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TEORIA DE NIELSEN PARA COINCIDENCIA

E ALGUMAS APLICACOES

EDSON DE OLIVEIRA

Orientador:Prof.Dr. Daciberg Lima Gonçalves

Tese apresentada ao Institutode Ciências Matemáticas de

São CarlOSÁda Universidade de

São Paulo,para obtenção do título de Doutor em Ciências(Matemática).

3.

_São Carlos

1987

Na elaboração deste trabalho tive a vantagem de ter sempre aomeu lado, me incentivando,. mey

apoiando, me compreendendo e me

cercando de muito carinho,minhaesposa e minhas filhas.Assim, ele é dedicado paraMARCIA, MELISSA E VIVIANE.

MEUS SINCEROS AGRADECIMENTOS

Ao Prof. Dr. Daciberg Lima Gonçalves, pela orientªção objetiva, dedicada e paciente.

Ao Prof. Dr. Pedro Luiz Queiroz Pergher pela leituracrítica deste trabalho e pelas diversas sugestões.

Ao Prof. Dirceu Penteado, pela amizade e pela compa-nhia constante nos estudos e viagens, desde os momentos iniciais.

Ã Profa. Dra. Alice K.M.Libardi pelo estímulo e pelaprontidão com que sempre nos atendeu.

"Aos professores e funcionários do DM da UFSCar e do

ICMSC—USP, em particular aos professores: Dr. Carlos Biasi,Dr.Janey Antonio Daccach e Dr. Oziride Manzoli Neto.

Aos professores do IME—USP de São Paulo, pela maneiLr

ra acolhedora com que sempre me receberam.Aos meus pais Ilson e Alice, e demais familiares, pg

10 apoio humano e moral.Ã Neube E.D.Guillen Stabili, Celia Maria G.Zaninetti

e Maria de Lourdes Barretto, que com dedicação realizaram um

rápido e eficiente trabalho de datilógrafia.

&.ª:

!—

'Este trabalho dependeu parcialmente de auxílios das seguiª:tes entidades:

CAPES, CNPq-, FAPESP .e FINEP — através de

auxílios concedidos ao Instituto de Ciêgcias Matemáticas de São Carlos — USP, pªra bibiiografia e contratação de docentesde curSos de Pós—Graduação.

ABSTRACT

This work is made of two parts.In the first part, with the use of covering spaces, we

study the Nielsen number of coincidence of functions.In the second part, we make some applications of the

results of the first part.Being f,g: M + M continuous maps, with M an oriented,

connected,closed manifold, we compute' A(f,g) when H*(M;Q) has a

simple syStems of generators.If M is in addition an H—space with multiplication m,

let us define, for x e M, m2(x) = m(x,x) and mk(x)=m(x,mm_1(x))

for k 2 2. We .show that the equation mk(x) = ms(x), k > s, Ihas

, at least (k—s)B roots, where 8 is the first Betti number of M ,

and further we study the primitive roots of such equation.

ÍNDICE

Introdução ....... .. ................................ . ........ .

Capítulo 1

Preliminares e teoremas básicos

Sl. Recobrimentos . ............................................52. Subgrupos de Jiang ....i .............. . ...................53. Espaços ANR ..............................................54. Orientação em variedades e classe de Thom ................55. Índice de pontos de coincidência ........................ ,

56. Número de Lefschetz _,,_,,_; ..............................Capítulo 2

Número de Nielsen para coincidênciasSl. Classes de pontos de coincidência .............. .. ...... ).52. Classes de (%”,gn)—conjugação ............................53. Número de Nielsen ........................................54. Computação do número de Nielsen ..........................SS. Espaços com grupo fundamental finito .....................Capítulo 3

Aplicações

Sl. Cálculo do número de Lefschetz A(f,g) de aplicaçõesf,g: M + M onde H*(M,Q) possui um sistema simplesde geradores. ............................................

52. Raízes em H—variedades ................... ................53. Raizes primitivas em H—Variedades ........................Apêndice I

Invariança homotõpica do número de Nielsen ...................

8

9

[1119

1.243

33

37

42

56

“94

97

118

Apêndice IIAproximação por aplicações que Rossuem somente um número

_finito de pontos de coincidência (.--.-......,..I..,.........; "129Bibliografia*...,.;..Ç...f......3.J;Ç,Çf...;;.:...,.H.;.....,, .132

ª?“

INTRODUÇÃO

Em [1], Boju apresentou um estudo do número de Nielsenpara pontos fixos de funções entre poliedros conexos e compactos,utilizando espaços de recobrimento.

No capítulo 2, do nosso trabalho, também usando espaçosde recobrimento, estudamos o número de Nielsen N(f,g) para coincidência de funções f,g: M + N onde M e N são variedades de dimensão

n, sem bordo, conexas, orientadas e M compacta.Sejam f,g: M + M onde M é como acima e suponhamos que

H*(M,Q) possua um sistema simples de geradores. Nestas condições,conseguimos calcular o número de Lefschetz A(f,g). Fazendo uso deste cálculo, estendemos o resultado de [7] e utilizando os resultados do capítulo 2, conseguimos generalizar o resultado principalde [8].

Este trabalho é composto de três capítulos e dois apêndices.

No capitulo 1 estão colocados conceitos básicos e algunsresultados que são utilizados nos demais capítulos.

O capítulo 2 é dedicado ao estudo do número de Nielsen

para coincidência de funções. Sejam f,g: M + N onde M e N são va

riedades de dimensão n, fechadas, conexas e orientadas. Então,o nú

mero de Lefschetz A(f,g) está definido. Usando os subgrupos de

Jiang J(f) e J(g), mostramos que podemos dar estimativas paraN(f,g), desde que conheçamos A(f,g) e os homomorfismos induzidos

:HM->H N).fl*'gl* 1( ) 1(

Se M e N possuem grupos fundamentais finitos,então A(É,g)

também está definido, onde E e & são levantamentos de f e g, regpectivamente. Neste caso, apresentamos algumas relações envolvendo A(%,ã).

»

No capítulo 3, são feitas algumas aplicações.Sejam f,g: M +D4 onde M é fechada, conexa, orientada e

"e“ mºúí,gp*. m__ ,_» .- “_,“ -, - v."Suponhamos que H (M,Q) possua um sistema simples de geradores.

lgkgs são de grausonde ªa., lngr são de graus ímpares_e dr+k':] . .

pares.. ** * _ .Seja f : H (M,Q) + H (M,Q) & induzida de f.

Suponhamos que

*, . r , * 5-f (1a ) = E a ªa -+ t e f (ªh .) = 2 a _ ºa _ + t,

. u v=l VU V u r+j y—l r+y r+j r+3 ]

e consideremos a matriz iA 0

A:0 PA

** * 'Analogamente, se g : H (M,Q) +“H (M,Q) e & induzida de

g, podemos considerar a matriz

11B 0

B:0 pB

Mostramos que A(f,g) = det(lB—1A).$(pB+PA) onde o(pB+pA)

é, a menos do sinal das permutações, o determinante da matriz(pB+pA).

_ ii _

Seja a tripla (M, m, e) onde M é como acima, eEM. e a aplix_i.

caçãonlz MXM»Né tal que m(x, e) = m(e,x) = x para todo st. Sejaª

.

mká M, + M, definida do seguinte modo: mo(x) = e, m1(x) = x e Pªrra todo RZZ, _mk (x) = m(x, m 1(x),).Considerando a equação mk (x)k-: mS (x), k>s obtivemos um limitante inferior para o numero de sº"“"

'luçoes desta equaçao,estendendo o resultado de [7], onde..

BrowhÇÍêç

considera a equação mk(x) = y, yeMiI

.

R =,. =" .

.

, Seja k,s [st tal que mk(x) , ms(n) e mi(x)#mj(x) pª,ra todo k>i>j e.szj20]. Como É (: Coinc(m ,m ) então R se se

, k,s-= k 5 , k,s, W

para em um número finito N de classes de equivalência. Empregando “

os resultados do capítulo 2, conseguimos uma estimativa para N;'Íque generaliza o resultado principal de [8], onde Brown e ;Hales";ÍC

consideram a equação mk(x) = e.No apêndice l, seqencontraa demonstração da invarianca'

homotõpica do número de Nielsen.'

No apêndice II demonstramos que se f,g: M + N são aplicações onde M'e N são variedades de dimensão n,compactas e conexas, então existe um par de aplicações (í',g') homotõpica ao ,par'(f,g), tal qne Coinc(f',g') é um conjunto finito de pontos isolª-dos.

— iii —

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES E TEOREMAS BÁSICOS

Neste capítulo foram colocados alguns fatos básicos queserão Utilizados.nos demais capítulos.

As aplicações envolvidas neste trabalho serão supostassempre contínuas.

sl. RECOBRIMENTOS

Neste parágrafo vamos considerar aplicações f: X + Y

onde X e Y são espaços conexos, localmente conexos por cami—

nhos e semi—localmente l—conexos. Portanto, X e Y admitem um rgcobrimento universal, «

.. ..Denotemos por p: X + X e q: Y + Y suas aplicaçõesde

recobrimento. Escolhamos xo & X e Sãorszp“1 (Xo) ,como pontos bª..ses de X e X, respectivamente e, yo € Y e floezq-l (yb) como

..pontos bases de Y. e Y, respectivamente.

Para maiores detalhes sobre o conceito de espaços de

recobrimento, ver [14], capítulo 6.

1.1 — Definição

.» _,Suponhamos f: X + Y uma aplicação. Se %: X + y sa—

tisfaz a condição qof = fOp: X + Y então E é chamada um levan

tamento da aplicação f: X + Y.

Uma translação de É é uma aplicação 7: É + Í tal que_pºY = p isto é, um levantamento da identidade de X.

1.2 — Observação

As translações de É formam um grupo T = T(Í,p) isomor

1.3 — Proposição

a) Para todo x E X e quaisquer x, x' é p-ª(x), existeuma única translação Y: É * Í tªl que Y(ã) = i'.

b) Seja f: X + Y uma aplicação. Dados. X E X e

y : f(x) € Y, sejam & & pª1(x) e ,? E q-l(y) arbitrários. Então,existe um único levantamento % de f tal que f(x) = 9.

c) Quaisquer que sejam É e f' leVantamentos de

f: X + Y, existe um único Y & nf(Y,yo)w tal que f“ : Yof.

([14],Cap.6)

l.4 — Definição

Seja f: X & Y uma aplicação e É: É + ? um levantamento—de f. Se a & Wl(X,Xo) é arbitrário, então fou também é

um levantamento de f. Assim, existe um único levantamentofn(a) e “à(YrYo) tal que %oa = %w(a)á%;

Portanto, fixado Ízi + Y, podemos definir a aplicação

É“: “I(XIXO) "* “I(YIYQ)

a + %w(a)

1.5 — Lema

A aplicação fnzW1(X,Xo) + W1(Y,yg) é um homomorfismo.

Além disso, se & é qualquer caminho em ? de ?º até f(ão) e

m = poã é sua projeção em Y, então o diagrama

f.", (.Ú* . .

W1(XrXo) > W1(Y,f(Xo)) > W1(X,YO)& ]

fw

e comutativo, lªtº e, fw: m*ofw onde fu é o homomorfismo indu—

zido por fvemwhomõtõõíãªejªwkVeloiieomõrfismofindúiidORbelo,cami4nhº ªº — ([l],pag 25)

E.

1.6 — Lema

O diagrama abaixo é comutativof

”I(XIXO) 5 ”I(YIYO)46 +9

H1(X) f > H1(Y)l* .

onde 6 é & abelianização e f1* é o homomorfismo induzido

por f, em homologia.([l], pag 27)

_

SZ. SUBGRUPOS DE JIANG

As aplicações E: X +“Y envolvidas neste parágrafo são

entre espaços X e Y como no parágrafo anterior.

1.7 — Definição

Seja f: X + Y uma aplicação e É: É + Y um levantamento de f. Definimos

J(É) = ía e w1(Y,yo). tal que existe uma homotopia"'H: X X 1 + Y com H(x,0) = H(x,l) f(x)_ que se levanta a uma hg

motopia H: X X I + Y com ã(ã,0) f(ã) e â('>"<,1)"1=(aof)(ã)]

J(Í) .é um subgrupo de “I(Y,yo),.

([1]7 pag 30)_

1.8. Lema

J(Í)ç;:Z(Ín(“1(X'Xº))'“1(Y'Yº)) : [B E TrI(YIYo) tal que

B.%“(q) = %w(ª)'8 para todo a e nl(X,xº)]. Em particular,J(idã)Ç; Z(W1(X,Xo)) onde Z(n1(Xixo))' , denota o centro de

W1(X,Xo)-

*”Demonstração

Anãloga à do Lema 3.3, pag 30 de [1].II

1.9. Definição

Seja f:X + Y uma aplicação. Definimos

J(f,xo) = [a € «I(Y,f(x0)) tal que existe uma homotopia

H: X x I + Y com H(x,0) = H(x,l) = f(x) de modo que o laçoH(Xo): I + Y definido por H(Xo)(t) = H(xo,t) satisfaz [H(xo)]=aL

Se X = Y e f é a aplicação identidade de X, defini—

mos J(X) = J(idx,xo).'

.J(f,xo) é um subgrupo de W1(Y,f(Xo)). ([1], pag 31)

1.10 — Lema

J(flxº) ºíz(fn(nl (XIX0j)ºITT1(YIf_(X0))>'

Em particular J(iQX)Ç; Z(U1(X,Xo)).

Demonstração

Anãloga ã do lema 3.7., pag 31, de [1].-

1.11 — Lema

Se x e x' são dois pontos quaisquer de X então, pªra toda aplicação f: X + Y temos que J(f,x) é isomorfo &

J(f,x').

Demonstração

Anãloga ã do 1ema.3.9., pag 31, de [1].I!

1.12 — Lema

Se f,f': X + Y são aplicações homotõpicas, então

J(f,xo) ê isomorfo & J(f',xo).

.

_"Demonstração ª_f' :» 'z “,

'

,e %

Demonstração

'Anâloga ã do iema 6, bag 100, de [6]._. :,« _ .|

1.13 — Lema

Sejam f: X,xo + Z,zo e g: Y,Yu + U,úo, Então,v

J(fXg,(xo,yg)) ê isomorfo a_ J(f,xo) X J(g,yo).

x «

Temos que J(f,xO)ç;Íwl1zgf(xO)) ,é, J(g.yO)Ç;'Hi(Uzg(YO))'ª'

'. se.Sejam pZ;Z?&ÚÉÉ? =,e, pu: Z X U"? U as apliCações

projeções; Consideremos o isomorfismo

(pZ ,pU ): “1(ZXU,(f(Xo),g(Yo))) + "I(Z,f(Xo))XW1(U,g(yó))_,»ffr "11 . .

-

Basta mostrar que.a restrição

"(pz ,pU'),'

: J<fxg,(xO,yo)) + J(f,inXJ(g,yo)“ *“ J<fXg,(xO,yo)) '

é sobrejetora.Tomemos & & J(f,xo) e B & J(g,yo) arbitrários. Então,

existem homotopias H: X X 1 + Z e G: Y X I + U tais que;H(x,0) ll H(x,l) = f(x), [H(x0)] = a

N "G(y,0) 'G(y,1) g(y), [G(yc)]=.6

Consideremos & homotopia

S: X X.Y x I + Z x U

definida por S(x,y,t) = (H(x;t),rG(Y)t))i

Então, S(x,y(0) = S(x,y,l) = (fxg)(X,Y) ;:vAlém disso, S(xo,yo)(t) = S(ko,yo,t) =

(H<xo,t), G<yo,t)i = (H(xO),çG(yo))(t)

Portanto, -[(H(3<o).,e(iro))] & J(fxgi(Xoí,yoç)) e»kp= ,p )(£(H<xo),c(yo)>l) = w([H(xOxl,iG(yo)1)_= (&78)4'<

&ÍZ_'H Un "

ª

'

ª, *'ª': ªlí,;g " ' ª" .“ ; %%;—

l.l4 — Teorema

Seja X um poliedro conexo asfêrico isto é) Wi(X,Xo)=0

' para todo i > 1 —e seja E: X + X uma aplicação.Então)

Z(fw(wl(x,xO)),n1(x,xO)fÇ;3q(f,xO)Em particular; _

Z("1(X*Xº))ªªíP(X)'

<[61,pag 102)II

1.15 — Teorema)

A classe dos espaços conexos por caminhos satisfazendo a

condição H1(X,xo) = J(X) é fechado sob homotopia e sob a operaçãoproduto topológico, e contêm os seguintes:

ºnª?

i) espaços simplesmente conekos

ii) espaços de lens generalizados L(m;q1,qz,...,qn)iii) H — espaçosiv) espaços homogêneos da forma G/GO onde G é um :grupo

topológico-e GO um subgrupo de Lie compacto e conexo. '

([l], pag 32)

53 — ESPAÇOS ANR

1.16 — Definição

Um subconjunto A de um espaço X é chamado um retra—.to de vizinhança de X, se existe um subconjunto aberto U de'Xcontendo A, e uma retração de U em A.

l.l7 - Definição

Um espaço métrico X compacto, e um retrato de vizinhança absoluto (ANR compacto) se ele possui a seguinte propriedade:se A é um subespaço de um espaço métrico separãvel Y e A é

homeomorfo a X, então A é um retrato de Vizinhança de Y.

Todo poliedro compacto e, em particular toda variedadecompacta, ê,um ANR compacto. ([6], pag 39).

1.18 — Definição —

Dizemos que um espaço métrico compacto' X, com métrica&, é uniformemente localmente contrãtil (ULC) se dado E > 0, e—

xiste 6 > O tal que, se:

W = 'Hxçx') & X X X tal que d(x,x') < 6]

_8_

então existe uma aplicação y: W X I + X satisfazendo

y(x,x',0) = x y(x,x',l) = x'y(x,x,t) = x para todo t & I

diam(y(x,x') x 1) < e para todo (x,x') & W.

Todo ANR compacto é ULC ([6], pag 39).

54. ORIENTAÇÃO EM VARIEDADES E CLASSE DE THOM

Para maiores detalhes sobre este parágrafo, ver [13],pa£te III, 5 22 e parte IV, 5 30.

Seja M uma variedade de dimensão n sem bordo e

0 _ _ :M — [(x,ax)tal que XEQM e(xXE: Hn(M,M x)< 2]—

Para cada aberto U de M, definamos

<U & > = [(x a ) talv ue lx & U e d = "U(& )]! U ! X q X ax U. »:

onde ÍU' H (M M-U) + H (M M—X)x' n ' n '

é o homomorfismo induzido da aplicação inclusão.

Esses conjuntos formam uma base para a topologia de Mº

de forma que p: Mº + M, p(x,ax) = x é uma aplicação de recobrimento cuja fibra sobre um ponto x é o módulo Hn(M,M-X).

1.19 — Teorema

M é orientãvel se, e somente se, eáiste uma aplicação5: M + Mº com pos = idM tal que s(x) é um gerador de.

Hn(M,M—x) % Z, 'para cada X E M. Tal aplicação 5 é chamada

uma orientação de M..

([13], pag 119)..!

1.20 — Teorema

Se M é uma variedade de dimensão n, sem bordo, co—

nexa, compacta, orientãvel, com orientação s, existe uma úni—

ca classe 2 & Hn(M) tal que ix*(z) = s(x) para cada x e M,

onde 'ix*: Hn(M) + Hn(M,M—x) é o homomorfismo induzido da inclºsão. Esta classe 2 & H5(M) é chamada classe fundamental de M.»

([22], pag 140).

'Seja Mº* = [(x,aX) tal que x & M e ax & Hn(M,M—xH

e consideremos p: M0* + M, p(x,ax) ='g.A orientação s: M + M0 determina uma aplicação dual

s*: M->MO* "com pos* : idM tal que '<s?(x),s(xf> = 1, paratodo x & M.

»

Consideremos a aplicaçãoª)”; :(M,.M—x) + (MXM, MXM — A(M))

definida por £x(a)=(a,x) para todo as M.

_10_

1.21 - Teorema

Seja M uma variedade de dimensão n, sem bordo, ºrientada. Então, existe uma única classe de cohomologia u = uM

em Hn(M X M, M X M - A(M)) tal que para todo. x E M,

s*(x) = £;(u). Esta classe é chamada classe de Thom associada à,orientação' s_ de” M.

55. INDICE DE PONTOS DE COINCIDENCIA


Sejam f,g: X + Y onde X e Y são espaços topológi—

cos. Uma coincidência de f e q é um ponto x & X tal que

f(x) = g(x). Vamos denotar por Coinc(f,g) o conjunto de todas

as coincidências de X.

1.23 - Definição

Sejam Mi e My variedades de dimensão n, conexas,sem bordo, orientadas e suponhamos Ml compacta. Consideremos W

um subconjunto aberto de M1 e f,g: W, + M2 aplicações paraas quais

K = [x 8 W tal que f(x) = g(x)]

é um subconjunto compacto de W.

.;ll-

(((( « V,?

«oriehfação dada de 'M2;oªõúeg

(ginas 150 e 177.

«&

' Pela normalidade de Mi, existe um subconjunto abertoª““Vf"àé.(M(i com? KCZÉVCZQVCI W. (Denotemos por M€

1 o pai '

hiviMz-XiMê uM; ºleffiA( ;)) 'e considereúos a compostaá

: >!“ “,“. A ,.'

x" .;.

? an(M2). pz-

m-e-

'

vª”““.'z" mpegz' ;] _A f' IQ

wªxºjsªº> -Hn..(.w,w —V)———-—-—('É”?-

onde "(f,g): , w—f &fo2 --é dada por (f,g) (x) = (f(x),g(x)),A(M2) = [(x,k) tal que X E M2] e &: Hn(MÍ).+ Z & dada pºr,'ª'Q(a) = <u;qê_ onde_ uia HÉ(MÍ) fé a classe de «Thom .associada a

Q 'e um isomorfismo/ ver [22], pã—'&)

'*_Assim sehdo, o”ínaice de coincidência do par (f,g) jé

definido.como sendo o númefo inteiro I(f,g,W) dado pela imagem "V

“_ãa classe fundamental _?1 é Hâ(M1),> sob a composição acima.A definição é independente da escolha do aberto V.4

([22],pª9 177)“

1.24 - Propriedades do índice

i) Localização,Sejam f,g: W + M2 como definição anterior. Se W' e

outro aberto de M;. e f', g' : W' + sz são aplicações tal que

f'= f' e 9": g' em W.rw W' e além disso”

#12—

K' = [x eiw' tal que' f'(x) = g'(x)] é igual a K, rentão

1(f,g,W) 1<f,g,w')('[22] , pag fl79)I«—V;Ç'i.va r

.

"ii) AditividadeSejam fig: W + M2 como na definição ahtçrior. Suponha'fgl

r . -—vwhmos que W = â=àwi onde cada “Wi é um aberto de M1 e Wifwwj=ªfªªzse i«# j, Denotemos por Ki o compactov KÍFWWi: por fi = flª

..,. ª& e g. : g . Entao ,

«

“;;-1;-

'_ ' .

.

“. º .. , ia,/, _?»w, r A

' hl

,, twº“"i-; '

,“I (f,,g ,W)."=*;:i'ãªiMI—(íjj'gi(wl)

(1221, “pag 178)" “

' iii) Invariança homotõpica *

Sejam 'ft"gt= W + M2, (O_g t 5 14 homotõpias e dénóte—

"mos por Kt'= ix & WV tal que -ft(x) = gt(x)] para 0 í-t 5 1),$uponhamos que"“

“-u_;vw

UKt .= ªlmoindfygtym w)

seja um subconjúnto compacto de W. ”Então,

“I(ÍOIgDIW) = I(f1,91,W)4

([22,], pag 179)

_13._

iv) Multiplicatividade..

Sejam f,g: WÇÇfMl + M2 e f',g'; VTC: Mi + M; ,“oomo. -] . ';.N. &' ã -, ,

”., X»—

,'na definiçao 1.23, onde fMª e ,nª sao de dimensao n e Mi-e Mª”

são de dimensão m. Entãoip a"“ .

, 1 (foli ,gx'gv' 'WxW'); ...1 (ftng) _,]:- (fln'gl. Iwi) _w.,

'>. , .

*. K&N«,

( [221 . pag'l79)g._

_l.25Q*Óbservação “ : Aiílíg .; ãápg »

iªi :Sejaájafygztú_4 N 'e_.h£k3 W + É .como pa definição 1.23; if:*'oade Unçenúm'abettodev*úlbeifW:ÇéWúm abefto de ÍNi Enfão, as cóªk"º

posições ff—3(W)r?)gfí(w) ªºâfªºª—ê M 'e h-ª(U)EÃ.É_1(U) ÉºªLºgªgNª'estão oefinidas.

, 1.” . A&

' &. . . '

Não é verdade em geral que

I(lhof,kog,f'ª(mmgªmn-=f1(foh;gok,hf(mmkªª(U).) -. ºu

seja, a comuiatividade que é uma propriedade válida na teoria dos

'ipontos fixos; não Qale para pontos de coincidência,Para justificar isso, consideremos as apliCações ;.

f,g,h;k: T2 +.T2;I onde Tª denota o toro de dimensão 2, cujos hoi'___,

.

1»* 13: 1 * 1 **,

' x ,

'—ãoffismosnindúziãos f ,g rh ,k : H1(Tº) + H1(T;)' têm como mª

trizes

respectivamente.

No capítulo 3, vamos mostrar que se f,g: T2 + Tª então

I(f,g,Tª) = det(B—A) onde A e B são as matrizes dos homorfís-. . f '* *

mos indu21dos fl", g?.: Hf(Tª).+ Hleª).Desta maneira'

5 2I(foh,gok,Tª) = det(B—A.C) = det '

= o' o o

e

4 . -1 .

& I(hof,koq,Tª) = det(B—C.A) = det = 2“& - -2 1

o que justifica a observação;

1.26 — Teorema

Sejam Ml, Mi, M2, M5 variedades de dimensão n, sem bor—

do, conexas, orientadas e M1, M1 compactas. Seja h;:W + W'==h1(W)

um homeomorfismo preservando orientação, onde W é um aberto de

M1 e W' um aberto de Mi. Consideremos as aplicações f,g:W ->_NM_2

e f',g': Wf'; M; tal que K É WÍÍWCoinc(f,g) seja úm Subconjuntocompacto de W ve. K' = W'fw coinc(f',g') seja um subconjnnto com

pacto de W'. Além disso, suponhamos que o diagrama

W ._Í_'_L> M2

“hw. .

lhºW._f_3_! |>M2

seja comutativo, onde hz: M2 + M;, é um homeomorfismo local preseg!

;

vando orientação. Então,

I(ÍICJrW) : I(f' :9' rw.)

Demonstração

Consideremosk V um aberto de M; tal que KÇVÇõCW,.Te—

mos qUe V' = h1(V) é um aberto.e V'C: G'Ç; W'. Da comutatividâ_.

de do diagrama e do fato de h2_ ser um homeomorfismo local, se—

que que K'Ç h1(K). Daí, KC V'Ç G'Ç w'.Seja X & K arbitrário e x"= h1(x) E K'. Desde que

Mi e Mi são orientadas, existe um aberto U de Ml e.um aber—

to U' de M; com x e UC: V, x' & U'C: V' e existem.U ,a & Hn(M1,M1—U) e & Hn(Mi,Mi—U') tal que jx(aU) = a e um.aU'& x

gerador de Hn(M1,M1—x) e jg.(aU,) = ax, e um gerador de

Hn(M;,M;-x')7_' ([131,paq 112)-

Consideremos o seguinte diagrama comutativo' e' '3 . _,gnmlml-x) ___—__» R,,(mw x)

—'U'

J,T :; Tk3*

çº (W W U)Hn(Ml,M1-U) —-———————F-__> Hn ,

*lklªk

.

'l k2*

íl—k zelHn(M1) “ª"—_) Hn(Ml,MlºV) ——,v—r———-> ªla/LW-V)

ui iki;_ lí“ ' l ' |.

A "e' | |_Hn(Mí)- « ————————-——_> Hn(Ml,Ml-V ) -——-5--J— > Hn(wl,w v')

lkí* l kª,el

Hn(Mí,Mí4Ú') -;-—-—-_3L-__> Hn(w',w'hu')

ij-Z' i k.3*

a(w M'— ') ºª B (w' w'- ')n 1, 1x '——> n : X

_das da inclusão e 'ej, eªu j = 1,2,3 são excisões.» 1

.Cºmº. h?? preserva orientaçao,temos que hrª£e3(ax)=e;(ax'L_qs án(Mi) classes fundamentais. Então “ª"[l'fr

fêe qi;*(ã') : aXi'q:,»»Cons;deremos u_e H (MZ). e _ur e_H (M2 ) as classes de.

?Thom córfêSpondentes ãs orientaçõesÍ s de M2 e s' de M;, regpeotivamente;

'_ Levando—se em conta os fatos acima e a comutatiVidade do

f “diagrama, temos:,

71 (fº—W) llf' “(111171 (f',g')* º ei º ii*(z'»)> :

'ª —v -'<U',(hthz)*o(frg)*ºel º i1*(z)> :

= <(h2#h;)*(u'),(f,g)* o e] o il*(z)>

Desta forma, a demonstração fiCarâ completa se mostrar—ªhos que (hzahz)f(u') # u.

, Cohsideremos 'y = f(x) = g(x) e Y' = h2(Y)'. Em virtude de 1.21” s*(y) = Rªw) _e s'*(y') =..,,;L;,(p.')

onde 5* e s'* são.duais das orientações «3: M2 + M2 e s':M5 + Mªº,

'respectivamente. Mas,“ s(y) = ay e s'(yf7= ay,. Porisso,. basta“tverificarmos que <lço(h2Xh2)*(u'),ay> = 1.

Consideremos o seguinte diagrama comutativoX (hthz) * 'x

,

Hn(M2) “___—"_? Hn (Mz _“)

er . ”

*

+£Yá +ZY;

-Hn(Mz:Mz-Y)Íí;;> Hn(M£.M5—y')

) _17 _

Então, ' Íg- ,

'

, ,_. . fiº. .

'

ª: ( ,'

, _ ,,,V

“ «_! ',,.ªVÉ “£. 11x“. :? _;

r£;o(h2xh2)z(u'),qxà *,<u',(hth2)*.o_QY*fdy)>:T;i*. _fºlln«.a—l

. ,

ªi:,;

<g;3(PãyíÉg%fdy)>—y; llV= <ú',£ [0 h i'd $'

L'&

tf*KLY)*;_

.3_ .“

Desde que* hj; preserva orientação, dh2*(ay)Çà dylLogo

<%; 0. WW (“'),cªyã ÍÇÍ'É'ÃÚ'Ã) rayfà-íf »

o que conclui a demonstração;

Seja W um aberto de le' e suponhamos.que f,g: WI+ M2 rtenham um único ponto de coincidência 'x erW; Denotemos-por .Én .,o

. ." .“, aA"

n f . - 'n “ n - ndlSCO unltarlo fechado em R . A apllcaçao F;_D X D- + D

finida por F(x,y) = l/2(y—x) induz uma equivalência de homotopiade'paresª

_F:(Dn x Dn, Dn x D“ ; A(Dn)) + (Dn,Dn—0) '([22],pag 131)

Consideremos Y(:,M2' um conjunto fechado,y = f(x) & g(x) 6 Y e hziY + Dn *um homeomorfismo levando y ,na

origem. ªxiste um aberto V de ,Ml Í -

_

' ,"fcoá- _XÃE*V?__ ?“Í;+x:—í' -1 '

. “

.'

— nVCZíWlaât' (Y) (dg (Y) e um homeomorflsmo k: V + D . Vamos* assªmir.que h e k preservam orientação.

.. :l_g31 ..

“N.

«N : . ,» n—l n-i -

.' u

“;;. Definamos & aplicaçao, $:S + S « “como sendo a composta:

*EZí> 35JÁ£43L> Y x Y ; A(yf hxh >Dn x Dn _ A(Dn)mfg_>pn_oí>snfl'

iol! gcyaé*—r' denota a projeção radial da origem. "

*O teorema seguinte tem demonstração análoga à da propof—

Sioão 6.9.; pag 182, de [22].

751.27; Teorema (índice—de pontos de coincidência isolados)x_v. «;a

'!x,,

“AI(f;g,W):ê grau ª.

.56. NÚMERO DE LEFSCHETZ

!

TÉ—l;28; Definição

Sejam f,g: Ml ?IMZ onde— M] e M;? são variedades.de dimeª.São n, sem bordo, conexas,_comoactas e orientadas. Usahdo ºj,_hºpº

,morfismo de coeficientes €: Z 4 Q, denotemos por '21 e 52 as

, imagens das ciasses fundamentaisv 21 & Hn(M1)- e z2 San(M;i.

na.homologia racional, ou seja,4 51 = €*(zl) ngn(M1,Q). ”<

_

A

e

E; =,»€*(.Ziz) € Hn(M2IQ) '.

Consideremos o seguinte diagrama“

. . .f. .K-. - q*

Hq (Ml IQ) > Hn (M'le)+D1 g

'

+D2

_ 'n-f* nªgHn q(M1 IQ) <g_ H (MzQ)

* «.

onde D; 'e D2 representam os isomorfiemos dados pela dualidade!

)Zl e zz.qrespect1vamente.á.de Poincaré, correspondentes &

: “ Para cada q, definamos— Sg: Hq (M1,Q)+Hq (M1,Q) foif-

“ ', qve'fata'.“ .-

,

”ª,

:' = D º 0D 0 f »Í' «, ' ,,“ :». -- ping—_ ;»"'«_ ,a _

* O numero de Lefschetz do par (f,g) efõéfínido como seª (L'

« do 9 número racional

Mf,g) = ;=,,

Obeervemoe-qúe,se' M; = M, “e ,g +É'a,ápiieaeâg idehgi “'. dade entãó, A(f, g)= A(f)

O número A(f,g) depende apenas dae Classes ãe hôhóto—

pias de ,f e 9.

(1.29. 'Definieão alternativa

Para cada gr, seja 912: ÉÉ'É(M2)Q) + 'HªãMuQ). dada “por“: ª

e' = D—1 o fí,, o D1*o gr*. * 7 ºr ª »vn—r* '

_DefinimosA*(f,g) (-1)II

|!MS tr 9'

, r

'É imediato que,

A' (f,g) “= (-1)ª A(f,g)

_20...

1.30 — Teorema (normalização)

Sejam f,g: M1 + M2 onde M1 e M2 ”são variedadesde dimensão n, sem bordo, conexas, compactas e orientadas.v En—-.

tão, I(f,g,M1) = A(f,g)' ([22], pag 187).

1.31 - Corolârio

*. ?Se: A(f,g) #-0 então f e 9 têm um ponto de_.coinci—.*»

(dência em ªm;. '

.(k

_ _ ([22], pag 187).

_ 21 _

CAPÍTULO 2

NÚMERO DE NIELSEN PARA COINCIDENCIA DE FUNÇÓES

Em [1], Boju estudou o número de Nielsen para pontos fixos de funções entre poliedros conexos e compactos, utilizando egpaços de recobrimento.

.

Motivados por este fato, estudamos neste capítulo o nú—

mero de Nielsen N(f,g) para coincidência de funções, também usaªdo espaços de recobrimento.“

Neste caso, as aplicações f,g: M1 + M2 envolvidas são

entre variedades M1 e M2 de dimensão n, sem bordo, conexas,9rientadas e M, compacta.

»

No parágrafo 4, vamos apresentar alguns resultados que

'permitem dar uma estimativa para N(f,g). Particularmente o Corºlãrio 2.33, nos mostra que, se 'J(M2) = W1(M2), podemos computarN(f,g) desde que conheçamos A(f,g) e os homomorfismos induzidos

fi*,gl*: H1(M1) + H1(M2)— Observamos que, nessas computações,exigimos a compacidade de MZ, para garantir que A(f,g) esteja definido.

Se M1 e M2 possuem grupos fundamentais finitos, .onúmero de Lefschetz A(Í,g) onde É e 5 são levantamentos de

f e 3, respectivamente, também está definido.No último parágrafo deste capítulo, obtemos algumas re—

lações envolvendo A(Í,g) que são úteis para calcular A(f,g) e

N(f,g).“

Sl. CLASSES DE PONTOS DE COINCIDÉNCIA

?

Neste parágrafo vamos considerar aplicações' f: X + Y 02'de_ X e.Y são poliedros coneXos e X compacto. Desde que X &: Y :».são-poliedros, eles posSuem um recobrimento universal. , Sejam

pí.X + X e q: Y*+ Y suas aplicações de recobrimento. Considere—.. ._'1 _mos xo & X, “xo E p (xo), ryo E Y e Yo & q 1(Yo), pontos bases

de X) X, Y e ?, respectivamente../

2.1. & Propdsição

Coinc(f,g) =ªª_l p Coinc(Í,&)' ' .f,g v

onde a reunião varia sobre todos os levantamentos de f e g.

'»

Demonstração

Decorre facilmente da proposição 1.3 e da definição de'

levantamento,

2.2 — Proposição ''

'?

Se p Coinc(Í,ã)(w p Coinc(%',&') # E então &' = doªe &' = aoõn(y)oÍ“(Y—i) para algúm & & W1(Y,yO) e algumY E W1(X,Xo)-

Demonstração

Suponhamos que' X E p Coinc(%,&) p Coinc(É',õ'). En'

tão, X = p(ã) onde ª(º) = ª(ã) e x = p(ã') onde Í'(ã')=ã'(i0.Pela proposição 1.3, existe um único a & “I(Y,yo) tal que

ª' : aoõ e um único Y & WJ(X,xo)' tal que ª' = y(ã). Assim,E'Gç') = gwg') = “aqui) '= aoiõn(y)oã(ã) = aoãTTWMÉG—É) =.: ªºõn(Y)º%n(Y—l)ºí(ªíy;. ”.A

.o que implica pela unicidade dos

levantamentos que Í"= aoõn(y)ofn(y'1). ..


Sejam & e &' levantamentos de g: X-+Y. Portanto,&' : aoõ para algum a € W1(Y,yo). Se É e E' são levantamen—

tos de f: X + Y tal que f' = doãn(y)ofoyf1 para algum

Y & n1(X,xb) então Coinc (Í',ãl) = Y Coinc(f,õ).

Demonstração

Se- ã-E Coinc(Í',ã') então Í'(ã) =.€(ã)_ Usando a hipºtese, é fácil verificar que f(Y_l(ã)) = &(y'1(ã)). Por conseguin—

te, ã & Ycoinc(f,õ). &

Por outro fado, se i E VCoinc(Í,õ) então % = y(ãf) onde f(ã') = ª(ã'). Consequentemente, É'(ã) = aoãn(y)oí(ãl) =

= aoãw(v)oã<ã') = <aºã>(v(ã')> = é'<ã) ou seja.& & Coinc(Í;ã').

' 2.4 - Corolãrio

pCoinc(f,g) = p Coinc(f',g') se, e somente se, &' = dog

e E' ; aoãn(y)oíoy"1, para algum a € H1(Y:Yo), e algum_

Y € TT1(X,Xo)—

Demonstração

Segue giretamente de 2.2 e 2.3.II

2.5 — Definição

Sejam É, E' : Í + ? levantamentos de fzx # Y e

5, &' : Í + ? levantamentos de g : X + Y. Dizemos que o parde levantamentos (f,&) é equivalente ao par (E',&') se

gª: aog e E' : aog"(y)oÍoYºl para algum & s-n1(Y,yO) e algumY E “I(Xlx0)'

A

Esta relação é de equivalência; De fato:

i) Reflexivaé imediata

ii) simétricaSuponhamos (í,5) equivalente a (f',ã'). Então .

.— ..g' = aog e f' = mogn(Y)oÍoy'—1 para algum a € W1(Y,yo) e al—

gum Y & n1(x,xo). Assim, & : a—log'e %: g“(y“1)oa“lof'oy =

(ªny—l)oa'log%(y))og%(y"ª)o%'oY. Não é difícil mostrar que

_ 2 5_

,E" : ª'ºõ%(Y')of"ºY

5W(Y'1)oa'loõ%(Y)oõf = a'loõ' o que pela unicidade dos levanta——1mentos,implica que ãn(Y'1)oa"loã%(Y) = a . Desta forma, a prº

priedade está verificada.

iii) TransitivaSe .(f,g) é equivalente & (Í',ã') e (É',ã') ê equivª

lente a (É",õ") então existen d,d' & “1(Y,yO) e y,Y'€n1(X,xd.tal que &' = doõ , ,

E' = aoõ#(y)ofoy'l e g" = a'oã',"1. Em decorrência, segue que &" = a'oaoã e

f" = a'oõ%(y')oaoõn(y)ofoy'loy'ff' =»

: (a'oê%(y')oaoãntrªl))oõw.(Y!,Y)OÉO(Y'.Y)'1.Não e difícil verificar que a'oên(y')odoõn(y"l)==a'oa

e isto, mostra a propriedade transitiva.

2.6 - Definição

As classes de equivalência dadas pela definição ante—

rior, são chamadas classes de levantamentos das aplicações f e qnae denotadas por [f,g].

2.7 — Definição

0 subconjunto p Coinc(Í,ê) de Coinc(f,g) é chamado

classe de pontos de coincidência de f e g determinada pela classede levantamentos [É,ã].

_ 26 _

2.8 — Corolãrio

0 conjunto Coinc(f,g) se separa numa reunião disjunta de

classes de pontos de coincidência.

Dois pontos xl, xz & Coinc(f,g) estão na mesma classede pontos de coincidência, se existem levantamentos É e ª de

f e 9, respectivamente, tal que xl = p(x1) e x2 = p(x2) onde

5“, 522 acendia). ;,

Os dois—fesâltados a seguir;nOSLdão uma Outra maneira de

verificar se dois pontos xl e xz estão na mesma classe de pon—

tos de coincidência sem usar, explicitamente, espaços de recobrimegto.

2.9 — Proposição »

Dois pontos de coincidência xl e xz de f,q: X + Y

pertencem à mesma classe de pontos de coincidência se, e _somente

se, existe um caminho A em X de xl até xz tal que fol é

homotõpico a gol relativamente aos pontos finais.

Demonstração

Se xl e xZ estão na mesma classe de pontos de coinci—

dência então existem levantamentos É e g de f e g, respectiva—mente, tal que xl =-p(x1) e xz = p(ã2) onde %(ãl) = g(ãl) e

mz) = 565).

.. ..Seja A: I + X um caminho com Í(0) = il e Ã(l) = 52;Desde que ? é simplesmente conexo segue que foi é

homotõpico 'a ªcí. Projetando em X, obtemos que folé homotõpico & vgol onde A = pol.

Reciprocamente suponhamos que xl E p Coinc(Í,ã) istoé, Xl = p(ã1) e f(ãx) = ª(ã1)_= 91, Mostremos que

x2 & p Coinc(Í,õ) [ou seja, iz & p—1(x2) onde ª(ãz) = &(ãz).oO caminho A se levanta a um caminho X: I + É tal que Í(0)=ihqofoí = fok e vqoêoí = gol. Assim, fºi- e ãQÃ são levanta—mentos de foA e gol, respectivamente, começando em É]. Como

por.hipõtese foXº é homotõpico a goÃ. segue que seus leyantgmentos que têm o mesmo ponto inicial 91, devem ter o mesmo poªito final. Por conseguinte foi(l) = õoí(l). Seja Ã(l)=ã21 EntãoX2 e p (xz) pois p(ã2) : poí(l) = Ã(l) = x2 e, portanto,

2.10 — Teorema

Os pontos xl, Xz & Coinc(f,g)" estão na mesma .classede pontos de coincidência se, e somente se, dado um caminho qualquer y: 1 + X ligando x; a xz, temos:

í(f0Y—1).(90Y)l fw<a'ª).gw(a)

para algum a & W1(X,X2)

' w;

Demonstração&

Se _XI' e )(2 estão na mesma classe de pontos de'coin—i

cidência, segue por 2.9; que existe um caminho _A 'ligándo ,xl/ aw

x2 tal que fol ê homotõpico a gol) relativamente aos__pontoslfinais. Seja Y. um caminho arbitrário em X, ligando xl ate x2.'Temos que goym(fox).(goxfª).(goy) = (foA).[go(A_l.Y)] relativa-mente a -Í0,l] e A“].Y & um laço em X com ponto base 32.

“Seja. o»: lfl.y. Então goym(foxl.(gço)- e 0 € um lil"

.ço em[,x2.Assim,

'ª(foy'ª).ggoy) % (on“l).(foA).xgoo)'= A

[fo(y“1.A)];(gog) ; (foo—1).(goo).l, g; ;?

-

'v : _ _ 1.

Portanto;' ((foy 1).(goy)]f=gãlg,b.gn(a)_ onde a=[o].Reciprocamente, suponhamos que dado um caminho ' qual—

quer Y: I'ª X ligando xl a xz,

(foy'l).(go&5 % (foo—1).(goo) onde [o] = a

Chamemos A = y.0—1. Então,(fel—1).(gol) = (foo),(foy'l)(gay).kgoo'l).m &

cade & denota o laço constante em f(x,) = g(xz). Isto quer di—

xer que xl e x2 estão na mesma classe de pontos de coincidên-cia.


Toda classe de pontos de coincidência de f,g: X + Y e

um subconjunto aberto de Coinc (f,g).

Demonstração

Seja x; € Coinc(f,g). Desde que X e Y têm recobri—

mentos universais eles são localmente conexos por caminhos e se—

.mi—localmente l—conexos. Assim, existe uma vizinhança W de

f(x;) = g(xu) em Y tal que todo laço no ponto f(xl) = g(xl) em

W é trivial em Y e existe uma vizinhança U de xl, conexa

por caminhos, tal que UÇ; f_1(W)(Á g—1(W).

Se x2 E Ufi]Coinc(f,g) é um elemento qualquer, seja A

um caminho em U dean até xz. Então fol ejw e gol e W e is—

to implica que fox é homotõpico a. gol. Portanto, por 2,9., xle x2 estão na mesma classe de pontos de coincidência; o que mos—

tra a proposição.

2.12 — Corolãrio

O número de classes de pontos de coincidência não va—

zias ê finito.

Demonstração

Decorre do fato de Coinc(f,g) ser um conjunto compacto.

,. .»);

2.13 — Corolãrio

&,

Toda classe não vazia de pontos de coincidência 34 de'f e q é um subconjunto compacto,, í

Demonstração

Sejam Fl, ..., F , classes de pontos de coincidência. r

., >“ _. — Ir ' ,de f e g.Entao, para cada_ 1;5 kii r, Fk = Coinc(_f,g)—'L_).Fj e, famª

. ,. _ U ,'

_1 1 .*“j=ln' :jaªk'

um subconjunto fechadolem'Coinc(f,g)1

-2.l4 — Lema

Sejam fo,f1,go,glz X + Y e_suponhamos fo homotõpica

a' fl e go hOmOtõpica a gl. ,Então, as classes de pontos de

coincidência de fo e go estão em correspondência biunívocacom as classes de pontos de coincidência de fl e g;.

Demontração

Seja H: X X I + Y uma homotoPia entre fo e f1.Sefo é um levantamento da aplicação fo, eiíste um único levantªmento É: É X I + ? da homotopia H, tal que É(ã,0) ='Ío(ã),qualquer que seja & E É. Definamos fl: X + ? por É1=É(,l),.'

'É imediato que fl _ê um levantamento de fl. Analogamente, pªra fl levantamento de fl, utilizando—se da homotopiaH—l(x,t) = H(x,l—t), .podemos obter um levantamento fo de fo.

- 31 -'

Assim, & homotopianívoca nH

- fl.Observemos que para todo a

B e: 111 (Y,yo)De fato, a homotopia

entre os levantamentos de

temos que nH(Bofooa)

H define uma correspondência biuªfo e'os levantamentos de

E W1(X,Xo) e todo(*)H BOUH(E%)OG

É': 2 X 1 + ? definida porÉ'(ã,t) = Boã(a(ã),t) é um levantamento de H e além disso,É'(ã,0) = Bogooa(ã). Desse modo, nH(Bofooa) = É'( ,1). Éorêm,

para todo É e É, É'(ã,l) = 80%]Od(ã) = BonH(Ío)oa(i), o' que

mostra a observação.Consideremos agora a correspondência, que vamos deng

tar também por nH , entre asde fo e go e as classes de

“&

definida por

UH: p Coinc(Ío,ão) *

Desde que.

classes de pontos de coincidênciapontos de coincidência de fl e go,

p Coinc(nH(Ío):êo)

p Coinc(Éo,ão) =:p Coinc(fô,ão)<=> ÍH = ãn(y).ÍooY—1 nara al—

gum Y & n1(X,xo) por 2.4

<=> nH(Í;)—= <É'TI(Y)OY1H(fo)ow/ª1 por' (*)

<=à p Coinc(nH(Éô),ão) ='p Coinc(ãW(Y)onH(Éo)oy“l,ão) por 2.4então a correspondência nH é bem definida e injetora.A sobrejeção é óbvia.

Se R: X X I + Y é uma homotopia entre go e g;, ana—

logamente R induz uma bijeção

_ 32 -

'nR: p Coinc(fl,õo) ( _> P CºinC(Í1:nR(õo))-

Desta forma, nHR = nR o nH define a correspondênciabiunívoca desejada.


Definimos R(f,g) como sendo o número de classes de

.pontos de coincidência de f_e g, vazias ou não.

_2.16 — Teorema

Sejam fo, fl, go, gl: XF> Y. Se fo é homotõpica a

fl e go é homotõpica a gl, então:

R(fo,go) = R(f1,91)

.Demonstração

Segue diretamente de 2.14.

52 — CLASSES DE (f“, ª“) conjugação

Sejam f,g: X + Y aplicações. Neste parágrafo também

vamos supor que X e Y são poliedros conexos e X compacto.

Se f: X + ? é um levantamento de f, pela, proposiçãol.3.c., todos os levantamentos de f são dados por aof onde

a e n1(Y,yo). Assim, de acordo com a definição 2.7., as classesde pontos de coincidência de f e q são da forma

p Coinc(aof,80ã) onde f e 6 são levantamentos arbitráriosde f e 9, respectivamente, com a,B & H1(Y,yo). Desta maneiraos elementos de W1(Y,yb) servem como coordenadas de levantamen

tos com relação aos levantamentos % e &, escolhidos como refe—

rência, e a introdução dessas'coordenadas servirá de base paraalgebrização.


Dizemos que a,a' & W1(Y,YU) são '(fú,g“) conjugados, seexiste Y & W1(X,Xo)l tal que

1a' = ãW(Y)—a.fw(y— )

a—

onde f e q“ são como na definição 1.4.

Claramente esta relação é de equivalência.&

2-18 — Lema

p Coinc(dof,80ê) = p Coinc(a'of,8'05),a,8,a',8' É

n1(Y,yo) se, e somente se, B—l.a e B'—1.d' são (f“,ãn) * conjggados.

Demonstração

p Coinc(aoÉ,Boõ) = p Coincla'of,8'oã)<=>

p Coinc(B-loao%,ê) = P Coinc(6'—loa'of,ã)

l ).<=> B'_ OG'OÍ = %w(Y)OB_ OUOÉW(Y—1)OÉ para algum

Y E W1(X,Xo) (por 2.4)

= .-1 . = " -1 * -1< > B ou . gw(yyoB oaofn(y )

<=> B"1.a' e B_l.a são (É“,õn)—conjugados (por 2.17).

2.19 — Corolãrio

".As classes de pontos de coincidência de f e q estão em

correspondência biunívoca com as classes de (f“,gn)—conjugaçãode n1(Y,yo), através da correspondência

> [Sªl.a].p Coinc(aoÍ,Boã) <

O teorema a seguir nos fornece um limitante inferior para o número R(f,g).

&

2.20 — Teorema

!

Sejam f,g: X + Y. Então,

um» & #coker<gl* — fl )*

onde f1*, gl*: H,(X) + H1(Y) são os homomorfismos induzidos por

f e g, respectivamente.

Demonstração

Seja O: “I(X,Xo) + H1(X) a abelianização .

Pelo lema 1.6., os diagramas abaixo comutam ,

” ºn' ' fW1(X,Xo) —£—> W1(Y,yb) . 1T1(X,Xo) ———> “I(Y(Y0)

lº . lº- —

. lª . lºH1(X) f *>'H1(Y) H1(X) _

> H1(Y)1* - ' 81*

',

Seja n; H1(Y) + coker(gl*—f1*) "o homomorfismo naturale consideremos a composta.

1109: “I(Y'YO) "* COker(gl*"f1*)

Para todo Y & “I(X,xo) *e todo a & “I(Y,yo), temos

que:

g(ªn(Y).a.ÉW(Y—l)) = O(êw(y)) + e<a> - O(ÉW(Y))

e(a) + (91*-f1*)(9(Y))

Assim sendo, o homomorfismo sobrejetor noO leva classes (É“,ãw)—conjugadag.numlúnico elemento, donde segue o resul—

tado.

_ 36 -

53 - NÚMERO DE NIELSEN

Se f,g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedades de di—

mensão n, sem bordo, conexas, orientadas com MI compacta, va—

mos definir o número inteiro não negativo N(f,g) chamado 0 numª.

Aro de Nielsen do par (f,g). Ele é um limitante inferior para a

cardinalidade do conjunto dos pontos de coincidência de f e 9.

.2.21 — Definição

Sejam f,g: M] + M2 onde M1 e M2 são variedades de

dimensão n, sem bordo,'conexas, orientadas e M1 compacta. De

acordo com 2.11, toda classe F de pontos de coincidência de

f e q é um subconjunto aberto de Coinc(f,g). Por conseguinte,F = WÍFNCoinc(f,g) onde W é um subconjunto aberto de M1.Além

disso, como. F é um subconjunto compacto de W, podemos considerar o índice I(f,g,W) ViSto no 55 do cap.l, e definir o índi—

ce da classe F por:

I(f,g,F) ='I(f,g,W)

Este índice está bem definido pois, se W' é outro ªberto de M tal que W'rw Coinc(f,g) = F então por l.24(i),I(f,g,W) = I(f,g,W') .


Sejam f,g: M1 + M2 onde M] e M2 são variedades de

dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas, com MI compacta e

seja F uma classe de pontos de coincidência de f e g. Dizemos

que "F é essencial se I(f,;,F) # 0.

O número de classes de pontos de coincidência que são

essenciais é chamado número de Nielsen de f e g e é denotado por

Imag).

2.23 — Exemplo

Consideremos S3 a esfera de dimensão 3 e RP3 o es—

paço projetivo real obtido identificando os pontos antipodais de

Sª. Sejam xº, X] e S3 05 polos norte e sul, respectivamente,f:S3 + RPª a aplicaçãó'constante em [xo] onde [xo] denota a

classe de xo em RP3 e 9: S3 + RP3 a aplicação projeção.Temos que xo e x; são os únicos pontos de coinci—

idência de f e g..

Seja W um aberto de S3 contido no hemisfério supe—

rior, de modo que xo € W. Consideremos & um fechado, xoezõggw

>e k; V + D3 um homeomorfismo levando xo na origem e preservando orientação.

De acordo com 1.27, temos qne I(f,g,W) = grau $ sendo $: S2 + S2 dada por $ = Wo[Fo(hXh)o(f,g)]ok—1, onde F é

definida por F(x,y) = % (y—x) e n é a projeção radial da origem.

, — lPorem, para todo x & BV, F0(hxh)o(f,g)(x) = íh([x]).

_38-_

Desta forma, a aplicação $ tem grau 1. Logo, I(f,g,w) = 1.

De maneira análoga, se W' é qualquer aberto contidono hemisfério inferior de S3 com x] e W', temos que

I(f,g,WÍ) ='l..

Os pontos xq e XI não estão na mesma classe de pon?

tos de coincidência pois, caso contrário, se A é um caminho

qualquer em S3 ligando xo a xl, segue do teorema 2.10, que

._1 —l[(foA ).(goAH = me ).gnm)

para algum a e n1(sª,x1). Porém, como f é a aplicação constan-te, temos em decorrência que gol e homotõpica ao caminho cons—

tante em' f(xl) = g(xl). Mas, isto é uma contradição visto que

para todo caminho X em Sª, de xo até xl, [gol] é um gerador de W1(RP3,[Xo])-

Portanto f e g possuem duas classes distintas de poªtos de coincidência, vFº = ixo) "e F1 = [XI] e, conforme Vimos

-acima, I(f,g,Fo) = I(f,g,F1) ='l. Por conseguinte 'N(f,g) = 2.

2.24 — Teorema

&

Sejam f, g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedadesde dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e M1 compacta.Então,

i)»N(f,g) |A R(f,g)

ii) N(f,g) 5 7#'Coinc(f,g)

_ 39-

iii) Suponhamos que h: Mi + M1 e k: M2 + M5 sejamhomeomorfismos preservando.orientação,onde Mi e ME são varie—

. º' . 'dades de dimensao n, sem bordo, conexas, orientadas e M; com

pacta. Então,

N(kofoh,kogoh) = N(f,g)

Demonstração

As partes (i) e (ii) seguem diretamente das defini—ções 2.15 e 2.22.

E imediato que CoinC(f,g) está em correspondência biuzªnívoca conxCoincOuafoh, kogoh), através da correspondência

Além disso, w estabelece uma correspondência biunívº.ca entre as classes de pontos de-coincidência de f e g e, de

kofoh e kogoh.Suponhamos que G = WiF) onde F é uma classe de pon

tos de coincidência de f e g. Seja W um aberto de Ml" talque WIFWCoinc(f,g) = F. Se W' = h—1(W) não é difícil verificarque W'f“)Coinc(kofoh, koàok) = G.

Em virtude de 1.26 a demonstração está concluída.

2.25 — Teorema

Sejam &, 9: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedadesde dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e compactas. En

tão, a soma dos índices de todas as classes de pontos de coincidência de f e g é igual a A(f,g).

Demonstração

Sejam F1,.;.,Fr as classes de pontos de Coincidên—

cia de f e g. Para cada j, 1 5 j 5 r, escolhamos um aber—

to Wj de Ml tal que Wj (] Coinc(f,g) =*Fj e seja W=k,)W... j-lPela propriedade l.24(i), I(f,g,M1) = I(flng). Como

A(f,g) = I(f,g,M1), o resultado segue da aditividade do índice..

« II

Uma consequência do teorema acima é a seguinte: o não

anulamento do número de Lefschetz AJf,g) implica no não anula—

.mento do número de Nielsen, como vemos_

a seguir.»

2.26 — Corolãrio

&

Se A(f,g) # 0 então N(f,g) 3 1.

Um resultado importante a respeito do número de

Nielsen é o seguinte: o número de Nielsen é um invariante homotºpico. A demonstração deste resultado é feita, mostrando que a

correspondência biunívoca dada pelo lema 2.14, preserva índice. A

contece que essa prova envolve fatos novos cuja utilidade se regvtringe apenas à ela, além das técnicas envolvidas serem mais com—

plicadas. Porisso, para não haver quebra de sequência, a — invariança homotõpica do número de Nielsen se encontra demonstrada no

apêndice I..

Uma consequência deste fato, está enunciada no próximo

resultado.

2.27 — Corolãrio &

Se f' é homotõpica & f e g' é homotõpica a g então

f' e g têm no mínimo N(f,g) pontos de coincidência.

54 — COMPUTAÇÃO DO NÚMERO DE NIELSEN

Sejam f,g: M1 + M2. onde M1 e M2 são variedades de

dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e compactas.Utilizando os subgrupos de Jiang J(f) e J(g), vistos-

no 52, do cap.l, vamos definir um subgrupo J(f,g) do grupo fun—

damental w;(M2). Ele é empregado quando "A(f,g) # O para obter?mos uma condição suficiente para N(f,g) ser nulo. Ele é útiltambém, para darmOS uma estimativa para- N(f,g), quando A(f,g)#0


Sejam f,g: X + Y onde X e Y são poliedros. Então,

_ 42 _

existem aplicações f',g': X + Y homotõpicas a f e g, respectivamente, tal que f'(xo) = yo = g'(x0) onde xo é o ponto basede X e yo é o ponto base de Y. ([6], lema 7, pag 100). As—

sim, em virtude dos lemas 1.11 e l.lZ., podemos assumir que o

ponto base xo & X, satisfaz f(xo) = yo = g(xo).


Sejam f,g: X ->Y onde X e Y são poliedros. ' Em

vista da observação acima, podemos supor que f(xo) = yo = g(xoLonde xo é o ponto base de X e yo “é o ponto base de Y. Des

ta forma J(f,xo)Ç; W1(Y,yo) e J(g,xó)Ç; W1(Y,yo)_ Assim, definimos:

J(f,g,Xo) = [J(f,Xo).J(gÍXo)]

ou seja, J(f,g,xo) é o subgrupo de W1(Y,yo) gerado pelo pro—

duto dos subgrupos de Jiang J(Í,Xo) & J(g,xo).

2;30 —,Observaçãor

Sejam f,g: X-+ Y .onde X e Y são poliedros. Em.

virtude da observação 2.28., podemos supor que o ponto base xºde X, pertence ao conjunto Coinc(f,g) = &) p Coinc(É,g). As—

? ffºsim, xo = p(Ão) onde f(ão) = &(ão)= 50 para algum levantamentof de f e algum levantamento & de g.

Seja & um caminho em ? de zo até o ponto base ªode ?. Então, m,= qoõ« é um laço em yO, o ponto base de Y

e, portanto, induzr um isomorfismo

Além disso, m*(J(f,xo)) = J(%) e w*<J(g,xO))=J<5)([l)], lema 3.6., pag 31). Desta forma, se considerarmos o sub—

. grupo de W1(Y,yo) definido por&

J(%,ã) = LJ(%).J(%)1

é imediato que

n*(J(f,g,xO)) = J(É,õ)

2.31 — Lema

Sejam f,g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedades de

dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e M1 oompacta. Se

J(Í,ê) = n1(M2), então todas as classes de pontos de coincidên—

cia de f e g têm o mesmo índice.&

Demonstração

Para todo a,B & “I(Mg), temos que p Coinc(aoÉ,Boã)=

p Coinc(f,a_loBoê).

Como 0—1.8 6 “x(Mz) = J(É,õ), então a_1.B =

01.Y1.pz.Y2 "'pk'Yk onde Di € J(Í) e Yj € J(ã), para tºdº151,3'5 k.

'

Portanto, p Coinc(aOÍ,BOõ) =

p Coinc(f,ploylo...opkoykoõ)=p(Coinc(pílof,ylopzoy2o...opkoykoã).Visto que píª & J(f), existe uma homotopia H: f % f

que se levanta a uma homotopia É entre píl o É e É.

No apêndice L, vamos mostrar que a correspondência biu—

nívoca nHR dada pelo lema 2.14 preserva indice. Porisso,

I(f,g,p Coinc(0?10%1Y10029Y20...OpkºYkºã)

I(f,g,p Coinc(É,ylopzoyzo...opkovkpê)

Analogamente, o fato de yl E J(ã) implica que Yloã ê

homotopica & ª. Por conseguinte, Ylopzo...opkoykoã= yloõoõn(pzo...opkoyk) m ãoê“(pzo...opkovk)=pzo...opkoykoã.

Desta maneira,

I(f,g, p Coinc(Í,Yloponzo...opkoykoã)

I(f,g, p Coinc(%,pzoy20 ... opkóYkoõ)

Aplicando seguidamente o raciocínio acima, obtemos:

I(f,g,p Coinc(Í,pzoyzo...opkoykoã) =

I(f,g,p Coinc(f,ê).

Consequentemente, I(f,g, p Coinc(aof,Boã) =

I(f,g,p Coinc(f,ã) para todo d,8 & W1(M2) o que mostra o lema.

2.32 — Teorema

Sejamn f,g: M1 + MZ onde M1 e M2 são variedades dedimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e compactas. Suponha—

'mos J(f,g,xo) = n1(M2). Então,

i) quaisquer duas classes de pontos de coincidência de

f e 9 têm o mesmo índice;ii) se A(f,g) = O então N(f,g) = 0

iii) se A(f,g) # O então N(f,g) = R(f,g) 2

3% Cºker(gl*—f1*) onde f1*,91* : H1(M1) + H1(M2) “são as in—

duzidas de f e g.

Demonstração

O item (i) segue diretamente da observação 2.30 e do le—

ma anterior.Pelo teorema 2.25., A(f,g) é a soma dos índices de to—

das as classes de pontos de coincidência de f e g e em Vista de

(i), todas essas classes têm o mesmo índice. Desta forma seA(f,g)=0 então todas as classes de pontos de coincidência de f e

9 têm índice nulo e, se A(f,g)# 0 todas as classes têm índicenão nulo.

Visto que as classes de pontos de coincidência de f e

9 estão em correspondência biunívoca com as classes de (fw'ãw) —

—conjugação de W1(Mz), provar a igualdade” R(f,g) =

7%.coker(gl*-f1*) equivale a mostrar que o homomorfismo sobre—

jetor noG:

'”](M2) e > H1(M2) ª» coker(gl*—f1*)

onde, 6 é a abelianização e n é a projeção natural, leva difg,rentes Classes,(fgfõ%)écon3ugadas)em_elementos diferentes.

Se W1(Mz) é abeliano, necessariamente isto acontecepois, se a e a' são dois elementos quaisquer de “)(Mz) então

'noG(a) = noe(a') implica que existe Y & n1(M2) 'tal que

.9(q) * 9(Q')ê (gl*-f1*)(9(Y))

Levando—se em conta o lema l.6., isto quer dizer que

ªeww) = O(ãn(y>.a.'fw<rl)>w

Consequentemente,

-_ ' " '“1ov - gn(Y)-0L.fn(Y )

pois 9 é um isomorfismo, em virtude de W1(M2) ser abeliano.

A prova da igualdade R(f,g) = :3% coker(g1*—f1*) sofoi conseguida com hipóteses que implicam w1(M2) abeliano, como

por exemplo o corolário seguinte.

_47_

No caso de pontostixos, isto é, quando M; = M2 e

g = idM , igualdade acontece sem necessariamente n1(M2) ser2

abeliano; por exemplo, se %w(w,(M2))Ç; J(f). ([l], pãg.33).

2.33 - Corolãrio

Sejam. f,g: M1 + M2, onde M] + M2 são variedades de

dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e compactas. Suponha—' mos J(M2) = W1(M2)- thtão quaisquer classes de pontos de coinci

dência de f e g têm o mesmo índice. Se A(f,g) ? 0 entãoN(f,g) = 0. Se A(f,g) # O bentão N(f,g) = R(f,g)=3% coker(gl*—f1*).>

Demonstração

Visto que J(M2')ÇJ(f,xo) e J(M2)Ç J(g,xo)“([1, pág 31)] e por hipótese, J(M2) = W1(M2) então

_J(f,g,Xo) = TT1(M2)—

O resultado segue agora do teorema 2.32 e do fato de

W1(M2) ser abeliano.

2.34 — Exemplo

Sejam f,g: Sn ª'Sn com n 2 1, onde f tem grau m

'

e g tem grau k.Q,se q#0 e q#n

Visto que Hq(Sn,Q) : Hq(Sn,Q) =Q,se q=0, n

segue que:

_48_

n tr 60 + tr Gn se n é parA(f,g) = E (-l)qtr e =q=0

tr Go — tr Gn se n é ímpar

n* "Sendo tr 60 = tr g e tr 'Gn = fn' entao,*

k + m se n é parA(f,g)=

k — m se n é ímpar

Se n > 1 temos que Sn é simplesmente conexa e daípor 2.9., fie 9 possuem apenas umã classe F de pontos de coincidência tal que:

I(f,g,F) = I(f,q,Sn) A(f,g)“

Consequentemente, N(f,g) = 0 se A(f,g) = 0 e

N(f,g) = 1 se A(f,g) # o.Se n = 1, então f,g: S1 + Sl.'Desde que S1 é asfé—

_rico e “I(Sl) E Z 'e abeliano, segue do teorema 1.14 que

J(Sl)=gw1(Sl).Assim, do corolário 2.33., deoorre que:

N(f,g) = 7% coker(g1* —f1*)

Como

(gl*—f1*) ;_H1(sl) -———+ H1(s1) é dada por

(g1*-f1*)(a) = (k-m)a> então,

_ 49 _

Z =coker(gl*-f1*) = TÍÍETÍ “ Z(k—m)

Portanto,

7#=coker(g1*-f1*) = Ik—ml e daí, N(f,g) = lk—ml

Por conseguinte,

N(f,g) = |k—ml = |A(f,g)|.

2.35 — Exemplo

Sejam f,g: S1 X S2 + S1 X Sº. A estrutura do anel de

cohomologia H*(SIXSZ,Q) “é.dada por:

[I?Hº(SlXSZ,Q) com gerador lH1(SIXSZ,Q) com gerador a

"Z

uz

O

O

O

'O

Hª(SlXSZ,Q) com gerador B

Hª (slxsª,Q) III com gerador & LJB

Suponhamos que f1*, g1*; H1(slxsª,Q) _, H1(SIXSZ,Q) e'2* 2* 2 1 2 2 1 2 - 1*f , g = H (S XS IQ) + H (S XS ,Q) sejam dadas por f (d)=aa,

* *fª*(8) = bB, g1 (a) = a'a e gª (s) = b'B.Escolhamos bases & & H1(SIXSZ,Q),É € H2(SIXS2,Q),

? & H3(SIXSZ,Q) tal' que <a,&> = 1 e <s,ê> : 1, <aU5,Ç> = 1,

Sejam também as bases &' & H1(SIXSZ,Q)' e B' & H2(slxsº,Q),tal que a' = D(B) e B' = D(a) onde D denota o isomorfismodado pela dualidade de Poincaré.

..50-

Vamos calcular A' (f,g) = tr 96 —_ tr 61 + tr O; —

— tr e;..

Temos que G; = gª*. Assim, O;(akJ B) : gª*(a LIS) :gl*(a)k) gº*(6) = ª'ko b'B = a' b'(a LJB).

*Analogamente, fª (& LJB) = ªb(akJ'B). Desta forma,

f3*(?) = ab y e, portanto, 95(?) = f3*(?) = eb ?.Suponhamos que d' = ma e B' = HE, onde m,n & Q.

Então,Gi(a) % D_lof2*oDogl*(a) = a'D—lof2*oD(a) =

ª'D_lºf2*(5') : ª'ªD—lºf2*(ã) = aFBZn Dªl(É)ÇÍÉ

a'b D_1(B') = a'bo.

Analogamente, O£(B) = ab'B.

Logo, A'(f,g) = ab — a'b + ab' - a' b' e consequen—

temente, A(f,g) = (—l)3A'(f,g) = a' b' + a! b - a b' — a b.Por 1.13, J(SIXSZ) ª,J(SI) X J(Sº). Por conseguinte,

J(slxsª) % W1(SIXSZ).

Assim, se a b + a .b'= a'b + a' b' então N(f,9) = 0

e se a b + a' b'# a'b“ + a' b' então ***flº '' 'N(f,g) :

riª coker(g1*—f1*) = i#=(TãT:ãTí) = Ia —a|.

2.36 — Exemplo

_51_

2n+1Sejam S =-[(zo, zl,...,zn) e Cn tal que |Zo|2++ |21|2+ ... + lzn!2 ='l] e m um número inteiro positivo.

Suponhamos que w seja uma m—ésima raiz primitiva da. . 2n+1 . zn+1 '

unldade e deflnamos T: S + S por T(zo,...,zn) =

= (wzo, wzl,...,wzn). Então-o grupo T gerado por T é propriª' 2n+1mente descontlnuo, atua em S para todo n e

2n+1T

2n+1S = L (m) é um espaço de lens ([23], pag 91).2n+1Seja x0'= (l,0,...,0) E S . Sabemos que'

zn+1TT1(L (m),[xº]) % Zª. onde ixo denota a órbita do ponto xo.2n+1 2n+1( (Consideremos f,g: L m) + L m) tal que

2n+1 2n+1fw' g“: TT1(L (m),[Xo]) + “I(L (m),[xo]) *sejam definidaspor fw(l) = k e g“(l) = 5.

Visto que,

_ ..'

Q, q=0, 2n+l2n+1(m),Q) Hq(L2n+1H (L ; (m),Q) = , ,, ,q 0, caso contrario

entªão, A(f,g) = grau 9 — grau f.Se p é um número primo, conhecemos que

2n+1 q zn+1 NZ ª H L Z = Z . 0 < < 2n+lHq(L (p), p) ( (P), p) p( _ q _ )

e as aplicações de Bockestein3* 2q—1 2n+1 2q 2n+1

: , 2 H L ,zBp H (L (P) p) +p

( (p) p)

são isomorfismos, para todo 0 < q < n.([23], pag.92).

_'52_

Se p é ímpar, considerando ile H1(L2n+1(p), Zp)_

- _ * . , »-.' 2 2n+1A

Zum gerador, entao v2 — BP(11) e um gerador de H (L (p), p)

e sendo n < w , o anel de cohomologia H*(L2n+1(p), Z ) é oPproduto tensorial..

zn+1(p) PÁVÍ)vz

H*(L , z ) = A(i,) &.P

da álgebra exterior A(i1) e o anel polinomial truncado geradopor vz. ([23], pag 93).

Desta maneira,se m é um número primo p ímpar, então* * 1

.f1 , g1 : H (L2n+1(p), z ) + H1(Lºn+l(p), Z )P - P

. 1* . ,»- 1* . . .

'

satisfazem f (11) = kll e g (11) = 511 Portanto,

* »*' * , * * ,f2 (vz) “ (f2 on)(il) : Bp(f1“(11)) = kvz e, analogamente,2*'

g (vz) = sv2'2n+1* n n+1 nCOnsequentemente, f (ilevz) = k (ilevz) e

+ *', n n+1 . nzn 1(11 LJV2) : s (llkj Vz)'

Por outro lado, kn+1 e sn+1 são as reduções módulo p,. n+1 n+ide grau f e de grau 9, respectivamente. Desta forma, k is

mod p implica A(f,g) # O. (*)

+1 ,Se p=2, L2n+l(2) = RP2n e como H*(RP2n+ª, Zz) e

' . .' P(il) ..uma algebra polinomial truncada +

entao,2n 2

11*

' * z ,zn+1fzn+1 (iín+1) : kzn+1 i12n+1 e g2n+1 (ifn+1) : s n+111 .

_ 53 _

2n+1 : 2n+1 kn+1 _Visto que k _ s mod 2 acarreta :1 - . .. . .sn+ mod 2, tambem neste caso, a afirmaçao (*) se verifica.

_ 2 1 .Sendo lim L k+ (m) = Loo (m) = K(Zm,1) para determinaro anel de cohomologia de um espaço delensL2n+l(m), basta conhe—

cermos o anel de cohomologia do espaço de Eilenberg—MacLane

K(Zm,1).Em [19], pag.90, Mosher e Tangora mostraram quev

H*(K(er,l),Zz) ª A(i1) & P(dr(i1))onde 1'32 e dr denota o homomorfismo de Bockestein.

De forma semelhante, se p é um número primo, p > 2,

podemos verificar que

H*(K(Zpr,l),Zp) ª A(i;) & P(dr(il))e de modo análogo ao feito anteriormente, podemos concluir o re—

sultado (*), se m = pr.Suponhamos agora m=p1.p2...pk onde pi,15i5k são primos

positivos e distintos. Desde que Z ª' Z $ ... $ Z entãom Pl Pk

k* ' ª *H (K(Zm,l),Zm) .? H (K(Zm,1),Zp )

1-1 1

Por outro lado

kK(Z ,1) = H K(Z ,1) ([23], pag.256)m i=1 pi

Da fórmula de Kunneth e do teorema dos coeficientes universais, obtemos:

IllH*(Í<(z ,l), 2 ) WWW ,1), z )m Pi Pi , Pi

Consequentemente,

IllH*(K(Z ,l), Z) Mil) % P(d(i1))m m ,-

onde 6 denota o homomorfismo de Bockestein e do mesmo modo como

fizemos anteriormente, podemos verificar que (*) também é satigfeita, neste caso.

Acreditamos que se m .for um número inteiro positivoarbitrário, a afirmação (*) ainda se verifica.

Suponhamos então, que m = p1,...,pk , onde p ,

1 f i í k são números primos positivos, distintos .

2n+1Por 1.16., J(L (m)) ª n1(Lºn+1(m),[x01).

Também,

coker(gl* — f1*) =.___Jl__

é o grupo cíclico de ordem mdc(s-k,m).

Desta forma, por 2.33., segue que: sen+1n+1 % s mod m então N(f,g) = mdc(s-k,m).

55. ESPAÇOS COM GRUPO FUNDAMENTAL FINITO

Sejam f,g: X + Y onde X e Y são espaços conexos,localmente conexos por caminhos, semi localmente l—conexos, com grupos funmentais “I(X) e ni(y) finitos.

Consideremos a classe de levantamentos [%,ã] definida em

Para todo asn1(Y) e todo Y€n1(X), segue diretamente da

definição 1.4, que:":

(doanm. oc ”= &. õnm (*)

Usando este fato, é imediato verificar que o produton1(X) X “I(Y) atua em [%,51, do seguinte modo

(%,5) (_Yri'l_> (aqõTTWWÉoy-l ,aoõ) .

Claramente, esta ação é transitiva. '

Se denotarmos o subgrupo de isotropia por íh[%,5]), tgmos:

.

.. .. " ---1 ..g([f,g])= [(Y,0L)€ 'n1(X) >< 111(Y) tal que dogn(Y)0f0Y ='f.. .. * — «— _.1

e aog =. 9] ='í(v,oc)e “1(X) x um tal que aogwwwfnw )of—

= % e,Qp5-= ª].

-56-

Desta maneira, em virtude da unicidade dos levantamen:»

tos, se (na) e guiªm então oc = 1 e fw“): %w(Y). Portanto,

guiam = (ml) e MX) >< «um tal qúeÍW(Y)=<31T(Y)]

e assim, temos o seguinte resultado:

2.37 — Lema

díª £j([%,ã])-= Íãª Coinc(%n,ãn)IÍ


0 número u([Í,&]) definido pOr:

mich) = #Como avg")

é chamado multiplicidade da classe de levantamentos [É,ª].


U([%,&]) é independente da escolha dos levantamentos % e& em [%,ã].

Demonstração

.. .. ...— "' .. ._1Seja (f',g') & [f,g], qualquer; Então f' = dog“(Y)oon

e &'= aoã, para algum aew1(Y) e algum yen1(x).!

Assim,

.;- -'_| .. -| (Ã) %; X'l EJ,»

' o o =Ae Cºlnc(fw,gn) Çzà gTr.

.

-A

.. » .. _1' __1»>»

.. .; ,_1'“'.é::àg%(k). aog“(y)ofoy 01 = aogn(Y)ofoy ,

. _1 » '? — _1 :;1 * 4 * — -1(=)0L ogT'r(.)x)OOLogTr(y)oon OA : 9“(Y)0fOY .

>—

",

s_1 » l_1 - '

— _1 _1 ; - _1 ?

<=>(_oc og')“(Moa Oªºgn(Y)ºf_ºY ºª, =9H,(Y)ºfºY.(Porvª)

.. .. _1 A,-., _1' _1

' ,c:???“(y, .).Y)f—— fo(Y» .Ã.Y) — f"(Y .Xiy)of

_1 - - .

Q::ày . x.y & Coinc (f“,g")

Portanto,

Cóinc (%%,6%) = A* Coinc,(fnlgn)

_]onde %* é o automorfismo A + Y . x.yDaí,segue o resultado. . -

2.40 — Lema

u<[%,<31_).#,[%,51 = # (FMX) >< mun)

—58-

Demonstração

Desde que a ação

(mm >< mar))x [%,61 + [%,61

.—

(alY)r(%lã) “* (QOãn(Y)O%OY—1 :ªºg)é transitiva, o espaço das órbitas _,£>X[É;ã]) é igual a [5,9].

Visto que,

#ÍSUf g])—#©([f,g]) #(W1(X)>< mmm

o resultado segue então, do lema 2.37.

2.41 — Lema

#(cOinc(%,&)m p-1(X)) = uma“

Demonstração

Seja ª € Coinc(%,ã) tal que p(ã) = x. Todo ponto em.. 1 . ..

p (x) tem a forma y(x) onde Y€n1(x).Assim,

..59-

%mãn = &mãn <=> (ÉOYHQ) = (ãOYHã) <=>

%w(y)o%<ã) = &“(y)oê(ã) <=>'%“(y>o%(ã) = 5n(y>o%<ã)

“<=> %w(y)oê = &“(y)oÉ <=> %w(Y) = ãn(Y)

<=> ye Coinc(%í,ãw) e, portanto,

3#'(Coinc(%,6)raip_l(x)) = %ªCoinc(Íw,ãW) = p([%,&]).ª'.


Sejam f,g: M1 4ÇM2 onde M1 e M2 são variedades de .dimen

são n,. sem bordo, conexas, compactas, orientadas, conxgruposfundgmentais W1(M1) e n1(M2) finitos.

Seja F = p Coinc(%,ã) a classe de pontos de coincidênciade f e g, determinada pela classe de levantamentos [%,ê].

Então,

A(%,&) = u([%,61). 1<f,g,F)

Demonstração

Existem aplicações f',g': Ml+ MZ, homotõpicas a f e 9,respectivamente, tal que todos os pontos de coincidência de f' e

g' são isolados (ver apêndice II).Se H denota a homotopia entre f e f' então H induz» uma

correspondência biunívoca nH entre os levantamentos de f e f'.Seja% =nH(%).

.-Consequentemente, fTT = f% pois, se G8 "1(M1) é um elemento arbitrário, por definição, %w(a)€w1(M2) é O único elemento talque

:. .,Íoa = f (a)of.“

ou seja,

.. ,, .. _1 ,.f“(ayofoa = f.

.Porêm, isto implica que

._A

- _1 » *fw(a)onH(f)oa : nH(f) (ver demonstracao do lema 2.14)

Daí,

% (u)o%' = Í'(a)oê'“ n

e, portanto,

f (a) = Í'(a)n H

Como a é arbitrário, devemos ter %“ = %% .

Analogamente, se R é a homotopia entre g e g' e nH(ã)=&l

então ª“ = 9%

Por conseguinte,

u([%,&1)= u([%',6'1)

Agora, se F' = p Coinc(%',&') e como nHR preserva indªce, então:

I(frng), : I(flng')

Além disso, o fato de É e & serem homotõpicas a É' e &',respectivamente, nos leva a concluir que

_A(f,g) = A(%',&')

Desta maneira, podemos supor que os pontos de coincidência de f e q são isolados.

Desde que as orientações de QI e Éz são escolhidas &

partir das orientações de M1 e M2, então as aplicações de recobrimento p: É] + M1 e q: É27+ M2 são homeomorfismos locais e preservamlorientação,

Seja &; um aberto de Él, com ãº (W Coinc(%,%) = [ªl,queé levado ªhomeomorficamente sobre o aberto WX = p(ãã), onde

WXÍFWCoinc(f,g) = ix].Então, pelo teorema 1.26.

Em virtude de 2.41.

; I(f,g,,wã) = u(;f,g]). ÉI(f,gl,WX)

ªsCoinc(É,6) xeCoinc(f,g)

Porém,

É. I(frglwx) : IGlgl U WX ): I(flglF)º

).xeCoinc(f,g) xepCoinc(f,g

) = u([%,&1).1(f,g,F)5“ !ãççoinc(%,&)

2.43 - Proposição

Sejam f,g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedades de dimeªsão n, sem bordo, conexas, compactas e orientadas, com grupos fuªdamentais “1(M1) e nl(M2) finitos.

_ ; , l ___ . .- —

A(f,g> — %%!“fTME)XHIXMân.,%,5.A(f,g).

Demonstração'

LeVando—se em conta 2.25, 2.40 e 2.42, temos:2 A(í;ã) = _z u([É,ã])- 1(f,g,pCoinc(í,é)) =

fig f,g

— 63 -.

“E, #iàãLuHiõh.1(f,g,pcOinc('f,5)) =[f,g]

#(TT1(M1)'>< 1T1(M2)) _“ZI, I(f,g,pCoinC(Í,') =[fig]

%£(W1(M1) X n1(M2)).A(f,g) ||

Conforme vimos no 52, as classes de pontos de coincidência de f e,g são da forma p Coinc(ao%,Bog) onde % e & são levantªmentos arbitrários de f e 9, respectivamente e d,Bsn1(M2). Como

CoinC(aoÍ,Bog) = Coinc(B_loao%,g), levando—se em conta o lema 2.18,podemos, de maneira análoga ao que foi feito no teorema anterior;provar o seguinte resnltado:

A

..


Sejam f,g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedades de dimensão n, sem bordo, conexas, compactas, orientadas,com grupos funda

mentais “1(M1) e w1(M2) finitos. Então

1“. -f, : ______. Z A E, .“ g) #TT1(M1) Y.€1Tl(M2)

(Yo g)

2.45 - Lema

Sejam X e Y espaços conexos, localmente conexos por camªnhos e semi—localmente l—conexos.

Consideremos o diagrama

_ 64 _

";(X)————————íL————+ “I(Y)

H1(X) -—————————————+ Íí1(Y)gl*—fl*

onde 9 é & abelianização e © é definida por

Mºt) — ' (a) % (ot-1)— gTT gn.

para todo dew1(x)._Então, o diagrama é comutativo

Demonstração

Para todo a€n1(M1),

e'

e " % “1e ”

e " ')), ocpm) — (g,”(oz). TT(OL )) — (q“(aH— (fwm

06(d) — fl*06(a) : igl*—fl*)(6(a)).


Suponhamos que a imagem da aplicação f“: “I(X) + n1(Y) egteja contida no centro de W1(Y). Então a aplicação © definida no lgma anterior é um homomorfismo. Ainda mais, consideremos o diagramacomutativo.

_ 65 _

“I(X)-———ÉL—ã W11Y) —-—Jl——9 coker $

9 G G'

f 1*H1(X)—_—___7H1(Y).—______—qcoker(gl*—f )

gl*— l* "_

onde n é a projeção natural e G' é a induzida de e.Se Ker eg; im Ó então.

;bcoker $ = #ªcoker(gl*—fl*)

Demonstração

Afirmamos que a imagem de É“: “I(X) + “I(Y) está contidano centro de “I(Y).

De fato, seja BEW1(Y) arbitrário. Para todo aew1(X), sºque do lema 1.5. que

A

»

Il% (a).s (m*of )(a).s'1T 1T

Como m* é um isomorfismo, B = m*(Y), para algum ysn1(Y).Logo,

%w(a).8 m*(f“(ª)).m*(Y) = m*(fn(a)-Y)

Por hipótese, a imagem de fTT está contida no centro de'

n1(Y). Daí,

%n(a).s = m*(y.fw(a)) = m*(Y). m*(fn(a)) = a.fw(a),

o que mostra a afirmação.

_ 66 _

Sejam d,BEW1(X) arbitrários. Então,

a<a.s) = g“(as).%“(s'ª_a'ª) = &“(a>.6W<s).%“(s“1).ê"(a' >=

"' —1— - » _1— gn(G)-fn(d ). g“(6).f“(5 ) — à(ª).$(8).

É imediato que 6' é sobrejetora. Portanto, basta mostrarque Ker e' = 0.

Seja ã tal que 6'(ã) = 0, isto é, 6(a)€im(gl*—fl*)=©im©.Portanto, º(a) 60$(b) para algum b€n1(X).

Daí, 9(a—$(b)) = 0 e, em consequência a—©(b)EKerBÇ; im $.

Desta forma, a—$(b) = $(c) para algum c€n1(X) e por coªseguinte, & $(b+c) donde concluímos que as im Ó- Mas, isto quer

o.IIdizer que ã

2.47 — Corolãrio

Sejam X e Y espaços conexos, localmente conexos e semi—

—localmente l conexos com grupos fundamentais “1(X) e “I(Y) finªtos. Sejam f,g: X + Y e suponhamos que W1(Y) » J(Y)- Então,

#tn1(x). ## coker(gl*—fl*)$EW1(Y)

. .u([%,&1).=

quaisquer que sejam os levantamentos %,&; Él + ÉZ de f e g.

_ 67 _

Demonstração

Desde que por hipótese, “I(Y) : J(Y), então W1(Y) é abelíano e, pOr conseguinte, Ker 9 0 onde 6: “I(Y) + H1(Y) é a abelianização. Assim, por 2.46., $ é um homomorfismo e %% coker © ——

;#_coker(gl*—f ).1*

Como %%%ª% % im © e

Y“coker $ = ªª(Ó) , segue que

;;;,“1 (X) . v# coker(gl*-fl*)# Ker <b —— #“1 (Y)

Por outro lado, Ker © = íy€n1(x) tal que $(Y) = 1] =

. = [yew1(X) tal que %w(y) = %w(y)] = Coinc(%w,ê“) o que completa a

demonstração.

2.48 — Corolàrio

Sejam f,g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedades de dimensão n, sem bordo, conexas, compactas, orientadas, com grupos fundamentais “1(M1) e “1(Mz) finitos. Se n1(M2) = J(MZ) então

j ' ,“ M “ —. .A(f'g) : -Íâ_l£_íl .A(f,g), quaisquer que sejam os . levantamentos

. ;#WI(M1) ._

É,ã: É1'+ Éz de f e g.

Demonstração

Sendo “I(Mz) = J(M2), temos de 2.47 que, quaisquer. quesejam os levantamentos % e & de f,g, u([E,&]) tem sempre o mesmo

valor e além disso, todas as classes de pontos de coincidência de

f e g têm o mesmo índice; Assim,a proposição 2.42 implica A(%,g)=

= A(É',g'), quaisquer que sejam os levantamentos % e E' de f'e g

&' de 9. Usando 2.43., a prova está completa.

2.49 - Corolãrio _

Sejam f'g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedades de dimegsão n, sem bordo, conexas, compactas, orientadas, com grupos fundamentais WI(M1) e “1(Mz) finitos. Se “I(Mz) = J(M2) e A(f,g) # O,en

u([Í,õ]). #,Tran)%£WI(M1)tão N(f,g) =

Em particular, se Ml = Mz: temos que N(f,g) = u([Í,g]).

Demonstração

Segue diretamente de 2.33, e 2.47.

2.50 — Exemplo

3 3 = » 3 sConsideremos f,g: RP + RP e sejam f,g: S + s levantª

mantos de f e 9, respectivamente. Suponhamos % de grau m # 0 e & de

grau k # O.

_ 69 _

. 3Sabemos que “I(RP )ª [l,a] onde 1 denota a classe de hg

_1motopia do laço constante e a # 1. Como a = ª: levando—se, em

conta o lema 2.18, temos que p Coinc moê,doã) = p Coinc(%,ã) e

p Coinc(ao%,ã) = p-Coinc(%,doã). Desta forma, f e 9 têm duas classes de pontos de coincidência:F = p Coinc(%>ã)e G==p Coinc(do%,ã).

, , . 3Alem disso, como “I(RP ) = J(RP3), decorre de 2.33. que I(f,g,F)== I(f,g,G).

3 ' a _ . ._Se fn'gn= n1(RP ) + “1(RP ) sao lndUZldaS em homotopia,- . "'

: = = . 3 :entao, uma das Situaçoes ocorre fw gTT ldW1(RP ) ou fTr O e

= . 3, f : .d 3 = f = = _gw ldTr1(RP ) ºu n 1 111(RP ) e ºu º _ºu W ºu º

Su onhamos ue f = = id 3 f. = = .A 'p q “ gTT “I(RP ) ou n g1T 0 SSlm,do corolário 2.48, A(f,g) = A(aoÍ,ã) : A(É,%) : k—m e do -corolã'rio z.47., u4([É,€r].)— = u([ao%,&])'= #Ícoker(gTr—.f-Tr) = 2.

Se k # m então A(f,g) # 0 e daí, por 2.49., N(f,g) =.= u([%,ã]) = 2 isto é, as classes F e G têm índice não nulo. Assim, I(f,g,F) = I(f,g,G) = kgm -

Se k = m, segue que A(f,g) = A(%,&) = A(ao%,ã) : o e

portanto N(f,g) = O o que implica I(f,g,F) I(f,g,G) = 0.Suponhamos agora que :ETT = O e gw = idTT1(RP3) ou

f = id 3 e g = 0. Se k # m então A(f,g) : k—m # 0 e por“ W1(RP ) “2.33., N(f,g) = .#É coker(g“—f“) = 1. Desta maneira f e 9 possuem

apenas uma classe de pontos de coincidência com índice não nulo.Como, I(f,g,F) = I(f,g,G) então devemos ter F = G e consequentemente I(f,g,F) k—m. Se k = m então N(f,g) =.0 e daí, I(f,g,F) := I(f,g,G) = O.

_ 70 -

2.51 — Exemplo:

Seja SO(4) o conjunto das transformações lineares.T: R“ + R“ que preservam.o produto interno:(Tx).(Ty) = x;y paratodo x,yeRn e têm determinante +l..

.

Temos que S3 ><>S3 é um recobrimento universal de SO(4).Consideremos f,g: SO(4) + SO(4) e sejam %,ê: 83 x 83 +

,3 3 .

+ S X S levantamentos de f e g respectivamente. A estrutura do3 a ,anel de cohomologia H*(S X S,Q)ª e dado por:

0 3 3H (S X S ,Q)? Q com gerador lH3(S3 X 83,Q)ª Q $ Q com geradores & e B

' 6 3 3 *= -

H (S X S ,Q)ª Q com gerador a Lj B

-3* 3*,"' , 3 3 3 3 3 3

Suponhamos que-f rg '=_H (5 X S IQ) + H ($ X S IQ) SÉ

jam dadas por:

" *,: "' * 'fa (ª) : ªllª + ªm8 93 (ª) : bllº + 13216

Íª*l8) “ a a + a B—3* ** 12 22 g (8) * blzª + bzzB

e sejam

all ªlz b11 blzA = e B =

&21 ªzz b21 bzz

No capítulo 3, vamos mostrar que A(É,g) = det(B-A).Como SO(4) é um H—espaço então J(SO(4) = W1(50(4))ª Zz

e assim, pelo corolário 2.48., A(f,g) = A(É,g) = det(B—A).Alêm dig

so f e 9 possuem duas classes de pontos de coincidência:F = p Coinc(f,g), G = p Coinc(ao%,&) e I(f,g,F) = I(f,g,G).

Se det(B—A) = 0 então N(f,g) = 0.

Suponhamos que fTT = gTT = ldW1(SO(4) ou fTr = gTr = 0.

Desta forma, se det(B—A) # 0, temos que N(f,g) =

= ;E coker(gW—fn) = 2 ou seja I(f,g,F) = I(f,g,G) # 0 e como

I(f,g,F) + I(f,g,G) = A(f,g) = det(B—A), devemos ter I(f,g,F) =

% det(B-A).Agora, se fTT = ldW1(SOÇ4) e gTT = O ou t“ = 0 e

gTr = idW1(SO(4) e det(B—ÃL # 0, então N(f,g) = ;#icoker(gW—fn)=l.Consequentemente, f e 9 possuem apenas uma classe de pontos de

coincidência com índice não nulo. Logo, F = G e por conseguinte,I(f,g,F) = det(B—A).


Seja X um espaço conexo, localmente conexo por caminhos

e semi—localmente l-conexo e seja p: X + X, aplicação de recobrlmento universal. Como todo a€H1(X) pode ser identificado com uma

translação &: g + É, então & induz

a*: H*(X,Q) + H*(X,Q)

Desta maneira, “I(X) atua à esquerda em H*(X,Q)

a,x-—+ m*(x)

_ 72 _


Sejam f,g: M1 + M2 onde M1 e M2 são variedades de dimensão n, sem bordo, conexas, compactas, orientadas com gruposfundamentais “1(M1) e “1(M2) finitos. Se W1(Mz) atua trivialmenteem H*(É2,Q), então:

5#.W1(M2): l_________ . A £,"# mom ( º)A(f,g)

quaisquer que sejam % e & levantamentos de f e 9.Em particular, se M1 = MZ, então A(f,g) = A(f,g).

Demonstração

Para todo a€n1(M2), temos:

.— .— n q " un— * “_l -A(aof,g) = 2 (—l) -tr(Dlog oD_2 o(aof) )=q=0 q*

n'

.. _. * _1 ..= E (-l)q tr(Dlogn q 0D2 oa*of =

q=0 q*

n _ _ * _ - - ,= z (-1)q tr(Dlogn q oDzlof ) = A(f,g)q=0 ,

q*

para todo aew1(M2), uma vez que a ação é trivial.LeVando—se em conta o corolário 2.44., temos:

'. l _, _, l .. ..A(f, ) = —————————— . z A(aof g) = ————————— z A(f,g)=g #”1(M1) aew1(M2)

, #"1(Ml) asma/12)M "' "' ..: __jfjlj 2) A(f,g), o que conclui a demonstraçao.

#W1(M1) ...73-

2.54 — Corolãrio

Sejam f,g: M1 + M2 como na proposição anterior. »Se

“1(M2) atua trivialmente em H*(É2,Q) então A(f,g) = 0 implicaN(f,g) = O e A(f,g) # O implica N(f,g)=R(f,g)z ;çtcoker(gl —fl )._* .*

Demonstração

Segue de 2.42. e 2.53.&

2.55 # Exemplo

Consideremos o espaço dodecaédrico 23. Ele é obtido de

um dodecaedro, identificando os pentágonos opostos mediante um mg

vimento helicoidal <com uma. rótação de n/5 radianos.v([3], pags 56 e'57 e [20], pags 223 a 226).

Wii“ , _

.

3 ,A esfera S e um recobrimento uni3 3

versal de Z e além disso,w1(Z ) é

1

finito e tem ordem 120.([3]).; 3 3

Consideremos f,g: E + Z e sejam.. .. 3 3

f,g: S + S levantamentos de f e g,respectivamente.Pelo lema l.lO.,o subgrupo de Jiang

3 ' .JTS ) esta contido no centro3

z(w1(Z )).

_ 74 _

3'

3

Como n1(2 )na0_eabeliano,então necessariamente J(Z ) #3

n1(2 ). Desta forma, não podemos usar o corolário 2.48 para garantir que A(f,g) = A(%,g).

3 3

«H (2 ,Q), então “I(Z ) atua3

Todavia, como H*(S ,Q) *.iw

3

trivialmente em H*(S ,Q) ([l], lema-5.7.pag 38) e portanto, o teºrema 2.53, nos garante que A(f,g) = A(Í,g) = grau & — grau %.

Assim, se grau & # grau f: temos pelo corolário ante:rior que N(f,g) = R(f,g) Z áêcoker(gl —fl ).

* *

_75_

CAPÍTULO 3

APLICAÇÓES

Os espaços M envolvidos neste capítulo, são varieda—

des sem bordo, conexas, compactas e orientadas.Sejam f,g: M + M aplicações. Suponhamos que existam

elementos al, az,..., aÃ em H*(M,Q) de modo que 1 & Hº(M,Q) e

todos os monomios ajILJ ªjêk) ... RJ ajk, l 5 31 < ...<jk 5x,constituam uma base para H*(M,Q) como um espaço vetorial graduado sobre Q. Nestas condições, mostramos . no 51, deste ca—

pítulo, o cálculo do número de Lefschetz A(f,g).Consideremos a tripla (M,m,e) onde e e M, szXM+M é

uma aplicação tal que m(x,e) = m(e,x) = x para todo X E M. De

finamos a aplicação mk: M + M do seguinte modo: mo(x) = e,m1(x) = x e para todo ,k 3 2, mk(x) = m(x,mk_l(x)). Em [7],Brown mostrou que se y é um elemento arbitrário de M então,para todo k Z 2, a equação mk(x) = y tem pelo menos kB raizes onde 6 é o primeiro número de Betti.de M. Considerando a

equação mk(x) = e, e o conjunto Rk = [x € M tal que mk(xk=e,

mi(x) # e para todo 1 5 i < k], Brown e Hales [8], definiramem Rk uma certa relação de equivalência e, para todo k 2 2,

forneceram uma estimativa para o número dessas classes de equi—

valência.Nos parágrafos 2 e 3, conseguimos uma generalização pa

ra esses dois resultados.

Considerando a equação mk(x) : ms(x), k > 5, mostrªmos que essa equação tem pelo menos (k—s)B raízes onde 8 é o

primeiro número de Betti de M.

Seja Rk)s = [xne M tal que mk(x) = ms(x) e

mi(x) # mj(x) para todo k > i > j e 5 Z j 3 0]. Considerandoem Rk S a relação de equivalência que definimos paraCoinc(m ,m ) e fazendo uso dos resultados do ca ítulo 2, conse—k 5

guimos uma estimativa para o número dessas classes de equivalên—cia.

Sl — Cálculo do Número de Lefschetz A(f,g)de aplicações frg:M4>M

onde: H*(M;Q) possui um-sistema simples de geradores

3.13 Definição (classe de coincidência de Lefschetz)

Sejam f,g: M1+ MZ onde M1 e M2 são variedades cg

nexas, sem bordo, orientadas, compactas, de dimensão n.

Seja p E Hn(M2XM2,M2xM2-A(M2)) a Classe de Thom assº,ciada à orientação de MZ.

Denotemos por E a classe i*(u) onde

.*. n n1 :H (szM2 ,M2 XMz—A (M2)) + H (MZXMZ)

é a aplicação induzida da inclusão.Consideremos a composta

* *HnUVlzxMz) iii)—> Hn(M1><M1) ª > Hºn/11)

onde d é a aplicação diagonal d(x) = (x,x)._ 77 _

A classe f(f,g) = d*o(f,g)*(ú) é chamada classe de

Lefschetz do par (f,g).CHãmemss de L(f;qY a'ímágéú de Í(f,g); na homologia ra—

cional sob o homomorfismo de coeficientes. Então ,

A(f,g)= <L(f,g),zl>

onde 21 é a classe fundamental de M1 na homologia racional([22], pags 186—187).

3.2 — ObserVação ';

Seja M uma variedade conexa, orientada, sem r'bOrdo,compacta, de dimensão n.

Em [18], Milnor definiu uma base111 = aº,a1,aª,...,a : z*

para H*(M,Q), em ordem crescente de dimensão, onde E*€Hn(M,Q)

denota a classe dual da classe fundamental E & Hn(M,Q).“Seja Kp o conjunto dos números inteiros que são uti-

lizados na indexação dos elementos que compõem ap.Em [10], Fadell mostrou que

-i =ÍZLC..aiXaj =Íí.f

. KP35 n "P

onde E é como na definição anterior.Definindo

temos que:

Ainda, em [10], Fadell demonstrou que:

L(f,g) =X (—1)P ZÉ? (aliª) U q* (SYP))P ieK-_

. P

3.3 — Notações

i) Seja A = (a..) uma matriz quadrada de ordem n. Vê

mos denotar por Ai 'a submatriz de A constituida daslinhas i1""'ik e colunas j1""'jk'

.. € . _ . . "ll) (lª"'ln) val denotar o s1nal da permutaçao

iii) Se j1,...,j£ são colunas qnaisquer de uma matrizquadrada A de ordem n, onde 1 5 £ 5 n e 0 5 jlf _,_< jxíllvamos denotar por ji ,..., jà_£, onde” 0 5 j' < ... < já <n,_. ! ze !as colunas complementares da matriz A. Analogamente, se

i1,...,i£ são linhas arbitrárias de A, 1 5 £ 5 n e. . n— . | .< <...< < 1 ... 1O

_ 11 12 _ n entao 1, , n—Z , 0 5 ii< ...<i:Úão4denotar as linhas complementares de A.

_ 79 _

3,4 — Proposição

Se A é uma matriz quadrada de ordem n, consideremos

j1""'jl colunas arbitrárias de A , com O 5 j1< ...< jª < n

e l 5 £ 5 n. Então,

J'A .. . .! .| .'€ - - .| .| vdetA. .º!

OÉílnu iº, <In,(;11...1ºl 11"'1n-5L) (Jl-..:]ºljl ...Jn_º)' (11...1l>

,. de j;...j;_£.a Aq.uí' ' ([16], cap. 4).

%* II

3.5 — Definição

Seja M uma variedade de dimensão n, sem bordo, cone—

xa, compacta e orientada. Dizemos que H*(M,Q) possui um sistema“simples de geradores se existem elementos xl, xz,...,xÃ em

H*(M,Q) tal que 1 & Hº(M,Q) ª.Q e todos os monomios

onde 1 5 jl < ..._< jr 5 %, constituem uma base para H*(M,Q)

como um espaço vetorial graduado sobre Q.

A quantidade r' de elementos que formam o monômio yj.chamamos comprimento de yj,

Seja f: M + M uma aplicação e f*:H*(M,Q) + H*(M,Q)

sua induzida.

_ 180-

Seja al, az, ..., a , & pa pq um

sistema simples de geradores de H*(M,Q) onde idk, l 5 k 5 rsão de graus ímpares e Par+j' l 5 j 5 5 são de graus pares.

Suponhamos" I

a rf*(la)= 2 a 1a +tu .. vu v u. v=l

PS

p.f* a . = a .. + t( r+3) gl r+y r+3 r+j ]

onde tu e tj são combinações lineares de monômios com comprªmentos maiores que l.

Consideremos a matriz1 W

A 0.

a11 a12... alrA = onde. 1A = a21 azz a2r e

0 “PA ________________

a a ... arl rz rr

ar+1 r+1 ar+1 r+2 "' ar+1 r+sP _A _... aªr+z r+1 ar+2 r+2 r+2 r+s

ar+s r+1 ar+s r+z "' ar+s r+s

Para todo 1 5 j1 < jz < ... < j 5 r, temos

3,6 — Lema

** í . i =É '

f(ºªj1U"'UººJm) A. r G[ 31.4

et ”A '=“_ i i =+£ .

117.4“, ªilU U ªim h...,jm" : '—--

onde tj] ...]m é uma combinação linear de monõmios com comprimeª

tos maiores qUe m.

Demonstração

Faremos & prova por indução sobre o comprimento 1 dos“ ' id. ... “da. 1 < ' < ... < ' < r l<£<m.monomios J&J L) 32, . _ J; 3% _ r _ _

É imediato que o resultado vale para todo monõmio de

comprimento 1.

Suponhamos agora, o resultado Válido para todo monõmio

ia.ªJ ia. LJ ...kj i31 32 ..

. aj£-1 onde 1 5 j1 < ... < j£_l 5 r e

1 < 2 — 1 < m.

Como f*(iajlu iªjZU Uidjl) =

= f*( ia , .U , , _ ,U ia. ) U. f'*'( ion- ) segue da hipótese de in—.

Jl JQ_1 Jg _

“dução que:

r :

l"'iº,-l l 15271 w Jl Jº!< _]. _<i < <1ºl_l r

1 _< 5 rwi i1,. 42,1]

“_ 82...

Seja ójl = f(i1,...,i£) tal que

l<i1<i2<...<i25r). Se ik1<ik2<º'º<ik é_uma

sequência arbitrária de elementos degli, seja ii € ºj£ tal1. | __ _ . .que ik1 — «gl [lk1,...,lk£ ].

, -1

jl "fi “JQ-

S ; 1 J]. 'j/Qz'l 1E(lk. . rtl-k if( ) det Alk ik ai' j all-U Uldl

1<i < <i <r i < .<i l .b1.i- 1 "21 HX £1 £— k " k1 2—1

»

+“ . t. .

__- N “ *" '— ' - «.- ___—31"'3£

o que implica pela proposição 3.4 que,

. .É

_ . i “11.“ij i .

€*UG3LJ “. Lfaj) =_

det_Ai..u aikj"'L“º' +t1

como queríamos demonstrar.

'3.7 — Definição

Sejam A = (ai ) uma matriz quadrada de ordem n e o3

.

uma permutação do conjunto £l,2,...,n]. Definimos o número ©(A)

pela equação

(P(A) = z a'15(l)'ªzo(z) Hªmm)Q

onde o somatório se estende sobre todas as n!

do conjunto (l,2,...,n].

3.8 — Lema

Para todo 1 5 11 < ... < 2 < 8,

gl..nP P P “;_— <I>PAf*( a£%) dª Lj.. .LJ %Q)= " .__

+ tº, 1a"; ',ºlk

onde t 21 ...Qkmentos maiores que k.

Demonstração

Anãloga à do lema 3.6. .

3.9 — Lema

Se A e B são matrizes quadradas de ordemn

<_—det(B+A) =

Eg. // det BAP=º 0 < ',<..;<í < n._ Jl jp

permutações o

jl...jn:

P

é uma combinação linear de monõmios com comprª

então

j;...jonde BA p denota a matriz obtida de B substituindo—se ascolunas j1,...,jp de B pelas colunas j1,..;,j de A.

Demonstração

Vamos fazer a prova por indução sobre a ordem n dasmatrizes A e B.

Sel n = 1, o resultado é imediato. Suponhamos então

que o resultado seja verdadeiro se as ordens de A e B sao am

bas iguais a r — 1.

Se A e E têm ordem r, desenvolvendo o determinante deB +'A por Laplace, pela última coluna, temos:

det(B+A) = “baH (-usªm sr+asr)det(sr(B+A))

onde sr(B+A) denota a submatriz obtida de' B'+ A eliminando-sea s—ésima linha e r—êsima coluna.

Da hipótese de indução, segue que:rÉ Í'l ; jl...jpsrdet(B+Ã)= <-1>S+f(bs+ as )

1det< B)A .

s=l p=0 0 < jl<

Portanto,r-l rÉ sr jl...jp

det(B+A)= ; (Z(—1)s+r(bsr+asr)ªªt ( B>Ap=00_<31< <jp<_r—=1$ »

'

I“ s+r r jl"'j I“

+ “il-'.jp. "E (11) bsrdeds Bk P + Z (_1)S ra det(srB)

P:º 0 <js=1 s= 1 51“ A

r-lj...j j ..v.jr , j...=ã É (detBAl P + detBAl P ) =ã É

. det BÃ

p=O O_<jl<...<j <r-1

o que mostra o resultado

3.10 - Corolârio

Se A e B são matrizes quadradas de ordem n,n

. ; Zdet(B—A) : p:— (-l)p det B ,"O 0<'<...<'< A_31 JP_H

Demonstração

Segue do lema anterior, considerando—se B — A = B+(—A).

Sejam f,g: M + M onde M é uma variedade sem bordo,conexa, compacta, orientadaª Suponhamos H*(M,Q) tenha um sistgma simples de geradores,

pr+2,"'ª Otr+si i 'ala OLZ s"'J lar: par+la %

onde íd- l 5 j 5 r sejam de graus ímpares e3 I

de graus pares.OLr+k'

As aplicações f,g induzem f*,g*: H*(M,Q) + H*(M,Q).

Suponhamos que

Tf*' = ia .* _P(la“) É %, v “ºu, f (Fam.) — X W r+j ªny * tj

V:]. ', yzl

»

* i r i ' * PS

P t'q :( oLu) : Z bvu. OLV + tu ª q ( art?) : Zibr'ªy r+j GTW.+ jV=1 .

. Fl .

onde Él' tj, tl, t; são combinações lineares de monõmios com

comprimentos maiores que 1 e

Consideremos as matrizes1A 0 1130

_o PA OPB

Desta forma, temos o seguinte resultado.

3.11 — Teorema

A'(f,g) <b (PB+ PA) .det( iB4íA)

Demonstração

O elemento 1 & Hº(M,Q) e todos os monômios

ía. LJ ... kjiu. &) pa k) ... Ljpa , 1 < jl <.._<j < r,31 "um 21 ºk - m—

r+1521 < ... < ºk 5r+s formam uma base para H*(M,Q), como um

espaço vetOrial graduado H*(M,Q).sobre Q.

—87-

Com as notações de 3.3, é imediato que 1 & Hº (M,Q) e

todos os monõmios

€. _ . . xi i pv p(3'1"'J;'m Jl..._]m) '.qJ'1U"'Uaij (1le "'U ºªk

.1_<j1<...<j <r, 1.<J' < <" <m_ ] rr_m _ , também constituem uma base para|

1

H*(M,Q) 'como pm espaço vetorial graduado sobre Q. Além disso,

i i'

p P_|

-

<a<ºªjíU"'UºªJ;-IV ªº-íU'"Uºªªs-D;.

" ' ia . p-, ...Upª3,ê>=1U €(ji...;J1',_mjl...jm)< le ...UJOLÍEV “(Iglu ik

onde E & Hn(M,Q) denotaa classe fundamental.

sejªYO =[ : ia. ia. pºt P tal ue?.

ymk Jlu U Jmt) ºíU &)ng q

15j1<...<j fr: r+l_<_ºzl<...<º,kír_ãhsegrau (ym)=p]m k

Levando—se em conta a observação 3.2 temos:

_

'X

,ª

; .X * i i p p —

L(flg)=Z(—l)p,EX f (ljlkj ...U (ljmkj Gºi?-uu (lºlk $U

._p i ia P 1) 20oc, .U oc U... &J&J U J111 2'1 U (xº/k p

(

£

5.. i p pa :«* a,..U..11)0L-. U ºª .U'º'U '_g g<€(j1"'jmjí"ºj£-—m) Jl Jr—m 32,1 215 k

..88-

; P .

.

dª. E . f*(h ._ª 1) É.. (J ...jm ji" " ) Jlu"Uhjm)U' 1 ' r-m

., J'. P pa0qu ; ..., , Oij, , OL/QIIU ...U ºitº/;p » a1 *.

*. *' .. i ., "*p p

'

f (%%) ...U%k)ug (ªdj?) your!" )Ug ( “HU "'U ºlé-ai)

Dos lemas 3.6 e 3.8 decorre,

f*( Och, ...U aj )Uf.*(%L£U ...U aºkhjg (GJ..U n-U Oh.. Urn 1 1. l r—m

' «j...j'g º,],U U ºIs.-k .... . ..l.

l' .i' 1 r-m ji“ Jr-m]_< 1' < < 1' < ]: r_m 1

x ' ]. r-m '/

2' &'P 1 "' vk' ,; (D B Pa.u...upoc +t . ª.« u' u' . u u' 2,1... -kr+1<u| < < ul—k< r+s ]. S'k l s-k S

Aplicando a propriedade distributiva do produto cupobtemos como segundo membro da igualdade acima, a seguinte expregsão “

. . . ,j',,.j' R1 SLK€ , vâãJl--—Jm. ; 1 r-m © EA. . . . det _ . det B. . ». .v -

< < < <(11...im11...11',_m) ( 'll'ººlm 'li"'lx"-m ul uk

1 i. .. i r_ 3 m _

_1?+l_<º,1< ºlk É rfs

&' .“ &' i i p _“ PÓÉB 1 yk>, altj.n Ljerj ªªg_ kJ &

| T+Sl ... us—k

Visto que todos os outros termos que aparecem na distribuição são

nulos, por serem combinações lineares de monõmios. í P

_P .

'

,laqLJ--5L)Q%LJ ªyfj nka(%w , onde pelo menos um dos fatores e re—1

petido.Desta forma,

L(f,g) = 2 (“159É

&P ªchu ...uª'cxuºaªu —---u%t£ € p

31 Jm 1 k

:r415 £]. < ... < £k5r+siÇ 1.5 il <“... < im 5 rv :rnºlff'Jm J1 ::;Jrjm)i

13 J 1 ' -J' p £ & pª' ª'€ .1 m B1 r— (p< 1 k k

(11 lmií. ;_;“) dªt<Ail.. “) (“< ' lg-) Aªh uk1©<Bu'uª

1 i p . , Pº'lU ...U OLTU OLr+1aniUOLITÍ+S

— E (—1)P_

ZÉ

p Jªu ...Uioc_UPaU Upa SººJl Jm 2,1 ÍLk P

É (DCA-gl."&).ÓPBQW-líêà» det(ªBªfl"'ªiª —

' .ul "' uk “' Uí ... “'s-k ,lA-+1<£1 <... <º'k Ér+_s

mlkju.L)hrkj% LI'LJ%r+l r+s

Em Virtude da definição 3.7 e da proposição 3.4., se—

que

TL(f,g) =X (—1)pP 1 i p .a, U ...U oz. U & , ,.. poe E

31 Jm gfj kJ ,%C &pri

,Q, _“,(L . . .“ , . * p© p 1 k 1 l...-qm , 1 ". l =Pa1,.n &(Bp )det BJi alu UªrU r+1U'U HsA ,

A *

Agora ªx L) ijd“,

pi —

ª p-

é de, j1 ªm kJ' aºl &) "' &) “ªkgrau par ou ímpar, conforme m seja par ou ímpar

Portanto,ª ... 2 “j"3

L(f,g) : E (_Dm ;(PB 1 k) det(1B3íL m)

k,m 1_<jl<...<jmsr pA A

É+i-<º'l< ...< ºkÉH-s

101 U'," U iar U pq .. U par+l r+s

. j .. _] º,.= E

É2(_1)m ; (det IBÍ m) º(pB pl SLK.)

k 1_<j1<...<jm5r A A_r11<2, <...< Vºk<rªês m

.. 1 _"

lulu UlarUpOL UUUPOLr+l ' r+s

Do corolário 3.10, decorre que

+ L.( < <r+É 91 . . . ºk _ r+s

X

& ..pA

L>(f,g) = 2k

Levando—se em conta a definição 3.7

UuuºoaL(f,g) = MPB. +pA).det(iB - iA) íolu UlarUpcxr+l

-9l—-

'. ºk) det(íB- íÁ) ia lp J'. P p...U ocUalu...UonI S

e o lema 3.9.,

r+s

Por conseguinte

_ ____i i p P _Auf-"g) _.Q(f,g),( ºªiUmUºªrU ar+1LJ""Uar+Lª—)>*_

<b (pB+ PA). det(iB —-íA). .Uma H—variedade significa uma terna (M,m,e) onde M é

uma variedade sem bordo, conexa, compacta, e E M e m: M X M + M

é uma aplicação tal que m(x,e) = ;m(e,x) = x para todo x e M.

““ºSe M é uma H—variedade o teorema de Leray—Samelson ga—

rante que H*ÍM,Q) é uma álgebra exterior A(ar N,, “A» geradapor elementos de graus ímpares ([23], pag 155).

.

Como um caso particular do teorema 3.11, temos o-seguin—

te resultado.

3.12 — Corolârio

Sejam f,g: M-+M onde M é uma H—Variedade orientada e

consideremos as induzidas f*, g*: H*(M,Q) + H*(M,Q).

Suponhamos que para todo 1 5 u 5 A,A

.A

f*(a ) = E a a + t g*(a ) = E b a + t'u s=l su 5 u : u "s=l su u u

ConSideremos as matrizes A = (aij) e B = ( 13)'líLJíÃ-

Então,A(f,g) = det(B—A) .

_ 92-

3.13 — Corolário

Sejam f,g: Tn + Tn onde Tn denota o toro n—dimensig

nal. A cohomologia racional H*(Tn,Q) é uma álgebra exterior gg

rada por a : [al,a2,...,ax], onde ai & H1(Tn,Q). ConsideremosA e B, as matrizes de

* *f1 ,g1 =H1(Tn,Q) + H1(Tn,Q)

respectivamente, em relação a base &. Então, se A(f,g)# O,

N(f,g) = lA(f,g)| = Jdet(B—A)|

Demonstração

De 3.12, segue que A(f,g) = det(B-A)Sendo Tn umw H-espaço, J(Tn) = “I(Tn) e consequentemente,

do corolário 2.33 temos que 'N(f,g)=g%coker(g1*—f1 ).*

Existe uma matriz diagonal D = diag(d1,...,dh) tal queD = C.(B—A).F onde C e F são matrizes unimodulares. Assim,

det D = det(B-A) ,e a ordem-de coker (gl*—f1*) é a ordem do gru—

po

*ª?',?, Z 9 ... $_—Ã—

Portanto,

dnl = Idet DI = |det(B-A)|.II O.:;#=coker(g1*—f1*)

Logo,

N(f,g) = |det(B—A)| = |Ã(f,g)].|,

52. RAÍZES EM H-VARIEDADES

Neste parágrafo, vamos calcular o número de Lefschetz

A(mk,ms) como também, vamos dar um limitante inferior para o núme

ro de soluções da equação mk(x) = ms(x), k>s.


Seja (M,m,e) uma H—variedade orientada. Se k e 5 sãonúmeros inteiros não negativos tal que k>SS então o número de

Lefschetz A(mk,ms) é dado por:

A

A(mk,ms) — (s—k)

*Onde A é o número de elementos al,...,a em H (M,Q), dado pelo teºÃ

rema de ªeray—Samelson.

Demonstração

Se kj= 1 e s = 0 então ml e a aplicação identidade e

m() é a aplicação constante e pelo corolário 3.12, segue queA

,

A(m1,mo) = (-1) .

Seja agora, kzZ. Suponhamos que os elementos al,...,dÃestejam ordenados em ordem crescente de seus graus.

Em [7], Brown mostrou que para todo k22 e lgigl,*

= . + Za, .mk(ai) kal JY]

onde a,€Q e , =_a. . ... a. com 15' < ... <',5 A e rau &, <

] Yj JILJ &)3

31 JR 9 3£ .

- £< grau ªi-

Pelo corolário 3.12,

A(m ,m ) = det(B—A)k 5

onde A e B são as matrizes de ordem %, dadas por

Por conseguinte, A(mk,m ) = (s—k)Ã.- s .


Seja (M,m,e) uma Hªvariedade orientada. Se k e 5 são nú

meros inteiros não negativos então para todo k>s a equação,

1“ :k(x) mS(X)

tem peloçmenos-(k—s)B soluções, onde 8 denota a dimensão de1

H (MIQ).

Demonstração

Sendo M um H—espaço, então w1(M) = J(M) e portanto- . ,

%

w1(M,e) e abeliano. Desde que A(mk, ms) = (s—k) # 0, decorre de

2.33., que

N(f,g) = 7% coker(mS --mk )

n n

..95__

rms - ”I(Mre) +..7Í1(Mre).onde mkW n

Pelo teorema fundamental dos grupos abelianos,

(ª) (ª) & ... $ ;n1(M,e) % z evz_

onde cada Z ê cíclico infinito e T é finito.É conhecido que m (a) = r.a, para todo aewí(M,e)([7]).

" '

Assim,,

(m _mk )(zm) = (k—s).z(“ “

Sn' «

Desse modo,

Z(i) Z(B)coker((m —m ) ) = $ ... $_ ;s1T kTr F (k—s)z(l) (k-s)Z(B)

A «(l) (8)ª Z ' $ ... 9 Z .(k-s) (k-s)

Portanto,

> : «áecoker(ms—rmk ) = N(mk,ms)_ B _ _(k 5) — #cokexáms mk )IF“ n w w

k,m ) é um limitantessegue que

Como o número de Nielsen N(m ;nfº- ª . n & . e mrior para o numero de pontos de c01nc1denc1a de mk s'

(k—s)B é um limitante inferior para o número de raizes da equaçao:m (x) = m (x), k>s.k S .

—96—

53. RAÍZES PRIMITIVAS EM H-VARIEDADES'4


Uma raiz primitiva da equação

mk(x) = ms(x) , kz? sna H-Variedade (M,m,e) é um ponto x e M, tal que vmk(x$=ms(x) porêm,mi(x) # mj(x) para todo k>i>jf szjgo e k—s não divide i—j.

Como toda rais da equação mk(x) = ms(x) é um ponto de

coincidência das funções mk, ms: M + M então, conforme Vimos no

cap. 2, o conjunto das raízes e, em particular, o conjunto das raizes primitivas se separa numa reunião disjunta e finita de classesde equivalência.

Neste parágrafo, vamos dar uma estimativa para o número

desSas classes de equivalência.Vamos supor em todo o parágrafo que k > s e vamOs utili

zar as seguintes notaçõesz'Rk ,s = [x ?.M tal que mk(x)=ms(x)]

R' = [X e Rk,s tal que x e raiz prik,smitiva].

3.17 - Definição

Para todo x 8 M e todo k inteiro não negativo, definimos a função Lí: M + M por

., k se k = 0' %Lx(Y)º;

- k—l'

— m(x,Lx (y)) se k > O

para todo y & M.

Decorre imediatamente da definição que, para todo k 3 l,k-l '

mk(X) =_LX (x)

3.18 - Lema '

iPara todo x EiM, LX º L = L . %

([8], Pªg 613)II

3.19 — Lema

2—1 1Para todo 2 Z 1, L (x) = L (e)x x

Demonstração

É imediata, usando indução sobre £.Il


. . _ . RPara todo k,s,£, inteiros nao negativos Rk,sÇ; _ k+2,s+£

Demonstração

Para todo k e 5, se 2 = 0, o resultado é imediato.

_ 98 _

Então, podemos supor .2 > 1 .

Seja X.€ Rk, lStO e, mk(x) = ms(x). Como k ? 5

então necessariamente k 2 1. Desta maneira,

mk+£(x) = Lfª'lm) = Lí Lflm = Límkmn = Límsmn =

_ s+£—l _= LX (x) — ms+ª(x ).

lStO e, x & Rk+£,s+£'”,


Sejam s,v inteiros, s 2 0. v 2 1. Então , para todo q

inteiro positivo

Rs+v,sÇ Rs+qv,s

Demonstração

Se q = 1, o resultado é imediato. Suponhamos a proposição verdadeira para 1 5 q < r e seja X E Rs+v,s' Então

ms+v(x) : ms(x) e, portanto,

. _ s+qv—l _ s+(q—l)v+v—l : v s+(q—l)v—lms+qv,s(x) — LX (x) = Lx (x) Lx LX (x)

— LV(m (x)) = LV(m (x)) = LV+S'l(x) = m ã(x) = m (x).x s+(q—l)v x s x S+V s .-99-

3.22 — Lema .

'

,

onde k,u,s e v são inteiros,%FV “m 3 % |— Ru,v v+w,v

z vtal que k > u > s 2 0 e w = mdc(k—s, u—v).

Demonstração

II O CD (D >< mSuponhamos v Rklsrfw Ru,0 entaomk(x) = ms(x) e mu(x) Il (D

Visto que u > O, não é difícil verificar que mbu(x)=ev

implica Lªu(x) = x para todo inteiro positivo b. (*)

Existem inteiros positivos a e b, tal que |a(k—s)—bu|=w.

Podemos assumir que a(k- s) > bu. Daí,_ _ La(k— s)——bu-l La(k— s) —bu— 1 Lbu _mw(X) — l(x ) — LX (X) LX (X) —

: La(k—S)—l(x).x

Sendo mk(x) = ms(x) e u > 5, pela proposição 3.20. ,

decorre que mu+(k—s)(X) = mu(x) = e ,por 3. 21., mu4a(k—s)(ã)=e.Levando—se em conta (*) , temos

e = Lu+a(k—s)—l(x) _ La(k— s)——1 Lu(x) : La(k—s)—l(x)x _x x

Em consequência, mw(k) = e ou seja, x € RW O

Suponhamos agora, v 2 1 e Seja x & Rk'sfw Ru,v . Visto

que u—V > O, então por 3.21.,mv+b(u;v)(x) Í má(X)-= mu(X)-

para todo inteiro positivo b.

— 100 —

Desta forma,

Lv+b(u—v)—l(x) : LV—l(x) : Lu—l(x)xx x x

Existem inteiros positivos & e b, tal que|a(k—s) — b(u—v)| = w. Podemos assumir que a(k—s) > b(u—V).Assim,

. _ V+w—l — a(k—s)—b(u—v) v—l _mV+w(x) — LX (x) — LX LX (x) —

: La(k s) b(u v) Lv+b(u v) 1(x) : Lu a(k s) l(x)x _ x x

Sendo u-s > O e mk(x) = ms(x) é imediato que

mu+a(k—s)(x) = mu(x) = mv(x) e, consequentemente,

mv+w(x) : mV(x)

ou seja, x & Rv+w,v .

Por outro lado, seja x com mv+w(x) = mv(x).Sejam p,q inteiros positivos com k—s = pw e u—v=qw.

Então,

mV+pw(X) : mv(3? e mv+qw(x) _ mv(X)

Assim,

_ _'

_ s+pw-l s—V v+pw—l _mk(x) * ms+(k-s)(x) * ms+pw(x) Lx ( ) Lx LX ( ) *

_ s—v V-l _ s—l _— LX _ LX (x) — LX (x) — ms(x)

e analogamente mu(x) = mv(x). Portanto, X E Rk,sm Ru,v ..

— lOl —

3.23 — Lema

Se k,s,u,v são inteiros tal que k ? s > u > v 2 0

.. ' ' |entao Rk,sr“l RufvÇ; Rk,s(“] RS'V. para algum lntelro v < 3.

Demonstração

Seja x 8 M com mk(x) = ms(x) e mu(x) = mv(x).

Entao mu+(s—u)(X) = mv+(s_u)(x) lmpllca

ms(X) : mV+(s—u)(x)'

Pondo-se v' = V + s-u, segue o resultado.


Segundo a definição 3.16., o conjunto RÉ 5 das raízes. !

primitivas da equação mk(x) = ms(x), k>s+lg é dada por:

"'R' —R - U Rstu — U R “R -k,s k,s k>u>isgv20 k, ,V k>s>u>v30 k,s u,vk—s [ i—j k—s [ i—j

- 'LJ, R. ,(“m Rk>s>v20 k,sk—s [i—j

R'a Virtude do lema 3.23., podemos escrever

Rv =R _ U _, R mR, "— U R mRk,s rk,s , k>u>stZO—L kVS:

' u,VL k>s>v20 k,s sívk—s [ i—j Ak—in—j

,V

- 102 -

3.25 — Corolãrio

i) Se k—s = 1 então RL-x = “Q

k,s

ii) Se k—s > 1. então R' = R — L) R (] R' ' k,s k,s k>u>sgv30 k,s u,vk—s u—V

Demonstração

ª:

A parte (i) segue diretamente da definição 3.16.Para a parte (ii), suponhamos x 6 Rk R .

k>s>v30 ,s S'Vk—Slu—v

Então ms(x)=mv(x) para algum s e alcum v, tal que k>s>v30 e k—sIs—v.

Assim, ms+1(x)=m (x) e como k > s+l 3 s > v 3 O ,segue quev+lx R R . A conclusão decorre agora, da-Observa

k>u>s>v>0 k,s u,v _k—sluzv-

ção anterior.

3.26 — Teorema

Se k—s > 1 então,

R' = [x e Rk,s k,s tal que x 1 R onde-v+w,v

w = mdc(k—s,u—v) para todo k>u>sgv30 e k—s [ u—v]

—103-

O ? resultado ,?

!__ decorre imediatamente da parte(ii) do corolário 3.25 e do lema 3.22.

3.27 — Teorema ,

E

-&

Seja k—s >-l .e P ='[x E R t 1k,s k,s a que &

|

!

x É R 'k—s para todo primo q ªãÍVidindo*»k-s3_ ,”IWs+.._. ,s _ .". »q !

Então, à

R' =-p ;

Is krs l

Demonstração

Seja x 6 R' e suponhamos X E R * “pára algumkis ' "'—+ k-S .

o ,S— q

primo q dividindo k—s. Desde que k—s > k—s então k>s+ k's >s

e, por conseguinte, X & Rk s Ru v o que é uma conk>u>s>v>0 ' '

. N . , k—qu:v_diçao, pois x & Rk,s' w

Por outro lado, conSideremos x & Pk,s 'e x & Rv+w,v

onde w = mdc(k—s,u—v), para algum u e v tal que k>u>siv30 e

k—sIu—v. Seja q um número primo qualquer dividindo k—s, e supo—

nhamos que k —s = r.q, com r ? l. DeSde que w vdivide k—s en-tão w divide r.q e como q é primo, temos em decorrência que

w = 1, w = q ou w divide r.

— 104 —

Se w = i, como x E R segue da proposição 3.21.v+1,vque X e R . Desse modo,

v+ k-s v -_q_ ,

s+ ªgº —1 s—V ç+ ªªª “1 . S—V v-lm x = L = L =s+ k—s() X .

(x)X LX (X) LX LX '(x)

_ª_ .

s—l= L (x) = m (x) ou seja x # P ;s . k,s

.Se w =>q então k—s = r.q = r.w. Seja p um número

primo dividindo r. Portanto, r = a.p para algum número intei—. .

'. - k—sro e pOSitivo a. Desse modo, k—s = a.p.w. lStO e, —5— = a.w. A

ora x e R im lica x e R ou se'a x e R k-9 v+w,v p v+aw,v ] ' v+——â,vP

e por conseguinte x 1 Pk S.'Se w divide r temos que r = b.w, para algum númg

ro inteiro e pOSitivo b. Visto que x & RV+W,V entaoR = '

—. e analo a te a .* 'X & V+bW,V RV+ kqs,V g men ( ) concluimos queP .x É k,s

Finalmente, se k—s = q então k — s é primo. Estamos

considerando que k—s não divide u—v. Visto que w divide k—s

então w-# k — s e assim, necessariamente, w = 1. De modo anãlo—

go & (*), mostramos que ms+l(x) = ms(x) o que equivale a dizer que x % P 'k,s'

&

- 105 -

I

(*)

:,pítulo 2; R

teiro 'q 2 1, temos qúeth

Como Rk S= Coinc(mk, ms) então, conforme vimos no ca

I ' _se separa numa»reunião_disjunta e finita de elas .k,s .

.'Ç4 ses de equivalênCia. Seja ªíRJk s o conjunto dessas classes delfºequivalência. " f—

'

,“ 11 _ ( __H-

' Se sivfsãpfinteiros,s 2 O e v'z l nentão para todo in,

- R .

Ms+v,s s+qv,s& É_+ É levantamentos de mk, m': M «+ M

S'Sejam mkf_ms

respectivamente. Consideremos & aplicação

& ' %%, fq ,S+V_,S , S+qV,S

«Foi“;B- ' anrqB_

onde Fu B é determinada pela classe de levantamentosI ' '

[dó mé+vâ,80 as] 'e —an qBé determinada pela classe de' levantª, “

.

l '

mentos .[(qª)o &s+qV—i ,(qB) () ms] .

3.28 - Proposição

iq é bem definiàa.

Demonstração

Suponhamos Fa ;B= Fd',B' . Pelo lema 2.18., existe

y & w1(M,e) tal que

|_l="' +..._"a B (ms+v)n(Y) & B (mg)“(Y)

- 106 —

Para cada inteiro positivo r, (& ) é a compostar.

(m ) W*“I(M,e) r “ > n1(M,mr(e))-———————> TT1(M,e)

(mr)1T

Cemo mr(e) = e, segue que (x'flr)TT = fºi)“ . Além disso ,

para todo Y & «I(M,e) é conhecido que (mr)n(Y) = rY,[7].Por consequinte, qa' - qB' = q[(s+v)Yj4 & =.3 — gy] =

= (s+qv)Y + qal— qB - sY = (&s+qv)n(y) + qa - q8_(ãs)h(Y)f.,“

"6 que anªlisa por 2.18., que

'='ÇG' G'qolqu—r qu' ,qB'

Uma classe de raízes da equação mk(x) = ms(x), k_> sé chamada totalmente primitiva se ela possui apenas raízes primitivas.

3.29 — Corolârio

As classes de raízes tºtalmente primitivas da equação :mk(x) %

= ms(x) , k—s>l, são aquelas que não pertencem a .. iq (& k—s ) paras+ ———,s

todo primo q dividindo k—s_

Demonstração

Segue diretamente de. 3.27.

-lO7—

Desde que coker((mk)TT — (ms)w) = coker((mk_s) ), segueH

do Corol. 2.19. e da correspondência biunívoca dada pelo homomoí

fismo n o O da página 47 que

> coker((mk_s)n).58—

1 aOMS “**—“">

onde 8—1a' denota a classe lateraL de B &, ê_uma bijeção.

3.30 - Observação

Se “ é um grupo abeliano, para todo número inteiro e

positivo q, o homomorfismo

uthT+TT, Y+q.Y,induz um homomorfismo bem definido

uq : coker “s + coker “qs

& + sn + qa + qs“

Lembrando que (mq)w = “q , então o resultado abaixo é

imediato.

- 108 —'


O seguinte diagrama é comutativo

?ábs+v,s —————————> coker((mv)n)liq qu

5Ls+qv,s W> coker((mqv)w) E'

Se k é um número inteiro não negativo tal que q diVide k, não é difícil verificar que Eq(coker pk/q)=q(coker uk).

Assim, levando—se em conta o corolário 3.29 e a comuta—

tividade do diagrama acima, temos:

3.32 - Corolário

Se (M,m,e) é uma H—Variedade orientada e k e 5 sãonúmeros inteiros não negativos com k — s > 1 então o número de

.classes totalmente primitivas da equação mk(X) = mS(X) é preci—samente o número de elementos do coker((mk_s)n) que não estãoem uq<coker<mº)>=q coker (mªs)“ para todo número primo q di

q “vidindo kú. » ||

Se p e q são primos dividindo k, é imediato que

p coker ukrãjq coker uk = p.q coker uk.Suponhamos agora, que W seja um grupo abeliano finita

mente gerado. Para todo número primo p, denotemos por rp(w) o

? 109 _

número de grupos cíclicos cuja ordem é uma potência de p e porrw(#)3 o número de grupos cíclicos infinitos na decomposição canõnica de n.

Se W é finito, então

—r (W) —rq(w)#(p-q.11)= (#11). p p .q

3.33 — Teorema

Seja (M,m,e) uma H-variedade orientada e denotemos

por n = W1(M,e). Se k e 5 são números inteiros não negativostal que k — s > 1, então o número de classes totalmente primªtivas da equação mk(x) = ms(x) é:

N = ( —#coker uk_s) , qllll-s (l _ q—(r?l(TÍ)+rq (““)).ª'.

q primo

Demonstração

Pelo corolário 3.32, N é o número de elementos A de

jcoker(1àk_s)v“, que não estão em q coker(uk_s) para tºdo primo q dividindo k—s.

Fazendo uso do teorema 6.4; [17], pag 124, segue que

_.110 _

N = (3#=coker uk—s) - ÍZL___ (:ááp coker “k—s) +p/k—sp primo

ÉZL____ 3% (p coker uk_síx)q coker uk45) — ...p,q|k—sp,q primos

==( a$cokeruk_s) — ; (àªp coker uk—s) +plk—sp primo

+ZZ;____ 3#(p.q coker uk_s) — ...ª'“ piºlhº-$' p,q primos

para simplificar a notação, no que se segue, vamos

rp(coker “k-s) Simplesmente por rp. ASSim,

denotar

. _r fr -IN : (:;écoker uk_s) l - ÉZL__ p p + Eiª—__ P p—q

lk-S plprimo p,U'U

p,q,v|k—sp,q,v primos

—r=(#Coker uk_s)[(l—p P)-q (ªu—p P) --v V(l-p P)

-rv —r— q qv (l—p p) — ...

r —rq) _ v“

—r(zªªcoker uk_s)(l—p p)[u-q

H“I —r *I

(#coker “k-s) (1—p p)(l—q q).(1-v

- 111-

V "r(1 _ q q)—pn-

ou seja

N = (7%:coker uk—s) H' qlk—s

q primo

—r (coker u _ )

(l _ q q k sl)

Porém, quando k—s divide q, temos

(XJrq(coker uk—s) = r (n) + rq(n) e dai, segue o resultªdo.

3.34 — Corolãrio

Se (M,m,e) é Uma H-Variedade orientada com n;(M,e)cíclico infinito e se k e s s ão números inteiro não negativostal que k > s + 1; então o número de classes totalmente primªtivas da equação mk(x) = ms(x) é

N = Óík-S)

onde $ denota a função de Euler de k—s.

Demonstração

Como W = n1(M,e) é cíclico infinito, então roº (n) = 1

e rp(n) = O para todo número primo p dividindo k - s. Daí,

—1N = (k-s). H (l-p ) = Ó(k—S)

plk-sp primo I

_ 112-

3.35 — Corolãrio

Se (M,m,e) é uma H—variedade orientada e W : n1(M,e)

é infinito, então a equação mk(x) = ms(x) admite pelo menos uma

raiz primitiva em (M,m,e) se k — s > 1.

Demonstração

É só observar que N.# 0, pois rºº (n) # 0

3.36 — Corolãrio

Se (M,m,e) é uma H—variedade orientada, com n : w1(M,e)

finito e p é um número primo dividindo 'áén, então a equaçãom AX) = m JX)

'

tem pelo menos uma raiz primitiva onde k e sp P

são números inteiros não negatiVOS tal que k > s 3 l.

Demonstração

Sendo W = n1(M,e) finito, " é uma soma direta de

grupos p—primãrios e portanto roº (n) = 0_

Como p divide $£n, W possúi pelo menos um sub—grª

po cíclico cuja ordem é uma potência de p e portanto,rp(w)z 1.

Sendo Ik > s 3 1, temos que p divide pk — ps.

Agora, pelo teorema 3.33, o número de classes totalmeªte primitivas da equação m JX) = m JX) é maior ou igual a 1,

P P

o que conclui a demonstração.— 1134

Se (M,m,e) é uma H—variedade orientada, com w = “I(M,e)

finito, não é verdade em geral que uma equação do tipo

mk(x) _= ms(x)

'tem sempre raízes primitivas em (M,m,e).O corolário 3.36., garante a existência de raízes pri

mitivas, apenas para certos valores de k e 5.Em [8], Brown e Hales construíram um exemplo de uma H—va

riedade (M,m,e) tal que, para todo kzZ, a equação

mk(x) = e

não possui nenhuma raiz primitiva em (M,m,e).A seguir vamos mostrar que para todo k>s, a equação

mk(x) = ms(x)

não possui nenhuma raiz primitiva nessa H—variedade.

Antes disso, vamos repetir a construção dada por Brown

e Hales.3 2 3

Seja S Ç; R X R X R , S =í(w,t,x) tal que2 2 z “

.w + t + llxll = 1]..

3 3 3. _ " '—Consideremos H: S X S + S a multlpllcaçao quaternlg

nica.Para cada j>0, definamos

f.: S + S3

— 114 —

2

por fj(w,t,x) = (w + lgw , at, ax) onde azo é escolhido de forma

que [[fj(w,t,x)|| = 1.

Consideremos em Sl, & multiplicação complexa e seja:

Esta aplicação induz:

2 3 3 ª,2 Cj: S + S definida por

2Z Cj(w,t,x) = (w,t,x) se x = 0

xw,t,|Lx HC. —=E=— se x # 0- 3 ”= H

. 3 3

Se e = (1,0,0), definamos os subconjuntos ôjÇ; S x 5

do seguinte modo:

3 3

(Sa'—'exs, 61=S'Xe& =

3 '[(er-_1k-s

. A = fSeja k,s __ 6] e definamos3—0 , “

*Nº/S)*

3

(kis) _ (k,s)“

m (e.y) — m (y,e) = y

k 5 2m( , )( 'Y) : fzºZ C2(Y)

— 115 —

e, para ”jZB,

(k,S).

ºª

2ª

m ( f. 02 C. ()) =f.oZ C.'( )-y' 3—1 3-1 y3 .] y

Seya<nlA , > ; a restrição de H à A

'." k,S & " >

'

A entãok,s

*. * (k,s) 3 a 3

'

H = m :H (S ) + H (A ).(!Akls . k,s

Do teorema da Classificação de oHopf;, decorreiqfqúe_"?“fr "'“ «. k . "'HIA'ª » m(k's). Assim, m( 's)

. k,SA .se estende a uma aplicação;ã que,

- «

' -X (ks)vamos chamar tambem de'm ' ,

'(k,s) 3“ sm :

3

S' X'S + S

- ' - . . . - k 5 ,Pela propria definiçao, m( ' )e

ª (k,S)

3

um produto de S e pº<.) (S ;m = (1,0,0)) é uma H—variedade orientada.

3

Para todo yes , observemos que:

-m2 (y) ,. l“(k-:S) (Ylm1(Y)) m(k,rs) , 2(YIY) = fzºz C2(y).

, k,m3(y) = a(k s) (y,m2 (y)) m( 5) 2 2(y,f202 C2(y) : f3oZ C3(y)

Analogamente, para todo rz4,

)fzzcnmr(y _ r0 r y3

Portanto, se y = (w,t,x)€S , para todo rzl,

— 116 —

w + I , at, ax se x = 0

m (w,t,x)r 12

-W x.w + r , at, anlx “C , . se x # 0r IIXII

Consideremos a equação mk(y) = e :“BfÓW5 e Hales mostrªram emWI ] que bara todo. K 2-2 ; esta eqúacãofnão possui, nenhª'mã raii“pfimitivafem '.(Sª, m(k'0), e).

Consideremos & equação mk(y) = m1(y) = y, para todo kz3.Desse modo, w + lªw = w 0 que implica w = i 1. Como

2 2 2 .

w +t +H_le = 1, temos que t = O e x = O. Porisso, y = (w,t,x) =

: (11,0,0). Mas, para todo i<k, mi(il,0,0) = (il,0,0b por consgguinte, & equação mk(y) = y, kz3, não pcssui nenhuma raíz primiti

3 k sva em (8 ,m( ' ),e).Consideremos agora, a equação mk(y) = ms(y) para todo

. . 2- l—w '; l—w . .

k—ZZ 522. Entao w + —E—— — w + s 'o que implica k = s, o que

contradiz a hipótese.Consequentemente a equação

m x = m xk( ) S( )

- . . ... . ª (k,S)nao possui nenhuma raiz primitiva na H-variedade (S ,m ,e),para todo k>s.

— ll7 —

_ APÉNDICE I

INVARIANÇA HOMOTÓPICA DO NÚMERO DE NIELSEN

Sejam fo, fl: U + X onde U é um subconjunto aberto do

poliedro conexo X, H uma homotopia entre fo e f; e Fi classesde pontos fixos de fi , i = 0,1. Suponhamos que 'nH(Fo) = Fl onde

UH é a correspondência biunívoca induzida por H. Em [l],Boju fezuma demonstração da invariança homotõpica do número de Nielsenpara pontps fixos. Para isso, ele considerou a aplicação%% : U X I + X X I' dada por ªª (x,t) = (H(x,t),t)“ e mostrou-que existe uma classe de pontos fixos F deââtalcmmel(ââEj=IUí,FJ

, " , . l ii = 0,1. Para chegar a este resultado ele usou, dentre outras,a propriedade comutativa do índice de pontos fixos.

Na tentativa de demonstrar a invariança homotõpica do

número de Nielsen para pontos de coincidência, numa linha análogaà de Boju, nos deparamos com algumas dificuldades como, por exem

plo, a não validade da propriedade comutativa do índice para pontos de coincidência.

ObServemos também que estamos usando a definição de indice dada por Vick, que é para aplicações entre variedades sem

bordo, enquanto a aplicação fªi: U X 1 + X X 1 envolve variedªdes com bordo.

Assim sendo, procuramos um novo caminho e conseguimos

mostrar a invariança homotõpica do número de Nielsen para coincidência, provando que a correspondência biunívoca dada pelo lema

— 118 -

2.14 preserva indice. Para isso, necessitamos fundamentalmente do

Teorema I.8., cuja demonstração foi motivada pela prova da invariança do número de Nielsen para pontos fixos, apresentada em [6],por Brown.

1.1. Observação

Seja f: X + Y onde X e Y são espaços topológicos e X é

localmente compacto e regular. Então, podemos pensar homotopiasde aplicações de X em Y, como caminhos em Map(X,Y) (com a topolgk

gia compacto-aberta) e todo caminho em Map(X,Y) pode ser visto cºmo uma homopotia ([15], pág 155).

Se H e um caminho em Map(X,Y) e C é um oaminho em X, pºdemos formar um novo caminho

<H,C>: I + Y

,definido por

<H,C>(t)-= H(t)(C(tD, para todo t E I

1.2. Definição

Sejam fo, fl, 90, 91: X + Y aplicações, onde X e Y são

poliedros conexos e X e compacto. Suponhamos que H seja uma homº

topia entre fo e f] e R uma homotopia entre go e g;. Para cada»

xo & Coinc(fo, go) e xl € Coinc(f1, gl), dizemos que xo é H,R rglacionado com x], e denotamos xºH, Rxl, se existe um

' caminho

C: I + X com C(O) = xo e C(l) = x] tal que í<H,C>J= [<R,C>].

— ll9 -

lr

._I,3. Definição

fã'

:"! Sejam fo, f;, qd, 91: X + Y apiicacões onde X e Y são'poliedros conexos e X é compacto. Suponhamos que É seja um cami'

nho em Map(X,Y) de bfo até *fl se B um camipho em Map(X,Y) de go

até gi; Seja F uma classe de pontos de coincidência de f(, e gª eG uma classe de pontos de coincidência de f) e g;. Dizemos 'queF e G são H,R relacionadas, e escrevemos FH,RG, se existe xo € F

fe X1-E G tal que xo_ev xl são H,R relacionados.<,

'A definição é inâependente da escolha dos pontos xo e

tªfxi'; A prova deste fato é análoga à demonstração do teorema 7 ,?

,]pag*9o, de [6]-

1 1,4. Lema

êejam X e Y poliedros conexos e X compacto.ConsideremOs H um caminho em Map(X,Y) de fo até f; e R

. um caminho em Map(X,Y) de 'go até 9]. Sejam F e F' classes de

pontos de coincidência de fo e go e G, G' classes de pontos .de

coincidência de f; e 91. Se FH,RC e FHJàf" =então G e G' e se ,

rªngsªeer'HfRG então F = F'.

-3ewonstração

Anâloga à do teorema 12, pág 92, de [6].

— 120 —

1.5. Proposição

Consideremos fº, fl, go, gl: X + Y , onde X e Y são pºliedros conexos com X compacto, H: X X 1 + Y úma homotopia entrefoie fl e R: X x 1 + Y uma homotopia entre 9o e gl. Seja F uma

classe de pontos de coincidência de fo e go, G uma.classe de pontos de coincidência de fl e 91 e suponhamos nH,R(F) = G onde

nH,R é a correspondência biunívoca induzida por H e R, dada no

lema 2.14. Então FH, RG.

Demonstração

Seja F = p Coinc(Ío, ªo) e sejam É, É: X x 1 + Y levantamentos das homotopias H e R, começando em fo e go, respectivamente. Então, G = p Coinc(%1, 61) onde El = É( ,ió e ª1=ã( ,l).Consideremos x & F e x' e G arbitrários. Portanto, x = p(Ã) e

X' = p(ã') onde ªo(à) = ªo(à) e %1(Ã') = %;(Ã'). Se X é um cªminho em X de ª até X', temos que A = p oi é um caminho X ,

de x até x'.Os caminhos É', ª': I + Y definidos por

â'(t) = É(Í(t),t), ã'(t) = É(Ã(t),t), para todo t & I,começam em

'&o(ã) e terminam em &1(Ã'). Em virtude de Y ser simplesmente cgnexo, temos que qoã' - qoã'. Porém, qoâ' = <H,A> e

qoã' = <R,Ã> e daí, a demonstração está terminada.

1.6. Corolãrio

Consideremos fo, fl, go, gl: X + Y onde X e Y são pº

- 121 —

liedros conexos e X compacto. Seja H uma homotopia entre fo e f;e R uma homotopia entre go e gl. Seja F uma classe de pontosde coincidência de fo e go e suponhamos nH,R(F) = G. Se G' é

outra classe de pontos de cºincidência de fl e gl tal que FH,

RG', então G = G'.

Demonstração

Segue do lema 1.4 e proposição 1.5. .I!

1.7. Definição

Seja Hzl + Map(X,Y) e r,s & I = [0,1]. Definimos 0 camªnho 'HÍ: 1.+ Map(X,Y) por Hí(t) = H(r + t(s—r)).

1.8. Teorema

Sejam X e Y poliedros conexos e X compacto.Suponhamos que H seja uma homotopia entre fo, fl: X+ Y,

R uma homotopia entre go, gl: X + Y e consideremos u,v & I. De

notemos por Ffu'v) , Fâu'V),..., FÁU'V) as classes de pontos de

coincidência de H(u), R(v): X + Y onde H(u)(x) = H(x,u) e

R(v)(x) = R(x,v) para todo x e X. Então existem abertosU1,..., Un de X e €>0 tal que:

(1) Fâu'v)(: Uj , j : 1,...,n(2) Uifw Uj = 0 se i # j

a,:b " , '“

(3) se |u—a|5£,Lv—bl5€ e G( )

e uma classe de pontosde coincidência de H(a) e R(b) então existe j, 1 5 j 5 n tal que

G(alb)€: U e n (Fçurv))= G(alb)'” 3 Hª b 3

u 'Rv

(4) se Iu—al 5 € e Iv—bl 5 a então H(a) e R(b) nãon

têm pontos de coincidência em ªrª BUj onde BUj' denota a frogteira de Uj.

Demonstração

Desde que X é um espaço de Hausdorff, compacto, então X

é normal e como Ffu'v),..., Fáu'v) são fechados em X, existemconjuntos abertos U;,..., Uá satisfazendo (1) e (2).

Sendo X um espaço uniformemente localmente -contrãtil 'consideremos o número e' > O garantido pela definição 1.18. Pg

la continuidade uniforme de H e R, existe .6 > 0, 6 < e'/4 tal quese d(x,x') < 6 , lu—a! < 6 e Iv—bl < 6 entãod(H(u)(X), H(a)(X')) < €'/4 em d(R(u)(x), R(v)'(x')) < g'/4.

Para cada x & Fáu,v) , escolhemos 8x > 0 , EX 5 6 de

modo que o conjunto U(x,€X) = [y & Coinc(H(u), R(V)) tal que

à(y,X) < EX) esteja contido em Uá. A compacidade de

Coinc(H(u), R(V)) assegura a existência de abertos, conexos

U(X1,€X1), U(X2, €X2)""' U(xm, Exm) com xk € Coinc(H(u),R(v)),n

de modo que Coinc(H(u), R(V))Ç kkjl (U(xk,exk))_

Tomemos Uj = kj(U(xk, exk)) onde a reunião é tomada so

— 123 —

bre todos os k tal que xk_e Fáu'v).Áfirmamos que Fáu'V)Ç; Uj .

De fato, se x e Ffu,v) é um elemento qualquer, então3

x & U(xk, Ex ) para algum k = l,...,m. - Portanto, existe um camªk

nho C em U(Xk'€xk)' de x até Xk' Assim, para todo t & I ,

d(C(t),X) < ªx 5 6. e daí, d(H(u)(C(t)), H(u)(X)) < €'/4 ek

d(R(v)€(t)), R(V)(x)) < €'/4.Levando—se em conta que H(u)(x) = R(v)(x) pois,

x & Fãu'V) , temos que

d(H(u)(C(t)), R(V)(C(t))) S d(H(u)(C(t)), H(u)(X)) + d(R(V)(C(t)),R(v)(x)) < €'/4 + €'/4 = e'/2 < ef . (*)

Em Virtude de 1.18, podemos definir L: 1 x 1 + Y porL(t,s) = y(H(u)(C(t)), R(V)(C(t)),s) a qual é uma homopotia entreH(u)oC e R(v)oC. Consequentemente, por 2.9., xk & Fáu,v) e portanto, x 8 Ujl o que mostra a afirmação. Por outro lado , quando

€ çu,v) (: E e or conse uinte U. Ut.xk FJ , temos que U(xk,€xk) __ Uj P 9 jº ]Desta forma os conjuntos Uj' j = l,...,n satisfazem as condições(1) e (2).

Seja &] = minig ,...,e ] . Desde quex1 xmn»

Coinc(H(u), R(v))C: %Eà Uj , existe T > O tal que, sen

x E (X - j=l Uj) então d(H(u)(X), R(V)(X)) > 2T. Novamente pelacontinuidade de_H e R, existe à2> 0 com a seguinte propriedade:lu—al < ªz e |V-bl < 52 implica d(H(u)(x), H(a)(x))< T e

d(R(u)(x), R(b)(x)) < T, para todo x e X. Em decorrência,d(H(a)(x), R(b)(x)) 3 d(H(u)(x), R(V)(x)) — d(H(U)(x), H(a)(x)) —

d(R(v)(x), R(b)(x)) > 2T— T — T = 0 isto é, H(a)(x) # R(b)(x)n

para todo x e X —

j—l Uj' Equivalentemente, Coinc(H(a), R(b)). n(: U.__ 91 3

J - 124 —

Seja a 5 min[61,62]. Mostremos que U1,...,Un e e > o

satisfazem (3) e (4).Suponhamos [u—al 5 €. , Iv—bl 5 e e & G(a'b)xa,b

onde G(ª'b) é uma classe de pontos de Coincidência de H(a) e R(b).Sendo € 5 Ez , segue que x& b É Uj para algum j = l,...,n pois,!

n . .Conforme Vimos acima, xa b e (X - Ézà Uj) implica que

H(ª)(xa,b) # R(b)(xa,b) o que contradiz o fato de Xa,b pertencera Coinc(H(a), R(b)). Assim, Xa,b € U(xk, 8x ) para algum

xk & Fáu,v) e porisso, existe um caminho C ªmU(xk,gxk) de Xk

até Xa,b' Desta maneira, para todo t & I, segue de (*) que:

d(H(uNC(t)) R(V)€(t)) < e'/2.Para todo t € 1, Hªw) = H(t') e R$(t) = R(t") onde

t' = u + t(u—a) e t" = v + t(v—b) de modo que,Iu—t'l = ltllu—al 5 lu—al 5 e 5 81 5 6 < e'/4 e

|v—t"| = ltllv—bI 5 [V-bl 5 € 5 e] 5 6 < e'/4. Portanto,bad(<Hu ,c><t>, <RV ,c>(t)) ” a bd(Hu(t)(C(t)), Rv(t)(C(t))) =

d(H(t')(C(t)), R(t")(C(t))) 5 d(H(u)(C(t)), H(t')(C(t))) +

d(H(U)(C(t)), R(V)(C(t))) + d(R(v)(C(t)), R(t")(C(t))) <

€'/4 + €'/2 + e'/4 = e' .

Em Virtude de 1.18., podemos definir P: 1 x 1 + Y porP(t,s) = Y(<Hã, C>(t), <R5, C>(t),s), & qual é uma homotopia_entre<Ha C> e <Rb €>' Porém isto quer dizer que # Ha Rb x ou sejau' v' ª _' k u' v“ a,b '

Fçu'v) Hª , Rb (;(ª'b) .3 u V.

Observemos que Hª é uma homotopia entre H(u) e H(a) eb

RV é uma homotopia entre R(v) e R(b). Logo, pelo corolário I.6.,

- 125 -

(Fâu,v)) = G(ª'b) o que verifica (3).

Desde que 9 < 82 , se [u—a] & e e lv—bl g e,concluímospela definição de 82 que H(a) e R(b) não têm pontos de coincidêg

ncia em X — âªà U. e, em particular,H(a) e R(b) não têm pontos3

a nde coinçidência em %;â BU.

] , o que mostra (4)',

1.99 Teorema

Sejam fº, fl, gº, gl: M1 + M2 onde M1 e M2 são. variedªdes de dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e M1 compacta.

«Séjam H1R2M1XI+M;' homotopias tal que H(x,0) = fo(x), H(x,l)=f1(x),R(x,0)=go(x) e R(x,ll = g1(x), para todo x & Ml. Suponhamos queF seja uma classe de pontos de coincidência de fº e g(] e consideremos a classe (F) de pontos de coincidência de f; e g; ,G : nH,Ronde “H R é a correspondência biunívoca dada pelo lema 2.14.Então,, .

I(fº 190 IF) : I(fl lgl IG)

Demonstração

Seja $> O dado pelo teorema 1.8. Então, se la! 5 € ,

[bl 5 e e G(a'b) é uma classe de pontos de coincidência de H(a) e

R(b) , existe um aberto U de M, tal que FÇÇZlL G(ª'b)Ç;ÁU '

,

n ("F) = o(ª'b) e Uchinc(H(a), R(b)) = a(ª'b).a b '

HOIRO

— 126 -

Portanto, I(H(a), R(b), G(a,b)) = I(H(a), R(b), U) e

»I'(f()lgo:F) : FUSO! gOIU)'Observemos que Hª é uma homotopia entre fo e H(a) e

bOR é uma homotopia entre go e R(b).

Afirmamos que

Y,=kÉ) Éoinc(H%(t), R%(t)) (“ U) é um subconjunto com

pacto de U.

Como Ml é compacto, isto é equivalente a dizer que Y e

fechado em U.

Seja (uj) sequência de pontos de Y, convergindo para um

ponto u, no fecho de U. Então existe uma subsequência (tj) em

[0,1] tal que HÍ(tj)(uj) = R$(tj)(uj). Desde que [0,1] é. compag

to, podemos supor que tj converge para t e [0,1].Como nª(tjnnuj) = H(tj.a, uj) e Rlã(tj)(uj)=R(tj.b,uj),

pela continuidade uniforme de H e R, segue que HÍ(t)(u)=R€(t)(u).Para todo t e [0,1], lttal J 5_la| 5 e e lt-bJ slblse .

Assim, por 1.8. (4), H%(t) = H(ta) e R%(t) = R(tb) não têm pon

tos de coincidência no bordo de U. Porisso, u e U e por consequin-te u e Y o que mostra a afirmação.

Desse modo, pela invariança homotõpica,

”I(fo, qo, U) 1<Hªã<1).,l.Rª€(1), U)

e,consequentemente,

Imã 1173. Rªgu), a(ª'bhH'1(fo,go,F)para todo |a| < e e |b| 5 5.

Sendo I,: [0,1] conexo,

I(fº: go, F) = I (H%(i), R€(l); g(alb))

para todo a,b & [0,1].— 127 º

Em particular

I(fo, qo, F) = I(Hª'í'ífºlâ?(”Dªr—G(l_'1))=1_(f,1,g1,c;(1"1))

G(l,l)Visto que n .(F) = e como H%(t) = H(t) e1 »1

'R%(t) = R(t) para todo t e [0,1], então

Gum = nH,R(F) = G.

Daí,

I(fo: 90, F) = I(f1, 91, G), 0 que conclui a demonstra—

I.l0. Teorema (invariança homotõpica do número de Nielsen).

Sejam fº, f], go) gl: M1 + M2 onde Mi e M2 são variedades de dimensão n, sem bordo, conexas, orientadas e M] compacta.Suponhamos que fo é homotõpica a f1 e 9D é homotõpica & 91.Então;

N(fo, go) = N(fy; gl).

Demonstração

Desde que é uma correspondência biunívoca entre“11,12

as classes de pontos de coincidência de fo e go e as classes de

pontos de coincidência de fl e gl, o resultado segue do teoremaanterior.

- 128 —

APÉNDICE II

,Neste apêndice vamos demonstrar que se f,g:M1 + M2 são aplicaçõesonde M1 e M2 são variedades de dimensão n, conexas, compactas e triangulãveis .

Então existe um par de aplicações (f',g') homotõpicas ao par (f,g) tal que

Coinc(f',g') é um conjunto finito de pontos isolados.

Seja K um complexo simplicial finito e L um subcomplexo de

K. O complexo KL ,chamado subdivisão baricêntrica de K módulo L,é dêfinido do seguinte modo: os Vértices de KL são os vértices de L juntamente com os elementos v(s), um para cada simplexo s & K—L. Para

p > 0, definimos os p—simplexos como sendo as (p+l)—uplas da forma

(vo,...,v ,V(s ),...,v(sp)], onde (vº,...,vq] é um simplexo de Lq q+1

contido no Simplexo sq+l de K—L e sg: si+l , para cada

i = q+l,...,p—l. A definição inclui os Casos degenerados q+1 = 0 e

g = P-

Teorema

Sejam M1 e M2 variedades de dimensão n, conexas e compag

tas e triangulãveis. Consideremos as aplicações f,g:Mí +-Mz. Então, existe uma

triangulação (K', T') de .M e aplicações f', g' : M1 -—%+ Mg homotõpicas

a f e g respectivamente, tal que Coinc(f',g') é um conjunto finitoe, se X & Coinc(f',g'), então x pertence & T'(|s|) para algum sim

plexo maximal s & K'.

— 129 —

xgv

Demonstração

Seja T = (K,T) uma triangulação de M] e S = (R,o) uma

triangulação de Mª' Existem aproximações simpliciais$,w :(Ml, Tr) + (Mzr S) de f e g respectivamente, para algum intelro r. ([211).

Suponhamos que vO seja um vértice de Kr tal que

|Ó|(ÍVDÍ) = |W|(IV0|). Desde que $ e w são simpliciais, devemos

ter à(vº) = W(vo) = 110 para algum vértice uo de R. Como uº nãoé maximal, existe um simplexo maximal n* de R tal que u&:7u*' ,

*uo# u .

Seja L o subcomplexo de Kr consistindo de todos ossímpleegxos de Kr que não contêm Vº.

Consideremos o complexo simplicial Kr e definamosL

ªL'wL : KrL + R nos vértices, como segue. Se v é um vértice de L,

©L(v) = $(v) e wlfv) = Ú(V). Se VOCth e v0 # tj' coloquemos

$L(v(tj)) = u0 e wL(v(tj)) %IV onde v é qualquer elemento de

u* — ug. Finalmente coloquemos ©L(v(vº)) = v e wL(v(v0)) = nºAs aplicações ªí e WL se estendem naturalmente af 'aplicg

ções Vsimnliciais . ÓL , WL : KIL+ R . Repetindo essa

construção gaia cada vértice v de K tal que |$|(|v[)=|w[(|v|),robtemos um refinamento K' de K e funções simpliciais ©',$':-K' + R

de modo que, se V é um vértice de K' então IÓ'Í(ÍVI) # IW'[([v|).Agora, se t 8 K' é um l-simplexo não maximal e

l$'|(x)'= lw'|(x) para algum -x £ lt], como nenhum Vértice é pontode coincidência de ]o'l e IW'I, necessariamente devemos ter|©'|(|tl) = IW'|(|tl). Sendo $' e W' são simpliciais e t não maxi

- 130 —

mal, então Ó'(t) = W'(t) = s é um simplexo não maximal de R. Repºtindo o raciocínio para todos os outros l-simplexosnas condições de

t, achamos um refinamento K" de K' e aplicações simpliciais$", W" : K" + R com a seguinte propriedade: se x pertence a |t|onde t 6 K" é um l—simplexo, então |$"|(x) # Iw"|(x).

Apliquemos a idéia acima para todos os 2—simplexos não

maximais t de K" tal que ÍÓ"I(X) = |W"|(x), para algum x & 't]. Em

seguida, façamos o mesmo para os outros simplexos não maximais de

dimenSões superiores. Após um número finito de aplicações, vamos oºter um refinamento K' de K e aplicações simpliciais Ó'LW': K' + R

de modo que, se x pertence ao interior de algum simplexo não maximal de K' então |©'|(x) # IÚ'|(x).

—

Seja t 8 K' um simplexo maximal e suponhamos que

x,x' & [tl satisfaçam !$'|(x) = ]W'|(x) e ]©'|(x')='|WI!(x'). Se

r êlum número real tal que y = r.x + (l—r).x' pertence ao fecho de

ltl, então [$'|(y) = |W'l(y) pois |$'| e IÚ'I são lineares. Pºrém, para algum r,y pertence ao bordo de It!, que é uma reunião de

realizações geométricas de simplexos não maximais, o que contradiza construção de $' e W' . Assim; IÓ'I e Iw'l possuem no máximo um

ponto de coincidência no interior da realização geométrica de cada

simplexo maximal.

- 131 -

[l]

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.

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