tcc manoel

universidade federal do para

campus de maraba

faculdade de engenharia de minas e meio ambiente

MANOEL FERREIRA NUNES

MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE

EXTRACAO MINERAL

MARABA

2013



EXTRACAO MINERAL

Trabalho de Conclucao de Curso apresentado a Fa-

culdade de engenharia de minas e meio ambiente

da Universidade Federal do Para - UFPA, como

requisito para a obtencao parcial do grau de Ba-

charel em engenharia de minas e meio ambiente.

Orientador: Profo. Dr. Reginaldo Saboia de Paiva

Profo. da FEMMA - UFPA

MARABA

2013

Dados Internacionais de Catalogacao-na-Publicao (CIP)

Biblioteca II do CAMAR/UFPA, Maraba, PA - Brasil

NUNES, MANOEL

MODELAGEM E CONTROLE EM COLUNAS DE EXTRACAO

MINERAL / MANOEL NUNES - 2013

45.p; orientador; Reginaldo Saboia de Paiva

Trabalho de Concluscao de Curso (Graduacao) - Universidade Fe-

deral do Para, Campus Universitario de Maraba, Faculdade de En-

genharia de Minas e Meio Ambiente, Maraba, 2013.

Metalurgia Extrativa. I.Tıtulo.

CDD xxxxxxxxxxxxxx



EXTRACAO MINERAL

Trabalho de Conclucao de Curso apresentado a Fa-

culdade de engenharia de minas e meio ambiente

da Universidade Federal do Para - UFPA, como

requisito para a obtencao parcial do grau de Ba-

charel em engenharia de minas e meio ambiente.

Aprovado em / /

Conceito

BANCA EXAMINADORA

Profo. Dr. Reginaldo Saboia de Paiva


Profo. Dr. Evaldiney Monteiro


Profo. Dr. Denilson da Silva Costa


Ao meu pai, que a sua maneira sempre torceu

pelo sucesso de cada um de seus filhos.

A minha mae e aos meus irmaos, pelo compa-

nheirismo em todos os momentos.

Resumo

O cobre e um dos metais mais importantes industrialmente, e utilizado principalmente

na producao de materiais condutores de eletricidade, e em ligas metalicas como latao e

bronze. 60% das jazidas da Provıncia Mineral de Carajas sao de cobre oxidado. Na regiao

esse minerio e considerado resıduo da exploracao, devido seu baixo teor e elevado custo de

extracao que o tornam economicamente inviavel, ele e descartado em pilhas de rejeitos.

A hidrometalurgia, em particular a lixiviacao e atualmente considerada uma alternativa

no processo de extracao de cobre a partir de minerios de baixo teor. Considerando os

elevados custos com reagentes e a dificuldade de processamento desse minerio por flotacao,

a lixiviacao em colunas de extracao mineral torna-se uma alternativa para a extracao de

cobre a partir de minerios de baixo teor, sua principal vantagem e o baixo custo de

capital e de operacao. Porem, necessita-se que o minerio seja previamente aglomerado,

essa aglomeracao, alem de propiciar um leito suficientemente poroso potencializa a acao do

fluido lixiviante atraves do maior tempo de contato solido-lıquido na coluna de extracao, e

mitiga a acao das partıculas finas que afetam a permeabilidade da coluna. A modelagem

matematica e uma poderosa ferramenta a ser utilizada no controle de vazao da coluna

de extracao mineral. Num processo de modelagem varios ramos do Calculo Diferencial

e Integral podem e devem ser utilizados para que se atinja o objetivo desejado. Nao se

deve desvalorizar a mais simples proposicao, nem tao pouco supervalorizar os conteudos

ditos intelectualmente mais elaborados. Porem, ressalta-se que a Transformada Inversa

de Laplace foi fundamental para a modelo proposto neste trabalho.

Palavras-chaves: modelagem; coluna de extracao; cobre oxidado; transformada Inversa

de Laplace.

Abstract

Keywords: Sets, functions.

Agradecimentos

Mais do que a todos os outros, agradeco a Deus por ter me permitido chegar ao

fim desta etapa da minha vida.

Agradeco tambem aos meus pais e irmaos por terem sempre e invariavelmente me incen-

tivado a perseverar nos estudos, ainda que muitas vezes desanimado.

Expresso minha gratidao aos colegas de curso, tambem agradeco a todos os professores da

Faculdade de Engenharia de Minas e Meio Ambiente. Em especial ao professor Reginaldo

Saboia, por sua inestimavel colaboracao, e ao professor Kidelmar, por nao desanimar

diante da inercia dos alunos.

“Lembra que o sono e sagrado e alimenta

de horizontes o tempo acordado de vi-

ver”.

Beto Guedes (Amor de Indio)

Sumario

Lista de Figuras 8

1 Introducao 9

2 Introducao aos Modelos Matematicos 11

2.1 Conceito de Modelo Matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Modelos Mecanısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Modelos Empıricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Filtracao 16

3.1 Equacao da Filtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Escoamentos 21

4.1 Escoamento em Leito Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Escoamento em Regime Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Escoamento em Regime Turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Balanco Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Transformadas de Laplace 29

5.0.1 Transformada de Laplace Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6 Metodologia e Modelo 33

6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Resultados e Discussoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7 conclusao 43

Referencias Bibliograficas 44

Lista de Figuras

3.1 V experimental em varios tempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1 Leito fixo ou coluna de recheio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Queda de pressao no escoamento atraves de leitos compactos . . . . . . . . 26

5.1 funcao Degrau de Heaviside ou funcao degrau unitario . . . . . . . . . . . 31

6.1 funcao passo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.2 Domınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.3 Curva Transladada (Aglomerado + Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4 Curva Transladada (Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.5 Curva Transladada (Aglomerado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.6 Curva ajustada (Aglomerado + Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.7 Curva ajustada (Britado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.8 Curva ajustada (Aglomerado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9

1 Introducao

O cobre e um dos metais mais importantes industrialmente, de coloracao aver-

melhada, ductil, maleavel e que apresenta alta condutibilidade eletrica e termica, ponto

de fusao a 1083 ◦C e densidade correspondente a 8, 96g/cm3(a 20◦C). E utilizado, atu-

almente, para a producao de materiais condutores de eletricidade (fios e cabos), e em

ligas metalicas como latao e bronze. Entre as suas propriedades mecanicas destacam-se

sua excepcional capacidade de deformacao e ductibilidade. A flexibilidade do uso e alto

ındice de recuperacao ao final do seu ciclo de vida lhe conferem superioridade em relacao

a materiais similares e sao responsaveis pela sua larga utilizacao.

A Provıncia Mineral de Carajas possui um grande potencial para produzir cobre.

Diversas jazidas foram descobertas como Sossego, Alvo 118, Salobo, Alemao, Pojuca,

Serra Verde, Cristalino e Aguas Claras. Alguns concentrados de cobre presentes nesses

depositos possuem caracterısticas mais favoraveis a processos hidrometalurgicos, como e

o caso do minerio oxidado, presente em cerca de 60 % das jazidas existentes na Serra

dos Carajas. Atualmente, porem este cobre alterado e considerado resıduo da exploracao,

pois devido o seu baixo teor o custo de sua extracao e pouco eficiente e economicamente

inviavel, sendo atualmente descartado em pilhas de rejeito. A hidrometalurgia tem a

vantagem de necessitar de pequenos investimentos e ter baixo custo de operacao, quando

comparada com a pirometalurgia, alem de reduzir os impactos ambientais provenientes

das descargas de SO2 na atmosfera. Frente as vantagens dos processos hidrometalurgicos

e ao desafio de pesquisar condicoes favoraveis para a recuperacao do cobre oxidado via

lixiviacao tendo em vista a grande utilidade deste mineral e a esgotabilidade das jazidas

de minerios, torna-se fundamental o desenvolvimento de pesquisas e tecnologias mais

competitivas, a fim de utilizar-se este cobre como materia-prima no mercado nacional e

internacional de metais.

O objetivo central deste trabalho e propor um modelo matematico capaz de prever

a altura otima do fluido na coluna de lixiviacao. Desta maneira e possıvel estimar o tempo

de contato entre o agente lixiviante e o minerio. Logo, e possıvel controlar o tempo de

residencia suficiente para saturar o meio fluido criando uma vazao de entrada e saıda.

1 Introducao 10

Assim, pretende-se avancar nos estudo da lixiviacao do minerio de cobre com solucoes

de acido sulfurico (H2SO4), com proposito contribuir para a otimizacao do processo de

lixiviacao em colunas.

Com relacao a organizacao deste Trabalho de Conclusao de Curso TCC, optou-

se por uma distribuicao e organizacao de conteudos relevantes ao desenvolvimento do

trabalho na ordem a seguir. A introducao comeca abordando a importancia do cobre

para o uso industrial, destacando o grande potencial produtivo da Provıncia Mineral de

Carajas, e sua tendencia futura de producao de cobre via processos hidrometalurgicos

para o minerio de cobre oxidado.

No capıtulo 2 desenvolveu-se uma breve introducao aos modelos matematicos, no

qual destaca-se os modelos empıricos e os modelos mecanısticos. Esses dois metodos de

modelos muitas vezes fara parte da pratica do modelador, de modo que ele fara progresso

com qualquer dos metodos ou com ambos. O capıtulo 3 fala sucintamente da filtracao,

o tema e desenvolvido ate se obter uma equacao para a filtracao. Na parte de escoa-

mentos, no 4o capıtulo, foca-se em escoamentos em leito fixo, descrevendo escoamento

em regime laminar e em regime turbulento. O balanco material, tema imprescindıvel

para os objetivos desse trabalho e abordado no fim do capıtulo. A Transformada de

Laplace e aborda na sequencia, procurou-se nao aprofundar em carregado formalismo e

demonstracoes matematicas. Optou-se apenas pelos teoremas e definicoes essenciais a

apresentacao da Transformada Inversa de Laplace. Na metodologia e modelo, capıtulo

6, desenvolveu-se o modelo de equacao proposto no inıcio do trabalho, sua aplicacao, e a

analise dos resultados. Finalmente, na sequencia, a conclusao fecha o trabalho.

11

2 Introducao aos Modelos Matematicos

Modelos matematicos sao utilizados em muitos campos da atividade humana,

como: Engenharia, Matematica, Economia, Fısica, Quımica, Biologia, Psicologia, Co-

municacao, Demografia, Astronomia, etc. Sao largamente utilizados na representacao de

sistemas dinamicos e estaticos.

Um sistema e uma combinacao de componentes que atuam em conjunto para satis-

fazer um objetivo especificado. O sistema e dito estatico, quando a saıda atual do sistema

depende somente da entrada atual. A saıda do sistema so varia se a sua entrada variar.

O sistema e dito dinamico, se a sua saıda depende da entrada e dos valores passados

da entrada. Num sistema dinamico a saıda varia se ela nao estiver num ponto de equilıbrio,

mesmo que nenhuma entrada esteja sendo aplicada.

O modelo matematico de um sistema dinamico e definido como sendo o conjunto

de equacoes que representam a dinamica do sistema com certa precisao. O modelo ma-

tematico de um dado sistema nao e unico, isto e, um sistema pode ser representado por

diferentes modelos dependendo da analise que se deseja fazer.

Na obtencao do modelo matematico para um dado sistema deve-se ter um com-

promisso entre a simplicidade do modelo e a sua precisao. Nenhum modelo matematico,

por mais preciso que seja, consegue representar completamente um sistema [9].

Em geral deve-se obter um modelo matematico, que seja adequado para solucionar

o problema especıfico que esta em analise. Porem, e importante ressaltar que os resulta-

dos obtidos desta analise serao validos somente para os casos em que o modelo e valido.

Quando vamos obter um modelo simplificado de um sistema, geralmente ignoramos al-

gumas propriedades fısicas deste sistema. Se os efeitos que estas propriedades causam

na resposta do sistema sao pequenos, entao uma boa semelhanca entre os resultados da

analise matematica e os resultados praticos do sistema e obtida [9].

Em geral os sistemas dinamicos sao nao lineares. Porem, os procedimentos ma-

tematicos para a obtencao de solucao de modelos lineares sao muito complicados. Por

2.1 Conceito de Modelo Matematico 12

isto, geralmente substituı-se o modelo nao linear por um modelo linear, com validade

somente em uma regiao limitada de operacao, ou para um ponto de operacao.

Muitos problemas praticos necessitam usar modelos matematicos e as vezes, as

situacoes sao muito diferentes, mas a abordagem e a filosofia subjacentes sao as mesmas.

Como se ve em [2], existe uma forma matematica unificada para tratar muitas

teorias cientıficas e matematicas e tais tecnicas podem ser descritas como uma dinamica

geral, que tem sido desenvolvida em areas conhecidas como Teoria de Sistemas e Teoria

de Controle, como e o caso do Calculo Diferencial e Equacoes Diferenciais.

2.1 Conceito de Modelo Matematico

Conceitualmente, um modelo matematico ou simplesmente modelo, pode ser apre-

sentado como uma representacao de um sistema real, o que significa que um modelo deve

representar um sistema e a forma como ocorrem as modificacoes no mesmo.

O objetivo mais importante de um modelo e que ele permite o entender do proprio

modelo de uma forma simples ou entao descrever este modelo mais completamente, de

modo que o modelo possa ser tao preciso quanto o mundo real.

Um modelo e normalmente uma simplificacao do mundo real ou alguma forma

conveniente de trabalhar com este mundo, mas as caracterısticas essenciais do mundo real

devem aparecer no modelo, de modo que o seu comportamento seja igual ou semelhante

aquele do sistema modelado.

Um modelo matematico consiste de um conjunto de equacoes que representam de

uma forma quantitativa, as hipoteses que foram usadas na construcao do modelo, as quais

se apoiam sobre o sistema real. Tais equacoes sao resolvidas em funcao de alguns valores

conhecidos ou previstos pelo modelo real e podem ser testadas atraves da comparacao

com os dados conhecidos ou previstos com as medidas realizadas no mundo real.

As equacoes matematicas de um modelo nao proporcionam a propria explicacao

cientıfica do modelo, mas simplesmente interpretam as hipoteses de um ponto de vista

quantitativo, dando-nos a condicao de deduzir consequencias e mostrar-nos onde estao os

detalhes que deverao ser aceitos ou recusados [4].

2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos 13

2.2 Modelos Mecanısticos e Modelos Empıricos

Existem pelo menos duas abordagens diferentes para o uso de modelos em pes-

quisa, sendo que cada uma delas e escolhida em funcao do que se espera que o modelo

seja: mecanıstico ou empırico. E importante ressaltar que deveremos estar advertido so-

bre os objetivos do modelo, de modo que estes sejam realısticos e isto podera salvar-nos de

comprometer-se com modelagem quando o modelo nao estiver apropriado, ou quando es-

tiver construindo uma classe errada de modelos [9]. Os dois tipos de modelos: mecanıstico

ou empırico serao considerados na sequencia.

2.2.1 Modelos Mecanısticos

Se desejarmos entender a resposta de um sistema cientıfico em termos de um meca-

nismo, um modelo mecanıstico devera ser usado. Este tipo de modelo pode ser construıdo

pela visao da estrutura do sistema, dividindo-se o sistema em varias componentes e ten-

tando entender o comportamento de todo o sistema atraves de cada parte e atraves das

interacoes que ocorrem com as partes.

Ao tentar construir um modelo mecanıstico, e necessario construir algumas hipoteses

sobre quais devem ser as componentes (tambem conhecidas como variaveis) que sao im-

portantes no sistema, quais delas devem ser ignoradas e como elas devem se comportar.

Estas hipoteses sao a base deste tipo de modelo.

A seguir, o modelo deve ser descrito matematicamente e as hipoteses deverao

aparecer nas equacoes.

Os dois passos mais importantes na construcao desses modelos, sao: construcao das

hipoteses e descricao matematica. Estes devem assumir que determinadas componentes

devem obedecer a determinadas equacoes. Estas duas etapas no processo de modelagem

mecanıstica, fornecem o conteudo real do modelo.

Finalmente, as equacoes devem ser resolvidas e as solucoes, que poderao ser funcoes

ou numeros, serao as previsoes dos dados atraves do modelo.

Os proximos passos analisam a solucao, comparando-a com os valores previstos

com os dados experimentais. Nesta fase gastamos muito tempo e cometemos erros.


Quando um modelo e testado pela comparacao de suas previsoes com os dados

experimentais, na verdade, testamos tambem as hipoteses do modelo, considerando que

os trabalhos algebricos e numericos tenham sido executados sem erros.

2.2.2 Modelos Empıricos

E possıvel e as vezes valioso tentar obter e entender a resposta de um sistema sem

passar pelos estagios de estruturar um sistema, fazendo hipoteses sobre as componentes

do sistema e entao tentando trabalhar sem usar as consequencias matematicas daquelas

hipoteses.

Em sıntese, o metodo empırico consiste em ver os dados experimentais, possivel-

mente fazendo alguma analise dos dados e tentando fazer alguma suposicao inteligente

(quase sempre muito simples) na forma de conjunto de equacoes ou mesmo atraves de

explicacoes intuitivas, que poderao ser usadas como um modelo matematico e com os

dados de uma forma conveniente.

Embora este metodo pareca pobre e arbitrario, em alguns casos ele e desejavel,

quando nao e o unico a ser usado para atacar o problema.

Se uma resposta excelente for obtida com dados experimentais atraves da aborda-

gem empırica, entao ela pode ser supervalorizada para um mecanismo que pode levantar

aquele tipo de resposta desejada, e isto tem sido realizado de uma forma normal pelos

cientistas, ao fazer deducoes sobre mecanismos de dados experimentais [9].

O modelador mecanıstico construira seus modelos antes de fazer os experimentos,

pensando sobre os possıveis mecanismos e deducoes das suas consequencias por meio do

modelo, o experimento testara as suas hipoteses e possivelmente definira um mecanismo

ao inves de outro.

No entanto, pensando sobre o mecanismo construıdo na mente do modelador, ele e

guiado pela existencia de dados e o conhecimento para este mecanismo, pode ser aplicado

para a sua propria combinacao do uso empırico e da sua intuicao.

Por outro lado, o modelador empırico pode fazer pressupor a existencia de um

mecanismo apos fazer o experimento e ver os dados, assim, ela comeca uma investigacao

como um empırico e a termina como um mecanicista.


Na pratica, o modelador fica se movendo como um pendulo entre os dois metodos

de modelos: mecanıstico e empırico, de modo que ele devera fazer progresso com qualquer

um dos dois metodos e possivelmente com os dois, de modo a obter resultado desejado.

16

3 Filtracao

A filtracao e uma das aplicacoes mais comuns do escoamento de fluidos atraves

de leitos compactos. A operacao industrial e analoga as filtracoes realizadas em um

laboratorio, que utilizam papel de filtro e funil. E uma operacao que pode ser denominada

como a separacao de partıculas solidas presente em um fluido atravessando um meio

filtrante onde os solidos se depositam. O fluido (um lıquido ou um gas ) circula atraves

do meio filtrante em virtude de uma diferenca de pressao no meio.

O processo unitario filtracao consiste na separacao de uma fase solida de uma fase

liquida. Basicamente, uma operacao de separacao de solidos presentes em uma polpa na

qual a fase lıquida chamado filtrado, e compelida a passar atraves de um meio poroso,

este denominado meio filtrante, ao passo que a fase solida, nomeada torta de filtracao,

firma uma camada sobre a superfıcie do meio poroso. O objetivo da operacao e separar

mecanicamente as partıculas solidas de uma suspensao lıquida com o auxılio de um leito

poroso.

Quando se forca a suspensao atraves do leito, o solido da suspensao fica retido

sobre o meio filtrante, formando um deposito que se denomina torta e cuja espessura vai

aumentando no decorrer da operacao. O lıquido que passa atraves do leito e chamado de

filtrado.

Em filtracoes industriais o conteudo de solidos pode variar de tracos a uma per-

centagem elevada. O fluido circula atraves do meio filtrante em virtude de uma diferenca

de pressao no meio. Este aspecto classifica os filtros como aqueles que operam com alta

pressao sobre o meio, os que operam em pressao atmosferica e os que operam a baixas

pressoes (vacuo). Pressoes acima da atmosferica podem ser conseguidas por acao da forca

da gravidade atuando sobre uma coluna de lıquido, por meio de bombas e compressores,

bem como pela acao da forca centrıfuga.

3.1 Equacao da Filtracao 17

3.1 Equacao da Filtracao

Na filtracao, a resistencia do meio ao fluxo do fluido aumenta com o passar do

tempo a medida que o meio filtrante vai sendo obstruıdo ou quando se forma uma torta.

As principais magnitudes de interesse sao a velocidade do fluxo atraves do filtro e a

queda de pressao na unidade. A medida que o processo ocorre, diminui a velocidade

do fluxo ou aumenta a queda de pressao. Na chamada filtracao a pressao constante,

a queda de pressao permanece constante e a velocidade do fluxo vai diminuindo com o

tempo. Menos frequente e o aumento progressivo da pressao para obter uma filtracao a

velocidade constante.

A partir desses fatores fundamentais obtem-se uma expressao envolvendo constan-

tes que podem ser determinadas experimentalmente. As equacoes de projeto sao desenvol-

vidas a partir de ensaios em escala reduzida. A velocidade de operacao e dada pela relacao:

V =FPR

(3.1)

com:

V = Velocidade

FP = Forca propulssora;

R =Resistencia.

A forca propulsora (FP ) e a soma da queda de pressao na torta e no meio fil-

trante. As resistencias (R), podem ser consideradas em serie e desta forma teremos uma

resistencia da torta e uma do meio filtrante. A resistencia da torta varia com o tempo

devido ao aumento de sua espessura e a resistencia do sistema (meio filtrante + canais do

filtro) permanece constante ao longo do processo. Para o equacionamento da equacao de

filtracao sera considerado o processo de filtracao com formacao de torta incompressıvel.

Para o Calculo de ∆P1 (resistencia da torta), iremos admitir fluxo unidimensional

e velocidade constante.dv

dx= 0 (3.2)

Considerando a Lei de Darcy para o escoamento de um fluido em um meio poroso


e baseando-se principalmente na queda de pressao do sistema, temos:

dP1

dx=µ

kν (3.3)

Onde dP1 e a queda de pressao atraves da torta e k e a permeabilidade da torta.

Nestas condicoes a massa de solidos (dm) na camada da torta e:

dm = (1− ε)Adxρs (3.4)

Onde:

ρs = massa especifica dos solidos;

A = area;

ε = porosidade do meio poroso.

Rearranjando,

dx =dm

(1− ε)Aρs(3.5)

Substituindo 3.5 em 3.3 temos,

dP1 =1

kρs(1− ε)· µνAdm (3.6)

Consideremos α, a resistividade especıfica da torta (m/kg), se:

α =1

kρs(1− ε)(3.7)

Entao:

dP1 = αµν

Adm (3.8)

Integrando:

∆P1 = αµν

Am (3.9)

Analogamente, para ∆P2, (resistencia do sistema) temos:

dP2

dx=µ

kν (3.10)

Onde dP2 e a queda de pressao atraves do filtro

Integrando 3.10:

∆P2 =µν

kLm (3.11)


onde Lm, espessura do meio filtrante e constante. Como,

Rm =Lmk

(3.12)

com Rm = resistencia do meio filtrante.

Logo,

∆P2 = µνRm (3.13)

A queda total de pressao (∆P ) e expressa pela equacao abaixo:

∆P = ∆P1 + ∆P2 (3.14)

Substituindo as equacoes 3.9 e 3.13 em 3.14 temos:

∆P = µν(αmA

+Rm

)(3.15)

Seja, cs = concentracao da suspensao, entao:

cs =m

ν=

massa de solidos na suspens~ao

volume de filtrado(3.16)

v =1

A· dVdt

(3.17)

Substituindo 3.16 e 3.17 em 3.15,

∆P =

(αcsV

A+Rm

)µ

1

A· dVdt

(3.18)

Rearranjando,obtemos a equacao fundamental da filtracao.

dV

dt=

µ

A∆P

(αcsV

A+Rm

)(3.19)

Considerando a filtracao com pressao constante podemos, separar os termos e

introduzir as constantes Kp e B desta forma:

dV

dt=

µcsα

A2∆PV +

µRm

A∆P= KpV +B (3.20)

Onde as unidades no SI para Kp sao s/m6 e para B s/m3.

Kp =µcsα

A2∆P(3.21)


B =µRm

A∆P(3.22)

Para filtracao a pressao constante, α e constante (torta incompressıvel) e V e t sao

as unicas variaveis da equacao 3.20

Separando as variaveis em 3.20 e integrando:∫ t

0

dt =

∫ V

0

(KpV +B) dV (3.23)

t =Kp

2ν2 +BV (3.24)

Dividindo a equacao 3.24 por V temos:

t

V=Kp

2ν +B (3.25)

Para determinar os valores de α e Rm utilizamos a equacao 3.24. Com os dados

experimentais de V em varios tempos t, plota-se ∆t∆V∼= dt

dVversus V = V1+V2

2e ajusta-se

a melhor reta tal que Kp = tg(θ)

Figura 3.1: V experimental em varios tempos

Fonte: Elaborada pelo autor

21

4 Escoamentos

Baseados em diferentes criterios os escoamentos de fluidos podem ser classificados

em varios tipos. Pode-se ter, por exemplo, escoamentos estacionarios ou permanentes que

sao aqueles cujas grandezas como velocidade e pressao nao variam com o tempo. Caso

contrario, eles sao ditos transientes ou nao permanentes. Uma outra classificacao foi pro-

posta nos meados do seculo XIX, por Reynolds [5]. Ele verificou experimentalmente a

existencia de dois tipos de escoamentos, o laminar e o turbulento. Escoamento laminar

e idealizado como aquele no qual camadas muito finas, ou laminas, de fluido parecem

escorregar umas sobre as outras havendo somente troca de quantidade de movimento

molecular. Ja o escoamento turbulento e aquele no qual as partıculas de fluido individu-

ais apresentam um movimento desordenado, isto e, a velocidade apresenta componentes

transversais ao movimento geral do conjunto ao fluido. Neste ponto deve-se salientar que

laminar ou turbulento nao sao caracterısticas do fluido, mas um estado em que ele se

encontra devido as condicoes do escoamento.

A natureza de um escoamento, isto e, se laminar ou turbulento e sua posicao

relativa numa escala de turbulencia e indicada pelo numero de Reynolds (Re). O numero

de Reynolds, parametro adimensional, e a relacao entre as forcas inerciais (Fi) (devido a

velocidade) e as forcas viscosas (Fµ), podendo ser escrita como:

Re =

∑Fi∑Fµ

=ρLV

µ(4.1)

onde ρ e a densidade e µ a viscosidade do fluido. L e V sao comprimentos e velocidades

caracterısticas do escoamento, e dependem do problema em estudo. Para dutos circulares

de diametro D, temos:

Re =ρLD

µ(4.2)

A magnitude do numero de Reynolds indica a importancia para o escoamento das

forcas inerciais (Re > 10) e das forcas viscosas (Re < 1). Quando Re � 1, as forcas

viscosas sao importantes somente nas regioes adjacentes as superfıcies solidas, devido a

presenca da camada limite ( fina regiao ao redor da superfıcie de corpos em movimento

imersos em fluido na qual o gradiente de velocidade ∂ν∂t

normal a superfıcie do corpo e

4.1 Escoamento em Leito Fixo 22

significativo). De acordo com [1], nao e possıvel definir precisamente as faixas de numeros

de Reynolds que indicam se o escoamento e laminar, de transicao ou turbulento. Nos

projetos de engenharia os seguimtes valores sao apropriados: o escoamento num tubo e

laminar se o numero de Reynolds e menor que aproximadamente 2100; o escoamento e

turbulento se o numero de Reynolds e maior que 4000. Para numeros de Reynolds entre

estes dois limites, o escoamento pode apresentar alternadamente e de um modo aleatorio,

caracterısticas laminares e turbulentas (escoamento de transicao).

A forma do perfil de velocidade do escoamento num tubo depende se este e laminar

ou turbulento e tambem do comprimento da regiao de entrada le. O adimensional compri-

mento de entrada, le/D, tambem correlaciona-se muito bem com o numero de Reynolds.

Os valores tıpicos dos comprimentos de entrada sao dados por:

LeD

= 0.06Re (para escoamento laminar) (4.3)

LeD

= 4.4(Re)1/6 (para escoamento turbulento) (4.4)

4.1 Escoamento em Leito Fixo

O desenvolvimento de uma descricao analıtica para o escoamento de um fluido e

baseado nas leis fısicas relacionadas com o escoamento, expressas em forma matematica

adequada. As equacoes que descrevem o escoamento em um meio poroso ou em leito fixo

serao descritas a seguir.

O primeiro trabalho experimental de escoamento em meios porosos foi feito por

Darcy, em 1830, no qual constatou que para escoamentos laminares a taxa de fluxo e

proporcional a queda de pressao (∆P ) e inversamente proporcional a viscosidade (µ) e ao

comprimento (∆L).

ν′=q′

A=k

µ· ∆p

∆L(4.5)

onde ν′

e a velocidade superficial, µ a viscosidade do fluido e k a permeabilidade do

material. A equacao ajusta-se a baixas vazoes, entretanto a complexidade do escoamento

atraves de solidos particulados e a diversidade de situacoes praticas permitiu o uso de

relacoes previamente deduzidas para avaliar perdas por atrito em tubulacoes.

4.2 Escoamento em Regime Laminar 23

Figura 4.1: Leito fixo ou coluna de recheio

Fonte: UFSC - Depto. de Enga. Quımica - Adaptada

4.2 Escoamento em Regime Laminar

Para determinar as caracterısticas do escoamento em leitos empacotados usaremos

algumas relacoes geometricas relativas as partıculas que o compoe. A porosidade (ε) em

um leito empacotado e definida de acordo com a relacao:

ε = volume de vazios no leito /volume total do leito

A superfıcie especifica da partıcula (aν) em m−1 e definida como:

aν =SpVp

(4.6)

onde Sp e a area de superfıcie da partıcula em m2 e Vp o volume da partıcula em m3.

Para partıculas esfericas temos que:

aν =6

Dp

(4.7)

Considerando o diametro efetivo (Dp = 6/av) para leitos empacotados com partıculas

nao esfericas e que a fracao de volume das partıculas no leito e igual a (1− ε) temos:

a = aν · (1− ε)6

Dp

· (1− ε) (4.8)

onde a e a razao entre a superfıcie total do leito e o volume total do leito. A veloci-

dade intersticial media (ν) em m/s esta relacionada com a velocidade superficial ν′

que

considera a seccao transversal do leito sem o material de empacotamento.

ν′= ε · ν (4.9)

4.2 Escoamento em Regime Laminar 24

O raio hidraulico rH pode ser definido como a razao entre a area da secao trans-

versal disponıvel para o escoamento e o perımetro molhado.

rH = volume de vazios / volume do leitossuperfıcie molhada / volume do leito

rH = volume de vazios disponıvel para o escoamento

superfıcie total molhada dos solidos

rH =ε

a(4.10)

Combinando as equacoes 4.8 e 4.10:

rH =ε

6 (1− ε)Dp (4.11)

Uma vez que o diametro equivalente (D) e igual a 4× rH, o numero de Reynolds

para um leito empacotado, utilizando as equacoes 4.9 e 4.11, pode ser escrito como:

NRe =(4rH) νρ

µ=

4ε

6 (1− ε)Dp ·

ν′ · ρε · µ

=4

6 (1− ε)· Dpν

′ρ

µ(4.12)

Para leitos empacotados Ergun, em [7] definiu o NRe de acordo com a equacao

acima sem a fracao 4/6; logo.

NRe,p =Dpν

′ρ

µ (1− ε)(4.13)

Para escoamento laminar podemos combinar a equacao de Hagen- Poiseuille1 que

relaciona a queda de pressao com a velocidade media em tubos horizontais com as equacoes

4.11 e 4.9, desta forma:

∆P =32µν∆L

D2=

32µ(ν

′/ε)

∆L

(4rH)2 =72µν

′∆L (1− ε)2

ε3D2p

(4.14)

O valor correto de ∆L e maior devido ao percurso tortuoso, e o uso de raio

hidraulico prediz valores de ν′

maiores. Em [6] e [7], experimentos indicam uma cons-

tante cujo valor deve ser igual a 150, resultando na equacao de Blake-Kozeny para fluxo

laminar, onde a porosidade < 0, 5 e NRe,p, < 10; logo;

∆P =150µ · ν ′

∆L

D2p

· (1− ε)2

ε3(4.15)

1A equacao Q = πD4∆P/128µL foi derivada experimentalmente e independentemente pelo engenheiro

hidraulico alemao Heinrich Ludwig Hagen (1839) e pelo medico frances Jean Louis Marie Poiseuille (1838).

4.3 Escoamento em Regime Turbulento 25

Com:

∆P =queda de pressao no leito;

∆L =comprimento do leito;

ε = porosidade ou fracao de vazios;

µ = viscosidade do fluido;

ν′

= velocidade superficial do fluido;

Dp = diametro efetivo da partıcula.

4.3 Escoamento em Regime Turbulento

Para escoamento turbulento as perdas por energia cinetica podem ser calculadas a

partir da equacao deduzida para determinar a queda de pressao em tubos.

∆Pf = 4fρ∆Lν2

2D(4.16)

substituıdo as relacoes para a velocidade superficial e o raio hidraulico temos:

∆P = 1, 753f · ρ(ν

′)2 ·∆L · (1− ε)Dp · ε3

(4.17)

Considerando o escoamento turbulento o fator de friccao alcanca um valor cons-

tante. Dados experimentais indicam que 3f = 1, 75. Desta forma a equacao para escoa-

mento turbulento NRe > 1000, denominada equacao de Burke-Plummer, pode ser escrita

da seguinte forma.

∆P = 1, 75ρ(ν

′)2 ·∆L · (1− ε)Dp · ε3

(4.18)

A equacao semi-empırica de Ergun, valida para os regimes Laminar e Turbulento

e:∆P

∆L= 150

µν′ · (1− ε)2

D2p · ε

+ 1, 75ρ(ν

′)2 · (1− ε)Dp · ε3

(4.19)

O primeiro termo da equacao de Ergun e predominante para o regime laminar,

enquanto que o segundo tem maior importancia para valores mais elevados de Reynolds,

devido ao termo quadratico de velocidade superficial.

4.3 Escoamento em Regime Turbulento 26

De maneira geral, pode-se descrever o comportamento de um Leito Fixo ajustando-

se a forma da equacao abaixo aos dados experimentais.

∆P

∆L= α1ν

′+ α2(ν

′)n (4.20)

Figura 4.2: Queda de pressao no escoamento atraves de leitos compactos

Fonte: Foust, A. S. - Princıpio de Operacoes Unitarias, pg.565

A figura 4.2 mostra a curva interpolatriz que se obtem plotando-se os dados expe-

rimentais provenientes de varias fontes com a coordenada [(−∆P )gcDp/LρVsm2 ][ε3(1−ε)]

em funcao do numero de NRe/(1− ε), ref. [5].

Existem tres variaveis muito utilizadas em relacao ao escoamento de um fluido que

por conveniencia iremos definir agora. A primeira e a vazao, que representa o volume de

fluido que atravessa uma secao reta por unidade de tempo.

Q =dV

dt= Aν (4.21)

onde ν e a velocidade, em m/s, e A e a area, em m2. A segunda e a vazao massica, ou

descarga, que e a quantidade de massa de fluido que cruza uma secao reta por unidade

de tempo.

Qm =dm

dt= ρνA (4.22)

onde ρ e a massa especıfica, em kg/m3. E por ultimo, o fluxo que representa a quantidade

de uma grandeza fısica que cruza uma dada area por unidade de tempo.

4.4 Balanco Material 27

4.4 Balanco Material

Na sua forma mais simples, o balanco de massa ou balanco material nada mais e

que a contagem das unidades de massa envolvidas. A lei da conservacao da massa afirma

que a massa total de todas as substancias que tomam parte num processo se mantem

constante. Embora existam excecoes a essa lei em reacoes e processos nucleares, a lei e

valida para os objetivos da engenharia [5]. Verbalmente escrevemos:

Entrada de massa− saıda de massa = acumulac~ao de massa (4.23)

Desta equacao uma outra pode ser implementada atraves de um balanco diferencial,

que e aplicavel em um determinado instante do Processo. Supondo o componente A

(acumulacao de massa) envolvido em um processo e considerando qe, (kg/s) e qs (kg/s) as

taxas de entrada e saıda do componente atraves dos limites do sistema, podemos assumir

que as variaveis qe, e qs, podem variar com o tempo.

Podemos entao escrever o balanco para um perıodo de tempo variando de t ate

t+ ∆t, supondo uma pequena variacao de ∆t onde as quantidades de qe, e qs, podem ser

consideradas constantes. Desta forma os termos do balanco podem ser calculados:

entra = qe(kg/s) ·∆t(s) (4.24)

sai = qs(kg/s) ·∆t(s) (4.25)

Podemos supor tambem que a massa de A no sistema muda em uma quantidade

∆m (kg), desta forma a equacao de balanco pode ser escrita como:

∆m = (qe − qs)∆t (4.26)

Dividindo a equacao por ∆t e aproximando-o de zero, temos que a razao ∆m/∆t

se torna a derivada de m com relacao a t (dm/dt) logo, a equacao pode ser escrita como:

dm

dt= qe − qs (4.27)

Nesta equacao geral de balanco m e a parcela da quantidade balanceada no sistema

e os dois termos a direita na equacao sao taxas que podem variar com o tempo. Quando

a densidade for constante o termo de acumulacao pode escrito da seguinte forma:

A(Acumulo) =dm

dt=d(ρV )

dt= ρ

dV

dt(4.28)

4.4 Balanco Material 28

A equacao aplicada a um sistema contınuo em estado estacionario determina que

m seja constante indicando que a derivada e igual a zero, logo:

E − S = Ac (4.29)

Entretanto, se qualquer termo varia com o tempo, a derivada ao lado esquerdo

da equacao permanece como parte da equacao. Logo a equacao de balanco para um

sistema em estado nao estacionario a um determinado instante de tempo sera uma equacao

diferencial.

29

5 Transformadas de Laplace

A transformada de Laplace e um metodo de resolucao de equacoes diferenciais e dos

correspondes problemas de valor inicial e de contorno. Ela e importante para o controle

automatico porque os modelos matematicos dos sistemas fısicos que se deseja controlar

sao, em geral, descritos por equacoes diferenciais. A aplicacao da transformada de Laplace

permite prever o que deve acontecer no futuro de um sistema, o que e fundamental para

o controle deste sistema. Em outras palavras, pode prever qual sera a resposta de um

sistema a uma entrada conhecida. Nas situacoes de Engenharia e essencial a analise

desses sistemas e a determinacao de seu comportamento em resposta a certas excitacoes

iniciais (condicoes iniciais). Dessa forma e possıvel visualizar e descrever o comportamento

dinamico de sistemas em termos de sinais e suas interrelacoes com as operacoes executadas

no sistema.

Em alguns casos, o modelo matematico, constituıdo de equacoes diferenciais, de um

sistema dinamico, pode ser transformado num modelo de equacoes algebricas, por meio

de transformadas funcionais Essas transformadas funcionais sao definidas por funcoes

convenientemente definidas.

Quando o modelo matematico de um fenomeno e constituıdo de equacoes diferen-

ciais onde o tempo e uma variavel independente, existe uma transformada funcional que

transforma o modelo em equacoes diferenciais num modelo em equacoes algebricas. Essa

transformada funcional e chamada de Transformada de Laplace.

Definicao 5.0.1 (A transformada de Laplace). Dada uma funcao f(t) definida para todo

t ≥ 0, a transformada de Laplace de f e a funcao F de s definida como segue:

L {(f)} = F (s) =

∫ ∞0

e−stf(t)dt (5.1)

para todos os valores de s para os quais a integral impropria converge.

Assim a transformada de Laplace transforma uma funcao f de variavel indepen-

dente t, numa outra funcao, que denotaremos F , de variavel independente s. E comum

incluir o zero no intervalo de integracao, isto e, quando o limite a direita e a esquerda de


zero sao diferentes, usa-se o valor a esquerda para incluir os fatos que ocorrem quando

t = 0.

Teorema 5.0.1 (Linearidade da Transformacao de Laplace). 1 Se a e b sao constantes,

entao

L {af(t) + bg(t)} = aL {f(t)}+ bL {g(t)} (5.2)

para todo s tal que as transformadas de Laplace das funcoes f e g ambas existem.

O teorema 5.0.1 e particularmente importante na justificativa do uso da transfor-

mada de Laplace no processo de modelagem desenvolvido no proximo capıtulo.

Se f e contınua por partes para t ≥ 0, segue-se que a∫ b

0e−stf(t)dt existe para todo

b < ∞. Mas para que F (s) - o limite desta utima integral quando b → ∞ possa existir,

precisamos de alguma condicao sobre a taxa de crescimento de f(t) quando t → ∞.

A funcao f e tida como ordem exponencial quando t → ∞ se existem constantes nao-

negativas M , c e T tais que

|f(t)| ≤Mectparat ≥ T (5.3)

Teorema 5.0.2 (Existencia da Transformada de Laplace). 2 Se a funcao f e contınua

por partes para t ≥ 0 e e de ordem exponencial quanto t→∞, entao sua transformada de

Laplace F (s) = L {f(t)} existe. Mais precisamente, se f e contınua por partes e satisfaz

a condicao 5.3, entao F (s) existe para todo s > c.

Teorema 5.0.3 (Unicidade da Transformada Inversa de Laplace). 3 Suponha que as

funcoes f(t) e g(t) satisfazem as hipoteses do teorema 5.0.2, de modo que suas transfor-

madas de Laplace F (s) = G(s) para todo s > c (para algum c), entao f(s) = g(s) onde

quer que f e g sejam ambas contınuas.

Deste modo, duas funcoes contınuas por partes, de ordem exponencial, com a

mesma transformada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuida-

des isolados. Isto nao e importante na maioria das aplicacoes praticas. Logo, podemos

considerar as transformadas inversas de Laplace como sendo essencialmente unicas.

1A prova do teorema 5.0.1 encontra-se demonstrada na ref. [3], pg. 242.2A prova do teorema 5.0.2 e demonstrada na ref. [3], pg. 246.3O teorema 5.0.3 e provado no Cap. 6 de Matematica Operacional de Churchill, 3a ed. (New York:

McGral-Hill, 1972), apud [3]


Definicao 5.0.2 (Funcao degrau unitario). A funcao degrau unitario e definida por:

u(t) =

1 se t ≥ 0

0 se t < 0

Esta funcao apresenta uma descontinuidade em t = 0, uma vez que o valor de u(t)

se modifica instantaneamente de 0 para 1 quando t=0. E interessante observar que se

pode criar outras funcoes baseando-se na funcao degrau unitario.

Figura 5.1: funcao Degrau de Heaviside ou funcao degrau unitario

Fonte: Laus, L. P.

5.0.1 Transformada de Laplace Inversa

De acordo com o teorema 5.0.3 duas funcoes diferentes que sejam ambas contınuas

para todo t ≥ 0 nao podem ter a mesma transformada de Laplace. Assim, se F (s) e a

transformada de alguma funcao contınua f(t), entao f(t) e univocamente determinada.

Esta observacao nos permite fazer a seguinte definicao:

Se F (s) = L {f(t)}, entao chamamos f(t) a transformada de Laplace inversa de

F (s) e escrevemos:

f(t) = F (s) = L −1 {F (s)} (5.4)

Se for possıvel, obter em uma tabela de Transformadas de Laplace, uma funcao

de t que, uma vez transformada para s, seja igual a funcao a qual se deseja a transfor-

mada inversa, o trabalho e imediato. Evidentemente, o teorema 5.0.1, da linearidade da

Transformada de Laplace ajuda muito; atraves de um pequeno trabalho algebrico e facil

de converter a funcao desejada para a forma que ela se apresenta na tabela. A maioria

das funcoes do tempo t, quando transformadas para frequencia complexa de s atraves


da aplicacao da transformada de Laplace, se apresenta na forma de uma fracao de po-

linomios (uma funcao racional). Alem disso, a maioria dos sistemas sao descritos por

equacoes diferenciais, que quando transformadas para s se tornam polinomios ou quoci-

entes de polinomios. Por isso, nos casos que mais ha interesse pratico, pode-se escrever

uma funcao de s como:

F (s) =G(s)

H(s)(5.5)

onde G(s) e H(s) sao ambos polinomios de s. Para calcular transformada inversa com o

uso de tabelas e necessario dividir (ou particionar) F (s) em uma representacao de tal forma

que cada termo possua sua inversa ja tabelada. A tabela 5.1 ilustra as transformadas

inversas de Laplace uteis neste trabalho.

Tabela 5.1: Transformadas inversas de Laplace

L {F (s)} funcao no domınio do tempo

1 δ(t) impulso unitario

1s

u(t) degrau unitario

1s(s+a)

1a

(1− e−at)

Fonte: Edwards, C. H. Jr. - Adaptada

33

6 Metodologia e Modelo

Inicialmente, considerou-se o balanco material aplicado a um processo contınuo em

regime estacionario nos termos da equacao 4.29

E − S = Ac

Supondo na alimentacao uma vazao de entrada qe(L/s) e densidade de corrente

ρe(g/L) temos:

1. Entra (g/s) = qe(L/s) · ρe(g/L)

2. Sai (g/s) = qs(L/s) · ρs(g/L)

3. Acumulo (g/s) = dm/dt = d(ρsV )/dt

Daı:d (ρsV )

dt= (qe) (ρe)− (qs) (qs) (6.1)

Resolvendo:

Vdρsdt

+ ρsdV

dt= ρeqe − ρsqs (6.2)

Considerou-se nao haver variacao substancial na densidade antes e apos o processo,

dρ/dt = 0. Portanto a equacao fica:

ρsdV

dt= ρeqe − ρsqs (6.3)

Com a consideracao que ρe = ρs ⇒ dVdt

= qe − qs

Ou seja: qe − qs = ∂V∂t

, equivalentemente:

qe − qs =εA∂H (t)

∂t(6.4)

Considerando as condicoes do escoamento em colunas empacotadas, e razoavel

considerar uma resistencia para qs. Tal resistencia R e diretamente proporcional a altura


H, logo:

qs ∼=H(t)

R⇒ qs = φ

H(t)

R(6.5)

Substituindo 6.5 em 6.4, temos:

qe − φH (t)

R=εA∂H (t)

∂t(6.6)

Aplicando a definicao da Transformada de Laplace no segundo membro da equacao

6.6, e em seguida fazendo o produto de ambos os membros da equacao por Rφ

, obtemos:

R

φqe −H (t) =

εAR

φH (t) s (6.7)

equivalente a:

R

φqe =

(εAR

φs+ 1

)H (t) (6.8)

resolvendo para H(t), com qe = cte

H (t) =R/φ(

εARφs+ 1

)qE

(6.9)

Fazendo a analise dimensional na equacao 6.5, ⇒ R = Hqs

= mm3/h

= hm2 , logo o

termo AR = m2 · hm2 = h. Faremos h = L

A definicao 5.0.2 (Funcao degrau unitario) nos permite definir a funcao f(t) = a,

com a ≤ t ≤ ∞⇒ f(t) = as. (pertubacao passo unitario)

Figura 6.1: funcao passo unitario



Substituindo as

= qe e AR = L na equacao 6.9 temos:

H (t) =R/φ(

εLφs+ 1

) · as

(6.10)

equivalente a:

H (t) =aR

φ·

(1

s( εLφs+ 1)

)(6.11)

donde,

H (t) =aR

εL·

(1

s(s+ φ

εL

)) (6.12)

e a funcao que representa o domınio da frequencia.

O teorema 5.0.1, da linearidade da Transformada de Laplace nos permite fazer as

manipulacoes algebricas ate agora executadas. A finalidade e converter a funcao H(t)

para uma forma que se apresenta na tabela 5.1. Desta forma:

H (t) =aR

6 ε 6 L

(6 ε 6 Lφ

(1− e−

φεL

t))

(6.13)

simplificando, obtemos a funcao H(t) no domınio do tempo.

H (t) =aR

φ

(1− e−

φεL

t)

(6.14)

Figura 6.2: Domınio do tempo


H(t) no domınio do tempo, quando t = 0⇒ H(t) = 0 e para t =∞⇒ H(t) = aRφ

6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao 36

6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao

Tomou-se a equacao 6.14 que representa a altura do fluido na coluna em funcao

do tempo t. Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equacao, fica assim:

ln(H(t)) = lnaR

φ+ bx (6.15)

Onde bx = ln(

1− e− φεL

t)

. E o problema original de encontrar o ajuste1 de

mınimos quadrados nao linear para o conjunto de valores para a funcao 6.14 passa a

ser o problema de ajuste linear do conjunto de dados {{xi, lnfi}}ni=1.

Os dados praticos utilizados para estimar as equacoes de regressao foram obtidos

no Trabalho de Conclusao de curso (TCC) de Ferraz Neto, W. S. Disponıvel em [10], e

estao ilustrados na tabela 6.1. As colunas: britado + aglomerado, britado e aglomerado,

ilustram os dados obtidos diretamente na coluna de extracao mineral. Onde: V = vazao

de saıda, H = altura do fluido na coluna e T = tempo.

As equacoes de regressao foram estimadas por analise de regressao linear no apli-

cativo Minitab 16. Seguem:

Aglomerado + Britado:

ln(h) = 2, 71 + 0, 00241x (6.16)

tomando o antilogaritmo nas constantes

H = 15, 48 + 1, 00241X (6.17)

Britado:

ln(h) = 2, 59 + 0, 00421x (6.18)


H = 13, 330 + 1, 00428X (6.19)

Aglomerado:

ln(h) = 2, 231 + 0, 0155X (6.20)

1Os dados para ajuste sao {{xi, fi}}ni=1, onde o conjunto X = {xi}ni=1 e utilizado para definir o produto

interno (·, ·)x. Se f for conhecida, fi ≡ f(xi), caso contrario fi e um dado de entrada no problema de

ajuste.

6.1 Estimativa das Equacoes de Regressao 37


H = 9, 31 + 1, 0156X (6.21)

Verificou-se nos resultados, que ao se confrontar os dados praticos com a equacao

6.14 haveria a necessidade de se introduzir uma constante de ajuste.

Tabela 6.1: Dados experimentais: vazao, altura na coluna e tempo

Brit. + Aglo. Britado Aglomerado

V H T V H T V H T

0.8 4.00 6.00 0.3 4.00 5.00 4.2 4.00 6.00

1.3 8.00 8.00 1.3 8.00 7.00 4.2 8.00 7.00

1.6 12.0 9.00 1.7 12.0 8.00 4.2 12.0 8.00

1.1 16.0 10.0 2.4 16.0 11.0 4.2 16.0 9.00

0.2 20.0 11.0 2.6 20.0 13.0 0.4 20.0 23.0

1.8 26.3 21.0 3.1 24.0 23.0 0.5 21.5 33.0

2.3 29.0 31.0 3.4 24.5 33.0 0.3 22.5 43.0

2.4 28.3 41.0 3.3 24.3 42.0 0.3 22.9 53.0

2.7 28.5 51.0 3.0 23.8 62.0 0.3 23.4 63.0

2.3 23.5 71.0 2.9 22.5 82.0 0.1 24.0 83.0

2.1 22.5 91.0 2.4 21.4 102 0.1 24.6 103

2.1 22.8 111 2.3 20.0 122 - - -

2.0 22 131 2.3 20.7 142 - - -

2.0 21.5 151 2.3 20.0 162 - - -

2.0 20.5 1171 - - - - - -

2.0 20.3 191 - - - - - -

2.0 20 211 - - - - - -

Fonte: Ferraz Neto, W. S.

Os coeficientes da equacao 6.14, foram obtidos atraves da relacao linear que ha

entre os coeficientes das equacoes de regressao e as coordenadas de seus pontos.

A saber;

1. Aglomerado + Britado

6.2 Resultados e Discussoes 38

Da equacao 6.17 vem; 15, 48 · aRφ

= 20⇒ aRφ

= 1, 29199

⇒ − φεL

= 1, 00241

2. Britado

Da equacao 6.19 vem; 13, 330 · aRφ

= 20⇒ aRφ

= 1, 50037

⇒ − φεL

= 1, 00428

3. Aglomerado

Analogamente, da equacao 6.22 vem; 9, 31 · aRφ

= 24⇒ aRφ

= 2, 57787

⇒ − φεL

= 1, 0156

6.2 Resultados e Discussoes

Em virtude dos valores alcancados para as constantes realizou-se a comparacao

entre as curvas praticas e as curvas teoricas. Nas figuras 6.3, 6.4 e 6.5 pode-se observar

claramente um padrao de comportamento entre as curvas teoricas e praticas. A curva

teorica diverge da pratica diretamente na sua imagem (Transformacao de translacao em

relacao ao eixo y), isto indica a presenca de um incremento no coeficiente linear da equacao

de regressao.

Figura 6.3: Curva Transladada (Aglomerado + Britado)



Figura 6.4: Curva Transladada (Britado)


As figuras 6.3, 6.4 e 6.5 estao ilustradas com o parametro ausente.

Figura 6.5: Curva Transladada (Aglomerado)


Frente ao comportamento transladado na curva, Surgiram perguntas. Como adi-

cionar uma constante de ajuste na equacao? Qual seria o criterio para definir adequada-

mente este parametro? Na busca as respostas , observou-se o surgimento de uma razao

aproximadamente constante ente as imagens dessas funcoes. Seria o incremento?

Nota-se uma transformacao de translacao dos pontos das tres curvas em relacao a


coordenada y. Isto e um indicador de que ha um fator de transformacao no grafico. Por-

tanto, determinando este fator ou a inversa dessa transformacao determina-se o parametro

necessario ao ajuste dos pontos do grafico.

Para calcular a magnitude do incremento e verificar o comportamento da curva em

cada situacao, calculou-se um parametro de ajuste λ.

Para determinar o parametro λ, definiu-se,

λ =

a+ bx = λy′

a+ bx = y

dividindo o sistema membro a membro fica,

λ = yy′

para quaisquer pontos da forma P1(x1; y1) e P2(x1; y2). Dessa forma, o parametro λ em

cada experimento e:

1. Aglomerado + Britado

λ = yy′

= 0, 774⇒ aRφ· λ = 0, 99923

2. Britado

λ = yy′

= 0, 666⇒ aRφ· λ = 0, 99926

3. Aglomerado

λ = yy′

= 0, 387⇒ aRφ· λ = 0, 99984

Para quaisquer pontos P1(x1; y1) e P2(x1; y2).

Apos a determinacao do parametro, a equacao 6.14 fica reajustada da seguinte

forma:

H (t) =aR

φλ(

1− e−φεL

t)

(6.22)

e desta maneira, para os pontos P1, P2, ..., Pn da tabela 6.1 tem-se abaixo, em forma

grafica, os seguintes resultados ajustados com λ = 0, 774, 0, 666 e 0, 387, para os materiais

aglomerado + britado, britado e o aglomerado, respectivamente.


Figura 6.6: Curva ajustada (Aglomerado + Britado)


As figuras 6.6, 6.7 e 6.8 ilustra a concordancia das series pratica e teorica.

Figura 6.7: Curva ajustada (Britado)



Figura 6.8: Curva ajustada (Aglomerado)


Nas figuras 6.6, 6.7 e 6.8 nota-se uma concordancia entre as curvas teoricas e

praticas absolutamente semelhante em termos estatısticos. A linearidade da Transfor-

mada de Laplace aliada ao teorema 5.0.3 (Unicidade da Transformada Inversa de Laplace),

afirma que duas funcoes contınuas por partes, de ordem exponencial, com a mesma trans-

formada de Laplace, podem diferir apenas nos seus pontos de descontinuidades isolados.

Portanto, para fins de engenharia admite-se que a inversa de Laplace e unica.

Portanto, este fato e suficiente para justificar o comportamento da equacao 6.14

frente aos dados analisados, pois se a Inversa de Laplace e unica para ambas as curvas,

elas so poderao diferir na presenca de uma constante. A linearidade da Transformada de

Laplace e suficiente para provar este fato.

Entretanto, ressalta-se a necessidade de se realizar uma analise matematica mais

acurada para consolidadar esse fato.

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7 conclusao

Conhecer os aspectos operacionais da coluna de lixiviacao permite que se tenha o

controle de parametros importantes nos ensaios de lixiviacao, como a altura de fluido na

coluna e o tempo de contato entre o agente lixiviante e minerio.

Para que a lixiviacao seja eficiente, e necessario que o agente lixiviante permaneca

em contato, por um tempo determinado, com todas as partıculas de minerio. Esta

eficiencia pode ser facilmente atingida se houver uma ferramenta capaz de prever o tempo

necessario, e o correspondente controle na altura de fluido presente na coluna. A equacao

6.14, mostrou ser uma ferramenta poderosa para se fazer o controle de altura do fluido na

coluna de lixiviacao, sua elevada capacidade de modelagem e controle de altura do fluido

permite fazer previsoes quanto ao tempo mınimo necessario para que ocorra a saturacao

do meio lixiviante, seja diretamente no modelo ou, de acordo com a ocasiao, e de forma

pratica, em sua equacao de regressao, levando em conta a taxa de variacao que se deseja

e determinadas caracterısticas fısicas do minerio.

Durante o processo de lixiviacao ha a necessidade de se fazer ajustes pontuais na

vazao de entrada, para evitar transbordo. Esta e uma medida de controle, sua utilizacao

no decorrer do processo faz a vazao de saıda variar com o tempo ate atingir o equilıbrio,

este ocorre quando quando a vazao de saıda se aproximar do valor de entrada, quando

isso ocorre a altura da coluna de fluido se mantem constante.

A relevancia deste estudo se deve a possibilidade de se vislumbrar novos horizontes

na producao de cobre, via lixiviacao em colunas, atraves do aproveitamento do minerio

de cobre oxidado, que hoje e estocado por se considerado esterio.

Esses resultados servirao de base para no futuro aprofundarem-se os estudos de

lixiviacao em colunas, e o posterior dimensionamento de colunas e circuitos de colunas de

lixiviacao. Deve-se levar em consideracao a concentracao de cobre no agente lixiviante,

pois, neste estudo nao se considerou este parametro, ao inves do uso de acido usou-se

agua, o ideal seria submeter o minerio de cobre oxidado a lixiviacao com acido sulfurico

(H2SO4). Esta e uma recomendacao a ser considerada em trabalhos futuros.

Referencias Bibliograficas

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 45

- Universidade Federal do Para, Faculdade de Enga. de Minas e Meio Ambiente,

Maraba, 2013.

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