Teoremas de Hartman-Grobman, Variedade Estavel e Aplicacoes

Marcus Vinicius de Oliveiramarcus.eletrica@hotmail.com

Universidade Federal de Minas Gerais

8 de setembro de 2012

1 Teorema de Hartman-Grobman

Sendo a classificacao de Sistemas Dinamicos um problema intratavel, e de particular interesse compreen-der o comportamento de Sistemas Dinamicos proximo a singularidades ou a orbitas especıficas. Como ocomportamento de Sistemas Dinamicos Lineares e suficientemente bem compreendido, uma tentativa deestabelecer uma conjugacao topologica entre um Sistema Dinamico e sua parte linear (Derivada) e bas-tante natural. E neste contexto que se insere o Teorema de Hartman-Grobman, segundo o qual campos devetores, assim como difeomorfismos, sao conjugados a suas derivadas na vizinhanca de uma singularidadehiperbolica.

O objetivo desta secao e apresentar o enunciado e a demonstracao do Teorema de Hartman. Ha uminteresse particular pela versao contınua do teorema, sendo conveniente a apresentacao de sua versao paradifeomorfismos (neste trabalho sao sinonimos de Sistemas Dinamicos em tempo discreto), que sera utilizadana demonstracao da versao contınua do teorema.

1.1 Conjugacao entre Difeomorfismos

Definicao 1.1 (Isomorfismo Linear Hiperbolico). Seja E um espaco de Banach. Um Isomorfismo LinearA ∈ L(E) e dito hiperbolico se o espectro de A nao intercepta S1. Caso dim(E) <∞ isso e equivalente aofato de A nao possuir autovalor com norma 1.

Definicao 1.2 (Ponto Fixo Hiperbolico). Seja f um difeomorfismo Ck, f : U ⊂ E → E. p ∈ U e umponto fixo hiperbolico se a aplicacao linear Df(p) e um isomorfismo linear hiperbolico.

Considere A um isomorfismo linear hiperbolico, A : E → E, Existe uma decomposicao de E como somadireta de dois subespacos invariantes por A, E = Es ⊕ Eu, segundo a qual existe α ≥ 0 tal‖A|Es‖ ≤ α e∥∥∥(A|Eu)

−1∥∥∥ ≤ α.

Baseando-se nessa decomposicao de E, considere a seguinte decomposicao do espaco das aplicacoescontınuas e limitadas definidas em E que assumem valores em E,

C0b (E,E) = C0

b (E,Es)⊕ C0b (E,Eu)

Esta decoomposicao e absolutamente natural tendo em vista as aplicacoes projecao, πs : E → Es eπu : E → Eu, definidas por π(xs + xu) = xs e πu(xs + xu) = xu. Se f ∈ C0

b (E,E), defina fs : E → Es,fu : E → Eu, dadas por fs = πs ◦ f e fu = πu ◦ f .

O Teorema de Hartman-Grobman sera enunciado para uma variedade diferenciavel qualquer M. TMp

representa o espaco tangente a M no ponto p.

Teorema 1.1 (Hartman-Grobman para Difeomorfismos). Sejam, f : U ⊂M →M de classe Ck e p ∈ Uum ponto fixo hiperbolico de f . Seja A = Df(p) : TMp → TMp. Entao existem V (p) uma vizinhanca de pem M, U(0) vizinhanca de 0 em TMp e h : U(0)→ V (p) um homeomorfismo tais que:

h ◦A = f ◦ h

1

O teorema sera demonstrado utilizando uma sequencia de lemas e proposicoes, seguindo basicamente atrajetoria apresentada em [1], tambem disponıvel em [2].

Lema 1.1. Seja E um Espaco de Banach, f : U ⊂ E → E uma aplicacao de classe Ck, k ≥ 1 definidano aberto U contendo a origem com f(0) = 0 e seja A = Df(0). Dado ε > 0, existe uma vizinhanca U daorigem tal que f |U e da forma A + ψ, onde ψ e uma aplicacao contınua, limitada e Lipschitziana em Ecom constante de Lipschitz limitada por ε.

Demonstracao. Permita, por simplicidade denotar tanto normas em E quanto valor absoluto por |.|, ocontexto sera responsavel por diferenciar as duas aplicacoes. Defina, inicialmente, uma funcao β : R→ [0, 1]do tipo bump, ou seja, uma funcao C∞ tal que:

β(t) = 0, se t ≥ 1

β(t) = 1, se t ≤ 1/2

|β′(t)| ≤ K, ∀t ∈ R K > 2

Existe uma aplicacao φ tal que f = A + φ e φ(0) = 0, Dφ(0) = 0, pois Df(0) = A pela definicao de A.Considere entao uma bola de raio r centrada na origem, Br(0), tal que Dφ(x) < ε/2K, ∀x ∈ Br(0). Abola que se pretende definir existe uma vez que φ e pelo menos C1, uma vez que f e A o sao e Dφ(0) = 0.Defina

ψ(x) = β

(|x|r

).φ(x)

Daı, ψ(x) = 0 se |x| ≥ r, o que implica que ψ e limitada em E, uma vez que |ψ| ≤ |φ|, e devido adesigualdade do valor medio, a constante de Lipschitz de φ restrita a Br e menor que ε/(2K). Dessa formatem-se que:

|ψ(x)| ≤ |φ(x)| = |φ(x)− φ(0)| ≤ ε

2K.|x− 0| ≤ ε

2K.r, ∀x ∈ Br

Como ψ(x) = φ(x) se |x| ≤ r/2, segue que A + ψ e extensao de f |Br/2. Alem disso ψ e Lipschitziana. De

fato, sejam x1 e x2 ∈ Br.

|ψ(x1)− ψ(x2)| =∣∣∣∣β( |x1|r

).φ(x1)− β

(|x2|r

).φ(x2)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣(β( |x2|r)− β

(|x2|r

))φ (x1)− β

(|x2|r

)(φ (x2)− φ (x1))

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣(β( |x2|r)− β

(|x2|r

))φ (x1)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣β( |x2|r)

(φ (x2)− φ (x1))

∣∣∣∣ ≤K

∣∣∣∣ |x1| − |x2|r

∣∣∣∣ ε

2K|x1|+

ε

2K|x1 − x2| ≤

|x1 − x2|r

.ε

2.r +

ε

2. |x1 − x2| = ε |x1 − x2|

O argumento anterior e valido se x1 ∈ Br e x2 ∈ Br, caso x1 ∈ Br e x2 /∈ Br o mesmo raciocınio seraaplicado.

|ψ (x1)− ψ (x2)| =∣∣∣∣β( |x1|r

)φ (x1)− β

(|x2|r

)φ (x2)

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣(β( |x1|r)− β

(|x2|r

))φ (x1)

∣∣∣∣+

∣∣∣∣β( |x2|r)

(φ (x2)− φ (x1))

∣∣∣∣ ≤K

∣∣∣∣ |x1| − |x2|r

∣∣∣∣ ε

2K|x1| ≤

|x1 − x2|r

ε

2r ≤ ε |x1 − x2|

Para finalizar, e necessario abordar o caso em que x1 /∈ Br e x2 /∈ Br. Nesse caso,

|ψ (x1)− ψ (x2)| = 0 ≤ ε |x1 − x2|

2

Teorema 1.2. (da Perturbacao da Identidade) Seja E um espaco vetorial normado completo, I : E → Ea identidade em E. Seja φ : E → E uma contracao em E. Entao I + φ e um homeomorfismo sobre E

Demonstracao. Sejam x, y ∈ E e h = I + φ. Seja 0 < λ < 1 a constante de Lipschitz de φ. Assim, segueque:

||h(x)− h(y)|| = ||x+ φ(x)− y − φ(y)|| ≥ ||x− y||+ ||φ(x)− φ(y)|| ≥ ||x− y|| − λ||x− y||

= (1− λ)||x− y||

o que demonstra que h e injetiva e tambem a continuidade da inversa (caso exista). Para mostrar asobrejetividade de h seja z ∈ E. Defina a aplicacao fz : E → E, definida por fz(x) = z − φ(x).

||fz(x)− fz(y)|| ≥ ||z − φ(x)− z + φ(y)|| = ||φ(x)− φ(y)|| ≥ λ||x− y||

com λ < 1. Dessa forma como fz e uma contracao existe um unico ponto fixo q para fz, tal que z−φ(q) = q=⇒ (I + φ)(q) = z, provando a sobrejetividade de I + φ, como querıamos. A continuidade e imediata, acontinuidade da inversa ja foi demonstrada, sendo portanto φ um homeomorfismo.

O Lema que sera demonstrado a seguir e de cunho tecnico, mas e extremamente util e sera utilizadopara a obtencao de resultados importantes. Recomenda-se o entendimento completo de seu conteudo

Lema 1.2 (da Perturbacao com Isomorfismos). Seja E um espaco de Banach, L ∈ L(E), satisfazendo||L|| ≤ a < 1 e G ∈ L(E) isomorfismo com ||G−1|| ≤ a < 1 entao:

(a) (I + L) e um isomorfismo com ||(I + L)−1|| ≤ 1/(1− a)(b) (I +G) e um isomorfismo com ||(I +G)−1|| ≤ a/(1− a)

Demonstracao. Seja y ∈ E fixado. Defina u : E → E por:

u(x) = y − L(x)

Dessa forma tem-se que:

||u(x1)− u(x2)|| = ||L(x1)− L(x2)|| ≤ a||x1 − x2||

provando que u e uma contracao. Como E e um espaco de Banach vale o Teorema do Ponto fixo paracontracoes, de forma que u tem um unico ponto fixo, ou seja, ∃!z ∈ E tal que u(z) = z, isto e, y−L(z) = z,de onde vem que y = (I+L)(z), provando que I+L e sobrejetivo. Alem disso, se (I+L)(x1) = (I+L)(x2),x1 + L(x1) = x2 + L(x2) =⇒ x1 − x2 = L(x2 − x1), logo x1 = x2, pois caso contrario ||L|| ≥ 1, umabsurdo. Dessa forma I + L e um isomorfismo.

Seja y ∈ E com ||y|| = 1, e seja x ∈ E tal que x = (I + L)−1(y). Como x + L(x) = y, tem-se quex = y − L(x) e usando a desigualdade triangular e o fato de que ||L|| = a < 1 tem-se que:

||x|| ≤ 1 + a||x||

de onde conclui-se que ||x||(1− a) ≤ 1, ou seja, ||x|| ≤ 1/(1− a), o que completa a demonstracao do ıtem(a).Para demonstrar o ıtem (b), basta ver que (I +G) = G(I +G−1). Como ||G−1|| ≤ a < 1 segue do ıtem (a)que I + G−1 e inversıvel. Como G e um isomorfismo por hipotese, segue imediatamente que I + G e umisomorfismo (por ser composta de isomorfismos). Daı (I +G)−1 = (I +G−1)−1G−1, de onde vem que:

||(I +G)−1|| ≤ ||(I +G−1)−1||.||G−1|| ≤ a

1− a

Isso finaliza a demonstracao do lema.

Corolario 1.1 (da perturbacao de isomorfismo). Sejam E, F espacos de Banach e T : E → F umisomorfismo linear. Seja φ : E → F Lipschitz tal que Lip(φ) < (||T−1||)−1. Entao T + φ : E → F e umhomeomorfismo

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Demonstracao. A demonstracao nao sera apresentada neste texto. Uma boa referencia e [2]. Tente de-monstrar como consequencia do Teorema e do Lema apresentados.

Lema 1.3. Seja A : E → E um automorfismo hiperbolico do espaco de Banach E, entao existe ε > 0 talque se φ1 e φ2 sao ambas funcoes contınuas e limitadas, φ1, φ2 : E → E com constante de Lipschitz menorou igual a ε, entao A+ φ1 e A+ φ2 sao conjugadas.

Demonstracao. Um procedimento muito comum em Sistemas Dinamicos quando se procura um homeo-morfismo que conjuga dois difeomorfismos e escreve-lo como perturbacao da identidade e resolver umaequacao (teoricamente), de modo a chegar a conclusao desejada. Vamos demonstrar portanto que existeum homeomorfismo h : E → E da forma:

h = I + w

Em que w ∈ C0b e que portanto esta a uma distancia finita da identidade. Precisamos resolver a seguinte

equacaoh ◦ (A+ φ1) = (A+ φ2) ◦ h

Como h = I + w (nossa tentativa) segue que

(I + w) ◦ (A+ φ1) = (A+ φ2) ◦ (I + w)

A+ φ1 + w ◦ (A+ φ1) = A+ φ2 + (A+ φ2) ◦ w

Fazendo o cancelamento de A e reagrupando os termos temos que:

A ◦ w − w ◦ (A+ φ1) = φ1 − φ2 (I + w)

Defina o operador L′ definido no espaco das aplicacoes contınuas e limitadas C0b (E,E)

L′ (y) = A ◦ y − y ◦ (A+ φ1)

Mostraremos que L′ e inversıvel e exibiremos uma cota para a norma operatorial de L′−1. Defina ooperador A′ : C0

b (E,E)→ C0b (E,E) por A′(y) = A ◦ y. Dessa forma podemos escrever que

L′ (y) = A′(y −A−1 ◦ y ◦ (A+ φ1)

)Defina portanto outro operador L : C0

b (E,E)→ C0b (E,E) por

L(y) = y −A−1 ◦ y ◦ (A+ φ1)

Ou seja L′ = A ◦ L. Se provarmos que L e A′ possuem inversa ficara automaticamente demonstradoque L′ e inversıvel, sendo sua inversa igual a L−1 ◦ A′−1. E facil ver que A′ e inversıvel pois se u ∈ C0

b

temos que A′(A−1(u)) = u, logo A′ e sobrejetiva. Alem disso se u, v ∈ C0b com A′(u) = A′(v) segue que

A(u) = A(v) e como A e inversıvel, u = v, logo A′ e bijecao. Falta entao provar que L e invertıvel.

Note que C0b (E,Es) e Cub (E,Eu) sao invariantes por L. De fato, como A e um isomorfismo que tem Es

e Eu como subespacos de E invariantes segue que tanto Es quanto Eu sao invariantes por A−1 e portantopor como L(ys) = ys−A−1 ◦ys ◦ (A+φ1) e ys ∈ C0

b (E,Es) segue que a aplicacao ys ◦ (A+φ1) toma valoresem Es, de onde conclui-se que L(ys) ∈ C0

b (E,Es). Assim, pelo que foi observado anteriormente segue quepode-se decompor L da seguinte forma:

L = Ls + Lu

em que Ls = L|C0b (E,E

s) e Lu = L|C0b (E,E

u)

Se ε for suficientemente pequeno, o lema de perturbacao de isomorfismo garante que (A + φ1) e umhomeomorfismo. Vamos definir agora o operador G : C0

b (E,Es)→ C0b (E,Es) por:

G(ys) = A−1 ◦ ys ◦ (A+ φ1)

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Como G e composta de aplicacoes inversıvel, G e inversıvel. A inversa de G, G−1 : C0b (E,Es)→ C0

b (E,Es)e dada por:

G−1(ys) = As ◦ ys ◦ (A+ φ)−1

G−1 e uma contracao com norma limitada por a < 1. De fato, como ||G−1|| ≤ ||As||.||(A+φ1)−1||, escrevax = xs+xu. Se xu 6= 0 e facil ver que e uma contracao tomando ε suficientemente pequeno. Se xu = 0 segueque Ax = As.x e como φ tem constante de Lipschitz que pode ser reduzida o quanto for necessario, A+ φsao proximo de A quanto for necessario. Como tanto ||As|| quanto ||(Au)−1|| tem norma limitada por δ < 1,segue o resultado. Pelo lema 1.2 segue que Ls e inversıvel e ||(Ls)−1|| ≤ a/(1− a) e ||(Lu)−1|| ≤ 1/(1− a).Portanto, L′ e inversıvel com norma

||L′−1|| = ||L−1.A′−1|| ≤ ||A−1||

1− a

Dessa forma tem-se que a equacao de deve ser resolvida e:

w = L′−1(φ1 − φ2 ◦ (I + w))

Ou seja, w sera a solucao da equacao se e somente se for ponto fixo do operador T , T : C0b (E,E)→ C0

b (E,E),definido por:

T (y) = L′−1(φ1 − φ2 ◦ (I + y))

Nao ha nada a fazer senao tentar provar que T e uma contracao para concluir via teorema do ponto fixoque existe um unico ponto fixo. De fato, sejam y1, y2 ∈ C0

b (E,E), tem-se que:

||T (y1)− T (y2)|| = ||L′−1(φ1)− L′−1(φs ◦ (I + y1))− L′−1(φ1) + L′−1(φ2 ◦ (I + y2))|| =

||L′−1(φ2 ◦ (I + y2))− L′−1(φ2 ◦ (I + y1))|| ≤ ||L′−1||.|φ2(I + y1)− φ2(I + y2)| ≤ ||A−1

1− aε|y1 − y2|

Observe assim que para ε suficientemente pequeno T e uma contracao e existe um unico ponto fixo, w.Entao a equacao foi resolvida (de forma teorica, provando a existencia de uma solucao). Resta provar aindaque (I+w) e de fato um homeomorfismo. A contrucao da inversa de (I+w) tambem, sera teorica. Iniciemosobservando que os papeis desempenhados por φ1 e φ2 podem ser trocados, bastanto um intercambio deındices. Assim, obtemos (da mesma forma com que obtivemos w) um unico v ∈ C0

b (E,E) tal que:

(I + v) ◦ (A+ φ2) = (A+ φ1) ◦ (I + v)

Vamos mostrar que (I + v) e a inversa de (I + w). De fato,

(I + w) ◦ (I + v) ◦ (A+ φ2) = (I + w) ◦ (A+ φ1) ◦ (I + v) = (A+ φ2) ◦ (I + v)

. Temos portanto que (I + w) ◦ (I + v) semiconjuga(sobrejetiva) (A + φ2) com ele proprio. Note que(I + w) ◦ (I + v) esta a uma distancia finita da identidade, pois

(I + w) ◦ (I + v) = I + v + w ◦ (I + v)

e v + w ◦ (I + v) ∈ C0b (E,E). Mas a identidade tambem semiconjuga (A+ φ2) com ele mesmo e portanto

pela unicidade da construcao de v (usando o fato de que a equacao tem apenas uma solucao, pois o pontofixo e unico) segue que (I + w) ◦ (I + v) = I e o mesmo vale para (I + v) ◦ (I + w), bastanto para issoobservar que (I + v) ◦ (I + w) semiconjuga (A+ φ1) com ele proprio. Dessa forma:

(I + w) ◦ (I + v) = (I + v) ◦ (I + w) = I

Isso completa a demonstracao.

Os resultados que foram demonstrados ate o presente momento nos colocam em condicoes de provar oTeorema de Hartman-Grobman para difeomorfismos, que sera posteriormente utilizado na demonstracaode sua versao para fluxos, que e o objetivo deste trabalho.

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Demonstracao. (Teorema de Hartman-Grobmann)

Por tratar-se de resultado local, podemos, sem perda de generalidade, (usando cartas locais) supor fum difeomorfismo definido de uma vizinhanca W para outra N de zero em E = TpM , com f(0) = 0 Sejaε0 > 0 tal que A+ φ e globalmente conjugado a A em E, para todo A limitado com constante de Lipschitzlimitada por ε0, conforme o lema 1.3. Para tal ε0, podemos tomar uma vizinhanca Br ⊂ W ∩ N tal que(A + φ)|Br/2

= f |Br/2, (A + φ)|(Br)C = A, φ e limitada e tem constante de Lipschitz menor ou igual a ε0.

Pelo lema 1.3, vale que (A+ φ) e globalmente conjugado a A em E: existe um homeomorfismo h : E → Ea uma distancia finita da identidade tal que da identidade tal que h ◦A = (A+ φ) ◦ h.

Note que como A e isomorfismo hiperbolico, nao possui outro ponto fixo exceto o zero (pois outro pontofixo diferente de zero seria um autovetor do autovalor 1). Tal implica que (A+ φ) possui um unico pontofixo, pois se p e ponto fixo de (A+ φ) temos

h ◦A(h−1(p)) = (A+ φ) ◦ h(h−1)

h ◦A ◦ h−1(p) = (A+ φ)(p) = p =⇒ A ◦ h−1(p) = h−1(p)

Isso prova que h−1 e o unico ponto fixo de A, e portanto h(0) = 0.Dessa forma, podemos restringir h a uma vizinhanca U := U(0) ⊂ Br/2 tal que V := h(U(0)) ⊂ W .

temos entao que para todo x ∈ U ∩A−1(U) vale que:

h ◦A(x) = f ◦ h(x)

o que finalmente conclui a demonstracao.

1.2 Conjugacao entre Campos de Vetores

Definicao 1.3. (Singularidade Hiperbolica) Seja X : V ⊂ Rm → Rm um campo de vetores Ck, k ≥ 0. Umponto p ∈ V e uma singularidade hiperbolica de X se o espectro do operador DXp : Rm → Rm nao temparte imaginaria nula.

Teorema 1.3 (Hartman-Grobman para Campos). Seja X : V ⊂ Rm → Rm um campo Ck (k ≥ 1) e puma singularidade hiperbolica de X. Seja L = DXp. Entao X e localmente topologicamente conjugado aL, em vizinhancas de p e zero, respectivamente

Lema 1.4. Seja X : V ⊂ mathbbRm → Rm um campo de vetores de classe Ck, (k ≥ 1) com X(0) = 0.Seja L = DX0. Dado ε > 0, existe um campo Y : Rm → Rm com as seguintes propriedades:(1) O campo Y tem constante de Lipschitz limitada por K e, portanto, o fluxo induzido por Y esta definidoem RxRm;(2) Y = L fora de uma bola Br(0);(3) Existe um aberto U ⊂ V contendo zero tal que Y = X em U ;(4) Escrevendo Yt = Lt + φt, existe M > 0 tal que |φt| ≤ M para todo t ∈ [−2, 2] e φ1 tem constante deLipschitz menor ou igual a ε.

Demonstracao. Como L = DX0, temos que X = L + ψ, onde ψ : V → Rm e Ck tal que ψ(0) = 0 eDψ0 = 0. Seja β : R→ R uma funcao C1 tal que β(R) ⊂ [0, 1], β(t) = 1 se t ≤ r/2 e β(t) = 0 se t ≥ r. Sejaρ : Rm → Rm definida por ρ(x) = β(|x|)ψ(x) se x ∈ V e ρ(x) = 0 se x ∈ Rm − V . Dado δ > 0, podemosescolher r > 0 de tal forma que ρ seja Ck e seja δ-Lipschitz. Daı, da definicao de ρ, ρ = ψ em B(0, r/2) eρ = 0 fora de B(0, r). Seja Y : Rm → Rm o campo de vetores definido por Y := L + ρ. Daı, Y = X emB(0, r/2), Y = L fora de B(0, l) e Y satisfaz (1).

Seja φt = Yt − Lt

|φt (x)− φ (y) | =∫ t

0

|ρ (Ys (x))− ρ (Ys (y))| ds+

∫ t

0

L (φs (x)− φs (y)) ds

|φt (x)− φ (y)| ≤ δ.e2K . |x− y| .2 +

∣∣∣∣∫ t

0

L (φs (x)− φs (y)) ds

∣∣∣∣6

δ.e2K . |x− y| .2 +

∫ t

0

‖L‖ . |φs (x)− φs (y)| ds

usando a desigualdade de Gronwall, obtemos que:

|φt (x)− φt (y)| ≤ δ.e2K . |x− y| .2.e‖L‖∫ t0ds ≤ δ.e2K . |x− y| .2.e‖L‖.2

Pelo lema 1.1 podemos tomar ρ de modo que a constante de Lipschitz δ seja menor que ε/(e2K .2.e||L||.2).Isso implica, em particular que φ1 tem constante de Lipschiz menor que ε. Finalmente, |φt|, t ∈ [−2, 2] elimitada: Se x ∈ B(0, r):

|φt (x)| = |φt (x)− φt (0)| ≤ ε.r

Se x /∈ B(0, r):

|φt (x)| = |φt (x)− φt (0)| =∣∣∣∣∫ t

0

[ρ (Ys (x))− ρ (Ys (0))] ds+

∫ t

0

L (φs (x)− φs (0)) ds

∣∣∣∣(Note que ρ(Ys(x)) = 0, se Ys(x) /∈ B(0, r))∫ t

0

ε.r.ds+

∣∣∣∣∫ t

0

L (φs (x)− φs (0)) ds

∣∣∣∣ ≤ 2.ε.r + ‖L‖ .∫ t

0

|φs (x)− φs (0)| ds

o que implica novamente pela desigualdade de Gronwall que existe M > 0 tal que |φ(x)| ≤M , ∀x ∈ Rme ∀t ∈ [−2, 2].

Lema 1.5. Seja X : U → Rm um campo de vetores, e φt o seu fluxo. Entao p e singularidade hiperbolicade X se e somente se p e ponto fixo hiperbolico do difeomorfismo φ1, no tempo 1 de X.

Demonstracao. (⇐) Se p e ponto fixo do tempo 1 de X e e hiperbolico, em particular, pelo Teorema deHartman para difeomorfismos, e isolado. Note que p nao pode pertencer a uma orbita periodica de perıodo1, pois em tal situacao, os outros pontos da orbita periodica seriam pontos fixos para φ1, e p nao seria pontofixo isolado. Isso e bastante intuitivo, basta seguir a trajetoria do de um ponto arbitrariamente proximode p e o resultado e imediato. Logo, como φ(n, p) = p, ∀n ∈ N e φ(., p) nao e periodica regular, segue-seda classificacao das trajetorias de um campo que φ(t, p) = p, ∀t ∈ R =⇒ p e singularidade (isolada)de X. Mostremos que p e singularidade hiperbolica, ou seja, que os elementos de Sp(DX(p)) tem partereal nao nula. Da dependencia diferenciavel em relacao as condicoes iniciais, temos que Dxφ e solucao dedZdt = DX(p)Z, Z0 = I. Portanto, Dxφ(t, p) = et.DX(p) o que nos da:

Dfp = Dxφ(1, p) = eDX(p)

E portanto o espectro Sp(Dfp) = eSp(DX(p)) implicando que |λ| 6= 1, ∀λ ∈ Sp(Dfp).

(⇒) Se p e singularidade hiperbolica de X, e imediato que p e ponto fixo de f = φ1. Como vimos acima,da dependencia diferenciavel em relacao as condicoes iniciais, temos que Dxφ e solucao de dZ

dt = DX(p)Z,

Z0 = I. Portanto, Dxφ(t, p) = et.DX(p) o que nos da

Dfp = Dxφ(1, p) = eDX(p)

E portanto o espectro Sp(Dfp) = eSp(DX(p)) implicando que |λ| 6= 1, ∀λ ∈ Sp(Dfp), isto e, p e ponto fixohiperbolico de f .

Demonstracao. (Do Teorema de Hartman-Grobman para Campos) Seja Y : Rm → Rm um campo Ck comono lema 1.4. Como Y = X em U , vizinhanca de zero, temos que a aplicacao identidade conjuga localmenteY e X em U . Como a conjugacao e uma relacao de equivalencia, portanto transitiva, so nos resta mostrarque os fluxos Yt e Lt sao conjugados ∀t ∈ R. Como DY0 = L, da dependencia diferenciavel em relacao ascondicoes iniciais, temos que a derivada (DY1)0 do difeomorfismo induzido no tempo 1 e eL = L1. De fato,escrevendo φ(t, x) = Yt(x), temos que DYt(x) = ∂φ

∂x (t, x) e solucao de:

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{dZdt = DY (φ (t, x))ZZ (0) = Im

Como x = 0 e uma singularidade, φ(t, 0) = 0,∀t, e a equacao acima fica da forma:{dZdt = DY (0)Z = LZZ (0) = Im

Dessa forma (DYt)(0) = et.L, e em t = 1, (DY1)(0) = eL = L1.Dessa forma, o difeomorfismo Y1 = L1 +φ1 tem a origem como ponto fixo hiperbolico e φ1 como o resto

de sua derivada L1 na origem. Dessa forma pelo lema 1.3 existe um unico homeomorfismo h : Rm → Rma uma distancia finita da identidade que satisfaz f ◦ Y1 = L1 ◦ h. Mostratemos que este mesmo h tambemconjuga todos os outros tempos, isto e, que h ◦ Yt(x) = Lt ◦ h(x),∀t ∈ R,∀x ∈ Rm, implicando no fato deque Y e topologicamente conjugado a L, ou seja, Y e topologicamente conjugado a sua parte linear.

Definimos H : Rm → Rm por:

H(x) =

1∫0

L−t ◦ h ◦ Yt(x)dt

H e contınua e esta a uma distancia finita da identidade pelo lema 1.4. Mostratemos que para cada s ∈ Rvale H ◦ Ys = Lz ◦H. Vamos reduzir o problema de mostrar que a expressao vale para todo s a mostrarque vale para todo s ∈ [0, 1]. E preciso mostrar, no entanto, que estas condicoes sao equivalentes. De fato,seja q ∈ R+, podemos escrever q = n+ s, com n ∈ mathbbN e s ∈ [0, 1]. Daı:

H ◦ Yq = H ◦ Y1 ◦ Y1 ◦ ... ◦ Y1︸ ︷︷ ︸nvezes

◦Ys

L1 ◦H ◦ Y1 ◦ Y1 ◦ ... ◦ Y1︸ ︷︷ ︸n−1vezes

◦Ys = Ln+s ◦H = Lq ◦H

Se q < 0 (e H e inversıvel), entao:

H ◦ Yq =(Y−q ◦H−1

)−1=(H−1 ◦ L−q

)−1 − Lq ◦Ho que demonstra o afirmado. Dessa forma, seja s ∈ [0, 1]. Tem-se que:

L−s ◦H ◦ Ys = L−s ◦(∫ 1

0

(L−t ◦ h ◦ Yt) dt)◦ Ys

∫ 1

0

(L−s ◦ L−t ◦ h ◦ Yt ◦ Ys) dt =

∫ 1

0

(L−(s+t) ◦ h ◦ Yt+s

)dt

Tomando u = t+ s− 1 temos:∫ 1

0

(L−(s+t) ◦ h ◦ Yt+s

)dt =

∫ s

−1+s

(L−(u+1) ◦ h ◦ Yu+1

)du =

∫ 0

−1+s

(L−(u+1) ◦ h ◦ Yu+1

)du+

∫ s

0

(L−(u+1) ◦ h ◦ Yu+1

)du

Fazendo v = u+ 1 na primeira parcela:

L−s ◦H ◦ Ys =

∫ 1

s

(L−v ◦ h ◦ Yv) dv +

∫ s

0

L−u ◦ (L−1 ◦ h ◦ Y1)︸ ︷︷ ︸h

◦Yu

du =

∫ 1

0

(Lu ◦ h ◦ Yu) du = H

Temos assim que H e contınua e semiconjuga Y1 e L1. H esta a uma distancia finita da identidade:dado t ∈ [0, 1],

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L−t ◦ h ◦ Yt = L−t ◦ (I + w) ◦ (Lt + φt) = I + L−t ◦ φt + L−t ◦ w ◦ Lt + L−t ◦ w ◦ φtDefina:

wt = L−t ◦ φt + L−t ◦ w ◦ Lt + L−t ◦ w ◦ φt

∃M > 0; |wt(x)| ≤ M, ∀t ∈ R [0, 1] ,∀x ∈ Rm

H(x) =

∫ 1

0

(L−t ◦ h ◦ Yt) dt =

∫ 1

0

(I + wt) dt = I +

∫ 1

0

wtdt

com∣∣∣∫ 1

0wt(x)dt

∣∣∣ ≤ M . Como querıamos.

2 Teorema da Variedade Estavel

Antes de enunciar o Teorema de Variedade Estavel e necessario apresentar algumas definicoes importantesque serao utilizadas no enunciado.

Teorema 2.1. (Variedade Estavel para Singularidades Hiperbolicas.) Seja X : U → Rm um campo declasse Ck exibindo uma singularidade hiperbolica p ∈ U . Designemos por φ fluxo de X. Entao o conjuntoestavel de p

W s(p) = {x ∈ U ;φ (t, x)→ p, t→∞}

e uma variedade de classe Ck de dimensao igual ao ındice de p, e injetivamente imersa em Rm.

Demonstracao. Nao sera apresentada neste texto, recomenda-se consultar [1]

O Teorema da Variedade Estavel e um dos resultados mais importantes na teoria qualitativa local deequacoes diferenciais ordinarias. O teorema nos mostra que proximo a um ponto de equilıbrio hiperbolico, osistema nao-linear x = f(x) possui variedades estaveis e instaveis, S e U respectivamente, que sao tangentes,no ponto de equilıbrio hiperbolico x0, aos subespacos estavel e instaveis, ES e EU respectivamente, dosistema linearizado x = A(x) onde A = Df(x0). Alem disso, S e U tem as mesmas dimensoes de ES e EU .

Teorema 2.2. (Variedade Estavel para orbitas periodicas hiperbolicas) Seja X : U → Rm um campo declasse Ck e γ ⊂ U uma orbita periodica hiperbolica. Entao o conjunto estavel de γ

W s(γ) = {x ∈ U ; d (φ (t, x) , γ)→ 0, t→∞}

e uma variedade de classe Ck de dimensao igual ao ındice de qualquer transformacao de Poincare πassociada a γ mais 1, e injetivamente imersa em Rm.

Demonstracao. Nao sera apresentada neste texto, recomenda-se consultar [1]

3 Analise do Atrator de Lorenz

Nesta secao sera analisado o comportamento de uma equacao diferencial que para certos valores de parametrosgera o conhecido Atrator de Lorenz. Para isso sera utilizado fortemente o Teorema de Hartman-Grobman.

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3.1 Equacao de Lorenz

A equacao de Lorenz tem como parametros σ, ρ e β. Dependendo dos valores destes parametros o com-portamento da equacao varia qualitativamente.

dxdt = σ(y − x)dydt = x(ρ− z)− ydzdt = xy − βz

(1)

Para obter as singularidades do campo Calculando a matriz jacobiana (Matriz que representa a aplicacaoderivada na base canonica) tem-se que:

J =

−σ σ 0ρ −1 −xy x −β

(2)

Sabemos que o fluxo da EDO e topologicamente conjugado ao de sua derivada em uma vizinhanca deuma singularidade. E de particular interesse conhecer o comportamento da EDO numa vizinhanca de umponto estacionario. Para tanto, fazemos[

dxdt

dydt

dzdt

]=[

0 0 0]

Dessa forma, tem-se que as singularidades sao dadas por:

x = yy = x (ρ− z)z = xy

β

(3)

Como x = y, tem-se que x = x(ρ− z). Mas x = 0 =⇒ y = 0 e z = 0 (A origem e uma singularidade).

Se x 6= 0 entao 1 = 1(ρ− z) =⇒ z = ρ− 1 Mas z = xyβ , logo z = x2

β =⇒ x = y = ±√β (ρ− 1). Assim, se

ρ ≥ 1 existem tres singularidades (uma na origem e duas simetricas em relacao ao eixo z). Por outro ladose ρ < 1 a unica singularidade e a origem. Consideremos o caso ρ > 1. Neste caso, as singularidades sao:

P1 = (0, 0, 0)

P2 = (√β (ρ− 1),

√β (ρ− 1), ρ− 1)

P3 = (−√β (ρ− 1),−

√β (ρ− 1), ρ− 1)

Figura 1: Atrator de Lorenz

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A figura 1 apresenta o retrato de fase da EDO para ρ = 28, σ = 10 e β = 83 .

3.2 Bifurcacao e o Atrator de Lorenz

Bifurcacao e uma mudanca qualitativa no comportamento das orbitas de um Sistema Dinamico. A repre-sentacao do comportamento de orbitas em funcao dos parametros e chamado diagrama de bifurcacao. Parao Sistema de Lorenz por exemplo, existe apenas uma singularidade para ρ ≤ 1, ja para rho > 1 existemduas singularidades, que podem ser estaveis ou instaveis dependendo do valor do parametro. Isso podeser facilmente analisado utilizando o teorema de Hartman-Grobman, uma vez que nas vizinhancas de umponto estacionario hiperbolico o fluxo do sistema nao linear e topologicamente conjugado ao fluxo de suaderivada no ponto, segue que o ponto estacionario do sistema nao linear sera estavel se sua derivada naqueleponto tiver todos os seus autovalores no semiplano direito do plano complexo.

Para determinados valores de parametros uma orbita pode perder estabilidade e em contrapartida, umaorbita de perıodo dois pode ganhar estabilidade, fenomeno denominado duplicacao de perıodo, uma dasprincipais rotas para o caos (o que pode ser claramente visto no atrator de Chua na figura 5).

Figura 2: Bifurcacao do Sistema de Lorenz

O diagrama de bifurcacao apresentado na figura 2 pertence ao sistema de Lorenz, quando e analisadoo comportamento do sistema com relacao a variacao do parametro ρ, mantendo-se fixo todos os demais.Observa-se que o atrator simulado e apresentado na figura 1 foi obtido com ρ = 28, ponto para o qualexistem orbitas dos mais diversos perıodos configurando Caos (no sentido de Devaney).

3.3 Aplicacoes

As aplicacoes do Atrator de Lorenz se extendem a diversas ciencias aplicadas. Em Engenharia Eletrica, aarea de Sincronismo de Sistemas Caoticos utiliza com frequencia as series temporais deste sistema dinamicopara aplicacoes em modulacao digital caotica.

Uma grande quantidade de Sistemas Dinamicos e constantemente utilizada em sistemas dinamicos,basicamente como prototipos de sistemas complexos. As EDOs que descrevem estes sistemas sao altamentenao-lineares.

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Figura 3: Atrator de Rosseler

Uma delas e a que da origem ao atrator de Rosseler, cujo retrato de fase e apresentado na figura 3.Um circuito eletrico muito simples pode dar origem a um atrator caotico, e o chamado circuito de Chua.Utilizando um elemento nao linear (indutor nao linear de Chua) e possıvel construir um atrator. O circuitode chua esta apresentado na figura 4 e o atrator gerado com uma combinacao adequada de valores doscomponentes na figura 5.

Figura 4: Circuito de Chua

O circuito de chua, figura 4 tem sido constantemente utilizado como sistema caotico fonte de seriestemporais caoticas, com objetivo de obter espalhamento espectral e reducao de ruıdos em sistemas decomunicacao criptografados caoticamente, principalmente por ser bastante simples e de facil implementacaoem termos de circuito analogico.

Figura 5: Atrator de Chua

A EDO que da origem ao comportamento apresentado na figura 5 e funcao dos componentes (natural-mente) descrita na equacao a seguir.

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C1

dv1dt = 1

R (v2 − v1)− I(v1)

C2dv2dt = 1

R (v1 − v2) + iLLdiLdt = −v2

(4)

4 Conclusoes

Alguns resultados fundamentais em Sistemas Dinamicos e Equacoes Diferenciais Ordinarias tem conduzido aresultados atuais, mesmo que ja obtidos a bastante tempo. Os teoremas de Hartman-Grobman e VariedadeEstavel, juntamento com o λ-Lema e o Shadowing-Lema sao exemplos deste fato. O objetivo centraldeste trabalho foi demonstrar o Teorema de Hartman-Grobman, citar o Teorema da Variedade Estavel eapresentar ideias de areas em que esta teoria e constantemente aplicada (sem aprofundamentos).

Referencias

[1] PALIS, J. e MELO, W.Introducao aos Sistemas Dinamicos, IMPA, Rio de Janeiro, 1990

[2] JUNIOR, A. A.Curso de Equacoes Diferenciais Ordinarias - Apostila, IMPA, Rio de Janeiro, 2009

[3] ARNOLD, V. I.Ordinary Differential Equations, MIT Press, Massachusetts, 1973

[4] MONTEIRO, L. H. Sistemas Dinamicos, Ed. Livraria da Fısica, Sao Paulo, 2006.

[5] AGUIRRE, L. A.Identificacao de Sistemas e Estimacao de Parametros. Tecnicas Lineares e NaoLineares Aplicadas a Sistemas Reais, 2a ed.. Editora da UFMG. Belo Horizonte, 2001

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