tarefa_modulo5_respostas

Pesquisa Operacional – UNISINOS EAD Prof. Débora Azevedo – Tutor Fabiano Ahlert

Respostas da Tarefa do Módulo 5 PL com variáveis dicotômicas (binárias)

Tarefa Módulo 5 – Problema 1

A. Ruela é dono de uma fábrica de parafusos. Como está se saindo bem no negócio, decidiu montar duas novas fábricas para atender a 3 mercados promissores. Ele pode escolher entre 4 locais, mas os locais A e B são mutuamente exclusivos. Os custos envolvidos (custo de implantação e custos de transporte por tonelada dos possíveis locais de instalação a esses novos mercados), capacidades produtivas e demandas mínimas de cada mercado são dados na tabela a seguir. Formular o problema de forma que a demanda seja satisfeita ao menor custo global possível.

Mercados locais

Custo de transporte ($) Custo de implantação

Capacidade Produtiva (ton) 1 2 3

A 2,0 1,8 3,5 180 700

B 1,2 1,5 3,8 205 500

C 0,9 0,5 1,2 260 400

D 2,1 1,1 2,6 150 600

Demanda (ton)

200 220 300

SOLUÇÃO: Variáveis de decisão: i : montar ou não a fábrica no local “i”, onde i = {A,B,C,D}, o valor de “i” pode ser 0 ou 1 ij : quantidade (ton) a ser transportada da fábrica “i” até o local “j” , onde i = {A,B,C,D} e j = {1,2,3} Função Objetivo: MIN 180A + 205B + 260C + 150D + 2A1 + 1.8A2 + 3.5A3 + 1.2B1 + 1.5B2 + 3.8B3 + 0.9C1 + 0.5C2 + 1.2C3 + 2.1D1 + 1.1D2 + 2.6D3 Sistema de restrições: !RESTRIÇÕES DE DEMANDA Demanda1) A1 + B1 + C1 +D1 >= 200 Demanda2) A2 + B2 + C2 +D2 >= 220 Demanda3) A3 + B3 + C3 +D3 >= 300 !RESTRIÇÕES DE CAPACIDADE CapA) A1 + A2 + A3 <= 700 CapB) B1 + B2 + B3 <= 500 CapC) C1 + C2 + C3 <= 400 CapD) D1 + D2 + D3 <= 600 !RESTRIÇÕES DE EXCLUSIVIDADE AB_EXCL) A + B <= 1

!Explicação: se A for igual a 1, para a soma ser menor ou igual a 1, B terá que ser ZERO, e vice-versa, o que atende a restrição, já que ambos não podem ser 1 ao mesmo tempo. !EXATAMENTE DUAS FÁBRICAS 2FABR) A + B + C + D = 2 !LINK ENTRE REAL E BINARIA (SE ALGO FOR TRANSPORTADO, TEM QUE CONSTRUIR A FÁBRICA) 1000A – (A1 + A2 + A3) >= 0 1000B – (B1 + B2 + B3) >= 0 1000C – (C1 + C2 + C3) >= 0 1000D – (D1 + D2 + D3) >= 0 !Explicação: se algo for transportado, as variáveis “ij” assumirão algum valor maior que ZERO; sendo assim, para a conta fechar em “maior ou igual a zero”, a variável “i” tem que assumir valor 1; mas existe a possibilidade de a variável “i” assumir valor 1 e as variáveis “ij” respectivas valerem ZERO, o que é tratado na próxima restrição !LINK ENTRE REAL E BINARIA (SE A FÁBRICA FOR CONSTRUIDA, TEM QUE TRANSPORTAR ALGO) (A1 + A2 + A3) – A >= 0 (B1 + B2 + B3) – B >= 0 (C1 + C2 + C3) – C >= 0 (D1 + D2 + D3) – D >= 0 !Explicação: se a variável “i” assumir 1 (construir a fábrica), algo deverá ser fabricado e transportado da fábrica, então as variáveis “ij” não podem assumir valor nulo !Não esquecer que as variáveis que valem 0 ou 1 precisam ter a especificação “INT” + variável ao final do modelo, para rodar no Lingo, como abaixo: INT A INT B INT C INT D !Colocar após o “END” SOLUÇÃO DO LINGO: Global optimal solution found.

Objective value: 1295.000

Objective bound: 1295.000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 2

Total solver iterations: 18

Model Class: MILP

Total variables: 16

Nonlinear variables: 0

Integer variables: 4

Total constraints: 18

Nonlinear constraints: 0

Total nonzeros: 78

Nonlinear nonzeros: 0

Variable Value Reduced Cost

A 0.000000 180.0000

B 1.000000 205.0000

C 1.000000 260.0000

D 0.000000 -250.0000

A1 0.000000 0.8000000

A2 0.000000 0.3000000

A3 0.000000 1.300000

B1 200.0000 0.000000

B2 120.0000 0.000000

B3 0.000000 1.600000

C1 0.000000 0.7000000

C2 100.0000 0.000000

C3 300.0000 0.000000

D1 0.000000 1.300000

D2 0.000000 0.000000

D3 0.000000 0.8000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 1295.000 -1.000000

DEMANDA1 0.000000 -1.200000

DEMANDA2 0.000000 -1.500000

DEMANDA3 0.000000 -2.200000

CAPA 700.0000 0.000000

CAPB 180.0000 0.000000

CAPC 0.000000 1.000000

CAPD 600.0000 0.000000

AB_EXCL 0.000000 0.000000

FABR2 0.000000 0.000000

11 0.000000 0.000000

12 680.0000 0.000000

13 600.0000 0.000000

14 0.000000 -0.4000000

15 0.000000 0.000000

16 319.0000 0.000000

17 399.0000 0.000000

18 0.000000 0.000000

Interpretação: para o problema apresentado o custo mínimo possível é de $ 1.295, construindo as fábricas B e C e transportando 200 toneladas da fábrica B para o mercado 1, e 120 toneladas da fábrica B para o mercado 2; e 100 toneladas da fábrica C para o mercado 2 e 300 toneladas da fábrica C para o mercado 3.

Tarefa Módulo 5 – Problema 2 Formular o modelo de Programação Linear que permita determinar o percurso mínimo, entre a origem (A) e o destino (G), no grafo orientado abaixo. Os valores colocados junto aos ramos representam as distâncias de um nó ao outro.

SOLUÇÃO: Variáveis de decisão: ij : percorrer ou não o caminho de “i” a “j”, onde i = {A,B,C,D,E,F,G} e j = {A,B,C,D,E,F,G}, o valor de “ij” pode ser 0 ou 1 Função Objetivo: MIN 3AB + 2BA + 5BF + 7BD + 2DF + 3FG + 1DG + 1AC + 4CD + 2CE + 2EC + 6EG !UTILIZOU-SE OS CUSTOS DA GRAVURA NOS CAMINHOS POSSÍVEIS Sistema de restrições: !SEGUNDO AS DICAS PASSADAS NOS SLIDES: TEM QUE SAIR DO “A” (SE SOMARMOS TUDO QUE SAI DE A, O RESULTADO TEM QUE SER 1) A) AB + AC = 1 !SEGUNDO AS DICAS PASSADAS NOS SLIDES: TEM QUE CHEGAR NO “G” (SE SOMARMOS TUDO QUE CHEGA EM G, O RESULTADO TEM QUE SER 1) G) FG + DG + EG = 1 !SE ENTRAR, TEM QUE SAIR! EX.: SE AB = 1, AS VARIÁVEIS QUE SAEM DE B (BA, BD, BF) TEM QUE SOMAR 1 TAMBÉM. SE AB = 0, A SOMA DAS TRÊS TEM QUE SER ZERO. ENTÃO, TEMOS QUE: !AB = BA + BA +BF, PORQUE DOS DOIS LADOS TEM QUE TER O MESMO RESULTADO !PASSANDO TUDO PARA A ESQUERDA: B) AB – BA – BD – BF = 0 C) AC + EC – CD – CE = 0 D) CD + BD – DF – DG = 0 E) CE – EC – EG = 0 F) BF + DF – FG = 0 !Não esquecer que as variáveis que valem 0 ou 1 precisam ter a especificação “INT” + variável ao final do modelo, para rodar no Lingo, como abaixo: INT 12

!Essa especificação precisa ser após o “END” e como neste modelo todas são binárias, basta colocar a quantidade de variáveis, para não ter que citar todas SOLUÇÃO DO LINGO: Global optimal solution found.






Model Class: PILP

Total variables: 12





Total nonzeros: 35



AB 0.000000 3.000000

BA 0.000000 2.000000

BF 0.000000 5.000000

BD 0.000000 7.000000

DF 0.000000 2.000000

FG 0.000000 3.000000

DG 1.000000 1.000000

AC 1.000000 1.000000

CD 1.000000 4.000000

CE 0.000000 2.000000

EC 0.000000 2.000000

EG 0.000000 6.000000


1 6.000000 -1.000000

A 0.000000 0.000000

G 0.000000 0.000000

B 0.000000 0.000000

C 0.000000 0.000000

D 0.000000 0.000000

E 0.000000 0.000000

F 0.000000 0.000000

Interpretação: o caminho de menor distância é o caminho de A até C, C até D, D até G, com uma distância de 6 unidades de medida.

Tarefa Módulo 5 – Problema 3 Alencar foi ao supermercado fazer compras para o jantar. Ele tem 9 itens na lista de compras, sendo que cada um dos itens oferece um grau de satisfação e tem preço conforme a tabela a seguir:

Item A B C D E F G H I

Grau de satisfação 2 5 1 3 7 4 2 5 3

Preço ($) 10 15 5 8 12 2 4 6 7

Caso ele decida comprar o produto G ele também deve comprar o produto D. Se ele comprar o produto D, ele não deve comprar o produto I. Formule o problema de programação linear que maximiza a satisfação de Alencar, considerando que ele pode dispor de $ 40. SOLUÇÃO: Variáveis de decisão: i : levar ou não o item “i”, sendo i = {A,B,C,D,E,F,G,H,I} e valor 0 ou 1 Função Objetivo: MAX 2A + 5B + 1C + 3D + 7E + 4F + 2G + 5H + 3I Sistema de restrições: Dinheiro) 10A + 15B + 5C + 8D + 12E + 2F + 4G + 6H + 7I <= 40 SE_G_TB_D) D – G >= 0 !PODE COMPRAR “D” E “G”, PODE COMPRAR SÓ “D”, MAS SE COMPRAR “G”, TEM QUE COMPRAR TAMBÉM “D”, CASO CONTRÁRIO O RESULTADO SERIA NEGATIVO SE_D_NAO_I) D + I <= 1 !SOMENTE “D” PODE ASSUMIR VALOR 1 OU SOMENTE “I”, AMBOS NÃO !Não esquecer que as variáveis que valem 0 ou 1 precisam ter a especificação “INT” + variável ao final do modelo, para rodar no Lingo, como abaixo: INT 9 !Essa especificação precisa ser após o “END” e como neste modelo todas são binárias, basta colocar a quantidade de variáveis, para não ter que citar todas SOLUÇÃO DO LINGO: Global optimal solution found.






Model Class: PILP

Total variables: 9





Total nonzeros: 22



A 0.000000 -2.000000

B 0.000000 -5.000000

C 1.000000 -1.000000

D 1.000000 -3.000000

E 1.000000 -7.000000

F 1.000000 -4.000000

G 1.000000 -2.000000

H 1.000000 -5.000000

I 0.000000 -3.000000


1 22.00000 1.000000

DINHEIRO 3.000000 0.000000

SE_G_TB_D 0.000000 0.000000

SE_D_NAO_I 0.000000 0.000000

Interpretação: o grau de satisfação máxima é 22. Para tanto, Alencar deverá comprar os itens C, D, E, F, G, H, sobrando um troco de R$ 3.

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