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. Técnicas de Desenho de Filtros Digitais Lu´ ıs Caldas de Oliveira [email protected] Instituto Superior T ´ ecnico T ´ ecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.1/38

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Técnicas de Desenho de Filtros Digitais

Luıs Caldas de Oliveira

[email protected]

Instituto Superior Tecnico

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.1/38

.

Resumo

Desenho de filtros discretos com base em filtroscontínuos

Transformações em frequência

Desenho de filtros usando janelas

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.2/38

.

Resumo

Desenho de filtros discretos com base em filtroscontínuos

Transformações em frequência

Desenho de filtros usando janelas

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.2/38

.

Resumo

Desenho de filtros discretos com base em filtroscontínuos

Transformações em frequência

Desenho de filtros usando janelas

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.2/38

.

Objectivo

Problema: Dimensionar sistemas que eliminemcomponentes do sinal de entrada com frequênciasindesejadas.

Solução: para filtros IIR iremos converter filtros contínuosem filtros discretos, para filtros FIR faremos a truncatura daresposta impulsiva ideal.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.3/38

.

Objectivo

Problema: Dimensionar sistemas que eliminemcomponentes do sinal de entrada com frequênciasindesejadas.Solução: para filtros IIR iremos converter filtros contínuosem filtros discretos, para filtros FIR faremos a truncatura daresposta impulsiva ideal.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.3/38

.

Passos do Processo de Desenho deFiltros

Especificação dos requisitos do filtro

Cálculo dos coeficientes adequados

Representação do filtro numa estrutura adequada

Análise dos efeitos de precisão finita

Realização do sistema em hardware ou software

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.4/38

.

Passos do Processo de Desenho deFiltros

Especificação dos requisitos do filtro

Cálculo dos coeficientes adequados

Representação do filtro numa estrutura adequada

Análise dos efeitos de precisão finita

Realização do sistema em hardware ou software

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.4/38

.

Passos do Processo de Desenho deFiltros

Especificação dos requisitos do filtro

Cálculo dos coeficientes adequados

Representação do filtro numa estrutura adequada

Análise dos efeitos de precisão finita

Realização do sistema em hardware ou software

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.4/38

.

Passos do Processo de Desenho deFiltros

Especificação dos requisitos do filtro

Cálculo dos coeficientes adequados

Representação do filtro numa estrutura adequada

Análise dos efeitos de precisão finita

Realização do sistema em hardware ou software

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.4/38

.

Passos do Processo de Desenho deFiltros

Especificação dos requisitos do filtro

Cálculo dos coeficientes adequados

Representação do filtro numa estrutura adequada

Análise dos efeitos de precisão finita

Realização do sistema em hardware ou software

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.4/38

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Especificações do Filtro Digital

p s

1−δ1

1+δ

p

p

δ s

0 ΩΩΩ

π

πT

ω ωp s

1−δ1

1+δ

p

p

δ s

0 ω

transiçãopassagem atenuação

δp desvio na banda depassagem

δs desvio na bandade atenuação(stopband)

ωp frequência limiteda banda de pas-sagem (frequênciade corte)

ωs frequência limite dabanda de atenu-ação

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.5/38

.

Desenho de Filtros Discretos comBase em Filtros Contínuos

Existem técnicas muito desenvolvidas para o desenhode filtros analógicos.

Muitos dos métodos de desenho de filtros contínuostêm fórmulas relativamente simples para obter osparâmetros a partir das especificações.

A transposição destes métodos para o desenho defiltros discretos conduzem a relações complexas entreas especificações e os parâmetros do sistema discreto

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.6/38

.

Desenho de Filtros Discretos comBase em Filtros Contínuos

Existem técnicas muito desenvolvidas para o desenhode filtros analógicos.

Muitos dos métodos de desenho de filtros contínuostêm fórmulas relativamente simples para obter osparâmetros a partir das especificações.

A transposição destes métodos para o desenho defiltros discretos conduzem a relações complexas entreas especificações e os parâmetros do sistema discreto

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.6/38

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Desenho de Filtros Discretos comBase em Filtros Contínuos

Existem técnicas muito desenvolvidas para o desenhode filtros analógicos.

Muitos dos métodos de desenho de filtros contínuostêm fórmulas relativamente simples para obter osparâmetros a partir das especificações.

A transposição destes métodos para o desenho defiltros discretos conduzem a relações complexas entreas especificações e os parâmetros do sistema discreto

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.6/38

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Método da Invariância da RespostaImpulsiva

Pretende-se igualar a resposta impulsiva do sistemadiscreto à discretização da resposta impulsiva do sistemacontínuo:

h(n) = k hc(nT )

hc(t): é a resposta impulsiva do sistema contínuo

h(n): é a resposta impulsiva do sistema discreto

T : é o intervalo de amostragem.

k: uma constante de proporcionalidade tradicionalmentede valor igual a T .

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.7/38

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Mapeamento dos Pólos

Hc(s) =N

k=1

Ak

s − sk

−→ hc(t) =N

k=1

Akesktu(t)

h(n) =N

k=1

AkeskTnu(n) −→ H(z) =

N∑

k=1

Ak

1 − eskT z−1

s = sk −→ z = eskT

π/Τ

−π/Τ

Re Re

Im Im Plano zPlano s

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.8/38

.

Relação Entre as Funções deTransferência

H(ejω) =+∞∑

k=−∞

Hc(jω

T+ j

2πk

T)

Banda de Hc(jΩ) limitada: Hc(jΩ) = 0 |Ω| ≥ π/T

H(ejω) = Hc(jω

T)

No caso contrário haverá interferência das imagens daresposta em frequência:

Hc

H

−π π00 Ω ω

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.9/38

.

Método da Invariância da RespostaImpulsiva

1. Determinar o filtro analógico Hc(s) que satisfaz asespecificações.

2. Expandir Hc(s) em fracções simples

3. Obter a transformada z de cada fracção

4. Combinar as transformadas z das fracções simples emsecções de primeira e segunda ordem. Se necessáriomultiplicar H(z) por T .

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.10/38

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Método da Invariância da RespostaImpulsiva

1. Determinar o filtro analógico Hc(s) que satisfaz asespecificações.

2. Expandir Hc(s) em fracções simples

3. Obter a transformada z de cada fracção

4. Combinar as transformadas z das fracções simples emsecções de primeira e segunda ordem. Se necessáriomultiplicar H(z) por T .

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.10/38

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Método da Invariância da RespostaImpulsiva

1. Determinar o filtro analógico Hc(s) que satisfaz asespecificações.

2. Expandir Hc(s) em fracções simples

3. Obter a transformada z de cada fracção

4. Combinar as transformadas z das fracções simples emsecções de primeira e segunda ordem. Se necessáriomultiplicar H(z) por T .

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.10/38

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Método da Invariância da RespostaImpulsiva

1. Determinar o filtro analógico Hc(s) que satisfaz asespecificações.

2. Expandir Hc(s) em fracções simples

3. Obter a transformada z de cada fracção

4. Combinar as transformadas z das fracções simples emsecções de primeira e segunda ordem. Se necessáriomultiplicar H(z) por T .

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.10/38

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Transformação Bilinear

Objectivo: mapear todo o semi-plano s no interior docírculo unitário no plano z.

Re Re

Im Im Plano zPlano s

−1 1

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.11/38

.

Mapeamento dos Pólos naTransformação Bilinear

z =1 + ks

1 − ks

s =1

k

1 − z−1

1 + z−1

k é um factor de escala, tradicionalmente com o valor k =

T/2

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.12/38

.

Relação Entre FrequênciasContínuas e Discretas

s = jΩ

z = ejω −→

Ω = 2T

tan(

ω2

)

ω = 2 arctan(

ΩT2

)

Re

Im

Im

−1 1

ω

Ω

π

−π

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.13/38

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Vantagens e Inconvenientes daTransformação Bilinear

Vantagens:Filtros analógicos estáveis transformam-se emfiltros digitais estáveisNão há aliasing: Ω = ±∞ → ω = ±π

Inconveniente:Distorção no eixo das frequências:

Ω = 2T

tan(

ω2

)

ω = 2 arctan(

ΩT2

)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.14/38

.

Método da Transformação Bilinear

1. Determinar a função de transferência normalizadaHc(s) que satisfaz asespecificações.

2. Determinar a frequência de corte do filtro digital: ωp

3. Obter a correspondente frequência de corte do filtroanalógico: Ωp = 1

ktan

(ωp

2

)

4. Desnormalizar o filtro analógico escalando Hc(s) nafrequência fazendo s = s/Ωp.

5. Aplicar a transformação bilinear para obter a desejadafunção de transferência discreta, H(z), substituindos = 1

k1−z−1

1+z−1

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.15/38

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Filtros de Butterworth

Ω

1/2

p

|Η |c

2

N=2

N=8

Ω

|Hc(jΩ)|2 =1

1 +(

jΩjΩp

)2N

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.16/38

.

Características dos filtros deButterworth

Amplitude maximamente plana na banda depassagem: as derivadas de ordem 2N − 1 são nulasem Ω = 0 (N é a ordem do filtro)

Monotónico na banda de passagem e de atenuação.

Atenuação na frequência Ωs: −20 log10(δs)

Ordem do filtro: N ≥log10[( 1

δ2s)−1]

2 log10(Ωs/Ωp)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.17/38

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Características dos filtros deButterworth

Amplitude maximamente plana na banda depassagem: as derivadas de ordem 2N − 1 são nulasem Ω = 0 (N é a ordem do filtro)

Monotónico na banda de passagem e de atenuação.

Atenuação na frequência Ωs: −20 log10(δs)

Ordem do filtro: N ≥log10[( 1

δ2s)−1]

2 log10(Ωs/Ωp)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.17/38

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Características dos filtros deButterworth

Amplitude maximamente plana na banda depassagem: as derivadas de ordem 2N − 1 são nulasem Ω = 0 (N é a ordem do filtro)

Monotónico na banda de passagem e de atenuação.

Atenuação na frequência Ωs: −20 log10(δs)

Ordem do filtro: N ≥log10[( 1

δ2s)−1]

2 log10(Ωs/Ωp)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.17/38

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Características dos filtros deButterworth

Amplitude maximamente plana na banda depassagem: as derivadas de ordem 2N − 1 são nulasem Ω = 0 (N é a ordem do filtro)

Monotónico na banda de passagem e de atenuação.

Atenuação na frequência Ωs: −20 log10(δs)

Ordem do filtro: N ≥log10[( 1

δ2s)−1]

2 log10(Ωs/Ωp)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.17/38

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Pólos do Filtro de Butterworth

Re

Im

Plano s

Ω

π/Ν

p

sp = (−1)1

2N jΩp

2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência deraio Ωp: apenas se utilizam os do semi-plano<(sp) < 0.

Não tem pólos sobre o eixo imaginário

N ímpar – tem pólos reais

N par – não tem pólos reais

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.18/38

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Pólos do Filtro de Butterworth

Re

Im

Plano s

Ω

π/Ν

p

sp = (−1)1

2N jΩp

2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência deraio Ωp: apenas se utilizam os do semi-plano<(sp) < 0.

Não tem pólos sobre o eixo imaginário

N ímpar – tem pólos reais

N par – não tem pólos reais

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.18/38

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Pólos do Filtro de Butterworth

Re

Im

Plano s

Ω

π/Ν

p

sp = (−1)1

2N jΩp

2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência deraio Ωp: apenas se utilizam os do semi-plano<(sp) < 0.

Não tem pólos sobre o eixo imaginário

N ímpar – tem pólos reais

N par – não tem pólos reais

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.18/38

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Pólos do Filtro de Butterworth

Re

Im

Plano s

Ω

π/Ν

p

sp = (−1)1

2N jΩp

2N pólos equiespaçados sobre uma circunferência deraio Ωp: apenas se utilizam os do semi-plano<(sp) < 0.

Não tem pólos sobre o eixo imaginário

N ímpar – tem pólos reais

N par – não tem pólos reais

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.18/38

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Mapeamento dos Pólos do Filtro deButterworth

Plano z

Re

Im

1+Ω Τ1−Ω Τ1−Ω Τ1+Ω Τ

zeros noinfinito

p p

pp

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.19/38

.

Transformação Bilinear do Filtro deButterworth

1. Dados Ωp e N determinar os pólos no plano s

2. Mapear os pólos para o plano z

3. Acrescentar N zeros em z = −1

4. Calcular o ganho estático

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.20/38

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Transformação Bilinear do Filtro deButterworth

1. Dados Ωp e N determinar os pólos no plano s

2. Mapear os pólos para o plano z

3. Acrescentar N zeros em z = −1

4. Calcular o ganho estático

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.20/38

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Transformação Bilinear do Filtro deButterworth

1. Dados Ωp e N determinar os pólos no plano s

2. Mapear os pólos para o plano z

3. Acrescentar N zeros em z = −1

4. Calcular o ganho estático

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.20/38

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Transformação Bilinear do Filtro deButterworth

1. Dados Ωp e N determinar os pólos no plano s

2. Mapear os pólos para o plano z

3. Acrescentar N zeros em z = −1

4. Calcular o ganho estático

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.20/38

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Filtro de Chebyshev

tipo I: equi-ripple na banda de passagem e monotónico nabanda de atenuação;

tipo II: equi-ripple na banda de atenuação e monotónico nabanda de passagem.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.21/38

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Filtro Chebyshev do Tipo I

|Hc(jΩ)|2 =K

1 + ε2V 2N

(

ΩΩp

)

em que VN(x) é um polinómio de Chebyshev:

VN (x) = cos(N cos−1(x))

ripple na banda de passagem ≤ 10 log10(1+ε2) = −20 log10(δs)

atenuação na banda de corte ≥ −20 log10(δs)

N ≥cosh−1(

δ−2s − 1/ε

cosh−1(Ωs/Ωp)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.22/38

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Filtro Elíptico

|Hc(jΩ)|2 =K

1 + ε2U 2N (Ω)

em que UN (x) é um função racional de Chebyshev.

Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem ede atenuação.

Não existe expressão simples para a localização dospólos.

Os filtros elípticos são os mais eficientes em termosde resposta de amplitude: cumprem um conjunto deespecificações com a menor ordem.

São desaconselhados quando existem restrições defase.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.23/38

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Filtro Elíptico

|Hc(jΩ)|2 =K

1 + ε2U 2N (Ω)

em que UN (x) é um função racional de Chebyshev.

Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem ede atenuação.

Não existe expressão simples para a localização dospólos.

Os filtros elípticos são os mais eficientes em termosde resposta de amplitude: cumprem um conjunto deespecificações com a menor ordem.

São desaconselhados quando existem restrições defase.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.23/38

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Filtro Elíptico

|Hc(jΩ)|2 =K

1 + ε2U 2N (Ω)

em que UN (x) é um função racional de Chebyshev.

Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem ede atenuação.

Não existe expressão simples para a localização dospólos.

Os filtros elípticos são os mais eficientes em termosde resposta de amplitude: cumprem um conjunto deespecificações com a menor ordem.

São desaconselhados quando existem restrições defase.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.23/38

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Filtro Elíptico

|Hc(jΩ)|2 =K

1 + ε2U 2N (Ω)

em que UN (x) é um função racional de Chebyshev.

Apresenta um ripple idêntico na banda de passagem ede atenuação.

Não existe expressão simples para a localização dospólos.

Os filtros elípticos são os mais eficientes em termosde resposta de amplitude: cumprem um conjunto deespecificações com a menor ordem.

São desaconselhados quando existem restrições defase. Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.23/38

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Transformações em Frequência

Pretende-se modificar a caracterítica do filtro através deuma transformação em z:

H(z) = Hl(Z)|Z−1=G(z−1)

G(z−1) é uma função racional de z−1.

O interior do círculo unitário no plano Z tem de semapear no interior do círculo unitário no plano z.

A circunferência de raio unitário no plano Z tem de semapear na circunferência de raio unitário no plano z.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.24/38

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Transformações em Frequência

Pretende-se modificar a caracterítica do filtro através deuma transformação em z:

H(z) = Hl(Z)|Z−1=G(z−1)

G(z−1) é uma função racional de z−1.

O interior do círculo unitário no plano Z tem de semapear no interior do círculo unitário no plano z.

A circunferência de raio unitário no plano Z tem de semapear na circunferência de raio unitário no plano z.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.24/38

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Transformações em Frequência

Pretende-se modificar a caracterítica do filtro através deuma transformação em z:

H(z) = Hl(Z)|Z−1=G(z−1)

G(z−1) é uma função racional de z−1.

O interior do círculo unitário no plano Z tem de semapear no interior do círculo unitário no plano z.

A circunferência de raio unitário no plano Z tem de semapear na circunferência de raio unitário no plano z.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.24/38

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Transformações de FiltrosPassa-Baixo

Passa-baixo Z−1 = z−1−α

1−αz−1 α =sin(

θp−ωp

2)

sin(θp+ωp

2)

Passa-alto Z−1 = − z−1+α1+αz−1 α = −

cos(θp+ωp

2)

cos(θp−ωp

2)

θp frequência de corte do filtro original.

ωp frequência de corte desejada.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.25/38

.

Transformações de FiltrosPassa-Baixo

Passa-banda Z−1 = −z−2

−2αkk+1

z−1+ k−1

k+1

k−1

k+1z−2

−2αkk+1

z−1+1

k = cot(ωp2−ωp1

2) tan(θp/2) α =

cos(ωp2+ωp1

2)

cos(ωp2−ωp1

2)

Rejeita-banda Z−1 =z−2

−2α1+k

z−1+ 1−k1+k

1−k1+k

z−2−

2α1+k

z−1+1

k = tan(ωp2−ωp1

2) tan(θp/2) α =

cos(ωp2+ωp1

2)

cos(ωp2−ωp1

2)

θp frequência de corte do filtro original.ωp1 frequência de corte inferior desejada.ωp2 frequência de corte superior desejada.

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.26/38

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Transformações de Frequência noPlano s

A função de transferência normalizada do filtropassa-baixo (Θp = 1) pode ser convertida directamente:

Passa-baixo s = sΩp

Passa-alto s = Ωp

s

Passa-banda s =s2+Ω2

p1Ω2

p2

(Ωp2−Ωp1)s

Rejeita-banda s =(Ωp2−Ωp1)s

s2+Ω2p1

Ω2p2

Θp frequência de corte do filtro original.Ωp1 frequência de corte inferior desejada.

Ωp2 frequência de corte superior desejada.Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.27/38

.

Desenho de Filtros Usando Janelas

Se Hd(ejω) for a resposta em frequência ideal desejada, a

resposta impulsiva:

hd(n) =1

∫ π

−π

Hd(ejω)ejωndω

poderá ser não causal ou ter comprimento infinito.Solução: truncar a resposta impulsiva:

h(n) = hd(n)w(n)

em que w(n) é uma janela:

w(n)

6= 0 0 ≤ n ≤ M

= 0 caso contrárioTecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.28/38

.

Respostas Impulsivas Ideais

hd(n), n 6= 0 hd(0)

Passa-baixo ωc

πsin(nωc)

nωc

ωc

π

Passa-alto −ωc

πsin(nωc)

nωc−ωc

π

Passa-banda ω2

πsin(nω2)

nω2− ω1

πsin(nω1)

nω1

ω2−ω1

π

Rejeita-banda ω1

πsin(nω1)

nω1− ω2

πsin(nω2)

nω2−ω2−ω1

π

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.29/38

.

Efeito da Janela na Frequência

h(n) = hd(n)w(n)

H(ejω) = Hd(ejω) ~ W (ejω)

= 12π

∫ π

−πHd(e

jθ)W (ej(ω−θ))dω

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.30/38

.

Funções Habitualmente Usadascomo Janelas

Rectangular w(n) =

1 0 ≤ n ≤ M

0 caso contrário

Hanning w(n) =

0.5 − 0.5 cos(

2πnM

)

0 ≤ n ≤ M

0 caso contrário

Hamming w(n) =

0.54 − 0.46 cos(

2πnM

)

0 ≤ n ≤ M

0 caso contrário

Blackman w(n) =

0.42 − 0.5 cos(

2πnM

)

+ 0.08 cos(

4πnM

)

0

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.31/38

.

Janela Rectangular

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50

w(n)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

|W(e^

jw)| (d

B)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.32/38

.

Janela Hanning

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50

w(n)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

|W(e^

jw)| (d

B)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.33/38

.

Janela Hamming

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50

w(n)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

|W(e^

jw)| (d

B)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.34/38

.

Janela Blackman

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50

w(n)

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

|W(e^

jw)| (d

B)

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.35/38

.

Características das PrincipaisJanelas

Amplitude Largura Largura da Ripple na Atenuação na

Tipo do Lóbulo do Lóbulo Transição Banda de Banda de

Secundário Principal (Hz) Passagem Corte

Rectangular -13 dB 4π/(M + 1) 0.9/(MT) 0.7416 dB >21 dB

Hanning -31 dB 8π/M 3.1/(MT) 0.0546 dB >44 dB

Hamming -41 dB 8π/M 3.3/(MT) 0.0194 dB >53 dB

Blackman -74 dB 12π/M 5.5/(MT) 0.0274 dB >74 dB

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.36/38

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Desenho de Filtros FIR UsandoJanelas

1. Especificar a resposta em frequência desejada ouideal, Hd(e

jω).

2. Obter a resposta impulsiva do filtro desejado hd(n).

3. Escolher uma janela que satisfaça as especificaçõesda largura da banda de passagem ou da atenuação nabanda de corte.

4. Dimensionar a ordem do filtro de acordo com a largurada banda de transição desejada.

5. Obter as amostras da janela escolhida, w(n), ecalcular a resposta impulsiva do filtro FIR:h(n) = hd(n)w(n).

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.37/38

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FIM

Tecnicas de Desenho de Filtros Digitais – p.38/38