TÉCNICAS

ANALÍTICAS VERSUS

TÉCNICAS DE

SIMULAÇÃO Bernardo França Rocha - 059214

Victor Jeronymo – 157490

Vitor Prado Corrêa – 157558

Explicar o que é um

sistema.

Técnica Analítica:

Conceito

Exemplos

Vantagens e limitações

Simulação

Conceito

Tipos

Vantagens e limitações.

Caso real.

Discussão:

Será que os dois

processos são

antagônicos ?

Onde eles convergem.

No que eles diferem.

Revisão do apresentado

Objetivos:

O que é um sistema ? • Tentativas de definição:

• Agregação ou montagem de coisas, combinadas pelo

homem ou pela natureza de modo a formar um todo

unificado.

• Grupo de itens interdependente ou interagindo

regularmente, formando um todo unificado.

• Combinação de componentes que agem em conjunto para

desempenhar uma função que se torna impossível na

ausência de qualquer das partes.

O que é um sistema ? – Conceito de um sistema: é um conjunto de elementos e a

relação entre eles.

■ Sistemas biológicos: O corpo humano ( sistema digestivo,

sanguíneo, a “comunicação” entre os órgãos...)

■ Sistemas físicos: sistema solar, sistemas termodinâmicos...

■ Sistemas em computação: sistemas operacionais, bancos de

dados...

■ ...

Sistemas

– Interesse de estudar um sistema : todo sistema visa um

objetivo. Por isso ele tem diversos usos : design,

planejamento, controle, melhorias, e otimização

– Modelos de um sistema: Representação de um sistema

real

■ Modelos físicos

■ Modelos lógicos ou matemáticos

Sistemas e modelos de estudo Sistema

Estudo/Experimento

Com o sistema real

Estudo/Experimento

Com um modelo

Modelo físico Modelos matemáticos

Ou lógicos

Modelo de simulação Modelo Analítico

O que é um modelo analítico ? Tentativa de definição: um modelo analítico é uma descrição totalmente matemática obtida por meio de equações e fórmulas.

Os modelos matemáticos possuem varias características.

Podem diferir nos objetivos (descrição ou otimização), no modo

de análise (analítico ou numérico) e na aleatoriedade

(determinístico ou probabilístico)

Por exemplo a equação 𝐶𝑇 𝑄 =𝐴𝐷

𝑄+𝑟𝐶𝑄

2 descreve os custos

anuais totais de um estoque.

Outro exemplo

Mais um exemplo Suponha que o movimento de uma partícula no espaço siga uma descrição de uma parábola, sendo, portanto, aproximada por:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Se quisermos saber o(s) pontos onde essa partícula atingirá um anteparo podemos usar a equação de Bhaskara:

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

E assim acharemos os pontos de contato

Modelos analíticos ■ Vantagens:

– O custo computacional tende a ser menor (resposta

rápida) do que o custo da simulação.

– Em modelos bem formulados, a resposta teoricamente

é única (exata ou aproximação numérica)

– Resolve muito bem problemas simples.

Alguns problemas

Imagine agora que o fenômeno que você queira calcular

seja descrito por uma equação do tipo:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥6 + 𝑏𝑥5 + 𝑐𝑥4 + 𝑑𝑥3 + 𝑔𝑥2 + ℎ𝑥 + 𝑗

Como resolver ?

Teorema de Abel-Rufini: não há uma solução geral através de radicais para as equações

polinomiais de grau cinco ou superior

Outro exemplo problemático

𝑒𝑥2

1

0

𝑑𝑥

Esse é a integral da distribuição normal:

Como não sabemos calcular a primitiva do integrando, não

podemos usar o teorema fundamental do cálculo; temos que

usar algum método numérico para conseguir a resposta.

Modelos analíticos

• Limitações:

- Problemas muito complexos tem difícil

modelagem

- Alguns problemas possuem solução em aberto,

ou seja, não possuem solução conhecida

- Trabalhar com a variabilidade do sistema pode

não ser trivial

Se temos um modelo analítico, por que usaríamos a simulação ?

■ É interessante sempre tentar trabalhar com sistemas no

mundo real a para obter o conhecimento de sua dinâmica e

de seu comportamento, já que eles são o problema em si.

Entretanto, isso nem sempre é possível:

– Sistemas disruptivos: uma linha de produção nova em

processo fabril estabelecido.

– O sistema pode ser muito caro: performance

aerodinâmica de um avião

– O sistema pode ser impossível de se reproduzir: o

lançamento de um foguete espacial

O que é uma simulação ?

■ Tentativa de definição: é o processo de desenho e

criação de um sistema real ou proposto com

objetivo de desenvolver uma melhor compreensão

do comportamento e/ou da dinâmica daquele

sistema sob certas condições

Métodos de simulação

Dentre as várias técnicas de simulação existentes, destacamos

os seguintes:

• Sistemas dinâmicos

• Monte Carlo

• Modelagem de evento discreto

• Modelagem baseada em agente/indivíduo

Sistema dinâmicos É um conceito no qual um regra fixa descreve como um ponto em

um espaço geométrico depende do tempo: EDO com tempo, por

exemplo

Matematicamente, um modelo de sistemas dinâmicos é um sistema

equações diferenciais de primeira ordem, não lineares, acopladas.

Simulação de modelos de sistemas dinâmicos geralmente é feita

com métodos numéricos.

Exemplo: Sistema massa-mola, orbita de um planeta, partículas…

http://runthemodel.com/models/run.php?popup=1&id=1940

Monte Carlo • “A simulação de Monte Carlo emprega números aleatórios uniformemente

distribuídos no intervalo [0,1] para resolver problemas onde o tempo não é

um fator determinante”

• “Uma maneira de se transformar um conjunto de números aleatórios em

outro conjunto de números (variáveis aleatórias), com a mesma distribuição

da variável considerada”

• Em resumo, este método oferece uma garantia de que, quando um processo

de geração aleatória de números é exercido para uma grande massa de

dados, os valores simulados guardam uma estreita semelhança com os

valores reais no que se refere a variáveis randômicas. Ou seja, a duração

média obtida dos números sorteados tende a ser idêntica à duração do

processo na vida real (sistema real).

Monte Carlo - Determinação da

área de uma figura

Quando se deseja calcular a área de um circulo de raio r = 10 cm, não há grandes problemas uma vez que tanto sua área (A), quanto seu perímetro (2p) podem ser avaliados analíticamente:

𝐴 = 𝜋𝑟2 2𝑝 = 2𝜋𝑟

Neste caso, a solução é A = 314.16 𝑐𝑚2 e 2p = 62.83 cm.

Monte Carlo

Por Monte Carlo, esse mesmo problema seria resolvido da seguinte forma:

• Criar um quadrado de lado duas vezes o raio tal que o circulo fique

dentro dele;

• Colocar, aleatoriamente, n pontos dentro do quadrado;

• Ver o número c de quantos pontos ficaram dentro do circulo.

Monte Carlo

Assim teremos que a área do circulo (A) vai ser obtida por meio de uma comparação com a área do quadrado (aq) que é mais facilmente calculada:

𝐴 =𝑐

𝑛𝑎𝑞 =

𝑐

𝑛2𝑟 2 =

𝑐

𝑛4𝑟2

O resultado da área dependerá de quantos pontos n foram usados:

𝑛 = 100 ⇒ 𝐴 = 320 𝑐𝑚2 𝑛 = 10 000 ⇒ 𝐴 = 313 𝑐𝑚2

Monte Carlo – Avaliação de Integrais

Suponha que queremos calcular uma integral que não conhecemos a primitiva:

𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Supondo também que x seja um número uniformemente

distribuído em [a,b] e que a correspondente função de

densidade de probabilidade seja 1/(𝑏 − 𝑎)

Monte Carlo

Então a esperança(E) de y = g(x), será: E, portanto, a integral poderá ser estimada por:

Monte Carlo

Exemplo para g(x) = sen(x):

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥π

0

A resposta analítica é 2

E, usando Monte Carlo,

Modelagem de evento discreto

• A matemática por trás eventos de

simulação discreta é baseada na

discretização do tempo. No modelo, o

tempo só avança quando algo de

significativo acontece: uma entidade

começa ou termina uma operação.

Qualquer mudança no sistema é

associada à um desses eventos; as

mudanças contínuas são aproximadas

para essas ações instantâneas

• http://runthemodel.com/models/run.php

?popup=1&id=2191

Modelagem Baseada em Agente

• Pode ser vista como uma “evolução” da modelagem por evento discreto

• Facilita o estudo da dinâmica espacial, em contraposição aos modelos

determinísticos ou técnicas mais simples de simulação. Considera tanto

casos contínuos quanto discretos, sendo este último o mais comum.

• A ênfase da modelagem baseada em agente (MBA) está na interação

entre os agentes, que carregam tantas informações quanto forem

necessárias para detalhar o modelo, e cujas características evoluem

estocasticamente no tempo. A dinâmica do sistema é determinada por

regras a serem aplicadas a cada indivíduo.

Modelagem Baseada em Agente

Estudo de caso Real - EMBRAPA -

Contextualização • Ideia: Apresentar um case real do uso de técnicas de simulação no Brasil:

• Introdução ao assunto:

• Brasil é o maior produtor de Citrus do mundo (detém 30% da produção

mundial de laranja e aprox. 60% da produção de suco de laranja).

• Setor de citricultura gera 4,5 bilhões de dólares/ano (aprox. 7 Unicamps)

• Setor é responsável por cerca de 400 mil empregos diretos e indiretos.

• Estratégico para o Brasil – existem politicas de governo para auxiliar o setor.

• São Paulo é maior região produtora brasileira.

Estudo de caso Real - EMBRAPA -

Contextualização

• Desafio do setor que foi tratado no estudo:

• A doença conhecida como Huanglongbing (HLB) é a mais importante e destrutiva da

citricultura mundial.

• Chegou em SP em 2004.

• O HLB é incurável.

• Afeta todas as variedades de citros

• Seu vetor transmissor é encontrado em todo o país.

• Objetivo: Avaliar a dinâmica de propagação do HLB Citros:

• Técnicas abordadas:

• Modelo Analtico Deterministico.

• Modelagem Baseada em Agente/Individuo (“evolução“ da modelagem do evento discreto)

Estudo de caso Real - EMBRAPA Modelo Analitico – modelagem por compartimentos:

Artigo: http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4826049

Estudo de caso real - EMBRAPA Modelo Analitico – Equações diferenciais com delay

Artigo: http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4826049

Estudo de caso real - EMBRAPA Modelo Analitico – Exemplo de saída

Artigo: http://scitation.aip.org/content/aip/proceeding/aipcp/10.1063/1.4826049

Estudo de caso real - EMBRAPA Modelo MBI

Artigo: http://dx.doi.org/10.5540/03.2015.003.01.0064

Por que MBI:

• Facilita o estudo da dinâmica espacial, em contraposição aos modelos

determinísticos.

• A ênfase do MBI está na interação entre os indivíduos, que carregam tantas

informações quanto forem necessárias para detalhar o modelo, e cujas

características evoluem estocasticamente no tempo. A dinâmica do sistema é

determinada por regras a serem aplicadas a cada indivíduo.

• O objetivo foi desenvolver um modelo baseado no indivíduo para representar

a dinâmica espaço-temporal de transmissão do HLB pelo seu inseto vetor D.

citri, considerando as premissas do modelo determinístico e parâmetros

biológicos

Estudo de caso real - EMBRAPA Modelo MBI – Premissas e saída

Artigo: http://dx.doi.org/10.5540/03.2015.003.01.0064

O MBI descrito foi implementado utilizando o software Matlab.

• Para o início das simulações considerou-se:

• População de 400 plantas sadias distribuídas num reticulado 20x20

• A chegada de 4.000 insetos vetores pela lateral esquerda do reticulado

• 5% desses vetores adultos sejam infectivos desde a fase de ninfa.

Estudo de caso real - EMBRAPA Resultados práticos:

• Integração entre profissionais de diversas áreas: Matematicos/estatisticos, Computação,

Agronomia, Biologia, Fazendeiros, Industria, Governo,…em torno de um objetivo comum.

• Publicações (artigos, teses, etc..)

• Criação/Revisão de leis regulamentando o setor:

• Exemplo de lei: Instrução Normativa nº 53 (IN53) publicada em 2008 pelo

Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento (MAPA):

A instrução recomenda a realização da inspeção em um pomar citrícola a cada três meses

e a remoção das plantas detectadas sintomáticas ao HLB.

• Capacitação de consultorias/industrias do setor na tratativa da doença

• Fornecimento de alternativas de plantação para o produtor manter ganhos com citricultura

• Formato de plantação

• Introdução de outras plantas/agentes para controle da praga,

Simulações

■ Vantagens ( visando a tomada de decisão) :

– Nos permite avaliar e experimentar sistemas com custo mais

baixo que um teste real

– Permite analise do tipo “e se ”

– Lida bem com sistemas complexos

■ Limitações :

– Fornece uma massa de dados/relatórios nem sempre de análise

imediata

– Não compensa dados inadequados nem decisões gerenciais

ruins

– Não nos dá resposta facil nem rápida para problemas complexos

Exemplos de simulações:

■ Casos já vistos em sala:

– Fabrica de cuecas

– O lava-carro

– Filas em hospital

– O homem que se perdeu na floresta

– Pendulo duplo

– O desafio do cinema

– www.runthemodel.com

Revisando: Modelo analítico VS Modelo de simulação

■ Estudar um sistema via modelo analiticos v.s. modelo de simulação

(modelos descritivos V.S. prescritiva);

■ Modelo Analiticos: As medidas de desempenho são expressas como

funções matemáticas com parâmetros de entrada definidos, o

resultado é exato, sendo aplicável apenas a problemas menos

complexos do que o caso real.

■ Modelo de simulação: É um modelo lógico que é avaliada

(numericamente) durante um período de tempo de interesse, medidas

de desempenho são estimados a partir de dados gerados pelo

modelo com procedimentos estatísticos, aplicáveis a sistemas de

qualquer complexidade.

Comparação Direta

ANALÍTICO: Mais rápido que simulação

Problemas com menor grau de complexidade

Resposta única

Não pode ser aplicado em todos os casos

Geralmente requer uma simplificação do

modelo

Resolve-se o modelo

SIMULAÇÃO: Lida bem com modelos complexos

Leva em conta a variabilidade

Possibilita um leque maior de possibilidades

de decisão

Pode não ser tão fácil de interpretar os

resultados

Custo pode ser mais baixo do que a

realização do experimento em si

Roda-se o modelo

• “ A máxima da simulação diz ‘é melhor ter uma solução aproximada para um modelo bem realista do que uma solução exata para um modelo com muitas aproximações’” (BOUZADA, Marco).

fontes

■ http://designprocessing.free.fr/?page_id=122&lang=en

■ http://www.portalaction.com.br/simulacao-monte-carlo/11-calculo-de-integrais ■ http://www.runthemodel.com/ ■ http://www.unicamp.br/unicamp/ju/649/matematica-avalia-acao-de-praga-que-

infesta-laranjais ■ http://periodicos.unifacef.com.br/index.php/rea/article/viewFile/699/534 ■ Simulation Modeling with AnyLogic: Agent Based, Discrete Event and System

Dynamics Methods (www.anylogic.com) ■ Teoría de Modelos y Simulación – TARIFA, Enrique Eduardo (Univerisidad

Nacional de Jujuy) ■ Sim3.ppt * - fonte desconhecida.