t-1 - rodolfo c machado

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA ELTRICA

DISCIPLINA: EEL 6302 ANLISE DE SEGURANA EM SISTEMAS DE POTNCIA

DOCENTE: Ph.D. ANTONIO J. A. SIMES COSTA

MESTRANDO: ENG. RODOLFO CALDERON MACHADO

TRABALHO I

ESTIMADOR ORTOGONAL USANDO MODELO LINEAR PARA A

REDE ELTRICA

Florianpolis/SC

2013

Sumrio

1. INTRODUO ................................................................................................................ 2

2. PROBLEMA PROPOSTO ............................................................................................... 3

3. EMBASAMENTO TERICO ......................................................................................... 5

3.1. ASPECTOS GERAIS DA ESTIMAO DE ESTADOS EM SISTEMAS

DE POTNCIA (EESP) ......................................................................................................... 5

3.2. MODELO DE MEDIO LINEAR ............................................................ 8

3.3. MTODO SEQUENCIAL-ORTOGONAL ................................................. 9

3.4. MTODO DAS ROTAES DE GIVENS ............................................... 11

3.4.1. VERSO SEM RAZES QUADRADAS ............................................. 12

3.4.2. ALGORITIMO DO MTODO DAS ROTAES DE GIVENS ........ 14

3.5. PROCESSAMENTO DE MEDIDAS COM ERROS GROSSEIROS ....... 15

3.5.1. DETECO DE ERROS GROSSEIROS ............................................ 15

3.5.2. IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS PELO MTODO DO

MXIMO RESDUO NORMALIZADO ........................................................................ 19

3.5.3. IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS PELO MTODOS 21

3.5.4. RECUPERAO DE MEDIDAS PORTADORAS DE ERROS

GROSSEIROS 22

4. SIMULAES E RESULTADOS ................................................................................. 23

4.1. CONDIO DE OPERAO I ................................................................ 25

4.1.1. ESTIMAO DAS VARIVEIS DE ESTADO, FLUXOS NOS

RAMOS E INJEES DE POTNCIA ATIVA ............................................................ 25

4.1.2. INVESTIGAO E IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS

NAS MEDIDAS ............................................................................................................... 27

4.1.3. ELIMINAO DE ERROS GROSSEIROS ........................................ 29

4.2. CONDIO DE OPERAO II ............................................................... 35

1

4.2.1. ESTIMAO DAS VARIVEIS DE ESTADO, FLUXOS NOS

RAMOS E INJEES DE POTNCIA ATIVA ............................................................ 35

4.2.2. INVESTIGAO E IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS

NAS MEDIDAS ............................................................................................................... 37

4.2.3. ELIMINAO DE ERROS GROSSEIROS ........................................ 38

4.3. INSERO DE ERROS NAS MEDIDAS ................................................ 44

5. CONCLUSES .............................................................................................................. 46

6. REFERNCIAS .............................................................................................................. 47

7. ANEXO I ........................................................................................................................ 48

7.1. CDIGO FONTE EM MATLAB ................................................................ 48

7.1.1. dadosentrada.m ...................................................................................... 48

7.1.2. rootT1.m ................................................................................................ 49

7.1.3. investErro.m ........................................................................................... 55

7.1.4. eliminacao.m .......................................................................................... 58

7.1.5. recuperacao.m ........................................................................................ 66

2

1. INTRODUO

O objetivo deste trabalho desenvolver um programa computacional, em Matlab, para

a estimao de estados e investigao e identificao de erros grosseiros, para a estimao de

estados utilizado o modelo linearizado (DC) da rede eltrica e o mtodo das Rotaes de

Givens com 3 multiplicadores (G3M), j para a investigao e identificao da presena de

erros grosseiros so utilizados o teste J(), o mtodo e o clculo do mdulo do mximo

resduo normalizado.

A principal funo da estimao de estados a atualizao em tempo real do banco de

dados do sistema de potncia, de forma a disponibilizar informaes confiveis do sistema no

ponto de operao atual. Estas informaes so necessrias para a avaliao da segurana da

operao do sistema de potncia.

No captulo 2 apresentado o problema proposto, mostrando a topologia da erros, os

dados do sistema e o que deve ser investigado neste sistema.

Este texto faz uma breve apresentao terica de todo o assunto abordado no trabalho

no captulo 3, neste captulo primeiramente apresentado os aspectos gerais da estimao de

estados, depois apresentado o modelo linear (DC) da rede eltrica, em seguida so

apresentados o mtodos sequencial-ortogonal, mtodo das rotaes de Givens e, por fim, o

processamento de medidas com erros grosseiros.

No captulo 4 so apresentados todas as simulaes, resultados e anlises dos

resultados dos problemas propostos. No captulo 5 feito uma concluso sobre este trabalho.

O trabalho tambm apresenta um anexo que contm o programa computacional desenvolvido.

3

2. PROBLEMA PROPOSTO

Seja o sistema de potncia de 8 barras da figura abaixo, com o plano de medio

composto de 12 medidas conforme indicado. As varincias dos medidores so iguais a t = 2

x 10-6 para as medidas de fluxo e p = 4 x 10-6 para as medidas de injeo. Apenas medidas de

fluxo e injeo de potncia ativa so consideradas. A barra de referncia a barra 1. A tabela

denotada por z apresenta valores das medidas para duas diferentes condies de operao.

Figura 1 - Sistema de potncia proposto

DE PARA x

1 2 0,080

1 6 0,010

1 5 0,025

1 4 0,064

4 5 0,020

3 4 0,064

3 8 0,020

3 7 0,025

2 3 0,080

2 7 0,025

6 7 0,010

5 6 0,010

5 8 0,020

7 8 0,032

Tabela 1 - Impedncias da rede eltrica do sistema de potncia

4

z

zi I II

t12 + 0,1935 + 0,7051

t54 - 0,9081 - 2,8917

t34 - 0,2043 - 0,9918

t73 - 0,4312 - 1,2119

t32 - 0,0617 + 0,0012

t72 - 0,6295 - 1,2061

t67 + 0,6226 + 2,7200

t56 - 0,0570 + 0,8504

t58 + 0,5819 + 2,0587

t87 - 0,1833 - 0,1634

p1 + 3,8020 + 8,5020

p7 - 1,4995 - 4,9970

Tabela 2 - Valores das medidas para duas condies de operao

1. Escreva um programa em Matlab para estimar os estados da rede utilizando o

mtodo das rotaes Givens com 3 multiplicadores (G3M), considerando

modelo linear para a rede. Aplique seu programa a cada uma das condies de

operao I e II. Alm das variveis de estado, seu programa dever calcular os

valores estimados para todos os fluxos nos ramos e injees de potncia nas

barras da rede;

2. A partir dos resultados do mtodo G3M, determine a soma ponderada dos

quadrados dos resduos, J(), para os casos I e II e investigue a presena de

erros grosseiros utilizando:

a. O teste J(), e

b. O mtodo .

3. No(s) caso(s) em que se concluir pela existncia de erros grosseiros,

identifique-os, utilizando:

a. O mtodo do mximo resduo normalizado, e

b. O mtodo .

5

4. Assegure-se que todos os erros grosseiros foram eliminados mediante a re-

estimao dos estados, considerando:

a. A eliminao das medidas errneas do plano de medio, e

b. A recuperao das medidas errneas.

3. EMBASAMENTO TERICO

Este captulo trata de apresentar a formulao bsica terica do problema, bem como a

modelagem bsica do problema, esta apresentao terica do assunto foi elaborada a partir

de trechos da referncia [1], ou seja, uma sintetizao da referncia [1] foi feita visando uma

breve explicao terica para o leitor, caso seja necessrio um aprofundamento do assunto

sugere-se a leitura completa de [1].

Primeiramente apresentado os aspectos gerais da estimao de estados (3.1), em

seguida apresentado o modelo de medio linear (3.2), j na seo 3.3 apresentado o mtodo

sequencial-ortogonal, necessrio para o entendimento do mtodo das rotaes de Givens, que

apresentado na seo 3.4, em seguida na seo 3.5 apresentado a metodologia para a

deteco, identificao e tratamento de erros grosseiros.

3.1. ASPECTOS GERAIS DA ESTIMAO DE ESTADOS EM SISTEMAS DE

POTNCIA (EESP)

A funo da EESP fornecer uma base de dados em tempo real confivel a partir de

telemedidas redundantes e corrompidas por erros de vrias espcies. O estimador de estados

processa essas medidas de forma a estimar valores para a tenso complexa em todas as barras

(considerada o estado do sistema em regime permanente). partir dos estados possvel

determinar as outras variveis necessrias para a anlise e monitorao da segurana do sistema.

Alm das telemedidas tomadas ao longo do sistema, outras quantidades no medidas

diretamente, mas que tambm contm informaes relevantes sobre o estado do sistema podem

ser processadas pelo estimador. Essas quantidades, cujos valores podem ser estimados sem a

utilizao de instrumentos de medio so chamadas pseudomedidas.

Dentre as principais aplicaes dos resultados fornecidos pelo estimador de estados,

podemos destacar a Monitorao da Segurana, a Anlise da Segurana e a Previso de Carga.

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Alm da determinao do estado do sistema, os seguintes subproblemas esto associados

EESP:

Observabilidade: consiste em verificar se o nmero e a localizao das medidas

a serem processadas pelo estimador permite a determinao do estado do

sistema;

Deteco de erros grosseiros: trata da verificao da existncia de erros

estruturais e/ou medidas esprias, isto , aquelas que so mais imprecisas do

que suposto no modelo de medio;

Identificao de erros grosseiros: consiste em determinar quais so as medidas

portadoras de erros grosseiros, ou que parte da topologia no est corretamente

modelada;

Recuperao de medidas portadoras de erros grosseiros: consiste no tratamento

de medidas esprias, tal que elas possam ser utilizadas na estimao de estados.

Dois outros subproblemas ligados modelagem em tempo real de sistemas de potncia

so de particular interesse para a EESP. O primeiro a pr-filtragem, o qual consiste num pr-

processamento em que as medidas so submetidas a uma seleo, tal que aquelas mais

claramente portadoras de erros grosseiros so descartadas. O segundo a configurao da rede

eltrica, o qual visa determinar um modelo barra-ramo para a rede eltrica a partir do

processamento das posies (status) de disjuntores e chaves de subestaes. A Figura 2 mostra

todas as funes relacionadas EESP.

A formulao analtica do problema de EESP mais utilizada baseada na minimizao

da soma ponderada dos quadrados dos resduos (estimadores do tipo Mnimos Quadrados

Ponderados ou MQP). Porm, modelagens alternativas baseadas na minimizao da soma dos

valores absolutos dos resduos (estimadores do tipo Mnimos Valores Absolutos Ponderados

ou MVAP) tambm so encontradas na literatura. A modelagem do problema de EESP est

diretamente relacionada seleo do algoritmo de soluo. Estimadores do tipo MQP

determinam os estados do sistema atravs de mtodos de programao no linear enquanto os

do tipo MVAP aplicam algoritmos de programao linear para determinar a estimativa dos

estados do sistema.

Quanto ao modo de processar os dados, os estimadores de estado podem ser de dois

tipos:

Batch: no qual as medidas disponveis so processadas simultaneamente, e

Sequenciais: no qual as quantidades medidas so processadas uma por vez.

7

Os estimadores sequenciais, fornecem a soluo de um problema de mnimos

quadrados recursivos, podendo ser baseados no Filtro de Kalman ou em mtodos ortogonais

baseados nas rotaes de Givens. Alm da robustez numrica, esses estimadores possuem a

vantagem de possibilitar a anlise dos erros grosseiros aps o processamento de cada medida.

Figura 2 - Funes que compe a estimao de estados

O problema de mnimos quadrados ponderados que modela a EESP pode ser resolvido

por uma variedade de algoritmos de otimizao. Entretanto, para este problema foi solicitado o

uso de mtodos ortogonais, neste caso, o mtodo das Rotaes de Givens.

A escolha de um mtodo para resolver o problema de mnimos quadrados feita

considerando-se alguns aspectos principais. Desde que o estimador de estados utilizado na

operao em tempo real, devendo fornecer respostas em curtos intervalos de tempo, a rapidez

na obteno da soluo do problema de mnimos quadrados de essencial importncia. Por

outro lado, a dimenso e as caractersticas do problema de otimizao a ser resolvido requerem

algoritmos com um nvel satisfatrio de robustez numrica, os quais assegurem a determinao

de uma soluo precisa. Alm destes requisitos, h ainda a possibilidade de se ter medidas

8

errneas coletadas pelo sistema supervisor, o que requer do algoritmo a capacidade de processar

os erros grosseiros de uma forma eficiente.

3.2. MODELO DE MEDIO LINEAR

Embora de escasso interesse para aplicao prtica, o modelo de medio linear

importante como ferramenta auxiliar no aprendizado dos mtodos e tcnicas ligados

estimao de estados em sistemas de potncia. Este modelo baseia-se nas mesmas hipteses

simplificadoras utilizadas para o chamado fluxo de potncia linearizado; ou seja:

As magnitudes da tenso nas barras do sistema de potncia so todas

consideradas iguais;

As resistncias e admitncias transversais das linhas de transmisso so

supostas desprezveis;

As aberturas angulares das linhas so supostas pequenas o suficiente para

justificar a aproximao sen(i j) (i j) rads.

Sob estas condies, as relaes entre os fluxos e injees de potncia ativa com os

ngulos das tenses nas barras so dadas por:

=1

= ( )

=

Onde:

: a capacidade de transmisso da linha i j,

xij : a reatncia srie da linha i j,

: a injeo de potncia ativa na barra i.

Desde que as magnitudes das tenses nas barras so supostas constantes, as nicas

variveis a serem estimadas so os ngulos das tenses e portanto o estado do sistema reduz-se

ao vetor . Assim, adotando-se o ngulo da tenso complexa de uma barra como referncia, o

estado a ser estimado representado por (N 1) ngulos.

9

Pelo mesmo motivo, o vetor de medidas z envolve apenas medidas de fluxo (tij) e de

injeo (pi) de potncia ativa, tal que a relao entre o valor verdadeiro destas grandezas e o

estado verdadeiro dado por:

0 =

Onde:

: uma matriz de ordem (m n) que relaciona as quantidades medidas aos

estados, com elementos definidos de acordo com as equaes de fluxo e

injees de potncia.

Portanto, o modelo de medio para o estimador de estados linearizado dado por:

= +

() = 0 () =

Onde:

: representa o vetor dos erros de medio nos fluxos e injees de potncia

ativa.

: a matriz de covarincia destes erros.

Desde que as relaes entre as quantidades medidas e os estados so lineares, a matriz

do modelo de medio representado pela ltima equao apresentada constante, os seus

elementos so combinaes lineares das capacidades das linhas.

3.3. MTODO SEQUENCIAL-ORTOGONAL

Para o entendimento do mtodo das rotaes de Givens necessrio o entendimento

do mtodo sequencial-ortogonal. Considere o modelo de medio linear mostrado

anteriormente:

= +

() = 0 () =

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Supondo-se que os erros de medio tm mdia zero e matriz de covarincia igual

matriz identidade, a estimativa do vetor de estado atravs do mtodo dos mnimos quadrados

requer a minimizao da funo objetivo:

() = [ ][ ]

Assuma que no modelo de medio representado pela primeira equao, o vetor de

estado possui dimenso igual do vetor das quantidades medidas. Se apenas essas quantidades

forem consideradas na minimizao da funo objetivo dada pela equao acima, a soma

ponderada dos quadrados dos resduos ser nula na soluo tima. Assim, seja z1 uma nova

medida a ser processada, a qual se relaciona com o vetor de estado x atravs da equao:

= + 1

Onde:

h1 e 1 so respectivamente a nova linha a ser includa na matrix .

Levando em conta a nova medida, a funo objetivo torna-se:

() = () + ( ) = [

] [

]

Para se obter a estimativa do vetor de estado , recorre-se ao fato de que a norma

Euclidiana da equao acima no se modifica quando sujeita transformaes ortogonais.

A aplicao dessas transformaes na norma quadrtica dos resduos pode ser

representada por uma matriz ortogonal Q, cujos produtos pela matriz de observao e vetor das

quantidades medidas (aumentados pela linha correspondente nova medida a ser processada)

fornecem, respectivamente:

[

] = [

]

[

] = [

]

Onde:

U uma matriz triangular superior (n n),

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0 um vetor nulo (1 n),

w um vetor (n 1) e um escalar.

Com esta transformao, o vetor de estado pode ser obtido resolvendo-se o sistema

triangular

=

Com obtido da nesta equao, verifica-se atravs da substituio das equaes

anteriores na equao da funo objetivo que representa a contribuio da medida z1 para a

soma dos quadrados dos resduos.

O sistema linear = corresponde ao conjunto de m + 1 medidas (incluindo a

medida z1), ao qual uma nova medida a ser processada. Aps a re-triangularizao requerida

pela incluso da nova medida, o valor armazenado na nova funo objetivo ser a soma

acumulada dos quadrados dos resduos. Em suma, o procedimento descrito constitui um

algoritmo recursivo para o processamento sequencial do conjunto de medidas.

3.4. MTODO DAS ROTAES DE GIVENS

A etapa fundamental do desenvolvimento mostrado na seo anterior a definio da

transformao ortogonal representada pela matriz Q das equaes acima. H diversas

possibilidades para definir Q. Contudo, como os estimadores sequenciais processam as medidas

e as equaes correspondentes uma de cada vez, vantajoso que a matriz a ser triangularizada

via transformaes ortogonais seja operada por linhas. Um mtodo adequado para isto o

algoritmo de Givens, que consiste em se aplicar rotaes sucessivas entre os elementos de um

vetor linha p e as linhas de uma matriz triangular U at que os elementos de p sejam

completamente zerados. Se U e p so respectivamente (n n) e (1 n) e se o vetor p denso,

ento os elementos deste vetor sero completamente anulados ao cabo de n rotaes. A figura

2 representa genericamente a aplicao sucessiva das rotaes. Nesta figura, e representam

as matrizes U e p aps as primeiras (l 1) rotaes.

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Figura 3 - Triangularizao da matriz U

3.4.1. VERSO SEM RAZES QUADRADAS

Apesar das rotaes de Givens serem adequadas ao processamento da matriz de

observao, sua verso convencional (ver item 4.3.1 da referncia [1]) no competitivo com

outros mtodos de estimao porque envolve um grande nmero de clculos de razes

quadradas. Este obstculo foi removido mediante o desenvolvimento de verses rpidas das

rotaes de Givens, onde so completamente eliminados os clculos de razes quadradas e

reduzidas significativamente s operaes de multiplicao.

A verso rpida de rotaes de Givens, tambm conhecida como mtodo das rotaes

de Givens com 3 multiplicadores (G3M), inicialmente proposta por Gentleman e

posteriormente generalizada por Hammarling, consiste basicamente em se decompor a matriz

U como:

= 12

Onde:

D: uma matriz diagonal,

: uma matriz triangular superior unitria.

De acordo com a decomposio acima, os vetores-linha a serem submetidos s

rotaes assumem a seguinte forma:

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= [0 0 +1]

= [0 0 +1]

Observe que um fator de escala tambm adotado para o novo vetor p. Depois da

aplicao das rotaes, os vetores-linha transformam-se em:

= [0 0 +1]

= [0 0 0

+1]

As equaes que definem a transformao acima podem ser deduzidas usando-se as

novas definies de u, p, u e p na equao de Rotao de Givens e impondo a condio de

que o elemento (2, 2) da matriz de rotaes seja igual unidade. As equaes de atualizao de

u e p so dadas abaixo:

= + 2

=

=

=

=

= + } , = + 1 + 1

As equaes acima indicam que ambos os fatores de escala variam em consequncia

da rotao. Verifica-se tambm que todas as operaes de raiz quadrada foram eliminadas pela

aplicao do artifcio introduzido pela equao = 1

2. O numero de multiplicaes

tambm reduzido, j que as atualizaes dos elementos de u e p nas equaes acima requerem

uma multiplicao a menos do que o exigido, pelas da forma convencional. Alm das vantagens

computacionais de formulao sem razes quadradas a incluso dos fatores de escala torna o

algoritmo naturalmente adequado soluo de problemas de mnimos quadrados ponderados.

Em outras palavras, a minimizao da soma ponderada dos quadrados dos resduos no requer

nenhum esforo computacional adicional.

Aps o processamento de todas as linhas da matriz a ser triangularizada, a soluo do

problema de mnimos quadrados ponderados pode ser obtida por substituio inversa, onde o

vetor independente a coluna adicional da matriz triangular superior. A matriz diagonal D

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apresentar um elemento adicional, que de fato corresponde soma ponderada dos quadrados

dos resduos. A disponibilidade imediata deste termo pode ser utilizada nos procedimentos para

a deteco de erros grosseiros, como ser visto em captulo posterior. Outra caracterstica

interessante do mtodo de Givens a possibilidade de remover os efeitos de qualquer linha da

matriz de observao e de sua medida associada que tenham sido previamente processadas. Esta

caracterstica ser tambm explorada na etapa de processamento de erros grosseiros.

3.4.2. ALGORITIMO DO MTODO DAS ROTAES DE GIVENS

De acordo com [1] o algoritmo G3M segue os seguintes passos:

1. Variveis:

U = matriz identidade (n + 1) (n + 1);

= [1 +1]: -simo vetor linha aumentado, de

dimenso 1 (n + 1), que sofrer rotaes com as linhas de U;

: peso para a medida j;

: peso para a linha i do tringulo.

2. Inicializao:

= 0, = 1, + 1

3. K = 1

4. Seja i = ndice do prximo elemento no-nulo de pk.

5. Rotao da linha pk com linha ui do tringulo:

= +

2

=

=

=

=

= + = 0

} , = + 1 + 1

6. Redefina as variveis di, wk, pkj e uij por seus novos valores calculados.

15

7. Se wk > 0 e i < (n+1), retorne ao passo 4. Em caso contrrio, prossiga ao

passo 8.

8. Se k = m, as rotaes se encerram, prossiga ao passo 9. Em caso contrrio,

inicie o processamento de uma nova linha de dados fazendo k = k + 1 e recomeando

no passo 4.

9. Resolver o sistema triangular cujo lado direito a ltima coluna de U. A

quantidade dn+1 e a soma ponderada dos quadrados dos resduos.

3.5. PROCESSAMENTO DE MEDIDAS COM ERROS GROSSEIROS

3.5.1. DETECO DE ERROS GROSSEIROS

O vetor m 1 dos resduos de medio dado por:

=

Onde:

z o vetor das quantidades medidas,

o vetor dos valores estimados para as quantidades medidas.

A diferena mostrada na equao acima pode ser interpretada como uma estimativa

para o vetor dos erros de medio. Na ausncia de erros grosseiros, os resduos, ou certas

funes dos resduos, tendero a confirmar estas suposies. Caso contrrio, pode-se inferir que

medidas com erros grosseiros foram processadas. Alm disso, o exame individual dos resduos

deve possibilitar a identificao da medida espria. Esta seo descreve um procedimento de

deteco de erros grosseiros baseado numa funo dos resduos de medio.

Para estabelecer o procedimento para a deteco de erros grosseiros, deve ser lembrado

que o vetor dos erros de medio suposto possuir distribuio normal, com mdia zero e

matriz de covarincia diagonal. Esta caracterizao possibilita desenvolver um procedimento

para a deteco de medidas esprias baseado no valor dos resduos de medio. O candidato

natural a um processo deste tipo seria um teste individual no valor dos resduos de forma a

verificar se algum deles viola as suposies feitas em relao ao modelo de medio. Esta

tcnica, entretanto, requer a utilizao da matriz de covarincia dos resduos, cuja determinao

16

computacionalmente dispendiosa. Considerando o fato de que o processo de deteco

executado online aps cada estimao de estados, conclui-se que o exame individual dos

resduos no seria uma tcnica computacionalmente eficiente para a simples deteco de

medidas portadoras de erros grosseiros. Ainda assim, se a presena destas medidas detectada,

uma possvel metodologia de identificao dos erros grosseiros baseada na matriz de

covarincia, como ser posteriormente mostrado.

As dificuldades computacionais associadas anlise individual dos resduos de

medio conduzem a busca de um teste baseado numa funo observvel dos resduos, cujo

comportamento na presena e na ausncia de erros grosseiros seja claramente distinto. A soma

ponderada do quadrado dos resduos uma funo que satisfaz esta condio, isto , se existem

medidas esprias no conjunto de medidas J() tende a assumir valores maiores do que quando

tais medidas esto ausentes. Assim, tomando como base o valor da soma ponderada dos

quadrados dos resduos possvel concluir sobre a presena de erros grosseiros. Desde que,

tanto os resduos como a soma ponderada do quadrado dos resduos so variveis aleatrias

razovel desenvolver um tipo de teste de deteco baseado nas propriedades estatsticas dessas

variveis.

A formulao analtica do processo de deteco de erros grosseiros baseada num

Teste Estatstico de Hipteses para o qual as seguintes definies so necessrias:

Hiptese Estatstica: conjectura acerca da distribuio de uma ou mais

variveis aleatrias;

Hiptese Bsica (Null hypothesis), H0: hiptese principal;

Hiptese Alternativa, H1: complemento da hiptese bsica H0, isto ,

quando H0 falsa, H1 verdadeira, e vice-versa;

Teste de Hiptese: procedimento para decidir se a hiptese H0 deve ser

aceita ou rejeitada.

A teoria do Teste de Hipteses define dois tipos de erros:

Erro do tipo I : rejeio da hiptese bsica H0 quando ela verdadeira;

Erro do tipo II : aceitao da hiptese bsica H0 quando ela falsa.

A Probabilidade de Falso Alarme, denotada , definida como probabilidade de que

ocorra um erro do tipo I ( considerada o nvel de significncia do teste). Deforma semelhante,

representa a probabilidade de que ocorra um erro do tipo II.

A quantidade (1 ) representa a probabilidade que a hiptese bsica H0 seja rejeitada

quando ela falsa. Esta quantidade chamada funo potncia do teste.

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No Teste de Hipteses, deseja-se reduzir tanto quanto possvel a probabilidade de falso

alarme e a funo de potncia do teste . Para isto, fixa-se em um valorbaixo (entre 0.01 e

0.1, por exemplo) e maximiza-se a funo de potncia (1 ) uniformemente sobre todas as

hipteses alternativas. Isto requer uma funo observvel das variveis aleatrias em estudo,

que se comporte diferentemente sob as condies das hipteses bsica e alternativa. Esta

diferena em comportamento usada para se projetar o teste.

Por exemplo, suponha que S uma funo estatstica que tende a assumir valores

menores quando a hiptese bsica verdadeira do que quando ela falsa. A partir de uma

probabilidade de falso alarme fixada em um valor pequeno e da funo densidade de

probabilidade das variveis em estudo possvel definir um limiar K, de forma que o teste ser

rejeitado se S > K e aceito em caso contrrio. Diz-se ento que os resultados do teste esto a

um nvel de significncia de (100 ) %.

No caso da EESP, para a aplicao do Teste de Hipteses supe-se que:

O vetor dos erros de medio possui distribuio normal, com mdia zero e

matriz de covarincia R diagonal;

A estrutura e os parmetros da rede so conhecidos;

O modelo de medio linearizado num ponto prximo a soluo.

Sob estas condies, a soma ponderada dos quadrados dos resduos tem a distribuio

do qui-quadrado (denotada por 2) com (m n) graus de liberdade, onde m e n so

respectivamente o nmero de quantidades medidas ao longo do sistema de potncia e o nmero

de estados. A Fig. 3 apresenta a funo densidade de probabilidade da distribuio do qui-

quadrado com oito graus de liberdade. Observe que esta funo s definida apenas para

valores positivos, e que a mesma assimtrica em relao moda da distribuio.

Na presena de erros grosseiros as hipteses anteriores se tornam falsas e a soma

ponderada dos quadrados dos resduos no apresenta a distribuio do qui-quadrado, tendendo

a assumir valores elevados.

Em termos das hipteses definidas anteriormente, o problema de deteco de erros

grosseiros estabelecido de acordo com o seguinte teste de hipteses:

Hiptese bsica H0: a soma ponderada do quadrado dos resduos J()

apresenta a distribuio do 2;

Hiptese alternativa, H1: a hiptese bsica falsa.

Com base na definio de probabilidade de falso alarme, possvel determinar um

limiar K, no qual baseado o processo de deteco do erro grosseiro, tal que:

18

P(J() > K | J() apresenta a distribuio 2) =

Onde P(a > b|c) representa a probabilidade de que a seja maior do que b supondo que

c verdadeiro.

Figura 4 - Funo densidade de probabilidade (8 graus de liberdade)

As probabilidades e seu complemento (1 ) podem ser interpretadas como reas

sob a curva da funo densidade de probabilidade de J(). Observe que a especificao de

determina univocamente o limiar K, ou seja:

= 2;1

Onde 2;1 denota o percentil (1) da distribuio do 2-quadrado com (mn)

graus de liberdade. Os percentis da distribuio do 2 com graus de liberdade podem ser

obtidos a partir da tabela em anexo.

Em resumo, o teste de deteco de erros grosseiros baseado na soma ponderada do

quadrado dos resduos consiste em comparar o valor de J() com o valor K, obtido da

distribuio cumulativa do 2 com (mn) graus de liberdade e com probabilidade de falso

alarme igual a . Se J() > K, ento h evidncia de que existem medidas portadoras de erros

grosseiros dentre aquelas que compem o plano de medio.

19

3.5.2. IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS PELO MTODO DO MXIMO RESDUO

NORMALIZADO

Com base no resultado do teste de deteco de medidas esprias, duas alternativas

podem ser tomadas. Se o teste indicar a no existncia dessas medidas, o processo de estimao

encerrado. Em caso contrrio, as medidas portadoras de erro grosseiro devem ser localizadas,

o que requer o exame individual dos resduos da estimao. Se apenas uma nica medida est

contaminada com erro grosseiro, primeira vista uma possvel estratgia de identificao

poderia ser baseada na determinao do mximo resduo, com a expectativa de que este

correspondesse a medida espria. Entretanto, isto no necessariamente verdade, pois

medidores de diferentes tipos de quantidades possuem diferentes precises, tal que as varincias

das quantidades medidas podem ser significativamente afetadas. Alm disso, existe a

possibilidade de que os resduos sejam correlacionados entre si, de modo que o efeito de um

erro grosseiro associado a uma medida pode se espalhar sobre os resduos de outras

quantidades. Estas dificuldades so contornadas utilizando-se o Mtodo do Mximo Resduo

Normalizado, conforme descrito a seguir.

O vetor dos resduos de estimao dado por:

= =

Desde que o vetor de incrementos nas variveis de estado fornecido durante o processo

iterativo de soluo da equao normal dado por:

= ()

Ento o vetor dos resduos de medio pode ser reescrito como:

= [ ()]

= [ ()]

=

Onde:

=

20

Com a matriz de covarincia dos erros de estimao, denotada Cx, expressa como:

= ()

A partir da equao dos resduos apresentadas acima, define-se a matriz de

sensibilidade dos resduos como

= ()

Antes de prosseguirmos com a anlise do efeito dos erros grosseiros sobre os resduos,

conveniente examinarmos com mais detalhes a matriz de sensibilidade dos resduos, a qual

apresenta as seguintes propriedades:

1. S uma matriz idempotente; isto , S = S. Alm disso, como toda

a matriz idempotente diferente da matriz identidade, a matriz S singular, seu

posto igual a seu trao e igual a (m n);

2. Os autovalores de S so iguais ou a zero ou unidade;

3. Pode ser tambm facilmente verificado que SH = 0;

4. Por multiplicao direta, verifica-se igualmente que SRS = W;

Retomando a anlise dos resduos, vemos da equao dos resduos e da definio de S

que:

=

Alm disso, como:

= +

E utilizando a propriedade 3 acima:

= ( + )

= +

Ou seja:

=

21

Desta equao, conclumos que a i-sima coluna de S indica como o efeito de uma

medida portadora de erro grosseiro se espalha sobre os elementos do vetor de resduos.

O resduo normalizado para uma dada medida k obtido dividindo-se o resduo da

medida k pelo desvio-padro deste resduo, isto :

=

Onde Wkk representa o termo diagonal da matriz de covarincia dos resduos W.

Seja um sistema de potncia monitorado atravs de um plano de medio que oferece

boas condies de redundncia. Se apenas uma medida portadora de erro grosseiro e as demais

medidas so perfeitas, ento a medida errnea apresenta o mximo resduo normalizado em

valor absoluto.

3.5.3. IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS PELO MTODOS

O Mtodo para deteco e identificao de erros grosseiros foi originalmente

proposto como uma alternativa para o teste 2 convencionalmente usado no estgio de deteco.

O mtodo baseia-se na considerao de que a varivel dado pela equao abaixo

pode ser interpretada como uma estimativa do erro associado medida, isto , de quanto a

medida discrepante das demais. Comparando-se a magnitude desta discrepncia com um

limiar , onde o desvio-padro da medida considerada e um inteiro usualmente

considerado igual a 4, possvel se concluir se o erro est ou no fora da faixa esperada de 3.

=

2

Onde o ndice k indica quantidades associadas medida k.

A magnitude do erro, expressa em nmeros de desvios-padro, ento dada por:

=||

=

||

22

A partir das consideraes acima, possvel propor o seguinte algoritmo, que na

realidade se presta tanto deteco quanto identificao de erros grosseiros.

1. Estimar os estados e calcular os resduos normalizados para todas as

medidas correntemente disponveis ao estimador;

2. Seja i a medida com a maior magnitude de resduo normalizado. Calcular

, a partir da equao acima;

3. Se , a medida k considerada vlida, concluindo-se em

consequncia que no h erro grosseiro entre as medias consideradas no passo 1. Se

> , a medida k considerada portadora de erro grosseiro. Neste caso, recupera-se ou

elimina-se a medida k do plano de medio e retorna-se ao passo 1.

3.5.4. RECUPERAO DE MEDIDAS PORTADORAS DE ERROS GROSSEIROS

Considere a existncia de apenas uma medida com erro grosseiro num conjunto de

medidas. Tal medida pode ser expressa como:

= +

Onde

: o valor da medida espria,

: o valor da medida sem erro grosseiro,

: representa a amplitude do erro grosseiro.

A medida recuperada determinada a partir da frmula abaixo.

=

2

Ou, em termos do resduo normalizado:

=

2

23

Aps a recuperao da medida espria, o vetor dos resduos dado por:

= =

Onde os elementos do vetor so os mesmos componentes do vetor exceto

pelo k-esimo elemento, dado pela frmula:

=

2

Logo, o resduo associado medida recuperada nulo. Conclui-se, portanto, que a

gerao de uma pseudomedida pela subtrao do erro grosseiro da medida espria afeta a soma

ponderada do quadrado dos resduos no sentido de eliminar desta quantidade a contribuio da

medida originalmente incorreta.

4. SIMULAES E RESULTADOS

Conforme solicitado foi elaborado um programa em Matlab para estimar os estados da

rede eltrica utilizando o mtodo das rotaes de Givens com 3 multiplicadores (G3M) onde se

considera o modelo linear (DC) para a rede, este programa tambm capaz de identificar e

corrigir erros grosseiros de medidas. Tal programa apresentado no Anexo I.

Nos itens 4.1 e 4.2 so apresentados os resultados e anlises das simulaes para as

duas condies de operao, no item 4.3 so inseridos diversos tipos de erros nas medidas e os

resultados so analisados.

Ao executar o programa principal apresentado na tela do Matlab a Figura 5, nesta

tela inicial apresentado todos os dados de entrada do programa, como: barra de referncia,

varincia dos medidores, impedncias das linhas de transmisso e as condies de operao

(conjunto de medidas); e em seguida solicitado a escolha de qual condio de operao ser

analisada, sendo limitado a duas condies de operao. A alterao de qualquer dado de

entrada facilmente feita atravs do arquivo de dados de entrada. O arquivo de dados de entrada

similar aos dados apresentados no captulo 2 deste trabalho, tal arquivo apresentado no

Anexo I.

24

Figura 5 - Apresentao inicial do programa

25

4.1. CONDIO DE OPERAO I

4.1.1. ESTIMAO DAS VARIVEIS DE ESTADO, FLUXOS NOS RAMOS E INJEES DE

POTNCIA ATIVA

Ao escolher a condio de operao I, condio de menor carregamento do sistema, o

programa retorna a tela apresentada na Figura 7, onde se apresenta os principais resultados e a

possibilidade do usurio investigar a presena de erros grosseiros, a qual ser feita

posteriormente.

Primeiramente para se ter uma ideia de que os resultados esto coerentes necessrio

observar a matriz U, que segundo o embasamento terico do item 3 deste trabalho, deve ser

uma matriz triangular superior com dimenses (n + 1) x (n + 1), ou seja, 8 x 8. A matriz U desta

primeira etapa de clculos apresentada na Figura 6, onde percebe-se claramente que a matriz

U triangular superior com dimenses 8 x 8. Outro ponto que tambm pode ser analisado a

evoluo da matriz w e do vetor p ao longo das iteraes, tal anlise no apresentada devido

a sua extenso.

Figura 6 - Matriz U dos resultados iniciais

As variveis de estado, que so os ngulos das tenses das barras, so apresentadas na

coluna ngulo da Figura 7 e so expressas em radianos. As tenses em todas as barras so

iguais a 1, pois est sendo considerado o modelo linear da rede.

A coluna Inj. P. Ativa Estimada apresenta os resultados da injeo de potncia ativa

estimada, esta estimao feita a partir das estimaes dos fluxos de potncia ativa entre as

barras, para este clculo so utilizadas as frmulas apresentadas no item 3.2 MODELO DE

MEDIO LINEAR; percebe-se que os resultados so muito prximos dos resultados

26

apresentados na coluna Inj. P. Ativa Medida que apresenta os valores medidos de injeo de

potncia ativa nas barras.

Figura 7 - Resultados iniciais para a condio I

27

A coluna Fluxo Pot. Ativa Estimada mostra os resultados do clculo da estimao

dos fluxos de potncia ativa entre as barras do sistema de potncia, nota-se que tambm neste

caso os resultados so muito prximos dos resultados medidos.

A soma ponderada dos quadrados dos resduos (SPQR), o valor obtido no ltimo

elemento da matriz diagonal d e neste caso igual a 6,2341.

Tais resultados podem induzir o usurio a acreditar que no existem erros grosseiros

nas medidas, o que pode no ser verdade, desta forma, se faz necessrio a investigao da

presena de erros grosseiros nas medidas.

4.1.2. INVESTIGAO E IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS NAS MEDIDAS

Ao escolher a opo de investigar a presena de erros grosseiros o programa executa:

o teste J() e o mtodo .

O teste J(), como explicado no embasamento terico, consiste resumidamente em se

calcular os graus de liberdade do sistema (quantidade de medies menos quantidade de

estados) e com este valor de graus de liberdade se obtm um valor na tabela da distribuio do

Qui-Quadrado, de acordo com a probabilidade de falso alarme escolhida, ento este valor

comparado com a SPQR, se o valor obtido da tabela da distribuio do Qui-Quadrado for maior

que a SPQR, ento, no existe(m) erro(s) grosseiro(s) na(s) medida(s), caso contrrio, existe(m)

erro(s) grosseiro(s). Para este programa foi escolhida uma probabilidade de falso alarme de

0,05, ou seja, 1 = 0,95, logo, deve-se obter o valor a ser comparado com a SPQR na coluna

.9502 da tabela da distribuio do Qui-Quadrado.

J no mtodo , compara-se a magnitude do erro (), expressa em nmeros de desvios-

padro, com o valor usual de (igual a quatro). Se for maior que , ento, existe(m) erro(s)

grosseiro(s) na(s) medida(s), caso contrrio, no existe(m) erro(s) grosseiro(s).

Os resultados para ambos os mtodos so apresentados na Figura 8. Nota-se que o teste

J() no identifica nenhuma medida errnea, enquanto o mtodo acusa a presena de erro(s)

grosseiro(s), e a medida 8, -0,0570, identificada como sendo uma medida errnea. A diferena

de resultados nos testes pode acontecer, pois o teste J(), com probabilidade de falso alarme de

0,05, no to restrito quanto o mtodo com igual a quatro.

28

Figura 8 - Resultado inicial da investigao/identificao de erros grosseiros

Em ambos os casos a identificao de qual medida pode conter erros grosseiros feita

atravs do mdulo do maior resduo normalizado. Na Figura 9 apresentado o vetor do resduo

normalizado, rn.

Nota-se claramente que o resduo de ndice 8 o que possui o maior mdulo de resduo

normalizado, logo, esta medida identificada como a medida errnea.

Em seguida, possvel fazer a eliminao dos erros grosseiros de duas maneiras:

1. Atravs da eliminao das medidas errneas do plano de medio;

2. Atravs da recuperao das medidas errneas.

Ambos os casos so analisados para esta condio de operao e os resultados so

expostos e analisados no prximo item.

29

Figura 9 - Vetor dos resduos normalizados

4.1.3. ELIMINAO DE ERROS GROSSEIROS

A seguir ser feito uma anlise da eliminao de erros grosseiros usando as duas

metodologias sugeridas no trabalho. Primeiramente feito uma anlise da eliminao da

medida errnea do plano de medio e em seguida feita uma recuperao da medida errnea.

ELIMINAO DAS MEDIDAS ERRNEAS DO PLANO DE MEDIO

Esta metodologia consiste simplesmente em eliminar a medida considerada errnea do

plano medio e re-estimar os estados, aps a re-estimao todos os testes de investigao e

identificao de medidas errneas so executados a fim de se verificar se existem novas

medidas consideradas errneas, em caso afirmativo, esta nova medida considerada errnea ser

eliminada e todo o processo ser refeito.

Desta forma, como o teste identificou que a medida 8, fluxo de potncia ativa t56,

uma medida portadora de erro grosseiro esta eliminada do plano de medio e todo o processo

refeito.

Na Figura 10 possvel verificar os resultados da re-estimao de estados com a

eliminao da medida errnea. Note que o fluxo de potncia ativa, t56, agora aparece como no

medido, pois tal medida foi eliminada.

30

possvel notar que a SPQR diminuiu em relao ao caso anterior, o que j era de se

esperar, pois a medida errnea foi eliminada, logo, o maior o resduo foi retirado.

31

Figura 10 - Resultados da re-estimao eliminando a medida errnea

Notou-se que ao executar os testes para verificao de erros grosseiros o resduo

normalizado tem dois valores muito semelhantes em mdulo, como pode ser visto na Figura

11, sendo o primeiro e o dcimo valor do vetor.

Neste caso, o software identificou que a primeira medida a que possui o maior

mdulo, logo os testes de investigao de erros foram todos feitos em cima deste valor, assim

nenhum novo erro foi encontrado e o programa foi finalizado.

Caso o software utiliza-se o dcimo valor do resduo normalizado para a investigao

de erros grosseiros este o identificaria como um erro grosseiro de medida. Esta diferena entre

a primeira e a dcima medida gera um possvel erro de anlise, quando duas medidas possuem

valores de resduos muito prximos so chamados de conjunto crtico, porm tal assunto no

tema deste trabalho e no ser abordado. Permanecendo assim a anlise do maior mdulo do

resduo normalizado encontrado via software.

32

Figura 11 - Vetor do resduo normalizado aps a eliminao da medida errnea

RECUPERAO DAS MEDIDAS ERRNEAS

A recuperao da medida errnea feita utilizando a frmula:

=

2

Assim a medida corrigida passa a ser:

56 = 0,04659

De pose da medida corrigida os estados so estimados e uma nova investigao de

erros grosseiros feita, culminando nos resultados apresentados na Figura 12. Note que os

resultados da estimao de estados, os fluxos e injees de potncia ativa estimados e a SPQR

so todos iguais aos resultados apresentados no mtodo da eliminao da medida do plano de

medio.

Tambm possvel notar que o fluxo de potncia ativa, t56, que foi estimado igual ao

valor corrigido, o que j era de se esperar, pois o resduo para este caso igual a zero, segundo

explicaes apresentadas no embasamento terico.

A SPQR menor se comparado ao valor antes da recuperao da medida, neste caso, a

explicao que a gerao de uma pseudomedida pela subtrao do erro grosseiro da medida

33

errnea afeta a SPQR no sentido de eliminar desta quantidade a contribuio da medida

originalmente incorreta.

34

Figura 12 - Resultados da re-estimao recuperando a medida errnea

Tambm neste caso existem dois valores em mdulo muito semelhantes no vetor de

resduos normalizados, porm somente foi considerado o maior valor para a investigao de

novos erros grosseiros. Na Figura 13 apresentado o vetor dos resduos normalizados.

Como nenhum novo erro grosseiro foi encontrado o programa foi encerrado.

35

Figura 13 - Vetor do resduo normalizado aps a recuperao da medida errnea

4.2. CONDIO DE OPERAO II

4.2.1. ESTIMAO DAS VARIVEIS DE ESTADO, FLUXOS NOS RAMOS E INJEES DE

POTNCIA ATIVA

Ao escolher a condio de operao II, condio de maior carregamento do sistema, o

programa retorna a tela apresentada na Figura 14, onde se apresenta os principais resultados e

a possibilidade do usurio investigar a presena de erros grosseiros, a qual ser feita

posteriormente.

Apesar das estimaes dos fluxos de potncia ativa e das injees de potncia ativa

estarem muito prximas das medies a SPQR obtida tem um valor que pode ser considerado

elevado, assim, este valor elevado sugere a presena de algum tipo de erro, a seguir feita uma

investigao e identificao da possvel presena de algum erro grosseiro nas medies.

36

Figura 14 Resultados iniciais para a condio II

37

4.2.2. INVESTIGAO E IDENTIFICAO DE ERROS GROSSEIROS NAS MEDIDAS

A seguir so feitos o teste J() e o mtodo para a investigao da presena de erros

grosseiros nas medies da condio de operao II. Os resultados para ambos os mtodos so

apresentados na Figura 15.

Figura 15 - Resultado inicial da investigao/identificao de erros grosseiros

38

Nota-se que neste caso o teste J() identifica a presena de medida(s) errnea(s), o que

no acontecia no caso anterior, pois a SPQR era pequena; o mtodo tambm acusa a presena

de erro(s) grosseiro(s) nas medies.

A medida 7, + 2,7200, identificada como sendo uma medida errnea, pois a medida

que tem a maior magnitude no vetor de resduos normalizados, tal vetor apresentado na Figura

16.

Figura 16 - Vetor dos resduos normalizados

Como ambos os testes identificaram a presena de erro(s) grosseiro(s) se faz necessrio

a eliminao deste(s) erro(s), a qual feita no prximo item.

4.2.3. ELIMINAO DE ERROS GROSSEIROS

A seguir ser feito uma anlise da eliminao de erros grosseiros usando as duas

metodologias sugeridas no trabalho. Primeiramente feito uma anlise da eliminao da

medida errnea do plano de medio e em seguida feita uma recuperao da medida errnea.

ELIMINAO DAS MEDIDAS ERRNEAS DO PLANO DE MEDIO

Conforme explicado anteriormente esta metodologia consiste simplesmente em

eliminar a medida considerada errnea do plano medio e re-estimar os estados, aps a re-

estimao todos os testes de investigao e identificao de medidas errneas so executados a

39

fim de se verificar se existem novas medidas consideradas errneas, em caso afirmativo, esta

nova medida considerada errnea ser eliminada e todo o processo ser refeito.

Desta forma, como o teste identificou que a medida 7, fluxo de potncia ativa t67,

uma medida portadora de erro grosseiro esta eliminada do plano de medio e todo o processo

refeito.

Na Figura 17 possvel verificar os resultados da re-estimao de estados com a

eliminao da medida errnea. Note que o fluxo de potncia ativa, t67, agora aparece como no

medido, pois tal medida foi eliminada.

40

Figura 17 Resultados da re-estimao eliminando a medida errnea

possvel notar que a SPQR diminuiu em relao ao caso anterior, o que j era de se

esperar, pois a medida errnea foi eliminada, logo, o maior o resduo foi retirado.

Notou-se que, tambm neste caso, ao executar os testes para verificao de erros

grosseiros o resduo normalizado tem dois valores muito semelhantes em mdulo, como pode

ser visto na Figura 18, sendo o primeiro e o dcimo valor do vetor.

41

Neste caso, o software identificou que a primeira medida a que possui o maior

mdulo, logo os testes de investigao de erros foram todos feitos em cima deste valor, assim

nenhum novo erro foi encontrado e o programa foi finalizado.

Caso o software utiliza-se o dcimo valor do resduo normalizado para a investigao

de erros grosseiros este o identificaria como um erro grosseiro de medida. Esta diferena entre

a primeira e a dcima medida gera um possvel erro de anlise, quando duas medidas possuem

valores de resduos muito prximos so chamados de conjunto crtico, porm tal assunto no

tema deste trabalho e no ser abordado. Permanecendo assim a anlise do maior mdulo do

resduo normalizado encontrado via software.

Figura 18 - Vetor do resduo normalizado aps a eliminao da medida errnea

RECUPERAO DAS MEDIDAS ERRNEAS

A recuperao da medida errnea feita utilizando a frmula:

=

2

Assim a medida corrigida passa a ser:

67 = +2,74371

De pose da medida corrigida os estados so estimados e uma nova investigao de

erros grosseiros feita, culminando nos resultados apresentados na Figura 19. Note que os

42

resultados da estimao de estados, os fluxos e injees de potncia ativa estimados e a SPQR

so todos iguais aos resultados apresentados no mtodo da eliminao da medida do plano de

medio.

Tambm possvel notar que o fluxo de potncia ativa, t67, que foi estimado igual ao

valor corrigido, o que j era de se esperar, pois o resduo para este caso igual a zero, segundo

explicaes apresentadas no embasamento terico.

A SPQR menor se comparado ao valor antes da recuperao da medida, neste caso, a

explicao que a gerao de uma pseudomedida pela subtrao do erro grosseiro da medida

errnea afeta a SPQR no sentido de eliminar desta quantidade a contribuio da medida

originalmente incorreta.

43

Figura 19 - Resultados da re-estimao recuperando a medida errnea

Tambm neste caso existem dois valores em mdulo muito semelhantes no vetor de

resduos normalizados, porm somente foi considerado o maior valor para a investigao de

novos erros grosseiros. Na Figura 20 apresentado o vetor dos resduos normalizados.

Como nenhum novo erro grosseiro foi encontrado o programa foi encerrado.

44

Figura 20 - Vetor do resduo normalizado aps a recuperao da medida errnea

4.3. INSERO DE ERROS NAS MEDIDAS

Neste item do trabalho so feitos dois tipos de testes considerando a insero de erros

nas medidas da condio de operao I com o intuito de perceber se o software elaborado

consegue detect-los. Primeiramente a medida t56 que era considerada errnea foi alterada para

o seu valor recuperado e em seguida foram inseridos os erros nas medies.

O primeiro teste a ser feito supor que ao instalar o medidor na linha que uni as barras

4 e 5, medida t54, o instalador tenha cometido um erro que apresenta a medio com o fluxo

invertido, ou seja, a medio que era -0,9081 passa a ser 0,9081.

Ao executar o software com esta nova medio o erro detectado conforme

apresentado na Figura 21.

Figura 21 Erro identificado na medida com fluxo invertido

Em seguida, a medio de injeo de potncia ativa, p1, tambm invertida, passando

de 3,8020 para -3,3820. O erro neste caso tambm foi detectado.

45

Figura 22 - Erro identificado na medida com injeo de potncia invertida

Caso a medida t56 no tivesse sido corrigida os resultados seriam os mesmos, ou seja,

os erros seriam identificados.

Logo, nota-se que a metodologia utilizada neste trabalho consegue identificar tais tipos

de erros grosseiros facilmente, o que d uma segurana maior para o operador do sistema.

O segundo e ltimo teste feito considerando que qualquer medida seja igual a zero.

Para este teste o software no foi capaz de identificar a medida zero como sendo errnea na

primeira varredura em todos os casos, logo, o software no sensvel a este tipo de erro.

46

5. CONCLUSES

Neste texto apresentou-se uma base terica sobre: a estimao de estados, investigao

e identificao de erros grosseiro; Tambm foram apresentados o sistema teste de oito barras,

os programas computacionais desenvolvidos, alm da verificao e da validao do programa

desenvolvido atravs de simulaes.

O programa computacional desenvolvido apresentou resultados satisfatrios,

apresentando uma boa estimao dos estados na maioria dos casos e detectou os erros quando

eles estavam presentes, a nica exceo foi quando existiu uma medio errnea com valor

igual a zero.

Assim, todos os objetivos foram alcanados e este trabalho se mostrou importante para

aprimorar os conceitos sobre a estimao de estados e, investigao e identificao de erros

grosseiros.

47

6. REFERNCIAS

[1] Simes Costa, A. J. A. e Salgado, R. S. - Apostila Anlise de Segurana em

Sistemas de Potncia, UFSC, 2011.

[2] Notas de aula da disciplina EEL 6302 Anlise de Segurana em Sistemas de

Potncia 2013.

48

7. ANEXO I

Neste anexo do trabalho apresentado o cdigo fonte do programa implementado em

Matlab para resolver este problema proposto.

O software consiste basicamente em cinco arquivos, sendo eles:

1. dadosentrada.m: neste arquivo esto todos os dados de entrada do sistema,

desta maneira caso o usurio deseje alterar algum dado da rede se torna fcil;

2. rootT1.m: programa principal, neste arquivo executado a leitura dos dados

de entrada, apresentao destes dados de entrada, execuo do mtodo das

rotaes de Givens, clculos dos fluxos de potncia ativa em todas as linhas do

sistema, apresentao dos resultados iniciais;

3. investErro.m: neste arquivo executado o teste J() e o mtodo ;

4. eliminacao.m: neste arquivo executado a eliminao da medida errnea e

re-estimado os estados, fluxos de potncia, injeo de potncia e os testes da

presena de erros tambm so executados, o software fica em looping at no

encontrar mais erros;

5. recuperacao.m: neste arquivo executado a recuperao da medida errnea e

re-estimado os estados, fluxos de potncia, injeo de potncia e os testes da

presena de erros tambm so executados, o software fica em looping at no

encontrar mais erros;

7.1. CDIGO FONTE EM MATLAB

7.1.1. dadosentrada.m

%% Dados de entrada

nb = 8; % qtde de barras nm = 12;% qtde de medies sigma2t = 2E-6; % varincia dos medidores dos fluxos sigma2p = 4E-6; % varincia dos medidores de injeo bref = 1; % barra de referncia

% matriz das impedncias %de %para % X (Ohm) imped = [ 1 2 0.080

49

1 6 0.010 1 5 0.025 1 4 0.064 4 5 0.020 3 4 0.064 3 8 0.020 3 7 0.025 2 3 0.080 2 7 0.025 6 7 0.010 5 6 0.010 5 8 0.020 7 8 0.032 ];

% medies, no mximo duas condies

% primeiro inserir as medies de fluxo e % depois as medies de injees de potncia

med_fluxos = 10; med_injpot = 2;

z = [ 1 2 +0.1935 +0.7051 %t12 5 4 -0.9081 -2.8917 %t54 3 4 -0.2043 -0.9918 %t34 7 3 -0.4312 -1.2119 %t73 3 2 -0.0617 +0.0012 %t32 7 2 -0.6295 -1.2061 %t72 6 7 +0.6226 +2.7200 %t67 5 6 -0.0570 +0.8504 %t56 5 8 +0.5819 +2.0587 %t58 8 7 -0.1833 -0.1634 %t87 1 1 +3.8020 +8.5020 %p1 7 7 -1.4995 -4.9970 %p7 ];

7.1.2. rootT1.m

% EEL 6302 - Anlise de Segurana em Sistemas de Potncia % Autor: Rodolfo Calderon Machado % Estimador Ortogonal Usando Modelo Linear para a Rede Eltrica

clear all hidden; close all hidden; clc;

disp(' ') disp('####################################################################'

) disp(' ') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Estimao de Estados da Rede - Modelo de Medio Linear') disp('Mtodo das Rotaes de Givens com 3 Multiplicadores')

50

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ')

%% Dados de entrada

dadosentrada;

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Dados de Entrada') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ') fprintf('Barra de referncia: %i\n',bref); fprintf('Varincia dos medidores dos fluxos: %1.2E\n',sigma2t); fprintf('Varincia dos medidores de injeo de potncia ativa:

%1.2E\n',sigma2p); disp(' ')

disp('Impedncias') disp(' ____________________') disp('| DE | PARA | x |')

for i = 1:size(imped,1) fprintf('| %i | %i | %1.4f |\n',imped(i,1),imped(i,2),imped(i,3)) end disp(' ____________________')

disp(' ') disp(' _____________________________________') disp('| | Medies |') disp('| DE | PARA | Condio 1 | Condio 2 |') for i = 1:size(z,1) fprintf('| %i | %i | %+1.4f | %+1.4f

|\n',z(i,1),z(i,2),z(i,3),z(i,4)) end disp(' _____________________________________') disp(' ') disp('DE =/= PARA: fluxos de potncia ativa') disp('DE = PARA: injees de potncia') disp(' ')

%% Inicializando as variveis

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ') caso = input('Condio de operao, 1 ou 2?'); if isempty(caso) caso = 1; end disp(' ')

%criando matriz com as impedancias for i = 1:size(imped,1)

matriz_impedancia(imped(i,1),imped(i,2)) = imped(i,3); matriz_impedancia(imped(i,2),imped(i,1)) = imped(i,3);

51

end

d = zeros(nb,1); u = eye(nb);

% matriz p = [ H | z ], H = [ Ht ; Hp ] for i = 1:med_fluxos

Ht(i,z(i,1)) = + 1/matriz_impedancia(z(i,1),z(i,2)); Ht(i,z(i,2)) = - 1/matriz_impedancia(z(i,1),z(i,2));

end

Hp = [];

for i = (med_fluxos + 1):(med_fluxos + med_injpot) barra_injecao = z(i,1); for j = 1:nb if j ~= barra_injecao if matriz_impedancia(barra_injecao,j) ~= 0 Hp(i-med_fluxos,j) = -

1/matriz_impedancia(barra_injecao,j); Hp(i-med_fluxos,barra_injecao) = Hp(i-

med_fluxos,barra_injecao) - Hp(i-med_fluxos,j); else Hp(i-med_fluxos,j) = 0; end end end end

Ht(:,bref) = []; Hp(:,bref) = [];

H = [ Ht ; Hp ]; G = [ H z(:,caso+2)];

%nmero de linhas e colunas de G [ limlinha , limcoluna ] = size(G);

for i = 1:limlinha if i

52

for k = 1:limcoluna

if w(i,i)~=0 && p(:,k)~= 0 U = u(k,:); % calcular d' dl = d(k,:) + w(i,i)*p(:,k)^2; % calcular c c = d(k,:)/dl; % calcular w' wl = c*w(i,i); % calcular s s = w(i,i)*p(:,k)/dl;

% rotao rotacao = [c s;-p(:,k) 1]*[U;p];

%atualizao dos parmetros u(k,:) = rotacao(1,:); d(k) = dl; w(i,i)= wl;

if w(i,i)~= 0 p = rotacao(2,:); end end end end

B = u(1:(limcoluna-1),limcoluna); A = u(1:(limcoluna-1),(1:limcoluna-1));

% clculo das variveis de estado x = inv(A)*B;

% matriz de covarincia dos resduos - W Cx = inv(H'*inv(R)*H); W = R - H*Cx*H';

% soma ponderada dos quadrados dos resduos SPQR = dl;

% criando vetor com as variveis de estado

x_comBref = zeros(nb,1);

for i = 1:nb if i == bref for linha = bref:size(x,1) x_comBref(linha+1) = x(linha); end break; else x_comBref(i) = x(i); end end

% calculando os fluxos nos ramos

53

t = zeros(size(imped,1),3); t(:,1) = imped(:,1); t(:,2) = imped(:,2);

for i = 1:size(imped,1) t(i,3) = (1/imped(i,3))*(x_comBref(t(i,1))-x_comBref(t(i,2))); end

% resgatando e organizando os fluxos medidos

for i = 1:size(imped,1) flag = 0; for k = 1:size(z,1) if imped(i,1) == z(k,1) && imped(i,2) == z(k,2) tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = z(k,caso+2); flag = 1; break; elseif imped(i,2) == z(k,1) && imped(i,1) == z(k,2) tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = - z(k,caso+2); flag = 1; break; end end if flag == 0 tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = 0; end end

% calculando as injees de potncia nas barras da rede

injpot = z(med_fluxos+1:med_fluxos+med_injpot,1); injpot(:,2) = 0;

for i = 1:size(injpot,1) for linha = 1:size(imped,1) if injpot(i,1) == imped(linha,1) injpot(i,2) = injpot(i,2) + t(linha,3); elseif injpot(i,1) == imped(linha,2) injpot(i,2) = injpot(i,2) - t(linha,3); end end end

pae = zeros(nb,1);

for i = 1:size(injpot,1) pae(injpot(i,1),1) = injpot(i,2); end

% resgatando as injees medidas

pam = zeros(nb,1);

54

for i = 1:size(z,1) if z(i,1) == z(i,2) pam(z(i,1),1) = z(i,caso+2); end end

%% Resultados Primeira Parte disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Resultados') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ')

disp ('

____________________________________________________________________') disp ('|Barra | V | ngulo | Inj. P. Ativa Estimada | Inj. P. Ativa Medida

| ') for i = 1 : nb fprintf('| %i | 1 | %+1.4f | %+1.4f | %+1.4f

|\n' ,i, x_comBref(i),pae(i,1),pam(i,1)); end disp ('

____________________________________________________________________')

disp (' ') disp (' _________________________________________________________________') disp ('|De | Para | Fluxo Pot. Ativa Estimada | Fluxo Pot. Ativa Medida

|') for i = 1 : size(t,1) if tm(i,3) ~= 0 fprintf('| %i | %i | %+1.4f | %+1.4f

|\n',t(i,1),t(i,2),t(i,3),tm(i,3)); else fprintf('| %i | %i | %+1.4f | no

medido |\n',t(i,1),t(i,2),t(i,3)); end end disp (' _________________________________________________________________')

disp(' ') fprintf('Soma ponderada dos quadrados dos resduos - SPQR: %+1.4f\n',SPQR); disp(' ') disp('####################################################################'

) disp(' ') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Erros Grosseiros') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ') disp(' possvel investigar os erros grosseiros utilizando:') disp('- Teste J(x^)') disp('- Mtodo b^')

investigue = input('Deseja investigar a presena de erros grosseiros? (s)

(n)','s');

55

if isempty(investigue) investigue = 's'; end

if investigue == 's' investErro else disp('Fim do programa!')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) end

7.1.3. investErro.m

%% Variveis iniciais

% calculando o vetor de resduos

r = zeros(size(z,1),1); k = 1;

for i = 1:size(imped,1) if tm(i,3) ~= 0 r(k,1) = tm(i,3) - t(i,3); k = k + 1; end end for i = 1:size(pam,1) if pam(i,1) ~= 0 r(k,1) = pam(i,1) - pae(i,1); k = k+1; end end

% normalizando o vetor de resduos

rn = zeros(size(r,1),1);

for i = 1:size(r,1) rn(i,1) = r(i,1)/sqrt(W(i,i)); end

% maior magnitude de resduo normalizado e seu indice no vetor rn [maxrn indrn] = max(abs(rn));

% graus de liberdade: qtde de medies - qtde de estados l = size(z,1) - size(x,1);

%% Teste J(x^)

% flags de indicao de erro flagerroJ = 0;

disp(' ')

56

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Teste J(x^)') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ') disp('Nota: Graus de liberdade mximo igual a 10') disp(' ') disp('Considera-se para este teste uma probabilidade de falso alarme de

0,05') disp(' ')

% X - Qui-Quadrado para 1 - 0,05 = 0,95

x2 = [ 3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 ]';

fprintf('Soma ponderada dos quadrados dos resduos - SPQR: %+1.4f\n',SPQR); fprintf('Valor obtido da distribuio do qui-quadrado - X:

%+1.2f\n\n',x2(l));

% verificacao do teste J^

if x2(l) > SPQR fprintf('X > SPQR : no existem medidas errneas\n'); flagerroJ = 0; else fprintf('X < SPQR: existem medidas errneas\n'); flagerroJ = 1; end

%% Mtodo b^

% lambda lambda = 4;

% flag de indicao de erro flagerroB = 0;

disp(' ') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Mtodo b^') disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ')

disp('Considera-se para este teste Lambda = 4') disp(' ')

% desvio padrao da medida associada if indrn

57

fprintf('Magnitude do erro (expressa em nmeros de desvios-padro) - b^:

%+1.2f\n\n',b);

% verificacao do mtodo b^

if b > lambda fprintf('b^ > Lambda : existem medidas errneas\n'); flagerroB = 1; else fprintf('b^

58

metodoreestimacao = input('(1) ou (2)?'); if isempty(metodoreestimacao) metodoreestimaacao = 1; end

elseif flagerroJ == 0 && flagerroB == 1

disp('Foi detectado um erro somente pelo mtodo b^') fprintf('A medida %i, %+1.4f, considerada uma medida errnea!\n',

indrn, z(indrn,caso+2));

disp(' ') disp('Deseja eliminar os erros grosseiros mediante a re-estimao de

estados considerando:') disp('- (1) A eliminao das medidas errneas do plano de medio') disp('- (2) A recuperao das medidas errneas') disp(' ')

metodoreestimacao = input('(1) ou (2)?'); if isempty(metodoreestimacao) metodoreestimaacao = 1; end


disp('No foram detectados erros') disp(' ') disp('Fim do programa!')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) metodoreestimacao = 0;

end if metodoreestimacao ~=0 if metodoreestimacao == 1 disp(' ') disp('Escolhido: A eliminao das medidas errneas do plano de

medio') disp(' ') eliminacao elseif metodoreestimacao == 2 disp(' ') disp('Escolhido: A recuperao das medidas errneas') disp(' ') recuperacao end end

7.1.4. eliminacao.m

%% mtodo da eliminao

flageliminacao = 1;

while flageliminacao == 1; % fica em loop at eliminar o erro

59

% salvando e recuperando variveis save('temp_eliminacao.mat', 'indrn',

'caso','matriz_impedancia','flageliminacao'); clear all; load temp_eliminacao.mat;

% lendo dados iniciais dadosentrada;

% eliminando a medida erronea if indrn

60


61

SPQR = dl;








for i = 1:size(imped,1) flag = 0; for k = 1:size(z,1) if imped(i,1) == z(k,1) && imped(i,2) == z(k,2) tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = z(k,caso+2); flag = 1; break; elseif imped(i,2) == z(k,1) && imped(i,1) == z(k,2) tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = - z(k,caso+2); flag = 1; break; end end if flag == 0 tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = 0; end end



for i = 1:size(injpot,1)

62

for linha = 1:size(imped,1) if injpot(i,1) == imped(linha,1) injpot(i,2) = injpot(i,2) + t(linha,3); elseif injpot(i,1) == imped(linha,2) injpot(i,2) = injpot(i,2) - t(linha,3); end end end

pae = zeros(nb,1);



pam = zeros(nb,1);


%% Resultados da Re-estimao

disp('####################################################################'

) disp(' ')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Resultados da Re-estimao')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ')

disp ('

____________________________________________________________________') disp ('|Barra | V | ngulo | Inj. P. Ativa Estimada | Inj. P. Ativa

Medida | ') for i = 1 : nb fprintf('| %i | 1 | %+1.4f | %+1.4f |

%+1.4f |\n' ,i, x_comBref(i),pae(i,1),pam(i,1)); end disp ('

____________________________________________________________________')

disp (' ') disp ('

_________________________________________________________________') disp ('|De | Para | Fluxo Pot. Ativa Estimada | Fluxo Pot. Ativa Medida

|') for i = 1 : size(t,1) if tm(i,3) ~= 0 fprintf('| %i | %i | %+1.4f |

%+1.4f |\n',t(i,1),t(i,2),t(i,3),tm(i,3));

63

else fprintf('| %i | %i | %+1.4f | no

medido |\n',t(i,1),t(i,2),t(i,3)); end end disp ('

_________________________________________________________________')

disp(' ') fprintf('Soma ponderada dos quadrados dos resduos - SPQR:

%+1.4f\n',SPQR); disp(' ')

disp('####################################################################'

) disp(' ')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Erros Grosseiros')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

)

%% ERROS - Variveis iniciais



for i = 1:size(imped,1) if tm(i,3) ~= 0 r(k,1) = tm(i,3) - t(i,3); k = k + 1; end end for i = 1:size(pam,1) if pam(i,1) ~= 0 r(k,1) = pam(i,1) - pae(i,1); k = k+1; end end






%% Teste J(x^)

64


disp(' ')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Teste J(x^)')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'


0,05') disp(' ')


x2 = [ 3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 ]';

fprintf('Soma ponderada dos quadrados dos resduos - SPQR:

%+1.4f\n',SPQR); fprintf('Valor obtido da distribuio do qui-quadrado - X:

%+1.2f\n\n',x2(l));


if x2(l) > SPQR fprintf('X > SPQR : no existem medidas errneas\n'); flagerroJ = 0; else fprintf('X < SPQR: existem medidas errneas\n'); flagerroJ = 1; end

%% Mtodo b^


% flag de indicao de erro flagerroB = 0;

disp(' ')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Mtodo b^')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ')

disp('Considera-se para este teste Lambda = 4') disp(' ')

65

% desvio padrao da medida associada if indrn lambda fprintf('b^ > Lambda : existem medidas errneas\n'); flagerroB = 1; else fprintf('b^

66

fprintf('A medida %i, %+1.4f, considerada uma medida errnea!\n',

indrn, z(indrn,caso+2)); disp('Esta medida ser eliminada e os estados sero re-estimados')


disp('No foram detectados erros na re-estimao') disp(' ') disp('Fim do programa!')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) flageliminacao = 0;

end end

7.1.5. recuperacao.m

%% mtodo da recuperacao

flagrecuperacao = 1;

while flagrecuperacao == 1;

% salvando e recuperando variveis save('temp_recuperacao.mat', 'indrn',

'caso','matriz_impedancia','flagrecuperacao', 'dp', 'r', 'W'); clear all; load temp_recuperacao.mat;

% lendo dados iniciais dadosentrada;

% recuperando a medida erronea z(indrn,caso+2) = z(indrn,caso+2) - (dp^2)*r(indrn,1)/W(indrn,indrn);

clear r W dp indrn; % preveno para erros

%% reiniciando a estimao de estados

d = zeros(nb,1); u = eye(nb);

% matriz p = [ H | z ], H = [ Ht ; Hp ] for i = 1:med_fluxos

Ht(i,z(i,1)) = + 1/matriz_impedancia(z(i,1),z(i,2)); Ht(i,z(i,2)) = - 1/matriz_impedancia(z(i,1),z(i,2));

end

Hp = [];

67

for i = (med_fluxos + 1):(med_fluxos + med_injpot) barra_injecao = z(i,1); for j = 1:nb if j ~= barra_injecao if matriz_impedancia(barra_injecao,j) ~= 0 Hp(i-med_fluxos,j) = -

1/matriz_impedancia(barra_injecao,j); Hp(i-med_fluxos,barra_injecao) = Hp(i-

med_fluxos,barra_injecao) - Hp(i-med_fluxos,j); else Hp(i-med_fluxos,j) = 0; end end end end

Ht(:,bref) = []; Hp(:,bref) = [];

H = [ Ht ; Hp ]; G = [ H z(:,caso+2)];

%nmero de linhas e colunas de G [ limlinha , limcoluna ] = size(G);


68

%atualizao dos parmetros u(k,:) = rotacao(1,:); d(k) = dl; w(i,i)= wl;

if w(i,i)~= 0 p = rotacao(2,:); end end end end

B = u(1:(limcoluna-1),limcoluna); A = u(1:(limcoluna-1),(1:limcoluna-1));

% clculo das variveis de estado x = inv(A)*B;

% matriz de covarincia dos resduos - W Cx = inv(H'*inv(R)*H); W = R - H*Cx*H';

% soma ponderada dos quadrados dos resduos SPQR = dl;








for i = 1:size(imped,1) flag = 0; for k = 1:size(z,1) if imped(i,1) == z(k,1) && imped(i,2) == z(k,2) tm(i,1) = imped(i,1);

69

tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = z(k,caso+2); flag = 1; break; elseif imped(i,2) == z(k,1) && imped(i,1) == z(k,2) tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = - z(k,caso+2); flag = 1; break; end end if flag == 0 tm(i,1) = imped(i,1); tm(i,2) = imped(i,2); tm(i,3) = 0; end end



for i = 1:size(injpot,1) for linha = 1:size(imped,1) if injpot(i,1) == imped(linha,1) injpot(i,2) = injpot(i,2) + t(linha,3); elseif injpot(i,1) == imped(linha,2) injpot(i,2) = injpot(i,2) - t(linha,3); end end end

pae = zeros(nb,1);



pam = zeros(nb,1);


%% Resultados da Re-estimao

disp('####################################################################'

) disp(' ')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Resultados da Re-estimao')

70

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp(' ')

disp ('

____________________________________________________________________') disp ('|Barra | V | ngulo | Inj. P. Ativa Estimada | Inj. P. Ativa

Medida | ') for i = 1 : nb fprintf('| %i | 1 | %+1.4f | %+1.4f |

%+1.4f |\n' ,i, x_comBref(i),pae(i,1),pam(i,1)); end disp ('

____________________________________________________________________')

disp (' ') disp ('

_________________________________________________________________') disp ('|De | Para | Fluxo Pot. Ativa Estimada | Fluxo Pot. Ativa Medida

|') for i = 1 : size(t,1) if tm(i,3) ~= 0 fprintf('| %i | %i | %+1.4f |

%+1.4f |\n',t(i,1),t(i,2),t(i,3),tm(i,3)); else fprintf('| %i | %i | %+1.4f | no

medido |\n',t(i,1),t(i,2),t(i,3)); end end disp ('

_________________________________________________________________')

disp(' ') fprintf('Soma ponderada dos quadrados dos resduos - SPQR:

%+1.4f\n',SPQR); disp(' ')

disp('####################################################################'

) disp(' ')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Erros Grosseiros')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

)

%% ERROS - Variveis iniciais



for i = 1:size(imped,1) if tm(i,3) ~= 0 r(k,1) = tm(i,3) - t(i,3);

71

k = k + 1; end end for i = 1:size(pam,1) if pam(i,1) ~= 0 r(k,1) = pam(i,1) - pae(i,1); k = k+1; end end






%% Teste J(x^)


disp(' ')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'

) disp('Teste J(x^)')

disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~'


0,05') disp(' ')


x2 = [ 3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 ]';

fprintf('Soma ponderada dos quadrados dos resduos - SPQR:

%+1.4f\n',SPQR); fprintf('Valor obtido da distribuio do qui-quadrado - X:

%+1.2f\n\n',x2(l));


if x2(l) > SPQR fprintf('X > SPQR : no existem medidas errneas\n'); flagerroJ = 0;

72

else fprintf('X < SPQR: existem medidas errneas\n'); flagerroJ = 1; end

%% Mtodo b^


% flag de indica

t-1 - rodolfo c machado

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