Tarefa 2 (MA225Z) - Análise horizontal de livro didático

GRUPO CIvan X. M. do Nascimento – RA:071212Lucas Miguel de Carvalho – RA: 094071Thaís de Almeida Guizellini – RA:104157Waldeci R. do Nascimento – RA: 963396

1º semestre de 2014

1 IntroduçãoO presente trabalho, resultado da proposta feita junto à disciplina Análise de Materiais Didáti-

dos (MA225), oferecida pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) no primeiro semestre de2014, consiste na análise horizontal (comparativa) do tema “Números Complexos” de dois livros didáticosdistintos, escolhidos pelo docente da disciplina, Prof. Henrique N. Sá Earp: Machado [Machado, pp.575–587, 622–633] e Paiva [Paiva, pp. 123–147]. Enquanto o primeiro consiste em um volúme único, ooutro é direcionado apenas ao terceiro ano, ambos para o Ensino Médio. Apesar disso, a quantidade depáginas utilizadas para tratar do conteúdo atribuído ao grupo é praticamente a mesma nos dois.

Dessa forma, o objetivo deste trabalho é simular um processo de escolha de livro didático entre doiscandidatos, considerando “números complexos” como um conteúdo amostral que servirá de base paranossa decisão, segundo critérios definidos pelo próprio grupo.

1.1 Sobre o Ensino Médio

Os Parâmetros Curriculares Nacionais [PCN] são a “proposta” oficial do Governo Federal para aeducação brasileira. Dentre tantos outros aspectos e diretrizes, constam no documento alguns trechosrelevantes para a contextualização deste trabalho.

Esse documento destaca que as propostas apresentadas visam um “Ensino Médio que, sem ser pro-fissionalizante, efetivamente propicie um aprendizado útil à vida e ao trabalho, no qual as informações,o conhecimento, as competências, as habilidades e os valores desenvolvidos sejam instrumentos reais depercepção, satisfação, interpretação, julgamento, atuação, desenvolvimento pessoal ou de aprendizadopermanente, evitando tópicos cujos sentidos só possam ser compreendidos em outra etapa da escolari-dade” [PCN, p. 4]. Há no conteúdo dos PCN um forte apelo para que os três últimos anos de ensinobásico não mantenham seu caráter propedêutico atual, isto é, que não funcionem como um preparatóriopara outros níveis de ensino.

[PCN, p. 8, § 1]As modalidades exclusivamente pré-universitárias e exclusivamente profissionalizantes do En-sino Médio precisam ser superadas, de forma a garantir a pretendida universalidade desse nívelde ensino, que igualmente contemple quem encerre no Ensino Médio sua formação escolar equem se dirija a outras etapas de escolarização.

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Somadas, as orientações gerais do PCN deixam em aberto a necessidade de tratar de números com-plexos no ensino médio. De fato, é consenso que poucos professores da escola pública abordam esse temaem sala de aula. As justificativas mais comuns são a falta de tempo hábil e o baixo nível dos alunos e/ouseu desinteresse para com o assunto. Entretanto, tomando como base o documento “Currículo do Estadode São Paulo para matemática e suas tecnologias”[CurriculoSP], por exemplo, fica claro que os númeroscomplexos constam como tema a ser trabalhado em sala de aula.

[CurriculoSP, p. 69 ]3ª série do Ensino Médio - 2º bimestreConteúdos: Equações algébricas e números complexos

• (. . .)• Números complexos: operações e representação geométrica

O aluno deve saber expressar o significado dos números complexos por meio do plano deArgand-Gauss.

• (. . .)

Portanto, apesar da realidade das escolas públicas aparentemente ser diferente do esperado pelo Go-verno do Estado, a discussão sobre como o conteúdo é ensinado passa a ser relevante quando este éexplicitamente mencionado em documentos como esse apresentado acima.

Sobre o estudante do ensino médio, que tipicamente tem entre 15 e 17 anos, os PCN destacam:

[PCN, p. 6, § 2]Mais amplamente integrado à vida comunitária, o estudante da escola de nível médio já temcondições de compreender e desenvolver consciência mais plena de suas responsabilidades edireitos, juntamente com o aprendizado disciplinar.

Tal caracterização do estudante se reforça ainda mais quando admitimos que os números complexosfazem parte do terceiro e último ano do Ensino Médio. Assim, essa é um breve perfil dos que podemoschamar de público-alvo do conteúdo a ser analisado aqui.

1.2 O papel do livro didático

Conforme já discutido em aula e na tarefa anterior, é fundamental o entendimento (ainda que geral) dopapel do livro didático dentro da sala de aula, para que se possa a partir disso propor uma metodologia deanálise condizente com tais expectivas. Segundo o Plano Nacional do Livro Didático, o livro deve assumiro papel de “texto de referência” para o professor, auxiliar no planejamento e gestão de suas aulas,tanto no que se refere ao conteúdo e sua distribuição no calendário anual, quanto a atividades, exercíciose trabalhos propostos. Igualmente, no âmbito dos alunos, o livro deve consolidar, ampliar, aprofundar, eintegrar os conhecimentos adquiridos, primando por conteúdos socialmente relevantes, e contribuindopara a autonomia e para capacidade de autoavaliação do estudante [PNLD2014].

Tal é a importância do livro didático que Elon Lages Lima, no início de sua avaliação de livrosaprovados pelos PCN, ressalta que o livro “é, na maioria dos casos, a única fonte de referência comque conta o professor para organizar suas aulas, e até mesmo para firmar seus conhecimentos e dosar aapresentação que fará em classe”.

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2 Metodologia de análiseA fim de comparar as abordagens de Machado e Paiva para o tema números complexos, dividimos

o conteúdo (explicativo e de exercícios) entre os cinco integrantes do grupo, tomando como referência osumário do Paiva. Cada um de nós ficou responsável, então, pela análise de uma ou duas seções do livro dePaiva, incluindo exercícios resolvidos e propostos. A tarefa de cada um consistiu em procurar no livro doMachado o conteúdo correspondente ao que lhe havia sido atribuído seguindo o livro de Paiva atentandopara possíveis diferenças de conteúdo e, em seguida, realizar a análise de acordo com os critérios descritosabaixo.

2.1 Comparação de conteúdo comum

Ao encontrar conteúdo comum aos dois livros, foram considerados os seguintes aspectos durante aanálise:

• Didática: qual dos dois textos apresentou mais clareza na explicação, mais objetividade, melhoruso de recursos visuais, etc.

• Rigor matemático: se os conteúdos apresentados apresentam falhas, ambiguidades, imprecisões,etc.

• Organização: qual dos dois apresentou o conteúdo de maneira mais organizada, no sentido daseparação em capítulos e seções, na dispersão de conteúdos que um dos autores tenha optado porabordar conjuntamente, etc.

2.2 Comparação de conteúdo díspar

Ao encontrar conteúdos díspares, isto é, que estavam presentes em um dos livros mas não no outro,foram visados os aspectos:

• Relevância: por que estava em um e não estava em outro? Era necessária a abordagem desseconteúdo? Por que um dos autores optou por não tratar disso?

• Rigor matemático mínimo: se não foi cometido nenhum erro grave, ao abordar o assunto. Paraevitar o aspecto linear da análise, este item foi inserido apenas para que se certificasse que nenhumerro grave estava sendo cometido no conteúdo díspar presente em uma das obras (daí o termo“mínimo”).

2.3 Classificação e comparação de exercícios resolvidos e propostos

O objetivo deste critério é determinar qual das duas obras apresenta exercícios com menos problemasde formulação e mecanização. Para isso, todos os exercícios foram classificados em

• Fáceis: aqueles que são imediatos e/ou podem ser resolvidos com aplicação direta de fórmula e/ouconceito estudados em páginas anteriores (dentro do mesmo livro).

• Difíceis: aqueles mal formulados, ambíguos e/ou que exijam ferramentas que não fazem parte dosassuntos estudados pelo aluno.

• Interessantes: todos aqueles que não são encaixam nas duas classificações anteriores.

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3 A abordagem do conjunto C nas duas obrasNesta seção será descrito como é abordagem de cada livro utilizado na comparação horizontal em

relação ao assunto de números complexos.

3.1 Introdução e definição

Seja qual for o tema que se trate em um livro didático, sua introdução deve despertar o interesse doestudante (leitor) e, dadas as finalidades desse tipo de obra, deve ao mesmo tempo fornecer ao professorum ponto de partida para sua aula. Particularmente, os números complexos constituem um assunto dedifícil abordagem no nível de ensino ao qual os livros de Machado e Paiva se dedicam. Ambos demonstramalguma preocupação em relacionar, de alguma forma, o assunto à realidade do aluno, seja através de umaaplicação em um problema “tangível” ou mesmo por uma introdução histórica rodeada algumas doses doque podemos chamar de intriga científica.

O problema proposto por Paiva

[Paiva, p. 123] opta por iniciar seu sétimo capítulo (Conjunto dos números complexos) com umaatividade que, no fundo, pouco se relaciona com números complexos. Trata-se de uma tentativa falha deatribuir significado real a tal conjunto, como pode ser visto na primeira página do capítulo, reproduzidana Figura 1.

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Figura 1

Felizmente, o autor restringe esse exemplo a apenas essa página e parte para outro, mais geométricoe curioso, que trata do volume de caixas d’água.

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Figura 2

A partir deste problema, a equação 𝑥3 = 6𝑥 − 4 é naturalmente introduzida. Sua resolução é feitaseguindo um método que teria sido proposto pelo matemático italiano Niccolo Fontana (1500 – 1557),conhecido como Tartaglia, cuja aplicação no exemplo envolve, em seus passos intermediários, o cálculo deuma raiz quadrada de um número negativo.

Paiva, então, exibe uma solução real para o problema (𝑥 = 2) e motiva, assim, a possibilidade de seadmitir a existência de um número não real proveniente da raiz quadrada de um número negativo. E, emseguida, parte para a associação de 𝑖 com

√−1 e para o desenvolvimento de suas propriedades.

O pano de fundo histórico de Machado

Seguindo uma linha diferente da do outro autor, [Machado, p. 575] opta por mais detalhes históricos arespeito da suposta “traição” de Cardano a Tartaglia, inserindo inclusive um texto de leitura complementarsobre o episódio. Entretanto, o mais “tangível” que Machado conseguiu chegar foi o tratamento da equação𝑥3 = 𝑎𝑥 + 𝑏, a qual não foi sequer minimamente contextualizada a algum problema, como fez Paiva.

Já no primeiro parágrafo do seu primeiro capítulo sobre números complexos (Números complexos.Forma algébrica, cf. Figura 3), o autor exibe a solução que teria sido publicada por Cardano, fazendocom que o leitor, ainda não motivado, se depare com a espantosa expressão

𝑥 = 3

⎯⎸⎸⎷ 𝑏

2 +

√︃(︂𝑏

2

)︂2−

(︂𝑎

3

)︂3+ 3

⎯⎸⎸⎷ 𝑏

2 −

√︃(︂𝑏

2

)︂2−

(︂𝑎

3

)︂3.

Dessa forma, o autor corre o risco de perder o interesse do leitor devido à aparente dificuldade dasolução, antes de que este perceba que, no fundo, o que se quer é apenas convencê-lo da plausibilidadedos números complexos (de uma forma estranha).

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Figura 3

Machado ganha alguns pontos no momento em que ele comenta que equações como 𝑥 + 2 = 0 nãoadmitem solução em N mas que, sim, em Z; assim como 𝑥2 + 1 = 0 não possui solução em R mas que,em C, sim. Esta atitude vem esclarecer e corrigir o erro comum, até mesmo para professores, de dizersimplesmente que esse tipo de equação “não possui solução”, sem especificar o conjunto do qual se falaimplicitamente.

Já os exercícios da seção, temos que:i. Paiva: dos 6 exercícios presentes na seção, 4 são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis) e 2 são

interessantes.ii. Machado: dos 6 exercícios presentes na seção, todos são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis)!Como o Paiva é o único que traz exercícios interessantes, podemos destacar o que relaciona não só

números complexos, mas também os números reais (junto com inteiros não-naturais, racionais não-inteirose reais não-racionais!). Observe:

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Figura 4

Agora, os exercícios que consideramos fáceis tem a mesma temática nos dois livros: sempre a procura(ou classificação ou condições) de valores para x e y de tal maneira que o número complexo seja real,imaginário ou imaginário puro. Veja:

Figura 5

E também:

Figura 6

3.2 Primeiras operações com números complexos

Nesta seção do capítulo, se referindo a parte das primeiras operações com números complexos, foramabordados as operações básicas e potências de números complexos.

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3.3 Operações elementares com números complexos

O livro do Paiva, apesar de fazer uma exposição breve em apenas uma página (Página 128), possuiuma seção especial dentro do capítulo 07 que trata o conjunto dos números complexos. Em apenas umapágina, o autor apresenta de forma completa, as operações elementares – soma, subtração, multiplicaçãoe divisão – com suas respectivas propriedades. As operações com números complexos foram colocadascom uma extensão de números reais (Figura 7 e Figura 8).

Figura 7

Figura 8

Em seguida é apresentado um exemplo de cada operação (Figura 9).

Figura 9

Desta forma e após propor sete exercíos, página 130, o autor encerra a seção de operações básicas(Figura 10).

Figura 10

Apesar da visão resumida, o autor consegue abordar de forma satisfatória o tema.O livro do Machado, após uma abordagem histórica e definição de numeros complexos, o autor apre-

senta as quatro operações básicas de forma direta e de forma excluisva, cada uma das operações. Apesarde dedicar 06 páginas (página 579 a 584), não foi criada uma seção específia ao tema, sendo apresentado

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na sequência da definição de números complexos. Cada operação foi tratada em separada com indepen-dência, utilizando o roteiro de formatação: apresentação da operação, exercíos resolvidos e propriedadesexercícios propostos (Figura 11 e Figura 12).

As operações eram desenvolvidas de forma direta:

Figura 11

Figura 12

O Machado utiliza mais exercícios propostos que o Paiva. Nesta seção o autor propos 24 exercícios. Osexercícios, de forma geral, são exercicos tradiocionais, com o objetivo de o aluno fixe, através da práticaa forma de fazer uma das operações elementares com números complexos. Um exercíco que fugiu desseformato foi o exercíco 30, página 584, na figura abaixo:

Figura 13

No aspecto geral, ambos autores trataram os temas de forma semelhante, mesmo utilizando quanti-dades de páginas bem diferentes.

3.4 Potências de números complexos com coeficientes inteiros

O livro Paiva, na página 130, introduz o assunto de potências com números complexos através dasdefinições de potências e suas propriedades dentro dos números reais (Figura 14 e Figura 15), porém aotratar as potências de números complexos, o autor apresenta um teorema (Figura 16) – Página 131 ea demonstração deste. Em seguida a seção é finalizada com um exercício resolvido e quatro exercíciospropostos.

Os exercícios são bem simples e apenas um é um pouco mais elaborado (página 132 - Figura 17).O livro do Machado, na página 584, introduz potências de números complexos sem meras explicações,

no final da página 584 após alguns exercícios propostos da seção anterior. As potências aparecem como“Potencias de i”.

O autor desenvolve o tema contando que “as potencias de um complexo z com expoentes inteiros sãodefinidas de modo análogo ao caso das potencias de base real” - página 585. Em seguida desenvolve aspotencia de i com o expoente zero até o expoente 7 e observa a regularidade de resultado para expoentesmúltiplos de 4 e dai generaliza os resultados para o calculo das demais potencias (Figura 18).

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Figura 14

Figura 15

Figura 16

Figura 17

Após mostrar alguns exercícios resolvidos (página 856), o autor faz um breve desenvolvimento daspotências de a+bi através do binômio de Newton, sem se prolongar no tema, pois é avisado que adianteserá estudada outra forma de calcular essas potências utilizando a forma trigonométrica dos complexos.

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Figura 18

Esta parte e o capitulo é encerrado com um grupo de 07 exercícios com características simples, que servempara o aluno fixar o conhecimento, apenas o último exercício (exercício 40) exigem um pouco mais deatenção do aluno (Figura ??).

Figura 19

Nesta seção o Paiva foi um pouco mais rigoroso e mais claro na exposição, pois desenvolveu o temaatravés de um teorema, que foi demonstrado, e a parte gráfica estava mais legível que a do Machado. Osexercícios tem características muitos similares em ambos.

A divisão dos exercícios nesta seção é da forma:i. Paiva: dos 11 exercícios presentes na seção, 9 são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis) e 2

interessantes.ii. Machado: dos 30 exercícios presentes na seção, 27 são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis),

1 precisa de outros conteúdos (portanto, mais difíceis) e dois interessantes.

3.5 Representação geométrica e módulo

No que se refere à representação geométrica e módulo de um número complexo, Machado e Paivapossuem conteúdos essencialmente equivalentes, isto é, não há disparidade entre eles com relação aosassuntos desta seção. Ambos apresentam os tópicos: plano de Argand-Gauss; afixo; módulo e algumaspropriedades de módulo. A grande diferença reside principalmente na organização desse conteúdo.

Conforme visto, Machado trata de números complexos“dividindo” o assunto entre dois capítulos nãoconsecutivos: o 35 e o 38. Já no capítulo 35 ele introduz indiretamente o plano complexo, ainda semmencioná-lo nem comentá-lo explicitamente, logo após dar exemplos de números imaginários puros. E nãoretorna ao assunto antes do capítulo 38. Ou seja, no capítulo 35 o aluno é apresentado a “um plano” ondepode representar os números complexos e, três capítulos depois, o mesmo plano será retomado, nomeadoe reapresentado desde o começo, sem que se chame a atenção do aluno para o fato de, na verdade, ele jáfoi apresentado a tal conceito antes.

O trecho a seguir ilustra o que ocorre no capítulo 35.

[Machado, p. 577, § –7 a § –4]Nesse caso, o número bi é chamado imaginário puro. Por exemplo, são imaginários purosos números:

2i − 3i 23 i

√2i − 𝜋i

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O conjunto C dos números complexos pode ser representado num plano: a cada númerocomplexo 𝑎 + 𝑏i corresponde um ponto de coordenadas (𝑎, 𝑏) do plano e a cada ponto (𝑥, 𝑦)do plano corresponde um número complexo 𝑥 + 𝑦i.

Figura 20

Nessa correspondência, os números reais ficam representados pelos pontos do eixo das abcissas(que chamamos eixo real). Os números imaginários puros ficam no eixo das ordenadas (quechamamos eixo imaginário).(...)

Fugindo do mérito de essa separação e repetição envolvendo o plano complexo serem questionáveis,Fugindo do caráter linear da análise, ou seja, sem questionar essa separação e repetição envolvendo o

plano complexo, vejamos como Paiva introduz o assunto em sua obra, na 5ª seção de seu capítulo sobrenúmeros complexos, intitulada Representação geométrica do conjunto dos números complexos, momentoem que motiva a existência do plano complexo.

[Paiva, p. 132]Representação geométrica do conjunto dos números complexosQuando estudamos o conjunto R dos números reais, vimos que é possível estabelecer umacorrespondência biunívoca entre R e o conjunto de pontos de uma reta. Assim, podemosrepresentar, geometricamente, o conjunto R por uma reta.

Mostraremos, a seguir, como representar, geometricamente, o conjunto dos números comple-xos.

As explicações que seguem esse bloco de texto se referem à definição do plano de Argand-Gauss, doseixos real e imaginário e do afixo de um número 𝑧 ∈ C, assim como Machado faz em seu capítulo 58.

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Uma diferença importante entre esses trechos das obras é a de que, em Paiva, a introdução ao planocomplexo é seguida de dois exercícios resolvidos e três exercícios propostos, enquanto que Machado optapor continuar a teoria, abordando os conceitos de módulo, argumento e forma polar, para só depois proporsete exercícios.

Paiva se destaca positivamente de Machado ao estabalecer um paralelo com os já familiares númerosreais. Dessa forma, além de retomar conceitos estudados, faz com que o assunto se torne mais natural aosalunos. O mesmo ocorre para o conteito de módulo de um número complexo, como veremos nos trechosde introdução a esse tópico, de ambas as obras, a seguir.

[Machado, p. 623]MóduloDado o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑎 ∈ R e 𝑏 ∈ R, denominamos módulo de 𝑧 (indicamospor |𝑧|) a raiz quadrada aritmética da soma dos quadrados das partes real e imaginária de z:

|𝑧|=√︀

𝑎2 + 𝑏2

Observamos que, para 𝑧 = 0 = 0 + 0𝑖 temos |𝑧|= 0. Para todo 𝑧 ̸= 0, temos |𝑧|> 0.Geometricamente, o módulo de z é igual à distância entre a origem, 𝑂(0, 0) e o afixo de 𝑧,𝑃 (𝑎, 𝑏).

[Paiva, p. 134]Módulo de um número complexoNo volume 1 desta obra, definimos o módulo de um número real 𝑥. Para isso, consideramos noeixo real de origem 𝑂 um ponto 𝐴 de abscissa 𝑥, e definimos o módulo de 𝑥 como a distânciaentre 𝑂 e 𝐴.

Mostraremos, a seguir, como representar, geometricamente, o conjunto dos números comple-xos.

Como dito, a analogia com os reais favorece o entendimento e a conexão de conteúdos. Observe,também, que Machado discretamente menciona que 𝑧 = 0 ⇒ |𝑧|= 0 e ∀𝑧 ∈ C, |𝑧|> 0. Paiva, por suavez e não sem antes resolver e propor alguns exercícios sobre módulo, agrupa organizadamente cincopropriedades do módulo de um número complexo, como mostra o seguinte trecho.

[Paiva, p.135]Propriedades do módulo de um número complexoSendo 𝑧, 𝑧1 e 𝑧2 números complexos quaisquer e 𝑛 um número inteiro, temos:

Apesar de M1 não ser exatamente equivalente àquela observação de Macchado (qual o único 𝑧 ∈ C talque |𝑧|= 0?), o agrupamento dessas propriedades faz com que elas sejam destacadas e não que apareçamperdidas no texto como observações. De fato, Machado também menciona essas cinco propriedades mas

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ao longo do texto, nenhuma com o devido destaque e, com exceção da primeira, todas em seções fora daseção de módulo.

Por outro lado, Paiva não se detém em demonstrar tais propriedades, talvez por considerá-las intuitivasou apenas porque as exponha como meras ferramentas a serem utilizadas mais adiante em seu texto ouas explore em seus exercícios. Machado tampouco demonstra todas mas, pelo menos, espera até que aforma polar seja introduzida por tornar mais simples a dedução. Entretanto, por não destacá-las no textoe misturá-las a “outros” assuntos, não ficam claras sua importância e relativa simplicidade.

Distribuição de Exercícios da seção

[Paiva] Fáceis Difíceis Interessantes TotaisResolvidos 4 1 2 7Propostos 3 0 5 8

Totais 7 1 7 15

[Machado] Fáceis Difíceis Interessantes TotaisResolvidos 1 1 0 2Propostos 3 2 0 5

Totais 4 3 0 7

3.6 Coordenadas polares no plano complexo

Primeiro vamos analisar a forma com que é introduzida a forma trigonométrica de um número com-plexo em ambos os livros. Primeira diferença que se pode notar é que na seção do livro do Machado, háuma introdução ao módulo, afixo e forma trigonométrica na mesma seção, já no livro do Paiva há umadivisão em seções para cada assunto.

A introdução ao capítulo da forma trigonométrica de um número complexo, o livro do Machado, napágina 622, e livro do Paiva, na página 137, ambos introduzem o assunto utilizando a notação do númerocomplexo em um plano complexo. A diferença entre cada um é o modo com que posteriormente é utilizadoo plano complexo, onde o modo utilizado pelo Paiva de chamar o eixo y de Imaginário (Im) e o eixo x deReal (Re) me agrada mais (Figura 21) do que apenas eixo y e eixo x como o Machado utiliza (Figura 22).

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Figura 21

Figura 22

A introdução do argumento de um número complexo é feita de modo bastante parecida. Uma diferençaé que o Paiva prefere utilizar a notação de graus e o Machado a notação de radianos (Machado página624 e Paiva na página 137).

A introdução da forma polar de um número complexo em ambos é feita da mesma forma (Machadopágina 625 e Paiva página 139). O Paiva utiliza-se de observações a níveis de rodapé sobre cada assuntointroduzido (Figura 23).

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Figura 23

Sobre os exercícios do final do capítulo, ambos são muitos completos em relação ao apresentado. Adiferença está em exercícios mais completos, por exemplo, sobre a forma geométrica do módulo de umnúmero complexo e a área delimitada por um número complexo, nos quais são importantíssimos.

Os exercícios sobre a forma geométrica de um número complexo são apresentados por Machado logono final do capítulo (página 626 - exercício 9)(Figura 24), já o Paiva o apresenta somente nos exercícioscomplementares (página 145 - exercício 14)(Figura 25). Os exercícios sobre a área delimitada por umnúmero complexo é proposta apenas por Machado, na página 626, exercício 10.

Figura 24

Figura 25

O livro do Machado é bem completo em conteúdo e exercícios. Há somente um pecado de esquecerde escrever os eixos cartesianos de modo que o aluno perceba sempre que existe o eixo real e o eixoimaginário.

O livro do Paiva apresenta um ótimo conteúdo e exercícios semelhantes aos do Machado, e são deótimo entendimento. O autor poderia ter sido mais correto ao não esquecer de detalhes nas imagensexplicativas aos alunos.

O total de exercícios em cada livro é dado por:

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i. Paiva: dos 10 exercícios presentes na seção, 8 são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis) e 2precisam de outros conteúdos (portanto, mais difíceis).

ii. Machado: dos 7 exercícios presentes na seção, 5 são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis) e 2precisam de outros conteúdos (portanto, mais difíceis).

3.7 Operações na forma trigonométrica

Da mesma maneira que ocorre na forma algébrica, os números complexos na forma trigonométricaexigem certas operações e possuem certas propriedades. E é o que é visto nessa última seção do livro doPaiva.

Inicialmente, a primeira propriedade abordada é sobre multiplicação de complexos em forma trigo-nométrica. Tanto Paiva quanto Machado aborda de mesma maneira: exemplo de dois complexos e omultiplicação entre eles utilizando propriedade algébrica de produto (Figura 26 e Figura 27).

Figura 26

Figura 27

Veja que o autor do primeiro livro generaliza a propriedade sem ao menos exibir outro exemplo quenão fosse numérico. Já Machado exibe, logo em seguida, a generalização para o produto:

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Figura 28

Note que o autor se preocupa com o uso de notações: módulos e argumentos. Um dos problemas quesempre encontramos no livro do Paiva é a falta de uso de notações para módulo, argumento e partes reaise imaginárias de complexos (Figura 29).

Enquanto Machado se preocupa com a generalização do produto, Paiva dá ênfase a divisão entrecomplexos na forma trigonométrica. Repare que nessa propriedade, o autor se preocupa na demonstração!

Figura 29

A sequência da multiplicação ocasiona na primeira fórmula de De Moivre, que ambos trazem semdemonstração formal e indutiva mas sim com o famoso “assim por diante”. Repare que os papéis se inver-tem: agora Paiva se preocupa sem exemplos numéricos para concluir 𝑧𝑛 (Figura 30) enquanto Machadoprefere exibir exemplo numérico e concluir o valor de 𝑧𝑛 (Figura 31).

Figura 30

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Figura 31

É importante notar que a preocupação com notações ainda é característica do segundo livro. Agora,não só com os módulos e argumentos do complexo z, mas também com a falta de uso de parênteses naescrita da fórmula de De Moivre por Paiva:

𝑧𝑛 = 𝜌𝑛(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)O que deveria ser escrito:

𝑧𝑛 = 𝜌𝑛(cos(𝑛.𝜃) + 𝑖 sin(𝑛.𝜃))

E, com exercícios, é finalizada a seção 8. Porém, não podemos nos esquecer da segunda fórmula deDe Moivre: radiciação de números complexos. Por mais temida que seja, é um questionamento imposto,por exemplo, em equações do tipo:

𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑖Como o grau do polinômio é três, e pelo Teorema Fundamental da Álgebra, temos que x possui três

raízes. E, nesse caso, como podemos determinar suas raízes? Pela segunda fórmula de De Moivre! Oautor Paiva esquece da segunda fórmula de De Moivre e finaliza sua unidade com exercícios. Já Machado,consegue aproveitar muito bem o tema e aplica exemplo introdutório (Figura 32):

Figura 32

Assim, o autor consegue introduzir com demonstração (disfarçada) o conceito de raízes enésimas(Figura 33 e Figura 34):

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Figura 33

Figura 34

E, por fim, algo genial que quase não é mostrado ao aluno e que Machado faz muito bem é: raízes daunidade (Figura 35).

Figura 35

Ao decorrer da seção, em ambos os livros, foi disponibilizado exemplos de exercícios e como são suasresoluções. Analisando-os, temos que são praticamente as mesmas intenções dos autores: mesmo tipo deexemplo e resolução. Lembrando que em todos os exemplos não possuem nenhum tipo de contextualizaçãotornando, assim, exemplos mais densos de matemática. A diferença se dá mais pela organização que Paivapossui em relação ao Machado e, também, pela quantidade maior de exemplos que o primeiro livro possui.

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Já os exercícios da seção, temos que:i. Paiva: dos 5 exercícios presentes na seção, 2 são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis) e 3

precisam de outros conteúdos (portanto, mais difíceis).ii. Machado: dos 18 exercícios presentes na seção, 13 são de aplicações de fórmula (portanto, fáceis),

4 precisam de outros conteúdos (portanto, mais difíceis) e apenas um interessante.Geralmente, esses outros conteúdos, que são necessários para a resolução do exercício, estão relacio-

nados a trigonometria. Veja um exemplo de exercício no livro do Paiva (Figura 36):

Figura 36

E o único exercício interessante dentre todos analisado é (Figura 37):

Figura 37

Em relação ao conteúdo abordado, a escolha ficaria por conta do livro do Machado. Matematicamentefalando, o livro é mais elaborado e conteúdo completo. Além da presença de mais exercícios, o autorconsegue explorar suas ideias de forma clara e objetiva (não que Paiva não o faça) e ter mais rigormatemático.

3.8 Exercícios Complementares

Além dos exercícios resolvidos e propostos das seções, Paiva adota uma lista extra de exercícios, cha-mados de exercícios complementares [Paiva, 144–146], que aparece no fim de cada capítulo. Os exercícioscomplementares surgem para retomar e misturar os conceitos do capítulo, além de propor exercícios devestibulares relacionados ao tema. Machado não adota esse procedimento e se mantém apenas com osexercícios resolvidos e propostos.

Apenas para fins de mapear o estilo dessa lista de exercícios complementares, classificamos seus 27exercícios de acordo com a metodologia estabelecida e obtivemos os resultados da tabela a seguir.

[Paiva] Fáceis Difíceis Interessantes TotalExercícios 30 6 11 47

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4 ConclusãoPerante o que se acaba de expor, é possível concluir que o livro-texto que o grupo escolheu é o Mate-

mática Paiva. Além de mais didático, o livro é mais organizado, possui mais exercícios e sua apresentaçãosobre números complexos é mais concreta.

É claro que não podemos deixar de mencionar a qualidade do livro-texto do Machado. Como livromais denso em teoria e com menos exercícios, Machado consegue expor muito bem a história por de trásdos Números Complexos: a famosa rivalidade entre Cardano e Tartaglia.

Além disso, seu rigor matemático pelas notações, o não esquecimento da segunda fórmula de De Moivree, principalmente, sua introdução ao assunto torna o livro bem apresentável ao aluno. Não esquecendo,também, da curiosidade sobre a notação de Euler para representar o número complexo na sua formatrigonométrica.

Contudo, a maneira como Paiva o faz é mais entusiasmante. Sua contextualização inicial em umasituação-problema mais palpável para o aluno consegue prender mais sua atenção que a própria históriado surgimento dos números complexos.

A organização dos conteúdos: teoria, exemplos resolvidos e exercícios (geralmente do mais fácil para omais difícil) consegue explorar mais o tema e servir como base para o aluno em seu estudo independente.

Por mais sintamos falta da radiciação de complexos na forma trigonométrica ou de demonstrações quepoderiam ter sido feitas ou, até mesmo, de notações e propriedades de conjugados que foram esquecidas,o livro do Paiva ainda consegue ser um ótimo livro.

Um outro detalhe observado é que nem o Machado nem o Paiva colocam legenda nas figuras. O alunonão sabe a hora que deve direcionar sua atenção a elas, a menos que alguma esteja entre blocos de textoe o obrigue a olhá-la antes de prosseguir com a leitura.

Para o professor, é necessário saber lidar com a falta de conteúdo. É importante notar que livro-textoserve como base para suas aulas e que nada o impede de acrescentar o que está faltando. Assim, asdiscrepâncias de conteúdo entre os livros analisados são passadas despercebidas.

Referências[CurriculoSP] São Paulo (Estado). Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias.

São Paulo: Secretaria de Educação, 2011. http://www.educacao.sp.gov.br/a2sitebox/arquivos/documentos/238.pdf (Último acesso em 12/04/2014).

[Machado] Antonio dos Santos Machado. Matemática Machado, volume único. Atual Editora, 2012.

[PCN] BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Ministério da Educação,Secretaria de Educação Fundamental, 1998. http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf (Último acesso em 12/04/2014).

[PNLD2014] BRASIL. Guia de livros didáticos: PNLD 2014 - matemática. Brasília: Ministério daEducação, Secretaria de Educação Básica, 2013. http://www.fnde.gov.br/programas/livro-didatico/guia-do-livro/guia-pnld-2014 (Último acesso em 12/04/2014).

[Paiva] Manoel Paiva. Matemática Paiva, volume 3. Editora Moderna, 2009.

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