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Tecnologia em Construções de Edifícios

Aula 9Geometria Analítica

Professor Luciano Nóbrega

2º Bimestre

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2Professor Luciano Nóbrega

GEOMETRIA ANALÍTICA

INTRODUÇÃO

A geometria avançou muito pouco desde o final da era grega até a Idade Média. René Descartes, em 1637, revolucionou a MATEMÁTICA ao criar uma conexão entre a GEOMETRIA e a ÁLGEBRA, ele demonstrou como aplicar os métodos de uma disciplina na outra. Este é o fundamento da geometria analítica, na qual representam-se as figuras através de expressões algébricas.

x2 = 4py

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COORDENADAS CARTESIANAS

Todo ponto possui uma coordenada dada por um par ordenado (x, y).

1º Quadrante2º Quadrante

3º Quadrante 4º Quadrante

P(x, y)Q(x, y)

R(x, y)S(x, y)

x → Eixo das abscissas

y → Eixo das ordenadas

⟶ x > 0 y > 0

x < 0 ⟵ y > 0

x < 0 y < 0 ⟵

⟶ x > 0 y < 0

Vejamos o comportamento das coordenadas em cada quadrante:


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COORDENADAS CARTESIANAS

EXEMPLO:Dados os pontos A(–3,–2), C(2,–2), E(4, 2), G(2, 5), I(0, 3), J(–1, 4) e L(–5, 3).a) Marque no plano cartesiano abaixo os pontos supra citados.b) Determine as coordenadas dos pontos B, D, F, H, K e M.c) Ligue os pontos na ordem alfabética. Feche a figura, ligando os pontos M e A.


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DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS


5

Qual a distância entre os pontos:

a) A e B ?

A(3, 2)

x

y

B(7, 2)

C(7, 5)

b) B e C ?

c) A e C ?

=C(xB, yA)

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Generalizando:

A(xA, yA)

x

y B(xB, yB)

Sempre é possível pegarmos um ponto C, de tal maneira que o triângulo ABC seja um triângulo retângulo.

C(xC, yC)

Pelo Teorema de Pitágoras:

(dAB)² = (dAC)² + (dBC)² (dAB)² = (xC – xA)² + (yB – yC)²

(dAB)² = (xB – xA)² + (yB – yA)²

dAB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²

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EXEMPLO:Um ponto P (a, 2) é equidistante dos pontos A (3, 1) e B (2, 4). Qual o valor de “a” ?

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETAConsidere o segmento de reta com extremos A (xA, yA) e B (xB, yB), e o ponto médio M (xm, ym). Sendo assim, temos:

Pelo teorema de Tales:

AM = MB AD = CD

M

D

xm – xA = xB – xm

2xm = xA + xB

xm = xA + xB

2

Analogamente, fica como exercício que vocês mostrem que ym = yA + yB

2


9

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA

EXEMPLO:Determine o comprimento da mediana AM do triângulo cujos vértices são os pontos A (2, 3), B (4, –2) e C (0, –6)

EXEMPLO:Dado o ponto A (–1, 1), determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M (–1, –1) é o ponto médio do segmento AB.


CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Observe o gráfico:

x

y

xBxCxA

yA

yC

yBB

C

A

ED

Os triângulos ABE e ACD são

semelhantes, pois possuem os mesmos ângulos.

Segue que:

AE = BE

AD CD

xB – xA = yB – yA

xC – xA yC – yA

(xB – xA)(yC – yA) = (yB – yA)(xC – xA)

(xB – xA)(yC – yA) – (yB – yA)(xC – xA) = 0

Vamos guardar esse resultado!


Condição de

alinhamento de três pontos

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(xB – xA)(yC – yA) – (yB – yA)(xC – xA) = 0

Vamos guardar esse resultado!

Desenvolvendo o seguinte determinante:

xA yA 1

xB yB 1 = 0

xC yC 1

Repetimos as duas 1ªs colunas:

xA yA 1 xA yA

xB yB 1 xB yB = 0

xC yC 1 xC yC

xA.yB+yA.xC +xB.yC

xC.yB +yC.xA +xB.yA

(continuação) Daí, temos que:

DP – DS = 0

xA.yB+ yA.xC+ xB.yC

– xC.yB – yC.xA – xB.yA = 0

Ora, desenvolvendo a expressão “guardada”,obtemos o mesmo resultado.

Podemos concluir que:xA yA 1

xB yB 1 = 0

xC yC 1


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EXEMPLO:Determine os valores de “k” para que os pontos A (k, 7), B (2, –3) e C (k, –1) sejam os vértices de um triângulo.

EXEMPLO:Determine dois pontos que estejam alinhados com os pontos A (1, 4) e B (0, 3)


x

y

A(xA, yA)

B(xB, yB)

Pegando um terceiro ponto, um ponto P(x, y) qualquer sobre a reta, temos pela condição de alinhamento de três pontos que:

xA yA 1

xB yB 1 = 0

x y 1

Resolvendo o determinante, temos:

xA yA 1 xA yA

xB yB 1 xB yB = 0

x y 1 x y

xA.yB +yA.x +xB.y

x.yB +y.xA +xB.yA

(continuação) Daí, temos que:

DP – DS = 0

xA.yB + yA.x + xB.y

– x.yB –y.xA –xB.yA = 0

(yA – yB).x + (xB – xA).y + (xA.yB -xB.yA) = 0

Ax+By+ C = 0

EQUAÇÃO DA RETA


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EQUAÇÃO DA RETA

EXEMPLO:Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A(-1, 3) e B(3, 2).

EXEMPLO:Considere uma reta r que passa pelos pontos (-1, -2) e (4, 2) e

intercepta o eixo das ordenadas no ponto P. Determine as

coordenadas do ponto P.


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EQUAÇÃO DA RETA

INCLINAÇÃO DA RETAA inclinação de uma reta ou, em outras palavras, o

coeficiente angular de uma reta é dado por:

x

y

x0 x1

y0

y1

01

01

xx

yytg

Passando o denominador

para o outro lado e fazendo tg Θ = m, temos:

y1 – y0 = m.(x1 – x0)

Θ


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EQUAÇÃO DA RETA

EXEMPLO:Sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A (k, 2) e

B (–1, 3) é de 45º. Determine o valor de “k”, a equação da reta e as

coordenadas do ponto em que a reta intercepta o eixo das

abscissas.


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EQUAÇÃO DA RETASabendo que a equação da reta pode ser obtida por:

y – yP = m.(x – xP)

Ela intercepta o eixo y no ponto P (0, n). Daí, temos:

y – n = m.(x – 0) y – n = m.x y = m.x – nEQUAÇÃO reduzida DA RETA

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

PARALELAS ⟶ m1 = m2 e n1 ≠ n2

COINCIDENTES ⟶ m1 = m2 e n1 = n2

CONCORRENTES ⟶ m1 ≠ m2

PERPENDICULARES ⟶ m1 . m2 = –1


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EQUAÇÃO DA RETA

EXEMPLO:Dado o ponto A (3, 5) e a reta “r” de equação x + y – 2 = 0,

determine a equação da reta “s” que passa por “A” e é

perpendicular a reta “r”.


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DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E A RETA


Vejamos SEM a fórmula:Considere o ponto P (4, 6) e a reta r de equação x + y – 1 = 0,

determine a distância entre o ponto P e a reta r. Para isso, faça o

que se pede em cada item, determine:

a) o coeficiente angular da reta r;b) o coeficiente angular de uma reta perpendicular a reta r;c) a equação de uma reta “s” perpendicular a reta r e que

passe pelo ponto P;d) a interseção entre as retas “s” e “r”;e) a distância entre o ponto P e a reta r.f) Agora, utilize a fórmula

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EQUAÇÃO DA RETA

EXEMPLO:Qual a distância do ponto P (–2, 3) à reta r de equação 3x + 4y – 8 = 0?

EXEMPLO:Qual a distância entre as retas de equações 4x – 3y + 9 = 0 e

4x – 3y – 6 = 0 ?


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