SISTEMAS ESTRUTURAIS II

Universidade Federal Fluminense Departamento de Engenharia Civil Sistemas Estruturais II Prof.: Eliane Maria Lopes Carvalho Monitora: Daniela Ribeiro da Costa Silva

OBJETIVOS

Tipos de Estruturas

ESTRUTUR S ISOSTTIC SSo estruturas que apresentam as mnimas condies de manuteno do equilbrio esttico diante da atuao de qualquer carregamento. estrutura isosttica no apresenta reserva de segurana, por isso caso ocorra o rompimento de um de seus vnculos, a estrutura se tornar hipoesttica.

nmero de reaes de apoio = nmero de equaes de equilbrioExemplo:

HB

Temos:V

3 Reaes de poio 3 Equaes de Equilbrio

V

, VB e HB

VB

FH = 0, FV = 0 e Mz = 0

ESTRUTUR S IPOESTTIC Ss estruturas hipoestticas so aquelas que no possuem as condies mnimas de manuteno do equilbrio esttico diante da solicitao de qualquer carregamento. Este tipo de estrutura NO pode ser projetada, por serem inadmissveis para as construes devido sua INST BILID DE.

nmero de reaes de apoio < nmero de equaes de equilbrioExemplo:

V

Temos: 2 Reaes de poio 3 equaes de Equilbrio V e VB F = 0 , FV = 0 e Mz = 0

VB

As estruturas hiperestticas so as estruturas mais freqentes na pratica e so as que devem preferencialmente ser utilizadas. Este tipo de estrutura possui reserva de segurana, apresentando portando condies alm das necessrias para manter o equilbrio esttico. Caso haja, o rompimento de um de seus vnculos, a estrutura manter a sua estaticidade. necessrio impor condies de compatibilidade de deformao para obter mais equaes e resolver o sistema.

ESTRUTURAS HIPERESTTICAS

nmero de reaes de apoio > nmero de equaes de equilbrioExemplo:HA HB

Temos:VA

4 Reaes de Apoio 3 Equaes de Equilbrio

VA, HA, VB e HB

VB

FH = 0 , FV = 0 e Mz = 0

Solicitaes em Estruturas Isostticas Submetidas a Diferentes Tipos de Carregamentos

ESFOROS SIMPLESSeja um corpo submetido a um conjunto de foras em equilbrio:

P2

Seo S

P1

E

D

P3

P4

P1, P2, P3, P4

foras externas

CLCULO DOS ESFOROS NA SEO SP2

a) Secciona-se o corpo por um plano que intercepta segundo uma seo S, dividindo-o em 2 partes: E e D.

Seo S

P1

EP3

DP4

b) Para ser possvel esta diviso, preservando o equilbrio destas duas partes, basta que apliquemos, na seo S, um sistema esttico equivalente ao das foras da parte retirada.P2Qy Qx mx mz z Qz x x z mz Qz mx Qx Qy my y my

P1

D

P4

EP3

y

c) Aplicando as equaes de equilbrio a qualquer das duas partes, obtm-se os esforos atuantes nas sees.

Tipos de Esforos

ESFORO NORMALSoma algbrica das componentes, na direo normal seo, de cada uma das foras atuantes de um dos lados desta seo. O esforo normal pode ser de dois tipos: trao ou compresso.

Trao

Compresso

Conveno de Sinais:N

+Trao

N

N

Compresso

N

ESFORO CORTANTESoma vertical das componentes, sobre o plano da seo, das foras situadas em um dos lados desta seo, na perpendicular do eixo da estrutura. O esforo cortante pode ocorrer em relao ao eixo y ou em relao ao eixo z.

Esforo Cortante em Relao ao eixo z: Esforo Cortante em Relao ao eixo y: Esforo Cortante Positivo Esforo Cortante Negativo Esforo Cortante Negativo

Concluso: um esforo cortante Qy ou Qz, positivo quando, calculando Q Q pelas foras situadas do lado esquerdo da seo, tiver o sentido positivo dos eixos y e z ou, quando for calculado pelas foras situadas do lado + direito da seo, tiver os sentido oposto ao sentido positivo dos eixos y e z. Em caso contrrio, o esforo cortante ser negativo.Q Q

Conveno de Sinais:

Esforo Cortante Positivo

Esforo Cortante Negativo

MOMENTO TORORSoma algbrica dos momentos das foras situadas de um dos lados desta seo em relao ao eixo normal seo que contm o seu centro de gravidade.

Momento Toror Positivo

Momento Toror Negativo

Conveno de Sinais:T

+Momento Toror Positivo

T

T

-

T

Momento Toror Negativo

Soma algbrica dos momentos das foras atuantes de um dos lados da seo em relao ao seu centro de gravidade. Quando ocorre o momento fletor, um dos bordos da viga sofre trao e o outro bordo sofre compresso. Assim como o esforo cortante, o momento fletor pode ocorre em torno do eixo x ou em torno do eixo y.

MOMENTO FLETOR

Momento Fletor em Relao ao eixo y: Momento Fletor em relao ao eixo z: Momento Fletor PositivoBordo Comprimido Bordo Comprimido

Momento Fletor NegativoBordo Tracionado Bordo Tracionado

Bordo Tracionado Bordo Tracionado

Bordo Comprimido Bordo Comprimido

Conveno de Sinais:m m

m

+

-

m

Momento Fletor Positivo

Momento Fletor Negativo

RESUMINDO:No caso mais geral, podemos ter os seguintes esforos simples: a) Esforo Normal N; b) Esforos Cortantes Qy e Qz; c) Momento Toror T; d) Mementos Fletores my e mz

OBSERVAO IMPORTANTE:No caso de estruturas planas, que apresentem carregamentos atuantes apenas no seu prprio eixo, temos a atuao somente dos seguintes esforos: -N - Qy - Mz Esforo Normal ( seja de trao ou de compresso) Esforo Cortante em relao ao eixo y Momento Fletor em relao ao eixo z

Conveno de Sinais para a Elaborao de Diagramas

Esta a conveno de sinais que devemos utilizar para elaborar os diagramas de esforos solicitantes.

Conveno Referente ao Sinal Positivo

Conveno Referente ao Sinal Negativo

Traado de Diagramas em Viga Isosttica Submetida a Carga Concentrada

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gnero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento L, est submetida a uma carga concentrada P.P S1x

AVA = Pb L

S2B Cy VB = Pa L b L

a

Clculo das Reaes de Apoio: FV =0 MB = 0 MA = 0 VA + VB = P VA . L P . b = 0, logo: VA = Pb/L VB . L P . A = 0, logo: VB = Pa/L OK

Conferindo: VA +VB = Pb/L + Pa/L = P

Calculando os esforos nas sees S1 e S2:A

S1x

Q1 m1

Clculo dos Esforos na Seo S1: Q1 = VA =Pb/L

constante

m1 = VA . x = Pb/L . x

Equao de uma reta

VA = Pb L

Clculo dos Esforos na Seo S2: Q2 = VA P = VA ( VA + VB) = Pb/L (Pb/L +Pa/L) = Pb/L Pb/L Pa/L = - Pa/L m2 = VA . y P ( y a )= Pb/L . y P ( y a )P S1x

cte

Equao de uma reta

AVA = Pb L

S 2 Q2Cy

m2

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTEO diagrama de esforo cortante deve ser traado seguindo o sentido das foras atuantes na estrutura. Analisando a estrutura a partir do lado esquerdo, inicialmente temos: - No ponto A, a fora cortante Pb/L para cima, - Posteriormente, no ponto C, a carga concentrada P para baixo. - E finalmente, no ponto B, a fora Pa/L para cima.

Pb LA

+C B

Observe que o diagrama de esforo cortante de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas uma constante

Pa L

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor: mA = 0 e mB = 0 mC esquerda= VA. a =Pb/L

. a = Pba/L

Equao da reta Equao da reta

mC direita = VB . b = Pa/L . b = Pab/L

+

m mx = Pab L

Observe que o diagrama de momento fletor de uma estrutura submetida apenas a cargas concentradas retilneo.

Traado de Diagramas em Viga Isosttica Submetida a Carga Uniformemente Distribuda

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gnero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento L, est submetida a uma carga uniformemente distribuda q.

q AVA = qL 2 Clculo das Reaes de Apoio: FV =0 MB = 0 MA = 0 VA + VB = q . L VA . L qL . L/2 = 0, logo: VA = qL/2 VB . L qL . L/2 = 0, logo: VB = qL/2 OK

BVB = qL 2

Conferindo: VA +VB = qL/2 + ql/2 = qL

Como no h carga horizontal atuando na barra ou mesmo carga inclinada com componente horizontal, no existem reaes no eixo x. Portanto,neste caso no h diagrama de esforo normal.

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTE

Clculo do Esforo Cortante:

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor:

Traado de Diagramas em Vigas Inclinadas Submetidas a Carga Concentrada

Apresentamos uma estrutura bi apoiada com uma viga inclinada, sendo o apoio da esquerda de 20 gnero e o da direita de 10. Colocamos ainda uma carga concentrada q atuando na viga cujo comprimento L.

B VB cos E q VB sen E VB

Temos:L

L=

a +b

EA VA sen E VA VA cos E

VA = VB = q . L 2 Tg E = b a

DIAGRAMA DE ESFORO NORMALClculo do Esforo Normal: N(x) = -VA . senE + q . senE. x (equao da reta) p/x = 0 p/x = L NA = - qL . senE 2 NB = -qL . senE + q . sen E . x 2 NB = qL . senE 2qL senE 2

+

qL senE 2

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTEqL . cosE 2

-

+qL . cosE 2

Clculo do Esforo Cortante: Q(x) = VA . cosE q . cosEx (equao da reta) p/x = 0 p/x = L QA = qL . cosE 2 QB = qL . cosE q . cosE . x 2 QB = -qL . cosE 2

DIAGRAMA DE MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor: m(x) = VA. cos E .x q.cos E . x . x 2 m(x) = qL . cos E .x q.cos E . x 2 2

+q . cosE. L 8

Clculo do Momento Mximo: m mx = qL/2 . cosE . L/2 q. cosE . . (L/2) m mx = q. cosE L/4 q. cosE . L/8 = q.cosE . L/8

Carga Triangular

Apresentamos uma estrutura bi apoiada, com um apoio de 20 gnero e outro de 10. A estrutura, cujo comprimento L, est submetida a uma carga triangular.PB

SAPS

VA = PL 6

VB = PL 3

Clculo das Reaes de Apoio: FV =0 MB = 0 MA = 0 VB . L VA + VB = . P . L . P . L . 2L/3 = 0, logo: VB = PL/3 OK VA . L . P . L . L/3 = 0, logo: VA = PL/6L = PL/6

Conferindo: VA +VB = PL/6 + PL/3 = PL/2

DIAGRAMA DE ESFORO CORTANTEClculo dos Esforos na seo S:PS/x

= P/L

PS = Px/L

SA

PS = P. x L

Cortante: QS = VA . PS . x = PL/6 . Px/L . x QS = PL/6 Px/2L Parbola do 2 grau

VA = Pl 6

PL 6

+ PL 3

DIAGRAMA DO MOMENTO FLETORClculo do Momento Fletor: mS = PL/6 . x . PS . x . x/3 = PL/6 . x . Px/L . x . x/3 mS = PL/6 . x PX/6L Parbola do 3 grau

+m mx = 0,064PL 0,064PL

Clculo do Momento Mximo: O momento mximo ocorre no ponto onde o cortante nulo, para que a seo S ocorra onde o cortante nulo, temos: QS = PL/6 Px/2L = 0 x = L/3 x = 0,577 . L m mx = PL/6 . 0,577L P.(0,577L)/6L m mx = 0,09622L - 0,032PL m mx = 0,064PL