Prof. Rômulo Silva

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Teoria

da

Computação

Maio/2007

Prof. Rômulo Silva

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Objetivo desta apostila Esta apostila foi desenvolvida com o objetivo de facilitar o entendimento da Teoria da Computação, principalmente no que se refere às Linguagens Formais e Autômatos. Na sua elaboração foram utilizados os principais livros-textos adotados em disciplinas dessa área. Os exemplos apresentados são bastante simples, visando fins didáticos. Portanto, esta apostila NÃO substitui os livros-textos, sendo apenas um material auxiliar. Se você tem sugestões e/ou correções, envie para romuloce@hotmail.com .

Agradecemos antecipadamente.

Rômulo César Silva

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1. Introdução Teoria da Computação. A Teoria da Computação abrange o estudo de modelos de computadores ou máquinas e o respectivo poder computacional destes modelos. Isto é, que classes de problemas podem ser resolvidas em cada modelo e como representá-los. O modelo de computação atual (ano base: 2007) é incapaz de entender a linguagem humana direta: seja falada ou escrita, dado o número enorme de possibilidades de significados e/ou acepções de uma mesma palavra, além das variações de construções de frases. Linguagens Formais. Para diminuir este distanciamento entre a língua humana (por exemplo: o português, o inglês, etc.) e a programação de computadores foram criadas as linguagens de programação. Estas são linguagens formais, isto é, procuram eliminar toda ambigüidade possível, garantindo assim que um comando e palavras reservadas tenham sempre o mesmo significado independentemente de onde apareçam no programa. A língua portuguesa é uma linguagem natural, sendo que sua representação escrita possui uma gramática. Esta indica onde se deve usar preposição ou não; a concordância verbal e nominal, entre outras regras. Gramáticas. Da mesma forma, as linguagens de programação possuem uma gramática associada, que define a formação de programas válidos. Por exemplo: se cada comando deve ser seguido de ; (ponto-e-vírgula), se o tipo de uma variável vem antes ou depois de seu nome. Algoritmos. As resoluções de problemas são representadas através de algoritmos, sendo que esses são implementados computacionalmente em alguma linguagem de programação. Compiladores. Os compiladores fazem tradução dos programas escritos nas diversas linguagens de programação para instruções que o computador é capaz de executar. Assim, a Teoria da Computação está intimamente ligada ao estudo de linguagens: sua representação (gramática); e sua tradução para instruções da máquina usada (compilador). 2. Gramáticas e Linguagens Formais Uma gramática define a estrutura geral de formação de uma sentença válida para uma linguagem. Suponha o seguinte exemplo simplificado para a Língua Portuguesa: <Frase> ::= <Sujeito> <Predicado> <Sujeito> ::= <Artigo> <Substantivo> <Predicado> ::= < Verbo> <Complemento> <Complemento> ::= <Artigo> <Substantivo> <Artigo> ::= “o” | “a” <Substantivo> ::= “livro” | “mente” <Verbo> ::= “abre”

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Forma Normal de Backus. A gramática anterior está especificada numa notação conhecida como Forma Normal de Backus (BNF). Nessa notação, as palavras entre os símbolos < e > são chamadas variáveis. O símbolo ::= indica que a variável à sua esquerda pode ser substituída pelos valores à direita. Assim, a gramática anterior estabelece que uma frase é formada por um sujeito seguido de um predicado, sendo que este por sua vez é formado por um verbo seguido de um complemento. E portanto, a frase “o livro abre a mente” é uma frase válida segundo a gramática acima. Em uma linguagem de programação teríamos, por exemplo, uma regra que define um comando de atribuição válido: <Atribuicao> ::= <Variável> “:=” <Valor> “;” onde <Variável> se refere a qualquer seqüência de caracteres começando com alguma letra. A descrição de gramáticas seguindo essa forma, embora de simples entendimento, não é muito prática quando se deseja estudar mais genericamente as propriedades das linguagens. Assim, na teoria da computação geralmente é dado um tratamento matemático às linguagens e adotam-se convenções de notação e simplificações, procurando facilitar sua representação e o estudo de suas propriedades. Exemplo de convenções: ao invés de se escrever <Variável>, em geral utiliza-se apenas uma letra maiúscula (V) para representar tais tipos de construção. Além disso, na Teoria da Computação, em geral procura-se estudar classes de linguagens ao invés de uma linguagem específica. A seguir, algumas definições essenciais para o estudo de Linguagens Formais: 2.1 Alfabeto (Σ): é um conjunto finito de símbolos. Na língua portuguesa seria formado pelas 27 letras do alfabeto mais os dígitos de 0 a 9. Outros exemplos: o alfabeto grego, o alfabeto russo. Usamos a letra grega sigma maiúscula (Σ) para representar o alfabeto de uma linguagem. Ex.: Σ = {0,1} representa o alfabeto composto pelos símbolos 0 e 1. 2.2 Palavra ou cadeia: é uma seqüência finita de símbolos do alfabeto concatenados Exemplos de palavras utilizando o alfabeto Σ = {0,1}: 0, 1, 010, 111, 011, etc. O comprimento de uma cadeia w, denotado por |w| é o número de símbolos que compõem w. Assim a palavra 011 tem comprimento 3 (três). Usamos a letra grega epsilon minúscula (ε) para representar a palavra vazia, isto é, ε tem comprimento 0 (zero).

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O símbolo Σ* indica o conjunto de todas as palavras possíveis de serem formadas a partir do alfabeto Σ , de qualquer comprimento incluindo a palavra vazia (ε). A notação an indica a repetição do símbolo a n vezes. Assim a3 representa aaa, a2 representa aa e a0 representa ε (palavra vazia). 2.3 Linguagem Formal: é um conjunto de palavras sobre um alfabeto. Exemplos de linguagens formais sobre o alfabeto Σ = {0,1}: a) L = { 01, 1010, 1110} representa a linguagem formada pelas cadeias 01, 1010 e

1110 somente. b) L = { w | w tem número ímpar de zeros em Σ*} representada todas cadeias

possíveis com número ímpar de zeros usando somente os símbolos 0 e 1. 3. Representação de Linguagens Formais Uma linguagem formal pode ser representada de 3 maneiras:

• Enumeração das cadeias que fazem parte dela. • Gramática, isto é, um conjunto de regras que especifica a formação das

cadeias. • Dispositivo reconhecedor (máquina), que possui embutido um conjunto de

regras de aceitação de cadeias. A primeira só pode ser utilizada para linguagens finitas. As duas últimas são capazes de representar linguagens com número infinito de cadeias.

Gramática. A definição formal de uma gramática é uma quádrupla ordenada

G = (V,T, P,S), onde: • V é o conjunto de símbolos não-terminais, também chamados de variáveis • T é o conjunto de símbolos terminais, tal que V ∩ T = Ø • P é o conjunto de regras de produção • S é o elemento de V denominado símbolo inicial

As regras de produção são escritas na forma α→β , onde α e β são compostos de não-terminais e terminais; além disso, α possui pelo menos um não-terminal. Convenções. As seguintes convenções de notação são adotadas:

• Cada não-terminal é representado por apenas uma letra maiúscula do alfabeto português {A, B, C, D, ...}

• Cada terminal é representado por apenas uma letra minúscula ou dígito {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, a,b,c,d,...}

• Utiliza-se a própria letra maiúscula S para ser o símbolo inicial da gramática.

Exemplo 1: Seja G a gramática: S → AB A → aA | a

B → b Neste exemplo a gramática possui 4 regras: S → AB, A → aA, A → a e B → b .

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O símbolo | pode ser usado quando há mais de uma regra para um mesmo não terminal, como o não-terminal A do exemplo. O conjunto de não-terminais para a gramática G é V= {S,A,B}. O conjunto de terminais T = {a,b} . O conjunto de regras P = { S → AB, A → aA, A → a, B → b }. A seta (→) indica que o não-terminal à sua esquerda pode ser substituído pelo símbolo ou símbolos que estão à sua direita. Assim:

• o não-terminal S pode ser substituído por AB • o não-terminal A pode ser substituído por aA ou por a • o não-terminal B pode ser substituído por b.

As palavras ou cadeias válidas na linguagem são formadas a partir do símbolo inicial, substituindo-o por alguma de suas regras e os não-terminais desta sucessivamente, até que se obtenham apenas terminais. Assim, utilizando a gramática definida anteriormente pode-se obter a palavra aaab efetuando-se as seguintes substituições: (1) S ⇒ AB (2) ⇒ aAB (3) ⇒ aaAB (4) ⇒ aaaB (5) ⇒ aaab Na linha (1) foi usada a única regra disponível para o símbolo S. Na linha (2) foi usada a regra A → aA. Na linha (3) foi usada novamente a regra A → aA. Na linha (4) foi usada a regra A → a. Na linha (5) foi usada a regra B → b. Observe que a notação usada no processo de substituição, indica pela seta ⇒ , é diferente da notação usada na própria gramática, indicada pela seta →. Isto permite diferenciar quando se está gerando uma palavra ou descrevendo uma regra da gramática. Derivação. O processo de substituir um não-terminal por alguma de suas regras é chamado de derivação. Árvore de derivação. A geração de uma palavra pelas sucessivas derivações pode ser representada através de uma árvore, chamada árvore de derivação, onde a raiz é o símbolo inicial S. A Figura 1 apresenta a árvore de derivação para a palavra aaab do exemplo anterior.

Figura 1

S

A B

a

a

a

b A

A

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Efetuando-se todas as possíveis derivações a partir do símbolo inicial S, obtêm-se todas as palavras que compõem a linguagem formal descrita pela gramática, podendo ser infinito o número de palavras. No exemplo da gramática anterior é possível gerar o seguinte conjunto infinito de palavras: L = {ab, aab, aaab, aaaab, aaaaab, ...}. Observando mais atentamente as palavras geradas é fácil notar que todas seguem um padrão: são formadas por uma seqüência de um ou mais a’s e terminadas exatamente com um b. Assim pode-se dizer a gramática representa ou gera a linguagem L = { w | w é formada por uma seqüência de um ou mais a’s seguido de exatamente um b sobre Σ*}, onde Σ = {a,b}. Linguagens de Programação. A gramática de uma linguagem de programação representa todos os programas possíveis de serem escritos nela, geralmente um número potencialmente infinito de programas. Assim, o primeiro trabalho do(s) criador(es) de uma linguagem de programação é definir sua gramática.

Notação. Usa-se L(G) para denotar a linguagem gerada pela gramática G. Gramáticas equivalentes. Uma mesma linguagem pode ser gerada por diferentes gramáticas. Por exemplo, a gramática: S → Ab A → aA | a

gera a mesma linguagem descrita pela gramática vista anteriormente. Assim, quando duas gramáticas geram a mesma linguagem, elas são ditas gramáticas equivalentes. Formalmente: G1 é equivalente a G2 se e somente se L(G1) = L(G2). No estudo das linguagens formais, as gramáticas são classificadas de acordo com as restrições que se impõem sobre suas regras de produção. Assim, as linguagens formais podem ser classificadas em:

• Linguagens Regulares (Tipo 3) - LR • Linguagens Livres de Contexto (Tipo 2) - LLC • Linguagens Sensíveis ao Contexto (Tipo 1) - LSC • Linguagens Recursivamente Enumeráveis (Tipo 0) - LRE

A Figura 2 mostra a relação entre os tipos de linguagens.

Figura 2 As linguagens regulares (LR) são aquelas onde se impõem mais restrições às regras de produção.

LR

LLC

LSC

LRE

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Hierarquia de Chomsky. As linguagens livres de contexto (LLC) são menos restritivas que as linguagens regulares (LR). As linguagens sensíveis ao contexto (LSC) são menos restritivas que linguagens livres de contexto (LLC) e assim por diante. A hierarquia assim gerada é chamada de Hierarquia de Chomsky. Devido ao fato que um tipo de linguagem com mais restrições é um caso particular de um tipo de linguagem com menos restrições, então toda LR é uma LLC. Toda LLC é uma LSC, e toda LSC é uma LRE. Estudaremos inicialmente apenas as linguagens regulares (LR). Gramática Regular (GR). Uma gramática G é regular se todas suas produções são tais que podem ser colocada em alguma das seguintes formas:

• A→ a • A→ aB • A→ ε

Isto é, do lado esquerdo da regra sempre há somente um não-terminal. Do lado direito há um terminal sozinho (acompanhado no máximo de um não-terminal), ou há apenas a palavra vazia (ε). Ás vezes, inicialmente a gramática não possui todas suas regras em alguma das formas segundo a definição de gramática regular. No entanto, fazendo-se pequenas alterações é possível obter uma gramática equivalente onde todas as regras estejam de acordo com a definição de gramática regular. Exemplo: seja G1 a gramática a seguir: S → AB A → aA | a

B → b

G1 é regular. Para ver isto, basta observar que ela é equivalente a G2, definida por: S → aA A → aA | b

Linguagem Regular (LR). Uma linguagem é regular se ela pode ser descrita usando uma gramática regular (GR). 4. Modelos de Máquinas Dispositivo Reconhecedor. Uma outra maneira de definir uma linguagem é através da utilização de um dispositivo reconhecedor, que permite submeter uma palavra ou cadeia a um teste de aceitação capaz de determinar se tal palavra pertence ou não à linguagem em questão. O dispositivo reconhecedor é na verdade um modelo matemático que descreve o funcionamento de uma máquina, onde as cadeias são submetidas para aceitação ou rejeição.

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Cada tipo de linguagem da Hierarquia de Chomsky possui um reconhecer distinto.

Linguagem Reconhecedor Linguagens Regulares (LR) Autômatos Finitos Linguagens Livres de Contexto (LLC) Autômatos com Pilha Linguagens Sensíveis ao Contexto (LSC)

Máquina de Turing com memória limitada

Linguagens Recursivamente Enumeráveis (LRE)

Máquina de Turing

Inicialmente estudaremos os autômatos finitos, capazes de reconhecer linguagens regulares (LR).

5. Autômato Finito Determinístico (AFD) Definição. Um Autômato Finito Determinístico (AFD) é um modelo de máquina definido formalmente por uma quíntupla M = (Σ , Q, δ, q0, F), onde:

• Σ : alfabeto de símbolos de entrada • Q: conjunto finito de estados possíveis para M • δ: função transição ou função programa definida em Q x Σ → Q • q0: estado inicial de M, sendo q0 ∈Q • F: conjunto de estados finais, tal que F ⊆ Q

Figura 3

Um AFD pode ser representado esquematicamente conforme a Figura 3: os símbolos que compõem a palavra a ser testada encontram-se escritos numa fita de entrada, dividida em células, onde cada símbolo ocupa exatamente uma célula. Há um controle finito composto pelos estados possíveis para o autômato, sendo que existe um marcador que indica o estado atual. Além disso, há uma cabeça de leitura que lê um símbolo por vez da fita.

Finito. O autômato é dito finito porque o conjunto de estados possíveis (Q) é finito. Determinístico. O autômato é determinístico quando dado o estado atual de M, ao ler um determinado símbolo na finita de entrada existe apenas um próximo estado possível.

cabeça de leitura

… b a b a a

q0

qn q1

q2 …

fita de entrada

controle finito

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Estado Inicial. O estado inicial q0 indica que ao “ligarmos” o AFD, o marcador automaticamente se posiciona no estado q0, antes de ler qualquer símbolo da fita de entrada. Só pode existir um único estado inicial. Aceitação. Uma palavra é reconhecida (ou aceita) quando o AFD após ler todos os símbolos contidos na fita de entrada, o marcador se encontrar em um estado final. Ao contrário do estado inicial, podem existir vários estados finais. Rejeição. Uma palavra é rejeitada quando após ler todos os símbolos da fita de entrada, o marcador não se encontrar em um estado final ou quando não existe uma transição definida para um símbolo a ser lido, estando o autômato num determinado estado. Máquina de Estados Finitos. Alguns autores denominam os AFDs de máquinas de estados finitos.

Vejamos um exemplo de AFD: Seja M = (Σ,Q, δ,q0,F) tal que Σ = {a,b}, Q = {q0, q1, q2}, F = {q2} e a função transição

(ou função programa) δ definida segunda a tabela a seguir:

δ a b q0 q1 --- q1 q1 q2 q2 --- ---

Interpretando a tabela: estando no estado q0 e lendo o símbolo a na fita de entrada, M

muda para o estado q1. Também estando no estado q0 e lendo o símbolo b na fita de entra, M rejeita a palavra, pois não há transição definida esta situação. Já estando no estado q1, e lendo o símbolo a, M permanece no estado q1. Quando M está no estado q1 e lê um símbolo b, ele muda para o estado q2. E uma vez no estado q2, qualquer símbolo que seja lido, a palavra será rejeitada, pois não há transições definidas a partir de q2.

Grafo Orientado. Comumente representa-se a função programa (δ) utilizando-se um grafo orientado. A Figura 4 apresenta o grafo correspondente à função programa do AFD do exemplo anterior.

Figura 4

Os nós do grafo representam os estados possíveis do AFD enquanto as arestas orientadas representam as transições. A origem de uma seta indica o estado atual. O símbolo a ser lido é colocado sobre a seta.

a a b

q2 q0 q1

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O destino da seta indica o próximo estado após a leitura do símbolo. O estado inicial é indicado através de uma seta sem origem e com destino no estado inicial. Os estados finais são indicados através de dois círculos concêntricos.

Observando o grafo do AFD temos os estados q0, q1 e q2, sendo q0 o estado inicial e q2

o estado final. O estado q1 pode ser traduzido como “estado onde se lê um ou mais a’s. O estado q2 pode ser expresso por: “estado que indica a leitura de exatamente um b”.

Este AFD reconhece a linguagem L = { w | w é formada por uma seqüência de um ou mais a’s seguido de exatamente um b sobre Σ*}, onde Σ = {a,b}. Portanto, é equivalente à gramática vista anteriormente:

S → AB A → aA | a

B → b

Teorema: Toda linguagem regular (LR) possui um AFD equivalente. Outro exemplo: seja L = { abncm | n ≥ 0 e m ≥ 0}. O AFD a seguir reconhece L.

Figura 5 M = (Σ, Q, δ, q0, F) onde Σ = {a, b, c}, Q = {q0, q1, q2}, δ está representada pelo grafo da Figura 5, q0 é o estado inicial e F = {q1, q2}. Exemplos de palavras ou cadeias reconhecidas pelo AFD : a, ab, ab, abb, abbb, abc, abbc, abcc, ac, acc, accc, etc. Exemplos de cadeias não reconhecidas: b, c, ba, acb, aa, etc.

6. Transformação de AFD em Gramática Regular (GR)

É possível escrever uma gramática regular para todo AFD. Para tal basta seguir o algoritmo a seguir:

• a cada estado é associado um não-terminal da gramática, sendo o estado inicial q0 associado ao símbolo inicial (S)

• para cada transição de estado representada no grafo cria-se uma regra de produção na gramática, tal que o estado de origem torna-se o não-terminal à esquerda da regra e o estado destino torna-se um não-terminal do lado direita da regra após o terminal lido na transição.

• cria-se uma regra para cada não-terminal associado a um estado final onde o lado direito da regra é formado apenas pela palavra vazia (ε).

b c a c

q2 q0 q1

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Como exemplo considere o AFD da Figura 5. Fazendo-se q0 = S, q1 = A e q2 = B, a gramática equivalente ao AFD é:

S → aA A → bA | cB | ε

B → cB | ε

7. Transformação de Gramática Regular (GR) em AFD

O algoritmo a seguir mostra como encontrar um AFD equivalente a uma dada gramática regular. Todas as regras da gramática devem ser do tipo A → aB (não-terminal levando a um terminal seguido de um único não-terminal) ou A → a (não-terminhal levando a um terminal sozinho) ou A → ε (não-terminal levando à palavra vazia).

• Para cada não-terminal crie um estado para o AFD, sendo que o símbolo inicial seja o estado inicial ( S = q0 ).

• Para cada regra do tipo A → aB crie uma transição que parta do estado A com destino ao estado B através da leitura do terminal a.

• Para cada regra do tipo A → a crie uma transição que parta do estado A com destino a um estado Ax, através da leitura do terminal a. Além disso, marque o estado como final

• Para cada regra do tipo A → ε, faça do estado associado ao não-terminal A um estado final.

A Figura 6 mostra o AFD equivalente à gramática regular a seguir:

S → aA | bB A → aA | bB | c | ε

B → bB | ε

Figura 6

b

c

b a a

b

B

S

A

A1

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8. Expressões Regulares (ER)

As linguagens regulares podem ser representadas usando uma notação denominada expressão regular. Uma expressão regular utiliza apenas símbolos terminais e alguns caracteres especiais (metacaracteres), sendo que estes têm a função de especificar a quantidade de vezes que um terminal ou grupo de símbolos terminais se repetem dentro da formação de uma palavra pertencente à linguagem.

Definição. A definição formal de uma expressão regular pode ser feita recursivamente da seguinte maneira:

• Se x é um terminal, x é expressão regular. • Se r e s são expressões regulares, então r+s é expressão regular. O sinal +

indica que tanto r ou s formam palavras válidas • Se r e s são expressões regulares, então rs é expressão regular, onde as

palavras são formadas pela concatenação de r e s. • Se r é expressão regular, r* denota a expressão regular onde r é repetida zero

ou mais vezes • Se r é expressão regular, r+ denota a expressão regular onde r é repetida uma

ou mais vezes. Portanto r+ = rr* • Utilizam-se parêntesis para agrupar símbolos que se repetem conjuntamente.

Exemplos: • 001(0+1) denota L = {0010, 0011} • 01(10+11) denota L = { 0110, 0111} • (0 + 01)1 denota L = { 01, 011} • ab*a denota L = {aa, aba, abba, abbba, ...}, isto é, L = { w | w inicia com um

a seguido de zero ou mais b’s e termina com um a} • a(bc)*a denota L = {aa, abca, abcbca, abcbcbca, ...}, isto é, L = { w | w

inicia-se com um a seguido de zero ou mais seqüências de bc e termina com a}

• ab+a denota L = {aba, abba, abbba, ...}, isto é, L = { w | w inicia-se com um a seguido de um ou mais b’s e termina com a}

• (ab + bc)a denota L = {aba, bca} • (a+b)* denota L = {a,b}*, isto é todas as palavras possíveis de serem

formadas a partir do símbolos a e b, inclusive a palavra vazia. • (a+b)*c(a+b)* denota L = { w | w possui exatamente um c sobre Σ = {a,b,c}* }

Unix. O comando grep do sistema operacional Unix permite o uso de expressões regulares para busca de padrões.

Exemplos:

• grep “Mar*” arq: listará todas as linhas do arquivo arq que contêm palavras contendo a string Mar.

• grep Maria arq* : listará todas as linhas de arquivos cujo nome comece com arq e que contenha a string Maria.

• grep –i maria arq : listará todas as linhas do arquivo arq que contenham a string maria (ignorando maiúsculas e minúsculas).

• grep –v maria arq : listará todas as linhas do arquivo arq que não contenham a string maria.

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• grep “[a-z]” arq: listará todas as linhas do arquivo arq que comecem com as letras minúsculas de a a z.

9. Autômatos Finitos Não-determinísticos (AFND)

Definição. Um autômato finito não-determinístico (AFND) é similar a um AFD, porém existe pelo menos um estado tal que ao ler um mesmo símbolo há mais de uma possibilidade de estado destino.

Figura 7

No autômato da Figura 7, existem duas transições de estado possíveis ao ler o símbolo a estando o autômato no estado q0.

Aceitação. Uma cadeia é aceita por um AFND se testando-se todas as transições possíveis à medida que se lê a cadeia, o AFND pára em um estado final após ler toda a cadeia para algum caminho das transições. Assim, o não-determinismo do próximo estado pode ser interpretado como um teste de todas as possibilidades. Exemplos de cadeias aceitas pelo AFND da figura 7: a, ac, ab, abcc, ...

Rejeição. Uma cadeia é rejeita por um AFND se nenhum caminho de transições leva o autômato a um estado final após ler toda a cadeia. Exemplos de cadeias rejeitadas pelo AFND da figura 7: b, bc, abb, aca, ... 10. Autômatos Finitos com Transições ε (AFε)

Definição. Um autômato finito com transições ε (AFε) é um AFND onde existem transições feitas a partir da palavra vazia.

Uma transição a partir da palavra vazia indica que o autômato pode alterar seu estado sem ler nenhum símbolo da fita.

AFND. A existência de apenas uma transição usando a palavra vazia é suficiente para que o autômato seja considerado não-derterminístico (AFND), pois existe uma situação o autômato pode efetuar uma transição sem ler qualquer símbolo da fita.

Aceitação e Rejeição. A aceitação e rejeição de cadeias são feitas do mesmo modo que em AFND.

c

a

b a

q2 q0 q1

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Figura 8

No AFε da Figura 8, o autômato pode fazer a transição para o estado q1 a partir do estado q0 sem ler qualquer símbolo na fita. Assim, as cadeias: b, bc, bcc são aceitas pelo autômato enquanto que bb, aac, acb são rejeitadas.

Teorema. Para todo AFND, incluindo os AFε, é possível construir um AFD equivalente.

Equivalência. Na prática, o teorema anterior estabelece que a facilidade de não-determinismo dos AFNDs não representa um aumento de “poder” computacional em relação aos AFDs. Ou seja, a classe de linguagens reconhecida por AFNDs e AFDs é a mesma.

11. Transformação de Expressões Regulares em AFε Existe um algoritmo simples para conversão de expressões regulares em AFε. Segue sua descrição:

• Se uma expressão regular r é constituída por um único símbolo x, então r pode

ser representada por um autômato de apenas 2 (dois) estados, tal que existe uma transição do primeiro para o segundo estado lendo o símbolo x.

• Se uma expressão regular r é da forma r = r1 + r2, isto é, as palavras válidas são palavras da linguagem descrita por r1 ou da linguagem descrita por r2, então r pode ser representada pela união dos autômatos M1 e M2, que reconhecem r1 e r2 respectivamente, de maneira que M1 e M2 formem caminhos exclusivos entre si utilizando transições ε.

• Se uma expressão regular r é da forma r = r1r2, isto é, as palavras válidas são obtidas da concatenação das palavras da linguagem descrita por r1 com palavras da linguagem descrita por r2, então r pode ser representada pelo seqüenciamento dos autômatos M1 e M2, que reconhecem r1 e r2 respectivamente, de maneira que M2 segue M1 utilizando uma transição ε.

• Apenas o estado que não possui transições com origem nele é um estado final.

Inicialmente procura-se desenhar os autômatos dos símbolos isoladamente, que são de fácil representação. Os autômatos obtidos são combinados segundo as regras anteriores até se obter o autômato que representa a expressão regular completa.

c

a

b ε

q2 q0 q1

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Figura 9

A Figura 9 mostra esquematicamente como pode ser feita a construção de AFε a partir de uma expressão regular. É importante observar que os estados que seriam finais em M1 e M2 para as expressões regulares r1 e r2, não o são quando se faz o autômato que representa r1+r2. E o mesmo ocorre com M1 em r1r2 e em r1

*.

Exemplo: seja a expressão regular (a + ab)(bc)*. Observe que ela é a concatenação das subexpressões (a +ab) e (bc)*. Por sua vez, (a + ab) indica que apenas as palavras a e ab são válidas dentro da subepressão. Já (bc)* é a concatenação dos símbolos b e c, repetidos em grupo, zero ou mais vezes.

Assim, primeiro montamos o autômato para a primeira subexpressão (a + ab) que será:

Figura 10

ε

Mq0r1 q0r

qfr2 qfr1

M

x

ε

ε

ε

ε

q0r1

q0r

qfr2

qfr1 M

M

r = x

r = r1*

r = r1 + r2

r = r1r2

ε

ε

ε

q0r1 qfr1 M

ε

ε ε a

b a ε

ε ε

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Para montar o autômato para a segunda subexpressão (bc)*, primeiro montamos o autômato para bc somente, e sobre o seu resultado aplicamos a regra que permite repeti-lo zero ou mais vezes, obtendo assim:

Figura 11 Agora, uma vez obtidos os autômatos para (a +ab) e (bc)* basta colocá-los em seqüência usando uma transição ε para que representem a concatenação das duas subexpressões, e definir o estado que não possui transições a partir dele como estado final, representando assim o autômato para (a + ab)(bc)*, conforme a Figura 12.

Figura 12

12. Transformação de AFDs em expressões regulares

Conforme visto anteriormente, todo AFD possui um expressão regular equivalente. Segue um algoritmo para converter um AFD em expressão regular.

• 1º passo: dado autômato M, constrói-se M’ equivalente a M, tal que o estado inicial de M’ liga-se ao estado inicial de M por transição ε, e todos os estados finais de M ligam-se ao único estado final de M’ por transição ε. Além disso, os estados finais de M não são finais em M’, conforme o esquema da Figura 13.

ε

ε

c b ε ε ε

εa

b a εε ε

ε

ε

ε

c b ε

ε ε

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Figura 13

• 2º passo: elimina-se gradualmente os estados intermediários entre o estado inicial e final de M’ construindo expressões regulares equivalentes às transições do estado eliminado.

Exemplo: Seja M o autômato da Figura 14. Inicialmente constrói-se o autômato M’, mostrado na Figura 15.

Figura 14

Figura 15

q0’

ε

ε

ε

q0

qf1 M

qfn

.

.

.

.

.

.

M’:

qf’

c

b

b

a

c

a

q3

q1

q2

q0

M

ε

ε

ε c

b

b

a

c

a

qf q1 q0 q0’

q3

q2

M’

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Observe que o autômato da Figura 15 é equivalente ao autômato da Figura 14, pois apenas foram acrescentados dois estados (um novo estado inicial e um final) ligados aos respectivos estados inicial e finais usando transições ε. Agora procedemos à eliminação dos estados intermediários entre q0’ e qf. Assim, eliminado o estado q0 obtém-se o autômato da Figura 16.

Figura 16

A expressão regular colocada na transição de q0’ para q1 representa que saindo de q0’ até chegar em q1 foram lidos zero ou mais a’s e necessariamente um b. Isto corresponde exatamente ao estado eliminado (q0).

Em seguida, eliminando-se o estado q1, obtém-se o autômato da Figura 17.

Figura 17

Observe que o estado q1 possui transição para dois estados distintos (q2 e q3). Portanto ao efetuar sua eliminação é necessário representar como que saindo de q0’ se chega a q2 (representado por a*ba*c), e como se chega a q3 (representado por a*ba*b).

As Figuras 18 e 19 representam a eliminação dos estados q2 e q3, respectivamente.

ε

ε c

a*b

b

a

c

qf q1 q0’

q3

q2

a*ba*b ε

ε

a*ba*c

c

qf q0’

q3

q2

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Figura 18

Figura 19

A expressão regular a*ba*cc* + a*ba*b é equivalente ao autômato original (M). Além disso, sabendo que a subexpressão cc* é equivalente a c+ e que a*ba* é uma subexpressão comum funcionando como um prefixo para cc* e b, pode-se reescrever a expressão da seguinte forma: a*ba*(c+ + b).

Ordem de Eliminação e Equivalência. É importante registrar que a ordem de eliminação dos estados pode resultar em expressões regulares diferentes, porém equivalentes.

13. Minimização de autômatos Definição. Um AFD M para a linguagem regular L é mínimo se qualquer outro AFD M’ para L, tem-se |Q| ≤ |Q’|.

Portanto, um autômato é mínimo se ele possui o menor número de estados possível reconhecendo a linguagem em questão.

Algoritmo. Dado um autômato qualquer, ele pode ser minimizado através do seguinte algoritmo de minimização:

• 1º passo: transformar o AFN ou AFε em AFD • 2º passo: eliminar estados inúteis (aqueles a partir dos quais não é possível

atingir um estado final) • 3º passo: eliminar estados inacessíveis e suas transições (aqueles que não

podem ser atingidos a partir do estado inicial) • 4º passo: particionar inicialmente os estados em 2 subconjuntos: estados

finais (F) e estados não-finais (Q – F) • 5º passo: calcular classes de equivalência (blocos) recursivamente a partir

dos subconjuntos iniciais tal que: iEp ∈∀ e Σ∈∀a , jEap ∈),(δ onde iE e jE

são classes de equivalência.

a*ba*cc* + a*ba*b qf q0’

a*ba*b ε

a*ba*cc*

qf q0’

q3

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Exemplo: seja o autômato da Figura 20. Esse autômato já é determinístico. Portanto inicia-se eliminando estados inúteis. O estado q5 é um estado inútil porque não é estado final e não possui transições a partir dele, logo pode ser eliminado juntamente com suas transições, resultando no AFD apresentado na Figura 21.

Figura 20

Figura 21

O AFD obtido não possui estados inacessíveis. Então passa-se à construção das classes de equivalência, iniciando com os conjunto Q – F = {q0,q1} e F = {q2,q3,q4}. É possível observar que 10 ),( qaq =δ e 01 ),( qaq =δ . Isto é, lendo o símbolo a a partir dos

a

a

a a

b b a

q3

q0 q1

q2

q4

b

b

b

a a

a

b b a

q3

q0

a

q1

q5

q2

q4

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estados que formam o conjunto Q – F, o AFD permanece em um estado do próprio conjunto Q – F. Já a leitura do símbolo b a partir dos estados do conjunto Q – F leva a estados do conjunto F. Além disso, a leitura do símbolo a a partir de estados do conjunto F, o AFD permanece no conjunto F. Assim, podemos agrupar os estados q0 e q1 em único estado (q01) e também os estados q2, q3 e q4 em um único estado (q234), gerando o AFD apresentado na Figura 22.

Figura 22

14. Propriedades das Linguagens Regulares (LR)

Algumas observações sobre linguagens regulares (LR), autômatos finitos determinísticos (AFD), gramáticas regulares (GR) e expressões regulares (ER):

• Toda LR possui GR equivalente • Toda LR possui AFD que a reconhece. • Toda ER possui AFD equivalente • Toda GR possui AFD equivalente

Além das observações anteriores, as linguagens regulares possuem as seguintes propriedades:

• Concatenação: a concatenação de LRs resulta em LR • União: a união de LRs resulta em LR • Fecho: o fecho (repetição de zero ou mais vezes) de LR resulta em LR • Intersecção: a intersecção entre LRs resulta em LR • Complemento: o complemento (Σ* - L) de uma LR resulta em LR.

Fechamento. Pelas propriedades anteriores, diz-se que a classe das linguagens regulares (LR) é fechada quanto às operações de concatenação, união, fecho, intersecção e complemento. Pois, o resultado dessas operações recai dentro da própria classe de linguagens regulares (LR).

As operações de concatenação, união e fecho podem ser melhor visualizadas quando as linguagens regulares são representadas através de expressões regulares. Assim, sejam r e s expressões regulares para as linguagens L1 e L2.

• rs representa a concatenação de L1 e L2. • sr representa a concatenação de L2 e L1. • r+s representa a união de L1 e L2. • r* representa o fecho de L1

a a

b

q234 q01

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15. Limitações de AFDs: exemplos de linguagens não regulares

Conforme visto anteriormente, toda LR possui um AFD que a reconheça. Portanto, uma forma de saber se uma linguagem é regular, é construindo um AFD que a reconheça.

Problema. Inversamente, se não for possível a construção do AFD, então a linguagem não é regular. Porém, como provar a impossibilidade de construir um AFD para uma dada linguagem?

A seguir apresentamos o Lema do Bombeamento para LRs, usado para responder à pergunta anterior.

Lema do Bombeamento para LRs.

• Se L é uma linguagem regular, logo existe AFD para L com n estados, sendo n finito. Se uma palavra w ∈ L têm comprimento maior ou igual a n, isto é, |w| ≥ n, então o AFD assume algum estado mais de uma vez e portanto existe um ciclo no autômato.

• w pode ser dividida em w = uvz tal que |uv| ≤ n e |v| ≥ 1, onde v é a parte de w reconhecida pelo ciclo. Portanto uviz ∈ L para i ≥ 0.

Exemplo de linguagem não regular: L = {anbn | n ≥ 0}. Demonstração por absurdo: suponha que L seja regular, então pelo Lema do Bombeamento para LRs, w = anbn pode ser reescrita como w = uvz onde |uv| ≤ n e |v| ≥ 1. Além disso, uviz ∈ L para i ≥ 0. Tem-se um absurdo, pois |uv| ≤ n, uv é composto só por a’s. Por exemplo, uv2z ∉ L, pois não possui o mesmo número de a’s e b’s. Logo L não é linguagem regular.

Outros exemplos de linguagens não regulares:

• L = {anbm | n ≤ m} • L = {anb2n | n ≥ 1} • L = {an | n é primo}

Dependência. Observando os exemplos de linguagens não regulares apresentados, é possível notar que a quantidade de um determinado símbolo depende da quantidade de outro símbolo, ou ainda depende de um algoritmo que não pode ser representado usando um número finito de estados.

Memória. Os AFDs não possuem memória. Isto é, são incapazes de armazenar a quantidade lida de um determinado símbolo. Nisto, reside sua principal limitação para reconhecer linguagens como L = {anbn | n ≥ 0} e L = {anbm | n ≤ m}.

16. Bibliografia

LEWIS, Harry R. & PAPADIMITRION, Christos H. Elementos de Teoria da Computação. 2.ed. Porto Alegre, Bookman, 2000. MENEZES, Paulo Blauth. Linguagens formais e autômatos. 2.ed. Porto Alegre, Sagra Luzzatto, 1998. 165p.

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HOPCROFT, John E.; ULLMAN, Jeffrey D.; MOTWANI, Rajeev. Introdução à Teoria de Autômatos, Linguagens e Computação; Rio de Janeiro; Ed. Campus, 2002.

DIVERIO, T. A.; MENEZES, P. B. Teoria da Computação: Máquinas Universais e Computabilidade, Série Livros Didáticos Número 5, Instituto de Informática, da UFRGS, Editora Sagra Luzzatto, 1a edição, 1999.

EUGÊNIO, Cristiana Munhoz; PALERMO, Lilliam. Unix Avançado: Programação C-Shell. Disponível em http://www.ccuec.unicamp.br , acessado em 20/03/2006.