tcc_gabriel estêvão de morais rodrigues - temporário

GABRIEL ESTÊVÃO DE MORAIS RODRIGUES

CONCEPÇÃO E VALIDAÇÃO DE UM MODELO DINÂMICO ESTRUTURAL DA

EMPENAGEM VERTICAL DA AERONAVE EMBRAER EMB – 121 “XINGU”.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

2016

GABRIEL ESTÊVÃO DE MORAIS RODRIGUES

Orientador

Professor Dr. Aldemir Aparecido Cavallini Junior



Projeto de Conclusão de Curso apresentado ao

Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica

da Universidade Federal de Uberlândia, como

parte dos requisitos para a obtenção do título de

BACHAREL em ENGENHARIA

AERONÁUTICA.

UBERLÂNDIA - MG

2016

3



Projeto de conclusão de curso APROVADO pelo

Colegiado do Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica da Faculdade de Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Uberlândia.

BANCA EXAMINADORA

________________________________________

Prof. Dr. Aldemir Aparecido Cavalini Jr Universidade Federal de Uberlândia

________________________________________ Prof. Dr. Tobias Souza Morais

Universidade Federal de Uberlândia

________________________________________

Prof. Dr. Leonardo Sanches Universidade Federal de Uberlândia

UBERLÂNDIA - MG

2016

4

AGRADECIMENTOS

Agradeço à minha família, Eliane, Sarah, Bernardo e Leandro, que me ajudaram a chegar

onde estou e que, sem eles, não seria possível completar essa etapa tão importante da minha vida

que é a graduação em Engenharia Aeronáutica. Também tenho que agradecer à Camila, que o

apoio e os conselhos foram essenciais para superar os desafios passados durante o final de minha

graduação.

Agradeço também aos profissionais envolvidos neste trabalho, mais precisamente os

Professores Doutores Aldemir Aparecido Cavalini Junior e Leonardo Sanches que, além de terem

tido participação primordial neste trabalho e em minha graduação, também vem exercendo um

trabalho essencial no desenvolvimento do curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica.

5

RODRIGUES, G. E. M. Concepção e Validação de um Modelo Dinâmico Estrutural

da Empenagem Vertical da Aeronave Embraer EMB – 121 “Xingu”. 2016. 55p. Projeto de

Conclusão de Curso, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Brasil.

RESUMO

O presente trabalho descreve os processos de criação e validação do modelo dinâmico

estrutural da empenagem vertical de aeronave Embraer EMB – 121 Xingu, através modelagem

tridimensional, em elementos finitos, utilizando softwares comercias de CAD e CAE, com a

posterior validação do modelo criado, através de ensaios dinâmicos da estrutura real. Foi criado

um modelo da estrutura através do software CATIA®, com a malha feita no software

HyperMesh® e a análise em elementos finitos feita através do software Siemens FEMAP®. A

validação do modelo numérico ocorreu através do ensaio dinâmico da estrutura real sobre as

condições de corpo livre. O modelo numérico em elementos finitos apresentou diferença média

entre os valores de frequência experimentais de 8,5%, ou seja, 19,4 Hz. Os modos de vibrar

também tiveram coerência em relação aos resultados experimentais e numéricos.

PALAVRAS CHAVE: análise modal, vibração de Estruturas, modelagem, CAE, CAD,

frequências naturais.

6

RODRIGUES, G. E. M. Design and Validation of a Structural Dynamic Model of a Embraer

EMB - 121's Vertical Empennage.”. 2016. 55p. Graduation Project, Federal University of

Uberlândia, Uberlandia, Brazil.

ABSTRACT

This work describes the construction and validation process of a vertical empennage finite

element model of the Embraer EMB - 121 Xingu aircraft. A three dimensional model was created

through the CATIA® software with the mesh made in HyperMesh® software. The finite element

analysis was made through Siemens FEMAP® software using NASTRAN code. The validation

of the numerical model was performed through dynamic tests with the real full scale structure in

free conditions. The numerical and experimental natural frequencies presented a mean difference

of 8.5%. The numerical vibration modes also presented consistency with the experimental results.

KEYWORDS: Modal analysis, structural vibration, modeling, CAE, CAD, natural frequencies.

7

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Estabilizador vertical, em vermelho, em relação à vista lateral da aeronave (FISCHER, 2013).

........................................................................................................................................................ 14

Figura 2 - Sobreposição da resposta no domínio do tempo com a relativa resposta em frequência de um

sistema genérico (Fonte: AVITABILE, PETER. (REV 052700)). ........................................................... 19

Figura 3 - Obtenção dos modos de vibrar de uma placa plana através do Método da Quadratura.

Representação da posição de captação dos acelerômetros na placa ao lado esquerdo da imagem. (Fonte:

AVITABILE, PETER. -REV 052700). .................................................................................................. 20

Figura 4 - Função resposta em frequência de um sistema suspenso na condição livre com os modos de

corpo rígido com frequências diferentes de zero. (Fonte: AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY

(1997)). ............................................................................................................................................ 22

Figura 5 - Esquematização de um ensaio utilizando Shaker para a aplicação de uma força randômica e o

espectro das frequências dos harmônicos contidos na excitação randômica de um shaker. (Fonte:

AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY (1997))................................................................................ 22

Figura 6 - Etapas de uma análise dinâmica de uma estrutura. Adapatação de (JUNIOR e KURDILA,

2006) ................................................................................................................................................ 23

Figura 7 - Método de comparação das frequências naturais da análise experimental e o modelo

matemático teórico por meio de análise gráfica. Adaptado de (AGILENT TECHNOLOGIES

COMPANY®, 1997). ........................................................................................................................ 25

Figura 8 – Vista lateral da geometria da empenagem vertical do Embraer EMB - 121 Xingu criada

através do software CATIA. ............................................................................................................... 27

Figura 9 - Malha criada no software HyperMesh® a partir da geometria criada em CAD. ..................... 28

Figura 10 - Função que descreve a faixa de frequência da força utilizada nos cálculos do modelo

numérico no software FEMAP - NASTRAN. Imagem retirada a partir do software Siemens FEMAP®. .. 29

Figura 11 - Ponto de aplicação da força de excitação no modelo numérico. ......................................... 30

Figura 12 - Pontos de análise de resposta em frequência. .................................................................... 30

Figura 13 - Foto da estrutura analisada com destaque para o seu sistema de fixação. ........................... 32

Figura 14 - Foto destacando a fixação do acelerômetro. A fixação se deu através da utilização de cera. 32

Figura 15 - Foto da cadeia de medição com destaque para a fixação do shaker com a célula de carga

fixada na ponta da haste através de um parafuso preso à estrutura....................................................... 33

Figura 16 - Gráfico da variação da força na porta da haste do acelerômetro fixado na estrutura

analisada, frente uma excitação inicial. .............................................................................................. 34

Figura 17 - Valor da coerência em função da frequência da força aplicada. Teste 1 (ponto 0). .............. 34

Figura 18 - Ponto de fixação da haste do shaker e, consequentemente, da célula de carga, comum a todos

os experimentos realizados................................................................................................................. 35

Figura 19 - Ponto de fixação do acelerômetro para os testes de análise do valor das frequências naturais

(Teste 1)............................................................................................................................................ 35

Figura 20 - Ponto de fixação do acelerômetro para o teste de determinação dos modos de vibrar (Teste

2). .................................................................................................................................................... 36

Figura 21 - Função Resposta em Frequência. Teste 1 (Experimental, ponto 0) . .................................... 37

8

Figura 22 - Função Resposta em Frequência (Numérico, Análise Harmônica 1, Ponto 0). Magnitude da

aceleração em relação à frequência da força de excitação na direção Y. .............................................. 38

Figura 23 - Reta de tendência. (Análise Harmônica 1 e Teste 1 - Ponto 0). ........................................... 39



Figura 26 - Reta de tendência. Reta de tendência. (Análise Harmônica 4 e Teste 2 - Ponto 1). ............... 42

Figura 27 - Componentes que tiveram a sua espessura alterada para o ajuste do modelo, segundo a

tabela 9............................................................................................................................................. 44

Figura 28 - Função resposta em frequência referente ao ponto 0 da figura (12), para o modelo ajustado.

........................................................................................................................................................ 45

Figura 29 - Comparação das frequências naturais dos modos gerais de vibrar da estrutura (Teste 1

experimental e dados do modelo ajustado – Ponto 0). ........................................................................ 46

Figura 30 – Erro entre os valores das frequências naturais dos modos gerais de vibrar da estrutura para

o modelo numérico ajustado e os valores experimentais – Ponto 0. ...................................................... 47

Figura 31 - Reta de tendência entre os valores das frequências naturais dos modos gerais de vibrar da

estrutura para o modelo numérico ajustado e os valores experimentais – Ponto 0. ................................ 47

Figura 32 - Erro entre os valores das frequências naturais dos modos gerais de vibrar da estrutura para

o modelo numérico ajustado e os valores experimentais....................................................................... 48

Figura 33 – Primeiro modo de vibrar obtido experimentalmente: frequência de 105Hz. ........................ 49

Figura 34 - Primeiro Modo de Vibrar obtido analiticamente: frequência 113,0 Hz. ............................... 49

Figura 35 - Segundo modo de vibrar obtido experimentalmente: frequência de 162Hz........................... 49

Figura 36 - Segundo Modo de Vibrar obtido analiticamente: frequência 168,9 Hz. ............................... 50

Figura 37 - Terceiro modo de vibrar obtido experimentalmente: frequência de 220Hz........................... 50

Figura 38 - Terceiro Modo de Vibrar obtido analiticamente: frequência 215,8 Hz. ............................... 50

Figura 39 - Propriedades das folhas de alumínio 2024 T3 dadas em unidades do sistema internacional em

função de sua espessura. Fonte: (DEPARTMENT OF DEFENSE USA, 2003) ..................................... 56

Figura 40 - Espectro de frequência da força aplicada no ensaio com a referente amplitude. .................. 57

Figura 41 - Função resposta em frequência. ....................................................................................... 57

Figura 42 - Diagrama de fase do sinal................................................................................................ 57

Figura 43 - Coerência dos resultados obtidos em função da frequência de análise. ............................... 58

9

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Parâmetros da malha feita através do software HyperMesh®. ................................... 28

Tabela 2 - Parâmetros para o segundo ensaio experimental (Teste 2). ........................................ 33

Tabela 3 - Resultado da frequência de corpo rígido do sistema de fixação dos testes

experimentais. ................................................................................................................................ 34

Tabela 4 - Correlação entre testes Experimentais e Numéricos. .................................................. 37

Tabela 5 - Resultados numéricos (Análise Harmônica 1) e experimentais (Teste 1) para o Ponto

0. .................................................................................................................................................... 39


2. .................................................................................................................................................... 39


4. .................................................................................................................................................... 40


1. .................................................................................................................................................... 41

Tabela 9 - Alterações do modelo numérico em elementos finitos, representados pela figura 26. 44

Tabela 10 - Alteração das propriedades do material do modelo em elementos finitos. ............... 45

Tabela 11 - Frequências Naturais dos modos de vibrar gerais da estrutura. Resultados

numéricos ajustados e experimentais. ........................................................................................... 46

10

LISTA DE ABREVIAÇÕES

D.O.F. Degrees of Freedom (graus de liberdade).

M.D.O.F. Multiple Degrees of Freedom (múltiplos graus de liberdade).

S.D.O.F. Single Degree of Freedom (único grau de liberdade).

C.A.D. Computer Aided Design (Desenho Assistido por computador, DAC)

C.A.E. Computer-Aided Engineering

F. R. F. Função Resposta em Frequência.

M. E. F. Método dos Elementos Finitos.

11

LISTA DE SÍMBOLOS

ft Pés

m Metros

pol Polegadas

kg Quilogramas

g Gramas

km/h Quilômetros por hora

kt Nó

m/s² Metros por segundo ao quadrado

Hz Hertz (ciclos por segundo)

kHz Quilohertz (1000 ciclos por segundo)

N Newtons

LbF Libra Força

°C Graus Celsius

mV Milivolts

s Segundos

mV/m/s² Milivolts por metros por segundo ao quadrado

Mpa Mega Pascais

12

SUMÁRIO

1. Introdução ............................................................................................................................... 13

2. Abordagem Analítica.............................................................................................................. 15

3. Abordagem Experimental relacionada à Dinâmica das Estruturas ........................................ 18

4. Validação do Modelo Analítico.............................................................................................. 23

5. Modelagem via Software Método de Elementos Finitos........................................................ 26

6. Procedimentos Experimentais ................................................................................................ 31

7. Comparação dos Resultados Analíticos Iniciais e Experimentais.......................................... 37

8. Ajustes do Modelo em Elementos Finitos .............................................................................. 44

9. Considerações Finais .............................................................................................................. 53

Bibliografia .................................................................................................................................... 54

Anexo 2: Propriedades do Alumínio 2024 T3. .............................................................................. 56

Anexo 3: Resultados Experimentais .............................................................................................. 57

13

1. Introdução

O fenômeno de flutter é definido como uma oscilação autossustentada que tende a levar à

falha da estrutura poucos momentos após iniciada (TAVARES, 2009). Isto se constitui em um

problema crítico enfrentado pelos projetistas de aeronaves, principalmente em sistemas de alto

desempenho onde é necessário reduzir o peso e controlar as cargas aerodinâmicas (JUNIOR,

REBOLHO, et al., 2007). Como consequência, o projeto da estrutura de uma aeronave deve ser

concebido de forma que atenda tanto os requisitos de cargas estáticas quando os requisitos de

cargas dinâmicas (AGÊNCIA NACIONAL DA AVIAÇÃO CIVIL, BRASIL, 2010).

A análise da dinâmica de estruturas faz parte do desenvolvimento do projeto de uma

aeronave. Para que seja possível a certificação do sistema, parâmetros como frequências naturais,

velocidade de flutter e velocidade de divergência precisam ser apresentados para o órgão

fiscalizador por meio do envelope de manobra da aeronave. É necessário comprovar

experimentalmente que os valores de fatores de carga e velocidade estejam dentro dos requisitos

exigidos (AGÊNCIA NACIONAL DA AVIAÇÃO CIVIL, BRASIL, 2014). Para obter tais

resultados, um modelo matemático que seja fiel à estrutura real deve ser criado a fim de obter um

dimensionamento correto da mesma. A posterior análise da estrutura através de ensaios não

destrutivos e do protótipo da aeronave também faz parte da fase de desenvolvimento (AGÊNCIA

NACIONAL DA AVIAÇÃO CIVIL, BRASIL, 2010). Através de um modelo em elementos

finitos representativo, é possível prever o comportamento da estrutura caso esta sofra mudanças

deste que não afetem significativamente a estrutural original, ou caso as condições de contorno

mudem (RIBEIRO, 2015).

Este estudo tem o objetivo de construir e validar um modelo de elementos finitos da

empenagem vertical da aeronave EMBRAER EMB-121 Xingu em termos de suas frequências

naturais e modos de vibrar. A representatividade e as fontes de erros que levaram à divergência

entre o modelo em elementos finitos e a estrutural real também serão avaliadas por estre trabalho.

O Embraer EMB-121 Xingu é uma aeronave bimotor de médio porte para uso executivo, com

motorização turboélice e cabine pressurizada. Tem capacidade para transportar dois tripulantes e

até oito ou nove passageiros em viagens de médio curso, desenvolvida e fabricada no Brasil a

partir da década de 1970 pela EMBRAER (veja a Fig. 1). Utilizou como base o projeto de asa do

turboélice bimotor para transporte regional de passageiros Bandeirante (EMBRAER S. A., 2016).

https://pt.wikipedia.org/wiki/Bimotor

https://pt.wikipedia.org/wiki/Turbo%C3%A9lice

https://pt.wikipedia.org/wiki/Dura%C3%A7%C3%A3o_do_voo#Voo_de_m.C3.A9dio-curso

https://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil

https://pt.wikipedia.org/wiki/EMBRAER

https://pt.wikipedia.org/wiki/Asa_(avia%C3%A7%C3%A3o)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Embraer_Bandeirante

14

Figura 1 – Estabilizador vertical, em vermelho, em relação à vista lateral da aeronave (FISCHER, 2013).

15

2. Abordagem Analítica

Este capítulo apresenta a abordagem teórica e os conceitos aplicados na modelagem de

uma estrutura utilizando o método dos elementos finitos. São apresentadas as justificativas para

os softwares empregados na modelagem do sistema e para o posterior cálculo do comportamento

dinâmico da estrutura.

2.1. A equação do movimento para modelos discretos

Vibração é uma oscilação do sistema em torno de sua posição de equilíbrio e é resultado

de uma troca contínua de energia cinética e potencial (RADE e STEFFEN JR, 2013). A maioria

dos elementos naturais ou criados pelo homem envolve vibração, uma vez que qualquer corpo

que possua massa e elasticidade é passível de vibração (RIBEIRO, 2015).

A análise modal é entendida como o conjunto de técnicas analíticas e experimentais

utilizadas para caracterizar o comportamento dinâmico de um sistema vibratório, e se baseiam no

fato que, a partir de certas condições, a resposta dinâmica de um sistema pode ser representada

como a superposição de respostas dinâmicas de sistemas mecânicos elementares, em termos das

chamadas características modais (RADE e STEFFEN JR, 2013).

Como já foi falado, este trabalho parte da modelagem de uma estrutura complexa através

de softwares que utilizam o MEF como método de cálculo, ou seja, há a discretização da

estrutura em n graus de liberdade (SOUZA, 2003).

Segundo RADE e STEFFEN JR (2013) o comportamento dinâmico de uma estrutura com

n graus de liberdade é representada na forma matricial como:

[𝑀]{�̈�(𝑡)} + [𝐶]{�̇�(𝑡)} + [𝐾]{𝑥(𝑡)} = {𝑓(𝑡)} (1)

onde:

{𝑥(𝑡)} = {𝑥1(𝑡)

…𝑥𝑛(𝑡)

} ∊ 𝑅𝒏 é o vetor resposta no tempo;

16

{𝑓(𝑡)} = {𝑓1(𝑡)

…𝑓𝑛(𝑡)

} ∊ 𝑅𝑛 é o vetor das forças de excitação atuantes no sistema;

[𝑀], [𝐶] 𝑒 [𝐾] ∊ 𝑅𝑛,𝑛 são as matrizes de massa, amortecimento e rigidez do sistema,

respectivamente.

Desprezando o efeito do amortecimento e a atuação de forças externas ao sistema, a Eq.

(1) fica com a seguinte forma:

[𝑀]{�̈�(𝑡)} + [𝐾]{𝑥(𝑡)} = {0} (2)

onde a solução geral é dada por:

𝑥(𝑡) = {𝑥}𝑒𝑖𝜔𝑡 ,𝜆 = 𝜔2 (3)

Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), o seguinte problema é obtido:

([𝐾] − 𝜆[𝑀]){𝑥} = {0} (4)

O problema dado pela Eq. (4) admite 𝑛 pares de soluções (𝜆𝑟 , {𝑥𝑟}), 𝑟 = 1,2,… , 𝑛

chamadas autosoluções, onde:

𝜆𝑟 ∊ 𝑅+ são os autovalores. As frequências naturais são dadas por 𝜔𝑟 = √𝜆𝑟 , 𝑟 = 1, … ,𝑛;

{𝑥𝑟} ∊ 𝑅𝑛 são os autovetores ou os modos de vibração da estrutura.

Os autovalores e autovetores são obtidos a partir da seguinte relação:

𝑑𝑒𝑡([𝐾] − 𝜆[𝑀]) = 0 (5)

17

Para cada um dos n autovalores, um autovetor correspondente {𝑥𝑟} é obtido a partir da

Eq. (4). Reagrupando as autosoluções tem-se que:

[𝑋] = [{𝑥1} {𝑥2} … {𝑥𝑛}] ∊ 𝑅𝑛,𝑛 (6)

[ʌ] = 𝑑𝑖𝑎𝑔{𝜆1 𝜆2 … 𝜆𝑛} ∊ 𝑅𝑛,𝑛 (7)

Assim, pode-se afirmar que este trabalho se resume em encontrar as matrizes das

frequências naturais e dos modos de vibrar da empenagem vertical da aeronave EMB – 121

Xingu, [𝑋] e [ʌ], através do software de MEF.

2.2. Generalidades Sobre o Método dos Elementos Finitos (MEF)

Segundo (SILVA, SOEIRO, et al., 2001), o Método dos Elementos Finitos, MEF,

consiste em uma aproximação numérica para a resolução de equações diferenciais através da

repartição do meio contínuo em pequenas regiões de geometria simples. Segundo (BATHE,

1996), o MEF consiste nas seguintes etapas:

Transformação de um elemento contínuo em um elemento discreto de finitos graus de

liberdade;

Aplicação e resolução, através de rotinas numéricas, das equações inerentes ao tipo de

análise a ser feita para cada parte discretizada do sistema, nomeado usualmente como

elemento finito.

A ideia de dividir o domínio em estudo em diversas regiões menores soluciona um

problema referente à dificuldade de se escolher funções de interpolação capazes de descrever o

comportamento das variáveis do problema ao longo de todo o domínio. As funções de

interpolação devem satisfazer as condições de contorno do problema, como também representar

satisfatoriamente o comportamento do material (RADE e STEFFEN JR, 2013).

18

3. Abordagem Experimental relacionada à Dinâmica das Estruturas

3.1. Obtenção das frequências naturais e modos de vibrar

A análise experimental tem como foco obter os parâmetros modais da estrutura, ou seja,

frequências naturais, fatores de amortecimento e modos de vibrar (RADE e STEFFEN JR, 2013).

Segundo (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997), embora sistemas reais possuam

múltiplos graus de liberdade (MDOF) e tem algum grau de não linearidade, o modelo de análise

experimental se baseia no fato que eles podem ser geralmente representados como um modelo

discreto de vários elementos de um único grau de liberdade (SDOF), a partir do princípio da

superposição (modelos lineares).

Segundo (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997), a análise dinâmica de uma

estrutura é feita através de sua resposta em frequência dada pela função 𝐻(𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎), Eq. (8).

Como induz a notação, esta função possui seu valor em função da frequência da força atuante na

estrutura, e é representada por:

𝐻(𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎) =𝑆𝑎í𝑑𝑎

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎=

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 (𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎)

𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑒𝑥𝑐𝑖𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 (𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎) (8)

A análise em frequência da estrutura se baseia no conceito simples que, para forças de

mesma intensidade, mas frequências diferentes, as frequências naturais da estrutura são aquelas

cuja resposta em frequência é acentuada (SILVA, SOEIRO, et al., 2001). Este conceito é descrito

por meio da Fig. 2, onde se tem a sobreposição da resposta no domínio do tempo com a relativa

resposta em frequência de um sistema genérico.

19

Figura 2 - Sobreposição da resposta no domínio do tempo com a relativa resposta em frequência de um sistema

genérico (Fonte: AVITABILE, PETER. (REV 052700)).

No caso de sistemas contínuos, podemos representá-lo como uma combinação de sistemas

de um grau de liberdade, de modo que a discretização é feita em função do número de pontos de

coleta (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997), dado pela posição de fixação dos

acelerômetros e da posição de aplicação da força. Assim, para uma estrutura bidimensional, os

descolamentos da estrutura frente a uma excitação podem ser calculados por:

{

𝑥1

𝑥2…𝑥𝑁

} = [

𝐻1,1 𝐻1,2

𝐻2,1 𝐻2,2

… 𝐻1,𝑁

… …… …

𝐻𝑁,1 …… …… 𝐻𝑁,𝑁

] {

𝐹1

𝐹2…𝐹𝑁

} (9)

Nas análises experimentais, é possível analisar a resposta em frequência da estrutura

através de excitações aplicadas em uma banda larga de frequências (via shaker ou martelo de

impacto. Sendo assim, pode-se medir a resposta em frequência sobre três formas:

𝐻 =𝑋

𝐹=

𝐷𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

𝐹𝑜𝑟ç𝑎

𝐻 =𝑉

𝐹=

𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝐹𝑜𝑟ç𝑎

𝐻 =𝐴

𝐹=

𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜

𝐹𝑜𝑟ç𝑎

As funções resposta em frequência do sistema (Eq. 10) são obtidas através da

transformada de Fourier da resposta no tempo obtida através dos sensores (AGILENT

TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997). Tais funções são compostas por pontos cujos valores

são complexos, compostos por parte real e imaginária (RADE e STEFFEN JR, 2013).

20

A frequência de ressonância pode ser estimada a partir dos dados da resposta em

frequência, observando a frequência na qual as seguintes tendências ocorrem, segundo

(AVITABLE, 2001):

Magnitude da resposta em frequência é máxima;

Todos os pontos de ressonância são separados por pontos de antirressonância;

A parte imaginária da resposta em frequência possui valor máximo ou mínimo;

A parte real da resposta em frequência possui valor nulo;

O gráfico de fase do sinal tem um decaimento de 180° ao passar por um ponto de

ressonância e tem um ganho de 180° ao passar por um ponto de antirressonância.

A forma do pico na resposta em frequência indica o fator de amortecimento do sistema

(AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997).

Uma das mais simples técnicas de estimação dos modos de vibrar é o método de

quadratura, muitas vezes chamado de “colheita de pico”. Neste trabalho, este método será

utilizado automaticamente pelo software de análise modal utilizado o equipamento Modelo

PULSE Reflex™, tipo 7765, fabricado pela Brüel & Kjær. Os modos de vibrar são estimados a

partir da parte imaginária da resposta em frequência do sistema (AGILENT TECHNOLOGIES

COMPANY®, 1997), como mostra a Fig. 3.

Figura 3 - Obtenção dos modos de vibrar de uma placa plana através do Método da Quadratura. Representação da

posição de captação dos acelerômetros na placa ao lado esquerdo da imagem. (Fonte: AVITABILE, PETER. -REV

052700).

Segundo (AVITABLE, 2001) é necessário uma quantidade mínima de dados para que os

modos de vibrar de uma estrutura possam ser obtidos. Ainda segundo (AVITABLE, 2001), dada

a matriz de respostas em frequência de uma estrutura bidimensional representada em pela Eq.

(11), é necessário obter ao menos uma linha ou uma coluna desta matriz para que os modos sejam

21

obtidos via Método da Quadratura. Isso se traduz, em procedimentos experimentais que, para

obter os dados mínimos tem-se que:

Dada uma excitação da estrutura em apenas um ponto, através de um shaker, por

exemplo, devem ser coletadas as respostas em frequências em todos os pontos de análise,

ou seja, se deve instrumentar a estrutura com acelerômetros em todas as posições de

análise, ou;

Via teste de impacto com apenas um acelerômetro, deve ser feita a excitação da estrutura

através do martelo de impacto em todos os pontos de análise;

Os acelerômetros não podem estar localizados no nó de um modo de vibrar, caso

contrário, o modo não será possível de se visualizar através do método da quadratura.

3.2. Suspendendo a estrutura

As condições de contorno afetam diretamente as funções de resposta em frequência de

estruturas sobre uma dada excitação (TORII, 2012). Analiticamente, condições de contorno

podem ser especificadas como sendo completamente livres ou totalmente engastadas (RADE e

STEFFEN JR, 2013). Na prática, no entanto, não é possível atingir plenamente estas condições.

A condição livre significa que a estrutura está, na verdade, flutuando no espaço sem apoios e

exibe um comportamento de corpo rígido na frequência zero (AGILENT TECHNOLOGIES

COMPANY®, 1997).

Ao suspender a estrutura para simular a condição livre, o sistema completo será composto

pela estrutura analisada e a estrutura de fixação. Se um apoio suficientemente macio é utilizado,

as frequências naturais do sistema de fixação serão muito menores do que as primeiras

frequências naturais da estrutura analisada e, portanto, terão efeito dinâmico negligenciável. A

regra para suportes livres é que a frequência mais elevada do sistema de fixação deve ser inferior

a um décimo do primeiro modo flexível da estrutura analisada (AGILENT TECHNOLOGIES

COMPANY®, 1997). Se este critério for cumprido, modos de corpo rígido terão efeito

insignificante sobre os modos flexíveis do sistema (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®,

1997). A Fig. 4 mostra uma medição típica deste tipo de sistema com modos de corpo rígido

diferentes de zero na resposta em frequência.

22

Figura 4 - Função resposta em frequência de um sistema suspenso na condição livre com os modos d e corpo rígido

com frequências diferentes de zero. (Fonte: AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY (1997)).

3.3. Excitando a estrutura: teste utilizando excitadores eletrodinâmicos (shakers)

O teste através do shaker utiliza de uma excitação randômica para abranger um largo

espectro de frequências, como evidenciado pelos gráficos da Fig. 5. Outra particularidade deste

método é a necessidade de se modelar a rigidez da junção da haste do shaker com a estrutura para

manter a representatividade dos resultados. Uma das principais vantagens do teste através da

utilização de shakers é a possibilidade de limitar a banda de frequência da força excitadora

(AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997). Por outro lado, este método é mais

trabalhoso com relação à instalação e à troca de posição de atuação do shaker.

Figura 5 - Esquematização de um ensaio utilizando Shaker para a aplicação de uma força randômica e o espectro

das frequências dos harmônicos contidos na excitação randômica de um shaker. (Fonte: AGILENT

TECHNOLOGIES COMPANY (1997)).

23

4. Validação do Modelo Analítico

4.1. Etapas da investigação estrutural dinâmica

Segundo (JUNIOR e KURDILA, 2006), as etapas para a criação de um modelo dinâmico

de uma estrutura estão esquematizadas no diagrama da Fig. 6.

Figura 6 - Etapas de uma análise dinâmica de uma estrutura. Adapatação de (JUNIOR e KURDILA, 2006)

Análise segue as seguintes etapas:

1. Criação da geometria a ser analisada a partir do processo de medição da estrutura real ou

de dados e fichas técnica da mesma;

2. Fase de análise numérica, que consiste em: definir o modelo analítico, obter o modelo

matemático e resolvê-lo para determinar as respostas dinâmicas do sistema. A criação de

um modelo analítico consiste em:

Conjunto de simplificações feitas ao reduzir o sistema real em um sistema analítico;

Conjunto de dados geométricos que descrevem o modelo analítico;

24

Lista de parâmetros do modelo (espessuras, propriedades dos materiais utilizados).

3. Testes dinâmicos, cujo propósito principal é validar o modelo matemático.

Segundo (JUNIOR e KURDILA, 2006), os modelos analíticos são classificados em duas

categorias: modelos contínuos e modelos discretos. No caso dos modelos discretos, sua

aproximação com os resultados reais depende do número de graus de liberdade considerado.

Ainda segundo (JUNIOR e KURDILA, 2006), a etapa mais importante em uma análise dinâmica

é a criação de um modelo matemático da estrutura (Etapas 2a e 2b da Fig. 6).

4.2. Método de comparação dos dados experimentais e numéricos e correlação com o MEF

Segundo (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997), ao solucionar um

problema de vibração ou investigar alterações simples de uma estrutura, um método de análise

conhecido como Modificação Estrutural pode ser muito útil. Basicamente, o método determina os

efeitos na mudança da massa, rigidez e amortecimento sobre as características dinâmicas da

estrutura. A técnica pode ser estendida a um processo iterativo, muitas vezes chamado de análise

de sensibilidade, a fim de classificar a sensibilidade do sistema às alterações de quantidades

específicas de massa, rigidez ou amortecimento (TORII, 2012).

Em geral, a modificação estrutural envolve determinar a resposta em frequência do

modelo e, a partir da análise inicial, determinar a quantidade de massa, rigidez e amortecimento

que devem ser adicionados para se atingir à resposta desejada. Este trabalho seguiu a segunda

linha de projeto, ou seja, criou-se um modelo matemático e, a partir dos resultados iniciais, as

propriedades foram alteradas para que o modelo respondesse como o desejado (em acordo com

os resultados experimentais).

A tarefa de correlação é geralmente iniciada comparando as frequências naturais medidas

com as previstas pelo modelo teórico. Para isso, as frequências naturais medidas e estimadas

numericamente são associadas através da representação gráfica mostrada na Fig. 7. As diferenças

relativas entre as frequências podem ser observadas, bem como as tendências globais. Esta

representação pode sugerir as possíveis causas das diferenças observadas (AGILENT

TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997). Se há uma correlação direta entre as frequências

naturais, os pontos vão se localizar em torno de uma linha reta com uma inclinação igual a 1

25

(um). Ainda segundo (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997), tem-se que o

comportamento do gráfico indica que:

Figura 7 - Método de comparação das frequências naturais da análise experimental e o modelo matemático teórico

por meio de análise gráfica. Adaptado de (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997).

Se uma dispersão aleatória surge, então o modelo de elementos finitos pode não ser uma

representação precisa da estrutura. Isto pode ser resultado de um tipo de elemento

inadequado ou uma malha pouco refinada no modelo de elementos finitos. Esse

comportamento também pode ser resultado da aplicação das condições de contorno de

forma incorreta no teste e/ou na análise;

Se os pontos se encontram em linha reta, mas com um coeficiente angular diferente do

unitário, então o problema pode ser um problema no teste modal ou uma propriedade do

material incorreta, tal como o módulo de elasticidade ou a densidade do material, no

modelo de elementos finitos.

É importante citar que a comparação entre a estrutura real e o modelo numérico não é

feita simplesmente comparando as frequências naturais (TORII, 2012). Os modos de vibrar

também devem ser comparados para garantir uma correspondência entre modos de vibrar e

frequências naturais (TORII, 2012). Uma técnica para realizar esta comparação é simplesmente

sobrepor às formas modais do teste experimental e do modelo numérico para observar suas

tendências gerais (AGILENT TECHNOLOGIES COMPANY®, 1997). Isso pode se tornar

bastante difícil, especialmente para estruturas com geometria complicada, já que os modos de

vibrar tendem a possuírem formas complexas.

26

5. Modelagem via Software Método de Elementos Finitos

Esta seção trata da construção do modelo dinâmico da empenagem do EMBRAER EMB-

121 Xingu através da metodologia apresentada. Uma análise experimental foi feita seguindo os

fundamentos apresentados na seção 3 e a comparação dos resultados e validação do modelo foi

feita seguindo os fundamentos mostrados na seção 4.

5.1. Escolha dos softwares utilizados

A escolha do CATIA® V5R21 como software CAD ocorreu devido por este ser o software

CAD mais utilizado na indústria aeronáutica, como Boeing e Airbus (DASSAULT

SYSTÈMES®, © 2002-2016). A escolha do FEMAP como software CAE ocorreu por este

oferecer uma boa interface de trabalho, e principalmente por ter como base o código NX

NASTRAN (Nasa Structural Analysis) (SIEMENS®, Copyright 1996-2016). O código NX

NASTRAN, consiste em um conjunto de sistemas computacionais, cujo procedimento de análise

e cálculo se baseia no MEF. Este software possui mais de 50 anos de utilização e aprimoramento,

sendo um código já validado e robusto.

5.2. Criação da geometria: modelo CAD em três dimensões através do CATIA V5R21

Através do processo de medição da estrutura real disponível no Laboratório de Ensino em

Engenharia Aeronáutica (LEEAR) e do recolhimento de medidas obtidas no manual da aeronave,

foi possível construir o desenho técnico da empenagem vertical utilizando o software CATIA®

V5R21, como mostra a Fig. 8.

27

Figura 8 – Vista lateral da geometria da empenagem vertical do Embraer EMB - 121 Xingu criada através do

software CATIA.

As seguintes considerações foram feitas durante a confecção do desenho técnico em três

dimensões:

Foi considerada a estrutura em seu estado atual, com as carenagens e portas de inspeção

ausentes, a fim de obter uma melhor aproximação dos resultados;

Foram usadas dimensões provenientes do valor da média aritmética de três medidas para a

dimensão de cada elemento da estrutura;

Para as dimensões até o limite da faixa de medição do paquímetro (200 mm) foi usado um

paquímetro com resolução 0,01 mm;

Para as dimensões a partir de 200 mm foi usada uma fita métrica;

As dimensões fornecidas pelo manual da aeronave, foram consideradas como verdadeiras

e foram transferidas diretamente para os desenhos em três dimensões;

Foi desconsiderada a presença dos rebites;

Foi considerada a união criada pelos rebites como uma união perfeita, ou seja, duas placas

unidas pelo processo de rebitagem foram consideradas como uma única placa maciça com

espessura maior;

A geometria da empenagem vertical analisada foi criada somente através de superfícies

sem espessura, sendo que a espessura de cada superfície foi agregada posteriormente no

software Siemens FEMAP®.

É importante citar que, como a geometria foi criada em parte pelo processo de medição e

alguns detalhes da geometria foram ignorados, o modelo matemático necessita da validação via

análise experimental, segundo está previsto na seção 6 deste documento.

5.3. Criação da malha através do software HyperMesh®

A malha foi criada a partir da geometria criada no software CATIA® e cujo processo de

desenvolvimento foi explicado pela seção 5.2. Como software base, utilizou-se o Hyper Mesh®

13.0. Os parâmetros utilizados na confecção da malha estão expressos na Tab. 1.

28

Tabela 1 – Parâmetros da malha feita através do software HyperMesh®.

Informações Modelo/ Malha

Forma predominante Quadrática

Tamanho médio da aresta lateral 10 mm

Número de Componentes 36

Número de Elementos 78.251

Número de Nós 78.439

Os procedimentos adotados nesta seção e da seção 9 foram norteados segundo (ARAÚJO,

SURIANE e NETO, 2015). Segundo (TORII, 2012), o erro associado ao cálculo via MEF é

inversamente proporcional ao tamanho dos elementos utilizados no modelo matemático durante o

processo de discretização.

5.4.Análise via NASTRAN FEMAP®:

Foi utilizado o software Siemens FEMAP® para a construção do modelo de elementos

finitos. Para tal análise, algumas considerações foram feitas:

Para simular a condição livre da estrutura, nenhuma reação de apoio (restrição ao

movimento em nenhum grau de liberdade) foi adicionada ao modelo;

Figura 9 - Malha criada no software HyperMesh® a partir da geometria criada em CAD.

Para análise modal, foram utilizadas as opções NX Nastran em Analysis Program e

Normal Modes / Eigenvalues em Analysis Type; Essas opções selecionam o código de

solução (NASTRAN) e do tipo de análise (MODAL);

Nesta etapa foram acrescentadas as propriedades do material e a espessura de cada

componente. As espessuras dos componentes do modelo geométrico foram colocadas de

forma central em cada superfície da geometria criada no CATIA®;

29

As propriedades mecânicas adotadas tiveram como base o Alumínio 2024 – T3. Essa

escolha foi feita através da recorrência deste material em estruturas aeronáuticas

semelhantes à analisada. Suas propriedades foram consultadas em (DEPARTMENT OF

DEFENSE USA, 2003), segundo (Fig. 39 – veja o Anexo 1).

Após a análise modal, foram feitas quatro análises harmônicas através do software

Siemens FEMAP®. Para tais análises, foi necessário aplicar uma força na qual foi determinada a

faixa de frequência de atuação da mesma, como mostra a Fig. 10.

Para a coerência em relação às condições de contorno com os testes experimentais, tem-se

que o ponto de aplicação da força no modelo é comum a todas as análises harmônicas e é

mostrado na Fig. 11. As análises se organizam da seguinte maneira:

Análise Harmônica 1: Ponto de resposta da estrutura segundo o ponto (0) da Fig. 12;



Análise Harmônica 4: Ponto de resposta da estrutura segundo o ponto (1) da Fig. 12.

Figura 10 - Função que descreve a faixa de frequência da força utilizada nos cálculos do modelo numérico no

software FEMAP - NASTRAN. Imagem retirada a partir do software Siemens FEMAP® .

30

Figura 11 - Ponto de aplicação da força de excitação no modelo numérico.

Figura 12 - Pontos de análise de resposta em frequência.

31

6. Procedimentos Experimentais

6.1. Montagem e disposição dos equipamentos

A partir da Fig. 13 à Fig. 15 pode-se verificar a cadeia de medição utilizada durante os

testes realizados neste trabalho. Para o devido ajuste do sistema de medição e do sistema de

fixação, adotaram-se os seguintes procedimentos:

Foram utilizadas duas estruturas metálicas rígidas para a fixação dos elastômeros.

Certificou-se que não havia flexibilidade suficiente que pudesse interferir nos

resultados dos testes.

Certificou-se que as estruturas metálicas estavam suficientemente fixadas ao chão

de forma que não pudessem se deslocar durante a excitação da estrutura.

Foram utilizados elastômeros e molas para fixar a empenagem nas estruturas

metálicas. As molas foram acrescentadas para diminuir a frequência de corpo

rígido do sistema de fixação uma vez que, devido o peso da estrutura, os

elastômeros ficaram totalmente esticados. Sem a presença das molas observou-se

um alto grau de dissipação de energia (amortecimento) da energia transmitida pelo

shaker á estrutura. Notou-se também que, sem a presença das molas no sistema de

fixação, a frequência de corpo rígido era superior, pelo fato dos elastômeros

estarem esticados além de seu regime elástico de deformação.

O shaker, como demonstrado pela Fig. 14, teve a sua haste parafusada à estrutura

e foi posicionado de forma que a sua haste se posicionasse de forma normal à

estrutura.

A base do shaker foi parafusada a uma peça de madeira compensada de área maior

que a sua base original. Com essa configuração de fixação, foi possível aumentar o

atrito entre o shaker e o chão, evitando o seu deslocamento durante os ensaios.

Tanto os pontos de fixação do acelerômetro quanto o ponto de fixação do shaker

(ver Fig. 18, 19 e 20) foram escolhidos de forma que se posicionassem nas partes

mais rígidas da empenagem. Através deste critério foi possível garantir uma maior

transmissão de energia tanto entre o shaker e a estrutura quanto entre a estrutura e

32

o acelerômetro, além de se evitar ruídos nos resultados causados pelos modos

locais de vibrar.

Os pontos 2, 3, 1 e 4 da Fig. 20 também tiveram seu posicionamento escolhido de

tal forma que a leitura dos modos de flexão e torção da empenagem pudessem ser

mais bem captados durante o teste, uma vez que a leitura da aceleração nestes

pontos para estes modos são de maior intensidade.

O acelerômetro foi fixado à estrutura através de utilização de cera

Figura 13 - Foto da estrutura analisada com destaque para o seu sistema de fixação.

Figura 14 - Foto destacando a fixação do acelerômetro. A fixação se deu através da utilização de cera.

33

Figura 15 - Foto da cadeia de medição com destaque para a fixação do shaker com a célula de carga fixada na

ponta da haste através de um parafuso preso à estrutura.

6.2. Parâmetros dos ensaios

O sistema de medição foi ajustado segundo os parâmetros da Tab. 2.

Tabela 2 - Parâmetros para os ensaios experimentais (Testes 1 e 2).

Frequência

Número de Aquisições 1600

Faixa de Frequência Analisada 0 - 800hz

Resolução de Aquisição 500 mHz

Tempo de Aquisição 2 segundos

Diferencial de Tempo de Aquisição 488,3 us

Média

Modo Linear

Número de Médias 100

Tempo total do experimento 68

segundos

Força Nível do Sinal de Força 700m Vms

Banda de Frequência 800 Hz

sobreposição 66,67%

Para validar o sistema de fixação, sabendo que o modelo numérico resultou em uma

primeira frequência natural na faixa de 100 Hz, é preferível que a frequência associada ao modo

de corpo rígido da empenagem (frequência natural do sistema de fixação) esteja abaixo de 10 Hz.

Esta frequência foi verificada medindo a força através da célula de carga localizada na haste do

shaker diante uma excitação inicial dada na empenagem (shaker desligado). O resultado é

34

mostrado na Fig. 16. A frequência aproximada de corpo rígido é dada pela Tab. 3, confirmando

que o sistema de fixação está de acordo para o caso analisado.

Figura 16 - Gráfico da variação da força na porta da haste do acelerômetro fixado na estrutura analisada, frente

uma excitação inicial.

Tabela 3 - Resultado da frequência aproximada de corpo rígido do sistema de fixação dos testes experimentais.

Frequência de Corpo Rígido 2,5 Hz

Outro parâmetro importante durante os testes experimentais é o valor da coerência dos

resultados durante o teste. Tal parâmetro, para o teste 1 (Ponto 0) tem seu valor segundo a Fig.

Xx. É interessante mostrar que, mesmo para baixas frequências, em torno de 40 Hz, se obteve

coerência em níveis satisfatórios.

Figura 17 - Valor da coerência em função da frequência da força aplicada. Teste 1 (ponto 0).

6.3. Pontos de aquisição e excitação na estrutura

Foram realizados dois testes experimentais. No primeiro teste, tanto o shaker quanto o

acelerômetro foram fixados na posição única indicada pela Fig. 18 e Fig. 19, respectivamente. O

shaker foi acionado através da interface do sistema de aquisição de dados (Modelo PULSE

35

Reflex™, tipo 7765, fabricado pela Brüel & Kjær) e as médias dos resultados são feitas de

maneira automática.

Figura 18 - Ponto de fixação da haste do shaker e, consequentemente, da célula de carga, comum a todos os

experimentos realizados.

Figura 19 - Ponto de fixação do acelerômetro para os testes de análise do valor das frequências naturais (Teste 1).

Para o teste de obtenção dos modos de vibrar de flexão e torção da empenagem, o shaker

foi posicionado unicamente segundo a Fig. 18 e o acelerômetro foi posicionado nas posições

mostradas na Fig. 20. O shaker foi acionado para cada posição diferente do acelerômetro,

obtendo as médias das FRFs para cada ponto.

36

Figura 20 - Ponto de fixação do acelerômetro para o teste de determinação dos modos de vibrar (Teste 2).

37

7. Comparação dos Resultados Analíticos Iniciais e Experimentais

7.1. Comparação das Funções Resposta em Frequência

Para facilitar a compreensão da correlação entre os testes experimentais e analíticos, segue

a Tab. 4. Os dados comparados seguem a equivalência em relação à posição do acelerômetro na

empenagem.

Tabela 4 - Correlação entre testes Experimentais e Numéricos.

Testes Numéricos Equivalência dos Testes Experimentais Ponto de Análise (Segundo

Fig. 20 e Fig. 12)

Análise Harmônica 1 Teste 1 Ponto (0)




A comparação das funções resposta em frequência foi feita para os quatro testes presentes

na Tab. 4. Os resultados numéricos e experimentais se mostraram semelhantes para a banda mais

baixa de frequências (até 300 Hz), como evidenciado através da Fig. 21 e Fig. 22. Para uma faixa

de frequência superior à 300 Hz, os resultados de resposta em frequência e de fase não foram

conclusivos ao ponto de se definir uma resposta geral da estrutura, tanto para os resultados

experimentais quanto o resultado do modelo em elementos finitos

Figura 21 - Função Resposta em Frequência. Teste 1 (Experimental, ponto 0) .

1,00E+08

1,00E+09

1,00E+10

1,00E+11

1,00E+12

1,00E+13

1,00E+14

0 100 200 300 400 500 600

(m/s

^2)/

(10

^9N

)

Frequêcia [Hz]

Função Resposta em Frequência Experimental ( Ponto 0)

38

Figura 22 - Função Resposta em Frequência (Numérico, Análise Harmônica 1, Ponto 0). Magnitude da aceleração

em relação à frequência da força de excitação na direção Y.

7.2.Comparação das Frequências Naturais

Nesta seção são apresentados os resultados numéricos e experimentais de cada um dos

testes mencionados. As frequências naturais obtidas através dos testes experimentais foram

retiradas dos gráficos de fase e de resposta em frequências respeitando as condições citadas na

seção 3.1. Em seguida houve a comparação entre os resultados para quatro pontos (pontos 0, 2, 4

e 1), seguindo a localização mostrada pelas Fig. 12 e 20, com a seguinte equivalência dada pela

Tab. 4.

Através do processo de regressão linear, foi possível calcular as retas de tendência para as

frequências naturais da estrutura para cada ponto analisado, com o respectivo desvio de cada

valor entre os resultados experimentais e analíticos, tendo os valores experimentais como

referência. A convergência entre os resultados foi analisada através dos desvios obtidos,

coeficiente angular, coeficiente linear e coeficiente de linearidade de cada reta de tendência. Foi

calculada a média dos desvios de todas as frequências naturais para todos os pontos como fator

de comparação geral do modelo, cujo valor será apresentado na seção 7.3.

39

7.2.1. Comparação dos resultados (Ponto 0)

Tabela 5 - Resultados numéricos (Análise Harmônica 1) e experimentais (Teste 1) para o Ponto 0.

Comparação de Resultados - Ponto 0

Frequências Resultado FEMAP/ NASTRAN

(Hz)

Frequências Resultado Experimental (Hz)

Erro Associado (%) Erro Associado em Valor

Absoluto (Hz)

126,8 105 20,76 21,8

189,6 162 17,03 27,6

226,7 185 22,54 41,7

270,3 220 22,86 50,3

Figura 23 - Reta de tendência. (Análise Harmônica 1 e Teste 1 - Ponto 0).

Através do processo de regressão linear, conclui-se que a equação representativa do gráfico da

Fig. 23 é dada por: 𝑦 = 0,793𝑥 + 6,7463, com coeficiente de linearidade dado por 𝑅2 = 0,9953.





(Hz)



Absoluto (Hz)

126,9 104,5 21,43 22,4

179,6 162,5 10,52 17,1

214,5 187,5 14,40 27

233,5 205 13,90 28,5

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250 300Fre

qu

ên

cia

Re

sult

ado

Exp

eri

me

nta

l [H

z]

Frequência Resultado Analítico [Hz]

40



Fig. 24 é dada por: 𝑦 = 0,933𝑥 + (−11,11), com coeficiente de linearidade dado por 𝑅2 = 0,9914.





(Hz)



Absoluto (Hz)

126,9 104,5 21,43 22,4

217,5 180 20,83 37,5

226,6 189 19,89 37,6

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Fre

qu

ên

cia

Re

sult

ado

Exp

eri

me

nta

l [H

z]


41



Fig. 25 é dada por: 𝑦 = 0,8418𝑥 + (−2,3869), com coeficiente de linearidade dado por 𝑅2 = 0,9998.




Frequências Resultado FEMAP/

NASTRAN



Absoluto (Hz)

131,7 108 21,94 23,7

189 131,5 17,02 27,5

227 186 22,04 41

234,6 192 22,18 42,6

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Fre

qu

ên

cia

Re

sult

ado

Exp

eri

me

nta

l [H

z]


42

Figura 26 - Reta de tendência. Reta de tendência. (Análise Harmônica 4 e Teste 2 - Ponto 1).


Fig. 26 é dada por: 𝑦 = 0,8106 + 3,336, com coeficiente de linearidade dado por 𝑅2 = 0,9925.

7.3. Discussão sobre os dados iniciais

Através da comparação feita entre os dados experimentais e numéricos feita na seção

10.20 deste texto, pode-se observar que o modelo em elementos finitos feito no software Siemens

FEMAP®, apresenta comportamento semelhante à estrutura real ensaiada. Esta afirmação se

baseia no fato de que:

Os valores das frequências naturais do modelo de elementos finitos foram em média

19,25% maiores que as frequências naturais obtidas nos ensaios experimentais (valor

obtido através da média do erro resultante de todos os valores de frequência naturais

comparados no presente trabalho);

Os valores das frequências naturais do modelo de elementos finitos foram em média 31,24

Hz maiores que as frequências naturais obtidas nos ensaios experimentais (valor obtido

através da média do erro resultante absoluto de todo os valores de frequência naturais

comparados no presente trabalho);

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250

Fre

qu

ên

cia

Re

sult

ado

Exp

eri

me

nta

l [H

z]


43

As curvas de tendência que relacionam as frequências naturais experimentais e numéricas

tiveram comportamento linear, com um coeficiente de linearidade médio superior à 0,99.

Tal comportamento mostra que, segundo a seção 4.2 do presente trabalho, o modelo de

elementos finitos criado provavelmente possui malha com refinamento adequado, assim

como o tipo de elemento usado para tal análise. Outra conclusão que podemos chegar

através da análise destes dados é que houve uma conformidade entre as condições de

contorno do modelo numérico e do ensaio experimental;

Ainda analisando as curvas de tendência que relaciona as frequências naturais

experimentais e numéricas, pode-se notar que elas se organizam em uma dispersão linear

em torno de uma reta com coeficiente linear diferente de 1. Segundo a seção 4.2 deste

trabalho, isso pode significar que as propriedades dos materiais utilizadas no modelo

numérico, módulo de elasticidade ou densidade, podem não estar corretas. Esta é uma

afirmação plausível, uma vez que o modelo de elementos finitos feito no software

Siemens FEMAP® se baseou na suposição de que toda a estrutura era feita de alumínio

2024 T3. As propriedades deste material são bem definidas através de literaturas técnicas,

porém a utilização das propriedades deste material no modelo ocorreu sem nenhuma

informação oficial que comprove que a estrutural real foi realmente fabricada com este

material;

As aproximações feitas durante a confecção do modelo de elementos finitos da

empenagem é outra fonte de erro que levou às diferenças entre os resultados numéricos e

experimentais.

44

8. Ajustes do Modelo em Elementos Finitos

8.1. Parâmetros alterados no modelo numérico

A partir dos resultados da seção 7.2, verifica-se a necessidade de ajustar o modelo de

elementos finitos para que os valores das frequências naturais obtidos fiquem mais próximos com

a realidade. Assim sendo, devem ser reavaliados os parâmetros cujos valores são alterados pelas

fontes de erros e as aproximações feitas durante a confecção do modelo e que têm interferência

na resposta dinâmica da estrutura seguindo o método exposto na seção 4. Desta forma, o modelo

criado no software Siemens FEMAP® apresentado anteriormente na seção 5 foi alterado (veja os

componentes modificados na Fig. 26) conforme mostra a Tab. 9 e a Tab. 10 a fim de ajustar os

resultados numéricos com os resultados experimentais. As propriedades apresentadas na Tab. 9 e

Tab. 10 foram aplicadas em elementos dispersos na estrutura a fim de não alterar a posição do

centro de gravidade do modelo.

Figura 27 - Componentes que tiveram a sua espessura alterada para o ajuste do modelo, segundo a tabela 9.

Tabela 9 - Alterações do modelo numérico em elementos finitos, representados pela figura 27.

Valor Modelo Original (mm) Valor Modelo Ajustado (mm) Desvio (mm)

Espessura Membrana Externa

1,48 1,4 5,41

Espessura Membrana Extremidades

2,1 1,9 9,52

45

Tabela 10 - Alteração das propriedades do material do modelo em elementos finitos.

Para todo o modelo

Massa Específica [toneladas/mm3]

Módulo de Elasticidade

2,79E-09 Valor Inicial

3,20E-09 (+14%) (Valor Inicial)*0,95

8.2. Resultados do modelo ajustado

O gráfico da função resposta em frequência para o ponto 0, relativo à análise harmônica 1

do modelo em elementos finitos está representado pela Fig. 28. A comparação das frequências

naturais é apresentada pela Tab. 11.

Figura 28 - Função resposta em frequência referente ao ponto 0 da figura (12), para o modelo ajustado.

A comparação, para o ponto 0, entre os resultados experimentais e numéricos do modelo

ajustado em relação às frequências naturais estão representados pela Fig. 29, 30, 31 e 32.

46

Tabela 11 - Frequências Naturais dos modos de vibrar gerais da estrutura. Resultados numéricos ajustados e

experimentais.

Comparação Teste Numérico Ajustado e Teste Experimental 2 - Ponto 0

Frequências Resultado FEMAP/

NASTRAN

Frequências Resultado Experimental

Erro Associado (%) Erro Associado

(Valor Absoluto)

113,0 105 7,522123894 8,5

168,9 162 22,4393132 37,9

193,7 185 7,330924109 14,2

215,8 220 8,679065331 18,2

Figura 29 - Comparação das frequências naturais dos modos gerais de vibrar da estrutura (Teste experimental 1 e

dados do modelo ajustado – Ponto 0).

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5

Fre

qu

ên

cia

[Hz]

Índice das amostras

Comparação dos resultados das frequências naturais

Frequências Naturais doModelo Ajustado

Frequências Naturais doModelo Original

Frequências ObtidasExperimentalmente

47

Figura 30 – Desvio em valor absoluto entre as frequências naturais dos modos gerais de vibrar da estrutura (Teste

experimental 1 e dados do modelo ajustado – Ponto 0).

Figura 31 – Comparação do desvio em valor relativo para as frequências naturais dos modos gerais de vibrar da

estrutura, para o modelo original e do modelo ajustado – Ponto 0.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5

De

svio

(H

z)


Desvio dos resultados do modelo ajustado em relação aos resultados experimentais

Desvio do Modelo Ajustado

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5

De

svio

(%

)


Comparação dos desvios dos modelo original e ajustado

Desvio doModelo Ajustado

Desvio doModelo Original

48

Figura 32 - Erro entre os valores das frequências naturais dos modos gerais de vibrar da estrutura para o modelo

numérico ajustado e os valores experimentais.

Os resultados da Tab. 11 levam a seguinte equação de reta de tendência 𝑦 = 1,0859𝑥 +

(−9,704), com coeficiente de linearidade 𝑅2 = 0,9955 em contraste com 𝑦 = 0,793𝑥 +

6,7463 e 𝑅2 = 0,9953 apresentado pela seção 7.2.1.

8.3. Comparação dos modos de vibrar

Através da plataforma de análises dinâmicas (Modelo PULSE Reflex™, tipo 7765,

fabricado pela Brüel & Kjær), foi possível obter as formas de vibrar experimentais da

empenagem analisada. Neste caso, é necessário fazer uma correlação entre as geometrias

apresentadas pela Fig. 33 e Fig. 35 com o modelo tridimensional apresentado pela Fig. 34 e Fig.

36, respectivamente.

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250 300

Fre

qu

ên

cia

Re

sult

ado

Exp

eri

me

nta

l [H

z]


Comparação entre as retas de tendência do modelo original e o modelo ajustado (Ponto 0)

Pontos dedistribuição:

Modelo Ajustado

Pontos dedistribuição:

Modelo Original

Linear (Pontos dedistribuição:

Modelo Ajustado)

Linear (Pontos dedistribuição:

Modelo Original)

49

Figura 33 – Primeiro modo de vibrar obtido experimentalmente: frequência de 105Hz.

Figura 34 - Primeiro Modo de Vibrar obtido analiticamente: frequência 113,0 Hz.

Figura 35 - Segundo modo de vibrar obtido experimentalmente: frequência de 162Hz.

50

Figura 36 - Segundo Modo de Vibrar obtido analiticamente: frequência 168,9 Hz.

Figura 37 - Terceiro modo de vibrar obtido experimentalmente: frequência de 220Hz.

Figura 38 - Terceiro Modo de Vibrar obtido analiticamente: frequência 215,8 Hz.

51

8.4.Discussões dos resultados finais

A resposta em frequência do modelo em elementos finitos ajustado, representada pela Fig.

28, mostra que, em comparação à função resposta em frequência da estrutural real obtida

experimentalmente e representada pela Fig. 21, tem-se que o desvio entre o comportamento dos

gráficos ficou menor que os resultados iniciais (Fig. 22).

Em relação à comparação das frequências naturais, os desvios do modelo original e do

modelo ajustado em relação aos dados experimentais são mostrados pelas Fig. 29, 30 e 31.

Através da Fig. 30 pode-se notar que há um maior desvio em valores absolutos para a segunda

frequência natural. Esse comportamento reflete no deslocamento do segundo pico da FRF do

modelo em elementos finitos em relação à FRF experimental. Considerando Fig. 32 tem-se que o

coeficiente angular da reta de tendência do modelo ajustado é mais próximo do valor unitário e o

coeficiente linear possui valor de mesma grandeza em módulo, o que nos leva a afirmar que o

modelo ajustado fornece resultados mais coerentes com os resultados experimentais. Outro

parâmetro a se analisar é o coeficiente de linearidade da reta de tendência do modelo ajustado,

que se manteve com um valor alto e acima de 0,99, validando as propriedades da malha e das

condições de contorno como é demonstrado na seção 4.2.

Através das alterações realizadas e evidenciadas pela seção 8.1, chegou-se a um modelo

mais representativo do sistema experimental. Após o ajuste do modelo, tem-se um erro médio dos

desvios, é de 4,53% em percentagem e de 18,4 Hz em valor absoluto.

Em relação aos modos de vibrar, considerando a limitação da quantidade de pontos de

aquisição do teste experimental que produziu uma malha pouco refinada, e a aquisição da

aceleração em apenas uma direção, pode-se considerar que os resultados indiquem uma

convergência dos modos de vibrar em relação aos resultados do modelo analítico. Por outro lado

tais resultados não podem ser considerados conclusivos visto que o número de pontos de

aquisição durante teste experimental não criou uma malha suficientemente refinada para uma

conclusão mais acertada.

A partir dos resultados finais obtidos, pode-se sugerir, para melhores resultados, uma

análise experimental com mais pontos de aquisição e a comparação dos modos de vibrar usando

técnicas numéricas como a utilização do Modal Scale Factor, o que pode gerar resultados mais

conclusivos em relação à compatibilidade dos modos de vibrar. A validação da massa e do centro

de gravidade do modelo em elementos finitos, juntamente com uma investigação das causas que

52

levaram a uma maior divergência do valor da frequência natural do segundo modo de vibrar e da

determinação do desvio máximo admissível pela autoridade aeronáutica para modelos

representativos da estrutura e a simplificação do modelo em elementos finitos, com a adição de

elementos rígidos no lugar de nervuras com o intuito de diminuir a resposta de modos locais de

vibrar na resposta dinâmica do modelo podem ser outros pontos que contribuiriam para os

resultados finais deste trabalho.

53

9. Considerações Finais

A técnica de simulação de uma estrutura através do método de elementos finitos é

consagrada e de larga aplicação da indústria. Porém, para a validação de um modelo numérico

que utiliza esta técnica de análise e possui geometria complexa, muitas vezes, é necessária a

comparação de resultados experimentais. Este trabalho evidenciou esta realidade, através do

estudo de caso de uma estrutura aeronáutica. Através deste trabalho, notou-se a importância de se

adotar as corretas propriedades e condições de contorno nos modelos, tanto da análise numérica

em elementos finitos quanto da análise experimental. Notou-se também a importância da

coerência das condições de contorno entre os dois tipos de análise para que a comparação dos

resultados possa ser feita e para que haja a validação do modelo numérico. Outra conclusão é que

a hipótese de ignorar a junção por rebites das placas da estrutura, considerando duas placas

rebitadas como um único elemento é válido. Por fim, através da alteração da espessura de dois

elementos (dos 36 elementos que compõe o modelo), do aumento do valor da massa específica e

da diminuição do módulo de elasticidade e de tensão cisalhante, através da alteração dentro da

realidade dos parâmetros da estrutura real, chegou-se num modelo mais representativo

experimentalmente.

54

Bibliografia

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21 Emenda 02. Brasília: Agência Nacional da Aviação Civil, 2010.

AGÊNCIA NACIONAL DA AVIAÇÃO CIVIL, BRASIL. REGULAMENTO BRASILEIRO DA AVIAÇÃO CIVIL - RBAC

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56

Anexo 1: Propriedades do Alumínio 2024 T3.

Figura 39 - Propriedades das folhas de alumínio 2024 T3 dadas em unidades do sistema internacional em função de

sua espessura. Fonte: (DEPARTMENT OF DEFENS E USA, 2003)

57

Anexo 2: Resultados Experimentais (Teste 1 - Ponto 0)

Figura 40 - Espectro de frequência da força aplicada no ensaio com a referente amplitude.

Figura 41 - Função resposta em frequência.

Figura 42 - Diagrama de fase do sinal.

58

Figura 43 - Coerência dos resultados obtidos em função da frequência de análise.

59

Anexo 3: Dados operacionais dos equipamentos utilizados

Tabela 12 - Parâmetros de operação do shaker utilizado para os testes experimentais.

Parâmetro Especificação

Taxa da Força de Excitação

Força Senoidal 7 lbf pk (31 N pk)

Força Randômica

5 lbf pk (22 N pk)

Força de

Impacto

15 lbf pk (67 N pk), pulso de

11 ms

Deslocamento Máximo 0.5'' pk-pk (13mm pk-pk), contínuo

Velocidade Máxima de Deslocamento 95 polegadas por segundo pk (2m/s)

Aceleração Máxima de Deslocamento (sem Carga)

70 g pk (628 m/s²), acionado

120 g pk (1177 m/s²), em ressonância

190 g pk (1863 m/s²), pulse de Impacto

Faixa de Frequência Operacional DC-9 khz,

Tabela 13 - Parâmetros de operação do acelerômetro utilizado para os testes experimentais.

Acelerômetro Brüel & Kjær, Modelo Tipo 4371

Faixa de Frequência 0.1 – 12600

Hz

Temperatura -74 – 250 C

Peso 11 gram

Sensibilidade 9.8 mV/g

Nível de carga máximo 6000 g

Conector elétrico 10-32 UNF

Montagem 10-32 UNF

Saída Charge-PE

Triaxial No

Frequência de Ressonância 38,2 kHz

Maximum Shock Level 20000 g

Tabela 14 - Parâmetros de operação da célula de carga utilizada para os testes experimentais.

Célula de Carga PCB Piezotronics. Modelo 208C02

Faixa de Medição 100 lb (0.4448 kN)

Sensibilidade (±15%) 50 mV/lb (11241 mV/kN)

Mínima frequência de operação (-5%) 0.001 Hz

Máxima frequência de operação 36000 Hz

Faixa de temperatura para operação -65 to +250 °F (-54 to +121 °C)

tcc_gabriel estêvão de morais rodrigues - temporário

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