Teorema egrégio

Uma consequência do Theorema Egregium é que a Terra nãopode ser representada em um mapa sem distorção. A projeçãode mercator, mostrada aqui, preserva ângulos mas não preservaárea.

O Teorema Egrégio (do latim Theorema Egregium,“teorema notável”) é um resultado fundamental emgeometria diferencial demonstrado por Carl FriedrichGauss que trata da curvatura das superfícies. O teoremaafirma que a curvatura gaussiana de uma superfície ficacompletamente determinada pela medição de ângulos,distâncias e suas proporções na própria superfície, semqualquer referência à forma particular segundo a qual asuperfície esteja situada no ambiente do espaço tridimen-sional euclidiano. Assim, a curvatura gaussiana é uminvariante intrínseco das superfícies.O resultado foi publicado por Carl Friedrich Gauss em1828 juntamente com outras importantes ideias geomé-tricas, tais como a curvatura gaussiana.[carece de fontes?]

O teorema é “notável” porque a definição inicial da curva-tura gaussiana faz uso direto da posição que a superfícieocupa no espaço. Deste modo, é bastante surpreendenteo fato de que o resultado final não depende de sua imersãoapesar de todas as deformações submetidas.Em termos matemáticos modernos, o teorema pode serenunciado como segue:

A curvatura gaussiana de uma superfície é in-variante sob isometrias locais.

1 Aplicações elementares

Animação mostrando a deformação de um helicoide em um ca-tenoide.

Uma esfera de raio R tem uma curvatura gaussiana cons-tante que é igual a 1/R². Ao mesmo tempo, a curvaturagaussiana de um plano é zero. Como um corolário do te-orema egrégio, não se pode embrulhar uma esfera comum pedaço de papel sem amassá-lo. Reciprocamente,a superfície de uma esfera não pode ser desdobrada emuma superfície plana, sem distorcer as distâncias. Se al-guém fosse pisar em uma casca de ovo vazia, suas bor-das teriam que se quebrar ao expandir antes de poder serachatada. Matematicamente falando, uma esfera e umplano não são isométricos, nem mesmo localmente. Estefato é de grande importância para a cartografia: ele im-plica que é impossível criar um mapa perfeito da Terra,mesmo que seja para um pedaço pequeno de sua super-fície. Portanto toda projeção cartográfica distorcerá ne-cessariamente pelo menos algumas distâncias.[1]

A catenóide e o helicóide são duas superfícies bem dife-rentes em sua aparência. Apesar disso, pode-se defor-mar continuamente cada uma delas na outra: elas sãolocalmente isométricas. Segue do teorema notável quesob esta deformação a curvatura gaussiana em quaisquerdois pontos correspondentes do catenóide e do helicóideé sempre a mesma. Desse modo uma isometria consistesimplesmente de torcer e entortar uma superfície semqualquer amassamento ou rasgo interno, em outras pala-vras, sem qualquer tensão, compressão ou cisalhamentoextra.

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2 3 REFERÊNCIAS

2 Notas e referências[1] Aplicações geodésicas foi uma das motivações principais

para que Gauss fizesse suas “investigações sobre as super-fícies curvas”.

3 Referências• Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones generalescirca superficies curvas 1827 Oct. 8 (in Latin),http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=139389

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4 Fontes, contribuidores e licenças de texto e imagem

4.1 Texto• Teorema egrégio Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_egr%C3%A9gio?oldid=40103269 Contribuidores: Leandromartinez,Chobot, Salgueiro, He7d3r, Nemracc, TXiKiBoT, Andrad, José Bonifácio, AlleborgoBot, Kaktus Kid, Louperibot, Ginosbot, Nallim-bot, ArthurBot, RedBot, FMTbot, ZéroBot, KLBot2 e Anónimo: 1

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