A preferência estrita é definida como:

aaai Paaak ⇔ cj(aaai)− cj(aaak ) > pj

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ELECTRE III


Índice de concordância por critério:

Cj(aaai ,aaak ) =pj − (cj(aaak )− cj(aaai ))

pj − qjse qj < cj(aaak )− cj(aaai) ≤ pj

Cj(aaai ,aaak ) = 1 se cj(aaak )− cj(aaai) ≤ qj

Cj(aaai ,aaak ) = 0 se cj(aaak )− cj(aaai) > pj

Índice de concordância global:

Cik =

∑

j wjCj(aaai ,aaak )∑

j wj

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ELECTRE III

Índice de discordância

Seja vj um limiar de veto contrário a aaai Saaak e qj < pj < vj .

Índice de discordância por critério:

Dj(aaai ,aaak ) = 1 se cj(aaak )− cj(aaai) > vj

Dj(aaai ,aaak ) =cj(aaak )− cj(aaai)− pj

vj − pjse pj ≤ cj(aaak )− cj(aaai) ≤ vj

Dj(aaai ,aaak ) = 0 se cj(aaak )− cj(aaai) < pj

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ELECTRE III

Grau de credibilidade de sobreclassificação

O grau de confiabilidade de sobreclassificação é definido como:

δik = Cik

∏

j∈J̄

1 − Dj(aaai ,aaak )

1 − Cik

Considerando J o conjunto de critérios, então

J̄ = {j | j ∈ J : Dj(aaai ,aaak ) > Cik}

Quanto maior δik maior a credibilidade da afirmativa aaai Saaak .

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Métodos ELECTRE (Variações)

ELECTRE IS: método ELECTRE I com lógica fuzzy para os ín-dices de concordância e discordância; reduz sensibilidade aosparâmetros definidos pelo decisor.

ELECTRE II: similar ao ELECTRE I, mas modifica a definição dasrelações de sobreclassificação (forte e fraca); elimina circuitos(paradoxo de Condorcet).

ELECTRE III: similar ao ELECTRE II, mas introduz limiares paraas relações de indiferença e preferência estrita entre ações; alta-mente configurável, sendo esta sua principal limitação.

ELECTRE IV: similar ao ELECTRE III, porém elimina a necessi-dade de definição de pesos pelo decisor.

ELECTRE TRI: permite classificar as ações com relação a “açõesde referência”; possui baixa complexidade computacional.

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PROMETHEE I

PROMETHEE – “Preference Ranking Organization Method forEnrichment Evaluations” (Brans et al. 1986).

Permite a construção de uma pré-ordem parcial (admite soluçõesequivalentes).

Utiliza uma abordagem de fluxo num grafo de preferências:

define-se funções de preferência entre cada par de ações, e as re-lações de preferência {P, I, J} são dadas pelo fluxo dessas funçõesde preferência entre os nós do grafo.

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PROMETHEE I

Relações de preferência

P(aaai ,aaak ) = 0 indica indiferença ou não preferência entre aaai ,aaak ∈ A;

P(aaai ,aaak ) → 0 indica preferência fraca pela ação aaai em relação a aaak ;

P(aaai ,aaak ) → 1 indica preferência forte pela ação aaai em relação a aaak ;

P(aaai ,aaak ) = 1 indica preferência estrita pela ação aaai em relação a aaak .

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PROMETHEE I

Conexão entre relações de preferência e critérios

A conexão entre as relações de preferência e os critérios cj ,j = 1, . . . , nc , é dada por:

Pj (aaai ,aaak ) = G [cj(aaai)− cj(aaak )]

em que 0 < G(x) < 1 e G(x) = 0 para x ≤ 0. Várias generalizaçõesde critérios G(x) são empregadas.

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PROMETHEE I

Critério usual:

G(x) =

{

0, se x ≤ 0

1, se x > 0

Quase-critério:

G(x) =

{

0, se x ≤ q

1, se x > q

Critério linear:

G(x) =

0, se x ≤ 0x/p, se 0 < x ≤ p

1, se x > p

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PROMETHEE I

Critério degrau:

G(x) =

0, se x ≤ q

0.5, se q < x ≤ p

1, se x > p

Critério trapezoidal:

G(x) =

0, se x ≤ qx − qp − q

, se q < x ≤ p

1, se x > p

Critério Gaussiano:

G(x) =

{

0, se x ≤ 0

1 − exp(

− x2

2σ2

)

, se x > 0

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PROMETHEE I

Índice de sobreclassificação multiobjetivo

A relação de preferência P(aaai ,aaak ) é dada por:

P(aaai ,aaak ) =

nc∑

j=1wjPj(aaai ,aaak )

nc∑

j=1wj

P(aaai ,aaak ) → 0 indica preferência fraca global de aaai sobre aaak ∀ j.

P(aaai ,aaak ) → 1 indica preferência forte global de aaai sobre aaak ∀ j.

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PROMETHEE I

Representação das relações de preferência

Similar ao ELECTRE, as relações de preferência podem ser re-presentadas num grafo direcionado.

Entretanto, agora considera-se arestas (preferências) bidirecio-nais:

P(aaai ,aaak ) =

nc∑

j=1wjPj(aaai ,aaak )

nc∑

j=1wj

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PROMETHEE I

Relação de fluxo de preferência

O fluxo líquido no nó aaai é dado pela diferença entre o fluxo depreferência que sai do nó e o fluxo que entra:

φ(aaai) = φ+(aaai)− φ−(aaai)

φ(aaai) =∑

aaak∈A

P(aaai ,aaak )−∑

aaak∈A

P(aaak ,aaai)

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PROMETHEE I

Relações de sobreclassificação positiva e negativa

Sobreclassificação positiva (S+ = P+ ∪ I+):

aaai P+ aaak ⇔

{

se φ+(aaai) > φ+(aaak )

aaai I+ aaak ⇔

{

se φ+(aaai) = φ+(aaak )

Sobreclassificação negativa (S− = P− ∪ I−):

aaai P− aaak ⇔

{

se φ−(aaai) < φ−(aaak )

aaai I− aaak ⇔

{

se φ−(aaai) = φ−(aaak )

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PROMETHEE I

Relação de sobreclassificação final

aaai Paaak ⇔

se aaai P+ aaak ∧ aaai P

− aaak

ou aaai P+ aaak ∧ aaai I

− aaak

ou aaai I+ aaak ∧ aaai P

− aaak

aaai Iaaak ⇔{

se aaai I+ aaak ∧ aaai I

− aaak

aaai Jaaak ⇔{

caso contrário.

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PROMETHEE II

PROMETHEE I versus PROMETHEE II

O método PROMETHEE I fornece ao decisor uma classificaçãodas diversas alternativas, porém algumas alternativas podem serincomparáveis.

O método PROMETHEE II elimina a incomparabilidade definindoo seguinte esquema de sobreclassificação (pré-ordem total):

aaai Paaak ⇔{

se φ(aaai) > φ(aaak )

aaai Iaaak ⇔{

se φ(aaai) = φ(aaak )

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Literatura Especializada

Y. Collette, P. Siarry, Multiobjective Optimization: Principles and Case Studies, ser.Decision Engineering, Springer, 2003.

L. Y. Maystre, J. Pictet, J. Simos, Méthodes Multicritères ELECTRE, Presses Poly-techniques et Universitaires Romandes, 1994.

J. Figueira, S. Greco, M. Ehrgott, Multiple Criteria Decision Analysis: State of theArt Surveys, Springer Science, 2005.

B. Roy, Decision-Aid and Decision-Making, European Journal of Operational Re-search, 45, p. 324–331, 1990.

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