teoremas sobre funções inversíveis
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22/03/13 Funções inversíveis
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1. Funções inversíveis à esquerda
2. Funções inversíveis à direita
3. Funções inversíveis
1.
Funções inversíveis à esquerda
Seja uma função f:A B, f possui uma inversa à esquerda se existir uma função g:B A tal que g ° f = IdA.
Teorema:
f é inversível à esquerda se e somente se f é injetiva.
Prova:
Como f é inversível à esquerda existe g:B A tal que g ° f = IdA.
Então vamos provar que f é injetiva, isto é, f(x1) = f(x2) x1 = x2.
f(x1) = f(x2)
g(f(x1)) = g(f(x2)) x1 = x2
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2.
Funções inversíveis à direita
Seja uma função h:A B, h possui uma inversa à direita se existir uma função j:B A tal que h ° j = IdB.
Exemplo:
h:A B, A={-1,0,1,2}
h(x)= x², B={0,1,4}
Teorema:
h tem inversa à direita se e somente se h é sobrejetiva.
Prova:
Como h é inversível à direita existe j:B A tal que h ° j = IdB.
Então vamos provar que h é sobrejetiva.
(h ° j)(x) = IdB(x) = x
Seja y B
Seja x = j(y)
h(x) = h(j(y)) = y, B= Im(h)
Logo h é sobrejetiva.
Exemplo:
A={-1,0,1}, B={1,2}
f:A B
f(x)=x²+1
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g:B A
g(y)=
Conclusão:
Sendo f:A B uma função injetiva existe uma função g:B A chamada de inversa à esquerda de f tal que g ° f = IdA (g não é única).
Sendo f:A B uma função sobrejetiva existe uma função g:B A chamada de inversa à direita de f tal que f ° g = IdB (g não é única).
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3.
Funções inversíveis
Dada uma função f:A B, dizemos que f é inversível se ela possui uma inversa à esquerda g:B A e ao mesmo tempo uma inversa à direita
h:B A. Neste caso g é igual a h e é única. Representamos h = g = f--1.
Podemos concluir também que f é injetiva e sobrejetiva pois possui inversa à esquerda e à direita.
Vamos provar que
h:B A é igual à g:B A
Como g:B A é a inversa à esquerda temos g ° f = IdA e como h:B A é a inversa à direita temos f ° g = IdB.
(g ° f) ° h = IdA ° h = h,
g ° (f ° h) = g ° IdB = g,
logo concluímos que h = g.
Vamos provar a unicidade da inversa
g1 e g2 inversas à esquerda de f.
h inversa à direita
Se g1 = h e g2 = h , temos g1 = g2. Isso implica que a inversa é única.
Definição:
Dada uma função bijetiva f:A B chama-se função inversa de f a função f1:B A tal que (a, b) f (b, a) f-1.
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A composta de funções inversas entre si.
Teorema.
Seja f uma função bijetiva f:A B
Seja f-1 é a função inversa de f.
Então:
f-1 ° f = IdA e f ° f-1 = IdB
Demonstração:
x A; (f-1 ° f)(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x;
y B; (f ° f-1)(y) = f(f-1(y)) = f(x) = y;
Outros exemplos de funções inversíveis :
(a)
Considere um número real positivo b onde b > 1. A função fb dada por fb(x) = bx para x IR tem uma inversa f--1b com domínio (0, ¥)
chamada função logarítmica. Nós escrevemos f--1b(y) = logby.
Pela definição de função inversa nós temos:
logbbx = x para todo x R
e
b(logby) = y
Em particular, ex e ln x são funções inversas.
(b)
As funções TRANS:Mm,n Mn,m e SNART:Mn,m Mm,n são inversas uma da outra, pois:
SNART(TRANS(A)) = A A Mm,n
e
TRANS(SNART(B)) = B A Mn,m.
A inversa da composta.
Teorema.
Se as funções f e g são bijetoras
f:A B
g:B C
Então: (g ° f)-1 = f-1 ° g-1
Demonstração:
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Observemos inicialmente: se as funções f:A B e g:B C são bijetoras, então a função composta g ° f:A C é bijetiva; logo, existe a função
inversa (g ° f)-1:C A.
Queremos provar que (g ° f)-1 = f-1 ° g-1; então basta provar que:
(f-1 ° g-1) ° (g ° f) = IdA e (g ° f) ° (f-1 ° g-1) = IdC.
Notemos que:
f-1 ° f = IdA, f ° f-1 = IdB, g-1 ° g = IdB e g ° g-1 = IdC.
Então:
(f-1 ° g-1) ° (g ° f) = [(f-1 ° g-1) ° g] ° f = [f-1 ° (g-1 ° g)] ° f = [f-1 ° Idb] ° f = f-1 ° f = IdA.
(g ° f) ° (f-1 ° g-1) = [(g ° f) ° f-1] ° g-1 = [g ° (f ° f-1)] ° g-1 = [g ° Idb] ° g-1 = g ° g-1 = IdC.
Restrição do domínio e do contradomínio.
As inversas das funções são muito utilizadas portanto, algumas vezes restringimos funções que não são injetivas a pequenos domínios de modo
que se tornem injetivas. Fazemos também o contradomínio ser igual a imagem da função, tornando-a sobrejetiva e portanto bijetiva desse modo
é possível encontrar sua inversa.
Exemplo:
f(x) = sen x.
A função a cima é injetiva se o domínio é restrito, por exemplo a [-p/2, p/2]. Com contradomínio [-1,1] a função torna-se bijetiva e portantoinversível.
Gráfico da função sen x Gráfico da função arcsen x
Propriedade de f-1 e f.
Os gráficos cartesianos de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano.
Exemplo:
Gráfico das funções :
f(x) = 2x - 4
f-1(y) = (y + 4)/ 2.
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