tema 1 geometria no plano e no espaÇo ii · 2012-03-20 · 8.1 20 sin 55° p8.2 16,636 8.3 51,0...

TEMA 1 GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

Tarefa 1

2.1 2.2 2.3

2.4 2.5 2.6

3. ; ; tg q = 2

; ; tg a =

1.1 Não. Apenas se sabe que . Pode ter -se, por exem-plo, e .

1.2 ;

2.1 Não. Como , não se verifica a fórmula funda-

mental da trigonometria .

2.2 Sim, pois verifica-se que .

4.1 4.2 4.3

5.1 ; B(0 , 3) ;

7.1 30,9 7.2 308,5 7.3 75,3

8.1 20 sin 55° 8.2 16,636 8.3 51,0

Tarefa 21.

2. Atendendo a que CM é um eixo de simetria da fachada domonumento, conclui-se que . Logo, o triângulo[ABC] é isósceles.

3. m

4. 1.a fase – telhados laterais – 14 433,76 Æ 2.a fase – telhado superior – 15 909,90 Æ

Tarefa 3

1. ) 26 m 2. ) 34° 3.1 Sim. 3.2 O menor valor inteiro que é admissível é 22° .

Tarefa 4

1. 3. °

4.1 cm 4.2 cm

5. Quatro voltas completas.

Tarefa 51.1 9,0 cm 1.2 7,3 cm

Tarefa 61.1 26,8 cm 1.2 57,0 cm 2. 30,0 m

Tarefa 7

1.1 1.2 ; ;

2. Tópicos de resposta: 1.° caso – quando se encontra um ponto de cada lado da

reta, basta traçar o segmento de reta que os une e deter-minar o ponto de interseção deste com a reta.

2.° caso – quando os pontos se encontram do mesmo ladoda reta, considera-se o simétrico de um dos pontos relati-vamente à reta dada. Em seguida, considerando a imagemobtida e o outro ponto, procede-se como no 1.° caso.

3. m

9. 10.

11. 128° 34' 17''

12.1 109,44° 12.2 19° 26' 24''

13.1 ) 86° 13.2 279,3 m

14. 15.1 rad 15.2 rad

16. 135° ; rad

Tarefa 8

1. rad 2.1 6pm 2.2 rad

3.1 P2 3.2 P5 3.3 P10 3.4 P13

4.1 4.2 112,5° 5. 202,5° ; rad

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√215

2√23

√73

√55

5√2626

3√9191

sin q = 2√55

cos q = √55

sin a = 2√1313

cos a = 3√1313

23

BCAC

= 45BC = 8 AC = 10

sin a = 35

tg a = 34

19+ 490 1

sin2 q + cos2 q = 11 + tg2 q = 1

cos2 q

CD = 3√2 tg a = 35

sin a = 3√3434

A 3√32 , 32 C - 3√3

2 , 32

BAWC = 45°

AC = BC

DF ) 2,89

35

a ) 30,8

OO' ) 103 BP ) 16

h = 8√67

AW = 34,0° BW ) 44,4° CW ) 101,6°

) 1058

BW = 69° 52' 30'' AD ) 3,3

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USWT = p12

SRWT = p3

BW = 45°3p4

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3p4

3p2

9p8

11p8

181N

EMA

11-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

17.1 Sentido positivo. 17.2 Sentido negativo.

18.1.1 320 °C 18.1.2 200 °C 18.1.3 240 °C 18.2 - 60° ou 300° 18.3 280 °C

19.1 O.B 19.2 O.C 19.3 O.E 19.4 O.F19.5 O.B 19.6 O.F 19.7 O.F20.1 O.D 20.2 O.A 20.3 O.B 20.4 O.B

Tarefa 91.1 Por exemplo, 780° ; rad .

1.2 Por exemplo, 870° ; rad .

2.1 Por exemplo, - 750° ; rad .

2.2 Por exemplo, - 870°; .

3. 0 Æ (jogada neutra) ; 200 Æ ; a jogada deve ser repetida; + 100 Æ .

4.1 Por exemplo, rad . 4.2 Por exemplo, 730° .

Tarefa 101.1 8 horas 1.2 2 horas 1.3 1 hora1.4 10 horas 1.5 9 horas

2.1 - 360° ; - 2p rad 2.2 - 240° ; rad

2.3 - 3240° ; - 18p rad

3.1.1 14 h 30 min 3.1.2 13 h 15 min 3.1.3 23 h 30 min 3.2 5p rad

21.1 2.° Q 21.2 3.° Q 21.3 2.° Q21.4 2.° Q 21.5 4.° Q 21.6 3° Q21.7 4.° Q 21.8 1.° Q

22. ; ;

23.1 23.2 23.3

23.4 23.5

24. ; ;

27. ; ;

28. ; ;

29.1 ; ;

29.2 ; ; tg a = 3

29.3 ; ;

30. ; ;

31.1 ; ; ;

31.2 ; ; ;

32.1 2.° Q 32.2 4.° Q 32.3 3.° Q 32.4 4.° Q 32.5 2.° Q

33.1.1 Como , tem-se e .

Então, verifica a condição.

33.1.2 Como , tem-se e .

Então, verifica a condição.

33.2 2.° Q ou 4.° Q

Tarefa 111.1.1 negativo 1.1.2 positivo1.1.3 negativo 1.1.4 negativo1.2.1 1.2.2 1.2.3

2.1.1 negativo 2.1.2 negativo2.1.3 positivo 2.1.4 positivo2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4

3.1 positivo 3.2 negativo 3.3 negativo3.4 positivo 3.5 negativo

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

34.1 34.2

35. 0,17

36.1 V 36.2 V 36.3 F 36.4 V

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13p329p6

- 25p6

- 29p6

- 35p3

- 4p3

27p5

" O.R - 1500 " O.S 27p4

" O.T

cos q = 12

sin b = 14

cos a = 34

tg b = - √1515

tg a = - √73

cos a = - 34

sin a = - √74

tg a = √73

A (1 , - √3) B 12 , -√32 C - 1

2 , √3

2

A - √32, - 1

2 B √32 , 12 C 1 , √33

sin a = 15

cos a = - 2√65

tg a = - √612

sin a = 3√1010

cos a = √1010

sin a = - 2√23

cos a = - 13

tg a = 2√2

A (1, √3) B - 12 , √3

2 C 1 , - √32

cos a = 45

tg a = 34B 45 ,

35 F 1 , 34

cos b = - 45

tg b = - 34C - 4

5 , 35 E 1 , - 3

4

31p8

å 4.° Q sin 31p8

< 0 cos 31p8

> 0

31p8

11p5

å 1.° Q sin 11p5

> 0 cos 11p5

> 0

11p5

cos b < cos q < cos a sin a < sin q < sin btg a < tg q < tg b

sin a - tg b > 0 tg a < tg b

cos a > cos b tg a cos b > 0

sin a < sin b cos a < cos b tg a < tg b

sin a > tg a cos b - cos a > 0

b < a < qsin b < sin a < sin q

182 SoluçõesN

EMA

11-P1 © Porto Editora

37. 38.1 38.2

39.1 39.2

39.3 39.4

40. , ,

41.1 3.° Quadrante.

41.2.1 41.2.2

42.1 Verdadeira. 42.2 Falsa.

44.1 44.2 44.3

46.1 46.2 47.

49.1 3.° quadrante 49.2.1 49.2.2

51.1 51.2

Tarefa 121.

2.1 2.2

2.3 2.4

2.5

3.1 ; são ângulos suplementares.

3.2.1 3.2.2

3.2.3

Tarefa 13

1.1 1.2 1.3

1.4 1.5

2.1 2.2 ;

2.3 Opção 2. Na posição inicial de P , a sua abcissa é 0 , cor-respondendo a um ângulo de 0 rad de amplitude. Assim, ográfico de f deveria passar pela origem, o que não acon-tece na opção 1.

53.1 53.2 0 e p 53.3 e

54. ; ;

55.1 0 , , p , e 2p

55.2

56.1 ; zeros: e

56.2 ; zeros:

56.3 ; zeros: , e

57.1 f" II ; g" III ; h" I .

57.2 Zeros de f : ; zeros de g : e ; zeros de h : p ;

58.1 A função não tem zeros.58.3.1 58.3.2 59.1 Ao gráfico de f aplica-se uma translação associada ao

vetor (- p , 0) , obtendo-se o gráfico de g .

59.2.1

59.2.2

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11√21105

- 2√55

√55

k å [0 , 2 + √2[ k å - 1 , - 15

k å [ - 2 , -√3] ∂ [√3 , 2] k å 0 , 12

B (√3 ,3) C (- 3 , -√3) D (-√3 , - 3)

cos a = - √116

tg a = 5√1111

tg a = 34

sin b = 0,8 tg (- b) = - 43

sin a = - √154

tg a = -√15 - 7√3737

- √74

√73

- √39 + 58

3√3940

cos q = √55

sin a = 2√55

tg (- a) = 2 cos 3p2 + q = 2√55

cos (3p + a) = √55

a + b = p

tg a = √136

cos p2 + a = - √137

sin (p + a) = - √137

√32 , 12 √22 , √2

2 - 12 , √3

2 - √3

2 , - 1

2 √22 , - √22

[ - 1 , 1] f (x) = sin (x) g (x) = cos (x)

D'f = [- 3 , 3] - p2

3p2

A (0 , 2) B p2 , 1 C 3p2 , 3p2

3p2

D'h = [0 , 1] - p2

p2

D'h = [ - 1 , 1] - p2

D'h = [ - 1 , 1] - p2p2

3p2

p2

p4

3p4

f (- a) = √3 f (a + 6p) = √3

g a + p2 = - 2√107

tg a = 2√103

183N

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11-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

sin cos tg

√32

- 12 –√3

√22

- √22

- 1

12 - √3

2- √33

0 - 1 0

sin cos tg

1 0 n. d.

√32

12 √3

√22

√22

1

12

√32

√33

sin cos tg

- 12 - √3

2√33

- √22

- √22

1

- √32

- 12 √3

- 1 0 n. d.

sin cos tg

0 1 0

- 12

√32

- √33

- √22

√22

- 1

- √32

12 - √3

x 0 p4

3p4

5p4

7p4

2p

h(x) 0 £ 1 ¢ - 1 £ 1 ¢ - 1 £ 0

Tarefa 141.1 B e D 1.2 A e C

2. . O volume de ar nos pulmões, um segundo apósuma expiração, é de 2,5 litros de ar.

3. . O volume de ar nos pulmões variaentre 2, 25 e 2,75 litros.

5. ; ; ;

6. 2,5 litros. Inspiração.

7.

60.1

62.1 ; ;

62.2 Triângulo isósceles.

Tarefa 151. 20 cm 2.1 69,3 cm 2.2 43,4 cm

3.2 3.3

3.4 Não.

Máximo: 60 ; maximizantes: e .

Mínimo: 20 ; minimizante: .

Tarefa 161.2 ; ;

1.3

2.2 2.3 ;

63.1 Uma solução; 63.2 duas soluções;63.3 duas soluções; 63.4 nenhuma solução.

64.1 64.2

64.3

65.1 Por exemplo, t = 0,2 . 65.2 Por exemplo, t = - 0,3 .

66.2 x = - 60°66.3 ›

67.1 ›

67.2 › › ›

67.3 › › ›

68.1

68.2

68.3

68.4

69.1 69.2

69.3

Tarefa 171.1 15 min .1.2 . A temperatura da substância no início da expe-

riência era de 2 °C .

1.3 10 min .1.4 . Ao fim de 5 min , a substância atingiu a tem-

peratura mínima de - 1 °C .2.1 Aproximadamente, 2,7 min .2.2 Sugestão de tópicos a incluir na composição: • A experiência não teve sucesso.

• A substância permaneceu com temperatura negativadurante cerca de 5,4 min .

• Este valor foi obtido calculando a diferença entre asabcissas dos zeros da função.

• . O tempo durante o qual a substância perma-neceu com temperatura negativa ultrapassou os 5 mincorrespondentes à terça parte da duração da experiência.

70.1 Uma solução. 70.2 Duas soluções.70.3 Três soluções.

71.1 71.2

72.1 72.2

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V (1) = 2,5

D'V = [2,25 ; 2,75]

A (0 ; 2,25) B (2 ; 2,75) C (4 ; 2,25) D (10 ; 2,75)

t = 0,7 › t = 3,3

Df = x å R : x 0 p4+ kp2 , k å Z

Dg = x å R : x 0 3p2

+ 3kp , k å Z

A (cos q ; sin q) B (1 ; sin q) C (1 ; tg q)

[20 , 60] f 2p3 = 100 - 40√3

p6

5p6

p2

A (p , 8) B p2 , 4 C 2p3 , 6sin p2 + x = - 1

4

P p2 , 16p M (0,7 ; 20) Q (2,5 ; 20)

x = 4p5

x å 11p5 , 14p5

x å - 9p5 , - 6p

5 , p5 , 4p

5

x = - 60° + k 360° x = 240° + k 360° , k å Z

x = p3

x = 2p3

t = p12

t = 5p12

t = 13p12

t = 17p12

y = p8

y = 3p8

y = 9p8

y = 11p8

x = p7+ 2kp › x = 6p

7+ 2kp , k å Z

x = - p8+ 2kp › x = 9p

8+ 2kp , k å Z

x = 3p + 4kp , k å Z

x = p18

+ 2kp3 › x = 5p

18+ 2kp

3 , k å Z

x å 0 , 5p4 ∂ 7p4 , 2p x å 0 , p6 ∂

5p6 , p

x å - p , - 3p4 ∂ -

p4 , p

A (0 , 2)

B (5 , - 1)

a ) 2,3228b ) 7,6772

b - a ) 5,4

x = 12p7

x = - 12p7 › x = - 2p

7

x å p3 , 5p3 x å - 5p

6 , 0

184 SoluçõesN

EMA


ap6

p2

5p6

f(a) 60 ¢ 20 £ 60

a b@22"

73.2 73.3

74.1 74.2

74.3 74.4

75.1

75.2

75.3

Tarefa 181.1 ) 28,4 cm 1.2 63 cm

1.3 23 cm 1.4 103 cm

2.2

2.3 ; ;

76. ;

77.1 77.2

78.1

78.2 78.3

78.4

78.5

79.1 Três soluções. 79.2 Por exemplo, e .

80.1

80.2

80.3

Tarefa 191. a = 1,107 2. Sim.

3.2 0,84

5.1 8 unidades de área. 5.2 ) 0,64

Tarefa 201.1 1.2

2.1 2.2

3.2 3.3

4.1 I. A representação gráfica II não pode representar a distânciade C a OM uma vez que esta não toma valores negativos.

4.2

1. (C) 2. (B) 3. (C) 4. (B)

5. (D) 6. (A) 7. (A)

8. (B) 9. (A) 10. (B)

11. (B) 12. (D) 13. (D) 14. (C) 15. (D)

16. (A) 17. (B) 18. (D)19. (D) 20. (B) 21. (A)

Proposta 11. a = 120° ; rad ; ; rad ;

; rad

2. cm2

Proposta 21. 28,4 cm 2.1 rad 2.2 rad

Proposta 31. 3. ;

Proposta 41. ) 7 m 2. ) 5,87 m 3. ) 66° 48'

Proposta 51. ) 143,73 dm3 2. ) 43°

Proposta 6,52 km

Proposta 71. e 2. 43,0 cm2

3. 47 cm

Proposta 81. 29 cm 2. ) 63,6º

Proposta 9Não. A porta não poderia exceder, aproximadamente, 54 cm .

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x = - 150° › x = 150° x = ¿ 150° + k 360° , k å Z

x = ¿ p4+ 2kp , k å Z x å 0 , 2p3 , 4p

3 , 2p

x = kp , k å Z x å - p6 , -p2

x = p3- 4kp

3 › x = - p + 4kp , k å Z

x = 3p20

+ kp › x = - 3p20

+ kp , k å Z

x = 3p8

- 3kp2

› x = 3p4

- 3kp , k å Z

x = ¿ p3+ 2kp , k å Z

xA = 1,27 xB = 5,02 xC = 7,55

q ) 73,3° q ) 1,3 rad

x = - 300° › x = - 120° › x = 60° x = 420°

x å - p8 , 3p8 , 7p

8 , 11p

8 , 15p

8 x = - 6p

5- 2kp , k å Z x = 2kp

3 , k å Z

x = - 3p8

+ kp , k å Z

x = p3+ kp › x = - p

3+ kp , k å Z

a + p a - p

x å 0 , p4 ∂ p2 , 5p

4 ∂ 3p2 , 2p

x å - p , - p2 ∂ -p6 , p

2 ∂ 5p6 , p

x å p , 5p4 ∂ 7p4 , 2p

2p7

å ]0 ; 1,107[

q = 2kp , k å Z q = p + 2kp , k å Zq = kp , k å Z q = p

2+ kp , k å Z

q å p3 , 5p3 , 7p

3 q ) 4,37

q å p6 , 5p6 , 7p

6 , 11p

6

a = 2p3

b = 120° b = 2p3

q = 30° q = p6

9√3

q = p3

q = p4

B (7,5 ; 2,5√3) OW = BW = p4

AW = CW = 3p4

AB ) 7

a = 72° b = 108°

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185N

EMA

11-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

Proposta 101. 540° 2. 7 min 3. 1,33 m2

Proposta 111. cm ; cm 2. rad

Proposta 121. 1136 voltas 2. ) 2,2 km

Proposta 13

1.1 cm2 1.2 cm3

Proposta 14 1. 30 cm 2. Não. Aumentaria para cerca de 35,8 cm .

3. 30 tg a

Proposta 15cm3

Proposta 16

1. 2.

3. 4.

Proposta 171.1 cm2 1.2 cm

3.1 3.2 9,6 cm2

Proposta 181.1 1.2

2. 0 3.

Proposta 192. . Quando a = 0 , o quadrado [EFGH] coincide

com o quadrado [ABCD] e a sua área é igual a 25 cm2 .

3. A área de [ABCD] é o dobro da de [EFGH] .

Proposta 20

Proposta 211. 2.° quadrante 2. 1.° quadrante

3. 3.° quadrante 4. 4.° quadrante

Proposta 22

; ; . Triângulo isósceles e obtusângulo.

Proposta 231. 2.

3. 4.

Proposta 251. 2 2. 1 3. 2 4. 0

5. 1 6. 7. 0 8.

Proposta 261. 3.° quadrante 2. 2.° quadrante

Proposta 27

Proposta 28

Proposta 29

Proposta 3051,36 cm2

Proposta 31Não.

Proposta 321. 2.

3. 4.

Proposta 33D e F

Proposta 341.

2.

3.

4.

Proposta 35

1. 2.

3.

4.

5.

6.

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Pág. 86

Pág. 87

Pág. 83

Pág. 85

Pág. 82

Pág. 88

a ) 8,38 b ) 16,76 q = 7p4

) 174,9 256√23

) 2790

B (1 , √3) A (x) = tg x2

x = p4

A (a) = √55

12√3 (12 + 8√3)

b = p12

A (a) = 144 + 144 tg a V (a) = 288√tg2 a - 1

a å p4 , p2

A (0) = 25

A (a) = 25p - 50tg a

AW = 2p3

BW = p6

CW = p6

cos a - 2 sin a - sin a

2 cos a - sin a

- 34

- 2√3 + 12

3√55

11√212

1 + 2√23

k å [0 , 1] k å [0 , 2]k å ]- 2 , + ? [ k å 0 , 12

x = ¿ 20° + k 360° ; k å Zx = ¿ 50° + k 360° ; k å Zx ) 71,6° + k 180° ; k å Zx ) ¿ 95,7° + k 360° ; k å Z

x = - p3+ kp ; k å Z x = ¿ 4p

5+ 2kp ; k å Z

x = 2kp › x = p3+ 2kp

3 ; k å Z

x = kp ; k å Z

x = - p8+ 2kp › x = 9p

8+ 2kp ; k å Z

x = p4+ kp2 ; k å Z

186 SoluçõesN

EMA


7. 8.

9. 10.

Proposta 36

1.

2.

3.

Proposta 372. 3.1

3.2 3.3

Proposta 38

1. 2.

Proposta 391. Mínimo: –2 ; máximo: 2 2. Mínimo: 1 ; máximo: 3 3. Mínimo: 0 ; máximo: 1 4. Mínimo: 0 ; máximo: não tem

5. Mínimo: 0 ; máximo:

Proposta 402. 0,79 rad

Proposta 41

1. 3.

Proposta 42

1. 2.

Proposta 431. 2 2. 3. 0,4 rad e 1,1 rad

Proposta 441.1 1.2 1.3

3. ; 0,33

Proposta 451.

2. rad

3.1 2,7 s 3.2 4 s 3.3 ) 2,94 s

Proposta 462.2 2.3

3.

Tarefa 211. 2. ;

3. k = 2 . Sim, porque [AB]//[DC] , dado que os vetores esão colineares.

4. . 5.1 5.2

81.1 135° 81.2 45° 81.3 90°81.4 0° 81.5 180°

Tarefa 221.1 4 1.2 0 1.3 12 1.4 - 4 1.5 - 8 1.6 12 1.7 4 1.8 - 12

82.1 8 82.2 - 8 82.3 - 32 82.4 32 82.5 8 82.6 - 1683.1 16 83.2 16 83.3 4 83.4 - 16

84.1 Obtusângulo em C . 84.2 Retângulo em C .84.3 Obtusângulo em B .

85.1 Não. 85.2 Sim. 85.3 Sim.

86.1 146,4° 86.2 41,4°

87.1.1 2 87.1.2 - 4 87.2 53,14°

88.1.1 – 1 88.1.2 2 88.1.3 3 88.1.4 - 1588.2

89.1 - 12 89.2 0 89.3 12

90.1 90.2 53,3°

91.1 ;

91.3 ;

92.1 k = 4 › k = -10 92.2

93.1 93.2

(Nota que, se k = , o ângulo é nulo.)

Pág. 90

Pág. 91

Pág. 92

Pág. 94

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Pág. 101

Pág. 102

Pág. 103

x = 4p3

x = kp2 ; k å Z

x = p2+ kp ; k å Z x = 5p

6

x å 0 , p2 ∂ p2 , 2p

x å 0 , 2p3 ∂ 4p3 , 2p

x å p4 , p2

- √2 x = 4p3 › x = 5p

3

x = 6p5 › x = 9p

5x = 6,53 › x = 9,17

7p6

3√1010

2 -√22

p -√34

4p -√1516

3√32

A (a) = sin a + tg a

4√2

2 sin a 2 sin b cos a - cos b2 +√6 -√2 -√3

4

(12 sin a , 12 - 12 cos a)

a = 0,72

96√3 40√7

g (q) = 8 sin q (2 - cos q) - 8q

AC«»= (6 , 5) u»= (4 , 1) v»= (- 4 , - 1)AB«»

DC«»P 0 , 12 √17 2√10

P - 18 , -18

- 3√3535

AC«»= AB«» + AD«» DB«» = - AD«» + AB«»DAWB = DCWB ) 73,7° CDWA = ABWC ) 106,3°

k å ]- ? , - 10[ ∂ ]4 , + ? [k å ]- 1 , 2[k = 1

313

187N

EMA

11-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

93.3 k = 1 93.4

94.1 ;

94.2 47,97°

Tarefa 24

1. ; ;

;

2.2 125° 4.2.1 131,8° 4.2.2 116,4°

95.1 ; ;

; ;

95.2 2495.3.1 64,1° 95.3.2 64,1° 95.3.3 150,8° 95.3.4 29,2°

96.1 45° 96.2 45° 96.3 112,5°96.4 67,5° 96.5 90° 96.6 90°

97. 54,9° 98.1 64,4° 98.2 Obtusângulo.

Tarefa 25

1.1 ; 1.3 70,53°

2.1 ; 2.2 35,3°

99.1 50° 99.2 170°

100.1 56,3° 100.2 108,4° 100.3 26,6°100.4 72,3° 100.5 122,5°

101.1 135° 101.2 101.3 y = - x - 1101.4 101.5

102. ; ;

103.1 Por exemplo, e

103.3

Tarefa 262. Por exemplo, . porque .

104.1 Por exemplo, . 104.2

105.2 Por exemplo, .

106.2 Não.106.3 Por exemplo, e .

Tarefa 271.1.1 1.1.2 1.1.3

1.1.4 1.1.5

1.2.1 1.2.2

2.1 Por exemplo, 2.2

107.1 107.2

108.1 ; 108.2 108.3

109.1 109.2

111.1

111.2 Reta perpendicular a [AB] e que passa por C .

112.

113.1 113.2 Não pertence.

114.1 114.2 Circunferência de diâmetro [AC] .

115.1 115.2 Superfície esférica de diâmetro [AC] .

116.2 Reta tangente à circunferência de centro C no ponto S .116.3

Tarefa 281.2 ;

1.3 ;

3.1 3.2

Pág. 106

Pág. 107

Pág. 108

Pág. 109

Pág. 110

Pág. 111

Pág. 112

Pág. 114

Pág. 115

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Pág. 113

Pág. 116

Pág. 117

Pág. 118

Pág. 119

Pág. 120

Pág. 121

GA«»= (3 , - 4 , - 2) GB«» = (3 , 0 , - 2)

A a2 , -a2 , 0 B a2 ,

a2 , 0 C - a

2 , a2 , 0

D - a2 , - a

2 , 0 V (0 , 0 , a)

B (2 , 4 , - 3) C (- 2 , 4 , - 3) D (- 2 , - 4 , - 3)E (- 2 , - 4 , 0) F (2 , - 4 , 0) G (2 , 4 , 0)

E - a2 , - a

2 , a2 F a2 , -

a2 , a2

BE«»= (- a , - a , a) BH«» = (- a , 0 , a)

√3y = √3 x +√3 (0 , √3)

mAB = mDE = 0 mBC = mEF = √3 mAF = mCD = -√3

a»= (2,7) b»= - 1 , - 72k = - 7

6

v»= (0 , 4 , 1) v»Y u» v».u»= 0

w» = (5 , 0 , - 2) m = - 49

t»= (0 , 2 , 2)

(- 3 , 0 , 1) (6 , 0 , - 2)

AB«» = (4 , 3) mAB = 34 mr = 34(- 3 , 4) ms = - 4

3

mAB = mr mr = - 1ms

t»= (- 2 , 3) y = 23x + 3

y = 32x - 32

y = - 23x + 23

A (- 2 , 0) C (0 , 1) y = - x - 2B (3 , - 5)

y = - 3x + 1 y = 56x + 35

6

y = 32x - 19

4

x - y + z - 1 = 0- x + y + z - 2 = 0

x2 + y - 2x - 2y - 3 = 0

x2 + y2 + z2 - x - y + z - 6 = 0

y = 3x + 15

u»= (cos b , sin b) v»= (cos a , sin a)

u». v»= cos b cos a + sin b sin aBE = sin (a + b)BE = sin b cos a + cos b sin a

k = - 3 › k = 3

188 SoluçõesN

EMA


Tarefa 291.1 1.2 65 Æ 3.

117.1 Não. 117.2 Não. 117.3 Sim.

Tarefa 301.1 0 ; Sim. 1.2 - 8; Não.

1.3

1.4 a , b e c correspondem, respetivamente, à 1.a , 2.a e 3.a

coordenadas do vetor .

118.2

119.1 ;

119.2 ;

119.3 ;

Tarefa 311.1 - 10 ; Não. 1.2

2.1 Reta perpendicular a a e que passa em T .

2.2 2.3 Sim.

3.2

120.1.1 120.1.2

120.1.3 120.1.4

120.2 ;

120.3 Por exemplo,

121.2 122.1 122.2 122.3

123.1 Por exemplo, ABC e DHE .

123.2 Por exemplo, ABC , AHG e AHE .

123.3 Por exemplo, DBC , BDF e DBA .

123.4 Por exemplo, ABC , AHE e ABD .

Tarefa 321.1 1.3.2

2.2

124.1

124.2

124.3

124.4

125. Sistema impossível. Os três planos são paralelos, sendodois deles coincidentes.

126. Ponto de interseção .

127.1 O ponto de coordenadas .

127.2 A reta de equação.

Tarefa 33

1.1

1.2

1.3

2.

3.1

3.2 4.

5.

Tarefa 341.3 1.4 1.5.1 1.5.3

128.1

128.2 Sim, porque são três pontos não colineares.

128.3

129. e ; e

; e

e

130.1

130.2 130.3

131.

Pág. 126

Pág. 127

Pág. 128

Pág. 131

Pág. 132

Pág. 133

Pág. 135

Pág. 125

Pág. 123

Pág. 124

Pág. 136

Pág. 137

Pág. 139

Pág. 140

Pág. 122

x2 + y2 ≤ 9 (179 , 1136)

4x - 3y - 2z - 15 = 0

n»

k = - 114

n»= (3 , - 1 , 2) P (0 , - 3 , 0)

n»= (1 , 0 , 1) P (0 , 0 , - 7)

n»= (0 , 0 , 1) P (1 , - 2 , 6)

- 5x - 2y + 2z - 21 = 0

(x , y , z) = (- 1 , 3 , - 4) + k (3 , 1 , - 2) , k å R

2x + 3y - 6z - 42 = 0

y = 4 z = 8

y = x x + y - 4 = 0

- x + y + 2z - 8 = 0 (0 , 0 , 4)

n»= (2 , 2 , - 1)

x + 2y + z - 1 = 0 - x + y - 2z + 15 = 0

x - y + 2z + 9 = 0 - x + y + z = 0

(x , y , z) = (0 , 2 , 0) + k (2 , - 2 , 2) , k å R(k , - k + 2 , k) = (0 , 2 , 0) + k (1 , - 1 , 1) , k å R(x , y , z) = (0 , 0 , 0) + k (- 3 , 1 , 7) , k å R

(x , y , z) = (4 , 0 , 0) + k (- 3 , 1 , 0) , k å R(x , y , z) = (4 , 0 , 0) + k (5 , 0 , 1) , k å R(x , y , z) = (0 , 43 , 0) + k (0 , 53 , 1) , k å R

(x , y , z) = (1 , 1 , 0) + k (1 , 43 , 1) , k å R

(- 2 , 4 , 6)

(1 , 3 , 5)

(x , y , z) = (- 1 , 1 , 0) + k (2 , 1 , 1) , k å R

(x , y , z) = (4 , 0 , 2) + k (0 , 1 , - 34) , k å R

(x , y , z) = (4 , 0 , 1) + k (0 , 1 , 34) , k å R

(x , y , z) = (0 , 23 , 32) + k (1 , 0 , 0) , k å R

C (4 , 23 , 32)

(x , y , z) = (0 , 0 , 2) + k (1 , 1 , - 34) , k å R

P (- 2 , - 2 , 72) 3y - 4z - 11 = 0

(x , y , z) = (0 , 3 , - 18) + k (1 , 1 , 6) , k å R

2x + y + 2z - 3 = 0(x , y , z) = (0 , 4 , - 1) + k (1 , - 2 , 0) , k å Rk = - 5 (1 , 2 , - 1)

x - 23

= y + 3 = z - 411

(x , y , z) = (2 , 0 , - 6) + k (3 , 4 , 1) , k å RR (- 1 , 0 , 2) r»= (3 , 2 , 1) S (3 , 0 , 1)

s»= (- 1 , 12 , 4) T (3 , 0 , 2) t»= (0 , 1 , 5)

U (2 , - 1 , 7) u»= (1 , 0 , 0)

(x , y , z) = (0 , - 1 , 1) + k (1 , 3 , - 1) , k å R

(35 , 45 , 2

5) x + 1 = y - 33

= - z + 2

V = 253

189N

EMA

11-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

Tarefa 351. ;

2. Perpendicular.

3. ;

4. Paralela.

Tarefa 361. ; ;

2. Paralelos.

3. ;

4. Perpendiculares.

Tarefa 371.1 ; 1.3

2.1 2.2 k = 6

2.3

3.1

3.2 3,2

132.1

132.2

133.1 133.2

134.1 Não. Seriam necessárias 22 raparigas e a turma só tem 20 .134.2 550 euros.134.3

135. Máximo: 10 ; mínimo: 4 .

136.1 42 136.2 60

Tarefa 381.

2. 3.

4. ; ; ;

5.

6. Como o valor máximo da receita corresponde a dois vérticesadjacentes do polígono, A e B , todos os pontos (x , y) decoordenadas inteiras pertencentes a [AB] são soluções ótimas.

Tarefa 391.1

1.2 , , e 1.3 1.4.1 Uma infinidade. Todos os pontos pertencentes ao segmento

de reta [AB] , sendo e .

1.4.2 Dois pontos.

2.1 2.2 e

Pág. 145

Pág. 146

Pág. 149

Pág. 150

Pág. 143

Pág. 141

Pág. 142

Pág. 151

1

1

3 5

592

x

y

O

1

1 3 x

y

3

O

x

B

A30

função objetivo

45

25

10

y

O

x3 7

5

y

O

73

n»= (- 2 , 1 , 3) r»= (- 2 , 1 , 3)

n»= (- 2 , 1 , 3) s»= (2 , 1 , 1)

u»= (1 , 3 , - 2) v»= 12 , 32 , - 1 u»= 2 v»

u»= (1 , 3 , - 2) w» = (4 , - 2 , - 1)

R (0 , 1 , - 2) R ∫ a x - 5 = - y2= z2

x + 3y + 2z + 5 = 0

x = - 2z + 5914 ‹ y = 13

14

(x , y , z) = 2 , 52 , - 4 + k 3 , 12 , - 1 , k å R

x ≥ 1 ‹ y ≥ 13x + 2

3 ‹ y ≥ 2x - 6 ‹ y ≤ - 1

4x + 21

4

y ≥ 1 ‹ y ≤ - 4x + 17 ‹ y ≤ 23x + 3 ‹ y ≥ - x + 3

F (x , y) = 50x + 60y

R (x , y) = 30x + 45y x ≥ 0y ≥ 02x + 3y ≤ 90x + 2y ≤ 50

O (0 , 0) A (45 , 0) B (30 , 10) C (0 , 25)

(0 , 0) 7 , 73 (7 , 0) (3 , 5) (3 , 5)

B (3 , 5)A 7 , 73

B (4 , 2)A (1 , 4)C (7 , 5)

190 SoluçõesN

EMA

11-P1 © Porto EditoraN.° de fatos

de treinoN.° de pares de sapatilhas Receita

Conjunto dotipo A x 2x x 30x

Conjunto dotipo B y 3y 2y 45y

Total x + y 2x + 3y x + 2y 30x + 45y

Vértice R (x , y)

O (0 , 0) 0

A (45 , 0) 1350

B (30 , 10) 1350

C (0 , 25) 1125

Conjuntos do tipo A , x

Conjuntos do tipoB , y

Receita

30 10 1350

33 8 1350

36 6 1350

39 4 1350

42 2 1350

45 0 1350

Tarefa 401. É possível. Para tal são necessários 62 kg de amêndoas

de licor e 98 kg de amêndoas de chocolate, quantidadesinferiores às existentes em stock.

2.1 Quantidade, em quilogramas, de amêndoas de chocolategasta nas duas misturas.

2.2 Quantidade, em quilogramas, de amêndoas de licor gastanas duas misturas.

3.

4.1 F(x , y) = 12x + 9y 4.2 (x , y) = (130 , 50)

Tarefa 411. O presidente da associação de estudantes deve alugar 4

autocarros de 25 lugares e 2 de 50 lugares.

2.1 Não. 2.2 2.3 (3 , 7)

1. (C) 2. (D) 3. (B) 4. (B) 5. (B)

6. (B) 7. (A) 8. (A) 9. (B) 10. (C)

11. (C) 12. (A) 13. (B) 14. (A) 15. (C)

16. (C) 17. (A) 18. (B) 19. (C) 20. (A)

21. (A) 22. (D) 23. (A) 24. (A) 25. (B)

26. (D) 27. (D) 28. (A) 29. (C) 30. (B)

Proposta 11. 3 2. - 8 3. 27

Proposta 2

1. 2. 3. 54

Proposta 3

1. 2.

Proposta 41. - 4,942.1 3,4

Proposta 56

Proposta 61. 0° 2. 90° 3. 180° 4. 150°

Proposta 71. 10,2 2.1 0 2.2 2.3

Proposta 81.

2. 10,62°

3. Circunferência de diâmetro [AB] .

Proposta 91. 2.1 3 min 2.2 53° 2.3 Círculo de diâmetro [AO] ; está contido na área regada

uma vez que < 5 m .

Proposta 10

1. 2.

3. 26,6° 4.

Proposta 112.1 Reta perpendicular a e que passa por A .

2.2 Por exemplo: “Determina as coordenadas do ponto de interseção da reta

r com a reta que lhe é perpendicular e que passa peloponto A .”

2.3

Proposta 122. - 32 3.

Proposta 131. Mediatriz de [BC] .

3.

Proposta 141. 37°

2.

Pág. 158

Pág. 159

Pág. 160

Pág. 161

Pág. 162

Pág. 157

Pág. 163

Pág. 156

Pág. 154

Pág. 155

Pág. 153

Pág. 152

Pág. 164

x > 0y > 00,5x + 0,7y ≤ 1000,5x + 0,3y ≤ 80

23 , 12

- x2

212√5

a2

2- a

2

2

- 9√2 - 12√2

y = 2x + 7

x - 32

2

+ (y - 2)2 = 534

v»= (- 2 , 1)

y = - x3+ 113

3√105

k å ]- 4 , 2[

u»

7√55

(0 , - 2√3)

y ≥ 0 ‹ y ≤ 23x + 3 ‹ y ≤ - 3

2x + 3

OA

x ≥ 0 ‹ y ≥ 0 ‹ y ≥ 34x - 17

4 ‹ x2 + (y - 2)2 ≥ 25

191N

EMA

11-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

Proposta 151. Plano yOz .

2. Plano mediador de [AB] .

3. Superfície esférica de diâmetro [AB] .

4. Circunferência de centro O e raio 3 , contida no plano yOz .

5. Ponto (0, 0, 3) .

Proposta 161. 2. 60°

3.

Proposta 171. Falsa. A reta r e o plano a são paralelos, podendo a reta

estar contida no plano.

2. A reta r está contida no plano a .

Proposta 181. A reta r está contida no plano b .

2.

3.

Proposta 191. 2. k = 3

3.

Proposta 202. Não. As retas r e s são não complanares (não têm pontos

em comum e os vetores diretores não são colineares).

Proposta 214. Não.

Proposta 22

1.

2. ; . Não interseta o plano xOz .

3. ; ;

Proposta 23

2.

4. Sim. O ponto .

Proposta 24

1.

2. 3.

Proposta 25

1. 3. 14p

Proposta 261. Sistema possível e indeterminado.

2. Sistema possível e determinado.

3. Sistema impossível. 4. Sistema impossível.

5. Sistema impossível. 6. Sistema impossível.

Proposta 271. Sistema impossível. Os três planos intersetam-se, dois a

dois, segundo retas paralelas.

2. Sistema possível e determinado. Os três planos interse-tam-se no ponto de coordenadas .

3. Sistema impossível. Os três planos intersetam-se, dois adois, segundo retas paralelas.

Proposta 28Só pode ser o sistema I, porque no sistema II os três planos sãoestritamente paralelos.

Proposta 291. A: sistema possível, indeterminado. Os três planos interse-

tam-se segundo a reta r definida por:

B: sistema impossível C: sistema impossível

2. A" II B" I C" III

Proposta 301. ; ; ;

2. ; valor mínimo: 9

Proposta 3145 peças do tipo A e 15 peças do tipo B .

Proposta 3212 “Bolos da Avó” e 16 “Doces da Casa”.

Proposta 3325 toalhas de tamanho médio e 25 toalhas de tamanho grande.

Proposta 341. 40 de “Lavabem” e 20 de “Fofo”.

2. 52 de “Lavabem” e 27 de “Fofo”.

Proposta 3520 MWh de energia convencional e 20 MWh de energia eólica.

Pág. 167

Pág. 168

Pág. 169

Pág. 170

Pág. 171

Pág. 166

Pág. 165

- 4x + y - 5z + 17 = 0

x + 7 = - y - 52

= z - 83

x + 2y - 3z + 24 = 0k = - 4 - 3√2 › k = - 4 + 3√2

- x = z - 13

‹ y = - 2

75 , -25 , 45

165 , 1 , 135

(0 , 1 , - 7) 73 , 1 , 0(1 , 0 , 0) 0 , 13 , 0 0 , 0 , - 1

2

(x , y , z) = - 13 , - 5

3 , 0 + k (0 , 1 , 1) , k å R

- 13 , - 11

6 , - 1

6

(x , y , z) = 43 , 0 , 83 + k -

13 , 1 , - 5

3 , k å R

A' (2 , - 1 , 1) T - 914 , 1314 , 27

x - 32

= z - 2 ‹ y = - 1

1419 , 2319 , 319

(x , y , z) = (2 , 1, 0) + k (1 , - 3 , 1) , k å R

A (6 , 0) B (6 , 5) C (1 , 5) D (3 , 1)

(x , y) = (3 , 1)

192 SoluçõesN

EMA


TEMA 2: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIALI. FUNÇÕES RACIONAIS E COM RADICAIS. TAXA DEVARIAÇÃO E DERIVADA

Tarefa 1

1. 3,20 Æ2. 70 l

3.2.1 ; se o laranás só for produzido com sumo deananás, o preço de cada litro é 6,5 Æ .

3.2.2 20

1.1.1 4 1.1.2 - 32

1.2

1.3

1.4.1 - 1 1.4.2 2 1.4.3 12

2.1 - 32.2 a = 0 2.3 ;

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5 3.6

4.1 Par.4.2 Ímpar.4.3 Não é par nem ímpar.

6.1 6.2 6.3 6.4

7.1 k = 2 7.2.1 7.2.2 7.2.3

8.1.1 8.1.2 5 8.1.3 5 8.2 8.3

Tarefa 21.1.1 Por exemplo, .

1.1.2 Por exemplo, .

1.2 A função é descontínua para x = 0 .1.3.1 1.3.2 4 1.3.3 4 1.3.4 1.3.5 1.3.6 0 1.3.7 4 1.4.1 x = 0 ; x = 3 1.4.2 y = 0 ; y = 4 2.

9.1 x = - 3 ; y = 1 ; y = 0 9.2.1 x = 2 9.2.2 x = - 3 9.3.1 y = 0 ; y = 1 9.3.2 y = 3 ; y = 4

Tarefa 3

1. Referencial A : Referencial B :

2. Função f : referencial B ; cor verde Função g : referencial A ; cor azul

3.1 3.2 3.3 0 3.4 0

A (0 ; 6,5)

f (x) = - 8x

Df = R \ {0} D'f = R \ {0}R \ {3}

D = R \ - 12

D = R \ {- 2 , 2}D = R \ 43 D = RD = R \ {- √3 , √3 }

f (x) " - ?f (x) " 0+

f (x) " - ?f (x) " 0-

+ ?0+

2+

+ ?

x = 0x = 0

]1 , 2[]- 1 , 3[

+ ?

- ?

b < 0

b > 0

Pág. 11

Pág. 12

Pág. 13

Pág. 14

Pág. 15

Pág. 16

Pág. 18

Pág. 19

Pág. 20

2

- 4

O

y

x

g

2- 1O

y

x

+ ? - ˇ ?

- ?

259N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

raSoluções

NEMA11_P2_F17_20100445_2P_CImg_AO4_20100445_TXTP2_P257_272 4/8/11 5:57 PM Page 259

4.1 4.2 4.3 04.4 0

5.

10. f— (D) ; g— (A) ; h— (C) ; i— (B) .

Tarefa 41.1.1 Através de uma translação associada ao vetor .

1.1.2 Através de uma translação associada ao vetor .

1.1.3 Através de uma translação associada ao vetor .

1.2

2.1 ; ; A. V.: x = - 3 ; A. H.: y = 3 2.2 ; ; A. V.: x = - 2 ; A. H.: y = 8 2.3 ; ; A. V.: x = 0 ; A. H.: y = 2

3. a = - 4 ; b = - 3 ; ;

11. I, II e IV

12.1 ;

;

;

12.2 Função f : A. V.: x = 0 ; A. H.: y = 2 Função g : A. V.: x = 5 ; A. H.: y = 0 Função h : A. V.: x = 2 ; A. H.: y = 0

13.1

13.2

13.3

14.1

14.2

14.3

14.4

15. a = - 1 ; b = 3 ; c = - 2

Tarefa 5

1.1.

1.2 Através de uma simetria em relação ao eixo Ox seguida deuma translação associada ao vetor .

1.4 ;

2.1 ;

Di = R \ {- 3} D'i = R \ {3}Di = R \ {- 2} D'i = R \ {8}Di = R \ {0} D'i = R \ {2}

c = - 32

p 52 = - 7

Df = R \ {0} D'f = R \ {2}Dg = R \ {5} D'g = R \ {0}Dh = R \ {2} D'h = R \ {0}

y = - 1 + 3x - 2

y = 3 + 1x

y = 1 - 1x + 3

y = 2x + 1

f (x) = 1 - 1x - 4

(4 , 1)

(0 , - 1)

(2 , - 1)

(2 , 0)

Pág. 23

Pág. 24

Pág. 25

Pág. 22

Pág. 21

2

- 1

y

xO

2- 1

y

xO

2

y

xO

1

+ ?- ˇ ?

b = 3a = - 12

b = - 4a = - 3

260 SoluçõesN

EMA

11-P2©

Porto Editora

y = bx

b 0 0Domínio Contra-domínio Variação

Pari-dade Sinal Assínto-

tas

b > 0 R \ {0} R \ {0}Decres-cente

em R- eem R+

Ímpar

Positivase x > 0 Negativase x < 0

x = 0 y = 0

b < 0 R \ {0} R \ {0}Crescenteem R- eem R+

Ímpar

Positivase x < 0 Negativase x > 0

x = 0 y = 0

Função Domínio Contradomínio Assíntotas

y = 1x R \ {0} R \ {0}

A. V.: x = 0 A. H.: y = 0

f (x) = 3x - 2 R \ {2} R \ {0}

A. V.: x = 2 A. H.: y = 0

g (x) = - 1 + 3x R \ {0} R \ {- 1}

A. V.: x = 0 A. H.: y = - 1

h (x) = - 1 + 3x - 2 R \ {2} R \ {- 1}

A. V.: x = 2 A. H.: y = - 1


Tarefa 6

1. A : 50 °C ; B : 28 °C

2. 3,7 °C

3. A : diminuiu ; B : aumentou

4.1 Não4.2.1 Às 15 h 30 min .4.2.2 Aproximadamente 35,8 °C .

Tarefa 71. A : 3 °C ; B : - 1 °C 2.1 À medida que t aumenta, a diferença entre as temperatu-

ras aproxima-se de 0 °C .

2.2 Reforça.2.3 0 °C

16.1 16.2

16.3

17.1

17.2

17.3

18.1

18.2 Retirando o ponto de coordenadas .

19.1

19.2

20.1 ;

20.2 ;

20.3 ;

20.4 ;

20.5 ;

21. 2

22. - 0,4123.1 23.2 23.3 23.4

24.1 24.2

25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6

Tarefa 81.1 1.2

2.1

2.2

C (- 2 , 0)

A (- 1 , 1) ; B (2 , 2)

x = 1x = 0

Pág. 35

x = - 1x = -√3 › x = √3x = 3x = 1

Pág. 34

a = 3x = 3

x = 12

x = - 2 › x = 1x = - 4x = 0 › x = 3

Pág. 33

f (x) = 2x - 2x - 1

f (x) = (x + 2)2

x + 2

1x + 5 x å R \ {- 5 , 0}

x å R \ {- 3 , 3}- 1x + 3

x å R \ {0 , 2}x - 1x

- (x - 1)2

x + 2 x å R \ {- 2 , 2}x å R \ {- 1}x - 1

Pág. 32

2 , 14

y = x

y = 2x - 7y = x

2

Df = R \ {- 2 , 2}

Pág. 27

Pág. 28

Pág. 30

4

- 4

O

y

x

4O

y

x

3

- 1 O

y

x

Pág. 26

261N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

x -? - 2 0 + ?f (x) + 0 - S. S. +

x -? - 2 0 + ?x + 2 - 0 + + +

x - - - 0 +

f (x) = x + 2x

+ 0 - S. S. +


3.1

3.3

28.1

28.2

28.3

28.4

28.5

28.6

28.7

29.1 29.2

30.2

31.1

31.2 D = R- e

31.3

32.1 Por exemplo,

32.2

32.3

Tarefa 9

1. 250 °C

2. Aproximadamente 35 min .

3.1 3.2 25 °C

4. Sim.

Tarefa 10

1. 5,6 km2

2. 5 horas e 24 minutos.

3. ;

Entre as 18 h 24 min e as 20 h 30 min foi contaminadauma área de 1 km2 .

4.1 1,5 km

4.2 Aproximadamente 30 min .

4.3 A Inês abandonou a casa, aproximadamente, 3 horas e 18minutos antes de o local ser contaminado.

Tarefa 111.1 Aproximadamente 1,7 kg .

1.2 Aproximadamente 10,9 kg .

2. Aproximadamente 7 meses.

3.

4.1.1 Uma medida ;

4.1.2 Duas medidas.

4.2 Não.

5. A partir dos 28 meses de idade (2 anos e 4 meses).

1. (B)

2. (A)

3. (C)

4. (D)

5. (D)

6. (C)

7. (A)

8. (D)

9.1 (C) 9.2 (D)

10. (B)

11. (A)

12. (D)

13. (B)

14.1 (A) 14.2 (A)

15. (C)

16. (C)

Pág. 46

Pág. 45

Pág. 44

t å 0 , 107

Pág. 41

h : R " R

x 1 2x2 - 3

se x 0 -√3 ‹ x 0 √3

0 se x = -√3 › x = √3

j : R " R

x 1 x - 3x + 1

se x 0 - 1

3 se x = - 1

a = 25

A (7,5) - A (5,4) = 1

Pág. 39

Pág. 40

i : R " R

x 1 x - 3x + 1

se x 0 - 1

2 se x = - 1

R \ {4}

D' = - 14 , 1

h : ]4 , + ?[ " Rx 1 x + 1

x - 4

Pág. 38

x å ]0 , 3[

Pág. 37

x å 0 , 12

x = 7

Pág. 36

x å ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , 2[

x å ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , 2[

x å ]- ? , - 1[ ∂ ]2 , + ?[x å ]- ? , 1] ∂ ]2 , + ?[x å [- 1 , 0[ ∂ [1 , + ?[x å ]- ? , 0[ ∂ ]1 , + ?[x å ]- 4 , - 2[ ∂ ]2 , + ?[x å ]- ? , - 3[ ∂ {1}x å ]- 2 , - 1[ ∂ ]3 , + ?[

Pág. 47

262 SoluçõesN

EMA

11-P2©

Porto Editora

x - ? - 1 0 2 + ?- x2 + x + 2 - 0 + + + 0 -

x - - - 0 + + +- x2 + x + 2

x+ 0 - S. S. + 0 -

Proposta 11. e

2. e

Proposta 21. Translação associada ao vetor seguida de uma

translação associada ao vetor .

2.

3.

Proposta 31. ; ; ;

2.

Proposta 4

1. Com Ox : ; com Oy :

2.

3.1 3 3.2 3 3.3 3.4

Proposta 51.

2. O ponto de abcissa 3 .

3.1 - 3 3.2 2 3.3 4 3.4 4 3.5 3.6

4.1 e . 4.2 - 5 e 4 .

Proposta 61. ; e

2.1 Falso. Por exemplo, e .

2.2 Falso, porque .

2.3 Verdadeiro.2.4 Verdadeiro.2.5 Falso, porque .

Proposta 71.

2.

3.

Proposta 81.

2. 1,63

Proposta 9

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Proposta 10

1.

2.

3.

4.

Proposta 112.

3. e

Proposta 122. e ;

g : R+ " Rx 1

3.1

3.2

3.3

b = - 1a = 3

x å ]- ? , - 4] ∂ ]- 1 , + ? [

1x - 2 ; x å R \ - 1

2 , 2

x2 + 2xx + 1 ; x å R \ {- 1 , 2}

x - 1x ; x å R \ {0}

x2 + xx - 2 ; x å R \ {- 2 , 2}

2x2 + 3x - 2x ; x å R \ {- 1 , 0}

x3 - 2x2 + 4x - 83x - 1 ; x å R \ - 2 , 13

1x2 - 4 ; x å R \ - 2 , 12 , 2

- x2 + x - 1x2 - x

x2 + 2x - 2x3 - x

- x2 - 3x + 1x2 - x

- x2 + 6x - 42x2 - 8

(- 2 , - 2)

(1 , 1)(- 2 , - 2)

k = - 1k = 2k = - 3

R \ {4}

- ?+ ?y = 3x = 6

c = - 1b = 3a = - 2f (- 2) > f (- 1)- 2 < - 1

- 2 ∫ D'f

A x å ]- 1 , + ?[ , f (x) < 0

Pág. 50

Pág. 51

+ ?- ?

0 , 12- 13 , 0

g (x) = 3 - 5x + 2

Pág. 49

2

- 3

O

y

x

x å 2 , 73

d = - 5c = 2b = - 3a = - 3

g (x) = 65x - 12

5

(2 , 0)(0 , - 3)

y = - 1x = 4b = - 3a = 4

Pág. 48

3x - 1

]5 , + ? []0 , 1[ ∂ ]3 , + ?[]0 , 2] ∂ ]3 , + ?[

263N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra


Proposta 13

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Proposta 14

1. ; e

2.

Proposta 151. e

2. Translação associada ao vetor (quatro unidadespara cima)

Proposta 161. r : ; s :

2. e

3.1 g : ]- 2 , - 1] " R

3.2

Proposta 17

1.

2. Assíntotas de f : e

Assíntotas de g : e

Assíntotas de h : e

Assíntotas de i : e

Proposta 181. 0,5 m

2. 1,5 m

3. 3 anos e meio

4.

5. 6 m

Proposta 19

2. e

Proposta 20

1.

2. e

3. e 1

4.

Proposta 211.

2. À medida que o número de peças produzidas aumentam, ocusto de produção tenderá para 160 Æ .

3.2

Proposta 221. 240

2. 13 de janeiro

3. 18 de fevereiro

4.

Proposta 231. r : x = 2 ; s : y = 4 ; 2. e

y = - 32

x = 0

x = 32

y = 2x + 3

y = 5x = - 4

i (x) = 5 - 13x + 4

x = - 1 y = 2

h (x) = 2x + 3 + 102x - 3

f (x) = 2 - 5x + 1

g (x) = - 32+ 1x

Pág. 53

y = 12

x = 12

Df = R \ {12 }

x å ]- 14 , 1

2 [ ∂ ]1 , + ?[

b = 9a = 4

(0 , 4)

y = 1x = - 2

B (- 3 , 0)A (0 , 32)

j : R " R

x 1 { x + 3x + 2

se x 0 - 2

1 se x = - 2

x å ]0 , 1[ \ {3}x å ]- ? , - 2] ∂ ]1 , 2[ ∂ ]2 , + ? [

x å ]- ? , - 1[ ∂ ]- 1 , 0[ ∂ ] 12 , + ?[x å ]- ? , 0[x å ]0 , 2[ ∂ ]2 , 6]x å [- 1 , 0[

x å ] 12 , 3[

x å ]- ? , - 12] ∂ ]3 , + ?[

Pág. 52

x 1 x + 3x + 2

0,5

6

O

h

t

b = 113

a = - 32

Pág. 54

(- 3 , 15)

y = - 2x + 13x = - 2

12

k å ]0 , 30[ © Z

D = N0

x ≥ 4

Pág. 55

38O

h

t

12

0,6

Pág. 56

S (2 , 1)R (0 , 1)

264 SoluçõesN

EMA

11-P2©

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NEMA11_P2_F17_20100445_AO4_20100445_TXTP2_P257_272 4/8/11 9:19 PM Page 264

3.2

3.3 Não. , logo

3.4

Proposta 24 1. 1.a hora

2. . Durante as 7 primeiras horas de acompanha-mento da situação, por parte da Proteção Civil, a subida donível das águas, em relação ao nível médio, não foi supe-rior a 2,5 m .

3. O início do acompanhamento da situação deu-se quando. Não foi necessário evacuar a população.

Proposta 251. 72 euros.

2. , sendo P o preço médio por calça e

x o número de calças do tipo A .

3. 15

4.1 4.2 1 hora

Tarefa 121. 2.a bandeira: 09:00:12 ; 4.a bandeira: 09:00:25

2.1 15 m/s 2.2 34 m/s 2.3 40 m/s 2.4 28 m/s

3.1 Espaço percorrido entre o 8.° e o 10.° segundo.3.2 Rapidez com que o esquiador se deslocou entre o 8.° e o

10.° segundo.

3.3 Rapidez com que o esquiador se deslocou durante os 7 segun-dos iniciais.

4.1 14 m/s 4.2 7,5 m/s

5.

11 m/s

33.1 13,31 Æ 33.2 5440 Æ33.3 224 . Se a produção passar de 40 para 80 peças, o custo

sofre um aumento de 224 Æ .

34.1

34.2 - 4

34.3.1

34.3.2 0

34.3.3

34.4 - 135.1

35.2

35.3

35.4

35.5

36.1

36.2

36.3

Pág. 58

60

O

V

t

90

P (x) = 60x + 2700x + 30

t å [0 , 7]

H ) 1,3 m

Pág. 57

x å ]2 , 14[

A (x) > 9 , A x > 2A (x) = 9 + 12x - 2

Q (0 , 112 ) Pág. 59

Pág. 60

- 32

12

- 34

[8 , 9][5 , 8][- 2 , 0][0 , 5][0 , 1]

Pág. 61

1 4- 1

O

y

x

5

1 4- 1

O

y

x

5

1 4- 1

O

y

x

5

265N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

h [4 , 4 + h] Velocidade média nointervalo [4 , 4 + h]

0,1 [4 ; 4,1] 11,1

0,09 [4 ; 4,09] 11,09

0,08 [4 ; 4,08] 11,08

0,07 [4 ; 4,07] 11,07

0,005 [4 ; 4,005] 11,005

0,001 [4 ; 4,001] 11,001

37. I: Verdadeira ; II: Falsa

38.1

38.2

38.3

39.1 39.2 39.3

39.4 2

40.1.1 40.1.2 040.2 Negativo

41.

42.1.1 - 1 42.1.2 - 142.1.3 1 42.2

Tarefa 131. Aproximadamente 4 min 38 s

2. 60 litros

3.1 4 dm . Entre o 1.° e o 3.° minuto, o nível da água subiu 4 dm .

3.2 2,25 dm/min . Entre o 1.° e o 4.° minuto, o nível da água subiu, em média,

2,25 dm por minuto.

4.2 1,5 4.3 Verdadeira, porque e .

5.2 50

43.

44.1 9 m 44.2 4 m/s 44.3 2 m/s

44.4 Decorridos 3 segundos, a bola atinge a altura máxima(velocidade nula).

Decorridos 5 segundos, a bola está a descer a uma veloci-dade de 4 m/s .

45.1 45.3 45.4

Tarefa 14 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2

2.1

2.2

46.1.1 4 46.1.2 - 4 46.2 46.3.1

46.3.2

Tarefa 151.1 1.2 72p ; cm3/cm ; se o raio variar entre 2 cm e 4 cm , o

volume da lata aumenta em média 72p cm3 por cadaaumento de 1 cm do raio.

1.3

1.4 72p ; cm3/cm ; quando o raio é igual a 3 cm , o volume dalata aumenta à razão de 72p cm3 por cada aumento de 1 cm do raio.

2.1 2,4 Æ2.2 0,1 ; Æ/cm ; se o raio variar entre 6 cm e 8 cm , o custo

da lata aumenta em média 0,1 Æ por cada aumento de 1 cm do raio.

2.4 0,32 ; quando o raio é igual a 3 cm , o custo da lataaumenta à razão de 0,32 Æ por cada aumento de 1 cm doraio.

Tarefa 16

3.

5.

6.

Pág. 71

Pág. 70

[b , c][0 , c][a , b]

- 2

- 45

Pág. 69

y = - 6x + 16

- 15

- 17

y = - x5+ 85

Pág. 67

y = - 2x + 4Pág. 65

Pág. 66

y = - 4x + 13

y = 5x - 5

f '(1) = 1,5f '(2) = 2

Pág. 64

√3

Pág. 63

- 12

- 12

52

Pág. 62

h + 2h2 + 2h

x 1 - 2x + 2

g' : R " Rx 1 6x

D = [2 , 8]

V ' : [2 , 8] " Rx 1 24p r

f ' : R " R

k = 12√3

f '(c) < f '(a) < f '(b)

72√3

a = 14

266 SoluçõesN

EMA

11-P2©

Porto Editora

h t.m.v.[1 , 1 + h]

0,1 2,1

0,01 2,01

0,001 2,001

0,0001 2,0001


47.1 47.2 47.3

48.1

48.2

48.3

48.4

49.1 49.2

50.1 50.2

50.3

50.4

51.1 51.2 51.3 Não.

52. Função h

53.1

53.2

53.3

53.4

54.

55.2

56.1.1 56.1.2 56.1.3 56.2

57.1 57.2 57.3 57.4

57.5

58.1

58.2 58.3 58.4 58.5

59. ; e

Tarefa 17

1.2.1 ; cm2 ; se a distância do vértice V à superfície do

líquido passar de 20 cm para 40 cm , então a área corres-

pondente à superfície do líquido no reservatório aumenta

cm2 .

1.2.2 ; cm2/cm ; quando a distância do vértice V à superfície

do líquido varia entre 10 cm e 30 cm , então a área da

superfície do líquido aumenta, em média, cm2 por cm .

1.2.3 ; cm2/cm ; quando a distância do vértice V à superfí-

cie do líquido é igual a 25 cm , a área da superfície do

líquido no reservatório está a aumentar cm2 por cm .

2.1

2.2 cm3/cm

60.1

60.2

60.3

60.4

61.1

61.2

62.1

62.2

62.3

62.4

62.5

62.6

63.2

Pág. 79

Pág. 78

Pág. 77

Pág. 75

Pág. 76

Pág. 74

Pág. 73

12

12

12

f '(x) = 2

f '(x) = 13

f '(x) = p

f '(x) = 13

g (x) = 4x - 1g (x) = 4x - 2

f '(x) = 6xf '(x) = - 10x

f '(x) = 2x3

f '(x) = - 2√2xy = 8x + 4P (- 2 , - 16)

f ' : R " Rx 1 - 2x + 3

f ' : R " Rx 1 4

3x - 4

f ' : R " Rx 1 x - 3

2

f ' : R " Rx 1 - 2√5x + 1

2

B (3 , 3)

y = - 10x + 12

y = 4x + 1y = - 6x + 16y = 6x + 4

(3 , - 3)

g '(x) = - 2x + 7g '(x) = x - 3g '(x) = - 10xg '(x) = 2x - 2g '(x) = 3x - 1

3

f '(x) = - 12x2

f '(x) = 6x2 + 2xf '(x) = 3x2 - 4x + 5f '(x) = - 3x2 - 3f '(x) = 9x2 - 2x + 3

A (2 , 0) B 43 , 0 C (2 , 2)

400p3

400p3

40p9

40p9

50p9

50p9

D = [0 , 60]

- 625p9

f '(x) = - 3x2

f '(x) = - 12x2

f '(x) = - 53x2

f '(x) = - p4x2

y = - 12x + 2

P (- 1 , - 2)

f '(x) = - 3(x - 1)2

f '(x) = 12(x + 4)2

f '(x) = - 12(x - 4)2

f '(x) = 2

x - 13

2

f '(x) = - 7(x + 5)2

f '(x) = 8(x + 2)2

g '(x) = 13(x + 5)2

Pág. 72

267N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra


Tarefa 181. 2,6 bar

2.1 0,1 bar/h Nas 3 primeiras horas após o início da viagem, a pressão

dos pneus sem furo aumentava, em média, 0,1 bar/h .

2.2 - 0,2 bar/h Nas 2 primeiras horas após o início da viagem, a pressão

do pneu com furo diminuía, em média, 0,2 bar/h .

3. 0,04 ; bar/h Cinco horas após o início da viagem, a pressão dos pneus

sem furo aumentava à razão de 0,04 bar/h .

5.

6. Três horas após o início da viagem, a pressão do pneu com

furo diminuía à razão de 0,14 bar/h .

65.1 0

65.2.1 Positivo.

65.2.2 Positivo.

65.3 Os pontos de abcissas b e d .

66.1 tal que

66.2 tal que

66.3 tal que

Tarefa 191.

2. 0

3.1

3.2

67.1

67.2 38,66°

68.

71.1 ;

f é estritamente decrescente em R- e em R+ .

71.2 ;

f é estritamente crescente em R- e em R+ .

71.3 ;

f é estritamente decrescente em R- e em R+ .

72.1

f é estritamente crescente em e estritamentedecrescente em .

72.2.1 Negativo.

72.2.2 Positivo.

73.1 g é estritamente decrescente em e estritamente

crescente em ;

g tem um mínimo absoluto igual a para .

73.2 g é estritamente crescente em R e não tem extremos.

73.3 g é estritamente decrescente em e em ;

g é estritamente crescente em e em ;

g tem um máximo relativo igual a - 2 para e ummínimo relativo igual a 2 para .

74.1 f tem um mínimo absoluto igual a 0 para .

74.2 f não tem extremos.

74.3 f tem um mínimo relativo igual a - 11 para e ummáximo relativo igual a 21 para .

]0 , 1[] - 1 , 0[]1 , + ? []- ? , - 1[

x = - 1x = 1

x = - 1

x = - 2x = 2

52 , + ?

- 254

x = 52

]- ? , 4[]4 , + ? [

- ? , 52

Pág. 86

f '(x) < 0 , A x å Df

f '(x) > 0 , A x å Df

f '(x) < 0 , A x å Df

Pág. 84

Pág. 85

T'(t) = t2 - 4t + 3

-√3

Pág. 83

h'(x) = 1 se x > 3- 1 se x < 3

h' : R \ {- 2} " R

h'(x) = 1 se x > 2- 1 se x < - 2

h' : R \ 43 " R

h'(x) = 3 se x > 43

- 3 se x < 43

Pág. 82

h' : R \ {3} " R

g'(t) = - 24(t + 10)2

g'(3) ) - 0,14

Pág. 81

Pág. 80

268 SoluçõesN

EMA

11-P2©

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Intervalo de tempo

Sinal do declive da reta tangenteem pontos deabcissas

pertencentes aointervalo

Sinal da derivada

Sentido de variação da fun-ção no intervalo

(monotonia)

]0 , a[ + + £

]a , b[ - - ¢

]b , c[ + + £

t 0 1 3 92

T ' + + 0 - 0 + +

x - ? 1 + ?f ' - 0 +f ¢ f (1) £

x - ? 4 + ?f ' + 0 -f £ f (4) ¢


Tarefa 201.2 7,2

2.2.1 2.2.2

Tarefa 21

1. I:

II: e ;

IV:

A função A tem um mínimo igual a 162 para x = 7 . V: A piscina deve ter 7 m de largura e 14 m de compri-

mento.

2.1 18 °C ; 15,7 °C 2.2 A temperatura da água diminui entre as 8:00 e as 10:00 e

entre as 15:00 e as 18:00 .

A temperatura da água aumentou entre as 10:00 e as15:00 .

A água atingiu a temperatura máxima de, aproximada-mente, 18,8 °C às 15:00 e a temperatura mínima de,aproximadamente, 16,7 °C às 10:00 .

2.3

Tarefa 221.1 Lucro de 420 Æ1.2 Prejuízo de 300 Æ2. 46 peças

3.1 68 Æ ou 425 Æ3.3 20 peças

75.

Tarefa 231. 5 euros ; 11,60 euros

2.

3.1 3.2

4. ; ;

76.1

76.2.1 h é descontínua em .

76.2.2 ; ;

76.2.3

76.3.1

76.3.2

77.

78.1

78.2

78.3

78.4

78.5

78.6

f (x) = { x2 - 4 se x å ]- ? , - 2] ∂ [2 , + ?[

- x2 + 4 se x å ]- 2 , 2[

f (x) = {-2

x - 2 se x < 2

- x + 3 se x ≥ 2

f (x) = { 2x + 1 se x ≥ - 12

- 2x - 1 se x < - 12

f (x) = {- 2 + x se x ≤ 22 - x se x > 2

f (x) = { x - 2 se x ≥ - 1- x - 4 se x < - 1

y = - 19x + 5

3

Pág. 93

C (x) = 2x

C (x) = 10 + 1,6(x - 5)

C (10 , 18)B (7,5 ; 14)A (5 , 10)

x = 0

y = 1y = 0x = 0

R \ {0 , 1}

y = 14x + 1

Pág. 92

1O x

y

2

1

C (d) = { 3 + 2d se 0 < d ≤ 108 + 1,5d se 10 < d ≤ 20

]4,9 ; 8,6[

Pág. 89

Pág. 90

Pág. 91

10O

C

d20

23

38

3

98x + 4x + 2

y = 98x

P (2 , 8)

P (2 , 8)

Pág. 88

Pág. 87

f (x) = { x - 2x2 se x å [0 , 12]- x + 2x2 se x å ]- ? , 0[ ∂ ] 12 , + ?[

f (x) = {- x se x < 0x se 0 ≤ x < 22x se x ≥ 2

269N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

x 0 7 + ?A' - 0 +A ¢ A (7) £

Quantidade(em kg) 2 3,5 4,25 5 7 8 10

Custo(em Æ) 4 7 8,5 10 13,2 14,8 18

NEMA11_P2_F17_20103453_1P_20103453_TXTP2_P257_272 11/06/29 16:08 Page 269

79.1

79.2

79.3

80.1

80.2

81.

Tarefa 24

1.

2. 31 m3

3.1 18,4 Æ

3.2

4. 36,40 Æ

Tarefa 251.1 9 m1.2

1.3 Dois minutos após a largada, o balão do Pedro encontrava --se a 24 m do solo.

1.4 Não, porque .

1.5 A função f .1.6

82.1 Não. 82.2 Sim.82.3 Não. 82.4 Não.

83.1 Não, porque .

83.2 São iguais.

Pág. 96

R (x) = 2,5 + 0,50x se 0 ≤ x ≤ 3017,5 + 0,9(x - 30) se x > 30

P (x) = 3 + 0,40x se 0 ≤ x ≤ 250,59x - 1,75 se x > 25

Pág. 95

x 1 3 se x > 0

- 1x2

se x < 0

g' : R \ {0} " R

x 1 2x + 1 se x < - 2 › x > 1- 2x - 1 se - 2 < x < 1

f ' : R \ {- 2 , 1} " R

O

y

x

1

1- 1

- 3

O

y

x

4

- 2 O

y

x- 4

- 4

- 6

42

1O x

- 1

1

y

i (x) = x - 2 se x < - 2 › x ≥ 2 - x + 2 se - 2 < x < 2

2

- 2

O

y

x

Pág. 94

2 ∫ Dg

t å [0 , 10] \ {2}

g (x) = 2 se x > 0- 2 se x < 0

Pág. 97

Df 0 Dg

h (x) = 1 se x > 1- 1 se x < 1

270 SoluçõesN

EMA

11-P2©

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x 0 a b c d e + ?g' - n. d. + 0 - n. d. + 0 - n. d. +

t minutos após

a largada

Distância do balão do Pedro ao solo (m)

f (t) g (t)

1,5 15,75 15,75

3 45 45

4,5 87,75 87,75

6 144 144

7,5 213,75 213,75

9 297 297

10 360 360


Tarefa 261. 12 m ; 9 m

2. Quantidade de tecido, em metros, produzida pelas duasmáquinas durante as 6 horas de produção.

3.

4. a : quantidade de tecido, em metros, produzida pelamáquina A durante as seis horas de produção.

b : quantidade de tecido, em metros, produzida pelamáquina B durante as seis horas de produção.

c : quantidade de tecido, em metros, produzida pelas duasmáquinas durante as seis horas de produção.

c = a + b

5. 4 horas

84. III

85.1 Por exemplo, 85.2 Por exemplo, 85.3 Por exemplo,

86. B

87.1 f e h

87.2 g e h

88. (B)

89.1 89.2 2 89.3

90.1.1 4 90.1.2 27 90.2.1 90.2.2

91.1

91.2 4

91.3

92.1

92.2

92.3

93.1.1 R93.1.2 93.1.3 93.2.1 93.2.2

Tarefa 271.1 Baleia-de-bossa: 45 min ; Baleia-austral: 60 min

1.2 Baleia-de-bossa: 202,5 metros; Baleia-austral: 306 metros

2. 49,5 metros

3.1

3.2 - 126 ; a diferença entre as profundidades atingidas pelosdois tipos de baleias, 30 minutos após o início de um mer-gulho, é de 126 metros.

4. 41 minutos e 6 segundos

Tarefa 281. ;

2.

3.1 7,5 m2

3.2 75 m2

4. x 1 { 2x

2 - x - 1 se x ≥ 1 - 3 se x < 1

Pág. 103

f + g : R " R

x 1 {3x se x ≥ 1- x2 + 2x + 2

x - 1 se x < 1

f * g : R " R

- 13

52

R \ {0 , 1}R \ {0}

Pág. 102

g (x) = - 2x

Pág. 100

Pág. 101

g (x) = - 5xg (x) = - x

Pág. 99

R \ {- 2 , 3}

[2 , 3[

2x + x2

4

Pág. 98 fg : R \ {1} " R

x 1 {2x + 1x - 1 se x > 1- 3

(x - 1)2 se x < 1

R \ {4}R \ {0 , 4}[- 2 , 4]{- 2 , 4}

Pág. 105

g - f : [0 , 45] " Rt 1 - 0,06t2 - 2,4t

Pág. 106

g (x) = x4

f (x) = 2x

h (x) = x2

271N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

Tempo (em min)

x

N.° de tijoleiras colocadas y = f (x)

Área revestida (em m2)g(f (x))

1 f (1) = 2 g (f (1)) = g (2) = 12= 0,5

2 f (2) = 4 g (f (2)) = g (4) = 16 12 3

15 30 7,5

60 120 30

100 200 50

150 300 75

180 360 90

x f (x) g (f (x)) = x2


96.1.1 96.1.2 96.2 2827,4 cm2

96.3 96.4

96.5 7 min 28 s

97.1 97.2 3

97.3 0 97.4 4

98.1 Por exemplo, e

98.2 Por exemplo, e

98.3 Por exemplo, e

98.4 Por exemplo, e

98.5 Por exemplo, e

98.6 Por exemplo, e

99.1.1

99.1.2

99.1.3

101.1

101.2 2

Tarefa 291.

2.

3.1

3.2

4. R+

5. Sim, porque a cada valor de y faz corresponder um e umsó valor de x .

102.1 102.2 25 litros

102.3

103.1 103.2.1 - 4 103.2.2 2103.2.3 103.3

104.1 A função a admite inversa porque é injetiva.

104.2 A função b não admite inversa porque é não injetiva.

104.3 A função c admite inversa porque é injetiva.

105.1 Por exemplo, .

105.2

107.1

107.2

107.3

f (x) = x3

f (x) = 0

Pág. 112

[- 2 , 5]

√3

O

y

x

2

- 2 - 1

- 2

- 4

4

54

P (x) = 1,40x

x = P1,40

Pág. 111

y = 4x + 4

x = y - 44

x 1 2x3 + 1

h + f : R " Rx 1 (2x + 1)3

12

Pág. 110

x 1 12x + 1

f + h : R " R

g + f : R \ - 12 " R

Pág. 109

Pág. 108

14

h (x) = x2g (x) = x + 5h (x) = x + 5g (x) = x2

h (x) = 2xg (x) = x - 1

h (x) = 3 - 1xg (x) = x + 2

h (x) = xg (x) = x2 - 2x

h (x) = 1x2

+ 1g (x) = 2x

a (t) = 4p t2g + f : [0 , 15] " R

t 1 4p t2

g (r) = p r2f (t) = 2tPág. 107

Pág. 113

f -1 : R " Rx 1 x + 7

5

g-1 : R \ {0} " R \ {- 5}x 1 2 - 5x

x

h-1 : R \ {2} " R \ {3}x 1 3x

x - 2

272 SoluçõesN

EMA

11-P2©

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Largura x Perímetro y

1 8

2 12

3,5 18

4 20

… …

x y = 4x + 4

Perímetro y Largura x

8 1

12 2

18 3,5

20 4

… …

y x = y - 44


109.1 As funções f e h não têm inversa porque não são injetivas.

A função g tem inversa porque é injetiva.

109.2

Tarefa 301.2 ; ;

2. e .

3. O gráfico da função inversa da função h é uma hipérboleque tem como assíntotas as retas de equações e

.

Logo, pode ser definida por uma expressão algébrica do tipo

, em que , isto é, .

O ponto de coordenadas pertence ao gráfico da fun-ção , ou seja, , logo é possível determinar ovalor de c .

Tarefa 313.

110. 3 cm

111. m

112.1 f é uma função irracional.112.2 g não é uma função irracional.

112.3 h não é uma função irracional.

112.4 i é uma função irracional.

113.1

113.2

113.3

113.4

113.5

113.6

113.7

114.1

114.2

114.3

114.4

114.5

114.6

115.1

115.2

115.3

119.1

119.2

119.3

119.4

119.5

120.1 120.2

120.3

120.4

120.5

121. ;

123.1 ; ; ;

123.2.1 123.2.2 123.3.1 3 123.3.2 2 123.3.3 4

124.1 ;

124.3

g-1 : R \ {0} " R \ {- 5}x 1 1 - 5x

x

f 1-1 : R+ " R+

x 1 √x

h 1-1 : ]2 , + ?[ " R+

x 1 x - 2

Pág. 114

t (x) = x - 1s (x) = x3r (x) = x3y = ax = b

x = 5y = - 3

h-1(x) = - 3 + cx - 5c å R- 3 + c

x - 5(6 , 1)

h-1(6) = 1h-1

Pág. 115

Pág. 116

p2

Pág. 117

- ? , 12

R-0

]- 3 , + ? [[ -√2 , √2 ]

]- ? , 0[ ∂ ]1 , + ?[R]- ? , - 1] ∂ [2 , + ?[

{-√7 , √7 }{ }{- 2}{-√3 , √3 }{√3 30}{- 2 , 2}

Pág. 118

r = 3 3V4pt = 2Egr = 1

2Sp

Pág. 120

213

612

523

2-13

312

√3 32

√3 710

16√4 53

6 12Pág. 121

√6 15 625 = 3 15 625√6 x

Pág. 122

D'h = R+0Dh = RD'g = RDg = R

x = -√15 › x = √15x = √3 15

Pág. 123

Dg = RDf = [- 2 , + ?[f -1 : R+

0 " [- 2 , + ? [x 1 x2 - 2

g-1 : R " Rx 1 x3

273N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

Volume da peça P , v Aresta do cubo Área da face

[ABEF] , a

12 3,63 9,91

24,63 4,62 16

35 5,19 20,20

97,37 7,30 40

NEMA11-P2-18

NEMA11_P2_F18_20100445_AO4_20100445_TXTP2_P273_288 4/8/11 9:17 PM 3

125.1 125.2 f é uma função par.125.3 Não. f não é injetiva.125.4 e .

126.1

126.2 Não. f não é injetiva.126.3.1

126.3.2

127.1 g e h são iguais.

127.2 A função f .

128.1 ;

128.2 ;

128.3 ;

Tarefa 311.1 Sim.1.2 Não. ou .

1.3 Por exemplo, - 5 e 5 .2.1 Mínimo: m ; máximo: 8 m

2.2.2 x = 1,25 2.2.3 ; se o ponto C estiver a 1,6 m do ponto D ,

então, o comprimento do fio é 6,8 m .

2.2.4 § § ± ± § §

129.1 Através de uma translação associada ao vetor de coorde-nadas , seguida de uma translação associada aovetor .

129.2 ;

129.3

129.4

130.1 ;

130.2 Zeros de f : 0 e 1 ; zero de g :

130.3 130.4 130.5

131.1.1

131.1.2

131.1.3

131.2 - 3 131.3.1 131.3.2

132.1 132.2 132.3 133.4 Impossível.133.5 133.6

133.2 5,59

134.1 e

134.2 134.3 e , aproximadamente.

1. (B) 2. (C)

3. (A) 4. (C)

5. (A)

6.1 (B) 6.2 (B)

7. (C)

8. (C) 9. (B)

10. (D) 11. (A)

12. (B)

13. (C) 14. (B)

15. (C) 16. (C)

17. (B)

18.1 (C) 18.2 (D)

19.1 (A) 19.2 (B)

20. (B) 21. (B)

22. (B) 23. (B)

24. (A)

g (x) = 1 +√x h (x) = 8 - 2x2

Pág. 124

g-1: " Rx 1 √3 x + 5

f1-1 : ]- 1 , + ?[ " R-

x 1 - x + 12

f 2-1 : [7 , + ?[ " [2 , + ? [

x 1 x + 12

f -1 : R " Rx 1 x

D = ]- ? , 2] f -1(x) = 2 - x3

D = R+0 g -1 (x) = 2 - x

D = R+0 h-1 (x) = x2 + 1

Pág. 125

a = b a = - b

√34

f (1,6) = 6,8

f (x) = 6 √x2 + 9 + 5 - x = 6 √x2 + 9 = 1 + x

(√x2 + 9 )2 = (1 + x)2 x2 + 9 = 1 + 2x + x2 x = 4

Pág. 127

(1 , 0)(0 , 3)

Df = [1 , + ? [ D'f = [3 , + ? [5454

Df = R+0 Dg = [- 5 , 5]

5√22

2 å D'fx = 4x ) 4,43

Pág. 128

g-1 : R \ {2} " R \ {1}x 1 x

x - 2f -1 : ]- ? , 2] " ]- ? , 1]

x 1 - x2 + 4x - 3

f + g : [- 1 , 1[ " R

x 1 2 - x + 11 - x

y = x4+ 34

x = 34

x = 0 x = 1x = - 10x = 0 › x = 1 x = 4

Pág. 129

A (2 , 2) B (8 , 6)

(14 , 11)

(2 , 2) (2,6 ; 3,4)

Pág. 130

Pág. 131

Pág. 132

Pág. 133

Pág. 134

Pág. 135

Df = [- 2 , 2]

274 SoluçõesN

EMA

11-P2©

Porto Editora


Proposta 1

1.1

1.2 0

1.3

2.1 Verdadeira2.2 Falsa2.3 Falsa

Proposta 21.1 21.2 - 5 1.3 - h - 1 2. - 1Proposta 31. 34 m/s

2. 58 m/s

3. s

Proposta 4

1.

2. - 53. - 3 4. 1

Proposta 5

1.

2. 36p

Proposta 6

1.

2.

3.

Proposta 71.

2.

3.

4.

Proposta 8

Proposta 9

1.

2.

Proposta 101. Ponto de abcissa 1 .

2. Pontos de abcissas 0 e 2 .

3. Ponto de abcissa 0 .

Proposta 111. e

2. Estritamente crescente nos intervalos e

Estritamente decrescente no intervalo

Máximo relativo igual a para

Mínimo relativo igual a para

Proposta 121. 7 euros

2. 0,32 Æ/ano 3. 0,50 Æ/ano 4. O preço de lançamento do produto mantém-se durante o

primeiro ano.

A partir do primeiro ano, o preço começa a subir, aproxi-mando-se de 9 euros com o decorrer do tempo.

Proposta 131.

2. Não, porque .

Proposta 141.

2. f é estritamente decrescente nos intervalos e

f é estritamente crescente nos intervalos .

Mínimo relativo igual a - 3 para Máximo relativo igual a 5 para

3. e

Pág. 136

Pág. 137

Pág. 138

Pág. 139

87

- 83

t = 2,5

53

112p3

y = - 3x - 214

y = 11x - 15y = - 2x + 5

f ' : R " Rx 1 4

f ' : R " Rx 1 2x - 3

f ' : R " Rx 1 - 3x2 + 2x - 2

f ' : R \ {0} " R

x 1 2x2

A (1 , 2)

14 , -34

(1 , - 3)

a = 1 b = - 3]- ? , -√2 [

]√2 , + ? []-√2 , √2 [

√2 x = - √22

-√2 x = √22

A (1 , 2)

f ' (x) < 0 , A x å Df

]- ? , - 2[]1 , + ?[

]- 2 , 1[x = - 2

x = 1y = 5y = - 3

275N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

x -? - 2 1 + ?f ' - 0 + 0 -f ¢ - 3 £ 5 ¢


4.1

4.2

Proposta 15

1. Estritamente decrescente nos intervalos e

Estritamente crescente no intervalo

Mínimo relativo igual a 0 para

Máximo relativo igual a 4 para


Estritamente crescente nos intervalos e

Mínimo absoluto igual a 0 para e

Máximo relativo igual a 9 para


Estritamente crescente nos intervalos e

Mínimo relativo igual a 4 para

Máximo relativo igual a - 4 para

Proposta 161.

2.

3.

4.

Proposta 171. 2. Sim

Proposta 181. 7 m

2. Aproximadamente 377,37 metros; 33 minutos e 20 segun -dos.

3. 12 m/min 4. 14 m/min

Proposta 19Cada um dos catetos tem 5 cm de comprimento.

Proposta 20 1. 6000 bactérias/hora.

2. 8000 bactérias/hora.

3. 23 000 bactérias no início da 4.a hora.

Proposta 211. 461,9 m2

2. Comprimento: 26,7 m ; largura: 13,3 m

Proposta 221. A produção deve ser superior a 3584 peças e inferior ou

igual a 3885 peças.

2. 8 peças

Proposta 231. Horizontal: 5 m ; vertical: 2 m ; 40 euros

Proposta 241.2 m e m ; 500 euros

2.2 20 m da rede mais cara e 70 m da rede mais económica.

Proposta 25

1. 2.

Proposta 262. Forma de círculo de raio

Proposta 27120 euros

Proposta 282. Largura: 2,5 m ; altura: 2 m

Proposta 2910 cm * 20 cm

Proposta 307,85 cm

Proposta 312. cm ; cm

Proposta 321. 3 euros

2.

5

- 2 O

y

x

- 3

- 4

1

f

Pág. 140

Pág. 141

Pág. 142

Pág. 143

D'f = ]- 4 , 5]

]- ? , - 1[]1 , + ? [

]- 1 , 1[x = - 1x = 1

]- ? , - 3[]0 , 3[

]- 3 , 0[]3 , + ? [

x = - 3 x = 3x = 0

]- 2 , 0[]0 , 2[

]- ? , - 2[]2 , + ? [

x = 2x = - 2

]- ? , 9[{- 2 , 3}]- ? , - 2[ ∂ ]3 , + ? []- 2 , 3[ ∂ ]7 , + ? [

y = 8x + 1

RS = 50 SP = 62,5

P (0,8 ; 2)

200p

x ) 2,7 h ) 3,3

Pág. 144

2O

C

t10

2,53

4

45

276 SoluçõesN

EMA

11-P2©

Porto Editora


3 3 3

3. 0,5 Æ/ano . No momento em que a revista completa umano após o seu lançamento, o seu custo varia à razão de0,5 Æ por ano.

Proposta 331.

2.

3.

Proposta 341.

2.

Proposta 351.

2.

3.

4.

Proposta 361. - 62.

3.

Proposta 371.

2.1

2.2

Proposta 381.

2.

3.

Proposta 391.

2.

Proposta 40

1.

2.

Proposta 411.

2. f admite inversa, porque é uma função injetiva.

O domínio da função inversa é .

3.

4. Não é possível calcular porque .

5.

Proposta 421.

2.

3.

4.

Pág. 145

Pág. 146

f * h : R \ {0 , 3} " R

R \ {- 1 , 2}R- \ {- 3 , - 1}]- ? , - 3] ∂ ]- 1 , 2[

]- ? , - 1] ∂ [1 , + ? [{- 1 , 1}

x 1 x + 3x

f + g : R \ {- 2 , 2} " Rx 1 x2 - 1

x2 - 4g + f : R \ {3} " R

x 1 6x - 9(x - 3)2

fg : R \ {- 1 , 1 , 3} " R

x 1 x(x - 3)(x2 - 1)

]- ? , - 1] ∂ ]1 , + ? [52

R+0

g + f : R+0 " R

x 1 1 se x = 012 se x > 0

f + g : R \ {1} " Rx 1 - 1

R \ {0}

54

j : R " R

x 1 2x2 - 3x + 1 se x 0 - 1

6 se x = - 1

f + g : R \ {- 3 , 0 , 3} " Rx 1 1

x2 + 3xh + f : ]0 , 3[ " R

x 1 13x - x2

√3

]- ? , - 1[ ∂ {0} ∂ ]1 , + ? [

[- 6 , 14]

[- 3 , 7][- 1 , 9]

f (3) ∫ Df(f + f) (3)

7

- 3

O

y

x

f

f - 13

- 3 3 7

y = x

Pág. 147

Mínimo relativo

Máximoabsoluto

Mínimo absoluto

f -1 : R " Rx 1 - x + 1

3

f -1 : R \ {2} " R \ {- 1}x 1 x - 3

2 - x

f -1 : R \ - 23 " R \ 23 x 1 1 + 2x

2 + 3xf -1 : R " R+

x 1 x +√x2 + 42

277N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

t 0 2 10

C' + n. d. -C 3 £ 4 ¢ 2,5


Proposta 432.

Proposta 441. h é não injetiva, porque há objetos diferentes que têm a

mesma imagem. Por exemplo, .

2.

Proposta 451. ;

2. - 33.

Proposta 461.

3.1 (aproximação às milésimas)

3.2 25 cm2 . É um quadrado.

Proposta 47

1. 2.

3. 4.

5.

Proposta 481. Não são iguais. 2. Não são iguais.

3. São iguais. 4. Não são iguais.

5. São iguais.

Proposta 49

1. 2. 3.

Proposta 511.

2. Impossível.

3.

Proposta 521.

2.

3.1 3.2

Proposta 531. ;

2.1

2.2

3.1 3.2

4.2

Proposta 541.

2.

3. ;

Proposta 551.1 ;

1.2 ›

2. I: Verdadeira, porque f e g são funções não injetivas.

II: Falsa, porque .

Proposta 561.1 1.2

2.

3. ;

4. Não.

2

- 1 O

y

xf

Pág. 148

Pág. 149

j : [4 , + ?[ " Rx 1 (x - 4)2

j -1 : R+0 " [4 , + ? [x 1 4 +√x

x = - 1 y = 2D'f = R \ {2}

f -1 : R \ {2} " R \ {- 1}x 1 - x

x - 2

x å ]0 , 10[d å [7,071 ; 10[

[- 2 , + ?[ ]1 , + ?[

R \ {- 3 , 3} - ? , 0 ∂ 12 , + ?R

a56 a

12 a

-56

x = 8

x = 1

Pág. 150

f -1 : R \ {0} " R \ 12

h (- 2) = h (2)

x 1 2 + x2x

x å 12 , + ?√2Dg = [- 2 , 2]

Dg = ]- ? , 1]Df = R \ {3}f -1 : R \ {0} " R \ {3}

x 1 2 + 3xx

g + f : ]- ? , 3[ ∂ [5 , + ?[ " R

x 1 x - 5x - 3

- ? , - 32 ∂ 1 , 3{0}

y = 32x + 6

[- 4 , - 1] ∂ [1 , + ? [x å ]- 4 , 0[ ∂ ]6 , + ? [

xB =2 +√19

3xA =

2 -√193

Pág. 151

Dg = R \ {- 1}Df = ]- ? , 3] ∂ [4 , + ? [

x = 7 +√172

x = 7 -√172

Dg 0 Di

- ? , 12R \ {1}

x = 0

- 6 , 322 , 12

278 SoluçõesN

EMA

11-P2©

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A , área (em cm2) 2 8 18 33 162

L , largura (em cm) 1 2 3 4,062 9

C , comprimento(em cm) 2 4 6 8,124 18


TEMA 3: SUCESSÕES REAIS

Tarefa 11.1

1.2 1511.3 Não, porque 254 não é termo da sucessão.

2.1 28 2.2 Na figura de ordem 21 há 231 cubos e na figura de ordem 19

há 190 cubos.

2.3 741

Tarefa 21.

2.1 e

2.2 e

2.3 841 2.4 152

1.1 ; ; ;

1.2 Não é termo.1.3 (inclusive)

2.1 ;

2.2 2.3 Não é termo.2.4 (inclusive)

Tarefa 31.1 ; ;

1.2

Utilizaria esta definição, pois para calcular um termo bastaconhecer a sua ordem.

1.3

2.1 ; ;

2.2 É termo.

2.3

3.1 ; ;

3.2

Tarefa 41. . Os termos da sucessão aumentam.

2. O aumento do caudal de água correspondente à utilizaçãode mais uma torneira;

3. 400 litros

4. . Os termos da sucessão diminuem.

5. O tempo que se economiza a encher o depósito se se utili-zar n + 1 torneiras em vez de n torneiras.

6. é crescente e é decrescente.

3.1.1 3.1.2

3.2.1 3.2.2 3.2.3

4.1 ;

4.2.1 4.2.2 4.3 São monótonas (ambas decrescentes).

5. e são monótonas decrescentes (em sentidoestrito).

é monótona crescente (em sentido lato).

6. é monótona crescente (em sentido lato).

não é monótona.

é monótona decrescente (em sentido estrito).

7.1 não é monótona.

7.2

9.1 é monótona decrescente (em sentido lato).

9.2 , e

Tarefa 51.1 Por exemplo, . 1.2 Por exemplo, .

1.3 1.4

Pág. 158

Pág. 160

b7 = 48a6 = 121

b1 = 1bn = 8(n - 1) ; n ≥ 2an = (2n - 1)2

Pág. 161

u4 = 12u3 = 12u2 = 10u1 = 6

n = 8

a2 = 112

a1 = 10n = 9

n = 19

Pág. 162

p8 = 92p7 = 70p6 = 51

pn = 3n2 - n2

n = 18a3 = 7a2 = 5a1 = 3

n = 162

a1 = 3an+1 = an + 2 , A n å Nu3 = 3u2 = - 1u1 = - 3

u12 = 4091

Pág. 163

tn = 5n

tn+1 - tn > 0

hn = 80n

hn+1 - hn < 0

(hn)(tn)

Pág. 164

an-1 = 2n - 1n - 1an+1 = 2n + 3

n + 1a7 - a6 < 0a6 - a5 < 0

an+1 - an < 0

an = 14n-3ln = 1

2n-3

an+1 - an < 0ln+1 - ln < 0

(wn)(vn)

(tn)

Pág. 165

(an)

(bn)

(cn)

(vn)

p = 4(wn)

n = 8n = 7n = 6

Pág. 166

mi = 0ma = 6]- ? , 1][5 , + ? [

279N

EMA

11-P

2©

Por

to E

dito

ra

Ordem da figura 1 2 3 4 5 … n …

N.° de fósforos 4 7 10 13 16 … 3n + 1 …

1.° 2.° 3.° 4.° 5.° … n-ésimo

u1 u2 u3 u4 u5 … un

2 4 6 8 10 … vn = 2n

2 5 8 11 14 … wn = 3n - 1

1 12

13

14

15

… tn = 1n

2 4 8 16 32 … sn = 2n

- 12

23

- 34

45

- 56

… xn =(- 1)nnn + 1

1 0 - 1 0 1 … zn = sin np2


2.1

2.2 B e F

3. É limitado. (2 é minorante e 3 émajorante do conjunto dos termos da sucessão).

10. e são sucessões limitadas.

Minorante de : 0 ; majorante de : 1

Minorante de : - 1 ; majorante de : 1

11. Minorante: - 2 ; majorante: 2

13. (C)

14. é monótona decrescente (em sentido estrito) e é limi-tada.

16.1 Por exemplo,

16.2 Por exemplo,

16.3 Por exemplo,

16.4 Por exemplo,

Tarefa 61. 2. 36 km

3.

4. São iguais (34 km) 5. 170 km

6. 66 km ; 1110 km , atendendo a que

18.1 e

18.2 e

18.3 é uma progressão aritmética de razão 3 e é umaprogressão aritmética de razão 6 .

18.4 298

18.5 79

19.1 é uma progressão aritmética decrescente.

19.2 não é uma progressão aritmética, porque a diferençaentre quaisquer dois termos consecutivos não é constante.

20.1

20.2

21.1 e

21.2 e

21.3 e

22.2.1

22.2.2

23.1.1

23.1.2

23.2 139 é termo da sucessão ( ) e 150 não é.

24.1

24.2

25. , e 3

26.1 465

26.2 3825

27.2 e

27.3 - 1040

28.1.1 9650

28.1.2 20 658

28.2

29.1 1 h 6 min (66 min)

29.2 20 dias

29.3 11 h 20 min (680 min)

Tarefa 71. 7

2.1 1.a torre: 12 ; 2.a torre: 19 ; 3.a torre: 26 ; 4.a torre: 33

2.2.1 ;

é uma progressão aritmética de razão 7 .

A razão representa a soma dos pontos de duas faces opos-tas e invisíveis de um dado e que correspondem à diferençade pontos entre duas torres consecutivas.

2.2.2

2.2.3 19 dados.

2.2.4 1860

2.2.5

Pág. 170

Pág. 171

Pág. 172

un = 4 + 1n

un = 2n

dn = 2n + 6

(d1 + d30) * 15 = 1110

a5 = 13 p5 = 28

an = 3n - 2 pn = 6n - 2(an) (pn)

(un)

(vn)

un = 4 - 1n

w23 = 85

w6 = 17

bn = 3n - 4r = 3

bn = - 2n + 10r = - 2

bn = 3n - 22r = 3

t500 - t480 = 50

tn+2 - tn-1 = 152

Pág. 173

u7 = - 5

u20 = 47

u43 = 139

un = 3 - 2n

un = 6n + 6

94

32

Pág. 174

v35 = - 65v10 = - 15

Pág. 175

n = 20

Pág. 176

(an)an = 7n + 5

n = 10

Pág. 168

un = 1n

(wn)(wn)

2 < un ≤ 3 , A n å N

Pág. 167

(wn)(un)

(un)(un)

k = 25

(un)

280 SoluçõesN

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Conjunto Conjunto dos minorantes

Conjunto dos majorantes

B ]- ? , - 2] [7 , + ? [C Não tem [3 , + ? [D ]- ? , 2] Não tem

E Não tem [- 32

, + ?[F ]- ? , - 2] [6 , + ? [

Dia do mês de junho 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distância(em km) 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

NEMA11_P2_F18_20103453_20103453_TXTP2_P273_288 11/07/01 15:38 Page 280

Tarefa 81.

2. O objetivo foi atingido pois realizaram-se 13 116 Æ com avenda dos jornais.

3. 236 196 ; 354 288 Æ4.

30.1.1 16 30.1.2 2 ; 2 30.2 2 ; o número de novos fósforos usados numa fase é o dobro

do número de novos fósforos usados na fase anterior.

30.3

31.1 4 ; 12 ; 36 31.2 4 ; - 8 ; 16

31.3 ; ;

32.1 É uma progressão geométrica.32.2 Não é uma progressão geométrica.32.3 É uma progressão geométrica.32.4 É uma progressão geométrica.32.5 É uma progressão geométrica.

33.2 É termo da sucessão (3.° termo).

34.1

34.2

34.3

34.4

35.1 é uma progressão geométrica de razão .

35.2 Não é termo da sucessão.

36.1 Por exemplo, 36.2 Por exemplo, 36.3 Por exemplo, 36.4 Por exemplo,

37.1 e ; e ;

e ; e

37.2 é estritamente decrescente;

é estritamente decrescente;

não é monótona;

é estritamente decrescente.

38.1

38.2

39.1 765

39.2

39.3

40.1

40.2

43.1 720 Æ43.2.1 43.2.2 1492,99 Æ43.2.3 19 790,25 Æ

Tarefa 9 1.1 ;

1.3 3,875 cm2

2.1 35 2.2

Tarefa 101.1

1.2.1 1.2.2 1.3 Nove anos.1.4 Da venda resultou um lucro global de 191,68 Æ .

2.1.1 2.1.2

2.1.3

2.2.1 2.2.2 93,71 ml

Pág. 180

Pág. 181

Pág. 182

Pág. 183

un = 9 * 5n-6

(wn)15

un = 2 * 0,5n

un = 3 * (- 2)n

un = - 4 * 0,5n

un = - 2 * 3n

u1 = 15

r = 15

v1 = - 3 r = 3

w1 = - 2 r = - 2 t1 = - 5 r = 3

(un)

(vn)

(wn)

(tn)

un = 4 * 3n-1

un = 4 * (- 3)n-1

164024332827

9316189128

vn+1 = 1,2 vn

Pág. 184

a1 = 8an+1 =

an

2 , A n å N

a1 = 8

cn = p * 2n-1

Pág. 185

an+1 = an * 1,05 , A n å Nbn+1 = bn * 0,98 , A n å N

Q1 - Q2 = 0,1 * Q1

Q5 = 0,9 * Q4

Qn+1Qn

= 0,9

un = (- 3)n+1

un = - 4 * 34n-1

un = 16* 12

n-3

Pág. 179

jn = 12 * 3n-1

Pág. 178

f1 = 1fn+1 = 2fn , A n å N

118

16

12

Pág. 177

Qn = 200 * 0,9n

281N

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2©

Por

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dito

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Dias de venda 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°

Jornais vendidosnesse dia 12 36 108 324 972 2916

Total de jornaisvendidos 12 48 156 480 1452 4368

Quadro A Quadro B

Passado 1 ano 840 Æ 1470 Æ

Passados 3 anos 926,01 Æ 1411,79 Æ


Tarefa 111.1 3120 Æ

1.2.1

2.1 Capital inicial: 3000 Æ ; taxa de juro anual: 4% ;

número de capitalizações por ano: 2 ;

número total de capitalizações: 2

2.2.1 O capital ao fim de 5 meses, na modalidade C .2.2.2 9366,67 Æ2.3 20 816,17 Æ3. C0 – capital inicial;

j – taxa de juro anual;

n – número de capitalizações ao longo do ano.

47. (D)

48.1 Modalidade A : 26 050 Æ ; Modalidade B : 26 015,10 Æ .

48.2 21 028,17 Æ

49.1.2 49.2.1 é monótona. A função g é estritamente decrescente

em N .

49.2.2

50.1.1 (inclusive)

50.1.2 (inclusive)

50.1.3 (inclusive)

50.1.4 (inclusive)

50.2

51.1 24 999 999 51.2 6 759 999 51.3 56 250 000 (inclusive)

54.2.1 (inclusive)

59. Tendem para zero e são limitadas. e são estrita-mente decrescentes e é estritamente crescente.

60.1.1 (inclusive)

60.1.2 (inclusive)

60.2 19 (inclusive)

61.1 61.2

65. Por exemplo, ;

66.1 Por exemplo, ; ;

66.2 ; ;

67.2.1

67.2.2

67.2.3

68. Infinitésimos: , e ;

Infinitamente grande positivo:

69.1

69.2

Tarefa 12

1.1 ; ; ;

1.3 (inclusive)

2.1 ; ;

2.3

Tarefa 131.1 ; ; ;

1.2 Tendem para .

1.3 Sim. Representa a área do triângulo inicial.

2.1 ; ; ; .

2.2 Tendem para 4 .

70. 20p cm

71.1 (inclusive)

71.2.1 (inclusive)

71.2.2 (inclusive)

71.2.3 (inclusive)

72.1.1 (inclusive)

72.1.2 (inclusive)

Pág. 206

Pág. 207

Pág. 208

Pág. 209

Pág. 210

n > 25

n > 11

vn = 1n + 4 vn " 0

vn = n2 + 2 wn = n3 tn = 5n2

an = 1n2 + 2 bn = 1

n3cn = 1

5n2

1un " 0

1vn " 0

1wn " + ?

(vn) (wn) (tn)

(un)

k å ]0 , 1[k å ]1 , + ? [

p1 = 3 p2 = 32

p3 = 34

p4 = 38

n = 13

a1 = 10 a2 = 5 a3 = 103

n = 7874

Pág. 200

n = 12

Pág. 203

(vn)(un)(wn)

Pág. 204

n = 34n = 2

p = 101(bn)

a4 = 1532

a3 = 716

a2 = 38

a1 = 14

12

p4 = 154

p3 = 72

p2 = 3p1 = 2

Pág. 211

Pág. 212

n = 51n = 101n = 501n = 10 001n = 20n = 66

Pág. 194

Pág. 196

un " 3(vn)

vn " - ?

Pág. 197

p = 1668p = 6668p = 51

Pág. 193

u1 = 3060

Pág. 192

282 SoluçõesN

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73.1 ; ;

73.2 Não. Por exemplo, e

73.3 Três.73.4 Não. Nenhum termo de ordem ímpar pertence à vizinhança

.

73.5 Não. Para não existe qualquer ordem a partir daqual os termos de ordem ímpar pertençam a .

74.2.1 (inclusive)

74.2.2 (inclusive)

Tarefa 141.1 1.2 1.3

2.1 2.2 ;

75.1 ; ; ; ;

75.2 Não. Por exemplo, e .

75.3 75.5 Não. A sucessão dos termos de ordem par e a sucessão dos

termos de ordem ímpar tendem para valores diferentes.

76.1 76.2 A sucessão não tem limite.

76.3 76.4

77.1 3 77.2 1 77.3 2 78.1 Por exemplo, 78.2 Por exemplo, 78.3 Por exemplo, 78.4 Por exemplo,

79.1 Por exemplo, 79.2 Por exemplo, 79.3 Por exemplo, 79.4 Por exemplo,

80.1 3 80.2 + ?80.3 + ?80.4 0

81.1 + ?81.2 0 81.3 081.4 0

82.1 Por exemplo, e

82.2 Por exemplo, e

82.3 Por exemplo, e

83.1 Por exemplo, 83.2 Por exemplo, 83.3 Por exemplo,

Tarefa 151.1 0,5 m . Durante o 2.° ano, a árvore cresceu 0,5 m .

1.3 Não. A equação é impossível.

1.5 A altura da árvore tende para 3 m .

2.1 ; um minuto após ter sido retirado do congelador, obloco de gelo tinha 5 cm de altura.

2.2 - 0,5 ; entre o 5.° e o 7.º minuto após ter sido retirado docongelador, a altura do bloco de gelo diminui, em média,0,5 cm por minuto.

2.3 Diminui. A sucessão é estritamente decrescente.

2.5 Com o decorrer do tempo, a altura do bloco de gelo tendepara zero.

84.2 é estritamente decrescente.

84.3 Majorante: ; minorante: 2

85.1 Por exemplo,

85.2 Por exemplo,

85.3 Por exemplo,

85.4 Por exemplo,

85.5 Por exemplo,

85.6 Por exemplo,

86.1 é estritamente crescente.

87.1 Por exemplo,

87.2 Por exemplo,

87.3 Por exemplo,

88. , logo é convergente.

A sucessão não é monótona porque, por exemplo,e .

Pág. 219

Pág. 220

Pág. 221

Pág. 218

vn = n2

vn = n3

vn = n

vn = - n

an = n bn = - n

an = n bn = n - 2an = n bn = - n2

vn = 2n2 + n + 1vn = n

vn = n3

un = 3

a1 = 5

(an)

(un)

u1 = 113

un = n

un = 1n

un = (- 1)n

un = 4 - 1n

un = 1 + 1n

un = 3 + (- 1)n

n

Pág. 222

(un)

un = - 1n

un = n se n ímpar1 se n par

un = - n + (- 1)n

(vn)

(vn)lim vn = 1

v3 > v2v2 < v1

vn = - 4nvn = - 2n - 7

vn = 2nvn = n

u4 < u3u2 > u1{}

lim vn = 0(vn)

lim vn = 2lim vn = 3

Pág. 217

v3 < v2v2 > v1

V0,01(0)

d < 0,1Vd (0)

n = 16n = 301

Pág. 214

a1 = a2 = a3 = a4 = 4pa20 = 4pk = 4pu1 = u2 = u3 = 20

lim un = 20un = 20

Pág. 216

u5 = 95

u4 = 54

u3 = 53

u2 = 32

u1 = 1

v3 = 110

v2 = 12

v1 = 110

Pág. 213

283N

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11-P

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Por

to E

dito

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Tarefa 162.

4.

89. Por exemplo,

Tarefa 171.1 ; ; ;

1.2 Razão: . Termo geral:

1.3

1.4.2

Tarefa 181.1 1.2

1.4.1 1.4.2 2

2.1 Aproximadamente, 11,11 km .

Tarefa 191.1 un = 800 * 0,75n - 1

1.2 vn = 1000 *

2. O funcionário A recebeu 80,09 Æ e o funcionário B rece-beu 39,02 Æ .

3.1 73,62 Æ3.2 O funcionário A , durante o ano 2011, recebeu no total

3098,64 Æ . E a soma de todos os (infinitos) suplementosque o funcionário B receberia é dada por:

1.1 (C) 1.2 (A)

2. (C)

3.1 (B) 3.2 (C)

4. (C) 5. (A)

6. (B) 7. (B)

8. (D) 9. (B) 10. (B)

11. (A) 12. (C)

13. (D) 14. (C) 15. (C)

16. (A) 17. (B)

Proposta 11.1 45 1.2 49 1.3 64

2.1 2.2

Proposta 21. Oito semicircunferências

2.

3. É definida por . O número de semicircunferências deuma figura é o dobro do número das existentes na figuraanterior.

Proposta 31.1 1.2 255 1.3.1 É termo. Situa-se na 52.a linha.1.3.2 Não é termo. 1.3.3 É termo. Situa-se na 172.a linha.

2.1 7.a coluna e 61.a linha2.2 5.a coluna e 75.a linha2.3 2.a coluna e 715.a linha

3. É a sequência 568 , 569 , 570 , 571 , 572 , 573 , 574 (cor-responde à 82.a linha da tabela).

Proposta 41. Por exemplo, majorante: 8 e minorante: 2 .

2. Não, porque .

Proposta 51. é estritamente decrescente, porque ,

e é limitada, porque .

2. Não, porque é estritamente crescente.

Pág. 237

Pág. 238

Pág. 235

Pág. 236

un = 5n vn = 5n + 4

u2 = v2 = 2(vn)

un = 7n - 4

u1 = 9

Pág. 234

Pág. 232

Pág. 233

n = 5 a5 = 116

255128

lim wn = 1,5

Pág. 224

un = 2 + 92n

Pág. 225

c4 = 2532

c3 = 258

c2 = 252

c1 = 50

cn = 50 * 14n-11

4

S = 212532

lim (Sn) = 2003

Pág. 226

Pág. 223

Pág. 227

23n-1

lim 30001 - 23n

= 3000vn+1 - vn < 0(vn)

2 < vn ≤ v1 , A n å NA n å N(vn)

284 SoluçõesN

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Porto Editoran un vn un ≤ wn ≤ vn

1 1 2 1 ≤ w1 ≤ 2

2 1,25 1,75 1,25 ≤ w2 ≤ 1,75

100 1,495 1,505 1,495 ≤ w100 ≤ 1,505

500 1,499 1,501 1,499 ≤ w500 ≤ 1,501

1000 1,4995 1,5005 1,4995 ≤ w1000 ≤ 1,5005

2000 1,4998 1,5003 1,4998 ≤ w2000 ≤ 1,5003

… … … …


Proposta 6 Não. se n = 1 e se

Proposta 7 Falso.

Proposta 81. A reta que contém os pontos tem declive negativo; logo, a

sucessão é decrescente.

2. ;

3. é termo da sucessão e não é.

Proposta 91. A afirmação é falsa. A sucessão é limitada, porque

e é monótona crescente em sentidolato, porque .

Proposta 111. e

Proposta 122. 165

3.1

3.2 é estritamente decrescente ( e )

Proposta 131. 22,5

2. 260

Proposta 141.

2.2 - 5500

Proposta 151. 22

2.

3. É termo da sucessão (61.°).

4. 747,5

Proposta 162.

Proposta 171. 38,75 Æ2. 27,45 Æ

Proposta 181. A 2.a modalidade.

2. A 1.a modalidade.

3. A 1.a modalidade, se a duração do depósito for superior a4 anos e a 2.a modalidade, se a duração for inferior ouigual a 4 anos.

Proposta 19e

Proposta 201. 16 384

2. 16 383,5p

Proposta 211.

2. não é monótona ( e )

3.

4. - 29 524

Proposta 221. e

Proposta 23

1. e

Proposta 24

2.

Proposta 25

progressão geométrica de razão ; cm

progressão geométrica de razão ; cm

progressão geométrica de razão ; cm2

Proposta 261. 18 170,68 Æ2.

Proposta 271. 3279

Proposta 28

1. ,

então é crescente; minorante: 0 (por exemplo).

2. ,

então é decrescente; majorante: 0 (por exemplo).

3. Não têm limite; e .

Proposta 291.

2. (não tem limite)

Pág. 243

Pág. 242

v2 = 5 v3 = 4

w2 = 3 w3 = √5

v5 = 78 125√5

(ln)√22

S10 ) 66,15

(pn)√22

S10 ) 264,60

(an)12

S10 ) 800

vn = 30 000 * 0,85n

p2 - 1n " p

2

-

(vn)

p2 + 1n " p

2

+

(un)

un " - ? vn " + ?

un = 2 * (- 3)n-1

r < 0u1 > 0(un)

r = - 3

r = 5x = - 5

a = - 1

Pág. 241

(wn)0 ≤ wn < 3 , A n å N

wn+1 ≥ wn , A n å N

Pág. 239

y = 12

x = 0

8027

0 < r < 1w1 > 0(wn)

Pág. 240

k å ]- ? , - 2[ ∂ ]2 , + ?[

un = n + 392

n ≥ 2wn+1 - wn < 0wn+1 - wn > 0

v7 > v8

u25 = - 42u1 = 1874

12

lim un = 5lim un = + ?

285N

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11-P

2©

Por

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dito

ra



4.


6.

7.

8.

9. não tem limite.


11.

12.

13.

14. não tem limite.

Proposta 302.

Proposta 311. Não é termo da sucessão.

Proposta 321. É termo da sucessão (18.°) .

2. é estritamente crescente.

3. é limitada.

4. é convergente, pois é monótona e limitada.

5. (inclusive)

Proposta 332. 33,3%

3. 1,167 . Da 1.a para a 2.a contagem, o número de bacté-rias da colónia B aumentou, aproximadamente 16,7% .

4. A população da colónia A tenderia a desaparecer e a dacolónia B tenderia a aproximar-se de 20 000 bactérias.

Proposta 341.

2.

3. Centro B ; cm

4. cm

Proposta 35

1. ;

2. Aproximadamente, 0,37 cm

3. Aproximadamente, 13,6 cm

4. FE//AB ; área ) cm2 e perímetro ) cm

Proposta 361. cm

2.

3.

4. 24 cm

Proposta 37

1.

2.

Proposta 38 1. 45 cubos.

2. Tipo A : 21 Tipo B : 36

Tipo C : 66

3. Tipo A :

Tipo B :

Tipo C :

4.1 Tipo B : 30 degraus 4.2 Tipo A : 41 degraus ; 41 cubos ; sobram 39 cubos Tipo C : 21 degraus ; 81 cubos ; sobram 39 cubos

Proposta 39950 cm

Proposta 402. An = 25p (2n + 1)

Proposta 411. Figura 1:

Área azul: cm2 ; Área “branca”: cm2

Figura 2:


Figura 3:


2.1

2.2 4095 círculos

3.1 ;

3.2 ;

3.3 cm2

Pág. 248

Pág. 247

p (4 - p)

p2 4 - p

2p4 4 - p

4 c1 = 1cn+1 = 2cn , n å N

an " 0 bn " 4

an = p2n-1 bn = 4 - p

2n-1

2p

un = 3n-1

hn = 24 (1 - 2-n)

Pág. 246

0,75

r = 8

cn = 163pn

3203p

640p

cn = 10 * √33 n

r = √33

13,437,13

lim un = e

lim un = 12

(un)

n = 798

Pág. 244

(un)

(un)

(un)

n = 399

Pág. 245

lim un = - ?lim un = 1lim un = + ?lim un = 0lim un = - 1

2lim un = 0(un)

lim un = + ?lim un = 0 A3 = 9

4p

r = p2

an = n + n2

2bn = n2

cn = 2n2 - n

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tema 1 geometria no plano e no espaÇo ii · 2012-03-20 · 8.1 20 sin 55° p8.2 16,636 8.3 51,0...

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