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universidade federal do para
campus de maraba
faculdade de engenharia de minas e meio ambiente
MANOEL FERREIRA NUNES
MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE
EXTRACAO MINERAL
MARABA
2013
MANOEL FERREIRA NUNES
MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE
EXTRACAO MINERAL
Trabalho de Conclucao de Curso apresentado a Fa-
culdade de engenharia de minas e meio ambiente
da Universidade Federal do Para - UFPA, como
requisito para a obtencao parcial do grau de Ba-
charel em engenharia de minas e meio ambiente.
Orientador: Profo. Dr. Reginaldo Saboia de Paiva
Profo. da FEMMA - UFPA
MARABA
2013
Dados Internacionais de Catalogacao-na-Publicao (CIP)
Biblioteca II do CAMAR/UFPA, Maraba, PA - Brasil
NUNES, MANOEL
MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE EXTRACAO
MINERAL / MANOEL NUNES - 2013
45.p; orientador; Reginaldo Saboia de Paiva
Trabalho de Concluscao de Curso (Graduacao) - Universidade Fe-
deral do Para, Campus Universitario de Maraba, Faculdade de En-
genharia de Minas e Meio Ambiente, Maraba, 2013.
Metalurgia Extrativa. I.Tıtulo.
CDD xxxxxxxxxxxxxx
MANOEL FERREIRA NUNES
MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE
EXTRACAO MINERAL
Trabalho de Conclucao de Curso apresentado a Fa-
culdade de engenharia de minas e meio ambiente
da Universidade Federal do Para - UFPA, como
requisito para a obtencao parcial do grau de Ba-
charel em engenharia de minas e meio ambiente.
Aprovado em / /
Conceito
BANCA EXAMINADORA
Profo. Dr. Reginaldo Saboia de Paiva
Profo. da FEMMA - UFPA
Profo. Dr. Evaldiney Monteiro
Profo. da FEMMA - UFPA
Profo. Dr. Denilson da Silva Costa
Profo. da FEMMA - UFPA
Ao meu pai, que a sua maneira sempre torceu
pelo sucesso de cada um de seus filhos.
A minha mae e aos meus irmaos, pelo compa-
nheirismo em todos os momentos.
Resumo
O cobre e um dos metais mais importantes industrialmente, e utilizado principalmente
na producao de materiais condutores de eletricidade, e em ligas metalicas como latao e
bronze. 60% das jazidas da Provıncia Mineral de Carajas sao de cobre oxidado. Na regiao
esse minerio e considerado resıduo da exploracao, devido seu baixo teor e elevado custo de
extracao que o tornam economicamente inviavel, ele e descartado em pilhas de rejeitos.
A hidrometalurgia, em particular a lixiviacao e atualmente considerada uma alternativa
no processo de extracao de cobre a partir de minerios de baixo teor. Considerando os
elevados custos com reagentes e a dificuldade de processamento desse minerio por flotacao,
a lixiviacao em colunas de extracao mineral torna-se uma alternativa para a extracao de
cobre a partir de minerios de baixo teor, sua principal vantagem e o baixo custo de
capital e de operacao. Porem, necessita-se que o minerio seja previamente aglomerado,
essa aglomeracao, alem de propiciar um leito suficientemente poroso potencializa a acao do
fluido lixiviante atraves do maior tempo de contato solido-lıquido na coluna de extracao, e
mitiga a acao das partıculas finas que afetam a permeabilidade da coluna. A modelagem
matematica e uma poderosa ferramenta a ser utilizada no controle de vazao da coluna
de extracao mineral. Num processo de modelagem varios ramos do Calculo Diferencial
e Integral podem e devem ser utilizados para que se atinja o objetivo desejado. Nao se
deve desvalorizar a mais simples proposicao, nem tao pouco supervalorizar os conteudos
ditos intelectualmente mais elaborados. Porem, ressalta-se que a Transformada Inversa
de Laplace foi fundamental para a modelo proposto neste trabalho.
Palavras-chaves: modelagem; coluna de extracao; cobre oxidado; transformada Inversa
de Laplace.
Abstract
Keywords: Sets, functions.
Agradecimentos
Mais do que a todos os outros, agradeco a Deus por ter me permitido chegar ao
fim desta etapa da minha vida.
Agradeco tambem aos meus pais e irmaos por terem sempre e invariavelmente me incen-
tivado a perseverar nos estudos, ainda que muitas vezes desanimado.
Expresso minha gratidao aos colegas de curso, tambem agradeco a todos os professores da
Faculdade de Engenharia de Minas e Meio Ambiente. Em especial ao professor Reginaldo
Saboia, por sua inestimavel colaboracao, e ao professor Kidelmar, por nao desanimar
diante da inercia dos alunos.
“Lembra que o sono e sagrado e alimenta
de horizontes o tempo acordado de vi-
ver”.
Beto Guedes (Amor de Indio)
Sumario
Lista de Figuras 8
1 Introducao 9
2 Introducao aos Modelos Matematicos 11
2.1 Conceito de Modelo Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Modelos Mecanısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Modelos Empıricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Filtracao 16
3.1 Equacao da Filtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Escoamentos 21
4.1 Escoamento em Leito Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Escoamento em Regime Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Escoamento em Regime Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Balanco Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5 Transformadas de Laplace 29
5.0.1 Transformada de Laplace Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Metodologia e Modelo 33
6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Resultados e Discussoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7 conclusao 43
Referencias Bibliograficas 44
Lista de Figuras
3.1 V experimental em varios tempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.1 Leito fixo ou coluna de recheio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Queda de pressao no escoamento atraves de leitos compactos . . . . . . . . 26
5.1 funcao Degrau de Heaviside ou funcao degrau unitario . . . . . . . . . . . 31
6.1 funcao passo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Domınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.3 Curva Transladada (Aglomerado + Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Curva Transladada (Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.5 Curva Transladada (Aglomerado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.6 Curva ajustada (Aglomerado + Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.7 Curva ajustada (Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.8 Curva ajustada (Aglomerado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9
1 Introducao
O cobre e um dos metais mais importantes industrialmente, de coloracao aver-
melhada, ductil, maleavel e que apresenta alta condutibilidade eletrica e termica, ponto
de fusao a 1083 ◦C e densidade correspondente a 8, 96g/cm3(a 20◦C). E utilizado, atu-
almente, para a producao de materiais condutores de eletricidade (fios e cabos), e em
ligas metalicas como latao e bronze. Entre as suas propriedades mecanicas destacam-se
sua excepcional capacidade de deformacao e ductibilidade. A flexibilidade do uso e alto
ındice de recuperacao ao final do seu ciclo de vida lhe conferem superioridade em relacao
a materiais similares e sao responsaveis pela sua larga utilizacao.
A Provıncia Mineral de Carajas possui um grande potencial para produzir cobre.
Diversas jazidas foram descobertas como Sossego, Alvo 118, Salobo, Alemao, Pojuca,
Serra Verde, Cristalino e Aguas Claras. Alguns concentrados de cobre presentes nesses
depositos possuem caracterısticas mais favoraveis a processos hidrometalurgicos, como e
o caso do minerio oxidado, presente em cerca de 60 % das jazidas existentes na Serra
dos Carajas. Atualmente, porem este cobre alterado e considerado resıduo da exploracao,
pois devido o seu baixo teor o custo de sua extracao e pouco eficiente e economicamente
inviavel, sendo atualmente descartado em pilhas de rejeito. A hidrometalurgia tem a
vantagem de necessitar de pequenos investimentos e ter baixo custo de operacao, quando
comparada com a pirometalurgia, alem de reduzir os impactos ambientais provenientes
das descargas de SO2 na atmosfera. Frente as vantagens dos processos hidrometalurgicos
e ao desafio de pesquisar condicoes favoraveis para a recuperacao do cobre oxidado via
lixiviacao tendo em vista a grande utilidade deste mineral e a esgotabilidade das jazidas
de minerios, torna-se fundamental o desenvolvimento de pesquisas e tecnologias mais
competitivas, a fim de utilizar-se este cobre como materia-prima no mercado nacional e
internacional de metais.
O objetivo central deste trabalho e propor um modelo matematico capaz de prever
a altura otima do fluido na coluna de lixiviacao. Desta maneira e possıvel estimar o tempo
de contato entre o agente lixiviante e o minerio. Logo, e possıvel controlar o tempo de
residencia suficiente para saturar o meio fluido criando uma vazao de entrada e saıda.
1 Introducao 10
Assim, pretende-se avancar nos estudo da lixiviacao do minerio de cobre com solucoes
de acido sulfurico (H2SO4), com proposito contribuir para a otimizacao do processo de
lixiviacao em colunas.
Com relacao a organizacao deste Trabalho de Conclusao de Curso TCC, optou-
se por uma distribuicao e organizacao de conteudos relevantes ao desenvolvimento do
trabalho na ordem a seguir. A introducao comeca abordando a importancia do cobre
para o uso industrial, destacando o grande potencial produtivo da Provıncia Mineral de
Carajas, e sua tendencia futura de producao de cobre via processos hidrometalurgicos
para o minerio de cobre oxidado.
No capıtulo 2 desenvolveu-se uma breve introducao aos modelos matematicos, no
qual destaca-se os modelos empıricos e os modelos mecanısticos. Esses dois metodos de
modelos muitas vezes fara parte da pratica do modelador, de modo que ele fara progresso
com qualquer dos metodos ou com ambos. O capıtulo 3 fala sucintamente da filtracao,
o tema e desenvolvido ate se obter uma equacao para a filtracao. Na parte de escoa-
mentos, no 4o capıtulo, foca-se em escoamentos em leito fixo, descrevendo escoamento
em regime laminar e em regime turbulento. O balanco material, tema imprescindıvel
para os objetivos desse trabalho e abordado no fim do capıtulo. A Transformada de
Laplace e aborda na sequencia, procurou-se nao aprofundar em carregado formalismo e
demonstracoes matematicas. Optou-se apenas pelos teoremas e definicoes essenciais a
apresentacao da Transformada Inversa de Laplace. Na metodologia e modelo, capıtulo
6, desenvolveu-se o modelo de equacao proposto no inıcio do trabalho, sua aplicacao, e a
analise dos resultados. Finalmente, na sequencia, a conclusao fecha o trabalho.
11
2 Introducao aos Modelos Matematicos
Modelos matematicos sao utilizados em muitos campos da atividade humana,
como: Engenharia, Matematica, Economia, Fısica, Quımica, Biologia, Psicologia, Co-
municacao, Demografia, Astronomia, etc. Sao largamente utilizados na representacao de
sistemas dinamicos e estaticos.
Um sistema e uma combinacao de componentes que atuam em conjunto para satis-
fazer um objetivo especificado. O sistema e dito estatico, quando a saıda atual do sistema
depende somente da entrada atual. A saıda do sistema so varia se a sua entrada variar.
O sistema e dito dinamico, se a sua saıda depende da entrada e dos valores passados
da entrada. Num sistema dinamico a saıda varia se ela nao estiver num ponto de equilıbrio,
mesmo que nenhuma entrada esteja sendo aplicada.
O modelo matematico de um sistema dinamico e definido como sendo o conjunto
de equacoes que representam a dinamica do sistema com certa precisao. O modelo ma-
tematico de um dado sistema nao e unico, isto e, um sistema pode ser representado por
diferentes modelos dependendo da analise que se deseja fazer.
Na obtencao do modelo matematico para um dado sistema deve-se ter um com-
promisso entre a simplicidade do modelo e a sua precisao. Nenhum modelo matematico,
por mais preciso que seja, consegue representar completamente um sistema [9].
Em geral deve-se obter um modelo matematico, que seja adequado para solucionar
o problema especıfico que esta em analise. Porem, e importante ressaltar que os resulta-
dos obtidos desta analise serao validos somente para os casos em que o modelo e valido.
Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos al-
gumas propriedades fısicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam
na resposta do sistema sao pequenos, entao uma boa semelhanca entre os resultados da
analise matematica e os resultados praticos do sistema e obtida [9].
Em geral os sistemas dinamicos sao nao lineares. Porem, os procedimentos ma-
tematicos para a obtencao de solucao de modelos lineares sao muito complicados. Por
2.1 Conceito de Modelo Matematico 12
isto, geralmente substituı-se o modelo nao linear por um modelo linear, com validade
somente em uma regiao limitada de operacao, ou para um ponto de operacao.
Muitos problemas praticos necessitam usar modelos matematicos e as vezes, as
situacoes sao muito diferentes, mas a abordagem e a filosofia subjacentes sao as mesmas.
Como se ve em [2], existe uma forma matematica unificada para tratar muitas
teorias cientıficas e matematicas e tais tecnicas podem ser descritas como uma dinamica
geral, que tem sido desenvolvida em areas conhecidas como Teoria de Sistemas e Teoria
de Controle, como e o caso do Calculo Diferencial e Equacoes Diferenciais.
2.1 Conceito de Modelo Matematico
Conceitualmente, um modelo matematico ou simplesmente modelo, pode ser apre-
sentado como uma representacao de um sistema real, o que significa que um modelo deve
representar um sistema e a forma como ocorrem as modificacoes no mesmo.
O objetivo mais importante de um modelo e que ele permite o entender do proprio
modelo de uma forma simples ou entao descrever este modelo mais completamente, de
modo que o modelo possa ser tao preciso quanto o mundo real.
Um modelo e normalmente uma simplificacao do mundo real ou alguma forma
conveniente de trabalhar com este mundo, mas as caracterısticas essenciais do mundo real
devem aparecer no modelo, de modo que o seu comportamento seja igual ou semelhante
aquele do sistema modelado.
Um modelo matematico consiste de um conjunto de equacoes que representam de
uma forma quantitativa, as hipoteses que foram usadas na construcao do modelo, as quais
se apoiam sobre o sistema real. Tais equacoes sao resolvidas em funcao de alguns valores
conhecidos ou previstos pelo modelo real e podem ser testadas atraves da comparacao
com os dados conhecidos ou previstos com as medidas realizadas no mundo real.
As equacoes matematicas de um modelo nao proporcionam a propria explicacao
cientıfica do modelo, mas simplesmente interpretam as hipoteses de um ponto de vista
quantitativo, dando-nos a condicao de deduzir consequencias e mostrar-nos onde estao os
detalhes que deverao ser aceitos ou recusados [4].
2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos 13
2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos
Existem pelo menos duas abordagens diferentes para o uso de modelos em pes-
quisa, sendo que cada uma delas e escolhida em funcao do que se espera que o modelo
seja: mecanıstico ou empırico. E importante ressaltar que deveremos estar advertido so-
bre os objetivos do modelo, de modo que estes sejam realısticos e isto podera salvar-nos de
comprometer-se com modelagem quando o modelo nao estiver apropriado, ou quando es-
tiver construindo uma classe errada de modelos [9]. Os dois tipos de modelos: mecanıstico
ou empırico serao considerados na sequencia.
2.2.1 Modelos Mecanısticos
Se desejarmos entender a resposta de um sistema cientıfico em termos de um meca-
nismo, um modelo mecanıstico devera ser usado. Este tipo de modelo pode ser construıdo
pela visao da estrutura do sistema, dividindo-se o sistema em varias componentes e ten-
tando entender o comportamento de todo o sistema atraves de cada parte e atraves das
interacoes que ocorrem com as partes.
Ao tentar construir um modelo mecanıstico, e necessario construir algumas hipoteses
sobre quais devem ser as componentes (tambem conhecidas como variaveis) que sao im-
portantes no sistema, quais delas devem ser ignoradas e como elas devem se comportar.
Estas hipoteses sao a base deste tipo de modelo.
A seguir, o modelo deve ser descrito matematicamente e as hipoteses deverao
aparecer nas equacoes.
Os dois passos mais importantes na construcao desses modelos, sao: construcao das
hipoteses e descricao matematica. Estes devem assumir que determinadas componentes
devem obedecer a determinadas equacoes. Estas duas etapas no processo de modelagem
mecanıstica, fornecem o conteudo real do modelo.
Finalmente, as equacoes devem ser resolvidas e as solucoes, que poderao ser funcoes
ou numeros, serao as previsoes dos dados atraves do modelo.
Os proximos passos analisam a solucao, comparando-a com os valores previstos
com os dados experimentais. Nesta fase gastamos muito tempo e cometemos erros.
2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos 14
Quando um modelo e testado pela comparacao de suas previsoes com os dados
experimentais, na verdade, testamos tambem as hipoteses do modelo, considerando que
os trabalhos algebricos e numericos tenham sido executados sem erros.
2.2.2 Modelos Empıricos
E possıvel e as vezes valioso tentar obter e entender a resposta de um sistema sem
passar pelos estagios de estruturar um sistema, fazendo hipoteses sobre as componentes
do sistema e entao tentando trabalhar sem usar as consequencias matematicas daquelas
hipoteses.
Em sıntese, o metodo empırico consiste em ver os dados experimentais, possivel-
mente fazendo alguma analise dos dados e tentando fazer alguma suposicao inteligente
(quase sempre muito simples) na forma de conjunto de equacoes ou mesmo atraves de
explicacoes intuitivas, que poderao ser usadas como um modelo matematico e com os
dados de uma forma conveniente.
Embora este metodo pareca pobre e arbitrario, em alguns casos ele e desejavel,
quando nao e o unico a ser usado para atacar o problema.
Se uma resposta excelente for obtida com dados experimentais atraves da aborda-
gem empırica, entao ela pode ser supervalorizada para um mecanismo que pode levantar
aquele tipo de resposta desejada, e isto tem sido realizado de uma forma normal pelos
cientistas, ao fazer deducoes sobre mecanismos de dados experimentais [9].
O modelador mecanıstico construira seus modelos antes de fazer os experimentos,
pensando sobre os possıveis mecanismos e deducoes das suas consequencias por meio do
modelo, o experimento testara as suas hipoteses e possivelmente definira um mecanismo
ao inves de outro.
No entanto, pensando sobre o mecanismo construıdo na mente do modelador, ele e
guiado pela existencia de dados e o conhecimento para este mecanismo, pode ser aplicado
para a sua propria combinacao do uso empırico e da sua intuicao.
Por outro lado, o modelador empırico pode fazer pressupor a existencia de um
mecanismo apos fazer o experimento e ver os dados, assim, ela comeca uma investigacao
como um empırico e a termina como um mecanicista.
2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos 15
Na pratica, o modelador fica se movendo como um pendulo entre os dois metodos
de modelos: mecanıstico e empırico, de modo que ele devera fazer progresso com qualquer
um dos dois metodos e possivelmente com os dois, de modo a obter resultado desejado.
16
3 Filtracao
A filtracao e uma das aplicacoes mais comuns do escoamento de fluidos atraves
de leitos compactos. A operacao industrial e analoga as filtracoes realizadas em um
laboratorio, que utilizam papel de filtro e funil. E uma operacao que pode ser denominada
como a separacao de partıculas solidas presente em um fluido atravessando um meio
filtrante onde os solidos se depositam. O fluido (um lıquido ou um gas ) circula atraves
do meio filtrante em virtude de uma diferenca de pressao no meio.
O processo unitario filtracao consiste na separacao de uma fase solida de uma fase
liquida. Basicamente, uma operacao de separacao de solidos presentes em uma polpa na
qual a fase lıquida chamado filtrado, e compelida a passar atraves de um meio poroso,
este denominado meio filtrante, ao passo que a fase solida, nomeada torta de filtracao,
firma uma camada sobre a superfıcie do meio poroso. O objetivo da operacao e separar
mecanicamente as partıculas solidas de uma suspensao lıquida com o auxılio de um leito
poroso.
Quando se forca a suspensao atraves do leito, o solido da suspensao fica retido
sobre o meio filtrante, formando um deposito que se denomina torta e cuja espessura vai
aumentando no decorrer da operacao. O lıquido que passa atraves do leito e chamado de
filtrado.
Em filtracoes industriais o conteudo de solidos pode variar de tracos a uma per-
centagem elevada. O fluido circula atraves do meio filtrante em virtude de uma diferenca
de pressao no meio. Este aspecto classifica os filtros como aqueles que operam com alta
pressao sobre o meio, os que operam em pressao atmosferica e os que operam a baixas
pressoes (vacuo). Pressoes acima da atmosferica podem ser conseguidas por acao da forca
da gravidade atuando sobre uma coluna de lıquido, por meio de bombas e compressores,
bem como pela acao da forca centrıfuga.
3.1 Equacao da Filtracao 17
3.1 Equacao da Filtracao
Na filtracao, a resistencia do meio ao fluxo do fluido aumenta com o passar do
tempo a medida que o meio filtrante vai sendo obstruıdo ou quando se forma uma torta.
As principais magnitudes de interesse sao a velocidade do fluxo atraves do filtro e a
queda de pressao na unidade. A medida que o processo ocorre, diminui a velocidade
do fluxo ou aumenta a queda de pressao. Na chamada filtracao a pressao constante,
a queda de pressao permanece constante e a velocidade do fluxo vai diminuindo com o
tempo. Menos frequente e o aumento progressivo da pressao para obter uma filtracao a
velocidade constante.
A partir desses fatores fundamentais obtem-se uma expressao envolvendo constan-
tes que podem ser determinadas experimentalmente. As equacoes de projeto sao desenvol-
vidas a partir de ensaios em escala reduzida. A velocidade de operacao e dada pela relacao:
V =FPR
(3.1)
com:
V = Velocidade
FP = Forca propulssora;
R =Resistencia.
A forca propulsora (FP ) e a soma da queda de pressao na torta e no meio fil-
trante. As resistencias (R), podem ser consideradas em serie e desta forma teremos uma
resistencia da torta e uma do meio filtrante. A resistencia da torta varia com o tempo
devido ao aumento de sua espessura e a resistencia do sistema (meio filtrante + canais do
filtro) permanece constante ao longo do processo. Para o equacionamento da equacao de
filtracao sera considerado o processo de filtracao com formacao de torta incompressıvel.
Para o Calculo de ∆P1 (resistencia da torta), iremos admitir fluxo unidimensional
e velocidade constante.dv
dx= 0 (3.2)
Considerando a Lei de Darcy para o escoamento de um fluido em um meio poroso
3.1 Equacao da Filtracao 18
e baseando-se principalmente na queda de pressao do sistema, temos:
dP1
dx=µ
kν (3.3)
Onde dP1 e a queda de pressao atraves da torta e k e a permeabilidade da torta.
Nestas condicoes a massa de solidos (dm) na camada da torta e:
dm = (1− ε)Adxρs (3.4)
Onde:
ρs = massa especifica dos solidos;
A = area;
ε = porosidade do meio poroso.
Rearranjando,
dx =dm
(1− ε)Aρs(3.5)
Substituindo 3.5 em 3.3 temos,
dP1 =1
kρs(1− ε)· µνAdm (3.6)
Consideremos α, a resistividade especıfica da torta (m/kg), se:
α =1
kρs(1− ε)(3.7)
Entao:
dP1 = αµν
Adm (3.8)
Integrando:
∆P1 = αµν
Am (3.9)
Analogamente, para ∆P2, (resistencia do sistema) temos:
dP2
dx=µ
kν (3.10)
Onde dP2 e a queda de pressao atraves do filtro
Integrando 3.10:
∆P2 =µν
kLm (3.11)
3.1 Equacao da Filtracao 19
onde Lm, espessura do meio filtrante e constante. Como,
Rm =Lmk
(3.12)
com Rm = resistencia do meio filtrante.
Logo,
∆P2 = µνRm (3.13)
A queda total de pressao (∆P ) e expressa pela equacao abaixo:
∆P = ∆P1 + ∆P2 (3.14)
Substituindo as equacoes 3.9 e 3.13 em 3.14 temos:
∆P = µν(αmA
+Rm
)(3.15)
Seja, cs = concentracao da suspensao, entao:
cs =m
ν=
massa de solidos na suspens~ao
volume de filtrado(3.16)
v =1
A· dVdt
(3.17)
Substituindo 3.16 e 3.17 em 3.15,
∆P =
(αcsV
A+Rm
)µ
1
A· dVdt
(3.18)
Rearranjando,obtemos a equacao fundamental da filtracao.
dV
dt=
µ
A∆P
(αcsV
A+Rm
)(3.19)
Considerando a filtracao com pressao constante podemos, separar os termos e
introduzir as constantes Kp e B desta forma:
dV
dt=
µcsα
A2∆PV +
µRm
A∆P= KpV +B (3.20)
Onde as unidades no SI para Kp sao s/m6 e para B s/m3.
Kp =µcsα
A2∆P(3.21)
3.1 Equacao da Filtracao 20
B =µRm
A∆P(3.22)
Para filtracao a pressao constante, α e constante (torta incompressıvel) e V e t sao
as unicas variaveis da equacao 3.20
Separando as variaveis em 3.20 e integrando:∫ t
0
dt =
∫ V
0
(KpV +B) dV (3.23)
t =Kp
2ν2 +BV (3.24)
Dividindo a equacao 3.24 por V temos:
t
V=Kp
2ν +B (3.25)
Para determinar os valores de α e Rm utilizamos a equacao 3.24. Com os dados
experimentais de V em varios tempos t, plota-se ∆t∆V∼= dt
dVversus V = V1+V2
2e ajusta-se
a melhor reta tal que Kp = tg(θ)
Figura 3.1: V experimental em varios tempos
Fonte: Elaborada pelo autor
21
4 Escoamentos
Baseados em diferentes criterios os escoamentos de fluidos podem ser classificados
em varios tipos. Pode-se ter, por exemplo, escoamentos estacionarios ou permanentes que
sao aqueles cujas grandezas como velocidade e pressao nao variam com o tempo. Caso
contrario, eles sao ditos transientes ou nao permanentes. Uma outra classificacao foi pro-
posta nos meados do seculo XIX, por Reynolds [5]. Ele verificou experimentalmente a
existencia de dois tipos de escoamentos, o laminar e o turbulento. Escoamento laminar
e idealizado como aquele no qual camadas muito finas, ou laminas, de fluido parecem
escorregar umas sobre as outras havendo somente troca de quantidade de movimento
molecular. Ja o escoamento turbulento e aquele no qual as partıculas de fluido individu-
ais apresentam um movimento desordenado, isto e, a velocidade apresenta componentes
transversais ao movimento geral do conjunto ao fluido. Neste ponto deve-se salientar que
laminar ou turbulento nao sao caracterısticas do fluido, mas um estado em que ele se
encontra devido as condicoes do escoamento.
A natureza de um escoamento, isto e, se laminar ou turbulento e sua posicao
relativa numa escala de turbulencia e indicada pelo numero de Reynolds (Re). O numero
de Reynolds, parametro adimensional, e a relacao entre as forcas inerciais (Fi) (devido a
velocidade) e as forcas viscosas (Fµ), podendo ser escrita como:
Re =
∑Fi∑Fµ
=ρLV
µ(4.1)
onde ρ e a densidade e µ a viscosidade do fluido. L e V sao comprimentos e velocidades
caracterısticas do escoamento, e dependem do problema em estudo. Para dutos circulares
de diametro D, temos:
Re =ρLD
µ(4.2)
A magnitude do numero de Reynolds indica a importancia para o escoamento das
forcas inerciais (Re > 10) e das forcas viscosas (Re < 1). Quando Re � 1, as forcas
viscosas sao importantes somente nas regioes adjacentes as superfıcies solidas, devido a
presenca da camada limite ( fina regiao ao redor da superfıcie de corpos em movimento
imersos em fluido na qual o gradiente de velocidade ∂ν∂t
normal a superfıcie do corpo e
4.1 Escoamento em Leito Fixo 22
significativo). De acordo com [1], nao e possıvel definir precisamente as faixas de numeros
de Reynolds que indicam se o escoamento e laminar, de transicao ou turbulento. Nos
projetos de engenharia os seguimtes valores sao apropriados: o escoamento num tubo e
laminar se o numero de Reynolds e menor que aproximadamente 2100; o escoamento e
turbulento se o numero de Reynolds e maior que 4000. Para numeros de Reynolds entre
estes dois limites, o escoamento pode apresentar alternadamente e de um modo aleatorio,
caracterısticas laminares e turbulentas (escoamento de transicao).
A forma do perfil de velocidade do escoamento num tubo depende se este e laminar
ou turbulento e tambem do comprimento da regiao de entrada le. O adimensional compri-
mento de entrada, le/D, tambem correlaciona-se muito bem com o numero de Reynolds.
Os valores tıpicos dos comprimentos de entrada sao dados por:
LeD
= 0.06Re (para escoamento laminar) (4.3)
LeD
= 4.4(Re)1/6 (para escoamento turbulento) (4.4)
4.1 Escoamento em Leito Fixo
O desenvolvimento de uma descricao analıtica para o escoamento de um fluido e
baseado nas leis fısicas relacionadas com o escoamento, expressas em forma matematica
adequada. As equacoes que descrevem o escoamento em um meio poroso ou em leito fixo
serao descritas a seguir.
O primeiro trabalho experimental de escoamento em meios porosos foi feito por
Darcy, em 1830, no qual constatou que para escoamentos laminares a taxa de fluxo e
proporcional a queda de pressao (∆P ) e inversamente proporcional a viscosidade (µ) e ao
comprimento (∆L).
ν′=q′
A=k
µ· ∆p
∆L(4.5)
onde ν′
e a velocidade superficial, µ a viscosidade do fluido e k a permeabilidade do
material. A equacao ajusta-se a baixas vazoes, entretanto a complexidade do escoamento
atraves de solidos particulados e a diversidade de situacoes praticas permitiu o uso de
relacoes previamente deduzidas para avaliar perdas por atrito em tubulacoes.
4.2 Escoamento em Regime Laminar 23
Figura 4.1: Leito fixo ou coluna de recheio
Fonte: UFSC - Depto. de Enga. Quımica - Adaptada
4.2 Escoamento em Regime Laminar
Para determinar as caracterısticas do escoamento em leitos empacotados usaremos
algumas relacoes geometricas relativas as partıculas que o compoe. A porosidade (ε) em
um leito empacotado e definida de acordo com a relacao:
ε = volume de vazios no leito /volume total do leito
A superfıcie especifica da partıcula (aν) em m−1 e definida como:
aν =SpVp
(4.6)
onde Sp e a area de superfıcie da partıcula em m2 e Vp o volume da partıcula em m3.
Para partıculas esfericas temos que:
aν =6
Dp
(4.7)
Considerando o diametro efetivo (Dp = 6/av) para leitos empacotados com partıculas
nao esfericas e que a fracao de volume das partıculas no leito e igual a (1− ε) temos:
a = aν · (1− ε)6
Dp
· (1− ε) (4.8)
onde a e a razao entre a superfıcie total do leito e o volume total do leito. A veloci-
dade intersticial media (ν) em m/s esta relacionada com a velocidade superficial ν′
que
considera a seccao transversal do leito sem o material de empacotamento.
ν′= ε · ν (4.9)
4.2 Escoamento em Regime Laminar 24
O raio hidraulico rH pode ser definido como a razao entre a area da secao trans-
versal disponıvel para o escoamento e o perımetro molhado.
rH = volume de vazios / volume do leitossuperfıcie molhada / volume do leito
rH = volume de vazios disponıvel para o escoamento
superfıcie total molhada dos solidos
rH =ε
a(4.10)
Combinando as equacoes 4.8 e 4.10:
rH =ε
6 (1− ε)Dp (4.11)
Uma vez que o diametro equivalente (D) e igual a 4× rH, o numero de Reynolds
para um leito empacotado, utilizando as equacoes 4.9 e 4.11, pode ser escrito como:
NRe =(4rH) νρ
µ=
4ε
6 (1− ε)Dp ·
ν′ · ρε · µ
=4
6 (1− ε)· Dpν
′ρ
µ(4.12)
Para leitos empacotados Ergun, em [7] definiu o NRe de acordo com a equacao
acima sem a fracao 4/6; logo.
NRe,p =Dpν
′ρ
µ (1− ε)(4.13)
Para escoamento laminar podemos combinar a equacao de Hagen- Poiseuille1 que
relaciona a queda de pressao com a velocidade media em tubos horizontais com as equacoes
4.11 e 4.9, desta forma:
∆P =32µν∆L
D2=
32µ(ν
′/ε)
∆L
(4rH)2 =72µν
′∆L (1− ε)2
ε3D2p
(4.14)
O valor correto de ∆L e maior devido ao percurso tortuoso, e o uso de raio
hidraulico prediz valores de ν′
maiores. Em [6] e [7], experimentos indicam uma cons-
tante cujo valor deve ser igual a 150, resultando na equacao de Blake-Kozeny para fluxo
laminar, onde a porosidade < 0, 5 e NRe,p, < 10; logo;
∆P =150µ · ν ′
∆L
D2p
· (1− ε)2
ε3(4.15)
1A equacao Q = πD4∆P/128µL foi derivada experimentalmente e independentemente pelo engenheiro
hidraulico alemao Heinrich Ludwig Hagen (1839) e pelo medico frances Jean Louis Marie Poiseuille (1838).
4.3 Escoamento em Regime Turbulento 25
Com:
∆P =queda de pressao no leito;
∆L =comprimento do leito;
ε = porosidade ou fracao de vazios;
µ = viscosidade do fluido;
ν′
= velocidade superficial do fluido;
Dp = diametro efetivo da partıcula.
4.3 Escoamento em Regime Turbulento
Para escoamento turbulento as perdas por energia cinetica podem ser calculadas a
partir da equacao deduzida para determinar a queda de pressao em tubos.
∆Pf = 4fρ∆Lν2
2D(4.16)
substituıdo as relacoes para a velocidade superficial e o raio hidraulico temos:
∆P = 1, 753f · ρ(ν
′)2 ·∆L · (1− ε)Dp · ε3
(4.17)
Considerando o escoamento turbulento o fator de friccao alcanca um valor cons-
tante. Dados experimentais indicam que 3f = 1, 75. Desta forma a equacao para escoa-
mento turbulento NRe > 1000, denominada equacao de Burke-Plummer, pode ser escrita
da seguinte forma.
∆P = 1, 75ρ(ν
′)2 ·∆L · (1− ε)Dp · ε3
(4.18)
A equacao semi-empırica de Ergun, valida para os regimes Laminar e Turbulento
e:∆P
∆L= 150
µν′ · (1− ε)2
D2p · ε
+ 1, 75ρ(ν
′)2 · (1− ε)Dp · ε3
(4.19)
O primeiro termo da equacao de Ergun e predominante para o regime laminar,
enquanto que o segundo tem maior importancia para valores mais elevados de Reynolds,
devido ao termo quadratico de velocidade superficial.
4.3 Escoamento em Regime Turbulento 26
De maneira geral, pode-se descrever o comportamento de um Leito Fixo ajustando-
se a forma da equacao abaixo aos dados experimentais.
∆P
∆L= α1ν
′+ α2(ν
′)n (4.20)
Figura 4.2: Queda de pressao no escoamento atraves de leitos compactos
Fonte: Foust, A. S. - Princıpio de Operacoes Unitarias, pg.565
A figura 4.2 mostra a curva interpolatriz que se obtem plotando-se os dados expe-
rimentais provenientes de varias fontes com a coordenada [(−∆P )gcDp/LρVsm2 ][ε3(1−ε)]
em funcao do numero de NRe/(1− ε), ref. [5].
Existem tres variaveis muito utilizadas em relacao ao escoamento de um fluido que
por conveniencia iremos definir agora. A primeira e a vazao, que representa o volume de
fluido que atravessa uma secao reta por unidade de tempo.
Q =dV
dt= Aν (4.21)
onde ν e a velocidade, em m/s, e A e a area, em m2. A segunda e a vazao massica, ou
descarga, que e a quantidade de massa de fluido que cruza uma secao reta por unidade
de tempo.
Qm =dm
dt= ρνA (4.22)
onde ρ e a massa especıfica, em kg/m3. E por ultimo, o fluxo que representa a quantidade
de uma grandeza fısica que cruza uma dada area por unidade de tempo.
4.4 Balanco Material 27
4.4 Balanco Material
Na sua forma mais simples, o balanco de massa ou balanco material nada mais e
que a contagem das unidades de massa envolvidas. A lei da conservacao da massa afirma
que a massa total de todas as substancias que tomam parte num processo se mantem
constante. Embora existam excecoes a essa lei em reacoes e processos nucleares, a lei e
valida para os objetivos da engenharia [5]. Verbalmente escrevemos:
Entrada de massa− saıda de massa = acumulac~ao de massa (4.23)
Desta equacao uma outra pode ser implementada atraves de um balanco diferencial,
que e aplicavel em um determinado instante do Processo. Supondo o componente A
(acumulacao de massa) envolvido em um processo e considerando qe, (kg/s) e qs (kg/s) as
taxas de entrada e saıda do componente atraves dos limites do sistema, podemos assumir
que as variaveis qe, e qs, podem variar com o tempo.
Podemos entao escrever o balanco para um perıodo de tempo variando de t ate
t+ ∆t, supondo uma pequena variacao de ∆t onde as quantidades de qe, e qs, podem ser
consideradas constantes. Desta forma os termos do balanco podem ser calculados:
entra = qe(kg/s) ·∆t(s) (4.24)
sai = qs(kg/s) ·∆t(s) (4.25)
Podemos supor tambem que a massa de A no sistema muda em uma quantidade
∆m (kg), desta forma a equacao de balanco pode ser escrita como:
∆m = (qe − qs)∆t (4.26)
Dividindo a equacao por ∆t e aproximando-o de zero, temos que a razao ∆m/∆t
se torna a derivada de m com relacao a t (dm/dt) logo, a equacao pode ser escrita como:
dm
dt= qe − qs (4.27)
Nesta equacao geral de balanco m e a parcela da quantidade balanceada no sistema
e os dois termos a direita na equacao sao taxas que podem variar com o tempo. Quando
a densidade for constante o termo de acumulacao pode escrito da seguinte forma:
A(Acumulo) =dm
dt=d(ρV )
dt= ρ
dV
dt(4.28)
4.4 Balanco Material 28
A equacao aplicada a um sistema contınuo em estado estacionario determina que
m seja constante indicando que a derivada e igual a zero, logo:
E − S = Ac (4.29)
Entretanto, se qualquer termo varia com o tempo, a derivada ao lado esquerdo
da equacao permanece como parte da equacao. Logo a equacao de balanco para um
sistema em estado nao estacionario a um determinado instante de tempo sera uma equacao
diferencial.
29
5 Transformadas de Laplace
A transformada de Laplace e um metodo de resolucao de equacoes diferenciais e dos
correspondes problemas de valor inicial e de contorno. Ela e importante para o controle
automatico porque os modelos matematicos dos sistemas fısicos que se deseja controlar
sao, em geral, descritos por equacoes diferenciais. A aplicacao da transformada de Laplace
permite prever o que deve acontecer no futuro de um sistema, o que e fundamental para
o controle deste sistema. Em outras palavras, pode prever qual sera a resposta de um
sistema a uma entrada conhecida. Nas situacoes de Engenharia e essencial a analise
desses sistemas e a determinacao de seu comportamento em resposta a certas excitacoes
iniciais (condicoes iniciais). Dessa forma e possıvel visualizar e descrever o comportamento
dinamico de sistemas em termos de sinais e suas interrelacoes com as operacoes executadas
no sistema.
Em alguns casos, o modelo matematico, constituıdo de equacoes diferenciais, de um
sistema dinamico, pode ser transformado num modelo de equacoes algebricas, por meio
de transformadas funcionais Essas transformadas funcionais sao definidas por funcoes
convenientemente definidas.
Quando o modelo matematico de um fenomeno e constituıdo de equacoes diferen-
ciais onde o tempo e uma variavel independente, existe uma transformada funcional que
transforma o modelo em equacoes diferenciais num modelo em equacoes algebricas. Essa
transformada funcional e chamada de Transformada de Laplace.
Definicao 5.0.1 (A transformada de Laplace). Dada uma funcao f(t) definida para todo
t ≥ 0, a transformada de Laplace de f e a funcao F de s definida como segue:
L {(f)} = F (s) =
∫ ∞0
e−stf(t)dt (5.1)
para todos os valores de s para os quais a integral impropria converge.
Assim a transformada de Laplace transforma uma funcao f de variavel indepen-
dente t, numa outra funcao, que denotaremos F , de variavel independente s. E comum
incluir o zero no intervalo de integracao, isto e, quando o limite a direita e a esquerda de
5 Transformadas de Laplace 30
zero sao diferentes, usa-se o valor a esquerda para incluir os fatos que ocorrem quando
t = 0.
Teorema 5.0.1 (Linearidade da Transformacao de Laplace). 1 Se a e b sao constantes,
entao
L {af(t) + bg(t)} = aL {f(t)}+ bL {g(t)} (5.2)
para todo s tal que as transformadas de Laplace das funcoes f e g ambas existem.
O teorema 5.0.1 e particularmente importante na justificativa do uso da transfor-
mada de Laplace no processo de modelagem desenvolvido no proximo capıtulo.
Se f e contınua por partes para t ≥ 0, segue-se que a∫ b
0e−stf(t)dt existe para todo
b < ∞. Mas para que F (s) - o limite desta utima integral quando b → ∞ possa existir,
precisamos de alguma condicao sobre a taxa de crescimento de f(t) quando t → ∞.
A funcao f e tida como ordem exponencial quando t → ∞ se existem constantes nao-
negativas M , c e T tais que
|f(t)| ≤Mectparat ≥ T (5.3)
Teorema 5.0.2 (Existencia da Transformada de Laplace). 2 Se a funcao f e contınua
por partes para t ≥ 0 e e de ordem exponencial quanto t→∞, entao sua transformada de
Laplace F (s) = L {f(t)} existe. Mais precisamente, se f e contınua por partes e satisfaz
a condicao 5.3, entao F (s) existe para todo s > c.
Teorema 5.0.3 (Unicidade da Transformada Inversa de Laplace). 3 Suponha que as
funcoes f(t) e g(t) satisfazem as hipoteses do teorema 5.0.2, de modo que suas transfor-
madas de Laplace F (s) = G(s) para todo s > c (para algum c), entao f(s) = g(s) onde
quer que f e g sejam ambas contınuas.
Deste modo, duas funcoes contınuas por partes, de ordem exponencial, com a
mesma transformada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuida-
des isolados. Isto nao e importante na maioria das aplicacoes praticas. Logo, podemos
considerar as transformadas inversas de Laplace como sendo essencialmente unicas.
1A prova do teorema 5.0.1 encontra-se demonstrada na ref. [3], pg. 242.2A prova do teorema 5.0.2 e demonstrada na ref. [3], pg. 246.3O teorema 5.0.3 e provado no Cap. 6 de Matematica Operacional de Churchill, 3a ed. (New York:
McGral-Hill, 1972), apud [3]
5 Transformadas de Laplace 31
Definicao 5.0.2 (Funcao degrau unitario). A funcao degrau unitario e definida por:
u(t) =
1 se t ≥ 0
0 se t < 0
Esta funcao apresenta uma descontinuidade em t = 0, uma vez que o valor de u(t)
se modifica instantaneamente de 0 para 1 quando t=0. E interessante observar que se
pode criar outras funcoes baseando-se na funcao degrau unitario.
Figura 5.1: funcao Degrau de Heaviside ou funcao degrau unitario
Fonte: Laus, L. P.
5.0.1 Transformada de Laplace Inversa
De acordo com o teorema 5.0.3 duas funcoes diferentes que sejam ambas contınuas
para todo t ≥ 0 nao podem ter a mesma transformada de Laplace. Assim, se F (s) e a
transformada de alguma funcao contınua f(t), entao f(t) e univocamente determinada.
Esta observacao nos permite fazer a seguinte definicao:
Se F (s) = L {f(t)}, entao chamamos f(t) a transformada de Laplace inversa de
F (s) e escrevemos:
f(t) = F (s) = L −1 {F (s)} (5.4)
Se for possıvel, obter em uma tabela de Transformadas de Laplace, uma funcao
de t que, uma vez transformada para s, seja igual a funcao a qual se deseja a transfor-
mada inversa, o trabalho e imediato. Evidentemente, o teorema 5.0.1, da linearidade da
Transformada de Laplace ajuda muito; atraves de um pequeno trabalho algebrico e facil
de converter a funcao desejada para a forma que ela se apresenta na tabela. A maioria
das funcoes do tempo t, quando transformadas para frequencia complexa de s atraves
5 Transformadas de Laplace 32
da aplicacao da transformada de Laplace, se apresenta na forma de uma fracao de po-
linomios (uma funcao racional). Alem disso, a maioria dos sistemas sao descritos por
equacoes diferenciais, que quando transformadas para s se tornam polinomios ou quoci-
entes de polinomios. Por isso, nos casos que mais ha interesse pratico, pode-se escrever
uma funcao de s como:
F (s) =G(s)
H(s)(5.5)
onde G(s) e H(s) sao ambos polinomios de s. Para calcular transformada inversa com o
uso de tabelas e necessario dividir (ou particionar) F (s) em uma representacao de tal forma
que cada termo possua sua inversa ja tabelada. A tabela 5.1 ilustra as transformadas
inversas de Laplace uteis neste trabalho.
Tabela 5.1: Transformadas inversas de Laplace
L {F (s)} funcao no domınio do tempo
1 δ(t) impulso unitario
1s
u(t) degrau unitario
1s(s+a)
1a
(1− e−at)
Fonte: Edwards, C. H. Jr. - Adaptada
33
6 Metodologia e Modelo
Inicialmente, considerou-se o balanco material aplicado a um processo contınuo em
regime estacionario nos termos da equacao 4.29
E − S = Ac
Supondo na alimentacao uma vazao de entrada qe(L/s) e densidade de corrente
ρe(g/L) temos:
1. Entra (g/s) = qe(L/s) · ρe(g/L)
2. Sai (g/s) = qs(L/s) · ρs(g/L)
3. Acumulo (g/s) = dm/dt = d(ρsV )/dt
Daı:d (ρsV )
dt= (qe) (ρe)− (qs) (qs) (6.1)
Resolvendo:
Vdρsdt
+ ρsdV
dt= ρeqe − ρsqs (6.2)
Considerou-se nao haver variacao substancial na densidade antes e apos o processo,
dρ/dt = 0. Portanto a equacao fica:
ρsdV
dt= ρeqe − ρsqs (6.3)
Com a consideracao que ρe = ρs ⇒ dVdt
= qe − qs
Ou seja: qe − qs = ∂V∂t
, equivalentemente:
qe − qs =εA∂H (t)
∂t(6.4)
Considerando as condicoes do escoamento em colunas empacotadas, e razoavel
considerar uma resistencia para qs. Tal resistencia R e diretamente proporcional a altura
6 Metodologia e Modelo 34
H, logo:
qs ∼=H(t)
R⇒ qs = φ
H(t)
R(6.5)
Substituindo 6.5 em 6.4, temos:
qe − φH (t)
R=εA∂H (t)
∂t(6.6)
Aplicando a definicao da Transformada de Laplace no segundo membro da equacao
6.6, e em seguida fazendo o produto de ambos os membros da equacao por Rφ
, obtemos:
R
φqe −H (t) =
εAR
φH (t) s (6.7)
equivalente a:
R
φqe =
(εAR
φs+ 1
)H (t) (6.8)
resolvendo para H(t), com qe = cte
H (t) =R/φ(
εARφs+ 1
)qE
(6.9)
Fazendo a analise dimensional na equacao 6.5, ⇒ R = Hqs
= mm3/h
= hm2 , logo o
termo AR = m2 · hm2 = h. Faremos h = L
A definicao 5.0.2 (Funcao degrau unitario) nos permite definir a funcao f(t) = a,
com a ≤ t ≤ ∞⇒ f(t) = as. (pertubacao passo unitario)
Figura 6.1: funcao passo unitario
Fonte: Elaborada pelo autor
6 Metodologia e Modelo 35
Substituindo as
= qe e AR = L na equacao 6.9 temos:
H (t) =R/φ(
εLφs+ 1
) · as
(6.10)
equivalente a:
H (t) =aR
φ·
(1
s( εLφs+ 1)
)(6.11)
donde,
H (t) =aR
εL·
(1
s(s+ φ
εL
)) (6.12)
e a funcao que representa o domınio da frequencia.
O teorema 5.0.1, da linearidade da Transformada de Laplace nos permite fazer as
manipulacoes algebricas ate agora executadas. A finalidade e converter a funcao H(t)
para uma forma que se apresenta na tabela 5.1. Desta forma:
H (t) =aR
6 ε 6 L
(6 ε 6 Lφ
(1− e−
φεL
t))
(6.13)
simplificando, obtemos a funcao H(t) no domınio do tempo.
H (t) =aR
φ
(1− e−
φεL
t)
(6.14)
Figura 6.2: Domınio do tempo
Fonte: Elaborada pelo autor
H(t) no domınio do tempo, quando t = 0⇒ H(t) = 0 e para t =∞⇒ H(t) = aRφ
6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao 36
6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao
Tomou-se a equacao 6.14 que representa a altura do fluido na coluna em funcao
do tempo t. Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equacao, fica assim:
ln(H(t)) = lnaR
φ+ bx (6.15)
Onde bx = ln(
1− e− φεL
t)
. E o problema original de encontrar o ajuste1 de
mınimos quadrados nao linear para o conjunto de valores para a funcao 6.14 passa a
ser o problema de ajuste linear do conjunto de dados {{xi, lnfi}}ni=1.
Os dados praticos utilizados para estimar as equacoes de regressao foram obtidos
no Trabalho de Conclusao de curso (TCC) de Ferraz Neto, W. S. Disponıvel em [10], e
estao ilustrados na tabela 6.1. As colunas: britado + aglomerado, britado e aglomerado,
ilustram os dados obtidos diretamente na coluna de extracao mineral. Onde: V = vazao
de saıda, H = altura do fluido na coluna e T = tempo.
As equacoes de regressao foram estimadas por analise de regressao linear no apli-
cativo Minitab 16. Seguem:
Aglomerado + Britado:
ln(h) = 2, 71 + 0, 00241x (6.16)
tomando o antilogaritmo nas constantes
H = 15, 48 + 1, 00241X (6.17)
Britado:
ln(h) = 2, 59 + 0, 00421x (6.18)
tomando o antilogaritmo nas constantes
H = 13, 330 + 1, 00428X (6.19)
Aglomerado:
ln(h) = 2, 231 + 0, 0155X (6.20)
1Os dados para ajuste sao {{xi, fi}}ni=1, onde o conjunto X = {xi}ni=1 e utilizado para definir o produto
interno (·, ·)x. Se f for conhecida, fi ≡ f(xi), caso contrario fi e um dado de entrada no problema de
ajuste.
6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao 37
tomando o antilogaritmo nas constantes
H = 9, 31 + 1, 0156X (6.21)
Verificou-se nos resultados, que ao se confrontar os dados praticos com a equacao
6.14 haveria a necessidade de se introduzir uma constante de ajuste.
Tabela 6.1: Dados experimentais: vazao, altura na coluna e tempo
Brit. + Aglo. Britado Aglomerado
V H T V H T V H T
0.8 4.00 6.00 0.3 4.00 5.00 4.2 4.00 6.00
1.3 8.00 8.00 1.3 8.00 7.00 4.2 8.00 7.00
1.6 12.0 9.00 1.7 12.0 8.00 4.2 12.0 8.00
1.1 16.0 10.0 2.4 16.0 11.0 4.2 16.0 9.00
0.2 20.0 11.0 2.6 20.0 13.0 0.4 20.0 23.0
1.8 26.3 21.0 3.1 24.0 23.0 0.5 21.5 33.0
2.3 29.0 31.0 3.4 24.5 33.0 0.3 22.5 43.0
2.4 28.3 41.0 3.3 24.3 42.0 0.3 22.9 53.0
2.7 28.5 51.0 3.0 23.8 62.0 0.3 23.4 63.0
2.3 23.5 71.0 2.9 22.5 82.0 0.1 24.0 83.0
2.1 22.5 91.0 2.4 21.4 102 0.1 24.6 103
2.1 22.8 111 2.3 20.0 122 - - -
2.0 22 131 2.3 20.7 142 - - -
2.0 21.5 151 2.3 20.0 162 - - -
2.0 20.5 1171 - - - - - -
2.0 20.3 191 - - - - - -
2.0 20 211 - - - - - -
Fonte: Ferraz Neto, W. S.
Os coeficientes da equacao 6.14, foram obtidos atraves da relacao linear que ha
entre os coeficientes das equacoes de regressao e as coordenadas de seus pontos.
A saber;
1. Aglomerado + Britado
6.2 Resultados e Discussoes 38
Da equacao 6.17 vem; 15, 48 · aRφ
= 20⇒ aRφ
= 1, 29199
⇒ − φεL
= 1, 00241
2. Britado
Da equacao 6.19 vem; 13, 330 · aRφ
= 20⇒ aRφ
= 1, 50037
⇒ − φεL
= 1, 00428
3. Aglomerado
Analogamente, da equacao 6.22 vem; 9, 31 · aRφ
= 24⇒ aRφ
= 2, 57787
⇒ − φεL
= 1, 0156
6.2 Resultados e Discussoes
Em virtude dos valores alcancados para as constantes realizou-se a comparacao
entre as curvas praticas e as curvas teoricas. Nas figuras 6.3, 6.4 e 6.5 pode-se observar
claramente um padrao de comportamento entre as curvas teoricas e praticas. A curva
teorica diverge da pratica diretamente na sua imagem (Transformacao de translacao em
relacao ao eixo y), isto indica a presenca de um incremento no coeficiente linear da equacao
de regressao.
Figura 6.3: Curva Transladada (Aglomerado + Britado)
Fonte: Elaborada pelo autor
6.2 Resultados e Discussoes 39
Figura 6.4: Curva Transladada (Britado)
Fonte: Elaborada pelo autor
As figuras 6.3, 6.4 e 6.5 estao ilustradas com o parametro ausente.
Figura 6.5: Curva Transladada (Aglomerado)
Fonte: Elaborada pelo autor
Frente ao comportamento transladado na curva, Surgiram perguntas. Como adi-
cionar uma constante de ajuste na equacao? Qual seria o criterio para definir adequada-
mente este parametro? Na busca as respostas , observou-se o surgimento de uma razao
aproximadamente constante ente as imagens dessas funcoes. Seria o incremento?
Nota-se uma transformacao de translacao dos pontos das tres curvas em relacao a
6.2 Resultados e Discussoes 40
coordenada y. Isto e um indicador de que ha um fator de transformacao no grafico. Por-
tanto, determinando este fator ou a inversa dessa transformacao determina-se o parametro
necessario ao ajuste dos pontos do grafico.
Para calcular a magnitude do incremento e verificar o comportamento da curva em
cada situacao, calculou-se um parametro de ajuste λ.
Para determinar o parametro λ, definiu-se,
λ =
a+ bx = λy′
a+ bx = y
dividindo o sistema membro a membro fica,
λ = yy′
para quaisquer pontos da forma P1(x1; y1) e P2(x1; y2). Dessa forma, o parametro λ em
cada experimento e:
1. Aglomerado + Britado
λ = yy′
= 0, 774⇒ aRφ· λ = 0, 99923
2. Britado
λ = yy′
= 0, 666⇒ aRφ· λ = 0, 99926
3. Aglomerado
λ = yy′
= 0, 387⇒ aRφ· λ = 0, 99984
Para quaisquer pontos P1(x1; y1) e P2(x1; y2).
Apos a determinacao do parametro, a equacao 6.14 fica reajustada da seguinte
forma:
H (t) =aR
φλ(
1− e−φεL
t)
(6.22)
e desta maneira, para os pontos P1, P2, ..., Pn da tabela 6.1 tem-se abaixo, em forma
grafica, os seguintes resultados ajustados com λ = 0, 774, 0, 666 e 0, 387, para os materiais
aglomerado + britado, britado e o aglomerado, respectivamente.
6.2 Resultados e Discussoes 41
Figura 6.6: Curva ajustada (Aglomerado + Britado)
Fonte: Elaborada pelo autor
As figuras 6.6, 6.7 e 6.8 ilustra a concordancia das series pratica e teorica.
Figura 6.7: Curva ajustada (Britado)
Fonte: Elaborada pelo autor
6.2 Resultados e Discussoes 42
Figura 6.8: Curva ajustada (Aglomerado)
Fonte: Elaborada pelo autor
Nas figuras 6.6, 6.7 e 6.8 nota-se uma concordancia entre as curvas teoricas e
praticas absolutamente semelhante em termos estatısticos. A linearidade da Transfor-
mada de Laplace aliada ao teorema 5.0.3 (Unicidade da Transformada Inversa de Laplace),
afirma que duas funcoes contınuas por partes, de ordem exponencial, com a mesma trans-
formada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuidades isolados.
Portanto, para fins de engenharia admite-se que a inversa de Laplace e unica.
Portanto, este fato e suficiente para justificar o comportamento da equacao 6.14
frente aos dados analisados, pois se a Inversa de Laplace e unica para ambas as curvas,
elas so poderao diferir na presenca de uma constante. A linearidade da Transformada de
Laplace e suficiente para provar este fato.
Entretanto, ressalta-se a necessidade de se realizar uma analise matematica mais
acurada para consolidadar esse fato.
43
7 conclusao
Conhecer os aspectos operacionais da coluna de lixiviacao permite que se tenha o
controle de parametros importantes nos ensaios de lixiviacao, como a altura de fluido na
coluna e o tempo de contato entre o agente lixiviante e minerio.
Para que a lixiviacao seja eficiente, e necessario que o agente lixiviante permaneca
em contato, por um tempo determinado, com todas as partıculas de minerio. Esta
eficiencia pode ser facilmente atingida se houver uma ferramenta capaz de prever o tempo
necessario, e o correspondente controle na altura de fluido presente na coluna. A equacao
6.14, mostrou ser uma ferramenta poderosa para se fazer o controle de altura do fluido na
coluna de lixiviacao, sua elevada capacidade de modelagem e controle de altura do fluido
permite fazer previsoes quanto ao tempo mınimo necessario para que ocorra a saturacao
do meio lixiviante, seja diretamente no modelo ou, de acordo com a ocasiao, e de forma
pratica, em sua equacao de regressao, levando em conta a taxa de variacao que se deseja
e determinadas caracterısticas fısicas do minerio.
Durante o processo de lixiviacao ha a necessidade de se fazer ajustes pontuais na
vazao de entrada, para evitar transbordo. Esta e uma medida de controle, sua utilizacao
no decorrer do processo faz a vazao de saıda variar com o tempo ate atingir o equilıbrio,
este ocorre quando quando a vazao de saıda se aproximar do valor de entrada, quando
isso ocorre a altura da coluna de fluido se mantem constante.
A relevancia deste estudo se deve a possibilidade de se vislumbrar novos horizontes
na producao de cobre, via lixiviacao em colunas, atraves do aproveitamento do minerio
de cobre oxidado, que hoje e estocado por se considerado esterio.
Esses resultados servirao de base para no futuro aprofundarem-se os estudos de
lixiviacao em colunas, e o posterior dimensionamento de colunas e circuitos de colunas de
lixiviacao. Deve-se levar em consideracao a concentracao de cobre no agente lixiviante,
pois, neste estudo nao se considerou este parametro, ao inves do uso de acido usou-se
agua, o ideal seria submeter o minerio de cobre oxidado a lixiviacao com acido sulfurico
(H2SO4). Esta e uma recomendacao a ser considerada em trabalhos futuros.
Referencias Bibliograficas
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4a ed. Sao Paulo: Edigard Blucher, 2004. 582 P.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 45
- Universidade Federal do Para, Faculdade de Enga. de Minas e Meio Ambiente,
Maraba, 2013.