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TECNOLOGIA DA DEFORMAÇÃO PLÁSTICA

VOL I – FUNDAMENTOS TEÓRICOS (Enunciados de Exercícios Complementares)

Nota Introdutória Este documento é um anexo ao livro Tecnologia Mecânica – Tecnologia da

Deformação Plástica, Vol. 1 (Fundamentos Teóricos) editado pela Escolar Editora e

contém enunciados de exercícios destinados a complementar o auto-estudo dos

leitores.

Os exercícios não estão resolvidos e, portanto, aconselha-se que os leitores efectuem

um estudo detalhado dos problemas resolvidos que se encontram incluídos no livro

antes de tentarem resolver os problemas que são propostos neste documento.

A numeração dos enunciados inicia-se no número imediatamente seguinte ao do

último exercício resolvido que se encontra disponível no correspondente capítulo do

livro.

CAPÍTULO 1 Introdução aos Processos de Fabrico Problema 1.1 Proceda a uma recolha de informações que lhe permita completar as tabelas que se

apresentam a seguir.

Materiais metálicos de engenharia

Preço médio (Euros/kg)

Densidade média (g/cm3) Exemplos de Aplicações

Aços carbono

Aços ligados

Aços inóxidáveis

Ferros fundidos

Ligas de Alumínio

Ligas de Magnésio

Cobre

Latões

Bronzes

Ligas de Zinco

Ligas de Titânio

Ligas de Níquel

Estanho

Chumbo

Crómio

Tungsténio

Ouro

Prata

Platina

Paladium

Tabela 1.1.I – Principais materiais metálicos de engenharia.

Materiais poliméricos de engenharia



Termoplásticos

Polietileno

Polipropileno

Poliestireno

Policarbonatos

ABS

PVC

Teflon

Nylons

Plexiglass

Termoendurecíveis

Poliuretano

Epoxys

Baquelite

Elastómeros

Silicone

Neopreno

Tabela 1.1.II – Principais materiais poliméricos de engenharia.

Materiais compósitos de engenharia



Epoxy reforçado com fibras de aramido

Epoxy reforçado com fibras de carbono

Epoxy reforçado com fibras de vidro

Poliéster reforçado com fibras de vidro

Nylon reforçado com fibras de carbono

Tabela 1.1.III – Principais materiais compósitos de engenharia.

Problema 1.2 Pretende seleccionar o material para um varão sujeito a tracção uniaxial de modo a

minimizar o seu peso e a maximizar a sua resistência mecânica.

Os seus constrangimentos de projecto são o comprimento L do varão e a carga F

que o varão deverá ser capaz de suportar em regime elástico.

a) Converta o gráfico da figura 1.4 do livro num gráfico do tipo bi-logarítmico.

b) Discuta a metodologia de selecção do material do varão com base na

representação gráfica do índice de performance ρσ=Ρ /2.0 sobre o gráfico que

tinha sido representado na alínea anterior.

Problema 1.3 Explique a razão pela qual os metais que apresentam uma estrutura cristalina do tipo

HC são menos dúcteis do que aqueles que apresentam estruturas do tipo CFC e CCC.

Problema 1.4 Exemplos de questões de escolha múltipla relativas a este capítulo:

1.4.1 Os polímeros possuem uma estrutura (seleccionar uma resposta):

a) Cristalina.

b) Não-cristalina.

c) Mista.

1.4.2 O ferro fundido contém teores em Carbono (seleccionar uma resposta):

a) Inferiores a 2%.

b) Entre os 2% e os 4%.

c) Praticamente nulos.

1.4.3

Quais destas características são típicas dos aços inoxidáveis martensíticos

(seleccionar uma ou mais respostas):

a) Boa resistência à corrosão.

b) Não temperáveis sendo geralmente fornecidos no estado hipertemperado.

c) Magnetizáveis.

d) Endurecem por precipitação de uma forma natural.

e) Endurecem por precipitação de uma forma natural e artificial.

1.4.4 A fundição em areia verde utiliza (seleccionar uma resposta):

a) Moldes permanentes.

b) Moldes não permanentes.

1.4.5 A designação ‘areia verde’ está associada ao facto das moldações (seleccionar uma

resposta):

a) Incorporarem aditivos que lhe transmitem uma cor verde.

b) Incorporarem uma mistura de sílica, argila e água que depois de vitrificada adquire

uma cor verde.

c) Incorporarem uma mistura de sílica, argila e água que depois de curada adquire

uma cor verde

d) Incorporarem uma mistura de sílica, argila e água.

1.4.6 Quais das seguintes vantagens podem ser apontadas à fundição injectada

(seleccionar uma ou mais respostas):

a) Boa qualidade superficial e dimensional.

b) Fácil automatização.

c) Muito boa adequação ao fabrico de peças numa gama alargada de dimensões e de

complexidade geométrica.

d) Excelente adequação ao fabrico de peças em pequenas e grandes séries de

produção.

CAPÍTULO 3 Elasticidade Problema 3.9

Considere o sistema de forças zyx FFF ,, que se encontra aplicado no cubo metálico

representado na figura.

x

x

y

y

z

z

4 cm

3 cm

2 cm

F

F

F O

As forças valem 1200=xF N, 3000−=yF N e 2000=zF N e provocam deformação

elástica.

a) Determine o estado de tensão do cubo e apresente o correspondente tensor das

tensões referido ao sistema de eixos cartesianos zyx ,, .

b) Determine os cosenos directores do plano do cubo que se encontra representado a

cinzento.

c) Calcule o valor das tensões nσ e nτ no plano do cubo que se encontra

representado a cinzento.

d) Calcule o valor da tensão efectiva σ .

Problema 3.10

O estado de tensão ijσ num ponto pode ser expresso por intermédio de dois dos três

tensores que se apresentam a seguir:

1) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 20000050000100

MPa

2) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

03.103031.1400500

31.140003.3 MPa

3) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

63.40059.1400500

59.140029.102 MPa

a) Qual dos tensores não representa o estado de tensão no ponto?

Resposta: tensor 3)

b) Qual o valor da tensão de corte máxima no ponto?

Resposta: 150max =τ MPa

Problema 3.11 Indique quais dos seguintes tensores podem representar extensões, rotações ou

ambas.

a) 310214

153431

−×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

b) 310110113015

−×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

c) 310214153431

−×⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

Resposta: a) extensões, b) ambas, c) rotações.

Problema 3.12 O estado de tensão num ponto é dado pelo seguinte tensor das tensões,

MPa11201260005

ij⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=σ

a) Determine as tensões e as direcções principais no ponto.

Resposta: , e , MPa

.k53j

54i0nek0j0i1n,k

54j

53i0n 321 ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅−⋅=

b) Proceda à representação do estado de tensão no plano de Mohr e determine a

tensão de corte máxima maxτ .

Resposta: A tensão de corte máxima 5.12max =τ MPa e actua num plano que é

bissector dos planos onde estão aplicadas as tensões principais 1σ e 3σ .

c) Determine os invariantes do tensor das tensões.

Resposta: 10I1 −= MPa, 125I2 = (MPa)2 e 750I3 = ( MPa)3 .

d) Determine a tensão média mσ e proceda à decomposição do tensor das tensões

na soma do tensor hidrostático ou de tensões médias com o tensor desviador.

Resposta: 310

m −=σ MPa

Tensor desviador MPa1120

1260005

310

310

310

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−

+−, Tensor hidrostático MPa

000000

310

310

310

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

e) Determine o vector tensão nS no plano cuja normal é definida por

k32j

31i

32n ⋅+⋅+⋅=

Resposta: MPa3/10

103/10

Sn⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−= , MPa

970

n −=σ e MPa9

5010n =τ

f) Determine a tensão octS no plano octaedral.

CAPÍTULO 4 Plasticidade

Problema 4.10 Explique a diferença entre tensão de corte e tensão limite de elasticidade ao corte.

Problema 4.11

A aplicação de um estado triaxial de tensão 801 =σ MPa, 452 =σ MPa, 303 −=σ MPa,

sobre um componente metálico provoca-lhe uma deformação de natureza elástica.

Explique se o componente permanece em deformação elástica no caso de lhe ser

sobreposto um carregamento adicional de natureza hidrostática em que 50−=σ MPa.

Problema 4.12 Pretende-se dimensionar um pequeno reservatório cilíndrico de parede fina com um

raio médio igual a 300 mm de modo a ser capaz de suportar uma pressão interior

máxima de serviço igual a 60 bar (6 MPa).

O reservatório deverá ser construído num aço carbono com uma tensão limite de

elasticidade 316=σe MPa.

a) Calcule a espessura mínima teórica admissível do reservatório de modo a

assegurar que o seu funcionamento seja sempre efectuado no regime elástico.

Utilize o critério de plasticidade de Tresca.

b) Repita a alínea anterior utilizando o critério de plasticidade de von Mises.

c) Proceda à representação dos resultados que foram obtidos nas alíneas a) e b) no

espaço das tensões principais. Comente os resultados obtidos.

Problema 4.13 Pretende-se dimensionar um reservatório esférico com um raio médio de 500 mm para

armazenagem de um gás. O reservatório deverá ser construído com uma espessura

de 30 mm num aço carbono com uma tensão limite de elasticidade 316=σe MPa.

Utilize o critério de plasticidade de Tresca para determinar a pressão máxima de

funcionamento do reservatório admitindo um coeficiente de segurança de 2.

Problema 4.14 Um componente estrutural entra em deformação plástica quando é submetido a um

estado de tensão definido por intermédio de seguinte tensor das tensões,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=σ

15005001000500100

ij (MPa)

Apresente uma estimativa do valor da tensão limite de elasticidade do material

utilizando os critérios de plasticidade de Tresca e de von Mises.

Problema 4.15 O ensaio de tracção uniaxial de uma liga metálica forneceu os seguintes valores de

tensão limite de elasticidade e de tensão de rotura; 200=σe MPa e 350=σR MPa.

a) Utilize o critério de plasticidade de Tresca para avaliar se a liga metálica está em

deformação elástica ou plástica quando é solicitada por um carregamento definido

por intermédio das tensões 100=σ x MPa, 150−=σ y MPa e 80−=σ z MPa.

b) Admita que o valor das tensões xσ e zσ permanece constante e igual ao da alínea

anterior e calcule entre que valores deverá variar a tensão yσ de modo a que a liga

metálica permaneça sempre em deformação elástica.

Nota: Resolva esta alínea no plano de Möhr e no espaço das tensões principais.

Problema 4.16 Calcule o incremento de trabalho plástico por unidade de volume para os seguintes

tipos de carregamento:

a) Tracção uniaxial.

b) Deformação plana 02 =εd com 03 =σ .

Problema 4.17

Um cubo de um material metálico com uma tensão limite de elasticidade igual a eσ é

submetido a duas tensões normais 1σ e 2/13 σ−=σ .

a) Determine o quociente 21 / εε dd . Utilize as relações tensão-incremento de extensão

plástico de Levy-Mises.

b) Determine o valor da tensão de corte máxima maxτ no limite de elasticidade

utilizando o critério de plasticidade de von Mises.

Problema 4.18 Os processos tecnológicos de deformação plástica de chapa são habitualmente

estudados em condições de tensão plana 0=σ k .

a) Assinale as zonas de trabalho características destes processos tecnológicos no

espaço das tensões principais admitindo que pelo menos uma das tensões

principais actuantes é de tracção.

b) Identifique a maior tensão de tracção que pode ser suportada por uma chapa plana

submetida a um carregamento biaxial de tracção e determine o corresponde valor

do quociente ji σσ / .

Problema 4.19 O veio da hélice de um ultraleve movido a pedais

encontra-se sujeito a um momento torsor 40=T N.m e

a uma força de compressão de 400 N.

O veio deverá ser fabricado a partir de um tubo com

20 mm de diâmetro de uma liga de Alumínio com uma

tensão limite de elasticidade 125=σe MPa.

a) Determine a espessura mínima admissível para a parede do tubo. Utilize o critério

de plasticidade de Tresca.

Resposta: 0.85 mm

b) Resolva a alínea anterior admitindo um coeficiente de segurança igual a 2 e uma

disponibilidade do mercado para apenas fornecer tubos nas seguintes gamas de

espessuras: 1 mm/2 mm/3 mm

Resposta: 2 mm

Problema 4.20 Demonstre que o incremento de extensão plástica efectiva εd é igual ao incremento

de extensão plástico 1εd no caso do estado de tensão ser uniaxial e o material ser

homogéneo e isotrópico.

Problema 4.21 Proceda à representação dos círculos de Mohr correspondentes aos estados de

tensão e extensão de um material que apresenta um comportamento rígido-plástico e

se encontra submetido a um estado de deformação plana 02 =ε .

Considere que o quociente entre os incrementos de extensão 31 / εε dd permanece

constante durante a totalidade da deformação plástica.

Resposta: O elemento de volume representado permite obter os seguintes círculos de

Mohr.

τ xy

x

k

σ σ

yxτ

1σ

xσ

σ=zσ 2

O

σ

ε xy

σ3

y

σy

τ

z =z 2

ε yx

0

xε

zεε1

ε= =2

x

Oε

γε 3

y

yε/2

x

xσ

τ xy

τ yx

y

yσ

Problema 4.22 A deformação plástica de chapas é habitualmente realizada em condições de tensão

plana 0=σ z . Determine o quociente entre os incrementos de extensão principal

321 :: εεε ddd numa chapa metálica submetida a um carregamento do tipo 4/xy σ=σ

e proceda à sua representação gráfica no plano das tensões principais, utilizando;

a) O critério de plasticidade de von Mises.

Resposta: 5:2:7:: 321 −−=εεε ddd .

b) O critério de plasticidade de Tresca.

Resposta: 1:0:1:: 321 −=εεε ddd .

Problema 4.23 Considere os instantes inicial e final da operação de deformação plástica que se

encontra indicada na figura.

Utilize esta figura para estabelecer a condição de incompressibilidade 0321 =ε+ε+ε

que é característica da deformação plástica dos materiais metálicos.

Sugestão: Aplique logaritmos ao quociente 1/1 =oVV .

Problema 4.24 Durante os ensaios experimentais de deformação plástica de

chapas é habitual marcarem-se redes de círculos na superfície

das chapas para avaliar o modo como o material se deforma.

Considere um ensaio no qual se marcaram grelhas de círculos

com um diâmetro inicial igual a 3 mm que se transformaram em

elipses com um eixo maior e menor respectivamente iguais a

3.598 e 2.896 mm.

O comportamento mecânico do material da chapa pode ser aproximado por intermédio

da seguinte equação empírica tensão-extensão (quantidades verdadeiras),

ε+=σ 40300 MPa. Nestas condições determine:

a) O valor da tensão efectiva σ admitindo que o quociente entre os incrementos de

extensão 21 / εε dd permanece constante durante a deformação plástica da chapa e

que o estado de tensão é plano, 03 =σ .

Resposta: 7.307=σ MPa.

b) O valor das tensões 1σ e 2σ antes da descarga.

Resposta: 3.3491 =σ e 1.1192 =σ MPa.

CAPÍTULO 5 Aspectos Fenomenológicos de Elasticidade e Plasticidade Problema 5.10 Um provete com 13 mm de diâmetro e um comprimento inicial de referência igual a 50

mm é submetido a uma carga uniaxial de tracção igual a 50000 N.

Admitindo que a deformação plástica resultante da aplicação de carga é uniforme e

que o comprimento de referência em carga é igual a 64 mm determine:

a) A tensão e a extensão nominais.

b) A tensão e a extensão verdadeiras

c) O diâmetro do provete em carga.

Problema 5.11 Um clip de papel possui um diâmetro de arame igual a 1 mm.

Calcule as extensões verdadeiras e nominais que o material do clip sofre nas

direcções longitudinal, radial e tangencial durante o processo de fabrico por trefilagem

a partir de um arame com 10 mm de diâmetro inicial.

Problema 5.12 Uma pré-forma cilíndrica com 100 mm de diâmetro e 40 mm de altura é comprimida

entre pratos de maior extensão que a peça, sem atrito, numa prensa hidráulica com

uma velocidade constante 1.0=v m/s.

Calcule as velocidades de deformação verdadeira e nominal para o instante de tempo

em que a altura do cilindro é igual a 10 mm.

Problema 5.13 Considere o ensaio biaxial de tracção de uma chapa fina com dimensões iguais

segundo o comprimento e a largura (geometria quadrada).

Calcule o valor da extensão verdadeira efectiva no ponto de instabilidade admitindo

que as cargas são iguais em ambas as direcções e que a lei de comportamento

tensão-extensão verdadeira do material é do tipo nK ε=σ .

Problema 5.14 Considere o ensaio de tracção uniaxial de um provete de uma liga de Magnésio com

um diâmetro inicial 120 =D mm e um comprimento de referência inicial 300 =l mm.

Durante o ensaio foram registados os seguintes valores de força e deslocamento:

Após fractura o provete mede 32.61 mm e o seu diâmetro é igual a 11.74 mm.

a) Proceda à representação gráfica da evolução força-deslocamento e tensão

nominal-extensão nominal.

b) Determine a tensão limite convencional de elasticidade a 0.2%, 2.0σ .

c) Determine a tensão (nominal) de rotura.

d) Determine o módulo de elasticidade da liga de Magnésio.

e) Determine a extensão nominal após fractura.

f) Determine o coeficiente de estricção (ou redução de área).

G Indique a tensão nominal na fractura.

h) Determine a tensão verdadeira na fractura.

i) Determine o módulo de resiliência.

Força F (kN)

Deslocamento lΔ (mm)

0 0.0000 5 0.0296 10 0.0592 15 0.0888 20 0.15 25 0.51

26.5 0.90 27 (força máxima) 1.50

26.5 2.10 25 (fractura) 2.79

Problema 5.15 Durante o ensaio de caracterização mecânica de uma liga de Alumínio foram

registados os seguintes valores de tensão e extensão nominais:

Estes valores foram obtidos em regime plástico e a tensão de rotura da liga de

Alumínio é igual a 420 MPa.

a) Proceda à determinação da equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de

Ludwik-Holloman nK ε=σ (quantidades verdadeiras) e à sua representação gráfica.

b) Calcule o valor da tensão verdadeira que corresponde a uma extensão nominal

igual a 0.06.

c) Calcule o valor da tensão nominal que corresponde a uma extensão nominal igual a

0.06.

Problema 5.16 Dois materiais metálicos foram ensaiados à torção. Um dos materiais apresenta um

comportamento dúctil enquanto que o outro apresenta um comportamento frágil.

Indique, justificando, qual das figuras a seguir indicadas corresponde ao material dúctil

e qual corresponde ao material frágil.

Material A

Material B

Tensão nominal (MPa)

Extensão nominal

298 0.010 348 0.040

Problema 5.17 Considere o ensaio de torção de um provete de uma liga metálica com um diâmetro

inicial 250 =D mm e um comprimento de referência inicial 450=L mm.

Durante a realização do ensaio foram registados os seguintes valores do momento de

torção em função do número de ¼ de voltas:

Momento de torção Mt(Nm)

No. de 1/4 voltas

0 0 639.4 1

700.56 2 755.048 3 789.52 4 813.984 5 845.12 7 861.8 9

886.82 12 900.72 15 920.18 18 947.98 24 976.336 32 1001.912 38 1023.04 39

Considere ainda que o módulo de elasticidade da liga metálica 100=E GPa e que a

deformação plástica tem início quando o momento e o ângulo de torção valem

respectivamente 556 Nm e 10º.

a) Proceda à representação dos gráficos momento de torção-ângulo de torção e

tensão de corte-distorção.

b) Determine a tensão limite de elasticidade em corte puro.

c) Determine a tensão de rotura em corte puro (módulo de rotura).

d) Determine o módulo de elasticidade transversal G da liga metálica.

e) Determine o coeficiente de Poisson ν da liga metálica.

Problema 5.18 O domínio plástico da curva tensão-extensão verdadeira do ensaio de tracção uniaxial

é habitualmente representado ligeiramente acima do domínio plástico da curva tensão-

extensão nominal (ver, por exemplo, a figura 5.14 do livro).

Será que esta posição relativa entre as duas curvas também é valida para o ensaio de

compressão uniaxial? Justifique a sua resposta.

Problema 5.19 Após ter efectuado uma pesquisa na literatura da especialidade conseguiu obter os

valores das constantes K e n das equações tensão-extensão empíricas rígido-plásticas

de Ludwik-Holloman correspondentes aos dois materiais metálicos que pretende

utilizar no seu projecto.

Será possível, a partir desta informação, concluir sobre qual dos dois materiais deverá

possui uma maior tenacidade? Justifique a sua resposta.

Problema 5.20 Demonstre que as extensões verdadeiras são aditivas e que as extensões nominais

não são aditivas.

Problema 5.21 Demonstre que a condição de incompressibilidade de um material metálico pode ser

matematicamente expressa através do anulamento do primeiro invariante 1L do tensor

das extensões.

03211 =ε+ε+ε=ε+ε+ε=ε=Δ

= zyxvVVL

Será possível escrever a mesma igualdade com base em extensões nominais?

Problema 5.22 Calcule a tensão de rotura verdadeira e a tensão de rotura nominal de um material

metálico que apresenta a seguinte equação empírica tensão-extensão (quantidades

verdadeiras), 35.0700ε=σ MPa.

Resposta: 485 MPa e 342 MPa

Problema 5.23 O ensaio de tracção uniaxial de uma liga metálica permitiu obter a seguinte equação

empírica tensão-extensão (quantidades verdadeiras), ( ) 35.02.0600 ε+=σ MPa.

a) Calcule o valor da velocidade de deformação nominal e& sabendo que o ensaio de

tracção foi realizado com uma velocidade constante de 5 mm/min e que o

comprimento de referência inicial do provete de tracção 300 =l mm.

Resposta: 31078.2 −×=e& s-1

b) Calcule o valor da extensão verdadeira rε no ponto de instabilidade.

Resposta: 15.0=ε r

c) Calcule o módulo de tenacidade TU do material admitindo que o provete de tracção

fractura no ponto de instabilidade.

Resposta: 12.57=TU MPa

Problema 5.24 Um material frágil com comportamento elasto-perfeitamente plástico possui um

módulo de elasticidade 200=E GPa, uma tensão limite de elasticidade

1200=σe MPa e uma extensão verdadeira na fractura (tracção uniaxial) 01.0=ε f .

a) Determine o valor do módulo de resiliência.

Resposta: 6.3=RU MPa ou 6.3 MJ/m3

b) Determine o valor do módulo de tenacidade.

Resposta: 4.8=TU MPa ou 4.8 MJ/m3

Problema 5.25 Pretende-se reduzir a secção transversal de um varão por intermédio de uma

sequência de 3 operações de extrusão directa. Cada uma operações de extrusão

efectua uma redução de secção igual a 10%.

a) Determine o valor da extensão total no final do processo.

Resposta: 316.0=ε final

b) Estabeleça uma relação entre o comprimento final do varão e o comprimento inicial.

Resposta: 037.1 ll final ×=

c) Determine o valor da extensão nominal no final do processo.

Resposta: 37.0=finale

Problema 5.26 Um cabo bi-metálico é fabricado a partir de dois cabos individuais com secções

transversais diferentes:

Cabo A:

Área da secção transversal: 40 =A mm2

Relação tensão-extensão (quantidades verdadeiras): 5.0600ε=σ MPa

Cabo B:

Área da secção transversal: 50 =A mm2

Relação tensão-extensão (quantidades verdadeiras): 5.0400ε=σ MPa,

a) Determine o valor da carga de tracção que o cabo consegue suportar no instante

correspondente ao inicio da estricção.

Resposta: 1887.9 N

b) Explique de que forma poderia resolver a alínea a) caso as áreas das secções

transversais 0A dos cabos A e B fossem iguais e os expoentes de encruamento

das equações empíricas tensão-extensão dos respectivos materiais fossem

diferentes.

Sugestão: Admita a hipótese de após um cabo entrar em estricção não ser mais capaz

de suportar carga de tracção.

Problema 5.27

Um aço carbono possui uma temperatura de fusão 1400=fT ºC.

a) Determine a temperatura de aquecimento do aço carbono a partir da qual a

deformação plástica pode ser considerada no regime de trabalho a quente.

Resposta: 840>T ºC

b) Relacione a temperatura calculada na alínea anterior com o diagrama Fe-C

simplificado e conclua sobre as estruturas metalúrgica e cristalina que são

características da gama de temperaturas do regime de trabalho a quente.

Problema 5.28 Durante o ensaio de caracterização mecânica de uma liga metálica foram registados

os seguintes valores de tensão e extensão verdadeiras:

Estes valores foram obtidos em regime plástico.

a) Proceda à determinação da equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de

Ludwik-Holloman nK ε=σ (quantidades verdadeiras) e à sua representação gráfica.

Resposta: 1.604=K MPa, 369.0=n

b) Calcule o valor da tensão que corresponde a uma extensão igual a 0.30.

Resposta: 4.387=σ MPa

c) Proceda à determinação da equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de

Voce [ ])(exp1 ε−−σ=σ Asat (quantidades verdadeiras) e à sua representação

gráfica.

Resposta: 5.315=σsat MPa, 1.20=A

d) Utilize a equação tensão-extensão empírica rígido-plástica de Voce para calcular o

valor da tensão que corresponde a uma extensão igual a 0.30.

Resposta: 7.314=σ MPa

Problema 5.29 Sabendo que uma liga de Zinco apresenta um coeficiente de sensibilidade à

velocidade de deformação 07.0=m determine o quociente entre as tensões que

resultam de duas deformações plásticas realizadas com velocidades de deformação

muito diferentes, 31 10−=ε& s-1 e 3

2 10=ε& s-1.

Resposta: 63.2/ 12 =σσ

Tensão (MPa)

Extensão

200 0.05 300 0.15

CAPÍTULO 6 Método da Energia Uniforme

Problema 6.1 Um cilindro de aço AISI 1015 com 20 mm de diâmetro e 30 mm de altura que se

encontra à temperatura ambiente ( 15.2930 =T K) é comprimido entre pratos de maior

extensão que a peça em condições adiabáticas e sem atrito.

Utilize o método da energia uniforme, admitindo que a percentagem de trabalho

plástico que é convertido em calor 85.0=α , para obter a evolução da temperatura do

cilindro com a deformação que se encontra representada na figura.

Informações adicionais relativas ao aço AISI 1015:

Curva tensão-extensão: 262.0)02512.0(722 +ε=σ MPa

Massa específica: 7870=ρ kg/m3

Calor específico: 479=pc J/kgK

290

330

370

410

450

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Extensão verdadeira

Tem

pera

tura

(K)

Método da Energia Uniforme

Problema 6.2 Um cilindro de latão C26000 (70 Cu-30 Zn) com 20 mm de diâmetro e 30 mm de altura

é comprimido, entre pratos de maior extensão que a peça e sem atrito, numa prensa

hidráulica com uma velocidade constante v= 40 mm/s até ser obtida uma altura final

igual a 8 mm.

a) Calcule o valor da força de compressão no instante correspondente ao final da

operação. Admita que a operação de compressão se realiza a frio.

b) Obtenha a evolução da força de compressão com o deslocamento do prato

superior. Admita que a operação de compressão se realiza a frio.

c) Determine a quantidade de energia a fornecer pela prensa para se realizar a

totalidade da operação de compressão.

d) Apresente uma estimativa do valor da potência que é exigida à prensa hidráulica no

instante final da operação de compressão.

e) Calcule o valor da força de compressão no instante correspondente ao final da

operação. Admita que a operação de compressão se realiza a quente.

Informações adicionais relativas ao latão C26000:

Curva tensão-extensão a frio (25ºC): 41.0500 ε=σ MPa

Curva tensão-extensão a quente (600ºC): 24.0100 ε=σ & MPa

Problema 6.3 Um varão de cobre (99.94%) é extrudido a frio de modo a obter uma tensão limite de

elasticidade igual a 320 MPa. A secção transversal do varão extrudido deverá, por

imposições de projecto, ser igual a 500 mm2.

a) Indique qual deverá ser o valor do diâmetro inicial do varão a extrudir e calcule a

redução de área que se encontra associada a esta operação.

b) Determine os valores da pressão e da força de extrusão.

Informações adicionais relativas ao cobre(99.94%):


Problema 6.4 Um cilindro com 25 mm de diâmetro e 25 mm de

altura é comprimido a frio, entre pratos de maior

extensão que a peça e sem atrito, até ser

alcançada uma redução em altura igual a 60%.

Represente graficamente a evolução da força de

compressão com a redução em altura.

Informações relativas ao material:


Resposta:

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60 70Redução em altura (%)

Forç

a (k

N)

Sem atrito

Problema 6.5 Um varão de Alumínio AA1100-O com um diâmetro

inicial igual a 150 mm é sujeito a uma operação de

extrusão directa a frio destinada a obter um

diâmetro final igual a 50 mm.

A energia consumida na deformação redundante é igual a 40% da energia necessária

à deformação plástica (energia ideal) enquanto que a energia consumida por atrito é

igual a 25% da energia total necessária à realização da operação de extrusão.

a) Calcule a tensão limite de elasticidade do varão extrudido.

Resposta: 210.8 MPa.

b) Calcule a força de extrusão.

Resposta: 12.75 MN.


Comportamento mecânico do Alumínio AA1100-O: 20.0180 ε=σ MPa.

Problema 6.6 Um arame (ou fio) de Latão 70Cu-30Zn recozido

com 10 mm de diâmetro é submetido a uma

operação de trefilagem destinada a obter um

diâmetro final igual a 8 mm.

A trefilagem é efectuada a velocidade constante e igual a 0.5 m/s

A soma da energia consumida para vencer as forças de atrito e a deformação

redundante é igual a 40% da energia necessária à deformação plástica (energia ideal).

a) Calcule a força de trefilagem.

Resposta: 13.5 kN.

b) Calcule a potência necessária para realizar a trefialgem.

Resposta: 6.8 kW.


Comportamento mecânico do Latão 70Cu-30Zn: 49.0895 ε=σ MPa.

Problema 6.7 Um arame (fio) com 5 mm de diâmetro é submetido a uma operação de trefilagem. A

soma da energia consumida para vencer as forças de atrito e a deformação

redundante é igual a 25% da energia necessária à deformação plástica (energia ideal).

a) Calcule a extensão máxima admissível (limite de enformabilidade).

Resposta: 1.333.

b) Calcule o valor do diâmetro mínimo admissível à saída da fieira (matriz).

Resposta: 2.57 mm.


Equação tensão-extensão empírica rígido-plástica do material: ε+=σ 15050 MPa.

Problema 6.8 Um tubo de cobre com um diâmetro exterior igual a 90 mm e uma espessura igual a

5 mm é trefilado a frio com o objectivo de reduzir o diâmetro exterior para 30 mm e a

espessura para 2.5 mm.

A operação de trefilagem realiza-se sem atrito e com uma velocidade constante e igual

a 30m/min. Despreze a energia que é consumida pela deformação redundante.

a) Calcule a potência de trefilagem.

Resposta: 55.6 kW.

b) Calcule a potência necessária para realizar a deformação pretendida no caso de se

utilizar extrusão directa.

Resposta: 55.6 kW.

c) Comente se um mesmo motor é adequado para realizar ambos os processos

tecnológicos.


Comportamento mecânico do material: 54.0315 ε=σ MPa.

CAPÍTULO 7 Método da Fatia Elementar Problema 7.4 Durante a resolução das equações diferenciais que resultam da aplicação do método

da fatia elementar existiu a necessidade de introduzir o critério de plasticidade de

Tresca. Explique a razão dessa necessidade.

Problema 7.5 Considere a operação de compressão com atrito máximo ( k=τ ) de uma barra de

secção rectangular entre pratos de maior extensão que a peça em condições de

deformação plástica plana.

a) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite

de elasticidade do material, kp 2/ .

b) Obtenha o valor máximo de kp 2/ .

c) Obtenha o valor médio de kp 2/ .

d) Represente graficamente a variação de kp 2/ com a distância x .

Problema 7.6 Considere a operação de compressão com atrito máximo ( k=τ ) de uma pré-forma

cilíndrica entre pratos de maior extensão que a peça em condições axisimétricas.

a) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite

de elasticidade do material, ep σ/ .

b) Obtenha o valor máximo de ep σ/ .

c) Obtenha o valor médio de ep σ/ .

Problema 7.7 Uma pré-forma cilíndrica com 100 mm de diâmetro e 25 mm de altura é comprimida a

frio nas condições do problema 7.6 (atrito máximo ( k=τ )).

Calcule o valor da força de compressão que é necessário aplicar para dar início à

deformação plástica do material.

Nota: Admita que a lei de comportamento tensão-extensão do material da pré-forma

pode ser aproximada por intermédio de um modelo rígido-perfeitamente plástico em

que 300=σe MPa.

Sugestão: Recorra às expressões que foram deduzidas no problema 7.6

Problema 7.8 Uma pré-forma cilíndrica com 100 mm de diâmetro e 25 mm de altura é comprimida a

frio nas seguintes condições de atrito: 0=μ (sem atrito) e 2.0=μ .

a) Escreva a equação que permite calcular o valor da pressão de compressão

adimensionalizada com a tensão limite de elasticidade do material, kp 2/ , no início

da deformação plástica do material para as duas condições de atrito.

b) Compare as equações obtidas com as que resultariam da aplicação do método da

energia uniforme.

c) Calcule o valor da força de compressão que é necessário aplicar para dar início à

deformação plástica do material nas duas condições de atrito.

Nota: Admita que a lei de comportamento tensão-extensão do material da pré-forma

pode ser aproximada por intermédio de um modelo rígido-perfeitamente plástico em

que 300=σe MPa.

Sugestão: Recorra às expressões que se encontram deduzidas na secção 11.6 do

Capítulo 11 do livro.

Problema 7.9 Considere a operação de compressão com atrito máximo ( k=τ ) de uma barra de

secção quadrada com 50 mm de lado entre pratos de maior extensão que a peça em

condições de deformação plástica plana.

a) Obtenha o valor máximo de kp 2/ .

b) Obtenha o valor médio de kp 2/ .

c) Calcule o valor da força de compressão que é necessário aplicar para dar início à

deformação plástica do material.

d) Calcule o valor da força de compressão que é preciso aplicar no instante

correspondente a 50% de redução em altura.

Nota: Admita que a lei de comportamento tensão-extensão do material da barra pode

ser aproximada por intermédio de um modelo rígido-perfeitamente plástico em que

100=σe MPa.

Sugestão: Recorra às expressões que foram deduzidas no problema 7.5

Problema 7.10 Resolva o problema 6.4 para o caso da

compressão ser realizada com atrito.

Considere duas situações distintas;

1.0=μ e 2.0=μ .

Sugestão: Utilize a distribuição de pressão média médiap obtida por intermédio do

método da fatia elementar:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ μ+σ≅

hRp média 3

21 .

Resposta:

0

100

200

300

400

500

600

0 10 20 30 40 50 60 70

Redução em altura (%)

Forç

a (k

N)

Sem atrito

Coef. atrito 0.1

Coef. atrito 0.2

Problema 7.11 Considere a operação de compressão com atrito ( 3.0=μ ) de uma barra entre pratos

de maior extensão que a peça em condições de deformação plástica plana. A barra

tem 100 mm de comprimento e uma secção rectangular com 20 mm de largura e 25

mm de altura (espessura)

a) Determine, sem utilizar a equação da distribuição da pressão média médiap , o valor

da força de compressão no instante correspondente a 20% de redução em altura.

Sugestão: Utilize a distribuição de pressão obtida por intermédio do método da fatia

elementar:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −μ

σ=x

Lhp 2

2

exp

Resposta: 616.0≅F MN.

b) Determine, utilizando a equação da distribuição da pressão média médiap , o valor da

força de compressão no instante correspondente a 20% de redução em altura.


c) Esboce o gráfico de variação das tensões xσ , yσ e zσ no interior da peça no

instante correspondente a 20% de redução em altura, indicando os valores máximo

e mínimo para cada uma das tensões.


Curva tensão-extensão: 5.0400 ε=σ MPa

p

ponto neutro

τ

Problema 7.12 Uma chapa com uma espessura inicial de 3 mm e

uma largura de 200 mm é laminada a frio num

laminador de dois rolos com o objectivo de obter

uma espessura final igual a 2.5 mm.

O diâmetro dos rolos é igual a 500 mm e o

coeficiente de atrito 1.0=μ .

Considere que o material é rígido-perfeitamente plástico com uma tensão limite de

elasticidade 250=σe MPa.

a) Determine a força de separação dos rolos.

Sugestão: Utilize a distribuição de pressão média médiap correspondente à compressão

em condições de deformação plana.


b) Determine o valor do momento de laminagem.

Resposta: 7520≅M Nm.

CAPÍTULO 8 Método das Linhas de Escorregamento

Problema 8.4 Considere a solução de linhas de escorregamento para a extrusão directa sem atrito,

em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão 3=R , que se

encontra representada na figura.

0vh /20

r

0

2k

2k

0 0 0

45°

1,I

1,II

45°

E0

90º O=I,II,III

0

h /21

q

α

1,III

β

rq

C AB

v1

1,IV

a) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.

b) Calcule o valor da pressão de extrusão adimensionalizada com a tensão limite de

elasticidade do material, kp 2/ .

c) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.

Problema 8.5 Considere a solução de linhas de escorregamento para a operação de deformação

plástica sem atrito, em condições de deformação plana, que se encontra representada

na figura.

1,I

0v h /20

45°

5,I

4,I

45°

90ºO=I,II,III

α

3,I

β

C AB

v1

2,I

v2

zona morta


b) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.

Problema 8.6 Considere a solução de linhas de escorregamento para a operação de compressão

sem atrito de um varão de secção octogonal, em condições de deformação plástica

plana, que se encontra representada na figura.

3,I

O

L p

p

q q

0v

1,ID

ACB

α

β2,I

45º45º

0v


b) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite

de elasticidade do material kp 2/ que é aplicada pelo cunho.


d) Proceda à representação das linhas de fluxo.

Problema 8.7 Considere a solução de linhas de escorregamento para a operação de corte por

arranque de apara em condições de deformação plana (corte ortogonal) que se

encontra representada na figura. Admita que existe atrito entre a apara e a face de

ataque da ferramenta e que o coeficiente de atrito é igual a μ .

T

R

Sv0

v1

α

α

β

φ

h0

h1


b) Obtenha a relação matemática 4π

=θ+α−φ correspondente ao modelo de corte

ortogonal de Lee & Schaffer.


d) Obtenha a relação matemática que permite calcular o valor do grau de encalque

através de φα−φ

=sin

)(cos

0

1

hh

Nota: O coeficiente de atrito μ relaciona-se com o ângulo de atrito θ através da

expressão θ=μ tg .

Problema 8.8 Considere a solução de linhas de escorregamento para a extrusão directa sem atrito,

em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão 2=R , que está

resolvida no problema 8.1 do livro e proceda a uma nova resolução do problema

utilizando o problema de elementos finitos I-FORM que se encontra disponível para

download na página da disciplina.

a) Determine a distribuição da velocidade de deformação efectiva e compare os

resultados obtidos com a solução de linhas de escorregamento.

b) Determine a distribuição de velocidade total e compare os resultados obtidos com a

solução de linhas de escorregamento.

c) Determine a distribuição de tensões médias e compare os resultados obtidos com a

solução de linhas de escorregamento.

d) Calcule o valor da força de extrusão e compare o resultado obtido com a solução de

linhas de escorregamento.

Nota: Admita que o material tem um comportamento rígido-perfeitamente plástico com

uma tensão limite de elasticidade 1=σe MPa e que não existe atrito entre o material e

as ferramentas.

e) Resolva as alíneas anteriores para vários valores do factor de atrito. Comente os

resultados obtidos.

Problema 8.9 Considere a operação de compressão sem atrito em condições de deformação plana,

utilizando pratos de menor extensão que a peça que se encontra representada na

figura.

hpeça

V=1

V=1prato de compressão

a) Proponha um campo de linhas de escorregamento para a resolução do problema.

Justifique a sua resposta (ver problema 8.3).

b) Determine o campo de tensões e proceda à sua representação no plano de Mohr.

c) Calcule o valor da pressão adimensionalizada com a tensão limite de elasticidade

do material kp 2/ que é aplicada pelos pratos de compressão.

d) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.

e) Proceda à representação das linhas de fluxo.

Problema 8.10 Considere a operação de extrusão inversa, em condições de deformação plana e com

uma relação de extrusão R=1, que se encontra representada na figura.

A figura inclui uma representação esquemática do campo de linhas de

escorregamento (incompleto) que permite resolver o problema do ponto de vista

estático e cinemático.

45° 45°

zona morta

v0

v1

45°

v1

punção

A

O

a) Indique, justificando, qual o tipo de atrito que deverá existir na superfície da base do

cunho (OA) e na parede do contentor.

b) Resolva o campo de tensões procedendo à sua representação no plano de Möhr.


Problema 8.11 Considere a solução de linhas de escorregamento para a extrusão inversa sem atrito,

em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão 2=R , que se

encontra representada na figura.

0vh /20

r

0

2k

2k

0 0 0

45°

1,I

1,II

45°

E0

90º O=I,II,III

0

h /21

q

α

1,III

β

rq

C AB

v1

1,IV



elasticidade do material, kp 2/ .


Problema 8.12 Demonstre que o valor da intensidade (módulo) da descontinuidade de velocidade

deve ser constante ao longo da totalidade de uma linha de descontinuidade de

velocidade.

Nota: )(0)(0 β=φ+α=φ− uddvvddu

CAPÍTULO 9 Método do Limite Superior

Problema 9.4 Considere a solução limite superior para a extrusão directa sem atrito, em condições

de deformação plana, com uma relação de extrusão 2=R , que se encontra

representada na figura.

0v

h /20

45°

45º

O

h /21

zona morta

v1

45ºA

B

C

OA=OB=OC

a) Determine o campo de velocidades e proceda à sua representação no hodógrafo.


elasticidade do material kp 2/ , que é aplicada pelo cunho.

c) Compare o valor obtido na alínea b) com o resultado do problema 8.1 (pág. 449) do

livro e justifique as diferenças encontradas.

Problema 9.5 Considere a solução limite superior para a operação de compressão sem atrito, em

condições de deformação plástica plana, que se encontra representada na figura.

45º

v0

O

L

v0

3L

v1 v1

v0

90º

v1 v1



de elasticidade do material kp 2/ que é aplicada pelo cunho.

Problema 9.6 Considere a solução limite superior para a extrusão directa sem atrito através de uma

matriz inclinada, em condições de deformação plana, com uma relação de extrusão

2=R , que se encontra representada na figura.

0v

h /20 O

h /21v1

A

B

C

50.3

°

45º

45º

35º50º


b) Proceda à representação das linhas de fluxo.

c) Calcule o valor da pressão de extrusão adimensionalizada com a tensão limite de

elasticidade do material kp 2/ , que é aplicada pelo cunho.

d) Proponha uma outra solução limite superior que lhe permitisse resolver o problema.

Problema 9.7 Considere a solução limite superior para a operação de forjamento em condições de

deformação plástica plana sem atrito que se encontra representada na figura

60°

30°

v0

v0v0



de elasticidade do material kp 2/ , que é aplicada por cada um dos pratos

compressores.

Problema 9.8 Considere a operação de compressão com atrito de uma pré-forma cilíndrica de raio

exterior 0r e altura 0h entre pratos de maior extensão que a peça.

O

r

y

V

rO

V=0

Oh

a) Determine o campo de velocidades em coordenadas cilíndricas.

b) Determine o campo de velocidades de deformação em coordenadas cilíndricas.

c) Calcule o valor da pressão de compressão adimensionalizada com a tensão limite

de elasticidade do material ep σ/ no caso do factor de atrito ser igual a m .

d) Comente o resultado obtido na alínea c) para o caso de não existir atrito ( 0=m )

entre a pré-forma e os pratos compressores.

Problema 9.9 Considere a seguinte afirmação:

“Duas linhas de escorregamento de famílias distintas intersectam-se sempre a 90º

enquanto que as linhas de descontinuidade de velocidade utilizadas na resolução do

método do limite superior podem intersectar-se segundo ângulos não-rectos”

Comente a afirmação em face dos requisitos intrínsecos aos métodos completos e

não-completos.

CAPÍTULO 10 Método dos Elementos Finitos Problema 10.1 Considere a operação de compressão de uma barra entre pratos de maior extensão

que a peça em condições de deformação plástica plana. A barra tem 100 mm de

comprimento e uma secção rectangular com 20 mm de largura e 25 mm de altura

(espessura).

a) Determine a evolução da força de compressão com o deslocamento do prato

superior através do método da fatia elementar até ao instante correspondente a

20% de redução em altura. Admita que existe atrito ( 1.0=m ).

b) Determine a evolução da força de compressão com o deslocamento do prato

superior através do programa de elementos finitos i-form2 até ao instante

correspondente a 20% de redução em altura. Admita que existe atrito ( 1.0=m ).

c) Compare a distribuição de tensão e extensão efectivas que são fornecidas pelo

método da fatia elementar e pelo programa de elementos finitos i-form2 no instante

correspondente a 20% de redução em altura. Considere as seguintes situações de

atrito ( 0.0=m e 1.0=m ).


Curva tensão-extensão: 5.0400 ε=σ MPa

Problema 10.2 Considere a operação de achatamento por compressão a frio do varão cilíndrico de

Alumínio tecnicamente puro (99.95%) que se encontra representada na figura.

O varão possui diâmetro e comprimento iniciais respectivamente iguais a 20 e 60 mm

e a relação tensão-extensão do Alumínio, obtida por intermédio de ensaios de

compressão, é a seguinte:

19.046.177 ε=σ MPa

A operação de compressão foi lubrificada com um óleo aconselhado para operações

medianamente severas de forjamento e a caracterização tribológica das condições de

atrito na interface de contacto entre o material e o lubrificante foi efectuada por

intermédio de ensaios de anel, tendo sido obtido um factor de atrito 12.0/ =τ= km .

A evolução experimental da carga de compressão com o deslocamento do prato

superior foi registada por intermédio de uma célula de carga e de um transdutor de

posição ligados a um sistema de aquisição de dados e encontra-se representada na

figura seguinte.

0

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10 12

Deslocamento (mm)

Car

ga (K

N)

.

Experimental

Nestas condições, utilize o programa de elementos finitos I-form2 para efectuar a

simulação numérica desta operação de compressão procurando analisar as seguintes

questões:

a) Principais aproximações que irão ser efectuadas na construção dos modelos de

elementos finitos e qual deverá ser a sua influência na qualidade final dos

resultados obtidos.

b) Evolução da carga de compressão com o deslocamento do prato superior obtida

através do programa de elementos finitos i-form2.

c) Distribuição de extensão efectiva, de tensão média e de dano (modelo de Cockcroft-

Latham normalizado), obtida através do programa de elementos finitos i-form2, para

o instante de deformação correspondente a 50% de redução do diâmetro inicial do

varão.

d) Sensibilidade dos resultados obtidos com o programa de elementos finitos i-form2 à

malha utilizada no modelo computacional. Sugestão: varie o número de elementos

e o tipo de malha e discuta qual a influência destas variações na qualidade final dos

resultados obtidos e no tempo total de computação.

e) Sensibilidade da formulação de escoamento plástico ao incremento de

deslocamento. Sugestão: efectue simulações numéricas com incrementos de

deslocamento variáveis e apresente um gráfico de variação da perda normalizada

de volume com o incremento normalizado de deslocamento.

f) Sensibilidade da formulação de escoamento plástico ao valor da constante de

penalidade. Sugestão: efectue simulações numéricas com diferentes valores da

constante de penalidade (a retirar do intervalo 102 1010 − ) e discuta a influência da

constante de penalidade na distribuição de tensão média, na perda normalizada de

volume, no tempo total de computação e na estabilidade do programa de elementos

finitos.

Problema 10.3 Considere a operação de inversão externa da extremidade de um tubo de uma liga de

Alumínio AA6060 que se encontra representada na figura.

t

cdr

0r0t

0l v

E

D

C

B

A

A

B

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Deslocamento (mm)

Car

ga (k

N)

Experimental

O tubo possui diâmetro exterior, comprimento e espessura iniciais respectivamente

iguais a 40, 70 e 2 mm e a relação tensão-extensão da liga Alumínio, obtida por

intermédio de ensaios de tracção e compressão uniaxiais, é a seguinte:

09.03.298 ε=σ MPa

A operação de inversão externa foi lubrificada com um óleo aconselhado para este tipo

de operações e a caracterização tribológica das condições de atrito na interface de

contacto entre o material e o lubrificante permitiu obter o seguinte valor para o factor

de atrito 09.0/ =τ= km .

A evolução experimental da carga de compressão com o deslocamento do prato

superior foi registada por intermédio de uma célula de carga e de um transdutor de

posição ligados a um sistema de aquisição de dados e encontra-se representada na

figura anterior.

Nestas condições, utilize o programa de elementos finitos I-form2 para efectuar a

simulação numérica desta operação de compressão procurando analisar as seguintes

questões:

a) Evolução da carga de compressão com o deslocamento do prato superior obtida

através do programa de elementos finitos i-form2.

b) Distribuição de extensão efectiva, de tensão média e de dano (modelo de Cockcroft-

Latham normalizado), obtida através do programa de elementos finitos i-form2, para

o instante final da deformação.

c) Trajectória de deformação característica da extremidade deformada do tubo no

plano das extensões principais.

d) Influência do atrito no processo de fabrico.

e) Influência das condições de fornecimento do material do tubo na enformabilidade do

processo, analisando o resultado que seria previsivelmente obtido caso se

efectuasse a inversão externa a partir de tubos sujeito a tratamento prévio de

recozimento (415 ºC / durante 1h) seguido de arrefecimento ao ar. A relação

tensão-extensão da liga de Alumínio nestas condições é aproximada pela seguinte

equação,

180.05.154 ε=σ MPa

CAPÍTULO 12 Enformabilidade

Problema 12.6

Considere a operação de expansão da extremidade de um tubo metálico de parede

fina que se encontra representada na figura.

15°

R182

(dimensões em mm)

dc

O material do tubo é uma liga de Alumínio AA6060, com a seguinte relação tensão-

extensão,

09.03.298 ε=σ MPa

O limite de enformabilidade do material do tubo foi determinado através de ensaios

experimentais e o valor do dano crítico correspondente ao critério de Cockcroft-Latham

normalizado vale,

42.00

1 =εσσ∫ε

df

Nestas condições determine:

a) A altura dc da parte cónica do tubo no instante correspondente ao início da

fissuração.

b) A espessura da parede do tubo no local e no instante correspondentes ao início da

fissuração.

c) O valor da tensão efectiva no local e no instante correspondentes ao início da

fissuração.

CAPÍTULO 13 Teoria da Flexão em Domínio Plástico Problema 13.5 Uma chapa com 1 mm de espessura é submetida a um momento flector que lhe impõe

um raio de curvatura igual a 130 mm. O material da chapa possui um comportamento

elasto-perfeitamente plástico e uma tensão limite de elasticidade 300=σe MPa.

Nestas condições determine:

a) A fracção da chapa (em termos da secção transversal) que permanece em regime

elástico.

b) O valor do momento flector aplicado

c) O valor aproximado do momento flector aplicado desprezando a componente

elástica.

Problema 13.6 A quinagem de chapa é um processo

tecnológico de flexão em domínio plástico

em que a curvatura não pode ser

desprezada.

a) Determine a distribuição das tensões que actuam na chapa, admitindo que a

solicitação exterior consiste na aplicação de um momento puro.

b) Determine a posição da linha neutra na operação de quebra do nervo (quinagem a

fundo) admitindo que a força aplicada no final da operação é igual a qnF .

c) Mostre que a quebra do nervo reduz o efeito de mola.

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