tecnica de integracao - resumo

Captulo 1 Tcnicas de Integrao - 1

Elaine Cristina Ferruzzi

1 TCNICAS DE INTEGRAO

1.1 INTEGRAO POR PARTES

Uma tcnica de integrao muito til a

integrao por partes, que depende da frmula

para a diferencial de um produto.

Sejam f e g funes diferenciveis de x. Ento,

pela regra do produto, temos:

)x(g).x('f)x(g).x(fxD)x('g).x(f

)x(f).x('g)x(g).x('f)x(g).x(fxD

Integrando ambos os membros, temos:

dx)x('f).x(gdx)x(g).x(fxD

dx)x('g).x(f

Verificamos que a primeira integral do lado

direito igual a f(x) . g(x) + C . Como da

Segunda integral resulta outra constante de

integrao, desnecessrio incluir C na frmula,

isto :

dx)x('f).x(g)x(g).x(fdx)x('g).x(f Fazendo u = f(x) e v = g(x) , de modo que

du = f (x) dx e dv = g(x) dx, ento a frmula

precedente pode ser escrita:

du.vv.udv u

A fim de aplicar esta frmula a uma determinada

integral, representamos por u uma parte do

integrando e por dv o restante, ( inclusive dx) .

Exemplo 1

Calcule ln xdx Verificamos que no existe frmula para esta

integral na tabela.

Fazemos

Assim:

Cxxlnxxdxln

Cxxlnxxdxln

dxxlnxxdxln

dxx

xxlnxxdxln

dxx

1)x()x.(xlnxdxln

du.vv.uxdxln

dv.uxdxln

Exemplo 1

Calcule dxx2e.x

Fazendo:

Voltando na integral, temos:

C4

x2e

2

x2e.xdxx2e.x

2

x2e

2

1

2

x2e.xdxx2e.x

dxx2e2

1

2

x2e.xdxx2e.x

dx2

x2e

2

x2e.xdxx2e.x

du.vv.udxx2e.x

dv.udxx2e.x

Obs: Para resolver esta parte direita devemos

fazer uma substituio.

u = ln x e dv = dx

dxx

1du v = x

Cxvdxdvdxdv

dx2xe = dv e xu

du = dx dxx2edv

C2

x2ev



Seja

2

dtdx2

dx

dt

x2t

Substituindo, temos

C2

x2edxx2eC

2

tedxx2e

dtte2

1dxx2e

2

dttedxx2e

Exemplo 2

Calcule dx xcos.xe

Seja

Integrando por partes,

dx xcos.xe = du.vv.u

dx xcos.xe = xdxsen

xexsenxe (a)

Apliquemos em seguida a integrao por

partes integral da direita da equao (a).

Fazendo:

cosx- = v dxxedu

dxsen x =dv xeu

e integrando por partes temos:

dx xsen.xe = du.vv.u

dx xsen.xe = xdxcos

xexcosxe (b)

Levando agora a equao ( b) no membro direito

da equao (a), obtemos;

dx xcos.xe =

xdxcos

xexcosxexsenxe

dx xcos.xe =

xdxcosxexcosxexsenxe

C2

)xcosx(senxexdxcosxe

)xcosx(senxexdxcosxe.2

)xcosx(senxexdxcosxexdxcosxe

EXERCCIO

E.1 Calcule as seguintes integrais:

dxxe.2x f) dx.x2e2x)e

dx 3x.e2xd) dxxe.x)c

dxx2e.xb) dxxe.x)a

xdx3sec n) dx.x2sec x)m

xdx3sen l) dx.xcosxe)k

dx x.secx.tgxj) xdx5cos.x)i

dx xsen2xeh) dx xsenx)g

xdx3cos t) dx.2xln)s

dxlnx xr) xdx2sen.x)q

dx xsenxep) dx xsen2x)o

senx = v dxxedu

dx x cos=dv xeu



Respostas:

E1

C4

1x

2

1.x2e)b

C)1x(x e )a

C)1x(e )c x

C27

2

9

x2

3

2xx3e)d

C2

1x2xx2e

2

1)e

C)2x22x.(xe )f

Cxcosxxsen )g

Cxcosxsen25

x2e)h

Ctgxxseclnxsecx)j

Cx5cos25

1x5sen

5

x)i

C3

x3cos2xcosx2sen )l

Cxcosxsen2

xe )k

Cxcoslnxtgx)m

Ctgxxsecln2

1tgx.xsec

2

1)n

Cxcosexsenexxcos2x)o

Cx2sen4

1x2cosx

2

1)q

Cxcosxsen2

xe)p

C23

x9

4xln2

3x

3

2)r

C3x2ln2

3x3x2lnx)s

Cx3sen3

1xsen)t

1.2 INTEGRAO POR SUBSTITUIO TRIGONOMTRICA

Nesta seo discutiremos um mtodo para o

clculo de integrais contendo radicais, realizado

atravs de substituies envolvendo funes

trigonomtricas.

Para determinar a rea de um crculo ou de uma

elipse, uma integral do tipo du2u2a

aparece, onde a > 0. Se a integral fosse do tipo

du2u2a.u uma simples substituio de

variveis ( 2u2at ) seria suficiente para

resolver a integral em questo, mas como esta

definida a integral que queremos solucionar

mais difcil.

Muitas vezes substituies trigonomtricas

convenientes nos levam soluo de

determinadas integrais. Se o integrando envolver

funes contendo as expresses:

2a2uou 2u2a, 2u2a

com a > 0, possvel realizar uma substituio

trigonomtrica apropriada conforme vemos na

Fig. 1

Figura 1

Podemos assim sugerir a seguinte tabela:

1.2.1 Tabela de Substituies trigonomtricas.

expresso substituio

2u2a senau *

2u2a tg au *

2a2u sec au **



* 22

** 2

0

ou 2

3

1.2.2 Identidades trigonomtricas teis

2sec2tg1 )ii

2cos2sen1 )i

Observe as resolues abaixo.

1 caso: A funo integrando envolve

2u2a .

Neste caso, faremos a substituio senau .

Ento d cosadu . Assim, temos

2u2a = 2sena2a

= 2sen2a2a

= 2sen12a

= 2cos2a

2u2a = cosa

2 caso: A funo integrando envolve 2u2a

Neste caso, faremos a substituio tg au .

Ento d 2sec adu . Assim, temos

2u2a = 2tg a2a

= 2tg2a2a

= 2tg12a

= 2sec2a

2u2a = seca

3 caso: A funo integrando envolve

2a2u

Neste caso, faremos a substituio sec au .

Ento d tg.sec adu . Assim, temos

2a2u = 2a2sec2a

= 12sec2a

= 2tg2a

2a2u = tg a

Exemplo 3

Calcule a integral

dx2x

2x9

Resoluo:

Usamos d cos 3dx ento ,sen 3x

Substituindo na integral, temos:

dx2x

2x9=

dcos3

2sen3

2sen39

Pelo 1 caso, temos que:

dx2x

2x9=

dcos3

2sen3

cos3

=

d

2sen3

2cos3

= d 2gcot

=

d 12eccos

dx2x

2x9= cgcot

Devemos agora escrever este resultado em

termos da varivel original x. Sabendo que se

22

- com , sen3x

, ento

3

xarcsen .



Observando a Fig 1 (a) vemos que

x

2x9gcot

.

Assim, temos:

dx2x

2x9= cgcot

dx2x

2x9= C

3

xarcsen

x

2x9

Exemplo 4 Calcule a integral

dxx

252x com 5x .

Resoluo:

Observamos que esta integral envolve a funo

2a2u do 3 tipo, com a = 5 . Assim,

podemos fazer a substituio sugerida.

Fazendo x = 5 sec , temos dx = 5 sec . tg

d.

dxx

252x=

d tg sec5 sec5

252sec25

=

d tgsec5 sec5

tg5

= d 2tg5

=

d 1

2sec5

dxx

252x = C5tg5

Agora precisamos expressar o resultado em

funo de x.

Como x = 5 sec , ento

5

xsecarc e

observando a Fig 1c vemos que 5

252xtg

.

Da, substituindo no resultado da integral, temos:

dxx

252x

= C5

xsecarc5

5

252x.5

dxx

252x = C

5

xsecarc5252x.

Exemplo 5 Calcule a integral

dx

92x5

2x .

Resoluo:

Observamos que esta integral envolve a funo

2a2u do 2 tipo, com a = 3 . Assim,

podemos fazer a substituio sugerida.

Fazendo x = 3 tg , temos dx = 3 sec2 d.

Assim, o radicando sec392x .

dx

92x5

2x=

d 2sec3.

92tg95

2tg9

d 2sec3.

)12tg(95

2tg9

d 2sec3.

2sec95

2tg9

d 2sec3.sec3

2tg

5

9

d sec.2tg

5

9

d sec12sec

5

9

d sec3sec

5

9 (1)

Agora, usando a tabela de integrais, podemos ver

que:

tgseclndsec (2) e que



dnsec

d2nsec

1n

2ntg2nsec

1n

1

isto ,

d3sec

= dsec21

tgsec2

1 (3)

Assim, substituindo (2) e (3) na expresso (1) e

realizando as simplificaes, teremos:

d sec3sec

10

9 =

= Ctgsecln10

9tgsec

10

9

Da, a integral :

dx

92x5

2x

= Ctgsecln10

9tgsec

10

9

Precisamos agora retornar a varivel x.

Observando a Fig 1b, temos

3

92xsec

e

3

xtg , logo realizando

estas substituies, teremos:

dx

92x5

2x

=3

x

3

92xln

10

9

3

x

3

92x

10

9

dx

92x5

2x

= C3

92xx.ln

10

9

10

92x.x

EXERCCIO

E.2 Resolva as seguintes integrais

dx

42x2

2x)c

dx2x2

2x9)a

)d 2x42x

dx

2x162x

dx)e

dx2x4

1)f

dxx

92x)g

dx

6x

x1)h

23

2

dx2x9x

1)i

dx

252x2x

1)j

dx2x9

x)k

Respostas:

C3

xarcsen

x

2x9

2

1)a

C2

x4xln4xx

4

1)c

22

C2x4x4

1)d

Cx16

2x16)e

C2

xx4ln)f

2

ou

Dx2x4ln)f onde D = ln2 +C



C3

xsecarc392x)g

C5x5

2

5

2x1

)h

Cx

2x4

x

2ln

3

1)i

Cx25

252x)j

Cx9)k 2

1.3 INTEGRAO POR FRAES PARCIAIS

Esta tcnica usada para integrar funes

racionais prprias, isto , funes da forma

)x(q

)x(p)x(R , onde p e q so polinomiais e o

grau de p(x) menor que o grau de q(x). A

idias desdobrar o integrando R(x) em uma

soma de funes racionais mais simples, que

podem ser integradas.

fcil verificar que:

1x

1

1x

1

12x

2

A expresso direita o que se chama uma

decomposio em fraes parciais de 12x

2

.

Pode-se usar esta decomposio para calcular a

integral indefinida de 12x

2

. Basta integrarmos

cada uma das fraes da decomposio, obtendo:

C1x

1xlndx

12x

2

C1xln1xlndx

12x

2

dx1x

1dx

1x

1dx

12x

2

O desdobramento do integrando pode ser feito de

acordo com os casos seguintes;

CASO 1 :

O denominador de R(x) pode ser

decomposto em fatores distintos do 1 grau.

Neste caso , a cada fator da forma (ax +b) ,

a * e b , que aparece no denominador, corresponde uma frao da forma

)bax(

A

.

Exemplo 6

)1x(

C

)1x(

B

x

A

)12x.(x

2

)1x).1x.(x

2

)12x.(x

2

Exemplo 7

Calcule dx

x32x23x

9x132x4

Resoluo:

Sabemos que:

)1x).(3x.(xx32x23x

)3x22x.(xx32x23x

Assim,

)1x(

C

)3x(

B

x

A

x3x2x

9x13x4

)1x).(3x.(x

9x13x4

x3x2x

9x13x4

23

2

2

23

2

Tirando o m.m.c. e eliminando os

denominadores, temos:



A3x)C3BA2(x)CBA(9x13x4

A3Cx3BxAx3AxCxBxAx

Cx3CxBxBxA3Ax3AxAx

Cx3CxBxBx)1x)(A3Ax(

)3x.(x.C)1x.(x.B)1x)(3x(A9x13x4

22

222

222

22

2

Comparando os coeficientes de x, temos:

3A9A3 e

1- = B temos, 2 = C e 3 =A com Agora

2=C8=4C

17=4C+3.3 temos, 3 =A como

17=4C+3A 13C3BA2

4CBA

a decomposio em fraes parciais, pois:

)1x(

2

)3x(

1

x

3

x32x23x

9x132x4

Agora, integrando, temos;

C3x

)1x.(xln

x3x2x

9x13x4

C1xln3xlnxln

x3x2x

9x13x4

C1xln23xlnxln3

dx)1x(

2dx

)3x(

1dx

x

3

x3x2x

9x13x4

23

23

2

2323

2

23

2

CASO 2:

O denominador de R(x) pode ser decomposto em

fatores repetidos do 1 grau. A cada fator da

forma ( ax + b ) que aparece n vezes no

denominador, corresponde uma soma de n

fraes da forma:

n)bax(

nA...2)bax(

2A

bax

1A

Exemplo:

4)1x(

5A

3)1x(

4A

2)1x(

3A

)1x(

2A

)1x(

1A

2)1x22x.(2)1x(

x1

4)1x.(2)1x(

1

2)1x22x.(2)1x(

x1

2]2)1x).[(1x)(1x(

x1

2)1x22x.(2)1x(

x1

Exemplo 8

Calcule dx3)2x).(1x(

4x292x183x3

Resoluo:

Verificamos que:

323

23

)2x(

D

)2x(

C

)2x(

B

)1x(

A

)2x).(1x(

4x29x18x3

tirando o m.m.c. e eliminando o denominador,

temos;

)1x(D)2x).(1x.(C)2x).(1x(B)2x(A

4x29x18x3

23

23

da, temos:

A = 2 , B = 1 , C = -3 e D = 2

Ento:

32

3

23

)2x(

2

)2x(

3

)2x(

1

)1x(

2

)2x).(1x(

4x29x18x3



Integrando, temos:

C

)2x(

1

)2x(

32xln1xln2

)2x).(1x(

4x29x18x3

dx

)2x(

2dx

)2x(

3dx

)2x(

1dx

)1x(

2

)2x).(1x(

4x29x18x3

2

3

23

32

3

23

CASO 3:

O denominador constitudo por fatores

quadrticos distintos e irredutveis da forma

q x ax bx c co( ) 2 m a 0 e no

pode portanto ser decomposto em fatores do 1

grau. A cada fator q(x) que aparece no

denominador , corresponde uma frao da forma

)x(q

BAx

Exemplo:

)1x(

BxA

)1xx(

BxA

)1x)(1xx(

1

222

211

22

Exemplo 9

Calcule dx

4x82x3x2

21x2x

Resoluo:

O denominador pode ser fatorado como se segue:

)1x2)(42x(

)1x2(4)1x2(2x

4x82x3x2

Assim:

1x2

C

42x

BAx

4x82x3x2

21x2x

tirando o m.m.c e eliminando o denominador,

teremos;

BC4x)AB2(2x)CA2(21x2x

C42CxBBx2Ax2Ax221x2x

)42x(C)1x2)(BAx(21x2x

Da, temos;

A=3, B= 1, C= - 5

Assim:

1x2

5

42x

1

42x

x3

4x82x3x2

21x2x

1x2

5

42x

1x3

4x82x3x2

21x2x

Integrando, temos:

C1x2ln2

5

2

xtg

2

14xln

2

3

dx

4x8xx2

21xx

dx1x2

5dx

4x

1dx

4x

x3

dx

4x8xx2

21xx

12

23

2

22

23

2

CASO 4:

O denominador constitudo por fatores

quadrticos repetidos e irredutveis da forma

q x ax bx c co( ) 2 m a 0 e no

pode portanto ser decomposto em fatores do 1

grau. A cada fator q(x) que aparece repetido no

denominador , corresponde uma soma de frao

da forma:

n)x(q

nBxnA+...+2)x(q

2Bx2A+)x(q

1Bx1A



Exemplo 10

Calcule dx2)12x(

3x72x33x5

Resoluo;

Verificamos que:

2)12x(

DCx

)12x(

BAx

2)12x(

3x72x33x5

e portanto:

DCx)12x)(BAx(3x72x33x5

da:

A=5 , B = -3 C= 2 e D = 0

Portanto:

222222

23

22222

23

)1x(

x2

)1x(

3

)1x(

x5

)1x(

3x7x3x5

)1x(

x2

)1x(

3x5

)1x(

3x7x3x5

Integrando, temos;

C

1x

1xtg31xln

2

5

dx

)1x(

3x7x3x5

dx

)1x(

x2dx

)1x(

3dx

)1x(

x5

dx

)1x(

3x7x3x5

212

22

23

2222

22

23

EXERCCIO

E.3 Calcule as seguintes integrais:

dx)5x(2)1x(

33x252x2f) dx

x43x

8x102x5)e

dx8x22x

16xd) dx

2)1x(

11x6)c

dx)3x)(2x)(1x(

x1137b) dx

)4x(x

12x5)a

Respostas:

C5xln31x

11xln5)f

C2xln42xlnxln2)e

C2xln34xln2)d

C1x

51xln6)c

C3xln2xln51xln4)b

C4xln2xln3)a

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